IL GIARDINO DI ARCHIMEDE. UN MUSEO PER LA MATEMATICA

IL REGNO DI REGIOMONTE

Laboratori di introduzione alla topologia

Percorsi, strategie e geometrie in gioco

Nell’ambito dei Laboratori de

Il Giardino di Archimede. Un Museo per la matematica

Testo: Raffaella Petti. Disegni: Lorenzo Donati.

aprile 2008

IL REGNO DI REGIOMONTE

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Questo e il disegno della nostra storia, che inizia dal capitolo 1, dove incontriamo il

Principe protagonista.

Le storie, in realta sono due, o forse tre. La prima, la piu semplice e breve, ti fara

conoscere il Regno di Regiomonte con i suoi quattro ponti. La puoi leggere seguendo il

percorso verde: dal capitolo 1 al capitolo 2. Se ancora non sai leggere bene ed e un grande

che ti narra questa storia, fermati qui.

L’altra storia, piu lunga e complessa, racconta dei sette ponti. Alla fine del primo capitolo,

scegli tu la strada da seguire.

Se sei grande e coraggioso ma ami affrontare i pericoli gradualmente, segui la traccia

azzurra: prosegui per il capitolo 2 e poi, quando ti senti pronto, prosegui per il 3 e il 4.

Se sei impaziente e ami lanciarti subito nelle imprese piu difficili, segui la traccia rossa:

dopo il primo capitolo puoi saltare il 2 e il 3 ed andare subito al 4: ti aspettano sette ponti

e sette dragoni e ... tanto altro ancora.

Capitolo 1: il Principe e Regiomonte

C’era una volta un tempo in cui il Sole e le Tenebre si erano

spartirti il mondo, e sulle loro terre ognuno regnava incontrastato.

Un giorno, nel Regno del Sole, nacque un Principe bello, forte e

coraggioso. Quando questo Principe, figlio del Sole, fu giunto alla

maggiore eta, il Sole intreccio per lui una corona fatta di raggi

dorati e lo porto in giro per il suo Regno, affinche scegliesse le terre

su cui regnare. Girando in lungo e in largo, il Principe non trovo

niente che lo soddisfacesse, finche, nell’ultimo e piu lungo dei viaggi,

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giunse al confine tra il Regno del Sole e il Regno delle Tenebre e

degli Abissi. Qui sorgevano dalle piu azzurre acque quattro isole

bellissime.

L’alternarsi della luce e del buio, del calore e del gelo, aveva

reso queste isole spettacolarmente ricche e varie. L’isola piu a sud

aveva meravigliose spiagge calde e dorate e profumatissime pinete;

dove il mare toccava l’isola piu a nord vi erano ciottoli di ogni

forma e colore che nell’interno lasciavano posto a distese di fiori

di altrettante forme e colori; l’isola ad est era un dolce susseguirsi

di colline dove crescevano i piu dolci frutti della Terra; l’isola al

centro, infine, era un’altissima montagna, con splendide foreste,

verdi pascoli, e nevi di cristallo. Era il Regno di Regiomonte, ossia

il Regno del Monte del Re. Ma, a dispetto del nome, nessun Re vi

regnava. E da secoli nessuno vi aveva piu messo piede.

Il Principe, nel vedere quelle isole meravigliose, non ebbe dubbi:

egli sarebbe divenuto Re di quelle isole.

Il Sole pero cerco di dissuaderlo. Quelle terre, oggetto di aspre

contese tra il Sole e le Tenebre, erano circondate da acque che

rimanevano sotto il dominio del Re delle Tenebre ed erano insidiate

dai piu temibili mostri marini.

Ma il Principe fu irremovibile. Le quattro isole avevano conqui-

stato il suo cuore. E cosı inizio a pensare alla costruzione del nuovo

Regno.

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Su ognuna delle quattro isole avrebbe fatto edificare una reg-

gia, in cui dimorare tre mesi l’anno. Ogni Reggia avrebbe avuto

una torre molto alta, da cui si potessero vedere le altre tre isole.

Una col tetto rosso rubino, una col tetto giallo oro, una col tetto

verde smeraldo e l’ultima col tetto blu cobalto. Sarebbero serviti

poi dei ponti che collegassero le isole tra loro, passando sopra i

pericolosissimi abissi marini.

