Indice · 2019. 4. 10. · Superfici equipotenziali, 607 Condensatore, 611 L’esperienza di...

5 Le onde, 405

Unità 12 Moto armonico, 406

12.1 Oscillazioni armoniche, 406

12.2 Equazione oraria e grafico del moto armonico,407

12.3 Velocità del moto armonico, 410

12.4 Accelerazione del moto armonico, 412

12.5 Periodo e frequenza del moto armonico di unamolla, 414

12.6 Concetto di fase, 415

12.7 Energia, 417

12.8 Il pendolo, 418Equazione del pendolo, 418Accelerazione del pendolo. Dimostrazione in formatrigonometrica, 420

12.9 Moto oscillatorio smorzato e forzato, 420

IDEE e PERSONAGGI Il pendolo di Foucault, 422

SCIENTIFIC ENGLISH Waves, 424Position, Velocity, and Acceleration as a Function ofTime, 424

IN SINTESI, 426

Strumenti di consolidamento e verifica, 427

Pesarsi con... le onde: la bilancia inerziale, 421

Moto armonico e circolare uniforme, 406Energia di un sistema massa-molla, 417Il pendolo semplice, 418Oscillazioni smorzate, 420

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Equazione oraria e grafico del moto armonico, 407Velocità del moto armonico, 411Accelerazione del moto armonico, 413Concetto di fase, 415

Unità 13 Onde meccaniche, 440

13.1 Che cosa sono le onde, 440

13.2 Onde trasversali e longitudinali, 440Onde trasversali, 441 – Onde longitudinali, 442

13.3 Le caratteristiche fondamentali delle onde armo -niche, 444Rappresentazione temporale dell’onda: effetto film,444 – Rappresentazione spaziale dell’onda: effettofoto, 445

13.4 Velocità di propagazione delle onde, 446

13.5 Equazioni delle onde armoniche, 447

13.6 Fase e opposizione di fase, 450Grafici e differenze di fase, 450Dimostrazione matematica della condizione di fasedi due punti, 451

13.7 Onde bidimensionali, 451

13.8 Principio di Huygens, 452

13.9 Riflessione, 453Leggi della riflessione, 453Interpretazione della riflessione tramite il principiodi Huygens, 453

13.10 Rifrazione, 454Leggi della rifrazione, 454Interpretazione della rifrazione tramite il principiodi Huygens, 454

13.11 Diffrazione, 455

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Animazioni

III

Indice

14.6 Le onde stazionarie, 495La corda, 496 – I tubi, 499Gli strumenti e le scale musicali, 499

IDEE e PERSONAGGI Mahler e il muro del suono, 500

SCIENTIFIC ENGLISH Sound, 501The Doppler Effect, 501

IN SINTESI, 503


Suonando la chitarra..., 480

Le suonerie dei cellulari, 482

Vedere con... gli ultrasuoni, 483

Ascoltare un concerto rock, 485

Cuffie antirumore, 489

Accordatura degli strumenti, 490

Applicazioni dell’effetto Doppler in medicina e...sulla strada, 495

I tasti della chitarra, 497

Onde longitudinali, 479Onde longitudinali di pressione, 480Frequenza e ampiezza delle onde, 481Il teorema di Fourier, 486Riflessione, 487Interferenza delle onde, 488Battimenti, 490Effetto Doppler, 491Effetto Doppler: caso generale, 494 Onda stazionaria in una corda con estremi fissati, 496Onde stazionarie, 498

Unità 15 La luce, 515

15.1 La natura della luce: modelli interpretativi, 515Il modello corpuscolare, 515 – Il modello ondulatorio,516

15.2 La riflessione secondo i due modelli, 518

15.3 La rifrazione secondo i due modelli, 518La velocità della luce, 519

15.4 La polarizzazione, 520La birifrangenza, 521

15.5 L’interferenza, 521Espressione goniometrica della condizione di inter -ferenza, 523 – La lunghezza d’onda della luce, 524

15.6 L’interferenza su pellicole, 525 ON LINE

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13.12 Interferenza, 457Principio di sovrapposizione, 457 – Condizioni diinterferenza costruttiva e distruttiva, 458Modello matematico della condizione di interferenzacostruttiva e distruttiva, 460

IDEE e PERSONAGGI L’anagramma di Huygens, 461

SCIENTIFIC ENGLISH Waves, 462Frequency, Amplitude, and Wavelength, 462

The Speed of Waves on Strings, 463

IN SINTESI, 464


Le onde del mare, 443

Terremoti e onde, 449

Modello di onda trasversale, 440Composizione di onde armoniche (teorema di Fourier), 444Rifrazione, 454Diffrazione, 455Interferenza, 457

Onde trasversali, 441Onde longitudinali, 442Principio di sovrapposizione, 457

L’ondoscopio, 451Riflessione e rifrazione, 453Diffrazione, 455Interferenza, 457

Unità 14 Il suono, 479

14.1 Che cos’è il suono, 479Le onde sonore, 479 – La velocità delle onde sonore, 481

14.2 Le caratteristiche dei suoni, 481L’altezza, 482 – Il livello di intensità sonora, 483 – Iltimbro, 486

14.3 La propagazione delle onde sonore, 486La riflessione: eco e rimbombo, 487 – Rifrazione ediffrazione, 487 – L’interferenza, 488

14.4 I battimenti, 490La condizione matematica dei battimenti, 491

14.5 L’effetto Doppler, 491Osservatore fermo e sorgente in movimento, 491 – Sor -gente ferma e osservatore in movimento, 493Il bang supersonico, 495 ON LINE

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IndiceIV

15.7 La diffrazione, 526

15.8 Il potere risolutivo, 530

IDEE e PERSONAGGI Testimonianze su un imputatosfuggente, 532

SCIENTIFIC ENGLISH Waves, 533Young’s Double-slit Experiment, 533

IN SINTESI, 536


Fotografie più nitide, 521

La luce e l’effetto Doppler, 525

I contorni degli oggetti, 529

Il principio di sovrapposizione, 517La polarizzazione, 520L’interferenza, 521Esperimento di Young, 524La diffrazione, 526

La rifrazione secondo il modello corpuscolare, 518La rifrazione secondo il modello ondulatorio, 518

6 Elettrostatica, 551

Unità 16 Fenomeni elettrostatici e campi elettrici,552

16.1 L’elettrizzazione per strofinio, 552

16.2 I conduttori e gli isolanti, 554

16.3 L’elettrizzazione per contatto e per induzione,556La polarizzazione dei dielettrici, 558I tipi di polarizzazione, 558

16.4 La legge di Coulomb, 558La costante dielettrica, 562

16.5 Forze elettriche e forze gravitazionali, 563

16.6 La distribuzione della carica nei conduttori, 563

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16.7 Il campo elettrico generato da una carica pun-tiforme, 566

16.8 La rappresentazione del campo elettrico, 570Proprietà delle linee di forza, 570 – Campo di unacarica puntiforme, 571 – Campo di un dipolo elet -trico, 571

16.9 Flusso del campo elettrico e teorema di Gauss,572Il teorema di Gauss, 574

16.10 Applicazioni del teorema di Gauss, 575Il condensatore, 577

IDEE e PERSONAGGI Il concetto di “campo”, 579

SCIENTIFIC ENGLISH Electric Forces and ElectricFields, 580

The Electric Field, 580

IN SINTESI, 582


La fotocopiatrice, 561

Il fuoco elettrico, 566

La stampante ink-jet, 578

Fenomeni elettrostatici, 552Forze tra le cariche elettriche, 566Cariche elettriche e linee di forza, 570Teorema di Gauss, 574

La legge di Coulomb, 559Flusso del campo elettrico, 572

Le linee di forza, 570

Unità 17 Potenziale elettrico, 598

17.1 La circuitazione e il campo elettrico conserva-tivo, 598

17.2 L’energia potenziale elettrica, 600Il significato fisico di U, 601 – La formula di U, 602

Dimostrazione di , 602

17.3 La differenza di potenziale elettrico, 603L’elettronvolt, 604

17.4 Superfici equipotenziali, 607Campo elettrico e gradiente di potenziale, 609

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LAB = −14πε0

Q ⋅ qrA

14πε0

Q ⋅ qrB

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Indice V

18.4 L’effetto Joule, 639La legge di Joule, 640 – Il kilowattora, 641

18.5 La seconda legge di Ohm, 642

18.6 La relazione tra resistività e temperatura, 645Il significato fisico di α, 646

I superconduttori, 646

18.7 La corrente elettrica nei fluidi, 648La corrente elettrica nei liquidi, 648 – La correnteelettrica nei gas, 649

IDEE e PERSONAGGI L’invenzione di... inventare: Tho-mas A. Edison, 652

SCIENTIFIC ENGLISH Current and Resistance, 653Resistance and Ohm’s Law, 653

IN SINTESI, 655


Qual è la forma degli elettroni?, 632

Effetti della corrente elettrica sul corpo umano, 638

La superconduzione, 647

Tuoni... e fulmini, 651

Intensità di corrente elettrica, 631

Analogia tra pompa e generatore, 633

I circuiti elettrici, 634

Resistenza elettrica, 636

La legge di Joule, 640

Aumento della temperatura per effetto Joule, 641

La prima legge di Ohm, 635

La seconda legge di Ohm, 642

Unità 19 Circuiti elettrici, 668

19.1 Il generatore, 668

19.2 Resistori in serie, 670

19.3 Le leggi di Kirchhoff, 672La legge dei nodi (prima legge di Kirchhoff), 672 – Lalegge delle maglie (seconda legge di Kirchhoff), 673

