Inferenza statistica per un singolo campione

1

Lo scopo dell’inferenza statistica è quello di trarre delle conclusioni o assumere delle decisioni riguardanti una popolazione sulla base di un campione estratto dalla popolazione stessa

Si definisce campione casuale di numerosità n, indicato con (x1, x2,…, xn) quello ottenuto in modo tale che le osservazioni {xi} sono selezionate in modo indipendente l’una dall’altra

x

f(x

)

xf(

x)

2

Campionatura (x1, x2, … , xn)

n

xx

n

ii

1

11

2

2

n

xxs

n

ii

11

2

n

xxs

n

ii

Distribuzioni campionarie

3

Se x variabile casuale è distribuita con legge normale avente media e varianza allora il campione casuale di numerosità n, indicato con (x1, x2,…, xn) ha distribuzione N(2/√n)

Distribuzione del – Se le variabili x1, …xn sono distribuite normalmente e sono tra loro indipendenti con media 0 e varianza unitaria allora la variabile e y è distribuita con legge con n gradi di libertà

223

22

21 ... nxxxxy

4

Funzione distribuzione 2

La distribuzione è asimmetrica con media k e varianza 2k

5

Tabella distribuzione 2

Distribuzioni campionarie6

Se x e y sono variabili casuali indipendenti distribuite rispettivamente con legge normale standardizzata e con legge chi quadrato, con k g.d.l. allora la variabile casuale

ky

xt

Si distribuisce con legge t di Student con k g.d.l.

7

-∞ < t < +∞

Funzione distribuzione t - Student

212

1

2

21

k

k

tk

k

k

tf

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

-10 -5 0 5 10

K=10K=8K=6

8

Tabella distribuzione t - Student

Distribuzioni campionarie

9

Se w e y sono variabili casuali indipendenti distribuite secondo legge chi quadrato, con u e v g.d.l. rispettivamente allora il rapporto

Si distribuisce con legge F di Snedecor con u e v g.d.l.

vyuw

F vu ,

10

Funzione distribuzione F

2

12

2

1222

2vu

u

u

xu

xvuvuvu

xf

Se x1 e x2 sono campioni casuali ottenuti da due processi normali ed indipendenti x1 ~ N(μ1,σ1

2) e x2 ~ N(μ2,σ22).

Indicate con n1 le osservazioni della prima campionatura e n2 le osservazioni della seconda campionatura si avrà:

1,1

22

22

21

21

21 nnFS

S

11

Tabella Riassuntiva

Inferenza sulla media- nota

12

Se x è una variabile casuale con media non nota e nota si vuole verificare che tale media sia uguale ad un valore assunto 0

TEST DI IPOTESI

01

00

:

:

H

H

n

xZ

00

Si rifiuta H0 se 20 ZZ *

Intervallo di confidenza13

E’ l’intervallo tra due statistiche che include il vero valore del parametro con una assegnata probabilità

1ULP

UL E’ detto intervallo di confidenza al livello 100(1-)%

L Limite inferioreU Limite superiore1-Livello di confidenza

Intervallo di confidenza

Criteri per il rifiuto di H0

Intervallo di confidenza della media con nota

16

Consideriamo x una variabile casuale con media non nota e nota. Sia dato un campione casuale di n osservazioni e sia x media campionaria. L’intervallo di confidenza bilaterale al livello 100(1-)% di è dato da:

2Z

nZx

nZx

22

È il punto percentile di una normale standardizzata tale che

*

22 ZzP

Inferenza sulla media- non nota

17

Se x è una variabile casuale con media non nota e non nota si vuole verificare che tale media sia uguale ad un valore assunto 0

TEST DI IPOTESI

01

00

:

:

H

H

nSx

t 00

Si rifiuta H0 se

*

1,20 ntt

è il punto percentile superiore al livello /2 della distribuzione t di Student con n-1 g.d.l

dove 1,2 nt

Intervallo di confidenza della media con non nota

18

Consideriamo x una variabile casuale con media non nota e non nota. Sia dato un campione casuale di n osservazioni e sia x media campionaria ed S dev. Standard. L’intervallo di confidenza bilaterale al livello 100(1-)% di è dato da:

*n

Stxn

Stx nn 1,21,2

Criteri per il rifiuto di H0

Inferenza sulla varianza di una distribuzione

normale20

Se il test sulla media non particolarmente sensibile all’assunzione di distribuzione normale ciò non è vero nel test di ipotesi sulla varianza.

TEST DI IPOTESI

01

00

:

:

H

H 20

220

1

Sn

Dove S è la dev. Standard campionaria calcolata sui dati di un campione casuale di numerosità n

21

Si rifiuta H0 se 2

1,220 n

Oppure se 21,21

20 n

Sono i punti percentili superiori al livello /2 e 1- /2 della distribuzione chi-quadrato con n-1 g.d.l

21,2 n 2

1,21 n

*

Inferenza sulla varianza di una distribuzione

normale

Intervallo di confidenza della

22

Consideriamo x una variabile casuale con media non nota e non nota. Sia dato un campione casuale di n osservazioni e sia x media campionaria ed S dev. Standard. L’intervallo di confidenza bilaterale al livello 100(1-)% della varianza è dato da:

*

2

1,21

22

21,2

2 11

nn

SnSn

è il punto percentile superiore al livello 1-a/2 della distribuzione Chi-Q con n-1 g.d.l tale che:

21,2 n

221,2

20 nP

23

Inferenza per la differenza tra medie

24

Inferenza per la differenza tra medie

25

Inferenza per la differenza tra medie

26

Inferenza per la differenza tra medie

Inferenza per la differenza tra medie

Inferenza sulla varianza

Inferenza sulla varianza