METODOLOGIADELLA RICERCA SOCIALEM

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Strumenti tecnici e metodologiciper l’analisi quantitativa e operativa dei fenomeni oggetto della ricerca sociale

ESIMONEDIZIONI

Gruppo Editoriale Simone

il sapere in una settimana

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i tecnici e metodologiciisi quantitativa va dei fenomeniella ricerca sociale

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STUDIA

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Copyright © 2008 Esselibri S.p.A.Via F. Russo 33/D80123 Napoli

Tutti i diritti riservatiÈ vietata la riproduzione anche parzialee con qualsiasi mezzo senza l’autorizzazionescritta dell’editore.

Per citazioni e illustrazioni di competenza altrui, riprodotte in questo libro,l’editore è a disposizione degli aventi diritto. L’editore provvederà, altresì, alleopportune correzioni nel caso di errori e/o omissioni a seguito della segnalazio-ne degli interessati.

Prima edizione: settembre 2008PK34 - Metodologia della ricerca socialeISBN 978-88-244-6356-0

Ristampe8 7 6 5 4 3 2 1 2008 2009 2010 2011

Questo volume è stato stampato presso:«Officina Grafica Iride» Via Prov. Arzano-Casandrino, VII trav. 24Arzano (Napoli)

Per informazioni, suggerimenti, proposte: info@simone.it

La parte prima è di: Luciano D’Abramo

La parte seconda è di: Laura Pagnini

Grafica e copertina: Gianfranco De Angelis

Impaginazione: Antonio Nocera

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Presentazione

Il testo presenta, con un linguaggio agile ed efficace, i concetti chiavedella Metodologia della ricerca sociale, ed è rivolto a tutti gli studentiche abbiano l’esigenza di testare e migliorare la propria preparazione.Il volume si compone di due parti; nella prima vengono presentati glistrumenti tecnici, concettuali e metodologici utilizzati nelle analisi quan-titative dei fenomeni oggetto della ricerca sociale; nella seconda, talifenomeni vengono trattati sia sul piano qualitativo che su quello quan-titativo. Seppure di taglio più tecnico, la prima parte, volta ad illustrareil metodo della statistica descrittiva, viene presentata riducendo al mi-nimo il ricorso alla strumentazione matematica, senza per questo dimi-nuirne il rigore scientifico.La disciplina è presentata in modo approfondito ed esaustivo nelle suelinee fondamentali, e la trattazione semplice e discorsiva agevola l’ap-prendimento delle metodologie, dei concetti e degli strumenti cono-scitivi applicati alle tecniche attuali di ricerca sociale.Ogni capitolo è corredato di glosse esplicative e si conclude con untest di verifica con soluzioni e brevi commenti, che consentono divalutare e fissare il livello di preparazione raggiunto.

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PARTE PRIMAElementi di statisticaper la ricerca sociale

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1. Introduzione al metodo statistico

Di cosa parleremo

In questo capitolo descriveremo in generale il metodo statistico, specifican-done i maggiori campi di applicazione, gli obiettivi, la prassi metodologica ela terminologia di base. Saranno poi trattate sia le rappresentazioni tabella-ri, diffusissime per la presentazione dei risultati di ogni indagine statistica,che le rappresentazioni grafiche, strumenti descrittivi di elezione nei casi incui non è necessaria una precisione elevata nella rappresentazione dei datia vantaggio di un’immediata valutazione sintetica della distribuzione deidati stessi; infine, verranno introdotti alcuni parametri di sintesi che per-mettono una valutazione dei risultati, quali le medie di posizione e di calco-lo. Le formule descritte, determinanti per l’elaborazione dei dati osservati,sono state ridotte a quelle più utilizzate e permettono, al lettore con unminimo bagaglio matematico, di approfondire le tecniche di calcolo mag-giormente usate.

1) Definizione del metodo

Cos’è il metodo statistico. Il metodo statistico è un insieme diteorie e di metodi che permette di raccogliere, descrivere e presen-tare insiemi di dati, allo scopo di ricavarne agevolmente informa-zioni che ne sintetizzino alcune caratteristiche e che forniscano pre-visioni affidabili su insiemi più grandi rispetto ai dati oggetto diosservazione.

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La parola statistica (dal latino status)deriva dal fatto che il suo utilizzo inizialeriguardava la raccolta, l’elaborazione e ladiffusione di dati che descrivevano aspettiquantitativi delle caratteristiche specifiche diuna nazione.

Obiettivo della statistica. L’obiettivo della statistica, individuabiledalla definizione, è di duplice natura: sintetizzare e permettere esten-sioni e generalizzazioni. Sintetizzare significa predisporre i dati rac-colti in una forma tale da rappresentarli efficacemente, ovvero conrelativamente pochi numeri e/o indici, in modo da comprendere lecaratteristiche essenziali dei fenomeni analizzati attraverso i dati rac-colti. La sintesi viene dunque incontro all’esigenza di semplificazione.I metodi e le tecniche sviluppati per soddisfare questa finalità appar-tengono alla statistica descrittiva. A volte, a causa soprattutto dellalimitata disposizione di risorse economiche e temporali, si pone l’esi-genza di estendere il risultato delle analisi effettuate su gruppi limitatidi unità statistiche (il campione) all’intero insieme di appartenenza(universo statistico). Le tecniche e i metodi che si usano in questo casorappresentano il contenuto della statistica inferenziale.

I campi di applicazione. I campi di applicazione del metodo statisti-co sono tutti quelli in cui si presentano fenomeni ripetitivi su insieminumerabili di elementi in cui occorre prendere decisioni in condizionidi incertezza (ricerca scientifica, farmacologia, interventi di natura eco-nomica e finanziaria ecc.). Anche se non ce ne accorgiamo, siamobersagliati quotidianamente da dati di natura statistica (ad esempio irisultati di sondaggi) e inoltre facciamo uso della statistica frequente-mente: ad esempio, quando facciamo previsioni sul tempo di percor-renza di un autobus.

Esempi di applicazioni statistiche:

— valutazione dell’efficacia di un farmaco;— valutazione della migliore produttività di sementi diverse di cereali;

Statistica: scienza, strumen-tale ad altre, concernente ladeterminazione dei metodiscientifici da seguire per rac-cogliere, elaborare e valutarei dati riguardanti l’essenza diparticolari fenomeni di massa.

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— dati su nascite, matrimoni, morti su un certo territorio;— dati sull’inflazione, sull’andamento dei prezzi.

2) Il metodo statistico

Affinché le informazioni deducibili dai dati rilevati possano esserecorrettamente utilizzate è necessario sapere:

— la terminologia;— come organizzare un’indagine statistica;— come rappresentare e analizzare i dati;— quali sono gli indici che li caratterizzano;— quali conclusioni trarre.

Un aspetto importante dell’indagine statistica è costituito dalle fontidei dati, che devono essere scelte con criteri di affidabilità e veridicitàindispensabili per raggiungere gli obiettivi del metodo. Per ottenere idati necessari si può:

— predisporre ed eseguire esperimenti;— condurre un sondaggio;— effettuare uno studio sul campo;— ricorrere a fonti accreditate di dati, pubbliche o private che hanno

il compito di fornire i dati, reperiti con uno dei metodi precedenti.

Nei casi in cui sia richiesta una tecnica più efficace, alternativa siaal questionario che all’intervista esterna, si fa ricorso alla cosiddettaosservazione partecipante che prevede – allo scopo di rendere il piùpossibile oggettive le osservazioni – l’inserimento e la parziale integra-zione nei gruppi, costituiti ovviamente in questi casi esclusivamenteda persone, da parte di chi deve condurre la raccolta dei dati.

Un posto importantissimo nel panorama dei fornitori di dati occu-pa in Italia l’ISTAT, Istituto Nazionale di Statistica (sito www.istat.it)che si occupa, tra l’altro, di organizzare i censimenti della popolazio-ne, dell’industria e commercio e dell’agricoltura. Altre attività di rileva-zione dell’ISTAT sono: i movimenti migratori della popolazione, la sa-

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nità, l’istruzione, la cultura, il clima, il turismo, la pesca e la caccia, iprezzi, il lavoro, i bilanci familiari ecc.