Mentre i maggiori esperti del Regno studiavano la realizzazione

delle opere, il Sole, chiamando ad arbitro il Tempo, mando i suoi

ambasciatori a patteggiare con il Re delle Tenebre le condizioni alle

quali il Principe si sarebbe potuto insediare in quelle terre.

Dopo lunghe trattative gli accordi furono scritti. Il Tempo

avrebbe scandito le giornate: per meta queste sarebbero state av-

volte dalle Tenebre, per l’altra invece illuminate dal Sole. Quando

il Tempo segnalava il giungere della sera, il Principe doveva depor-

re la sua corona di raggi luminosi. Solo quando il Tempo dava il

segnale che era giunto il momento dell’alba, la corona poteva di

nuovo essere sollevata: quello sarebbe stato il segnale che il Sole

poteva tornare a illuminare e riscaldare le quattro isole.

Il Re delle Tenebre acconsentı dunque all’insediamento del nuo-

vo Regno di Regiomonte ed anche alla costruzione di ponti che

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passassero sopra le sue acque.

Ma non fu per atto di generosita: egli sperava invece cosı di aver

procurato del buon cibo per i suoi mostri. Questi brutti mostri,

infastiditi dalla luce, se ne stavano di giorno acquattati sotto i pon-

ti, per catturare chi passasse di lı. Per fortuna erano goffi e lenti,

e dal momento in cui si accorgevano che un passante si stava av-

venturando per il ponte a quello in cui tiravano fuori un enorme

tentacolo, c’era abbastanza tempo per passare dall’altra parte, pur-

che si procedesse di corsa e non si avesse l’idea, per nessun motivo,

di tornare indietro a meta strada.

Ben peggio stavano le cose nella notte. Nell’oscurita piu com-

pleta i poteri del Re del Tenebre potevano dispiegarsi in tutta la

loro potenza. All’arrivo del buio gli abitanti degli abissi si affac-

ciavano in superficie e godevano dello spettacolo delle onde enormi

sollevate dal Re delle Tenebre, onde cosı possenti da trascinare via

tutto cio che si trovasse vicino al mare, compresi i ponti, che vol-

teggiavano in alto per poi ricadere come il capriccio del Re delle

Tenebre di volta in volta ordinava. Una danza infernale di piccoli

mostri si scatenava allora su di essi, finche qualcosa di terribile li

ricacciava lontano. Erano i feroci draghi marini, fidati compagni

del Re delle Tenebre. Dal profondo delle acque facevano emergere

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le loro enormi teste e le adagiavano su ciascuno dei ponti, proten-

dendosi minacciosi fino alle isole. Un’unica cosa temevano: la luce

e il calore.

Giorno o notte, la vita nel Regno di Regiomonte non si prospet-

tava dunque certo facile. Dovete pero sapere che i poteri del Re

delle Tenebre, pur essendo molto grandi, non erano illimitati. Egli

poteva tendere agli umani ogni tipo di trappola o tranello, ma do-

vevano essere difficolta che con l’accortezza, l’ingegno e il coraggio,

ogni uomo avrebbe potuto superare.

Cosı per sfuggire di giorno agli agguati dei piccoli mostri che

dimoravano sotto i ponti bastava ricordarsi di aspettare che nes-

sun tentacolo affiorasse dalle acque, fare un bel respiro, e poi at-

traversare il ponte con passo svelto e sicuro senza mai voltarsi

indietro.

Per quanto riguardava la notte, il Principe penso di procede-

re cosı: al calar della sera, avrebbe diviso la deposta corona in

tanti pezzi, lasciandoli su ciascuno dei ponti prima dell’arrivo dei

dragoni. Il bagliore e il tepore che da essi continuava a emana-

re avrebbe fatto assopire i terribili mostri. L’impresa piu difficile

sarebbe stato, all’alba del giorno dopo, recuperarli tutti dalle loro

fauci per ricomporre la corona e permettere al Sole di tornare a

visitare Regiomonte.

Il piano era questo. Al calar della sera, i quattro piu valorosi

cavalieri del Regno si appostavano ciascuno in una delle quattro

altissime torri delle quattro Regge. Da la era possibile osservare,

anche al buio, tutti i ponti, e vedere le altre torri. Giunto il mo-

mento dell’alba, uno - soltanto uno - dei prodi cavalieri avrebbe

potuto tentare l’impresa, compiendo il giro dei ponti in un’unica

veloce cavalcata, senza mai fermarsi e tornare indietro. Ovviamen-

te non poteva neppure passare due volte dallo stesso ponte, perche

una volta recuperato il pezzo della corona il dragone di quel ponte

si sarebbe svegliato.

