IL CALCOLO COMBINATORIO

• Il calcolo combinatorio ha come obiettivo il calcolo dei vari modi con i quali possono essere associati gli elementi di due o più insiemi o di uno stesso insieme, dopo aver prefissato delle regole precise.

• I raggruppamenti possono essere fatti in diversi modi: a volte bisogna tener conto dell’ordine con il quale gli elementi vengono scelti, a volte bisogna tener conto della natura degli elementi, altre volte invece interessa sia la natura che l’ordine degli elementi.

• GLI ARGOMENTI TRATTATI DAL CALCOLO COMBINATORIO

ARGOMENTI TRATTATI DAL CALCOLO COMBINATORIO

• DISPOSIZIONI

• PERMUTAZIONI

• COMBINAZIONI

• PROPRIETA’ DEI COEFFICIENTI BINOMIALI

• SVILUPPO DELLA POTENZA DI UN BINOMIO

• CRITERIO DI SCELTA TRA I DIVERSI ALLINEAMENTI DEL CALCOLO COMBINATORIO

DISPOSIZIONI

• Dato un insieme A di n elementi,si definiscono disposizioni di classe k quei raggruppamenti di k elementi che vengono scelti fra gli elementi dell’insieme A. n rappresenta il numero totale degli elementi, mentre k rappresenta la classe, cioè il numero di elementi di ciascun raggruppamento. Ogni raggruppamento differisce dagli altri o per natura (A diverso B) o per l’ordine (AB diverso da BA) degli elementi. Le disposizioni possono essere semplici o con ripetizione; Per avere la visione dei raggruppamenti si utilizza il diagramma ad albero. Con esso i raggruppamenti si leggono da sinistra verso destra, o dall’alto verso il basso. Nei diagrammi ad albero ci sono dei nodi; ogni nodo si può diramare. I risultati si leggono sui rami.

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DISPOSIZIONI SEMPLICI

• Si dicono disposizioni semplici quei raggruppamenti di elementi distinti tra di loro. Si indicano con D n,k

• D n,k = è uguale al prodotto di k fattori interi decrescenti a partire da n.Esempio: D 4,2 = 4*3=12. Si usano solo due fattori perché k è uguale a 2. Se k fosse stato 3 si sarebbe fatto 4*3*2.

• Se si hanno quattro elementi: A,B,C,D, quante sigle di due elementi si possono formare?

• A B C D

b c d a c d a b d a b cab ac ad ba bc bd ca cb cd da db dc

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DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE

• Si dicono disposizioni con ripetizioni quei raggruppamenti di elementi che compaiono più di una volta. E si indicano con D’

n,k .

• D’n,k = è la potenza di n elementi elevati a k. Esempio:

D’4,2 =4^2=16

• Se si hanno quattro elementi:A,B,C,D quante sigle di due elementi si possono formare?(ricordandosi che si ripetono)

• A B C D

a b c d a b c d a b c d a b c daa ab ac ad ba bb bc bdca cbcccd da db dc dd

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PERMUTAZIONI

• Dato un insieme A di n elementi, si definiscono permutazioni di n elementi (diversi fra loro) i raggruppamenti formati dagli n elementi presi in un ordine qualsiasi. I raggruppamenti contengono tutti gli elementi dell’insieme e ogni raggruppamento differisce dagli altri soltanto per l’ordine degli elementi.

• Le permutazioni possono essere semplici o con ripetizione.

• Anche questi raggruppamenti possono essere rappresentati con i diagrammi ad albero.

• La permutazione si può pensare come una disposizione di n elementi di classe n.

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PERMUTAZIONI SEMPLICI

• Le permutazioni semplici si indicano con Pn = n!, dove il ! rappresenta il fattoriale, cioè si pone:

• Un semplice esempio sulle permutazioni è dato dagli anagrammi,anche senza significato, che si possono ottenere partendo da una parola qualsiasi. Ad esempio gli anagrammi della parola “ROMA” sono dati dalle permutazioni di 4 elementi, quindi si avrà:

!*)1(*.......3*2*1 nnn

241*2*3*4!44 P

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PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE

Data una parola di n lettere nella quale una lettera è ripetuta avolte, un’altra b volte il numero delle permutazioni distintecon elementi ripetuti si possono ottenere risulta:

!....!

!....),(

n

Pn

Ad esempio gli anagrammi distinti della parola MAMMA sono:

101*2*1*2*3

1*2*3*4*5

!2!3

!5)2,3(5 P

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COMBINAZIONI

Dato un insieme A di n elementi, si definiscono combinazioni degli n elementi di classe k i raggruppamenti di k elementi tali che ogni raggruppamento differisca dagli altri solo per la natura degli elementi ( senza considerare quindi l’ordine degli elementi).

Le combinazioni possono essere semplici o con ripetizione.

I raggruppamenti si possono indicare anche con .

Questo simbolo è detto coefficiente binomiale per il suo uso nello sviluppo delle potenze di un binomio

nk

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COMBINAZIONI SEMPLICI

Le combinazioni semplici si indicano con:

k

knkn P

DC ,

,

Esempio: 31*2

2*3

2

2,32,3

P

DC

Le combinazioni semplici si usano quando gli elementi dei raggruppamenti non si ripetono e sono distinti fra di loro

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COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE

Le combinazioni con ripetizione si indicano con:

1,1,'

knkknkn CC k

Esempio:

61*2

3*4

'

2

2,42,4

2,1232,3

P

DC

CCLe combinazioni con ripetizione si usano quando gli elementi dei raggruppamenti si ripetono.

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PROPRIETA’ DEI COEFFICIENTI BINOMIALI

1) La legge dei tre fattoriali )!(!

!

knk

nnk

Si utilizza quando si ha a disposizione la calcolatrice

2) Proprietà simmetrica knnk n

3) 1!

!

n

nnn 11 00 n

n n

Queste due proprietà rappresentano due sottoproprietà della prima

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SVILUPPO DELLA POTENZA DI UN BINOMIO

Come applicazione dei coefficienti binomiali, calcoliamo

La prima lettera decresce, la seconda cresce

.

I coefficienti dei monomi rappresentano i numeri che si ottengono dal triangolo di tartaglia del numero 5.

5)( ba

5041322314055 15101051)( bababababababa

55

54

53

52

51

50

1 5 10 10 5 1

home avanti

Alla fine si ottiene:543223455 510105)( babbababaaba

Polinomi di questo tipo hanno varie proprietà:1) sono ordinati secondo le potenze decrescenti in a e crescenti in b.

2) Sono composti da n+1 termini.

3) Sono omogenei, cioè ogni monomio è dello stesso grado.

4) Sono completi, cioè ogni polinomio è presente con ogni grado.

Lo sviluppo della potenza di un binomio si esprime in generale con la formula di Newton:

kknnk

k

nk

n baba

0

)(

Sviluppo della potenza di un binomio parte 2

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CRITERIO DI SCELTA FRA I DIVERSI ALLINEAMENTI DEL CALCOLO

COMBINATORIO

DISPOSIZIONI:

Ogni raggruppamento differisce dagli altri o per natura (A diverso da B) o per l’ordine (AB diverso da BA) degli elementi.

PERMUTAZIONI:

Ogni raggruppamento differisce dagli altri soltanto per l’ordine degli elementi (AB diverso da BA).

COMBINAZIONI:

Ogni raggruppamento differisce dagli altri soltanto per la natura degli elementi (A diverso da B).

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BAGGI MARCO

PALLOTTA VALENTINA

CLASSE 4Ai

A CURA DI: