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Matematica e Fisica Classe 5G Introduzione alla teoria dei campi

Francesco Fontana file Campi.doc pagina 1 di [email protected] www.francescofontana.eu Rev. 78_17/9/06

IIInnntttrrroooddduuuzzziiiooonnneee aaallllllaaa ttteeeooorrriiiaaa dddeeeiii cccaaammmpppiii

IIInnndddiiiccceee

1 BREVE STORIA DEL CAMPO .......................................................................................... 2

2 DESCRIVERE UN CAMPO (TRATTAZIONE ELEMENTARE) .............................................. 4

2.1 La Forza ...........................................................................................................................................4

L’Intensità del campo .....................................................................................................................................52.2.1 L’analogia ottica ...........................................................................................................................5

2.2.1.1 Sorgente ..............................................................................................................................52.2.1.2 Intensità ..............................................................................................................................52.2.1.3 Flusso..................................................................................................................................6

2.3 Il problema generale del campo.......................................................................................................62.3.1 Il Flusso ........................................................................................................................................6

2.3.1.1 Flusso di una sorgente puntiforme .......................................................................................62.3.2 Il teorema di Gauss .......................................................................................................................62.3.3 Intensità di campo in buone geometrie ..........................................................................................7

2.4 L’Energia potenziale ........................................................................................................................82.4.1 Il valore assoluto dell’energia potenziale .......................................................................................82.4.2 L’espressione matematica dell’energia potenziale..........................................................................9

2.4.2.1 Geometria di sorgente puntiforme........................................................................................92.4.2.1.1 Caso gravitazionale, o della forza attrattiva tra sorgenti uguali .......................................92.4.2.1.2 Caso elettrostatico, o della forza repulsiva tra sorgenti uguali .........................................9

2.4.2.2 Geometria di sorgente piana ..............................................................................................102.4.2.2.1 Caso gravitazionale ......................................................................................................102.4.2.2.2 Caso elettrostatico ........................................................................................................10

2.5 Il Potenziale ....................................................................................................................................10

2.6 Il principio di sovrapposizione .......................................................................................................11

2.7 La Circuitazione.............................................................................................................................11

2.8 Il caso del campo elettromagnetico................................................................................................11

3 DESCRIVERE UN CAMPO (TRATTAZIONE GENERALE) ................................................ 12

3.1 Il Gradiente ....................................................................................................................................12

3.2 La Circuitazione.............................................................................................................................13

3.3 Il Flusso e la Divergenza: presenza di sorgenti .............................................................................13

3.4 Il Rotore: campi conservativi .........................................................................................................14

3.5 Il caso del campo elettromagnetico................................................................................................14



111 BBBRRREEEVVVEEE SSSTTTOOORRRIIIAAA DDDEEELLL CCCAAAMMMPPPOOO

L’idea di un “campo” di forze nasce nello studio della dinamica della gravità con Descartes.Per Aristotele e per tutto il Medioevo la gravità era la tendenza ad un luogo naturale senza bisogno di“intermediari” fisici.In Galileo sopravvive la naturalità del moto naturale circolare che occulta il problema dell’origine delcampo.

Nel mondo antico comunemente le forze agiscono per contatto.Descartes introduce la sua teoria dei vortici di etere per spiegare la gravità, ma la sua fisica-geometria,che mette al centro dell’interesse della fisica l’estensione rispetto alla massa (gravitazionale), si rivelapoco proficua.

Nel Seicento si dimostra la possibilità del vuoto, contro l’horror vacui medievale.Newton introduce l’azione a distanza nel vuoto tra Sole e pianeti e nel suo “Hypotheses non fingo”sintetizza la sua posizione sulla inspiegabilità di tale azione.Nel XVIII secolo, contro il cartesianesimo francese, anche nel “Continente” trionfa il newtonianismoinglese: l’azione a distanza nel vuoto è studiata con il solo uso della forza, eclissando i vortici di etere.

La necessità di descrivere le azioni a distanza nel vuoto di Newton porta, nel XIX secolo, il suoconnazionale Faraday, fisico e chimico sperimentale, studiando il campo elettrico, a introdurre le lineedi forza che sono però solo un artificio matematico. L’azione a distanza si può manifestare ancoraistantaneamente.

L’analisi matematica del XIX secolo è già pienamente in grado di descrivere le caratteristiche delleazioni a distanza con l’introduzione di un campo (gravitazionale o elettrico), spesso sull’analogia delcomportamento dei fluidi (da cui si importano i termini di sorgente e flusso e gli operatori matematicicorrelati) e delle sorgenti luminose.Il campo è un ente matematico, un modello astratto, che descrive la presenza di “perturbazioni dellospazio” prodotte da sorgenti di un certo tipo di forza. Le linee di forza divengono linee di campo.Matematici come il tedesco Gauss ne studiano le proprietà matematiche. Il campo è accompagnato dauna energia (potenziale) di campo.

