Il Canale Radiomobile - Università degli Studi di...

Parte IV – G. Reali: Il canale radiomobile

4 Il Canale Radiomobile

4.1 INTRODUZIONE

L’evoluzione fondamentale nella filisofia di progetto delle reti di comunicazione indoor è

il passaggio dalla modalità di trasmissione via cavo a quella radio. Nell’inquadrare tale scelta,

occorre fare alcune considerazioni. La propagazione radio presenta alcuni vantaggi che si

riconducono a un più alto grado di flessibilità per il sistema. In particolare, l’ampliamento o la

modifica della rete già esistente non implicherebbe il posizionamento di cavi e, quindi, il

vincolo di strutture fisse. Inoltre l’utente, avendo a disposizione unità portatili di piccolo peso,

vedrebbe la propria operatività non più legata ad un particolare sito. Di contro, la funzionalità

della rete, in termini di probabilità di errore e throughput potrebbe essere compromessa dalla

trasmissione radio del segnale che, come è ben noto, è affetta da una serie di problematiche che

la rendono meno affidabile di quella via cavo. Di conseguenza, risulta chiaro quanto sia

importante acquisire una conoscenza adeguata del comportamento spazio temporale del canale

radio indoor.

Tipicamente, Il segnale trasmesso, a causa delle strutture presenti nell'ambiente, è

soggetto a fenomeni di riflessione, rifrazione e scattering. Esso, quindi, raggiunge il ricevitore

per mezzo di percorsi multipli (multipath). Ogni percorso, essendo caratterizzato da una storia

diversa dipendente dal tipo d’ambiente considerato, è affetto da un valore aleatorio di

attenuazione e rotazione di fase. La combilazione di tutti i parcorsi produce, al ricevitore, una

versione distorta del segnale trasmesso. A questa si sommano altri effetti indesiderati: il rumore

termico dei dispositivi, l’interferenza estrerna dovuta a dispositivi che emettono energia a radio

frequenza nella stessa banda e l’interferenza interna, dovuta agli altri utenti che accedono allo

Cap. 4 - Il canale radio indoor 50

stesso sistema di comunicazione. Tutti questi fenomini sono modellabili in termini statistici.

Nel seguito del capitolo sarà affrontata la descrizione del canale dal punto di vista della

propagazione multipla.

4.2 IL FENOMENO DELLA PROPAGAZIONE MULTIPLA

La progettazione dei sistemi di comunicazione radio all’interno di edifici richiede una

conoscenza accurata del fenomeno di propagazione multipath. Questo, infatti, determina una

variabilità della risposta all’impulso del canale dipendente sia dal tempo sia dalle successive

posizioni spaziali assunte dal ricevitore durante la comunicazione.

A causa del multipath, più repliche del segnale trasmesso giungono contemporaneamente

al ricevitore. Il numero di queste, il ritardo relativo, la loro attenuazione e il loro sfasamento

possono variare in maniera aleatoria. La Fig. 4.1 rappresenta una situazoine schematica e

semplificata del fenomeno.

t

t

t

t

( a )

( b )

( c )

( d )

t t= 0

t t= +0 α

t t= +0 β

t t= +0 γ

t t= 1 t t= +1 1 1τ t t= +1 1 2τ

t t= 2 t t= +2 2 1τ t t= +2 2 2τ t t= +2 2 3τ

t t= 3 t t= +3 3 1τ t t= +3 3 2τ

t t= 4 t t= +4 4 1τ t t= +4 4 2τ

Fig. 4.1- Rappresentazione schematica della risposta di un canale radio indoor tempo variante ad un

impulso trasmesso in tempi diversi.


Ogni percorso contribuisce alla costruzione del segnale ricevuto con un termine

d’ampiezza e di fase, legati rispettivamente all’attenuazione e alla lunghezza di cammino del

singolo raggio.

La presenza o meno del raggio diretto permette di distinguere fra propagazione in

visibilità ottica, LOS (Line Of Sight), e propagazioni in assenza di visibilità ottica, NLOS (No

Line Of Sight). Nel primo caso si verifica la condizione di visibilità ottica tra trasmettitore e

ricevitore che comporta una componente diretta del segnale; nel secondo, invece, tutti i

contributi che giungono al ricevitore derivano esclusivamente da fenomeni di riflessione,

rifrazione e scattering.

Le caratteristiche delle diverse componenti multipath variano in maniera casuale con

dipendanza dal tempo e dalla posizione del ricevitore. Le variazioni temporali, sono dovute al

movimento di persone o oggetti nelle vicinanze del ricevitore, ed hanno una importanza

analoga a quella dello stato di moto del ricevitore nel determinare la statistica del canale. Tale

movimento determina un continuo cambiamento nelle lunghezze dei percorsi multipli e si

traduce in primo luogo in variazioni di fase legate ai vari raggi. A differenza dei termini

d’ampiezza, infatti, il cui cambiamento è apprezzabile solo su grandi distanze, un contributo

significativo di fase deriva anche da un modesto mutamento della lunghezza del percorso, dato

che ogni variazione del ritardo della componente di 1 , con la frequenza centrale del

segnale trasmesso

f c f c

1 corrisponde ad una rotazione di fase di 2π.

Se a risentire del fenomeno sono in particolare le componenti multipath dovute a

riflessioni nelle vicinanze del ricevitore, il segnale subisce fenomeni di fluttuazione che si

esauriscono in tempi dell’ordine dei millisecondi o microsecondi e si parla di fading multipath

a breve termine. A causa di spostamenti più ampi del ricevitore, invece, può anche cambiare la

natura dei cammini “principali”che collegano il trasmettitore al ricevitore. Queste variazioni,

note anche come fading multipath a lungo termine, non influiscono in maniera immediata

sull’andamento del segnale, come avviene nel caso precedente, ma determinano la

“disponibilità” del canale, nel senso che condizionano gli effetti della propagazione multipla sul

segnale al variare di parametri descritti da statistiche a lungo termine. Per tale motivo un

1 valori tipici sono dell’ordine di pochi GHz


modello matematico del canale si limita a considerare il solo l’attenuazione da percorsi multipli

a breve termine.

4.3 MODELLO MATEMATICO DEL CANALE

4.3.1 RISPOSTA ALL’IMPULSO

Si supponga di trasmettere, nel canale radio descritto, un generico segnale passabanda del

tipo:

s t u t ej fct

( ) Re ( )= ⋅

2π (4.1)

dove fc è la frequenza centrale di riferimento e u(t) è l’inviluppo complesso in banda base.

Se nel mezzo è possibile distinguere un insieme di percorsi differenti che uniscono il

trasmettitore al ricevitore (multipath discreto), il segnale ricevuto assume la forma:

[x t a t t s t t tnn

N

( ) ( ) ( )= − ⋅ − −=∑ 0 0

0τ ]n (4.2)

dove N è il numero di componenti multipath, t0 il ritardo fisso introdotto dal canale, an(t)

l’attenuazione di cammino e τ n t( ) il ritardo relativo.

Sostituendo la (4.1) nella (4.2) e trascurando il contributo costante dovuto al canale, il

segnale ricevuto può anche essere scritto come

[x t r t e j f tc( ) Re ( )= ⋅ 2π ]

]

(4.3)

dove

[r t a t e u t tnj f t

nn

Nc n( ) ( ) ( )( )= ⋅ ⋅ −−

=∑ 2

0

π τ τ (4.4)

è l’inviluppo complesso in banda base.

Il comportamento del canale equivalente in bassa frequenza, quindi, fissata la posizione

del ricevitore, è simile a quello di un filtro lineare descritto dalla risposta all’impulso tempo

variante a valori complessi [20]:


[h t a t e t tnj f t

nn

Nc n( , ) ( ) ( )( )τ π τ= ⋅ −−

=∑ 2

0]δ τ

τ

]

τ τ

(4.5)

Questa espressione indica che il segnale ricevuto, a causa dell’azione multipath del canale, può

essere rappresentato, in corrispondenza ad ogni punto dello spazio, come la somma di più fasori

tempo varianti, ciascuno dei quali porta il contributo di un singolo cammino in termini di

ampiezza e di fase.

