Idrologia Tecnica, Sistemazione Dei Corsi d'Acqua, Idraulica Fluviale

UNIVERSITÀ degli STUDI di TRIESTE

Facoltà di Ingegneria

Dipartimento di Ingegneria Civile ed Ambientale

Corsi di

IDROLOGIA TECNICA

SISTEMAZIONE dei BACINI e dei CORSI d’ACQUAprof. ing. Elpidio Caroni

APPUNTI

? ? ? Andrea Lisjak ? ? ?

[email protected]

Trieste, 5 dicembre 2007

Indice

I Idrologia Tecnica 1

1 Idrologia e misure idrauliche 31.1 Ciclo idrologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Bilancio idrologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Bacini imbriferi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Delimitazione del bacino imbrifero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Processi idrologici fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1 Precipitazione piovosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Misure di precipitazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.1 Pluviometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.2 Radar meteorologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.3 Valutazione dei volumi d’afflusso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Misure di portata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5.1 Mulinelli idrometrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5.2 Profilatori di velocità ad ultrasuoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.3 Misure di livello: scala delle portate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.4 Sezioni stabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5.5 Misura mediante traccianti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6 Evaporazione e misure di evaporazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.6.1 Psicrometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.6.2 Determinazione del tasso di evaporazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.6.3 Strumenti di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.7 Infiltrazione e misure di infiltrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.7.1 Infiltrometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.7.2 Legge di Horton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.7.3 Valutazione del ruscellamento superficiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.8 Risposta idrologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.8.1 Separazione dell’idrogramma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.8.2 Separazione dello ietogramma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.8.3 Funzione di risposta del bacino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.9 Modelli di idrogramma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.9.1 Metodo sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.9.2 Modello della corrivazione o cinematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.9.3 Modello italiano o dell’invaso lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.9.4 Modello di Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.9.5 Interpretazione probabilistica dell’idrogramma unitario istantaneo . . . . . . . . . . . 52

1.10 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.10.1 Determinazione dell’idrogramma di Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2 Statistica degli estremi 552.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.1.1 Metodo della curva inviluppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.1.2 Probabilità associata all’evento di piena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.1.3 Richiami di probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

iii

iv INDICE Andrea Lisjak

2.1.4 Curva di durata delle portate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.1.5 Curva di utilizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.1.6 Frequenza cumulata empirica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.1.7 Modelli di probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.2 Modelli probabilistici in idrologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.2.1 Il caso delle portate al colmo di piena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.2.2 Metodo dei picchi sopra una soglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.2.3 Metodo del massimo in un intervallo di tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.2.4 Tempo di ritorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.3 Stima numerica dei parametri statistici di adattamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.3.1 Richiami di statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.3.2 Metodo dei momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.3.3 Metodo di Gumbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.3.4 Metodo dei minimi quadrati lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.3.5 Metodo della massima verosimiglianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.4 Applicazioni all’intensità di pioggia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.4.1 Linea segnalatrice di possibilità pluviometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.5 Applicazioni alle portate al colmo di piena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.5.1 Pioggia di progetto ad intensità costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.5.2 Calcolo della portata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.5.3 Modello della corrivazione lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.5.4 Modello dell’invaso lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.5.5 Modello di Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.6 Test statistici di adattamento di una distribuzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.6.1 Passi di un test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.6.2 Test χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.6.3 Test di Kolmogorov–Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942.7.1 Determinazione della LPP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942.7.2 Valutazione della durata critica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2.8 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.8.1 Alcune distribuzioni di probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.8.2 Valori di cα,N per il test di Kolmogorov-Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3 Idrologia e risorse idriche 1013.1 Elementi di geomorfologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.1.1 Superfici e versanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.1.2 Tettonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.1.3 Movimenti franosi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.2 Morfometria dei bacini e delle reticoli idrografici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.2.1 Forme dei bacini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.2.2 Forme delle aste fluviali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.2.3 Forme delle reti idrografiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.2.4 Sistemi di ordinamento delle reti: leggi di Horton–Strahler . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.2.5 Reticoli sintetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.3 Modelli di formazione del deflusso superficiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.3.1 Schema hortoniano e schema dunniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.3.2 Formula di Fántoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.3.3 Metodo del Curve Number (CN–SCS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223.3.4 Modello “fisico” di Green–Ampt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.3.5 Formula di Philip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273.3.6 Probability Distributed Moisture Model (PDM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.3.7 Top Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3.4 Idrogramma Unitario Istantaneo Geomorfologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.4.1 Approccio basato sul metodo di Horton–Strahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.4.2 Approccio basato sulla funzione di ampiezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Andrea Lisjak INDICE v

3.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1473.5.1 Determinazione dei parametri di Horton–Strahler del fiume Cellina . . . . . . . . . . . 1473.5.2 Determinazione dello GIUH del torrente But . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

II Idraulica fluviale 151

4 Moto permanente nelle correnti a pelo libero 1534.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

4.1.1 Ipotesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.2 Caratteristiche energetiche della corrente in una sezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4.2.1 Portata assegnata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.2.2 Energia specifica assegnata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

4.3 Alvei a debole pendenza e a forte pendenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614.3.1 Ipotesi di moto uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614.3.2 Pendenza critica per sezioni rettangolari larghe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

4.4 Carattere cinematico dei due tipi di corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1634.4.1 Celerità di propagazione delle perturbazioni di livello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1634.4.2 Numero di Froude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

4.5 Correnti in moto permanente. Profili del pelo libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1654.5.1 Equazione differenziale del profilo del pelo libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664.5.2 Alvei a debole pendenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.5.3 Alvei a forte pendenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.5.4 Osservazioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.5.5 Tracciamento quantitativo dei profili di moto permanente . . . . . . . . . . . . . . . . 170

4.6 Passaggio attraverso lo stato critico. Il risalto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.6.1 Passaggio graduale da corrente lenta a corrente veloce . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.6.2 Passaggio graduale da corrente veloce a corrente lenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

4.7 Esempi applicativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804.7.1 Procedura per la determinazione dei profili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804.7.2 Presenza di una paratoia piana in alvei a debole pendenza . . . . . . . . . . . . . . . . 1814.7.3 Presenza di una paratoia piana in alvei a forte pendenza . . . . . . . . . . . . . . . . . 1844.7.4 Cambio di pendenza con paratoia piana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1854.7.5 Passaggio sopra una soglia di fondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1864.7.6 Stabilizzazione di un risalto idraulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1884.7.7 Passaggio fra le pile di un ponte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

4.8 Tracce dell’onda di piena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1944.8.1 Valutazione della portata in condizioni di piena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1944.8.2 Valutazione di variazioni del coefficiente di scabrezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

4.9 Estrapolazione della scala delle portate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1964.10 Alvei con sezioni composite o con scabrezza eterogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

4.10.1 Calcolo della portata totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1974.11 Curve nei canali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

4.11.1 Correnti lente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1984.11.2 Correnti veloci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

4.12 Alvei in letti alluvionali: condizioni di stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004.12.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004.12.2 Caratterizzazione del sedimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004.12.3 Condizioni critiche: inizio del trasporto solido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

4.13 Principi di modellistica idraulica da laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2044.13.1 Derivazione di una scala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

4.14 Ulteriori considerazioni sulle correnti veloci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2074.14.1 Propagazione di perturbazioni di livello infinitesime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2074.14.2 Propazione di perturbazioni di livello finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

4.15 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2104.15.1 Tracciamento di un profilo di moto permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

vi INDICE Andrea Lisjak

4.15.2 Localizzazione di un risalto in corrispondenza di un salto di fondo . . . . . . . . . . . 2124.15.3 Calcolo della portata sfiorabile da uno stramazzo laterale . . . . . . . . . . . . . . . . 214

5 Moto vario nelle correnti a pelo libero 2175.1 Equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

5.1.1 Equazioni di de Saint–Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2185.2 Onde di piena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

5.2.1 Modello di Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2205.2.2 Modello cinematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2205.2.3 Modello parabolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

6 Trasporto solido 2256.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2256.2 Caratterizzazione dei materiali trasportati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2266.3 Condizioni critiche: inizio del trasporto solido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

6.3.1 Formulazione di Shields: curva di instabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2296.4 Trasporto solido al fondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

6.4.1 Metodi di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2316.4.2 Metodi di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

6.5 Trasporto solido in sospensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2396.5.1 Metodi di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2396.5.2 Equazione della diffusione–dispersione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2396.5.3 Metodi di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

6.6 Trasporto solido totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2476.6.1 Metodi di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

6.7 Modellamento del fondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2496.7.1 Forme del fondo mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

6.8 Resistenza al moto degli alvei a fondo mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2516.8.1 Determinazione della resistenza superficiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2536.8.2 Determinazione della resistenza di forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2536.8.3 Determinazione della resistenza globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

6.9 Geometria idraulica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2556.9.1 Metodo “at station” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2556.9.2 Metodo “downstream” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2556.9.3 Relazione larghezza e portata “bankfull” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2566.9.4 Teorie del regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

III Sistemazione dei corsi d’acqua 263

7 Sistemazione dei bacini montani 2657.1 Sistemazione dei versanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

7.1.1 Interventi di raccolta e allontanamento delle acque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2657.1.2 Interventi di consolidamento del pendio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

7.2 Briglie e soglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2687.2.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2687.2.2 Struttura della briglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2697.2.3 Dimensionamento della gáveta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2717.2.4 Dimensionamento della vasca di dissipazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2727.2.5 Dimensionamento statico della briglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2757.2.6 Filtrazione sotto le briglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2787.2.7 Altri tipi di briglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

7.3 Difese di sponda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2857.3.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2857.3.2 Difese longitudinali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2857.3.3 Difese sporgenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

Andrea Lisjak INDICE vii

8 Sistemazioni fluviali 3058.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

8.1.1 Aumento della capacità di portata delle sezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3058.1.2 Diminuzione della portata di progetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

8.2 Regolazione delle portate a mezzo di serbatoi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3078.2.1 Dighe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3078.2.2 Casse di espansione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

8.3 Arginatura dei corsi d’acqua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3108.3.1 Arginature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3108.3.2 Distanze dagli argini per piantagioni, scavi e manufatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3108.3.3 Filtrazione nel corpo arginale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3108.3.4 Stabilità degli argini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3118.3.5 Protezione delle rive e delle arginature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3128.3.6 Stabilizzazione degli alvei di magra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

viii INDICE Andrea Lisjak

Parte I

Idrologia Tecnica

1

Capitolo 1

Idrologia e misure idrauliche

Nei paesi occidentali il consumo medio di acqua è di circa 500 l/giorno pro capite, che equivalgono a200 m3/anno. Supponendo una popolazione mondiale di 5 miliardi di persone si arriva a 1000 miliardidi m3/anno.

L’acqua disponibile sulla Terra è circa 1, 4× 109 km3 (1 km3 = 109 m3). L’acqua è così distribuita:

- 97,2%: oceani;

- 2,2%: calotte polari e ghiacciai;

- ∼ 0, 6 %: acque del sottosuolo (falde acquifere);

- rimanente: acque di superficie.

Le acque di superficie sono così distribuite:

- laghi: 125.000 km3;

- laghi salati: 100.000 km3;

- fiumi: 1.300 km3.

Residuano:

- umidità del suolo: 70.000 km3;

- atmosfera: 13.000 km3.

1.1 Ciclo idrologico

La presenza dell’acqua sulla Terra è di tipo dinamico, ossia caratterizzata da una serie di scambi continuitra:

• atmosfera;

• superficie solida e corpi idrici;

• sottosuolo;

• oceani.

L’insieme di questi flussi d’acqua prende il nome di ciclo idrologico. In particolare si hanno:

(A) precipitazioni : passaggio dall’atmosfera alla superficie solida ed agli oceani (pioggia, neve, grandine erugiada);

(B) evaporazione: passaggio dallo stato liquido al suolo a quello di vapore in atmosfera;

3

4 Capitolo 1. Idrologia e misure idrauliche Andrea Lisjak

(G) traspirazione: passaggio dell’acqua dal sottosuolo direttamente in atmosfera grazie all’azione deivegetali;

(C) ruscellamento: trasferimento sulle superfici solide ai corpi idrici e agli oceani;

(F) infiltrazione: passaggio dalla superficie solida al sottosuolo;

(E) esfiltrazione: passaggio dell’umidità del sottosuolo (non saturo) in superficie;

(D) sorgenti subacquee: passaggio delle acque sotterranee nei corpi idrici o negli oceani.

Figura 1.1. Ciclo idrologico.

Il movimento continuo del ciclo idrologico è possibile grazie all’energia solare, la quale produce i trasferi-menti di calore che rendono possibile tale moto. Dal punto di vista degli aspetti dinamici l’atmosfera è laparte più importante in quando è la prima ad assorbire tale energia.

I principi fisici fondamentali del ciclo sono:

1. il principio di conservazione della massa: dà luogo al bilancio idrologico;

2. il principio di conservazione dell’energia: spesso non viene considerato in quanto, vista la complessitàdei processi, in idrologia ci sia accontenta del primo.

La differenza tra idrologia e idraulica è essenzialmente dovuta alla scala di osservazione spazio-temporale:

• idraulica: m −→ km, s −→ min;

• idrologia: km −→ . . . , anno solare (serve a tralasciare gli effetti della stagionalità).

1.1.1 Bilancio idrologicoAnalizziamo una superficie di area A e sia V il volume accumulato su tale area a causa delle precipitazioni.Se si suppone di spargere in maniera uniforme tale volume su tutta la superficie si ottiene un’altezza d’acquapari a:

h =V

A

L’equazione fondamentale del bilancio idrologico è:

dVdt

= Qin −Qout (1.1)

Per poter applicare concretamente tale equazione bisogna:

• definire A;

• conoscere i flussi in entrata ed in uscita.

Andrea Lisjak 1.1. Ciclo idrologico 5

Se si analizza il ciclo idrologico alla scala dell’anno solare si può ammettere, a meno di approssimazioni piùo meno grandi, che se ci si trova in un ciclo di un anno medio, dopo un anno le condizioni dovrebbero essereuguali a quelle di un anno prima:

dVdt

∣∣∣∣anno solare

≈ 0

Esempio

Figura 1.2. Esempio di bilancio idrologico.

Consideriamo un anno medio:

- pioggia che cade sulla superficie degli oceani: 1120mm;

- pioggia che cade sulle terre emerse: 720mm;

- acqua che evapora dalla superficie degli oceani: 1250mm;

- acqua che evapora dalla superficie solida: 410mm;

- acqua che passa dalla superficie solida a quella degli oceani: 310mm (rispetto alla superficie solida),130mm (rispetto alla superficie degli oceani);

- acqua che viene scambiata a livello di sottosuolo: trascurabile.

Facendo una media ogni anno cade sulla superficie terrestre 1m d’acqua.Il volume di pioggia annua è pari a:

Vpa = 500× 106 × 10−3 = 500.000 km3/anno

Il volume d’acqua in atmosfera è pari a:

Vatm = 13× 103 km3

Ciò significa che il tempo di permanenza dell’acqua in atmosfera è estremamente breve: mediamente ognianno l’intera quantità d’acqua presente in atmosfera si riversa sulla Terra circa 40 volte (= Vpa/Vatm),quindi la durata media della permanenza dell’acqua in atmosfera è di circa 9 giorni (365/40). Altri esempidi tempi di permanenza sono:

- fiume Po: 700 km, v=1m/s, circa 200 ore ossia 10 giorni;

- sottosuolo: 30 anni.


1.2 Bacini imbriferi

Si definisce bacino imbrifero o idrografico relativo alla sezione S la porzione di territorio in cui le pioggecadute contribuiscono al deflusso nella sezione S. Il primo termine si riferisce esplicitamente a tale definizionementre il secondo è relativo alla distribuzione dei canali che raccolgono le acque da una superficie e le portanoalla sezione S.

Figura 1.3. Bacino imbrifero.

Si definisce reticolo idrografico il grafo formato dalle aste fluviali e orientato dalle zone a potenziale gravi-tazionale maggiore verso quelle a potenzionale minore. Normalmente nelle zone imbrifere, ossia nelle zonedove le portate sono generate, il reticolo è ad albero, ossia è costituito da tante sorgenti e da una sola uscitadetta sezione di chiusura del bacino.

I corsi d’acqua possono essere suddivisi ciascuno in tre parti principali:

1. bacino imbrifero propriamente detto: il processo fondamentale è la raccolta d’acqua, corrisponde allazona montana;

2. canale di trasporto: il processo fondamentale è l’interazione con le falde freatiche (in condizioni dimagra il fiume cede acqua alle falde freatiche), corrisponde alla zona in cui non ci sono più grossiaffluenti;

3. foce: il processo fondamentale è l’interazione col corpo idrico recettore.

1.2.1 Delimitazione del bacino imbrifero

Le linee di massima pendenza dei versanti tagliano perpendicolarmente le linee equipotenziali, il motoavviene quindi parallelamente ad esse e sono dette linee di spartiacque. Le zone di crinale sono invece deimassimi locali nella superficie topografica. I massimi di curvatura delle curve di livello possono essere:

- zone di crinale;

- aste fluviali.

L’utilizzo del DTM (Digital Terrain Model) è molto utile per il riconoscimento automatico dell’andamentodegli espluvi e degli impluvi.

Andrea Lisjak 1.2. Bacini imbriferi 7

Figura 1.4. Linee di massima pendenza e crinali.

Figura 1.5. Linee di espluvio e linee di impluvio.

Acque sotterranee

A contribuire alla portata di un fiume non c’è solo l’acqua di ruscellamento in superficie ma anche unacomponente di filtrazione nel terreno. A rigore quindi l’analisi topografica è sufficiente solamente per il rus-cellamento e non per i moti di filtrazione, i quali forniscono acqua nei periodi asciutti. Approssimativamente

Figura 1.6. Influenza delle condizioni geostrutturali sul bacino idrologico.

possiamo dire che della pioggia che cade mediamente:

- 1/3 evapora;

- 1/3 s’infiltra;

- 1/3 scorre in superficie.


1.3 Processi idrologici fondamentali

1.3.1 Precipitazione piovosa

Il fenomeno fondamentale per la precipitazione piovosa è la condensazione ossia il passaggio dell’umiditàdell’atmosfera dallo stato di vapore allo stato liquido quando l’atmosfera risulta satura. La massima quantitàdi vapor d’acqua che la miscela aria può contenere è detta tensione di vapor d’acqua saturo.

La condensazione è essenzialmente dovuta ad un raffreddamento: sottraendo calore ad una massa umidaessa diventa satura e si ha la condensazione.

La probabilità maggiore è quella che una goccia d’acqua vada a formarsi attorno ad un granello dipulviscolo atmosferico. Una volta che una microgoccia si è formata è più probabile che si abbia un’altracondensazione attorno ad essa.

Le nuvole sono gocce d’acqua allo stato liquido. Su di esse agisce il loro peso proprio e le tensionitangenziali dovute ai moti turbolenti dell’aria.

Si ha una precipitazione piovosa quando a causa di un particolare raffreddamento si ha un ingrossamentodelle gocce d’acque e la rottura dell’equilibrio di forze che si era instaurato precedentemente.

I processi fondamentali di raffreddamento sono 3:

1. raffreddamento ciclonico: è legato alla circolazione atmosferica ed al trasferimento di masse d’aria adifferente contenuto termico e d’umidità da zone ad alta pressione a zone a bassa pressione;

Figura 1.7. Zona anticiclonica e ciclonica nell’emisfero Nord.

2. raffreddamento orografico: quando una corrente d’aria incontra una catena montuosa la massa d’ariatende ad innalzarsi e, dal momento che gli strati alti dell’atmosfera sono più freddi, si ha un raffred-damento;

3. raffreddamento convettivo: se la superficie del terreno è molto calda essa riesce a scaldare l’aria che,diventando più leggera, tende a salire per la spinta archimedea, in superficie arriva altra aria che asua volta si scalda e risale formando una colonna ascendente che mentre sale si raffredda (meccanismoconvettivo).

Circolazione ciclonica

La scala a cui avviene è molto ampia: 1.000–5.000 km (le carte sinottiche dei meteorologi sono a livello dicontinente).

Per effetto dell’accelerazione di Coriolis, dovuta alla rotazione terrestre, gli spostamenti non sonorettilinei ma (nell’emisfero Nord):

• circolazione anticiclonica (avviene attorno ad un centro di alta pressione) è oraria;

• circolazione ciclonica (avviene attorno ad un centro di bassa pressione) è antioraria.

Le masse d’aria che arrivano in queste zone possono avere contenuti di umidità e temperatura diverse inquanto possono provenire da Nord, Sud, Ovest o Est. Si consideri, per esempio, un centro di bassa pressionecon dell’aria fredda proveniente da Nord e dell’aria calda proveniente da Sud. Si definisce:

- fronte: zona di contatto fra masse d’aria diverse;

Andrea Lisjak 1.3. Processi idrologici fondamentali 9

- fronte caldo: zona del fronte dove spinge l’aria calda;

- fronte freddo: zona del fronte dove spinge l’aria fredda.

Figura 1.8. Fronte caldo e fronte freddo.

Consideriamo la sezione A-A’: nel centro si parla di fronte occluso ossia l’aria ristagna, si ha una stratifi-cazione dell’aria (aria calda sopra, aria fredda sotto) con formazione di nuvolosità diffusa o deboli piogge.Consideriamo la sezione B-B’:

• l’aria calda che arriva trova l’aria fredda ferma, che avendo un’inerzia maggiore (più densa) tende arimanere al suolo causando lo scivolamento dell’aria calda sopra di essa: si ha una condensazione inverticale lungo il fronte con grande sviluppo in pianta, ne conseguono:

- forti sistemi nuvolosi ;

- piogge di media-bassa intensità.

• l’aria fredda che arriva s’insinua sotto l’aria calda che a sua volta tende a sollevarsi molto più rap-idamente che nel caso precedente, a causa dell’elevata quantità di moto dell’aria fredda: si ha unacondensazione con modesto sviluppo in pianta, ne conseguono:

- sistemi nuvolosi modesti ;

- piogge di intensità elevata.

Tutto questo meccanismo si sviluppa spazialmente in un quadro sinottico (>1.000 km), al suo interno sihanno zone di precipitazione legate ai fronti (100-1000 km), esistono infine dei nuclei di precipitazionepiù elevata detti celle di scroscio (1-10 km). La misura delle pioggia è fortemente influenzata da questimeccanismi.

Circolazione orografica

Le masse d’aria che passano sopra i mari e le pianure si caricano di umidità per evaporazione, quandoincontrano una catena montuosa s’innalzano e si ha la generazione di sistemi nuvolosi e precipitazioni.

Circolazione convettiva

È legata alla presenza di superfici calde che riscaldano l’atmosfera per contatto: l’aria calda tende adinnalzarsi, si ha una diminuzione di pressione nella zona bassa e un richiamo di altre masse d’aria freddadalla superficie. Il processo termina quando la superficie cessa di essere calda.

Dal momento che la corrente ascensionale che si sviluppa è molto forte le gocce d’acqua per caderedevono avere dimensioni molto grosse. È questo il meccanismo, tipico delle celle di scroscio, che porta allaformazione dei cosiddetti temporali estivi (eventi brevi ma intensi).


Figura 1.9. Sezioni A-A’ e B-B’.

Figura 1.10. Circolazione orografica e convettiva.

1.4 Misure di precipitazione

1.4.1 PluviometroUn pluviometro è essenzialmente costituito da un recipiente con bocca orizzontale di forma circolare checonsente l’accumulo dell’acqua di precipitazione. Esso viene disposto in aree aperte in modo da evitareschermature dovute alla presenza di edifici o coperture vegetali. Passato un certo tempo ∆t, detto intervallodi osservazione, si misura l’acqua raccolta all’interno dello strumento1.

1Nel caso di misurazioni effettuate ad intervalli di tempo piuttosto lunghi (es. pluviometri stagionali) si ricorre all’utilizzodi un film d’olio in modo da ricoprire la pioggia che si raccoglie nello strumento ed impedirne l’evaporazione.

Andrea Lisjak 1.4. Misure di precipitazione 11

Si definisce altezza di pioggia [mm]:

∆h =V

Ω(1.2)

dove:

- V : volume accumulato;

- Ω: area della superficie di captazione (valore standard Ω = 0, 1 m2).

Si misura l’altezza invece che il volume di pioggia in quanto si vuole estrapolare il campionamento puntualesull’area attorno ad esso.

Si definisce intensità di pioggia [mm/giorno]:

j =∆h∆t

(1.3)

Servizio Idrografico Nazionale

Il vecchio Servizio Idrografico Nazionale2 era dotato di una rete di osservatori con una densità media diuno strumento ogni 300− 400 km2. Esso osservava le cosiddette piogge giornaliere: piogge cadute tra le 9a.m. del giorno precedente e le 9 a.m. del giorno di osservazione. I dati venivano poi pubblicati sugli AnnaliIdrologici (parte I).

Pluviometri registratori (pluviografi)

Dal momento che per gli eventi importanti il dato giornaliero non è sufficiente si è resa necessaria l’in-troduzione accanto al pluviometro di uno strumento che registrasse l’andamento nel tempo dell’altezza dipioggia.

• Pluviometro a bilancia: l’ago della bilancia è dotato di un pennino che lascia una traccia su una cartaad orologeria (gli apparecchi più moderni sono di tipo digitale).Il difetto principale di questi pluviometri è che quando la vaschetta si riempie bisogna andare asvuotarla.

• Pluviometro a sifone: il serbatoio è dotato di un sifone che, una volta innescato, fa svuotare il serbatoio.I difetti sono il fatto che il sifone può non innescarsi e che esso risente molto delle impurità dellapioggia.

• Pluviometro a vaschetta basculante: una volta che la prima vaschetta si riempie (20 cm3 = 0, 2 mm) siforma una coppia ribaltante che fa svuotare la vaschetta piena e mette sotto raccolta quella vuota. Suuna carta ad orologeria il ribaltamento viene indicato con uno scatto sul diagramma, quando si arrivaal bordo della carta l’andamento viene invertito. L’avanzamento del rullo di carta è di 2mm/ora ossiauna striscia di carta da 40 cm ogni settimana.I difetti principali sono la difficile taratura meccanica dello strumento e il fatto che durante il ribalta-mento una parte di pioggia non viene raccolta.

Sorgenti principali di errore

Il problema principale delle misurazioni effettuate con pluviometri è la significatività della misura. Inparticolare la World Meteorological Organization (WMO) ha individuato 5 sorgenti principali di errore:

1. l’esposizione: −5 %÷−80 %

2. l’evaporazione: ∼ −1 %

3. lo splash in e lo splash out : ∼ +1 %

4. l’adesione: ∼ −0, 5 %

5. l’orizzontalità della bocca: ∼ −0, 5 %2Servizio nato per scopi energetici ed agricoli attualmente passato alle competenze delle Regioni (ARPA)


Nivometri

I nivometri sono particolari pluviometri che raccolgono e poi sciolgono la neve, misurandone la quantità.Gli errori che si commettono nel misurare le precipitazioni nevose sono ancora più grandi in quanto avendola neve una velocità di caduta più bassa della pioggia essa risente maggiormente della turbolenza dell’aria.

1.4.2 Radar meteorologicoIl principio fisico sfruttato dal radar meteorologico è che onde radio con lunghezza d’onda comparabile alladimensione delle gocce d’acqua vengono riflesse dalla presenza d’acqua in atmosfera.

Il radar meteorologico è in grado di vedere non tanto la pioggia (ad eccezione dei modelli che sfruttanol’effetto doppler) quanto il contenuto d’acqua in atmosfera, ossia soprattutto le grosse masse d’acqua a quoteelevate (nuvole). Esso esegue una sorta di tomografia ossia una serie di spazzate con alzo variabile (ossiarivoluzioni con inclinazione variabile) in modo da riconoscere la struttura verticale degli ammassi nuvolosi.Il risultato fornito è quello del contenuto d’acqua liquida sopra pixel di circa 1 km2.

I dati forniti vengono poi elaborati mediante specifici algoritmi che permettono di:

• fornire una buona distribuzione spaziale delle precipitazioni ;

• fornire solamente un’indicazione di massima sull’intensità di pioggia (classi di intensità).

Il raggio d’azione è al massimo di 100–200 km, oltre comincia a risentire eccessivamente dell’effetto dellacurvatura terrestre.

La Regione Friuli Venezia Giulia è attualmente coperta da 2 radar meteorologici situati a:

- Téolo (Veneto - Colli Euganei);

- Fossalòn di Grado.

1.4.3 Valutazione dei volumi d’afflussoUna volta ottenute le misure puntuali di pioggia il passo successivo è quello di passare ad una stima delvolume complessivo di pioggia caduto su una determinata area. La definizione corretta del problema dellavalutazione del volume d’afflusso V richiede a sua volta la definizione di:

a) area topografica A;

b) intervallo di tempo ∆t (per esempio: 1 ora, 6 ore, 1 giorno, 1 anno);

Siano Pi le posizioni a cui sono associate le altezze di pioggia hi cadute nell’intervallo di tempo ∆t:

Pi −→ hi (in ∆t)

Metodo delle isoiete

Date le altezze di pioggia nelle posizioni Pi il metodo consiste nel tracciare le curve di uguale altezza dipioggia (isoiete). Generalmente di suppone un andamento lineare dell’altezza di pioggia tra due posizioni.Le isoiete possono venir tracciate con diverse equidistanze: se si adotta un’equidistanza di 100mm allora ilpassaggio da una isoieta all’altra comporta un salto di 100mm nell’altezza di pioggia.

Una volta definita l’area A sulla quale si vuole effettuare la valutazione del volume d’afflusso, si fissanodelle aree di competenza Ai tali che: ∑

A′i = AV∆t =∑

A′iHi

Ad esempio si può assegnare l’altezza H1 = 1000 mm a tutta l’area A1 compresa tra le isoiete 950 e 1050mm.

I vantaggi principali di tale metodo sono:

X le isoiete seguono un andamento plausibile delle precipitazioni;

X le isoiete possono tener conto di come varia la topografia dell’area;

Andrea Lisjak 1.4. Misure di precipitazione 13

(a) (b)

Figura 1.11. Metodo delle isoiete.

X è possibile sfruttare conoscenze acquisite in precedenza per modificare in maniera opportuna l’anda-mento delle isoiete.

Gli svantaggi principali di tale metodo sono:

- il procedimento di tracciamento può essere molto soggettivo;

- se le altezze hi nelle posizioni Pi variano o se varia il tempo ∆t su cui vengono valutate allora bisognaricalcolare nuovamente le aree A′i.

Metodo dei poligoni di Thiessen o dei topoieti

Con questo metodo ad ogni punto dell’area A viene assegnata un’altezza di pioggia pari a quella misuratanella posizione Pi più vicina. Di conseguenza per individuare la aree A′i, associate alle altezze hi, bisognaconsiderare i segmenti congiungenti posizioni Pi vicine e tracciare il luogo dei punti equidistanti da entrambele posizioni considerate, ossia gli assi dei segmenti. Il volume d’afflusso sull’area A è pari a:

V∆t =∑

A′ihi

L’altezza media di pioggia caduta sall’area A è pari a:

h =V

A=∑ A′i

A· hi

I vantaggi principali di tale metodo sono:

X la suddivisione delle aree dipende esclusivamente dalla posizione dei pluviometri quindi, una voltadeterminate, al variare dei valori hi non serve che vengano ricalcolate.

Gli svantaggi principali del metodo sono:

- è un procedimento meno flessibile del precedente in quanto non è possibile tener conto di altre nozioniacquisite precedentemente.

Osservazione

Per entrambi i metodi considerati l’afflusso di precipitazione in una determinata area può dipendere damisure effettuate al di fuori dell’area in esame.


Figura 1.12. Metodo di Thiessen.

1.5 Misure di portataSi consideri una sezione trasversale al moto medio di un canale, si vuole sapere qual’è la massa che passain tale sezione nell’unità di tempo. Dal momento che l’acqua viene considerata incompressibile (ρ = cost),parlare di portata volumetrica equivale a parlare di portata di massa:

Q =∫A

~v · ~ndA (1.4)

Il calcolo della portata si traduce praticamente in un’integrazione numerica, in cui si valutano le componentiortogonali vni della velocità rispetto alla sezione considerata per ogni area ∆Ai in cui viene suddivisa l’areaA della sezione:

Q ≈∑i

vni∆Ai (1.5)

Ciò significa che per ogni ∆Ai si deve eseguire almeno una misura di velocità.

1.5.1 Mulinelli idrometriciNei mulinelli idrometrici ad elica l’elica viene messa in moto dal filetto fluido che l’attraversa. Ad ungiro completo di elica corrisponde una determinata distanza percorsa dall’acqua detta passo idraulico3,misurando quindi il numero di giri n nel tempo ∆t e noto il passo idraulico p dell’elica si ricava la velocitàdel filetto fluido:

v ≈ n · p∆t

(1.6)

Il mulinello ad elica valuta di per sé la componente normale della velocità purché il suo asse sia perpendicolarealla sezione da valutare.

L’operazione di misura delle velocità col mulinello idrometrico può essere effettuata:

• al guado: utilizzando un’asta idrometrica per sostenere lo strumento e misurare la profondità dell’ac-qua;

3Si noti che il passo idraulico non corrisponde esattamente al passo d’avvitamento dell’elica, ma esso viene valutato nellecanalette idrauliche, dove è possibile regolare la velocità dell’acqua e misurare il numero di giri dell’elica.

Andrea Lisjak 1.5. Misure di portata 15

• in sospensione con un battello: per tener conto dell’effetto di trascinamento dell’acqua nella valutazionedella profondità si è soliti utilizzare un’approssimazione di tipo triangolare.

La differenza fondamentale fra il mulinello idrometrico ad elica e quello a cucchiaie è che quest’ultimo misuradirettamente il modulo della velocità (la rotazione è indifferente alla direzione della velocità). Poi medianteun giroscopio si determina la direzione ed il verso della pinna e si risale alla componente normale di velocità.

Durata della misura

La durata dell’intervallo di misura ∆t deve essere sufficientemente lunga (30”-1’) per due motivi principali:

1. utilizzando i mulinelli idrometrici si misurano sempre n giri interi, quindi si possono perdere i mezzigiri in partenza ed i mezzi giri alla fine:

v ≈ n · p∆t± 1

2p

∆t

È bene che n sia sufficientemente elevato.

2. a causa della turbolenza si hanno fluttuazioni del campo di velocità nel tempo (variabili in funzionedella classe di turbolenza), quindi ∆t deve essere tale da mediare tali effetti.

Numero di punti misurati

Maggiore è il numero di punti su cui si valuta la velocità e migliore è la stima della portata. Un giustocompromesso tra stima corretta della portata e tempo globale di misura è dato da 30 punti.

Dal momento che la distribuzione delle velocità lungo la verticale in un canale rettangolare è di tipologaritmico, la misura effettuata ad una profondità pari a 0, 6y dovrebbe corrispondere alla misura dellavelocità media lungo la verticale. In questo modo si può effettuare una stima con un’unica misura su ogniverticale considerata. Leggermente più precisa è la stima mediante 3 misure:

v = (v0,2 + 2v0,6 + v0,8)/4 (1.7)

Figura 1.13. Profilo di velocità in un canale rettangolare.

1.5.2 Profilatori di velocità ad ultrasuoni

Tali strumenti emettono in maniera diagonale rispetto alla direzione del flusso un’onda sonora. Se l’acquafosse perfettamente limpida ci sarebbe un solo eco dal fondo, in realtà la presenza di impurità fa sì che gliechi di ritorno siano più di uno.L’intervallo di tempo ∆t trascorso tra l’emissione del suono e il ritorno fornisce la distanza dell’ostacolo cheha provocato l’eco.


Figura 1.14. Profilatore di velocità ad ultrasuoni.

La mutazione di frequenza tra il segnale emesso e quello ricevuto dà invece, grazie all’effetto Doppler,indicazioni sulla velocità del flusso.

Con questi strumenti è possibile effettuare moltissime misure tuttavia si possono avere dei problemi nellataratura dello strumento.

1.5.3 Misure di livello: scala delle portateLa registrazione in continuo delle portate con uno dei sistemi visti non è praticamente possibile. Ciò cheinvece si può misurare con continuità è il livello Z, da cui si può mediante una relazione univoca del tipoQ = Q(Z), detta scala delle portate dell’alveo, risalire alla portata.

Figura 1.15. Scala delle portate.

Dal momento che il fondo del canale può subire delle variazioni Z viene sempre riferito ad una scala dettascala idrometrica, la quale a sua volta è riferita in maniera assoluta al livello medio del mare (zero assoluto).Le scale idrometriche vengono materializzate mediante stadie fissate alle spalle dei ponti o ad altre strutturerigide e fisse.

Durante l’onda di piena Q(Z) non è più biunivoca ma forma un ciclo d’isteresi detto cappio di piena.Proprio durante le onde di piena tuttavia le misure di portate non sono possibili, essenzialmente per duemotivi:

1. le velocità sono elevate ed il fiume trascina del materiale asportato dalle sponde;

2. essendo in un transitorio bisognerebbe essere veloci nella misura.

In generale comunque i cappi di piena sono piuttosto schiacciati per cui la consuetudine è quella diapprossimarne l’andamento con la curva di moto permanente.

Idrometri

I tipi di idrometri più diffusi sono:


• stadie;

• a galleggiante;

• a sensore di pressione;

• a gorgoglio d’aria;

• ad ultrasuoni4;

• con polvere di sughero (misure di massima altezza).

Figura 1.16. Idrometro a gorgoglio d’aria.

Determinazione della scala delle portate

Supponiamo di installare uno strumento nuovo e di effettuare una serie di misure di livello in periodi dimagra. All’aumentare del livello Z aumenta sia la sezione A che la velocità media V . Consideriamo infattiun canale regolare in moto uniforme, sussiste la ben nota relazione di Chézy :

V = C√gRif (1.8)

- C: coefficiente d’attrito;

- R: raggio idraulico (Ω/p con p perimetro bagnato);

- if : pendenza del fondo.

Si noti come all’aumentare di Z il raggio idraulico R aumenti facendo aumentare anche V .Ne consegue che all’aumentare del livello Z la portata aumenta più che linearmente, sussiste infatti una

relazione di potenza del tipo:Q = k(Z − Z0)α (1.9)

dove Z0 è il livello idrometrico per cui Q = 0.

4Necessita di correzioni in base alla temperatura dell’aria dalla quale dipende la densità dell’aria, dalla quale a sua voltadipende la velocità delle onde sonore. Risente molto del problema delle vibrazioni dovute al vento.


Figura 1.17. Perimetro bagnato.

La stima di k, Z0 ed α avviene attraverso la relazione:

logQ = log k + α log(Z − Z0) (1.10)

Z0 viene trovato per tentativi finché i punti sperimentali si dispongono su una retta.

Figura 1.18. Stima di Z0, k e α.

Il passo successivo è quello di valutare la scala delle portate per portate grandi, per fare ciò è necessarioricorrere ad un’operazione di estrapolazione. Essa può avvenire secondo tre livelli di precisione (ordinedecrescente):

1. Si utilizzano le equazioni del moto permanente gradualmente variato tarandole sulle sezioni disponibilied applicandole poi anche alle altre.

2. Si considera la relazione:Q = A · V

con V velocità media, e si istituisce una scala delle velocità medie.

Supponendo il livello dell’acqua orizzontale e conoscendo la sezione trasversale del canale si valuta Ain funzione di Z, mentre V viene estrapolata sulla base delle misure di velocità effettuate per piccolivalori di Z. Rispetto all’estrapolazione diretta di Q (metodo 3) l’estrapolazione di V è più sicura inquanto da un certo Z in poi V varia di poco.

3. Si estrapola, graficamente o analiticamente, la legge ricavata per le parti basse anche alle parti alte.

Instabilità della scala delle portate

Se durante le portate di piena il fondo cambia assetto (mutamento delle barre di fondo) la scala delle portatenon cambia di molto.


(a) Scala delle velocità. (b) Area della sezione trasversale.

Figura 1.19. Metodo 2 per la determinazione della scala delle portate.

Se invece durante le portate di magra il fondo cambia assetto (si possono avere anche migrazioni delcanale all’interno dell’alveo) la scala delle portate subisce forti variazioni sia nella sezione considerata siaper tutto un tronco di alveo a monte e a valle. Le portate di magra non sono importanti per la valutazione

Figura 1.20. Instabilità della scala delle portate.

della sicurezza delle zone rivierasche bensì per la valutazione della risorsa: si può affermare infatti che ilvolume d’acqua che passa ogni anno per la sezione di misura è formato per metà da piene e per metà damagre ed esaurimenti.

Figura 1.21. Alveo di magra.


1.5.4 Sezioni stabiliLe misure di portata andrebbero fatte in corrispondenza delle cosiddette sezioni stabili, ossia quelle sezioniche, grazie al fondo sufficientemente rigido, non variano al passaggio dell’onda di piena:

• possono essere stabili per loro natura: emersione di roccia (soglie geologiche);

• possono essere rese stabili da opere di stabilizzazione trasversale:

– traverse di presa;– briglie o soglie di stabilizzazione: opere trasversali (meno di 15m); realizzate, per esempio, a

valle delle pile dei ponti, servono ad evitare i fenomeni di sottoerosione delle fondazioni.

Figura 1.22. Sezione stabile.

Stramazzi

Nel caso in cui l’efflusso sia libero, ossia non condizionato dai livelli d’acqua a valle, allora la scala delleportate Q = Q(Z) è nota a priori. Si può infatti assimilare questo tipo di struttura a degli stramazzi : luciattraverso cui passa un flusso d’acqua che non sia sotto battente.

(a) Sezione longitudinale. (b) Sezione trasversale.

Figura 1.23. Stramazzo in parete grossa.

Stramazzo rettangolare in parete grossa:

Q = 0, 385Bh√

2gh (1.11)


Stramazzo rettangolare in parete sottile:

Q = CQBh√

2gh (1.12)

con CQ funzione delle condizioni di flusso e dalla spessore dello stramazzo.

Figura 1.24. Stramazzo in parete sottile.

Figura 1.25. Sezione trapezia di uno stramazzo.

Stramazzo trapezio in parete sottile:

Q = CQ(B0h+mh2)√

2gh (1.13)

Stramazzo triangolare in parete sottile:

Q = CQmh2√

2gh (1.14)

In generale sussiste un relazione del tipo:Q = khα (1.15)

con:

- α = 1, 5 per sezioni rettangolari;

- α = 2, 5 per sezioni triangolari;

Carico piezometrico e carico cinetico

Per essere esatti nelle espressioni viste il carico piezometrico h dovrebbe essere accompagnato da quellocinetico v2/2g, tuttavia se il petto p dello stramazzo è almeno pari ad h allora il termine cinetico è trascurabilerispetto a quello piezometrico.


Figura 1.26. Relazione generale per gli stramazzi.

Bisogna tener conto del carico cinetico nei casi in cui, a causa dell’alluvionamento dell’alveo in seguitoalla diminuzione di velocità a monte della traversa, il petto dello stramazzo diminuisce di molto.

Uno stramazzo funziona correttamente con tiranti minimi di 5 cm, sotto tale valore si hanno problemidovuti a fenomeni di adesione.

È importante inoltre che i filetti fluidi siano rettilinei e che non ci siano quindi contrazioni laterali.


1.5.5 Misura mediante tracciantiTale tipo di misura consiste nell’immettere, a portata costante, una sostanza diluita nel corso d’acqua,generalmente cloruro di sodio o coloranti alimentari. La portata è pari a:

Q = qCi − CdCd − Cb

(1.16)

- Ci: concentrazione iniettata;

- Cd: concentrazione diluita (a valle);

- Cb: concentrazione di base (a monte);

- q: portata immessa.

Per poter effettuare una misura di questo tipo è necessario attendere di essere a regime con l’immissione ela diluizione (circa 30 minuti). La misura risulta precisa nei casi in cui:

- il canale non è così piccolo da essere misurato “a secchi”;

- il canale non è così grande da rendere necessario l’utilizzo degli idrometri a mulinello.

Esiste anche una versione di tale misurazione con diluizione ad impulso istantaneo.


1.6 Evaporazione e misure di evaporazione

Consideriamo uno specchio d’acqua oppure un terreno saturo d’acqua.

Figura 1.27. Evaporazione.

Se l’atmosfera al di sopra di tale superficie è ferma allora il tasso di evaporazione E (mm/h) è legato allapresenza di umidità nell’atmosfera. Il fenomeno dell’evaporazione è un classico fenomeno diffusivo e quindisegue la prima legge di Fick :

E = −K dedz

(1.17)

- e: tensione di vapore;

- de/ dz: gradiente verticale della tensione di vapore.

All’interno di una miscela di gas ogni componente ha una propria pressione che contribuisce a formare lapressione della miscela: la tensione di vapore e è la componente di pressione che riguarda il vapore acqueo.Sussiste infatti la legge di Dalton:

p =∑i

pi (1.18)

In base alla legge dei gas perfetti si ha che:

e = ρvRvT = 1, 61ρvRT =⇒ ρv = 0, 622e

RT(1.19)

ρv corrisponde alla densità del vapore acqueo ed è detta umidità assoluta [M/L3]. L’aria umida, aventeuna pressione p, è una miscela composta da vapor acqueo, avente pressione e e da aria secca (miscela di varigas), avente pressione p− e. Ne consegue che la densità della miscela è:

ρm =p− eRT

+ 0, 622e

RT=

p

RT

(1− 0, 378

e

p

)(1.20)

Se e = 0 allora ρaria secca = p/RT . Si noti come la densità dell’aria umida sia inferiore a quella dell’ariasecca.

Si definisce tensione di vapore saturo es la massima umidità assoluta dell’aria a temperatura T . Incorrispondenza di es si ha la densità dell’aria umida minima. es dipende da T attraverso l’equazione diClausius-Clapeyron. In via approssimata si può assumere:

es = 6, 112 exp(

17, 67TT + 243, 5

)(1.21)

Si definisce umidità relativa (%):r =

e

es(1.22)

L’umidità relativa può essere misurata sfruttando la modifica di certe prorietà di taluni materiali al suovariare (esempio: igrometri a capello), oppure mediante lo psicrometro.

Andrea Lisjak 1.6. Evaporazione e misure di evaporazione 25

1.6.1 Psicrometro

Lo psicrometro è costituito da due termometri, uno a bulbo secco (TA) ed uno a bulbo bagnato soggetto aventilazione (TB). Si osserva che TA > TB in quanto la ventilazione produce un’evaporazione dal batuffolodi ovatta con conseguente estrazione di calore. La differenza di temperatura ∆T = TA − TB dipende daquanta acqua riesce ad evaporare e dalla differenza di umidità ∆E rispetto alla condizione di saturazionees (se r = 100% allora TA = TB).

Scrivendo l’equilibrio termico:

(TA − TB)(ρcp + ρvcpv) = (ρs − ρv)Le (1.23)

- cp: calore specifico dell’aria secca a pressione costante;

- Le: calore latente di evaporazione

Supponendo che sia evaporata tutta la ρs − ρv allora:

r =e

es= 1− cp

0, 622p

es(TA − TB)

(1− 0, 622cpv

cp

e

T

)(1.24)

Definendo una temperatura virtuale detta temperatura di rugiada (C) :

T ∗ =TA

1− 0, 378e/p(1.25)

Si ottiene:es = 6, 11 + 0, 61T ∗ (1.26)

e:r =

e

es= 1− 0, 00066

p

es(TA − TB)(1 + 1, 146TB) (1.27)

con p in mmHg e T in C.Si ha in questo modo un sistema lineare di 3 equazioni (1.25, 1.26, 1.27) in 3 incognite (e, es e T ∗).

1.6.2 Determinazione del tasso di evaporazione

Il tasso di evaporazione E può essere valutato seguendo 2 principi fondamentali:

1. fenomeno diffusivo + aria in movimento;

2. approccio energetico.

Approccio energetico

Isolando un sistema e facendo un bilancio energetico si ottiene la quantità di energia che è possibile spendereper l’evaporazione:

1. energia radiante (infrarossa);

2. scambi termini sotterranei;

3. riflessioni di energia da superfici;

4. radiazioni emesse;

5. energia condotta dall’atmosfera (calore sensibile);

6. evaporazione (calore latente).


Figura 1.28. Bilancio energetico.

Superfici d’acqua a pelo libero

Vale la seguente formula di Rohuwer, adatta soprattutto per i laghi :

E = 0, 771(1, 465− 0, 0005p)(0, 44 + w)es − e1, 33

(1.28)

- p: pressione atmosferica (hPa);

- w: velocità media giornaliera del vento (km/h);

- e: tensione di vapore (hPa);

- es: tensione di vapore saturo (hPa).

Vale la seguente formula di Coutagne:

E =es(1− r)

1, 33(0, 47 + 0, 035T )(1.29)

- E: tasso di evaporazione (mm/giorno) mediata nell’arco di un mese;

- r: umidità relativa media mensile;

- T : temperatura media mensile (C).

Superfici di terreno (evapotraspirazione)

Nella valutazione del tasso di evaporazione da superfici di terreno bisogna tener in conto l’effetto dellatraspirazione dei vegetali, i quali, per ottenere i nutrimenti necessari, prelevano l’acqua dal terreno con leradici e la trasportano fino alle foglie, dove evapora.

Con riferimento alla figura 1.29 analizziamo l’andamento del carico piezometrico durante il percorso chel’acqua compie. Inizialmente esso scende sotto il livello delle radici, si ha poi un aumento del carico grazieal risucchio osmotico operato dalle radici: l’acqua tende a muoversi dalla zona a minor concentrazione versoquella a maggior concentrazione attraverso una membrana permeabile. Lungo il fusto la perdita di cariconon è molto elevata in quanto le fibre vegetali offrono una resistenza minima. Giunti alle foglie, grazie aipori micrometrici di cui esse sono dotate, interviene il fenomeno della capillarità, il quale fornisce all’acquauna certa differenza di potenziale. L’organismo vegetale è in grado di regolare la portata a livello delle foglievariando il diametro dei tubicini di cellulosa che trasportano l’acqua. La traspirazione è quindi legata a trefattori:

1. il tipo di specie vegetale;

2. la stagione;

Andrea Lisjak 1.6. Evaporazione e misure di evaporazione 27

Figura 1.29. Traspirazione: andamento del carico piezometrico.

3. la disponibilità d’acqua nel terreno.

Si definisce evapotraspirazione ET la somma dell’evaporazione libera dal suolo e della traspirazione vegetale.Si definisce evapotraspirazione potenziale ETP l’evaporazione che si avrebbe se il terreno fosse sempre

in grado di fornire la completa disponibilità d’acqua alle specie vegetali.Vale la seguente formula di Penman, necessitante di misure meteoclimatiche molto precise:

ETP =1

ρeLe

(∆γ + 1

) [∆γW + LeB(e∗s − e∗)

](1.30)

dove:

- ρe: densità dell’acqua evaporata;

- Le: calore latente di evaporazione;

- ∆ = des/ dT (tabellato);

- γ = cBp con cB costante di Bowen (≈ 6, 1× 10−4 C−1);

- W =∑

(Qi − Qu)/A: flusso netto di calore con cielo limpido (valore astronomico dipendente dallastagione e dalla latitudine, tabellato);

- B: coefficiente di trasferimento turbolento (in mm/giorno, tabellato).

Vale la seguente formula di Penman giornaliera:

ETP =∆ ·H − 0, 27E′

∆− 0, 27[mm/giorno] (1.31)

dove:

- ∆ = des/ dT (tabellato);

- H = W (1− ϕ)(0, 18 + 0, 55S)−B[0, 56− 0, 092(esr)0,5](0, 10 + 0, 90S) (in mm/giorno);

- r = e/es: umidità relativa;

- ϕ: rapporto tra superfici riflettenti ed opache;

- S: frazione di soleggiamento (tempo in cui il sole è visibile rispetto alla durata complessiva del giorno);


- E′ = 0, 35es(1− r)(1 + 0, 0061w) (in mm/giorno);

- w: distanza sfilata dal vento in un giorno all’altezza5 di 2m (espressa in km);

- pressioni in mmHg (1 hPa=1mmHg/1,33).

Vale la seguente formula di Thornthwaite, che fornisce la ETP media mensile:

ETP = 16(

10Tmϑ

)ak [mm/mese] (1.32)

dove:

- Tm: temperatura media del mese in cui si fa la stima di ETP (C).

- ϑ: coefficiente numerico, detto indice termico annuale, che rappresenta la temperatura media nel meseconsiderato e negli undici precedenti:

ϑ =m∑

i=m−11

(Ti5

)1,514

Ti > 0 (1.33)

- a = 6, 75× 10−7ϑ3 − 7, 71× 10−5ϑ2 + 1, 79× 10−2ϑ+ 0, 4924

- k: coefficiente che dipende dal mese e dalla latitudine (tabellato); k ≈ 1 nel caso di latitudini nulle(equatore) e mese di 30 giorni, ad una latitudine di 45 k vale 0,8 a gennaio, 1,31 a luglio e 0,75 adicembre.

1.6.3 Strumenti di misuraEvaporimetri

Sono serbatoi contenenti acqua a livello costante che misurano la quantità d’acqua che è necessario immettereper mantenere tale livello costante. Generalmente vengono disposti su galleggianti in mezzo ai laghi.

Lisimetri

Della porzione di terreno considerata si misurano gli scambi idrici:

• celle di pressione per il peso;

• piezometri all’esterno e regolatori di flusso per far variare il contenuto d’acqua all’interno del lisimetro;

• pluviometri;

• flussi sotterranei.

