Il triangolo più grande Il triangolo più grande del mondodel mondo

Giulio ManuzioGiulio Manuzioconcon

Luis Sartori do ValeLuis Sartori do ValeArnaud BertrandArnaud Bertrand

coordinamentocoordinamento

Boris VecchioBoris Vecchio

CircoScienzaCircoScienzaAss.Cult.SarabandaAss.Cult.Sarabanda

Università di GenovaUniversità di GenovaIstituto Nazionale di Fisica NucleareIstituto Nazionale di Fisica Nucleare

Giocoleria Giocoleria con le ideecon le idee

Una applicazione Una applicazione

dell’arte di non dare mai nulla per dell’arte di non dare mai nulla per scontatoscontato

GaussGauss

Uno dei più grandi geni della storia Carl Uno dei più grandi geni della storia Carl Friederich Gauss (Brunswick 1777- Gottingen Friederich Gauss (Brunswick 1777- Gottingen 1855), talvolta indicato come il più grande 1855), talvolta indicato come il più grande matematico della modernità, fu un genio matematico della modernità, fu un genio precoce le cui capacità vennero presto precoce le cui capacità vennero presto all’orecchio del duca di Brunswick che lo all’orecchio del duca di Brunswick che lo sostenne e favorì in vari modi. sostenne e favorì in vari modi.

Per sdebitarsi con il duca, Gauss accettò, tra Per sdebitarsi con il duca, Gauss accettò, tra l’altro, di diventare direttore dell’osservatorio l’altro, di diventare direttore dell’osservatorio astronomico di Gottingen e poi di occuparsi di astronomico di Gottingen e poi di occuparsi di problemi di misura del territorio (rilevazione problemi di misura del territorio (rilevazione geodesica dell’Hannover)geodesica dell’Hannover)

Un sospettoUn sospetto

Fu mentre era immerso in queste ultime attività Fu mentre era immerso in queste ultime attività che gli venne un sospetto:che gli venne un sospetto:

la misura del territorio si fa con i teodoliti la misura del territorio si fa con i teodoliti misurando degli angoli e utilizzando il teorema misurando degli angoli e utilizzando il teorema di Pitagora e il fatto che la somma degli angoli di Pitagora e il fatto che la somma degli angoli di un triangolo vale 180 gradi.di un triangolo vale 180 gradi.

La domanda che Gauss si pose era la seguente: La domanda che Gauss si pose era la seguente: il teorema di Pitagora, e più in generale le il teorema di Pitagora, e più in generale le

proprietà a noi note dei triangoli, sono proprietà a noi note dei triangoli, sono applicabili anche a triangoli molto grandi che si applicabili anche a triangoli molto grandi che si estendono su una vasta porzione del territorio estendono su una vasta porzione del territorio e, a maggior ragione, a triangoli i cui vertici e, a maggior ragione, a triangoli i cui vertici sono individuati da corpi celesti? sono individuati da corpi celesti?

Il lavoro di un genioIl lavoro di un genio

Anzitutto, da buon matematico, Gauss affrontò il Anzitutto, da buon matematico, Gauss affrontò il problema su basi generali e scoprì che lo problema su basi generali e scoprì che lo spazio piattospazio piatto in in cui la somma degli angoli di un triangolo vale sempre cui la somma degli angoli di un triangolo vale sempre 180 gradi è una eccezione e che esiste una infinità di 180 gradi è una eccezione e che esiste una infinità di spazi in cui il teorema di Pitagora non è più valido e la spazi in cui il teorema di Pitagora non è più valido e la somma degli angoli di un triangolo è diversa da 180 gradisomma degli angoli di un triangolo è diversa da 180 gradi

Gli spazi in cui il teorema non è più valido si chiamano Gli spazi in cui il teorema non è più valido si chiamano spazi curvi,spazi curvi, e Gauss individuò dei criteri matematici per e Gauss individuò dei criteri matematici per definire la definire la curvaturacurvatura di uno spazio e per studiarne le di uno spazio e per studiarne le proprietà.proprietà.