Qualora la distribuzione delle varie componenti sull’asse dei ritardi non permettesse di

distinguere dei contributi netti, il segnale ricevuto sarebbe più correttamente modellabile come

il risultato di un’operazione d’integrazione (multipath continuo):

( ) ( )x t a t s t d( ) ,= ⋅ −−∞

+∞

∫ τ τ (4.6)

oppure, in funzione degli equivalenti in bassa frequenza, come

[x t r t e j f tc( ) Re ( )= ⋅ 2π (4.7)

con

r t a t e u t dj f tc( ) ( , ) ( )= ⋅ ⋅ −−−∞

+∞

∫ τ π2 . (4.8)

In questo caso il termine a(τ,t) rappresenta l’ampiezza all’istante t di tutti i raggi che arrivano al

ricevitore con ritardi relativi compresi nell’intervallo ( )τ τ τ, + d .

In maniera analoga alla (4.5), la risposta all’impulso del canale in banda base diventa

h t a t e j f tc( , ) ( , )τ τ π= ⋅ − 2 (4.9)

L’operazione di convoluzione rappresentata dalla (4.4) e dalla (4.8) descrive il canale in

ogni punto dello spazio come un filtro con risposta all’impulso tempo-variante h(τ,t). La

variabile τ indica il fatto che la potenza associata al segnale giunge al ricevitore in istanti

diversi per mezzo di più componenti (dispersione temporale del segnale), le cui caratteristiche

variano temporalmente in maniera aleatoria. In genere il ricevitore non è fisso, ma si sposta

causando continui cambiamenti nelle condizioni di propagazione. Ciò permette di associare ad

ogni punto dello spazio un profilo della risposta all’impulso ottenuto al variare del ritardo τ

[21][22].


4.3.2 RISPOSTA ALL’IMPULSO TEMPO-DISCRETA

Per descrivere i canali in condizioni di propagazione multipath a partire da dati

sperimentali si fa spesso riferimento al modello di risposta all’impulso tempo discreta h xi i( , )τ .

Ciò consiste nella suddivisione dell’asse dei tempi in intervalli di ampiezza pari alla risoluzione

temporale, in ciascuno dei quali è presente o meno una componente. Il modello esclude il caso

in cui più componenti si trovino in uno stesso intervallo, dato che contributi diversi che

giungono al ricevitore con un ritardo relativo minore dell’ampiezza di tale intervallo non sono

risolvibili come cammini distinti.

Oltre che per interpretare il comportamento del canale sulla base delle misure effettuate,

il modello di risposta all’impulso tempo discreta è utilizzabile anche qualora si voglia simulare

una condizione di fading multipath. In tal modo l’azione aleatoria esercitata sul segnale è

rappresentata da un insieme finito di valori e l’analisi del sistema è notevolmente semplificata

rispetto al caso di un modello tempo continuo.

4.3.3 PARAMETRI DEL CANALE MULTIPATH

Fra i parametri che descrivono le caratteristiche principali di un generico profilo della

risposta all’impulso h(τ,x) del canale, assumono notevole importanza il guadagno totale di

potenza multipath, l’eccesso medio del ritardo ( )τm ed il valore quadratico medio del ‘delay

spread’ τ rms .

Il guadagno totale di potenza multipath è definito come:

G ann

N

==∑ 2

0 (4.10)

dove è l’ampiezza della n-esima componente ed N è il numero di componenti che

costituiscono il profilo. Esso indica la potenza che giunge al ricevitore in seguito alla

trasmissione attraverso il canale di un impulso temporale di ampiezza unitaria. Di conseguenza

il parametro fornisce una misura della qualità del sistema di comunicazione, in maniera analoga

a quanto avviene con la definizione del rapporto segnale-rumore.

an


L’eccesso medio di ritardo e il valore quadratico medio del delay spread sono grandezze

legate al profilo di potenza multipath del canale, definito in ogni punto dello spazio come il

quadrato del modulo della risposta all’impulso al variare del ritardo h x( , )τ2.

L’eccesso medio di ritardo è il primo momento del profilo di potenza multipath. Tenendo

conto del ritardo t del primo percorso del canale, tale grandezza è definita come: 0

ττ

m

n nn

N

nn

N

t a

a=

−=

=

∑

∑

( )02

0

2

0

(4.11)

In prima approssimazione questa grandezza, che è una media pesata dei ritardi con cui le

diverse componenti del segnale giungono al ricevitore, fornisce un’indicazione sull’entità del

cosiddetto ‘self-noise’, ovvero della rumorosità delle componenti ritardate del segnale.

Il valore quadratico medio del “delay spread” è invece la radice quadrata del secondo

momento centrale del profilo di potenza, ed assume la forma

τ τ τrms m= −2 2( ) (4.12)

dove

ττ

20

2 2

0

2

0

=−

=

=

∑

∑

( )n nn

N

nn

N

t a

a (4.13)

è un parametro legato alla durata temporale TM (delay spread) del profilo, in quanto esprime la

dispersione temporale del segnale intorno al valor medio calcolato in precedenza e dà una

misura dell’interferenza intersimbolo (ISI).

Supposto, infatti, di dover trasmettere dei simboli, ad esempio binari, tramite forme

d’onda di durata T, l’azione del canale è più o meno significativa a seconda del valore che

assume TM. In particolare si hanno due casi significativi:

a) T>>TM ; in questa condizione a causa del fenomeno multipath ciascuna forma d’onda

ricevuta occupa un intervallo pari a T+TM. Essendo però T>>TM la sovrapposizione tra i

simboli adiacenti è molto limitata. Sull’asse dei tempi è possibile distinguere in ricezione una


successione di intervalli di durata T-TM che contengono gran parte dell’energia trasmessa e che

sono liberi da interferenza.

b) T<<TM ; in questo caso il fading distorce seriamente il segnale ed in ricezione non è

più possibile distinguere i valori trasmessi, dato che l’intervallo in cui si manifesta ISI è

maggiore della durata del simbolo stesso.

Sia τm sia τrms variano al variare dell’ambiente e dipendono dall’esistenza o meno di

condizioni di visibilità. I valori numerici che tali grandezze assumonooscillano fra i 20 e i 50 ns

nel caso di un ufficio di media grandezza, fino ad arrivare a valori misurati in una fabbrica di

300 ns [21].

Al variare delle posizioni assunte in un medesimo ambiente, G, τm e τrms si possono

modellare come variabili aleatorie aventi distribuzioni legate alle condizioni in cui avviene la

trasmissione.

4.3.4 FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE SPAZIALE

Per il canale radio indoor si può definire una funzione di trasferimento complessa con

variabilità spaziale trasformando secondo Fourier la h(τ,x) rispetto al primo argomento, come

segue:

H f x h x e dj f( , ) ( , )= −

−∞

+∞

∫ τ π τ2 τ

)

∆ ,

; (4.14)

In Fig. 4.2 ne è mostrato un esempio. Supposto il canale stazionario in frequenza è possibile

definire a partire dalla H(f,x) anche la seguente funzione d’autocorrelazione complessa

[23]: (ρ ∆f x,

( ) ( ) ( )ρ ∆f x H f x H f f x df, ,= +∗−∞

+∞

∫ (4.15)


FREQUENZA

SPAZIO

Canale localmenteinvariante

( )H f t,

Fig. 4.2 - Esempio di funzione di trasferimento di un canale radio indoor

Il fatto che dipenda dalla sola variabile ∆f e non dalla particolare frequenza

considerata è intuibile. La stazionarietà in frequenza del canale deriva infatti dall’ipotesi di

fading scorrelato, cioè si ipotizza che le diverse componenti multipath che giungono al

ricevitore siano scorrelate. La larghezza di banda a 3 dB della funzione

(ρ ∆f x, )

)Bc (ρ ∆f x, fornisce

una misura della coerenza del canale, poiché indica l’intervallo in cui le componenti spettrali

del segnale subiscono dal canale un effetto simile. Questa è inversamente proporzionale al

delay spread TM del canale e, quindi, rappresenta un limite in frequenza alla trasmissione in

termini d’interferenza intersimbolo, in maniera analoga a quanto avviene nel dominio spaziale

con la definizione di τrms. Tra quest’ultima grandezza e la banda del canale sussiste una

relazione di proporzionalità inversa del tipo:

Bc

B Cc rm= ⋅ −τ βs (4.16)

dove C e β sono costanti che dipendono dalla struttura dell’ambiente.


4.4 MODELLO STATISTICO DEL CANALE

4.4.1 CARATTERIZZAZIONE DELLA RISPOSTA ALL’IMPULSO

La variabilità rivelata nelle misure del canale radio indoor ha favorito la nascita di un

certo numero di modelli statistici. Nel seguito saranno riportati i modelli principali noti in

letteratura, che descrivono le caratteristiche peculiari di un canale affetto da propagazione

multipla.

4.4.1.1 DISTRIBUZIONE DEL NUMERO DI COMPONENTI MULTIPATH

La conoscenza del numero di componenti multipath del segnale è importante per valutare

la qualità del sistema di comunicazione e le possibili tecniche di equalizzazione del canale.

Nel seguito si assumerà che una componente multipath giunge al ricevitore con un ritardo

τ n rispetto al alla prima replica se la potenza associata al relativo intervallo temporale supera

una certa soglia minima, fissata come riferimento.

Il numero N di componenti multipath raccolte in un particolare edificio, il cui valore

dipende in primo luogo dalla soglia fissata, si comporta al variare del profilo della risposta

all’impulso nello spazio come una variabile aleatoria la cui distribuzione dipende dalla

geometria dell’ambiente considerato. Un esempio di dati, misurati in due diversi edifici

residenziali, è riportato in Tab.4.1, tratta da [21]. Il valore di N è stato calcolato considerando

tutte le componenti multipath la cui potenza è compresa entro un intervallo di α dB a partire da

quella relativa al percorso più forte.


EDIFICIO 1

EDIFICIO 2

SEPARAZIONE TRA LE ANTENNE

(METRI)

SEPARAZIONE TRA LE ANTENNE

(METRI)

5 10 20 30 5 10 20 30

α µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ σ

10 dB 3 2 4 2 7 3 8 3 4 2 5 2 5 2 6 3

20 dB 8 3 10 3 13 4 17 5 8 3 10 3 11 3 13 4

30 dB 13 3 16 3 20 5 24 7 13 3 15 3 18 4 19 4

Tab. 4.1 - Valor medio (µ) e deviazione standard (σ) del numero N di componenti multipath misurate in due

diversi edifici. I valori sono calcolati per separazioni delle antenne di 5, 10, 20, 30 m e in corrispondenza a soglie

sulla potenza ricevuta (α) relative al contributo più forte pari a 10, 20 e 30 dB.

Dalla tabella, che riporta gli andamenti di N per tre diversi valori di α, si osserva che:

• esiste una dipendenza lineare tra il valor medio N e la separazione tra le antenne,

probabilmente dovuta al fatto che all’aumentare delle distanze aumenta il numero di

riflessioni multiple che il segnale subisce;

• il valor medio N cresce all’aumentare di α, poiché per soglie più basse sulla potenza

ricevuta è maggiore il numero di componenti incluse nel calcolo di N;

• la deviazione standard della variabile aleatoria N cresce all’aumentare della separazione

tra le antenne.

Una spiegazione di questo comportamento può essere ricercata nel fatto che le variazioni

nell’ambiente che circonda il trasmettitore e il ricevitore sono maggiori nel caso in cui la

distanza tra trasmettitore e ricevitore sia alta. In realtà, anche il valor medio e la deviazione

standard del numero di componenti multipath nel caso di distribuzione gaussiana sono variabili

aleatorie legate agli spostamenti del ricevitore. La deviazione standard σ dipende linearmente


dal valor medio N che, in genere, è distribuito in maniera uniforme. La relazione che lega le

due grandezze, calcolata nel caso di misure effettuate in ambienti residenziali a frequenze

dell’ordine di 1GHz è rispettivamente nel caso LOS e NLOS [24]:

(σ = ⋅ −0 492 4 77. N ). (4.17)

(σ = ⋅ −0 383 089. N ). (4.18)

4.4.1.2 DISTRIBUZIONE DEI TEMPI DI ARRIVO

La sequenza dei tempi d’arrivo τ k 0

+∞delle varie componenti multipath, al variare della

posizione del ricevitore, può essere modellata come un processo aleatorio. Nel caso in cui è

presente un cammino LOS, viene escluso dalla sequenza il contributo fisso della prima

componente e il processo è dato dalla distribuzione di τ k t−+∞

0 1nello spazio.

Per la distribuzione dei tempi d’arrivo sono stati proposti diversi modelli che si adattano

alle varie condizioni di propagazione [21].

Modello di Poisson. In generale questo modello è utilizzato quando si deve descrivere un

fenomeno completamente casuale. Nel caso del canale indoor, i tempi di arrivo dei diversi raggi

si distribuiscono secondo il modello di Poisson quando gli ostacoli che causano la

propagazione multipla sono disposti nello spazio in maniera completamente casuale.

Il modello fornisce la probabilità che giungano al ricevitore L contributi in un intervallo

di tempo di durata T, data da

Pr( )!

L le

l

l l

= =⋅ −µ µ

(4.19)

dove µ è il parametro di Poisson definito come

µ λ= ∫ ( )t dtT

(4.20)

e λ(t) è la frequenza media d’arrivo dei diversi raggi all’istante t (costante nel caso in cui il

processo sia stazionario).


Il modello di Poisson non descrive bene la situazione quando gli oggetti che generano i

cammini multipli sono disposti nell’ambiente secondo un certo ordine che rende i tempi

d’arrivo delle componenti del segnale non completamente casuali.

Modello ∆-Κ o modello di Poisson modificato. Questo modello tiene conto del fatto che i

generatori delle componenti multiple sono in gran parte raggruppati, per cui i raggi che ne

derivano giungono al ricevitore raggruppati in pacchetti (clustering dei raggi). Nel modello del

processo sono pertanto presenti due stati diversi: , con frequenza media d’arrivo dei raggi

, e , con frequenza

S1

λ 0 ( )t S2 k tλ0 ( ) . Quando si verifica una transizione dallo stato , in cui si

si può assumere che il processo si trovi inizialmente, allo stato durante l’intervallo di tempo

, si ha che cambia la frequenza d’arrivo dei raggi. Questa aumenta se k>1, mentre

diminuisce per k<1. Le costanti k e ∆, legate alle continue transizioni tra i due stati, sono

determinate tramite particolari tecniche d’ottimizzazione a partire da dati ottenuti

sperimentalmente.

S1

S2

[t t, + ∆)

I motivi per cui il modello ∆-Κ spesso si adatta bene alle situazioni sperimentali sono

molteplici. In primo luogo la disposizione degli oggetti che causano il fenomeno di multipath

non è completamente casuale. Inoltre, a differenza del modello di Poisson che descrive

probabilità associate ad intervalli di tempo relativamente lunghi (T>>∆), si fa ora riferimento ad

informazioni più precise sui dati: l’ampiezza ∆ del cluster e la costante k legata alla frequenza

d’arrivo delle diverse componenti nel cluster stesso.

Modello di clustering di Neyman-Scott. Secondo questo modello il processo ha dei centri

di cluster dovuti alla presenza di strutture principali nell’edificio come porte e grandi pareti di

metallo che si distribuiscono secondo la legge di Poisson. Ogni cluster è costituito da più

componenti multipath, causate da riflessioni nei pressi del ricevitore, che si distribuiscono

ancora secondo il modello di Poisson. Per la logica seguita la distribuzione di Neyman-Scott

sembra essere preferibile agli altri. I riscontri sperimentali della sua applicazione sono

comunque pochi e disponibili solo nel caso di insiemi di misure limitati ad uffici ed edifici

residenziali.