La terminologia. Si definisce carattere (o variabile) un qualsiasiaspetto della realtà (ad esempio reddito, titolo di studio ecc.) suscetti-bile di assumere valori diversi, rilevabili attraverso l’osservazione. Imodi con cui si presentano questi valori si chiamano modalità, men-tre i soggetti nei quali sono stati osservati si definiscono unità statisti-che, il cui insieme si indica con l’espressione popolazione statisticao universo statistico.

Le modalità di una variabile vengono definite a priori.

Esempi di carattere statistico:

— il carattere «sesso» si manifesta con le modalità Maschi e Femmine;— il carattere «numero di figli» si manifesta con modalità espresse da

numeri interi maggiori o uguali a zero;— il carattere «titolo di studio» si esprime con modalità espresse da

descrizioni, diverse da Paese a Paese, ma che individuano in ma-niera univoca il tipo di studi inerenti al titolo connesso; esempi:licenza elementare, diploma di scuola superiore.

Nel caso in cui si studi un carattere per volta si parlerà di statisticaunivariata, mentre nel caso si pongano in relazione tra loro due o piùcaratteri statistici sulla stessa popolazione si parlerà rispettivamente distatistica bivariata o multivariata.

Tipi di caratteri. I caratteri statistici possono essere suddivisibilisulla base di diversi punti di vista. Secondo la modalità di rappresenta-zione, i caratteri si distinguono in:

— qualitativi o mutabili: si esprimono attraverso attributi non numerici,ad esempio colore degli occhi, colore dei capelli ecc.; in tal caso, i datistatistici rilevati formano delle serie cosiddette sconnesse;

— quantitativi: le cui modalità si esprimono attraverso numeri; adesempio numero di figli, reddito annuo; in tal caso i dati statisticirilevati formano una seriazione.

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I caratteri quantitativi possono a loro volta essere distinti, osser-vando l’insieme dei numeri con cui vengono rappresentati, in:

— discreti, quando le modalità sono solo alcuni numeri, in genere inumeri naturali o loro sottoinsiemi;

— continui, quando le modalità sono i numeri reali o loro sottoinsie-mi.

Un’ulteriore classificazione dei caratteri si può effettuare in basealla scala di misurazione con cui si distinguono tra loro le modalità delcarattere osservato. Secondo questo criterio, le scale di misura si clas-sificano in:

— scala nominale; in questo tipo di scala il carattere, che è semprequalitativo, si esprime secondo delle griglie di uso comune. Unesempio è il colore degli occhi: azzurro, marrone, verde, nero ecc.;

— scala ordinale; in questo caso il carattere è qualitativo ma le suemodalità sono suscettibili di essere poste in ordine (crescente odecrescente); ad esempio il titolo di studio: licenza elementare,licenza media, laurea;

— scala ad intervalli; in tal caso il carattere è quantitativo ma con-sente solo confronti per differenza tra le modalità espresse. Comeesempio si può citare la temperatura. Infatti ha senso parlare solodi differenze di temperatura ma non, ad esempio, di rapporti tra inumeri che le esprimono.

— scala di rapporti; il carattere è quantitativo e sono permesse tuttele operazioni aritmetiche, incluso il rapporto, tra le modalità concui viene espresso; ad esempio peso, altezza, reddito ecc.

Utilizzo di codici nella rappresentazione dei dati statistici. La raccol-ta ed elaborazione dei dati viene facilitata mediante l’utilizzo di codici.

In particolare si utilizzano opportuni codici per:

— le modalità delle variabili;— identificare il/i questionario/i (progressivi);— identificare la mancata informazione, il rifiuto di rispondere ecc.,

allo scopo di renderne più agevole la valorizzazione nei questionari.

