Sapienza Universita’ di Roma

Dispensa per il corso di Segnali Deterministici e Stocastici

Corso di Laurea in Ingegneria Clinica

Impulso e funzioni generalizzate

Lorenzo Piazzo

AA 2016/17

Versione del 5/10/2016

Indice

1 Introduzione e notazioni 2

2 Limiti generalizzati 2

3 Funzioni generalizzate e impulso 4

4 Delta successioni e integrali generalizzati 9

5 Impulso discreto 11

6 Esempi e applicazioni 12

Riferimenti bibliografici

[1] A. Papoulis, The Fourier integral and its applications. McGraw-Hill, 1987.

1

1 Introduzione e notazioni

In questa dispensa introduciamo il concetto di funzione generalizzata e ne studiamo le proprieta’ princi-

pali. Ci concentriamo sulla funzione generalizzata piu’ importante per il nostro corso, e cioe’ l’ impulso,

introdotto, verso il 1930, dal fisico inglese Paul Dirac. Ci limitiamo agli aspetti utili per gli scopi del

corso senza pretese di completezza e rigore. Nella trattazione seguiamo da vicino quella del Papoulis [1],

a cui si rimanda il lettore per una panoramica piu’ ampia.

Notazioni. Nella dispensa indichiamo le funzioni (reali o complesse) di una variabile reale continua con

la notazione a parentesi tonde, es. f(t). In particolare, consideriamo funzioni definite per t che va da

−∞ a +∞ e continue su tutto l’asse tranne che, al piu’, in un insieme discreto di punti. Per concretezza,

si puo’ pensare la variabile indipendente t un tempo e la funzione un segnale, ma la trattazione e’ del

tutto generale. Indichiamo le funzioni (reali o complesse) di una variabile intera (successioni o sequenze)

con la notazione a pedice o a parentesi quadre, es. fn, f [n], dove n e’ una variabile intera che va da −∞

a +∞. In alcune definizioni, usiamo il simbolo a.= b per indicare che l’espressione di sinistra e’ definita

da e va’ sostituita con quella di destra. Per sommatorie od integrali estesi da −∞ a +∞, omettiamo gli

estremi, cioe’ poniamo

∫

f(t)dt.=

∫ ∞

−∞

f(t)dt∑

n

fn.=

∞∑

n=−∞

fn.

Infine, usiamo la funzione rettangolare, definita dalla seguente espressione

rect(t) =

1 |t| < 1/2

1/2 |t| = 1/2

0 |t| > 1/2.

Altre notazioni e funzioni verranno introdotte quando serviranno.

2 Limiti generalizzati

Sia assegnato un insieme di funzioni del tempo, indicizzate con un parametro T reale positivo e indicate

con fT (t). Consideriamo la seguente espressione

∫

limT→0

fT (t)dt

dove viene valutato l’integrale di un limite di una successione di funzioni appertenenti all’ insieme. Come

e’ noto dall’ analisi, sotto opportune ipotesi, e’ possibile scambiare l’operazione di limite con quella di

integrale e valutare l’espressione anche come

limT→0

∫

fT (t)dt.

D’ altra parte esistono casi in cui le due espressioni danno risultati diversi. Facciamo un esempio.

Supponiamo che l’ insieme fT (t) sia dato da

fT (t) =1

Trect(t/T ). (1)

Come e’ facile verificare, si tratta di rettangoli con base T e altezza 1/T , centrati sull’origine. Studiamo

la funzione a cui tende fT (t) quando T → 0. La situazione e’ quella mostrata in figura 1. Dalla figura si

vede che, per t 6= 0, la successione tende a zero, mentre per t = 0 la successione diverge verso infinito. La

2

Figura 1: Le funzioni rettangolari per tre valori di T , con T3 > T2 > T1.

funzione limite ha quindi una singolarita’ in zero, che e’ pero’ eliminabile visto che sia il limite da destra

che quello da sinistra sono pari a zero. In conclusione abbiamo

limT→0

fT (t) = 0.

A questo punto valutiamo le due espressioni che abbiamo introdotto prima. Per la prima abbiamo∫

limT→0

fT (t)dt = 0

dato che, come abbiamo appena visto, la funzione integranda tende a zero. Per la seconda abbiamo

limT→0

∫

fT (t)dt = 1

dove il risultato segue per il fatto che le fT (t) hanno tutte area unitaria. Come si vede le due espressioni

hanno valore diverso.

Consideriamo un altro esempio, con lo stesso insieme di funzioni. Valutiamo l’espressione∫

limT→0

fT (t)x(t)dt (2)

dove x(t) e’ una generica funzione, continua in 0. Passando al limite si ottiene ancora un risultato nullo,

visto che la funzione integranda si annulla. Invece, scambiando limite e integrale otteniamo

limT→0

∫

fT (t)x(t)dt = x(0) (3)

come si verifica facilmente1.1Visto che la funzione rect(t/T ) e’ pari a zero al di fuori dell’ intervallo [−T/2, T/2] e unitaria in questo intervallo, risulta

limT→0

∫fT (t)x(t)dt = lim

T→0

1

T

∫ T/2

−T/2x(t)rect(t/T )dt = lim

T→0

1

T

∫ T/2

−T/2x(t)dt.