Nella seconda metà del XIX secolo l’inglese Maxwell, matematizzando il lavoro sperimentale e le ideedel connazionale Faraday, scopre che un campo (astrazione matematica), unicamente variando, puòdiventare sorgente (“reale”) di un altro campo.L’operazione richiedeva che i campi variassero su “qualcosa”, come avviene per le onde materiali, equindi l’inglese deve ricorrere allo stratagemma del francese sconfitto un secolo prima: l’azione adistanza è trasmessa dall’etere. Inoltre Maxwell trova che la velocità di trasmissione delle variazioni dicampo è quella della luce: l’azione a distanza non è più istantanea.



Le critiche dei tedeschi Mach e Einstein contro l’etere, insieme all’emergente teoria della relativitàindicano che l’etere non sembra esistere: i campi si trasmettono nel vuoto e la teoria della relativitàspeciale del 1905 spiega come una velocità (quella della luce, cioè dei campi elettromagnetici) possaessere uguale per qualsiasi osservatore senza l’esistenza del suo supporto immaginato da Maxwell.

Il XX secolo vede il successo di due teorie fondamentali: la teoria generale della relatività e lameccanica quantistica. La loro incompatibilità impedisce di riunirle in un unico formalismo e diunificare così le forze fondamentali della natura. Nel tentativo di unificazione delle forze nasce unabiforcazione nella trattazione dei campi tra:1. la teoria relativistica dei campi, che, come nel sogno di Cartesio, letteralmente geometrizza

l’azione a distanza, cioè la riduce a dimensioni spaziotemporali. Il vecchio rapporto sorgente àcampo si inverte: il campo è il soggetto, la sorgente è un prodotto del campo.

2. la teoria quantistica dei campi, che letteralmente materializza l’azione a distanza, cioè la riduce aparticelle scambiate dalle sorgenti.

(1) Nel 1916 Einstein pubblica la teoria generale della relatività con la quale la gravitazione, restandouna forza fondamentale, diviene una proprietà dello spazio, residente nelle dimensioni aggiuntivealle 4 dello spaziotempo1 che allo spazio comune sono associate. Negli anni ’20 del XX secolo, iltedesco polacco Kaluza e lo svedese Klein, sull’esempio della teoria generale della relatività,suggeriscono di considerare il campo elettromagnetico come prodotto da ulteriori dimensioniaggiuntive dello spaziotempo. Nasce l’idea che condurrà alle teorie delle stringhe e dellesuperstringhe a partire dagli anni ’60 e al tentativo di unificazione delle forze fondamentali, il sognodi Einstein.

(2) Negli anni ‘40 del XX secolo, gli americani Feynman e Schwinger, l’inglese Dyson e il giapponeseTomonaga rivoluzionano l’idea di campo trovando che l’azione a distanza nel vuoto è trasmessada particelle virtuali la cui creazione è permessa dal principio di indeterminazione introdotto daltedesco Heisemberg del 1927. Nasce l’elettrodinanica quantistica (QED).

1 Le 4 dimensioni spaziotemporali, già dalla teoria della relatività speciale, non possono più disgiungersi tra loro.



222 DDDEEESSSCCCRRRIIIVVVEEERRREEE UUUNNN CCCAAAMMMPPPOOO (((TTTRRRAAATTTTTTAAAZZZIIIOOONNNEEE EEELLLEEEMMMEEENNNTTTAAARRREEE)))

Va premesso che:1. ci collochiamo storicamente alla fine dell’800: la necessità di descrivere un campo deriva da quella di

trattare l’azione a distanza nel vuoto2. consideriamo solo i campi elettrostatico e gravitazionale e, per taluni aspetti, elettromagnetico

Il campo è una perturbazione dello spazio prodotta dalla presenza di un luogo particolare chechiamiamo sorgente. La perturbazione di cui parliamo è osservabile dalla presenza di una forza tra duesorgenti poste vicine.

L’unica grandezza misurabile in modo diretto in un campo è la forza che agisce tra sorgenti.

Descrivere un campo significa trovare una grandezza da associare ai punti dello spazio:un campo è una corrispondenza univoca2 e continua tra i punti dello spazio e i valori di unagrandezza fisica.

Se la grandezza è scalare si parla di un campo scalare (esempio: campo di pressioni atmosferiche,campo di temperature)Se la grandezza è vettoriale si parla di campo vettoriale (esempio: campo di velocità di un fluido, aria oacqua).

