Indice degli argomenti JOHANN SEBASTIAN BACH: vita e opere p. 1 DISCONTINUITÀ DI UNA FUNZIONE:

1.1 Il Clavicembalo ben temperato, Preludio I, BWV 0846 (discontinuità di prima specie) p. 1 TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE: 2.1 Il Clavicembalo ben temperato, Fuga II, BWV 0847 (traslazione) p. 2 2.2 Scala minore melodica di Bach (simmetria assiale con asse verticale) p. 3 2.3 Concerto per Flauto e Violino, Allegro, BWV 1044 (simmetria assiale con asse orizzontale) p. 4 2.4 Partita per Flauto solo, Corrente, BWV 1013 (simmetria centrale) p. 5 2.5 Offerta Musicale, Canones diversi super thema regium, BWV 1079 (rotazione) p. 5 DERIVATA DI UNA FUNZIONE: 3.1 Toccata e Fuga in re minore, Adagio, BWV 565 (flesso a tangente orizzontale) p. 6

Perché questa tesina? Spesso, durante la stesura del mio elaborato, mi è stata posta questa domanda, alla quale ho sempre risposto fermamente – e forse banalmente – “perché mi rappresenta”. Tutto ciò nasce infatti come frutto ed esemplificazione della mia personalità e dei miei interessi :musica e matematica sono le due più grandi amanti che io abbia, e quale modo migliore per glorificarle entrambe, se non tramite l’ineccepibile figura di Johann Sebastian Bach? È esattamente questo il mio scopo, ovvero riuscire a squarciare quel “velo di Maya” di impressioni ed illusioni, per contemplare il “noumenico” legame tra musica e matematica, che indissolubilmente le unisce in un armonico contesto, ricco di sfaccettature innumerevoli, spesso celate dalla banalità dell’esecuzione musicale. Confidando in questo, spero vivamente che chiunque legga ciò che io stesso ho creato, con pazienza e certosina scrupolosità, non anneghi nel mare di numeri e figure nel quale sta per navigare, ma ne rimanga incuriosito ed affascinato, al punto da vedere poi la musica come qualcosa di diverso da ciò in cui ha sempre creduto, indagandone con occhio matematico costruzioni ed armonie.

Andrea Pasquini

Johann Sebastian Bach e il piano cartesiano

LA VITA ohann Sebastian Bach nacque nel 1685 ad Eisenach, in Germania. La sua prima formazione musicale fu seguita dal fratello Cristoph che lo spinse soprattutto verso lo studio del violino. Venne da subito in contatto con l’ambiente musicale del tempo (che aveva già in grembo compositori come Handel

in Germania o Scarlatti in Italia), tanto da diventare in poco tempo violinista di corte a Weimar, al servizio del duca di Sassonia. La sua famiglia, insieme alla sua produzione musicale, furono tra le più prolifiche nella storia della musica. In seguito ad un cattivo esito di un’operazione per una cataratta, rimase cieco all’età di 64 anni. Morì l’anno successivo per apoplessia, ma la sua opera fu abilmente raccolta dagli anch’essi celebri figli Johann Christian e Carl Philip Emanuel Bach. LE OPERE

n tutte le composizioni di Bach, a partire dalle cantate sacre, da chiesa, i recitativi, le arie, i corali, le numerosissime fughe, o anche gli stessi concerti, è possibile rintracciare un filo conduttore matematico. Si dice infatti che il compositore si unì felicemente alla cosiddetta “Società Segreta per