Se x(t) e’ continua in 0, per il teorema della media abbiamo∫ T/2

−T/2x(t)dt = Tx(θ)

dove θ e’ un punto opportuno dell’ intervallo [−T/2, T/2]. Sostituendo nell’ultima esprsssione risulta

limT→0

∫fT (t)x(t)dt = lim

T→0

1

TTx(θ) = lim

T→0

x(θ) = x(0).

3

Gli esempi precedenti mostrano che in alcuni casi l’ordine con cui vengono eseguite le operazioni di

limite e integrale cambia il risultato dell’espressione. Siamo in presenza di una ambiguita’ matematica.

D’ altra parte valutare il limite dentro l’integrale porta a un risultato identicamente nullo, di nessuna

utilita’. Invece il risultato che si ottiene portando il limite fuori dall’integrale e’ utile per i nostri scopi.

Allora, d’ora in poi, in presenza di una ambiguita’ del tipo visto prima, decidiamo, per convenzione, di

usare il risultato che si ottiene portando il limite fuori dall’ integrale. Possiamo formalizzare questo fatto

introducendo il concetto di limite generalizzato. In particolare, un limite generalizzato, indicato con lim∗,

e’ un operatore che viene usato solo sotto il segno di integrale, in espressioni del tipo (2), e viene valutato

secondo la seguente definizione∫

∗

limT→0

fT (t)x(t)dt.= lim

T→0

∫

fT (t)x(t)dt. (4)

Il concetto di limite generalizzato e’ utile per i nostri scopi ma risulta scomodo da maneggiare nei calcoli.

Per questo motivo conviene introdurre un ulteriore concetto, quello di funzione generalizzata, il che viene

fatto nella sezione successiva. Come vedremo meglio in seguito, limiti e funzioni generalizzate sono legati

strettamente.

3 Funzioni generalizzate e impulso

Si consideri la seguente espressione∫

G(t)x(t)dt. (5)

Nel caso in cui sia G(t) che x(t) sono funzioni, l’ espressione precedente, pari all’ integrale del loro prodot-

to, puo’ valutarsi con metodi analitici o numerici. Integrali di questo tipo sono utili nelle applicazioni e si

incontrano spesso. D’ altra parte, se ci si limita a considerare G(t) e x(t) come funzioni, esistono alcune

situazioni di interesse che non e’ possibile catturare. Per questo motivo risulta conveniente estendere

il campo di applicazione della espressione precedente, ammettendo che G(t) possa essere un ente mate-

matico diverso da una funzione. In particolare vogliamo considerare il caso in cui G(t) e’ una funzione

generalizzata (o distribuzione), che e’ un ente matematico definito nel prossimo paragrafo. Nel seguito

del capitolo indicheremo le funzioni generalizzate con lettere maiuscole o lettere greche, riservando quelle

minuscole alle funzioni in senso proprio.

Una funzione generalizzata, indicata con G(t), e’ un ente che si applica a una funzione x(t) e produce

un numero come risultato. In particolare, viene definita specificando il valore che l’espressione (5) assume.

Normalmente, nella definizione, viene anche specificato un insieme di funzioni al quale la funzione x(t)

deve appartenere perche’ la definizione abbia significato. Per fare un esempio e fissare le idee conviene

introdurre subito una funzione generalizzata. Questa funzione e’ l’ impulso matematico o di Dirac,

indicato con il simbolo δ(t), e definito, per tutte le funzioni x(t) continue nell’ origine, come segue∫

δ(t)x(t)dt = x(0). (6)

Come si vede l’ impulso di Dirac applicato a una funzione x(t) restituisce il valore della funzione stessa nell’

origine. E’ utile notare che non esiste nessuna funzione che, sostituita a δ(t) nell’ espressione precedente,

la renda vera quando valutata con le normali regle di integrazione: e’ quindi chiaro che l’impulso non e’

una funzione in senso proprio, ma una funzione generalizzata. Considerando il caso particolare di una

funzione costante, x(t) = 1, dall’ultima equazione deriva∫

δ(t)dt = 1. (7)

L’ integrale a sinistra dell’uguale si puo’ interpretare come l’area dell’impulso e quindi diremo che l’

impulso ha area unitaria. E’ utile introdurre un simbolo grafico per rappresentare l’impulso. Questo e’

mostrato in figura 2 ed e’ una freccia centrata nell’ origine e di altezza unitaria.

4

Figura 2: Rappresentazione grafica dell’ impulso.

Facciamo alcune osservazioni. Nonostante una funzione generalizzata sia indicata con una notazione

simile a quella di una funzione, e cioe’ G(t), in generale non e’ una funzione. In particolare, non ha senso

valutarla per valori di t assegnati, cioe’ chiedersi quanto vale, per esempio, G(0) o G(1). Puo’ essere solo

valutata usando la sua definizione quando la si incontra in espressioni del tipo (5). La stessa espressione

(5), quando G(t) e’ una funzione generalizzata, non puo’ essere considerata un integrale in senso proprio,

infatti la sua valutazione viene fatta come prescritto dalla definizione della funzione generalizzata, e non

applicando le regole di integrazione. D’ altra parte, come vediamo nel seguito, e’ possibile sviluppare

la teoria in modo che G(t) e l’integrale si comportino, formalmente, come una normale funzione e un

normale integrale, e questo fatto giustifica la notazione usata.

