Indici di Dispersione o di Variabilità: Range e DIQ Dispense SBIO/2017-2018... · Indici di...

1

Indici di Dispersione o di Variabilità:

Range e DIQ

Non basta la conoscenza di quale è la posizione media dei dati statistici, serve anche

conoscere quale è la variabilità dei dati raccolti attorno al valore medio.

Allo scopo di introducono gli indici di variabilità. Essi devono possedere le seguenti

caratteristiche di massima:

•Essere nulli in caso di variabilità nulla (tutti i dati statistici costanti)

•Essere positivi in caso di variabilità

•Essere crescenti all’aumentare della variabilità dei dati

Solitamente di indici di variabilità si basano sugli scarti rispetto ad un indice di posizione

che è solitamente individuato dalla media aritmetica dei dati statistici. Ricordiamo,

dunque, che lo scarto del dato xi rispetto alla media M è dato da si=xi-M

Def. Campo di Variabilità (Range)

E’ dato da max(xi)-min(xi) 1)min()max( xxxxS nii

(ultimo caso se

valido se i dati

sono ordinati)

Def. Differenza InterQuartile 13 QQ

2

Box Plot

E’ una sintesi grafica che consente di individuare il valore centrale e di capire quale sia

la dispersione del collettivo statistico.

max31min ,,,, xQmedianaQxPer determinare un box-plot servono:

Esso è così costituito:

• Retta su cui situare i valori

•Box con estremi Q1 e Q3 (Differenze InterQuartile): all’interno del box sono contenute il

50% delle informazioni

•Una linea verticale all’interno del box indica il valore della mediana

•Linee estrema sinistra con lunghezza da x_min a Q1: da x_min a Q1 sono contenute il

25% delle informazioni

•Linee estrema destra con lunghezza da Q3 a x_max : da Q3 a x_max sono contenute il

restante 25% delle informazioni

3

Classificazione delle Osservazioni

Recinto Interno. ]*5,1;*5,1[ 31 DIQQDIQQ

Le osservazioni fuori al Recinto Interno sono dette DISTANTI (outside)

Recinto Esterno.

]*3;*3[ 31 DIQQDIQQ

Le osservazioni fuori al Recinto Esterno sono dette MOLTO DISTANTI (far out)

Es. Osservazioni (-3,10,11,13,15,17,18,19,25,48)

Mediana = 16

Q1=11 Q3=19 DIQ=8

Recinto Interno [11-1,5*8;19+1,5*8]=[-1;31] -> -3,48 sono osservazioni anomale

(distanti)

4

Indici di Dispersione o di Variabilità:

Differenze Medie

2

1,

n

xx

D

n

ji

ji

Es.

x_i 1 3 4 6 11 somme

1 1 0 2 3 5 10 20

3 3 2 0 1 3 8 14

4 4 3 1 0 2 7 13

6 6 5 3 2 0 5 15

11 11 10 8 7 5 0 30

92

D= 3,68

5

Scarto Semplice Medio Assoluto. Varianza.

Def. Scarto Semplice Medio Assoluto

E’ la media aritmetica dei valori assoluti degli scarti dalla media

n

Mx

n

s

S

n

i

i

n

i

i

M

11

k

i

i

k

i

ii

M

f

sf

S

1

1oppure

Def. Varianza sulla Popolazione

E’ la media aritmetica degli scarti (dalla media aritmetica) al quadrato

n

s

n

Mx

X

n

i

i

n

i

i

1

2

1

2

2 )(

k

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

f

sf

f

Mxf

X

1

1

2

1

1

2

2 )(

oppure

6

Varianza. Devianza.

Def. Varianza sul Campione

11)( 1

2

1

2

2

n

s

n

Mx

X

n

i

i

n

i

i

11

)(

1

1

2

1

1

2

2

k

i

i

k

i

ii

k

i

i

k

i

ii

f

sf

f

Mxf

X

oppure

Def. Devianza

n

i

i

n

i

i sMxXDev1

2

1

2)(

7

Scarto Quadratico Medio (Deviazione Standard)

Def. Scarto Quadratico Medio (Deviazione Standard) sulla Popolazione

n

s

n

Mx

X

n

i

i

n

i

i

1

2

1

2

)(

k

i

i

n

i

ii

k

i

i

k

i

ii

f

sf

f

Mxf

X

1

1

2

1

1

2

)(oppure

Def. Scarto Quadratico Medio (Deviazione Standard) sul Campione

11)( 1

2

1

2

n

s

n

Mx

X

n

i

i

n

i

i

oppure

11

)(

1

1

2

1

1

2

k

i

i

n

i

ii

k

i

i

k

i

ii

f

sf

f

Mxf

X

Def. Coefficiente di Variabilità

M

X )( (Può anche essere espresso in forma percentuale)

