11 novembre 2017

Indice

1 Turbina assiale - Dimensionamento al raggio medio 41.1 Dimensionamento dello stadio nel caso ideale con ammissione

totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2 Dimensionamento dello stadio ideale con parzializzazione . . . 121.3 Dimensionamento dello stadio considerando i coefficienti di

perdita - ammissione totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Turbina assiale - Il vortice libero 152.1 Il vortice libero e i triangoli delle velocita sul rotore . . . . . . 18

3 Turbina assiale - Limitazione del salto entalpico utilizzabilein una turbina monostadio ad azione 21

4 Turbina assiale - Limiti di potenza delle turbine a vapore 22

5 Turbina assiale - Esempi di dimensionamento 275.1 Stadio assiale di turbina a gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.2 Stadio assiale di turbina a vapore ad azione . . . . . . . . . . 295.3 Stadio assiale di turbina a vapore a bassa pressione . . . . . . 33

1

NomenclatureSymbols

A area, m2

P pressure, barT temperature, K or ◦Cρ density, kg/m3

H enthalpy, J/kgS entropy, J/kgKW lavoro (euleriano), J/kgn numero di flussi�U velocita periferica, m/s�C velocita assoluta, m/s�V velocita relativa (al rotore), m/sα angoli che le velocita assolute formano con la direzione assialeβ angoli che le velocita relative formano con la direzione assialeγ2 angolo allo scarico dalla schiera di ugelliη rendimentoρ densita, kg/m3

Λ grado di reazioneΨ coefficiente di caricoφ coefficiente di flussoλ,χ coefficienti di perditaε grado di parzializzazioneξ coefficiente di ingombroh altezza di pala, mD diametro, mr raggio, mm portata in massa, kg/sV portata volumetrica, m3

/sN nuero di giri, rpmR universal gas constant, J/kgK

2

NomenclatureAccents and subscripts

ORC Organic Rankine Cyclesa componente assialew componente tangenziale1 condizioni all’ingresso dello stadio2 condizioni nell’annulus (fra statore e rotore)3 condizioni allo scarico dal rotore0 condizioni “totali”r rotoren ugelli (“nozzle”)s stadioS statico oppure isentropicoT totale�, �� condizione ideale (lungo una isentropica)h alla base della pala (“hub”)t all’apice della pala (“tip”)m al raggio medio

3

Figura 1: Esempio di turbina assiale con spillamenti. (a) Sezionelongitudinale della turbina. (b) Schema dei flussi.

In Figura 1 e riportato lo schema di una turbina assiale. Le turbinetrovano una tipica applicazione negli impianti termodinamici di conversionedel calore in energia meccanica/elettrica. In Figura 2 e raffigurato lo schemadi un impianto a vapore super-critico. Impianti di questo tipo utilizzano disolito carbone come combustibile, con potenze utili dell’ordine delle centinaiadi MW.

1 Turbina assiale - Dimensionamento al rag-gio medio

Secondo il procedimento in [21, Chapter 7]. In Figura 3 e rappresen-tato uno stadio di turbina assiale e in Figura 4 sono schematizzati i triangolidelle velocita (al raggio medio) sul rotore.

La velocita periferica e indentificata con �U , �C rappresenta le velocitaassolute (�C2 velocita assoluta allo scarico dalla schiera di ugelli dello stato-re, �C3 velocita assoluta allo scarico dal rotore), �V corrisponde alle velocitarelative del fluido rispetto al rotore (�V2 sul bordo della pala all’ingresso, -“leading edge” - �V3 sullo scarico - “trailing edge”). La componente assiale

4

Figura 2: Schema semplificato di un impianto a vapore super-critico consurriscaldamento (SH) e due risurriscaldamenti (RH). La turbina: LP Low

Pressure, IP Intermediate Pressure, HP High Pressure, VHP Very High Pres-

sure. Un condotto (il crossover) collega lo stadio IP con gli stadi LP (dueflussi). Il trattamento dei fumi viene effettuato con: SCR - Selective Cataly-

tic Reduction - per ridurre gli ossidi di azoto (NOx) mediante iniezione di unagente riducente (ammoniaca); ESP - Electro-Static Precipitator - oppure FF- Fabric Filter - per la rimozione delle polveri; FDG - Flue Gas Desulfuration

- per la rimozione dello zolfo dal gas inviato al camino con un assorbente abase di calcio.

5

Figura 3: Stadio di turbina assiale, [21, Chapter 7].

Figura 4: Triangoli delle velocita sul rotore, al raggio medio, per una turbinaassiale, [21, Chapter 7].

6

della velocita assoluta �Ca e assunta costante fra ingresso e uscita. Assumia-mo altresı la velocita �C3 (allo scarico dallo stadio) uguale alla velocita �C1

(velocita assoluta del fluido all’ingresso dello statore).L’angolo γ2 = π/2− α2, in Figura 4, rappresenta l’angolo di scarico del

flusso dagli ugelli.Il lavoro euleriano risulta, con C1 = C3:

Ws = U (Cw,2 + Cw,3)

= UCa (tanα2 + tanα3)

= UCa (tan β2 + tan β3)

= ∆H0,s

= H0,1 −H0,3

=

�H1 +

1

2C

21

�−

�H3 +

1

2C

23

�

= H1 −H3 (1)

In Figura 5 sono rappresentati, nel piano termodinamico T-S, i puntirappresentativi dello stato termodinamico del fluido durante l’espansione sudi uno stadio di turbina assiale: H0,i identifica l’entalpia totale del genericostato “i”, Hi rappresenta la corrispondente entalpia statica. La differenza dientalpia totale sullo stadio∆H0,s corrisponde al lavoro (euleriano) disponibilealle pale.

Si puo definire il rendimento “total - to - total” dello stadio come

ηs,TT =Ws

H0,1 −H0,3�(2)

E’ d’uso definire anche il rendimento “total - to - static” come:

ηs,TS =Ws

H0,1 −H3�(3)

Il rendimento dello stadio definito secondo la (2) risulta unitario per stadiideali.

Tradizionalmente si definiscono alcuni parametri adimensionali che risul-tano di pratica utilita per la descrizione delle prestazioni dello stadio assiale:il coefficiente di carico (the blade loading coefficient) ψ, il grado di reazione(the degree of reaction) Λ, il coefficiente di flusso (the flow coefficient) φ.

ψ =∆H0,s12U

2(4)

7

Figura 5: Punti rappresentativi della espansione su di uno stadio di turbinanel piano termodinamico T-S, [21, Chapter 7].

Λ =∆Hr

∆Hs(5)

φ =Ca

U(6)

nelle quali: ∆H0,s salto entalpico totale sullo stadio (il lavoro euleria-no), ∆Hr = (H2 −H3) differenza delle entalpie statiche sul rotore, ∆Hs =(H1 −H3) differenza delle entalpie statiche sullo stadio.

Per la (1)

ψ = 2Ca

U(tan β2 + tan β3) (7)

Con le assunzioni Ca,2 = Ca,3 = Ca e �C3 = �C1; �U costante al raggiomedio:

H1 −H3 = H0,1 −H0,3 = UCa (tan β2 + tan β3)H2 −H3 = 1

2 (V23 − V

22 ) = 1

2C2a (tan

2β3 − tan2

β2)

e

Λ =Ca

2U(tan β3 − tan β2) (8)

8

Percioψ = 2φ (tan β2 + tan β3) (9)

Λ =φ

2(tan β3 − tan β2) (10)

A questo punto, tutti gli angoli possono essere espressi in funzione deitermini ψ, Λ e φ.

tan β3 =1

2φ

�1

2ψ + 2Λ

�(11)

tan β2 =1

2φ

�1

2ψ − 2Λ

�(12)

tanα3 = tan β3 −1

φ(13)

tanα2 = tan β2 +1

φ(14)

I triangoli delle velocita di Figura 4 risultano cosı completamente defi-niti. Valori del coefficiente di carico ψ sono tipicamente compresi fra 4.5 e5.5 per stadi con Λ = 0 e compresi fra 2.2 e 2.6 per stadi con Λ = 0.5. Disolito, se la velocita periferica U (per l’assegnata caduta entalpica) risultaaccettabile si preferisce utilizzare stadi con grado di reazione di 0.5. Se oc-corre limitare la velocita periferica si passa a stadi ad azione o, addirittura,a ruote Curtiss, [20, p. 355].