Un’altra osservazione utile e’ che, data una funzione, la si puo’ considerare, se serve, anche una funzione

generalizzata. In particolare, la sua definizione si ottiene sostituendola a G(t) nella (5) e valutando

l’espressione con le normali regole di integrazione.

Operazioni sulle funzioni generalizzate. Visto che le funzioni generalizzate non sono funzioni in

senso proprio, occorre specificare quali sono le operazioni che e’ possibile utilizzare su questi enti e

darne le definizioni, cose che facciamo nel seguito di questa sezione. Inoltre, visto che le espressioni che

coinvolgono le funzioni generalizzate assumono un valore numerico solo quando sono integrate, si desidera

che le funzioni generalizzate si possano manipolare e trattare sotto il segno di integrale come se fossero

normali funzioni. Quindi, come vedremo, le definizioni si ricavano applicando formalmente le regole di

integrazione, il che aiuta anche a ricordarle.

Prodotto con una costante. Data una funzione generalizzata G(t) ed una costante a reale o complessa,

il loro prodotto e’ una funzione generalizzata indicata con aG(t) (oppure G(t)a) e definita da

∫

[aG(t)]x(t)dt.= a

∫

G(t)x(t)dt. (8)

La funzione generalizzata aG(t) si dice ottenuta scalando G(t).

Impulso scalato. Come esempio, consideriamo la funzione generalizzata aδ(t), ottenuta moltiplican-

do l’impulso per a. Applicando la definizione appena data e la (6) e’ facile ricavare il risultato dell’

applicazione di questa funzione a x(t). Infatti

∫

[aδ(t)]x(t)dt = a

∫

δ(t)x(t)dt = ax(0). (9)

5

Figura 3: Rappresentazione grafica dell’ impulso di area a.

La funzione generalizzata aδ(t) e’ detta un impulso scalato. Applicando l’equazione precedente nel caso

della funzione costante x(t) = 1 si ottiene

∫

aδ(t)dt = a,

che, a parole, dice che l’area di un impulso scalato per a e’ pari ad a. In questo senso, la funzione aδ(t)

viene anche detta un impoulso di area a. Il simbolo grafico usato per indicarla e’ una freccia centrata in

zero e di altezza pari all’ area, come mostrato in figura 3.

Traslazione. Data una funzione generalizzata G(t) ed un numero reale t0, la traslazione della funzione

generalizzata e’ una funzione generalizzata indicata con G(t− t0) e definita da

∫

G(t− t0)x(t)dt.=

∫

G(t)x(t+ t0)dt. (10)

Impulso traslato. Proprieta’ di campionamento. Come esempio, consideriamo la funzione genera-

lizzata δ(t− t0) che si ottiene traslando l’impulso e che viene detta un impulso centrato in t0. Usando la

(10) e la (6) si ricava∫

δ(t− t0)x(t)dt = x(t0) (11)

che specifica il risultato dell’impulso traslato quando applicato a x(t). L’ equazione precedente esprime

la cosi’ detta proprieta’ di campionamento dell’ impulso che, a parole, afferma che integrando il prodotto

fra una funzione e un impulso centrato in un istante t0 si ottiene il valore della funzione nello stesso

istante. Notiamo che affinche’ l’ equazione precedente abbia significato e’ necessario che la funzione x(t)

sia continua nell’ istante t0. In altre parole un impulso centrato in t0 e’ una funzione generalizzata che si

applica solo a funzioni continue in t0. Il simbolo grafico usato per indicare un impulso centrato in t0 e’

una freccia centrata in t0 e di altezza unitaria, come mostrato in figura 4.

Somma. Date due funzioni generalizzate G(t) e F (t), la loro somma e’ una funzione generalizzata

indicata con [G(t) + F (t)] e definita da

∫

[G(t) + F (t)]x(t)dt.=

∫

G(t)x(t)dt+

∫

F (t)x(t)dt. (12)

6

Figura 4: Rappresentazione grafica dell’ impulso centrato in t0.

Ricordando che una funzione e’ anche una funzione generalizzata, l’ espressione precedente definisce anche

la somma fra una funzione generalizzata ed una funzione.

Integrale su un intervallo finito. Data una funzione generalizzata G(t), e’ utile dare una definizione

per un integrale del tipo (5) ma esteso ad un intervallo finito [a, b]. A questo fine introduciamo la funzione

w(t) =

{

1 a ≤ t ≤ b

0 altrove

e poniamo, per definizione,∫ b

a

G(t)x(t)dt.=

∫

G(t)w(t)x(t)dt. (13)

Integrale dell’impulso su un intervallo finito. Applicando la (13) ad un impulso traslato δ(t− t0)

si ricava∫ b

a

δ(t− t0)x(t)dt =

{

x(t0) t0 ∈ (a, b)

0 t0 /∈ [a, b](14)

Si noti che l’espressione precdente non e’ definita quando t0 = a, b, perche’ in questo caso, applicando la

(13), l’impulso cade in un punto di discontinuita’ della funzione w(t)x(t) a cui e’ applicato.