4.4.1.3 DISTRIBUZIONE DEI TEMPI DI INTER-ARRIVO

In un generico profilo della risposta all’impulso la sequenza dei tempi di interarrivo delle

componenti del segnale è definita come l’insieme delle grandezze x t ti i i= − −1 con i=1,.......,N,

dove indica l’istante d’arrivo dell’i-esimo raggio e N è una variabile aleatoria che

rappresenta il numero di componenti multipath del profilo. In corrispondenza alle diverse

posizioni del ricevitore la sequenza

ti

xi

N

1 forma un processo aleatorio. Di conseguenza, ogni

, reletivo ad una posizione spaziale, si comporta come una variabile aleatoria distribuita

secondo diverse leggi. Sono di interesse le due distribuzioni seguenti:

xi

Distribuzione esponenziale. Quando i tempi di arrivo sono modellabili tramite un

processo stazionario di Poisson, le grandezze sono variabili aleatorie statisticamente

indipendenti distribuite secondo una legge esponenziale.

xi

f x e xXx( ) ,= ⋅ >−λ λ 0 (4.21)

Distribuzione di Weibull. Nel caso in cui nell’ambiente sussiste una proprietà di

clustering che determina per la sequenza τ k 0

+∞la scelta del modello ∆-Κ o del modello di

Neyman-Scott i tempi di interarrivo delle diverse componenti del segnale seguono la

distribuzione di Weibull. Questa, infatti, dipende da tre parametri che rendono particolarmente

flessibile l’adattamento alle situazioni sperimentali. Secondo tale distribuzione, la probabilità

ch la variabile assuma in diversi punti dello spazio il valore x è data da: xi

P xb

xb xx

b xx

xX ( ) exp ,=⋅⋅

⋅

⋅ −

⋅

≥−

αα α

0 0

1

0

0 (4.22)

dove α è un parametro di forma, è il valore quadratico medio di x e x0 b è

una costante di normalizzazione espressa in termini della funzione Γ. Per α=1 si ritrova come

caso particolare la distribuzione esponenziale tipica dei processi di Poisson.

=

⋅

2 212

α αΓ


4.4.1.4 DISTRIBUZIONE DELLE AMPIEZZE

Il segnale che giunge al ricevitore è scindibile in un numero N di componenti, ciascuna

delle quali è dovuta a più cammini non risolvibili, cioè aventi un ritardo relativo minore del

minimo intervallo di segnalazione, come mostrato schematicamente in Fig.4.3. Ogni

componente è quindi esprimibile tramite una somma vettoriale dei fasori associati ai vari

percorsi multipli che contribuiscono a costituirlo.

a e a e t tW

i j m n mnj

nij n

n ni

mn i

j⋅ = ⋅ − < = =

=∑ϑ ϑ , ; , ,..., ; ,...,

11 1

1. (4.23)

TEMPO

N-EIMO PERCORSO

a tn n n, ,θ

a n n1 1,θ

a n n2 2,θ

a n nm m,θ

.....

t n1

t n2

t nm

Fig.4.3 - Cammini secondari associati ad una componente multipath.

In particolare, il modulo varia nel tempo e nello spazio in maniera aleatoria, con

statistiche descrivibili mediante varie funzioni di distribuzione dipendenti dall’ambiente nel

quale avviene la propagazione [21][22].


Distribuzione Rayleigh. Le ampiezze delle componenti del segnale si distribuiscono

secondo una funzione di Rayleigh quando, in assenza di un percorso avente una potenza

sensibilmemte maggiore rispetto a quella degli altri percorsi, le fluttuazioni del canale sono

dovute a spostamenti del ricevitore su piccoli spazi (aree locali).

Secondo la distribuzione Rayleigh la probabilità che in ricezione l’ampiezza a della

generica componente assuma valore r è data da:

n

P rr r

R ( ) exp= ⋅−⋅

σ 2

2

22 σ. (4.24)

Questa dipende da un unico parametro σ legato al valor medio m ed alla varianza v della

distribuzione rispettivamente dalle relazioni:

m = ⋅πσ

2 (4.25)

v = −

⋅2

22π

σ . (4.26)

Nell’espressione del segnale ricevuto

a e a e n Njn

j n

n

N

⋅ = ⋅ ==∑ϑ θ

11,...... (4.27)

facendo l’ipotesi che il ricevitore si sposti di poco e che le ampiezze delle diverse componenti

siano simili è lecito supporre che

a a n Nn ≅ =1 1,......, (4.28)

quindi

a e a ej

n

N

⋅ = ⋅=∑ϑ 1

1.j nϑ (4.29)

Questa espressione rappresenta la somma di più sinusoidi, con ampiezze costanti e fasi

uniformemente distribuite in [ . Di conseguenza, per il teorema centrale del limite, le

componenti in fase ed in quadratura I e Q del segnale ricevuto sono variabili aleatorie gaussiane

)0 2, π


aventi l’ampiezza r che si distribuisce proprio secondo una legge Rayleigh e la fase θ uniforme

nell’intervallo [ . )0,2π

exp= ⋅

2

xpr r

σ σ2

Distribuzione di Rice. Questa distribuzione è rivelabile quando esiste un percorso

multiplo avente una potenza sensibilmente maggiore di quella degli altri, come avviene, ad

esempio, quando il trasmettitore e il ricevitore si trovano in condizioni di visibilità ottica.

Quindi, il segnale ricevuto è scomponibile in due termini: una forte componente deterministica

dovuta alla presenza del cammino potente ed un contributo dovuto all’effetto combinato dei

cammini a più bassa potenza. Il primo, in forma vettoriale, assume un’espressione del tipo

dove v e β sono grandezze costanti legate alla posizione dei terminali. Il secondo invece, di

peso minore, è rappresentato dal vettore con modulo Rayleigh e fase uniforme. Il segnale

ricevuto, che è la somma dei due fasori, ha un inviluppo r e una fase θ distribuiti secondo la

probabilità congiunta

ve jβ

ue jα

( )Pr( , )cos( )

, ;rr r v rv

rϑπσ

ϑ βσ

π ϑ β π−+ − ⋅ −

≥ − ≤ − ≤2

22

02 2

2 (4.30) .

In realtà, anche l’ampiezza v e la fase β del percorso principale sono variabili al variare

della posizione del ricevitore, e ciò rende indipendenti r e θ. In particolare la fase θ si

distribuisce in maniera uniforme in [ )0 2, π . Saturando la distribuzione rispetto alla variabile θ è

facile ricavare la seguente distribuzione di Rice

Pr( ) e ,rv

Irv

r= ⋅− +

⋅

≥

σ2

2 2

2 0 2 0 (4.31)

dove è la funzione di Bessel modificata d’ordine zero, v l’ampiezza della componente dovuta

al cammino diretto e un termine dovuto ai percorsi secondari.

I0

σ 2

Si nota che, come era facile aspettarsi, se il contributo principale si annulla la

distribuzione di Rice degenera in una Rayleigh.

Distribuzione Nakagami: Questa distribuzione si basa sull’ipotesi che sia le ampiezze sia

le fasi delle diverse componenti siano distribuite in maniera casuale. La funzione di densità di

probabilità dell’ampiezza del segnale ricevuto è data da:


Pr( )( )

exp ,rm rm

mrr

m

m=⋅⋅

⋅ −

≥−2

02 1 2

Γ Ω Ω (4.32)

dove Γ(m) è la funzione Gamma e Ω = E r 2 .

Il parametro m, da cui a volte la distribuzione prende il nome, è definito come:

[ ] [ ]m

E rVar r

=2 2

2 (4.33)

e rispetta la condizione m>1/2.

Al variare di m la funzione di Nakagami assume diverse forme. In particolare per m=1/2

si ottiene una Rayleigh e per m=1 una gaussiana monolatera.

Distribuzione Weibull. Tale funzione di distribuzione è data da

Pr( ) exp ,rb

rbrr

brr

r=

⋅ −

≥−

αα α

0 0

1

00 (4.34)

dove α è un parametro di forma, r il valore quadratico medio di r e 0 b è un

fattore di normalizzazione.

=

⋅

2 212

α αΓ

La funzione di distribuzione di Weibull, a differenza della Rayleigh e della Rice, non è

giustificata da alcuna spiegazione teorica. Il fatto che si adatti particolarmente bene ai dati è

dovuto probabilmente alla sua flessibilità. Al variare di α si ottengono infatti diverse

distribuzioni come casi particolari, come, ad esempio, la Rayleigh per α=1/2 e quella

esponenziale per α=1.

Distribuzione Lognormale. Tale funzione di distribuzione è data da

Pr( ) exp(ln )

,rr

rr= ⋅ −

−

≥1

2 20

2

2πσµ

σ (4.35)

Se la variabile r è lognormale la grandezza x=log(r) è distribuita secondo una legge

gaussiana.