Excel : 03a_Indici_Dispers_Conc.xls

8

Indici di dispersione: esempi

Es. Excel (disp_01): dati semplici

x_i s_i |s_i| s_i^2

1 -7 7 49

5 -3 3 9

7 -1 1 1

12 4 4 16

15 7 7 49

Totali 0 22 124

Media M= 8

Numero n = 5

Var_Pop 24,800000

Dev_St_Pop 4,979960

Var_Camp 31,000000 varianza corretta

Dev_St_Camp 5,567764 deviazione standard corretta

Scarto semplice 4,400000

Funzioni Excel 4,979960 =DEV.ST.POP(B3:B7)

5,567764 =DEV.ST(B3:B7)

124,000000 =DEV.Q(B3:B7)

somma scarti

al quadrato

24,800000 =VAR.POP(B3:B7)

31,000000 =VAR(B3:B7)

9


Es. Excel (disp_02): dati con frequenze

x_i f_i x_i*f_i s_i s_i*f_i |s_i| |s_i|*f_i s_i^2 s_i^2*f_i

1 8 8 -1,72 -13,76 1,72 13,76 2,9584 23,6672

2 12 24 -0,72 -8,64 0,72 8,64 0,5184 6,2208

3 20 60 0,28 5,6 0,28 5,6 0,0784 1,568

4 6 24 1,28 7,68 1,28 7,68 1,6384 9,8304

5 4 20 2,28 9,12 2,28 9,12 5,1984 20,7936

Totali 50 136 1,4 0 6,28 44,8 10,392 62,08

Media M= 2,72

Var_Pop 1,241600

Dev_St_Pop 1,114271



Scarto

semplice 0,896000

10


Es. Excel (disp_03) : classi

se le classi non hanno tutte la stessa ampiezza, come peso si utilizzano le frequenze diviso l'ampiezza della

classe

classe x_i Ampiezza f_i p_i=f_i/Ampiezza x_i*p_i s_i s_i*p_i |s_i| |s_i|*p_i s_i^2 s_i^2*p_i

[0,2] 1,0 2 3 1,50 1,50 -18,40 -27,60 18,40 27,60 338,67 508,01

[3,10] 6,5 7 54 7,71 50,14 -12,90 -99,54 12,90 99,54 166,49 1284,33

[11,100] 55,5 89 150 1,69 93,54 36,10 60,84 36,10 60,84 1302,99 2196,05

[101,500] 300,5 399 65 0,16 48,95 281,10 45,79 281,10 45,79 79015,51 12872,20

[501,1000] 750,5 499 14 0,03 21,06 731,10 20,51 731,10 20,51 534502,80 14996,07

Totali 1.114,00 11,09 215,19 1.016,98 0,00 1.079,60 254,28 615.326,46 31.856,67

Media M= 19,40

Var_Pop 2.872,39

Dev_St_Pop 53,59

Var_Camp 3.157,05 varianza corretta



11

Proprietà della Varianza

Proprietà 1: )()( XVarcXVar

Dim.

)(1

)(1

)(22

XVarcMcxn

cXmcxn

cXVari

i

i

i

Proprietà 2: )()( 2 XVarkkXVar

Dim.

)(11

)(1

)( 22222XVarkMxk

nkMkx

nkXmkx

nkXVar

i

i

i

i

i

i

Proprietà 3: )()( 2 XVarkckXVar

( ) :m X M

12


Proprietà 4: 22 )()()( XmXmXVar

Dim.

i

ii

i

i MMxxn

Mxn

XVar 2222

11)(

2222 2

12

1MMMx

nMxMx

n i

i

i ii

ii

22 2 2( ) ( ) ( )m X M m X m X

13


Es . Excel Var_01

x_i s_i |s_i| s_i^2 x_i^2

1 -7 7 49 1

5 -3 3 9 25

7 -1 1 1 49

12 4 4 16 144

15 7 7 49 225

Totali 0 22 124 444

Media M= 8

Numero n = 5

Var_Pop 24,800000

Dev_St_Pop 4,979960




Nuovo Conto Var_Pop

Var_Pop 24,800000

14

Variabile Standardizzata

)(X

MXT

Data una variabile statistica X che possiede una media aritmetica M con deviazione

standard σ, si definisce Variabile Statistica Standardizzata T la seguente:

Proprietà: 0)( Tm 1)( T

Dim1.

i

i

i

i

i

ii

i

sn

Mxn

Mx

nn

t

Tm 0111

)(

Poiché la somma degli

scarti è nulla

1

)(

)(

)(

1

)(

11))((

)(2

2

2

22

2

2

2

2

X

X

n

s

XX

Mx

nt

nn

Tmt

T i

i

i

i

i

ii

i

Dim2. Dalle proprietà di media e varianza:

MXT

1

0)(11

)(

MXm

MXmTm

1)(11

)(2

XVar

MXVarTVar

15

Concentrazione

Reddito

Annuo

Numero

Persone

Centro

Classe Freq. Rel.