L’evaporazione viene ricavata per differenza. Sono strumenti tipici di stazioni di agricoltura sperimentale.

5Se le misure sono state effettuate ad una quota z diversa da 2m si può ipotizzare un profilo logaritmico di vento:

w = wz ·log 2

log z

Andrea Lisjak 1.7. Infiltrazione e misure di infiltrazione 29

Figura 1.30. Lisimetro.

1.7 Infiltrazione e misure di infiltrazione

L’infiltrazione viene definita mediante il il tasso di infiltrazione f : volume d’acqua che si infiltra attraversol’unità di superficie del terreno nell’unità di tempo (mm/ora).

Figura 1.31. Infiltrazione.

1.7.1 Infiltrometro

È costituito da un cilindro metallico infisso nel terreno in cui viene versata dell’acqua con un battentecostante, si misura la quantità d’acqua che è necessario immettere per mantenere il livello costante.

Per evitare che la misura venga falsata da moti di filtrazione non verticali si adottano gli infiltrometri adoppia camicia.

Figura 1.32. Infiltrometro a doppia camicia.


1.7.2 Legge di Horton

La legge di Horton afferma che il tasso di infiltrazione segue una legge decrescente di tipo esponenziale:

f = f∞ + (f0 − f∞)e−t/k (1.34)

Si noti come:de−t/k

dt

∣∣∣∣t=0

= −1ke−t/k

∣∣∣∣t=0

= −1k

(1.35)

Figura 1.33. Legge di Horton.

Infiltrazione e ruscellamento

Si definisce capacità di campo il massimo volume d’acqua assorbibile dal suolo. Ogni suolo è caratterizzatodal punto di vista della legge di infiltrazione di Horton dai parametri f∞, f0 e k.

Consideriamo un suolo su cui piove con un’intensità di pioggia j. Si possono presentare 2 casi:

1. j < f : tutta la j s’infiltra ossia fe = j < f ;

2. j > f : una parte di j s’infiltra ossia fe = f < j mentre una parte r = j−f > 0 o rimane in superficie,se questa è piana, o contribuisce al ruscellamento superficiale.

Si noti come la legge di Horton venga applicata direttamente a bacini interi, anche se questa nasce comelegge puntuale; in questo caso si pone il problema del significato dei parametri t∞, t0 e k per l’intero bacino.

1.7.3 Valutazione del ruscellamento superficiale

Nella valutazione del ruscellamento alla scala di un bacino con f s’intendono non solamente le acque cheeffettivamente s’infiltrano ma tutte quelle che non ruscellano, ossia anche quelle che evaporano (durante edopo la pioggia) o che ristagnano.

Schema di Horton

Analizziamo una sequenza di piogge, come riportato in figura 1.34. Se si considerano le altezze medie dipioggia cadute in intervalli di tempo ∆t costanti allora si può analizzare la sequenza in termini di intensitàmedia semplicemente dividendo le altezze per ∆t.

Per valutare il ruscellamento superficiale basta confrontare all’interno di ogni periodo l’intensità dipioggia con l’infiltrazione. Si possono presentare 2 casi principali.

Andrea Lisjak 1.7. Infiltrazione e misure di infiltrazione 31

1. Per effetto di precipitazioni precedenti f = cost. L’altezza d’acqua che s’infiltra in ∆t è pari a:

F1 = f ·∆t

2. Il tasso d’infiltrazione è decrescente mediante legge di Horton.

Si noti come per ogni ∆t solitamente si prende il valore centrale di f e lo si considera costante su tuttol’intervallo di tempo.

(a) Tasso di infiltrazione costante. (b) Tasso di infiltrazione decrescente.

Figura 1.34. Schema di Horton.

Schema ad area contribuente

Si consideri un bacino idrografico su cui comincia a piovere con una certa intensità. Ovviamente sia l’intensitàdi pioggia, sia il tasso di infiltrazione, sia l’intensità di ruscellamento sono funzione sia dello spazio che deltempo: j = j(t, x), f = f(t, x), r = r(t, x). Se si prescinde dalla dipendenza dello spazio e si consideranodei valori medi su tutto il bacino si trascura il fatto che:

- a fondo valle: la pendenza è piccola, l’acqua ristagna, il terreno è umido e si arriva a f∞ abbastanzavelocemente;

- nelle zone di spartiacque: la pendenza è elevata e si arriva a f∞ molto lentamente.

Per tener conto di questo fatto si può pensare che l’area Ab del bacino sia formata da due sottoaree:

• area assorbente A′: f = f0 →∞ ossia tutta l’acqua che piove infiltra;

• area contribuente Ac = Ab −A′: f = f0 = 0 ossia tutta l’acqua che piove ruscella.

Uno schema di tale tipo, alternativo a quello di Horton, è detto schema ad area contribuente.Si definisce coefficiente d’afflusso (alla rete idrografica):

ϕ =AcAb

=Ab −A′

Ab(1.36)

I valori di ϕ si trovano tabellati in funzione del tipo di bacino (parchi: ϕ = 0, 1 ÷ 0, 2, centri commerciali:ϕ = 0, 7÷ 0, 9).La portata di pioggia vale:

Qp = j ·Ab (1.37)

La portata di infiltrazione vale:Qinf = j ·A′ (1.38)


(a) Suddivisione del bacino. (b) Diagramma di ruscellamento ed infiltrazione.

Figura 1.35. Schema ad area contribuente.

La portata di ruscellamento vale:Qr = j ·Ac (1.39)

L’intensità di ruscellamento media sul bacino vale:

r =QrAb

= jAcAb

= ϕ · j (1.40)

Il tasso effettivo di infiltrazione vale:

fe = j − r = j · (1− ϕ) (1.41)

Le differenze principali tra questo modello e quello di Horton sono:

- nello schema ad area contribuente l’intensità di pioggia può essere piccola a piacere ma c’è sempre unquantità di ruscellamento;

- la legge di Horton è variabile nel tempo mentre il coefficiente di deflusso è inteso come una costante.

La scelta di quale schema utilizzare dipende dal tipo di bacino:

• bacini con grosse diversità di copertura del terreno (es. fognature urbane) sono ben rappresentatidallo schema ad area contribuente;

• bacini agricoli uniformi dal punto di vista della copertura vegetale sono ben rappresentati dallo schemadi Horton.

Andrea Lisjak 1.8. Risposta idrologica 33

1.8 Risposta idrologicaUno dei problemi centrali dell’idrologia è la determinazione dei deflussi causati in una data sezione di uncorso d’acqua dagli afflussi meteorici al bacino idrografico corrispondente.

L’analisi della relazione esistente tra piogge e portate, ossia la cosiddetta trasformazione afflussi-deflussio risposta idrologica, è di fondamentale importanza in quanto le misure di deflusso presentano difficoltà ecosti di molto superiori rispetto alle misure di precipitazione.

Figura 1.36. Risposta idrologica.

Le relazioni viste in precedenza per la valutazione dell’intensità di ruscellamento, nel caso dei due schemi,rappresentano cosa succede in un punto rappresentativo di tutto il bacino. Da qui a passare alla valutazionedella portata, il ruscellamento deve essere prima raccolto e trasportato sino alla sezione S0 dove si vuolevalutare Q. Esse permettono quindi solamente di dire che il volume d’acqua affluito alla rete è pari alvolume d’acqua defluito dalla sezione S0 di chiusura del bacino:

Ab

∫ d

0

r(t) dt =∫ ∞

0

Q(t) dt (1.42)

Dal momento che le portate nei corsi d’acqua continuano per un certo tempo dopo che la precipitazione ècessata significa che la risposta idrologica deve venir rappresentata mediante leggi:

- esaurienti nell’interpretare il fenomeno;

- semplici.

Questa trasformazione viene analizzata in termini di sistemi lineari. Prima di poter effettuare tale operazionebisogna semplificare l’idrogramma in uscita attraverso la cosiddetta separazione dell’idrogramma.

1.8.1 Separazione dell’idrogrammaSi vuole effettuare una separazione dell’idrogramma in base alla diversa provenienza delle acque che formanola portata. L’idrogramma è costituito da:

- deflusso di base (Qbase): legato all’esaurimento delle sorgenti;

- ramo di risalita;

- colmo di piena;

- ramo di discesa: legato allo svuotamento dei canali;

- ramo di esaurimento.

Per poter effettuare la separazione dell’idrogramma tra:

X risposta rapida, legata alla portata di ruscellamento (QR);

X risposta ritardata o differita, legata all’esaurimento delle falde attraverso la portata di base (QB);

è necessario individuare:


Figura 1.37. Separazione dell’idrogramma.

→ punto A: facilmente individuabile in quanto l’idrogramma in questo punto è caratterizzato da un nettocambiamento di pendenza;

→ punto B: da questo punto in poi le portate non sono più legate al ruscellamento superficiale ma soloal deflusso profondo;

→ la linea congiungente A con B: si ipotizza, in maniera del tutto convenzionale, essere una retta.

Regime di esaurimento delle sorgenti

Dall’analisi delle sorgenti si è potuto osservare che dopo i periodi piovosi la portata decresce in manieraesponenziale, le sorgenti hanno quindi un regime di esaurimento esprimibile mediante la legge:

Qs = Qs(t) = Q0e−t/k (1.43)

Ammettendo che il ramo di esaurimento sia dominato solamente dal regime di esaurimento delle sorgenti, èpossibile individuare il punto B e quindi il tempo tB corrispondente effettuando la trasformata logaritmicadi Q(t) (e basta) e fittando quindi i dati con la retta:

lnQs(t) = lnQ0 − t/k (1.44)

1.8.2 Separazione dello ietogramma

Si definisce ietogramma l’andamento delle piogge nel tempo. La pioggia può essere scomposta in 3 compo-nenti:

1. pioggia efficace: contribuisce alla portata di risposta rapida QR (deflusso rapido);

2. alimentazione delle falde: contribuisce alla portata di base QB ;

3. perdite: contribuiscono all’evapotraspirazione ET .

D’ora in poi ci si occuperà solamente della trasformazione della pioggia efficace (j = je), ottenuta o mediantel’applicazione dello schema di Horton o di quello ad area contribuente, in deflusso rapido (Q(t) = QR(t)).


Figura 1.38. Regime di esaurimento delle sorgenti.

1.8.3 Funzione di risposta del bacino

Ipotesi di modello lineare

Tutto ciò che succede nel bacino e che fa sì che, a partire da una pioggia efficace, si abbia un certo deflussorapido viene inglobato in quella che prende il nome di funzione di risposta del bacino.

Dal momento che si suppone il modello lineare essa gode di 3 proprietà:

1. conservazione della massa:

Ab

∫ d

0

je(t) dt =∫ ∞

0

QR(t) dt (1.45)

2. proporzionalità:j1(t) −→ Q1(t) allora m · j1(t) −→ m ·Q1(t) (1.46)

3. additività:j1(t) −→ Q1(t)j2(t) −→ Q2(t)

=⇒ j1(t) + j2(t) −→ Q1(t) +Q2(t) (1.47)

Idrogramma unitario istantaneo - IUH

Si definisce impulso unitario o impulso di Dirac un evento piovoso avente le seguenti caratteristiche: j →∞dt→ 0h = 1

(1.48)

La funzione di risposta viene solitamente data come risposta all’impulso unitario, e successivamente, apartire da questa e sfruttando la convoluzione, è possibile ricavare la funzione di risposta (idrogramma) perun qualsiasi segnale di pioggia in entrata. Una tale funzione di risposta u(t) è detta idrogramma unitarioistantaneo (IUH - Instantaneous Unit Hydrograph).

Dal momento che l’equazione di continuità deve valere anche per l’idrogramma unitario istantaneo si ha:∫ ∞0

u(t) dt = 1 (1.49)


(a) Proporzionalità. (b) Addittività.

Figura 1.39. Proprietà dei sistemi lineari.

Figura 1.40. Idrogramma unitario istantaneo.

Ne consegue che u(t) ha le dimensioni di [T−1].

Dal momento che non si possono avere portate negative, l’idrogramma istantaneo unitario applicato aibacini idrografici deve essere tale che:

u(t) ≥ 0 ∀t (1.50)

Se si vuole ottenere la portata Q in m3/s allora bisogna far sì che il tasso di ruscellamento superficiale siaespresso in tale unità di misura, in particolare esprimendo l’area del bacino Ab in km2 e l’intensità di pioggia


efficace je in mm/h si deve effettuare la seguente trasformazione:

r(t) =1

3, 6Abje (1.51)

Convoluzione

Per ottenere la portata Q(t) ossia la funzione di risposta si deve procedere alla convoluzione dell’idro-gramma istantaneo unitario con il tasso di ruscellamento superficiale (il quale agisce come una specie dimoltiplicatore), ossia si deve risolvere il cosiddetto integrale di convoluzione6:

Q(t) = r(t) ∗ u(t) =∫ t

0

r(τ)u(t− τ) dτ (1.52)

dove:

- t: istante in cui si vuole valutare la Q(t);

- τ : istante in cui cade la pioggia;

- t − τ : la risposta alla pioggia che cade in τ parte dal valore 0 in corrispondenza di t = τ , ossia ètraslata di una quantità pari a τ .

Nota quindi u(t) e nota la pioggia r(t) si risolve questo integrale, generalmente per via numerica in quantor(t) non è analitica, e si ottiene la funzione di risposta del bacino.

Figura 1.41. Convoluzione.

6Tale affermazione potrebbe essere dimostrata sia sfruttando le proprietà dei sistemi lineari sia l’interpretazioneprobabilistica dello IUH.


Idrogramma unitario - UH

Nel caso in cui il segnale r(t) è costante su intervalli ∆t l’integrale di convoluzione si semplifica leggermente:

Q(K∆t) =∫ ∆t

0

r(τ)u(t− τ) dτ +∫ 2∆t

∆t

r(τ)u(t− τ) dτ + . . .+∫ K∆t

(K−1)∆t

r(τ)u(t− τ) dτ =

= r1

∫ ∆t

0

u(t− τ) dτ + . . .+ rk

∫ k∆t

(k−1)∆t

u(t− τ) dτ + . . .+ rK

∫ K∆t

(K−1)∆t

u(t− τ) dτ

Ponendo θ = t − τ si ha dθ = −dτ e gli estremi di integrazione diventano θinf = [K − (k − 1)]∆t eθsup = (K − k)∆t, quindi, considerando solamente il termine k-esimo, si ha:

rk

∫ (K−k+1)∆t

(K−k)∆t

u(θ) dθ = rk · wK−k+1 (1.53)

dove:

- rk: intensità di ruscellamento nel k-esimo ∆t;

- wK−k+1: “peso” K-k+1-esimo, i pesi wi (adimensionali) sono tali che:∑wi = 1 (1.54)

In questo modo l’integrale di convoluzione si riduce ad una ben più semplice sommatoria pesata di con-voluzione:

QK =K∑i=1

ri · wK−i+1 (1.55)

La sequenza dei pesi wi è detta idrogramma unitario (UH - Unit Hydrograph).

Figura 1.42. Determinazione dell’idrogramma unitario.

Dal punto di vista storico l’idrogramma unitario è stato introdotto negli anni ’30 mentre l’idrogrammaunitario istantaneo negli anni ’60 (Nash). La differenza fondamentale fra i due è che lo IUH è una caratter-istica universale del bacino idrografico mentre lo UH dipende anche dal passo ∆t adottato per il segnale iningresso.

Andrea Lisjak 1.9. Modelli di idrogramma 39

1.9 Modelli di idrogrammaPer il calcolo pratico della risposta idrologica di un bacino ad un evento piovoso si distinguono due fasi:

1. definizione dello IUH o dello UH del bacino: proprietà del bacino idrografico che può essere ottenutaintegralmente per via sperimentale oppure mediante modelli teorici basati su parametri sperimentali;

2. risoluzione dell’integrale di convoluzione o della sommatoria di convoluzione per una determinatapioggia (generalmente di intensità costante e durata limitata).

1.9.1 Metodo sperimentalePermette di ottenere l’idrogramma unitario UH di un bacino idrografico, noti che siano uno ietogramma edil relativo idrogramma sperimentale.

a) Si effettua la misurazione di un evento mediante misuratori di pioggia e di livello, si ottengono quindilo ietogramma e l’idrogramma.

b) Si effettua la separazione dell’idrogramma ottenendo QR(t) e quindi VR (volume di ruscellamento parial volume dovuto alla risposta rapida).

c) Si effettua la separazione dello ietogramma determinando r(t):

- 1 modo: applicando lo schema di Horton si cerca f (costante) tale che il volume d’afflusso siapari al volume di ruscellamento:

f : VA = VR

- 2 modo: applicando lo schema ad area contribuente si cerca ϕ tale:

ϕ : Vtot =∫ d

0

j dt =h ·Ab1000

=⇒ ϕ =VRVtot

(a) 1 modo. (b) 2 modo.

Figura 1.43. Separazione dello ietogramma.

d) Si effettua la cosiddetta deconvoluzione ossia si risolve (nel senso dei minimi quadrati) un sistemalineare sovradimensionato con incognite i pesi wk, ossia:

K∑k=1

ε2k = min εk = Qk − xk xk =

k∑i=1

ri · wk−i+1 (1.56)

dove:


- xk: portate calcolate;

- Qk: portate misurate.

1.9.2 Modello della corrivazione o cinematicoIn tale modello si osserva che esiste ed è unico il percorso che l’acqua percorre e che congiunge un punto Pqualsiasi del bacino alla sezione di chiusura S0. Tale percorso è caratterizzato da una velocità di percorrenzav(x) che non dipende né dall’intensità di pioggia né dallo stato di saturazione del bacino, essa è quindi unacostante nel tempo del percorso7.

Figura 1.44. Metodo cinematico.

Si definisce tempo di corrivazione del punto P il tempo che la goccia di pioggia che cade in tale puntoimpiega a raggiungere la sezione di chiusura S0, tempo che è costante in quanto la velocità è costante:

tc = tpercorrenza P→S0 =L

v(1.57)

Si definiscono linee isocorrive i luoghi dei punti che hanno il medesimo tempo di corrivazione.Per ricavare l’idrogramma unitario istantaneo IUH conviene far riferimento non alla funzione di impulso

unitario bensì alla sua funzione integrale, ossia alla funzione scalino unitario o di Heaviside.

7Si noti come la velocità di percorrenza possa variare all’interno del percorso in quanto la velocità sui versanti è di unordine di grandezza inferiore a quella nei canali.


Figura 1.45. Funzione di Heaviside.

Una volta ricavata la funzione di risposta s(t) a tale funzione calcolandone la derivata si può risalire allafunzione di risposta impulsiva:

u(t) =ds(t)

dt(1.58)

Figura 1.46. Risposta impulsiva e risposta alla funzione di Heaviside.

Si consideri quindi una pioggia, rapportata direttamente all’area del bacino, che possa essere rappresentatada una funzione di Heaviside.Al tempo t∗ l’acqua che è caduta fino a quel momento si è messa in moto verso la sezione S0, considerandola pioggia che è caduta al tempo t = 0 si possono distinguere 3 casi:

1. la pioggia caduta lungo l’isocorriva tc = t∗ esce dalla sezione al tempo t∗;

2. la pioggia caduta sopra l’isocorriva tc = t∗ al tempo t∗ deve ancora uscire dalla sezione S0;

3. la pioggia caduta sotto l’isocorriva tc = t∗ al tempo t∗ è già uscita dalla sezione S0.

Con riferimento alla figura 1.44:

• porzione A′: sta alimentando l’uscita dal bacino


Figura 1.47. Ricerca della risposta alla funzione di Heaviside.

• porzione A′′: è ancora in moto verso l’uscita.

Ne consegue che al generico tempo t la portata in uscita vale:

Q(t) = r · A′(t)Ab

(1.59)

Per ricavare la risposta del bacino è sufficiente tracciare quindi la funzione delle aree A′, adimensionalizzaterispetto all’area Ab, rispetto al tempo.

Figura 1.48. Funzione delle aree adimensionalizzate A′/Ab.

Tale funzione è crescente all’aumentare del tempo in quanto le aree A′ aumentano, finchè si arriva alpunto idraulicamente più distante dalla sezione S0. Si definisce tempo di corrivazione o di risposta del bacinoTc il massimo dei tempi di corrivazione del bacino:

Tc = maxAb

(tc) (1.60)

Modello della corrivazione lineare

Il metodo della corrivazione lineare si presta bene ad essere applicato alle reti di canali irrigui e alle fognature.Esso ipotizza che la funzione di risposta alla funzione di Heaviside sia di tipo lineare:

s(t) =

0 t < 0t/Tc 0 ≤ t ≤ Tc1 t > Tc

(1.61)


Ne consegue che l’idrogramma unitario istantaneo è definito da:

IUH = u(t) =

0 t < 01/Tc 0 ≤ t ≤ Tc0 t > Tc

(1.62)

Figura 1.49. Metodo della corrivazione lineare: semplificazione introdotta.

Consideriamo quindi il caso di una pioggia con intensità costante r(t) = r (in m3/s) di durata limitata d.

Figura 1.50. Funzione di impulso.

Per ricavare la funzione di risposta conviene pensare la funzione r come somma di due funzioni scalino unapositiva ed una negativa, calcolare le rispettive funzioni di risposta ed effettuare la somma algebrica delledue.Si possono presentare 3 casi:

1. d < Tc: la portata al colmo vale:

Qmax = r · dTc

= r · ε (1.63)

dove:

- ε: coefficiente di attenuazione della piena.

2. d > Tc: la portata al colmo vale:Qmax = r

3. d = Tc: la portata al colmo vale:Qmax = r (1.64)

L’onda di piena è di tipo triangolare (isoscele).


Figura 1.51. Metodo della corrivazione lineare: calcolo della funzione di risposta per d <Tc.

Il metodo delle corrivazione lineare è completamente definito dal parametro Tc. Il tempo di corrivazioneè tuttavia un concetto generale, che si applica a tutti i modelli di idrogramma e che equivale al temponecessario affinché abbia termine lo IUH.

Formula di Giandotti per la stima del tempo di corrivazione di un bacino

La formula di Giandotti, proposta dall’ing. Giandotti negli anni ’30 e facente parte del cosiddetto metododi Giandotti per la determinazione delle portate fluviali (oramai caduto in disuso), fornisce una stima deltempo di corrivazione di un bacino:

Tc =4√Ab + 1, 5L

0, 8√Hm − Z0

(1.65)

dove:

- Tc: tempo di corrivazione del bacino in ore;

- Ab: area del bacino in km2;

- L: lunghezza dell’asta principale in km;

- Hm: altitudine media del bacino in m:

Hm =1Ab

∫Ab

Z(x, y) dxdy

- Z0: quota della sezione di chiusura del bacino (zero idrometrico) in m.


Dividendo sopra e sotto per√L si ottiene:

Tc =4√Ab/L+ 1, 5

√L

0, 8√

(Hm − Z0)/L(1.66)

si può quindi osservare che il tempo di corrivazione di un bacino è direttamente proporzionale alla dimensionedella larghezza ed alla dimensione longitudinale ed inversamente proporzionale alla pendenza.

Per determinare l’altitudine media di un bacino a partire dalla carta topografica che lo rappresenta:

1. si considera una curva di livello e si trova l’area del bacino avente altitudine maggiore;

2. si effettua questa operazione per varie curve di livello ottenendo la cosiddetta curva ipsografica delbacino;

3. si cerca il valore medio di tale curva ossia, con riferimento alla figura 1.52, Hm tale che V1 = V2.

Figura 1.52. Determinazione dell’altitudine media di un bacino idrografico mediante lacurva ipsografica.


1.9.3 Modello italiano o dell’invaso lineareUn invaso è un serbatoio da cui esce dell’acqua, essa può uscire da:

• uno stramazzo:Q = CQkh

√2gh ∝ h3/2

• una luce di fondo sotto battente:Q = CQω

√2gh ∝ h1/2

Figura 1.53. Stramazzo e luce di fondo sotto battente.

Se immaginiamo l’invaso come un serbatoio cilindrico di volume W allora:

Q = Q(W )

attraverso una relazione con h3/2

attraverso una relazione con h1/2

L’invaso lineare è una via di mezzo tra questi due invasi, ossia si ha:

Q = Q(W ) =W

kcon k = [T ] (1.67)

Con tale metodo si immagina il bacino come un immenso serbatoio lineare dove la portata uscente è funzionelineare del volume immagazzinato nel bacino8.

Determinazione dello IUH

Si ricava ora direttamente la risposta all’impulso, costituito dal riempimento istantaneo a t = 0 con unvolume W = 1. Per fare ciò è necessario disporre di un’equazione che descriva l’andamento della portatanel tempo, essa può essere facilmente ottenuta applicando l’equazione di continuità al bacino:

dWdt

= Qin −Q =⇒ kdQdt

= −Q =⇒ dQQ

= −1k

dt =⇒ d(lnQ) = − dtk

=⇒ lnQ = − tk

+ cost

Applicando la condizione iniziale: Q(0) = W/k = 1/k, si ottiene:

u(t) = Q(t) =1ke−t/k (1.68)

È di immediata verifica9 che lo IUH così definito gode delle proprietà dell’idrogramma unitario istantaneo.8Si noti che a questo punto si ragiona già in termini di afflusso efficace, il bacino è già per così dire impermeabile e quindi

le componenti di infiltrazione ed evapotraspirazione sono già state scontate.9

u(t) ≥ 0 ∀t perche k ≥ 0 ∧ e−t/k > 0


Figura 1.54. Portata in uscita da un invaso lineare.

Determinazione dell’idrogramma di risposta ad una pioggia costante di durata limitata

Si può verificare che la risposta alla funzione scalino di durata d e afflusso R è costituita da:

- ramo di risalita:Q(t) = R(1− e−t/k) (1.69)

- ramo di discesa:Q(t) = Qmaxe

−(t−d)/k (1.70)

La portata al colmo si ottiene per t = d:

Qmax = R(1− e−d/k) = R · ε < R (1.71)

Con riferimento alla figura 1.55 si ha che A1 (corrispondente al volume di pioggia che entra nel bacino eviene immagazzinato) deve essere uguale a A2 (corrispondente al volume di pioggia che comincia ad uscireuna volta che l’evento è finito).

Il metodo dell’invaso lineare è completamente definito dalla costante di invaso k:

k =W

Q(1.72)

Si noti come per entrambi i metodi lineari il colmo di piena si ha nel momento in cui la pioggia termina.La differenza principale fra i due metodi è invece:

metodo dell′invaso lineare : ε = 1⇐⇒ d→∞metodo della corrivazione lineare : ε = 1⇐⇒ d ≥ Tc

Ricaviamo ora analiticamente le espressioni 1.69, 1.70 e 1.71 relative alla portata Q(t) in uscita nel caso diafflusso R costante per una durata pari a d. Si distinguono due casi.

- Ramo di risalita: 0 ≤ t ≤ d.

Q(t) =∫ t

0

R1ke−(t−τ)/k dτ = R

∫ t/k

0

e−t/keτ/k d(τ/k) =

∫ ∞0

u(t) dt =

∫ ∞0

1

ke−t/k dt = −e−t/k

∣∣∣∞0

= e−t/k∣∣∣0∞

= 1− limt→+∞

e−t/k = 1− 0 = 1


Figura 1.55. Metodo dell’invaso lineare: funzione di risposta per afflusso di intensitàcostantee durata fissata.

= Re−t/k∫ t/k

0

ex dx = Re−t/k[et/k − 1

]= R

[1− e−t/k

]La portata al colmo vale:

Qmax = Q(d) = R[1− e−d/k

]= R · ε

Il fattore ε < 1 è detto fattore di attenuazione della portata in uscita. Esso tiene conto del cosiddettoeffetto d’invaso, ossia del fatto che l’acqua viene trattenuta dall’invaso e ceduta gradualmente neitempi successivi.

- Ramo di discesa: t > d.

Q(t) = Q(d)e−(t−d)/k = Rεe−(t−d)/k = R[1− e−d/k

]e−t/k · ed/k = R

[ed/k − 1

]e−t/k


1.9.4 Modello di Nash

Il modello di Nash opera con una successione di n serbatoi lineari, aventi tutti la medesima costante ditempo k:

Qi =Wi

k∀i = 1, . . . n (1.73)

Figura 1.56. Modello di Nash.

Applicando a ciascun serbatoio l’equazione dell’invaso:

dWi

dt= Qi−1 −Qi (1.74)

ed integrando in successione queste equazioni si ottiene Q(t).

IUH di Nash

Per valutare lo IUH nel suo complesso si deve applicare ricorsivamente la regola che fornisce lo IUH dell’in-sieme di due elementi posti l’uno in serie all’altro. Per brevità si riporta solamente il risultato finale, ossiail cosiddetto IUH di Nash:

u(t) =1

kΓ(n)

(t

k

)n−1

e−t/k (1.75)

La funzione Γ(n) corrisponde per n ∈ N a (n− 1)!. Essa tuttavia è definita anche per n ∈ R:

Γ(n) =∫ ∞

0

xn−1e−x dx (1.76)

Dal momento che questo integrale non dà luogo ad una forma analitica esso può essere risolto solo numeri-camente.

Stima dei coefficienti n e k

I coefficienti n e k possono essere visti rispettivamente come dei parametri di forma (numero di serbatoi) etempo (costante di invaso).Essi sono difficilmente correlabili ad una particolare geometria del bacino, vengono quindi determinati sullabase di misurazioni di Q e di j. Il procedimento per ricavarli si sviluppa in più fasi.


Figura 1.57. IUH di Nash per n = 1, 2, 3 (qualitativo).

1. Si effettua la separazione dell’idrogramma: Q = QR +Qb.

2. Si effettua la separazione dello ietogramma ricavando l’intensità di pioggia efficace/affluente.

3. Si trasforma la pioggia efficace j in afflusso mediante la relazione:

r =1

3, 6jAb

4. Si effettua un confronto tra la portata registrata QR e la portata stimata Q:

Q(t) =∫ t

0

r(τ)u(t− τ) dτ

Si definisce l’errore al tempo t come:

δt(n, k) = QR(t)− Q(t)

I valori ottimali di n e k si ottengono imponendo la condizione:

N∑t=1

δ2t (n, k) = min (1.77)

Si tratta di un problema non lineare ai minimi quadrati.

Dal momento che le piogge sono registrate ad intervalli di tempo costante conviene lavorare con l’idrogrammaunitario a passo temporale costante. Bisogna quindi calcolare i pesi wk:

wk =∫ k∆t

(k−1)∆t

u(t) dt (1.78)

Poichè, come si è visto, l’integrale non è analitico, per il suo calcolo si possono adottare, per esempio, duediversi metodi numerici di approssimazione:

- Metodo dei trapezi :

wk ≈u(tk−1) + u(tk)

2·∆t (1.79)

- Metodo del punto medio:wk ≈ u(tk−1 + ∆t/2) ·∆t


Ovviamente queste approssimazioni sono accettabili solamente se ∆t k (costante d’invaso). Nel casocontrario bisogna spezzare l’intervallo di tempo in tanti sottointervalli ed effettuare la somma dei pesicalcolati sui sottointervalli:

w∆t =10∑1

w∆τ con ∆τ = ∆t/10

(a) ∆t k. (b) ∆t > k

Figura 1.58. Calcolo approssimato dei pesi.

Una volta nota la sequenza di pesi wk si può calcolare la portata:

Qt =t∑i=1

riwt−i+1 (1.80)


1.9.5 Interpretazione probabilistica dell’idrogramma unitario istantaneoSi è visto che la funzione u(t) gode delle proprietà:

u(t) ≥ 0 ∀t∫ +∞0

u(t) dt = 1

Ne consegue che l’idrogramma unitario istantaneo può essere interpretato come una funzione di densità diprobabilità (PDF), la cui variabile aleatoria associata è un tempo e viene detto tempo di residenza o diritardo del bacino Tr.

Figura 1.59. Interpretazione probabilistica dello IUH di Nash (Distribuzione di Pearson -III tipo).

Il tempo di residenza rappresenta l’intervallo di tempo che intercorre tra la caduta a terra di una gocciaqualsiasi e la sua restituzione alla sezione di chiusura del bacino. L’aleatorietà del processo sta nel fatto chedal momento che la goccia d’acqua viene scelta a caso essa può cadere ovunque e quindi fare un percorsoqualsiasi.

Esistono vari metodi di interpretazione probabilistica dello IUH. Nel caso dello IUH di Nash esso rap-presenta una funzione di densità di probabilità caratterizzata da due parametri (n e k) che viene dettadistribuzione di Pearson del III tipo o distribuzione gamma incompleta a 2 parametri.

Andrea Lisjak 1.10. Esercizi 53

1.10 Esercizi

1.10.1 Determinazione dell’idrogramma di NashDati

• Ab: area del bacino idrografico;

• φ: coefficiente d’afflusso;

• n, k: parametri dello IUH-Nash;

• serie temporale di piogge a ∆t = 1 ora per 25 ore.

Incognite

• Q(t): idrogramma.

Svolgimento (concettuale)

1. Separazione dello ietogramma mediante il coefficiente d’afflusso:

peff = p · φ

2. Trasformazione delle piogge efficaci in portate:

R =1

3, 6Abpeff

3. Calcolo dei pesi wj (approssimazione dell’integrale mediante metodo del punto medio):

wj = ∆t · 1kΓ(n)

((j − 0, 5)∆t

k

)n−1

e−(j−0,5)∆t

k

4. Convoluzione:

Q(t) =t∑i=1

riwt−i+1

Capitolo 2

Statistica degli estremi

2.1 GeneralitàL’andamento nel tempo dei fenomeni piovosi e delle portate nei fiumi è fortemente oscillante. Il transito diuna piena comporta sempre:

- spostamento di materiale in alveo;

- asportazione dei vegetali in alveo;

- erosione concentrata in corrispondenza delle strutture rigide presenti in alveo.

Il dimensionamento delle opere fluviali deve essere tale da consentire il passaggio di eventi di piena di unacerta entità, i quali quindi devono essere in qualche modo valutati.

2.1.1 Metodo della curva inviluppoIn passato il metodo adottato dal Genio Civile era quello di valutare una piena comunque grande mediantela costruzione delle cosiddette curve inviluppo. Una curva inviluppo è una curva che nel piano Ab, Qcolmo/Absottende tutti punti corrispondenti ad eventi misurati. Le opere che dovevano essere costruite erano dimen-

Figura 2.1. Curva inviluppo.

sionate per sopportare una portata al colmo ottenuta come funzione dell’area del bacino preso in esamemediante la curva inviluppo.

I difetti principali di questo metodo erano:

55

56 Capitolo 2. Statistica degli estremi Andrea Lisjak

• man mano che le osservazioni aumentavano qualche punto cominciava a cadere oltre la curva inviluppoprecedentemente tracciata, con la conseguenza che le opere realizzate fino a quel momento non eranoadeguate alla nuova piena;

• man mano che le osservazioni aumentavano le opere da realizzare aumentavano di dimensione;

• non teneva conto del tipo di area in cui il fiume passava (e quindi del rischio associato).

2.1.2 Probabilità associata all’evento di piena

Associando una probabilità ad un evento di piena si passa dal considerare una portata comunque grande,concetto estremamente debole dal punto di vista statistico, all’associare un certo rischio ad un determinatoevento di piena.

Il rischio è dato dal “prodotto” di 3 fattori:

rischio = probabilita (evento)× valore esposto× esposizione

- Probabilità associata all’evento: dipende dall’idrologia delle piene.

Può essere diminuito mediante la costruzione di opere strutturali: casse di espansione, . . . .

- Il valore di ciò che è esposto: dipende dalla politica urbanistica.

Può essere diminuito evitando di mettere attività ricche in zone suscettibili di allagamenti. I cosiddettipiani di bacino servono a porre dei vincoli urbanistici che tengano conto dell’assetto fluviale.

- L’esposizione: dipende da interventi non strutturali.

Può essere diminuito mediante procedure di allarme meteorologico e piani di evacuazione adeguati.

Noi ci concentreremo sulla valutazione del rischio idrologico, ossia della probabilità che capiti un eventocausante danni.

2.1.3 Richiami di probabilità

Probabilità

La probabilità associata ad un evento è un numero compreso tra 0 e 1. Si immagini un esperimento (esempio:il lancio di una moneta), a seguito del quale viene effettuata una misura x. Il campo della probabilità èquello che permette di associare una probabilità ad una classe di uscita sull’esito dell’esperimento, primache questo venga fatto.

Variabili aleatorie

Nell’ingegneria civile ed ambientale si opera con variabili aleatorie generalmente appartenenti ad R+. Lavariabile aleatoria è indicata con la lettera maiuscola X mentre il valore numerico della misura con la letteraminuscola x.

Funzione di probabilità cumulata

La probabilità di non superamento di un determinato valore x è una funzione di x che viene detta funzionedi probabilità cumulata (CDF- Cumulative Distribution Function) (adimensionale):

CDF = FX(x) = prob(X ≤ x) (2.1)

Andrea Lisjak 2.1. Generalità 57

Figura 2.2. Funzione di probabilità cumulata.

Funzione di densità di probabilità

La probabilità di contenimento in un intervallo è definita da:

prob(x ≤ X ≤ x+ ∆x)

essa dipende oltre che da x anche da ∆x e quindi risulta poco utile, al contrario invece della funzione didensità di probabilità (PDF - Probability Density Function):

PDF = fX(x) = lim∆x→0

prob(x ≤ X ≤ x+ ∆x)∆x

(2.2)

È evidente che:fX(x) = lim

∆x→0

FX(x+ ∆x)− FX(x)∆x

=dFX(x)

dx

La dimensione di fX(x) è quindi [x]−1.

Quiz

Consideriamo una circonferenza di raggio r ed il triangolo equilatero in essa inscritto, il cui lato vale√

3r. Supponendodi tracciare una retta a caso che tagli la circonferenza definendo una corda di lunghezza c, si vuole sapere:

prob(c >√

3r) =?

È possibile ragionare in 3 modi.

1. Considerando un fascio di rette parallele si ottiene:

prob(c >√

3r) = 1/2

2. Considerando un fascio di rette uscente da P , punto di tangenza, si ottiene:

prob(c >√

3r) = 1/3

3. Considerando una corda ed il suo punto centrale assieme al cerchio inscritto nel triangolo equilatero, di raggior′ = r/2. si ottiene:

prob(c >√

3r) =πr′2

πr2=

1

4

È evidente che nessuna di queste probabilità corrisponde alla probabilità cercata, la quale dovrebbe essere unica, inquanto esse si riferiscono a 3 variabili aleatorie diverse e quindi non commisurabili.


(a) I modo. (b) II modo (c) III modo

Figura 2.3. Possibili soluzioni del quiz.

2.1.4 Curva di durata delle portate

Consideriamo un corso d’acqua e la variabile aleatoria corrispondente alla portata Q nella sezione S0 dichiusura del bacino. A questa variabile aleatoria rimane associata una funzione di probabilità cumulata:

CDF : FQ(q) = prob(Q ≤ q)

la quale esprime la variabilità della portata nella sezione S0 in un giorno qualsiasi ad un’ora qualsiasi.Si definisce curva di durata delle portate:

F1Q(q) = prob(Q > q) = 1− FQ(q) (2.3)

Figura 2.4. Curva di durata delle portate.

Normalmente tale curva viene riportata, per questioni di comodità tecnica, in un piano in cui:

- ascisse: F1Q(q) trasformata in durata %:

X 1⇒ 365 giorni/anno: 365 giorni all’anno la portata è maggiore del valore ad esso associato (qmin);

X 0⇒ 0 giorni/anno: per nessun giorno all’anno la portata è maggiore del valore ad esso associato.


- ordinate: q.

La qmin può anche essere nulla (fiumi che vanno in secca).

Applicazione alle opere di presa ad acqua fluente

Consideriamo un’opera di presa che capti l’acqua da un corso d’acqua la cui curva di durata delle portateè rappresentata in figura 2.5. Sia q∗ la massima portata prelevabile da tale opera (portata di dimensiona-mento). Nel caso non vi siano vincoli di alcun tipo l’area V rappresenta il volume d’acqua prelevato in 1anno.

Figura 2.5. Applicazione della curva di durata delle portate alle opere di presa ad acquafluente.

In realtà esistono dei vincoli che limitano il prelievo delle portate da un corso d’acqua. Essi possono esseredi 3 tipi.

1. Deflusso Minimo Vitale (DMV). Portata d’acqua minima, stabilita per legge (L. 183/89), che leutenze devono rilasciare al corso d’acqua per garantire la sopravvivenza delle specie biotiche nel trattocompreso tra l’opera di presa e quella di reimmissione. Ne consegue che:

- in condizioni di magra: si privilegia il DMV e si riduce la portata utilizzata qu;

- in condizioni di piena: si capta tutta la q∗ e si rilascia una portata maggiore del DMV.

2. Portata minima accettabile Qmin. Capita che per problemi tecnici (esempio: funzionamento delleturbine) la portata prelevata non deve essere inferiore ad un determinato valore.

3. Portata massima accettabile Qmax. Capita che se la portata del fiume è maggiore di un determinatovalore non può essere prelevata alcuna portata (esempio: trasporto solido eccessivo negli impiantiidroelettrici).


Figura 2.6. Deflusso minimo vitale.

Figura 2.7. Applicazione della curva di durata delle portate alle opere di presa ad acquafluente con vincoli.

2.1.5 Curva di utilizzazione

Data una curva di durata delle portate, senza vincoli, resta definita una portata media di deflusso:

Qm =Vtotale

365 giorni(2.4)

Sia:

- q∗: portata di dimensionamento;

- qu = V/365 giorni: portata media di utilizzo.

Si definisce rapporto di captazione:

χ =q∗

Qm(2.5)


Figura 2.8. Portata di dimensionamento e portata di utilizzo.

Si definisce rapporto di utilizzo:η =

quQm

(2.6)

La curva di utilizzazione è la curva che descrive l’andamento del rapporto di utilizzo in funzione di quellodi captazione.

- Se q∗ = 0 allora χ = 0 e η = 0: non si prende acqua.

- Se q∗ aumenta allora χ aumenta ma η aumenta di meno a causa del minor aumento di qu;

- Se q∗ → +∞ allora η → 1 perchè qu → Qm.

Figura 2.9. Curva di utilizzazione.

Sulla base di queste considerazioni ne consegue che all’aumentare delle dimensioni dell’opera di presa (au-mento di q∗ e quindi di χ) non corrisponde un aumento proporzionale del beneficio ottenuto (aumento diqu e quindi di η).

Se si considera una curva di durata delle portate con la presenza di vincoli allora tale effetto (sproporzionetra aumento dei costi e aumento dei benefici conseguenti) è ancora più marcato.


2.1.6 Frequenza cumulata empirica

Data la variabile aleatoria Q si osserva un certo numero di realizzazioni, l’andamento della distribuzione diprobabilità può essere desunta, mediante un’operazione statistica, dalle frequenze di accadimento.

Mettendo in ordine le portate dalla più piccola alla più grande, indipendentemente dall’ordine cronologico(tabella 2.1), è possibile costruire un grafico di frequenza cumulata empirica (figura 2.10).

Tabella 2.1. Costruzione della frequenza empirica cumulata.

ordine portata frequenza cumulata regola di Weibull

1 Qmin 1/N 1/(N+1)2 Q2 2/N 2/(N+1). . . . . . . . . . . .i Qi i/N i/(N+1)

. . . . . . . . . . . .N Qmax 1 N/(N+1)

Figura 2.10. Frequenza cumulata empirica.

Assumendo la probabilità come:

probabilita =numero di casi favorevolinumero di casi possibili

allora si ha che:frequenza cumulata ≈ prob(Q ≤ q)

Per evitare che a QN corrisponda un probabilità unitaria e a Q0 una probabilità nulla, si utilizza comeespressione della frequenza cumulata una funzione del tipo:

Fi =i− pN + q

La più comune è la frequenza cumulata empirica di Weibull :

Fi =i

N + 1(2.7)

Il difetto di questo modo di operare è che si è dipendenti dal campione, per cui al suo variare è possibile chei valori della portata massima e minima cambino.


Si vuole quindi un’approssimazione esprimibile in termini analitici che non sia semplicemente un’inter-polazione delle osservazioni, ma qualcosa di più significativo, ossia la vera distribuzione di probabilità FQ(q)da cui discendono le osservazioni.

2.1.7 Modelli di probabilitàI modelli di probabilità servono a trovare FQ(q). Sono dei modelli concettuali basati sulla descrizioneaccurata dell’esperimento considerato, ancora prima che questo venga effettuato.

Nel caso del lancio della moneta il modello concettuale è quello dell’equiprobabilità, in quanto non c’èalcun motivo per preferire una faccia o l’altra.

Modello additivo

Siano X1, X2, . . . , Xn delle variabili aleatorie dotate delle rispettive funzioni di distribuzione di probabilità,sia Z una variabile aleatoria tale che:

Z = X1 +X2 + . . .+Xn

Ci si chiede se si può dire qualcosa sulla distribuzione di probabilità di Z sulla base delle distribuzioni diXi. A tal proposito sussiste il cosiddetto teorema del limite centrale:se n → ∞, comunque siano distribuite X1, X2, . . . , Xn allora Z tende ad avere una distribuzione normale(o gaussiana):

fX(x) =1√2πe−x

2/2 (2.8)

L’ultima relazione scritta rappresenta la cosiddetta gaussiana standardizzata, ossia avente media nulla edeviazione standard pari a 1. Per passare da una variabile z, avente media Mz e deviazione standard Sz, aquella standardizzata basta effettuare la sostituzione:

x =z −Mz

Sz

Nel caso delle portate si ha:

fQ(q) =1√

2πσqexp

(−1

2(q − q)2

σ2q

)(2.9)

Modello moltiplicativo

Siano X1, X2, . . . , Xn delle variabili aleatorie dotate delle rispettive funzioni di distribuzione di probabilità,sia Z una variabile aleatoria tale che:

Z = X1 ·X2 · . . . ·Xn

Tale modello può essere ricondotto ad un modello additivo mediante i logaritmi delle singole distribuzioni:

logZ =n∑i=1

logXi

Una volta ricondotti ad un modello additivo nei logaritmi, per il teorema del limite centrale, logZ èdistribuita come una normale e quindi Z ha una distribuzione log-normale.


2.2 Modelli probabilistici in idrologia

2.2.1 Il caso delle portate al colmo di piena

Per dimensionare le opere fluviali interessa la portata al colmo Qc. All’interno di un evento la portata cheinteressa a questo scopo è solamente quella massima. A questo proposito per trovare la variabile aleatoriagiusta si rendono necessari dei modelli:

• metodo dei picchi sopra la media;

• metodo del massimo in un intervallo di tempo.

Figura 2.11. Evento di piena.

2.2.2 Metodo dei picchi sopra una soglia

Si considera la sequenza continua delle portate nel tempo. Si sceglie una portata di soglia qs e si separanogli eventi come porzioni di grafico che stanno costantemente sopra la portata di soglia. Per ogni evento siprende poi il solo valore massimo.

Figura 2.12. Metodo dei picchi sopra una soglia.

Andrea Lisjak 2.2. Modelli probabilistici in idrologia 65

In questo modo si ottiene una serie di valori Nea di piena che oltrepassano la soglia. Di fatto viene effettuatoun campionamento di eventi aventi una certa significatività.

L’intervallo medio di attesa tra due eventi successivi, espresso in giorni, è dato da:

τ =365Nea

(2.10)

Distribuzione di Frechet

La distribuzione delle eccedenze x = Qc − qs è una distribuzione esponenziale o di Frechet, con funzione diprobabilità cumulata:

FX(x) = 1− e−λx (2.11)

Tale modello non è molto utilizzato in quanto i dati pubblicati non forniscono tutti i picchi sopra una certasoglia. Risulta quindi più facile, a meno che non si abbia accesso ai dati originali, ricorrere al metodo delmassimo in un intervallo di tempo.

2.2.3 Metodo del massimo in un intervallo di tempo

La serie temporale viene separata ad intervalli ∆t = 1 anno, in questo modo si riesce ad avere unadistribuzione più omogenea delle portate. All’interno di ogni ∆t si prende la portata massima:

max∆t

(Qc)

Si effettua in questo modo un campionamento ogni ∆t e con un intervallo medio di attesa τ = ∆t.

Figura 2.13. Metodo del massimo in un intervallo di tempo.

Tale metodo è più comodo del precedente, tuttavia, a differenza del primo, presenta lo svantaggio statisticoche servono almeno 20-30 valori (e quindi osservazioni per 20-30 anni) per effettuare un’indagini statisticasignificativa.

Modello del valore estremo: distribuzione di Gumbel

Il metodo del massimo in un intervallo di tempo conduce al modello probabilistico del valore estremo:

X: è distribuita in maniera qualsiasi ed è osservabile nel tempo;

Y = max∆t(X): è detto estremo.


Ci si chiede cosa si può dire a priori sulla distribuzione di Y quale che sia la distribuzione di X. Taleproblema è stato studiato da Gumbel : se gli estremi sono molto alti (all’ampliarsi dei ∆t) allora:

FY (y)→ 3 tipi di distribuzione : distribuzioni del valore estremo

La più nota è la distribuzione del valore estremo del 1 tipo (EV1 - Extreme Value 1st type) o distribuzionedi Gumbel, la quale ha una funzione di probabilità cumulata (standardizzata) nota anche come doppiaesponenziale:

FY (y) = exp(− exp(−y)) (2.12)

Derivando la doppia esponenziale si ottiene la funzione di densità di probabilità (standardizzata):

fY (y) = exp[− exp(−y)] · exp(−y) (2.13)

(a) Distribuzione di probabilità cumulata. (b) Funzione di densità di probabilità.

Figura 2.14. Distribuzione di Gumbel.

La doppia esponenziale gode delle proprietà delle distribuzioni di probabilità:

- FY (y) > 0 ∀y

- y → −∞ : exp(−y)→ +∞ =⇒ exp(− exp(−y))→ 0

- y → +∞ : exp(−y)→ 0 =⇒ exp(− exp(−y))→ 1

È possibile istituire un rapporto tra la variabile standardizzata y e la variabile non standardizzata Qca,mediante dei parametri di adattamento α e β (portate):

y =Qca − β

α(2.14)

ottenendo quindi:

FQca(q) = exp(− exp

(−q − β

α

))(2.15)

fQca(q) =1α

exp(−q − β

α

)exp

[− exp

(−q − β

α

)](2.16)

In questo modo è possibile adattare una distribuzione standard teorica ai campioni osservati.

Stima grafica dei parametri di adattamento

Le trasformazioni di variabili si prestano bene ad essere impiegate per cercare la distribuzione reale inmaniera empirica: data una sequenza di portate ordinate si cerca di adattare la rappresentazione a scalinidella frequenza cumulata empirica facendo variare i parametri di adattamento della distribuzione di Gumbel.

Andrea Lisjak 2.2. Modelli probabilistici in idrologia 67

Si osserva innanzitutto che la trasformazione tra Qca e y è lineare:

Qca = β + αy

Inoltre:FY (y) = exp(− exp(−y)) = prob(Y ≤ y)

FQ(qi) ≈i

N + 1Ma vale:

FQ(qi) = FY (y)

in quanto:

se y∗ → prob(Y ≤ y∗) allora q∗ = β + αy∗ → prob(Q ≤ q∗) e prob(Y ≤ y∗) = prob(Q ≤ q∗)

Quindi:

FY (y) ≈ i

N + 1= exp(− exp(−y))

da cui si ottiene:y = − ln

[ln(N + 1i

)](2.17)

Date quindi delle coppie (Qi, yi) esse vengono plottate su un piano Q, y e poi interpolate linearmente al finedi trovare α e β.

Figura 2.15. Determinazione grafica dei parametri di adattamento per la distribuzione diGumbel.


2.2.4 Tempo di ritornoCi si chiede qual’è l’intervallo medio di attesa tra 2 eventi di superamento di un certo valore q∗ o, equiva-lentemente, quante volte bisogna tentare l’esperimento (ossia quanti anni bisogna aspettare), in media, persuperare un certo valore q∗.

La risposta è data dal tempo di ritorno:

TR =τ

1− FQ(q∗)(2.18)

Poiché di norma τ = 1 anno si ha:TR =

11− FQ(q∗)

(2.19)

È facile vedere che il tempo di ritorno altro non è che una parametrizzazione della probabilità:

FQ(qTR) = 1− 1TR

=TR − 1TR

(2.20)

Se TR = 100 anni si ha una probabilità di non superamento del 99%: significa che, preso un qualsiasi periododi osservazione di un anno, la probabilità che la massima portata in quell’anno sia inferiore a q100 è del99%.

È evidente che con il tempo di ritorno si misura il rischio accettabile: maggiore è il tempo di ritorno fissatoper determinato evento, maggiore è la portata al colmo corrispondente e maggiore è il rischio idrologicoassociato. Esso viene stabilito dalla consuetudine progettuale o dalla normativa ed è fissato in funzione deltipo di opera che si va a realizzare:

- fognature: 5 anni;

- argini dei fiumi: si progettano per piene con TR = 100 anni (+1metro);

- sfioratori delle dighe: 1000 anni.

Andrea Lisjak 2.3. Stima numerica dei parametri statistici di adattamento 69

2.3 Stima numerica dei parametri statistici di adattamentoLa struttura intrinseca di probabilità non è nota, però è possibile partendo da una serie di realizzazionedella variabile aleatoria cercare di approssimare al meglio la vera distribuzione di probabilità. In pratica sieffettua un adattamento della FX(x) ad un campione ossia una stima approssimata della vera distribuzioneFX(x). Ciò avviene in due fasi:

1. ricerca di una famiglia di distribuzioni da attribuire alle osservazioni (vedi paragrafo 2.2);

2. stima numerica dei parametri statistici di adattamento del tipo di distribuzione scelta.

