INDICE

•LA MEDIA ARITMETICA

•LA MEDIA GEOMETRICA

•LA MEDIA QUADRATICA

•LA MEDIA ARMONICA

•LA MODA O VALORE MODALE

•LA MEDIANA

•I VALORI MEDI

•I VALORI EQUIDISTANTI DAGLI ESTREMI

I VALORI MEDIConcetto e tipi di medie

Si può chiamare media di una distribuzione x1, …., xn, rispetto a una funzione f(x1 , …., xn), quella quantità m che sostituita alle xi nella funzione lascia invariato il risultato.

In statistica si distinguono due tipi di medie:

-medie di calcolo (sono quelle che si calcolano tenendo conto di tutti i valori della distribuzione);

-medie di posizione (sono quelle che si calcolano tenendo conto solo di alcuni valori).

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MEDIA ARITMETICA

Si definisce media aritmetica di più numeri quel valore che, sostituito ai dati, lascia invariata la loro somma.

Esistono due tipi di medie aritmetiche:

-semplice: M=

-ponderata: M=

n

xxx n ...21

N

yxyxyx nn *...** 2211

Dove “n” è uguale al numero di caratteri mentre “N” è uguale alla sommatoria delle frequenze (yi ).

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LE PROPRIETA’ DELLA MEDIA ARITMETICA

L’uso frequente della media aritmetica deriva dal fatto che essa gode di alcune proprietà fondamentali:

•La somma degli scarti positivi della media è uguale a quella degli scarti negativi, e quindi la somma algebrica di tutti gli scarti (positivi e negativi) è uguale a zero.

Definiamo scarto lineare la differenza tra ogni xi e la media M.

•La somma dei quadrati degli scarti della distribuzione dalla media aritmetica è minore della somma dei quadrati degli scarti da qualsiasi numero.

•Proprietà traslativa: Aggiungendo (o sottraendo)a tutti i valori xi la stessa quantità K, la media risulta incrementata o ridotta di tale quantità.

•Moltiplicando o dividendo tutti i valori xi per una stessa quantità H, diversa da zero, la media risulta moltiplicata o divisa per tale quantità.

LA MEDIA GEOMETRICA

Si definisce media geometrica dei valori x1, x,2 …, xn, quel numero G che sostituito ai valori xi lascia invariato il prodotto.

x1 * x2 * … * xn = G*G*…*G=Gn

Da cui si ricava:

G =

G =

nn xxx *...** 21

N yn

yy nxxx *...** 21

21

LE PROPRIETA’ DELLA MEDIA GEOMETRICA

1° Proprietà: moltiplicando (o dividendo) tutti i valori xi per una stessa quantità h, maggiore di 0, la media geometrica risulta moltiplicata (o divisa) per tale quantità.

2° Proprietà: il reciproco della media geometrica è uguale alla media geometrica dei reciproci delle xi

LA MEDIA QUADRATICA

La media quadratica è uguale alla radice quadrata della media aritmetica dei quadrati dei valori dei dati.

n

xxxQ n

222

21 ...

MEDIA ARMONICA

La media armonica A è quel valore che sostituito ai dati mantiene invariata la somma dei reciproci.

ni

i ix

nA

1

1

•Semplice:

Se i valori hanno i pesi cioè le yi la formula è di conseguenza :

ni

i i

i

ni

ii

x

y

yA

1

1

LA MODA O VALORE MODALESi dice moda o valore modale di una distribuzione di frequenze il valore della variabile alla quale corrisponde la massima frequenza.

Se i dati sono raggruppati in classi possiamo distinguere due casi :

•Se la classe ha un’ampiezza costante si dirà classe moda quella che ha la frequenza più alta;

Se invece le classi sono con ampiezze differenti una dall’altra dobbiamo:

Calcolare l’ampiezza di ogni classe;

Dividere ogni peso per la corrispondente ampiezza.

A questo punto al rapporto più alto corrisponde la classe modale.

LA MEDIANAData una distribuzione ordinata in ordine crescente chiamiamo mediana il valore che bipartisce la distribuzione

Nella mediana possiamo distinguere tre casi:

Vai avanti per scoprirlo

•Dato un’insieme di valori Xi ordinati, se n dei termini è dispari il valore della mediana corrisponde al valore centrale; se n è pari il valore della mediana è la semisomma dei due valori centrali

•Se abbiamo una distribuzione con valori discreti, occorre allora calcolare la frequenza assoluta cumulata e determinare quale valore corrisponde:

21

ni

iiy

Nel caso delle distribuzioni di frequenza con valori raggruppati in classi, si determina la classe mediana utilizzando il metodo delle frequenze cumulate.

Una proprietà caratteristica della mediana è: la mediana rende minima la somma dei valori assoluti assoluti degli scarti, cioè la somma dei valori assoluti degli scarti della mediana non è superiore alla somma dei valori assoluti degli scarti da qualunque altro valore.

Accanto al valore mediano si considerano il primo quartile e il terzo quartile.

Il primo quartile è il valore che supera un quarto dei termini ed è superato da tre dei valori.

Il terzo quartile è il valore che supera di tre quarti dei termini ed è superato da un quarto dei termini.

VALORI EQUIDISTANTI

DAGLI ESTREMIIn una distribuzione statistica si dice valore equidistante dagli estremi, il valore ottenuto facendo la semi somma dell’osservazione più piccola e di quella più grande:

21 nxx

Ve