I coefficienti di perditaCon riferimento alla Figura 5, si possono definire i coefficienti di perdita

λn =H2 −H2�

12C

22

coefficiente di perdita per gli ugelli (15)

λr =H3 −H3��

12V

23

coefficiente di perdita per il rotore (16)

I due coefficienti λn e λr rappresentano la frazione di energia dissipata perattriti fluidodinamici. Essi si possono esprimere anche in funzione delle

9

velocita:

λn =H2 −H2�

12C

22

=12 (C

22� − C

22)

12C

22

=C

22�

C22

− 1 (17)

con C2� velocita allo scarico dagli ugelli nel caso ideale (in assenza di perdite).Per il coefficiente di perdita sul rotore:

λr =H3 −H3��

12V

23

=12 (V

23�� − V

23 )

12V

23

=V

23��

V23

− 1 (18)

con V3�� velocita relativa allo scarico dal rotore nel caso ideale (in assenza diperdite).

L’energia cinetica persa (sugli ugelli e sul rotore) va in aumento di entro-pia del fluido: si veda la Figura 5.

1.1 Dimensionamento dello stadio nel caso ideale conammissione totale

Fissati: m, T0,1 e P0,1, ∆H0,s,S (salto entalpico totale isentropico - “S” - sullostadio - “s”), il numero di giri al minuto N , l’angolo γ2 e il grado di reazioneΛ. Assumendo: il parametro ψ (valore di primo tentativo).

Si possono calcolare:

10

U =

�

2∆H0,s,S

ψ

α2 =�π − π

2

�− γ2

1

φ=

tanα212

�12ψ − 2Λ

�+ 1

tan β2 =1

2φ

�1

2ψ − 2Λ

�

tan β3 =1

2φ

�1

2ψ + 2Λ

�

tanα3 = tan β3 −1

φ

Dal coefficiente di flusso φ segue la componente assiale delle velocitaassolute Ca e i triangoli delle velocita di Figura 4 risultano definiti1.

Dal grado di reazione Λ = (H2� −H3�) / (H1 −H3�) segue il salto entalpicostatico isentropico sul rotore ∆Hr, poi il salto entalpico statico isentropicosugli ugelli e i corrispondenti rapporti di espansione.

Poi:

• Il rendimento ηs,TT e sempre unitario.

• Il valore ottimale del rendimento ηs,TS si trova quando l’angolo α3 ezero. Il valore di α3 = 0 si trova facendo variare il valore del coefficientedi carico ψ (ovvero la velocita U).

• Tenendo conto del legame fra il diametro medio D e il numero di giriN , dalla equazione di continuita si determinano le altezze di pala h

(all’ingresso e allo scarico dal rotore).

• Da verificare che il rapporto h/D non sia eccessivamente piccolo otroppo elevato.

In questo modo (1) i triangoli delle velocita, (2) le dimensioni dello stadioe (3) la velocita periferica ottimale risultano univocamente determinati.

1Le velocita tutte si possono ricavare ricorrendo alle relazioni geometriche che fra loro

intercorrono, note U , Ca e tutti gli angoli. Per esempio, se Λ = 0 e ηs,TS e massimo, ne

segue U/C2 = cos γ2/2.

11

1.2 Dimensionamento dello stadio ideale con parzializ-zazione

Fissati: m, T0,1 e P0,1, ∆H0,s,S (salto entalpico totale isentropico - “S” - sullostadio - “s”), numero di giri al minuto N , l’angolo γ2, il grado di reazioneΛ = 0. Assumendo (come valori di primo tentativo): il parametro ψ e ilgrado di parzializzazione2 ε (rapporto fra l’area di efflusso non utilizzata equella totale).

Si possono calcolare:

U =

�

2∆H0,s,S

ψ

α2 =�π − π

2

�− γ2

1

φ=

tanα214ψ + 1

tan β2 =φ

4ψ

tan β3 =φ

4ψ

tanα3 = tan β3 −1

φ

Dal coefficiente di flusso φ segue la componente assiale delle velocitaassolute Ca e i triangoli delle velocita di Figura 4 risultano definiti3.

Il salto entalpico statico isentropico sul rotore ∆Hr e nullo, il salto ental-pico statico isentropico sugli ugelli coincide con quello dell’intero stadio e sipuo dunque calcolare il rapporto di espansione dello stadio.

Poi:

• Il rendimento ηs,TT e sempre unitario.

• Il valore ottimale del rendimento ηs,TS si trova quando l’angolo α3 ezero. Il valore di α3 = 0 si trova facendo variare il valore del coefficientedi carico ψ (ovvero la velocita U).

2In condizioni di progetto l’ammissione puo essere parzializzata quando, in macchine

di piccola potenza, la portata volumetrica nei primi stadi, distribuita sull’intero arco di

360◦, comporterebbe altezze di pala eccessivamente modeste, [6, Pag 84], [14].3Le velocita tutte si possono ricavare ricorrendo alle relazioni geometriche che fra loro

intercorrono, note U , Ca e tutti gli angoli. Per esempio, se Λ = 0 e ηs,TS e massimo, ne

segue U/C2 = cos γ2/2.

12

• Tenendo conto del legame fra il diametro medio D, il numero di giriN (D = U60/πN) e mettendo in conto il grado di parzializzazione ε,dalla equazione di continuita (m = ρπDh(1 − ε)Ca) si determinano lealtezze di pala h (all’ingresso e allo scarico dal rotore). Poiche lo stadioe ad azione, le due altezze di pala risulteranno uguali.

• Da verificare che il rapporto h/D non sia eccessivamente piccolo.

In questo modo (1) i triangoli delle velocita, (2) le dimensioni dello stadioe (3) la velocita periferica ottimale risultano univocamente determinati. Ilgrado di parzializzazione ε puo essere variato in modo il rapporto h/D assumavalori accettabili4.

1.3 Dimensionamento dello stadio considerando i coef-ficienti di perdita - ammissione totale

I rapporti di espansione dai triangoli delle velocita. Esempio #1della Sezione 5.1Fissati: m, T0,1 e P0,1, ∆H0,s (salto entalpico totale effettivo sullo stadio),

numero di giri al minuto N , l’angolo di efflusso γ2, il parametro ψ e il gradodi reazione Λ (effettivi dello stadio).

Si possono calcolare:

U =

�

2∆H0,s

ψ

α2 =�π − π

2

�− γ2

1

φ=

tanα212

�12ψ − 2Λ

�+ 1

tan β2 =1

2φ

�1

2ψ − 2Λ

�

tan β3 =1

2φ

�1

2ψ + 2Λ

�

tanα3 = tan β3 −1

φ

Dal coefficiente di flusso φ segue la componente assiale delle velocitaassolute Ca e i triangoli delle velocita (reali) di Figura 4 risultano definiti.

4La parzializzazione puo essere utile in stadi a basso numero di giri specifici, laddove

portate volumetriche molto piccole porterebbero a rapporti h/D troppo bassi. Valori

limite inferiori per il rapporto h/D sono, orientativamente, 0.01 – 0.02.

13

Occorre ora determinare i rapporti di espansione rn = P1/P2 e rr = P2/P3

(v la Figura 5).Dalla (15),

H1 −H2� =1

2C

22 (1 + λn)−

1

2C

21

segue la pressione P2 (dalla espansione isentropica sugli ugelli).Dalla definizione di ∆H0,s segue il valore di H3

H1 −H3 = ∆H0,s −1

2C

21 +

1

2C

23

Ne discende, per la (16),

H3�� −H3 = λr1

2V

23

ovvero, la pressione P3 (dalla espansione isentropica sul rotore).Noto il rapporto di espansione sullo stadio si puo calcolare, dalla (2), il

rendimento ηs,TT “total - to - total” dello stadio. Dai triangoli delle velocitae dalle pressioni segue il dimensionamento geometrico dello stadio.