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Il campione. Quando l’universo statistico non può essere studiatocompletamente si ricorre ad un campione che sia in grado di fornireuna rappresentazione di un insieme più vasto (sottoinsieme di una«popolazione» statistica). Per poter effettuare in modo efficiente la sele-zione dei dati oggetto del campione occorre tener conto di alcunecaratteristiche che esso deve possedere, sia di tipo qualitativo (rappre-sentatività dell’intera popolazione, località, temporalità ecc.) che quan-titativo (numerosità del campione). Infine, la pianificazione della rac-colta dei dati deve tener presente fattori economici sia di tempo che dispesa, che determinano oggettivamente la confidenza delle analisi sta-tistiche effettuate successivamente all’elaborazione dei dati stessi.

Le frequenze. Si definisce frequenza assoluta il numero di volte cheuna certa modalità si manifesta nella popolazione di riferimento. Ladistribuzione di frequenze nelle varie modalità descrive come il feno-meno in esame si manifesta nella popolazione o nel campione (disolito indicata con N).

Altre frequenze usate in statistica sono:

— frequenza relativa, definita come rapporto tra la frequenza asso-luta di ciascuna modalità ed il numero di elementi costituenti lapopolazione statistica;

— frequenza percentuale, assoluta o relativa, che esprime in ter-mini percentuali rispettivamente la frequenza assoluta e la frequenzarelativa di ciascuna modalità osservata;

— frequenza cumulata: può essere definita solo per caratteri ditipo quantitativo oppure per caratteri qualitativi ordinabili;per ogni modalità del carattere, essa si calcola sommando alla fre-quenza assoluta della modalità in esame, le frequenze assolute ditutte le modalità precedenti, già ordinate in senso crescente.

La successione delle frequenze che corrispondono alle modalità diun carattere qualitativo viene chiamata serie statistica. La distribuzio-ne di caratteri di tipo quantitativo viene invece chiamata seriazione.Nel caso di caratteri quantitativi continui, le frequenze si riferiscononon ad una modalità espressa da un numero ma ad intervalli di valo-

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ri, ognuno dei quali include l’infinità dei possibili valori corrispondentiai numeri reali compresi in ciascun intervallo (almeno virtualmente).Ad esempio, la variabile «peso di un individuo» estrapolato dalla classe50-60 kg comprende uno qualsiasi dei numeri reali esistenti tra 50 e60. In questo caso, si procede ad un raggruppamento in classi cor-rispondenti agli intervalli di valori prescelti.

Ciascuna classe ha:

— un limite inferiore corrispondente al valore più piccolo che puòeffettivamente appartenere alla classe;

— un limite superiore corrispondente al valore più grande che puòeffettivamente appartenere alla classe;

— un valore centrale corrispondente al valore che è esattamente alcentro tra il limite superiore e quello inferiore.

3) La rappresentazione dei dati: le tabelle e i grafici

Le tecniche di rappresentazione dei dati raccolti fanno uso princi-palmente di tabelle e di grafici.

Le due tecniche non sono necessariamente alternative; la primaprivilegia l’esposizione numerica in forma sintetica, e la seconda laprospettazione visiva in forma d’immagine, meno accurata ma piùimmediata rispetto alle differenze tra i dati.

Le tabelle più usate sono le cosiddette tabelle di frequenza. Questeelencano le modalità (eventualmente raggruppate in classi o categoriedi valori) insieme alle frequenze assolute (numerosità degli elementiper ciascuna modalità) e alle frequenze relative, ricavate dalle fre-quenze assolute divise per il totale delle osservazioni («N», che costitu-isce la popolazione statistica). I grafici sono, peraltro, molto utilizzatinei metodi di ricerca nel campo delle scienze sociali, dove l’effettoqualitativo visivo fornisce indicazioni efficaci, vista la numerosità delleosservazioni, evitando spesso il ricorso a rappresentazioni numeriche,la cui elaborazione è svolta, in generale, da comuni programmi stan-dard per personal computer.

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Esempio di tabella statistica semplice

Voto Allievi(modalità) (frequenza)

4 35 56 87 58 3

Nella prima colonna si pone la variabile osservata (in questo casovoto) nelle sue modalità (le righe della tabella), mentre nella secondacolonna si pone la frequenza assoluta con cui ciascuna modalità èstata rilevata. Talvolta nella seconda colonna di una tabella statisticaviene riportata direttamente la frequenza relativa o, in taluni casi,quando queste sono molto piccole e impongono l’uso dei decimali,si presenta direttamente nella seconda colonna la frequenza relativapercentuale.

