Il lavoro
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1
Il lavoro
dFFddFW ||cos
Lavoro fatto da una forza costante su un percorso rettilineo:
d
F
L < 0
d
F
L > 0
d
F
L = 0
[L]=[F][L]=[ML-2T -2] S.I.: 1 Joule = 1 m2 kg s-2
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2
zzyyxx dFdFdFdFW
Il lavoro
È una grandezza scalare Indipendente dalla scelta degli assi coordinati
È una grandezza scalare Indipendente dalla scelta degli assi coordinati
dFFddFW ||cos
![Page 3: Il lavoro](https://reader035.fdocumenti.com/reader035/viewer/2022070400/56813581550346895d9ce00c/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Applicazione: Lavoro ed energia
Una persona traina una cassa di 50kg per 40 m lungo un pavimento orizzontale applicando una forza costante Fp=100N e agente con un angolo di 37o. Il pavimento è scabro ed esercita una Fatt=50N. Determinare il lavoro compiuto da ciascuna forza e il lavoro totale.
jNiNjsenFiFF ppp
2.608.79cos
id
m40
iNFatt
50
jNjmgP
490
jNgmFN
490
zzyyxx dFdFdFdFW
JWWW attptot 1192
JdFW xpxp 3192
JdFW xattxatt 2000
0 dPWP
0 dFW NFN
![Page 4: Il lavoro](https://reader035.fdocumenti.com/reader035/viewer/2022070400/56813581550346895d9ce00c/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Il Lavoro
Se la forza non è costante e/o il percorso non è rettilineo, possiamo:
dividere il percorso in tratti infinitesimi in modo da poter considerare il tratto rettilineo e la forza costante su quel tratto
Calcolare il lavoro su ciascuno dei tratti Sommare tutti i lavori calcolati sui singoli tratti
sddW
F
i
f f
i
sdW
F
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5
f
i
f
i
f
i
f
i
sdsdsdsdW
321321 FFFFFF
Il lavoro è pari alla somma dei lavori delle singole forze agenti, ciascuno dei quali può essere: positiva, negativo oppure nullo
Nel caso di più forze:
Il Lavoro
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6
Il lavoro della forza elastica
A B
ikxFk
Posizione di riposo
F k si oppone alla forza applicata (f. di richiamo) in verso tale da riportare la molla nella posizione di riposo
F p Forza esterna applicata
kF
kF
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7
B
A kAB dFW r
02
1d 22 AB
B
AAB xxkxxkW
Il lavoro della forza elastica
AB
kF
kF
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8
Il lavoro dipende dal percorso??
x
y
A
B
21
B
A
rdFL
1
B
A
rdFL
2
21 LL
P
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9
Il lavoro della forza peso
2 B
AAB dW2,
rP
jP
mg
B
A
B
A
B
AzyxAB dymgmgdydzPdyPdxPW2, 2, 2,
AByyAB mgymgyymgW B
A
ABPBPBPB
APAPAP
yymgmgW
mgW
180cos
090cos
dP
dP
ABPBAPAB yymgWWW
1
kjir
dzdydxd
A x
yB
21
P
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10
ABAB mgymgyW
mgyU
UUUW ABAB
Finale Iniziale Una forza si dice conservativa se:
il lavoro eseguito dalla forza sul punto materiale P mentre si sposta dalla posizione A alla posizione B dipende soltanto dalla posizione iniziale e dalla posizione finale non dal percorso effettuato, dalla traiettoria seguita per andare da A a B, né da alcun altro parametro come la velocità, il tempo impiegato.
Allora esiste una funzione U, energia potenziale della posizione del punto materiale P
U(P) = U(x,y,z)tale che il lavoro fatto dalla forza conservativa quando il punto materiale si sposta tra due punti qualsiasi, A e B, è dato dalla differenza tra i valori che la funzione U assume nel punto iniziale A meno quello che assume nel punto finale B.
Per l’energia potenziale non esiste una espressione generale, ma essa dipende dalla particolare forza conservativa cui essa si riferisce.!!
Le forze conservative e l’energia potenziale
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11
Il lavoro della forza elastica
B
A KAB dFW r
A B j
kxFK
ABB
AAB xxkxxkW 22
2
1d
2
2
1kxU
UUUW ABAB La forza elastica è una forza conservativa
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12
Il Lavoro delle forze conservative
B
A
B
A
AB rdFrdFW2,1,
02,1,
B
A
B
A
rdFrdF
02,1,
A
B
B
A
rdFrdF
0 rdF Il lavoro effettuato da una forza
conservativa su un percorso chiuso è nullo
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13
Ancora sull’energia potenziale
WP1P2 U U(P1) U(P2 )
WPo P U U(Po) U(P)
Considerando i punti Po, iniziale, e P, il generico punto dello spazio:
U(P ) U(Po ) WPoP U(Po )
F d
r
Po
P
Per derivare la funzione energia potenziale occorre:
Fissare arbitrariamente un punto dello spazio Po.
Assegnare un valore arbitrario all’energia potenziale del punto Po.
Calcolare il lavoro effettuato dalla forza da Po al generico punto P lungo una qualsiasi traiettoria che connetta Po con P.
Non è necessario specificare la traiettoria
costante
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14
Ancora sull’energia potenziale
Per esempio per la forza peso:
Un punto arbitrario dello spazio Po. Assegnare un valore arbitrario all’energia
potenziale in Po. Calcolare il lavoro effettuato dalla forza peso
da Po al generico punto P lungo una qualsiasi traiettoria che connetta Po con P.
h
U(P0)=0
U(P ) U(Po ) WPoP U(Po )
F d
r
Po
P
)( P
P oo
yymgdrF
mghyymgPU )()( 0
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15
Il lavoro della forza di attrito
12,,,
2
11
2
11
2
1121
mgldsmgmgdsdW d
P
Pd
P
P d
P
P attPP
rF
imgiNF ddatt
costante
Il lavoro della forza di attrito dinamico non dipende solo dal punto iniziale e da quello finale, ma anche dalla lunghezza della traiettoria scelta
Su un percorso chiuso il lavoro è diverso da zero
La forza di attrito dinamico non è conservativa
La forza di attrito statico fa un lavoro è nullo
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16
Teorema dell’energia cinetica
dsmadsFsddW tt
F
mvdvvdtdt
v d
dsmds
dm
vdv B
A
B
AmdW
Si definisce Energia cinetica della particella
2v2
1mEk
F
sdA
B
A2
B2 v
2
1v
2
1 W mm
![Page 17: Il lavoro](https://reader035.fdocumenti.com/reader035/viewer/2022070400/56813581550346895d9ce00c/html5/thumbnails/17.jpg)
Teorema delle forze vive
17
kEW
[Ek]=[M][v2] S.I.: 1 m2 kg s-2 = 1 Joule
Teorema delle forze vive: la variazione dell’energia cinetica subita dal punto materiale quando si sposta di r risulta uguale al lavoro compiuto dalla forza lungo il percorso.
Teorema delle forze vive: la variazione dell’energia cinetica subita dal punto materiale quando si sposta di r risulta uguale al lavoro compiuto dalla forza lungo il percorso.
L’energia cinetica rappresenta la capacità di un corpo a compiere del lavoro cioè di trasferire movimento ad altri corpi. La corrente del fiume fa muovere le macine di un mulino!!
L’energia cinetica rappresenta la capacità di un corpo a compiere del lavoro cioè di trasferire movimento ad altri corpi. La corrente del fiume fa muovere le macine di un mulino!!
![Page 18: Il lavoro](https://reader035.fdocumenti.com/reader035/viewer/2022070400/56813581550346895d9ce00c/html5/thumbnails/18.jpg)
18
l’energia cinetica è una grandezza che caratterizza il punto materiale: dipende dallo stato di moto del corpo
I corpi possono scambiarsi energia: il lavoro rappresenta un modo attraverso cui i corpi si scambiano energia.
Se la risultante delle forze esterne compie un lavoro positivo (forza motrice, concorde con il moto), allora Ek del punto materiale aumenta. Ossia:
l’ambiente esterno ha compiuto un lavoro sul punto materiale il punto materiale ha acquisito Ek dall’ambiente esterno.
Se la risultante delle forze esterne compie un lavoro negativo (forza resistente, opposta al moto), allora Ek diminuisce. Ossia:
il punto materiale ha effettuato del lavoro sull’ambiente esterno
a spese della sua energia cinetica
Energia-Lavoro: riassumiamo
kEW
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19
Conservazione dell’energia
Se agiscono solo forze conservative:
kEW
UW +
0 UEk
La somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale, ET (energia meccanica) di un punto materiale che si muove sotto l’azione di forze conservative resta costante durante il moto: cioè ET si conserva.
La somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale, ET (energia meccanica) di un punto materiale che si muove sotto l’azione di forze conservative resta costante durante il moto: cioè ET si conserva.
![Page 20: Il lavoro](https://reader035.fdocumenti.com/reader035/viewer/2022070400/56813581550346895d9ce00c/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Se agiscono anche forze non conservative:
kEW
UWc
+
cnc WWW
nck WUE
L’energia meccanica non resta costante ma la sua variazione è pari al lavoro delle forze non conservative.
L’energia meccanica non resta costante ma la sua variazione è pari al lavoro delle forze non conservative.
Conservazione dell’energia generalizzata
![Page 21: Il lavoro](https://reader035.fdocumenti.com/reader035/viewer/2022070400/56813581550346895d9ce00c/html5/thumbnails/21.jpg)
21
(Ec + U) Punto generico = (Ec + U) Punto più alto
Nel punto più basso, la velocità è massima:
)cos(cos2v 0 gl
)cos1(2v 0 glo
E
00
)cos)(cos2(2
1v
2
10
2 glmmEc
U=mgl(1-cos )
Ec + U = costante
Applicazioni : il pendolo.
02 cos1v
2
1cos1 mglmmgl
![Page 22: Il lavoro](https://reader035.fdocumenti.com/reader035/viewer/2022070400/56813581550346895d9ce00c/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Piano inclinato
La forza spostamento
non produce lavoro
N
ET si conserva !!
Punto di partenza
Punto di arrivo
Punto generico
EC = 0 U=mgho
EC = ½ mVf2
U = 0
EC = ½ mV 2 U = mgh
mgh0 = ½ mVf
2 Vf = 02gh
![Page 23: Il lavoro](https://reader035.fdocumenti.com/reader035/viewer/2022070400/56813581550346895d9ce00c/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Forza elastica
F = -Kx Forza conservativa
ET Si conserva!!2
2
1kxU
0x 0x0
Punto più a destra
Punto più a sinistra
Punto centrale
Ec = 0
U = ½ k X02
Ec = 0
U = ½ k X02
Ec =1/2 mVo2
U = 0
mkxxmkmkx /v/vv2
1
2
10
20
20
20
20
![Page 24: Il lavoro](https://reader035.fdocumenti.com/reader035/viewer/2022070400/56813581550346895d9ce00c/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Forza elastica
Punto generico
Oppure
2v2
1mEC 2x
2
1kU
20
22 x2
1v
2
1x
2
1kmk 2
022 v
2
1v
2
1x
2
1mmk
![Page 25: Il lavoro](https://reader035.fdocumenti.com/reader035/viewer/2022070400/56813581550346895d9ce00c/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Il giro della morte
Da quale altezza si deve partire per fare correttamente il giro?
Se il corpo parte da un’altezza generica h, alla base V = gh2ghB 2v Bmv2/1
2
mghPerché il corpo possa arrivare in C
mghmE BB v2/1 2
0BU
cv2/1 mEc RmgUc 2
2
Attenzione:vc 0!
![Page 26: Il lavoro](https://reader035.fdocumenti.com/reader035/viewer/2022070400/56813581550346895d9ce00c/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Il giro della morte
VC 0
0N Altrimenti il corpo si stacca!!
Nel punto CCondizione limite:
N si annulla in C.
Conservazione dell’energia tra A e C
R
mNmg
2v
R
mmg
2Cv
RgCv
Rmgmmgh 2v2
1 2C RhRmgmRgmgh
2
52
2
1
![Page 27: Il lavoro](https://reader035.fdocumenti.com/reader035/viewer/2022070400/56813581550346895d9ce00c/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Data un forza esegue un lavoro W in un intervallo di tempo t, si definisce potenza media nell’intervallo t il rapporto :
Pmedia W
t La Potenza sviluppata dalla forza all’istante t (potenza
istantanea), si ottiene facendo il limite per t che tende a zero:
P dW
dt
dW F d
r F
v dtP
dW
dt
F dr
dt
F
dr
dt
F
v
Le dimensioni [P] = [ML2T-2][T-1] = [ML2T-3]Nel SI si misura in watt (W)
Kilovattora come unità di misura del lavoro1kwattora=3.6MJ
Potenza e lavoro
![Page 28: Il lavoro](https://reader035.fdocumenti.com/reader035/viewer/2022070400/56813581550346895d9ce00c/html5/thumbnails/28.jpg)
28
UW
dUrdFdUdL
drdUFT /
La componente della forza nella direzione dello spostamento, si ottiene derivando la funzione U, rispetto alla coordinata relativa.