19.4 Resistori in parallelo, 676Distribuzione della corrente in un nodo, 677

19.5 Circuiti elettrici elementari, 678

19.6 Condensatori in serie e in parallelo, 681Condensatori in serie, 681 – Condensatori in paral -lelo, 682

Animazioni

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17.5 I condensatori, 611La capacità del condensatore piano, 613 – L’energiadel condensatore, 615

17.6 Thomson e Millikan: la carica dell’elettrone,615Dimostrazione di , 616h = + Ll

hme

l2( )ΔV

dv20

IndiceVI

IDEE e PERSONAGGI L’elettricità dei corpi, 617

SCIENTIFIC ENGLISH Electrical Energy, 618Potentials and Charged Conductors, 618

The Electron Volt, 619

IN SINTESI, 620


L’elettrocardiogramma, 605

La tastiera, 614

Energia potenziale elettrica e potenziale, 600Superfici equipotenziali, 607Condensatore, 611

L’esperienza di Millikan, 616

Il condensatore, 611

7 Correnti elettriche e magnetismo, 629

Unità 18 Leggi di Ohm, 630

18.1 La corrente elettrica, 630La corrente di deriva, 631

18.2 Il circuito elettrico, 632Cariche in movimento, 632 – I componenti del cir -cuito, 633

18.3 La prima legge di Ohm, 635Conduttori ohmici e non ohmici, 638

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19.7 Carica e scarica dei condensatori: circuiti RC, 683La carica del condensatore, 683 Leggi di carica del condensatore per Q(t) e I(t), 685

La scarica del con densatore, 685 Leggi di scarica del condensatore per Q(t) e I(t), 685

IDEE e PERSONAGGI Un uomo particolare: André-Ma -rie Ampère, 686

SCIENTIFIC ENGLISH Direct-Current Circuits, 687Sources of emf, 687

Resistors in Series, 688

IN SINTESI, 690


Elettrodomestici in parallelo, 677

La lampada 3-way, 678

Le invenzioni dell’elettricità, 680

Forza elettromotrice, 669Resistenze in serie, 670Resistenze in parallelo, 676Condensatori in serie, 681Condensatori in parallelo, 682Carica di un condensatore, 683Scarica di un condensatore, 685

Le leggi di Kirchhoff, 672La legge delle maglie (seconda legge di Kirchhoff), 673

Resistori in serie e in parallelo, 670

Unità 20 Campi magnetici, 708

20.1 Il campo magnetico, 708

20.2 Il campo magnetico terrestre, 711Le aurore polari, 712

20.3 L’esperienza di Oersted: interazione magnete-corrente elettrica, 713

20.4 L’esperienza di Ampère: interazione corrente-corrente, 714

20.5 Il vettore campo magnetico, 715

20.6 La forza di Lorentz, 719

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20.7 Il filo rettilineo, 721Dimostrazione della legge di Biot-Savart, 721

20.8 La spira circolare, 722

20.9 Il solenoide, 723

20.10 L’origine del magnetismo e la materia, 725Permeabilità magnetica relativa, 728

20.11 Il motore elettrico, 729

20.12 Il flusso del campo magnetico, 732

20.13 La circuitazione del campo magnetico, 734

20.14 Il moto delle cariche elettriche in un campoma gnetico, 736La focalizzazione magnetica, 737

Lo spettrometro di massa, 738

20.15 Applicazioni: risonanza magnetica e archeolo-gia, 738

IDEE e PERSONAGGI L’esperimento di Oersted e ilclima culturale, 739

SCIENTIFIC ENGLISH Magnetism, 740

Magnetic Fields, 740

IN SINTESI, 742


Giocando a... monopòlo, 709Dalla limatura di ferro al concetto di campo, 711L’inversione del campo magnetico terrestre, 712Un magnete da... 2 milioni di €, 719

Campo e ago magnetico, 709Interazione corrente-magnete per F = B ◊ ◊ I, 716Forza di Lorentz: moto circolare uniforme, 720Filo rettilineo, spira e solenoide, 721Motore elettrico in corrente continua, 729Flusso del campo magnetico, 732Moto delle cariche elettriche in un campo magnetico, 736

L’esperienza di Oersted: interazione magnete-corrente elet-trica, 713L’esperienza di Ampère: interazione corrente-corrente, 714Il vettore campo magnetico, 715

I campi magnetici, 708Il campo magnetico terrestre, 711L’elettrocalamita e il motore elettrico, 727

Tabelle, T1Indice analitico, A1

I

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Indice VII

12.1 Oscillazioni armoniche

Moto armonico12Osserviamo nella vita quotidiana tantitipi di movimento che si ripetono rego -larmente con le stesse caratteristiche:la vibrazione della corda di una chi-tarra, l’andirivieni di una sferetta ap-pesa a una molla, le oscillazioni dellatavoletta di un trampolino elasticoquando il tuffatore si lancia. Le carat-teristiche dei moti di andata e ritornodipendono dal tipo di forza, detta di ri-chiamo, che ne è la causa. Il caso piùsemplice è quello in cui la forza di ri-chiamo è direttamente proporzionaleallo spostamento.La forza elastica, causa delle oscilla-zioni del trampolino utilizzato daituffatori, è proprio di questo tipo.

O

x

molladi costante elastica K

origine

m

R��

=P mg� �

Posizione di equilibrio

Supponiamo di avere un blocco di massa m attaccato a una molla caratteriz-zata dalla costante elastica K. Se ipotizziamo di essere in assenza di attrito leforze agenti, peso P

→e reazione vincolare R

→, sono equilibrate.

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Moto armonico e circolare uniforme

x

O Q

spostamento

= –K Fmano

��

s�

s�

Fel

�

Spostiamo la massa m dalla posizione di equilibrio fino a farle raggiungere laposizione individuata da Q. Su di essa agisce una forza di richiamo elasticache segue la legge di Hooke:

→Fel =− K ⋅ s→.

Il segno negativo sta a indicare che i vettori F→

ed s→ hanno verso opposto.

UNITÀ

periodo

12.2 Equazione oraria e grafico del moto armonico

UNITÀ 12 • Moto armonico 407

moto armonico

Lasciamo il sistema libero di oscillare. Il blocco torna indietro, supera la posizione di equi-librio iniziale O e raggiunge la posizione R simmetrica di Q rispetto a O. Il moto di andiri-vieni tra Q ed R è un esempio di moto armonico.

Una massa m soggetta a una forza direttamente proporzionale al suo spostamento dallaposizione di equilibrio, ma di verso opposto, si muove di moto armonico.

O Q

QR

= –K Fmano

��

s�

s�

Frichiamo

�

y

x

x

O

t = O

P’A

t = O

O

xO

QRα

= –Ks�

s�

F�

y

xOP’

PvO

�

Il moto armonico di P′ è periodico, cioè ripete le stesse caratteristiche dopo uguali inter-valli di tempo.

Il periodo T è il tempo impiegato per compiere un’oscillazione completa.

Trattandosi di un tempo, l’unità di misura di T nel SI è il secondo (s).

ampiezza

Riprendiamo in esame il blocco che si tro -va in Q e studiamo a partire da questo istan -te (t = 0) il moto della sua proiezione P′ suldiametro di una circonferenza. OP′ si definisce ampiezza del moto e si in-dica con A.

L’ampiezza A è la massima distanza dallaposizione di equilibrio.

Essendo una lunghezza, A si misura nel SIin metri (m).

P′, che si muove di moto armonico tra Q edR, può essere descritto come la proiezionesul diametro QR di un punto P che si muo -ve sulla circonferenza di moto unifor mecon velocità →v0.

Il moto armonico viene ottenuto proiettandosul diametro la posizione di un punto che simuove di moto circolare uniforme.

Mentre P percorre la circonferenza, P ′ suldiametro effettua un moto di andirivieni. Siparla di oscillazione completa o ciclo quan -do il punto va da Q a R e torna in Q.

x

OR

= –K

s�

s�

Fel

�

frequenza

Un’altra grandezza importante per lo studio del moto armonico è la frequenza, che ciinforma sul numero di oscillazioni complete effettuate in un intervallo di tempo unitario.

La frequenza è il rapporto tra il numero di oscillazioni complete effettuate in un in-tervallo di tempo e l’intervallo di tempo impiegato.

frequenza =

L’unità di misura della frequenza si chiama hertz (Hz) ed è pari a . La sua equazio -ne dimensionale è [t]−1.