222...111 LLLAAA FFFOOORRRZZZAAA

Se abbiamo due sorgenti, per semplicità puntiformi, s1 e s2, la forza è data da leggi come quelle digravitazione di Newton (1687) o dell’elettrostatica di Coulomb (1785):

12212

21 r̂FrssK±=

dove:• K è una costante che dipende dalla forza (elettrostatica o gravitazionale), ma per ciascuna forza

dipende solo dalle unità di misura utilizzate: cambiando le unità di misura convenzionali, adesempio della distanza, si potrebbe avere K=1. Poiché la distanza compare in entrambi i casi,elettrostatico e gravitazionale, potrebbe essere più opportuno scegliere le unità di misura dellesorgenti che diano K=1.Tuttavia per ragioni storiche si mantengono le K diverse dall’unità:

⋅==

⋅= −

2

29

02

211 109

411067.6

CNmK

kgNmK EG πε

Così si mantengono il metro, il chilogrammo e il Coulomb come unità fondamentali di distanza,sorgente gravitazionale e sorgente elettrostatica.

• 12r̂ rappresenta il versore (vettore unitario) della congiungente s1 – s2.• Il segno dipende dal verso della forza tra sorgenti (positive) rispetto a quello del versore.

2 Ad ogni punto dello spazio si associa uno e un solo valore della grandezza.



222...222 LLL’’’IIINNNTTTEEENNNSSSIIITTTÀÀÀ DDDEEELLL CCCAAAMMMPPPOOO

La forza in generale non è adatta a descrivere il campo perché dipende da entrambe le sorgenti. Perdescrivere il campo prodotto da una sorgente s1 (che consideriamo”sorgente del campo”) senza dipendere dalla sorgente s2 (”sorgenteesploratrice”) si introduce il vettore intensità del campo, aventedirezione, verso e modulo della forza che sarebbe prodotta nel punto Psu una sorgente unitaria posta in P. Chiamando E e G i vettori intensitàdel campo elettrostatico e gravitazionale e chiamando q e m le sorgenti deidue campi:

E = F/q2 [N/C] G = F/m2 [N/kg]

12212

1 ˆ)( rErqKP E= 122

12

1 ˆ)( rGrmKP G−=

L’intensità è la grandezza associata al campo e consente una mappatura vettoriale del campo, nel sensovisto sopra, per cui è possibile associare, in modo univoco e continuo, ad ogni punto dello spazio unoe un solo vettore intensità.3

Nella descrizione di campo, Faraday introduce le linee di campo dotate delle seguenti proprietà:1. Per ogni punto passa una e una sola linea di campo (le linee di campo non si intersecano).2. In ogni punto la linea di campo è tangente al vettore intensità.3. Le linee di campo originano o finiscono sulle sorgenti; le linee di campo possono provenire o andare

all’infinito.4. In ogni punto la densità di linee di campo descrive l’intensità del campo.

222...222...111 LLL’’’aaannnaaalllooogggiiiaaa ooottttttiiicccaaa

L’idea di campo deriva dall’intensità luminosa di una sorgente di luce studiata in quarta. Il campo èl’analogo della luce diffusa.

222...222...111...111 SSSooorrrgggeeennnttteeeIn quel caso abbiamo una sorgente che eroga energia luminosa ∆E nel tempo ∆tcon potenza erogata PE misurata in W (= J/s):

][: WtEPE ∆

∆=

La potenza erogata dalla sorgente di luceè l’analogo della sorgente s del campo.

222...222...111...222 IIInnnttteeennnsssiiitttàààSi definisce intensità (luminosa) la potenza che attraversa una superficie unitaria:

∆∆∆

= 2:mW

StEI

L’intensità luminosa è l’analogo dell’intensità del campo.

A distanza r da una sorgente puntiforme, isotropa e costante (nel tempo), l’intensità si ottieneosservando che la potenza emessa si trova “spalmata” su una superficie sferica di raggio r:

=

∆∆∆= 224 m

Wr

PSt

EI E

π

3 Nel linguaggio parlato si usa, poco correttamente, il termine “campo” per intendere il “vettore intensità del campo”.

E

Pr12

s2

s1

G



PE

PS

Questa va sotto il nome di “legge dell’inverso del quadrato della distanza” e ci suggerisce che ladipendenza dall’inverso del quadrato della distanza nelle leggi di Newton e Coulomb deriva dal fatto,geometrico, che la sorgente è puntiforme.

222...222...111...333 FFFllluuussssssoooSe consideriamo una qualsiasi superficie S immersa in un campo, attraverso di essa passa una potenza

tE

P SS ∆

∆=

La potenza PS attraverso una superficie è l’analogo del flusso del campo attraverso S.

Se in particolare consideriamo una qualsiasi superficie S chiusa che racchiuda lasorgente, attraverso di essa passa una potenza PS,chiusa pari alla potenza PE erogata dallasorgente.

EchiusaS PP =,

Se l’erogazione è uniforme nel tempo e se avviene nel vuoto, vale un risultato, chetroveremo tra poco, noto come teorema di Gauss:

Una qualsiasi superficie chiusa che racchiuda la sorgente è attraversatada un flusso di campo uguale alla potenza erogata dalla sorgente.