2.3.1 Richiami di statisticaMomenti statistici

Data una funzione di densità di probabilità fX(x):si definisce momento del I ordine o media:

mX =∫ +∞

−∞xfX(x) dx (2.21)

si definisce momento di ordine n:

mn =∫ +∞

−∞xnfX(x) dx (2.22)

si definisce momento centrale di ordine n:

Sn =∫ +∞

−∞(x−mX)nfX(x) dx (2.23)

Il momento centrale del II ordine è detto varianza:

S2 = σ2 =∫ +∞

−∞(x−mX)2fX(x) dx (2.24)

Stima dei momenti statistici (momenti statistici campionari)

Nel caso in cui il modello probabilistico sia di tipo equiprobabile si ha che:la media campionaria vale:

x =1N

N∑i=1

xi (2.25)

la varianza campionaria non distorta (unbiased) vale:

S2X =

1N − 1

N∑i=1

(xi − x)2 (2.26)


2.3.2 Metodo dei momentiIl metodo dei momenti fu per la prima volta proposto da Pearson nel 1894. Il concetto su cui si basa èmolto semplice. Si consideri la PDF fX(x; θ1, θ2, . . . , θm) per la quale i parametri θj , j = 1, 2, . . .m devonoessere stimati sulla base del campione X1, X2, . . . , Xn di X. I momenti teorici della vaariabile aleatoria Xvalgono:

mi =∫ +∞

−∞xif(x; θ1, θ2, . . . , θm) dx i = 1, 2, . . .

Essi sono in generale funzione dei parametri sconosciuti:

mi = mi(θ1, θ2, . . . , θm)

È possibile inoltre determinare i momenti campionari dei vari ordini sulla base del campione di X:

Mi =1n

n∑j=1

Xij i = 1, 2, . . .

Il metodo dei momenti afferma che al fine di determinare una stima dei parametri θ1, θ2, . . . , θm bastaeguagliare un numero sufficiente di momenti campionari ai corrispondenti momenti teorici. Risolvendo unnumero di equazioni pari al numero dei parametri da stimare si ottengono i valori stimati dei parametri.

Applicazione alla distribuzione di Gumbel

Consideriamo il caso della distribuzione di Gumbel :

FX(x) = exp[− exp

(−x− β

α

)]

fX(x) =1α

exp(−x− β

α

)exp

[− exp

(−x− β

α

)]Dalla distribuzione teorica si ha che:

media = media(α, β)

varianza = varianza(α, β)

Dalle osservazioni sperimentali si ha che:

x = numero

S2 = numero

Avendo in questo caso 2 parametri da determinare si ottiene un sistema di 2 equazioni in 2 incognite (α, β):

mX =∫ +∞

−∞xfX(x) dx = β + γα = x =

N∑i=1

xiN

S2 =∫ +∞

−∞(x−mX)2fX(x) =

π2

6α2 = S2

X

La costante γ è detta costante di Eulero-Mascheroni e vale 0,5772. . . . Riarrangiandole si ottiene:

α =SXπ

√6 =√

6π

√√√√ 1N − 1

N∑i=1

(xi − x)2 (2.27)

β = x− γα (2.28)


2.3.3 Metodo di GumbelQuesto metodo può essere applicato solo alla distribuzione di Gumbel. Stimando graficamente la frequenzaempirica cumulata di non superamento mediante la regola di Weibull:

Fi =i

N + 1

si ottiene, come già visto in precedenza, una variabile standardizzata:

yi = − ln lnN + 1i

In un campione di dimensione [N ] si possono calcolare la media e lo scarto quadratico medio campionari diy:

y =1N

N∑i=1

yi

SY =

√√√√ 1N − 1

N∑i=1

(yi − y)2

Osservando che:y =

x− βα

=⇒ x = β + αy

si suppone che esista una relazione del tipo:

x− xSX

=y − ySY

risolvendo in x si ottiene:x = x+

SXSY

(y − y) =(x− SX

SYy

)+SXSY

y

da cui si possono riconoscere le espressioni delle stime dei parametri α e β:

α =SXSY

(2.29)

β = x− SXSY

y (2.30)

Si può dimostrare che se N → +∞ allora il metodo dei momenti applicato alla distribuzione di Gumbel edil metodo di Gumbel coincidono.


2.3.4 Metodo dei minimi quadrati lineariIl metodo dei minimi quadrati lineari è semplicemente un affinamento numerico del metodo grafico vistoper la determinazione dei parametri di adattamento della distribuzione di Gumbel, esso è quindi privo dellagiustificazione teorica del metodo dei momenti. Esso è inoltre estremamente sensibile al valore assunto dagliestremi.

Dal punto di vista operativo si plottano su di un piano i punti (xi, yi) con i = 1, . . . , N corrispondentialle coppie osservazioni – variabili standard della distribuzione. Si effettua poi un’interpolazione lineare aiminimi quadrati risolvendo il sistema lineare sovradimensionato:

N∑i=1

(xi − yi(α, β))2 = min (2.31)

Si noti come essendo i valori xi noti e i valori yi stimati si debba porre in ascissa i primi ed in ordinata isecondi, altrimenti si ottengono dei risultati leggermente diversi.

Figura 2.16. Metodo dei minimi quadrati lineari.


2.3.5 Metodo della massima verosimiglianzaIl metodo della massima verosimiglianza fu per la prima volta introdotto da Fisher nel 1922.

Sia fX(x;α, β) una PDF della variabile aleatoria X e siano α e β, per semplicità, gli unici due parametriche devono essere stimati dai valori campionari x1, x2, . . . , xN .

Si definisce funzione di verosimiglianza (likelihood function) di una serie di n valori campionari:

L(x1, x2, . . . , xN ;α, β) =N∏i=1

fX(xi;α, β) (2.32)

Quando i valori campionari sono dati la funzione di verosimiglianza diventa, in questo caso, una funzionedelle 2 variabili α e β. La procedura di stima di α e β basata sul metodo di massima verosimiglianza consistenel scegliere come stima di α e β quei particolari valori che massimizzano la funzione di verosimiglianza.

È possibile dare una giustificazione intuitiva della definizione di L: con riferimento alla figura 2.17 se i val-ori di α (parametro di scala) e β (parametro di posizione) non sono corretti il valore assunto da L diminuisce,ne consegue che devono esistere dei valori di α e β che massimizzano la funzione di verosimiglianza.

(a) Variazione di β. (b) Variazione di α.

Figura 2.17. Costruzione della funzione di verosimiglianza.

La stima di massima verosimiglianza (MLE - Maximum Likelihood Estimate) dei valori di α e β, basatasui valori campionari x1, . . . , xN , può essere ottenuta come soluzione di un problema di ricerca di massimodi una funzione di 2 variabili e quindi ottenibile come soluzione delle equazioni:

∂L/∂α = 0∂L/∂β = 0 (2.33)

Dal momento che L è sempre non negativa e raggiunge il suo massimo per i medesimi valori di α e β dilogL (in quanto il log è una funzione monotona crescente), è in generale più conveniente ottenere la MLEeffettuando la trasformata logaritmica di L:

logL =N∑i=1

log fX(xi;α, β) (2.34)

e risolvendo le cosiddette equazioni di verosimiglianza:∂ logL/∂α = 0∂ logL/∂β = 0 (2.35)


Applicazione alla distribuzione di Gumbel

Se fX(x) è una funzione di Gumbel:

fX(x) =1α

exp(−x− β

α

)exp

[− exp

(−x− β

α

)](2.36)

applicando le proprietà dei logaritmi si ottiene:

lnL = −N lnα− 1α

N∑i=1

(xi − β)−N∑i=1

e−xi−βα (2.37)

Imponendo le condizioni di ricerca del massimo si ottiene un sistema non lineare di 2 equazioni in 2 incognite(α, β).

∂ lnL∂α

= −Nα

+1α2

N∑i=1

(xi − β)− 1α2

N∑i=1

(xi − β)e−xi−βα = 0

∂ lnL∂β

=N

α− 1α

N∑i=1

e−xi−βα = 0

Dopo alcuni “semplici” passaggi algebrici si ottiene un’equazione non lineare in α:

N∑i=1

xie−xi/α −

(1N

N∑i=1

xi − α

)n∑i=1

e−xi/α = 0 (2.38)

La quale può essere risolta, ad esempio, con il metodo di sostituzione, dopo averla scritta nella forma:

α =x∑Ni=1 e

−xi/α −∑Ni=1 xie

−xi/α∑Ni=1 e

−xi/α= x−

∑Ni=1 xie

−xi/α∑Ni=1 e

−xi/α

Una volta trovato il parametro α si può calcolare β mediante la relazione:

β = α ln

[N∑N

i=1 e−xi/α

](2.39)

Andrea Lisjak 2.4. Applicazioni all’intensità di pioggia 75

2.4 Applicazioni all’intensità di pioggiaLa serie temporale delle precipitazioni è molto più oscillante e “casuale” di quella delle portate in un corsod’acqua. L’interesse è in ogni caso rivolto ad eventi che abbiano una durata minima dei quali interessasapere:

- la durata;

- il volume d’acqua scaricato.

Figura 2.18. Serie temporale dell’intensità di pioggia.

Le variabili intercorrelate con cui ci si confronta sono:

1. l’intensità di pioggia j [L/T] (mm/h);

2. l’altezza di pioggia h [L] (mm);

3. la durata d [T] (h).

I dati su cui ci si appoggia sono quelli del Servizio Idrologico Nazionale, il quale fornisce1 le massime altezzedi pioggia annue per assegnate durate di 1, 3, 6, 12, 24 ore.

La distribuzione delle piogge viene indagata per mezzo del metodo dei massimi annuali, che conduceal modello probabilistico del valore estremo e quindi alla distribuzione probabilistica di Gumbel. Poiché levariabili aleatorie sono 5 si hanno 5 diverse distribuzioni di Gumbel, una per ogni durata.

Tabella 2.2. Distribuzioni di probabilità per le diverse variabili aleatorie.

durata variabile aleatoria FH(h)

1 H1 FH1(h)3 H3 FH3(h)6 H6 FH6(h)12 H12 FH12(h)24 H24 FH24(h)

Una volta trovati i parametri di adattamento α e β per le singole distribuzioni, è possibile, fissata la duratadell’evento, conoscere la probabilità corrispondente al superamento del massimo annuo.

1Gli Annali Idrologici fornivano anche i valori delle massime altezze di pioggia giornaliere per 1, 2, 3, 4, 5 giorni consecutivi.Tali dati, a differenza delle massime altezze di pioggia annue per durate assegnate, che vengono ottenute mediante pluviografi,venivano ottenuti mediante pluviometri manuali e quindi si riferivano solamente ai valori massimi registrati alle 9 di mattinaed indipendetemente dalla durata dell’evento.


2.4.1 Linea segnalatrice di possibilità pluviometricaTracciando in funzione della variabile standardizzata di Gumbel y = − ln ln 1/F i valori dell’altezza dipioggia, corrispondenti alle 5 durate, si ottengono 5 rette, una per ogni variabile aleatoria.

Figura 2.19. Andamento dell’altezza di pioggia in funzione della variabile regolarizzatadi Gumbel per 5 diverse variabili aleatorie Hi, corrispondenti alle massimealtezze di pioggia annue per durate di 1, 3, 6, 12, 24 ore.

Tale grafico può essere letto in due maniere distinte:

1. fissata un’altezza di pioggia h si ottiene la probabilità di non superamento per ogni singola durata:questa aumenta al diminuire della durata;

2. fissata una probabilità di non superamento (ad esempio attraverso un tempo di ritorno) si ottiene perogni singola durata l’altezza di pioggia: questa aumenta all’aumentare della durata.

Dal momento che lo scopo è quello di ottenere l’altezza di pioggia in funzione del tempo di ritorno ancheper eventi di durata diversa da quella per cui vengono forniti i dati allora si è di fronte ad un problema diinterpolazione.

La curva segnalatrice della possibilità pluviometrica (LPP - Linea di Possibilità Pluviometrica) è unaforma analitica semplice che, per un assegnato tempo di ritorno (ossia una determinata frequenza), legal’altezza di pioggia alla durata dell’evento.

Assegnato un TR e quindi una frequenza:

F = 1− 1TR

=TR − 1TR

si calcola:yTR = − ln ln

TRTR − 1

si entra nel grafico precedente e per ciascuna durata d si ottiene h. Si riportano i 5 punti nel piano d, h e sieffettua in’interpolazione mediante una relazione di potenza del tipo:

h = adn (2.40)

oppure nella forma classica:h = atn (2.41)

Si noti come una LPP sia valida soltanto per un determinato tempo di ritorno.

Stima grafica dei parametri a e n

Sul piano bilogaritmico la relazione h = atn diventa bilineare:

log h = log a+ n log t (2.42)

Andrea Lisjak 2.4. Applicazioni all’intensità di pioggia 77

Figura 2.20. Linea segnalatrice di possibilità pluviometrica.

I valori di a ed n si ottengono quindi interpolando con una retta i 5 punti corrispondenti alle 5 durate.

Figura 2.21. Stima grafica dei parametri a ed n.

Relazione tra l’intensità media di pioggia e la durata

Una volta ottenuta la LPP è possibile costruire una relazione tra l’intensità media di pioggia e la durata:

j =h

t= atn−1 (2.43)

Si osservi come:

• a parità di tempo di ritorno, all’aumentare della durata l’altezza di pioggia aumenta quindi:

n > 0

• l’intensità media di pioggia nei massimi annuali deve essere maggiore di quella calcolata su tempi mag-giori (a meno che non si sia nel caso particolare di intensità di pioggia costante), quindi all’aumentare


della durata l’intensità media di pioggia diminuisce:

n < 1

Andrea Lisjak 2.5. Applicazioni alle portate al colmo di piena 79

2.5 Applicazioni alle portate al colmo di pienaSi vuole applicare la LPP alla determinazione delle portate di piena in sezioni di un corso d’acqua in cuinon si hanno misure di portata. Ciò può essere eseguito con la seguente serie di passi:

1. si sceglie un tempo di ritorno TR e si calcolano i parametri a ed n della LPP (vedi paragrafo 2.4.1);

2. si sceglie l’altezza h e la durata t∗ di una pioggia tipo che ottemperi alla LPP;

3. si sceglie un modello di trasformazione afflussi–deflussi, tale scelta consiste a sua volta in una doppiascelta:

(a) scelta del modello con cui valutare il ruscellamento:

i. modello di Horton: f0, f∞, k;ii. schema ad area contribuente: φ;

(b) scelta dello IUH:

i. modello della corrivazione lineare: Tc;ii. modello dell’invaso lineare: k;iii. modello di Nash: n, k;

4. si applica il modello afflussi–deflussi alla pioggia scelta ottenendo una portata uscente;

5. si calcola il massimo della portata uscente ricavando la portata al colmo di piena;

6. si calcola il massimo della portata al colmo al variare della durata della pioggia ricavando la portatacritica.

2.5.1 Pioggia di progetto ad intensità costanteLa pioggia tipo più utilizzata per problemi di progetto è quella ad intensità costante. In tal caso la determi-nazione della portata di ruscellamento può essere fatta in maniera equivalente con entrambi i metodi visti:

jeff = jtot − f = jtot

(1− f

jtot

)= jtot · φ

Nel seguito verrà utilizzato lo schema ad area contribuente.

Figura 2.22. Pioggia ad intensità costante.


2.5.2 Calcolo della portata

La portata uscente dipende sia dalla jeff che dalla durata t∗. Assegnato uno IUH = u(t) essa si ottienerisolvendo l’integrale di convoluzione:

Q(t) =Ab3, 6

∫ t

0

jeff (τ)u(t− τ) dτ =Ab · jtotφ

3, 6

∫ t

0

u(t− τ) dτ

Cambiando la variabile integranda si ottiene:

Q(t) =Abjtotφ

3, 6

∫ t

max(0,t−t∗)u(τ) dτ (2.44)

Figura 2.23. Generico idrogramma istantaneo unitario.

Portata al colmo di piena

Il massimo della portata si ottiene quando l’area dello IUH calcolata tra (t− t∗) e t è massima:

Qc = maxtQ(t) =

Abjtotφ

3, 6·max

t

[∫ t

max(0,t−t∗)u(τ) dτ

]=Abjtotφ

3, 6·max

tε =

Abjtotφ

3, 6· ε′ (2.45)

Il massimo di quell’integrale in cui solo gli estremi dipendono da t si ottiene, applicando la regola di Lagrange:

t′ : u(t′) = u(t′ − t∗) =⇒ ε′ =∫ t′

max(0,t′−t∗)u(τ) dτ (2.46)

Portata critica

Si definisce portata critica la massima portata al colmo di piena che si ha al variare della durata dellapioggia:

Qcrit = maxt∗

Qc = maxt∗

[maxtQ(t)

](2.47)

In maniera del tutto convenzionale si attribuisce alla portata critica Qcrit lo stesso tempo di ritorno dellapioggia che l’ha generata.

2.5.3 Modello della corrivazione lineare


Definendo lo IUH con il metodo della corrivazione lineare si possono presentare due casi.


Figura 2.24. Applicazione della regola di Lagrange allo IUH.

Figura 2.25. IUH definito mediante il metodo della corrivazione lineare.

1. t∗ < Tc −→ t′ = t∗:

ε′ =t∗

Tc

La portata al colmo di piena vale :

Qc =Ab · φ · a · t∗n−1

3, 6t∗

Tc=Ab · φ · a · t∗n

3, 6 · Tc(2.48)

Poiché n > 0 allora la portata al colmo di piena aumenta all’aumentare della durata della pioggia.

2. t∗ > Tc −→ t′ = Tc:ε′ = 1

La portata al colmo di piena vale:

Qc =Ab · φ · a · t∗n−1

3, 6(2.49)

Poiché (n − 1) < 1 allora la portata al colmo di piena diminuisce all’aumentare della durata dellapioggia.

Portata critica

Se t∗ < Tc allora la portata al colmo aumenta all’aumentare della durata, se t∗ > Tc la portata al colmodiminuisce all’aumentare della durata, ne consegue che il massimo si ha per una durata t∗ = Tc:

Qcrit = maxt∗

Qc = Qc(t∗ = Tc) =Ab · φ · a · Tn−1

c

3, 6(2.50)


(a) t∗ < Tc. (b) t∗ > Tc.

Figura 2.26. Valutazione della portata al colmo di piena.

2.5.4 Modello dell’invaso lineare


Definendo lo IUH col metodo dell’invaso lineare si ha:

u(t) =1ke−t/k

Dal momento che u(t) è una funzione decrescente il massimo di ε si ha per t′ = t∗ e quindi:

Figura 2.27. IUH definito mediante il metodo dell’invaso lineare.

ε′ = 1− e−t∗/k

La portata al colmo di piena vale quindi:

Qc =Ab · φ · a · t∗n−1

3, 6

(1− e−t

∗/k)

(2.51)


Portata critica

La portata critica vale:

Qcrit = maxt∗

[Qc] = maxt∗

[Ab · φ · a · t∗n−1

3, 6

(1− e−t

∗/k)]

(2.52)

Dal momento che Qc è una forma analitica senza punti di discontinuità, la durata tcrit a cui corrisponde laportata al colmo massima può essere calcolata imponendo la condizione:

dQcdt∗

=d

dt∗[(t∗n−1

)(1− e−t

∗/k)]

= 0 (2.53)

Si ha quindi:d

dt∗(t∗n−1 · ε′

)= (n− 1) · t∗n−2 · ε′ + t∗n−1 · dε′

dt∗= 0

t∗n−1

(ε′n− 1t∗

+dε′

dt∗

)= 0 =⇒ t∗

ke−t

∗/k = (1− n) ·(

1− e−t∗/k)

(2.54)

L’equazione 2.54 costituisce un’equazione non lineare in t∗ che risolta fornisce il valore della durata t∗ = tcritper cui Qc(tcrit) = Qcrit.

È prassi comune definire un tempo adimensionale θ definito dal rapporto tra la durata corrispondentealla portata critica e la costante di invaso:

θ =tcritk

(2.55)

La relazione 2.54 diventa quindi:θe−θ = (1− n)

(1− e−θ

)(2.56)

La quale può essere sviluppata in modo da ottenere una relazione esplicita tra n e θ:

n =1− (θ + 1)e−θ

1− e−θ(2.57)

Figura 2.28. Andamento di θ, ε e D in funzione di n.

La figura 2.28 rappresenta graficamente la relazione 2.57. Si noti come:


- se n = 0, 42 allora tcrit = k (θ = 1);

- se n > 0, 42 allora tcrit > k (θ > 1);

- se n < 0, 42 allora tcrit < k (θ < 1).

Sfruttando la relazione 2.55 la portata critica può essere espressa come:

Qcrit =Ab3, 6

φakn−1 θn−1ε︸︷︷︸D

=Ab3, 6

φakn−1 θn−1(1− e−θ)︸︷︷︸D

(2.58)

Il valore assunto da D può anch’esso essere plottato sul medesimo grafico di θ e di ε.Effettuando la seguente approssimazione:

D ≈ 0, 65 (2.59)

allora per un calcolo approssimato della portata critica si può utilizzare la relazione:

Qcrit ≈ 0, 65Ab3, 6

φakn−1 (2.60)

Figura 2.29. Andamento della portata al colmo in funzione della durata.

2.5.5 Modello di NashPortata al colmo di piena

Definendo lo IUH secondo Nash si ha:

u(τ) =1

kΓ(m)

(τk

)m−1

e−τ/k (2.61)

Anche in questo caso bisogna calcolare:

ε′ = maxtε = max

t

[∫ t

max(0,t−t∗)u(τ) dτ

]

Il massimo di tale integrale si ottiene, per tentativi, cercando t′ tale che:

u(t′) = u(t′ − t∗)

Trovato t′ si calcola numericamente l’integrale 2.46 e si applica l’equazione 2.45 trovando quindi la portataal colmo di piena Qc per una durata assegnata t∗.


Portata critica

Per trovare la portata critica Qcrit si calcola la portata al colmo di piena per varie durate t∗ e si trova,nuovamente per tentativi, la portata in corrispondenza della quale si passa dall’aumento alla diminuzionedel suo valore.


2.6 Test statistici di adattamento di una distribuzione

Una volta scelta la famiglia di distribuzioni ed effettuato l’adattamento con uno dei metodi visti ci si chiedese, indipendentemente dal metodo utilizzato, la distribuzione di probabilità cumulata ottenuta FX(x; a, b),basata sui parametri di adattamento a e b stimati, sia rappresentativa del campione e quindi se la sceltadel modello probabilistico e l’adattamento siano stati soddisfacenti oppure no. Se infatti la distribuzione diprobabilità ipotizzata non è corretta, il modello probabilistico risultante con i parametri stimati in qualsiasimaniera, anche la più elegante, non può offrire una corretta rappresentazione del fenomeno fisico o naturaleche sta alla base.

Equivalentemente la domanda può essere così formulata: il campione osservato è plausibile che siaestratto a caso dalla distribuzione FX(x; a, b)? La risposta può essere data mediante dei test statistici diadattamento di una distribuzione.

Essi sono dei metodi per verificare l’adattamento di una distribuzione ipotizzata per una determinatavariabile aleatoria sulla base di un campione di realizzazioni. Il problema della verifica di un modello sullabase di informazioni tratte dai campioni ricade quindi nell’ambito della verifica delle ipotesi statistiche.

Principio che sta alla base dei test statistici di adattamento

Consideriamo la media campionaria di una distribuzione:

x =1N

N∑i=1

xi

Dal momento che il valore di x cambia al variare di xi, allora essa può essere considerata a sua volta comeuna variabile aleatoria X. Si consideri una generica statistica p con associata la variabile aleatoria P : essapossiede una distribuzione di probabilità FP (p) incognita a meno che non si verifichi una certa ipotesi, dettaipotesi nulla: FP (p|H0), che rende nota la distribuzione del parametro P .

Figura 2.30. Funzione di densità di probabilità della statistica P .

Se una media campionaria p1 dovesse cadere nelle zone di coda di tale distribuzione di probabilità allora èpossibile ipotizzare che l’ipotesi H0 non sia vera e quindi che la distribuzione che ne consegue non sia quellagiusta.

2.6.1 Passi di un test

1. Si definisce una statistica P : regola per calcolare un numero da un campione (esempio: la media).Essa serve a fornire una misura della deviazione della distribuzione osservata, costruita sulla base delcampione, dalla distribuzione ipotizzata.

2. Si determina una ipotesi H0, detta ipotesi nulla, in base alla quale è nota la distribuzione dellastatistica.

Andrea Lisjak 2.6. Test statistici di adattamento di una distribuzione 87

Per costruire un criterio per la verifica delle ipotesi è necessario anche stabilire un’ipotesi alternativaH1 rispetto alla quale verificare l’ipotesi H0. Esempi di ipotesi alternative possono essere:

– un’altra distribuzione ipotizzata;– l’ipotesi che H0 non sia vera: in seguito si farà uso di questa.

3. Si definisce una distribuzione delle aree di non rigetto: campo delimitato da p′ e p′′ (nel caso di test adue code) o solamente da una delle due (nel caso di test ad una coda), tale per cui se il valore calcolatodella statistica P è interno si può dire che H0 è vera, se invece il valore calcolato della statistica èesterno allora si può dire che H0 è falsa.

Si definisce un livello di probabilità α su cui valutare il campo di rigetto dell’ipotesi H0:

α = area sottesa da fP (p) esternamente a p′e p′′

I test per la verifica delle ipotesi sono comparati in termini della probabilità degli errori che possonoessere commessi. Si possono presentare due tipi di errore di base:

(a) errore del I tipo: H0 è vera ma l’ipotesi viene comunque rigettata (α grande);(b) errore del II tipo: H0 è falsa ma l’ipotesi viene comunque accettata (α piccolo).

Defininendo H1 come l’ipotesi esattamente opposta di H0 si ha che:

- se α è grande allora β, corrispondente alla probabilità di accettare H0 quando H0 è falsa (e quindiH1 vera), è piccola (errore del I tipo grande);

- se α è piccolo allora β è grande (errore del II tipo grande);

ne consegue che la scelta della probabilità α è legata al fatto che al diminuire della probabilità dicommettere un errore di un tipo aumenta quella di commettere l’altro. Nel costruire un test statisticoc’è quindi la necessità di controllare i due tipi di errori cercando di minimizzare l’errore globale. Per undato test, la valutazione della probabilità degli errori del I tipo può essere fatta quando l’ipotesi H0 èdata e quindi è specificata la distribuzione di probabilità; la definizione di un’ipotesi alternativa implicadelle probabilità di commettere errori del II tipo. Nel nostro caso l’ipotesi alternativa è semplicementel’ipotesi che H0 non sia vera e quindi il fatto che la classe delle alternative sia così ampia rende difficilel’utilizzo degli errori del II tipo come criterio.

Generalmente si lavora solamente con errori del I tipo, fissando i seguenti limiti di confidenza:

α =

1 %5 %10 %

Figura 2.31. Correlazione tra errore del I tipo ed errore del II tipo.


4. Calcolo di p′α e p′′α.

Nel caso di test ad una coda destra si cerca:

p′′α : prob(P ≤ p′′α) = FP (p′′α) = 1− α

Nel caso di test a due code si cerca:

p′α : prob(P ≤ p′α) = FP (p′α) = α/2p′′α : prob(P ≤ p′′α) = FP (p′′α) = 1− α/2

Figura 2.32. Determinazione di p′α e p′′α per α = 95 %.

5. Si calcola la statistica dal campione ottenendo un valore p∗ che viene confrontato con p′α e p′′α:

- se p′α ≤ p∗ ≤ p′′α: H0 con probabilità 1− α è vera;

- se p∗ > p′′α ∨ p∗ < p′α: H0 con probabilità 1− α è falsa.

Ipotesi H0 dei test statistici di adattamento

Nel caso dei test statistici di adattamento H0 è che il campione osservato [xi; i = 1, 2, . . . , N ] rappresenti Nvalori della funzione di distribuzione cumulata stimata FX(x; a, b). Ciò equivale a supporre a che FX(x; a, b)sia la vera distribuzione di probabilità che dà luogo al campionamento effettuato.

2.6.2 Test χ2

Il test statistico χ2 di adattamento (chi-squared goodness-of-fit test) fu introdotto da Pearson nel 1900.Consideriamo il caso, che più comunemente capita di affrontare, in cui i parametri della distribuzione

di probabilità siano stati stimati con uno dei metodi visti in precedenza sulla base del campione. Al fine diverificare l’ipotesi H0 si definisce come statistica del campione la differenza tra il diagramma della frequenzaempirica, costruita dal campione, e la corrispondente funzione di densità di probabilità definita per ipotesi.

La frequenza cumulata empirica può essere valutata mediante la regola di Weibull:

Fi =i

N + 1

Per poter definire empiricamente la funzione di densità di probabilità fX(x) è necessario valutare la frequenzaper classi : si suddivide l’asse x in una serie di classi contigue e si contano quanti eventi sono avvenuti inciascuna classe.

1a classe : x < x1 2a classe : x1 ≤ x < x2 . . . M + 1− esima classe : xM ≤ x

Se si hanno M separatori x1, x2, . . . , xM allora il numero di classi Mc = M + 1.


Probabilità osservata

La probabilità osservata associata alla classe i-esima è data dalla frequenza empirica:

fi =Oi

xi − xi−1(2.62)

- Oi: numero di eventi osservati che ricadono nella classe (xi−1, xi);

- xi − xi−1: ampiezza della classe.

Il numero di eventi osservati ricadenti nella classe i-esima vale quindi:

Oi = fi · (xi − xi−1) (2.63)

Probabilità teorica

Come si è detto nella classe generica (xi−1, xi) non ricadono solo le osservazioni bensì anche eventi estrattidirettamente dalla distribuzione teorica fX(x; a, b) ipotizzata.

La probabilità teorica associata alla classe i-esima è data da:

pi = prob(xi−1 ≤ x < xi) =∫ xi

xi−1

fX(x, a, b) dx = FX(xi; a, b)− FX(xi−1; a, b) (2.64)

Se il campione è composto da N eventi il numero di eventi atteso nell’i-esima classe è dato da:

Ei = N · pi (2.65)

Figura 2.33. Probabilità teorica associata alla classe (xi−1, xi).

Statistica del test

La statistica del test è data da:

D =Mc∑k=1

(Ok − Ek)2

Ek(2.66)

Essa costituisce una naturale misura della deviazione ai minimi quadrati. Si noti come D sia una statisticain quanto è funzione degli Oi, i quali a loro volta sono funzione del campione x1, . . . , xN .

Se la distribuzione che genera il campione è proprio quella che si è stimato, ossia l’ipotesi H0 è vera, sipuò dimostrare che la statistica D ha una distribuzione del tipo χ2:

fD(d) = χ2(D, ν) = [

2ν/2Γ(ν2

)]−1d(ν−2)/2e−d/2 se d ≥ 0

0 se d < 0(2.67)


- ν = Mc− 1−np: parametro che definisce i gradi di libertà, con np pari al numero di parametri stimati(nel nostro caso 2: a e b).

Si noti come questa distribuzione sia indipendente dal tipo di distribuzione ipotizzata.

Livello di confidenza

Supponiamo di voler accettare una probabilità di errore del I tipo pari ad α. Il test χ2 prevede che l’ipotesiH0 venga respinta quando:

d =Mc∑k=1

(Ok − Ek)2

Ek> χ2

α,ν (2.68)

dove d è il valore di D basato sui valori del campione xi, i = 1, . . . , n e χ2α,ν assume un valore tale che:

prob(D > χ2α,ν) = α (2.69)

il cui valore si ottiene mediante tabelle in funzione di α e dei gradi di libertà ν.Il valore di α è detto anche livello di confidenza: esso rappresenta l’area sottesa dalla funzione fD(d)

alla destra di χ2ν,α. Se per esempio α = 0, 05 significa che effettuando il test si respinge l’ipotesi H0 nel caso

in cui la misura della deviazione d, calcolata da un determinato campione, cade all’interno della regione del5%, o, in altre parole, ci si aspetta di respingere H0 per il 5% dei casi in cui H0 è vera.

Procedura di esecuzione del test

1. Si suddivide l’asse x in un numeroMc di classi e si valutano per ogni classe il numero di eventi osservatiOk che vi cadono dentro.

Dal momento che solitamente si preferisce lavorare con delle classi equiprobabili, ossia con un numerocostante di eventi attesi per ogni classe:

E1 = E2 = . . . = Ek =N

Mc

avente quindi probabilità:

pk =EkN

=1Mc

la suddivisione delle classi sull’asse x viene effettuata in modo tale che, se l’ipotesi H0 è vera, alloraci si dovrebbe aspettare un numero uguale di eventi osservati in ogni classe. Per garantire questorisultato l’ampiezza degli intervalli viene trovata con l’operazione riportata in figura 2.34.

2. Si stimano, a partire dai dati, i parametri a e b di adattamento, mediante il metodo di massimaverosimiglianza (od un altro metodo), ottenendo FX(x; a, b).

3. Si calcola, a partire dalla distribuzione ipotizzata con i parametri stimati, il numero di eventi attesoEk per ogni classe (equazioni 2.64 e 2.65)

4. Si sceglie un livello di confidenza α e si determina χ2ν,α.

5. Si costruisce il valore misurato d della statistica (equazione 2.68).

6. Si rifiuta l’ipotesi H0 se d > χ2ν,α, altrimento la si accetta.

I vincoli di affidabilità del test sono:

- affinché il test sia significativo: ν ≥ 2 =⇒Mc ≥ 5 =⇒M ≥ 4

- Ek ≥ 5 ∀k (almeno 5 eventi per classe);

- (=⇒ N ≥ 25).

Il test χ2 è definito un test esatto nel senso che tiene conto del fatto che si sono utilizzati i medesimiparametri di adattamento sia per l’esecuzione del test che per la valutazione del numero di eventi attesi.


Figura 2.34. Determinazione dell’ampiezza delle classi (Mc = 5) in modo che sianoequiprobabili.

2.6.3 Test di Kolmogorov–SmirnovIl test di Kolmogorov–Smirnov (K-S test) si basa su una statistica che misura la deviazione dell’istogrammacumulato di frequenza rispetto alla funzione di distribuzione cumulata ipotizzata FX(x; a, b).

Data un insieme di valori campionari x1, x2, . . . , xN di una variabile aleatoria X si possono consideraredue istogrammi di frequenza cumulata (diversi da quello ottenuto con la regola di Weibull):

F+i =

i

NF−i =

i− 1N

(2.70)

Figura 2.35. Approssimazioni empiriche della funzione di distribuzione cumulata.

Statistica del test

Rispetto alle due frequenze cumulate empiriche definite è possibile valutare due distanze:

D−i =∣∣∣∣FX(xi)−

i− 1N

∣∣∣∣D+i =

∣∣∣∣FX(xi)−i

N

∣∣∣∣ (2.71)

La statistica del test è definita da:D2 =

Nmaxi=1

[D+i ;D−i

](2.72)

La distribuzione della statistica D2 è difficile da ottenere analiticamente, tuttavia i valori assunti dallafunzione di distribuzione possono essere calcolati numericamente e valutati per numerosi valori. È tuttavia


Tabella 2.3. Costruzione delle CDF empiriche e delle distanze.

Ordine Osservazione F−i F+i D− D+

1 x11−1N

1N

∣∣FX(x1)− 1−1N

∣∣ ∣∣FX(x1)− 1N

∣∣. . . . . . . . . . . . . . . . . .i xi

i−1N

iN

∣∣FX(xi)− i−1N

∣∣ ∣∣FX(xi)− iN

∣∣. . . . . . . . . . . . . . . . . .N xmax

N−1N

NN

∣∣FX(xN )− N−1N

∣∣ ∣∣FX(xN )− NN

∣∣possibile dimostrare che la distribuzione di D2 è indipendente dalla distribuzione ipotizzata e che, fissatoun livello di confidenza α, se N diventa grande (N ≥ 50) allora:

cα,N =vα√N

- vα: valore che dipende da α.

Livello di confidenza

Supponiamo di voler accettare una probabilità di errore del I tipo pari ad α. Il K-S test prevede che l’ipotesiH0 venga respinta quando:

d2 =N

maxi=1

[D+i ;D−i

]> cα,N (2.73)

dove d2 e il valore di D2 basato sui valori del campione xi, i = 1, . . . , N e cα,N assume un valore tale che:

prob(D2 > cα,N ) = α (2.74)

il cui valore si ottiene, mediante tabelle, in funzione di α e di N .

Procedura di esecuzione del test

1. Si riordinano i valori xi osservati dal più piccolo al più grande.

2. Si valutano le funzioni empiriche F+i e F−i .

3. Per ogni xi si valuta FX(xi) mediante la distribuzione ipotizzata, eventualmente adattata medianteuno dei metodi visti.

4. Si costruiscono le differenze D+i e D−i .

5. Si sceglie un livello di confidenza α e si determina mediante tabelle cα,N .

6. Si calcola la statistica d2 (equazione 2.72).

7. Si rifiuta l’ipotesi H0 se d2 > cα,N , altrimenti la si accetta.

L’esecuzione del test può essere anche di tipo grafico (figura 2.36) tracciando una fascia di accettabilitàcompresa tra la FX(x; a, b) e ± cα,N e verificando che l’istogramma di frequenza cumulata empirica siasempre interno a tale fascia.

Osservazioni

Le caratteristiche principali del K-S test sono:

• è valido per tutti i valori di N (a differenza del test χ2);

• utilizza i dati osservati nella loro forma non aggregata (a differenza del test χ2);

• è valido solamente per distribuzioni continue;


Figura 2.36. Esecuzione grafica del test di Kolmogorov–Smirnov.

• i valori di cα,N si basano su distribuzioni ipotizzate completamente specificate (ossia senza stima deiparametri di adattamento), quando i parametri della distribuzione devono venir stimati allora nonesiste, a differenza del test χ2, alcun modo rigoroso per correggere il test.


2.7 Esercizi

2.7.1 Determinazione della LPP

Dati

Alla stazione meteorologica di Gemona si sono registrati i seguenti valori di pioggia, di cui si riportanosolamente alcuni valori delle medie e delle deviazioni standard campionarie.

d 1 ora 3 ore 6 ore 12 ore 24 oreN 50 50 50 50 50h (mm) 42,60 . . . . . . . . . . . .σh (mm) 14,05 . . . . . . . . . . . .

Svolgimento semi-concettuale

Supponiamo di aver effettuato un’adattamento statistico col metodo dei momenti e di aver trovato per le 5distribuzioni i parametri di adattamento α e β. Fissato un tempo di ritorno, ad esempio pari a 10 anni, sicalcola la corrispondente variabile regolarizzata di Gumbel e si trovano 5 valori di altezza di pioggia.

d: 1 ora 3 ore 6 ore 12 ore 24 oreh: 61,mm 90mm 108mm 134mm 176mmj: 61mm/h 30mm/h 18mm/h 11,2mm/h 7,3mm/h

Si passa dunque alla stima dei parametri a ed n della LPP in base alla relazione:

lnh = ln a+ n ln t

t ln t lnh

1 0,00 4,113 1,10 4,506 1,79 4,6812 2,48 4,9024 3,18 5,17

Figura 2.37. Determinazione dei parametri a ed n.

Dall’interpolazione grafica lineare dei valori calcolati si ottiene:

n ≈ 0, 31a ≈ 60


L’equazione della LPP è quindi:h = 60t0,31

2.7.2 Valutazione della durata criticaDati

La LPP è definita da h = 60t0,31, l’area del bacino è pari a Ab = 150 km2 ed il coefficiente d’invaso valeφ = 0, 35. Si valuti la durata critica sia col metodo dell’invaso lineare con coefficiente d’invaso k = 2, 5 oresia col metodo di Nash con m = 2.

Svolgimento

Col metodo dell’invaso lineare si deve risolvere l’equazione non lineare in t?:

t? = (1− n)(

1− e−t?/k)et?/kk

Da cui sostituendo i valori numerici si ha:

t? − 1, 725(

1− e−t?/2,5

)et?/2,5 = 0

La quale può essere risolta per tentativi mediante alcune iterazioni:

- t? = 2 ore: =⇒ −1, 06

- t? = 1, 5 ore: =⇒ 0, 08

- t? = 1, 6 ore: =⇒ 0, 05

- t? = 1, 7 ore: =⇒ 0, 02

- t? = 1, 8 ore: =⇒ 0, 018

Si può assumere con buona approssimazione tcrit ≈ 1, 8 ore.

Col metodo di Nash si deve seguire la procedura riportata nel paragrafo 2.5.5. . . .

Andrea Lisjak 2.8. Appendice 97

2.8 Appendice

2.8.1 Alcune distribuzioni di probabilità

Car

atte

ristic

he s

alie

nti d

i alc

une

dist

ribuz

ioni

sta

ndar

dizz

ate

Nom

e

Esp

ress

ione

Par

amet

riC

ampo

M

edia

M

oda

Med

iana

Varia

nza

Asim

met

riaC

urto

si

Bin

omia

le

()

()

mN

mp

pmN

mX

P−

−⎟⎟ ⎠⎞

⎜⎜ ⎝⎛=

=1

N, p

0

÷ N

N

p

N

p(1-

p)

() p

Np

p −− 12

1(

) pN

pp −

− 161

Pois

son

()

() τ

τ−

==

exp

!m

mX

Pm

τ

0 ÷ ∞

τ

max

(IN

T≤τ)

τ

τ1

τ

13

+

Uni

form

e (

)(

)al

trim

enti

xf

xse

xf XX

01

01

=≤

≤=

−

0 ÷

1 0.

5 −

0.5

1/12

09/

5

Nor

mal

e (

)⎟ ⎠⎞

⎜ ⎝⎛ −=

2

21ex

p21

xx

f Xπ

−

-∞

÷ ∞

00

01

03

Gam

ma

inco

mpl

eta

1(

)(

)(

) xx

xf X

−Γ

=−

exp

11

α

α

α 0

÷ ∞

α

α-1

solo

se α

>1

α

α2

α

63

+

Espo

nenz

iale

()

() x

xF X

−−

=ex

p1

−

0 ÷∞

10

0.69

31

29

Gum

bel

(EV

1)

()

()

[]

xx

F X−

−=

exp

exp

−

-∞ ÷

∞0.

5772

00.

3665

62π

1.

1396

5.4

1 C

onos

ciut

a an

che

com

e Pe

arso

n II

I Tip

o e

lega

ta a

lla d

istri

buzi

one

Chi

qua

dro


Car

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ristic

he s

alie

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i alc

une

dist

ribuz

ioni

der

ivat

e N

ome

E

spre

ssio

neP

ar.

Cam

poM

edia

M

oda

Med

iana

Varia

nza

Asi

mm

etria

Cur

tosi

Uni

form

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)

bx

ain

ab

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≤≤−−

=

a, b

a

÷ b

(a

+b)

/2

−(a

+b)

/2

()2

121a

b−

0

9/5

Nor

mal

e 2

para

met

ri (

)⎟⎟ ⎠⎞

⎜⎜ ⎝⎛⎟ ⎠⎞

⎜ ⎝⎛−

−=

2

21ex

p21

ab

xa

xf X

π

a, b

-∞

÷ ∞

b

b b

a20

3

Gam

ma

inco

mpl

eta

a 2

para

met

ri(

)(

)⎟ ⎠⎞

⎜ ⎝⎛ −⎟ ⎠⎞

⎜ ⎝⎛Γ

=−

kxkx

kx

f Xex

p1

1α

α

α, k

0

÷ ∞

kα

k2 α

α2

α

63

+

Gam

ma

inco

mpl

eta

a 3

para

met

ri(

)(

)⎟ ⎠⎞

⎜ ⎝⎛−

−⎟ ⎠⎞

⎜ ⎝⎛−

Γ=

−

kx

kx

kx

f Xβ

βα

α

exp

11

α, β

, k

0 ÷ ∞

kα

+β

k2 α α

2

α6

3+

Espo

nenz

iale

a

1 pa

ram

etro

(

)(

) kx

xF X

/ex

p1

−−

=

k 0

÷ ∞

k

0

0.

693

kk2

29

Espo

nenz

iale

a

2 pa

ram

etri

()

⎟ ⎠⎞⎜ ⎝⎛

−−

−=

kx

xF X

βex

p1

k,

β

β ÷ ∞

k

+ β

β

0.69

3 k

+β

k22

9

Gum

bel

(EV

1)

()

⎥ ⎦⎤⎢ ⎣⎡

⎟ ⎠⎞⎜ ⎝⎛

−−

−=

ab

xx

F Xex

pex

p

a, b

-∞

÷ ∞

b

+ 0.

5772

a b

b +

0.36

65 a

(

)6

2πa

1.

1396

5.4

Andrea Lisjak 2.8. Appendice 99


2.8.2 Valori di cα,N per il test di Kolmogorov-Smirnov

Kolmogorov-Smirnov Test (Se il rapporto calcolato è maggiore del valore sotto indicato, si rigetti l’ipotesi nulla al livello di confidenza prescelto.)

LIVELLO di SIGNIFICATIVITÀ per D = MAX [ F0(X) - Sn(X) ] DIMENSIONE CAMPIONARIA

(N) .20 .15 .10 .05 .01

1 .900 .925 .950 .975 .995

2 .684 .726 .776 .842 .929

3 .565 .597 .642 .708 .828

4 .494 .525 .564 .624 .733

5 .446 .474 .510 .565 .669

6 .410 .436 .470 .521 .618

7 .381 .405 .438 .486 .577

8 .358 .381 .411 .457 .543

9 .339 .360 .388 .432 .514

10 .322 .342 .368 .410 .490

11 .307 .326 .352 .391 .468

12 .295 .313 .338 .375 .450

13 .284 .302 .325 .361 .433

14 .274 .292 .314 .349 .418

15 .266 .283 .304 .338 .404

16 .258 .274 .295 .328 .392

17 .250 .266 .286 .318 .381

18 .244 .259 .278 .309 .371

19 .237 .252 .272 .301 .363

20 .231 .246 .264 .294 .356

25 .210 .220 .240 .270 .320

30 .190 .200 .220 .240 .290

35 .180 .190 .210 .230 .270

OLTRE 35 1.07

__ √ N

1.14 __ √ N

1.22 __ √ N

1.36 __ √ N

1.63 __ √ N

Capitolo 3

Idrologia e risorse idriche

3.1 Elementi di geomorfologia

3.1.1 Superfici e versanti

Le superfici possono essere distinte in:

• superfici strutturali : sono costituite da un’unica unità geologica, disposta suborizzontalmente edaffiorante sulla superficie del terreno (figura 3.1);

Figura 3.1. Superficie strutturale.

• superfici di spianamento: sono costituite da unità geologiche differenti che, disposte originariamenteinclinate, sono state spianate per effetto di fenomeni di natura erosiva (figura 3.2).

Figura 3.2. Superficie di spianamento.

La figura 3.3 riporta un classico esempio di erosione differenziata: a partire da una superficie di spianamentole rocce a maggior resistenza meccanica rimangono intatte mentre quelle più scadenti vengono erose con laconseguente creazione di superfici inclinate. Si definiscono versanti o falde versanti le superfici inclinate.Esistono diversi tipi di versanti in relazione alla disposizione degli strati ed al conseguente meccanismo diformazione:

• versanti a gradinata: si formano in seguito a fenomeni erosivi differenziati in corrispondenza di stratisuborizzontali con caratteristiche meccaniche diverse (figura 3.4); le rocce tenere sono caratterizzateda fenomeni erosivi diffusi mentre le rocce dure sono interessate perlopiù da fenomeni di crollo;

101

102 Capitolo 3. Idrologia e risorse idriche Andrea Lisjak

Figura 3.3. Resti di una superficie di spianamento (a− a) conservati su rocce dure (d).

Figura 3.4. Versante a gradinata, con pareti e cornici dove affiorano le testate dei banchipiù duri; ripiani o terrazzi di denudazione (t) in corrispondenza all’esposizionedegli strati di rocce tenere.

Figura 3.5. Esempio di rilievo tabulare o mesa; torrione isolato o testimone. t = rocce piùtenere.

• rilievi tabulari : si formano quando uno strato di roccia dura giace sopra ad uno di roccia tenera (figura3.5);

• rilievi monoclinali : si formano in seguito a fenomeni erosivi in corrispondenza di strati inclinatiin seguito a fenomeni di tipo plicativo (figura 3.6); in queste condizioni la stabilità dei versanti è

Figura 3.6. Asimmetria strutturale delle valli e dei rilievi “monoclinali” (strati inclinati).

fortemente condizionata dalla giacitura degli strati in relazione alla superficie topografica;

• rilievi monoclinali di tipo hogback : sono rilievi monoclinali che si formano in seguito alla presenza diun’alternanza di strati inclinati duri e teneri (figura 3.7).

Andrea Lisjak 3.1. Elementi di geomorfologia 103

Figura 3.7. Rilievi monoclinali di tipo hogback (su strati duri e teneri molto inclinati).

(a) Rilievi monoclinali di tipo questa. (b) Disposizione delle valli in aree con formazionirocciose a strati inclinati .

Figura 3.8. Terminologia specifica. S: superfici strutturali. A puntini: rocce tenere.

3.1.2 Tettonica

I terremoti sono la testimonianza evidente che movimenti orogenetici di natura tettonica sono tuttora inatto. Si noti come i movimenti tettonici possano dare problemi anche sul breve–medio periodo, ossia proprioquello che riguarda alcune opere dell’ingegneria civile.

Faglie

I piani che separano blocchi di roccia in movimento relativo tra loro sono detti faglie (figura 3.9). La figura3.10 illustra diverse possibili evidenze morfologiche di una faglia.

Figura 3.9. Blocchi a comportamento rigido, dislocati da faglie. 1. Piani di faglia (quiper semplicità sono considerati solo esempi di “faglie dirette”). 2. Bloccosollevato, che forma un Horst o pilastro tettonico. 3. Blocco abbassato, cheforma un Graben o fossa tettonica. 4. Blocchi inclinati, che danno luogo adepressioni di angolo di faglia. S. Scarpate di faglia.


Figura 3.10. Schemi di scarpate di faglia e loro evoluzione. A. Scarpata “fresca”, fagliaancora attiva. B. Scarpata di faglia ormai poco riconoscibile in seguito all’ero-sione del blocco sollevato e alla sedimentazione su quello abbassato. Questoesempio può derivare da A, parecchio tempo dopo la cessazione del movimen-to della faglia. C. Scarpata di faglia che tende a retrocedere per fenomenierosivi, e, nella parte inferiore, a venir sepolta. D. Scarpata di faglia “ringio-vanita” in seguito ad una ripresa del movimento, partendo da una situazionedel tipo schematizzato in B.

Figura 3.11. Schemi di scarpate di linee di faglia. A. Scarpata di linea di faglia di sensoopposto al rigetto: l’erosione ha eliminato la roccia 1 e quasi completamentela roccia 2 sul blocco sollevato. Un nuovo gradino si è formato per erosioneselettiva, in quanto la roccia 2 è più tenera della roccia 1. C’è inversione delrilievo. B. Scarpata di linea di faglia nello stesso senso del rigetto: l’erosioneè in uno stadio più avanzato; la roccia 1 e in parte la roccia 2 sono stateeliminate anche sul blocco abbassato. Anche questo gradino si è formato pererosione selettiva, la roccia 2 è più tenera della roccia 3.

Pieghe

Non sempre i movimenti tettonici portano alla formazione di faglie ma, se la duttilità della roccia è sufficiente,si formano delle pieghe (figura 3.12).


Figura 3.12. Terminologia relativa a strutture a pieghe e a rilievi tettonici risultanti. Quisi immaginano limitatissimi gli effetti dell’erosione; si è impostata una reteidrografica che segue le pendenze determinate dal piegamento della superficie,ed è in corso di erosione una valle trasversale.

Figura 3.13. Tipi morfostrutturali schematici in una catena costituita da una serie di piegheparallele.

3.1.3 Movimenti franosi

Masse coinvolte

Con riferimento alla figura 3.14 si definiscono:

• suolo: porzione di terreno sotto la superficie topografica soggetta ad azioni di alterazione da partedella biosfera (radici vegetali, animali), caratterizzata da un forte contenuto in materia organica;


• substrato alterato: porzione di roccia in posto fortemente alterata;

• regolite: insiemte di suolo e substrato alterato.

Figura 3.14. Suolo e regolite.

Classificazione dei movimenti franosi

I movimenti franosi possono riguardare:

– il suolo;

– il regolite;

– la roccia in posto.

I movimenti franosi possono essere suddivisi in due grandi gruppi in base alla velocità del movimento:

1. movimenti lenti : sono caratterizzati da velocità dell’ordine del m/anno (figura 3.15);

(a) soil creep: avviene a scapito di un sottosuolo caratterizzato da strati che tendono ad opporsi almovimento;

(b) soliflusso: l’inclinazione degli strati non contrasta il movimento;

Figura 3.15. Movimenti lenti del regolite.

2. movimenti veloci : avvengono in tempi dell’ordine dei minuti e delle ore (figura 3.16);

(a) frana di crollo;(b) frana di scivolamento;(c) frana con movimento rotazionale (figura 3.17);(d) smottamento;(e) frana per colamento.


Figura 3.16. Alcuni tipi di frane.

Figura 3.17. Nomenclatura di una frana di tipo rotazionale.


3.2 Morfometria dei bacini e delle reticoli idrografici

3.2.1 Forme dei bacini

Si faccia riferimento al bacino idrografico riportato in figura 3.18.

Figura 3.18. Bacino idrografico.