1s

fT

= 1

numero di oscillazioni complete compiute

intervallo di tempo impiegato

MODULO 5 • Le onde408

QR

α = ωt

s�

y

xO

A

P’

P

equazione oraria

pulsazione

fase

Dato che il moto armonico di P′ si svolge su una retta, possiamo tralasciare la nota-zione vettoriale.

In un moto circolare uniforme la velocità angolare ω di P è data da:

e ponendo α0 = 0, e t0 = 0 si ha:

[1]

L’equazione oraria del moto armonico di P′ (per la definizione di coseno) è data da:

OP′ = OP cos

s = A cosωt [2]

dove ω si chiama pulsazione e ωt è la fase.

α

ω α α ω= ⇒ = ⋅t

t

ω α α α= = −−

ΔΔt t t

0

0

La pulsazione ω del moto armonico corrisponde alla velocità angolare delmoto circolare uniforme.

La pulsazione è una grandezza strettamente correlata alla frequenza. Infatti:

L’unità di misura di ω nel SI è rad/s e l’equazione dimensionale è [t]−1.

La fase ωt del moto armonico corrisponde all’angolo α descritto da P nel moto circo-lare uniforme.

Si tratta di una grandezza adimensionale e si misura in radianti (rad).

ω π= 2T

ω π π= =2 2T

f


Rappresentiamo graficamente l’equazione oraria s = A cos ωt. Dato che P e P′ hanno lo stesso periodoT, possiamo ricavarlo dalla definizione di velocità angolare:

Dividiamo il periodo T in 4 intervalli uguali e, al variare del tempo, otteniamo i corrispondenti spo-stamenti di P′. Il grafico che si ottiene è di tipo cosinusoidale.

ω α π πω

= = ⇒ =ΔΔt T

T2 2

t(tempo)

s(spostamento)

O ≡ P’

+A

–A

P

s = 0

t T34

34

2 32

πω

πω

= = ⋅ =2ω

= ⋅s A cos 32ω

πω

O

GRAFICO DI s = A cos ωt

s = –A

= ⋅s A cosωπω

P ≡ P’O

s = A

= ⋅s A cos 2ω

πω

t 2πω=

AA –A

t T2

2

2

πω π

ω= = =

s = 0

= ⋅s A cosω

t T4

2

4

πω π

2ωπ

= = =

O ≡ P’

P

O

O

s A Ocosω= ⋅

t = O

s = A

P ≡ P’ P ≡ P’

2ωπ 3π

ω22πω

πω

OP a = wt w

Moto circolareuniforme di P

raggioangolo descritto

da Pvelocitàangolare

Moto armonico di P ′ ampiezza fase pulsazione

Tabella 1

Sintetizziamo le relazioni analizzate fra moto circolare uniforme e moto armonico.

Q

S

H

R

α = ωt

y

xO P’H’

P

v�

vO

�

➤ P′O�P ≅ PS�H

velocità

La velocità →v del moto armonico è data dalla proiezione della velocità →v0 delmoto circolare uniforme.

Osserviamo le relazioni tra gli angoli.

P′O�P ≅ OP�H angoli alterni interni di rette parallele

OP�H ≅ PS�H entrambi complementari di SP�H(raggio OP ⊥ tangente PS)

P′H′ = PH = PS sen PS�H (per la definizione di seno)

cioè:

v = sen ωt

In un moto circolare uniforme per t0 = 0 ed s0 = 0 risulta:

[3]

quindi:

e dalla definizione di velocità angolare si ha:

v = r sen ωt [4]

Considerando le seguenti corrispondenze:

ω (velocità angolare) ⇒ ω (pulsazione)

r ⇒ A

e introducendo il segno − (negativo) per tenere conto che la velocità è oppostaalla direzione positiva dell’asse x da Q a R (e concorde invece da R a Q quandoπ < ωt < 2π, per cui sen ωt < 0), sostituendo nella [4] risulta:

v = − ω A sen ω t [5]

ω

ω π= 2T

v tr

T= ⋅2π ωsen

vst

s st t

st

rT

00

0

2= = −−

= =ΔΔ

π

v0

410 MODULO 5 • Le onde

12.3 Velocità del moto armonico

Anche per rappresentare graficamente l’equazione della velocità abbiamo diviso il periodo inquattro intervalli.

La velocità è minima in corrispondenza degli estremi del diametro, cioè per t = 0, , dove ènulla.

La velocità è massima in corrispondenza del centro della circonferenza, cioè per , , dovevale in modulo ωA.

t = πω

T = 2πω

t = 32

πω

t = πω2

t = 2πω

t(tempo)

v(velocità)

O ≡ P’

ωA

–ωA

P

v = ωA

32

πω2ω

32

πω

O

v = 0

πω

P ≡ P’O

v = 0

2πω

t 2πω=t π

ω= t =

v = –ωA

t = π

2ωπ

O ≡ P’

P

O

O

t = O

v = 0

P ≡ P’

P ≡ P’

2ωπ 3π

ω22πω

πω

= ⋅v A O– senω ω = ⋅v A– senω ω = ⋅v A– senω ω = ⋅v A– senω ω = ⋅v A– senω ω

vO

�

vO

�vO

�

vO

�vO

�

v 0�= v 0

�= v 0

�=

v�

v�

GRAFICO DI v = –ωA sen ωt

411UNITÀ 12 • Moto armonico

Sapendo che un punto si muove di moto armonicocon ampiezza A = 5,0 cm e periodo T = 2,0 s, deter-mina la posizione e la velocità del punto dopo 4,8 s.

La legge armonica è:

y = A cos ωt

con A = 5,0 cm = 0,050 m e periodo T = 2 s.Determiniamo la pulsazione:

ω π π= = = −2 22

3 14 1

T, s

L’equazione del moto del punto è:

y = (0,050 m) cos(3,14 ⋅ t)

All’istante t = 4,8 s la posizione è:

y = (0,050 m) cos(3,14 ⋅ 4,8) = − 0,040 m

e la velocità:

v = (−3,14 s−1 ⋅ 0,050 m)sen(3,14 ⋅ 4,8) = − 0,093 m/s

esempio

relazione fondamentale accelerazione-spostamento

12.4 Accelerazione del moto armonico


Tα = ωt

y

x

M

O P’T’

P

a�

a�

c

accelerazione

L’accelerazione →a del moto armonico è data dalla proiezione dell’ac ce -lerazione centripeta →ac del moto circolare uniforme. Poiché:

P′O�P ≅ MT�P angoli corrispondenti di rette parallele

risulta:

P′T′ = MT = PT cos MT�P

a = ac cos ωt

Ma in un moto circolare uniforme:

[6]

quindi:

a = cos ωt [7]

e poiché esistono le seguenti corrispondenze:

ω (velocità angolare) ⇒ ω (pulsazione)

r ⇒ A

sostituendo nella [7] si ha (il segno negativo rende conto del fatto che a è ne-gativa nel I e IV quadrante, positiva nel II e III):

a = − ω 2A cos ω t [8]

ω2r

avr

rr

rc = = =02 2

2( )ω ω

Confrontando l’accelerazione [8] con l’equazione oraria [2] si trova:

a = − ω2 ⋅ A cos ωt

a = − ω2 ⋅ s

a = − ω2 ⋅ s

Questa relazione caratterizza un moto armonico semplice.

➤

L’accelerazione di un moto ar-monico è direttamente pro-porzionale allo spostamento,ma di verso opposto.

Ricorda ....


Analogamente ai grafici dell’equazione oraria e della velocità, anche per rappresentare grafica-

mente l’accelerazione dividiamo il periodo in quattro intervalli.

L’accelerazione è minima in corrispondenza del centro della circonferenza, cioè per ,dove è nulla.

L’accelerazione è massima in corrispondenza degli estremi del diametro, cioè per t = 0, ,dove vale in modulo ω2A.

t = πω

, t = πω2

t t= =πω

πω2

32

,

T = 2πω

t(tempo)

a(accelerazione)

O ≡ P’

ω2A

–ω2A

P

32

πω2ω

32

πω

O

a = 0 a = 0

= 0

πω

P ≡ P’

O

2πω

t 2πω=t π

ω= t =

a = –ω2A a = –ω2Aa = ω2A

t = π

2ωπ

O ≡ P’

P

O

O

t = O

P ≡ P’P ≡ P’

3πω2

2πω

πω

ac

�ac

�

ac

�

ac

�a�

a�

a� = 0a

�

= ω ω ⋅a A O– cos2 = ω ω ⋅a A– cos2 = ω ω ⋅a A– cos2 = ω ω ⋅a A– cos2 = ω ω ⋅a A– cos2

ac

�

a�

2ωπ

GRAFICO DI a = –ω2A cos ωt

Sintetizziamo in una tabella le grandezze che caratterizzano il moto armonico.

In un moto armonico si ha:

• velocità nulla agli estremi,massima al centro;

• accelerazione nulla al centro,massima agli estremi.

Ricorda ....