La componente della forza nella direzione dello spostamento, si ottiene derivando la funzione U, rispetto alla coordinata relativa.
Ancora sull’energia potenziale
Per le forze conservative
dUdrF
dUFdr
T cos
![Page 29: Il lavoro](https://reader035.fdocumenti.com/reader035/viewer/2022070400/56813581550346895d9ce00c/html5/thumbnails/29.jpg)
In generale U(x,y,z)
Esempio: U=mgz
Ancora sull’energia potenziale
ixUFx
)/(
jyUFy
)/(
kzUFz
)/(
kzUjyUixUgradUF
)/()/()/(
kmgkzUFz
)/(
![Page 30: Il lavoro](https://reader035.fdocumenti.com/reader035/viewer/2022070400/56813581550346895d9ce00c/html5/thumbnails/30.jpg)
Forza peso U=mgzPercorso 1 : L = 0
Percorso 2 : L = mg(h2-h1)
Percorso 3 : L = mg(h2-h1)
Superficie a Z = cost. si chiama
Superficie “equipotenziale”.
La forza è sempre diretta perpendicolarmente alla superficie equipotenziale diretta nel verso in cui essa decresce.La forza è sempre diretta perpendicolarmente alla superficie equipotenziale diretta nel verso in cui essa decresce.
gm
zz udZdUF ˆ)/(
Ancora sull’energia potenziale
![Page 31: Il lavoro](https://reader035.fdocumenti.com/reader035/viewer/2022070400/56813581550346895d9ce00c/html5/thumbnails/31.jpg)
Le curve di energia potenziale
Forza elastica U=1/2 KX2
KXdXdUF )/(
In generale
F=-dU/dX
se dU/dX=0
U=Max o min
0 0X2
KXF
0 0X1
KXF
![Page 32: Il lavoro](https://reader035.fdocumenti.com/reader035/viewer/2022070400/56813581550346895d9ce00c/html5/thumbnails/32.jpg)
32
Forze centrali
Si definisce forza centrale una forza agente in una certa regione dello spazio con le seguenti proprietà:
per qualunque posizione del punto materiale P che subisce la forza, la direzione della forza agente su P passa sempre per un punto fisso dello spazio, detto centro della forza centrale,
il suo modulo è funzione soltanto della distanza del punto materiale P dal centro stesso.
la forza di gravitazione universale.
Forza di Coulomb
r
F
x
y
O=S
P
F G
mM
r2u r G
mM
r2
r
r
F
1
4o
q1q2
r2u r
La forza elastica F kxi
![Page 33: Il lavoro](https://reader035.fdocumenti.com/reader035/viewer/2022070400/56813581550346895d9ce00c/html5/thumbnails/33.jpg)
33
rurFF
B
A
B
A
B
A
r dsrFsdurFsdrFL cos)()()(
La soluzione di questo integrale dipende solo da BA rr
,)( rBrA UUL
rU Energia potenziale
dr
Forze centrali: forze conservative
ru
![Page 34: Il lavoro](https://reader035.fdocumenti.com/reader035/viewer/2022070400/56813581550346895d9ce00c/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Quantità di moto:
(dipende dal sistema di riferimento scelto)
Quantità di moto
v
mp F
Δpp’
p1
dtdp
F dt
pd
dt
Vdm
dt
VdmamF
Posiamo definire la forza anche come la rapidità di variazione con il tempo della quantità di moto
Se la m è costante
![Page 35: Il lavoro](https://reader035.fdocumenti.com/reader035/viewer/2022070400/56813581550346895d9ce00c/html5/thumbnails/35.jpg)
35
L’impulso e teorema dell’impulso
dt
pddtF
p
p
tpddtF
00
dtFpt
0
impulso di una forza: J
t
pdtFJ0
Teorema dell’impulso: l’impulso della forza risultante che agisce su una particella, durante un certo intervallo di tempo, è uguale alla variazione della quantità di moto della particella in quell’intervallo di tempo.