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Insomma, confidando nel valore dei suoi cavalieri, dopo aver

ben pensato, al Principe parve che tutte le difficolta sarebbero

state superabili e dunque, senza lasciarsi scoraggiare, decise di non

tirarsi indietro. Cosı Principe, Sole, Tenebre e Tempo, firmarono

gli accordi.

Nella data fissata come inizio del nuovo Regno di Regiomonte,

ci fu, come potete immaginare, una grande festa sulle Quattro Iso-

le. Giunse poi la sera, e con essa il momento in cui gli abitanti

di Regiomonte dovettero salutare il Sole, con la speranza di presto

rivederlo all’indomani. Il Principe, secondo quanto stabilito, de-

pose la corona. Poi la divise, e ne lascio i pezzi sui ponti. Si fece

notte. Subito un sordo rombare dal profondo del mare, annuncio

l’inizio delle stregonerie del Re delle Tenebre, il ballo dei flutti, dei

ponti e sui ponti, e infine l’arrivo dei terribili dragoni. Emersero

dagli Abissi fiammeggiando e appoggiarono le loro orribili teste sui

ponti.

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Ma ecco che, come il Principe aveva immaginato, la pur flebile

luce e il debole calore che i raggi della dispersa corona ancora

emanavano, stordı i dragoni che ricaddero assopiti con le mostruose

teste appoggiate proprio al centro di ogni ponte.

Dall’alto delle loro torri i cavalieri intanto si preparavano al-

l’impresa, studiando il da farsi e ripassavano le indicazioni che il

Principe aveva loro dato. Sarebbe stato necessario com-

piere il giro dei ponti in un colpo solo, passando al

galoppo e sfilando il pezzo di corona da sotto il muso

dei dragoni, senza tornare indietro e senza ripassare

due volte per un ponte. I dragoni infatti, al loro passaggio,

si sarebbero svegliati e avrebbero incenerito chi avesse tentato di

passare una seconda volta per lo stesso ponte. Si trattava dunque

di studiare bene il percorso.

Chi per primo avesse trovato un buon percorso e lo avesse ben in

mente l’avrebbe segnalato agli altri cavalieri accendendo una torcia,

e al momento dell’alba sarebbe partito. Quella prima notte sembro

a tutti lunghissima, ma finalmente il suo tempo era trascorso, e

giunse l’ora tanto attesa. Il Tempo diede il segnale.

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Capitolo 2: i quattro ponti

*Qui prosegue la storia piu semplice e corta.

I quattro ponti che il Re delle Tenebre aveva concesso, per quella

notte erano disposti cosı:

* Quale cavaliere faresti partire? E quale potrebbe essere il percorso compiuto (che attraversi

tutti i ponti una sola volta)?

Ed ecco. Fu il cavaliere della torre rossa a partire al galoppo.

Velocissimo recupero tutti i pezzi della corona. Appena messi

insieme questi iniziarono a risplendere piu nitidi che mai. La corona

fu sollevata e il Sole accorse. E con grande soddisfazione e sollievo

di tutti, inizio il secondo felice giorno del Regno di Regiomonte.

* Quale percorso per il cavaliere rosso? Trovane tu uno. In fondo al libro troverai quello compiuto

dal cavaliere nella storia.

Arrivo poi la seconda sera, con un rapidissimo tramonto. Il

Principe depose i pezzi della corona sui ponti. Appena fattosi buio,

il Re delle Tenebre, con un turbine di gigantesche onde, sollevo i

ponti e li lascio ricadere pesantemente, cosı:

Subito, come la notte precedente, arrivarono i dragoni. E ognuno

si assopı sul proprio ponte, col muso sui pezzi di corona.

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*Scegli quale cavaliere far partire e trova un percorso che attraversi tutti i ponti una sola volta.

In fondo al libro troverai quello compiuto dal cavaliere nella storia.

Quella notte fu il cavaliere della torre blu che si dichiaro pronto

a partire. Arrivato il momento dell’alba si lancio al galoppo. E ...,

uno, due, tre, quattro! Il suo vittorioso giro riporto ancora la luce

alle Quattro Isole.