222...333 IIILLL PPPRRROOOBBBLLLEEEMMMAAA GGGEEENNNEEERRRAAALLLEEE DDDEEELLL CCCAAAMMMPPPOOO

Il “problema generale del campo” è quello di descrivere il campo (trovare la “mappatura del campo”),data la distribuzioni delle sue sorgenti.Lo strumento è offerto dal flusso del campo.

222...333...111 IIIlll FFFllluuussssssooo

Nel seguito chiameremo v il vettore intensità del campo (rispettivamente E e G per i campi elettrostaticoe gravitazionale).

ii

n

iii

n

iiiii ϑcos)(:

11

SvSvvSv ∆=∆⋅=Φ∆⋅=∆Φ ∑∑==

La definizione deriva dalla fluidodinamica e rappresenta la quantità del vettore di campo che attraversauna superficie (in fluidodinamica il vettore di campo è la velocità del fluido).

222...333...111...111 FFFllluuussssssooo dddiii uuunnnaaa sssooorrrgggeeennnttteee pppuuunnntttiiifffooorrrmmmeeeNel caso di una sorgente puntiforme, si ha:

2rsKv =

Dunque il flusso Φ attraverso una superficie sferica centrata nella sorgente vale:

KsrrsKrv πππ 444 22

2 ==⋅=Φ

Nel vuoto o in uno spazio che non interagisce con il campo, la costante 4πK dipende solo dalle unità dimisura scelte. Il flusso in tal caso dipende solo dalla sorgente contenuta nella superficie chiusa.

222...333...222 IIIlll ttteeeooorrreeemmmaaa dddiii GGGaaauuussssss

È possibile dimostrare che il risultato si estende:• a più sorgenti contenute nella superficie, anche non puntiformi e a distribuzione estesa

La potenza PS attraverso S chiusa è pari allapotenza PE erogata dalla sorgente contenuta

S

PS



• a superfici chiuse di forma qualsiasi.

Il flusso del campo attraverso una qualsiasi superficie chiusa dipende soloed è direttamente proporzionale alla somma di tutte le sorgenti contenute.

επ

qqK E ==Φ 4)(E mKGπ4)( =Φ G

Esempio. Se la sorgente è una lampadina da 100 W (luminosi), attraverso una superficie chiusa che racchiuda lasorgente passa un flusso di 100 W.

222...333...333 IIInnnttteeennnsssiiitttààà dddiii cccaaammmpppooo iiinnn bbbuuuooonnneee gggeeeooommmeeetttrrriiieee

Con il teorema di Gauss si può ricavare il valore dell’intensità di campo da una distribuzione di sorgentinota (che chiamiamo in generale “geometria delle sorgenti”).Calcolando il flusso attraverso superfici chiuse semplici in distribuzione di sorgenti semplici (“buonegeometrie”) sia con il teorema di Gauss che con la definizione, e uguagliando le espressioni, siottengono i valori di intensità di campo in quelle geometrie.

Geometria di sorgente: Puntiforme Lineare Piana Sfericaa distanza r da sorgente

puntiforme o dal centro disorgente sferica uniforme

di raggio R < r

a distanza r da sorgentelineare uniforme di densità

lineare λ

a distanza r da sorgentepiana uniforme di densità

superficiale σ

a distanza r dal centro diuna distribuzione uniforme

di densità spaziale ρ

Intensità di campoelettrico E 22 4 r

qrqKE πε

=r

K qEλ2ε

σσπ

22 q

qEK = rrK qqE ε

ρρπ

334 =

Intensità di campogravitazionale G 2r

mKG rK mGλ2

mGK σπ2 rK mG ρπ34

Geometriar

P

s

P

λ

r

S

P

σrP

r

ρ

Grafico del campo

υ

r

υ

r

υ

r

υ

r

• La geometria di sorgente puntiforme è quella della legge gravitazionale di Newton: i pianeti e il Sole sonoassimilabili, a distanza opportuna, a sfere uniformi e, a grandi distanze, a punti dotati di massa.

• La geometria di sorgente piana è quella della forza peso (P = mg) in laboratorio4. L’intensità del campogravitazionale vicino alla superficie della Terra (a distanza h<<RT, laddove la sorgente può essereconsiderata un piano infinito), non dipende da h e vale 9.81 m/s2.

• La geometria di sorgente sferica è quella della gravità all’interno della Terra, a distanza r dal suo centro:si osserva che al centro non c’è gravità.

4 In realtà, la gravità g in laboratorio deriva dalla distribuzione sferica terrestre quando, in punti molto vicini allasuperficie, ci si sposta verticalmente di quantità molto minori del raggio terrestre. Il campo uniforme in direzione, verso emodulo tuttavia è analogo a quello della distribuzione piana di massa.



222...444 LLL’’’EEENNNEEERRRGGGIIIAAA PPPOOOTTTEEENNNZZZIIIAAALLLEEE

Chiamiamo campo conservativo un campo in cui il lavoro fatto per portare una sorgente da unqualsiasi punto A a un qualsiasi punto B non dipende dal percorso scelto, ma solo dalle posizioniiniziale e finale (oltre che dalla sorgente trasportata).