Tempo t = aw 0

p2w

pw

3p2w

2pw

Arco (radianti) 0π2

π π32 2π

Posiziones(t) = A coswt

A 0 - A 0 A

Velocitàv(t) = - w A senwt

0 - wA 0 wA 0

Accelerazionea(t) = - w2A coswt - w2A 0 w2A 0 - w2A

Tabella 2

pulsazione

periodo

frequenza


12.5 Periodo e frequenza del moto armonicodi una molla

Vediamo più in dettaglio le oscillazioni armoniche di una molla di costanteelastica K a cui è agganciato in posizione orizzontale un corpo che ha massam. La presenza di un’accelerazione rivela, per il secondo principio della dina-mica, l’esistenza di una forza che ne è la causa.

secondo principiodella dinamica ma→

F→

= ma→ = − Ks→ ⇒ a→ = − s→ [9]legge di Hooke − Ks→

Dato che accelerazione, forza e spostamento sono paralleli, possiamo consi-derare solo i moduli dei vettori. In un moto armonico la relazione fondamen-tale tra accelerazione e spostamento è:

a = − ω2s

per cui sostituendo nella [9] si ha:

− ω2s = − s

Estraendo la radice si ottiene facilmente la pulsazione.

[10]

Ricordando che il periodo è:

inserendo la [10] si trova:

[11]

In un moto armonico il periodo di oscillazione dipende solo dalla massa delcorpo oscillante e dalla costante elastica K della molla a cui il corpo è fissato.Non dipende, invece, dallo spostamento rispetto alla posizione di equilibrio.

Dalla definizione di frequenza:

in base alla [11] si ottiene:

[12]

Se la costante elastica K aumenta, cioè la molla diviene più rigida, anche lafrequenza aumenta, per cui K si chiama costante di richiamo. All’aumentaredella massa m la frequenza diminuisce perché m rappresenta il termine iner-ziale che si oppone all’oscillazione.

f Km

= 12π

fmK

=⋅

1

2π

fT

= 1

T mK

= 2π

TKm

= 2π

T = 2πω

ω = Km

Km

➤Km

➤

➤

⎫⎬⎪

⎭⎪

12.6 Concetto di fase


Denotiamo con P′0 la posizione, al tempo t = 0,di un punto che si muove di moto armonicoche non coincide con Q. In questo caso per stu-diare il moto occorre tenere conto dell’angolo:

α0 = QO�P0

denominato anche fase iniziale. L’equazione oraria

s = A cos αdiventa:

s = A cos(ω t + α0)

➤fase iniziale

fase del moto

➤

αO

αωt

y

xOR

PO

P’OP’

P

Q

t = O

al tempo t

POOPP

Q

t =O

PP

al tO

Confrontiamo:

con fase iniziale α0 = 0 e con fase iniziale

I due moti hanno sfasamento angolare di π π2

02

− = .

s = A cos(ω t) s A tA t= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −cos ω π ω

2sen α π

02

=

t

s

Oscillazione completa di P’ con fase iniziale nulla αO = 0

Oscillazione completa di P’ con fase iniziale αO =

+A

–A

O2ωπ

2π

3πω2

2πω

πω

ωω

ωs A tcos=

PO ≡ P’O

P’P’ P’P’

αωt

P’O

PO

P’ P’P’ P’

αα

ωt

( )= + =s A t A tcos 2 – senπ

αO αO


Confrontiamo ora:

con fase iniziale α0 = 0 e con fase iniziale α0 = π

I due moti hanno sfasamento angolare di π − 0 = π.

s = Acos(ω t + π)=− Acosω ts = Acos(ω t)

t

s

Oscillazione completa di P’ con fase iniziale nullaαO = 0

Oscillazione completa di P’ con fase iniziale

αO =

+A

–A

O2ωπ

π

3π

π

ω

ω ω

22πω

πω

ωs A tcos=

PO ≡ P’O

P’P’ P’P’

αωt

P’OP’ P’P’ P’

αO

α

ωt

( )= + =s A t A tcos – cos

Se confrontiamo le due equazioni precedenti, avendo raccolto nella seconda ω:

si vede che i due moti hanno sfasamento temporale di che equivale a del pe-riodo T.

s A t= cosω

14

πω

πω2

02

− =

s A t= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

cos ω πω2

Ricordati che:

cos cos( ) cosx x x x+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − + = −π π2

sen

Ricorda ....


12.7 Energia

t (s)

E (J)

Etotale

Ec

Ec Uel

Uel

Ot

Il sistema massa-molla le cui oscillazioni sono di tipo armonico, è un esempiodi oscillatore armonico, sempre caratterizzato da due elementi: uno elastico(la molla di costante K), legato all’immagazzinamento di energia potenziale ela-stica, e uno inerziale (il corpo di massa m) legato all’accumulazione di energiacinetica.

Se confrontiamo le due equazioni, dopo aver raccolto nella seconda ω:

si vede che i due moti hanno sfasamento temporale di che equivale

alla metà del periodo T. I due grafici, simmetrici rispetto all’asse x, rappre-sentano moti armonici in opposizione di fase.

πω

πω

− =0

s A t= cosω s A t= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

cos ω πω

Analizziamo l’energia totale del sistema massa-molla.

Etot = Uel (energia potenziale) + Ec (energia cinetica) della molla di costante K del corpo di massa m

Etot = +

dalla relazione , si ricava K = ; quindi, dalle equazioni di s e v:

Etot = +

raccogliendo a fattor comune :

Etot = A2 (cos2ωt + sen2ωt)

e poiché cos2ωt + sen2ωt = 1, risulta:

Etot = A2

L’energia totale di un sistema oscillante massa-molla è:

• costante;• direttamente proporzionale al quadrato della frequenza (con ω = 2πf );• direttamente proporzionale al quadrato dell’ampiezza.

In sintesi: Etot = A212

K

12

mω2

12

mω2

12

2 2m Aω

12

mω2 (A cos ωt)2 12

m (− ω A sen ωt)2

ω = Km

mω2

12

K s2 12

m v2

ON LINEVIRTUAL LAB

Energia di un sistema massa-molla

12.8 Il pendolo

Equazione del pendolo


A una molla orizzontale di costante elastica K = 80 N/mè agganciato un blocco di metallo di massa m = 50 g, cheviene tirato, dalla posizione di equilibrio, per 5,0 cm esuccessivamente rilasciato.

Determinare:

a) il periodo delle oscillazioni;b) l’energia meccanica totale del sistema, dopo la tra-

zione;c) la massima velocità con cui si sposta il blocco.

a) Per determinare il periodo e la frequenza, calcolia -mo prima la pulsazione:

ω = = =− −Km

800 05

401 1

,s s

Calcoliamo poi il periodo:

b) L’energia meccanica del sistema isolato, conoscen -do l’ampiezza A = 5,0 cm = 0,05 m, è data da:

c) Utilizziamo il principio di conservazione dell’ener -gia per il sistema isolato:

La velocità massima si raggiunge nel centro delleoscillazioni, quando U = 0 per cui si ha:

da cui ricaviamo la velocità:

vK A

m= ⋅ = ⋅ ⋅ =

−2 480 25 100 05

2 0,

,m/s m/s

E mv mv K Atot = + ⇒ =0 12

12

12

2 2 2

E U mvtot = + 12

2

E K Atot = = ⋅ ⋅ ⋅ =−12

0 5 80 25 10 0 102 4, ,J J

T = = =2 6 2840

0 16πω

, ,s s

esempio

x

O Q

spostamento = 5 cm

= –Ks��

Fel

��Fmano

��

ON LINEVIRTUAL LAB

Il pendolo semplice

Il pendolo semplice è costituito da un corpo dimassa m puntiforme appeso a un filo inestensi-bile di lunghezza L fissato in un punto Q. Per piccoli angoli di oscillazione si tratta, comeil sistema massa-molla, di un oscillatore armo-nico: il ruolo della forza elastica in questo caso èsvolto dalla forza di gravità che agisce tra ilcorpo di massa m e la Terra.Nella posizione di equilibrio O, il peso P

→= mg→ e

la reazione vincolare del filo (tensione) T→

siequilibrano.

Q

O m

L

P mg�� =

T��

Spostiamo la massa m in una posizione B inmodo che l’angolo OQ�B = α. Come detto, ci limi-tiamo a considerare piccole oscillazioni: se si tol-lera un errore percentuale sul periodo inferioreallo 0,1%, per un angolo α ≤ 5° risulta corretta laseguente approssimazione:

arco OB segmento BHs ≅ d

(Si fa presente che se l’angolo risulta di circa 20°,l’errore percentuale sul periodo è comunque mi-nore dell’1%.)

