Il reticolo di diffrazione

Un reticolo è costituito da N fenditure, ciascuna di larghezza a, parallele ed equispaziate di una distanza d. Si realizza ad es. tracciando delle incisioni sottili su una lastra di vetro con una punta di diamante posta su una macchina utensile molto precisa. Le parti comprese tra due incisioni costituiscono le fenditure. Più recentemente la tecnica consiste nel depositare uno strato di materiale riflettente su una lastra di vetro ed asportare lo strato con una punta di diamante (reticolo in riflessione). Sono anche usate tecniche di asportazione controllata mediante fotolitografia (analoghe a quelle per la creazione di circuiti stampati).

La distanza d tra due fenditure è il passo del reticolo: la larghezza complessiva L del reticolo è =Nd. Valori tipici sono: L = 2.5 cm con N = 104 linee per cui il passo è d = L/N = 2.5 10-4 cm = 2.5 m; la larghezza a di ciascuna fenditura può essere di ¼ di d per cui a = 0.6 m.

Il reticolo è uno strumento molto potente per l’analisi spettrale della radiazione emessa dalle varie sostanze.

Un’onda piana di lunghezza d’onda incide sul reticolo che sta in un piano d’onda; l’incidenza è normale; dopo il reticolo una lente convergente trasforma l’onda piana in un’onda convergente ad es. sul punto P. A ciascuna delle fenditure la luce viene diffratta come visto nel caso della singola fenditura: i fasci diffratti dalle varie fenditure interferiscono a loro volta nel punto P dando luogo ad una figura di diffrazione prodotta dal reticolo.

Per una trattazione quantitativa consideriamo i campi prodotti dalle ondine diffratte dalle varie fenditure come in figura. Supponiamo che l’ampiezza del campo sia la stessa per le diverse fenditure (sorgenti secondarie)

Consideriamo i campi elettrici delle onde che si propagano lungo la direzione e calcoliamo le differenze di cammino su un piano PQ perpendicolare. Le onde diffratte dalle varie fenditure saranno: E1 = (E0 /x1) sin (kx1- t) E2 = (E0 /x2) sin (kx2- t) = (E0 /x2) sin [k(x1 + ) - t)] E3 = (E0 /x3) sin [k(x1 + 2 - t)] E4 = (E0 /x4) sin [k(x1 + 3 - t)] con = d sin: diff di percorso tra due fenditure consecutive. Se supponiamo che la distanza media x sia grande rispetto a d: x1 x2 x3 x4 ..La composizione dei campi si effettua con

il metodo dei fasori: ogni componente del campo di eguale ampiezza è spostata dell’angolo: = k•δ = 2/. Nella direzione = 0 e cioè nel piano perpendicolare alla direzione di incidenza sul reticolo è = d sin = 0 e = 0. I vettori sono tutti sovrapposti e la risultante ha ampiezza A0 = N(E0/x) con intensità I0 = (c0/2) N2

(E0/x)2 = N2 I (I = intensità prodotta dalla singola fenditura). Facciamo ora crescere con continuità: i vettori si aprono a ventaglio: la loro risultante diminuisce. I loro estremi si distribuiscono su una semicirconferenza e poi su una circonferenza: la risultante A si annulla: si ha il primo minimo per = 2/N ; = /N. Se aumentiamo ancora la risultante cresce di nuovo: il sistema copre una circonferenza e mezza.

Nuovo zero quando i vettori si distribuiscono su due circonferenze, poi su tre ecc. Per = m 2/N; = m /N con m = 1, 2, 3,.. si ha una successione di minimi di intensità nulla. Questi minimi sono separati da massimi secondari corrispondenti a = (2m +1) /N cioè a distribuzioni dei vettori su 3/2, 5/2, 7/2.. di circonferenza. Le ampiezze rispettive sono: 2N (E0/x)/3 …Il rapporto di intensità tra il massimo centrale ed il primo max secondario vale: 9 2/4 22; esso data la vicinanza angolare non si distingue dal massimo principale.