I triangoli delle velocita dai rapporti di espansione. Esempio #2della Sezione 5.2 ed Esempio #3 della Sezione 5.3Fissati: T0,1 e P0,1, ∆H0,s,S (salto entalpico totale isentropico sullo stadio),

numero di giri al minuto N , l’angolo γ2, il parametro ψS e il grado di reazioneΛS (tutti relativi al caso ideale). I coefficienti di perdita λn e λr sullo statoree sul rotore.

Il rapporto di espansione sullo stadio rs = rn× rr = P1/P3� risulta fissatodal ∆H0,s,S e i coefficienti di perdita λn e λr modificheranno le velocita ideali,in modulo e direzione. Al termine del calcolo anche il grado di reazione Λe il coefficiente di flusso φ cambieranno di conseguenza. Il fattore di caricoψS = 2∆H0,s,S/U

2, utilizzato per calcolare i valori iniziali delle velocita (casoideale), risultera differente dal valore finale (reale) ψ = 2∆H0,s/U

2.

14

Figura 6: Sezione longitudinale di una turbina a vapore, [35].

2 Turbina assiale - Il vortice libero

Secondo [21, Chapter 5]. Per rapporti rh/rt minori di ≈ 0.8 (con rh

raggio alla base - hub - e rt raggio all’apice - tip) la teoria bi-dimensionaleperde di significativita, [21].

Il flusso puo avere componenti radiali di velocita (i) perche il raggio medionon rimane costante e le linee di corrente non giacciono su di una superficiedi rivoluzione parallela all’asse di rotazione (v., per esempio, la Figura 6);(ii) poiche, per la presenza di una componente tangenziale (whirl component)di velocita, il fluido, a causa del corrispondente aumento di pressione con ilraggio, subisce uno spostamento radiale per garantire il bilanciamento fra laforza di pressione e la forza di inerzia.

Nel caso di bassi rapporti rh/rt la sensibile variazione della velocita peri-ferica dalla base all’apice della pala modifica la forma e gli angoli dei trian-goli delle velocita. Le variazioni di pressione (e di densita) conseguenti allapresenza delle componenti tangenziali inducono modifiche del valore dellevelocita assiali, con conseguenti ulteriori variazioni nella forma dei triangolidelle velocita.

Per garantire elevati rendimenti gli angoli geometrici debbono coincidere ilpiu possibile con gli angoli cinematici e le pale devono essere opportunamentedistorte (twisted - svergolate, vedi la Figura 7).

Nell’annulus (il volume fra lo scarico degli ugelli e il rotore), il bilancio

15

(a) (b)

Figura 7: (a) Stadio LP (low pressure - bassa pressione) di una turbina avapore. (b) Rotore di uno stadio LP per turbina a vapore.

Figura 8: Equilibrio radiale di un elemento di fluido, [21, Chapter 5].

16

fra le forze di pressione e le forze d’inerzia agenti su un elemento infinitesimodi fluido, con riferimento alla Figura 8, risulta (vedi [21, Chapter 5]):

1

ρ

dP

dr=

C2w

r+

C2S

rScosαS +

dCS

dtsinαS (19)

La (19), includendo tutte le forze in gioco, rappresenta l’equilibrio radialecompleto. Per la maggior parte dei casi pratici, si puo assumere rS moltogrande e αS cosı piccolo in modo da semplificare la (19) nella

1

ρ

dP

dr=

C2w

r(20)

La (20) e detta “equazione dell’equilibrio radiale”.

D’altra parte, l’entalpia totale ad ogni raggio r, dove la velocita assoluta eC risulta (con Cr ≈ 0)

H0 = H +C

2

2= H +

1

2

�C

2a + C

2w

�

e la variazione della entalpia con il raggio risulta

dH0

dr=

dH

dr+ Ca

dCa

dr+ Cw

dCw

dr(21)

Combinando opportunamente la (20) con la (21), si ottiene (vedi [21,Chapter 5]):

dH0

dr= T

dS

dr+ Ca

dCa

dr+ Cw

dCw

dr+

C2w

r(22)

con TdS/dr che rappresenta la variazione radiale delle perdite sull’annu-lus. Nel caso di flussi con elevati numeri di Mach la variazione di entropiaS con il raggio r puo essere sensibile, in generale, in prima approssimazionela si puo ignorare. Cosı

dH0

dr≈ Ca

dCa

dr+ Cw

dCw

dr+

C2w

r(23)

17

L’entalpia totale H0 e costante all’ingresso del rotore, se si assume cheil lavoro specifico sia costante per tutti i valori del raggio, allora ladistribuzione radiale di H0 e uniforme lungo la turbina in direzione assiale edH0/dr = 0 in ogni piano fra ugelli e rotore. L’equazione (23) diviene allora

CadCa

dr+ Cw

dCw

dr+

C2w

r= 0 (24)

Se si assume Ca costante nell’annulus, dCa/dr = 0, la (24) si semplificanella

dCw

dr= −Cw

r

ovvero

dCw

Cw= −dr

r(25)

L’integrazione della (25) fornisce

Cwr = costante (26)

Ovvero, la componente tangenziale della velocita varia in modo inversamenteproporzionale al raggio, la cosiddetta “condizione di vortice libero”. Unflusso che soddisfa le tre condizioni

(a) lavoro specifico costante con il raggio

(b) velocita assiale costante

(c) condizione di vortice libero per la componente tangenzialedella velocita assoluta

dunque, soddisfa anche l’equazione (20) di equilibrio radiale.

2.1 Il vortice libero e i triangoli delle velocita sul ro-tore

Come detto, i triangoli delle velocita assumono differenti configurazioni pas-sando dalla base all’apice della pala del rotore prima di tutto per la variazionedella velocita periferica U che cresce con il raggio.

18

Figura 9: Variazioni nella pressione e nelle velocita nell’annulus di uno stadiodi turbina assiale, [21].

Inoltre, all’uscita dagli ugelli, la componente tangenziale Cw della velocitaassoluta (si veda la (20) e la Figura 9) produce una variazione della pressionee della temperatura a cavallo dell’annulus. Con distribuzione uniforme dipressione all’ingresso dello stadio, la variazione del rapporto di espansionesugli ugelli induce una corrispondente variazione nella velocita assoluta C2.

Pale svergolate progettate per tener conto di queste variazioni degli angolivengono definite a “vortice libero”.

A causa della variazione del salto entalpico sul rotore passando dallabase all’apice della pala (si veda la Figura 9), il grado di reazione devevariare con il raggio. In particolare, aumenta con il raggio dallabase all’apice.

Se:

(a) l’entalpia totale e costante sull’annulus (dH0/dr = 0);

(b) la velocita assiale e costante sull’annulus;

(c) la componente tangenziale della velocita assoluta e inversamente pro-porzionale al raggio,

la (20) (l’equilibrio radiale) risulta soddisfatta. Uno stadio che soddisfa lecondizioni (a), (b) e (c) si dice a “vortice libero”.

19

Con riferimento alla Figura 9, se l’entalpia totale H0 all’ingresso degliugelli e uniforme, dato che sugli ugelli non si estrae lavoro, l’entalpia totalesull’annulus risulta pure costante: la condizione (a) risulta soddisfatta.

Se gli ugelli sono dimensionati per garantire Ca,2 = costante e Cw,2r =costante, anche le condizioni (b) e (c) sono soddisfatte sulla sezione 2.

Analogamente, se le pale del rotore sono progettate con Ca,3 = costantee Cw,3r = costante, poiche

Ws = U (Cw,2 + Cw,3) = ω (Cw,2r + Cw,3r) = costante

risulta H0 costante anche sulla sezione 3: la condizione (a) risulta verificatanella sezione 3. Anche nella sezione a valle del rotore la (20) e valida e lacondizione di vortice libero garantita.

A stretto rigore la densita del fluido sull’annulus varia passando dallabase all’apice (perche varia la pressione, v. la Figura 9); in prima appros-simazione, si puo assumere la densita al raggio medio rappresentativa pertutta la sezione e calcolare la portata mediante la ρ2,mCa,2A2, con A2 areadell’annulus e ρ2,m densita sulla sezione 2 al raggio medio.