Teorema dell’impulso: l’impulso della forza risultante che agisce su una particella, durante un certo intervallo di tempo, è uguale alla variazione della quantità di moto della particella in quell’intervallo di tempo.
s
mkgJ
![Page 36: Il lavoro](https://reader035.fdocumenti.com/reader035/viewer/2022070400/56813581550346895d9ce00c/html5/thumbnails/36.jpg)
36
![Page 37: Il lavoro](https://reader035.fdocumenti.com/reader035/viewer/2022070400/56813581550346895d9ce00c/html5/thumbnails/37.jpg)
Conservazione della quantità di moto
37
dt
Se costante 0 pF
Conservazione della quantità di moto: in assenza di forze applicate la quantità di moto di un punto materiale è costante, ossia la quantità di moto si conserva.
Conservazione della quantità di moto: in assenza di forze applicate la quantità di moto di un punto materiale è costante, ossia la quantità di moto si conserva.
![Page 38: Il lavoro](https://reader035.fdocumenti.com/reader035/viewer/2022070400/56813581550346895d9ce00c/html5/thumbnails/38.jpg)
Momento Angolare
Moti Traslatori v
mp per un punto materiale
Conservazione della quantità di moto!!Conservazione della quantità di moto!!
Moti Rotatori
Momento angolare di una particella rispetto ad OMomento angolare di una particella rispetto ad O
prl
Sia xy il piano individuato dai vettori r e p
O
rpprl ||
![Page 39: Il lavoro](https://reader035.fdocumenti.com/reader035/viewer/2022070400/56813581550346895d9ce00c/html5/thumbnails/39.jpg)
Momento angolare
39
rpprrpsenl ||
O
pr
r braccio di p rispetto ad O ossia la distanza della retta di azione di p rispetto ad O
prl
l
![Page 40: Il lavoro](https://reader035.fdocumenti.com/reader035/viewer/2022070400/56813581550346895d9ce00c/html5/thumbnails/40.jpg)
Applicazione..
40
/sm kg62.0v|| 2 hmrpsenl
O
h
Una particella di massa 13.7 g è in moto alla velocità costante di 380 m/s. La traiettoria rettilinea della particella passa a distanza di 12 cm dall’origine. Si calcoli il momento angolare della particella rispetto all’origine.
![Page 41: Il lavoro](https://reader035.fdocumenti.com/reader035/viewer/2022070400/56813581550346895d9ce00c/html5/thumbnails/41.jpg)
Momento angolare ed il momento angolare torcente
41
prl
dt
prd
dt
ld )(
dt
pdrp
dt
rd
dt
ld
v
Frdt
ld
F
vm
dt
ldIl momento torcente totale rispetto al polo O delle forze agenti sulla particella è uguale alla variazione temporale del momento angolare della particella calcolato rispetto allo stesso polo.
Il momento torcente totale rispetto al polo O delle forze agenti sulla particella è uguale alla variazione temporale del momento angolare della particella calcolato rispetto allo stesso polo.
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Teorema del momento dell’impulso
42
JrdtFrdtFrdtttt
000
)(
Fr
dt
d
Teorema del momento dell’impulso: la variazione di momento angolare è uguale al momento dell’impulso applicato al punto. Teorema del momento dell’impulso: la variazione di momento angolare è uguale al momento dell’impulso applicato al punto.
Se la forza è applicata per un tempo t breve r è praticamete costante:
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Conservazione del momento angolare
43
dt
d
0 Fr
Fr
//
0F
0dt
d
costante
Il momento angolare di un punto materiale è costante nel tempo (ossia si conserva) se il momento delle forze è nullo. Il momento angolare di un punto materiale è costante nel tempo (ossia si conserva) se il momento delle forze è nullo.
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44
Moto di un punto materiale sotto l’azione di una forza centrale
Il momento di una forza centrale valutato rispetto al centro della forza è nullo. La forza ed il vettore posizione sono paralleli o anti paralleli
dodt
M o
dodt
0 o cos tan te
Verso: La traiettoria viene percorsa sempre nello stesso verso: orario o antiorario
Modulo: La velocità areale è costante: il segmento che connette il centro della forza con il punto materiale spazza aree uguali in tempi uguali.
Il momento della quantità di moto rispetto al centro della forza deve rimanere costante
Direzione: Il moto è un moto piano
F
r
y
O x
v
r (t)
y
O x
v (t)
r (t t)
v t t