Parametri areali

I parametri areali ([L2]) di un bacino idrografico sono:

1. area Ab.

Parametri lineari

I parametri lineari ([L]) di un bacino idrografico sono:

1. perimetro P : lunghezza complessiva degli spartiacque;

2. lunghezza L: lunghezza del canale principale;

3. diametro Db: massima distanza tra la sezione di chiusura ed un punto del perimetro;

4. lunghezza della rete drenante LR: lunghezza totale del reticolo drenante;

5. asse vettoriale: composizione vettoriale degli assi dei canali affluenti principali.

Parametri adimensionali

I parametri adimensionali ([−]) di un bacino idrografico sono essenzialmente dei parametri di forma per-lopiù legati ad una classificazione morfologica del bacino e quindi meno interessanti dal punto di vistaingegneristico–applicativo:

1. fattore di forma:

F =AbDb

(3.1)

Andrea Lisjak 3.2. Morfometria dei bacini e delle reticoli idrografici 109

2. circolarità:C =

AbP 2/4π

=4πAbP 2

(3.2)

Pendenza dei versanti

Per quanto riguarda i versanti e con riferimento alla figura 3.19 si definisce pendenza locale del versante:

iv =∆HL0

(3.3)

dove:

- ∆H: equidistanza isoipse;

- L0: distanza media tra le isoipse;

L0 ≈2Ai

L1 + L2(3.4)

Figura 3.19. Determinazione della pendenza locale dei versanti.

Sfruttando la relazione 3.4 la pendenza locale del versante può essere approssimata con:

iv ≈∆H(L1 + L2)

2Ai(3.5)

Date le pendenze locali dei versanti, ossia quelle riferite alle aree Ai, è possibile ottenere la pendenza mediadel versante come media pesata con le aree Ai delle pendenze locali.

Pendenza dei canali

Per quanto riguarda i canali la loro pendenza tende a diminuire dalla sorgente verso la foce. Esistono diverseforme di identificazione della pendenza media.

Con riferimento alla figura 3.19 si ha:

ic 20−80 =Z80 % − Z20 %

L20−80(3.6)

Da un punto di vista invece idraulico si definisce pendenza media ic di un canale composto da una serie ditratti a pendenza variabile e caratterizzato da una portata specifica q costante la pendenza costante di uncanale a sezione rettangolare che fa percorrere in moto uniforme il canale nel medesimo tempodel primo.

Nel calcolo della pendenza media si utilizzano le relazioni ben note dall’idraulica dei moti a pelo libero,ossia la relazione di Chezy in forma adimensionale:

v = C√gycq = Cy

√gyc (3.7)

I principali difetti di questa definizione di pendenza media sono:


Figura 3.20. Determinazione della pendenza media di un canale secondo criterigeomorfologici.

– si suppone che la portata specifica sia costante da monte a valle;

– il coefficiente di scabrezza adimensionale è anch’esso supposto costante da monte verso valle;

In ogni caso l’utilità di una definizione di un parametro medio in presenza spesso di una forte variazionespaziale sta nella possibilità di poter ottenere dei risultati semplificati utili in alcune valutazioni quantitative.

Densità di drenaggio

Si definisce densità di drenaggio:

DD =LRAb

(3.8)

Tale parametro esprime i km di rete idrografica presenti in media ogni km2 di bacino idrografico.

Distribuzione delle altitudini

La distribuzione delle altitudini in un bacino idrografico è rappresentata dalla curva ipsografica A =A(z) (figura 3.20) la quale esprime la distribuzione delle aree del bacino rispetto alle quote. Nel casodi bacini lacustri si considera come altitudine la quota dell’incile (ossia la quota della soglia dell’emis-sario). Adimensionalizzando le aree rispetto all’area del bacino Ab si ottiene la funzione di distribuzione diprobabilità cumulata delle altitudini all’interno del bacino:

FZ(z) =A(z)Ab

(3.9)

A partire dalla curva ipsografica si può ricavare l’altitudine media Zm del bacino (figura 3.22):

Zm =1Ab

∫Ab

Z(x, y) dxdy (3.10)

Tale parametro viene ad esempio utilizzato nella formula di Giandotti per la stima del tempo di corrivazionedi un bacino.

3.2.2 Forme delle aste fluvialiAndamento planimetrico

Si definisce sinuosità di un corso d’acqua il rapporto esistente tra la lunghezza in asse del canale e lalunghezza in asse della valle.


Figura 3.21. Curva ipsografica.

Figura 3.22. Determinazione dell’altitudine media di un bacino idrografico a partire dallacurva ipsografica.

La determinazione della lunghezza del canale può essere resa difficile dal fatto che esso può variare lapropria lunghezza a seconda che sia in fase di piena o di magra, mentre la determinazione della lunghezzadella valle solitamente è resa agevole dal fatto che molti canali sono compresi tra vecchi terrazzi alluvionali,in caso contrario si considera l’asse della fascia individuata dalle tangenti all’andamento planimetrico delcanale.

Sulla base dell’andamento planimetrico i corsi d’acqua possono essere suddivisi in (figura 3.23):

– rettilinei ;

– di transizione;

– regolarmente sinuosi ;

– irregolarmente sinuosi ;

– tortuosi.

Sempre sulla base dell’andamento planimetrico i corsi d’acqua possono essere suddivisi in:

• a canale unico: sono tipici di:


Figura 3.23. Classificazione delle forme fluviali in base all’andamento planimetrico.

– pendenze molto elevate (dell’ordine dello 0,01) e quindi dei torrenti di montagna, dove la geome-tria della valle costringe il canale nel fondovalle (thalweg);

– pendenze estremamente piccole (dell’ordine dello 0,001-0,0001);

• a canali multipli : questi canali (braided rivers, nella letteratura inglese) sono caratterizzati dallapresenza quasi permanente di filoni di corrente che si separano e poi si ricongiungono, essi sono tipicidelle pendenze medie:

– uscite delle vallate alpine;

– conoidi;

– tratti intermedi di trasporto dei canali.

Sezioni trasversali

Da un punto di vista delle sezioni trasversali si possono avere:

• sezioni trapezie: sono tipiche dei canali alpini;

• sezioni rettangolari molto ampie: sono tpiche dei canali multipli;

• sezioni compatte fortemente incise: sono tipiche dei canali di pianura;


le sponde risultano ben marcate grazie alla presenze di numerosi vegetali e alla coesione del materialecostituente la sponda;in queste sezioni le piene ordinarie viaggiano a pelo delle sponde mentre le piene maggiori fuoriesconoda questa sezione in una area di espansione di piena, la cui funzione è quella di creare la pianuraalluvionale;gli argini sono dei presidi artificiali che hanno lo scopo di contenere tale area di espansione dentro unacerta zona, che è funzione dei beni da proteggere.

3.2.3 Forme delle reti idrograficheNella parte montana del bacino idrografico i canali non sono quasi mai isolati ma vanno a costituire unarete ramificata, la quale viene percorsa dall’acqua sempre nello stesso verso, in quanto il moto è dovuto alladiferenza di potenziale gravitazionale che si trasforma in energia cinetica.

Da un punto di vista topologico la rete idrografica puà essere definita come un grafo orientato aventeuna sola radice, coincidente con la sezione di chiusura, e diverse ramificazioni.

Le forme che la rete idrografica può assumere sono diverse e sono legate all’interazione tra processiorogenetici e fenomeni erosivi (figura 3.24)

(a) (b)

Figura 3.24. Forme delle reti idrografriche.

Tra queste vale la pena ricordare:

– radiale: il processo assolutamente prodominante è quello orogenetico, tipica dei coni vulcanici;

– dendritico: il processo assolutamente predominante è quello erosivo, che si esplica su formazionilitologiche omogenee;

– a traliccio: determinata abbastanza dal processo orogenetico, tuttavia l’erosione ha svolto il suo ruolo,forma che si ha ad esempio quando la rete idrografica si impone su una struttura a faglie;

– a forme anostomosate: tipica di bacini idrografici di pianura, caratterizzata dalla presenza diffusa dilaghi e stagni.

3.2.4 Sistemi di ordinamento delle reti: leggi di Horton–StrahlerLa forma della rete e il senso unico di percorrenza dell’acqua produce una relazione gerarchica fra i diversirami che costituiscono la rete. Tale gerarchia è stata ad esempio utilizzata dalle popolazioni per dare unnome ai fiumi: partendo dalla foce si è proceduti verso monte seguendo il corso d’acqua principale.

La relazione gerarchica è tuttavia anche quella che permette la creazione di sistemi di ordinamento dellereti (figura 3.25). Esistono diversi metodi che consentono di dare un ordine numerico alle reti idrografiche,


nel seguito verrà esposto quello introdotto da Horton (anni ’30) e successivamente corretto da Strahler:metodo di Horton–Strahler.

Figura 3.25. Alcuni sistemi di ordinamento delle reti idrografiche.

Cenni alle teoria dei grafi

Un grafo è costituito da un certo numero di punti P nel piano, collegati da un certo numero di lati L. Èpossibile che in un grafo alcuni punti rimangano isolati. Per creare un grafo ad albero si costruisce il primolato e poi si agganciano i lati successivi.

−→ In un grafo ad albero vale:L = P − 1 (3.11)

−→ Se il grafo risulta disconnesso vale:L = P − C (3.12)

dove C è il numero di parti connesse.

−→ Se il grafo presenta delle maglie chiuse il numero di maglie indipendenti o numero ciclomatico vale:

M = L− (P − 1) (3.13)

Regole per la numerazione delle reti secono Horton–Strahler

Le reti trattate da Horton e Strahler sono esclusivamente quelle ad albero. Con riferimento alla figura 3.26la numerazione della rete avviene secondo le due regole di seguito riportate.

1. Individuate le sorgenti, da queste scaturiscono canali di ordine ω = 1.

2. Alla confluenza tra due canali si distinguono due casi:


(a) se confluiscono due canali dello stesso ordine il canale uscente ha l’ordine aumentato di uno:

α− β −→ γωα = ωβ −→ ωγ = ωα + 1 (3.14)

(b) se confluiscono due canali di ordine diverso si mantiene l’ordine maggiore tra i due:

α− β −→ γωα 6= ωβ −→ ωγ = max(ωα, ωβ) (3.15)

Figura 3.26. Ordinamento di una rete idrografica secondo il metodo di Horton–Strahler.

Il “difetto” di questo metodo è che esso distingue i nodi tra:

– effettivi: sono nodi di termine per il canale di monte e di inizio per il canale di valle.

– fittizi: sono nodi di termine per il canale di monte ed intermedi per il canale di valle;

Parametri

X Ω: ordine del bacino, ossia massimo ordine del canale nella sezione di chiusura.

X nω: numero di canali di ordine ω.

La sua determinazione risulta relativamente facile. Partendo tuttavia dalla cartografia ci può essereuna certa arbitrarietà nella separazione tra canali attivi e canali effimeri.

X Lω: lunghezza media dei canali di ordine ω.

La sua determinazione influenzata da due fattori di distorsione:

– la posizione delle sorgenti viene spesso individuata con una certa arbitrarietà;

– LΩ è un dato statisticamente poco affidabile in quanto ottenuto come media di un solo valore(problema di distorsione legato all’inferenza statistica).

X Aω: area media drenata dai canali di ordine ω. Si osservi come tale area comprenda non solo le faldeversanti che danno direttamente sul canale di tale ordine bensì le aree che competono ai tributari dimonte.

Anche in questo caso la determinazione di AΩ = Ab è caratterizzata da un problema di inferenzastatistica.


ω n L A

1 L1 A1

2 L2 A2

......

......

Ω 1 LΩ Ab

Tabella 3.1. Parametri di una rete idrografica secondo il metodo di Horton–Strahler.

Per ogni bacino idrografico e rispettiva rete idrografica analizzata è possibile ottenere una tabella come la??.

Sulla base di numerosi dati relativi a reti idrografiche di bacini naturali, di forma tipicamente dendritica,Horton e Strahler formularono delle leggi che individuano una tendenza razionale nello sviluppo delle retiidrografiche.

Prima legge di Horton–Strahler

Si definisce rapporto di biforcazione il numero medio di canali di ordine ω che insiste su canali di ordineω + 1:

RB =nωnω+1

(3.16)

La prima legge di Horton–Strahler afferma che “il rapporto di biforcazione RB per una rete idrografica ècostante su ω”.

Poiché nΩ = 1 si ha che:nΩ−1 = RB · nΩ = RB

nΩ−2 = RB · nΩ−1 = R2B

. . .

nΩ−k = RkB

La prima legge di Horton può quindi essere così formulata:

nω = RΩ−ωB (3.17)

Effettuando la trasformata logaritmica si ottiene:

log nω = (Ω− ω) · logRB (3.18)

Ne consegue che riportando su di un piano (ω, log nω) i punti relativi ad una determinata rete idrografica, ilrapporto di biforcazione può essere determinato a partire dal coefficiente angolare della retta che interpolatali punti (figura 3.27):

RB : logRB = tanϕ

Si noti come l’adattamento può essere effettuato normalmente oppure imponendo il passaggio per il punto(ω, 1).

Seconda legge di Horton–Strahler

Si definisce rapporto di lunghezza:

RL =Lω+1

Lω(3.19)

La seconda legge di Horton–Strahler afferma che “il rapporto di lunghezza RL per una rete idrografica ècostante su ω”.

Si ha che:L2 = L1 ·RL


Figura 3.27. Determinazione del rapporto di biforcazione mediante la prima legge diHorton–Strahler.

L3 = L2 ·RL = L1 ·R2L

. . .

Lk+1 = L1 ·RkLLa seconda legge di Horton può quindi essere così formulata:

Lω = L1 ·Rω−1L (3.20)


logLω = logL1 + (ω − 1) ·RL (3.21)

Ne consegue che riportando su di un piano (ω, logLω) i punti relativi ad una determinata rete idrografica,il rapporto di lunghezza può essere determinato a partire dal coefficiente angolare della retta che interpolatali punti (figura 3.28).

Per problemi di inferenza statistica alle volte può essere opportuna effettuare l’adattamento escludendogli ordini estremi e considerando solo quelli intermedi.

Figura 3.28. Determinazione del rapporto di lunghezza mediante la seconda legge diHorton–Strahler.


Terza legge di Horton–Strahler

Si definisce rapporto di area:

RL =Aω+1

Aω(3.22)

La terza legge di Horton–Strahler afferma che “il rapporto di area RA per una rete idrografica è costante suω”.

Si ha che:A2 = A1 ·RA

A3 = A2 ·AL = A1 ·R2A

. . .

Ak+1 = A1 ·RkALa terza legge di Horton può quindi essere così formulata:

Aω = A1 ·Rω−1A (3.23)


logAω = logA1 + (ω − 1) ·RA (3.24)

Ne consegue che riportando su di un piano (ω, logAω) i punti relativi ad una determinata rete idrografica,il rapporto di lunghezza può essere determinato a partire dal coefficiente angolare della retta che interpolatali punti.

Determinazione del rapporto di area a partire dalla densità di drenaggio

La lunghezza totale di tutta la rete vale:Z =

∑i

li (3.25)

La densità di drenaggio è definita da:

DD =Z

Ab(3.26)

Se il bacino è grande si può assumere:DDΩ−1 = DDΩ (3.27)

Ne consegue che:ZΩ−1

AΩ−1≈ ZΩ

AΩ=⇒ AΩ

AΩ−1= RA =

ZΩ

ZΩ−1

Applicando la prima e seconda legge di Horton–Strahler si ottiene:

ZΩ =Ω∑ω=1

nωLω =Ω∑ω=1

L1Rω−1L

da cui moltiplicando numeratore e denominatore per Rω−1B si ottiene:

ZΩ = L1

Ω∑ω=1

RΩ−1B

(RLRB

)ω−1

= L1RΩ−1B

Ω∑ω=1

(RLRB

)ω−1

Ponendo β = RL/RB e sapendo che 1 + β + β2 + . . .+ βΩ−1 = (βΩ − 1)/(β − 1) si ha:

ZΩ = L1RΩ−1b

βΩ − 1β − 1


In definitiva si ottiene:

RA =ZΩ

ZΩ−1=RΩ−1B

RΩ−2B

· βΩ − 1β − 1

· β − 1βΩ−1 − 1

= RB ·βΩ

βΩ−1 − 1(3.28)

3.2.5 Reticoli sinteticiDari il rapporti RB , RL e RA di un bacino ed alcuni valori caratteristici come A1 ed L1 è possibile costruireuna rete idrografica ipotetica. Imponendo ad esempio Ω = 4 si ottiene:

ω n L

1 R3B L1

2 R2B L1 ·RL

3 RB L1 ·R2L

4 1 L1 ·R3L

Analogamente se da Ω = 4 si volesse passare ad una rete con Ω = 5 si avrebbero dei rapporti costanti.

Cenni alla teoria dei frattali

I frattali sono figure geometriche che si ottengono modificando una figura geometrica di base mediante unaregola fissa ripetuta all’infinito. In tali figure esistono dei rapporti geometrici che rimangono costanti. Lapresenza di frattali in natura è alquanto diffusa.

Si considerino i seguenti esempi:

• 1o esempio (triangolo di Sierpinski): a partire da un triangolo equilatero si divide ciascun lato a metàe si elimina dalla figura il triangolo interno, si procede poi allo stesso modo con i nuovi triangoli chesi vengono a creare;

• 2o esempio: a partire da un triangolo equilatero si divide ciascun lato in tre parti uguali e si sostituisceal segmento centrale il triangolo equilatero avente come lato quel segmento, si procede poi allo stessomodo con i nuovi triangoli che si vengono a creare;

facendo il limite per un numero di triangoli che tende ad infinito si ottiene una figura avente areafinita ma perimetro infinito;

• 3o esempio: a partire da un quadrato si divide ciascun lato a metà e si tracciano i quadrati, di procedepoi allo stesso modo con i nuovi quadrati che si vengono a creare.

Si definisce dimensione frattale:

D =logNPlogN

(3.29)

dove:

- NP : numero di pezzi autosimili;

- N : rapporto dimensionale o fattore di ingrandimento.

La dimensione frattale non dipende dall’ “ingrandimento” della figura (ossia da N).Se si considera il triangolo di Sierpinski si ha che:

– N = 2 −→ NP = 3:D =

log 3log 2

≈ 1, 58

– N = 4 −→ NP = 9:D =

log 9log 4

=log 3log 2

≈ 1, 58

Poiché la dimensione frattale del triangolo di Sierpinski è 1,58 esso non può essere considerato né una lineané una superficie. Se si considera il 3o esempio si ha che:


(a) Triangolo di Sierpinski. (b) .

Figura 3.29. Esempi di frattali.

– N = 2 −→ NP = 4:D =

log 4log 2

= 2

– N = 3 −→ NP = 9:D =

log 9log 3

= 2

La dimensione del quadrato è quindi 2.

Applicazione alle reti idrografiche

Le reti drenanti naturali sono state studiate come oggetti frattali, ossia come oggetti formati, fino ad unadeterminata scala1, da parti autosimili. È possibile attribuire a reti descritte secondo il metodo di Horton–Strahler una dimensione frattale: pur essendo costituita da elementi lineari (dimensione unitaria) essapossiede una dimensione che tende a 2. Questo come conseguenza del fatto fisico che la rete raccoglie leacque su di una copertura areale convogliandola in canali lineari.

Il vantaggio derivante dallo studio dei reticoli idrografici secondo la teoria dei frattali si manifesta nellapossibilità di comprendere meglio la funzione esercitata dalla forma della reticolo nella produzione deglieventi di piena (vedi paragrafo 5.3(b)).

1Ciò non vale se si arriva a considerare la rete idrografica a livello del versante.

Andrea Lisjak 3.3. Modelli di formazione del deflusso superficiale 121

3.3 Modelli di formazione del deflusso superficiale

3.3.1 Schema hortoniano e schema dunnianoDall’Idrologia Tecnica si è visto come la valutazione delle perdite nei bacini in relazione alla produzione dideflussi in alveo possa essere valutata secondo due schemi differenti:

X schema hortoniano: il comportamento del bacino viene supposto omogeneo e il coefficiente di ruscel-lamento è pari alla differenza tra l’intensità di pioggia e il coefficiente di infiltrazione:

r = j − f (3.30)

X schema dunniano: il bacino viene suddiviso in:

– parte impermeabile di area Ai: l’infiltrazione è nulla (f = 0) e tutta la pioggia si trasforma inruscellamento (j = r);

– parte infinitamente permeabile di area Ap: l’infiltrazione è infinita (f → ∞) e tutta la pioggiainfiltra nel terreno (j = f).

Complessivamente si può scrivere:Ab = Ai +Ap (3.31)

r =j ·Ai + 0 ·Ap

Ab= j · Ai

Ab= j · ϕ (3.32)

dove ϕ è detto coefficiente di afflusso.

È evidente che queste schematizzazioni permettono delle valutazioni molto semplici del coefficiente di rus-cellamento. Se si vogliono fare delle valutazioni più complesse ed elaborate è necessario riconoscere che ibacini non si comportano né esattamente come il modello di Horton né esattamente come il modello diDunn.

3.3.2 Formula di FántoliFormula di Fántoli

I primi ad accorgersi di quanto riportato sopra sono stati i costruttori di fognature. A Milano il prof. Fántolisi rese conto che il coefficiente di afflusso non è una costante bensì dipende dall’intensità di pioggia. Per lavalutazione del coefficiente medio di afflusso alla rete egli propose quella che va sotto il nome di formula diFántoli :

ϕ = CF · h1/3 (3.33)

dove:

- CF : coefficiente di Fántoli (costante);

- h: altezza di pioggia.

L’inconveniente derivante dall’utilizzo di tale formula sta nel fatto che per altezze di pioggia molto grandiil coefficiente di afflusso può superare il valore unitario (figura 3.30), cosa che è fisicamente impossibile dalmomento che il ruscellamento non può essere maggiore dell’intensità di pioggia.

Formula di Fántoli–Lombardo

Per porre rimedio a questo difetto negli anni ’60 la formula di Fántoli è stata modificata da Lombardo inmodo tale che il coefficiente di afflusso tenda asintoticamente al valore unitario (figura 3.31):

ϕ = CF · h1/3 se ϕ ≤ 0, 75ϕ = (1− 0, 25)(

0, 75CF

)3

· 1h

se ϕ > 0, 75 (3.34)


Figura 3.30. Rappresentazione grafica della formula di Fántoli per la determinazione delcoefficiente di afflusso.

Figura 3.31. Rappresentazione grafica della formula di Fántoli–Lombardo per ladeterminazione del coefficiente di afflusso.

3.3.3 Metodo del Curve Number (CN–SCS)Il metodo CN–SCS (Curve Number – Soil Conservation Service2) è un metodo basato su numerose misuredirette eseguite su bacini di drenaggio sperimentali.

Con tale metodo si prendono in considerazione le altezze di pioggia cumulate P = h (espresse in mm) ilruscellamento R anch’esso cumulato nel tempo. Inizialmente la pioggia va a sopperire alle carenze idrichepreesistenti, dalle quali viene completamente assorbita. Tali carenze, le quali rappresentano un parametroIA (Initial Abstraction) da darsi al metodo, sono costituite dall’acqua di adesione fogliare o di altre superfici,da piccoli invasi, da depressioni, . . . . Si ha quindi che finché tutta la IA non è riempita il ruscellamento ènullo:

R = 0 se P ≤ IA (3.35)

Successivamente si ha:

R =(P − IA)2

P − IA + Sse P > IA (3.36)

2Tale servizio fa parte dello United States Department of Agriculture e la sua funzione è quella di prevenire la desertificazionedei suoli, intesa come rimozione della sua parte fertile.


Per comprendere il significato del parametro S è utile ragionare in termini di altezze in funzione dell’altezzadi precipitazione:

S = limP→∞

F (3.37)

S rappresenta quindi il volume disponibile all’interno del suolo per immagazzinare l’acqua infiltrata (storageo immagazzinamento).

Figura 3.32. Rappresentazione grafica del metodo CN-SCS.

Un’altra assunzione fatta dal metodo è che:

IA = λS con λ ≈ 0, 2 (3.38)

Determinazione del parametro di immagazzinamento S

Per la determinazione del parametro di immagazzinamento S il metodo CN-SCS introduce il coefficienteCN mediante la relazione:

CN =1.000

10 + S(3.39)


con S espresso in pollici, oppure:

CN =1.000

10 + S/25, 4(3.40)

con S espresso in mm. Invertendo la relazione 3.40 si ottiene:

S =(

1.000CN

− 10)· 25, 4 (3.41)

dove CN varia tra 0 e 100:

– CN = 0 =⇒ S →∞: terreno infinitamente permeabile;

– CN = 100 =⇒ S = 0: terreno impermeabile.

Il coefficiente CN dipende da:

1. costituzione pedologica e litologica del substrato (tabella 3.2);

2. tipo di copertura del suolo (tabella 3.3).

Tabella 3.2. Metodo CN-SCS: tipi di suolo.

Gruppo Descrizione

A Scarsa potenzialità di deflusso.Comprende sabbie profonde con scarsissimo limo e argilla; anche ghiaie profonde, molto permeabili.

B Potenzialità di deflusso moderatamente bassa.Comprende la maggior parte dei suoli sabbiosi, meno profondi che nel gruppo A, ma il gruppo, nelsuo insieme, mantiene alte capacità di infiltrazione, anche a saturazione.

C Potenzialità di deflusso moderatamente alta.Comprende suoli sottili e suoli contenenti notevoli quantità di argille e colloidi, anche se meno chenel gruppo D. Il gruppo, a saturazione, ha scarsa capacità di infiltrazione.

D Potenzialità di deflusso molto alta.Comprende la maggior parte delle argille con alta capacità di rigonfiamento, ma anche suoli sottilicon orizzonti pressoché impermeabili in vicinanza della superficie.

Difetto del metodo

Il metodo CN–SCS è adatto alla descrizione di un singolo evento, tuttavia da un punto di vista previsionalepresenta un grosso difetto: dal momento che tale metodo non prevede il ritorno del sistema nelle condizionidi partenza risulta difficile l’analisi di una serie di eventi, la capacità di infiltrazione infatti diminuisceall’aumentare dell’altezza di pioggia tuttavia quando l’evento termina l’acqua si asciuga ed il sistema siriporta verso le condizioni iniziali.


Tabella 3.3. Metodo CN-SCS: valori di CN per tipo di suolo e tipo di copertura.

Copertura Suolo

A B C DTerreno coltivato:

senza trattamenti di conservazione 72 81 88 91con trattamenti di conservazione 62 71 78 81

Terreno da pascolocattive condizioni 68 79 86 89buone condizioni 39 61 74 80

Prateriebuone condizioni 30 58 71 78

Terreni boscosi o forestati:sottile, sottobosco povero, senza foglie 45 66 77 83buon sottobosco e copertura fogliare 25 55 70 77

Spazi aperti, prati rasati, parchi:buone condizioni, copertura erbosa > 75% 39 61 74 80condizioni normali, copertura erbosa pari 50% 49 69 79 84

Aree commerciali (coperture impermeabili 85%) 89 92 94 95Distretti industriali (coperture impermeabili 72%) 81 88 91 93Aree residenziali con copertura media del:

65% 77 85 90 9238% 61 75 83 8730% 57 72 81 8625% 54 70 80 8520% 51 68 79 84

Parcheggi impermeabilizzati, tetti 98 98 98 98Strade

pavimentate, con cunette e fognature 98 98 98 98inghiaiate o selciate, con buche 76 85 89 91in terra battuta 72 82 87 89

3.3.4 Modello “fisico” di Green–AmptConsideriamo un suolo omogeneo ed isotropo tale per cui l’analisi di una sua colonna equivale all’analisi delsuolo nel suo complesso (figura 3.33).Man mano che piove si osserva l’avanzamento di un fronte umido che procede verso il basso come un impulsorettangolare, governato dalla legge di Darcy:

v = −K · dHdx

(3.42)

dove:

- H: carico piezometrico;

- x: distanza percorsa nel senso del moto.

Supponiamo di avere:

- ψS : carico piezometrico in superficie;

- ψF : carico piezometrico sul fronte umido, è presente infatti un potenziale capillare che tende arisucchiare l’acqua verso il basso.

Sia inoltre:

- θS : contenuto d’acqua nella zona satura;


Figura 3.33. Modello di Green–Ampt.

- θi: contenuto d’acqua nella zona non satura.

Si ha quindi:

f =dFdt

= KS ·dHdz

= KS ·ψS + z − ψF

z= KS ·

[1 +

ψS − ψFz

](3.43)

poiché per continuità vale:

z =F

θS − θi(3.44)

ne consegue che:dFdt

= KS ·[

(ψS − ψF )(θS − θi)F

+ 1]

(3.45)

Tale relazione costituisce un’equazione differenziale ordinaria con variabile indipendente il tempo t. Asseg-nate le condizioni iniziali :

t = 0 −→ F = 0 (3.46)

è possibile integrare in t al variare di F ottenendo una soluzione implicita3 ossia per quale tempo t si hauna determinata altezza di infiltrazione F (formula di Green–Ampt):

t =F

KS− (θS − θi)(ψS − ψF )

KSln(

1 +F

(θS − θi)(ψS − ψF )

)(3.47)

Per poter utilizzare questa formula è necessario conoscere alcune caratteristiche del terreno:

– coefficiente di infiltrazione KS ;

– porosità θS ;

– umidità iniziale θi.

È necessario inoltre formalizzare i potenziali.Il risultato che si ottiene è simile alla formula di Horton tuttavia è ricavato partendo da uno modello

fisico del terreno.

3La soluzione F (t) di tale equazione differenziale è invece di più difficile determinazione.


3.3.5 Formula di PhilipLa formula di Philip per la determinazione del tasso di infiltrazione in un suolo è la seguente:

f = A+B(t− t0)−1/2 (3.48)

dove:

- t0: tempo relativamente antecedente all’inizio dell’infiltrazione;

- A: parametro;

- B: parametro.

I tre parametri sono valori sperimentali che devono essere determinati mediante misure dirette di infiltrazionenel terreno. Se si considera un tempo t0 negativo si ha (figura 3.34):

f0 =A+B√−t0

(3.49)

f∞ = A (3.50)

Figura 3.34. Rappresentazione grafica della formula di Philip.

In generale si può affermare che l’utilizzo di una formula piuttosto che di un’altra dipende essenzialmentedalla confidenza tecnica di chi la usa con una o con l’altra e dalla disponibilità numerica dei parametri inessa contenuti. La formula di Horton è più diffusa in ambito idrologico mentre quella di Philip lo è in ambitoagronomico.


3.3.6 Probability Distributed Moisture Model (PDM)Dal momento che l’obiettivo ingegneristico è la valutazione dell’infiltrazione alla scala del bacino idrografico,il quale presenta notevoli disomogeneità sia dal punto di vista della copertura che del tipo di substrato, èevidente che l’utilizzo di formule come quelle di Horton, Philip e Green–Ampt, fa sorgere un problema difondo: è possibile partire da valutazioni puntuali e poi considerare tali risultati rappresentativi dell’interobacino idrografico? E ancora: il comportamento medio può essere utilizzato per modellare correttamente ilcomportamento reale del bacino?

Tale problema ha cominciato a trovare delle soluzioni teoriche a partire dalla fine degli anni Settanta.A questo proposito il primo modello è stato il Probability Distributed Moisture Model di Wood.

Idea di base

Gli elementi di immagazzinamento multiplo possono riempirsi durante gli eventi piovosi e svuotarsi du-rante i periodi tra gli eventi. Se qualche serbatoio è pieno allora le precipitazioni successive raggiungonodirettamente i canali come ruscellamento superficiale. Una lenta componente di drenaggio può svuotarei serbatoi nel periodo tra gli eventi, contribuendo alla recessione dello scarico nei canali e ripristinandol’immagazzinamento iniziale prima dell’evento successivo. Si tiene anche conto dell’evapotraspirazione daciascun serbatoio durante i periodi intra–evento.

Ad ogni evento evidentemente i serbatoi con la capacità minore si riempiranno per primi e comincerannoa produrre ruscellamento superficiale per primi. La capacità di ciascun serbatoio è supposta rappresentareuna determinata proporzione del bacino in modo che man mano che i serbatoi si riempiono la percentualedi area producente ruscellamento può anche essere calcolata. Questa area si espande durante gli eventi esi contrae negli altri periodi in maniera tale che essenzialmente la distribuzione dei serbatoi rappresentaun’area contribuente dinamica alla produzione di ruscellamento.

La distribuzione dei serbatoi usati nel modello è solamente una distribuzione di serbatoi concettualie il problema nasce su quale tipo di distribuzione può essere più appropriata per un determinato per undeterminato bacino.

Supponendo un’intensità di pioggia j e un tasso di infiltrazione f omogenei nel bacino ma variabili neltempo, ad un determinato istante l’altezza infiltrata F è all’incirca costante nel bacino. Diagrammando laprofondità Z (m) in funzione della capacità di campo C (m) (figura 3.35) si ha che:

• la capacità di campo non può essere superiore alla profondità, al massimo può essere Z = C;

• se C = 0 è evidente che l’altezza di pioggia infiltrata è nulla;

• se Ct è la capacità di campo all’istante t ed F è l’altezza infiltrata si possono presentare due casi:

1. se F ≤ Ct il terreno è saturo;2. se F >

All’aumentare dell’altezza infiltrata F la capacità di campo al tempo t aumenta e quindi l’area contribuentevaria nel tempo: il bacino si comporta come un polmone che si espande e si contrae. In realtà tale modellosi occupa solamente della fase di espansione ossia quella di creazione delle piene.

Ipotesi probabilistica

L’ulteriore ipotesi su cui si basa il modello è che l’altezza infiltrata F è indipendente dalla distribuzionespaziale della capacità di campo nel bacino, ciò che conta è la sua distribuzione di densità di probabilitàfC(c).

Algoritmo di calcolo

Sulla base del modello di comportamento del bacino e dell’ipotesi vista è possibile sviluppare un algoritmoper il calcolo del volume d’acqua immagazzintato nel terreno.

1. Al tempo t la capacità d’immagazzinamento vale:

ct = c? (3.51)

dove:


Figura 3.35. Andamento della capacità di campo in funzione dell’altezza d’acqua.

- c?: capacità critica che distingue i terreni saturi da quelli non saturi.

Il volume d’acqua immagazzinato nel bacino è dato dalla somma integrale delle singole capacità pesateper la loro rappresentatività all’interno del bacino, espressa dalla funzione di densità di probabilità:

S =∫ ∞

0

cfC(c) dc =∫ c?

0

cfC(c) dc+ c?∫ ∞c?

fC(c) dc =∫ c?

0

[1− FC(c)] dc (3.52)

Noto S è possibile, mediante tale relazione, calcolare c?.

2. Si effettua ora un bilancio alla superficie del bacino, in modo da tenere conto che della pioggia checade una parte ruscella, una parte infiltra ed una parte evapotraspira:

j = r + f + e (3.53)

Dal momento che durante gli eventi piovosi l’atmosfera è pressoché satura il contributo dell’evapo-traspirazione è pressoché trascurabile, consideriamo quindi solo il tasso:

π = r + f (3.54)

L’incremento infinitesimo di capacità di campo dc corrispondente ad un incremento dt vale:

– zona satura: dc = 0;

– zona non satura: dc = π dt, in quanto tutta l’acqua che cade infiltra.

Immaginando un tasso π costante su intervalli di tempo ∆t si ha che :

c?(t+ ∆t) = c?(t) + π∆t (3.55)

Dal momento che il ruscellamento avviene solamente nella zona satura si ha che:

r = π · FC(c?) (3.56)


3. Sempre nell’ipotesi di π costante su intervalli di tempo ∆t il volume d’acqua ruscellato vale:

VR =∫ t+∆t

t

r(τ) dτ = π

∫ t+∆t

t

FC(c?(τ)) dτ = π

∫ c?(t+∆t)

c?(t)

FC(x) dx (3.57)

4. La variazione di volume immagazzinato nell’intervallo di tempo ∆t vale:

∆S = π∆t− VR (3.58)

Riepilogando si ha che:

1. S −→ c?

2. c? −→ r (passo non necessario dal punto di vista del calcolo)

3. r −→ VR

4. VR −→ ∆S

Ciclando tra i passi 1, 3 e 4 è possibile descrivere l’andamento del tempo dell’area contribuente, ossia diquella porzione di bacino che contribuisce al ruscellamento.

Tale modello ha avuto esclusivamente risonanza teorica in quanto presenta il grosso limite applicativo chenecessita della conoscenza diretta della funzione di densità di probabilità della capacità d’immagazzinamentodel bacino fC(c).


3.3.7 Top ModelIl passo successivo è stato quello di considerare come punto di partenza il concetto probabilistico del PDMe di cercare modelli teorici basati su parametri morfometrici del bacino, dipendenti direttamente dallafC(c). Una soluzione di questo tipo è stata proposta alla fine degli anni Settanta da Beven con un modellorappresentante l’interazione idrologica a livello della superficie del terreno: tale modello è noto come TopModel ed è quello attualmente più utilizzato.

Il Top Model si presenta come una struttura aperta ed è distribuito gratuitamente con un file sorgentescritto in linguaggio Fortran. Nel seguito ne verranno esposti i principi generali.

Assunzioni fondamentali

Il Top Model parte da 3 ipotesi di lavoro.

1. È intuitivo pensare che in un bacino idrografico le zone sature si dispongano attorno alle aste fluviali,in quanto esse coincidono con le emergenze della falda stessa. Ciascuna di queste zone sature è inequilibrio con una ricarica stazionaria proveniente dal pendio di area contribuente a (figura 3.36).

Figura 3.36. Top Model: ipotesi 1.

2. La tavola d’acqua è subparallela alla superficie in modo tale che il gradiente idraulico efficace siauguale alla pendenza superficiale locale tanβ (figura 3.37). La dinamica della zona satura può essereapprossimata mediante rappresentazioni successive stazionarie della zona satura su un’area a drenantein un punto del pendio.


3. Il profilo di trasmissività può essere descritto da una funzione esponenziale del deficit di immagazz-inamento, con un valore T0 quando il terreno è saturo sino in superficie (deficit nullo) (figura 3.38).



Flusso stazionario nella zona satura e indice topografico

Sotto le ipotesi viste in ogni punto i del pendio la portata unitaria sotterranea in zona satura può esseredescritta dalla seguente equazione:

qi = T0 tanβ exp(−Di/m) (3.59)

dove:

- Di: deficit di immagazzinamento locale per unità di superficie [L]

- m: parametro che controlla la velocità di diminuzione della trasmissività all’aumentare del deficit diimmagazzinamento,

- T0 e tanβ: valori locali riferiti al punto i.

Poi sotto l’assunzione che, in ogni momento, esista un flusso quasi stazionario attraverso il terreno, assumentoun tasso di ricarica r spazialmente omogeneo verso la tavola d’acqua, si può scrivere:

qi = ra (3.60)

Combinando le due equazioni è possibile derivare una formula per ciascun punto che metta in relazione laprofondità locale della tavola d’acqua all’indice topografico ln(a/ tanβ) in quel punto, al parametro m, allatrasmissività locale satura T0 ed al tasso di ricarica r:

Di = −m ln(

ra

T0 tanβ

)= −m ln

a

T0 tanβ−m ln r (3.61)

Si noti che quando il terreno è saturo il deficit locale è nullo e come il terreno si asciuga e la tavola d’acquascende i valori numerici del deficit di immagazzinamento aumentano.

Un’espressione per il deficit medio può essere ottenuta mediando arealmente la somma su tutti i puntiinterni al bacino:

D =1A

∑i

Ai

[−m ln

(ra

T0 tanβ

)]= −m ln r +

1A

∑i

Ai

[−m ln

(a

T0 tanβ

)](3.62)

Assumendo r spazialmente costante si può scrivere una relazione tra la profondità media della tavola d’acqua,la profondità locale della tavola d’acqua, le variabili topografiche e la trasmissività satura:

Di = D +m

[γ − ln

(a

T0 tanβ

)](3.63)


dove:

- ln(a/T0 tanβ: indice topografico di Beven;

-γ =

1A

∑i

Ai lna

T0 tanβ(3.64)

È possibile definire un valore medio di tramissività areale:

lnTe =1A

∑i

Ai lnT0 (3.65)

L’equazione (3.63) può essere riarrangiata in:

D −Di

m= −

[λ− ln

a

tanβ

]+ [lnT0 − lnTe] (3.66)

dove:

- λ = (1/A)∑iAi ln(a/ tanβ): costante topografica del bacino

Tale equazione esprime la deviazione che esiste tra la profondità media della tavola d’acqua nel bacino(deficit) e la profondità locale della tavola d’acqua (deficit) in ogni punto in termini di deviazione dell’indicetopografico dalla sua media areale, e la deviazione del logaritmo della trasmissività locale dal suo valoreintegrale areale. Tale relazioen è scalata mediante un parametro m.

Indice topografico come indice di similarità idrologica

L’implicazione dell’equazione (3.63) è che in ciascun punto del bacino con il medesimo valore dell’indicetopografico:

IT = ln(

a

T0 tanβ

)si prevede che rispondenderà idrologicamente in maniera simile. Non è quindi necessario eseguire i conti perciascun punto dello spazio ma solo per diversi valori dell’indice topografico.

Nella maggiorparte delle applicazione del Top Model la distribuzione dell’indice topografico viene dis-cretizzata in un certo numero di incrementi rappresentanti appropriati percentuali del bacino: una voltavalutata la distribuzione dell’indice topografico sul bacino è possibile costruire delle classi comprese tradei valori prefissati (IT1, IT2, . . . ) e successivamente attribuire ad ogni classe l’area Ai della superficie dibacino avente indice topografico compreso. Si può quindi costruire un istogramma di frequenza delle areeaventi indice topografico all’interno di tali intervalli (figura 3.39). Adimensionalizzando poi tali aree Airispetto all’area del bacino idrografico Ab si ottiene un diagramma di frequenze relative confrontabile conuna funzione di densità di probabilità.

Ad ogni passo, quegli incrementi con elevati valori dell’indice topografico vengono predetti come saturio aventi basso deficit d’immagazzinamento. I calcoli per ciascun incremento vengono completati con unacomponente di zona non satura.

Derivazione dell’indice topografico

L’analisi della topografia del bacino è richiesta ai fini della derivazione della funzione di distribuzione dia/ tanβ. Al fine di ottenere valori discreti di a/ tanβ è necessario effettuare un campionamento dellatopografia. Attualmente viene utilizzata una tecnica computerizzata basata per la derivazione della funzionedi distribuzione dell’indice topografico basata sulla divisione del bacino in unità di sottobacino. Ogni unitàviene poi discretizzata in piccoli elementi locali di pendio sulla ase dei percorsi di flusso dominanti.

Esistono poi altre tecniche più evolute basate sull’utilizzo di DTM.


Figura 3.39. Top Model: istogramma di frequenza delle aree in funzione dell’indicetopografico.

Umidità del terreno: flussi in zona non satura

La struttura base del terreno può essere utilizzata per modellare varie descrizioni di processi che avvengonoin zona non satura. Una formulazione assume che l’immagazzinamento nella zona delle radici per ognivalore dell’indice topografico sia svuotata solo dall’evapotraspirazione, e che l’acqua sia aggiunta allì’im-magazzinamento della zona non satura solo dopo che la zona delle radici ha raggiunto la capacità di campo.Il drenaggio è assunto essenzialmente verticale ed il flusso di drenaggio per unità di area qv viene calcolatoper ogni classe dell’indice topografico.

Una forma spesso utilizzata è:

qv =SuzDitd

(3.67)

dove:

- Suz: immagazzinamento [L] nella zona non satura (drenaggio per gravità);

- Di: deficit di immagazzinamento locale per drenaggio a gravità e dipendente dalla profondità localedella tavola d’acqua [L].

Schematizzazione del processo di infiltrazione

È possibile analizzare il Top Model con la seguente schematizzazione del singolo elemento (figura 3.40).Con riferimento alla figura 3.40 si supponga un’intensità di pioggia j, nel sottosuolo si possono individuare4 zone ideali:

1. zona di immagazzinamento a livello delle radici;

2. zona non satura costituita dai pori più piccoli;

3. zona in cui si ha il flusso di ricarica della falda, costituita dalla frazione più grossolana;

4. zona satura al di sotto della falda.

Se il deficit diminuisce a livello di bacino si hanno sempre maggiori contatti fra la superficie topografica ela falda; inoltre l’immagazzinamento viene ad essere legato al deficit stesso con la sostituzione di T (D) conK0(D):

– se j > K0 allora r = j −K0;

– se j < K0 allora r = 0.


Figura 3.40. Top Model: schematizzazione del singolo elemento.

Finché non viene raggiunta la capacità massima del suolo di immagazzinare l’acqua (Sr < Sr,max) si ha cheil tasso d’infiltrazione vale:

f = min(j,K0) (3.68)

e quindi l’immagazzinamento vale:Sr(t+ ∆t) = Sr(t) + f∆t (3.69)

Una volta che la capacità di immagazzinamento massima del terreno è stata raggiunta l’infiltrazione profondaI comincia a ricaricare la falda:

– se Sr < Sr max allora I = 0;

– se Sr ≥ Sr max allora I = f .

Con il Top Model la superficie del bacino viene distinta in due porzioni:

1. porzione che produce dirttamente ruscellamento di tipo hortoniano (D = 0);

2. porzione che produce ruscellamento per annullamento del deficit.

Il Top Model può essere suddiviso in 2 moduli:

1. un modulo complesso che controlla il ruscellamento a scala locale mediante il modello di Horton o adarea contribuente (?);

2. un modulo di trasporto secondo i concetti dell’idrogramma unitario.

È evidente che rispetto al metodo CN-SCS il Top Model permette, in quanto maggiormente legato alla fisicadel sistema, di seguire anche una successione di eventi piovosi oltre che il singolo evento.

Varianti al modello base

Esistono numerose varianti al Top Model con le quali tener conto di ulteriori processi idrologici, tra le quali:

• è possibile prevedere un modulo che calcoli l’acqua che arriva alla sezione di chiusura del bacino inseguito al deflusso di base dovuto all’esaurimento delle falde sotterranee; in questi casi è possibilevalutare la portata di base in termini di deficit d’immagazzinamento medio del bacino:

Qb = Q0 exp(−Dm

)(3.70)


Figura 3.41. Top Model: schematizzazione dell’intero bacino idrografico.

• è possibile prevedere un modulo che calcoli l’acqua che arriva alla sezione di chiusura del bacino pereffetto dello scioglimento delle nevi ;

• è possibile prevedere un modulo che calcoli le perdite nel bacino dovute all’evapotraspirazione; inquesti casi si utilizza una formula come quella di Penman.

La versioni attuali del Top Model usano due serbatoi per rappresentare la zona non satura, uno rappre-sentante gli immagazzinamenti per intercezione e dovuto alle radici, per il quale viene calcolato un deficitaggiuntivo dovuto all’evapotraspirazione, e un magazzino di drenaggio che controlla la ricarica della zonasatura.

La rappresentazione dell’infiltrazione può essere anche inclusa nel modello mediante approcci più esplici-tamente fisici (esempio Horton).

Andrea Lisjak 3.4. Idrogramma Unitario Istantaneo Geomorfologico 137

3.4 Idrogramma Unitario Istantaneo Geomorfologico

Esistono situazioni in cui è necessario conoscere la risposta idrologica di un bacino, rappresentabile dal-l’idrogramma unitario istantaneo (IUH - Instantaneous Unit Hydrograph), in tempi relativamente brevi equindi prescindendo dall’esecuzione di misure di precipitazione e di portata. I primi modelli di questo tiposono stati proposti verso la fine degli anni Settanta e i primi anni Ottanta. Dal momento che essi permettonola ricostruzione della risposta idrologica in termini di IUH basandosi esclusivamente sulla morfologia delbacino e quindi su dati topografici vengono detti Idrogrammi Unitari Istantanei Geomorfologici (GIUH -Geomorfological Instantaneous Unit Hydrograph).

Il problema della determinazione dello GIUH è stato affrontato dai primi ricercatori che hanno studiatotale problema (Gupta e Rodriguez–Iturbe) secondo due punti di vista differenti.

3.4.1 Approccio basato sul metodo di Horton–Strahler

Tale approccio al modello è stato per la prima volta pubblicato nel 1979 sulla rivista Water ResourcesResearch. Esso parte da una serie di concetti fondamentali:

X tempo di residenza nel bacino;

X ordinamento del reticolo idrografico secondo il metodo di Horton–Strahler;

X interazione debole tra le particelle d’acqua.

Tempo di residenza nel bacino

L’idrogramma unitario istantaneo può essere interpretato come una funzione di densità di probabilità aventecome variabile aleatoria il tempo di residenza nel bacino (detto anche tempo di risposta): una quantitàd’acqua piovuta in un punto qualsiasi del bacino ha una densità di probabilità u(t) di uscire al tempo tdalla sezione di chiusura del bacino. L’aleatorietà del processo sta nel fatto che non è noto a priori il puntoda cui parte il percorso della gocciolina di pioggia verso la sezione di chiusura.

Figura 3.42. Funzione di densità di probabilità associata al tempo di residenza nel bacino.

Ordinamento del reticolo idrografico secondo il metodo di Horton–Strahler

Il bacino idrografico viene rappresentato mediante un reticolo di canali ordinato secondo il metodo diHorton–Strahler. Esso è quindi caratterizzato dai parametri RB , RL ed RA e da canali di ordine ω =1, . . . ,Ω.


Interazione debole tra le particelle d’acqua

La pioggia che dà luogo a ruscellamento (ossia la pioggia efficace, valutata mediante uno dei metodi vistiin precedenza) è schematizzabile mediante n particelle identiche, aventi cioè ugual massa, debolmenteinteragenti tra di loro.

Il tempo di residenza della particella i-esima dipende dal suo percorso verso la sezione di chiusura:

Ti =∑

k∈percorso

ti,k (3.71)

dove:

- Ti: tempo di residenza della particella i-esima;

- ti,k: tempo parziale di percorrenza della particella i-esima del tratto parziale k − esimo appartenenteal percorso;

in maniera simile a quanto visto per il modello cinematico o della corrivazione si può assumere:

ti,k =Lkvk

(3.72)

dove:

- Lk: lunghezza del tratto parziale k − esimo;

- vk: velocità media di percorrenza del tratto k−esimo, considerata come una caratteristica propriadel tratto e non del numero di particelle che lo percorre (ipotesi di interazione debole).

Interazione debole tra le particelle

Bisogna innanzitutto procedere alla scomposizione del bacino e del reticolo idrografico tenendo presente ilmetodo di ordinamentodi Horton–Strahler.

1. Il bacino viene suddiviso in:

−→ canali cω (ω = 1, . . . ,Ω): vengono individuati in base all’ordine di Horton–Strahler;

−→ aree elementari contribuenti rω: rappresentano tutti i percorsi al di fuori della rete di canalipermanente (prati, tetti, strade, . . . ), l’ordine ω dell’area è uguale a quello del canale a cuiafferisce;si noti come nella determinazione dell’area di ordine ω di debba seguire un procedimento leg-germente diverso da quello visto nel metodo di Horton–Strahler: essa comprende esclusivamentel’area che afferisce al solo canale di ordine ω e non le aree a monte afferenti a canali di ordineinferiore; deve essere:

Ω∑ω=1

rωNω = Ab (3.73)

dove:

- Nω: numero di aree di ordine di ω;- rω: area media delle aree di ordine ω.

2. Tutti i possibili percorsi fisici della pioggia efficace per arrivare alla sezioen di chiusura vengonoriassunti, in base all’ordinamento di Horton–Strahler nella seguente maniera:

se consideriamo un bacino idrografico di ordine Ω = 4 si hanno 8 possibili percorsi:

(a) r4 −→ c4 −→ S;

(b) r3 −→ c3 −→ c4 −→ S;

(c) r2 −→ c2 −→ c3 −→ c4 −→ S;

(d) r2 −→ c2 −→ c4 −→ S;


Figura 3.43. Determinazione delle aree elementari rk.

(e) r1 −→ c1 −→ c2 −→ c3 −→ c4 −→ S;

(f) r1 −→ c1 −→ c3 −→ c4 −→ S;

(g) r1 −→ c1 −→ c2 −→ c4 −→ S;

(h) r1 −→ c1 −→ c4 −→ S.

3. Dal momento che il tempo di residenza è assunto come una variabile aleatoria, la probabilità che vengaseguito il percorso s− esimo è data da:

ps = πr · pr→c · pc→c · . . . (3.74)

dove:

- πrω : probabilità che una particella cada nell’area elementare r;essa è direttamente proporzionale al’estensione delle aree di ordine ω:

πrω = Nω ·rωAb

(3.75)

- prω→cω : probabilità che ci sia il passaggio della particella dall’area rω al canale cω;dal momento che aree di ordine ω afferiscono solamente a canali di ordine ω si ha:

πrω→cω = 1 (3.76)

- pcω→cω′>ω : probabilità che ci sia il passaggio della particella da un canale ad un altro canale diordine maggiore;sia dato per esempio un bacino di ordine Ω = 4 e sia N1 il numero di canali di ordine 1, si possonopresentare i seguenti casi si trasferimento di una particella da un canale di ordine 1 verso altricanali:

(a) c1 −→ c2 con m1 numero di canali di ordine 1 che afferiscono a canali di ordine 2:

pc1→c2 =m1

N1(3.77)

(b) c1 −→ c3 con m2 numero di canali di ordine 1 che afferiscono a canali di ordine 3:

pc1→c3 =m2

N1(3.78)


(c) c1 −→ c4 con m3 numero di canali di ordine 1 che afferiscono a canali di ordine 4:

pc1→c4 =m3

N1(3.79)

Deve essere inoltre: ∑ps = 1 (3.80)

Determinazione dello GIUH

Il tempo di residenza nel bacino relativo al percorso s− esimo vale:

Ts =∑

k∈percorso

Tk (3.81)

Il tempo di residenza nel bacino ovviamente dipende dal percorso seguito, tuttavia in termini formali èpossibile scrivere:

TB =∑k∈p.p.