Freq. Rel.

Cumulate

F_i

Intensità

x_i*f_i

Intensità

Relative

Intensità

Rel. Cum.

Q_i

0-10 15 5 0,15 0,15 75 0,032328 0,032328

10-20 39 15 0,39 0,54 585 0,252155 0,284483

20-30 18 25 0,18 0,72 450 0,193966 0,478448

30-40 12 35 0,12 0,84 420 0,181034 0,659483

40-50 9 45 0,09 0,93 405 0,174569 0,834052

50-60 7 55 0,07 1 385 0,165948 1

totali 100 1 2320 1

Es . Excel Conc

16

Concentrazione Es . Curva di Concentrazione

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,5 1

Freq. Rel.

Cumulate

Intensità Rel.

Cum.

0 0

0,15 0,032328

0,54 0,284483

0,72 0,478448

0,84 0,659483

0,93 0,834052

1 1

Curva di Concentrazione

Retta di Equidistribuzione

Fi

Qi

Area di Concentrazione

Def. Rapporto di concentrazione

massima area

ioneconcentraz di areaR

2

1massima area

17

Concentrazione Es . Curva di Concentrazione

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,5 1 Fi

Qi

Area di Concentrazione

massima area

ioneconcentraz di areaR

10 R

R=0 concentrazione nulla

( Equidistribuzione)

R=1 concentrazione massima

ii

i

ii QQFF 1112

1ioneconcentraz di area

ii

i

ii QQFF 111R

Ottenuta con i

trapezi rettangoli

Curva di Lorenz

Curva di equidistribuzione

18

Concentrazione

19

Momenti Def. Momento di ordine k della variabile statistica X

n

i

k

ik xn

m1

1

Def. Momento Centrale di ordine k della variabile statistica X

n

i

k

i

n

i

k

ik Mxn

sn 11

11

Nota: 01 2

2

20

Indici di Forma: Asimmetria (skewness) Def. Asimmetria (SKEW)

La Shew misura l’asimmetria della distribuzione dei dati rispetto alla media:

Skew = 0 Distribuzione statistica simmetrica

Skew < 0 Distribuzione statistica asimmetrica : maggior contributo dei dati

statistici minori della media rispetto alla distribuzione

simmetrica

Skew > 0 Distribuzione statistica asimmetrica : maggior contributo dei dati

statistici maggiori della media rispetto alla distribuzione

simmetrica

3

3

1

3

2/3

1

2

1

3

2/3

1

2

1

3

)(1

)(1

)(1

1

1

n

i

in

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

tn

Mxn

Mxn

sn

sn

SKEW

21

Indici di Forma: Asimmetria (skewness)

Med.=Mediana

22

Indici di Forma: Asimmetria (skew=0) Nota: la definizione della funzione ASIMMETRIA di Excel è diversa (riferita al campione)

x_i f_i x_i*f_i s_i s_i*f_i s_i^2 s_i^2*f_i s_i^3 s_i^3*f_i s_i^4 s_i^4*f_i 1 1 1 -4,5 -4,5 20,25 20,25 -91,125 -91,125 410,0625 410,0625

2 2 4 -3,5 -7 12,25 24,5 -42,875 -85,75 150,0625 300,125

3 3 9 -2,5 -7,5 6,25 18,75 -15,625 -46,875 39,0625 117,1875

4 4 16 -1,5 -6 2,25 9 -3,375 -13,5 5,0625 20,25

5 5 25 -0,5 -2,5 0,25 1,25 -0,125 -0,625 0,0625 0,3125

6 5 30 0,5 2,5 0,25 1,25 0,125 0,625 0,0625 0,3125

7 4 28 1,5 6 2,25 9 3,375 13,5 5,0625 20,25

8 3 24 2,5 7,5 6,25 18,75 15,625 46,875 39,0625 117,1875

9 2 18 3,5 7 12,25 24,5 42,875 85,75 150,0625 300,125

10 1 10 4,5 4,5 20,25 20,25 91,125 91,125 410,0625 410,0625

totali 30 165 0 0 82,5 147,5 0 0 1208,625 1695,875

Media 5,5 SD_Pop 2,217356 Skew 0 Curtosi 2,338466

0

1

2

3

4

5

6

0 5 10 15

23

Indici di Forma: Asimmetria (skew<0) Nota: la definizione della funzione ASIMMETRIA di Excel è diversa (riferita al campione)