Il fatto che, in termini di funzioni di densità di probabilità, la relazione che lega i due casi

sia logaritmica, permette di dare una spiegazione teorica alla buona descrizione di particolari


situazioni di fading fornita dalla distribuzione lognormale. Le componenti multiple determinano

sul segnale trasmesso un rumore moltiplicativo. Di conseguenza l’ampiezza della forma d’onda

ricevuta è descritta da una legge lognormale, in maniera analoga a quanto avviene nel caso di

rumore additivo con la distribuzione gaussiana.

La distribuzione lognormale è di solito rivelata quando sono analizzate variazioni del

canale su larga scala, che avvengono in seguito a spostamenti consistenti del ricevitore (fading

multipath a lungo termine), le quali determinano un certo andamento spaziale delle

caratteristiche del canale che non era tenuto in conto nel caso di distribuzioni Rayleigh e Rice.

Distribuzione Suzuki. Tale funzione di distribuzione è data da

( )Pr( ) exp exp

lnr

r rd= −

−

−

+∞

∫ σ σ πσλσ µλ

σ2

2

2

2

20 21

2 2 (4.36)

dove µ e λ sono parametri il cui valore ottimo è determinabile dai dati a disposizione. Essa è

derivata a partire dalle distribuzioni Rayleigh e Lognormale, in base alle seguenti

considerazioni. Quando il segnale, caratterizzato da una statistica lognormale, giunge nei pressi

del ricevitore, a causa delle strutture ‘locali’ subisce ulteriori suddivisioni. Si può supporrre che

i contributi che si generano localmente abbiano uguale ampiezza e le fase uniformemente

distribuita, dato che le lunghezze dei percorsi interessati sono simili. Quindi le ampiezze

relative si distribuiscono secondo una legge Rayleigh il cui parametro σ segue l’andamento

lognormale dovuto agli effetti su larga scala.

La distribuzione Suzuki si adatta molto bene al modello di propagazione multipath

presentato in precedenza. Inoltre, essendo una distribuzione mista, spiega in modo chiaro la

transizione tra comportamento locale (Rayleigh) e globale (Lognormale) del canale.

4.4.1.5 CORRELAZIONI TRA GRANDEZZE DEI PERCORSI MULTIPATH

Tra le grandezze caratterizzanti al risposta all’impulso del canale esistono diversi tipi di

correlazione, al variare sia dell'istante considerato sia della posizione del ricevitore.

Correlazioni all'interno di un profilo. Per le componenti multipath che appartengono ad

uno stesso profilo della risposta all’impulso è possibile determinare un grado di correlazione

per i tempi di arrivo e per le ampiezze.


L'eventuale legame che sussiste tra i diversi istanti nei quali le repliche del segnale

giungono al ricevitore è dovuto alla proprietà di clustering delle strutture locali (esempio

modello ∆-K). Tale legame diventa sempre più debole all'aumentare del tempo di ritardo,

poiché le componenti del segnale che seguono percorsi più lunghi subiscono con maggior

probabilità riflessioni multiple e risentono di una maggiore attenuazione che le rende più

difficilmente riconoscibili.

Nel caso di misure ad alta risoluzione tra le ampiezze delle componenti multipath

adiacenti esiste comunque un certo grado di correlazione dovuto al fatto i riflettori che le

generano sono, con alta probabilità, gli stessi. L'ipotesi che esistano ampiezze correlate diventa

inconsistente nel caso in cui si suppone che i tempi d'arrivo delle componenti del segnale siano

indipendenti. Ciò implica, infatti, per la struttura multipath fenomeni di riflessione diversi e,

dunque, grandezze indipendenti.

Nell'intervallo di frequenze utilizzato per le comunicazioni radio indoor (solitamente

qualche GHz) le fasi che appartengono ad uno stesso profilo della risposta all’impulso sono un

esempio di eventi indipendenti. Anche nel caso di alte risoluzioni, infatti, esse corrispondono a

percorsi del segnale che differiscono in lunghezza per valori sicuramente maggiori della

lunghezza d'onda λ usata in trasmissione.

All'aumentare del ritardo cresce la lunghezza dei percorsi seguiti dai vari raggi e, dunque,

la probabilità che le componenti del segnale subiscano riflessioni multiple che causano una

maggiore attenuazione. Di conseguenza esiste anche un grado di correlazione tra l'intera

sequenza dei tempi d'arrivo e delle ampiezze.

Un discorso analogo non può farsi per le fasi, a causa dei limiti che impongono le

risoluzioni di misura.

Correlazioni tra profili spazialmente separati. Nel caso in cui i profili della risposta

all’impulso siano relativi a posizioni vicine, le componenti del segnale che giungono al

ricevitore con lo stesso ritardo τ sono simili. Ciò è dovuto al fatto che le condizioni di

propagazione non variano in maniera sensibile per brevi distanze.

Queste correlazioni, che esistono tra le grandezze di una stessa componente multipath in

punti differenti dello spazio, interessano le ampiezze, i tempi di arrivo e le fasi.

Le variazioni delle ampiezze sono molto contenute per profili vicini, ma crescono

rapidamente all'aumentare della distanza tra le posizioni del ricevitore. In particolare,


l'ampiezza del cammino diretto, nel caso di propagazione LOS, presenta variazioni contenute in

pochi dB per distanze di qualche metro [21].

Coefficienti di correlazione. Due grandezze importanti per l’analisi di un sistema che

opera in ambiente multipath indoor sono la distanza relativa tra profili e il ritardo in un certo

punto dello spazio tra diverse componenti a cui le ampiezze a xk k l( , )τ del segnale diventano

scorrelate.

E’ stato detto in precedenza che all’interno di un’area locale i valori dell’ampiezza di una

componente multipath, calcolati in corrispondenza a diverse posizioni del ricevitore, o quelli

relativi a contributi che giungono, in uno stesso punto dello spazio, con ritardi differenti,

possono essere correlati.

Nella maggior parte dei casi per separazioni in distanza maggiori di qualche lunghezza

d’onda il comportamento del canale cambia completamente e la correlazione tra le ampiezze di

due componenti multipath misurate da ricevitori distanti è nulla.

D’altra parte, per differenze nei tempi di ritardo maggiori di qualche centinaio di ns, si

assume che diventino scorrelate anche le potenze del segnale multipath, poiché le riflessioni

sono dovute a differenti strutture fisiche dell’edificio.

Considerate le ampiezze di due componenti multipath ( )a ξ1 e dove la variabile ξ

rappresenta sia la posizione sia l’eccesso di ritardo

( )a ξ2

xl τ k è possibile dare una misura del

fenomeno definendo il coefficiente di correlazione spaziale o temporale del canale . Se

si considerano correlazioni spaziali d’ampiezza, le variabili

(ρ ξ ξ1 2, )( )a ξ1 e sono definite nel

modo seguente:

(a ξ2 )

( ) ( )a a xk k lξ τ1 = , (4.37)

( ) ( )a a xk k lξ τ2 = +, ∆x (4.38)

dove ∆x è la separazione spaziale tra profili.

Il coefficiente di correlazione ( )ρ ξ ξi 1 2, delle due grandezze è una misura del legame che

esiste tre le ampiezze delle componenti multipath che arrivano con lo stesso ritardo τ in

differenti profili dell’i-esima area locale. Esso è definito come: xl


( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]

(( ) ( )) ( ) ( )( )ρ τ

τ τ τ τ

τ τ τ τi k

k k l k k l k k l k k l

k k l k k l k k l k k l

xE a x a x a x x a x x

E a x a x E a x x a x x,

, , , ,

, , , ,∆

∆ ∆

∆ ∆=

− ⋅ + − +

−

⋅ + − +

2 2 (4.39)

dove l’operatore indica il valore atteso calcolato nell’area locale considerata. [ ]E ⋅

A partire da questo si costruisce il coefficiente di correlazione spaziale del canale

mediando i valori ottenuti nelle diverse aree locali, come segue: (ρ τ k x,∆ )

( ) (ρ τ ρ τk ii

I

xI

x,∆ ==∑1

1)k ,∆ . (4.40)

Questo varia sia nello spazio che nel tempo e dipende in maniera particolare dalla distanza ∆x

scelta tra i diversi profili.