In secondo luogo fece eseguire delle misure tra le cime di In secondo luogo fece eseguire delle misure tra le cime di montagne distanti per verificare che, almeno su quelle montagne distanti per verificare che, almeno su quelle distanze, la somma degli angoli di un triangolo risultasse distanze, la somma degli angoli di un triangolo risultasse essere pari a 180 gradi entro gli errori di misuraessere pari a 180 gradi entro gli errori di misura

Spazi piani Spazi piani bidimensionalibidimensionali Il segmento che Il segmento che

congiunga due congiunga due punti è anche la punti è anche la minima distanza minima distanza tra tali puntitra tali punti

La somma degli La somma degli angoli di un angoli di un triangolo vale 180 triangolo vale 180 gradigradi

C = 2 C = 2 rr

Uno Uno spazio spazio

bidimensibidimensio-nale o-nale

curvo che curvo che ben ben

conosciaconosciamo: la mo: la

superficie superficie della terradella terra

Le Le osservazioosservazio

ni di un ni di un essere essere

bidimensiobidimensio-nale che -nale che vive solo vive solo

sulla sulla superficie superficie

di una di una sferasfera

Le osservazioni di Le osservazioni di un essere un essere

bidimensionale bidimensionale insensibile alla insensibile alla temperatura su temperatura su una superficie una superficie

piana a piana a temperatura temperatura

variabilevariabileCurvatura sfericaCurvatura sferica

Le osservazioni di Le osservazioni di un essere un essere

bidimensionale bidimensionale insensibile alla insensibile alla temperatura su temperatura su una superficie una superficie

piana a piana a temperatura temperatura

variabilevariabileCurvatura Curvatura iperbolicaiperbolica

Il dubbioIl dubbio

Il nostro spazio è piatto su piccola scalaIl nostro spazio è piatto su piccola scala ma, su grande scala, è forse curvo?ma, su grande scala, è forse curvo?

Esiste una variabile nascosta non Esiste una variabile nascosta non percepibile dai nostri sensi che cambia percepibile dai nostri sensi che cambia la lunghezza dei nostri metri senza che la lunghezza dei nostri metri senza che noi ce ne rendiamo conto?noi ce ne rendiamo conto?

O lo spazio in cui viviamo è curvo per O lo spazio in cui viviamo è curvo per qualsiasi altro motivo?qualsiasi altro motivo?

E con la teoria della relatività il E con la teoria della relatività il dubbio diventa molto più dubbio diventa molto più

interessanteinteressantePer la teoria della relatività:Per la teoria della relatività:La geometria dell’intero universo può essere La geometria dell’intero universo può essere

piatta solo se il contenuto medio piatta solo se il contenuto medio di energia di energia e di massa per metro cubo di universo è un e di massa per metro cubo di universo è un numero ben preciso che vale circanumero ben preciso che vale circa

= 10= 10-26-26 kg/m kg/m33

Per la relatività generale il raggio di curvatura Per la relatività generale il raggio di curvatura R dello spazio vale infatti, in generale, circa R dello spazio vale infatti, in generale, circa

R = 1,6 10R = 1,6 105252 m/ √( m/ √(

Misure recentissime (2002) di un Misure recentissime (2002) di un satellite in orbita (WMAP) hanno satellite in orbita (WMAP) hanno fornito una risposta esauriente al fornito una risposta esauriente al

dubbio di Gaussdubbio di GaussPer continuare Per continuare

la discussione la discussione ora ci serve un ora ci serve un cenno alle cenno alle vicende che vicende che costituiscono la costituiscono la STORIA STORIA dell’UNIVERSOdell’UNIVERSO

La storia dell’universoLa storia dell’universoI punti salienti di nostro interesse sono:I punti salienti di nostro interesse sono:

- l’universo 13,7 miliardi di anni fa, all’istante del suo inizio (il l’universo 13,7 miliardi di anni fa, all’istante del suo inizio (il cosiddetto big bang), era piccolissimo e caldissimo e non ha cosiddetto big bang), era piccolissimo e caldissimo e non ha fatto altro che continuare a raffreddarsi e ad ingrandirsi con fatto altro che continuare a raffreddarsi e ad ingrandirsi con il passare del tempoil passare del tempo

- L’universo ha attraversato tutta una serie di configurazioni L’universo ha attraversato tutta una serie di configurazioni profondamente e radicalmente diverse da quella attualeprofondamente e radicalmente diverse da quella attuale

- Prima dell’ultima configurazione l’universo è rimasto, per Prima dell’ultima configurazione l’universo è rimasto, per quasi 380000 anni, in stato quasi 380000 anni, in stato di plasmadi plasma ed era formato da ed era formato da elettroni, protoni, nuclei di elio e da un numero circa un elettroni, protoni, nuclei di elio e da un numero circa un miliardo di volte superiore di fotoni che continuamente miliardo di volte superiore di fotoni che continuamente interagivano fortissimamente con le altre particelleinteragivano fortissimamente con le altre particelle