δs · Ts (3.82)

dove:

- p.p.: percorsi possibili;

- δs è la delta di Dirac.

La probabilità che il tempo di residenza di una particella sia inferiore a TB vale:

prob(Tb < t) =∑s∈p.p.

prob(Ts < t) · ps (3.83)

L’idrogramma unitario istantaneo essendo una funzione di densità di probabilità è la derivata della funzionedi probabilità cumulata:

u(t) =ddt

prob(Tb < t) (3.84)

dopo alcuni passaggi si ottiene:u(t) =

∑s∈p.p.

ps · [f1 ∗ f2 ∗ . . . fΩ] (3.85)

dove:

- ∗: integrale di convoluzione;

- fk: funzioni di densità di probabilità dei tempi di residenza all’interno dei singoli elementi.

Ipotizzando che le funzioni di densità di probabilità siano espresse in forma esponenziale (figura 5.3(b)):

fk = λk exp (−λkt) (3.86)

le convoluzioni assumono un’espressione semplificata:

f1 ∗ f2 ∗ . . . ∗ fk =k∑j=1

cjk exp (−λjt) (3.87)

dove:

cjk =

∏kj=1 λj∏k

i=1∧i 6=j(λi − λj)(3.88)

Dal momento che nella maggiorparte dei casi si lavora con un tempo discreto è possibile sviluppare unalgoritmo di calcolo per la risoluzione di tale problema.


Velocità media nei canali e di ruscellamente superficiale

I valori della costante λk sono legati al tempo di residenza delle singole particelle nel k−esimo elemento.La lunghezza media dei canali di ordine ω è data da:

Lω = L1Rω−1L (3.89)

Se vc è la velocità media di trasferimento nei canali allora il tempo medio di percorrenza di un canale diordine ω è dato:

tω =Lωvc

(3.90)

Se il k − esimo elemento è costituito da un canale di ordine ω allora si può assumere:

λk =1tω

=vcLω

(3.91)

La velocità media di trasferimento lungo le falde versanti vr è invece di un ordine di grandezza più piccolorispetto a quella di trasferimento nei canali (0,1m/s contro 1–1,5m/s). Ipotizzando di adottare per le areerk una schematizzazione rettangolare (figura 3.44) si ha che la distanza percorsa lungo il versante dell’arear di ordine ω è pari a:

Lrω =Bw2

=rω

2Lw(3.92)

Se il k − esimo elemento è costituito da un’area di ordine ω allora si può assumere:

λk =1trω

=vrLrω

=rω

2Lωvr(3.93)

Figura 3.44. Schematizzazione rettangolare delle aree rk.

Soluzione di Rodriguez

La soluzione di Rodriguez parte dalle seguenti ipotesi:

1. medesima velocità di trasferimento V per ogni canale di ordine ω ed ogni superficie r;

2. approssimazione triangolare dello GIUH (figura 3.45);tale forma di idrogramma unitario istantaneo è caratterizzato da due parametri:

– tc: tempo al colmo;– u?: valore massimo; esso definisce anche il tempo tB in quanto:∫ tB

0

u(t) dt =tB · u?

2= 1 =⇒ tB =

2u?

(3.94)


Figura 3.45. Soluzione di Rodriguez: idrogramma unitario istantaneo triangolare.

Partendo da un bacino idrografico ordinato secondo il metodo di Horton–Strahler ed eseguendo una seriedi elaborazioni statistiche Rodriguez ha ricavato le seguenti espressioni per la determinazione dei parametritc e u?:

tc = 1, 31 ·R0,43L ·

(V

LΩ

)−1

(3.95)

u? = 0, 44 ·(RBRA

)0,55

·R−0,38L · V

LΩ(3.96)

Soluzione di Rosso

A partire dai parametri del bacino idrografico RB , RL, RA e LΩ la soluzione di Rosso definisce i parametrin e k dello IUH di Nash:

u(t) =1

Γ(n)

(t

k

)n−1

exp(− tk

)(3.97)

La costante di tempo degli n serbatoi lineari è pari al tempo di percorrenza dell’ultimo canale scalato peruna certa quantità che dipende dalla forma della rete:

k = 0, 70(

RARBRL

)0,48LΩ

V(3.98)

Il numero n di serbatoi lineari non dipende né dall’area del bacino Ab né dall’ordine Ω del bacino bensì solodall’articolazione della rete idrografica:

n = 3, 29(RARB

)0,78

R0,07L (3.99)


3.4.2 Approccio basato sulla funzione di ampiezza

Tale approccio al modello si deve a Gupta, Waymire e Rodriguez–Iturbe.

Funzione di ampiezza della rete idrografica

Tale metodo di determinazione dell’idrogramma unitario istantaneo geomorfologico prescinde da qualsiasiforma di ordinamento del reticolo idrografico e dall’analisi di ciò che avviene sui versanti. Esso si basaesclusivamente sulla descrizione del reticolo mediante una funzione di ampiezza.

Figura 3.46. Determinazione della funzione di ampiezza di un bacino.

Si definisce funzione di ampiezza del reticolo idrografico N(x) il numero di canali che si trova ad una distanzax dalla sezione di chiusura S del bacino, tale distanza non viene misurata in linea d’aria bensì con riferimentoad un’ascissa curvilinea lungo gli assi dei canali (figura 3.46).

Figura 3.47. Funzione di ampiezza di un bacino (qualitativa).

Ipotesi di base

L’ipotesi di base di tale approccio è la seguente: per tutti i punti distanti x dalla sezione di chiusura ladensità di probabilità g(t;x) che la goccia d’acqua immessa nel bacino alla distanza x esca al tempo t è lamedesima. La variabile aleatoria associata a tale distribuzione è il tempo di percorrenza Tp,x da x ad S.

Con riferimento alla figura 3.48 si può dimostrare che:

g(t;x+ y) = g(t;x) ∗ g′(t; y) (3.100)


Figura 3.48. .

Dal punto di vista operativa risulta opportuno utilizzare delle funzioni di densità di probabilità che godanodella condizione di semigruppo, ossia tali che il risultato della convoluzione sia una funzione della stessaforma di quelle in ingresso:

• distribuzione impulso di Dirac;

• distribuzione gamma incompleta;

• distribuzione normale.

L’idrogramma unitario istantantaneo è pari alla convoluzione di tutte le funzioni di densità di probabilitàlungo le aste:

u(t) ≡ f(t; 0) =1Z

∫ ∞0

N(x)g(t;x) dx (3.101)

dove:

- Z: lunghezza totale della rete idrografica;

-∫∞

0g(t;x) dt = 1

-∫∞

0N(x) dx = Z

In pratica si pesano le densità di probabilità locali con il numero di canali che stanno a quella distanza(figura 3.49).

Figura 3.49. .

Distribuzione impulso di Dirac

Utilizzando la distribuzione impulso di Dirac si ha:

δ(t− x

v

)∗ δ(t− y

v

)= δ

(t− x+ y

v

)(3.102)


Se si ipotizza che tutta la rete4 venga percorsa da con la medesima velocità v allora il modello che si ottieneè proprio quello cinematico. Se le funzioni di densità di probabilità sono costituite dall’impulso di Diracallora il modello diventa di tipo deterministico: è certo che la goccia immessa alla distanza x esca allasezione di chiusura al tempo x/v in quanto la densità di probabilità è infinita.

Figura 3.50. Funzione impulso di Dirac.

Distribuzione gamma incompleta

La distribuzione gamma incompleta o di Pearson del III tipo è la seguente:

g(t;x) =1

kΓ(x)·(t

k

)x−1

exp(− tk

)(3.103)

Tale distribuzione non viene tuttavia utilizzata in quanto g(t;x) dipende da x e quindi dalla dimensione dellarete, il che risulta in contraddizione col fatto che il numero di serbatoi lineari dipende solo dall’articolazionedella rete idrografica.

Distribuzione normale

La distribuzione normale è la seguente:

g(t;x) =x√

4πDt3exp

[− (x− ct)2

4Dt

](3.104)

Affinchè i parametri c e D siano adimensionali deve essere:

c = [LT−1]D = [L2T−1] (3.105)

Si dimostra che tale distribuzione è soluzione dell’approssimazione parabolica delle equazioni di moto varionei nei canali (paragrafo 5.2.3).

Tale modello presenta due vantaggi:

1. parte da una descrizione della rete che prescinde dal suo ordinamento;

2. i coefficienti c e D sono legati ad un processo fisico come la propagazione dell’onda di piena in unarete idrografica (paragrafo 5.2).

4In realtà è sufficiente che la velocità sia costante con la distanza x.


Risoluzione numerica del problema

Consideriamo l’espressione dello IUH definita da:

u(t) =1Z

∫ ∞0

N(x)g(t;x) dx (3.106)

e la funzione di densità di probabilità gaussiana:

g(t;x) =x√

4πDt3exp

[− (x− Ct)2

4Dt

](3.107)

Si noti come in questa formulazione g(t;x) diventi a parametro t e variabile x. N(x) è una funzione costantea tratti, in quanto la sua determinazione avviene per passi spaziali costanti (ad esempio di 50m), e definitada valori reali a valori interi.

L’integrale può quindi essere scomposto nel seguente modo:

u(t) =1Z

[∫ x1

0

N(x)g(t;x) dx+∫ x2

x1

N(x)g(t;x) dx+ . . .+∫ L

...

N(x)g(t;x) dx

]= (3.108)

=1Z

L′∑i=1

Ni

∫ xi

xi−1

g(t;x) dx (3.109)

dove:

- Ni = N(x) per xi−1 ≤ x ≤ xi.

Dal momento che per t = 0 la funzione g(t;x) non è definita si impone u(0)=0.


3.5 Esercizi

3.5.1 Determinazione dei parametri di Horton–Strahler del fiume CellinaSi vuole determinare:

– rapporto di biforcazione RB ;

– rapporto di lunghezza RL;

– rapporto di area RA mediante il metodo della densità di drenaggio;

del reticolo idrografico del fiume Cellina, con i dati riportati in tabella 3.4.

Tabella 3.4. Parametri di Horton–Strahler relativi al reticolo idrografico del fiume Cellina.

ω n Ltot (km) L (km)

1 9.171 - -2 2.195 633,25 0,293 492 259,73 0,534 110 89,29 0,815 25 54,55 2,186 8 40,23 5,037 2 14,98 7,498 1 22,60 22,60

Determinazione del rapporto di biforcazione

Interpolando linearmente i punti riportati in figura 3.51 e calcolando la pendenza della retta (tanϕ) siottiene:

RB = exp(tanϕ) = 0, 26

-2,00

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ω

log

n

Figura 3.51. Determinazione del rapporto di biforcazione.


Determinazione del rapporto di lunghezza

Interpolando linearmente i punti riportati in figura 3.52 e calcolando la pendenza della retta (tanϕ) siottiene:

RL = exp(tanϕ) = 1, 99

-2,00

-1,50

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

0 1 2 3 4 5 6 7

ω

ln L

Figura 3.52. Determinazione del rappporto di lunghezza.

Determinazione del rapporto di area

La determinazione del rapporto di area viene effettuata a partire dalla densità di drenaggio. Definendoβ = RL/RB = 7, 60 e Ω = 8 si ha:

RA = RB ·βΩ

βΩ−1 − 1= 1, 99 (3.110)


3.5.2 Determinazione dello GIUH del torrente But

Si vuole determinare l’idrogramma unitario istantaneo geomorfologico, secondo l’approccio GWR, relativoal torrente But, con sezione di chiusura alla confluenza nel fiume Tagliamento, nell’ipotesi di funzione didensità di probabilità normale (equazione 3.53), noti che siano:

– la funzione di ampiezza a passo spaziale costante ∆x = 0, 5 km (figura 5.3(b));

– l’area del bacino idrografico: Ab = 300 km2;

– la portata al colmo di piena: 700 m3/s;

– la pendenza media dell’asta principale: if = 0, 01;

– la larghezza media dell’asta principale: B = 0, 2 km;

– la velocità media di trasferimento dell’acqua sui versanti: vv = 0, 1 m/s;

– la velocità media nei canali: vc = 2 m/s;Grafico1

Pagina 1

Funzione di ampiezza del t. But

0

5

10

15

20

25

30

35

0 5 10 15 20 25 30 35

Distanza x dalla foce (km)

N(x

)

Figura 3.53. Funzione di ampiezza del torrente But.

Stima dei parametri c e D

La lunghezza della rete idrografica vale:

Z =∫ Lmax

0

N(x) dx =N∑i=1

Ni∆xi = ∆xN∑i=1

Ni = 327, 8 km

La densità di drenaggio del bacino idrografico vale:

DD =Z

Ab≈ 1 km−1

Il tempo di corrivazione del bacino può essere stimato come somma del tempo di percorrenza dei versanti edel tempo di percorrenza dell’asta principale:

Tc = tv + tc =0, 5 kmvv

+L

vc≈ 1, 5 + 4, 5 ≈ 6 h


Il parametro di celerità vale:

c =L

Tc≈ 5, 4 km/h

Il coefficiente di diffusione D può essere stimato mediante l’approssimazione di Hayami:

D ≈ Q

2Bif= 0, 63 km2/h

Determinazione dell’idrogramma unitario istantaneo

L’idrogramma unitario istantaneo è dato da:

u(t) =1Z

∫ Lmax

0

N(x)g(t;x) dx

Tale integrale viene risolto numericamente sia perché la funzione N(x) è data a passo costante sia perchéla g(t;x) non è integrabile analiticamente. Si ha quindi:

u(tj) =1Z

N∑i=1

Ni

∫ xi

xi−1

x

tj

1√2πσtj

exp

[−1

2

(x− ctjσtj

)2]

dx j = 1, . . . ,M

dove:

- σtj =√

2Dtj

Approssimando l’integrale della g(t;x) mediante rettangoli si ottiene:

u(tj) =1Z

N∑i=1

Ni∆xxit

1√2πσtj

exp

[−1

2

(xi − ctjσtj

)2]

dxi j = 1, . . . ,M

Calcolando u(t) con una scansione temporale di mezz’ora per un tempo complessivo di 15 ore ed imponendou(0) = 0 si ottiene uno GIUH il cui andamento è rappresentato in figura 3.54.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0 2 4 6 8 10 12 14

Tempo (h)

u(t)

(h^-

1)

Figura 3.54. Idrogramma unitario istantaneo geomorfologico del torrente But.

Parte II

Idraulica fluviale

151

Capitolo 4

Moto permanente nelle correnti a pelolibero

4.1 Generalità

Si tratta essenzialmente delle correnti idriche che percorrono i corsi d’acqua naturali (fiumi, torrenti) o icanali artificiali (di bonifica, di irrigazione, di fognatura, di impianti idroelettrici, di navigazione interna).

Queste correnti sono caratterizzate dall’avere la parte superiore della superficie di contorno non a contattocon una parete solida, bensì con un gas, che nella più grande generalità dei casi è l’atmosfera. Questasuperficie si dice superficie libera o pelo libero, essa è una superficie isobarica (p = cost), almeno se siconsiderano tronchi di corrente non eccessivamente estesi.

4.1.1 Ipotesi

Studio a grande scala

Lo studio delle correnti a pelo libero viene effettuato su grande scala, non andando quindi ad indagare suciò che avviene puntualmente (per lo studio dei cui fenomeni si rendono necessarie le equazioni di Navier-Stokes). Invece quindi di ragionare in termini di forze e sforzi si ragiona in termini di energia (grandezzascalare) e quantità di moto (grandezza vettoriale).

Correnti lineari o gradualmente variate

Salvo situazioni eccezionali, in genere limitate a brevi tratti di corrente e che andranno esaminate casoper caso con apposita trattazione, si fa riferimento al caso delle correnti lineari o gradualmente variate:esse sono caratterizzate da una trascurabile curvatura delle singole traiettorie e quindi da una distribuzionesensibilmente idrostatica della pressione in ogni sezione trasversale.

Ne consegue che l’intersezione di una generica sezione trasversale con la superficie libera risulta una rettaorizzontale.

È possibile quindi parlare della quota del pelo libero di una generica sezione e definire un profilo longitudi-nale del pelo libero della corrente, o più semplicemente profilo del pelo libero, come linea d’intersezione dellasuperficie libera col cilindro a generatrici verticali contenente una generica traiettoria (il quale si discosteràassai poco da un piano verticale).

Teoria unidimensionale

Lo studio del moto può essere condotto secondo la teoria unidimensionale, con riferimento cioè ad unasola coordinata spaziale: l’ascissa curvilinea s misurata lungo una traiettoria. Ne consegue che del vettorevelocità ~v si considera solamente la componente assiale e si trascurano le componenti orizzontali e verticalinel piano della sezione.

Tale teoria viene inoltre ulteriormente semplificata ipotizzando che la pendenza dell’alveo in cui si muovela corrente, e quindi la pendenza di tutte le traiettorie e del profilo del pelo libero, siano trascurabili, sicché

153

154 Capitolo 4. Moto permanente nelle correnti a pelo libero Andrea Lisjak

le sezioni trasversali possano assimilarsi, senza sensibile errore, a piani verticali. Tale ipotesi risulta benaccettabile in quanto valori tipici di pendenza dei corsi d’acqua sono:

- lungo i fondo valle: 1/100;

- lungo i conoidi: 1/1.000;

- lungo le pianure alluvionali: 1/10.000.

Così facendo si possono inoltre prendere le componenti orizzontali di spostamento e di velocità al posto diquelle lungo l’ascissa della traiettoria:

if = − dzfds≈ − dzf

dxvs ≈ vx (4.1)

Andrea Lisjak 4.2. Caratteristiche energetiche della corrente in una sezione 155

4.2 Caratteristiche energetiche della corrente in una sezioneSi fissi l’attenzione su una generica sezione trasversale di una corrente. Sia assegnata la geometria dellasezione, in modo che l’area Ω della parte di essa occupata dalla corrente (area bagnata o area della sezioneliquida) possa considerarsi funzione nota dell’altezza y misurata a partire dal punto più basso del contorno:

Ω = Ω(y) (4.2)

Il carico totale della corrente vale:

H = zf + y + αV 2

2g= h+ hc (4.3)

- quota geodetica del fondo: zf ;

- profondità della corrente: y;

- carico o altezza piezometrica: h = zf + y;

- carico o altezza cinetica: hc = αV 2/(2g)

- V : velocità media nella sezione trasversale: V =(∫

Ωv dΩ

)/Ω = Q/Ω

- α: coefficiente di Coriolis; serve a tener conto della non uniforme distribuzione della velocità nellasezione trasversale. Nel seguito si ipotizzerà sempre α = 1.

Si definisce energia specifica della corrente nella sezione considerata il carico totale misurato rispetto alfondo dell’alveo:

E = y + αV 2

2g= y + α

Q2

2gΩ2= H − zf (4.4)

Figura 4.1. Carico totale ed energia specifica.

4.2.1 Portata assegnataSupponiamo prefissata la portata Q della corrente. Tale portata può muoversi attraverso l’assegnata sezionetrasversale per ogni valore dell’altezza y e quindi dell’area bagnata Ω compreso tra lo zero ed il massimoconsentito dalla sezione: aumentando y, e quindi Ω, diminuirà la velocità media V della corrente e viceversa.

Ne risulta che l’energia specifica è una funzione univoca dell’altezza y:

E = E(y) (4.5)


- Se la profondità y diminuisce, tendendo a zero, tende a zero l’area Ω, aumenta e tende all’infinito lavelocità V , e quindi l’energia specifica E tende all’infinito.

- Se la profondità y aumenta, tendendo all’infinito, tende all’infinito l’area Ω, diminuisce e tende a zerola velocità V e quindi il carico cinetico, di conseguenza l’energia specifica E tende a ridursi alla solaparte piezometrica y, ma con essa cresce pure indefinitamente.

La curva dell’energia specifica E(y) deve quindi avere un asintoto coincidente con l’asse delle E e un altroasintoto obliquo nella retta coincidente con la bisettrice del quadrante, di equazione E = y. Ne consegueche, essendo la E(y) positiva, essa deve presentare un minimo per un ben determinato valore positivo di y.

Figura 4.2. Curva dell’energia specifica E = E(y).

La condizione di minimo si trova imponendo:

dEdy

= 1− 2Q2

2gΩ3· dΩ

dy= 0 (4.6)

Incrementando di dy l’altezza y l’incremento di area bagnata vale dΩ = B · dy + k( dy)2 e quindi, a menodi infinitesi di ordine superiore in dy, si ha dΩ/ dy = B, con B = B(y).

Il minimo di E si ha quindi per quel valore di y per cui risulta:

Ω3

B=Q2

g(4.7)

Il valore di y che soddisfa la relazione 4.7 viene indicata con yc e si dice altezza critica.

Stato critico

Dicesi altezza critica di una corrente a pelo libero di assegnata portata Q, quell’altezza yc per cui risultaminima l’energia specifica E rispetto al fondo dell’alveo.

Dicesi stato critico della corrente quella particolare condizione in cui essa viene a trovarsi quando la suaaltezza assume valore critico.


Dicesi velocità critica Vc la velocità media corrispondente allo stato critico. Dalla relazione 4.7 si ha:

V 2c =

Q2

Ω2c

= gΩcBc

(4.8)

Poiché il rapporto ym = Ω/B rappresenta genericamente la profondità media della corrente ed indicandocon ymc il valore che ym assume in corrispondenza dello stato critico, la relazione 4.8 può scriversi come:

Vc =√g · ymc (4.9)

Figura 4.3. Profondità media della corrente.

Sezioni rettangolari

Nel caso delle sezioni rettangolari la trattazione risulta estremamente semplice dal punto di vista analitico.Si può fare riferimento in questo caso ad una portata unitaria, per unità di larghezza dell’alveo:

q =Q

B(4.10)

Essendo Ω = By, si ricava subito dalla 4.7 che:

yc = 3

√Q2

gB2= 3

√q2

g(4.11)

e dalla 4.9, essendo in ogni caso Ω/B = ym = y:

Vc =√g · yc (4.12)

Il valore minimo dell’energia specifica può infine essere ricavato dalla 4.4:

Emin = Ec = yc +yc2

=32yc (4.13)

Nel caso particolare della sezione rettangolare si ha dunque che, in corrispondenza dello stato critico, uncarico cinetico pari alla metà dell’altezza della corrente ed un’energia specifica pari a 3/2 della profonditàstessa.

Sezioni di forma generica

Poiché vale la relazione 4.9, per una sezione di forma generica si può scrivere:

Ec = yc +ymc2

(4.14)


Figura 4.4. Sezione rettangolare.

Correnti veloci e correnti lente

Ogni punto della curva E(y) rappresenta una particolare corrente di portata Q. Il punto di minimo dividela curva in due tratti.

- il tratto a sinistra del punto di minimo rappresenta correnti che hanno un’altezza y minore dell’altezzacritica yc e quindi una velocità media V maggiore della velocità critica Vc: correnti veloci ;

- il tratto a destra del punto di minimo rappresenta correnti che hanno un’altezza y maggiore dell’altezzacritica yc e quindi una velocità media V minore della velocità critica Vc: correnti lente.

Figura 4.5. Correnti veloci e correnti lente.

4.2.2 Energia specifica assegnata

Tutte le considerazioni viste, ed in particolare quelle relative allo stato critico, possono essere anche ripreseosservando i fatti da un altro punto di vista. Sempre assegnata la sezione trasversale prefissiamo il valoredell’energia specifica E della corrente, e studiamo come varia la portata Q al variare dell’altezza y.

I limiti di variabilità della y sono, in queste condizioni, lo zero e la stessa E, non potendo il caricopiezometrico superare quello totale.


Conviene risolvere l’equazione 4.4 rispetto a Q:

Q = Ω√

2g(E − y) (4.15)

La portata Q si annulla in due casi:

1. y = 0: si annulla l’area Ω;

2. y = E: si annulla il carico cinetico e quindi la velocità.

Variando y tra questi due limiti, i valori della portata Q devono dunque passare per un massimo.

Figura 4.6. Andamento della portata Q in funzione della profondità y della corrente.

Imponendo la condizione di massimo:

dQdy

=√

2g(E − y) · dΩdy− gΩ√

2g(E − y)= 0 (4.16)

e moltiplicando ambo i membri per√

2g(E − y) (che è non nullo in quanto sicuramente la soluzione non èy = E) e ricordando che dΩ/ dy = B, si ottiene:

y = E − Ω2B

= E − ym2

(4.17)

Ma si riconosce dalla 4.14 che questa condizione si ha proprio in corrispondenza dello stato critico; e si trovaquindi che la portata massima compatibile con l’assegnata energia specifica E si ha proprio quando y = yc.

Ne consegue una seconda definizione dell’altezza critica: dicesi altezza critica di una corrente di assegnataenergia specifica E rispetto al fondo dell’alveo, quell’altezza a cui corrisponde il massimo valore della portata.

Sezioni rettangolari

Nel caso particolare di sezioni rettangolari (ym = y e Ω = By), l’altezza critica vale:

yc = E − yc2

=23E (4.18)

e il valore massimo della portata:

Qmax = Qc = Byc√gyc =

23√

3BE

√2gE (4.19)


Esempio di sezione trapezia

(a) Portata nulla. (b) Portata massima.

Figura 4.7. Esempio di energia specifica fissata.

Consideriamo un lago con all’interno dell’acqua ferma, dalla cui sponda esce un canale che si porta viadell’acqua. Si vuole valutare la portata in uscita nei casi in cui:

- il canale s’immette in un altro lago avente la stessa profondità riferita alla sezione dell’incile;

- il canale va verso valle senza nulla che faccia aumentare l’altezza della sezione.

Il canale è a sezione trapezia isoscele con B0 = 5 m ed m = 2, l’altezza della corrente nel lago è pari ay = E = 2 m rispetto al livello zero definito dall’incile. Nel primo caso il livello energetico è assegnato y = E

Figura 4.8. Sezione A-A’.

ed è costante. La portata è quindi nulla.Nel secondo caso la corrente si adatta alla profondità che preferisce, arriva quindi all’altezza critica:

yc = E − ymc2

Sostituendo al posto di ymc l’espressione dell’altezza media si ottiene un’equazione non lineare in yc che puòessere risolta, ad esempio, per tentativi:

yc = E − 12· B0yc +my2

c

B0 + 2myc= 1, 45 m (4.20)

Una volta ricavata l’altezza critica yc la portata si calcola mediante la relazione:

Qc = Ω√

2g(E − yc) = (B0yc +my2c )√

2g(E − yc) = 37, 63,m3/s

Andrea Lisjak 4.3. Alvei a debole pendenza e a forte pendenza 161

4.3 Alvei a debole pendenza e a forte pendenzaFinora ci si è limitati all’esame delle relazioni esistenti tra l’altezza d’acqua, l’energia specifica e la portataper una assegnata sezione trasversale. Si vuole ora estendere l’osservazione ad un tratto di alveo di lunghezzafinita, abbracciante la sezione stessa.

4.3.1 Ipotesi di moto uniformeViene formulata l’ipotesi che la corrente si muova di moto uniforme, ossia un moto in cui le condizioniidrauliche che si trovano in una sezione sono le stesse di quelle che si trovano in qualsiasi altra. Affinchéciò avvenga la forma della sezione deve essere sempre uguale e la pendenza del fondo deve essere costante,quindi il canale deve essere di tipo prismatico o cilindrico.

Caratterizzazione idraulica del moto uniforme

In condizioni di moto uniforme la velocità media V è legata alle caratteristiche dell’alveo (pendenza, scabrez-za, forma della sezione trasversale) e della corrente (profondità, area bagnata, raggio idraulico) dalla leggedel moto uniforme, che di norma si esprime attraverso la legge di Chézy :

V0 = χ√R · if (4.21)

dove:

- χ: indice di scabrezza avente le dimensioni della radice di una accelerazione [L1/2T−1], ne consegue chei coefficienti che compaiono nelle formule che la definiscono hanno un valore che dipende dal sistemadi riferimento adottato;

- if : pendenza del fondo (al posto della cadente J);

- R: raggio idraulico, nel caso di sezione trasversale rettangolare:

R =ΩP

=By

B + 2y=

y

1 + 2y/B(4.22)

La relazione di Chézy può anche essere scritta con l’indice di scabrezza in forma adimensionale:

V0 = C√g ·R · if (4.23)

- C: indice di scabrezza adimensionale.

La definizione del coefficiente C avviene per mezzo di formule empiriche (Bazin, Kutter, Strickler, . . . ),che lo pongono in relazione con un altro indice di scabrezza e con il raggio idraulico, formule valide per lesituazioni di moto puramente turbolento (come è quello nei canali).

4.3.2 Pendenza critica per sezioni rettangolari largheConsideriamo il caso semplice della sezione rettangolare molto larga, per il quale, essendo B y allora sipuò porre R ≈ y. Si vuole calcolare in questo caso il valore della pendenza critica ic.

La relazione di Chézy può essere scritta in termini di portata unitaria:

q = V0 · y = yC√gyif (4.24)

da questa è possibile ricavare la profondità del moto uniforme:

y0 = 3

√q2

gC2if(4.25)

ed uguagliandola all’altezza critica fornita dalla 4.11 si ricava il valore della pendenza critica:

ic =1C2

(4.26)


Si presentano due possibilità:

– if < ic: alvei a debole pendenza (y0 > yc) −→ correnti uniformi lente (V0 < Vc);

– if > ic: alvei a forte pendenza (y0 < yc) −→ correnti uniformi veloci (V0 > Vc).

Si noti come la pendenza critica dipenda dalla portata ed in particolare diminuisca al crescere di essa.Per rendere evidente questo fatto si consideri la formula del moto uniforme di Gauckler-Strickler1, ossia laformula di Chézy con indice di scabrezza calcolato secondo Gauckler e Strickler:

V0 = KsR2/3i

1/2f (4.27)

Confrontandola, mediante rapporto con la formula di Chézy con coefficiente di scabrezza adimensionale, siottiene l’espressione dell’indice di scabrezza secondo Gauckler e Strickler:

1 =C√gR

KsR2/3=⇒ C =

KsR2/3

√g

R−1/2 =Ks√gR1/6 (4.28)

Se la portata è piccola il raggio idraulico è piccolo, per la relazione 4.28 il coefficiente adimensionale diChézy è anch’esso piccolo e quindi ic è grande. Ciò significa che un alveo di assegnata pendenza if puòessere a debole pendenza (corrente lenta) per piccole portate e a forte pendenza (corrente veloce) per portatemaggiori.

Figura 4.9. Relazione tra pendenza critica e portata.

Considerando un campo di variabilità di C tra 7 e 20 si ottengono valori della pendenza critica dell’ordinedi 10−2 e quindi nelle situazioni pratiche si devono considerare sia alvei a forte che a debole pendenza.

1Del tutto identica alla formula di Gauckler-Strickler è la formula di Manning, la più diffusa fra i tecnici anglo-americani:sola differenza è che in luogo di Ks vi compare il suo inverso Ks = 1/n, i cui valori, almeno nell’originaria tabellazione, eranoriferiti al sistema di misura inglese.

Andrea Lisjak 4.4. Carattere cinematico dei due tipi di corrente 163

4.4 Carattere cinematico dei due tipi di corrente

Lo stato critico delle correnti a pelo libero è stato individuato sulla base di considerazioni energetiche. Ladistinzione fra correnti lente e correnti veloci non è tuttavia una semplice definizione analitica, bensì èproprio la diversità di comportamento fisico dei due tipi di correnti che è tale da giustificarne la distinzione.

La differenza sta soprattutto nelle modalità con cui si propagano le perturbazioni di livello: si riconosceche la celerità di propagazione delle piccole perturbazioni è superiore alla velocità del movimento nellecorrenti lente, inferiore invece nelle correnti veloci.

4.4.1 Celerità di propagazione delle perturbazioni di livello

Si abbia una corrente in un alveo rettangolare, supponiamo il moto uniforme (ipotesi comunque non neces-saria) di altezza y0 e velocità media V0. Ad esso si sovrapponga un’onda positiva di altezza δ, sicché dopoil passaggio del suo fronte l’altezza risulti y1 = y0 + δ.

Figura 4.10. Propagazione di una perturbazione di livello.

Si definisce celerità assoluta a della perturbazione la velocità con cui il fronte d’onda avanza rispetto all’alveofisso; si definisce celerità relativa c = a − V0 la velocità con cui la perturbazione si propaga rispetto allacorrente di base, di velocità V0.

Si può facilmente dimostrare che, se si considera un δ infinitesimo, vale la seguente espressione diLagrange:

c = ±√gy (4.29)

Confrontiamo ora il valore della celerità c trovata per le perturbazioni infinitesime con quello della velocitàiniziale V della corrente.

Correnti lente

Se la corrente è lenta la velocità V è, per definizione, inferiore alla velocità critica, mentre l’altezza y èmaggiore dell’altezza critica yc. Confrontando l’espressione di Lagrange per c con la 4.12 si ha che:

V <√gyc <

√gy = |c| (4.30)

La celerità di propagazione delle piccole perturbazioni in una corrente lenta è maggiore della velocità dellacorrente.

Ne consegue che le piccole perturbazioni provocate in una corrente lenta possono non solo propagarsilungo l’alveo verso valle, con celerità assoluta a = V +

√gy > 0, ma anche verso monte, con celerità assoluta

a = V −√gy < 0.Immergendo verticalmente un bastone in una corrente lenta si forma attorno al punto di immersione

un’onda circolare che si espande sempre circolarmente ma contemporaneamente il suo centro si sposta versovalle con la corrente, ossia con velocità V : il fronte d’onda riesce però a propagarsi anche verso monte,seppur con celerità minore che verso valle.


Correnti veloci

Se la corrente è veloce la velocità V è, per definizione, superiore alla velocità critica, mentre l’altezza y èminore dell’altezza critica yc. Confrontando l’espressione di Lagrange per c con la 4.12 si ha che:

V >√gyc >

√gy = |c| (4.31)

La celerità di propagazione delle piccole perturbazioni in una corrente veloce è minore della velocità dellacorrente.

Ne consegue che le piccole perturbazioni provocate in una corrente veloce non possono che propagarsiverso valle, in quanto anche quelle che rimontano la corrente con celerità relativa c = −√gy presentanorispetto all’alveo una celerità assoluta a = V −√gy > 0, e si propagano quindi verso valle.

Immergendo verticalmente un bastone in una corrente veloce la velocità con cui il centro dell’ondacircolare segue la corrente è superiore alla celerità c, e quindi anche il fronte dell’onda diretto contro correnteè costretto a spostarsi verso valle. Ne derivano, per inviluppo delle successive posizioni assunte dall’ondacircolare, due fronti d’onda rettilinei.

(a) Corrente ferma. (b) Corrente lenta. (c) Corrente veloce.

Figura 4.11. Propagazione di piccole perturbazioni.

4.4.2 Numero di FroudeLe osservazioni appena fatte possono essere a base di un facile criterio pratico distintivo dei due tipi dicorrente.

Si definisce numero di Froude il rapporto tra la velocità della corrente e la celerità delle piccole pertur-bazioni:

Fr =V√gy

(4.32)

- Fr < 1: correnti lente;

- Fr > 1: correnti veloci;

- Fr = 1: stato critico.

Si noti come quanto dimostrato per gli alvei rettangolari sia valido anche per gli alvei con sezione trasversaledi forma qualsiasi, sostituendo alla y l’altezza media ym e ricordando che per essi la velocità critica vale√gymc.Dal momento che il tipo di corrente costituisce la condizione al contorno per la valutazione dei profili di

moto permanente, in quanto, come si vedrà nel seguito, nel caso di corrente lenta la condizione è determinatadal livello di valle mentre nel caso di corrente veloce la condizione è determinata dal livello di monte, nederiva che nei due casi si hanno dei profili di aspetto totalmente diverso.

Andrea Lisjak 4.5. Correnti in moto permanente. Profili del pelo libero 165

4.5 Correnti in moto permanente. Profili del pelo liberoConsideriamo una corrente in moto permanente con le sole condizioni che la pendenza sia piccola e levariazioni di sezione piuttosto graduali, sicché la corrente stessa possa considerarsi lineare.

La condizione di moto permanente equivale a considerare nulle tutte le variazioni rispetto al tempo (ossia∂/∂t = 0). Tuttavia se tali variazioni sono molte lente (ossia ∂/∂t ≈ 0) è possibile comunque analizzareapprossimativamente il moto come una successione di moti permanenti.

Le caratteristiche geometriche possono essere invece funzione dello spazio (ossia y = y(x)) così comequelle dinamiche (ossia V=V (x), Q = Q(x)).

Principio di conservazione della massa

Isoliamo un tronco di alveo di lunghezza ∆x compreso tra le sezioni 1 e 2.

Figura 4.12. Tronco di alveo.

Applicando il principio di conservazione della massa o principio di continuità si ha che:

dW12

dt= Q1 −Q2 (4.33)

Poiché si è in condizioni di moto permanente il termine a sinistra della relazione 4.33 è nullo e deve quindiessere:

Q1 = Q2 =⇒ Q = cost (4.34)

(a) Nodo. (b) Afflusso continuo.

Figura 4.13. Variazioni di portata.

L’unico caso in cui si può avere una variazione di portata tra le due sezioni 1 e 2 si ha in presenza di afflussio deflussi nel tratto considerato. Esistono due tipi di afflussi/deflussi:

1. nodo:Q3 = Q1 +Q2 (4.35)

2. afflusso/deflusso continuo:

Q(x) = Q0 +∫ x

0

ql(η) dη (4.36)


L’andamento della portata sezione per sezione è quindi noto in ogni caso.

Principio di conservazione dell’energia

Figura 4.14. Applicazione del principio di conservazione dell’energia.

Lungo il tronco isolato l’abbassamento del fondo vale (nell’ipotesi che la pendenza sia piccola):

∆z = if ·∆x (4.37)

l’abbassamento della linea dei carichi totali vale:

∆hf = J ·∆x (4.38)

essendo J la cadente, ossia la perdita di carico per unità di lunghezza.Il pelo dell’acqua, ossia la linea piezometrica, potrà essere discendente o ascendente nel senso del moto,

anche rispetto all’orizzontale.Applicando il principio di conservazione dell’energia tra le sezioni 1 e 2 si ha quindi:

H1 = H2 + ∆hf =⇒ ∆z + y1 +V 2

1

2g︸︷︷︸E1

= y2 +V 2

2

2g︸︷︷︸E2

+∆hf (4.39)

Da cui si ottiene:E2 − E1

∆x= if − J (4.40)

4.5.1 Equazione differenziale del profilo del pelo libero

Se la lunghezza del tronco di alveo isolato tende a zero (∆x → 0) allora si ottiene l’equazione differenzialedel profilo del pelo libero di una corrente gradualmente variata in moto permanente:

dEdx

= if − J (4.41)

Con questa equazione si esprime il fatto che l’energia specifica totale rispetto al fondo aumenta per l’abbas-samento del fondo stesso e diminuisce per effetto delle resistenze.

Tenuta presente la definizione di E è possibile scrivere:

dydx− Q2

gΩ3

dΩdx

= if − J (4.42)


Sempre per un alveo del tutto generico, l’area Ω della sezione bagnata può variare non soltanto perchè variay ma anche con la x possono variare forma e le dimensioni della sezione trasversale, quindi considerandoche Ω = Ω(x, y(x)) si ha:

dΩdx

=∂Ω∂x

∣∣∣∣y=cost

+∂Ω∂y

dydx

=∂Ω∂x

∣∣∣∣y=cost

+Bdydx

(4.43)

La forma più generale dell’equazione differenziale del profilo del pelo libero di una corrente gradualmentevariata in moto permanente con portata costante risulta quindi:

dydx

(1− Q2

gΩ3B

)− Q2

gΩ3

∂Ω∂x

= if − J (4.44)

Tale equazione risulta integrabile per qualsiasi tipo di alveo solamente conmetodi numerici (metodi spettrali,metodi alle differenze).

Si noti come Ω e B siano funzione nota di x e y. Nel caso particolare che l’alveo sia cilindrico si annullal’ultimo addendo del primo membro e sia Ω che B restano funzioni note della sola y.

Alvei cilindrici

Si vuole ora trarre dalla 4.41 indicazioni qualitative circa l’andamento dei possibili profili di moto permanentenel caso di alvei cilindrici, per cui la E risulta funzione di x per il tramite della sola y, ossia E = E(y(x));si ha quindi:

dEdx

=dEdy

dydx

(4.45)

Si trae dalla 4.41:dydx

=if − J

dEdy

(4.46)

Studiando il segno della funzione fratta è possibile valutare l’andamento della profondità della corrente infunzione di x e quindi, di fatto, il profilo del pelo libero.

Per quanto riguarda il denominatore si è già visto che:

→ y < yc (correnti veloci): dE/dy < 0;

→ y > yc (correnti lente): dE/dy > 0;

→ y = yc (correnti critiche): dE/dy = 0.

Per quanto riguarda il numeratore esso si annulla in condizioni di moto uniforme, in quanto in questo casola linea dei carichi totali risulta parallela al fondo (if = J) e si ha di conseguenza dy/dx = 0, che è appuntola definizione di moto uniforme. Accettando poi per la perdita di carico unitaria l’espressione:

J =V 2

C2gR=

Q2

C2gRΩ2(4.47)

si riconosce che essa è tanto più piccola quanto maggiore è y (con y crescono tutti i fattori del denominatore)e quindi:

→ y < y0: if − J < 0;

→ y > y0: if − J > 0;

→ y = y0: if − J = 0.

Conviene ora studiare separatamente quel che può avvenire negli alvei a debole e forte pendenza.


4.5.2 Alvei a debole pendenza

Assegnata la portata è possibile ricavare l’altezza del moto uniforme y0 dalla relazione di Chézy (re-lazione 4.25 per sezioni rettangolari larghe) e l’altezza critica yc dalla relazione 4.7 (relazione 4.11 nelcaso di sezioni rettangolari larghe), si troverà y0 > yc.

Tracciamo allora due rette parallele al fondo e distanti da esso rispettivamente yc e y0 (quest’ultimacorrisponde al profilo del moto uniforme). Queste due rette ed il fondo dell’alveo delimitano 3 zone, entroognuna delle quali può svilupparsi un profilo di moto permanente.

Figura 4.15. Profili del pelo libero: alvei a debole pendenza.

Profilo D1 - profilo di rigurgito

Per y > y0 > yc si ha una corrente lenta con altezza superiore a quella del moto uniforme. Sia il numeratoreche il denominatore della 4.41 sono positivi e quindi dy/dx > 0, il che significa che la corrente è ritardata.

Se ci si spinge verso monte si trovano valori di y decrescenti e quindi sempre più prossimi ad y0; anchela pendenza del profilo tende a if : il moto uniforme viene raggiunto asintoticamente verso monte.

Se ci si spinge verso valle si trovano valori di y crescenti e, teoricamente, possono tendere all’infinito;la resistenza tende con ciò ad annullarsi ed il numeratore del secondo membro della 4.41 tende ad if ; ildenominatore invece tende all’unità come si riconosce dal fatto che la E(y) ha un asintoto nella bisettricedel primo quadrante: dy/dx tende a if , il che significa che il profilo tende a disporsi orizzontalmente, inquanto il pelo dell’acqua si solleva rispetto al fondo di altrettanto di quanto il fondo si abbassa rispettoall’orizzontale.

Profilo D2 - profilo di richiamo

Per y0 > y > yc si ha una corrente lenta con altezza inferiore a quella del moto uniforme. Il numeratoredella 4.41 risulta negativo mentre il denominatore risulta positivo e quindi dy/dx < 0, il che significa chela corrente è accelerata.

Se ci si spinge verso monte si trovano valori di y crescenti e quindi tendenti ad y0, valore che vieneraggiunto in via asintotica.

Se ci si spinge verso valle si trovano valori di y decrescenti e quindi tendenti a yc e il profilo raggiungelo stato critico con tangente verticale.

Profilo D3

Per y0 > yc > y la corrente risulta veloce: si è di fronte ad una corrente veloce in un alveo a debole pendenza.Sia il numeratore che il denominatore della 4.41 sono negativi e quindi dy/dx > 0, il che significa che lacorrente è ritardata.

Se ci si spinge verso valle le altezze y crescono e tendono a yc, altezza che il profilo teorico raggiun-gerebbe con tangente verticale: il profilo è quindi ascendente non solo rispetto al fondo ma anche rispettoall’orizzontale.


Se ci si spinge verso monte le altezze y decrescono: il profilo teorico, dopo aver tagliato il fondo dell’alveo,presenterebbe valori di y negativi, privi ovviamente di significato fisico: con ragionamento analogo a quellosvolto per il profilo D1 si riconoscerebbe l’esistenza di un asintoto orizzontale.

Per riconoscere l’effettivo andamento del profilo in prossimità del fondo, occorre nella 4.41 esplicitarela J . Supponendo per semplicità l’alveo rettangolare molto largo (R ≈ y), adottando l’espressione diGauckler-Strickler per il coefficiente C:

J =q2

C2y3g=

q2

K2sy

10/3(4.48)

ricordando inoltre che:dEdy

= 1− q2

gy3

risulta:dydx

=if − q2

K2sy

10/3

1− q2

gy3

Per y tendente a zero il numeratore è infinito di ordine 10/3, mentre il denominatore è infinito di ordine 3;la frazione tende quindi all’infinito, ed il profilo si dispone verticale.

4.5.3 Alvei a forte pendenza

Per un’assegnata portata l’altezza del moto uniforme risulta inferiore all’altezza critica: y0 < yc.Si tracciano le rette y = y0 (profilo del moto uniforme) e y = yc, che delimitano, col fondo dell’alveo, 3

zone, entro ciascuna delle quali può svolgersi un profilo di moto permanente.

Figura 4.16. Profili del pelo libero: alvei a forte pendenza.

Profilo F1

Per y > yc > y0 si ha una corrente lenta, la sola corrente lenta possibile in alveo a forte pendenza. Sia ilnumeratore che il denominatore della 4.41 sono positivi e quindi si ha dy/dx > 0.

Se ci si spinge verso monte si trovano valori decrescenti delle y, che tendono al valore critico yc, il qualeviene raggiunto con tangente verticale: il profilo risulta dunque ascendente rispetto al fondo.

Se ci si spinge verso valle, per profondità crescenti teoricamente fino all’infinito, una ragionamentoidentico a quello svolto per il profilo D1 porta a riconoscere l’esistenza di un asintoto orizzontale.


Profilo F2

Per yc > y > y0 si ha una corrente veloce, con altezza maggiore di quella del moto uniforme. Il numeratoredella 4.41 ha il numeratore positivo ma il denominatore negativo e quindi dy/dx < 0 ed il moto risultaaccelerato.

Se ci si spinge verso monte le y tendono a yc che il profilo raggiunge con tangente verticale.Se ci si spinge verso valle le y decrescono e tendono a y0 mentre la pendenza del profilo tende a if

(dy/dx→ 0); il moto uniforme viene ripristinato asintoticamente verso valle.

Profilo F3

Per yc > y0 > y la corrente è ancora veloce e la sua altezza è inferiore a quella del moto uniforme.Numeratore e denominatore della 4.41 sono entrambi negativi e quindi dy/dx > 0: moto ritardato.

Se ci si spinge verso valle per y crescenti si tende asintoticamente al moto uniforme; la pendenza delprofilo tende pure a quella del moto uniforme, sicché il profilo, pur riguardando una corrente ritardatarisulta discendente rispetto all’orizzontale.

Si ci si spinge verso monte il profilo teorico, dopo aver attraversato il fondo, presenterebbe valori di ynegativi, crescenti in valore assoluto, e col solito ragionamento si riconoscerebbe una tendenza ad un asintotoorizzontale.

4.5.4 Osservazioni generali

Dal confronto dei 6 profili di moto permanente è possibile trarre qualche conclusione di carattere generale.

• Alvei a debole pendenza: il moto uniforme, che è di corrente lenta, viene sempre raggiunto asintotica-mente verso monte.

Infatti una perturbazione (scostamento dal moto uniforme), originata in una sezione qualsiasi di unacorrente lenta, può risalire lungo l’alveo fino all’infinito a monte.

• Alvei a forte pendenza: il moto uniforme, che è di corrente veloce, viene raggiunto asintoticamenteverso valle.

Infatti una perturbazione, originata in una sezione qualsiasi di una corrente veloce, non può chepropagarsi verso valle.

• Allo stato critico si tende sempre:

– verso valle: alvei a debole pendenza;

– verso monte: alvei a forte pendenza.

• Dei 6 profili 4 corrispondono a correnti ritardate, mentre 2 a correnti accelerate (questi ultimi si svolgo-no nell’intervallo di altezze comprese fra quella critica e quella del moto uniforme, indipendentementedalla pendenza dell’alveo).

4.5.5 Tracciamento quantitativo dei profili di moto permanente

Si è visto come i profili di moto permanente siano analiticamente rappresentabili a mezzo di una ODE delI ordine. Per poterla risolvere è necessario definire una condizione al contorno: si impone la condizione chein una determinata sezione x∗ si abbia una determinata altezza y∗:

y(x∗) = y∗ (4.49)

Tale condizione va ricercata in corrispondenza della causa perturbatrice, che provoca, in una certa sezione,un’altezza y diversa da quella di moto uniforme: tale altezza andrà stabilita in base al modo di agire dellacausa perturbatrice. Si noti come la causa perturbatrice possa esercitare la propria influenza:

• verso monte soltanto se la corrente è lenta (o diventa lenta per causa sua): se la corrente è veloceinfatti le perturbazioni si propagano con celerità relativa inferiore alla velocità della corrente e quindinon possono risalire l’alveo;


• verso valle soltanto se la corrente è veloce (o diventa veloce per causa sua): si può dimostrare perassurdo.

Sulla base di queste considerazioni si può affermare che la condizione al contorno per la precisazione dell’in-tegrale particolare dell’equazione del profilo, e quindi il punto di partenza per il materiale tracciamento delprofilo stesso, va ricercata:

→ all’estremo a valle se la corrente è lenta;

→ all’estremo a monte se la corrente è veloce.

In questa sezione estrema dovrà quindi ritenersi nota l’altezza y∗ determinata dalla causa perturbatrice equindi sarà noto anche il dislivello y∗ − y0 rispetto al moto uniforme.

Metodo alle differenze finite

Per il tracciamento per punti del profilo di moto permanente conviene scrivere l’equazione differenziale delprofilo del pelo libero sostituendo incrementi finiti ai differenziali:

∆x =∆Eif − J

(4.50)

Figura 4.17. Metodo alle differenze finite per il tracciamento dei profili di motopermanente.

1. Si suddivide l’altezza del rigurgito y∗ − y0 in un sufficiente numero di parti ∆yi = yi − yi−1 (nonnecessariamente uguali, anzi col criterio di adattare la fittezza della suddivisione all’andamento delprofilo cercato, che almeno qualitativamente è noto a priori).

2. Per ciascuna delle altezze yi estreme dei singoli intervalli ∆yi si possono calcolare a mezzo della 4.4(o dedurre dal grafico della curva dell’energia specifica) le corrispondenti energie specifiche Ei; quindile differenze ∆Ei spettanti a ciascun intervallo, a partire dal più vicino alla causa perturbatrice.

3. Mentre la if è nota, la cadente Ji da attribuire al singolo intervallo viene determinata adottando laformula di Gauckler-Strickler (relazione 4.48 nel caso di sezioni rettangolari larghe) e facendo la mediaaritmetica delle J riferite agli estremi dell’intervallo.

4. Mediante la 4.50 si calcola la differenza ∆xi, cioè la lunghezza del tronco di corrente lungo la qualel’altezza varia di ∆yi.


Si noti come questo procedimento, pur essendo stato esposto con implicito riferimento agli alvei cilindrici (isoli per i quali si possa parlare di moto uniforme), sia valido in generale. Per un esempio numerico si vedal’esercizio 4.15.1.

Andrea Lisjak 4.6. Passaggio attraverso lo stato critico. Il risalto 173

4.6 Passaggio attraverso lo stato critico. Il risaltoPer semplicità consideriamo solamente il caso di alvei cilindrici, formati da tratti a pendenza costante.

Ci si chiede se è possibile il passaggio graduale, cioè con profilo continuo, attraverso lo stato critico e incaso affermativo in quali circostanze esso possa avvenire.

4.6.1 Passaggio graduale da corrente lenta a corrente veloce

Una corrente che da lenta tenda a diventare veloce dovrà essere accelerata, in modo da raggiungere lo statocritico verso valle con altezze via via decrescenti: il solo profilo di corrente lenta che possa soddisfare questorequisito è il D2.

Superato lo stato critico, la corrente, ormai veloce, dovrà ancora essere accelerata e tendere verso valleal moto uniforme: il solo profilo di corrente veloce che possa soddisfare questo requisito è l’F2.

Figura 4.18. Passaggio attraverso lo stato critico: da corrente lenta a corrente veloce.

Cambiamento di pendenza dell’alveo

Affinchè ci sia il passaggio graduale di una corrente da lenta a veloce è dunque necessario un cambiamentodi pendenza nell’alveo, da debole a forte.