Campi in cui agiscono solo forze espresse da leggi con la forma delle citate leggi di Newton e Coulombsono conservativi.

Un campo conservativo ha proprietà semplici che discendono direttamente dalla definizione:1. Il lavoro per spostare una sorgente lungo un percorso chiuso è nullo.2. È possibile introdurre una grandezza matematica, l’energia potenziale, nel modo che segue5:

Il lavoro LAB svolto dalle forze del campo per portare una sorgente (esploratrice) da un punto Aad un punto B è pari all’incremento di energia potenziale cambiato di segno, Lcampo,AB = –∆Ep =Ep,A – Ep,Bdove Ep,A, Ep,B sono le energie potenziali della sorgenteesploratrice s2 in A e in B.

3. Se il sistema è isolato e si considerano solo le forze del campo,l’energia totale meccanica (potenziale + cinetica) si conserva (daqui il nome di campo conservativo).

(1) è una semplice conseguenza della definizione di campo conservativo.(2) è un’altra diretta conseguenza della definizione, giacché il lavoro per andare da A a B è fissato e

dunque si può utilizzarlo per calcolare gli incrementi di una grandezza inventata ad hoc.(3) deriva dal fatto che, per come introdotta, l’energia potenziale rappresenta una riserva energetica che

può commutarsi in energia cinetica (se il sistema è isolato e non agiscono altre forze)

L’energia potenziale si misura in J .

La 2) non introduce l’energia potenziale ma la differenza di suoi valori. Ci si può rendere conto chequesto strano modo di introdurre una grandezza la definisce “a meno di una costante additivaarbitraria”.6

La scelta di questa costante è strettamente connessa con la scelta del luogo dello spazio in cui si vuoleassumere l’energia potenziale uguale a zero (la scelta è convenzionale e legata a fattori di comodo: perle sorgenti puntiformi il livello di zero è posto all’infinito).

222...444...111 IIIlll vvvaaalllooorrreee aaassssssooollluuutttooo dddeeellllll’’’eeennneeerrrgggiiiaaa pppooottteeennnzzziiiaaallleee

Conosciamo il significato fisico di ∆Ep, il lavoro fatto dalle forze esterne contro il campo.Esiste un significato fisico di Ep? Cioè, si può parlare di un livello di zero privilegiato di Ep?

Poiché Lcampo,AB = –∆Ep = Ep,A – Ep,B, se si porta la sorgente esploratrice da un luogo A in cui la forza ènulla e quindi dove ha senso porre Ep,A = 0 (all’infinito per le sorgenti puntiformi) al punto P, il lavorofatto dalle forze del campo è:Lcampo,AP = – Ep,P. = – Lesterne,AP

Ne deriva un significato particolare di energia potenziale:

5 Il segno negativo è correlato con il fatto che, se le forze del campo fanno un lavoro, l’energia potenziale di una sorgenteesploratrice deve diminuire. Non ha niente a che vedere con il segno negativo che si trova davanti all’energia potenzialegravitazionale.6 Lo si è già visto in terza con l’energia potenziale gravitazionale.

A

s2

s1

B

Lcampo = -∆Ep



B

r12

s2

s1

A

L’energia potenziale nel punto P è il lavoro fatto dalle forze esterne (dunque contro leforze del campo) per portare la sorgente esploratrice da fuori dal campo nel punto P.

L’energia potenziale è l’energia di costruzione di un sistema: l’energia interna del sistema.

• Se nella costruzione del sistema le forze esterne hanno fatto un lavoro positivo, l’energia del sistemaè positiva e dunque il sistema può restituire energia (esempio: due cariche elettriche positive).

• Se le forze esterne hanno fatto un lavoro negativo (il sistema è stato quindi costruito dalle forze delcampo), allora il sistema ha un’energia negativa, è “legato”, e per distruggerlo occorre che le forzeesterne facciano un lavoro (esempio: due masse).

222...444...222 LLL’’’eeesssppprrreeessssssiiiooonnneee mmmaaattteeemmmaaatttiiicccaaa dddeeellllll’’’eeennneeerrrgggiiiaaa pppooottteeennnzzziiiaaallleee

La forma matematica di Ep dipende dalla geometria delle sorgenti di campo.

222...444...222...111 GGGeeeooommmeeetttrrriiiaaa dddiii sssooorrrgggeeennnttteee pppuuunnntttiiifffooorrrmmmeeeNella geometria di sorgente puntiforme, scegliamo il livello di riferimento (Ep = 0) dell’energiapotenziale all’infinito (laddove non esiste più la forza).Immaginiamo di spostare quindi una sorgente (puntiforme positiva) da distanza infinita alla distanza rdalla sorgente (puntiforme positiva) che genera il campo.