Un massimo confrontabile con il massimo centrale si ha per: = 2; = : gli N vettori si trovano tutti allineati. Lo stesso per = 2m; = m : si ha quindi:

2,... 1, 0,m d

m ; md m

sin2sin

2

La formula dà, fissato il rapporto tra lunghezza d’onda e passo, le direzioni per le quali l’intensità è max per l’interferenza. Per m = 0, = 0 massimo centrale; per m = 1 i massimi del primo ordine; per m = 2 i massimi del secondo ordine ecc. L’ordine massimo possibile risulta limitato da sin m 1, m d/. Se l’ampiezza del campo elettrico di ciascuna sorgente non dipende da tutti i massimi principali hanno la stessa intensità: I = N2 I1.

Lo stesso andamento dei massimi secondari avviene anche nell’intorno di ciascun massimo principale data la periodicità di 2.

La distanza angolare tra il max che si forma per sinm = m /d ed il minimo adiacente è:

Se /L << 1 si può porre: (sin) = cosm .

Si definisce larghezza angolare di un massimo principale:

LNd

)(sin

mmm LNd

cos

2

cos

22

A parità di passo d più largo è il reticolo maggiore è N e più stretti sono i

massimi principali. La figura mostra i risultati per vari valori di N. Si vedono anche gli N-2 massimi secondari che per N molto grande hanno bassissima intensità. Si vede anche che: le direzioni dei massimi (λ/d) non dipendono da N; l’intensità cresce con N2; l’ampiezza angolare dei massimi diminuisce con l’aumen-tare di N. Fin qui si è trattato principalmente dell’interferenza

tra le sorgenti. Ora tenendo conto anche della diffrazione da ciascuna fenditura si ha che Ii diminuisce all’aumentare di m come visto, per cui l’intensità del max di ordine m è : I(m) = N2I i(m). Per il valore di m per cui: sin m = m /d e sin m = /a si avrebbe un max principale di interferenza ma anche un minimo nullo di diffrazione da ciascuna fendi-

tura cioè I1(m) = 0. La relazione m’ = d/a dà l’ordine del primo massimo principale mancante. Fissato il rapporto tra il passo d e la larghezza a dei tratti si osserva il massimo centrale ed alcuniadiacenti. Ad es. per d/a = 3 si ha la situazione di figura

Potere risolutivo di un reticolo

Se la sorgente che illumina il reticolo non è monocromatica le diverse che compongono la radiazione producono massimi principali ad angoli diversi: solo il massimo centrale si forma a = 0 per tutte le . La dipendenza dell’angolo a cui si formano i massimi dalla prende il nome di dispersione angolare. Fissato un valore dell’ordine m l’insieme dei massimi per le varie prende il nome di spettro di ordine m: spettro del primo, secondo, ecc. ordine. Se la luce è bianca (tutte le tra viola v = 0.4 m e rosso r = 0.7 m) lo spettro del 1 ordine è l’unico puro: ad un certo angolo corrisponde una

sola ( perché r < 2 v). Invece negli altri ordini si ha sovrapposizione di spettri di ordine diverso. Ad es per l’angolo 2 corrispondente al massimo di 2 ordine per la luce rossa si osserva anche il massimo di 3 ordine per la luce di tale che: sin2 = 2 r/d = 3 /d = (2/3)r = 0.47 m (blu). Per questo ai lati dei due spettri del primo ordine simmetrici rispetto all’ordine zero caratterizzati da colori dal violetto al rosso (sin1,v < sin 1,r) non si vede la stessa successione di colori.

Il reticolo consente la separazione delle varie componenti monocromatiche di una radiazione: analizzatore di radiazione.

Potere risolutivo del reticolo: capacità di distinguere due vicine tra loro; i massimi relativi devono avere larghezza angolare minima ed il potere risolutivo fa uso del criterio di Rayleigh.