le Scienze Musicali” del teorico Mizler, secondo il quale «la musica è il suono della matematica». Per questo, analizzeremo scrupolosamente ciò che Johann Sebastian Bach ci ha lasciato, per ricavarne curiose informazioni su come matematica e musica siano profondamente intrecciate. Lo stesso Bach ha detto «la musica è matematica». Non ci si deve stupire perciò se chi è appassionato di musica, lo è anche per la matematica. Oggigiorno alcune ricerche hanno addirittura evidenziato che Bach sia il compositore preferito dei matematici, per la sua vicinanza ai numeri e all’estrema razionalità musicale. Prendiamo ora in considerazione un estratto dal Preludio I, Il Clavicembalo ben Temperato, BWV 0846 (fig. 1.1). Schematizzando, in un sistema di riferimento xOy, nel quale vengono riportati sull’asse delle ascisse i valori del tempo in secondi e sull’asse delle ordinate le varie altezze dei suoni in base ai nomi delle note (fig. 1.2), otteniamo:

J

I

(fig. 1.1) tema del Preludio I

(fig. 1.2) schematizzazione del Preludio I

1

E’ possibile notare che il grafico presenta delle discontinuità di prima specie, per la presenza del tipico “salto” della funzione, contrassegnato da Δh1,2.

Data una funzione f(x), un punto di ascissa è detto punto di discontinuità di prima specie quando:

e nel nostro caso, basta considerare i punti di ascissa o per verificarne la discontinuità.

Prendiamo ora in considerazione un estratto dalla Fuga II, dal Clavicembalo ben Temperato, BWV 0847 (fig. 2.1). Con il termine “fuga” si intende un componimento polifonico basato sull’imitazione (vale a dire il «richiamare» con una voce diversa il disegno melodico appena esposto da un’altra)1 e sul canone (tecnica che consiste nel far iniziare una stessa melodia da una sola voce e di farla seguire, dopo un dato intervallo di tempo, da una diversa che la riproduce rigorosamente)1. In questo caso, le voci concorrenti sono 3, la prima esegue il tema a partire dalla prima battuta, la seconda dalla terza e la terza dalla settima. Imitando tutte e tre la stessa melodia, possiamo parlare di una traslazione del tema da una voce all’altra (fig. 2.2).

Qui sotto (fig. 2.3), troviamo riportati, in un sistema di riferimento simile a quello utilizzato per la fig. 1.2, i vettori traslazione con le relative componenti:

1 “La nuova enciclopedia della musica”- Garzanti

(fig. 2.1) tema della Fuga II

(fig. 2.2) schematizzazione della Fuga II con le relative traslazioni

(fig. 2.3) rappresentazione dei due vettori traslazione

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Prendiamo ora in esame una delle peculiarità delle opere di Johann Sebastian Bach, in particolare il modello da lui elaborato di scala minore melodica (fig. 3.1). Riferendola in un sistema xOy, come i

precedenti, otteniamo una funzione simmetrica rispetto all’asse parallelo all’asse di equazione passante per la nota che ha altezza maggiore (fig. 3.2).

Ciò non accade invece per una scala minore melodica usuale (fig. 3.3), a testimonianza dell’estremo rigore matematico del compositore. Riferendola in un sistema xOy, come i precedenti, otteniamo una funzione asimmetrica infatti (fig. 3.4).

(fig. 2.2) tema della Fuga II con le relative traslazioni (fig. 2.2) tema della Fuga II con le relative traslazioni

(fig. 3.1) scala minore melodica di Bach

(fig. 2.2) tema della Fuga II con le relative traslazioni

(fig. 3.2) schematizzazione della scala minore melodica di Bach

(fig. 3.3) scala minore melodica usuale

(fig. 3.4) schematizzazione della scala minore melodica usuale

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Ponendo a confronto i due grafici in un unico sistema xOy (fig. 3.5) possiamo vedere come Bach, da buon “matematico”, abbia «rialzato» i primi due termini del senso discendente, garantendo una perfetta simmetria.