- L’universo che oggi conosciamo è dovuto alla evoluzione, L’universo che oggi conosciamo è dovuto alla evoluzione, con il prosieguo del tempo, dell’ultimo cambiamento di con il prosieguo del tempo, dell’ultimo cambiamento di configurazione assunta dall’universo 380000 anni dopo il configurazione assunta dall’universo 380000 anni dopo il big bang, quando, abbastanza improvvisamente e a causa big bang, quando, abbastanza improvvisamente e a causa della diminuzione di temperatura, l’universo ha cessato di della diminuzione di temperatura, l’universo ha cessato di essere un plasma ed è diventata possibile la formazione essere un plasma ed è diventata possibile la formazione degli atomi che costituiscono l’odierno universo.degli atomi che costituiscono l’odierno universo.

La storia La storia dell’universodell’universo

La radiazione fossileLa radiazione fossile- Al momento della transizione, avvenuta 380000 anni Al momento della transizione, avvenuta 380000 anni

dopo il big bang i fotoni, la cui energia media dopo il big bang i fotoni, la cui energia media diminuisce al diminuire della temperatura dell’universo, diminuisce al diminuire della temperatura dell’universo, hanno smesso di interagire fortemente con le altre hanno smesso di interagire fortemente con le altre particelle e, da quel momento, non hanno potuto far particelle e, da quel momento, non hanno potuto far altro che cominciare a vagare per l’universo senza più altro che cominciare a vagare per l’universo senza più interagire con la materia.interagire con la materia.

- L’universo è dunque ancora adesso, 13,7 miliardi di L’universo è dunque ancora adesso, 13,7 miliardi di anni dopo, pieno di questa radiazione (si tratta di anni dopo, pieno di questa radiazione (si tratta di microonde come quelle dei radar o dei nostri forni di microonde come quelle dei radar o dei nostri forni di cucina) che noi oggi chiamiamo cucina) che noi oggi chiamiamo “radiazione fossile”“radiazione fossile”

- Oggi ci sono circa Oggi ci sono circa 200 milioni di fotoni200 milioni di fotoni della radiazione della radiazione fossile fossile per ogni metro cuboper ogni metro cubo di spazio dell’universo! di spazio dell’universo!

- Poiché la radiazione fossile non ha interagito con nulla Poiché la radiazione fossile non ha interagito con nulla dal momento della sua origine, essa ancora oggi dal momento della sua origine, essa ancora oggi trasporta informazioni relative al momento di tale trasporta informazioni relative al momento di tale origine e quindi informazioni relative all’assetto origine e quindi informazioni relative all’assetto dell’universo 380000 anni dopo il big bangdell’universo 380000 anni dopo il big bang

Temperatura Temperatura ed espansione dell’universoed espansione dell’universo

- La radiazione fossile ha le stesse caratteristiche della La radiazione fossile ha le stesse caratteristiche della radiazione che esce da una cavità chiusa, mantenuta a radiazione che esce da una cavità chiusa, mantenuta a temperatura costante T, in cui è stato praticato un piccolo temperatura costante T, in cui è stato praticato un piccolo foroforo

- E’ questo il motivo per cui si può collegare una E’ questo il motivo per cui si può collegare una temperatura alla radiazione fossile!temperatura alla radiazione fossile!

- La temperatura T della radiazione fossile oggi è di La temperatura T della radiazione fossile oggi è di 2,725 K 2,725 K (gradi(gradi sopra lo zero assoluto di temperatura - circa - 270 C) sopra lo zero assoluto di temperatura - circa - 270 C)

- Ma era di circa Ma era di circa 3000 K3000 K al momento in cui la radiazione al momento in cui la radiazione fossile ha cominciato a vagare liberamente per l’universo fossile ha cominciato a vagare liberamente per l’universo

- Il raffreddamento della radiazione fossile è avvenuto in Il raffreddamento della radiazione fossile è avvenuto in conseguenza del fatto che nel frattempo tutte le conseguenza del fatto che nel frattempo tutte le dimensioni dell’universo sono aumentate di un fattore dato dimensioni dell’universo sono aumentate di un fattore dato da da

3000/2,725 = 3000/2,725 = 11001100

Il satellite Il satellite WMAPWMAP

-- Il satellite WMAP ha misurato le caratteristiche della Il satellite WMAP ha misurato le caratteristiche della radiazione fossile, ne ha determinato la temperatura ( i radiazione fossile, ne ha determinato la temperatura ( i 2,725 gradi sopra lo zero assoluto indicati prima) e ha 2,725 gradi sopra lo zero assoluto indicati prima) e ha anche misurato delle piccolissime fluttuazioni di anche misurato delle piccolissime fluttuazioni di temperatura che dipendono dalla direzione da cui la temperatura che dipendono dalla direzione da cui la radiazione provieneradiazione proviene