Siano 1 e 2 con 1 < 2 reticolo con passo d ed N fenditure; i massimi

Nddm

dm

Nddm

dm

mm

mm

222,

22,

111,

11,

'sin , sin

'sin , sin

di ordine m ed i relativi minimi adiacenti si formano a:

Due lunghezze d’onda saranno risolvibili quando il max di una coincide con il min della seconda:

Dato che 1 2 se = 2 - 1 si ottiene: m = /N: si definisce potere risolvente del

Nddm

dm

Nddm

dm 112221

reticolo all’ordine m: R = / = mN la quale esprime la minima differenza risolvibile. Il potere risolutivo risulta proporzionale al numero totale di tratti, aumenta con l’ordine dello spettro e risulta indipendente dal passo del reticolo.

Spettroscopia con il reticolo di diffrazione

Come detto i reticoli hanno un importante utilizzo nell’analisi spettroscopica della radiazione emessa o assorbita dalle varie sostanze. Uno schema di apparecchio utilizzato per questo scopo è mostrato.La luce emessa da S passa attraverso una sottile fenditura F posta nel fuoco di una lente L1 che invia un fascio di raggi paralleli sul reticolo R. Il sistema fenditura lente prende il nome di collimatore. I raggi trasmessi dal reticolo secondo sono focalizzati dal sistema di lenti L2 ed L3 : telescopio, e possono essere osservati con l’occhio. Ruotando il telescopio attorno al centro del reticolo si varia l’angolo e si vede luce nella direzione che soddisfa: sin = m(/d). Noto d ed m e misurando si ricava . In corrispondenza si osserva una riga luminosa colorata (corrispondente alla ) che corrisponde all’immagine monocromatica della fenditura F: riga spettrale. L’insieme delle righe spettrali forma lo spettro di emissione

della sostanza. Gli spettrografi moderni sostituiscono il telescopio con un (od un insieme di) rivelatori fotoelettrici in modo che l’informazione sulle righe spettrali sia raccolta direttamente come segnale elettrico. Inoltre può ruotare il reticolo con il che varia sia l’angolo di incidenza (che fin qui si è assunto 0) che di diffrazione. Ma le leggi fondamentali del reticolo rimangono valide.

Gli spettri di emissione si dividono in: 1) spettri a righe; 2) spettri a bande; 3) spettri continui.

Gli spettri a righe ed a bande vengono emessi da sostanze allo stato gassoso ed a pressione bassa: quelli a righe sono dovuti all’emissione da parte di atomi , quelli a bande da molecole (biatomiche o poliatomiche). In entrambi i casi gli atomi o molecole sono eccitati da una sorgente esterna di energia (es. elevata temperatura – fiamma: Na; o con una scarica elettrica: lampade a scarica (H, He, Ne, Hg, Na). Questi spettri sono caratteristici di ciascuna sostanza: nessun atomo o molecola ha lo stesso spettro: Lo spettro corrisponde alla struttura del singolo atomo o molecola e dipende dalla distribuzione dei suoi livelli energetici.

Su questo è basata l’analisi spettroscopica delle sostanze: è un metodo molto semplice ed efficace per l’individuazione di una sostanza in un materiale. Es. D2 in H2

Gli spettri continui sono invece emessi dalle sostanze solide o liquide portate ad elevata temperatura: es. il filamento di una lampada ad incandescenza; le caratteristiche dello spettro dipendono (quasi) solo dalla temperatura a cui è la sostanza.

Spettri di assorbimento

Se si esamina con lo spettroscopio la luce emessa da un filamento incandescente si osserva una striscia continua di colori dal rosso al violetto (1 ordine). Se si interpone tra la sorgente ed il reticolo un contenitore contenente ad es. Na si vedono due righe nere nella stessa

posizione angolare delle righe emesse dal Na.: Il Na ha assorbito la radiazione di quelle : righe di assorbimento; spettro di assorbimento. Anche

l’assorbimento è dovuto agli atomi ed alle molecole della sostanza interposta. Vi è una corrispondenza tra spettro di emissione ed assorbimento: Ogni sostanza è in grado di assorbire le radiazioni che nelle stesse condizioni è capace di emettere: legge di Kirchoff.