Esempio di tabella statistica con esposizione di vari tipi di frequenze rilevate

VotiAllievi Frequenza Frequenza

(frequenza) relativa relativa %

4 2 0,09 95 4 0,18 186 8 0,36 367 5 0,23 238 3 0,14 14

Totale 22 1 100

La somma delle frequenze relative è sempre uguale a 1, mentre lasomma delle frequenze relative percentuali è sempre uguale a 100.

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Esempio di tabella con raggruppamento in classi della variabile

Variabile statistica Frequenza«classi di età» «numero di operai»

20 - 30 22031 - 40 18541 - 50 12051 - 60 25

Particolarmente efficace risulta la rappresentazione tabellare quan-do occorre mettere a confronto i risultati di due indagini statistichesullo stesso carattere eseguite in tempi o luoghi diversi oppure, comenell’esempio seguente, su campioni diversi:

Confronto tra distribuzioni

Voti Allievi Frequenza Frequenza1° A (frequenza) relativa relativa %

4 2 0,09 95 4 0,18 186 8 0,36 367 5 0,23 238 3 0,14 14

Totale 22 1 100

Voti Allievi Frequenza Frequenza1° B (frequenza) relativa relativa %

4 4 0,15 155 5 0,19 196 9 0,33 337 5 0,18 188 4 0,15 15

Totale 27 1 100

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Naturalmente il confronto, nel caso di popolazioni statistiche dinumerosità diverse, è possibile solo attraverso le frequenze relative(semplici o percentuali).

I grafici o diagrammi. Spesso in ambito statistico si fa uso di graficio diagrammi. Questi possono essere di vario tipo e, in generale, offro-no una percezione immediata della distribuzione di frequenze rappre-sentata. Naturalmente essi vengono presentati sempre a partire da unarappresentazione tabellare, anche se questa, per comodità, talvoltanon viene mostrata.

Rappresenteremo con degli esempi i seguenti tipi di grafici:

— a barre orizzontali o verticali;— a torta;— a pile;— a bastoncelli;— istogrammi;— cartogrammi.

I diagrammi a barre sono particolarmente utili quando si devonoesprimere frequenze negative, ottenute per differenze con dati prece-denti il cui risultato è appunto negativo, come nell’esempio che segue.

Zona geografica Italiani Stranieri

Nord - ovest 1,1 –7,6

Nord - est –1,0 –1,6

Centro –2,9 5,9

Sud e isole 6,5 –16,1

-20

-15

-10

-5

0

5

10

Nord-ovest

Nord-est

Centro

Sude isole

Percentuali

Zone

Italiani

Stranieri

Arrivi (espressi sotto forma di variazioni percentuali rispetto allo stesso periodo dell’anno precedente)negli esercizi alberghieri per ripartizione geografica, durante il periodo di ferragosto 2001 (Fonte: ISTAT).

Esempio di rappresentazione grafica di una tabella mediante un diagramma a barre

Tabella 1 Figura 1

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Nel caso di distribuzioni di frequenze relative a variabili qualitative(serie sconnesse o ordinate), si fa spesso ricorso a una rappresentazio-ne grafica con diagrammi distanziati, oppure ad un diagramma circo-lare, detto anche a torta, nel quale l’ampiezza dell’angolo al centrorelativo a ciascuna frequenza è proporzionale ad essa, come nell’esem-pio riportato qui sotto:

Quando si devono rappresentare seriazioni, ovvero distribuzioniquantitative di un carattere discreto, si preferisce usare un diagrammadel tipo a bastoncini la cui altezza è proporzionale alla frequenza,come nell’esempio seguente:

Distribuzione dei redditi medi annui lordi di 4 categorie di dipendenti di un’azienda.

Figura 3

Dipendenti Redditi annui (in euro)

Operai 15.500

Impiegati 18.000

Quadri 23.500

Dirigenti 26.000

Tabella 3

30.000

25.000

20.000

15.000

10.000

5.000

0 Operai Impiegati Quadri Dirigenti

Province Superficie (kmq)

Avellino 2.792

Benevento 2.071

Caserta 2.639

Napoli 1.171

Salerno 4.922

Totale 13.595

Superficie (in kmq) delle province della Campania.