Linearita’. Una funzione generalizzata G(t) si dice lineare se la sua definizione e’ tale da rendere vera

la seguente identita’ per tutte le costanti a e b e per tutte le funzioni x e y alle quali G e’ applicabile

∫

G(t)[ax(t) + by(t)]dt = a

∫

G(t)x(t)dt+ b

∫

G(t)y(t)dt. (15)

Si noti che la proprieta’ si estende facilmente al caso di una combinazione lineare di tre o piu’ funzioni.

E’ facile controllare che la definizione dell’ impulso soddisfa questa condizione. Infatti, usando la (6),

possiamo scrivere∫

δ(t)[ax(t) + by(t)]dt = ax(0) + by(0)

e, sempre usando la (6), risulta

a

∫

δ(t)x(t)dt+ b

∫

δ(t)y(t)dt = ax(0) + by(0).

7

Uguaglianza fra funzioni generalizzate. Date due funzioni generalizzate G(t) e F (t), diciamo che

queste sono uguali e scriviamo che G(t) = F (t) se queste si applicano alle stesse funzioni e se per ogni

funzione a cui si applicano risulta

∫

G(t)x(t)dt =

∫

F (t)x(t)dt ∀x(t). (16)

Si noti che il simbolo usato per indicare l’uguaglianza fra funzioni generalizzate e’ lo stesso usato per

indicare l’uguaglianza fra funzioni in senso proprio. Questo e’ comodo e non genera confusione. Quando

serve, possiamo chiamare l’uguglianza definita dalla (16) una uguaglianza in senso generalizzato.

Moltiplicazione con una funzione. Data una funzione generalizzata G(t) ed una funzione f(t) reale

o complessa, il loro prodotto e’ una funzione generalizzata indicata con G(t)f(t) (oppure f(t)G(t)) e

definita da∫

[G(t)f(t)]x(t)dt.=

∫

G(t)[f(t)x(t)]dt. (17)

Moltiplicazione dell’impulso con una funzione. Consideriamo la funzione generalizzata f(t)δ(t−t0).

Usando la (17) e la (11) si ricava

∫

[f(t)δ(t− t0)]x(t)dt =

∫

δ(t− t0)[f(t)x(t)]dt = f(t0)x(t0).

Si noti che si ottiene lo stesso risultato sostituendo la funzione f(t) con la costante f(t0). Infatti, usando

la (8) e la (11),∫

[f(t0)δ(t− t0)]x(t)dt = f(t0)

∫

δ(t− t0)x(t)dt = f(t0)x(t0).

Le ultime due equazioni mostrano che la funzione generalizzata f(t)δ(t − t0) coincide con la funzione

generalizzata f(t0)δ(t− t0) nel senso della (16) e quindi vale la seguente equazione (in cui l’uguaglianza

e’ in senso generalizzato)

f(t)δ(t− t0) = f(t0)δ(t− t0) (18)

che da’ una proprieta’ dell’impulso spesso utile nei calcoli.

Scalatura. Data una funzione generalizzata G(t) ed un numero reale a 6= 0, la scalatura sull’ asse della

variabile indipendente della funzione generalizzata e’ una funzione generalizzata indicata con G(ta) e

definita da∫

G(ta)x(t)dt.=

1

|a|

∫

G(t)x(t/a)dt (19)

Scalatura dell’impulso. Come esempio, consideriamo la funzione generalizzata δ(ta). Usando la (19)

e la (6) si ricava∫

δ(ta)x(t)dt =1

|a|

∫

δ(t)x(t/a)dt =1

|a|x(0).

E’ facile verificare che applicando 1

|a|δ(t) ad x(t) si ottiene lo stesso risultato, e cioe’ 1

|a|x(0). Dunque,

vale la seguente equazione (in cui l’uguaglianza e’ in senso generalizzato)

δ(ta) =1

|a|δ(t) (20)

che da’ un’altra utile proprieta’ dell’impulso.

Simmetria dell’impulso. Consideriamo la funzione generalizzata δ(−t), ottenuta dall’ impulso scalando

l’ asse delle ascisse per la costante a = −1. Dall’equazione precedente si ricava

δ(t) = δ(−t) (21)

8

che fornisce un’altra proprieta’ utile e mostra che l’ impulso e’ una funzione a simmetria pari. Analo-

gamente, consideriamo la funzione generalizzata G(t− t0) = δ(t0 − t), ottenuta traslando G(t) = δ(−t).

Risulta∫

G(t− t0)x(t)dt =

∫

G(t)x(t+ t0)dt =

∫

δ(−t)x(t+ t0)dt =

∫

δ(t)x(t+ t0) = x(t0)

in cui abbiamo applicato la (10) e la (21). Questo e’ lo stsesso risultato che si ottiene applicando δ(t− t0)

a x(t), come si vede dalla (11). Quindi

δ(t− t0) = δ(t0 − t) (22)

che fornisce un’altra proprieta’ e mostra che l’ impulso centrato in t0 e’ una funzione simmetrica rispetto

a t0.