La terza notte, la storia si ripete. Il principe depose la corona e

ne disperse i raggi sui ponti. Dal profondo degli abissi il turbine di

onde sollevo i ponti come fossero fuscelli. E li fece ricadere cosı:

Il cavaliere della torre verde si preparo a partire. Ecco l’alba. E

con un rapidissimo giro il terzo cavaliere conquisto la terza giornata

di luce per il Regno.

E certo anche voi, rapidissimamente, avrete trovato il vostro percorso.

Passavano i giorni. Ogni sera il Principe deponeva la corona e

ne disperdeva i raggi sui ponti. Di volta in volta le onde altissime

scompaginavano i ponti, che si trovavano ora cosı

o cosı:

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o cosı:

*Scegli quale cavaliere far partire e trova un percorso che attraversi tutti i ponti una sola volta.

Giunto il momento dell’alba sempre un cavaliere era pronto a

partire, e mai falliva nell’impresa.

Cosı la minaccia di quelle notti buie finı presto per diventare

un’abitudine con cui convivere senza paura, mentre i giorni con-

quistati grazie all’accortezza, l’ingegno e il coraggio, si susseguivano

lieti e tranquilli nel Regno di Regiomonte dove il Principe e i suoi

sudditi vivevano sempre felici e contenti.

*Qui finisce la storia piu semplice e corta.

Capitolo 3: il dono del Re delle Tenebre

*Qui si spiega come da quattro ponti gli abitanti di Regiomon-

te ne ebbero sette.

Un giorno il Re delle Tenebre mando un’ambasciata al Principe:

- In segno di amicizia, visto il valore dei Vostri cavalieri, il Re

delle Tenebre vuol farvi un dono, anzi due. Durante l’estate vi

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concedera tre ore di luce in piu, ed anche la costruzione e l’uso di tre

nuovi ponti. Il resto degli accordi rimarra immutato. Accettate?

Il Principe fu sorpreso ed incerto. Benissimo per le ore di luce

in piu. E i ponti? Faceva certo comodo avere altri collegamenti

fra le isole. Tre ponti in piu significavano pero anche tre nuovi

dragoni da scavalcare la notte. Ma per i suoi valentissimi cavalieri,

che tanta abilita e coraggio avevano mostrato fino ad allora e che

quasi quasi iniziavano a considerare l’impresa notturna un banale

e noioso giochetto, non sarebbe stato certo un problema affrontare

tre nuovi mostri. Infine dunque accetto. E presto giunse la prima

notte dell’estate.

Capitolo 4: i sette ponti

*Qui inizia la storia piu lunga e complessa.

I sette ponti che il Re delle Tenebre aveva concesso, per quella

notte prima notte erano disposti cosı:

* Quale cavaliere faresti partire? E quale potrebbe essere il percorso compiuto (che attraversi

tutti i ponti una sola volta)?

Ed ecco. Fu il cavaliere della torre rossa a partire al galoppo.

Velocissimo recupero tutti i pezzi della corona che il Principe,

secondo gli accordi, aveva disperso la sera prima sui sette ponti.

Appena messi insieme questi iniziarono a risplendere piu nitidi che

mai. La corona fu sollevata e il Sole accorse. E con grande soddi-

sfazione e sollievo di tutti, inizio il secondo felice giorno della lunga

estate del Regno di Regiomonte.

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* Quale percorso per il cavaliere rosso? Trovane tu uno. In fondo al libro troverai quello compiuto

nella storia.

Arrivo poi la seconda sera, con un rapidissimo tramonto. Il

Principe depose i pezzi della corona sui ponti. Appena fattosi buio,

il Re delle Tenebre, con un turbine di gigantesche onde, sollevo i

ponti e li lascio ricadere pesantemente, cosı:

Subito, come la notte precedente, arrivarono i dragoni. E ognuno

si assopı sul proprio ponte, col muso sui pezzi di corona.

*Scegli quale cavaliere far partire e trova un percorso che attraversi tutti i ponti una sola volta.

Quella notte fu il cavaliere della torre blu che si dichiaro pronto

a partire. Arrivato il momento dell’alba si lancio al galoppo. E

..., uno, due, tre, quattro, cinque, sei, sette! Il suo vittorioso giro

riporto ancora la luce alle Quattro Isole.

La terza notte, la storia si ripete. Il principe depose la corona e

ne disperse i raggi sui ponti. Dal profondo degli abissi il turbine di

onde sollevo i ponti come fossero fuscelli. E li fece ricadere cosı:

Il cavaliere della torre verde accese la fiaccola. Ecco l’alba. E

con un rapidissimo giro il terzo cavaliere conquisto la terza giornata

di luce per il Regno.