Tale condizione è tuttavia sufficiente: quando l’alveo presenta un simile cambiamento di pendenza enon esistano lungo di esso altre cause perturbatrici, il passaggio graduale descritto avviene sempre, perchèavviene spontaneamente. La causa perturbatrice infatti, rappresentata appunto dal cambiamento di pen-denza, è situata all’estremo a valle della corrente lenta e a quello a monte della corrente veloce, sicché suentrambe può esercitare la propria influenza, che si estende fino all’infinito.

Proprio in corrispondenza della sezione dove avviene il cambiamento di pendenza si stabilisce l’altezzacritica yc.

4.6.2 Passaggio graduale da corrente veloce a corrente lenta

Consideriamo il caso di una corrente veloce che tenda a diventare lenta.Essa deve essere ritardata in modo da raggiungere verso valle lo stato critico per altezze crescenti: il solo

profilo di corrente veloce che soddisfa questo requisito è il D3, che si svolge in alveo a debole pendenza.Superato lo stato critico, la corrente, ormai lenta, deve ancora essere ritardata in modo da allontanarsi

dallo stato critico stesso: il solo profilo che soddisfa questo requisito è l’F1, che si svolge in alveo a fortependenza.

Cambiamento di pendenza dell’alveo

Condizione necessaria per il ricercato passaggio graduale attraverso lo stato critico è un cambiamento dipendenza da debole a forte.

Questa volta però tale condizione non è sufficiente: il cambiamento di pendenza, a valle della correnteveloce e a monte della corrente lenta, non può esercitare alcuna influenza né sull’una né sull’altra.


Figura 4.19. Passaggio attraverso lo stato critico: da corrente veloce a corrente lenta.

La corrente veloce deve essere provocata (nell’alveo a debole pendenza) e condizionata nel suo svolgimentoda una causa situata a monte, ad esempio una paratoia che obbliga la corrente a passare attraverso una lucebattente ad essa soggiacente.

Analogamente la corrente lenta deve essere provocata (nell’alveo a forte pendenza) e condizionata nelsuo svolgimento da una causa situata a valle, ad esempio un’altra paratoia.

È evidente che le due paratoie devono proprio essere regolate in modo che i due profili di moto permanenteda esse provocati raggiungano l’altezza critica nella sezione dove ha luogo il cambiamento di pendenza; se sivaria di poco l’apertura anche solo di una delle due l’altezza critica viene raggiunta in una sezione diversada quella del cambiamento di pendenza e quindi non si può realizzare il passaggio graduale attraverso lostato critico.

Il passaggio graduale di una corrente da veloce a lenta è possibile teoricamente ma con probabilità nulla,perchè subordinato al verificarsi contemporaneo di due circostanze entrambe con probabilità nulla.

Risalto idraulico

Il passaggio di una corrente dallo stato veloce a quello lento avviene quindi attraverso una discontinuità, unbrusco sollevamento del pelo libero, detto risalto idraulico o salto di Bidone.

Questo brusco sollevamento nella sua manifestazione più tipica è accompagnato dalla formazione di unimponente vortice superficiale ad asse orizzontale, che assorbe aria presentandosi schiumeggiante, e dissiparilevanti quantità di energia.

Figura 4.20. Risalto idraulico.


Interpretazione teorica

L’interpretazione teorica del fenomeno è possibile da ottenere applicando l’equazione globale dell’equilibriodinamico (conservazione della quantità di moto) al breve tronco di corrente che comprende il vortice.

Figura 4.21. Applicazione dell’equazione globale dell’equilibrio dinamico.

Consideriamo un tronco di corrente in alveo cilindrico, compreso fra la sezione 1 che precede immediatamenteil risalto e una sezione 2, che lo segue, alla minima distanza necessaria perché si possa considerare ristabilitala linearità della corrente e quindi la distribuzione idrostatica delle pressione. Applichiamo a questo troncol’equazione globale dell’equilibrio dinamico, proiettandola nella direzione del moto e trascurando:

- la componente del peso nella direzione stessa (equivale a supporre che il fondo sia orizzontale);

- la resistenza dell’alveo.

Le forze da mettere in gioco sono quindi:

- le spinte idrostatiche sulle sezioni estreme 1 e 2;

- le quantità di moto delle masse che attraversano le sezioni nell’unità di tempo.

Si può quindi scrivere:Π1 +M1 = Π2 +M2 (4.51)

La somma della spinta idrostatica Π e del flusso della quantità di moto M è detta spinta totale S dellacorrente.

Figura 4.22. Generica sezione trasversale dell’alveo.

Consideriamo ora una generica sezione trasversale dell’alveo. Siano:


- Ω: area bagnata;

- B: larghezza del pelo libero;

- ηG: immersione del baricentro sotto il pelo dell’acqua.

La spinta totale può essere scritta come:

S = γ

∫Ω

η dΩ + ρQV = γΩηG + ρQ2

Ω= S(y) (4.52)

Essa risulta funzione univoca di y quando si consideri la portata costante (Q = cost) e la geometria dellasezione nota.

Dal momento che:

- se y → 0 allora S = [0 +∞]→ +∞

- se y → +∞ allora S = [+∞+ 0]→ +∞

S(y) deve presentare un punto di minimo. Il valore di y che dà luogo al minimo di S si ottiene imponendola condizione:

dSdy

= 0

Conviene prima esprimere la profondità ηG del baricentro come rapporto tra il momento statico della sezionerispetto al pelo libero e l’area della sezione stessa:

ηG =12

∫η2 dBΩ

a meno di infinitesimi di ordine superiore si ha quindi:

dSdy

= γ

∫y dB − ρQ

2

Ω2

dΩdy

= γΩ− ρQ2B

Ω2= 0

di cui si ottiene proprio la condizione che definisce lo stato critico:

Q2B

gΩ3= 1 =⇒ Ω3

B=Q2

g(4.53)

Così come l’energia specifica E anche la spinta totale S ha il proprio minimo in coincidenza con lo statocritico.

Alvei a sezione rettangolare

Nel caso di sezione rettangolare la spinta totale vale:

S =12γBy2 + ρ

Q2

By

ed il suo minimo si ha quando:dSdy

= γBy − ρ Q2

By2= 0

cioè per:

y = yc = 3

√Q2

gB2= 3

√q2

g(4.54)

Il punto di minimo suddivide dunque anche il grafico rappresentante la S(y) in due rami, di cui uno (pery < yc) rappresenta situazioni di corrente veloce e l’altro (per y > yc) situazioni di corrente lenta.In base alla 4.51 le due altezze y1 e y2 delle sezioni che delimitano il risalto devono trovarsi allineate su unamedesima parallela AB all’asse delle y: esse sono dette altezze coniugate del risalto.


Figura 4.23. Andamento della spinta totale in funzione dell’altezza della corrente.

Il grafico di figura 4.24 può essere tracciato in base alla 4.52 per una qualsiasi sezione; esso consentedi risolvere il problema della determinazione dell’altezza a valle del risalto nota che sia quella a monte, oviceversa.

Figura 4.24. Altezze coniugate del risalto.

Nel caso di sezione rettangolare è pure agevole la soluzione analitica. Con riferimento ad una striscia dilarghezza unitaria, percorsa dalla portata q = Q/B, la 4.51 si scrive:

12γy2

1 + ρq2

y1=

12γy2

2 + ρq2

y2

da cui:y2

2 − y21

2=q2

g

y2 − y1

y1y2= y3

c

y2 − y1

y1y2


e quindi:

y1 + y2 =2y3c

y1y2(4.55)

Essa è una relazione simmetrica tra y1 e y2 in cui la portata entra come parametro attraverso l’altezzacritica yc. Essa consente di calcolare una qualsiasi delle altezze coniugate del risalto quando sia nota l’altra.Se ad esempio è nota l’altezza y1, l’equazione di 2 grado in y2 fornisce come radice significativa:

y2 =y1

2

[−1 +

√1 +

8y3c

y31

]=y1

2

[−1 +

√1 + 8Fr2

1

](4.56)

Nel caso di sezione rettangolare è pure abbastanza semplice il calcolo dell’energia specifica dissipata nelrisalto:

E1 − E2 = y1 − y2 +q2

2g

(1y2

1

− 1y2

2

)= y1 − y2 +

y3c

2y2

2 − y21

y21y

22

da cui, eliminando yc attraverso la 4.55, si ottiene:

E1 − E2 =(y2 − y1)3

4y1y2(4.57)

Forme di risalto idraulico

In funzione della velocità della corrente in entrata e quindi del suo numero di Froude cambia l’aspettoesteriore del risalto idraulico:

- 1 < Fr1 / 1, 7: il risalto assume un aspetto ondulato;

- 1, 7 / Fr1 / 2: il risalto assume l’aspetto di un vortice ad asse orizzontale;

- Fr1 > 3: il risalto assume l’aspetto di un vortice ad asse orizzontale con formazione di un’ondafrangente.

Lunghezza del risalto

La lunghezza LR del tronco di corrente interessato dal risalto è un elemento che non si può valutare conprecisione perché, mentre è abbastanza ben individuabile sperimentalmente la sezione iniziale, altrettantonon può dirsi per la sezione terminale del risalto stesso.

Esistono in letteratura alcuni valori sperimentali della lunghezza di risalto, espressi in funzione delnumero di Froude Fr1 e parametrizzati o rispetto alla profondità di valle y2 o rispetto all’ampiezza del saltoy2 − y1.

Tabella 4.1. Lunghezza del risalto.

Fr1 LR/y2 LR/(y2 − y1)

2 4,4 7,63 5,3 7,25 6,0 7,010 6,1 6,615 5,9 6,220 5,5 5,7


Esempio

Consideriamo un torrente di montagna (corrente veloce) che si getta in un lago (corrente lenta). Vogliamoindividuare il punto in cui si forma il risalto applicando la condizione S1 = S2.

Figura 4.25. Determinazione della posizione del risalto.

Supponiamo che le cause pertubatrici a monte siano lontane, in modo da poter assumere a monte del risaltol’altezza di moto uniforme y0, si trova quindi Fr0 e si calcola:

y∗2 =y0

2

[−1 +

√1 + 8Fr2

0

]È possibile quindi seguire il profilo F1 verso monte finché si ottiene un valore di y pari a y∗2 , è questo ilpunto in cui si forma il risalto. Approssimando il profilo F1 come orizzontale si può scrivere:

y1 − ifx = y∗2 =⇒ x ≈ y1 − y∗2if


4.7 Esempi applicativi

4.7.1 Procedura per la determinazione dei profili1. Trovare l’altezza critica yc.

Nel caso di alvei a sezione rettangolare vale la relazione:

yc = 3

√q2

g

2. Trovare l’altezza di moto uniforme y0.

Nel caso di alvei rettangolari larghi (R ≈ y):

y0 = 3

√q2

C2gify0 =

(q

Ksi1/2f

)3/5

Nel caso di alvei rettangolari si deve risolvere l’equazione non lineare in y0:

q −Ksy0

(By0

B + 2y0

)2/3

i1/2f = 0

Determinare se l’alveo è a forte o debole pendenza.

3. Determinare le condizioni al contorno e/o i vincoli interni.

4. Verificare la presenza di un eventuale passaggio da una corrente veloce a monte ad una lenta a vallee quindi la formazione di un risalto idraulico.

In caso affermativo ricorrere all’equazione globale dell’equilibrio dinamico.

Nel caso di alvei a sezione rettangolare la relazione per le profondità coniugate del risalto idraulicovale:

y2 =y1

2

[−1 +

√1 +

8y3c

y31

]=y1

2

[−1 +

√1 + 8Fr2

1

]Fr1 =

q

y1√gy1

Trovare la posizione del risalto (nell’ipotesi che esso abbia un profilo verticale) in modo tale che y1 edy2 siano una coppia di profondità coniugate.

Andrea Lisjak 4.7. Esempi applicativi 181

4.7.2 Presenza di una paratoia piana in alvei a debole pendenza

Consideriamo l’effetto della presenza in una determinata sezione di un alveo cilindrico, di una paratoiapiana, che obblighi la corrente a defluire attraverso una luce. La portata Q costante in moto uniformeassume l’altezza y0. Essendo l’alveo a debole pendenza il moto uniforme vi si dovrebbe svolgere in regimedi corrente lenta.

Condizioni al contorno

Poiché si è in un alveo a debole pendenza la condizione al contorno va ricercata a valle. Dal momento chenon è presente nulla si suppone che le eventuali cause perturbatrici siano sufficientemente lontane in mododa poter supporre che il profilo sia asintotico con il profilo di moto uniforme (D1 o D2).

Vincoli interni

La luce della paratoia si comporta come un foro in un serbatoio, la portata uscente vale:

q = CvCca√

2gym (4.58)

dove:

- Cc: coefficiente di contrazione;

- Cv: coefficiente correttivo per la velocità di approccio;

- CQ = Cc · Cv: coefficiente di portata;

- a: altezza della luce della paratoia;

- ym: altezza della corrente immediatamente a monte della paratoia.

L’altezza della corrente contratta è quindi da ritenere nota e pari a:

ye = CQa (4.59)

Nella sezione contratta la corrente deve necessariamente essere veloce: dal momento che l’area della sezionestessa e la velocità sono determinate dalla posizione della paratoia, la quale, rispetto alla sezione contratta,è situata a monte, la corrente non può essere lenta altrimenti la paratoia non potrebbe esercitarvi alcunainfluenza.

Nella stessa sezione contratta l’energia specifica rispetto al fondo vale:

Ee = ye +V 2e

2g(4.60)

Essa deve essere maggiore di quella competente al moto uniforme: prima che questo venga ricostituito versovalle la corrente veloce dovrà dissipare più energia che non la corrente uniforme (vedi relazione 4.47) e questaquantità in più dovrà essere stata accumulata in precedenza e trovarsi disponibile nella sezione contratta.

Supponendo nulla la perdita di carico nell’efflusso, l’altezza ym che si stabilisce a monte della paratoiaè subito determinata in base al grafico di figura 4.27 come quella della corrente lenta cui compete l’energiaspecifica rispetto al fondo Ee. Nel caso di alveo a sezione rettangolare si ha:

ym =q2

C2Qa

22g(4.61)

Tracciamento del profilo

Poiché la corrente a monte della paratoia è lenta deve essere ym > y0. Nel tronco di canale a monte sistabilisce un profilo di tipo D1 che è possibile tracciare per punti partendo dal suo estremo a valle dove ènota l’altezza ym.


Figura 4.26. Paratoia in alveo a debole pendenza: profilo del moto.

A valle della paratoia si stabilisce invece un profilo di tipo D3, ossia l’unico di corrente veloce realizzabilein alveo a debole pendenza. Esso può essere tracciato partendo dalla sezione contratta dove è nota l’altezzaye.

A valle il profilo D3 tende all’altezza critica la quale però non viene raggiunta a causa dell’intervento diun risalto idraulico che riporta la corrente allo stato lento, ripristinando il moto uniforme di altezza y0.

Figura 4.27. Paratoia in alveo a debole pendenza: energia specifica ed altezza dellacorrente.

Posizione del risalto

Nota l’altezza di valle y0 è possibile calcolare, nell’ipotesi di sezione rettangolare, l’altezza coniugata y1 amonte:

y1 =y0

2

[−1 +

√1 +

8y3c

y30

]=y0

2

[−1 +

√1 + 8Fr2

0

]Il risalto ha luogo proprio in quella sezione in cui il profilo di corrente veloce raggiunge l’altezza y1.


Aumento dell’area sotto la paratoia

Aumentare l’altezza ye significa traslare verso monte senza deformazione il profilo D3 della corrente velocee quindi il risalto.

Quando l’altezza nella sezione contratta supera il valore y1 coniugato di y0 il profilo D3 scompare deltutto e il risalto risulta addossato del tutto alla paratoia (risalto annegato). L’efflusso non è più libero,bensì rigurgitato, e il livello a monte non dipende più soltanto dall’apertura della paratoia bensì anche dallivello che si viene a stabilire a valle, a ridosso di essa.


4.7.3 Presenza di una paratoia piana in alvei a forte pendenzaCondizioni al contorno

Poiché si è in un alveo a forte pendenza la condizione al contorno va ricercata a monte. Dal momento chenon è presente nulla si suppone che le eventuali cause perturbatrici siano sufficientemente lontane in mododa poter supporre che il profilo sia asintotico con il profilo di moto uniforme (F2 o F3).

Vincoli interni

La paratoia origina ancora subito a valle una sezione contratta di altezza ye; e subito a monte si stabilisceun’altezza ym, che è possibile determinare come in precedenza.

Anche in questo caso, subito a monte della paratoia, la corrente risulta lenta: è necessario che ciòavvenga affinché la paratoia possa agire su di essa in modo da procurare quell’incremento di energia specificaoccorrente per vincere le maggiori resistenze della corrente a valle (vedi relazione 4.47), che si svolge conaltezze inferiori a quella del moto uniforme.

Tracciamento del profilo

Figura 4.28. Paratoia in alveo a forte pendenza: profilo del moto.

Il profilo di moto permanente che si stabilisce a valle con y < y0 è del tipo F3, asintotico al moto uniforme.Lo si può tracciare per punti a partire dalla sezione contratta in cui è nota ye.

A monte della paratoia si stabilisce invece un profilo di tipo F1, ossia l’unico di corrente lenta realizzabilein alveo a forte pendenza. Esso può essere tracciato partendo dall’estremo di valle dove è nota l’altezza ym.

A monte il profilo F1 tende all’altezza critica la quale però non viene raggiunta a causa dell’interventodi un risalto idraulico che riporta la corrente allo stato veloce, ripristinando il moto uniforme di altezza y0.


Nota l’altezza di monte y0 è possibile calcolare, nell’ipotesi di sezione rettangolare, l’altezza coniugata y2 avalle:

y2 =y0

2

[−1 +

√1 +

8y3c

y30

]=y0

2

[−1 +

√1 + 8Fr2

0

]Il risalto si ha proprio in quella sezione in cui il profilo di corrente lenta F1 raggiunge l’altezza y2.


4.7.4 Cambio di pendenza con paratoia pianaConsideriamo un alveo a debole pendenza a valle di una paratoia che vi determina una corrente veloce conprofilo D3. Supponiamo che dopo un tratto più o meno lungo l’alveo diventi a forte pendenza.

Siano y′o e y′′0 le altezze di moto uniforme nei due tronchi d’alveo e yc l’altezza critica.Si possono presentare due diverse situazioni a seconda della lunghezza L del tratto d’alveo a debole

pendenza:

1. lunghezza minore di quella necessaria (Lc) affinché il profilo D3 pervenga allo stato critico;

2. lunghezza maggiore di quella necessaria (Lc) affinché il profilo D3 pervenga allo stato critico.

Figura 4.29. Cambio di pendenza con paratoia piana: profilo del moto.

L < Lc

In questo caso la corrente resta ovunque veloce. A valle della sezione dove ha luogo il cambiamento dipendenza si sviluppa un profilo di tipo F2 o F3 a seconda che y′′0 sia minore o maggiore dell’altezza raggiuntadal profilo D3. Al limite si può avere in corrispondenza del cambiamento di pendenza proprio l’altezza criticayc, nel cui caso si avrà verso valle un profilo F2, partente proprio da yc.

L > Lc

In questo caso la corrente veloce non può svilupparsi fino a yc ma interviene prima un risalto che la trasformain corrente lenta. L’altezza critica viene quindi a cadere proprio in corrispondenza del cambiamento dipendenza e a monte si ha un profilo D2 fino alla sezione dove ha luogo il risalto.


La localizzazione della sezione in cui avviene il risalto non è immmediata in quanto non si conosce a priorinessuna delle due altezze coniugate.

Il procedimento da seguire è: per alcune sezioni (AM, BH, . . . ) del profilo di monte D3 (o di quello divalle) si determinano le altezze coniugate (AM’, BH’, . . . ) e si riportano a partire dal fondo. Gli estremisuperiori (M’, H’, . . . ) si trovano su una curva, detta luogo del risalto, che si traccia unendoli “a sentimento”:essa taglia il profilo di valle (o di monte) proprio nella sezione dove avviene il risalto.


4.7.5 Passaggio sopra una soglia di fondoSupponiamo che una soglia di altezza a e di modesta lunghezza interrompa la continuità di un alveo.

Energia specifica elevata e/o altezza della soglia piccola

Figura 4.30. Passaggio sopra una soglia di fondo (energia specifica elevata): profilo delmoto.

Sia E0 l’energia specifica della corrente in arrivo, supponiamo che nel breve percorso della corrente lungo ilraccordo iniziale della soglia le dissipazioni siano trascurabili: sopra la soglia si ritrova la linea dell’energiaalla medesima quota che a monte della soglia. Ciò significa che l’energia specifica risulta minore:

E1 = E0 − a (4.62)

Analizzando il grafico dell’energia specifica in funzione dell’altezza.

• Alveo a forte pendenza: la corrente veloce passa dall’altezza y′′0 del moto uniforme ad un’altezzay′′1 > y′′0 .Il pelo libero di solleva ed il sollevamento risulta maggiore dell’altezza stessa della soglia.

• Alveo a debole pendenza: la corrente lenta passa dall’altezza y′0 del moto uniforme ad un’altezzay′1 < y′0. Poiché l’inclinazione della E(y) è minore di quella della bisettrice degli assi risulta y′0−y′1 > a.Il pelo libero della corrente sulla soglia si abbassa.

Energia specifica piccola e/o altezza della soglia elevata

In questo caso può darsi che l’energia specifica E0 della corrente in arrivo non sia sufficiente per farleoltrepassare la soglia.

Ciò avviene quando la retta di equazione E = E′ = E0 − a non taglia il grafico della E(y), essendoappunto E′ < Ec.

• Alveo a debole pendenza: la corrente è costretta a rigurgitare, il suo livello si solleva e con ciò, essendola corrente lenta, aumenta l’energia specifica, fino al minimo valore indispensabile.Questo viene raggiunto quando sulla soglia si stabilisce proprio lo stato critico, con altezza yc e caricototale Ec rispetto al piano superiore della soglia stessa.Subito a monte avremo un carico totale E1 = Ec+a rispetto al fondo dell’alveo, e corrispondentementeun’altezza y1 > y0: un profilo di rigurgito del tipo D1 si estenderà fino all’infinito a monte.Raggiunto lo stato critico sulla soglia, la corrente, sempre accelerando, diventa subito a valle veloce,in quanto le sue condizioni sono determinate proprio dalla soglia (causa posta a monte).Nell’ipotesi che anche al termine della soglia non intervenga sensibile dissipazione di energia, l’altezzay2 subito al piede della soglia è fornita dal grafico della E(y).Deve seguire un profilo di tipo D3, di corrente veloce ritardata in alveo a debole pendenza, interrottoinfine da un risalto che ristabilisce il moto uniforme.


Figura 4.31. Passaggio sopra una soglia di fondo (energia specifica elevata): energiaspecifica ed altezza della corrente.

(a) Alvei a debole pendenza. (b) Alvei a forte pendenza.

Figura 4.32. Passaggio sopra una soglia di fondo (energia specifica piccola): energiaspecifica ed altezza della corrente.

• Alveo a forte pendenza: anche in questo caso si stabilisce sulla soglia lo stato critico. Ciò richiedetuttavia un sollevamento della linea dell’energia anche a monte e quindi un’influenza della soglia sullacorrente in arrivo, ne consegue che questa deve diventare lenta, assumendo subito a monte l’altezzay1 corrispondente al carico totale E1 = Ec + a.

Si stabilisce un profilo di rigurgito di tipo F1, di corrente lenta in alveo a forte pendenza, che inizia amonte con un risalto.

Varcato lo stato critico sulla soglia, a valle la corrente ridiventa veloce; ma subito al piede, nell’ipotesiche anche allo sbocco non si dissipi energia e quindi il carico totale rispetto al fondo resti E1, siha un’altezza y2 < y0, in quanto in una corrente veloce un aumento di energia corrisponde ad unadiminuzione di altezza.

Il moto uniforme viene ristabilito asintoticamene verso valle, a mezzo di un profilo del tipo F3.


Figura 4.33. Passaggio sopra una soglia di fondo (energia specifica piccola): profilo delmoto per alvei a debole pendenza.

Figura 4.34. Passaggio sopra una soglia di fondo (energia specifica piccola): profilo delmoto per alvei a forte pendenza.

4.7.6 Stabilizzazione di un risalto idraulico

La determinazione della posizione del risalto serve ad individuare le zone in cui il fondo del canale saràsottoposto a forti sollecitazioni. Essendo infatti il risalto un fenomeno fortemente dissipativo esso provocadelle forti perturbazioni di pressione verso il fondo, le quali si trasferiscono al materiale costituente il fondomovimentandolo ed inducendo fenomeni di disgregazione.

Consideriamo lo sfioratore di una diga: esso è costituito da una sorta di scivolo che permette di scaricare avalle l’eccesso d’acqua dovuto ad un’onda di piena. Poiché la pendenza di tale scivolo può raggiungere ancheil 100% gran parte dell’energia presente alla sommità si trasferisce a valle, dove viene dissipata mediante unrisalto, di cui è necessario stabilizzare la posizione al piede dello scivolo. Il risalto tende infatti a spingersimolto a valle in quanto:

y′3 =y2

2

[−1 +

√1 + 8Fr2

2

] y0 v

Le possibilità che si presentano sono due.


1. Approfondire la vasca di una quantità a in modo tale che:

y0 v + a = y′3

2. Creare uno sbarramento, detta controbriglia, di altezza b in modo che:

ys + b = y′3 =⇒ b = y′3 − ys

Figura 4.35. Stabilizzazione di un risalto idraulico: profilo del moto.

L’altezza ys può essere ottenuta considerando le formule per gli stramazzi :

Q = CQBsys√

2gys =⇒ ys

(≈ 3

2yc

)A valle della controbriglia si formerà un altro risalto, il quale tuttavia sarà molto più piccolo, in quanto granparte dell’energia sarà stata già dissipata nella prima vasca.

Figura 4.36. Stabilizzazione di un risalto idraulico: energia specifica ed altezza dellacorrente.


4.7.7 Passaggio fra le pile di un ponteIl processo di movimento in questo caso è del tutto paragonabile a quello visto per il caso della passaggiosopra una soglia di fondo, tuttavia in questo caso:

- si mantiene costante l’energia specifica E rispetto al fondo;

- varia la portata q per unità di larghezza.

Consideriamo una corrente che supponiamo contenuta in un alveo a sezione rettangolare larga B1, sia Q lasua portata e quindi q1 = Q/B1 la portata per unità di larghezza del canale.

Facciamo l’ipotesi che il passaggio tra le pile del ponte avvenga senza sensibile dissipazione di energia(E = cost). Fra le pile la larghezza complessiva della sezione liquida si riduce a B2 < B1 e quindi la portataunitaria aumenta diventando q2 = Q/B2 > q1.

Piccolo restringimento

Consideriamo separatamente i due casi di alvei a debole e a forte pendenza; siano y′0 e y′′0 le rispettive altezzedi moto uniforme.

• Alvei a debole pendenza: poichè a parità di y all’aumentare di q si ha un aumento di E, ne consegueche per effetto del restringimento:

- yc aumenta;- y′1 < y′0: la corrente si abbassa.

• Alvei a forte pendenza: in maniera analoga si ha:

- yc aumenta;- y′′1 > y′′0 : la corrente si alza.

(a) Profilo del moto. (b) Energia specifica ed altezza della corrente.

Figura 4.37. Passaggio tra le pile di un ponte (piccolo restringimento).

Si trova quindi lo stesso fenomeno che si era trovato studiando il passaggio sopra una soglia con l’osservazioneche:

X corrente lenta: l’aumento della portata unitaria si attua mediante un aumento di velocità al qualecorrisponde una diminuzione della quota piezometrica (y);

X corrente veloce: l’aumento della portata unitaria si attua mediante una diminuzione dell’energiacinetica, che porta ad un aumento dell’area liquida.


Grande restringimento

Può anche in questo caso succedere che, se il restringimento della sezione è piuttosto rilevante, l’energiadisponibile nella corrente in arrivo non sia sufficiente a superare l’ostacolo.

Interviene un rigurgito che realizza subito a monte del ponte una corrente lenta con carico totale E1 > E0.In particolare la corrente si porta ad un livello energetico pari al minimo valore indispensabile per il

passaggio fra le pile, ossia quel valore per cui il passaggio si realizza allo stato critico con altezza:

yc1 = 3

√q22

g

Il valore dell’energia è quindi pari a:

E1 =32yc1

Il valore di y1 è ottenibile risolvendo l’equazione non lineare:

32

3

√q22

g= y1 +

q21

2gy21

Figura 4.38. Passaggio attraverso le pile di un ponte (forte restringimento): energiaspecifica ed altezza della corrente per alvei a debole pendenza.

• Alvei a debole pendenza: il rigurgito provocato dal ponte si estende fino all’infinito a monte, secondoun profilo di tipo D1.

La corrente, attraversato lo stato critico fra le pile, diventa veloce subito a valle, con altezza y2

deducibile dal grafico di figura 4.38, nell’ipotesi che anche allo sbocco la dissipazione di energia siatrascurabile. Segue un profilo D3, di corrente veloce, che termina con un risalto, a valle del quale siristabilisce il moto uniforme.

• Alvei a forte pendenza: subito a monte del ponte si ha un profilo di tipo F1, di corrente lenta, cheinizia con un risalto, a monte del quale si ha il moto uniforme della corrente veloce.

A valle del ponte, subito dopo lo sbocco, la corrente veloce ha altezza y2 < y0, ed il moto uniformeviene ristabilito asintoticamente, a mezzo di un profilo di tipo F3.

Condizione di non attraversamento della profondità critica

La condizione affinché in assenza di perdite non si verifichi l’attraversamento della profondità critica èche l’energia specifica della corrente indisturbata sia maggiore od uguale all’energia specifica critica per la


Figura 4.39. Passaggio attraverso le pile di un ponte (forte restringimento): profilo delmoto per alvei a debole pendenza.

Figura 4.40. Passaggio attraverso le pile di un ponte (forte restringimento): profilo delmoto per alvei a forte pendenza.

portata assegnata:

y0 1 +q21

2gy20 1

≥ 32

3

√q22

g(4.63)

Il numero di Froude della corrente indisturbata vale:

Fr0 =V0√gy0 1

=q1

y0 1√gy0 1


e quindi la 4.63 diventa:

1 +Fr2

0

2− 3

2

(Fr0B1

B2

)2/3

≥ 0 (4.64)

Nel caso di uguaglianza, ad ogni valore del rapporto di restringimento B2/B1 corrispondono due soluzionipositive per i numeri di Froude Fr0, che si indicano come numeri limite FL: F ′L < 1 e F ′′L > 1. La correntesi mantiene ovunque lenta nel passaggio attraverso il restringimento se risulta Fr0 ≤ F ′L ed analogamenteovunque veloce se Fr0 > F ′′L .

Il diagramma di figura 4.41 rappresenta l’andamento delle soluzioni FL in funzione del rapporto direstringimento B2/B1. Si individuano 3 campi:

1. il moto avviene in condizione di corrente sempre lenta: moto subcritico;

(equivale al caso dell’alveo a debole pendenza con piccolo restringimento);

2. il moto avviene in condizione di corrente sempre veloce: moto supercritico;

(equivale al caso dell’alveo a forte pendenza con piccolo restringimento);

3. il moto avviene con transizione attraverso la profondità critica:

- 3′: alveo a debole pendenza con grande restringimento;

- 3′′: alveo a forte pendenza con grande restringimento.

Figura 4.41. Andamento delle soluzioni FL in funzione del rapporto di restringimento.

Valutazione del rigurgito per il moto in condizioni subcritiche

Quando il punto di coordinate assegnate (Fr0, B2/B1) cade in campo 1 il rigurgito ∆y, cioè la sopraele-vazione del pelo libero a monte del restringimento rispetto alla profondità y0 della corrente indisturbata2,si può calcolare con la formula empirica di Yarnell :

∆yy0

= k2(k2 − 0, 6 + 5Fr20)

[1− B2

B1+ 15

(1− B2

B1

)4]Fr2

0 (4.65)

dove k2 è un fattore di forma delle pile, i cui valori sono indicati nella figura 4.42.

2Questo rigurgito non è riportato nel disegno di figura 4.37(a).


Figura 4.42. Fattore di forma k2 delle pile del ponte per la formula di Yarnell.

4.8 Tracce dell’onda di piena

Si è già detto nel capitolo 1 che in condizioni di piena risulta estremamente difficoltoso eseguire delle buonemisurazioni dirette della portata in un corso d’acqua. Risulta a tal proposito interessante valutare le traccelasciate sulle sponde dalle onde di piena: esse sono formate generalmente o da una striscia di limo depositatoo dal segno dell’erba piegata. Tali tracce hanno il vantaggio di rimanere ben visibili anche alcuni giornidopo l’evento permettendone così un rilievo mediante picchettaggi da parte di una squadra topografica.

Figura 4.43. Picchettaggio della traccia dell’onda di piena.

4.8.1 Valutazione della portata in condizioni di piena

Per la valutazione della portata in condizioni di piena è quindi possibile seguire un procedimento di questotipo.

1. Si riporta in un grafico x − Z l’andamento della quota del fondo Zf in un funzione della coordinatalongitudinale x rispetto ad un sistema di riferimento per le quote, ciò avviene per punti attraverso ilrilievo topografico di una serie di sezioni trasversali del canale.

2. Si riportano sullo stesso grafico le altezze dei punti picchettati ZP (x).

3. Noti il coefficiente di scabrezza del canale Ks e la condizione al contorno y0, altezza di monte o di vallea seconda del tipo di corrente, si sfrutta l’equazione del profilo del pelo libero in moto permanentey = y(x;Q,Ks, y0) (calcolabile alle differenze finite) per trovare la portata Q che minimizza unadeterminata funzione obiettivo relativa a:

ε = y + Zf − ZP (4.66)

4. Tipi possibili di funzione obiettivo sono:

(a) minimi quadrati :minQ

(∑ε2)

(4.67)

Andrea Lisjak 4.8. Tracce dell’onda di piena 195

Figura 4.44. Valutazione della portata mediante la traccia dell’onda di piena.

(b) minimax :minQ

(max |ε|) (4.68)

4.8.2 Valutazione di variazioni del coefficiente di scabrezzaLa differenza esistente tra i punti del profilo calcolati alle differenze finite e i punti calcolati può essere utile,entro certi limiti, per la valutazione di eventuali variazioni di scabrezza del canale nel tratto considerato.

Figura 4.45. Variazione del coefficiente di scabrezza: profilo del pelo libero.

In base alla formula di Gauckler-Strickler si ha che:

Q = KsR2/3ΩJ1/2

Grazie alla picchettatura del profilo e al rilievo topografico delle sezioni è possibile conoscere Ω, R, y edentro certi limiti J . Rimane incognita la coppia Q, Ks. Supponiamo di aver scelto un unico valore di Ks1

costante per tutto il tronco di canale considerato ma che in realtà questo passi dal valore Ks1 nel primotratto ad un valore Ks2 > Ks1 nel secondo (vedi anche relazione 4.26). Ciò che si ottiene è un profilo cheben si adatta ai punti misurati nel primo tratto e male a quelli del secondo.

. . .


4.9 Estrapolazione della scala delle portateIn tratti di alveo in cui è noto il coefficiente di scabrezza Ks i profili di moto permanente possono essereutilizzati per tarare la scala delle portate ed estrapolarla per alti valori della portata stessa.

Si è visto come in condizione di corrente lenta una perturbazione a valle produca un profilo di tipo D1o D2 che converge verso monte a quello di moto uniforme. Il procedimento da seguire è il seguente: si fissauna portata Q e si calcola il profilo del moto permanente soggetto ad ipotesi arbitrarie circa la profondità ya valle (yc, y1, y2, . . . ), in questo modo si riesce a determinare alle differenze finite il livello h corrispondentenella sezione di misura dove è installato l’idrometro (hc, h1, h2, . . . ). Se la distanza tra sezione a vallee sezione di misura a monte è grande allora i valori di h convergono ad un unico valore (quello di motouniforme). Per ottenere il livello corrispondente alla portata Q si effettua la media degli h calcolati.

Figura 4.46. Calcolo dei profili del pelo libero.

Ciò può essere fatto per diversi valori della portata Q ottenendo in tal modo altre coppie (Q, h) da utilizzareper la determinazione della scala delle portate.

Figura 4.47. Estrapolazione della scala delle portate.

Andrea Lisjak 4.10. Alvei con sezioni composite o con scabrezza eterogenea 197

4.10 Alvei con sezioni composite o con scabrezza eterogeneaLa sezione trasversale dei corsi d’acqua a pelo libero è spesso costituita da parti chiaramente diverse traloro per la forma, la profondità e talvolta anche per la scabrezza.

Negli alvei naturali la parte centrale, più profonda, costituisce il letto di magra (Ks = 35÷ 45 m1/3s−1),mentre le parti laterali si estendono sopra le golene (Ks = 15÷ 25 m1/3s−1 in presenza di vegetazione rada)fino agli argini maestri, destinate al contenimento delle portate di piena.

Figura 4.48. Esempio di alveo con sezione composita e scabrezza eterogenea.

4.10.1 Calcolo della portata totaleIl deflusso in queste condizioni avviene con velocità differenti nelle varie parti sia per variazione del raggioidraulico sia del coefficiente di scabrezza. Per il calcolo della portata totale si può scrivere, in base alla leggedi Gauckler-Strickler:

Q = KsΩR2/3J1/2 = K · J1/2 (4.69)

dove K è detta capacità di convogliamento (conveyance).Dal punto di vista operativo si ipotizza che il livello d’acqua sia orizzontale lungo tutta la sezione e si

valutano separatamente i contributi alla portata delle singole sottosezioni in cui si può suddividere l’interasezione. La separazione si fa di solito mediante rette verticali. Si può quindi scrivere:

Q =∑

Qi =√J∑i

Ki (4.70)

Le singole capacità di convogliamento riferite alle sottosezioni si possono calcolare una volta che siano notiil coefficiente di scabrezza, l’area della sottosezione ed il raggio idraulico:

Ki = KsiΩiR2/3i (4.71)

Per la valutazione del perimetro bagnato delle singole sottosezioni può venire il dubbio se considerare omeno l’interfaccia di separazione liquido–liquido. A tal proposito esistono due possibilità operative:

1. si suppone che le tensioni tangenziali all’interfaccia liquida, al pari di quelle all’interfaccia liquido-aria,siano trascurabili e quindi non si considerano tali tratti;

2. alcuni autori sostengono che:

• per quanto riguarda le sottosezioni relative alle aree golenali si debba trascurare tale interfacciain quanto la velocità in tali zone è più piccola di quella del canale principale;

• per quanto riguarda la sottosezione relativa al canale principale si considera anche tale interfacciain quanto, essendo le sezioni adiacenti a velocità più bassa, l’attrito non è trascurabile.


4.11 Curve nei canali

4.11.1 Correnti lente

L’effetto di una curva su una corrente lenta è messo in evidenza dalla inclinazione che assume la superficielibera, con una sopraelevazione sulla sponda esterna ed una depressione su quella interna.

Lo studio del fenomeno si può condurre in modo semplificato su una curva circolare a fondo piano epareti verticali assumendo che le velocità dipendano dal raggio di curvatura r come nel vortice irrotazionale.

Figura 4.49. Curva circolare in un canale.

Ogni elemento fluido è soggetto alla forza specifica verticale g dovuta al potenziale gravitazionale e aduna forza centrifuga specifica orizzontale pari a V 2/r. Il pelo libero deve perciò assumere una pendenzatrasversale per disporsi perpendicolarmente alla risultante di queste due forze. Ne consegue che la pendenzadel pelo libero è data da:

∂y

∂r=V 2

gr

ed avendo assunto:V =

c1r

con c1 intensità del vortice, si ottiene:∂y

∂r=

c21gr3

Figura 4.50. Andamento del pelo libero nella sezione trasversale di una curva circolare.

Integrando questa equazione fra i raggi r1 interno e r2 esterno della curva e le corrispondenti quote del pelolibero y1 e y2 si ha:

∆y = y2 − y1 =c212g

(1r21

− 1r22

)(4.72)

Andrea Lisjak 4.11. Curve nei canali 199

Essendo Vm la velocità sulla curva di raggio medio rm e B = r2 − r1 la larghezza del canale si haequivalentemente:

∆y = y2 − y1 =V 2mB

g· r

3m

r21r

22

(4.73)

Formula di Grashof

Con buona approssimazione si può sostituire al raggio medio aritmetico quello medio geometrico, quindir3m/r

21r

22 con 1/rm, e a Vm la velocità media V nella sezione. Si ottiene in questo modo la formula di

Grashof :

∆y ≈ V2B

grm(4.74)

Essa fornisce una valutazione tecnicamente3 soddisfacente del dislivello ∆y per rm/B ≥ 1, 5.

4.11.2 Correnti velociIl caso delle corrente veloci risulta notevolmente più complicato in quanto non essendo tali correnti influen-zate da ciò che succede a valle la corrente “urta” violentemente contro le sponde esterne della curva, percui si creano nel pelo libero dei sovralzi che si propagano verso valle attaccati alla parete. La trattazioneanalitica del problema viene quindi tralasciata.

3Una tipica applicazione tecnica che necessita della conoscenza del dislivello del profilo trasversale è il dimensionamentodegli argini. Questo dislivello non viene invece tenuto in considerazione nel tracciamento dei profili longitudinali del pelo libero.


4.12 Alvei in letti alluvionali: condizioni di stabilità

4.12.1 Introduzione

I corsi d’acqua naturali assumono una forma che è legata al tipo di sedimento presente sul fondo e sullesponde e agli aspetti idrologici che si esplicitano in quel corso d’acqua.

Normalmente i corsi d’acqua vengono considerati come qualcosa di fisso e stabile nel loro andamentoplano-altimetrico; in realtà così non è: è evidente, ad esempio, che per riuscire a riempire di sedimenti lepianure alluvionali i corsi d’acqua devono nel tempo invadere tutta la pianura.

L’arginazione di un corso d’acqua equivale a fissarne l’andamento planimetrico e quindi ad impedirealluvionamenti della pianura circostante e ad imporre un alluvionamento selettivo della fascia interarginale.Ne consegue che col tempo il canale compreso tra gli argini maestri si alza e quindi il livello del pianocampagna al suo interno diviene più alto di quello esterno. Tale innalzamento per sedimentazione riguardasoprattutto le golene.

Figura 4.51. Arginazione di un corso d’acqua.

Si noti come questo tipo di dinamica fluviale non avvenga solamente alla scala dei tempi geologici (migliaiad’anni) bensì anche a quella che riguarda la vita tecnica delle opere di ingegneria fluviale (decine d’anni).

Ne consegue che l’analisi del trasporto solido (valutazione della portata solida e dell’inizio del trasportoal fondo) e dei fenomeni di modellamento dell’alveo e di resistenza siano di grande interesse ingegneristico.

4.12.2 Caratterizzazione del sedimento

Densità

Dal punto di vista idraulico la prima caratteristica distintiva dei materiali trasportati dalla corrente è laloro densità ρs.

Dimensioni

Ipotizzando di approssimare un granulo con un ellissoide, s’individuano i seguenti elementi:

- diametro massimo Dmax: corrisponde alla massima distanza tra due punti appartenenti al ciottolo;

- sezione maestra: corrisponde alla sezione di area massima tra tutte quelle ortogonali all’asse massimo;

- diametro minimo Dmin: è il diametro minimo tra tutti quelli appartenenti alla sezione maestra;

- diametro medio Dmed: è il diametro appartenente alla sezione maestra ortogonale al diametro minimo.

La caratterizzazione di un miscuglio di granuli di varie dimensioni avviene mediante la distribuzione granu-lometrica, corrispondente alla distribuzione di probabilità dei diametri dei granuli all’interno del miscuglio.Dal momento che la sedimentazione in un corso d’acqua non è omogenea, nel campionare i sedimentiper effettuarne l’analisi granulometrica bisogna stare molto attenti alla rappresentatività del campione. Infunzione della dimensione dei granuli la tecnica di analisi granulometrica varia:

X limi e argille: aerometria;

Andrea Lisjak 4.12. Alvei in letti alluvionali: condizioni di stabilità 201

X sabbie e ghiaie: setacciatura (il passaggio attraverso il setaccio è condizionato dal diametro mediodella sezione maestra);

X ciottoli: campionamento per numero alla superficie.

La terza tecnica consiste nel misurare direttamente il diametro medio di singoli elementi lapidei campionati acaso. Il prelievo casuale di ciottoli dall’alveo avviene solitamente mediante grigliatura (gridding, quadrillage):si materializza, mediante fili e picchetti, una griglia a maglia quadrata sovrapposta al deposito alluvionale.L’apertura della maglia deve essere maggiore della dimensione massima del masso più grosso presente sulluogo del campionamento, in modo da evitare di prendere in considerazione due volte lo stesso elementolapideo. Il numero N di nodi deve essere sufficientemente elevato: generalmente per questioni di comoditàse ne considerano 100. Mediante un filo a piombo ci si pone nel nodo e si misura il masso stante sullaverticale. In generale il numero N ′ di diametri misurati è inferiore a quello degli N nodi in quanto capitaspesso che il filo a piombo vada a cadere su sedimenti fini affioranti.

La percentuale di passante alla più piccola misura (D′) è data da:

p =N −N ′

N· 100

La distribuzione granulometrica degli elementi misurati si ottiene con una tabella del tipo 6.1.

Tabella 4.2. Distribuzione granulometrica ottenuta mediante campionamento per numero.

k D % passante

1 D1 (N − 1)/N · 1002 D2 (N − 2)/N · 100...

......

N ′ D′ (N −N ′)/N · 100

Per ottenere la distribuzione granulometrica complessiva è necessario riscalare a p la curva granulometricaottenuta per i fini.

Velocità di caduta in acqua ferma

Strettamente connessa con la dimensione e con la densità della particella è la sua velocità limite ws di cadutalibera in acqua ferma. La sua espressione per sfere di diametro ds e densità ρs è:

ws =1√CR

√43

(ρs − ρρ

)gds (4.75)

dove:

- CR: coefficiente di resistenza.


4.12.3 Condizioni critiche: inizio del trasporto solido

I primi tentativi empirici di esprimere quantitativamente la condizione di equilibrio del materiale incoerenteposto sul fondo di canali percorsi da acque torbide risalgono alla fine dell’Ottocento.

La ricerca della larghezza, della profondità e della pendenza necessaria per raggiungere una condizione incui il deflusso di una data portata mantiene in movimento tutto il carico di materiale solido, senza depositoe senza erosione dell’alveo, richiede di associare all’equazione del moto della corrente altre condizioni cheriguardano appunto il fenomeno del trasporto solido e lo stato di equilibrio del fondo.

La prima interpretazione teorica del fenomeno di inizio del trasporto solido si deve a Shields (1936).

Condizione critica per il fondo

L’indagine effettuata da Shields fu rivolta ad individuare la relazione che il valore τcr della tensione alcontorno τ0, ossia quella che provoca il primo movimento del materiale sul fondo, ha con le proprietà µ e ρdel fluido e con le caratteristiche ρs e ds dei granuli.

Si definisce condizione critica per il fondo l’inizio di instabilità dell’equilibrio dei sedimenti.

Tensione tangenziale sul fondo

Considerando un canale con pendenza if , con una corrente in moto uniforme ed isolando un tronco dilunghezza unitaria, si ha che:

- la resistenza agente sul fondo vale (p: perimetro bagnato):

τ0 · 1 · p

- la forza agente (peso dell’acqua proiettato lungo la direzione del moto) vale:

γ · Ω · 1 · sin if ≈ γ · Ω · if

uguagliando i due termini si ottiene il valore della tensione tangenziale agente sul fondo in moto uniforme:

τ0 = γ ·R · if (4.76)

Nel caso di alvei a sezione rettangolare molto larga (R ≈ y):

τ0 = γ · y · if (4.77)

Velocità di attrito

Invertendo e applicando la legge di Chézy (V = C√gRif ) si ottiene:

τ0 = γyif = ρgyif =ρV 2

C2

da cui si definisce la velocità d’attrito:V ∗ =

V

C=√τ0ρ

(4.78)

Formulazione di Shields: curva di instabilità

Si suppone che in condizioni critiche la resistenza al moto dei granuli di diametro ds e peso specifico γs, chedipende linearmente dal peso del granulo immerso (ossia il peso proprio depurato della spinta archimedea)ed è quindi proporzionale a:

(γs − γ)d3s

uguagli la forza di trascinamento al fondo all’inizio del trasporto:

CRτcrd2s

Andrea Lisjak 4.12. Alvei in letti alluvionali: condizioni di stabilità 203

Sulla base delle informazioni sperimentali si può ritenere che il coefficiente CR sia funzione, a parità diforma dei sedimenti, di un numero tipo Reynolds costruito con grandezze caratteristiche del moto attornoal granulo:

- velocità d’attrito V ∗;

- diametro del granulo ds;

- viscosità cinematica del fluido ν = µ/ρ.

Esso viene detto numero di Reynolds d’attrito:

Re∗ =V ∗dsν

(4.79)

Ne deriva che:τcr

(γs − γ)ds= f

(V ∗dsν

)(4.80)

Il legame tra Re∗ ed il parametro di stabilità:

τ∗ =τ0

(γs − γ)ds(4.81)

è rappresentato, in condizioni critiche, dalla curva di instabilità di Shields, riportata nel grafico di figura 4.52.

Figura 4.52. Curva di instabilità di Shields.

Tale curva è stata ricavata sulla base di numerose esperienze su materiali incoerenti di differente densità,ma sempre con forme pseudosferiche e con granulometria uniforme. Per l’applicazione ai letti alluvionali,dal momento che interessa principalmente che non vengano trasportati i ciottoli più grossi, si verifica lacondizione di stabilità con il D80 della distribuzione granulometrica.

È evidente l’analogia con l’andamento delle curve che rappresentano la dipendenza funzionale del coef-ficiente di resistenza dal numero di Reynolds nei moti nelle condotte in pressione (diagramma di Moody).Anche in questo caso sono ben visibili due regimi limite:

- per bassi Re∗ (fino a circa 2) le particelle restano immerse nello strato dominato dalla viscosità:

τ∗cr =τcr

(γs − γ)ds(4.82)

è inversamente proporzionale a Re∗;

- per alti valori di Re∗ (maggiori di 300-400) la turbolenza è completamente sviluppata e τ∗cr diventaindipendente da Re∗, assestandosi su un valore pari a circa 0,06.


4.13 Principi di modellistica idraulica da laboratorioMediante i modelli da laboratorio è possibile studiare fenomeni idraulici particolarmente complessi che nonsono possibili da analizzare mediante modelli fisico-matematici. L’applicazione principale di tali modelli èrelativa alle costruzioni idrauliche. Il vantaggio fornito dalla riproduzione mediante modello di un prototipoderiva dalla possibilità di tenere sotto controllo tutte le condizioni dell’esperimento e di misurarne con unacerta facilità i principali parametri fisici.

È evidente che nella maggior parte dei casi la riproduzione del prototipo in scala reale non è, per questionidi spazio, fattibile. Risulta inevitabile quindi la realizzazione di modelli in scala ridotta imponendo unadeterminata scala di rapporto tra una misura effettuata sul prototipo e la misura analoga effettuata sulmodello.

Scala geometrica

Si definisce scala geometrica del modello:nL =

xPxM

(4.83)

dove:

- xP : misura di lunghezza relativa al prototipo [L];

- xM : misura di lunghezza relativa al modello [L].

Risulta sempre nL ≥ 1, nel caso di uguaglianza si parla di modelli in scala reale.

Leggi e condizioni di scala

Una volta definita la scala geometrica bisogna definire le scale per le altre grandezze del modello idraulico:tempo, velocità, portata, viscosità, . . . . Per poter fare ciò bisogna tenere conto di:

• leggi di scala: sono leggi fisiche valide sempre sia nel modello che nel prototipo;

ad esempio: legge di gravitazione, legge di resistenza del moto, . . .

• condizioni di scala: sono condizioni che il realizzatore del modello impone;

sono legate ad un giudizio di rilevanza che viene attribuito a particolari gruppi adimensionali chediscendono direttamente dal teorema di Buckingham4; nel caso dei problemi idraulici si considerano:

- numero di Froude: rapporto tra le forze inerziali (V ) e quelle gravitazionali (√gym);

- numero di Reynolds: rapporto tra le forze inerziali (V ) e quelle viscose (ν/4R).

A seconda del fatto che il fenomeno sia dominato da inerzia e gravità o da inerzia e viscosità si ponel’uguaglianza tra modello e prototipo di uno dei due numeri. Dalle considerazioni che seguono sulladerivazione di una scala risulterà evidente come la condizione di uguaglianza di entrambi i numeri siapossibile solo nel caso, molto particolare, di modelli in scala reale.

4.13.1 Derivazione di una scalaIl processo di derivazione di una scala si basa su alcune leggi.

- Se una quantità è data dalla somma di due o più quantità allora la scala è data dalla somma dellescale:

Z = X + Y −→ nZ = nX + nY (4.84)

4Il teorema di Buckingham o teorema π afferma che dato un problema descritto da un certo numero di equazioni in cuisiano presenti n variabili fisiche, se le dimensioni fondamentali di queste n variabili sono x, allora il problema può esserecompletamente descritto da n−x variabili adimensionali. È possibile quindi studiare il medesimo problema usando un numeroinferiore di variabili purché queste siano adimensionali. Adimensionalizzare un’equazione significa moltiplicare o dividere i suoimembri per variabili fisiche finché tutti i membri non diventano privi di dimensioni.