Convoluzione. Date due funzioni generalizzate G(t) e F (t), la loro convoluzione e’ una funzione

generalizzata indicata con G(t) ∗ F (t) e definita da∫

[G(t) ∗ F (t)]x(t)dt.=

∫

G(τ)[

∫

F (t− τ)x(t)dt]dτ. (23)

Espansione di una funzione in somma di impulsi. Se nella (11) si sostituisce t con τ , t0 con t e si

sfrutta la simmetria dell’impulso, e cioe’ l’ equazione δ(t− τ) = δ(τ − t), si ricava

x(t) =

∫

x(τ)δ(t− τ)dτ. (24)

L’ ultima relazione non dice niente di piu’ della (11) ma, mentre nella (11) il valore di t0 e’ pensato

come un numero (qualsiasi ma assegnato), nell’ ultima espressione t e’ invece pensato come una variabile.

Come conseguenza, l’ ultima espressione si chiama l’espansione di una funzione in una somma (integrale)

di impulsi e si presta alla seguente interpretazione: una funzione x(t) e’ ottenibile a partire da una somma

(integrale) di una infinita’ continua di impulsi, centrati in tutti gli istanti τ e ciascuno di area pari al

valore che la funzione assume in τ , e cioe’ x(τ). Per comprendere meglio questa interpretazione e per dare

una giustificazione intuitiva dell’espansione appena presentata, assegnata una durata T , consideriamo la

funzione

x̄(t) =∑

k

x(kT )fT (t− kT )T

dove la funzione fT (t) e’ il rettangolo di durata T e altezza 1/T dato dalla (1). La funzione x̄(t) e’ mostrata

in figura 5 ed e’ una funzione costante a tratti, ottenuta sommando una serie infinita di rettangoli di

durata T , centrati in kT e di altezza x(kT ). Questa funzione fornisce una approssimazione di x(t) che e’

tanto migliore quanto piu’ T e’ piccolo. Quando T → 0, l’approssimazione diviene esatta e x̄(t) → x(t).

Inoltre i rettangoli tendono a degli impulsi (come vedremo meglio nel prossimo paragrafo) e la sommatoria

a secondo membro tende all’integrale della formula di espansione che abbiamo dato.

Commenti. In questa sezione abbiamo esteso alcune delle operazioni sulle funzioni alle funzioni ge-

neralizzate. Altre operazioni si estendono in modo ovvio. Ma notiamo anche, senza approfondire la

questione, che non e’ possibile estendere tutte le operazioni sulle funzioni alle funzioni generalizzate. Per

esempio non abbiamo definito il prodotto fra due funzioni generalizzate o il quadrato di una funzione

generalizzata.

4 Delta successioni e integrali generalizzati

Consideriamo ancora il limite generalizzato della famiglia di funzioni rettangolari date dalla (1). Usando

la definizione (4) e poi la (3) possiamo scrivere∫

∗

limT→0

1

Trect(t/T )x(t)dt = x(0). (25)

9

Figura 5: Approssimazione di una funzione x(t) con una funzione costante a tratti x̄(t).

Ora riscriviamo qui sotto la definizione di impulso come funzione generalizzata∫

δ(t)x(t)dt = x(0).

Confrontando le due espressioni ci si rende conto che il limite generalizzato si comporta esattamente come

l’ impulso. In altre parole, queste sono due maniere di esprimere la stessa operazione, solo formalmente

diverse. Per indicare questo fatto possiamo scrivere

∗

limT→0

1

Trect(t/T ) = δ(t)

e dire che il limite generalizzato delle funzioni rettangolari e’ l’impulso. Naturalmente, l’uguaglianza

nell’equazione qui sopra e’ da intendersi in senso generalizzato, come nelle future equazioni che coinvolgono

l’impulso.

L’ equivalenza fra il limite generalizzato delle funzioni rettangolari e l’impulso ha implicazioni utili.

In primo luogo, se durante un calcolo o un ragionamento, si incontra questo limite generalizzato, lo

si puo’ sostituire con l’impulso, che ha il vantaggio di poter essere manipolato come una funzione. In

secondo luogo, fornisce una maniera alternativa e piu’ concreta di pensare l’impulso, e cioe’ non piu’

come un ente matematico astratto, ma come un limite generalizzato che, grazie alla definizione (4), si

riduce a un normale limite. Questa circostanza indica anche un modo per realizzare una approssimazione

dell’ impulso in un sistema fisico. In particolare, l’ impulso puo’ essere approssimato come una funzione

rettangolare, con precisione sempre maggiore quanto piu’ il rettangolo e’ stretto e alto.

Una successione di funzioni che converge all’ impulso viene detta una δ-successione. E quella delle fun-

zioni rettangolari non e’ l’unica δ-successione esistente. Per esempio, consideriamo la funzione triangolare,

data da

tri(t) =

{

1− |t| |t| ≤ 1

0 |t| > 1,(26)

e la funzione seno cardinale, data da

sinc(t) =sen(πt)

πt. (27)

Anche queste funzioni possono essere usate per costruire una delta successione. In particolare, sono noti

i seguenti limiti generalizzati∗

limT→0

1

Ttri(t/T ) = δ(t). (28)

10

∗

limT→0

1

Tsinc(t/T ) =

∗

limD→∞

Dsinc(tD) = δ(t). (29)

E’ anche utile notare che, data una funzione generalizzata G(t) ottenuta a partire da un impulso

applicando una certa sequenza di operazioni (per esempio traslazione o scalatura), e’ immediato ricavare

una successione di funzioni che ammette come limite generalizzatoG(t). Basta applicare la stessa sequenza

di operazioni alle funzioni di una qualsiasi δ-successione, come e’ facile verificare.