*E certo anche voi, rapidissimamente, avrete trovato il vostro percorso.

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Passavano i giorni. Ogni sera il principe deponeva la corona e

ne disperdeva i raggi sui ponti. Di volta in volta le onde altissime

scompaginavano i ponti, che si trovavano ora cosı

o cosı:

o cosı:

*Scegli quale cavaliere far partire e trova un percorso che attraversi tutti i ponti una sola volta.

Giunto il momento dell’alba sempre un cavaliere era pronto a

partire, e mai falliva nell’impresa.

Finche un giorno, anzi una notte, le cose andarono diversamente.

Quella notte i ponti si trovavano cosı:

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*Scegli quale cavaliere far partire e cerca un percorso che attraversi tutti i ponti una sola volta.

All’avvicinarsi dell’alba, nessuna delle quattro fiaccole si era an-

cora accesa. Eppure i cavalieri non dormivano. Quando il Tempo

diede il segnale niente si mosse. Nessuno dei cavalieri era ancora

riuscito a capire come fare il giro dei ponti. I minuti passavano.

Passarono le ore. Poi i giorni. I mesi. Gli anni. Il buio regnava

sulle Quattro Isole, senza che nessuno trovasse il percorso.

Anno dopo anno si erano fatti secoli. Gli alberi, senza luce, erano

imbianchiti. Anche il Principe aveva la barba lunga e bianca, ed

era afflitto dal dolore di aver condannato per sempre al buio i suoi

sudditi, per la troppa fiducia nell’ingegno umano.

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Gli abitanti di Regiomonte restavano quasi sempre chiusi in ca-

sa, mentre i dragoni continuavano a presidiare i ponti. Solo pochi

ardivano ogni tanto attraversare le strade, rischiando brutti incon-

tri, per recarsi da qualche amico. Per combattere la noia avevano

inventato un gioco: uno doveva proporre tre figure, mentre gli altri

dovevano indovinare quale si tracciava senza staccare la matita dal

foglio.

*Conosci il gioco della casetta?

La casetta va disegnata con un unico tratto, senza staccare la penna dal foglio e senza tracciare

due volte una linea gia percorsa.

*Prova poi a trovare quale delle tre figure si puo disegnare con un unico tratto, come la casetta.

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In una di queste giornate, buie e nere, passo di la un viandante

cieco. Il figlio del Sole lo accolse e gli racconto le tristi vicende del

suo Regno. Il viandante ascoltava silenzioso. Quando il Principe

per caso si trovo a narrare come grandi e piccini si dilettassero nel

gioco che era divenuto cosı popolare che tutti lo chiamavano ormai

“il gioco di Regiomonte”, lo straniero si mostro molto incuriosito,

e chiese di provare. Il Principe, con tutta la delicatezza possibile,

cerco di fargli capire che per lui non sarebbe stato possibile giocare,

non potendo vedere i tre disegni. Ma lo straniero insistette a tal

punto che il Principe dovette cedere.

E giocarono. Anche senza vedere la forma dei tre disegni che il

Principe via via proponeva, facendo solo poche precise domande,

lo straniero trovava sempre subito il disegno fatto senza stacca-

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re la penna dal foglio. Giocarono a lungo, senza che lo stranie-

ro commettesse mai un errore, fino all’ultima sfida proposta dal

Principe:

A questo punto, lo straniero disse:

- Abbiamo giocato a lungo. Ma ora forse e tempo di vedere

l’alba.

Il Principe lo guardo perplesso. Gia aveva spiegato al viandante

in quale difficolta il suo Regno fosse imprigionato; forse, per la sua

cecita, non aveva capito cosa significasse “buio”.

Ma lo straniero, indicando il disegno centrale, aggiunse:

- Questa e la soluzione: il cuore imprigionato.

Il Principe esito a contraddirlo: a quella figura, il cuore impri-

gionato, era molto affezionato, forse perche davvero cosı sentiva il

suo cuore, e la proponeva spesso. Ma per disegnarla tracciava il

cuore e poi, staccando la penna, la croce. Non era dunque quella la

risposta giusta. Lo straniero intanto, presa carta e penna, disegno:

Il Principe inizio allora a capire che lo straniero vedeva in quei

disegni qualcos’altro. Non si trattava piu della soluzione del gio-

co, ma di una ben piu importante soluzione: le eterne tenebre su

Regiomonte.