2.792

2.071

2.6391.171

4.922 AvellinoBeneventoCasertaNapoliSalerno

Figura 2Tabella 2

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Gli istogrammi sono dei grafici a forma di rettangoli, utilizzati inmolte rappresentazioni di funzioni nelle quali sulle ascisse sono postigli intervalli della variabile indipendente mentre i corrispondenti valoriassunti dalla variabile dipendente sono posti sull’asse delle ordinate.

Tuttavia, in statistica, gli istogrammi privilegiano un’interpreta-zione intuitiva immediata, secondo la quale l’area dei rettangoli delgrafico deve essere proporzionale alla frequenza (assoluta o relati-va). Per ottenere ciò, si ricorre alla definizione di una grandezza, chia-mata densità di frequenza, priva di significato fisico, ottenuta divi-dendo ciascuna frequenza assoluta per la relativa ampiezza di classe;la densità viene normalmente posta sull’asse delle ordinate. Sull’assedelle ascisse è rappresentata l’ampiezza delle classi. Gli istogrammivengono utilizzati, ovviamente, soltanto in presenza di raggruppamentiin classi di variabili quantitative.

Esempio di un istogramma statistico

Tabella 4 Figura 4

Distribuzione dei tempi di funzionamento di 50 pezzi prodotti da una macchina.

1625-30

615-20

Num.pezzi

Tempi(ore)

635-45

1030-35

1220-25

15 20 25 30 35 45

densità

4 -

3 -

2 -

1 -

Tempi (ore)

0,6

2

3,2

2,4

1,2

Densità=Num .pezzi/tempi

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Infine, per serie di tipo territoriali, cioè per frequenze di una varia-bile osservata, su territori omogenei, si fa ricorso ai cosiddetti carto-grammi; nel caso seguente, viene presentato il cartogramma relativoalla distribuzione del numero di italiani (distinti per regione) apparte-nenti a una data associazione culturale.

Le regioni in bianco sono quelle in cui il numero degli iscritti non supera i 15;le regioni in nero sono quelle in cui il numero degli iscritti è compreso tra 35 e 43.

Regioni Iscritti

Piemonte 16

Lombardia 34

Veneto 43

Emilia Romagna 33

Toscana 42

Marche 32

Puglia 24

Campania 23

Sardegna 35

Altre regioni 0

Tabella 5 Figura 5

Numero di iscritti:

35 - 43

25 - 34

16 - 24 0 - 15

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Test di verifica

1. Nel caso di distribuzioni di variabili qualitative, il grafico più efficaceper rappresentarle è:

❏ a) Il cartogramma.❏ b) Il diagramma a bastoncini.❏ c) Il diagramma con rettangoli distanziati.❏ d) L’istogramma.❏ e) Tutti i grafici sopra indicati.

2. Individuare l’opzione esatta:

❏ a) Il colore degli occhi e l’età sono variabili di tipo qualitativo.❏ b) Il colore degli occhi è una variabile qualitativa mentre l’età

è quantitativa.❏ c) Il colore degli occhi è una variabile quantitativa mentre

l’età è qualitativa.❏ d) Il colore degli occhi e l’età sono entrambe variabili di tipo

quantitativo.❏ e) Tutte le risposte precedenti sono errate.

3. Individuare la sequenza corretta delle fasi di un’indagine statistica:

❏ a) Rilevazione, analisi, spoglio, rappresentazione dei dati.❏ b) Spoglio, rilevazione, analisi, rappresentazione dei dati.❏ c) Rilevazione dei dati, spoglio, rappresentazione, analisi dei dati.❏ d) Analisi dei dati, rappresentazione, spoglio, rilevazione dei

dati.❏ e) Analisi dei dati, spoglio, rappresentazione, rilevazione dei

dati.

4. In una scala ordinale:

❏ a) Il carattere è sempre qualitativo.❏ b) Il carattere è sempre quantitativo.