Q

O

B

m

H

s

L

d

α

P mg� �=

T�

accelerazione


I triangoli HQB e RBM (P, Pn, Pt) sono simili. Infatti:

Tenendo conto che i lati opposti ad angoli congruenti sono in proporzione si ha:

QB : BH = BR : MRL : d = P : Pt

La componente della forza peso che determina il moto è Pt, mentre la compo-nente Pn non ha alcun effetto perché è annullata dalla reazione vincolare eser-citata dal filo:

ipotizzando piccole oscillazioni d ≅ s:

il segno indica che la forza Pt ha verso opposto a quello dello spostamento s

per il secondo principio della dinamica si ha:

in cui possiamo semplificare la massa m e ottenere l’accelerazione tangenzialeat che agisce sul pendolo.

m amgL

st = −

➤

PmgL

st = −

P P dL

t = ⋅

α

H

Q

O

B

R

M

nt

Km

s

L

d

α

T��

Pt

�

P�

Pn

�

I due triangoli sonosimili, cioè hanno ilati in proporzione e gli angoli ordina-tamente congruenti

per il primocriterio di

similitudine

BH�Q ≅ BM�R perché entrambi retti

HQ�B ≅ RB�M perché angoli corrispon -den ti formati dalle paralleleQH e BR tagliate da QM

[13]

La relazione tra accelerazione e spostamento è proprio quella che caratterizza imoti armonici: il moto del pendolo per piccole oscillazioni è quindi un moto ar-monico in cui la forza peso produce la forza di richiamo. Pertanto si ha, indi-cando per semplicità at = a:

relazione caratterizzante il moto armonico − ω2s

a =

per la [13] − gL

s

agL

st = −

➤

➤

− = −

=

=

ω

ω

ω

2

2

sgL

s

gL

gL

[14]

Scomponiamo P→

secondo due dire-zioni: una individuata dalla retta t,tangente in B all’arco OB, l’altra datadalla retta n ⊥ t e quindi coincidentecon la direzione del filo. Vediamo come ottenere P

→t e P

→n.

periodo


Ma in un moto armonico il periodo è dato da:

Sostituendo al posto di ω la [14] troviamo il periodo del pendolo.

[15]

Il periodo del pendolo, nel caso di piccole oscillazioni, non dipende:

• dalla massa m;

• dall’ampiezza delle oscillazioni (isocronismo delle piccole oscillazioni osservato per la prima volta da Gali-leo Galilei).

Accelerazione del pendolo. Dimostrazione in forma trigonometrica

12.9 Moto oscillatorio smorzato e forzato

T Lg

= 2π

T = 2πω

La bambina è stata spinta e all’iniziol’oscil lazione è molto ampia; tuttavia, secessano gli interventi esterni e la piccolasta ferma, lentamente ma inesorabil-mente il movimento diminuisce di am-piezza fino a cessare.Come in qualsiasi sistema oscillantereale, il sistema altalena cede nel tempoparte della sua energia complessiva al -l’ambiente esterno sotto forma di calore,a causa degli attriti. Per questo l’am piez -za delle oscillazioni, in assenza di inter-ven ti, tende a diminuire. In tal caso siparla di oscillazioni smorzate.

In figura è disegnata in rosso l’equazione y = Acos ωtche rappresenta l’oscillazione di una molla di ampiezzainiziale A nell’ipotesi in cui non sia presente alcun tipodi smorzamento. In blu è rappresentato il caso in cui le oscillazionidella molla siano smorzate, per cui il moto non è pe-riodico. L’equazione è del tipo y = A(t)cos ωt perché inquesto caso l’ampiezza A(t) non è costante ma dimi-nuisce al variare del tempo.

ampiezza

0 t (s)

A

–A

πω

2πω

πω

4 πω

6 πω

8

ON LINE

ON LINEVIRTUAL LAB

Oscillazioni smorzate


Supponiamo di agire in assenza di attrito. Se l’adultosposta l’altalena dalla posizione di equilibrio e la lasciaandare, il sistema oscillante si muove liberamente e hauna propria frequenza f0.Se l’uomo decide di spingere ritmicamente l’altalena,la forza con cui l’uomo agisce ha a sua volta una fre-quenza f. In questo caso si hanno delle oscillazioniforzate la cui ampiezza dipende da numerose varia-bili, tendendo ad aumentare man mano che la diffe-renza tra le due frequenze f0 ed f diminuisce.

Quando la frequenza della forza esterna f approssimala frequenza naturale del sistema f0 l’ampiezza delleoscillazioni raggiunge il valore massimo. Si ha in talcaso il fenomeno della risonanza, le cui conseguenzepossono essere anche catastrofiche.Una struttura meccanica (per esempio un grattacielo oun ponte) ha una o più frequenze naturali, per cui èimportante evitare che la costruzione venga sollecitatada forze esterne che abbiano una frequenza vicina aquelle naturali: infatti, le oscillazioni potrebbero rag-giungere un’ampiezza tale da compromettere la stabi-lità dell’intera struttura.

È proprio quello che accadde in California nel 1989 in occasione di un terremoto di magnitudo 7,1:a causa della particolare natura del terreno di quella zona, la frequenza delle onde sismiche entròin risonanza con una frequenza naturale dell’autostrada. L’ampiezza delle oscillazioni causò ilcrollo di una carreggiata sopraelevata sulla strada sottostante.

Pesarsi con... le onde: la bilancia inerziale

Un astronauta a bordo di uno shuttle in or-bita attorno alla Terra si trova in condizionidi microgravità, per cui può galleggiare libe-ramente nell’abitacolo. Tuttavia, è un errorecomune quello di pensare che il suo peso –inteso come forza gravitazionale attrattivache il nostro pianeta esercita su di lui – sia...svanito a causa della grande distanza. Inrealtà tale peso non è affatto scomparso ma,sia pure ridotto, viene equilibrato dalla forzacentrifuga che agisce in direzione opposta,dato che lo shuttle, per restare in orbita enon cadere, deve muoversi di moto circolarecon una ben precisa velocità tangenziale. Ma come fa allora l’astronauta a “pesarsi”per controllare il proprio stato fisico?

FLASH

Non potendo ovvia-mente ricorrere al -la normale bilan-cia, deve utilizzareuno strumento di-verso chiamato bi-lancia inerziale. Sitratta di una sorta diseggiolino, agganciato auna struttura fissa, chepuò oscillare avanti e indietrograzie a delle molle che hanno una data co-stante elastica K. Dalla misurazione della frequenza di oscilla-zione si risale alla massa della persona se-

duta, grazie alla relazione , dove

m è la massa totale, comprendente anchequel la nota del dispositivo.

f Km

= 12π


IDEE e PERSONAGGI

Il pendolo di Foucault

Leon Foucault (1819-1868), brillante speri-mentatore, fornì la spiegazione di un feno-meno già noto da tempo: il piano di oscilla-zione di un pendolo non è costante, bensìruota in senso orario attorno alla verticale.Nel 1851 egli eseguì a Parigi un famoso espe-rimento utilizzando un pendolo costituitoda una sfera di 28 kg appesa nel Pantheontramite un cavo lungo 67 m. Sulla sfera era disposta una punta che la-sciava delle tracce nella sabbia di cui era co-perta la base. Se la Terra fosse stata un sistema di riferi-mento inerziale, il piano di oscillazione delpendolo sarebbe dovuto rimanere inalte-

rato, invece durante l’esperimento lentamente cambiava direzione. La rotazione del piano di oscillazione delpendolo in senso orario richiedeva 31 ore, 47 minuti e 40 secondi.

Per capirne le ragioni immaginiamo un esperimento ideale che si svolga al Polo Nord in un sistema perfetta-mente inerziale. Appendiamo il pendolo a un supporto che possa ruotare intorno alla verticale con direzionecoincidente con quella dell’asse terrestre. Mettiamo in movimento il pendolo e poi facciamo ruotare il supporto.Dato che l’attrito nel punto di sospensione del pendolo non è significativo, il supporto non trascina nella propriarotazione il pendolo.Un osservatore inerziale che si trova fuori dalla piattaforma (ignoriamo per ora la rotazione della Terra) de-scrive il fenomeno dicendo: “Il pendolo oscilla sempre da A a B e quindi il piano di oscillazione è invariante, mala piattaforma ruota e quindi modifica la propria posizione rispetto al pendolo”.

Polo Nord

supporto che ruota

A BO

Polo Nordpiano dioscillazionedel pendolo

A BO

osservatore inerzialei


Un osservatore non inerziale posizionato sulla piattaforma ruotante direbbe invece: “Io sono fermo e inizial-mente il pendolo oscilla da A a B; dopo un po’ di tempo la situazione è cambiata e ora il pendolo oscilla da A1 aB1. Quindi il piano di oscillazione del pendolo si sta modificando, perché il punto di inizio dell’oscillazione è di-ventato A1 cioè si allontana da me che sono fermo e sta ruotando in senso orario”.Questa è proprio la situazione in cui si trovava Foucault quando eseguì l’esperimento. La piattaforma ruotanteera... la Terra!Rimane da capire perché la durata della rotazione del piano di oscillazione del pendolo a Parigi non fosse esatta-mente, come succede al Polo Nord, 23 ore 56 minuti e 4 secondi, vale a dire il tempo che la Terra impiega a com-piere una rotazione completa attorno al proprio asse.La situazione risulta più complessa di quella del pendolo al Polo Nord, perché gli effetti della rotazione terrestrevariano al variare della latitudine e quindi, per spiegare la differente durata del fenomeno, diventa indispensabilericorrere alla forza di Coriolis:

→FCor = − 2 mω→ × v→ con ω→ velocità angolare del sistema ruotante e v→ velocità del

corpo di massa m in movimento rispetto al sistema stesso. Si tratta di una forza apparente che viene introdottadall’osservatore non inerziale per rimanere in accordo con i principi della dinamica. Tale forza agisce sempreperpendicolarmente allo spostamento, è proporzionale alla velocità della massa m in movimento e permette ditener conto degli effetti della latitudine sul moto dei corpi. La forza di Coriolis nell’emisfero Nord agisce a destrarispetto al verso di v→.