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E con tutta l’attenzione possibile, il Principe, seguendone il rit-

mo, si mise ad ascoltare ognuna delle parole che lo straniero aveva

iniziato a scandire:

- Il tuo cuore imprigionato nient’altro e che Regiomonte. Ogni

linea qui e un ponte, dal dragone e presidiato. Se un’isola ha un

ponte solo, la ... accortezza ti segnalo. Il cavaliere che qui vi entrera

mai uscirne piu potra...

“Certo: passando da quel ponte, il cavaliere avra svegliato il

dragone e si trovera sull’isola dove non vi sono altri ponti da cui

passare ...” penso il Principe.

- ... a meno che, come ultimo quel ponte percorrendo, della

corona l’ultimo pezzo vada prendendo.

“Certo: se quel ponte e il solo che manca, quando il cavaliere ci

passa recupera il solo pezzo di corona che ancora mancava; giunto

nell’isola puo rimetterli tutti insieme e ... il gioco e fatto!” penso

il Principe.

- Dunque la occorre finire o, al contrario semmai partire: da la

iniziare per non piu vi ritornare.

‘Certo: se il cavaliere parte proprio dall’isola con un ponte solo,

lo attraversa subito, e non avra poi bisogno di tornare su quell’isola,

...” penso il Principe.

- Se due isole un solo ponte hanno allora due dei cavalieri l’im-

presa tentar potranno.

“Certo: potra partire uno dei due cavalieri che stanno su una

delle due isole con un solo ponte. Quello che parte passera subito

da uno dei due ponti soli, e terminera il suo giro recuperando come

ultimo il pezzo di corona sull’altro dei due ponti soli ...”

- Se ancora un ponte solo su un’altra isola avrai, mai raggiungerlo

potrai. Il Re delle Tenebre allora, condannato vi avrebbe ad eterna

sventura.

“Certo: posso avere al piu due isole con un solo ponte; se ce

ne fosse un’altra davvero non vi ci si potrebbe arrivare...”, penso

ancora il Principe, “ma questo non e il nostro caso ...”

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- Nel giro poi i ponti a coppie consumar vedrai, poiche per uno

entrar e per l’altro uscir dovrai.

Il Principe ancora dentro di se annuiva.

- Le isole che imprigionano sono quelle dove si mette un ponte

solamente, oppure anche tre, o cinque, o sette.

“Certo: se in un’isola ho tre ponti, entrando e uscendo, ne ri-

marra uno solo da cui poter passare; se ne ho cinque, entrando e

uscendo, e poi ancora entrando e uscendo, ancora ne rimarra uno

solo. Dunque le isole con un numero dispari di ponti si comportano

come isole con un ponte solo” penso ancora il Principe.

- Conta dunque or le isole con ponti spaiati, se piu di due saranno

voi siete condannati.

Il Principe conto, sulla cartina del suo Regno, isola per isola

i ponti come si trovavano da secoli. Cinque, tre, tre, tre: tutti

numeri dispari.

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Un momento di sconforto lo colse: il timore che quel buio durasse

in eterno era divenuto certezza: nessuno al mondo avrebbe mai

trovato il percorso. Ma un istante dopo, esclamo:

- Per quel che tu hai provato, l’inganno e disvelato!

Il ragionamento dello straniero era infatti la prova che i cavalieri

non riuscivano a compiere la loro impresa non per mancanza di ac-

cortezza, ingegno o coraggio, ma perche l’impresa era impossibile.

Ma questo significava che il Re delle Tenebre era andato al di la

dei poteri che gli erano concessi.

Il Principe chiese allo straniero di mettere per scritto quel ragio-

namento che non lasciava spazio a repliche, e con il quale l’inganno

del Re delle Tenebre era stato scoperto e sconfitto.

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Le carte dello straniero furono fatte recapitare al Tempo e al

Re delle Tenebre.Ecco che dal profondo del mare si sentı un urlo

feroce. I dragoni sprofondarono negli abissi. I raggi della corona

magicamente si intrecciarono nel cielo. E il Sole accorse.