Risolti i triangoli al raggio medio (con Ca,2 = costante), si trova

tanα2 =�rm

r

�

2tanα2,m (27)

Analogamente

tanα3 =�rm

r

�

3tanα3,m (28)

L’angolo β2 si puo calcolare utilizzando la

tan β2 =�rm

r

�

2tanα2,m −

�r

rm

�

2

Um

Ca,2(29)

Analogamente

tan β3 =�rm

r

�

3tanα3,m −

�r

rm

�

3

Um

Ca,3(30)

Determinati gli angoli e i triangoli delle velocita sulle sezioni di interese(tipicamente, alla base della pala, sulla sezione media e all’apice) si puo anchecalcolare il grado di reazione al variare del raggio.

20

3 Turbina assiale - Limitazione del salto en-talpico utilizzabile in una turbina monosta-dio ad azione

Il salto entalpico su di uno stadio dipende dal valore della velocita perifericaU . Con Λ = 0.0, il rendimento massimo (con riferimento ad uno stadio ideale)si ottiene in corrispondenza di un valore del coefficiente di carico ψ = 4, e:∆H0,s,S = 2U2.

Un primo limite al valore di U e dovuto alle sollecitazioni centrifughe, ma,prima ancora che dalle sollecitazioni meccaniche, il lavoro risulta limitato daconsiderazioni, non meno importanti, di altra natura.

La portata volumetrica V2 puo calcolarsi nel seguente modo:

V2 =m

ρ2= ξπDmh (1− ε)C2,a

con ξ coefficiente che tiene conto dell’ingombro delle pale, ρ1 densita delfluido, h altezza delle pale, ε grado di parzializzazione. 5

Eliminando il diametro medio Dm = U60/πN , con N numero di giri alminuto, e moltiplicando numeratore e denominatore per U :

V2 = ξπ60U

2

πNh (1− ε)

C2,a

U

ovvero

U =

�

V2

�U

C2,a

��N

60

��1

(1− ε)h

�1

ξ

quindi per aumentare la velocita periferica, a parita di portata, sono neces-sari:

(a) forti parzializzazioni (ε grande);

(b) piccole velocita assiali (grandi U/C2,a, piccoli angoli γ2);

(c) palette corte (piccolo h).

5Talvolta il fluido non e ammesso sull’intero arco di 360◦ della palettatura, il grado

di parzializzazione ε e definito come rapporto fra l’area di efflusso non utilizzata e quella

totale. Per esempio, ad una ammissione su 180◦ corrisponde ε = 0.5. Palette troppo corte

non sono accettabili per condotti lunghi e stretti per le eccessive perdite di attrito e per

l’importanza che vengono ad assumere i giochi fra le estremita e la carcassa, attraverso i

quali il fluido (il vapore) passa senza compiere lavoro. Valori limite sono, orientativamente,

h > 10 mm e h/D ≥ 0.01− 0.02, [20].

21

Poiche una riduzione eccessiva dell’altezza delle pale associata ad un con-comitante aumento del grado di parzializzazione provoca un gravoso incre-mento sia delle perdite marginali che di quelle per effetto ventilante, se non sivuol penalizzare eccessivamente il rendimento la velocita periferica non puoessere eccessiva: raramente si superano i 250 m/s, [6].

Negli stadi a reazione i salti entalpici sono ancora minori di quelli deglistadi ad azione.

4 Turbina assiale - Limiti di potenza delleturbine a vapore

Il capitolo e estratto da [25, pag 145]Una turbina di N cavalli che funzioni con un rendimento totale η = ηtηvη0

fra gli estremi di pressione P1 e P2 e di temperatura T1 e T2, se ∆i e il saltoadiabatico disponibile fra gli estremi considerati, trasformera in lavoro, perogni kilogrammo di vapore affluente, η∆i calorie. L’equivalente termico dellavoro di un cavallo ora e, come noto,

75× 3600

427= 832

Pertanto la turbina avra bisogno, per dare N cavalli, di una portataponderale oraria (in kg/h) data da

Gp =N × 832

η∆i

Mentre la portata ponderale Gp che attraversa tutta la turbina e costanteper tutte le ruote (salvo eventuali fughe di vapore, estrazioni o salassi chesupporremo assenti in quanto andiamo a dire), la portata volumetrica chee espressa da Gv = Gpvs cresce rapidamente dalla prima all’ultima ruotaa causa del rapido accrescersi del volume specifico vs all’abbassarsi dellapressione.

Tale aumento assume valori elevatissimi ove si tenga presente, ad esem-pio, che per P = 30 bar, il valore del volume specifico vs,1 e di 0.068 m3

/kg,mentre per P = 0.05 bar, il volume specifico vs,2 e di 35.46 m3

/kg, da cuiun rapporto volumetrico di espansione vs,1/vs,2 di 520. Cioe la portata volu-metrica nell’ultima ruota e cinquecentoventi volte la portata volumetrica cheattraversa la prima ruota.

Il salto termico ∆i idealmente utilizzabile per kilogrammo di vapore fragli estremi di pressione e di temperatura comunemente adottati, e dell’ordine

22

di 200− 250 cal/kg il che con un η = 0.8 porta a circa 200 l’ordine di gran-dezza del numero di calorie realmente trasformate in lavoro per kilogrammodi vapore. Cio richiede una portata ponderale oraria di circa tre kilogrammidi vapore per cavallo. La portata volumetrica oraria ove si considerino gliestremi di pressione precedentemente indicati e, per l’ultima girante e per uncavallo, dell’ordine di grandezza di 100 m3

/h. Queste portate volumetriche alprimo apparire delle turbine la cui potenza si aggirava intorno a qualche mi-gliaio di cavalli ne favorivano specialmente l’impiego in quanto permettevanoaltezze di palettatura di buon rendimento.

Se non che, la sempre maggiore richiesta di potenza di una macchinaunica, ha portato rapidamente a costruzione di turbine di potenza di variedecine di migliaia di cavalli e negli ultimi tempi per oltrepassare i trecentomilacavalli.

Ne derivano portate volumetriche nelle ultime ruote dell’ordine di milionie di decine di milioni di m3

/h il che importa, per l’attraversamento, o sezionidi eflusso grandissime o velocita assiali elevatissime. Ora tanto l’una chel’altra vanno limitate delle considerazioni seguenti.

Riferendosi all’ultima ruota a bassa che e quella attraversata dalla massi-ma portata volumetrica, se f e la sezione libera di attraversamento normalee ca la velocita assiale, sara

Gv = vsG = caf

La ca, supponendo lo scarico assiale, coincide con la c2 e determina laperdita allo scarico che e rappresentata in calorie non utilizzate dalla

∆ip =c22

2g × 427=

c22

8377

Ad evitare che questa perdita, che varia con il quadrato di c2, superi ilimiti percentuali accettabili con la caduta adiabatica, bisogna contenere lac2 entro valori ristretti. Con c2 = 100 m/s risulta ∆ip ≈ 1.20 cal/kg cioe conun salto entalpico di 200 cal il 0.6%, mentre con una c2 = 200 m/1second il∆ip = 5 /kg ossia il 2.5% del ∆i utilizzabile, gia quasi inaccettabile con unbuon rendimento termodinamico ove si tenga conto anche delle altre perdite.Occorre pertanto contenere la c2 entro valori modesti, talche il ∆i perdutoallo scarico sia copreso tra l’1 e il 2% del salto totale.

La f a sua volta e limitata da ragioni costruttive. Infatti se n e il numerodi giri al minuto primo assegnato alla turbina in relazione alle caratteristichedella macchina trainata sara:

u =πDn

60

23

la velocita periferica misurata a meta altezza delle palette.La u e limitata dalle sollecitazioni derivanti dalla forza centrifuga entro

valori che vanno fino ai 200 m/s per costruzioni comuni e fino ai 400 m/s percostruzioni eccezionali, ne deriva fissato n, un valore massimo di D.

Il valore della f e dato dalla f = πDli, dove i = 0.8÷0.9 e un coefficienteche tien conto dell’ingombro delle pale nella corona πDl, essendo l la lun-ghezza della pala. La l per quanto si e precedentemente accennato va a suavolta contenuta entro una frazione di D, ad evitare che le velocita periferichealla base ed alla sommita della pala siano troppo discoste con conseguentedeformazione dei triangoli di velocita, e sopratutto ad evitare che il passoalla periferia risulti troppo forte, una volta fissato quello minimo alla base6.In pratica non si va oltre lunghezze di palette pari l = 0.33D.