Nel nostro caso, durante una semioscillazione del pendolo a partire da O, la forza diCoriolis lo devia verso destra rispetto alla direzione del moto, per cui esso, invece diandare in A, si sposta in A1, ma nella successiva semioscillazione la velocità cambia disegno, di conseguenza si inverte anche la forza di Coriolis che quindi sposta il puntod’arrivo dell’oscillazione sempre in senso orario. In questo modo gli effetti delle duedeviazioni che si hanno durante un’oscillazione completa si sommano e complessiva-mente il pendolo inizia l’oscillazione successiva con il piano di rotazione leggermentespostato di un angolo α in senso orario per un osservatore terrestre. Di conseguenza,dato che anche il piano di oscillazione ruota in senso orario, il tempo di una rotazionecompleta risulta incrementato in confronto al Polo Nord.L’ampiezza dell’angolo α è correlata alla latitudine ed è alla base delle diverse duratedelle rotazioni del piano di oscillazione del pendolo a seconda della latitudine. Ri-mane da osservare che se poniamo il pendolo all’equatore abbiamo che il supportonon ruota attorno alla verticale e quindi non vi è nessuna rotazione apparente delpiano del pendolo: in accordo con il fatto che la forza di Coriolis è nulla all’equatore.

A1

B1 B

A

Emisfero Norddella TerraO

α

FCo

�

FCo

�

v�

v�

A1

B1

Polo Nordpiano di oscillazionedel pendolo

Polo Nord

osservatorenon inerziale

A B


Position, Velocity, and Acceleration as a Function of TimeWe can obtain an expression for the position of an object moving with simpleharmonic motion as a function of time by returning to the relationship be-tween simple harmonic motion and uniform circular motion. Consider a ballon the rim of a rotating turntable of radius A, as in Figure 1. We refer to thecircle made by the ball as the reference circle for the motion. We assume thatthe turntable revolves at a constant angular speed ω. As the ball rotates on thereference circle, the angle θ made by the line OP with the x-axis changes withtime. Meanwhile, the projection of P on the x-axis, labeled point Q, movesback and forth along the axis with simple harmonic motion.From the right triangle OPQ, we see that cos θ = x/A. Therefore, the x-coordi-nate of the ball is

x = A cos θ

Because the ball rotates with constant angular speed, it follows that θ = ωt, sowe have

x = A cos(ωt) [1]

In one complete revolution, the ball rotates through an angle of 2π rad in atime equal to the period T. In other words, the motion repeats itself every Tseconds. Therefore,

[2]

where f is the frequency of the motion. The angular speed of the ball as itmoves around the reference circle is the same as the angular frequency of theprojected simple harmonic motion. Consequently, Equation 1 can be written

x = A cos(2πft) [3a]

This cosine function represents the position of an object moving with simpleharmonic motion as a function of time, and is graphed in Figure 2a. Becausethe cosine function varies between 1 and – 1, x varies between A and –A. Theshape of the graph is called sinusoidal.Figures 2b and 2c represent curves for velocity and acceleration as a functionof time.

To find the equation for the velocity, use equations and

[3a] together with the identity cos2 θ + sin2 θ = 1, obtaining

v = – Aω sin(2πft) [3b]

were we have used the fact that . The ± sign is no longer needed, be-

cause sine can take both positive and negative values. Deriving an expression

for the acceleration involves substituting Equation [3a] into Equation ,Newton’s second law for springs:

a = – Aω2cos(2πft) [3c]

The detailed steps of these derivations are left as an exercise for the student.Notice that when the displacement x is at a maximum, at x = A or x = − A, thevelocity is zero, and when x is zero, the magnitude of the velocity is a maxi-

a km

x= −

ω = k m/

v km

A x= ± −( )2 2

ω = θ = π = πΔΔt T

f2 2

CL

ILSCIENTIFIC ENGLISHWaves

Figure 1A reference circle. As theball at P rotates in a circlewith uniform angular speed,its projection Q along the x-axis moves with simpleharmonic motion.


mum. Further, when x = + A, its most positive value, the acceleration is a max-imum but in the negative x-direction, and when x is at its most negative posi-tion, x = − A, the acceleration has its maximum value in the positive x-direc-tion. These facts are consistent with our earlier discussion of the points atwhich v and a reach their maximum, minimum, and zero values.

The maximum values of theposition, velocity, and accelera-tion are always equal to the mag-nitude of the expression in frontof the trigonometric function ineach equation, because the largestvalue of either cosine or sine is 1.

Figure 3 illustrates one experi-mental arrangement that demon-strates the sinusoidal nature ofsimple harmonic motion. An ob-ject connected to a spring has amarking pen attached to it. Whilethe object vibrates vertically, asheet of paper is moved horizon-tally with constant speed. The pentraces out a sinusoidal pattern.

Figure 3An experimental apparatusfor demonstrating simpleharmonic motion. A pen attached to theoscillating object traces outa sinusoidal wave on themoving chart paper.

Figure 2(a) Displacement, (b)velocity, and (c) accelerationversus time for an objectmoving with simpleharmonic motion under theinitial conditions x0 = A andv0 = 0 at t = 0.

If the amplitude of a system moving in simple harmonic motion is doubled,which of the following quantities doesn’t change? (a) total energy, (b) maxi-mum speed, (c) maximum acceleration, (d) period.

Quick Quiz

from SERWAY/VUILLE, Essentials of College Physics, © 2007


Oscillazioni armoniche

• Una massa m soggetta a una forza elastica F→

= − K ⋅ s→ si muove di moto armonico.

• Il moto armonico può essere descritto come il moto della proiezione sul diametro di un punto che simuove di moto circolare uniforme.

• L’equazione oraria del moto armonico è: s = Acos ωt (dove ω è la pulsazione data da ω = = 2πf ).

• La velocità del moto armonico è data da: v = − ωAsen ωt; è massima al centro dell’oscillazione ed ènulla agli estremi del diametro.

• L’accelerazione del moto armonico è data da: a = − ω2 ⋅ Acos ωt; è massima agli estremi del diame-tro e nulla al centro dell’oscillazione.

• La relazione fondamentale tra accelerazione e spostamento che caratterizza un moto armonico è:

a = − ω2 ⋅ s

• Le principali grandezze che caratterizzano il moto armonico nel caso molla-massa sono:

2πT

IN SINTESIIN SINTESIIN SINTESI

Definizione Formule Unità di misura

Ampiezza A Massima distanza dalla posizione di equilibrio m

Periodo TTempo impiegato per compiere unaoscillazione completa T m

K= p2 s

Frequenza fNumero di oscillazioni complete compiutenell’unità di tempo f K

m=

p1

2Hz

Pulsazione ω Grandezza strettamente correlata allafrequenza w = K

mrad/s

Fase ωtAngolo descritto dal punto che si muove di motocircolare uniforme

rad

• Se al tempo t = 0 il punto P′ non coincide con l’estremo destro del diametro Q allora l’equazione orariaassume la forma: s = Acos(ωt + α0) dove α0 = QO�P0 si dice fase iniziale e ωt + α0 si dice fase del moto.

• L’energia totale di un sistema massa-molla è costante e vale: .

Il pendolo

• Il pendolo semplice è costituito da un corpo di massa m puntiforme appeso a un filo inestensibiledi lunghezza L fissato in un punto Q.

• Per piccole oscillazioni l’accelerazione è data da:

• Il periodo del pendolo semplice è:

in cui si nota che le piccole oscillazioni non dipendono dalla massa e dall’ampiezza (isocronismo).Il moto oscillatorio si definisce smorzato quando l’ampiezza delle oscillazioni tende a diminuire.Il moto oscillatorio si definisce forzato se in un sistema che ha una frequenza naturale f0 si inter-viene con una forza esterna di frequenza f . Si ha il fenomeno della risonanza quando i valori delledue frequenze tendono a coincidere.

T Lg

= 2π

agL

st = −

E Ks mv KAtot = + =12

12

12

2 2 2


STRUMENTIDI CONSOLIDAMENTO E VERIFICA

Completa le frasi

1 Spostando dalla posizione di equilibrio un corpo di massa m

attaccato a una molla, su di esso agisce una ....................................

.................................... che tende a riportare la massa nella sua

........................................................................... . Indicando con K la costante

elastica della molla, l’espressione analitica di tale forza è

F→

= ............................ dove con s si indica lo ..................................................