x_i f_i x_i*f_i s_i s_i*f_i s_i^2 s_i^2*f_i s_i^3 s_i^3*f_i s_i^4 s_i^4*f_i

1 1 1 -5,51852 -5,51852 30,45405 30,45405 -168,061 -168,061 927,449 927,44896

2 1 2 -4,51852 -4,51852 20,41701 20,41701 -92,2546 -92,2546 416,8543 416,85428

3 1 3 -3,51852 -3,51852 12,37997 12,37997 -43,5592 -43,5592 153,2637 153,26372

4 1 4 -2,51852 -2,51852 6,342936 6,342936 -15,9748 -15,9748 40,23283 40,232831

5 2 10 -1,51852 -3,03704 2,305898 4,611797 -3,50155 -7,0031 5,317168 10,634336

6 4 24 -0,51852 -2,07407 0,268861 1,075446 -0,13941 -0,55764 0,072286 0,2891459

7 8 56 0,481481 3,851852 0,231824 1,854595 0,111619 0,892953 0,053743 0,4299405

8 6 48 1,481481 8,888889 2,194787 13,16872 3,251537 19,50922 4,817092 28,90255

9 2 18 2,481481 4,962963 6,15775 12,3155 15,28034 30,56069 37,91789 75,835779

10 1 10 3,481481 3,481481 12,12071 12,12071 42,19804 42,19804 146,9117 146,91169

totali 27 176 -10,1852 1,15E-14 92,8738 114,7407 -262,649 -234,25 1732,89 1800,8032

Media 6,518519 SD_Pop 2,06147 Skew -0,99034 Curtosi 3,6931311

0

2

4

6

8

10

0 5 10 15

24

Indici di Forma: Asimmetria (skew>0) Nota: la definizione della funzione ASIMMETRIA di Excel è diversa (riferita al campione)

x_i f_i x_i*f_i s_i s_i*f_i s_i^2 s_i^2*f_i s_i^3 s_i^3*f_i s_i^4 s_i^4*f_i

1 1 1 -3,48148 -3,48148 12,12071 12,12071 -42,198 -42,198 146,9117 146,91169

2 2 4 -2,48148 -4,96296 6,15775 12,3155 -15,2803 -30,5607 37,91789 75,835779

3 6 18 -1,48148 -8,88889 2,194787 13,16872 -3,25154 -19,5092 4,817092 28,90255

4 8 32 -0,48148 -3,85185 0,231824 1,854595 -0,11162 -0,89295 0,053743 0,4299405

5 4 20 0,518519 2,074074 0,268861 1,075446 0,13941 0,557639 0,072286 0,2891459

6 2 12 1,518519 3,037037 2,305898 4,611797 3,50155 7,003099 5,317168 10,634336

7 1 7 2,518519 2,518519 6,342936 6,342936 15,9748 15,9748 40,23283 40,232831

8 1 8 3,518519 3,518519 12,37997 12,37997 43,55916 43,55916 153,2637 153,26372

9 1 9 4,518519 4,518519 20,41701 20,41701 92,25464 92,25464 416,8543 416,85428

10 1 10 5,518519 5,518519 30,45405 30,45405 168,0612 168,0612 927,449 927,44896

totali 27 121 10,18519 -8,9E-15 92,8738 114,7407 262,6492 234,2497 1732,89 1800,8032

Media 4,481481 SD_Pop 2,06147 Skew 0,99034 Curtosi 3,6931311

0

2

4

6

8

10

0 5 10 15

25

Indici di Forma: Curtosi Def. Curtosi (Coefficiente di Curtosi)

La Curtosi misura il peso relativo della code della distribuzione rispetto alla parte

centrale. (il confronto avviene relativamente ad una distribuzione gaussiana) :

Curtosi = 3 Distribuzione Mesocurtica/Normocurtica /Normale (Gaussiana o

simile)

Curtosi < 3 (code leggere) Distribuzione Leptocurtica/IperNormale (più

appuntita di una Gaussiana)

Curtosi > 3 (code pesanti) Distribuzione Platicurtica/IpoNormale (piatta,

meno appuntita di una gaussiana)

4

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Curtosi

E’ poco significativa per campioni poco numerosi

26

Indici di Forma: Curtosi

K=3 K<3 K>3

27

Indici di Forma: Curtosi

K=3 Normale

K<3 IperNormale

K>3 IpoNormale

Excel: 04_Indici_Forma.xls

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