Andrea Lisjak 4.13. Principi di modellistica idraulica da laboratorio 205

- Se una quantità è data dal prodotto di due o più quantità allora la scala è data dal prodotto dellescale:

Z = X · Y −→ nZ = nX · nY (4.85)

Si parla di modello distorto quando la scala delle lunghezze in una direzione è diversa dalla scala dellelunghezze in un’altra. In questo caso non vale la regola della somma.

Deriviamo ora le scale per le due condizioni di scala viste in precedenza.

Condizione di scala alla Froude

Supponiamo che la condizione di scala sia:

nFr =FrPFrM

= 1 (4.86)

Ne consegue che:nV√ng · nH

= 1

dove:

- nV : scala delle velocità;

- ng: scala dell’accelerazione di gravità;

- nH : scala altimetrica.

Supponendo, come è lecito fare per le applicazioni tecniche di questo tipo, che ng = 1 si ottiene:

nV =√nH (4.87)

Poiché V = x/t si ha che:nV =

√nH =

nLnt

(4.88)

Supponendo che il modello non sia distorto (nH = nL) si ottiene:

nt =√nL =

√nH = nV (4.89)

Per quanto riguarda la scala delle portate si ha che:

nQ =n3L

nt= n

5/2L (4.90)

Condizione di scala alla Reynolds

Supponiamo che la condizione di scala sia:

nRe =RePReM

= 1 (4.91)

Ne consegue che:nV · nHnν

= 1

Dal momento che per le applicazioni idrauliche principali si utilizza acqua5 nν = 1 e quindi:

nv =1nH

(4.92)

5Un esempio di modello in cui si utilizza un fluido diverso dall’acqua è il modello di Hele-Shaw : il moto di un sottile stratod’olio tra due lastre di vetro parallele equivale al flusso d’acqua in un mezzo poroso omogeneo ed isotropo.


È evidente quindi che la condizione affinché possa valere sia la condizione alla Froude che quella alla Reynoldsè che:

nV =√nH =

1nH−→ nH = 1 (4.93)

e quindi che il modello sia in scala reale.

Applicazione ai modelli idraulici

Nel caso dei modelli idraulici applicati alle costruzioni idrauliche si impone la condizione di scala alla Froude,in quanto lo scopo principale non è quello di simulare gli effetti viscosi e di attrito (risultato ottenibile conun una condizione di scala alla Reynolds). Valgono inoltre le seguenti considerazioni:

X dal momento che il modello considera effetti localizzati se la regione non è troppo estesa le perdite dienergia sono piccole;

X anche tenendo in conto le perdite di energia, dal momento che ReM e ReP sono noti è possibilemediante le leggi di scala correggere, ad esempio, la scabrezza di parete del modello in modo daottenere lo stesso effetto del prototipo.

Bisogna fare attenzione quando ReM < ReP in quanto in tal caso lo spazio percentuale occupato dallostrato limite nel modello diventa maggiore di quello occupato nel prototipo.

Andrea Lisjak 4.14. Ulteriori considerazioni sulle correnti veloci 207

4.14 Ulteriori considerazioni sulle correnti veloci

4.14.1 Propagazione di perturbazioni di livello infinitesimeQuando una corrente veloce incontra un ostacolo lungo il suo percorso si generano delle onde di superficieche si muovono lungo il flusso ed allo stesso tempo vengono trasportate verso valle. Il risultato complessivoè la formazione di un fronte d’onda obliquo analogo alle onde caratteristiche di Mach del flusso supercritico.

La formazione di tali onde è illustrata in figura 4.53

Figura 4.53. Movimento di piccole perturbazioni di livello in corrente (a) lenta, (b) criticae (c) veloce.

Si può dimostrare che vale:

sinβ =c

v=

1Fr

o1Ma

(4.94)

Le due alternative sono giustificate dal fatto che tale equazione è applicabile sia alle onde di compressionein gas comprimibili sia alle onde di superficie in un liquido.

4.14.2 Propazione di perturbazioni di livello finiteSi consideri un flusso stazionario all’interno di un canale, al contatto con le irregolarità delle pareti dell’alveosi ha la formazione di un pattern di fronti d’onda stazionari (figura 4.54).In tal caso tuttavia non è possibile applicare l’equazione (4.94) in quanto essa è valida nell’ipotesi di ondelunghe e di ampiezza infinitesima, per cui c =

√gy. Onde maggiori tuttavia viaggiano a velocità molto più

elevate:c2 =

gL

2πtanh

2πyL

(4.95)

dove:

- L: lunghezza d’onda finita dell’onda;

Deviazione di sponda

Un esempio di perturbazioni di livello finite è la deviazione delle pareti verticali di un canale di un angolofinito ∆θ (figura 4.55).


Figura 4.54. Pattern di fronti d’onda stazionari in un canale uniforme.

Figura 4.55. Vista in pianta di un fronte d’onda inclinato in condizioni di flussosupercritico.

Poiché il fronte d’onda che si forma è caratterizzato da un dislivello finito pari a ∆y, l’angolo di deviazioneβ1 non è valutabile mediante la relazione (4.94). È tuttavia possibile analizzare il problema considerandoil fronte d’onda come un risalto idraulico sul quale è sovrapposta parallelamente al fronte del risalto unadeterminata componente di velocità.

Tale componente deve essere la stessa da entrambe le parti del fronte, in quanto la variazione di profondità∆y non implica la presenza di alcuna forza diretta parallelamente al fronte. Si può quindi scrivere:

v1 cosβ1 = v2 cos(β1 −∆θ) (4.96)

L’equazione di continuità di esprime considerando le componenti di velocità normali al fronte d’onda:

v1y1 sinβ1 = v2y2 sin(β1 −∆θ) (4.97)

L’equazione di conservazione della quantità di moto è analoga a quella vista per i risalti idraulici con v1 sinβ1

al posto di v1:v2

1 sin2 β1

gy1=

12y2

y1

(y2

y1+ 1)

(4.98)

Da quest’ultima di ottiene:

sinβ1 =1Fr1

√12y2

y1

(y2

y1+ 1)

(4.99)

Andrea Lisjak 4.14. Ulteriori considerazioni sulle correnti veloci 209

la quale si riduce alla (4.94) quando l’onda è infinitesiva e y2 → y1.

Sponde curve

Il caso particolare di onde infinitesime può essere ulteriormente approfondito eliminando v2/v1 tra leequazioni (4.96) e (4.97):

y2

y1=

tanβ1

tan(β1 −∆θ)(4.100)

Fissando y2 = y1 + ∆y e facendo tendere ∆θ a zero si ottiene:

dydθ

=y

sinβ cosβ=v2

gtanβ (4.101)

Tale equazione esprime l’aumento continuo di profondità della corrente lungo una sponda curva (figura4.56).

Figura 4.56. Pattern di onde dovuto al flusso lungo un sponda curva.

Per ogni valore di θ di determina non solo il valore di y in corrispondenza della sponda ma anche lungo unalinea che parte dalla sponda stessa. L’integrazione della (4.101) dipende dalle assunzioni che vengono fattecirca la dissipazione di energia.


4.15 Esercizi

4.15.1 Tracciamento di un profilo di moto permanente

Si vuole tracciare il profilo di moto permanente gradualmente variato di una corrente con portata per unitàdi larghezza pari a q = 8 m2/s che transita in un alveo a sezione rettangolare molto larga che passa dauna pendenza del 4% ad una pendenza di 0, 8 m/km. Si supponga che il coefficiente di scabrezza dell’alveosecondo Gauckler-Strickler sia pari a Ks = 45 m1/3s−1.

Svolgimento

1. Determinazione della profondità critica.

yc = 3

√q2

g= 3

√82

9, 81= 1, 87 m

2. Determinazione delle due profondità di moto uniforme.

Alveo con pendenza del 4% (tronco di monte):

y0m =

(q

Ks

√if m

)3/5

=(

845√

0, 04

)3/5

= 0, 93 m < 1, 87 m =⇒ alveo a forte pendenza

Alveo con pendenza di 0, 8 m/km (tronco di valle):

y0 v =

(q

Ks

√if v

)3/5

=(

845√

0, 0008

)3/5

= 3, 01 m > 1, 87 m =⇒ alveo a debole pendenza

3. Valutazione delle condizioni al contorno.

Il tronco di monte in condizioni di moto uniforme è in corrente veloce, quindi, in assenza di condizionispecifiche, si può supporre che all’estremo di monte il profilo converga alla profondità di moto uniforme:y ≡ y0m.

Il tronco di valle in condizioni di moto uniforme è in corrente lenta, quindi, in assenza di condizionispecifiche, si può supporre che all’estremo di valle il profilo converga alla profondità di moto uniforme:y ≡ y0 v.

4. Valutazione dei vincoli interni.

L’unico vincolo interno è la variazione di pendenza che, trasformando la corrente veloce in correntelenta, genera un risalto idraulico.

5. Determinazione della posizione del risalto.

Numero di Froude della corrente veloce di monte:

Fr0m =q

y0m√gy0m

=8

0, 93√

9, 81× 0, 93= 2, 85

Numero di Froude della corrente lenta di valle:

Fr0 v =q

y0 v√gy0 v

=8

3, 01√

9, 81× 3, 01= 0, 49

Altezza coniugata dell’altezza di moto uniforme di monte:

y′2 =y0m

2

[−1 +

√1 + 8Fr2

0m

]=

0, 932

[−1 +

√1 + 8× 2, 842

]= 3, 31 m > y0 v = 3, 01 m


(a) Profilo del moto. (b) Spinta totale in funzione dell’altezza dellacorrente.

Altezza coniugata dell’altezza di moto uniforme di valle:

y′1 =y0 v

2

[−1 +

√1 + 8Fr2

0 v

]=

3, 012

[−1 +

√1 + 8× 0, 492

]= 1, 06 m > y0m = 0, 93 m

Ne risulta che S2 < S1 e quindi che la corrente sul cambio di pendenza tende a spingere il moto uniformelento verso valle. Poiché la corrente veloce si propaga nell’alveo a debole pendenza l’unico profilo possibile èil D3. Il risalto si forma quando l’altezza vale y′1 = 1, 06 m. Per individuare la posizione del risalto idraulicobasta calcolare alle differenze finite l’andamento del profilo D3 tra le altezze 0,93m e 1,06m, utilizzando lerelazioni:

E = y +q2

2gy2J =

q2

y10/3K2s

∆x =∆Eif − J

y (m) E (m) J (m/km) ∆E (m) J (m/km) ∆x (m) x (m)

0,93 4,70 40,3 00,95 4,56 37,5 -0,14 38,9 3,67 3,671,00 4,26 31,6 -0,30 34,6 8,88 12,551,05 4,01 26,9 -0,25 29,3 8,77 21,321,06 3,96 26,0 -0,05 26,5 1,95 23,27

Si ottiene x = 23, 27 m.


4.15.2 Localizzazione di un risalto in corrispondenza di un salto di fondo

In un canale rettangolare si presenta un salto di fondo di altezza δ = 1, 00 m. Con la portata per unitàdi larghezza q = 6, 00 m2/s la profondità, a valle del gradino, vale 3, 50 m. Calcolare entro quali limitipuò oscillare la profondità ym della corrente a monte del gradino affinché il risalto resti localizzato incorrispondenza del gradino stesso.

Si considerano come posizioni estreme del risalto idraulico quella in cui la sua sezione iniziale coincidepraticamente con la sezione del salto di fondo (caso A) e quella in cui, spostandosi il risalto verso monte,la sua sezione terminale viene a trovarsi molto vicino al gradino senza sorpassarlo (caso B). Al caso Acorrisponde il limite inferiore della profondità di monte mentre al caso B il limite superiore: è evidente perquanto visto in precedenza che, nel caso di correnti veloci, un aumento della spinta verso valle si ha con unadiminuzione dell’altezza della corrente a monte.

Figura 4.57. Localizzazione di un risalto in corrispondenza di un salto di fondo: caso A ecaso B.

Caso A

Si applica al risalto l’equazione della quantità di moto, tenendo conto anche della spinta verso valle fornitadalla parete dello scalino:

γ(ym + δ)2

2+ ρ

q2

ym= γ

y2v

2+ ρ

q2

yv=S

B

Sostituendo i dati nell’equazione, il termine noto diventa:

y2v

2+

q2

gyv= 7, 17 m2

quindi, dall’equazione della quantità di moto divisa per γ:

(ym + 1, 00)2

2+

6, 002

9, 81× ym= 7, 17 m2

si ottiene: ym = 0, 63 m.

Caso B

Dal momento che il risalto idraulico è spostato tutto a monte del gradino è come se quest’ultimo non cifosse. Ne consegue che si può applicare direttamente l’equazione della quantità di moto come fatto per ilrisalto in alveo rettangolare, che equivale in ultima analisi ad applicare la relazione per la determinazionedelle profondità coniugate del risalto idraulico.

Il numero di Froude nella sezione a valle vale:

Frv =q

yv√gyv

=6, 00

2, 50√

9, 81× 2, 50= 0, 485


L’altezza della corrente a monte coniugata di quella a valle vale:

ym =yv2

(−1 +

√1 + 8Fr2

v

)=

2, 502

(−1 +

√1 + 8× 0, 4852

)= 0, 87 m

Il risalto resta quindi localizzato sul gradino finché la profondità di monte è contenuta nel campo 0, 63 m <ym < 0, 87 m.


4.15.3 Calcolo della portata sfiorabile da uno stramazzo laterale

Uno sfioratore laterale sulla sponda di un canale rettangolare largo 5,0m ha soglia lunga 8,0m alla quotad = 1, 30 m sul fondo. Si vuole calcolare la portata sfiorabile in moto permanente partendo da un valore amonte Q0 = 25 m3s−1 ed essendo imposta a valle l’altezza d’acqua yL = 2, 10 m sul fondo.

Figura 4.58. Canale con stramazzo laterale.

Svolgimento

In prima approssimazione, considerato che la profondità della corrente lungo lo sfioratore sarà mediamenteattorno a 2m, si valuta la portata media sfiorata per unità di lunghezza con la formula per gli stramazzi:

qm = CQ√

2g(ym − d)3/2 = 0, 40√

2× 9, 81× 0, 73/2 = 1, 0 m3s−1/m

La portata finale deve risultare quindi intorno a QL = 25 − 1, 0 × 8, 0 = 17 m3s−1 e ad essa corrispondel’energia specifica:

EL = 2, 10 +172

2× 9, 81× 52 × 2, 102= 2, 234 m

Si esegue quindi il calcolo del profilo con passo ∆x = 1 m utilizzando le equazioni:dQ(x) = −q(x) dxqu(x) = CQ

√2g(y − d)3/2

E = y +Q2(x)/2gΩ2 = y +Q2(x)/2gB2y2 = EL = cost(4.102)

ottenute ipotizzando l’energia specifica costante lungo il tronco di canale interessato dallo stramazzo (cheequivale a trascurare le perdite di carico in quel tratto), scritte nella forma:

E = yi +Q2i /2g52y2

i = 2, 234 m (i = 0, 1, . . . , 7)∆Qi = qi = CQ

√2g(yi − d)3/2

Qi+1 = Qi −∆Qi

e conoscendo le condizioni del moto nella sezione iniziale (Q0 = 25 m3/s). I risultati sono riportati nelquadro che segue:


x (m) Q (m3s−1) y (m) q (m3s−1/m)

0 25,000 1,869 0,7601 24,240 1,903 0,8292 23,411 1,936 0,8973 22,514 1,967 0,9654 21,549 1,996 1,0285 20,521 2,024 1,0916 19,430 2,051 1,1527 18,277 2,076 1,2108 17,067 2,099 -

Si constasta un’ottima concordanza del valore finale dell’altezza d’acqua con il dato 2,10m. La portatacomplessivamente sfiorabile risulta pari a 25, 00− 17, 07 = 7, 93 m3s−1.

Profili del moto lungo la soglia

Come al solito si effettua la distinzione:

• corrente lenta: il profilo lungo la soglia dello sfioratore è crescente verso valle;l’energia specifica E è data dalla corrente indisturbata di valle;

• corrente veloce: il profilo lungo la soglia dello sfioratore è decrescente verso valle;l’energia specifica E è data dalla corrente indisturbata di monte.

Generalmente si evita di costruire sfioratori laterali in correnti veloci senza averle prima rallentate in quantola diminuzione dell’altezza della corrente può essere tale da far sì che lo stramazzo non venga più alimentatoe che, in presenza di una corrente lenta a valle, si formi un risalto idraulico.

(a) Corrente lenta. (b) Corrente veloce.

Figura 4.59. Profili di moto su uno stramazzo laterale.

Osservazione: afflusso laterale perpendicolare alla direzione del canale

Nel caso in cui i filetti fluidi affluenti siano perpendicolari alla direzione della corrente nel canale, la variazionedi quantità di moto è notevole (grande dissipazione di energia) per cui non si può applicare la conservazionedell’energia ma bisogna riccorrere alla costanza della spinta totale:

S(x) = γηg(x)Ω + ρQ2

Ω= cost (4.103)

dove la portata è nota e varia secondo:

Q(x) = Q0 +∫ x

0

q(x) dx (4.104)


Figura 4.60. Canale con afflusso laterale.

Capitolo 5

Moto vario nelle correnti a pelo libero

5.1 Equazioni del motoSi considerano in questo capitolo correnti a pelo libero soggette a variazioni graduali di sezione e velocitànello spazio e nel tempo. Sebbene la loro superficie libera sia necessariamente in movimento, tali correnticonservano forma quasi cilindrica, velocità sensibilmente parallele alla direzione del moto e distribuzioneidrostatica della pressione nelle sezioni trasversali (figura ??). I fenomeni ondosi che rientrano in questoschema sono quindi caratterizzati da piccole pendenze e da piccole curvature del pelo libero. La densità delliquido si può ritenere sempre ed ovunque costante.

Figura 5.1. Schema di una corrente lienare in moto vario.

Le equazioni di moto vario, escludendo afflussi e deflussi laterali, si dimostra essere:

∂(ρQ)∂x

+∂(ρΩ)∂t

= 0 (5.1)

∂

∂x

[z +

∫dpγ

+ βU2

2g

]= −1

g

∂U

∂t− τ0γR

(5.2)

dove:

- x: ascissa lungo il fondo dell’alveo della corrente in esame;

- t: tempo;

- ρ: densità;

217

218 Capitolo 5. Moto vario nelle correnti a pelo libero Andrea Lisjak

- Q: portata;

- z: quota dell’asse baricentrico della sezione di area Ω;

- Ω: area della sezione bagnata;

- p: pressione nel baricentro della sezione di area Ω;

- γ: peso specifico;

- U : velocità media nella sezione di area Ω;

- β: coefficiente di ragguaglio della portata di quantità di moto;

- g: accelerazione di gravità;

- R: raggio idraulico della sezione (R = Ω/B);

- τ0: perdita distribuita di energia totale, per unità di peso e lunghezza, dovuta alle resistenze alcontorno.

5.1.1 Equazioni di de Saint–VenantImponendo la condizione di densità costante ed assumendo quasi uniforme la distribuzione delle velocitànella sezione, in modo da poter il coefficiente di ragguaglio della portata di quantità di moto β = 1, siottengono le cosiddette equazioni di de Saint–Venant :

−→ equazione di continuità:∂Q

∂x+∂Ω∂t

= 0 (5.3)

−→ equazione dinamica:∂

∂x

[z +

p

γ+ β

U2

2g

]= −1

g

∂U

∂t− τ0γR

(5.4)

La posizione β = 1 trova giustificato impiego nelle applicazioni tecniche anche per la modesta importanzadel termine cinetico e per la limitata approssimazione con cui è valutabile il termine rappresentativo delleperdite di carico effettivo per unità di lunghezza dovute alle resistenze al contorno e che solitamente vieneindicato j e valutato mediante la formula di Chézy :

j =τ0γR

=U2

C2gR(5.5)

Canali rettangolari

Indicando con zf la quota del fondo della sezione normale di un canale e con y la profondità misurata nelpiano della sezione, coincidente con la quota del pelo libero sul fondo, la pendenza vale:

if =dzfdx

(5.6)

Le equazioni di de Saint–Venant, per alveo di sezione rettangolare, diventano:

∂(Uy)∂x

+∂y

∂t= 0 (5.7)

∂y

∂x+U

g

∂U

∂x+

1g

∂U

∂t= if − j (5.8)

Trascurando nella 5.3(b) la variazione di velocità nel tempo si ottiene l’equazione del moto permanente:

∂y

∂x+U

g

∂U

∂x= if − j (5.9)

Andrea Lisjak 5.1. Equazioni del moto 219

Trascurando anche le variazioni di velocità e profondità della corrente nello spazio si ottiene l’equazione delmoto uniforme:

if − j = 0 (5.10)


5.2 Onde di piena

Una delle applicazioni più importanti delle equazioni del moto vario delle correnti a pelo libero riguardala simulazione matematica della propagazione delle onde di piena negli alvei naturali. Per questi calcolil’equazione di continuità e l’equazione dinamica della corrente, senza afflussi e deflussi laterali, si usanoscrivere nelle forme:

∂Q

∂s+∂Q

∂t= 0 (5.11)

∂y

∂x+U

g

∂U

∂x+

1g

∂U

∂t= if − j (5.12)

La complicazione numerica richiesta per la soluzione di tale sistema consiglia il ricorso a modelli semplificati,utili anche per mettere in evidenza qualche aspetto di carattere generale delle onde di piena.

5.2.1 Modello di Boussinesq

Il più semplice di tali modelli è quello suggerito da Boussinesq nel 1872, basato sull’assunzione che il passaggiodell’onda di piena dia luogo ad una successione di stati quasi uniformi, in modo che risulti sempre:

if − j = 0

L’ipotesi si giustifica con il riferimento ad onde di periodo molto lungo, per cui la corrente è soggetta avariazioni estremamente graduali nello spazio e nel tempo. L’equazione dinamica si riduce allora ad unarelazione tra la portata Q e la profondità y, o la sezione bagnata Ω, espressa dall’equazione del motouniforme. Tale legame è espresso dalla cosiddetta scala delle portate (o di deflusso):

Q = kΩm (5.13)

con k ed m generalmente assunti costanti. In generale, per le sezioni larghe e larghissime, l’esponente m havalori compresi tra 3/2 (sezione rettangolare) e 5/3.

5.2.2 Modello cinematico

Dalla considerazione della scala delle portate:

Q = kΩm

insieme all’equazione di continuità:∂Q

∂s+∂Q

∂t= 0

si ottiene l’equazione del modello di propagazione delle piene detto cinematico. La denominazione derivadall’importanza del ruolo svolto dalla condizione cinematica di continuità in questo schema di calcolo.Indicando con c la derivata di Q rispetto ad Ω:

c =dQdΩ

= mQ

Ω= c(Q)

e tenuto conto che:∂Q

∂t=

dQdΩ

∂Ω∂t

= c(Q)∂Ω∂t

dall’equazione di continuità si deduce che:

∂Q

∂t+ c(Q)

∂Q

∂x= 0 (5.14)

che è l’equazione differenziale del modello cinematico.L’integrazione è immediata con il metodo delle caratteristiche. L’equazione alle derivate parziali (5.14)

Andrea Lisjak 5.2. Onde di piena 221

è equivalente al sistema di equazioni differenziali ordinarie:

dxdt

= c(Q) (5.15)

∂Q

∂t+∂Q

∂x· dx

dt=

dQdt

= 0 (5.16)

di cui la prima fornisce l’unica famiglia di curve caratteristiche. Qui c indica la celerità di propagazione diuno stesso valore di portata. Con riferimento ai predetti valori di m si ha:

c = kmΩm−1 = mQ

Ω=(

32÷ 5

3

)U (5.17)

Dalla costanza di Q sulle caratteristiche, espressa dall’equazione (5.16) deriva che le caratteristiche stessesono rette la cui pendenza sul piano x, t cresce con il crescere del valore della portata nella sezione x = 0.Come mostra la figura 5.2, assegnata per x = 0 la condizione al contorno:

Q(0, t) = F (t) per t ≥ 0 (5.18)

e posta inoltre la condizione che Q sia limitata per s→∞, è immediata la conoscenza della Q = Q(x, t) intutto il tratto in esame:

Q(x, t) = F (τ) (5.19)

dove τ è un tempo definito implicitamente dalla

t = τ +x

c[F (τ)](5.20)

ottenuta integrando l’equazione delle caratteristiche (5.15).

Figura 5.2. Propagazione di un’onda di piena secondo lo schema cinematico.

Dato il legame tra Q ed Ω rappresentato dalla scala di deflusso, le variazioni di sezione si propagano conla stessa celerità delle variazioni di portata. Inoltre, poiché c risulta crescente con Q, la propagazioneè tendenzialmente accompagnata da una distorsione che, in assenza di attenuazione, dovrebbe rendere ilfronte dell’onda sempre più ripido con l’avanzamento.


5.2.3 Modello parabolico

Un secondo schema semplificato, per lo studio delle onde di piena, si ottiene considerando trascurabili itermini inerziali dell’equazione di de Saint–Venant, per cui quest’ultima si riduce a:

∂y

∂x= if − j (5.21)

L’approssimazione risulta del tutto giustificata, come si dimostrerà più avanti, negli alvei con pendenzamolto dolce. Tenendo conto anche dell’equazione di continuità:

∂Q

∂x+∂Ω∂t

= 0, (5.22)

della definizione della scala delle portate:Q = kΩm,

e dell’equazione del moto uniforme:Q = CΩ

√gRif , (5.23)

tale sistema di PDE del I ordine di tipo iperbolico è riconducibile ad un’unica PDE del II ordine di tipoparabolico, la quale può essere scritta nella forma:

∂Q

∂t+ c

∂Q

∂x= D

∂2Q

∂x2(5.24)

nota come equazione di convezione–diffusione.Il coefficiente c è detto coefficiente di convezione ed ha la medesima espressione della celerità del modello

cinematico:c = m

Q

ΩIl coefficiente D è detto coefficiente di diffusione ed è ottenibile mediante l’approssimazione di Hayami :

D =k2Ω2m

2BQif=

Q

2Bj≈ Qc

2Bif(5.25)

La diffusione aumenta all’aumentare della portata per unità di larghezza (canali ben incassati) e al diminuiredella pendenza. Come ordine di grandezza il coefficiente D si aggira attorno ai 1.000− 50.000 m2/s.

La possibilità di sostituire il sistema iperbolico di partenza cui corrisponde un doppio valore della celerità,con una forma parabolica che ammette una sola determinazione della celerità, è giustificata dal particolaretipo di fenomeni propagatori in esame: quello delle onde di piena. Esse sono caratterizzate anche, oltreche da variazioni della sezione e della portata molto lente nel tempo e nello spazio, da una propagazioneesclusivamente verso valle.

Dalla 5.24 risulta evidente anche l’attenuazione del colmo dell’onda: per un osservatore che si muovacon la celerità c la portata varia infatti con la legge:

D∂2Q

∂x2

Si possono presentare due casi.

• Se D = 0 allora Q è costante e l’osservatore vede sempre la stessa portata

• Se D > 0 allora Q varia proporzionalmente a D in funzione della curvatura della portata in x (con xche va da monte a valle). Con riferimento alla figura ?? si possono distinguere 2 zone:

1. zona di colmo: ∂2Q/∂x2 < 0 =⇒ dQ/dt < 0 ossia la portata al colmo, per effetto diffusivo,tende a diminuire nel tempo;

2. zona pre– e post– colmo: ∂2Q/∂x2 > 0 =⇒ dQ/dt > 0 ossia la portata, per effetto diffusivo,tende ad aumentare nel tempo.

Andrea Lisjak 5.2. Onde di piena 223

(a) . (b) .

Figura 5.3. Propagazione dell’onda di piena nel tempo.

La propagazione dell’onda di piena nello spazio è tale per cui la portata al colmo tende ad abbassarsi mentrele code tendono ad allargarsi, ne consegue che da monte verso valle il colmo di piena diminuisce di intensitàma aumenta di durata.

L’equazione 5.24 del modello parabolico si può risolvere in forma analitica se la si linearizza assumen-do valori costanti per i coefficiente c e D. Per questa linearizzazione conviene attribuire ad essi i valoricorrispondenti, in moto permanente, ad una portata media dell’evento di piena. La soluzione è data nellaforma di un integrale di convoluzione:

Q(x, t) =∫ t

0

u(x, τ)Q(0, t− τ) dτ (5.26)

dove:

- Q(0, t) è la portata nella sezione x = 0 per t ≥ 0;

- u(x, τ) è la risposta del sistema lineare ad una portata impulsiva unitaria:

u(x, t) =x

2t√πtD

exp[− (ct− x)2

4Dt

](5.27)

Figura 5.4. Propagazionne nel tempo di una funzione impulso di Dirac.

Capitolo 6

Trasporto solido

6.1 IntroduzioneI corsi d’acqua naturali assumono una forma che è legata al tipo di sedimento presente sul fondo e sullesponde e agli aspetti idrologici che si esplicitano in quel corso d’acqua.

Normalmente i corsi d’acqua vengono considerati come qualcosa di fisso e stabile nel loro andamentoplano-altimetrico; in realtà così non è: è evidente, ad esempio, che per riuscire a riempire di sedimenti lepianure alluvionali i corsi d’acqua devono nel tempo invadere tutta la pianura.

L’arginazione di un corso d’acqua equivale a fissarne l’andamento planimetrico e quindi ad impedirealluvionamenti della pianura circostante e ad imporre un alluvionamento selettivo della fascia interarginale.Ne consegue che col tempo il canale compreso tra gli argini maestri si alza e quindi il livello del pianocampagna al suo interno diviene più alto di quello esterno. Tale innalzamento per sedimentazione riguardasoprattutto le golene.

Figura 6.1. Arginazione di un corso d’acqua.

Si noti come questo tipo di dinamica fluviale non avvenga solamente alla scala dei tempi geologici (migliaiad’anni) bensì anche a quella che riguarda la vita tecnica delle opere di ingegneria fluviale (decine d’anni).

Ne consegue che l’analisi del trasporto solido (valutazione della portata solida e dell’inizio del trasportoal fondo) e dei fenomeni di modellamento dell’alveo e di resistenza siano di grande interesse ingegneristico.

225

226 Capitolo 6. Trasporto solido Andrea Lisjak

6.2 Caratterizzazione dei materiali trasportatiDensità

Dal punto di vista idraulico la prima caratteristica distintiva dei materiali trasportati dalla corrente è laloro densità ρs.

Dimensioni

Ipotizzando di approssimare un granulo con un ellissoide, s’individuano i seguenti elementi:

- diametro massimo Dmax: corrisponde alla massima distanza tra due punti appartenenti al ciottolo;

- sezione maestra: corrisponde alla sezione di area massima tra tutte quelle ortogonali all’asse massimo;

- diametro minimo Dmin: è il diametro minimo tra tutti quelli appartenenti alla sezione maestra;

- diametro medio Dmed: è il diametro appartenente alla sezione maestra ortogonale al diametro minimo.

La caratterizzazione di un miscuglio di granuli di varie dimensioni avviene mediante la distribuzione granu-lometrica, corrispondente alla distribuzione di probabilità dei diametri dei granuli all’interno del miscuglio.Dal momento che la sedimentazione in un corso d’acqua non è omogenea, nel campionare i sedimentiper effettuarne l’analisi granulometrica bisogna stare molto attenti alla rappresentatività del campione. Infunzione della dimensione dei granuli la tecnica di analisi granulometrica varia:

X limi e argille: aerometria;

X sabbie e ghiaie: setacciatura (il passaggio attraverso il setaccio è condizionato dal diametro mediodella sezione maestra) o campionamento per peso sul volume;

X ciottoli: campionamento per numero alla superficie.

La terza tecnica consiste nel misurare direttamente il diametro medio di singoli elementi lapidei campionati acaso. Il prelievo casuale di ciottoli dall’alveo avviene solitamente mediante grigliatura (gridding, quadrillage):si materializza, mediante fili e picchetti, una griglia a maglia quadrata sovrapposta al deposito alluvionale.L’apertura della maglia deve essere maggiore della dimensione massima del masso più grosso presente sulluogo del campionamento, in modo da evitare di prendere in considerazione due volte lo stesso elementolapideo. Il numero N di nodi deve essere sufficientemente elevato: generalmente per questioni di comoditàse ne considerano 100. Mediante un filo a piombo ci si pone nel nodo e si misura il masso stante sullaverticale. In generale il numero N ′ di diametri misurati è inferiore a quello degli N nodi in quanto capitaspesso che il filo a piombo vada a cadere su sedimenti fini affioranti.

La percentuale di passante alla più piccola misura (D′) è data da:

p =N −N ′

N· 100

La distribuzione granulometrica degli elementi misurati si ottiene con una tabella del tipo 6.1.

Tabella 6.1. Distribuzione granulometrica ottenuta mediante campionamento per numeroalla superficie.

k D % passante

1 D1 (N − 1)/N · 1002 D2 (N − 2)/N · 100...

......

i Di (N − i)/N · 100...

......

N ′ D′ (N −N ′)/N · 100

Andrea Lisjak 6.2. Caratterizzazione dei materiali trasportati 227

Il problema successivo è quello di ottenere la distribuzione granulometrica complessiva. A tal proposito èstata dimostrata (Kellerhals, Price) l’omogeneità statistica dei due tipi di campionamento. Di conseguenzaè sufficiente riscalare i valori delle ordinate della curva granulometrica relativa ai fini moltiplicandoli per p(figura 6.2).

Figura 6.2. Unione delle due curve granulometriche.

Una volta ottenuta la distribuzione granulometrica complessiva, dal punto di vista applicativo risultanoimportanti alcuni suoi parametri :

X percentili : dx : prob(D ≤ dx) = x;

· diametro mediano d50;

X parametri di dispersione:

· d84 − d16;

· d75 − d25.

Velocità di caduta libera in acqua ferma

Strettamente connessa con la dimensione e con la densità della particella è la sua velocità limite w di cadutalibera in acqua ferma. La sua espressione per sfere di diametro ds e densità ρs è (formula di Newton):

ws =1√CR

√43

(ρs − ρρ

)gds (6.1)

dove:

- CR: coefficiente di resistenza.

La figura 6.4 rappresenta l’andamento tipico della curva w = w(ds), con ds diametro della sfera di ugualvolume del granulo, per granuli quarziferi di diversa forma in acqua a 20C (ρs/ρ = 2, 65).


Figura 6.3. Velocità di caduta libera di granuli di quarzo con diversi parametri di formaψs.

6.3 Condizioni critiche: inizio del trasporto solido

I primi tentativi empirici di esprimere quantitativamente la condizione di equilibrio del materiale incoerenteposto sul fondo di canali percorsi da acque torbide risalgono alla fine dell’Ottocento.

La ricerca della larghezza, della profondità e della pendenza necessaria per raggiungere una condizione incui il deflusso di una data portata mantiene in movimento tutto il carico di materiale solido, senza depositoe senza erosione dell’alveo, richiede di associare all’equazione del moto della corrente altre condizioni cheriguardano appunto il fenomeno del trasporto solido e lo stato di equilibrio del fondo.

La prima interpretazione teorica del fenomeno di inizio del trasporto solido si deve a Shields (1936).

Condizione critica per il fondo

L’indagine effettuata da Shields fu rivolta ad individuare la relazione che il valore τcr della tensione alcontorno τ0, ossia quella che provoca il primo movimento del materiale sul fondo, ha con le proprietà µ e ρdel fluido e con le caratteristiche ρs e ds dei granuli.

Si definisce condizione critica per il fondo l’inizio di instabilità dell’equilibrio dei sedimenti.

Tensione tangenziale sul fondo

Considerando un canale con pendenza if , con una corrente in moto uniforme ed isolando un tronco dilunghezza unitaria, si ha che:

- la resistenza agente sul fondo vale (p: perimetro bagnato):

τ0 · 1 · p

Andrea Lisjak 6.3. Condizioni critiche: inizio del trasporto solido 229

- la forza agente (peso dell’acqua proiettato lungo la direzione del moto) vale:

γ · Ω · 1 · sin if ≈ γ · Ω · if

uguagliando i due termini si ottiene il valore della tensione tangenziale agente sul fondo in moto uniforme:

τ0 = γ ·R · if (6.2)

Nel caso di alvei a sezione rettangolare molto larga (R ≈ y):

τ0 = γ · y · if (6.3)

Velocità di attrito

Invertendo e applicando la legge di Chézy (V = C√gRif ) si ottiene:

τ0 = γyif = ρgyif =ρV 2

C2

da cui si definisce la velocità d’attrito:V ∗ =

V

C=√τ0ρ

(6.4)

6.3.1 Formulazione di Shields: curva di instabilitàSi suppone che in condizioni critiche la resistenza al moto dei granuli di diametro ds e peso specifico γs, chedipende linearmente dal peso del granulo immerso (ossia il peso proprio depurato della spinta archimedea)ed è quindi proporzionale a:

(γs − γ)d3s

uguagli la forza di trascinamento al fondo all’inizio del trasporto:

CRτcrd2s

Sulla base delle informazioni sperimentali si può ritenere che il coefficiente CR sia funzione, a parità diforma dei sedimenti, di un numero tipo Reynolds costruito con grandezze caratteristiche del moto attornoal granulo:

- velocità d’attrito V ∗;

- diametro del granulo ds;

- viscosità cinematica del fluido ν = µ/ρ.

Esso viene detto numero di Reynolds d’attrito:

Re∗ =V ∗dsν

(6.5)

Ne deriva che:τcr

(γs − γ)ds= f

(V ∗dsν

)(6.6)

Il legame tra Re∗ ed il parametro di stabilità:

τ∗ =τ0

(γs − γ)ds(6.7)

è rappresentato, in condizioni critiche, dalla curva di instabilità di Shields, riportata nel grafico di figura 6.4.Tale curva è stata ricavata sulla base di numerose esperienze su materiali incoerenti di differente densità,ma sempre con forme pseudosferiche e con granulometria uniforme. Per l’applicazione ai letti alluvionali,dal momento che interessa principalmente che non vengano trasportati i ciottoli più grossi, si verifica lacondizione di stabilità con il D80 della distribuzione granulometrica.


Figura 6.4. Curva di instabilità di Shields.

È evidente l’analogia con l’andamento delle curve che rappresentano la dipendenza funzionale del coef-ficiente di resistenza dal numero di Reynolds nei moti nelle condotte in pressione (diagramma di Moody).Anche in questo caso sono ben visibili due regimi limite:

- per bassi Re∗ (fino a circa 2) le particelle restano immerse nello strato dominato dalla viscosità:

τ∗cr =τcr

(γs − γ)ds(6.8)

è inversamente proporzionale a Re∗;

- per alti valori di Re∗ (maggiori di 300-400) la turbolenza è completamente sviluppata e τ∗cr diventaindipendente da Re∗, assestandosi su un valore pari a circa 0,06.

La limitazione più restrittiva alla curva di Shields deriva dal fatto di essere riferita a materiali omogenei, cioècon granulometria praticamente uniforme. L’applicazione di tale criterio alle condizioni reali deve esserefatta con la consapevolezza che esso costituisce un criterio di massima, in quanto ottenuto con valutazionidi laboratorio in canalette artificiali (figura 6.5).

Andrea Lisjak 6.4. Trasporto solido al fondo 231

Figura 6.5. Schema di canaletta idraulica da laboratorio.

6.4 Trasporto solido al fondo

Il trasporto solido al fondo è dovuto al materiale che si stacca dal fondo, percorre una certa distanza e poiricade nel breve periodo nuovamente sul fondo. Esso consiste quindi in una sequenza di saltazioni, confinatein una fascia limitata del tirante idraulico.

6.4.1 Metodi di misura

La misura diretta del trasporto solido al fondo può essere effettuata mediante campionatori locali, costituitida una sorta di scatole adagiate sul fondo con lo scopo di raccogliere il materiale trasportato dalla corrente.Il problema principale nell’utilizzo di tali dispositivi sta nel disturbo locale che essi inducono al campo divelocità, il quale può aumentare o diminuire il distacco di materiale dal fondo. Con lo scopo di evitare inparte tale inconveniente esistono dei campionatori realizzati mediante geotessuto permeabile.

Un altro sistema consiste nella realizzazione di trincee sul fondo del corso d’acqua, con le quali valutareil volume di sedimenti accumulato nel tempo.

Esistono in Italia due bacini sperimentali, di cui uno a Torino realizzato dal CNR ed uno in Toscanadall’Università di Firenze, dotati trappole per sedimenti molto più complesse (figure 6.6 e 6.7).

Figura 6.6. .

Figura 6.7. .

Un ulteriore metodo di valutazione del trasporto solido a livello globale si basa sulla valutazione dellavelocità di interrimento delle dighe.


6.4.2 Metodi di calcoloL’interesse tecnico nel calcolo del trasporto solido al fondo è sorto durante la progettazione di grandi canalidi irrigazione in India da parte degli ingegneri inglesi. Oltre alla valutazione delle condizioni di stabilità delfondo di tali canali non pavimentati, si poneva il problema di evitare che il materiale trasportato al fondodal fiume finisse col sedimentare nei canali riducendo la capacità di trasporto dell’acqua.

Numerose equazioni sono state proposte per il calcolo della portata solida trascinata al fondo da unacorrente liquida, portata che indicheremo con i simboli:

- Qs: portata solida al fondo in volume;

- qs: portata solida al fondo in volume per unità di larghezza dell’alveo.

Formula di Du Boys

La prima equazione che ha trovato conferme sperimentali è stata quella suggerita da Du Boys nel 1879 sullabase di un modello di trasporto per strati striscianti sovrapposti:

qs = K ′sτ0(τ0 − τcr) (6.9)

dove:

- K ′s: coefficiente caratteristico del materiale trasportato.

L’importanza che la formula di Du Boys ha avuto sul condizionamento di una lunga serie di relazioni per ilcalcolo della portata solida al fondo e la sua buona verifica sperimentale sono andate ben oltre l’attendibilitàdello schema elementare di rappresentazione del fenomeno.

Formula di Shields

Shield (1936), con considerazioni basate sempre sull’effetto dell’eccesso di sforzo al fondo rispetto al valorecritico, propose l’equazione:

γsqsγq

ρs − ρρ

= 10jτ0 − τcr

(γs − γ)ds(6.10)

dove:

- q: portata liquida per unità di larghezza dell’alveo.

La formula di Shields non è molto utilizzata in quanto basata su dati sperimentali di laboratorio e pocoadatta all’applicazione fluviale.

Formula di Schoklitsch

Di tipo diverso è invece l’equazione che fu proposta da Schoklitsch (1930, 1934) sulla base dell’analisi dinumerosi risultati sperimentali e di misure sperimentali. La formula di Schoklitsch ha la forma:

qs = K ′′s jη(q − qcr) (6.11)

dove:

- K ′′s : coefficiente caratteristico del materiale trasportato:

K ′′s =2.500ρs

(6.12)

- η: esponente con valori intorno a 3/2 per il trasporto al fondo di miscugli formati da sedimenticaratterizzati con il diametro D40 (in m);

- qcr: portata critica per unità di larghezza alla quale inizia il movimento del fondo:

qcr = 0, 26(ρs − ρρ

)5/3D

3/240

j7/6(6.13)


Tale formula è abbastanza utilizzata per i corsi d’acqua alpini.

Formula di Kalinske

Kalinske (1947), assumendo la portata solida proporzionale al volume della particella, al numero di quellepartecipanti al moto e alla loro velocità, considerata approssimativamente pari alla differenza media tem-porale tra la velocità al fondo e la velocità critica di trascinamento, ha ottenuto un’equazione del tipo:

qsV ∗Ds

= f

(τ0τcr

)(6.14)

L’andamento della funzione f , espresso analiticamente da Kalinske, è rappresentato graficamente nella figura6.8.

Figura 6.8. Equazione di Kalinske (1947) per il calcolo della portata solida al fondo qs(per unità di larghezza).

Formula di Meyer–Peter e Müller

Un contributo importante per la valutazione del trasporto solido al fondo, ottenuto separando gli effetti dellaresistenza dovuta ai granuli da quelli dovuti alla morfologia del fondo, è stato dato dai lavori sperimentalidella Eidgenössische Technische Hochshule di Zurigo e dagli studi di Meyer-Peter e Muller, che hanno fornitouna interpretazione soddisfacente di quelle esperienze. La formula da loro proposta nel 1948 si è dimostrata


in accordo sia con i risultati della E.T.H., sia con numerosi altri rilievi di laboratorio e di campagna, anchesuccessivi.

La resistenza complessiva al moto della corrente fluida si ritiene separabile in due componenti:

1. componente dovuta alla scabrezza superficiale dei granuli ;

2. componente dovuta alla forma del fondo.

La tensione totale media sul contorno vale:

τ0 = τ ′0 + τ ′′0 (6.15)

dove:

- τ ′0: tensione dovuta alla resistenza superficiale;

- τ ′′0 : tensione dovuta alla resistenza di forma.

Essendo τ0 = γjR si può altresì scrivere:

τ0 = γR(j′ + j′′) (6.16)

Per miscugli di varia granulometria la formula di Meyer–Peter e Müller si può scrivere nella seguente formaadimensionale:

Rj′

Ds− 0, 047

ρs − ρρ

= 0, 25(ρsqs)2/3

Ds(ρ2g)1/3

(ρs − ρρ

)2/3

(6.17)

dove:

- j′: parte della pendenza motrice j che è dovuta alla sola resistenza dei granuli e non alla conformazionedel fondo;

la valutazione di j′ si ottiene confrontando la relazione di Gauckler–Strickler–Manning per sezionirettangolari larghe (V = ksy

2/3j1/2) con la relazione di di Chézy (V = C√gyj):

j′

j=(ksk′s

)3/2

(6.18)

dove:

- ks: coefficiente di scabrezza di Gauckler–Strickler complessiva;

- k′s: coefficiente di scabrezza di Gauckler–Strickler dovuta esclusivamente ai granuli del materialemobile;può essere valutato con la formula:

k′s =26

D1/690

(6.19)

L’utilizzo del D90, diametro corrispondente ad un passante del 90%, viene giustificato con ilfenomeno del corazzamento (o armoring) del fondo:durante le fasi di piena gran parte della granulometria presente in alveo si muove, mentre durantele fasi di morbida è lecito pensare che la frazione più grossolana si fermi mentre quella più finecontinui ad essere trasportata, ne consegue che la pezzatura grossolana arresta il proprio moto,s’incastra e perde il fine presente tra di essa tuttavia protegge dal distacco tutto il materiale chesta sotto di essa; il materiale in superficie di un deposito alluvionale è sempre più grossolano diquello che sta più in profondità, ne consegue che sono i diametri più grandi (D90) quelli indicatividella resistenza del fondo.

La condizione critica di inizio del movimento al fondo può essere ottenuta imponendo nulla portata solidaal fondo qs = 0:

ρ

ρs − ρRj′

Ds= 0, 047 (6.20)


Essendo gRj′ = τ ′0/ρ e τ ′0 = τ ′cr nelle condizioni in esame si ottiene:

τ ′cr(γs − γ)Ds

= 0, 047 (6.21)

Tale valore corrisponde alla τ∗cr dovuta alla sola resistenza della componente di attrito dei granuli.

Formula di Einstein

Attraverso una serie di studi, iniziati negli anni ’40 e portati a conclusione nel 1950, Einstein1 introdusseun metodo probabilistico per la valutazione della portata solida al fondo e propose una formula che ha avutolargo impiego tecnico.

Tale metodo si basa sull’introduzione di due parametri adimensionali:

X parametro di stabilità:

Ψ =ρs − ρρ

gDs

V ∗=

1τ∗

(6.22)

esso è uguale all’inverso del parametro di stabilità di Shields;

X parametro di trasporto:

Φ = qs

(ρs − ρρ

gD3s

)−1/2

(6.23)

Nello schema di Einstein si considera una superficie unitaria sul fondo dell’alveo: in condizioni permanentiil numero di granuli depositati nell’unità di tempo deve essere uguale al numero di granuli erosi. A causadella turbolenza della corrente il fenomeno di erosione e sedimentazione è supposto casuale.

Il trasporto al fondo è il risultato di un certo numero di passi che ogni granulo del materiale sedimentatocompie saltuariamente fino a trovare le condizioni favorevoli all’arresto. La distanza media percorsa daigranuli dal momento in cui sono erosi al momento in cui sono depositati vale:

< L >= ALDs (6.24)

dove:

- Ds: diametro dei granuli; la distanza percorsa è direttamente proporzionale al diametro in quantominore è la possibilità di incontrare punti favorevoli all’arresto;

- AL: costante di proporzionalità.

Il numero di granuli depositati per unità di tempo ed area è proporzionale al numero di granuli trasportati,all’incirca pari a qs/D3

s , moltiplicato per la probabilità che vi sia deposizione, pari a 1/L, e quindi a:

numero granuli depositati ∝ qsρsρsD3

sALDs

Il numero di granuli erosi per unità di tempo ed area è proporzionale al numero di granuli presenti, pro-porzionale a 1×1/D2

s , moltiplicato per la probabilità che vi sia distacco, proporzionale alla frazione temporaleθ in cui la portanza dovuta alla turbolenza supera il peso della particella, moltiplicata per la probabilità dinon ricadere, proporzionale al tempo di caduta in acqua ferma ts da un’altezza pari ad 1 diametro pari a:

ts ∝Ds√(

ρs−ρρ

)gDs

e quindi a:

numero granuli erosi ∝θ√

ρs−ρρ gDs

D3s

1Si tratta di Hans Albert Einstein, figlio di Albert Einstein.


Uguagliando questo numero a quello delle particelle depositate attraverso un coefficiente globale di pro-porzionalità C, si ottiene l’equazione del trasporto solido:

ρsqsALρsD4

s

= Cθ

D2s

√g

Ds

ρs − ρρ

La distanza < L >= ALDs può essere espressa come prodotto della lunghezza media del singolo passo λDs

di un granulo per il numero di passi, il quale è inversamente proporzionale alla probabilità di deposizione1− θ, si ottiene:

ALDs =λDs

1− θl’equazione del trasporto solido diventa:

θ

1− θ= AΦ

ossia:θ =

AΦ1 +AΦ

(6.25)

La probabilità di erosione θ può essere espressa, secondo Einstein, in funzione del rapporto tra il peso dellaparticella immersa nel fluido e la portanza fluidodinamica, si può quindi scrivere:

θ = f

[g(ρs − ρ)D3

s

ρD2sVf

2

1Cp

](6.26)

dove:

- Cp: coefficiente di portanza;

- Vf 2: velocità al fondo.

Poiché la velocità al fondo è proporzionale alla velocità di attrito:

Vf ∝ V ∗

l’equazione del trasporto solido al fondo può essere espressa da:

θ = f

[g(ρs − ρ)Ds

ρV ∗2

]= f(Ψ) (6.27)

Per trasporto debole, ossia per valori Φ < 0, 4 Einstein ha proposto l’equazione:

0, 465Φ = exp [−0, 391Ψ] (6.28)

rappresentata da una retta nel diagramma di figura 5.3(b).

Confronto fra la formula di Einstein e quella di Meyer–Peter e Müller

È stato eseguito un confronto fra l’equazione di Einstein e quella di Meyer-Peter e Müller, trasformando laseconda ed esprimendola con gli stessi parametri di Einstein:

Φ = 8(

1Ψ− 0, 047

)3/2

(6.29)

Il confronto fra le curve rappresentatrici delle due equazioni e i risultati su sedimenti uniformi è rappresentatonella figura 5.3(b), che ne mostra la buona concordanza.L’accordo si riscontra anche con miscugli a granulometria non uniforme, per i quali però è consigliatoassumere per il diametro Ds due differenti valori:

−→ formula di Einstein: Ds = D35

−→ formula di Meyer–Peter e Müller: Ds = D50.


Figura 6.9. Relazione fra le funzioni Φ e Ψ di Einstein (1942).

Formula di Yalin

Yalin (1963) ha ottenuto la sua formula per il calcolo di qs partendo dall’ipotesi che il moto dei granuliavvenga per salti e che ogni salto si presenti come la traiettoria di un proiettile la cui massima altezza èconseguenza non dell’azione continua di una forza di trascinamento, ma della velocità acquistata inizialmentedal granulo.

Il risultato viene qui riportato in termini dei parametri Φ e Ψ di Einstein, con riferimento specifico altrasporto di granuli di quarzo in acqua (ρs/ρ = 2, 65):

Φ = costΨcr√

Ψ

(1Ψ− 1

Ψcr

)[1− 1

aslog10(1 + as)

](6.30)

conas = 1, 66

√Ψcr

(1Ψ− 1

Ψcr

)(6.31)

la costante è risultata pari a 0,635, dal confronto con altri risultati sperimentali.

Con l’aumentare della portata solida as diventa molto grande e quindi:

1as

ln(1 + as)→ 0

sicché l’equazione di Yalin si riduce alla:

Φ = 0, 635Ψcr√

Ψ

(1Ψ− 1

Ψcr

)(6.32)


Figura 6.10. Relazione grafica di Einstein (1950), curva a linea intera, e di Meyer–Peter eMüller (1948), curva a tratti, per il calcolo della portata solida al fondo.

Formula di Bagnold

L’equazione di Bagnold (1956) per il trasporto solido al fondo è analoga all’equazione 6.32 ma con 0,21 alposto del coefficiente 0,635:

Φ = 0, 21Ψcr√

Ψ

(1Ψ− 1

Ψcr

)(6.33)

Considerazioni generali sull’impiego di formule per il calcolo del trasporto solido al fondo

Di tutte le formule esposte quella di Einstein è a tutt’oggi quella che si avvicina di più concettualmente allafisica reale del problema. Lo studio del trasporto solido al fondo nei corsi d’acqua naturali è un problemache viene reso ancora più complicato da una serie di varianti rispetto alle sperimentazioni di laboratorio:

X disponibilità di materiale per il trasporto solido non sempre garantita;

X impulsività del trasporto;

X turbolenza della corrente e presenza di discontinuità di parete.