.................................................... . I vettori F→

ed →s hanno ..................................

opposto. Lasciando la massa libera di muoversi si evidenzia

un moto di tipo ............................................. .

2 La pulsazione di un moto armonico è data dall’espressione

analitica ω = ........................................ ed è .......................................... propor -

zionale al periodo. All’aumentare della frequenza, la pulsa-

zione ...................................... in quanto pulsazione e frequenza sono

........................................ proporzionali. Nel SI, la pulsazione si misura

in ....................... mentre la frequenza si misura in ............................. .

3 La legge oraria di un moto armonico è s = ..................................... ,

l’equazione della velocità è ..................................................... , l’accele -

razione è ....................................................... .

4 Nel moto armonico di un punto che oscilla su un diametro

di una circonferenza la velocità è ...................................................... agli

estremi ed è ..................................................... al centro; invece,

l’................................. è nulla al centro e massima ................................... .

5 Il periodo del moto armonico di una molla di costante ela-

stica K a cui è agganciato in posizione orizzontale una mas -

sa m, ..................................................................... all’aumentare della

massa e ............................................................... all’aumentare della co-

stante elastica. Se la costante elastica aumenta, la frequenza

............................................................. .

6 L’energia totale di un sistema massa-molla è data dal -

l’espressione analitica Etot = ................................ dove con K si in-

dica ........................................................................................... espressa in

........................ e con A si indica ....................................................................

misurata in ............................ .

7 L’accelerazione di una massa appesa a un pendolo sem-

plice è .................................................. proporzionale alla lunghezza

del filo e ................................................... proporzionale allo sposta-

mento rispetto alla posizione di equilibrio. Questa relazione

vale sotto l’ipotesi di ................................................................... .

8 Il periodo di un pendolo semplice dipende dalla .....................

................................. del filo e dal valore dell’............................................

............................... . Nel caso di piccole oscillazioni, il periodo

non dipende dalla ..................................... appesa al filo e dall’am -

piezza delle oscillazioni. Quest’ultimo fenomeno viene defi-

nito .................................................. delle piccole oscillazioni.

3 La posizione all’istante t = 100 ms della particella il cui moto èdescritto dall’equazione oraria s = (0,2 m)cos[(3 s-1) ◊ t] è:

− 0,191 m 0,191 m

191 mm 0,02 mm

4 La frequenza con cui oscilla una particella la cui equazione oraria

è vale:

0,19 Hz 1,2 Hz

0,83 Hz 5,2 HzB D

A C

s s t= ( , ) cos0 2 53

1m π −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

B D

A C

Test a scelta multipla1 La posizione all’istante t = 0,5 s della particella il cui moto è de-

scritto dall’equazione oraria s = (0,1 m)cos[(2 s-1) ◊ t] è:

540 mm –50 mm

54 mm –1 m

2 La posizione all’istante t = 12 s della particella il cui moto è de-scritto dall’equazione oraria s = (0,2 m)cos[(3 s-1) ◊ t] è:

− 25,6 mm

25,6 mm

0,256 m

− 0,256 mD

C

B

A

B D

A C


5 Il periodo di oscillazione relativo all’equazione oraria s = (1,2 m) cos[(0,3 s-1) ◊ t] vale:

4,0 ⋅ 10−2 s 6,7 s

0,15 s 21 s

6 Nell’equazione del moto armonico s = (2 cm)cos(3t):

la frequenza è pari a 3 Hz

il periodo è pari a 3 s

la fase è pari a 3t

all’aumentare di t (per ogni t), aumenta s

7 In un moto armonico di frequenza 0,3 Hz la pulsazione vale:

1,9 s 1,9 s−1

21 s−1 21 s

8 In un moto armonico di pulsazione 10 rad/s, la frequenzavale:

1,6 Hz 62,8 s

1,6 s 62,8 Hz

9 Un moto periodico è sempre armonico. Un moto armonico èsempre periodico. Le due precedenti affermazioni sono rispettivamente:

vera, vera falsa, vera

vera, falsa falsa, falsa

10 In un moto armonico:

la velocità è costante

la pulsazione è costante

la velocità e la pulsazione sono costanti

la velocità non dipende dalla pulsazione

11 In un moto armonico di ampiezza 2,0 cm e frequenza 5,0 Hz,il modulo della velocità massima è:

0,63 m/s 6,3 m/s

6,3 cm/s 63 m/s

12 In un moto armonico di equazione s = Acos(wt), con am-piezza 20 cm e velocità massima 1,8 m/s, la velocità all’istantet = 0,3 s è:

−1,8 m/s + 4,3 m/s

+ 0,77 m/s − 0,77 m/s

13 Se in un moto armonico l’ampiezza delle oscillazioni raddop-pia e la frequenza si dimezza, allora la velocità massima:

raddoppia rimane uguale

si dimezza non si può stabilireD

C

B

D

C

A

D

C

D

C

B

D

C

A

D

C

D

C

B

A

D

C

B

A

B

A

B

A

B

A

D

C

B

A

B

A

14 Se in un moto armonico il periodo si dimezza e l’ampiezzadelle oscillazioni si dimezza, allora la velocità massima:

raddoppia

si dimezza

rimane uguale

non si può stabilire

15 In un moto armonico, la velocità massima è:

direttamente proporzionale al tempo

inversamente proporzionale alla pulsazione

inversamente proporzionale all’ampiezza del moto

inversamente proporzionale al periodo del moto

16 Nel moto armonico, l’accelerazione è direttamente proporzio-nale:

al tempo

alla frequenza

allo spostamento

alla velocità

17 Il moto descritto dall’equazione oraria s = (0,8 m)cos[(1,5 s-1) ◊ t]ha massima accelerazione in modulo pari a:

0,8 ms−2 1,8 ms−2

1,2 ms−2 2,3 ms−2

18 Dimezzando la frequenza delle oscillazioni in un moto armo-nico, a parità di ampiezza, l’accelerazione massima:

raddoppia

si dimezza

rimane uguale

diventa un quarto

19 Nel moto armonico di una molla di costante elastica K a cui èagganciata in posizione orizzontale una massa m, il periodonon dipende:

dallo spostamento dalla posizione di equilibrio

dalla costante elastica K

dalla massa m

dalla pulsazione ω

20 In un moto armonico di una molla di costante elastica K a cuiè agganciata in posizione orizzontale una massa m, al cresceredi K:

aumenta il periodo

aumenta la frequenza

diminuisce la pulsazione

aumenta l’ampiezza delle oscillazioniD

C

B

A

D

C

B

A

C

C

D

C

B

A

DB

CA

B

D

A

D

C

B

A

B

D

A

21 In un moto armonico di una molla di costante elastica K a cui èagganciata in posizione orizzontale una massa m, i vettori di ac-celerazione e spostamento rispetto alla posizione di equilibrio:

sono sempre concordi

sono sempre discordi

possono essere concordi e discordi

sono sempre non nulli

22 La pulsazione di un moto armonico di una molla di costanteelastica 20 N/cm a cui è agganciata in posizione orizzontaleuna massa m = 200 g è:

10 000 rad/s

100 rad/s

15,9 rad/s

0,32 rad/s

23 La costante elastica di una molla a cui è agganciata in posi-zione orizzontale una massa pari a 20 g che oscilla con fre-quenza pari a 2 Hz è:

0,2 N/m 1,6 N/m

1 N/m 3,2 N/m

24 Una molla di costante elastica 30 N/mm a cui è agganciata inposizione orizzontale una massa oscilla con periodo di 2 ms.La massa è pari a:

3000 kg 3 kg

300 kg 3 g

25 L’energia totale di un sistema massa-molla rispetto alla pulsa-zione del moto è:

direttamente proporzionale

direttamente proporzionale al quadrato

inversamente proporzionale

inversamente proporzionale al quadrato

26 L’energia totale di un sistema massa-molla:

dipende solo dalla massa e dall’ampiezza dell’oscil -lazione

dipende dalla massa e dall’ampiezza dell’oscillazione

non dipende dalla massa

è funzione del tempo

27 L’energia cinetica di un sistema massa-molla:

è nulla quando lo spostamento dalla posizione diequilibrio è nullo

è massima quando lo spostamento dalla posizione diequilibrio è massimo

è nulla quando lo spostamento dalla posizione diequilibrio è massimo

è sempre non nullaD

C

B

A

D

D

C

C

B

D

C

A

D

C

B

A

B

A

B

A

D

C

B

A

D

C

B

A

28 L’energia potenziale di un sistema massa-molla:

è massima a metà del periodo del moto

è nulla a metà del periodo del moto

dipende solo dalla costante elastica della molla

assume solo una volta il valore massimo nell’arco di unperiodo

29 L’ampiezza del moto di una molla di costante elastica 30 N/mm a cui è agganciata in posizione orizzontale unamassa è 2 cm. L’energia totale è:

6 J 60 kJ

6 ⋅ 10−3 J 30 kJ

30 Una massa collegata a una molla di costante elastica 3 N/moscilla orizzontalmente. La sua energia totale è pari a 20 J.L’ampiezza del moto vale:

17,7 m 3,7 m

2,4 m 8,1 ⋅ 10−6 m

31 Il periodo di oscillazione di un pendolo di lunghezza 1 m checompie piccole oscillazioni è:

1 s

2 s se subisce un’accelerazione di gravità pari a 9,81 m/s2

2 s ovunque si trovi

funzione della massa appesa

32 Dato un pendolo che compie piccole oscillazioni, se la lun-ghezza del filo raddoppia e l’accelerazione di gravità si di-mezza, il suo periodo:

raddoppia

si dimezza

rimane costante

dipende dalla massa appesa

33 Una molla a cui è agganciata in posizione orizzontale unamassa di 400 g oscilla con frequenza di 20 Hz. La costante elastica della molla vale:

38 N/m 1,9 N/mm

0,6 N/m 6,3 ⋅ 103 N/m

34 La frequenza di oscillazione di un pendolo semplice che com-pie piccole oscillazioni:

diminuisce all’aumentare della lunghezza del filo

diminuisce all’aumentare della massa appesa

dipende solo dal valore dell’accelerazione di gravità

è indipendente dalla lunghezza del filo

D

C

B

A

D

C

B

A

D

C

D

C

D

C

D

C

B

A

B

A

B

A

B

A

D

C

B

A


35 La frequenza di un pendolo di lunghezza 20 cm che compiepiccole oscillazioni è:

1,1 Hz

2,2 Hz

7,8 Hz

11 Hz

36 La lunghezza del filo di un pendolo semplice che compie pic-cole oscillazioni:

è direttamente proporzionale alla pulsazione

è indipendente dal periodo di oscillazione

è direttamente proporzionale al quadrato della fre-quenza

è inversamente proporzionale al quadrato della pul-sazione

37 La lunghezza di un pendolo che compie piccole oscillazioni diperiodo 2 s è:

0,99 cm 0,06 m

0,99 m 0,12 m

38 La lunghezza di un pendolo che compie piccole oscillazionicon la frequenza di 0,3 Hz è:

1,7 m

2,8 m

5,2 m

17 m

39 La lunghezza di un pendolo che compie piccole oscillazionicon frequenza pari a 5 Hz è:

1 cm

2 cm

1 m

0,5 cm

C

D

C

B

A

B

D

A

B D

A C

D

C

B

A

D

C

B

A

40 La lunghezza del filo al quale è appesa la massa di un pendoloaumenta con la temperatura, di conseguenza, un orologio apendolo:

rallenta all’aumentare della temperatura

rallenta al diminuire della temperatura

rallenta o diminuisce in base alla massa appesa

non risente di variazioni di temperatura

41 Se raddoppiamo l’ampiezza delle piccole oscillazioni di unpendolo, il periodo:

raddoppia

si dimezza

è lo stesso

non si può stabilire, dipende dalla lunghezza del pen-dolo

42 Se a un pendolo che oscilla sostituiamo la massa con una piùpiccola, la frequenza delle oscillazioni:

aumenta

diminuisce

è la stessa

non si può stabilire, dipende dalla lunghezza del pen-dolo

43 L’accelerazione di gravità sulla Luna è circa 1/6 di quella ter-restre. Il rapporto fL /fT tra la frequenza con cui oscilla un pendolosulla Luna e quella che si ha sulla Terra, è:

0,17

0,41

2,4

6,0D

C

B

A

D

C

B

A

D

C

B

A

D

C

B

A


Esercizi

1 L’ampiezza di un moto armonico è 2 cm e il periodo è 1 s.Scrivi l’equazione oraria del moto. Quanto vale l’ampiezzadell’oscillazione con t = 200 ms? Rappresenta graficamente l’equazione del moto nel pianotempo-ampiezza.

[(2 cm)cos(2p t); 6,2 mm]

12.2 Equazione oraria e grafico del moto armonico

2 Un moto armonico ha frequenza 20 Hz e ampiezza 1 m.Scrivi l’equazione oraria del moto. Quanto vale l’ampiezzadell’oscillazione con t = 9 ms? Rappresenta graficamentel’equazione del moto nel piano tempo-ampiezza utilizzandoun’opportuna scala. [(1 m)cos(40p t); 0,43 m]

3 Determina frequenza, periodo, ampiezza, pulsazione di un

moto armonico di equazione .

[0,33 Hz; 3,0 s; 0,4 m; 2,1 s-1]

s s t= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

−( , )cos0 4 23

1m π


4 Determina frequenza, periodo, ampiezza, pulsazione di unmoto armonico di equazione s = (0,8 m)cos [(3 π s−1)t].

[1,5 Hz; 0,7 s; 0,8 m; 3p rad/s]

Esercizio svolto5 È dato un moto armonico con equazione s = (2 m)cos[(3 s−1) t].Qual è il minore tra i valori di t positivi per cui si ha s = 1 m?

[0,35 s]

Trattandosi di un moto periodico, si avranno infiniti valori di tper i quali si ha s = 1 m. Per trovare i valori positivi sostituiamo nell’espressione del mo -to s = 1 m:

s = (2 m)cos [(3 s−1) t]

1 = 2cos(3t)

da cui:cos(3t) = 0,5

Quest’ultima espressione permette di ricavare:

t = arccos(0,5)/3 = 0,35 s

Per comprendere meglio le caratteristiche del moto, determi-niamo il periodo T osservando che:

ωt = 3

per t = 1 s ω = 3, da cui:

Si ha quindi T = 2,1 s.Dato che il periodo è T = 2,1 s, a partire da 0,35 s e ogni 2,1 ss = 1 m.

6 È dato un moto armonico con equazione s = (3 m)cos[(2 s−1) t].Qual è il più piccolo valore di t positivo per cui si ha s = − 2 m?

[1,15 s]

7 È dato un moto armonico con equazione:

s = (2 cm)cos[(π s−1)t]

Determina frequenza, periodo, ampiezza, pulsazione. Qual è ilpiù piccolo valore di t positivo per cui si ha s = − 1 mm? Quantovale lo spostamento per t = 0,2 s?

[0,5 Hz; 2 s; 2 cm; p rad/s; 0,52 s; 16 mm]

2 3πT

=

ENGLISH The position of a particle is given by:

x = (5 cm) cos(5πt)

What is the frequency, the period and the amplitude ofthe particle’s motion? What are the two times in a periodthat the particle is at its equilibrium position?

[2.5 Hz; 0,4 s; 5 cm; 0.1 s; 0.3 s]

8

ENGLISH The position of a particle is given by:

x = (2 m) cos(12πt)

What is the frequency, the period and the amplitude ofthe particle’s motion? What are the two times in a periodthat the particle is at its equilibrium position?

[1.9 Hz; 0.52 s; 2 m; 0.13 s; 0.39 s]

9

10 Dal grafico che descrive la legge oraria di un moto armonicocui è soggetto un corpo di massa 2,5 kg, tra gli istanti t = 0 s e t = 1,2 s, deduci:a) l’ampiezza;b) gli istanti in cui si ha massima velocità;c) gli istanti in cui la velocità è nulla;d) la massima velocità in modulo;e) la massima intensità della forza agente sul corpo.

[a) 8 cm; b) 0,3 s, 0,9 s; c) 0 s, 0,6 s, 1,2 s; d) 0,42 m/s; e) 5,5 N]

Esercizio svolto11 Un piccolo oggetto oscilla con moto armonico secondo lalegge s = A cos(ω t), con un’ampiezza di 5,0 cm e un periodo di2,0 s. Determina in quali posizioni, nel primo periodo di oscilla-zioni, il modulo della velocità è metà della velocità massima.

[±4,3 cm rispetto al centro di oscillazione]

Nel moto descritto essendo il periodo T = 2,0 s la pulsazione vale:

La velocità nel moto armonico è data da v = − ω A sen(ωt) e lavelocità massima in modulo si ha quando sen(ω t) = 1, equindi vmax = ω A.La relazione tra le velocità è:

semplificando:

e risolvendo l’equazione, si ha:

Per

Per

12 Le oscillazioni armoniche di una massa hanno un’ampiezzadi 4,0 cm e un periodo di 2,0 s. Determina in quali posizioni,nel primo periodo di oscillazione, il modulo della velocità è unterzo di quello della velocità massima. [±3,8 cm]

s (cm)

t (s) 0,3

+8

–8

0,6 0,9 1,2

ω π ω πt s A t= = = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

56

5 0 56

rad si ha cmcos( ) ( , )cos == − 4 3, cm

ω π ω πt s A t= = = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=6

5 06

4rad si ha cmcos( ) ( , )cos ,,3 cm

ω π ω πt t= =6

56

rad oppure rad

sen ωt = 12

v v= 12 max

➤ ➤

ω ω ωA t Asen = 12

ω π π π= = =2 22T

rad/s rad/s

12.3 Velocità del moto armonico

Indice · 2019. 4. 10. · Superfici equipotenziali, 607 Condensatore, 611 L’esperienza di...

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