Risulta allora:

f = 0.33πiD2 = µD

ove

µ = 0.33πi

La portata ponderale vien limitata dalla

G =0.33πiD2

c2

vs=

0.33× 3600u2c2

πn2vs(31)

e quindi anche la potenza

N =ηG∆i

632=

µD2c2∆i

632= aD

2

raggruppando in a le costanti ossia, fissate le condizioni estreme del vaporee quindi ∆i e vs, noto η, fissato c2 entro valori accettabili, la potenza elimitata dal quadrato del diametro dell’ultima girante, a sua volta limitato,fissato n, dalla u.

Se si considera che la c2, velocita di scarico supposta assiale, in un funzio-namento senza attriti, e la componente assiale della c1, essendo c2 = c1 sinαe che in un funzionamento reale c2 sara sempre una funzione di c1, ed inoltreche c1, nelle condizioni di massimo rendimento, e data da

6Negli ultimi anni la tecnologia delle turbine a vapore ha visto significativi progressi

nella realizzazione delle palettature, [15, pag A33]. Oggi, per gli stadi a bassa pressione,

si utilizzano anche pale da 1219 mm, di acciaio, da montarsi su un diametro alla base di

1880 mm, con un rapporto fra i diametri apice/base pari a quasi 2.3. Area di efflusso di

circa 12 m2. Dmedio = 3099 mm, h/Dmedio = 0.3934, uapice = 678 m/s (a 3000 giri al

minuto).

24

N =2u

cosαossia per un dato α, c2 = mu ove m raggruppi le costanti, sostituendo

questo valore nella (31) e aggruppando le costanti in una unica costante b

G =bu

3

n2(32)

N =η × bu

3 ×∆i

n2 × 632

= b�η∆i

vsnD

3 (33)

Cioe dato il salto termico ∆i, il volume vs allo scarico, ed il rendimentototale η, la potenza di una turbina, fissato il numero di giri n e limitata dalvalore massimo du u accettabile costruttivamente e cresce col cubo di talevalore, o cio che e lo stesso, col cubo del diametro dell’ultima ruota che, perun dato n e funzione lineare di u.

Ne discende che raggiunto il valore massimo di u compatibile con i ma-teriali a disposizione, in un dato intervallo di pressioni, la potenza di unaturbina puo aumentarsi solo diminuendo n; turbine lente possono avere limi-ti di potenza piu alti di turbine veloci, pur risultando molto piu ingombrantie costose.

Il numero di giri n e fissato dalle caratteristiche della macchina trainatache, per turbine terrestri, il piu delle volte e un alternatore. E’ noto che perqueste macchine n = 120f/p ove f e la frequenza della corrente generata e pil numero dei poli. Il numero dei giri di turbine accoppiate direttamente adalternatori risulta allora:

Tabella 1

frequenza periodi 45 50 60numero dei poli 2 n = 2700 3000 3600numero dei poli 4 n = 1350 1500 1800numero dei poli 6 n = 900 1000 1200

Evidentemente al ridursi di n tanto la turbina che l’alternatore risultanosempre piu ingombranti e costosi per cui si tende a valori elevati di n.

25

Nelle turbine con ciclo a rigenerazione le varie estrazioni o salassi di vaporedeterminano una riduzione della portata ponderale e volumetrica delle ultimeruote agevolando le condizioni e spostando i limiti di potenza in alto.

Raggiunto per l’ultima ruota il valore massimo di D compatibile con u

ed n, qualora la potenza richiesta superi quella massima raggiungibile neilimiti accennati, a meno di non volere aumentare la c2, rinunziando ad unbuon rendimento, non resta che sdoppiare la turbina. E’ da tener presenteche, mentre le ultime ruote raggiungono le condizioni limiti della portatavolumetrica, le ruote a piu alta pressione, a causa del minor valore di vs, nesono ancora lontane. Non e quindi necessario sdoppiare tutta la turbina maci si puo limitare a sdoppiare solo le ultime ruote in quanto quelle a piu altapressione possono sopportare senza inconvenienti l’adeguato aumento dellesezioni di efflusso.

Sono cosı sorte le turbine la cui parte a bassa pressione e stata raddop-piata, triplicata ed anche quadruplicata ossia munita di due, tre o quattrosezioni di efflusso. Anche, se opportuno, su piu alberi rotanti.

26

5 Turbina assiale - Esempi di dimensionamen-to

5.1 Stadio assiale di turbina a gas

Esercizio #1 Stadio assiale di turbina a gas, [21].

Tabella 2: Dati di progetto riferiti alla Figura 4 e alla Figura 5.

portata in massa 20 kg/stemperatura ingresso T0,1 1100 Kpressione ingresso P0,1 4.0 barsalto di temperatura ∆T0,s = T0,1 − T0,3 145 Krapporto di espansione P0,1/P0,3 1.873

numero di giri N 15000 rev/mincoefficiente di carico ψ 2.88grado di reazione Λ 0.421angolo α2 58◦23�

coefficiente di perdita sugli ugelli λn 0.05coefficiente di perdita sul rotore λr 0.092

Si assuma: (a) Ca,2 = Ca,3 e (b) C1 = C3. Per uno stadio singo-lo, α1 = 0.0. Per i gas prodotti dalla combustione: CP = 1.148 kJ/kg eCP/CV = γ = 1.333. La costante specifica del gas R = CP × (γ − 1) /γ.

• Dai dati si calcola la velocita periferica U =�

2CP∆T0,s/ψ.

• Da Λ e ψ seguono il coefficiente di flusso φ e gli angoli che definisconoi triangoli di velocita.

• La componente assiale della velocita allo scarico dagli ugelli risultaCa,2 = Uφ (272 m/s) e la velocita C2 = Ca,2/ cosα2 (519 m/s).

• Si possono calcolare tutte le velocita.

27

• Poiche T0,2 − T2 = C22/2CP e T0,2 = T0,1 = 1100 K, ne segue la T2

(982.7 K).

• Poi, T2−T2� = λnC22/2CP e, dunque, si calcola il valore di T2� (976.8 K).

• La pressione P2 segue dalla P0,1/P2 = (T0,1/T2�)γ/(γ−1), relazione valida

per espansione isoentropica (P2 = 2.49 bar).

• Si puo calcolare la densita ρ2 = P2/ (RT2) = 0.883 kg/m3.

• L’area dell’annulus sulla sezione “2”: A2 = m/ (ρ2Ca,2) = 0.0833 m2.

• Poiche lo stadio e unico (non ripetuto): la velocita C1 e tutta assiale.Poi, per le assunzioni fatte, C1 = C3 e Ca,3 = Ca,2. Quindi: Ca,1 =C1 = C3 = Ca,3/ cosα3.

• La temperatura statica all’ingresso dello stadio: T1 = T0,1−C21/2CP =

1067 K.

• La pressione statica all’ingresso dello stadio: P1 = P0,1×(T1/T0,1)γ/(γ−1) =

3.54 bar.

• Si puo calcolare la densita ρ1 = P1/ (RT1) = 1.155 kg/m3.

• L’area dell’annulus sulla sezione “1”: A1 = m/ (ρ1Ca,1) = 0.0626 m2.

• Dal salto di temperatura ∆T0,s si ricava T0,3 = T0,1 − ∆T0,s, ovveroT3 = T0,3 − C

23/2CP = 922 K.

• Dal coefficiente di perdita sul rotore: T3�� = T3 − λrV23 /2CP

• La pressione statica P3 = P3�� allo scarico dallo stadio segue dallaequazione della espansione isoentropica: P2/P3�� = (T2/T3��)

γ/(γ−1).

• Si puo calcolare la densita ρ3 = P3/ (RT3) = 0.702 kg/m3.

• L’area dell’annulus sulla sezione “3”: A3 = m/ (ρ3Ca,3) = 0.1047 m2.

• Al raggio medio, Um = rm2πN/60 e rm = 60Um/ (2πN) = 0.216 m.

• In corrispondenza di ogni sezione (a raggio medio costante), l’arearisulta A = 2πrmh = 60Umh/N , con h altezza dell’annulus.