- Le fluttuazioni di temperatura sono veramente - Le fluttuazioni di temperatura sono veramente piccolissime (decimillesimi di grado) ma sono la chiave piccolissime (decimillesimi di grado) ma sono la chiave per rispondere alle domande che prima abbiamo per rispondere alle domande che prima abbiamo formulatoformulato

- Si può dire che WMAP ha scattato una Si può dire che WMAP ha scattato una fotografia dello fotografia dello stato termico dell’universo come si presentava 13,7 stato termico dell’universo come si presentava 13,7 miliardi di anni fa e solo 380000 anni dopo il big bangmiliardi di anni fa e solo 380000 anni dopo il big bang

Il risultato più atteso di WMAPIl risultato più atteso di WMAPLa foto più antica dell’universoLa foto più antica dell’universo

Blu scuro = 2,725300 K ; rosso = 2,725700 KBlu scuro = 2,725300 K ; rosso = 2,725700 K

Una Una scopertascoperta

Più o meno Più o meno tutte le macchie tutte le macchie che indicano che indicano una fluttuazione una fluttuazione hanno le stesse hanno le stesse dimensionidimensioni

L’angolo di cielo L’angolo di cielo sotto cui sotto cui vediamo tali vediamo tali macchie è macchie è all’incirca all’incirca uguale per tutte uguale per tutte le fluttuazionile fluttuazioni

I risultati di una buona analisi I risultati di una buona analisi = 180 / l = 180 / l

spettroWmap.jpgspettroWmap.jpg

Ma perché?Ma perché?

Perché ci sono le fluttuazioni?Perché ci sono le fluttuazioni?

Perché le loro dimensioni Perché le loro dimensioni sono distribuite in quel sono distribuite in quel

modo?modo?

I risultati di una buona analisi I risultati di una buona analisi = 180 / l = 180 / l

spettroWmap.jpgspettroWmap.jpg

Un possibile meccanismo Un possibile meccanismo

- Le fluttuazioni possono aver avuto origine solo in una Le fluttuazioni possono aver avuto origine solo in una frazione di secondo dopo il big bangfrazione di secondo dopo il big bang

- Le fluttuazioni consistevano di addensamenti o di Le fluttuazioni consistevano di addensamenti o di rarefazioni locali di materia e di fotoni rarefazioni locali di materia e di fotoni

- La materia contenuta in una fluttuazione tendeva, La materia contenuta in una fluttuazione tendeva, attraverso il fenomeno della gravità, ad attirare materia e attraverso il fenomeno della gravità, ad attirare materia e fotoni verso il centro, ma fotoni verso il centro, ma

- i fotoni contenuti in una fluttuazione tendevano ad i fotoni contenuti in una fluttuazione tendevano ad espanderla per effetto della pressione di radiazione che i espanderla per effetto della pressione di radiazione che i fotoni esercitanofotoni esercitano

- Si trattava di sistemi non in equilibrio che si espandevano e Si trattava di sistemi non in equilibrio che si espandevano e si contraevano attorno alla loro posizione di equilibrio si contraevano attorno alla loro posizione di equilibrio

- L’universo vibrava come vibra l’aria per causa di un suonoL’universo vibrava come vibra l’aria per causa di un suono- Al momento del disaccoppiamento ogni fluttuazione è stata Al momento del disaccoppiamento ogni fluttuazione è stata

sorpresa in qualche momento della sua oscillazione sorpresa in qualche momento della sua oscillazione

Un possibile Un possibile meccanismo meccanismo

- La maggior parte delle fluttuazioni non è riuscita però a La maggior parte delle fluttuazioni non è riuscita però a compiere delle oscillazioni complete ed ha continuato a compiere delle oscillazioni complete ed ha continuato a crescere (espansione e raffreddamento) o a contrarsi crescere (espansione e raffreddamento) o a contrarsi (contrazione e riscaldamento) per 380000 anni. (contrazione e riscaldamento) per 380000 anni.