Integrali generalizzati. Consideriamo un’altra applicazione del concetto di limite generalizzato. Ri-

cordiamo che un integrale con estremi infiniti e’ definito come il limite di un integrale con estremi finiti

e cioe’∫

x(t)dt.= lim

D→∞

∫ D/2

−D/2

x(t)dt.

E’ possibile estendere questa definizione classica, assumendo che il limite sia un limite in senso genera-

lizzato e cioe’ scrivendo∫

x(t)dt.=

∗

limD→∞

∫ D/2

−D/2

x(t)dt.

Questa nuova definizione, che puo’ essere detta un integrale generalizzato, permette di dare un significato

a integrali che non convergono in senso classico. Facciamo un esempio.

Consideriamo l’integrale∫

ej2πtydy,

che risulta una funzione della variabile t e che non converge in senso classico (per esempio e’ infinito per

t = 0). Considerandolo un integrale generalizzato abbiamo

∫

ej2πtydy =∗

limD→∞

∫ D/2

−D/2

ej2πtydy. (30)

Valutiamo l’integrale definito che compare qui sopra: effettuando una sostituzione τ = j2πty si ricava

∫ +D/2

−D/2

ej2πtydy =1

j2πt

∫ jπtD

−jπtD

eτdτ =1

j2πteτ |jπtD−jπtD =

ejπtD − e−jπtD

j2πt=

sen(πtD)

πt= Dsinc(tD).

A questo punto, sostituendo nella (30), abbiamo∫

ej2πtydy =∗

limD→∞

Dsinc(tD)

ed usando la (29) concludiamo che∫

ej2πtydy = δ(t). (31)

L’ ultima espressione mostra che l’integrale generalizzato che abbiamo considerato e’ ben definito ed e’

pari all’ impulso. La (31) e’ anche una utile espressione alternativa (integrale) per l’impulso. Con lo

stesso ragionamento e usando la simetria dell’impulso, si verifica anche che∫

e−j2πtydy = δ(t). (32)

5 Impulso discreto

Esiste un equivalente discreto dell’ impluso, detto impulso discreto o impulso di Kroneker. L’impulso

discreto e’ una sequenza indicata con δn e data da

δn =

{

1 n = 0

0 n 6= 0.

11

Come si vede dalla definizione, i campioni della sequenza sono nulli per qualsiasi valore dell’ indice n

tranne che per n = 0, dove la sequenza vale uno.

L’ impulso discreto gode di proprieta’ del tutto simili a quelle dell’ impulso continuo con il vantaggio

di non presentare nessun problema di definizione. Per esempio, vale la seguente equazione

xnδn−M = xMδn−M (33)

che corrisponde alla (18) e che si verifica notando che le sequenze a destra e sinistra dell’uguale, al variare

di n, sono nulle tranne che per n = M dove valgono entrambe xM . Inoltre, l’impulso discreto e’ una

sequenza simmetrica e cioe’ vale

δn−M = δM−n (34)

che corrisponde alla (22) e che si verifica notando che le sequenze a destra e sinistra dell’uguale, al variare

di n, sono nulle tranne che per n = M dove valgono entrambe 1.

Per l’impulso discreto si ha la seguente proprieta’ di campionamento∑

n

xnδn−M = xM (35)

che e’ l’equivalente della (11) e si verifica notando che la sequenza sommata e’ nulla per tutti i valori di

n tranne che per n = M dove vale xM . A parole, la precedente equazione dice che la squenza dn−M puo’

essere usata, moltplicando e sommando, per estrarre l’ M -esimo campione di una sequenza. Allo stesso

modo si verifica la seguente fomula di espansione

xn =∑

k

xkδn−k (36)

che costituisce la versione discreta della (24) e che mostra che una sequenza xn puo’ pensarsi come una

somma di infinite sequenze impulso discreto, ciascuna centrata sull’ indice k e scalata per il valore che la

sequenza assume in quell’ indice. Infine, e’ facile verificare che

b∑

n=a

xnδn−M =

{

xM M ∈ [a, b]

0 M /∈ [a, b](37)

che estende la (14).

6 Esempi e applicazioni

In questa sezione presentiamo alcuni esempi e introduciamo alcune applicazioni dell’impulso. Come

considerazione generale, notiamo che gli integrali che coinvolgono un impulso sono facili da calcolare.

Infatti, come gia’ detto, non sono veri e propri integrali, ma espressioni che vanno valutate applicando le

definizioni che abbiamo dato in sezione 3, per le operazioni sulle funzioni generalizzate. In particolare,

applicando le definizioni, un integrale in cui compaiono impulsi variamente traslati e scalati viene ridotto

ad una somma di integrali semplici, aventi la forma di equazione (6) e che vengono valutati direttamente

usando quella equazione. Questa operazione e’ semplificata dal fatto che le definizioni che abbiamo dato

ricalcano le normali regole di integrazione, valide per le funzioni in senso proprio, e quindi, in pratica,

sugli impulsi si lavora come se fossero funzioni normali. Facciamo un esempio, calcoliamo il seguente

integrale

I =

∫

[2δ(t− 4) + 5δ(t+ 1)](t2 + 3)dt.