222...444...222...111...111 CCCaaasssooo gggrrraaavvviii tttaaazzziiiooonnnaaallleee ,,, ooo dddeeelll lllaaa fffooorrrzzzaaa aaattttttrrraaatttttt iiivvvaaa tttrrraaa sssooorrrgggeeennntttiii uuuggguuuaaalll iii

asseascisse

G

spostamento ∆r

0-∞ Ep,f

mM

r0 +∞

asseEp

00

12

21,

,,0,

12

21

<−=

−=−=∆−=

>=rssKE

EEEELrssKL

fp

fpfpppcampo

campo

Corrisponde al fatto che per creare un sistema con due masse il lavoro è fatto dalcampo. Un sistema con due masse ha energia potenziale negativa: si dice che è unsistema legato. Per liberare le due masse devo fare un lavoro esterno.

222...444...222...111...222 CCCaaasssooo eeellleeettttttrrrooossstttaaattt iiicccooo,,, ooo dddeeelll lllaaa fffooorrrzzzaaa rrreeepppuuulllsssiiivvvaaa tttrrraaa sssooorrrgggeeennntttiii uuuggguuuaaalll iii

asseascisse

E

spostamento ∆r

0+∞ Ep,f

qQ

r0 +∞

asseEp

00

12

21,

,,0,

12

21

>=

−=−=∆−=

<−=rssKE

EEEELrssKL

fp

fpfpppcampo

campo

Corrisponde al fatto che per creare un sistema con due cariche positive devo fare un lavoro L esternocontro il campo. Un sistema con due cariche positive ha energia potenziale positiva: è un sistema libero.Liberare le due masse restituisce il lavoro L fatto per creare il sistema.

In altre parole, il segno positivo nell’espressione dell’energia potenziale vale quando l’intensità delcampo ha verso uscente dalle sorgenti positive (caso elettrostatico) o – che è equivalente – quando laforza tra sorgenti uguali è repulsiva.



222...444...222...222 GGGeeeooommmeeetttrrriiiaaa dddiii sssooorrrgggeeennnttteee pppiiiaaannnaaaNella geometria di sorgente piana l’intensità del campo è costante e non dipende dalla distanza dallasorgente. Dunque anche la forza è costante e il lavoro di una forza costante è dato dal prodotto F ⋅ ∆s.Se allora poniamo il livello di zero all’infinito, ogni sistema ha un’energia potenziale infinita. Si sceglieinvece il livello di zero sul piano della sorgente nel caso gravitazionale; nel caso elettrostatico, dato chela grande utilità di questa geometria è associata al condensatore (distribuzioni piane parallele di ugualedensità di cariche, ma di segno opposto, a distanza d tra loro, si sceglie il livello di zero sul piano dellasorgente negativa.In entrambi i casi la sorgente è descritta dalla densità superficiale uniforme (di carica o massa) σ.

222...444...222...222...111 CCCaaasssooo gggrrraaavvviii tttaaazzziiiooonnnaaallleee

Se porto una massa m dal piano di densità superficiale σ a unadistanza h il campo fa un lavoro negativo7:

00

,,,0,

>=

−=−=∆−=<−=

mghEEEEEL

mghLfp

fpfpppcampo

campo

222...444...222...222...222 CCCaaasssooo eeellleeettttttrrrooossstttaaattt iiicccooo

Il campo tra le due superfici piane cariche è costante e vale E = σ/ε, dove σ è il valore assoluto delladensità superficiale di carica posta sui due piani paralleli e il modulodi E deriva dalla somma dei campi (concordi in direzione e verso euguali in modulo) prodotti dalle due superfici.

00,

,,0,

>=

−=−=∆−=

<−= hqEEEEEL

hqLfp

fpfpppcampo

campo

εσ

εσ

222...555 IIILLL PPPOOOTTTEEENNNZZZIIIAAALLLEEE

L’energia potenziale dipende dalla sorgente s1 che origina il campo e dalla sorgente “esploratrice” s2.Operando come nell’introduzione dell’intensità, si introduce il potenziale, uguale all’energia potenzialeche avrebbe una sorgente unitaria.

V = Ep/s

Il potenziale consente una mappatura scalare del campo, nel senso che è possibile associare, in modounivoco e continuo, ad ogni punto dello spazio uno e un solo valore di potenziale.Un campo conservativo ha quindi anche una mappatura scalare.