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❏ c) Il carattere può essere qualitativo oppure quantitativo.❏ d) Tutte le risposte precedenti sono errate.❏ e) Tutte le risposte precedenti sono corrette.

5. Gli istogrammi vengono utilizzati:

❏ a) Per rappresentare variabili qualitative.❏ b) Per rappresentare variabili quantitative a valori discreti.❏ c) Per rappresentare variabili quantitative raggruppate in clas-

si.❏ d) Per rappresentare variabili di tipo territoriale.❏ e) Tutti le risposte fornite sono corrette.

Soluzioni e commenti

1. Risposta corretta c). Il diagramma con rettangoli distanziati, unita-mente a quello circolare, permette una visione immediata per seriedi tipo qualitativo. Il cartogramma viene utilizzato per serie di tipoterritoriale, il diagramma a bastoncini è molto utile per variabiliquantitative discrete mentre l’istogramma viene utilizzato per rap-presentare variabili quantitative raggruppate in classi.

2. Risposta corretta b). Il colore degli occhi è una variabile qualitativapoiché viene espresso con una descrizione (blu, neri ecc.) mentrel’età è quantitativa poiché si esprime con numeri (20,30,40 ecc.).

3. Risposta corretta c). Infatti si parte dalla rilevazione dei dati chepuò essere svolta attraverso dei questionari/interviste; successiva-mente si procede allo spoglio che ne permette una migliore orga-nizzazione da cui si ricava la rappresentazione più efficace per glistessi. Infine si procede all’analisi dei dati per ricavarne parametriutili ad esprimere in modo sintetico le caratteristiche più salientidella distribuzione analizzata.

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4. Risposta corretta a). Infatti una scala si dice ordinale quando espri-me un carattere qualitativo, le cui modalità possono essere messein ordine crescente o decrescente.

5. Risposta corretta c). L’istogramma infatti fornisce una rappresenta-zione a forma di rettangoli in cui la base è rappresentata dall’am-piezza delle classi in cui viene suddivisa la variabile, necessaria-mente di tipo quantitativo.

2. L

a va

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lità

stat

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i di c

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2. La variabilità statistica e gli indici di calcolo

Di cosa parleremo

In questo capitolo tratteremo alcuni degli indici più utilizzati per sintetizza-re efficacemente i risultati dell’indagine statistica; verranno poi descritti iparametri utilizzati per la misura della variabilità statistica, definita comel’attitudine di un fenomeno ad assumere le modalità della variabile osserva-ta. In particolare, saranno trattati il significato e le formule connesse con ipiù importanti parametri di variabilità utilizzati in statistica: lo scarto qua-dratico medio e la varianza.

1) Elementi di sintesi delle rilevazioni statistiche: gli indici di posizione, divariabilità e di forma

Per poter interpretare in modo efficace i risultati statistici è neces-sario fornire degli indici sintetici che ne esprimano le caratteristichepiù significative in senso statistico.

In questo modo, sarà possibile confrontare tali risultati con distri-buzioni di fenomeni analoghi osservati in condizioni diverse. Si distin-guono, in particolare, gli indici di posizione che comprendono inprimo luogo le medie di calcolo, che tengono conto di tutti i valori diuna distribuzione statistica e le medie di posizione, che tengono contosolo di alcuni valori. Le medie di calcolo sono quattro:

— la media aritmetica;— la media geometrica;— la media quadratica;— la media armonica.

Le medie di posizione sono due e precisamente: la moda e lamediana.

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La media aritmetica. Si definisce media aritmetica di più numeri quelvalore che, sostituito a ciascuno di essi, lascia invariata la loro somma.

Indicando con x1, x

2, x

3,….. x

n i numeri dati, si ha:

x1 + x

2 + x

3+ ….. x

n = M + M + M + .... M = nM

da cui si ricava:

Mx

ni i=

Σ

M è detta media aritmetica semplice.

Nel caso in cui ciascuna modalità del carattere xi si presenti con

frequenza fi si otterrà la media aritmetica ponderata data da:

Mx f x f x f

f f f

x f

f

n n

n

i ii

n

i

=+ +

+ +=∑1 1 2 2

1 2

.....