Usando la la somma fra funzioni generalizzate definita dalla (12), con G(t) = 2δ(t− 4) e F (t) = 5δ(t+1)

e x(t) = (t2 + 3), si ricava

I =

∫

2δ(t− 4)(t2 + 3)dt+

∫

5δ(t+ 1)(t2 + 3)dt.

12

Usando la moltiplicazione per una costante definita dalla (8) possiamo poi scrivere

I = 2

∫

δ(t− 4)(t2 + 3)dt+ 5

∫

δ(t+ 1)(t2 + 3)dt.

I due integrali precedenti possono essere valutati usando prima la traslazione (10) e poi la definizione

dell’ impulso (6) oppure, piu’ rapidamente, applicando la proprieta’ di campionamento data dalla (11)

con x(t) = (t2 + 3). In questo modo, si ottiene

I = 2(42 + 3) + 5[(−1)2 + 3] = 58.

Convoluzione con un impulso. Ricordiamo che, date due funzioni x(t) e y(t), la loro convoluzione

(continua) e’ una terza funzione, indicata con z(t) = x(t) ∗ y(t) e definita da

x(t) ∗ y(t) =

∫

x(τ)y(t− τ)dτ.

Questa definizione si estende naturalmente al caso in cui una delle due funzioni e’ una funzione genera-

lizzata. Infatti l’espressione risultante ha la forma data in (5), si puo’ valutare usando le regole date in

sezione 3 e verifica le stesse proprieta’ della convoluzione fra funzioni ordinarie. Per esempio, considerando

il caso in cui x(t) = δ(t) e’ un impulso, abbiamo

δ(t) ∗ y(t) =

∫

δ(τ)y(t− τ)dτ = y(t)

in cui l’ ultima uguaglianza si ottiene applicando, con opportune sostituzioni, la definizione di impulso

(6). L’ultima espressione mostra che la convoluzione di una funzione con un impulso e’ pari alla funzione

stessa. In questo senso, si dice che l’impulso e’ la funzione identita’ rispetto all’operazione di convoluzione.

Come ulteriore esempio, consideriamo la convoluzione fra un impulso centrato in T , δ(t − T ), e una

funzione x(t). Abbiamo

δ(t− T ) ∗ x(t) =

∫

δ(τ − T )x(t− τ)dτ = x(t− T ),

dove l’integrale e’ stato valutato applicando, con opportune sostituzioni, la proprieta’ di campionamento

dell’impulso (11). In conclusione, usando anche la proprieta’ commutativa della convoluzione, possiamo

scrivere

δ(t− T ) ∗ x(t) = x(t) ∗ δ(t− T ) = x(t− T ). (38)

L’equazione precedente e’ un’utile proprieta’ dell’impulso e mostra che, facendo la convoluzione fra una

funzione e un impulso centrato in T , il risultato e’ la stessa funzione traslata di T .

La convoluzione puo’ essere anche definita quando entrambi le funzioni coinvolte sono generalizzate,

usando la (23), e risulta una funzione generalizzata. Come esempio, consideriamo la convoluzione di

un impulso con un impulso, δ(t) ∗ δ(t). Usando la (23), la convoluzione e’ una funzione generalizzata

specificata cosi’∫

[δ(t) ∗ δ(t)]x(t)dt =

∫

δ(τ)[

∫

δ(t− τ)x(t)dt]dτ.

Usando la proprieta’ di campionamento nell’ integrale in t abbiamo

∫

[δ(t) ∗ δ(t)]x(t)dt =

∫

δ(τ)x(τ)dτ.

A questo punto, sostituendo, per chiarezza, τ con t nel secondo integrale, abbiamo

∫

[δ(t) ∗ δ(t)]x(t)dt =

∫

δ(t)x(t)dt.

13

L’ultima espressione mostra che δ(t) ∗ δ(t) e δ(t) danno lo stesso risultato quando applicati alla stessa

funzione x(t). Quindi queste due funzioni sono uguali in senso generalizzato e possiamo scrivere

δ(t) ∗ δ(t) = δ(t),

che e’ un’altra formula utile. Analogamente si puo’ verificare che

δ(t− T ) ∗ δ(t) = δ(t) ∗ δ(t− T ) = δ(t− T ).

La convoluzione puo’ essere definita anche nel caso discreto. In particolare, date due sequenze xn e

yn, la loro convoluzione (discreta) e’ una terza sequenza, indicata con zn = xn ∗ yn e definita da

xn ∗ yn =∑

k

xkyn−k.

Per quanto riguarda la convoluzione, l’impulso discreto gode esattamente delle stesse proprieta’ che

abbiamo gia’ visto per l’impulso continuo, col vantaggio che si dimostrano tutte semplicemente e che non

pongono nessun problema di definizione. Per esempio, si verifica facilmente che

δn−M ∗ xn = xn ∗ δn−M = xn−M (39)

e cioe’ che facendo la convoluzione fra una sequenza e un impulso centrato in M , il risultato e’ la stessa

sequenza traslata di M campioni.

Trasformata di Fourier. Ricordiamo che, data una funzione x(t), la sua trasformata di Fourier e’ una

funzione della variabile f (frequenza, se t e’ un tempo), data da

FT{x(t)} = X(f) =

∫

x(t)e−j2πftdt.