- La crescita e la contrazione avvengono con la velocità La crescita e la contrazione avvengono con la velocità con cui varia di dimensioni un gas di fotoni e dunque ad con cui varia di dimensioni un gas di fotoni e dunque ad una velocità c/√3una velocità c/√3

- Al momento del disaccoppiamento dalla materia le Al momento del disaccoppiamento dalla materia le dimensioni di tali fluttuazioni erano dunque dimensioni di tali fluttuazioni erano dunque

- (3 10(3 1088/√3 m/s /√3 m/s .. 380000 380000 .. 3 10 3 1077s) = s) = 2 102 102121 m m- A partire da quel momento l’estensione delle fluttuazioni A partire da quel momento l’estensione delle fluttuazioni

è cresciuta insieme all’universo espandendosi di circa è cresciuta insieme all’universo espandendosi di circa 1100 volte (così come qualsiasi altra dimensione)1100 volte (così come qualsiasi altra dimensione)

- Perciò oggi la loro estensione vale:Perciò oggi la loro estensione vale: hh = 1100 = 1100 .. 2 10 2 102121 m = m = 2,2 10 2,2 102424 m m

Un Un calcolettocalcoletto

Noi oggi riceviamo su WMAP la radiazione che proviene Noi oggi riceviamo su WMAP la radiazione che proviene da strutture di queste dimensioni e che distano da noi da strutture di queste dimensioni e che distano da noi 13,7 miliardi di anni luce e dunque:13,7 miliardi di anni luce e dunque:

l = 1,2 10l = 1,2 102626 m m Perciò se lo spazio non ha curvatura noi dobbiamo Perciò se lo spazio non ha curvatura noi dobbiamo

osservare le strutture dovute alle fluttuazioni sotto un osservare le strutture dovute alle fluttuazioni sotto un angoloangolo

h/l = (2,2 10h/l = (2,2 102424 / 1,2 10 / 1,2 102626) radianti = 1 grado ) radianti = 1 grado Sotto un angolo minore se lo spazio ha curvatura Sotto un angolo minore se lo spazio ha curvatura

iperbolica; maggiore se ha curvatura sfericaiperbolica; maggiore se ha curvatura sferica

I risultati di una buona analisi I risultati di una buona analisi = 180 / l = 180 / l

spettroWmap.jpgspettroWmap.jpg

Il triangolo più grande del mondoIl triangolo più grande del mondoè molto prossimo ad un triangolo è molto prossimo ad un triangolo

tracciato in uno spazio piatto tracciato in uno spazio piatto (1%)(1%)

Anche a scale confrontabili con Anche a scale confrontabili con le dimensioni dell’universo lo le dimensioni dell’universo lo

spazio appare piatto spazio appare piatto

Sembra che il problema di Gauss Sembra che il problema di Gauss abbia una soluzione banaleabbia una soluzione banale

Ma la soluzione apparentemente Ma la soluzione apparentemente banale solleva molti più problemi di banale solleva molti più problemi di

quanti non sembra risolverne quanti non sembra risolverne

La teoria della relatività prescrive La teoria della relatività prescrive infatti che lo spazio possa essere infatti che lo spazio possa essere

piano solo se la densità media della piano solo se la densità media della materia e dell’energia vale un materia e dell’energia vale un

numero esatto molto prossimo a numero esatto molto prossimo a 10 10-26-26 kg/m kg/m33

(intanto abbiamo pesato il mondo!)(intanto abbiamo pesato il mondo!)

Ma perchèMa perchè

Perché tra tutti gli infiniti universi Perché tra tutti gli infiniti universi variamente curvi che sono possibili il variamente curvi che sono possibili il nostro è piano?nostro è piano?

Come è potuto succedere che la Come è potuto succedere che la densità media della materia e densità media della materia e dell’energia abbia assunto, tra gli dell’energia abbia assunto, tra gli infiniti valori possibili, proprio il infiniti valori possibili, proprio il valore che rende piatto lo spazio?valore che rende piatto lo spazio?

E ancoraE ancora

Perché analizzando i Perché analizzando i dati di WMAP e di dati di WMAP e di altri esperimenti altri esperimenti fondamentali si fondamentali si trova che la trova che la composizione in composizione in materia e in energia materia e in energia dell’universo deve dell’universo deve essere quella essere quella indicata in figura?indicata in figura?

La soluzione è prevista per ilLa soluzione è prevista per il

FUTUROFUTURO

EndEnd

Composizione Composizione dell’universo dell’universo al variare del al variare del

tempotempo

Alla PENZIAS E WILSONAlla PENZIAS E WILSON

Blu scuro = 0 K ; Rosso = 4 K ; quel verde = 2,725 KBlu scuro = 0 K ; Rosso = 4 K ; quel verde = 2,725 K