Per rappresentare il coefficiente di correlazione spaziale delle successive componenti

multipath si costruisce a partire dalla precedente espressione un modello di decadimento

esponenziale in modo da minimizzare l’errore quadratico medio [24]. La funzione per

tutte le ampiezze relative a percorsi più lunghi del cammino diretto è così espressa come:

( )ρ τ k x,∆

( ) ( )ρ τ ρ ττ

k x x e kk

, , ,∆ ∆= ⋅−

0170 0> (4.41)

dove τ k è espresso in nanosecondi.

Quando la condizione di propagazione è NLOS, il modello del canale diventa molto più

complesso e non esiste tra le componenti del segnale un termine predominante. Il coefficiente

di correlazione spaziale segue, in genere, in corrispondenza ad ogni valore di k una legge

impulsiva del tipo

( ) (ρ τ δ τk x,∆ = 0)k , . (4.42)

In pratica le ampiezze a sono scorrelate per tutti i possibili valori di ∆x e k τ k . Anche la

relazione scritta, come le precedenti, fa riferimento ad una media calcolata su più aree locali.

Ciò significa che, anche se nel complesso il canale è scorrelato nello spazio, a volte può

succedere che in particolari zone le diverse componenti del segnale risentano di azioni simili.


Volendo esaminare il legame che intercorre in una certa area locale tra le ampiezze delle

componenti multipath che arrivano con differenti ritardi all’interno dello stesso profilo , si

definisce il coefficiente di correlazione temporale

xl

( )ρ ξ ξi 1 2, assegnando alle variabili ( )ξ1a e

rispettivamente i valori ( )a ξ2

( ) ( )a ak k lξ τ1 = , x

x

(4.43)

( ) ( )a ak k lξ τ τ2 = + ∆ , (4.44)

dove ∆τ rappresenta l’eccesso di ritardo tra le due componenti.

Questo fornisce una misura della correlazione tra le variabili a rispetto al valor medio

locale (calcolato al variare di τ in corrispondenza ad un profilo costruito con i valori medi delle

ampiezze delle componenti) ed è definito come [24]:

k

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]

( ) ( )( ) ( ) ( )( )ρ τ τ

τ τ τ τ τ τ

τ τ τ τ τ τi k

k k k k k k k k

k k k k k k k k

E a a a a

E a a E a a,∆

∆ ∆

∆ ∆=

− ⋅ + − +

−

⋅ + − +

2 2 (4.45)

Il coefficiente di correlazione temporale del canale ( )ρ τ τk ,∆ è definito mediando i

singoli su tutte le aree locali, come segue: (ρ τ τi k ,∆ )

( ) (ρ τ ρ τk ii

I

I,∆τ ∆τ=

=∑1

1)k , . (4.46)

4.4.1.6 VARIAZIONI TEMPORALI DEL CANALE

La mobilità delle persone e la disposizione variabile degli oggetti rendono mutevoli le

caratteristiche statistiche del canale. Quindi, tale variabilità è avvertita anche nel caso di

ricevitore fisso e, di conseguenza, perde significato la distinzione fra terminali portatili e

mobili.

Analizzando il comportamento temporale del canale in relazione a piccoli spostamenti del

ricevitore, le variazioni a breve termine causate dalla propagazione multipla sul segnale

trasmesso si possono classificare come segue:


variazioni globali a breve termine: Queste sono dovute a cambiamenti che avvengono nel

canale radio nel tempo e nello spazio, osservati in corrispondenza a diverse posizioni del

ricevitore in una certa area locale.

variazioni locali a breve termine: Questo secondo tipo di variazioni, che risente

esclusivamente dell’andamento temporale del canale, è osservato durante brevi intervalli di

tempo in corrispondenza ad ogni posizione del terminale.

L’analisi del canale in ogni punto dello spazio in relazione alle variazioni locali a breve

termine che determina sul segnale, è particolarmente complicata. Se i dati sono collezionati in

brevi intervalli di tempo e fanno riferimento ad ambienti in cui il movimento di persone è

limitato, è lecito assumere che il canale sia “quasi statico” o stazionario in senso lato, il che

permette di valutare in maniera molto più semplice l’azione del canale.

4.4.1.7 FUNZIONI DI CORRELAZIONE DELLA RISPOSTA ALL’IMPULSO

Nell’ipotesi di canale stazionario in senso lato, è possibile definire per la risposta

all’impulso tempo variante la seguente funzione di correlazione temporale [20]: (h tτ , )

( ) ( ) ([ϕ τ τ τ τ1 2 1 212

, ; , ,∆t E h t h= ⋅ ⋅∗ )]t . (4.47)

Nella maggior parte dei canali multipath le caratteristiche della componente del segnale,

tra cui in particolar modo la fase, associate al percorso avente un ritardo τ1 sono scorrelate da

quelle della componente avente un ritardo τ τ2 1≠ . In tal caso la ( )∆tϕ τ τ1 2, ; assume la forma

( ) ( ) (ϕ τ τ ϕ τ δ τ τ1 2 1 1 2, ; ;∆ ∆t t= ⋅ − ) (4.48)

che permette di parlare di fading scorrelato.

La funzione di auto-correlazione ( )φ τ ;∆t , calcolata per la generica componente in

corrispondenza a ∆t = 0 , rappresenta la distribuzione della potenza media del segnale ricevuto

in funzione del ritardo τ.

L’ampiezza dell’intervallo ottenuto al variare di τ per cui la funzione ( )ϕ τ assume valore

diverso da zero (multipath spread del canale) coincide con la grandezza TM definita per i profili


spaziali della risposta all’impulso. Entrambe, infatti, forniscono una misura dell’estensione

temporale del profilo multipath causata dai diversi ritardi delle componenti e differiscono solo

per le variazioni causate dal canale, spaziali nel primo caso e temporali nel secondo.

Nel dominio della frequenza, in maniera analoga a quanto fatto per le diverse posizioni

del ricevitore, è possibile definire una nuova funzione di trasferimento tempo variante del

canale trasformando secondo Fourier la ( )h tτ , rispetto al primo argomento:

( ) ( )H f t h t e dj f, ,= ⋅ −−∞

+∞

∫ τ π τ2 τ (4.49)

Da questa, ancora sotto l’ipotesi di canale stazionario in senso lato, si calcola una seconda

funzione di correlazione, legata alla precedente da una trasformata di Fourier:

( ) ( ) ( )[ϕ f f t E H f t H f t t1 2 1 2

12

, ; , ,∆ = ⋅ ⋅ +∗ ]∆

)

)

. (4.50)

Poiché la è un processo gaussiano complesso, questa funzione, detta anche

funzione di correlazione in frequenza, caratterizza completamente la distribuzione congiunta

delle variabili aleatorie , ottenute in corrispondenza alle diverse frequenze al variare

dell’istante temporale t. Nel caso di fading scorrelato la

(H f t,

(H f ti ,

( )ϕ f f t1 2, ;∆ dipende, oltre che dal

tempo, dalla differenza . In particolare, dato che, in corrispondenza a ∆t=0,

sussiste la relazione

∆f f f= −1 2

τd( ) ( )ϕ ϕ τ π τ∆ ∆f e j f= ⋅ −−∞

+∞

∫ 2 , (4.51)

l’occupazione spettrale della funzione di correlazione ( )ϕ ∆f , detta banda di coerenza del

canale , coincide in prima approssimazione con il reciproco del multipath spread TM:

∆fTc

M≈

1 (4.52)

Questo parametro, in maniera analoga a τm , è un limite per le trasmissioni in termini di

interferenza intersimbolo. Se la larghezza di banda del segnale trasmesso è maggiore di ∆f c , il

che significa ammettere nel tempo una durata minore di TM, la distorsione causata dal canale è

notevole e si parla di fading selettivo.