• Infine, dalle altezze h segue, per ogni sezione, il rapporto dei raggi al-l’apice e alla base dell’annulus, rt/rr: rt/rr = (rm + h/2) / (rm − h/2).Poi, hr = 0.5 (h2 + h3), hn = 0.5 (h1 + h2).

28

5.2 Stadio assiale di turbina a vapore ad azione

Esercizio #2 Assumendo i dati in Tabella 3, per uno stadio assiale di unaturbina a vapore,

Tabella 3

portata di vapore 120 kg/stemperatura (totale) ingresso, T0 450 ◦Cpressione (totale) ingresso, P0 3.0 MPapressione (totale) allo scarico dallo stadio, P03 2.0 MPa

grado di reazione, Λ 0.0angolo allo scarico dagli ugelli, γ2 20◦

coefficiente di carico, ψ 4.0

si discuta, con riferimento al dimensionamento al raggio medio e nel casoideale, l’effetto del numero di giri N sulla geometria dello stadio.

Assumendo poi, per il rotore, un coefficiente di perdita χr = V3/V3��

funzione della deflessione ∆β (in gradi) secondo la, [26, p. 434]:

χr = 0.99− 2.28

10000∆β − 4.97

180−∆β

e per gli ugelli un coefficiente di perdita χn = C2/C2� = 0.95, si ripeta ildimensionamento dello stadio.

29

Figura 10: Tavola XXV de “Le Machine” di Giovanni Branca (1629).

30

Figura 11: Esempio di turbina a vapore da 60 MW a 3600 rpm, [25].

Figura 12: Esempio di rotore per turbina a vapore da 60 MW a 3600 rpm,[25].

31

(a) (b)

(c)

Figura 13: (a) Pale rotoriche di stadi di turbina a vapore a bassa pressionecon cerchiatura esterna, [4]. (b) Girante del primo stadio di una turbina avapore da 320 MW, [4]. (c) Rotore di turbina a vapore da 150 MW, [4].

32

5.3 Stadio assiale di turbina a vapore a bassa pressione

Esercizio #3 Si dimensioni l’ultimo stadio del gruppo di bassa pressione diuna turbina a vapore di grande potenza.

Sono note le condizioni di scarico dalla macchina, Tabella 4:

Tabella 4: Condizioni termodinamiche del vapore allo scarico dallo stadio.

pressione di scarico del vapore 0.05035 bartitolo del vapore al termine dell’espansione 0.96

Sono fissate alcune caratteristiche di funzionamento della macchina, Ta-bella 5:

Tabella 5: Dati di funzionamento.

portata di vapore 610 t/hnumero di giri 3000 r/minrapporto fra le velocita assiali sul rotore, Ca,2/Ca,3 1

I parametri di progetto di una turbomacchina sono sempre soggetti adelle limitazioni di carattere strutturale e fluidodinamico. Nel caso in esamesi assumano i valori in Tabella 6:

Tabella 6: Parametri di progetto.

velocita periferica massima, Umax 550 m/srapporto altezza di pala/diametro medio, h/Dm 0.3altezza massima di pala, hmax 0.8 menergia cinetica massima di scarico 20 kJ/kgnumero di Mach della velocita relativa allo scarico, all’apice ≤1.4

Si determino:

1. le dimensioni della corona di scarico;

33

2. il numero di flussi;

3. i triangoli di velocita lungo l’altezza di pala del rotore.

34

Figura

14:Thisisalowpressure

steam

turbinefrom

thenu

clearpow

erplant

Philippsburg/G

erman

y.Ithas

aweigh

tof

190tt,is

11.47mm

longan

dhas

amax

imum

diameter

of5.62m.Inputis

480k

gper

secondof

steam

withan

entrypressure

of10.54bar,ou

tputpressure

of0.0456

bar.Theshaftrotatedat

25turnsper

secondan

dtheentire

plant

had

apow

erof

1400

MW

.From:https://de.wikipedia.org/wiki/KernkraftwerkPhilippsburg.

35

Figura

15:Schem

adiflussoesezion

elongitudinalediunaturbinaavapore.

36

Traccia di calcoloPunto 1 – Le pale di bassa pressione delle turbine a vapore (cosı come

quelle dei fan aeronautici) devono elaborare delle portate volumetriche eleva-tissime: per questo sono caratterizzate da un notevole sviluppo longitudinalee in questo senso si deve indirizzare la progettazione.

Essendo il numero di giri fissato, limitare la velocita periferica massimaequivale a fissare un limite superiore per il diametro esterno, essenzialmenteper motivi strutturali. Nell’ottica di voler sfruttare al meglio la resistenzadel materiale, e opportuno partire con il progetto fissando al valore massimoil diametro del rotore all’apice, Dt,max, dalla relazione Umax = ωDt,max/2.

Con la stessa logica si procede nella scelta dell’altezza di pala, spingendoal massimo il rapporto h/Dm. Ricordando che Dt = h+Dm, si calcolano poiunivocamente l’altezza di pala h e il diametro medio Dm.

A questo punto e necessario effettuare una verifica del dimensionamen-to svolto, poiche anche l’altezza di pala viene limitata, per ragioni fluido-dinamiche, al fine di non differenziare eccessivamente la morfologia dl flussotra base ed apice delle pale. Se il valore di h trovato eccedesse il limiteil dimensionamento andrebbe ripetuto utilizzando l’altezza di pala massimasuggerita.

Punto 2 – Usualmente, se la turbina a vapore ha una potenza abbastanzagrande (orientativamente superiore ai 150 MW), non e possibile, pur mas-simizzandone le dimensioni, smaltire tutta la portata su una sola corona discarico.

Nel caso, la soluzione consiste nel suddividere in piu flussi l’ultimo trattodell’espansione. Inoltre, nel progetto dell’ultimo stadio di una turbina avapore si deve tener conto dei limiti sull’energia cinetica persa allo scaricoperche non e possibile recuperarla in stadi successivi.

Occorre dunque innanzitutto calcolare la portata volumetrica allo scarico,che si ottiene una volta nota la densita, ottenibile dalle condizioni termodi-namiche di scarico: il volume specifico e calcolabile in funzione del titolo x

e dei volumi specifici del liquido e del vapore saturi alla pressione di scaricoassegnata:

1

ρ3= x3

1

ρV+ (1− x3)

1

ρL

Viene fissata al massimo consentito l’energia cinetica di scarico e ci siimpone di lavorare a rotore ottimizzato, cioe, nel caso in cui non si consi-derino le perdite fluido-dinamiche, a velocita di scarico assiale e uniformein direzione radiale. Si puo ricavare il numero di flussi n in cui suddividerel’espansione come approssimazione per eccesso della relazione seguente:

37

n ≥ m

ρ3CaπDmhξ

con ξ = 0.97 fattore di ingombro delle pale.Avendo gia dimensionato la corona di scarico la scelta del numero di flussi

influisce sul valore della velocita di scarico, che si calcola facilmente inverten-do la relazione precedente. Si ottiene cosı anche l’energia cinetica di scaricoeffettiva in assenza di altre perdite.

Punto 3 – Lo sviluppo longitudinale delle pale di bassa pressione delle tur-bine a vapore impone di dover tener conto della variazione della coordinataradiale dalla base all’apice, ovvero dover considerare che le sezioni di passag-gio sono anulari e non piane. Anche nell’ipotesi semplificativa di considerareil moto bidimensionale, si deve tener conto del fatto che le traiettorie delleparticelle non sono piane ma per lo meno elicoidali e il flusso si modifica for-temente lungo l’altezza di pala: nasce un gradiente di pressione in direzioneradiale tale da equilibrare la variazione di forza d’inerzia delle particelle difluido.

Se, per semplicita, si suppongono nulle le velocita in direzione radiale(moto bidimensionale �C = (Cw, Ca), ovvero superfici di flusso cilindriche) eche il flusso sia assial-simmettrico (ovvero le due componenti di velocita nonnulle sono funzione solo della coordinata radiale), il bilancio di forze agentesu un elemento infinitesimo fluido in moto elicoidale soggetto a variazioni dipressione porta alla relazione (20) dell’Equilibrio Radiale.

Una soluzione classica della equazione (20) e rappresentata dalla paletta-tura a Vortice Libero, definita dalla condizione (26): Cwr = costante.