....ii

n∑Le frequenze sono i pesi con cui viene effettuata la media. Sosti-

tuendo alla sommatoria al denominatore il valore N (popolazione ouniverso statistico), si avrà:

Mx f

N

i ii

n

=∑

La media aritmetica ha senso solo per variabili quantitative. Nelcaso di frequenze unitarie si utilizzerà la media semplice, nel caso difrequenze assolute diverse dall’unità, si utilizzerà la media ponderata.Nel caso di raggruppamenti delle modalità in classi occorre determina-re dapprima il valore centrale di ciascuna classe; successivamente sicalcola la media ponderata dalla formula:

Mx f

N

ci ii

n

=∑ dove xci con si è indicato il valore centrale della

classe -iesima.

Scarto dalla media. Si definisce scarto di ogni valore xi dalla media,

la differenza tra tale valore e la media aritmetica semplice.

2. L

a va

riabi

lità

stat

istic

a e

gli i

ndic

i di c

alco

lo

23

In formule:

scarto = Xi - M con i = 1,2,……n

Proprietà della media aritmetica. La media aritmetica semplice equella ponderata godono di alcune proprietà delle quali citiamo, sen-za dimostrazione, le seguenti:

a) la media aritmetica semplice è un valore compreso tra il più picco-lo e il più grande dei valori osservati;

b) la somma algebrica di tutti gli scarti (positivi e negativi) è uguale a zero;c) aggiungendo (o sottraendo) a tutti i valori x

i la stessa quantità K, la

media aritmetica è incrementata (o ridotta) di tale quantità.

La media geometrica (ponderata). Viene definita come la radice en-nesima del prodotto delle singole modalità elevate alle rispettive fre-quenze. In formule:

M x x x x ..... xgn

1 2 3 4= × × × × ×n n n n1 2 3 4

kknk

dove le x sono le modalità della variabile (ovviamente di tipo quan-titativo) e le n rappresentano le relative frequenze assolute.

La media geometrica si può anche scrivere in forma sintetica:

Mg ==

∏xii

n

n

1 dove il simbolo

i

n

=∏

1indica il prodotto dei termini

xi da 1 a n.

La media quadratica (ponderata). La media quadratica viene definitacome radice quadrata della sommatoria dei quadrati delle modalità per lerelative frequenze, divisa per il numero delle osservazioni. In formule:

M

X f

Nq

ii

k

i

= =∑ 2

1

Part

e Pr

ima:

Ele

men

ti di

sta

tistic

a pe

r la

ricer

ca s

ocia

le

24

La media quadratica semplice si può calcolare nel caso in cui lefrequenze di tutte le modalità siano tutte uguali all’unità.

La media armonica (ponderata). La media armonica è definita comenumero totale delle osservazioni diviso la sommatoria del reciprocodelle singole modalità moltiplicate per le rispettive frequenze. La suaformula è:

Mh =+ +

==

N

Xf

Xf

Xf

Nf

Xkk i

k i

i

1 1 1

11

22 1

.... Σ

La media armonica trova un’utile applicazione quando tra le mo-dalità si riscontra il valore (infinito) , in modo che il reciproco siannulli. La media armonica semplice si può calcolare nel caso in cui lefrequenze di tutte le modalità siano tutte uguali all’unità.

Per una stessa distribuzione di frequenze si ha:

Mh < = Mg < = M

2) Medie di posizione

La moda. La moda, detta anche valore normale o valore modale onorma, è un valore caratteristico di una distribuzione di frequenzedefinito come la modalità della variabile osservata a cui corrisponde lamassima frequenza.

Nel caso in cui i dati siano raggruppati in classi, per trovare laclasse modale occorre prima svolgere le seguenti considerazioni:

— se l’ampiezza della classe è uguale per tutte le modalità, si definisceclasse modale quella cui corrisponde la frequenza assoluta maggiore;

— se le classi hanno ampiezza diversa occorre dividere ciascuna fre-quenza per l’ampiezza della rispettiva classe, trovando la densitàdella classe: in questo caso, la classe modale è quella cui corrispon-de la densità maggiore.