Spettro solare: righe di Fraunhofer di assorbimento su fondo continuo

H e Na. Anche gli spettri di assorbimento sono utilizzati per il

riconoscimento di sostanze. La radiazione assorbita può, in alcuni casi essere ridiffusa in tutte le direzioni.

Diffrazione dei raggi X

I raggi X hanno inferiori a 10-9 m; vengono prodotti dal frenamento in un materiale pesante di elettroni accelerati a d.d.p. superiori a 103 V. Un dispositivo per la loro produzione è il tubo a raggi X (Coolidge).

Un fascio di elettroni prodotto da un filamento è accelerato da una d.d.p. (10 – 100 kV) e colpisce un anodo di materiale pesante (Cu, W, Pb). Gli elettroni penetrando nei primi strati del materiale interagisconocon i fortissimi campi elettrici prodotti dagli elettroni negli atomi; subiscono un brusco frenamento ed emettono radiazione e.m.

I raggi X a causa della loro molto piccola rispetto al passo d dei reticoli non sono efficacemente diffratti da essi. Invece un reticolo naturale abbastanza fitto è costituito dagli atomi di un cristallo. In un cristallo gli atomi sono disposti in modo regolare ed esso può in effetti

essere pensato come un reticolo (in 3 d!) atto a diffrangere radiazione X. Ad es nel NaCl gli ioni Na+ e Cl- formano un reticolo cubico di lato a = 2.82 10-10 m = 0.282 nm (costante reticolare).

Quando un fascio di X a incide sul cristallo gli elettroni degli atomi si comportano come dipoli oscillanti emettendo o.e.m. a . Il cristallo si comporta come un sistema 3d di sorgenti coerenti e nello spazio

circostante si osserva l’interferenza delle onde emesse dai centri retico-lari. Un’onda piana che incide formando l’angolo (angolo di radenza) con i piani reticolari distanti d vede gli atomi che giacciono su una retta perpendicolare ai piani reticolari come un reticolo unidimensionale. Nella direzione di osservazione che forma l’angolo rispetto ai piani la differenza di cammino tra onde emesse

da due sorgenti contigue A e B’ è BB’B’’ = 2d sin . Lo stesso è per le coppie B’C’ e C’D’ per cui si ha interferenza costruttiva quando: 2d sin = m ; sin = m/2d; m = 1, 2, 3, … legge di Bragg.

in altre direzioni il fascio è soppresso o fortemente attenuato come nei reticoli. Nella figura è schematizzato uno spettrografo a raggi X. Se si conosce la e si misura si ricava d. Questo costituisce la base della cristallografia a raggi X. In realtà la cosa è più complessa perché i raggi X incontrano vari piani reticolari.

Se si invia un fascio di X su un (sottile) cristallo ad es. di NaCl si osserva su un rivelatore (es. film fotografico) uno spettrogramma a punti: macchie di Laue. Dalla posizione di esse si può ricavare la struttura del cristallo. Se il fascio X incide su una polvere cristallina con i singoli cristalli orientati in ogni direzione si osservano anelli attorno ad una macchia centrale: anelli di Debye-Scherrer. Tutti questi effetti sono dovuti all’interferenza delle ondine emesse dai singoli centri cristallini.

Esempio

Un reticolo contiene N = 4000 linee su una larghezza L = 2 cm; la larghezza delle fenditure è a = 1m. La luce di λ = 0.5 m trasmessa dal reticolo viene osservata nel piano focale di una lente con f = 20 cm. Calcolare la posizione dei massimi del primo e secondo ordine, la loro larghezza ed il numero di massimi osservabili.Il passo del reticolo è d = L/N = 5m; d/a = 5 per cui manca il massimo del quinto ordine. Si possono osservare al più i quattro massimi principali per parte oltre al massimo centrale