Geometria di sorgente: Puntiforme Pianaa distanza r da sorgente puntiforme o dal centro di

sorgente sferica uniforme di raggio R < ra distanza h da sorgente piana uniforme di densità

superficiale σ

Potenziale elettrico V[J/C] = [V] r

qrqKE πε4

= (V = 0 a r = ∞) hhK qqE ε

σσπ =4 (V = 0 su armatura negativa)

Potenziale gravitazionaleVg, [J/kg] = [m/s2] r

mKG− (V = 0 a r = ∞) ghhK mG =σπ4 (V = 0 sul piano)

7 Usiamo g (accelerazione di gravità e intensità del campo) in luogo di 2πKGσ, come è consueto.

P

σ

h FG=mg

Ep=0

FE=qσ/εP

-σ

h FG=mg+σ

Ep=0

h



222...666 IIILLL PPPRRRIIINNNCCCIIIPPPIIIOOO DDDIII SSSOOOVVVRRRAAAPPPPPPOOOSSSIIIZZZIIIOOONNNEEE

La potenza descrittiva offerta dalle 4 grandezze di campo introdotte dipende fortemente, oltre che dallaconservatività del campo che consente di introdurre le grandezze scalari, soprattutto dal principio disovrapposizione:

Il campo (l’intensità o il potenziale) prodotto in un punto P da più distribuzioni di sorgenti è lasomma dei campi che ciascuna di queste distribuzioni produrrebbe separatamente dalle altre.

Il principio vale sia per il campo vettoriale di intensità sia per quello scalare di potenziali.Quando vale un principio di sovrapposizione si dice che lo spazio è “elastico”.

La differenza tra mappatura vettoriale del campo in termini di intensità e mappatura scalare in terminidi potenziale è che quest’ultima, la scalare, in virtù del principio di sovrapposizione, è più agile dautilizzare in molti problemi (non servono 3 equazioni scalari per ogni equazione vettoriale).

222...777 LLLAAA CCCIIIRRRCCCUUUIIITTTAAAZZZIIIOOONNNEEE

ii

n

iii

n

iiiii vvvv ϑcos)(:

11

lll ∆=∆⋅=Γ∆⋅=∆Γ ∑∑==

Sia nel caso elettrostatico che in quello gravitazionale, la circuitazione Γ(v) è il lavoro fatto per spostareuna sorgente unitaria lungo un percorso chiuso Γ.La conservatività di questi campi si traduce rispettivamente in:

Γ(E) = 0 Γ(G) = 0

222...888 IIILLL CCCAAASSSOOO DDDEEELLL CCCAAAMMMPPPOOO EEELLLEEETTTTTTRRROOOMMMAAAGGGNNNEEETTTIIICCCOOO

Equazioni di Maxwell

nei mezzi materiali nel vuoto

econcatenatchiusaS

ernachiusaS

itE

tBq

µεµ

ε

+∆

∆Φ=Γ=Φ

∆∆Φ

−=Γ=Φ

)()(0)(

)()()(

,

int,

BB

EE

tE

tB

chiusaS

chiusaS

∆∆Φ

=Γ=Φ

∆∆Φ

−=Γ=Φ

)()(0)(

)()(0)(

00,

,

µεBB

EE



333 DDDEEESSSCCCRRRIIIVVVEEERRREEE UUUNNN CCCAAAMMMPPPOOO (((TTTRRRAAATTTTTTAAAZZZIIIOOONNNEEE GGGEEENNNEEERRRAAALLLEEE)))

333...111 IIILLL GGGRRRAAADDDIIIEEENNNTTTEEE

Definizione

Gradiente di ϕ(x,y,z) = kjizyx

zyx∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ϕϕϕ

ϕ :),,(

1. Dato un campo scalare ϕ(x,y,z) è sempre possibile associargli un campo vettoriale descritto dalvettore intensità del campo ∇ϕ :8

υ(x,y,z) = ∇ϕ

2. Dato un campo vettoriale υ(x,y,z) non è necessariamente possibile associargli un campo scalareϕ(x,y,z). Quando è possibile, si dice che il campo vettoriale è conservativo.

Teorema

ϕϕ d=⋅∇ dlDimostrazioneIl differenziale di ϕ vale:

dzz

dyy

dxx

d∂∂

+∂∂

+∂∂

=ϕϕϕ

ϕ

La derivata direzionale di ϕ è:

dldz

zdldy

ydldx

xdld

∂∂

+∂∂

+∂∂

=ϕϕϕϕ

Ma:

),cos(),cos(),cos( zldldzyl

dldyxl

dldx

===

e quindi:

dl

dl

⋅∇=

⋅∇=∂∂

+∂∂

+∂∂

=

ϕϕ

ϕϕϕϕϕ

ddl

zlz

yly

xlxdl

d ),cos(),cos(),cos(

La derivata direzionale di ϕ lungo l è la componente di ∇ϕ lungo l.

DefinizioneDato un campo scalare ϕ(x,y,z), le superfici nello spazio sulle quali ϕ(x,y,z) è costante si chiamanosuperfici di livello, o equipotenziali.

Dal valore di cos(∇ϕ, dl), si deduce che:• ∇ϕ è perpendicolare alla superficie di livello (equipotenziale)• ∇ϕ ha direzione e verso della massima variazione di ϕ . 8 Nei campi elettrico e gravitazionale occorre cambiare il segno per accordarlo alla convenzione dei segni sul lavoro: laforza è infatti l’intensità del campo per una sorgente esploratrice positiva unitaria. La forza del campo, per il principio diconservazione dell’energia, porta la sorgente esploratrice verso punti ad energia potenziale minore (si crea energiacinetica). Così, dove il lavoro delle forze del campo è positivo, l’energia potenziale deve diminuire(siamo cioè in versoopposto a ∇ϕ).