Viceversa, se la funzione di correlazione ( )ϕ ∆f assume valore pressoché massimo

nell’intervallo di frequenze occupato dal segnale, tutte le componenti ricevute subiscono la

stessa azione da parte del canale. Il fenomeno è anche detto fading non selettivo o fading piatto

poiché, assumendo in prima approssimazione che ( )ϕ ∆f corrisponda al valore massimo per

tutte le frequenze interessate alla trasmissione, ossia che sia possibile porre

( ) ( ) (H f f t H f t H t+ = =∆ ; ; 0 );

)

)

∆

, (4.53)

l’equivalente del segnale ricevuto in banda base, può essere scritto come

( ) ( ) ( )r t H t U f e dfj ft=−∞

+∞

∫0 2, π (4.54)

e quindi

( ) ( ) ( )r t H t u t= 0; . (4.55)

Nel caso ideale di canale con fading spettralmente piatto, l’inviluppo complesso del

segnale ricevuto coincide con quello trasmesso moltiplicato per un processo gaussiano

complesso, il che permette di parlare del fading anche come rumore moltiplicativo.

4.4.2 FUNZIONE DI SCATTERING

Le variazioni temporali del canale, indicate dalla dipendenza dal tempo t della risposta

impulsiva , causano sul segnale trasmesso un allargamento spettrale, detto allargamento

Doppler. Una rappresentazione del fenomeno è data dalla trasformata di Fourier della funzione

di correlazione rispetto alla variabile temporale ∆t:

(h tτ ,

ϕ(∆ ∆f t,

( ) ( )S f f t e d tj t∆ ∆ ∆ ∆, ,λ ϕ πλ= −−∞

+∞

∫ 2 (4.56)

In corrispondenza di ∆f=0 la funzione ( )S f∆ ,λ che ne deriva rappresenta il modo in cui

si distribuisce l’intensità di una generica componente del segnale ricevuto in funzione della

frequenza Doppler λ, e pertanto è detta spettro di potenza Doppler.

Nel caso di canale tempo invariante ( ( )ϕ 0. 1∆t = ), nel segnale trasmesso non si verificano

allargamenti spettrali e la funzione ( ) ( )Sλ λ=S 0, assume la forma


( ) ( )S λ δ λ= . (4.57)

Trasformando secondo Fourier la funzione di correlazione ( )φ τ ;∆t ancora rispetto alla

variabile ∆t si ottiene una nuova funzione ( )S τ λ, detta funzione di Scattering temporale del

canale:

( ) ( )S t e j tτ λ ϕ τ πλ, ,= −−∞

+∞

∫ ∆ ∆2 d t∆

d f∆

. (4.58)

Questa è legata allo spettro di potenza Doppler del canale dalla relazione

( ) ( )S S f e j fτ λ λ πτ, ,=−∞

+∞

∫ ∆ ∆2 (4.59)

ed alla correlazione ( )ϕ ∆ ∆f t, da una doppia trasformata di Fourier:

( ) ( )S f t e e dj t j fτ λ ϕ πλ πτ, ,= ⋅ ⋅−∞

+∞ −−∞

+∞

∫∫ ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆2 2 t d f⋅ . (4.60)

La funzione di scattering temporale del canale fornisce una misura della potenza media in

uscita al canale in corrispondenza alle diverse componenti multipath al variare della frequenza

Doppler λ.

A partire dalla funzione di Scattering temporale sono definiti due nuovi parametri: la

banda Doppler del canale , come il massimo insieme dei valori per i quali Bd ( )S λ è diversa

da zero, e il tempo di coerenza del canale, pari al reciproco di , che rappresenta una misura

di quanto variano velocemente le caratteristiche del canale nel tempo. Nel caso in cui la durata

di un simbolo trasmesso è minore del tempo di coerenza del canale si parla di fading lento.

Bd

Il discorso fatto può essere ripetuto per ogni punto dello spazio. A causa degli

spostamenti del ricevitore anche la stessa banda subisce piccoli cambiamenti. Il valore preso

come riferimento per il canale è quello relativo al caso peggiore per il quale il segnale subisce

la massima deviazione Doppler.

Bd

Nel caso di canali radio indoor, poiché le variazioni dovute al movimento di persone e

oggetti nei pressi dei terminali è comunque limitato, la funzione di scattering temporale è

alquanto limitata e i valori assunti da sono dell’ordine di pochi Hz. Bd


4.4.3 ATTENUAZIONI DA MULTIPATH SU LARGA SCALA

Un segnale trasmesso attraverso il canale indoor subisce un fattore di attenuazione molto

superiore a quello del canale outdoor. A differenza del caso outdoor, infatti, il segnale

attraversa, all’interno di un edificio, un numero maggiore di ostacoli di natura diversa che

causano sensibili attenuazioni di potenza anche su piccole distanze.

La conoscenza del fenomeno di attenuazione su larga scala dovuto alla propagazione

multipla permette di determinare l’area di copertura ottima per il sistema di comunicazione

radio e di scegliere, quindi, le posizioni migliori per le antenne delle stazioni base.

L’attenuazione da multipath del canale è calcolata a partire dai dati sperimentali con una

doppia operazione di media: la prima al variare del profilo della risposta all’impulso e la

seconda al variare dell’area locale.

In realtà il fenomeno d’attenuazione subito dal segnale può essere descritto correttamente

solo in termini statistici. Infatti, la potenza ricevuta è una variabile aleatoria che si

distribuisce di solito secondo una legge gaussiana con deviazione standard legata alla

frequenza, alla struttura dell’edificio, al tipo di materiali usati, e all’esistenza o meno del raggio

diretto.

Pr

Le fluttuazioni del livello di potenza e, di conseguenza, i valori assunti dalla deviazione

standard sono più elevati nel caso in cui non ci siano condizioni di visibilità ottica tra

trasmettitore e ricevitore. Chiaramente ciò è dovuto alla presenza di un maggior numero di

percorsi multipli.

La potenza media ricevuta, che coincide col valor medio spaziale G del guadagno di

potenza di un particolare ambiente (calcolato come media dei G relativi alle aree locali), è una

funzione decrescente della distanza del tipo

P A dr = ⋅ −α (4.61)

che, in notazione logaritmica, diventa

( ) ( ) ( )P P Ar dB r= ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅10 10 1010 10 10log log logα d (4.62)

Questa corrisponde ad una retta con pendenza negativa il cui coefficiente angolare è

determinato dal valore di α .


L’ambiente di propagazione radio indoor è talmente complesso in termini di strutture e

materiali dei singoli riflettori, che la scelta delle costanti A e α permette di classificare quattro

diversi modelli di attenuazione multipath [21]:

Modello 1: secondo questo modello la potenza del segnale ricevuto è legata alla distanza

tra le antenne dei terminali da una legge esponenziale del tipo

( )P d P dr = ⋅ −0

α (4.63)

dove è la potenza ricevuta a distanza d dal trasmettitore e la potenza calcolata per

d=1m. La grandezza dipende dalle condizioni in cui avviene la trasmissione, cioè frequenza

di lavoro, posizione e guadagno delle antenne, caratteristiche dell’ambiente, ecc.

( )P dr P0

P0

Anche l’indice α, che è pari a 2 nel caso dello spazio libero (canale mobile outdoor), è

legato alle condizioni di propagazione multipath del segnale ed assume valori che oscillano tra

1.5 dB e 6 dB a seconda del tipo d’ambiente considerato, del verificarsi o meno della

condizione di visibilità ottica tra trasmettitore e ricevitore e della frequenza di lavoro.

Il caso in cui α è minore del coefficiente d’attenuazione di spazio libero, che corrisponde

spesso ad una condizione LOS, può essere spiegato con un comportamento del canale simile a

quello di una guida d’onda dove le riflessioni del segnale si sommano costruttivamente se la

loro differenza di fase è piccola.

Le attenuazioni maggiori, corrispondenti ad alti valori di α, si verificano invece in canali

NLOS, probabilmente perché le componenti del segnale che subiscono riflessioni multiple e

che giungono al ricevitore con ritardi maggiori sono più numerose che nel caso in cui è presente

il cammino diretto. Questa ultima condizione si verifica anche quando il segnale trasmesso, a

causa della posizione dei terminali, si trova a dover attraversare pareti, soffitti, pavimenti, ecc.

E’ stato osservato da misure fatte a 900 MHz in alcuni edifici residenziali, che questo

modello per l’attenuazione del segnale si adatta particolarmente bene al caso in cui le stanze

che costituiscono l’ambiente sono di dimensioni simili, disposte in maniera regolare e separate

da pareti che causano attenuazioni uniformi.

Modello 2: in questo secondo modello la potenza ricevuta diminuisce ancora in modo

esponenziale all’aumentare della distanza. La differenza fondamentale rispetto al caso

precedente è che l’indice α non assume più un valore preciso dipendente dall’ambiente di

propagazione, ma cresce all’aumentare della separazione tra le antenne a causa della presenza


di un numero sempre maggiore di ostacoli per il segnale. In particolari ambienti sono stati

stimati valori di α che oscillano da 2 a 12 su distanze massime di 40 m.

Modello 3: in questo caso ad ogni tipo di struttura che si trova nell’ambiente è associata

un’attenuazione logaritmica in base alle caratteristiche del canale. L’attenuazione totale in dB

subita dal segnale è dunque calcolata come la somma delle attenuazioni individuali dei riflettori

che causano le diverse componenti multipath. Ad esempio, è stato osservato che, secondo

questo modello, la parete esterna di un edificio con strutture in acciaio causa sul segnale

un’attenuazione media i cui valori sono rispettivamente 14.2 dB, 13.4 dB e 12.8 dB a frequenze

di 900 MHz, 1800 MHz e 2.3 GHz, la quale diminuisce di circa 1.4 dB per piano all’aumentare

dell’altezza.

Modello 4: secondo questo modello ad ogni unità di distanza è associato un fattore

d’attenuazione medio in dB, calcolato in base alla struttura dell’ambiente, il cui valore cambia

quando la separazione tra le antenne dei terminali diventa superiore ad una distanza critica . d1

La dipendenza lineare dell’attenuazione dalla distanza si adatta particolarmente bene al

fenomeno fisico di propagazione multipla.

Nel caso di misure fatte a 150 MHz, 450 MHz e 850 MHz si sono trovati per le due

diverse attenuazioni e per la distanza rispettivamente i valori 0.45 dB/ft, 0.22 dB/ft e 150 m,

0.38 dB/ft, 0.24 dB/ft e 130 m e 0.42 dB/ft, 0.27 dB/ft e 70 m

d1

4.4.4 DIPENDENZA DELLE STATISTICHE DALLA FREQUENZA

Le caratteristiche del canale indoor variano in maniera sensibile con la frequenza secondo

una legge non ben conosciuta.

Da misure fatte a 910 MHz e a 1.7 GHz in due diversi edifici è stato osservato che i dati a

frequenza più bassa rappresentano una situazione di fading meno pesante e che, comunque, le

variazioni maggiori nelle statistiche del canale sono dovute al tipo d’ambiente. Il valore del

τ rms è infatti simile alle due frequenze, mentre l’attenuazione che il segnale subisce

nell’attraversare una parete portante aumenta di circa 11 dB a 1.7 GHz rispetto al caso di 900

MHz.


Il fatto che l’attenuazione da multipath aumenti al crescere della frequenza e che il τ rms

rimanga pressoché lo stesso è stato verificato anche a frequenze più alte. In particolare da

misure fatte a 2.4 GHz, 4.75 GHz e 11.5 GHz è stato osservato che l’indice α che figura nella

legge d’attenuazione del segnale secondo il modello 2 è lo stesso alle varie frequenze nel caso

LOS e aumenta con la frequenza in situazioni NLOS (α=3.3, 3.8 e 4.5 rispettivamente a 2.4

GHz, 4.75 GHz e 11.5 GHz).

A differenza di quanto detto in precedenza, l’attenuazione subita dal segnale nel caso in

cui il trasmettitore è esterno all’edificio e il ricevitore interno, dovuta al fatto di dover

attraversare le pareti esterne, diminuisce leggermente con la frequenza.

Una particolare attenzione negli ultimi tempi è stata prestata alle comunicazioni radio

indoor che avvengono a frequenza 60 GHz. Questo valore corrisponde ad un picco

d’assorbimento dell’ossigeno atmosferico che causa un’attenuazione addizionale di 15 dB/Km

paragonata a quella dello spazio libero. Il fatto di ridurre la potenza ricevuta da riflettori distanti

favorisce quelle trasmissioni che avvengono in ambienti confinati. Ciò comporta anche una

diminuzione del valore quadratico medio del delay spread (valori medi per tre ambienti diversi

sono 8, 22 e 24 ns a 1.7 GHz e 3, 6 e 13 ns a 60 GHz) e, quindi, la possibilità di usare bit rate

più elevate a parità di interferenza intersimbolo.

4.5 CANALI INDOOR E OUTDOOR

I canali indoor e outdoor sono qualitativamente simili. In entrambi si verifica, infatti, il

fenomeno di propagazione multipla secondo il quale il segnale trasmesso giunge al ricevitore

per mezzo di più percorsi, con caratteristiche variabili sia nel tempo sia con la posizione

occupata dai terminali.

Nel canale radio indoor i principali responsabili delle riflessioni del segnale sono le

strutture interne dell’edificio: pareti, porte, finestre, pavimenti, oggetti d’arredamento, ecc e

l'aleatorietà del segnale è dovuta in primo luogo agli spostamenti del ricevitore.

Nel canale mobile, invece, il fenomeno di fading multipath è dovuto alle riflessioni

multiple del terreno e degli edifici o al moto dei terminali nell'ambiente e dipende in modo

sensibile dalle variazioni temporali del mezzo. Queste avvengono in intervalli di tempo che

vanno da frazioni di secondo (fading a breve termine dovuto a cambiamenti nelle strutture di


multipath) a diversi secondi o addirittura ore (fading a lungo termine legato a cambiamenti

naturali dell'indice di rifrazione, delle condizioni meteorologiche, ecc.).

Nel caso del canale mobile, poiché la riflessione è causata principalmente da grandi

strutture fisse quali edifici (l'effetto di oggetti e persone in movimento sul segnale è

trascurabile), è lecito rappresentare il fenomeno di fading per brevi intervalli temporali come un

processo stazionario in senso lato.

Le variazioni temporali del canale indoor, al contrario, sono dovute principalmente al

movimento di persone nei pressi del ricevitore che, poiché avviene a velocità sicuramente

minori di quelle tipiche degli utenti del canale mobile, fa sì che i valori di banda Doppler

misurati siano molto più bassi.

In sostanza, nel caso del radiomobile veicolare le caratteristiche della propagazione sono

strettamente dipendenti da parametri su larga scala quale, ad esempio, la struttura urbanistica.

In ambito picocellulare, invece, sono particolarmente rilevanti fenomeni legati a strutture su

media e piccola scala, quali l’attenuazione di attraversamento dei, l’attenuazione di

propagazione all’interno degli edifici e gli echi prodotti da riflessioni ravvicinate (pareti e

arredi).

Una differenza sostanziale tra i due canali, che si traduce poi in differenti situazioni di

propagazione multipla, deriva dalla diversa altezza a cui sono sistemate le antenne delle

stazioni base: nel caso outdoor queste si trovano in una posizione elevata rispetto a quelle degli

utenti mobili, mentre nel caso indoor sono posizionate in genere in parti alte dell'ambiente.

Le attenuazioni dovute al multipath e i cambiamenti nei valori medi del segnale sono

molto più evidenti nel caso indoor che outdoor. Ciò è probabilmente dovuto al fatto che il

segnale trasmesso all’interno di un edificio si trova a dover attraversare un maggior numero di

ostacoli di natura diversa (finestre,pareti, ecc.). Supposto valido il modello 2 per la legge

d'attenuazione del segnale, l'indice α, che nel caso del canale mobile assume valore 2, varia

molto anche fra ambienti diversi.

Il delay spread TM oscilla, per il canale radiomobile outdoor, tra valori di alcuni

microsecondi, nel caso in cui è considerato solo l'ambiente più vicino al ricevitore e valori

superiori a 100 µs nel caso in cui siano considerate anche le riflessioni dovute a strutture

distanti. Il τ rms assume invece valori compresi tra 10 e 20 µs.


Nel canale indoor, date le differenze di scala nell’ambiente degli oggetti che causano le

riflessioni del segnale, queste grandezze sono molto più piccole. In particolare τm è

generalmente minore di un microsecondo e τ rms è al massimo pari ad alcune centinaia di

nanosecondi. Di conseguenza, fissato un limite minimo accettabile per l'interferenza

intersimbolo, possono essere usate nel caso del canale indoor frequenze di trasmissione molto

più elevate.

Il Canale Radiomobile - Università degli Studi di...

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