Da allora in poi il Principe regno sereno, giorno e notte. Gia,

perche gli abitanti di Regiomonte non vollero rinunciare a quel-

l’alternarsi di luce e di buio tanto feconda. E cosı ogni sera il

Tempo continuava a dare il segnale, il Sole si allontanava, e una

dolce ombra abbracciava le quattro isole, per garantire a tutti, ca-

valieri compresi, sereni riposi fino all’alba del nuovo felicissimo e

luminossisimo giorno.

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Appendice 1

Quel viandante, era in realta un Principe, un Principe dei Mate-

matici. Si chiamava Leonhard Euler. Quello che aveva scritto sul

foglio era la seguente affermazione:

“Il giro dei ponti si puo fare solo se le isole con un numero dispari

di ponti sono al piu due”.

L’affermazione era seguita da una cosa che nel Regno dei Ma-

tematici si chiama “dimostrazione”. Fu davanti a questa che il Re

delle Tenebre caccio il suo terribile urlo di rabbia. Se una dimo-

strazione e ben scritta infatti non ci sono se o ma: tutti possono

vedere che quello che vi e affermato e vero, basta seguirlo passo

passo.

Alla dimostrazione seguiva lo schizzo delle Quattro Isole con i

ponti come da secoli rimanevano. Ciascuna delle quattro isole,

come tutti potevano verificare, aveva un numero dispari di ponti.

Conclusione: il percorso era impossibile.

Il Re delle Tenebre si nascose per sempre nel profondo degli abis-

si. Se avesse avuto meno disprezzo per l’ingegno umano e avesse

letto un articoletto latino che lo stesso viandante aveva scritto poco

prima di passare per Regiomonte (Solutio problematis ad geome-

triam situs pertinentis, 1735), forse non avrebbe commesso quella

ingenuita, e si divertirebbe ancora a insidiare i Regiomontani.

Appendice 2

La scoperta dell’inganno del Re del Tenebre aveva riportato la

felicita a Regiomonte, ma purtroppo aveva privato i regiomontani

delle loro occupazioni principali e preferite. I cavalieri non avevano

piu occasione di mettere alla prova quotidianamente il loro ingegno,

e, quel che e piu grave, anche il passatempo preferito, il “gioco di

Regiomonte” perse il suo interesse.

Il gioco dei disegni e il problema del percorso dei cavalieri at-

traverso i ponti sono infatti in realta la stessa cosa: ogni disegno

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si puo trasformare in isole con ponti (espandendo i punti in cui si

incrociano le linee e ispessendo le linee fino a farle diventare ponti),

e ogni regno fatto di isole e ponti si puo trasformare in un disegno

con linee che si incrociano.

Il teorema di Euler, che svelava quando il percorso dei ponti era

impossibile, rendeva anche il gioco banale: bastava guardare gli

incroci e vedere se ve ne erano piu di due con un numero di linee

dispari. In questo caso il disegno era sicuramente fatto staccando

la penna dal foglio.

Appendice 3

Euler, prima di lasciare Regiomonte, suggerı pero un nuovo gioco,

che potesse esercitare l’ingegno dei cavalieri e divertire tutti gli

altri.

Si trattava della “passeggiata del cavallo”. Il cavallo questa vol-

ta non era un fido destriero, ma il classico pezzo del gioco degli

scacchi, e non doveva muoversi attraverso i ponti di Regiomonte,

ma attraverso le sessantaquattro caselle della scacchiera. Partendo

da una casella a scelta, si doveva compiere il giro di tutte la caselle,

senza potersi fermare due volte sulla stessa. Ovviamente il cavallo

doveva muoversi come ogni cavallo che si rispetti: due passi avanti

e uno di lato.

Questo gioco tenne impegnati gli abitanti di Regiomonte molto

molto a lungo. Passarono i giorni, i mesi, gli anni. Qualche ma-

lizioso a un certo punto inizio a insinuare che Euler si fosse preso

gioco di loro, proponendo una nuova sfida impossibile.

Che un simile dubbio non colga anche voi: la passeggiata del

cavallo esiste, anzi ne esistono tante diverse. Euler, per mettere a

tacere le malignita, ne invio una al Principe, perche la custodisse

a prova della sua onesta. Cosı la sfida continuo.

E voi? Avete trovato la vostra passeggiata?

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I percorsi dei cavalieri sui quattro ponti

Ecco i percorsi compiuti dai cavalieri nelle imprese del Capitolo 2.

I percorsi dei cavalieri sui sette ponti

Ecco i percorsi compiuti dai cavalieri nelle imprese del Capitolo 4.

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