333...222 LLLAAA CCCIIIRRRCCCUUUIIITTTAAAZZZIIIOOONNNEEE

Definizione

Integrale di linea lungo il percorso Γ tra P1 e P2 := ∫Γ→

⋅,21

),,(PP

zyx dl•

L’integrale di linea dell’intensità del campo, nei campi gravitazionale ed elettrostatico, è il lavoro fattodalle forze del campo diviso per la sorgente spostata.

Teoremaυ conservativo ⇔ l’integrale di linea non dipende da Γ.

DimostrazioneSe υ è conservativo, il campo vettoriale può associarsi ad un campo scalare ϕ tale che υ (x,y,z) = ∇ϕe quindi: ϕϕϕϕϕ ∆=−==⋅∇=⋅ ∫∫∫

Γ→Γ→Γ→

)()(),,( 12,,, 212121

PPdzyxPPPPPP

dldl•

Definizione

Circuitazione di υ := ∫Γ

⋅ dl• ),,( zyx

Teorema

υ è conservativo ⇔ 0),,( =⋅Γ∀ ∫Γ

dl• zyx .

333...333 IIILLL FFFLLLUUUSSSSSSOOO EEE LLLAAA DDDIIIVVVEEERRRGGGEEENNNZZZAAA::: PPPRRREEESSSEEENNNZZZAAA DDDIII SSSOOORRRGGGEEENNNTTTIII

Definizione

∫ ⋅=Φ⋅=ΦS

d dSFFdSF )(:

Origine idrodinamica: Φ è la massa di fluido attraverso S nell’unità di tempo.

Definizione

Divergenza di υ = VV

zyxdivV

SV

Φ=

⋅==⋅∇

→→ ∫ 00lim1lim:),,( dS•••

In coordinate cartesiane:

zyxdiv zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=••••

La divergenza serve a caratterizzare la presenza di sorgenti attraverso il teorema di Gauss.9

Teorema di Gauss

∫∫ =⋅VS

dVdiv•dS•

Serve per passare dalla forma integrale della legge di Gauss Φ = q/ε alla forma differenziale divE = ρ/ε.

9 La fisica di Berkeley, vol. 2, Elettricità e magnetismo, Parte prima, Zanichelli 1971, p. 67.



333...444 IIILLL RRROOOTTTOOORRREEE::: CCCAAAMMMPPPIII CCCOOONNNSSSEEERRRVVVAAATTTIIIVVVIII

Invece dell’integrale di superficie di F, consideriamo una linea chiusa e la circuitazione di F. Cerchiamouna proprietà che definisca il campo intorno al punto.

0lim0

=⋅∫Γ

→dl•

S

Come per divυ, considero:

⋅∫

Γ→

dl•SS

1lim0

che è una variabile della posizione.

Definizione

Rotore di υ = ∇×υ := funzione vettoriale per cui

⋅=⋅ ∫

Γ→

dl•n•rotSS

1lim:ˆ0

dove n̂ è il versore di S.

In coordinate cartesiane:

zyx

zyx

•••

kji••rot ∂

∂∂∂

∂∂=×∇=

• rot υ ha direzione perpendicolare a quel piano nel quale la circuitazione è massima10

Teorema di Stokes

( ))( •rotdS•rotdl• Φ=⋅=⋅ ∫∫Γ S

Il rotore misura la vorticosità del campo (esempio dell’acqua che defluisce dalla vasca). È usato influidodinamica.

In particolare:rot υ = 0 ⇒ campo υ conservativo

333...555 IIILLL CCCAAASSSOOO DDDEEELLL CCCAAAMMMPPPOOO EEELLLEEETTTTTTRRROOOMMMAAAGGGNNNEEETTTIIICCCOOO

Equazioni di Maxwell nei mezzi materiali nel vuoto

Forme differenzialiJ è la densità di corrente, [A/m 2] J

tErotBdivB

tBrotEdivE

µεµ

ερ

+∂∂

==

∂∂

−==

0tErotBdivB

tBrotEdivE

∂∂

==

∂∂

−==

000

0

µε

Forme integralii

tEdlBB

tBdlEqE

µεµ

ε

+∂

Φ∂=⋅=Φ

∂Φ∂

−=⋅=Φ

∫

∫

Γ

Γ

)(0)(

)()(

tEdlBB

tBdlEE

∂Φ∂

=⋅=Φ

∂Φ∂

−=⋅=Φ

∫

∫

Γ

Γ

)(0)(

)(0)(

00µε

10 La fisica di Berkeley, vol. 2, Elettricità e magnetismo, Parte prima, Zanichelli 1971, p. 87.

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