Il sistema di rappresentazione posizionale permette di rappresentare tutti i numeri, comunque grandi, mediante un insieme di

pochi simboli, chiamati CIFRE che assumono significato diverso secondo la

posizione che essi occupano.

Questo sistema di rappresentazione venne inventato dagli Indù e venne poi introdotto in Europa dagli arabi.

Nel sistema posizionale a base dieci si hanno DIECI CIFRE che rappresentano

i numeri:

0 (zero) 1 (uno) 2 ( due ) 3 (tre)4 (quattro) 5 (cinque) 6 (sei) 7 (sette)8 (otto) 9 (nove)

Al numero che , nella successione ordinata dei numeri interi assoluti,viene dopo il nove (il dieci ), non si attribuisce

un simbolo nuovo .Esso viene rappresentato mediante due

dei dieci simboli già prefissati, scrivendo:

10

Così mentre la cifra 1, scritta da sola, rappresenta l’unità, seguita dalla cifra 0 viene a rappresentare la somma di dieci

unità, cioè una decina .

I numeri successivi al dieci, si rappresentano sommando via via una unità al numero

rappresentato dalla cifra di destra:

11 , 12 , 13 ,14 ,……..,19

Aggiungendo ancora un’unità alla cifra di destra, si ottiene una decina che sommata alla decina rappresentata dalla cifra 1 alla sinistra di 9 dà due decine , che indicheremo con la scrittura :

20

Si procede così fino al novantanove (99).

Aggiungendo ancora un’unità si ottengono dieci decine (un centinaio ) che

si rappresenta con la cifra 1 seguita da due zeri.

100

In questo modo si procede per rappresentare numeri sempre più grandi.

E ‘ chiaro così il significato del nome POSIZIONALE per questo tipo di

rappresentazione numerica:le cifre che si usano per scrivere un numero non hanno un significato intrinseco, ma assumono diversi

significati secondo la posizione che occupano.

Il sistema posizionale descritto, si dice a BASE DIECI poiché ogni cifra posta in una certa posizione, rappresenta il numero di gruppi di dieci unità dell’ordine immediatamente inferiore (cioè di quelle che si scrivono alla sua destra).

ESEMPIO

0123 1091041021011249

9402001000

L’aver scelto proprio DIECI CIFRE per rappresentare i numeri in forma

posizionale non ha nessuna necessità logica. Qualsiasi numero di cifre, purché maggiori di uno , andrebbe benissimo dal

punto di vista teorico.

Su tutti i tipi di base è prevalsa sicuramente la base DIECI perché dieci

sono le dita delle mani dell’uomo, e contare le dita è sempre stato d’aiuto.

Supponiamo di scegliere la base OTTO .Poiché ci occorrono otto cifre distinte,

scegliamo le prime otto cifre del sistema a base dieci e cioè:

0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,7

Il numero successivo al sette nella successione dei numeri interi assoluti, cioè,

l’otto, dovrà essere scritto come il successivo al nove in base DIECI, scriveremo quindi :

10Nel numero scritto in BASE OTTO ogni cifra rappresenta il numero di

gruppi di otto unità di ordine immediatamente inferiore.

otto si scrive 10

(cioè un gruppo di otto unità)

sedici si scrive

ventiquattro si scrive

20

30

(cioè due gruppi di otto unità)

(cioè tre gruppi di otto unità)

Il numero 64 si deve pensare formato da otto gruppi di otto unità

quindi si scriverà : 100

Consideriamo il numero che in base otto si scrive : 2435 in base dieci si scriverà :

otto2435 0123 85838482 5836445122

5242561024

dieci1309

Trasformiamo il numero 183 dalla base DIECI alla base OTTO .

2 6 7

0 2 22 183

ottodieci 267183

La rappresentazione in base DUE è quella avente la minor base possibile .

Le sole cifre di questo sistema di rappresentazione, detto BINARIO, sono

0 , 1

Dal punto di vista operativo la rappresentazione in base due è la più

semplice e comoda.

Le tavole di addizione e moltiplicazione sono:

0 1

0

1

0

1

1

10

0 1

1 1

0 00

0

Quando bisogna sottrarre la cifra 1 dalla cifra 0, occorre come si suol dire,

chiedere in prestito un’ unità alla cifra che rappresenta unità dell’ordine

immediatamente superiore, cioè di quella posta alla sinistra della cifra considerata e tenere presente che tale unità avuta in

prestito vale due unità dell’ordine immediatamente inferiore.

SOTTRAZIONI NEL SISTEMA BINARIO

La divisione nel sistema binario di esegue con un procedimento analogo a

quello seguito nel sistema decimale

DIVISIONI NEL SISTEMA BINARIO

L’inconveniente del SISTEMA BINARIO è ovviamente la

necessità di molte cifre per rappresentare numeri

anche non molto grandi.