Rimanendo nell’ambito delle simmetrie assiali, prendiamo ora in considerazione un piccolo segmento melodico dell’Allegro, dal Concerto per Flauto e Violino, BWV 1044 (fig. 4.1). Al solito, rappresentando la melodia in un piano cartesiano (fig. 4.2), possiamo notare come le due voci – quella del violino la superiore e quella del flauto l’inferiore – siano simmetriche rispetto all’asse passante per la nota Si, parallelo all’asse x. I punti di contatto tra le due funzioni sono proprio i punti per i quali le due voci eseguono una nota di egual altezza e durata, poiché si configurano come i punti uniti della trasformazione.

(fig. 3.5) schematizzazioni delle due scale minori melodiche a confronto

(fig. 4.1) segmento melodico dall’Allegro

(fig. 4.2) schematizzazione del segmento melodico dall’Allegro

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Esaminiamo ora un breve estratto della Corrente, dalla Partita per flauto solo,

BWV 1013 (fig.5.1). Riferendolo ad un sistema xOy come i precedenti, è possibile

evidenziare la presenza di una simmetria centrale, il cui centro risulta essere la nota

Mi della seconda ottava (fig. 5.2).

Consideriamo adesso una delle peculiarità di Bach e del suo tempo, il canone cancrizzante. Dal latino cancer

(gambero), una composizione del genere consiste nella simultanea esecuzione a due voci di uno stesso

pezzo monofonico: una di queste eseguirà il canone diretto, l’altra quello cancrizzante. Prendiamo in

considerazione uno dei Canones diversi super thema regium, dall’Offerta Musicale, BWV 1079

(fig. 6.1). Leggendolo così com’è (da sinistra verso destra), si ottiene il canone diretto, ma - compiendo

un’opportuna rotazione del foglio di 180° in senso orario – si ottiene quello cancrizzante (fig. 6.2); la cosa

curiosa è come entrambi abbiano senso, sia se eseguiti singolarmente, che contemporaneamente. Per

semplificare le cose, un canone che possa essere definito cancrizzante è l’equivalente delle parole bifronti

che, se lette in sensi diversi, assumono significati diversi, ma comunque validi.

(fig. 5.1) segmento melodico dalla Corrente

(fig. 5.2) schematizzazione del segmento melodico dalla Corrente

(fig. 6.1) Canone diretto

(fig. 6.2) Canone cancrizzante

(p e q sono i parametri che dipendono

dalla posizione del centro di rotazione)

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Chiudendo il capitolo riservato alle trasformazioni geometriche, prendiamo ora in considerazione un

estratto dall’Adagio, dalla Toccata e Fuga in re minore, BWV 565 (fig. 7.1).

Traslando la seconda voce sullo stesso piano della prima (fig. 7.2), è possibile notare un tratto in cui le due voci hanno la stessa altezza.

Considerando la prima e la seconda voce come due funzioni distinte (in particolar modo, la seconda come una retta orizzontale) e rappresentandole in un sistema di riferimento xOy come i precedenti (fig. 7.3), possiamo notare come la funzione ottenuta dalla seconda voce risulti tangente alla prima in quel

punto di ascissa .

Si può pertanto concludere che la seconda voce sia la funzione derivata prima della prima nel punto di

ascissa , che a sua volta risulta essere un flesso a tangente orizzontale, poiché:

(e

cioè che ), e e

, ed essendo e

, nel punto

di ascissa la funzione è monotona decrescente e cambia la concavità.

(fig. 7.1) segmento melodico dall’Adagio

(fig. 7.2) segmento melodico dall’Adagio con traslazione della seconda voce

(fig. 7.3) schematizzazione delle due voci del segmento melodico dall’Adagio

( )

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Indice delle fonti BIBLIOGRAFIA La nuova Enciclopedia della musica, Garzanti Nuova Storia della musica, Riccardo Allorto, Ricordi SITOGRAFIA Inernational Music Score Library Project (www.imslp.org) Ciascun grafico è stato realizzato con l’ausilio del programma per la rappresentazione delle funzioni matematiche Graph, mentre alcuni estratti dalle composizioni di Bach sono state trascritte grazie al programma di computazione musicale Lily Pond.