Notiamo che la trasformata e’ ben definita solo quando la funzione x(t) e’ sommabile, nel qual caso l’inte-

grale di definizione converge. D’altra parte esistono molte funzioni non sommabili utili nelle applicazioni e

per le quali l’integrale diverge e la trasformata, in senso classico, non esiste. Fortunatamente, e’ possibile

estendere la definizione della trasformata in modo da includere molte di queste funzioni. Ci sono diverse

maniere di estendere la definizione ma noi ci limitiamo a considerare il caso in cui si considera l’integrale

che compare nella definizione come un integrale generalizzato. Con questa definizione modificata, mol-

te funzioni non sommabili acquistano una trasformata, che e’ normalmente una funzione generalizzata.

Facciamo un esempio.

Consideriamo la funzione unitaria costante, x(t) = 1. La sua trasformata e’ data da

FT{1} =

∫

e−j2πftdt. (40)

Visto che la funzione costante non e’ sommabile, l’integrale qui sopra diverge, se valutato in senso classico.

Al contrario, se valutato come un integrale generalizzato, usando la (32) con opportune sostituzioni, si

ricava

FT{1} = δ(f).

Quindi, in senso generalizzato, la trasformata di una funzione costante e’ calcolabile e risulta pari a un

impulso nel dominio della frequenza.

Derivazione. Si consideri una funzione f(t) continua su tutto l’asse e che tende a zero per t → −∞. La

derivata di questa funzione, h(t) = df(t)/dt, e’ definita per tutti i valori di t e permette di ricostruire la

funzione tramite un integrale definito e precisamente come

f(t) =

∫ t

−∞

h(y)dy.

14

Se invece si considera una funzione f(t) discontinua in un numero discreto di punti dell’ asse t, la derivata

non risulta definita in questi punti e la formula di ricostruzione data sopra non vale. Questo problema

puo’ essere aggirato estendendo il concetto di derivata ed ammettendo che la derivata di una funzione

possa essere una funzione generalizzata. Senza entrare in dettagli, per i quali si rimanda al Papoulis [1],

vediamo un esempio di questa applicazione.

Consideriamo la funzione gradino unitario, data da

u(t) =

0 t < 0

1/2 t = 0

1 t > 0.

(41)

Questa funzione e’ discontinua in t = 0 e la sua derivata e’ nulla ovunque tranne in zero, dove non

e’ definita. Essendo comunque definiti il limite destro e sinistro, la singolarita’ puo’ essere eliminata

e la derivata risulta una funzione identicamente nulla. La formula di ricostruzione data sopra non e’

applicabile. Possiamo pero’ porredu(t)

dt= δ(t)

e cioe’ dire che la derivata del gradino e’ un impulso. In questo modo la formula di ricostruzione funziona.

Per verificarlo, consideriamo la funzione g(t) ottenuta applicando la formula,

g(t) =

∫ t

−∞

δ(y)dy,

e facciamo vedere che coincide con u(t). Usando la definizione di integrale dell’ impulso su un intervallo

finito, e cioe’ la (14), e’ facile verificare che g(t) = 0 per t < 0 e che g(t) = 1 per t > 0. Per t = 0,

l’integrale non e’ ben posto e g(0) non e’ definito. D’altra parte, visto che esistono i limiti destro e

sinistro, il valore di g(0) puo’ porsi pari alla media dei limiti e cioe’ pari a 1/2. Quindi g(t) = u(t), come

volevamo verificare.

Densita’ di probabilita’. Consideriamo una variabile aleatoria continua C ed una discreta D. Come

e’ noto, queste variabili sono descritte da una densita’ di probabilita’ che risulta una funzione continua

pC(x) per la prima, mentre e’ una successione pD[k] per la seconda. Questa differenza fa’ si che molte

delle operazioni sulle variabili aleatorie abbiano scritture diverse nel caso continuo e discreto. Questo

problema puo’ risolversi, e la teoria uniformarsi, introducendo una densita’ continua per la D, o meglio

generalizzata, data da

pD(x) =∑

k

pD[k]δ(x− k).

Come si vede dalla formula, la densita’ pD(x) e’ una funzione generalizzata, costituita da una serie di

impulsi centrati sui numeri interi e tali che quello centrato in k ha area pD[k]. Usando questa definizione

per la densita’ discreta, molte delle operazioni sulle variabili continue si applicano senza modifiche alle

variabili discrete. Facciamo un esempio.

Data una variabile continua C, la probabilita’ che la determinazione della variabile aleatoria appar-

tenga a un certo insieme A dell’asse reale, e cioe’ la probabilita’ dell’evento {C ∈ A}, si puo’ calcolare

integrando la densita’ su A e cioe’ come

P{C ∈ A} =

∫

A

pC(x)dx.

Per una variabile discreta D, la formula precedente non e’ applicabile se usiamo la densita’ discreta pD[k].

Al contrario, usando la densita’ generalizata introdotta prima, la formula vale anche per la variabile

discreta e in particolare si puo’ verificare che2

P{D ∈ A} =

∫

A

pD(x)dx.

2E’ necessario qualche accorgimento, per evitare problemi di definizione dell’integrale, quando la frontiera di A contiene

dei valori interi. Non approfondiamo la questione.

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