m = 1 sinθ1= λ/d = 0.1; θ1 = 5.74o Δθ1= 2λ/L = 0.003o

m = 2 sinθ2= 2λ/d = 0.2; θ2 = 11.54o Δθ2= 2λ/L = 0.003o

La posizione xm sullo schermo del massimo e la sua larghezza sono date da: xm= f tgθm ≈ f θm; Δx = f Δθ per cui: m = 1 x1 = 2.01 cm; Δx = 10 m m = 2 x2 = 4.08 cm; Δx = 10 m. L’immagine è una riga luminosa sottile: riga spettrale della lunghezza d’onda λ. Se non ci fosse l’effetto

della diffrazione il numero dei massimi sarebbe d/λ = 10. Invece si possono osservare con intensità decrescente i massimi 1,2,3,4; il quinto manca perché coincide con il primo minimo di diffrazione. I massimi 6,7,8,9 sono di intensità piccolissima: si possono osservare con un laser.

Esempio

In un esperimento di Young le due fenditure distano d = 30 m e sono larghe a = 3 m. Determinare il numero di frange effettivamente osservabili per λ = 0.55 m.Valgono i risultati del reticolo con N = 2; le posizioni dei massimi non dipendono da N ma solo da d e λ: si ha: sin θm = m λ/d = 1.83*10-2 •m. Il primo minimo di diffrazione si ha per: sin θ = λ/a = 0.183 e corrisponde al massimo di interferenza di ordine 10: m = d/a = 10. Quindi si possono vedere in tutto 19 frange: il massimo centrale e 9 massimi principali a destra e sinistra. La figura mostra le frange di interferenza ,

la figura di diffrazione della fenditura e l’effetto combinato.

Esempio

Una lampada al sodio contiene Na gassoso eccitato da una scarica elettrica ed emette due lunghezze d’onda molto vicine di valori λ1 = 589.0 nm e λ2 = 589.6 nm. Quante linee deve avere un reticolo affinché λ1 e λ2 siano appena risolvibili nello spettro del secondo ordine.

Si richiede un potere risolutivo R = λ/Δλ = 589.3/0.6 = 982 ≈ 1000. Si ha quindi: R = mN; m = 2, N = 500

Ulteriori nozioni sul reticolo di diffrazione

Un reticolo può essere costituito anche da uno specchio in cui sono state prodotte delle incisioni: in questo caso la parte lasciata intatta funziona da specchio (fenditure riflettenti). Lo schema è quello di fig

Blazed

Se la faccetta del reticolo è orientata in modo tale da essere in condizioni speculari tra fascio incidente e fascio diffratto si ha un sensibile aumento dell’intensità del fascio rifratto: il reticolo si dice blazed.

Reticolo di fase

E’ possibile ottenere effetti diffrattivi simili a quelli del reticolo studiato

Il vantaggio di un reticolo in riflessione è che non vi è materia attraversata dalla radiazione; ciò può essere utile ad es. nell’uv e nel ir dove possono esserci pochi materiali trasparenti alla radiazione.

se anziché fare variare l’ampiezza della radiazione incidente che attraversa alternativamente tratti opachi e trasparenti si fa variare in modo periodico (es. sinusoidalmente) lo spessore del materiale o l’indice di rifrazione del mezzo. In questo modo si ottiene una variazione periodica del cammino ottico e si hanno lo stesso fenomeni di interferenza. Si tratta di un reticolo di fase. Utilizzato nei laser e nei dispositivi optoelettronici delle comunicazioni ottiche.

A sinistra in alto l’ordinario reticolo in trasmissione: modula l’ampiezza dell’onda. A destra un reticolo di fase ottenuto variando l’indice di rifrazione del materiale: modulazione di fase. In basso a sin. Lo stesso effetto è ottenuto variando lo spessore di un materiale ad indice n uniforme. In basso a dx. un reticolo di fase in riflessione. Se α e β sono gli angoli di

incidenza e diffrazione l’eq. del reticolo è : mλ = sinα + sinβ