Alla distribuzione a vortice libero sono associate importanti proprieta allequali e dovuta la grande diffusione di tale soluzione. In primo luogo il mo-to a vortice libero e irrotazionale7, poi, l’equazione dell’Equilibrio Radialeimpone Ca (r) = costante.

L’aspetto piu importante e pero un altro: mentre a valle di uno statoree lecito considerare un flusso iso-energetico, questo non e vero, in genera-le, a valle del rotore perche lo scambio di energia meccanica dipende dallavelocita periferica e quindi dal raggio. Le palettature a vortice libero garan-tiscono invece, a meno delle perdite, l’invarianza del lavoro euleriano lungo

7In analisi matematica e nel calcolo vettoriale un campo vettoriale �V : R3 ⇒ R3 si

dice irrotazionale se il suo rotore e nullo: ∇ × �V = 0 ed esiste una funzione scalare φ (il

potenziale del campo) tale che ∇φ = �V .

38

la coordinata radiale. Questo e di fondamentale importanza per il progettodell’ultimo stadio, in cui l’obiettivo e fare in modo che il flusso sia il piupossibile uniforme allo scarico: in questo modo si riducono i miscelamenti avalle della macchina, almeno in direzione radiale, e si rende il piu possibileuniforme la distribuzione di pressione (pari al valore di funzionamento delcondensatore).

La distribuzione a vortice libero diventa sempre piu assiale all’aumentaredel raggio, mentre alla base la componente tangenziale e massima. Questocomporta che lungo l’altezza di pala si modifichi il grado di reazione: doven-do essere costante il lavoro euleriano, alla base, dove la velocita periferica epiu bassa, deve essere maggiore la deflessione: quindi il grado di reazione eminimo. Per questo motivo, di norma, per iniziare il progetto si assegna ungrado di reazione nullo alla base. Se si partisse dalla mezzeria, per esempiofissando un grado di reazione 0.5, si potrebbe trovare un triangolo di velocitacon grado di reazione negativo alla base.

Triangoli di velocita a vortice libero – Alla base sono noti il mo-dulo e la direzione della velocita assoluta di scarico e la velocita periferica, edunque assegnato il triangolo allo scarico. Dal momento che il triangolo e adazione, la velocita relativa di ingresso e nota (uguale a quella relativa di sca-rico). Con la condizione di costanza della componente assiale della velocitasi calcola il triangolo in ingresso.

La distribuzione a vortice libero, essendo l’integrale di una equazionedifferenziale, e definita a meno di una costante. Il prodotto rhCw,2,h fornisce lacostante con cui procedere nel progetto perche definisce i triangoli di velocitaall’uscita dello statore alle diverse altezze di pala.

Fissato un raggio della macchina si calcola la componente tangenzialedella velocita assoluta di ingresso imponendo la condizione di vortice libero.Essendo fissate la componente assiale e la velocita periferica si calcola il trian-golo di ingresso. Il triangolo di scarico e fissato, come visto in precedenza, equindi e definito il gradi di reazione lungo diverse altezze di pala.

Oltre alla configurazione alla base e interessante valutare i triangoli di ve-locita almeno in altre due sezioni notevoli della pala: alla mezzeria e all’apice.In particolare e importante valutare il numero di Mach relativo massimo alloscarico, che si raggiunge all’apice, per verificare che non si instaurino onded’urto normali nel rotore. Deve cioe essere verificato che: MV3,t ≤ 1.4.

Modifica dei triangoli delle velocita per effetto delle perdite –Per stadi in cui le deflessioni sono elevate non e possibile trascurare le perditenel rotore. Una correlazione molto semplice, che tiene conto di tutti i mec-canismi di dissipazione che si hanno in una schiera e che da una indicazione

39

delle perdite in funzione della sola deflessione nel rotore (espressa in gradi)e la seguente:

V3

V3��= 0.99− 2.28∆β

10000− 4.97

180−∆β

Come procedura di calcolo si considerano ora determinati i triangoli divelocita in ingresso. Utilizzando la velocita e l’angolo relativo allo scaricodel calcolo precedente, si ottiene una deflessione di primo tentativo. Conquesta si ri-calcolano la velocita relativa di scarico e la deflessione con lacondizione di velocita assiale costante. Quindi si itera il procedimento finoa convergenza. A questo punto e possibile calcolare la velocita assoluta discarico. Come gia detto, e opportuno considerare almeno tre configurazionidi triangoli: alla base, in mezzeria e all’apice.

Si osservera che non risulta piu minimizzata l’energia cinetica di scarico:cio non significa a priori che le prestazioni siano inferiori al caso (reale)con scarico assiale, perche per ottimizzare uno stadio reale la funzione daminimizzare e la somma delle perdite per attrito fluido-dinamico e per energiacinetica di scarico e, in generale, la condizione effettiva di ottimo si ha pervelocita di scarico non assiale.

Si verifichi comunque, per tutte le stazioni considerate, che l’energiacinetica di scarico rimanga inferiore al limite fornito.

SoluzioneDimensioni della corona di scarico:Diametro massimo Dmax = Dt = Umax60/πN = 550 × 60/π × 3000 =

3.501 m.Posto h/Dm = k, poiche

h =Dt −Dh

2

Dm =Dt +Dh

2

si ha: Dh = Dt − 2h, Dm = h/k, e

h = Dtk

1 + k

con t, tip (apice) e h, hub (base della pala).Percio, h = 3.501×0.3/ (1 + 0.3) = 0.808 m. Superiore al valore massimo

consentito. Poniamo dunque h = hmax = 0.8 m.Ne conseguono: Dm = 0.8/0.3 = 2.667 m, Dt = 0.8 × (1 + 0.3) /0.3 =

3.467 m.

40

Numero di flussi:P3 = 0.005035 bar, T3 = 33 ◦C, vL = 1/ρL = 0.0010057 m3

/kg, vV =1/ρV = 26.562 m3

/kg.Volume specifico v3 = 0.96× 26.562 + 0.04× 0.0010057 = 25.502 m3

/kg.Portata in massa m3 = 610× 1000/3600 = 169.444 kg/s.Portata volumetrica V3 = m3v3 = 4321.247 m3

/s.Area di passaggio:

A�3 =

π

4

�D

2t −D

2h

�ξ =

π

4

�D

2t − (Dt − 2h)2

�ξ

e risulta A�3 = 6.501 m2.

Dall’energia cinetica massima ammessa allo scarico: C3 =�

2E2k =√

2× 20× 1000 = 200 m/s, a cui corrisponde una portata volumetrica paria V

�3 = A

�3C3 = 6.501 × 200 = 1300.200 m3

/s, ovvero un numero di flussin = int (4321.247/1300.200) + 1 = 4.

Stabilito il numero dei flussi necessari si ricalcola la velocita C3 effettivaallo scarico: C3 = V3/ (A�

3n) = 4321.247/ (6.501× 4) ≈ 200 m/s.

Triangoli delle velocita:Velocita C3 = 200 m/s (tutta assiale e costante lungo tutta la pala).Alla base della pala: Uh = (2πN/60)Dh/2.Velocita relativa allo scarico: V3,h =

�U

2h + C

23 .

Se il grado di reazione alla base e zero: |�V2,h| = |�V3,h| e C2,h =�4U2

h + C23 .

Per la condizione di vortice libero: rhCw,2,h = costante = τ .Al raggio medio Um = (2πN/60)Dm/2.

Velocita relativa allo scarico: V3,m =�U2m + C

23 .

Velocita assoluta tangenziale all’ingresso: Cw,2,m = τ/rm.Componente tangenziale della velocita relativa all’ingresso: Vw,2,m =

Cw,2,m − Um.All’apice Ut = (2πN/60)Dt/2.

Velocita relativa allo scarico: V3,t =�

U2t + C

23 .

Velocita assoluta tangenziale all’ingresso: Cw,2,t = τ/rt.Componente tangenziale della velocita relativa all’ingresso: Vw,2,t = Cw,2,t−

Ut.Note tutte le velocita si puo calcolare il grado di reazione sulle sezioni

considerate (alla base, al raggio medio e all’apice della pala) utilizzando la(10). Gli angoli si valutano note le velocita e le loro componenti.

41

Figura 16: Schema delle pale e triangoli (ideali) delle velocita di uno stadiodi turbina assiale a bassa pressione.

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Riferimenti bibliografici

[1] A. Perdichizzi and G. Lozza. Design Criteria and Efficiency Predictionfor Radial Inflow Turbines. In Gas Turbine Conference and Exhibition,number 97-GT-231, 345 E. 47 St., New York, N.Y. 10017, May 31 -June 4 (Anaheim, California) 1987. ASME The American Society ofMechanical Engineers.

[2] Aa. Vv. Turbine Design and Application. Technical Report NASA SP-290, NASA Center for AeroSpace Information, 800 Elkridge LandingRoad, Linthicum Heights, MD 21090-2934.

[3] Aa. Vv. Small High Pressure Ratio Turbines. Lecture Series 1987-07,von Karman Institute for Fluid Dynamics, Chaussee de Waterloo, 72. B- 1640 Rhode Saint Genese - Belgium, June 15 - 18 1987.

[4] Andrea Emilio Catania. Complementi di Macchine. Libreria EditriceUniversitaria Levrotto & Bella, Corso Vittorio Emanuele 26/F, Torino,1979.

[5] C. Osnaghi. Teoria delle Turbomacchine. Societa Editrice Esculapio -Progetto Leonardo, via Ugo Terracini, 30 - 40131 Bologna, 2002.

[6] Carlo Ortolani. Lezioni di Macchine. Turboespansori. StabilimentoGrafico Tamburini Editore, Milano, 1971.

[7] David H. Cooke. Modeling of Off-Design Multistage Turbine Pressuresby Stodola’s Ellipse. Presented at: Energy Incorporated PEPSE User’sGroup Meeting. Richmond, Virginia. November 2-3, 1993, October 61983.

[8] Cyrus B. Meher-Homji. The Historical Evolution of Turbomachine-ry. In Proceeding of the 29th Turbomachinery Symposium, GeorgeR. Brown Convention Center, Houston, TX, September 18-21 2000.Turbomachinery Laboratory at Texas A & M University.

[9] D. G. Wilson. New guidelines for the preliminary design and perfor-mance prediction of axial-flow turbines. Proceedings of the Institu-

tion of Mechanical Engineers, Part A: Journal of Power and Energy,201(4):279–290, November 1987.

[10] E. A. Simonis and J. Reeman. Gas Turbine Design Based on Free Vor-tex Flow. Reports and Memoranda R. & M. No. 2541 (7999), Mini-stry of Supply - Aeronautical Research Council, London, his Majesty’sStationary Office, 1951.

43

[11] E. Macchi. Design criteria for turbines operating with fluids having alow speed of sound. Lecture Series 100, von Karman Institute for FluidDynamics, Chaussee de Waterloo, 72. B - 1640 Rhode Saint Genese -Belgium, May 9 - 13 1977.

[12] E. Macchi. Thermodynamics and Fluid Mechanics of Turbomachinery.

Volume II, chapter Design limits, basic parameter selection and optimi-zation methods in turbomachinery design, pages 805–828. Number No.97B in NATO ASI Series. Series E: Applied Sciences. Martinus NijhoffPublishers, 1985.

[13] E. Macchi and A. Perdichizzi. Efficiency Prediction for Axial-FlowTurbines Operating with Nonconventional Fluids. Transaction of the

ASME. Journal of Engineering for Power, 103(4):718–724, October1981.

[14] E. Macchi and G. Lozza. Comparison of partial vs full admission forsmall turbines at low specific speeds. In Proceeding of the Gas Turbine

Conference and Exhibit, number 85-GT-220, 345 E. 47 St., New York,N.Y. 10017, March 18-21 (Houston, Texas) 1985. ASME The AmericanSociety of Mechanical Engineers.

[15] G. Lozza. Turbine a gas e cicli combinati. Societa Editrice Esculapio- Progetto Leonardo, via Ugo Terracini, 30 - 40131 Bologna, SecondaEdizione - 2007.

[16] G. Lozza and A. Perdichizzi. Indagine sullo sviluppo di piccole turbinea vapore ad alto rendimento. In Atti del 39

◦Congresso Nazionale ATI,

volume I, L’Aquila, 12 - 14 Settembre 1984. Associazione TermotecnicaItaliana.

[17] G. Lozza, E. Macchi, and A. Perdichizzi. On the Influence of the Numberof Stages on the Efficiency of Axial-Flow Turbines. In Contribution

by the Gas Turbine Division of the ASME, number 82-GT-43, 345 E.47 St., New York, N.Y. 10017, 1982. ASME The American Society ofMechanical Engineers.

[18] G. Lozza, E. Macchi, and A. Perdichizzi. Investigation on the efficiencypotential of small steam turbines of various configurations. In Procee-

ding of the 21st Intersociety Energy Conversion Engineering Conference.

IECEC’86, number 869312, San Diego, California, August 25-29 1986.

44

[19] G. Paniagua, M. C. Iorio, N. Vinha, and J. Sousa. Design and analysisof pioneering high supersonic axial turbines. International Journal of

Mechanical Science, 89:65–77, 2014.

[20] Giorgio Cornetti and Federico Millo. Scienze Termiche e Macchine a

Vapore, volume 2A. Edizioni il capitello, via Sansovino, 243/22/R, 10151Torino, 2015.

[21] H. Coen, G. F. C. Rogers, and H. I. H. Saravanamuttoo. Gas Turbine

Theory. Longman Scientific and Technical, third Edition edition, 1987.

[22] H. R. M. Craig and H. J. A. Cox. Performance Estimation of AxialFlow Turbines. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers,185(1):407–424, June 1 1970.

[23] J. H. Horlock. Axial Flow Turbines. Fluid Mechanics and Thermody-

namics. Krieger Publishing Company, Krieger Drive, Malabar, Florida32950, 1985.

[24] L. H. Smith Jr. The Radial-Equilibrium Equation of Turbomachinery.Transaction of the ASME. Journal of Engineering for Power, 88(1):1–12, January 1966.

[25] Luigi D’Amelio. Corso di Macchine. Volume Primo. Macchine a vapore.Libreria Internazionale Treves di Leo Lupi, via Mariano Semmola, 12,Napoli, terza edizione edition, 1954.

[26] M. H. Vavra. Aero-Thermodynamics and Flow in Turbomachines. JohnWiley & Sons, Inc, 1960.

[27] Michel De Vlaminck and Pierre Wauters. Thermodynamique et

Turbines. CIACO Editeur, 1988.

[28] O. E. Balje. A Study on Design Criteria and Matching of Turbomachi-nes: Part A - Similarity Relations and Design Criteria of Turbines. Tran-saction of the ASME. Journal of Engineering for Power, 84(1):83–102,January 1962.

[29] O. E. Balje. A Study on Reynolds Number Effects in Turbomachines.Transaction of the ASME. Journal of Engineering for Power, 86(3):227–235, July 1964.

[30] Ronald H. Aungier. Turbine Aerodynamics. Axial-Flow and Radial-

Inflow Turbine Design and Analysis. ASME Press, Three Park Avenue,New York, NY 10016, 2006.

45

[31] S. L. Dixon. Fluid Mechanics and Thermodynamics of Turbomachinery.Butterworth-Heinemann, 225 Wildwood Avenue, Woburn, MA 01801-2041, Fourth Edition 1998.

[32] S. Sandrolini, M. Borghi, and G. Naldi. Turbomacchine termiche.

Turbine. Pitagora Editrice, via del Legatore 3, Bologna, 1992.

[33] Smith D. J. L., Johnston I. H., and Fullbrook D. J. Investigation onan Experimental Single-stage Turbine of Conservative Design. Reportsand Memoranda 3541, Ministry of Technology - Aeronautical ResearchCouncil, January 1968.

[34] Vaclav Petr and Michal Kolovratmik. Wet steam energy loss and relatedBaumann rule in low pressure steam turbines. Proceedings of the Insti-

tution of Mechanical Engineers, Part A: Journal of Power and Energy,228(2):206–215, 2014.

[35] W. B. Jachens. Steam Turbines - Their Construction, Selection andOperation. Proceedings of The South Africa Sugar Technologist’s

Association, pages 113–131, March 1966.

46