Tali formule possono in definitiva essere utilizzate per dare una valutazione di massima sul campo divariabilità atteso del fenomeno.

Andrea Lisjak 6.5. Trasporto solido in sospensione 239

6.5 Trasporto solido in sospensioneIl trasporto solido in sospensione interessa la frazione granulometrica fine che, una volta sollevata dal fondo,rimane permanentemente miscelata all’interno dell’acqua senza dar luogo ad una nuova precipitazione,almeno finchè l’acqua rimande in movimento. Il trasporto in sospensione dà luogo alla torbidità dell’acquae per questo motivo viene detto anche trasporto torbido.

6.5.1 Metodi di misuraLa torbidità dell’acqua è essenzialmente una misura di concentrazione della fase solida presente, essa puòessere espressa come:

−→ concentrazione massica: rapporto massa solida e volume d’acqua torbida (g/l)

−→ concentrazione volumica: rapporto tra volume solido e volume d’acqua torbida (ppm).

La misura di concentrazione implica per sua stessa natura un processo di campionamento. È evidentequindi che il suo valore è influenzato dal volume utilizzato: esso deve essere sufficientemente grande danon interagire con granuli, paradossalmente un volume delle stesse dimensioni dei granuli può dari luogosolamente a misure di concentrazione unitaria o nulla, e sufficientemente piccolo da non interagire con lasezione idrica nel suo complesso, in modo tale da poter apprezzare le variazioni di concentrazione con laprofondità.

Esistono anche metodi di misura di tipo indiretto, ossia basati sulla variazione dell’opacità dell’acqua infunzione della torbidità (torbidimetri).

6.5.2 Equazione della diffusione–dispersioneConservazione della massa

Lo studio del trasporto solido in sospensione utilizza la conservazione della massa della sostanza dispersa.Seguendo un approccio di tipo lagrangiano si assume:

DDt

∫V

Cs dV = 0 (6.34)

dove:

- Cs = Cs(y, y, z, t): concentrazione della sostanza dispersa;

- V : volume mobile di controllo;

- D/Dt: derivata sostanziale (si prende un volume di fluido e lo si segue nel suo percorso).

Alla (6.34) si può applicare il teorema del trasporto in modo da considerare il problema in termini di flussientranti ed uscenti da un volume di controllo fisso V (approccio euleriano):∫

V

∂Cs∂t

dV −∫A

Csvs · n dA = 0 (6.35)

dove:

- n: versore normale interno alla superficie A che delimita V ;

- vs: velocità di migrazione del materiale disperso.

Applicando il teorema della divergenza, in modo da trasformare l’integrale di superficie in un integrale divolume, segue: ∫

V

[∂Cs∂t

+ div(Csvs)]

dV = 0 (6.36)

da cui, per l’arbitrarietà del volume di controllo V e per la continuità dell’integrando, si ha:

∂Cs∂t

+ div(Csvs) = 0 (6.37)


La parametrizzazione della velocità vs può essere effettuata in due modi:

1. mediante le equazioni di moto del sedimento all’interno del fluido ambiente;

2. esprimendo la velocità del sedimento in funzione della velocità del fluido ambiente, una volta risoltoil campo di moto di quest’ultimo.

In tale contesto si utilizza il secondo metodo per cui si considera che a produrre la velocità vs concorranomeccanismi diversi che possono anche presentarsi assieme:

1. diffusione: avviene a livello molecolare per variazioni di concentrazione;

2. dispersione: avviene per agitazione turbolenta del fluido ambiente;

3. convezione: è indotta dal moto medio del fluido ambiente;

4. sedimentazione: è indotta dal difetto della spinta di galleggiamento rispetto al peso.

Diffusione

In presenza di diffusione la migrazione avviene verso le zone a concentrazione più bassa e la velocità didiffusione si assume di norma proporzionale al gradiente della concentrazione (prima legge di Fick):

Csvs = −Ed gradCs (6.38)

dove:

- Ed: coefficiente di diffusione [L2/T ];

Dispersione

In presenza di turbolenza conviene scindere Cs e vs nel seguente modo:

Cs = Cs + C ′s (6.39)

vs = vs + v′s (6.40)

dove:

- Cs, vs: valori medi temporali di Reynolds;

- C ′s, v′s: componenti fluttuanti a media temporale nulla su un periodo sufficientemente lungo;

ne segue che:Csvs = Csvs + Csv′s + C ′svs + C ′sv′s = Csvs + C ′sv′s (6.41)

dove:

- C ′sv′s: termine di dispersione turbolenta;

- Csvs: termine di convezione.

In analogia con lo schema diffusivo si usa porre:

C ′sv′s = −E · gradCs (6.42)

dove:

- E: tensore di dispersione:

E =

E11 E12 E13

E21 E22 E23

E31 E32 E33

(6.43)

Eij esprime come fluttua la concentrazione nella direzione i (C ′svsi) per effetto di una fluttuazionedella velocità nella direzione j (∂Cs/∂xj).


Convezione

La velocità media di migrazione vs è legata invece alla velocità media temporale v del fluido ambiente. Siè soliti porre:

Csvs = CsEcv (6.44)

dove:

- v: velocità media temporale del fluido ambiente;

- Ec: coefficiente di convezione [−], eventualmente unitario.

Sedimentazione

Se la fase dispersa ha densità ρs diversa da quella ρ del fluido, nascono spinte di galleggiamento differentidal peso proprio del materiale sospeso, che acquista di conseguenza una velocità vs, propria, distinta daquella del fluido ambiente.

Equazione di continuità per la fase dispersa

Nei moti turbolenti la diffusione molecolare ha spesso importanza trascurabile e l’equazione di continuitàper la fase dispersa diventa:

∂Cs∂t

+ div(CsEcv)− div(E · gradCs) = 0 (6.45)

Assumendo come assi coordinati x, y, z gli assi principali del tensore della dispersione, ed indicando con Ex,Ey e Ez i relativi coefficienti, si ottiene complessivamente in termini scalari:

∂Cs∂t

+ Ec

(vx∂Cs∂x

+ vy∂Cs∂y

+ vz∂Cs∂z

)+ vsx

∂Cs∂x

+ vsy∂Cs∂y

+ vsz∂Cs∂z

+

− ∂

∂x

(Ex

∂Cs∂x

)− ∂

∂y

(Ey

∂Cs∂y

)− ∂

∂z

(Ez

∂Cs∂z

)= 0 (6.46)

avendo assunto div v = div vs = 0

6.5.3 Metodi di calcoloUn’applicazione particolarmente semplice dell’equazione della dispersione si presenta nello studio del trasportosolido in sospensione, sotto le seguenti ipotesi:

1. moto permanente:∂

∂t= 0

2. moto uniforme:∂

∂x= 0

3. moto bidimensionale nel piano x, y (figura 6.11):

vy = vz = 0

vsx = vsz=0

∂Cs∂z

= 0

4. pendenza del fondo modesta e quindi quasi verticalità dell’asse y:

vsy = −ws


dove:

- ws: velocità di caduta libera del materiale nel fluido in esame.

Figura 6.11. Ipotesi di moto bidimensionale nel piano x, y.

Per semplificare la scrittura omettiamo nel seguito il soprasegno su Cs, intendendo con questo simbolosempre il valore medio temporale del volume di materiale sospeso per unità di volume. L’equazione (6.46)si riduce alla:

−wsdCsdy− d

dy

(Ey

dCsdy

)= 0 (6.47)

da cui, integrando, deriva:

Csws + EydCsdy

= 0 (6.48)

Nell’ipotesi di una distribuzione della turbolenza tale da rendere il coefficiente Ey indipendente da y,l’integrazione della (6.48) può essere fatta separando le variabili (figura 6.12):

C

Cs= exp

[−wsEy

(y − a)]

(6.49)

dove:

- y: distanza generica dal fondo a cui corrisponde la concentrazione Cs;

- a: distanza dal fondo alla quale la concentrazione ha il valore noto Csa, corrisponde alla presenza diuno strato limite o all’inizio del trasporto solido al fondo.

In generale tuttavia, per una corrente liquida in moto uniforme, il coefficiente di dispersione Ey èfunzione di y.

Soluzione di Rouse

Rouse, ipotizzando di correlare Ey all’agitazione turbolenta ed assumendo una legge di distribuzione log-aritmica della velocità, ottenne che il coefficiente di dispersione turbolento può essere assunto pari a:

Ey = kv∗y(

1− y

Y

)(6.50)

dove:

- k: costante di Kármán, pari all’inverso del coefficiente moltiplicatore del logaritmo della distribuzionedella velocità; secondo Nikuradse k = 1/2, 5 = 0, 4;

- Y : quota del pelo libero.


Figura 6.12. Andamento della concentrazione della frazione dispersa nell’ipotesi dicoefficiente di dispersione turbolento indipendente da y.

Sostituendo l’espressione (6.50) nella (6.47) si ottiene:

dCsCs

= − wskv∗· dyy(1− y/Y )

(6.51)

la cui soluzione è data da:CsCsa

=(Y − yy· a

Y − a

)ws/kv∗(6.52)

Tale soluzione in pratica tiene conto del fatto che l’effetto gravitativo viene controbilanciato dalla fluttuazionedel coefficiente di dispersione turbolento.

Alcune curve, ricavate dall’equazione (6.52) per valori ws/kv∗ = cost sono riportate nella figura 5.3(b)a linea continua e poste a confronto con i risultati sperimentali di Vanoni (1946). Per quanto riguarda ladistanza a dal fondo, il valore consigliato normalmente è 0, 05Y .La presenza del materiale solido in sospensione in realtà influisce sul meccanismo della turbolenza delfluido principalmente attenuando l’ampiezza delle oscillazioni turbolente di velocità. In tale modo gli effettidissipativi dovuti alla turbolenza devono diminuire, ma al fluido in moto è richiesta una maggiore quantità dienergia per mantenere in atto la sospensione stessa. Uno degli aspetti cinematici più evidenti dell’influenzadel materiale sospeso è un aumento del gradiente della velocità nella sezione trasversale. Si veda nellafigura 5.3(b) la rappresentazione grafica delle distribuzioni di velocità rilevate sperimentalmente da Vanonie Nomicos.

Soluzione di Lane e Kalinske

La soluzione di Lane e Kalinske (1941) consiste nel calcolare Cs con l’equazione (6.49) assumendo peròcome coefficiente di dispersione Ey il valore medio sulla verticale del coefficiente Ey di Rouse:

Ey ≈kv∗

Y

∫ Y

0

y(

1− y

Y

)dy =

kv∗Y

6(6.53)

dove con k = 0, 4 si ottiene:

Ey ≈v∗Y

15(6.54)

Determinazione della portata

Per quanto riguarda la portata massica ρsqs del materiale in sospensione per unità di larghezza si ha:

ρsqs =∫ Y

0

Csvs dy (6.55)


Figura 6.13. Curve di distribuzione della concentrazione Cs, rapportata alla concen-trazione Csa alla quota a del fondo, a confronto con i risultati sperimentalidi Vanoni (1946).

Figura 6.14. Misure di velocità in funzione della distanza dal fondo eseguite daVanoni e Nomicos (1959) su correnti con materiale in sospensione a varieconcentrazioni medie–spaziali Cs.


dove:

- Cs: concentrazione espressa in massa per unità di volume;

- vs: velocità media locale del materiale trasportato nella direzione della corrente.

Nota la distribuzione sulla verticale di Cs/Csa a partire da un’altezza a sul fondo, molto piccola rispettoa Y , e assunta la distribuzione logaritmica delle velocità, l’equazione della portata massica in sospensionediventa:

ρsqs = Csav∗Y

∫ 1

a/Y

(CsCsa

)[2, 5 ln

( yY

)+ f

(dsY

)]d( yY

)(6.56)

dove:

- f(ds/Y ) è una funzione di attrito dipendente dalla scabrezza relativa ds/Y del materiale di fondo;

- (C/Csa) si può utilizzare ad esempio l’espressione data da Rouse, oppure quella proposta da Lane eKalinske.

Einstein (1950) ha utilizzato, per la distribuzione delle velocità lungo la verticale, l’espressione logaritmica:

vsv′∗

= 5, 75 log10

(30, 2χyD65

)(6.57)

dove:

- v∗′: velocità di attrito dovuta alla sola scabrezza granulare;

- χ: coefficiente correttivo assegnato in forma grafica (figura 6.15) in funzione del rapporto fra D65 e lospessore convenzionale δ = 11, 6ν/v′∗.

Figura 6.15. Coefficiente correttivo χ di Einstein da introdurre nella legge di distribuzionelogaritmica delle velocità.

Con tale distribuzione di velocità e con l’equazione di Rouse (6.52) per esprimere Cs/Csa, la portata solidamassica in sospensione, per unità di larghezza vale:

ρsqs = 11, 6Csav∗′a

[2, 303I1 ln

(30, 2χYD65

)+ I2

](6.58)

dove:


- I1 e I2 sono detti integrali di Einstein:

I1 =∫ 1

a/Y

(1− xx

)γdx (6.59)

I2 =∫ 1

a/Y

(1− xx

)γlnxdx (6.60)

Assumendo la portata solida al fondo pari a qs,fondo = 11, 6Csav∗′a si ottiene l’equazione che correla iltrasporto solido in sospensione con quello al fondo, sempre per unità di larghezza:

qs,s = qs,fondo

[2, 303I1 ln

(30, 2χYD65

)+ I2

](6.61)

Il trasporto solido totale può quindi essere assunto pari a:

qs,tot = qs,fondo

[1 + 2, 303I1 ln

(30, 2χYD65

)+ I2

](6.62)

Andrea Lisjak 6.6. Trasporto solido totale 247

6.6 Trasporto solido totale

6.6.1 Metodi di calcolo

Il trasporto solido totale di una corrente liquida può essere valutato secondo due approcci:

1. sommando le portate solide al fondo ed in sospensione, calcolate con i metodi visti in precedenza;

2. utilizzando formule destinate specificatamente a questo scopo.

Metodo di Einstein

Il metodo di Einstein prevede di calcolare il trasporto solido totale per classi granulometriche, ipotizzandoche ogni classe sia debolmente interagente con le altre. Dal punto di vista operativo si suddivide quindi il fusogranulometrico in fasce percentili Dik÷Dsk, per ognuna delle quali si determina il diametro rappresentativo,corrispondente al diametro mediano Dk, e si determina il trasporto solido, mediante la formula di Einstein,relativo a quel diametro:

qs = qs,fondo

[1 + 2, 303I1 ln

(30, 2χYD65

)+ I2

](6.63)

Successivamente si sommano tutti in contributi, pesandoli per la rispettiva misura percentuale all’internodell’ammasso di sedimenti:

ϕk = prob(Dik < D < Dsk)

Il metodo si esplica nella seguente procedura di calcolo:

1. al diametro mediano Dk si associa il parametro:

Ψk =ρs − ρρ

gDk

v∗

2. si applica la relazione di Einstein:Φk = f(Ψk)

3. la portata solida volumetrica al fondo per unità di larghezza del materiale di dimensione media Dk

vale:

qsk = ΦkD3/2k

√gρs − ρρ

4. la portata solida massica al fondo per unità di larghezza del materiale di dimensione media Dk vale:

Gk = ρsqsk = ρsΦkD3/2k

√gρs − ρρ

5. la portata solida massica totale per unità di larghezza del materiale di dimensione media Dk vale:

Gk,tot = ρsΦkD3/2k

√gρs − ρρ

[1 + 2, 303I1 ln

(30, 2χYD65

)+ I2

]

6. la portata solida massica totale per unità di larghezza vale:

Gtot =∑

ϕkGk,tot

È evidente che il limite di tale approccio sta nell’ipotesi di interazione debole tra le classii granulometriche,nella realtà il trasporto solido è caratterizzato da movimenti tipicamente impulsivi con forti interazioni intermini di urti fra le diverse particelle.


Metodo di Bagnold

Il metodo di Bagnold si basa su condiderazioni energetiche relative al lavoro richiesto ed al rendimentosperimentale del processo.

La potenza necessaria per il trasporto di materiale solido al fondo, per unità di superficie, vale:

Nf = g(ρs − ρ)qs tanα

dove:

- vs: velocità media del materiale solido al fondo;

- qs: portata volumetrica solida al fondo per unità di larghezza;

- tanα: coefficiente di attrito del materiale.

La potenza necessaria per il trasporto solido in sospensione, per unità di superficie, vale

Ns = g(ρs − ρ)q′s

(wsvs

)dove:

- ws: velocità di caduta libera;

- q′s: portata volumetrica solida in sospensione per unità di larghezza.

La potenza disponibile da parte della corrente liquida, per unità di larghezza B del canale della sezionerettangolare, è:

N = γY jV

dove:

- j: perdita di carico effettivo per unità di percorso (j = dH/ds).

Bagnold ha introdotto un coefficiente di rendimento ηf per esprimere la frazione della potenza disponibileutilizzata per il trasporto solido al fondo:

Ns = ηfN

ed un coefficiente di rendimento ηs del trasporto in sospensione rispetto alla restante potenza disponibile(1− ηf )N :

Ns = ηs(1− ηf )N

Tenendo conto di queste posizioni e delle precedenti relazioni energetiche si può scrivere la portata solidatotale qs,tot, per unità di larghezza, nella forma:

qs,tot = qs + q′s =N

g(ρs − ρ)

[ηf

tanα+ ηs(1− ef )

vsws

](6.64)

Il calcolo della portata qs,tot richiede la conoscenza dei quattro parametri ηf , ηs, tanα e vs. Per renderepratico il suo impiego Bagnold ha suggerito di porre vs pari alla velocità media della corrente V e diassumere, per sospensioni in moto turbolento completamente sviluppato, ηs(1− ηf ) ≈ 2/3 ≈ 0, 01, per cuirisulta:

qs,tot = ρY jV

ρs − ρ

[ηf

tanα+ 0, 01

V

ws

](6.65)

Bagnold ha inoltre fornito graficamente valori consigliabili di tanα e di ηf .

Andrea Lisjak 6.7. Modellamento del fondo 249

6.7 Modellamento del fondoIl movimento di una corrente fluida su un fondo incoerente, quando è accompagnato da trasporto solido,influisce sulla configurazione del fondo stesso che assume forme correlate con le caratteristiche della correntee del materiale trasportato.

6.7.1 Forme del fondo mobileClassificazione di Simons

Una classificazione delle forme del fondo che trova attualmente largo credito è quella proposta da Simons(1961) sulla base delle sistematiche ricerche sperimentali condotte dalla Colorado State University.

Il criterio fa in primo luogo riferimento al regime del moto caratterizzato dal numero di Froude:

Fr =v√gy

(6.66)

dove:

- v: velocità media della corrente;

- y: altezza media della corrente.

Per quanto riguarda la caratterizzazione dello stato dell’alveo, la scelta più conveniente è apparsa quellabasata sui numeri seguenti:

X numero di Reynolds del trasporto solido:

Re∗ =V ∗Ds

ν(6.67)

dove:

- V ∗: velocità di attrito relativa alla sola scabrezza granulare del fondo;- Ds: diametro equivalente del materiale mobile costituente il fondo;- ν: viscosità cinematica del fluido.

X numero di Froude del trasporto solido:

Fr∗ =V ∗

ws(6.68)

dove:

- ws: velocità di caduta libera dei granuli in acqua ferma.

Al crescere di Fr e Fr∗, a parità di numero di Reynolds del trasporto solido, si osservano generalmente leconfigurazioni di seguito riportate (figura 6.16).

I. Ripples (Fr 1): piccoli corrugamenti della superficie del fondo, lunghi da 5 a 50 cm e alti da 0,5a 5 cm;

II. dune (Fr < 1): ondulazioni più accentuate con pendenza dolce a monte e ripida a valle, e conmovimento lento verso valle. I ripples possono formarsi anche sopra le dune le quali hanno lunghezzavariabile da 50 cm fino a qualche metro.

Dal punto di vista idraulico essendo la corrente lenta si ha un abbassamento del profilo del pelo liberoin controfase rispetto all’andamento del fondo, si ha quindi una corrente accelerata sul lato di monte,con conseguente erosione di materiale, ed una corrente rallentata sul lato di valle, con conseguentedeposizione di materiale. Nel tempo si ha una traslazione del profilo di forma verso valle.

III. Transizione (Fr ≈ 1): corrisponde ad uno stato di fondo con ondulazioni lievi e lunghe, quasipiatto; esso segue allo spianamento ed all’asportazione delle dune.

IV. Fondo piano: assenza di modellamento del fondo.


Figura 6.16. Forme del fondo mobile secondo Simons.

V. Antidune (Fr > 1): ondulazioni regolari e simmetriche, stazionarie o in moto più frequentementeverso monte.

Dal punto di vista idraulica essendo la corrente veloce si ha un abbassamento del profilo del pelolibero in fase con l’andamento del fondo, si ha quindi una corrente rallentata sul lato di monte, conconseguente deposizione di materiale, ed una corrente accelerata sul lato di valle, con conseguentedeposizione di materiale. Nel tempo si ha una traslazione dl profilo di forma verso monte.

VI. Antidune con onde frangenti (Fr 1): essendo la corrente molto veloce in fase di apertura deifiletti fluidi alcuni di essi fuoriescono dall’andamento di forma dell’onda e si miscelano all’aria dandoluogo ad onde frangenti.

Grafico di Simons e Richardson

Simons e Richardson (1961) hanno proposte per tutte le forme la rappresentazione delle curve limite dellevarie configurazioni nel piano R∗e , F ∗r , in tale rappresentazione (figura 6.17) l’inizio del moto è definito dallacurva di Shields.

Grafico di Bogárdi

Bogárdi (1959) ha proposto un diagramma (figura 6.18) sia per il calcolo del trasporto solido totale sia perl’individuazione delle configurazioni del fondo.

Andrea Lisjak 6.8. Resistenza al moto degli alvei a fondo mobile 251

Figura 6.17. Grafico di Simons e Richardson (1961) per l’individuazione dellaconfigurazione del fondo.

6.8 Resistenza al moto degli alvei a fondo mobile

Il modellamento del fondo induce una resistenza al moto della corrente fluida che si ritiene separabile daquella dovuta alla scabrezza superficiale e con essa sommabile. La tensione totale media sul contorno valedunque:

τ0 = τ ′0 + τ ′′0 (6.69)

dove:

- τ ′0: tensione dovuta alla resistenza superficiale;

- τ ′′0 : tensione dovuta alla resistenza di forma.

La stessa equazione, essendo τ0 = γjR, si può scrivere:

τ0 = γj(R′ +R′′)

oppure:τ0 = γR(j′ + j′′)

In termini di velocità di attrito:v∗ =

√τ0ρ

=√gRj

si ha:

v∗′ =

√τ ′0ρ

=√gR′j =

√gRj′

v∗′′ =

√τ ′′0ρ

=√gR′′j =

√gRj′′


Figura 6.18. Grafico di Bogárdi (1965) per il calcolo del trasporto solido totale e perl’individuazione delle configurazioni di fondo.

e quindi l’equazione (6.69) diventa:v∗2 = v∗′2 + v∗′′2 (6.70)

In condizioni di moto uniforme, j coincide con la pendenza del fondo if e l’equazione:

V = C√gRif

si può scrivere:U

v∗= C

Introducendo la solita suddivisione sul coefficiente adimensionale di resistenza C, questa equazione è sepa-rabile nelle:

U

v∗′= C ′

U

v∗′′= C ′′

con il legame, che discende dalla (6.70):

1C2

=1C ′2

+1C ′′2

(6.71)

Andrea Lisjak 6.8. Resistenza al moto degli alvei a fondo mobile 253

6.8.1 Determinazione della resistenza superficiale

Formula di Gauckler–Strickler–Manning

A partire dalla formula di Chézy del moto uniforme:

V = C√gY j

e dalla formula di Gauckler–Strickler–Manning :

V = ksχ2/3j1/2

si ottiene:

C ′ = k′sY 1/6

√g

(6.72)

Il suggerimento di Müller è quello di porre:

k′s =26

D1/690

in tal modo si ottiene:

C ′ =26√g

(Y

D90

)1/6

(6.73)

Formule logaritmiche

Si possono utilizzare le formule logaritmiche come la formula di Colebrook e White con l’avvertenza disostituire al diametro D del tubo 4R e come numero di Reynolds 4V R/ν.

In tal caso come parametro di scabrezza ε è abbastana pronunciata la dispersione fra i valori propostidai diversi autori: 2D65, D84 oppure 2, 5D90 quando Y/D90 & 100.

6.8.2 Determinazione della resistenza di forma

Formula di Einstein–Barbarossa

L’effetto della resistenza di forma viene valutato attraverso una dipendenza funzionale del coefficiente diresistenza dal parametro:

Ψ35 =ρs − ρρ

D35

R′j(6.74)

ottenuta graficamente e rappresentata dalla curva nel diagramma C ′′ = U/v∗ = f(Ψ35) della figura 5.3(b).

6.8.3 Determinazione della resistenza globale

Diverse proposte sono state avanzate per rappresentare la resistenza globale, ossia il relativo coefficiente C,con relazioni logaritmiche analoghe a quelle utilizzate per il calcolo di C ′ negli alvei a fondo fisso.

Formula di Richardson

Richardson (1967) ha fornito le relazioni seguenti, per alvei molto larghi (R ≈ Y ) e fondo piano:

– con trasporto solido scarso o nullo:

C = 5, 9 log10

Y

D85+ 5, 44 (6.75)

– con trasporto solido apprezzabile:

C = 7, 4 log10

Y

D85(6.76)


Formula di Vanoni

Per correnti lente Vanoni (1967) ha proposto, sulla base di esperienze di laboratorio, la seguente formula:

C = 9, 9 log10

R

e∆hm− 6, 5 (6.77)

dove:

- ∆hm: altezza media delle ondulazioni del fondo di lunghezza L;

- e: parametro di esposizione, dato dal rapporto tra la proiezione orizzontale di tutto il fondo ondulatoe la proiezione della sua parte riparata rispetto alla corrente.

Formula di Hey

Per corrente abbastanza veloci in alvei ghiaiosi Hey ha proposto la seguente formula:

C = 5, 75 log10

(aR

3, 5D85

)(6.78)

dove:

- a: coefficiente che dipende dalla compattezza della sezione (a = 11÷ 13, 5).

Andrea Lisjak 6.9. Geometria idraulica 255

6.9 Geometria idraulica

6.9.1 Metodo “at station”

Leopold e Maddock hanno considerato la sezione di un canale attivo, con l’obiettivo di determinare lerelazioni esistenti tra la portata Q, la profondità media della corrente Y , la larghezza della sezione B e lavelocità media della corrente v. È evidente che al crescere della portata aumentano sia Y , sia B che v, sipuò quindi scrivere:

B = αQm (6.79)

Y = βQn (6.80)

B = γQp (6.81)

dove:

- m, n, p > 0.

Le tre variabili Y , B e v non sono variabili indipendenti, si ha infatti:

Q = Ωv = BY v (6.82)

ne consegue che:Q = αβγQm+n+p

Dal momento che deve anche essere:αβγ = 1

m+ n+ p = 1

si ha che:0 < m,n, p < 1 (6.83)

6.9.2 Metodo “downstream”

Il metodo “downstream” prevede l’analisi di sezioni diverse di uno stesso corso d’acqua. Se si considera unasezione di monte ed una di valle il confronto può essere fatto considerando portate avente il medesimo tempodi ritorno, ossia la medesima frequenza di accadimento, nelle due sezioni; generalmente si ha:

Qm < Qv

dove:

- Qm: portata di monte;

- Qv: portata di valle.

Fissata una probabilità di non superamento essa deve essere uguale nelle due sezioni:

prob(Qm < qm) = prob(Qv < qv)

Per la determinazione reale di tali portate è necessario fissare una durata ed utilizzare la curva di duratadelle portate di valle e di monte (figura 6.19).

Relazione tra portata e larghezza del canale

La figura 6.20 riporta la relazione tra portata Q e larghezza del canale B:

– procedendo da monte a valle la differenza tra l’andamento della portata di magra e quella di piena èmolto grande;


Figura 6.19. Curva di durata delle portate.

– la differenza tra portata di valle e portata di monte, riferite a due sezioni distinte, è invece moltopiccola.

Relazione tra portata e profondità della corrente

La figura 6.20 riporta la relazione tra portata Q e la profondità della corrente Y : si può notare un andamentoanalogo a quello della larghezza del canale ma con variazioni più contenute.

Relazione tra portata e velocità della correte

La figura 6.20 riporta la relazione tra portata Q e velocità della corrente Y :

– procedendo da monte a valle la differenza tra l’andamento della portata di magra e quella di piena èpiccola;

– la differenza tra portata di valle e portata di monte, riferite a due sezioni distinte, è invece moltogrande.

6.9.3 Relazione larghezza e portata “bankfull”

Indipendentemente dalla presenza di argini in un corso d’acqua naturale è quasi sempre possibile individuaredelle sponde naturali (banks). Le portate che riempiono tutta l’alveo di un corso d’acqua da sponda a spondasono dette portate “bankfull”. Da un punto di vista geomorfologico è utile indagare questa condizione inquanto significativa per la forma dell’alveo.

Sotto l’ipotesi che la condizione “bankfull” corrisponda ad una portata Qb di pari frequenza in tutti icanali è possibile esprimere mediante i criteri della geometria idraulica una relazione tra la portata Qb e lalarghezza bankfull B:

Qb = f(B)

A tal proposito sono stati eseguiti degli studi sul bacino idrografico del fiume Po (figura 6.21 con 60 misuredi larghezza in corrispondenza di tratti rettilinei di canali, in assenza di soglie geologiche e vincoli strutturalidi tipo antropico ed in corrispondenza delle stazioni di misura delle portate del Servizio Idrografico, in mododa poter ottenere anche la distribuzione delle portate di piena FQ(q).Si è visto che le migliori relazioni tra portate e larghezze “bankfull” si ottengono per valori di Qb prossimial valore mediano Q50%, ossia aventi tempo di ritorno pari a 2 anni:

TR =∆t

1− F=

11− F

=1

1− 0, 5= 2 anni


Figura 6.20. Geometria dei corsi d’acqua.

Ciò significa che le portate che mantengono attivo l’alveo vengono mediamente superate una volta ogni 2anni. Per portate con tempo di ritorno maggiore si ha l’inondazione delle zone golenali.

I risultati di tali ricerche sono stati tradotti nel diagramma di figura 5.3(b): semplicemente misurandola larghezza del canale è possibile fornire una stima della portata avente tempo di ritorno pari a 2 anni. Laretta A si riferisce ai corsi d’acqua alpini mentre la retta B ai corsi d’acqua di pianura e a quelli appenninici.


Figura 6.21. Bacino idrografico del fiume Po e ubicazione dele stazioni di misura.

Figura 6.22. Diagramma delle correlazione fra larghezza “bankfull” e portata mediana deicolmi per 60 casi presi in considerazione nel bacino padano. L’individuazionedi due gruppi porta a meglio definire la relazione tra larghezza e portate.

6.9.4 Teorie del regime

Il problema è quello di stabilire delle relazioni fisiche per spiegare e prevedere l’evoluzione di un corsod’acqua naturale. Tale problema dal punto di vista pratico si traduce nella determinazione di un numero diequazioni funzionali almeno pari al numero di gradi di libertà, ossia di parametri, di un corso d’acqua.


Parametri

I parametri fondamentali per la descrizione dello stato di un corso d’acqua naturale sono 8:

−→ parametri di Leopold e Maddock:

1. larghezza del canale B;

2. profondità della corrente Y ;

3. velocità media della corrente U ;

4. pendenza del fondo if ;

−→ parametro di forma della sezione:

5. perimetro bagnato P o raggio idraulico R;

−→ parametri relativi alle forme di fondo:

6. altezza ∆h;

7. lunghezza d’onda L;

−→ parametro di andamento planimetrico:

8. rapporto di sinuosità s (=Lc/Lv).

Tra i parametri aggiuntivi c’è anche la ripidità delle sponde.

Equazioni

Le equazioni disponibili sono 7 e interessano:

1. continuità: (Q,B, Y, U);

2. resistenza: (U,R, if , Ds, Y );

3. trasporto solido: (U,R,Ds, ρs, if , Qs);

4. e 5. forme di fondo: (∆h, L) (2 equazioni);

6. resistenza delle sponde: (Q,Qs, U,B, Y,R,Ds);

7. meandri (s).

I termini forzanti, ossia le variabili indipendenti, sono Q, Qs, Ds e ρs.Anche utilizzando modelli più semplificati o più complessi il numero di equazioni disponibili è pari sempre

al numero di parametri di stato meno uno e risultano quindi insufficienti a descrivere il problema.

Principio variazionale

Il modo per risolvere tale problema è quello di ricorrere a qualche principio variazionale, ossia si ipotizza cheil sistema naturale si evolva in maniera tale da massimizzare o minimizzare qualche parametro globale delsistema. Dal momento che la massimizzazione o la minimizzazione implicano l’esecuzione di una derivataparziale il principio variazionale è associato sempre ad un principio di conservazione.

Le teorie che sfruttano un principio variazionale, basato su un qualche parametro, sono dette teorie delregime. Le più semplici considerano come variabili di stato solamente i parametri di Leopold e Maddock esfruttando:

1. continuità;

2. equazione di moto;

3. equazione del trasporto solido;

4. un principio variazionale;


cercano di esprimere:(B, Y, U, if ) = f(Q,Qs, Ds)

Vista l’arbitrarietà del principio variazionale utilizzato tale tipo di approccio fornisce solo delle indicazionidi massima.

Teoria di Chang

La teoria di Chang (1985) utilizza come principio variazionale quello della costanza della potenza idraulicaspesa per unità di lunghezza del canale:

W = γQ∆z∆l

= γQj = cost (6.84)

Sfruttando una serie di simulazioni numeriche al calcolatore Chang ha prodotto il grafico riportato in figura6.23:

X Grafico superiore:

– ascissa: portata in condizione “bankfull” (cfs = piedi cubi al secondo, cms = metri cubi alsecondo);

– ordinata: rapporto tra la pendenza del fondo S e la radice quadrata di D.

le linee continue definiscono l’andamento della larghezza “bankfull” B (in metri) mentre le lineetratteggiate definiscono l’andamento della profondità della corrente Y (in metri).

X Grafico inferiore:

– ascissa: portata in condizione “bankfull” (cfs = piedi cubi al secondo, cms = metri cubi alsecondo);

– ordinata: rapporto tra la portata di materiale solido al fondo e la portata d’acqua volumetricheespresse in ppm.

Si possono individuare:

– linea I: soglia di stabilità;

– regione 1: canali artificiali e fiumi a meandri;

basse pendenza e trasporto solido per lo più al fondo;

– regione 2: tratti rettilinei a canali intrecciati;

– regione 3 e 4: canali di transizione da canali intrecciati (a monte) e regime a meandri (a valle).


Figura 6.23. Relazioni di regime secondo la teoria di Chang per corsi d’acqua con fondosabbioso.

Parte III

Sistemazione dei corsi d’acqua

263

Capitolo 7

Sistemazione dei bacini montani

Gli interventi di sistemazione dei bacini montani possono essere di due tipi.

1. Interventi di sistemazione dei versanti ;

hanno lo scopo di:

(a) raccogliere e localizzare le acque piovane;

(b) consolidare il pendio.

2. Interventi di sistemazione delle aste torrentizie.

Hanno lo scopo di:

(a) diminuire l’erosione del fondo;

(b) limitare il trasporto solido;

(c) preservare dall’erosione i versanti ;

(d) difendere opere (esistenti).

Tali interventi sono legati in primo luogo alla portata di piena o di progetto Qp ed al diametro ds delsedimento.

Nel caso dei bacini montani il corso d’acqua occupa normalmente quasi completamente il fondo valle. Neconsegue un’azione erosiva applicata al piede dei versanti con possibilità di instabilità globale del versantea causa dello scalzamento al piede. Le frane conseguenti producono fenomeni di restringimento localizzatodell’alveo e conseguenti variazioni delle condizioni di trasporto solido.

7.1 Sistemazione dei versanti

7.1.1 Interventi di raccolta e allontanamento delle acqueGli interventi di raccolta e allontanamento dell’acqua piovana che cade sul pendio possono essere di duetipi:

1. canalizzazioni superficiali;

2. dreni subsuperficiali.

Canalizzazioni superficiali

Le canalizzazioni superficiali sono costruite in modo tale da raccogliere le acque di ruscellamento su piccoleporzioni di pendio (dell’ordine dei 100 ha al massimo). Lo schema fondamentale di intervento è quelloriportato in figura 5.3(b).

X Canali di gronda: vengono realizzati mediante scavo manuale o meccanizzato ed hanno una larghezzamassima dell’ordine del mezzo metro. Possono essere rifiniti in modo diverso.

265

266 Capitolo 7. Sistemazione dei bacini montani Andrea Lisjak

−→ Cunette in materiale lapideo locale: tale pavimentazione ha il duplice scopo di evitare fenomenidi erosione accelerata e di rallentare il flusso.

−→ Realizzati con elementi prefabbricati: sono costituiti da una sorta di tegole rovesciate a sezionetrapezia con il lato di valle più stretto di quello di monte in modo da poterle incastrare l’unanell’altra. Sono abbastanza sensibili all’erosione e a fenomeni di gelo–disgelo dell’acqua ches’infiltra nelle fessure.

−→ Cunette in materiale legnoso: sono opere di ingegneria naturalistica o forestale.

X Canale scaricatore: viene realizzato in corrispondenza dei tratti a pendenza maggiore (fino al 45%) edè caratterizzato da portate di una certa entità. Talvolta è possibile realizzare una successione di saltiin modo tale da far defluire l’acqua con una serie di cascate e dissipare notevoli quantità di energia.

Devono assolutamente essere pavimentati, tuttavia si sconsigliano gli interventi di ingegneria natural-istica per problemi di durabilità dei materiali impiegati.

Vengono realizzati secondo due modalità principali.

−→ Cunettoni.

−→ Gabbioni a materasso: a causa di problemi di corrosione della rete metallica se ne sconsiglial’impiego in vicinanza delle correnti principali.

I criteri progettuali di tali tipi di intervento sono essenzialmente di natura empirica e basati sull’esperienza.

Dreni subsuperficiali

L’obiettivo di tali interventi è quello di limitare le escursioni della falda in terreni potenzialmente instabili.È possibile eseguire secondo due schemi.

X Captazione in testa dell’acqua di falda proveniente da monte:

−→ dreni a cielo aperto.

X Captazione dell’acqua all’interno del terreno, cercando di raggiungere la profondità corrispondentealla superficie di scivolamento critica:

−→ tubi drenanti;

−→ pozzi drenanti;

−→ gallerie e microgallerie drenanti.

7.1.2 Interventi di consolidamento del pendioGli interventi di consolidamento del pendio possono avere due scopi:

1. protezione del pendio dall’erosione;

2. aumento della stabilità del pendio.

Interventi di protezione dall’erosione

X Tecniche di idro–semina1: consistono nel getto a pressione di una miscela fluida contenente semi vegetali,fertilizzanti e materiale d’impasto.

X Procedimento nero–verde: consiste nella disposizione sulla superficie del pendio dei seguenti strati: paglia,rete deteriorabile, bitume nebulizzato e sementi con nutrienti.

X Piantumazioni collegate a zolle “viventi”:

X Cordonate.

1Hydro–mulching nella letteratura inglese.

Andrea Lisjak 7.1. Sistemazione dei versanti 267

Interventi di aumento della stabilità

X Muri in calcestruzzo.

X Terre armate.

X Muretti a secco.

X Muri in gabbionate.

X Telai a conci in calcestruzzo.

X Viminate o graticciate.


7.2 Briglie e soglie

7.2.1 Generalità

La sistemazione dell’asta di un torrente è generalmente ottenuta diminuendone la pendenza con operetrasversali che ne fissino l’alveo:

X briglie: strutture sporgenti;

X soglie: strutture fissate nell’alveo stesso.

Obiettivo

Gli obiettivi che gli interventi si propongono sono quelli di:

−→ ridurre l’attitudine al trasporto solido di fondo;

−→ proteggere, quando sia adottata la soluzione a briglie, le sponde per la stabilizzazione che il riempi-mento del prisma, avente come base il paramento di monte della briglia stessa, induce.

Gli schemi della figura 7.1 illustrano la sistemazione con briglie e soglie.

Figura 7.1. Schemi di sistemazione con briglie e soglie.

Pendenza di progetto

Lo scopo è quello di garantire che la tensione tangenziale al fondo:

τ0 = γRif

sia tale, in base al criterio di stabilità di Shields, che non ci sia erosione di materiale. L’idea è quella diridurre la pendenza del canale:

if =∆ZL

Dal momento che non è possibile aumentare la lunghezza L, per ottenere la pendenza di progetto ip dell’astabisogna intervenire sul dislivello creando uno o più salti e valutando, mediante un criterio appropriato,l’energia dissipata.

Andrea Lisjak 7.2. Briglie e soglie 269

Criteri di scelta

La scelta di una sistemazione a soglie o briglie di un torrente è da vedersi in una prospettiva in dipendenzadallo stato dell’asta:

– briglie: pendenza lontana da quella desiderata;

– soglie: pendenza prossima a quella desiderata.

Distribuzione spaziale

La distribuzione delle briglie lungo l’asta dovrebbe consentire l’instaurarsi di deflussi regolari, compatibilicon gli obiettivi posti a base della sistemazione, in modo che possa realizzarsi, per la portata di progetto,uno stato di moto prossimo a quello uniforme.

La soglie garantiscono, fissando lo stato naturale, una maggiore stabilità della sistemazione nel tempo.Mentre con le briglie l’assetto desiderato può conseguirsi in modo relativamente certo trattandosi di un pro-cesso di riempimento, con le soglie l’esito è più incerto, legato com’è a un processo di scavo. Questa ragioneconsiglia di adottare nella distribuzione delle soglie un passo o modulo rapportato all’altezza dell’operaminore di quello proposto delle briglie, a parità di pendenza.

Cenni sulla normativa

Le briglie chiuse si comportano in un primo tempo (fino al riempimento dell’alveo che esse controllano),come modeste dighe di sbarramento. La loro approvazione fa riferimento al Servizio Nazionale Dighe seviene verificata almeno una delle seguenti condizioni:

– altezza sul piano di fondazione superiore a 15m;

– invaso (provvisorio) maggiore di 1.000.000m3

7.2.2 Struttura della briglia

Una briglia classica, di muratura di calcestruzzo o pietrame, è costituita da un muro a sezione generalmentetrapezia, con paramento di monte spesso verticale, con adeguate fondazioni in alveo e sulle sponde nellequali il muro stesso è immorsato.

Il bordo superiore del muro è interessato dal deflusso di piena solo nella parte centrale, la cui sommità èquindi più depressa. La sezione di deflusso, trapezia, è detta gáveta. Le parti del muro poste a fianco dellagáveta sono denominate ali della briglia (figura 7.2).

Figura 7.2. Prospetto e sezione schematica di una briglia classica a gravità.

Gáveta

La gáveta, orizzontale o leggermente concava, si chiude sulle ali con due raccordi generalmente a 45, mentreil bordo superiore delle ali è inclinato verso il centro di circa il 10%.

Le funzioni della gáveta sono:


−→ mantenere concentrato il deflusso di piena nella parte centrale del torrente, evitando che la correntepossa produrre, a monte del manufatto, per erosione delle sponde, l’aggiramento delle ali;

−→ tenere il getto stramazzante dalla gáveta contenuto nell’alveo di valle, eventualmente allargato, ancoraimpedendo l’erosione delle sponde nelle quali sono immorsate le ali.

Il bordo superiore della gáveta è leggermente sporgente rispetto al muro d’elevazione per poter allontanaredal paramento di valle e dal blocco di fondazione la zona d’impatto della lama stramazzante, evitando cosìgli urti del materiale solido trasportato e le azioni distruttive sul blocco stesso.

La gáveta è quindi esposta alle azioni d’urto e di abrasione, per difendersi dalle quali essa può essereprotetta da una lamiera di acciaio oppure da masselli o bolognini di pietra dura non geliva annegati nelgetto.

Fondazioni

Le fondazioni della briglia, specie nella parte centrale, devono essere profonde a sufficiente perché nonabbiano a soffrire a causa dello scavo che, in assenza di una difesa, il getto può produrre nella zona d’impatto.Le ali vanno immorsate per non meno di 2m se le sponde sono di terra.

L’approfondimento del blocco di fondazione verso monte con un piccolo taglione di calcestruzzo o dentedi ancoraggio è spesso adottato per migliorare le condizioni di stabilità allo scorrimento.

Drenaggi

Il corpo murario della briglia è attraversato da un discreto numero di punti da fori di drenaggio, il cuicompito è quello di ridurre la spinta dovuta all’acqua.

Controbriglia

A valle della briglia si provvede, solitamente, alla creazione d’una vasca di dissipazione, per ottenere la qualeè necessario disporre, ad un’adeguata distanza a valle, una soglia. Essa, definita controbriglia, è ottenutacon un muro esteso a tutta la larghezza del corrente (larghezza della gáveta e delle due ali) oppure con duemuri radicati sulle sponde (quinte) e un’apertura centrale.

In entrambi i casi il muro è attraversato, a interasse appropriato, da fori che assicurano la rimozione delmateriale che possa depositarsi nella vasca di dissipazione. A valle delle quinte l’alveo e le sponde devonoessere adeguatamente protetti assumendo che la corrente si espanda con tangente planimetrica 1:4. Altermine della protezione è da collocare una soglia.

Vasca di dissipazione

Le dimensioni da assegnare alla vasca (lunghezza, altezza e forma della controbriglia), possono determinarsiutilizzando le proposizioni relative ai processi dissipativi propri dei salti di fondo.

La platea della vasca è da proteggere per evitare gli scavi che l’impatto della lama stramazzante puòprodurre sul fondo. La protezione, quando sia realizzata con materiale di adeguata pezzatura bloccato sulfondo, può concorrere apprezzabilmente, per la scabrezza che crea, a rendere più efficace la dissipazione.


Figura 7.3. Schema tridimensionale di briglia e controbriglia.

7.2.3 Dimensionamento della gávetaFissata la portata di progetto Q i modi di deflusso sono due:

1. transitorio: prima che il tronco di monte sia riempito del materiale trasportato e trattenuto;

2. a riempimento avvenuto: quando il tronco di monte ha assunto la pendenza di progetto.

Il deflusso sulla gáveta è nel primo caso, quello considerato di norma per il suo dimensionamento, quellodegli stramazzi in parete grossa. Essendo la gáveta a sezione trapezia (figura 7.2), la relazione che dà laportata è notoriamente:

Q =CqΩ

√2gh0 =

Cq15

(11b0 + 4b1)h0

√2gh0 (7.1)

dove:

- b0 e b1: basi minore e maggiore della gáveta;

- h0: carico di monte;

- Cq = 0, 385: coefficiente di portata.

Nota la portata di progetto Q è quindi possibile calcolare i valori (b0, b1, h0) di dimensionamento dellagáveta. Generalmente si pongono due ulteriori vincoli:

1 m ≤ h0 ≤ 2 m (7.2)

b1 ≤12B (7.3)

dove:

- B: larghezza dell’alveo.


Quando il tronco di monte sia riempito di materiali non è più lecito trascurare la velocità che anima lacorrente in arrivo, in quanto la corrente è quasi sempre veloce per la pendenza del tronco stesso superiorea quella critica. L’altezza sulla soglia può allora determinarsi utilizzando:

−→ l’equazione del moto permanente quando la configurazione geometrica della sezione del tronco di montesia diversa da quella della gáveta;

−→ l’equazione del moto uniforme se, com’è usuale, la larghezza dell’alveo sia eguale a quella della gavetae nell’ipotesi, naturalmente, che il tronco sia esteso a a sufficienza perché il moto uniforme possainstaurarsi.

7.2.4 Dimensionamento della vasca di dissipazione

La delimitazione della vasca di dissipazione avviene mediante una struttura detta controbriglia, la qualecostringe la corrente veloce a passare in critica e a formare un risalto idraulico con forte dissipazione dienergia. Essa può essere costituita da:

– muro;

– restringimento dell’alveo (figura 7.4).

Figura 7.4. Schema di una vasca di dissipazione con restringimento.

Per la valutazione dell’effetto di tali struttura sul pelo libero del corso d’acqua si rimanda al corso di IdrologiaTecnica.

Quando il salto ∆z sia di qualche rilievo, la corrente di valle non può avere influenza alcuna sul canale dimonte, com’è schematicamente rappresentato in figura 7.5. Nel caso rappresentato le fonti di dissipazionesono due:

1. nel tratto tra le sezioni 0 e 1, compreso tra il muro e la sezione d’incidenza;

2. nel risalto tra le sezioni 1 e 2.


Figura 7.5. Briglia con getto libero e corrente lenta a monte.

Se la corrente di monte defluisce in stato di corrente lenta sulla soglia s’instaura lo stato critico, quindicon Fr = 1. Noti la portata specifica q ed il salto ∆z, le relazioni che danno l’altezza y1 el’energia H1 nellasezione 1 (distante L1 dal muro) rapportate all’altezza critica:

yc = 3

√q2

g(7.4)

sono:y1

yc=√

2

[1, 06 +

(∆zyc

+32

)1/2]−1

(7.5)

H1

yc=y1

yc+

12

(ycy1

)2

(7.6)

La dissipazione ∆H che avviene tra le sezioni 0 e 1 è pertanto:

∆H1

yc=H0 −H1

yc=

32

+∆zyc− y1

yc− 1

2

(ycy1

)2

(7.7)

mentre l’altezza yp del vortice compreso tra 0 e 1 è:

ypyc

=

[(y1

yc

)2

+ 2ycy1− 3

]1/2

(7.8)

L’angolo d’incidenza θ è:

θ = cos−1

[1, 06

(∆zyc

+32

)−1/2]

(7.9)

La lunghezza L1 vale:L1

∆z= 4, 30

( y1

∆z

)0

, 09 (7.10)

A valle della sezione 1 valgono le formule relative alla formazione del risalto:

y2 =y1

2

(−1 +

√1 + 8F 2

r1

)(7.11)


La lunghezza del risalto L2, fondamentale per il dimensionamento della lunghezza della vasca di dissipazione,è funzione di y2 e Fr1 . Una serie di misure sperimentali ha condotto ai seguenti valori

L2 ≈ 17y2 per Fr1 ≈ 2 (7.12)

L2 ≈ 7÷ 8y2 per Fr1 ≈ 5 (7.13)

Erosione a valle della briglia

Si vuole valutare lo scavo sul fondo di un corso d’acqua non protetto che si può produrre per l’azione delgetto sfiorante dalla briglia (figura 5.3(b)). Esiste a tale scopo la formula di Schoklitsch (1932):

smax = 4, 75h0,2q0,57

d0,3290

− y1 (7.14)

dove:

- h e y1 in metri;

- d90: diametro del materiale di fondo in millimetri;

- q1 in m3/s.

Figura 7.6. Erosione a valle di una briglia.

Tale formula può essere utilizzata per il dimensionamento del diametro D dei blocchi di protezione delfondo, imponendo che la sottoescavazione sia pari a D e risolvendo l’equazione non lineare:

D1,32 = 4, 75h0,2q0,57 − y1D0,32 (7.15)

La protezione del fondo a valle della briglia può essere effettuato mediante:

−→ massi legati;

−→ taglioni o diaframmi trasversali di contenimento dei blocchi;

−→ platea di fondazione in calcestruzzo con eventuali massi annegati.


7.2.5 Dimensionamento statico della brigliaIl problema statico delle briglie classiche è assai semplice: si tratta di un muro a gravità il cui stato diequilibrio può essere indagato con la statica dei sistemi rigidi.

Le forze che sollecitano la struttura per le varie e possibili condizioni sono:

1. peso proprio;

2. spinta sul paramento di monte;

3. sottopressioni lungo la linea di contatto calcestruzzo–terreno di fondazione;

4. eventuali azioni sismiche.

Geometria

La figura 7.7 rappresenta la sezione maestra di una briglia classica.

Figura 7.7. Sezione maestra di una briglia classica.

Su un dado di fondazione a sezione rettangolare, alto P e largo B, si eleva il muro a sezione trapezia.La struttura, d’altezza H, è tracimata in sommità da una lama alta h defluente in parete grossa. A valle ildeflusso avviene con altezza hv contata a partire dalla base del dado assunta come piano di riferimento.

Il terreno che, con il defluire di piene e morbide, si ferma a ridosso della briglia, è caratterizzato da unangolo di attrito ϕ e dalla porosità n. Se γd è il peso specifico del materiale, il peso di volume, per terrenoasciutto , è γt = γd(1 − n); per terreno saturo d’acqua γsat = γt + nγ. Il coefficiente di spinta attiva Ka

vale:Ka = tan2

(45− ϕ

2

)(7.16)

Fasi di verifica

Le varie possibilità di sollecitazione della struttura sono esposte nelle figure 5.3(b), 5.3(b) e 5.3(b). In essesono messe in evidenza le varie spinte:

– a monte (m);

– a valle (v);

– idrostatiche (SI);

– dovute al terreno (ST );

– di sottopressione (SP ).

Le varie possibilità di sollecitazione e quindi di verifica sono legate a 3 diversi stati:


1. prima dell’interrimento di monte;

2. dopo l’interrimento di monte in presenza di drenaggi nel corpo murario della briglia;

3. dopo l’interrimento di monte in assenza di drenaggi nel corpo murario della briglia.

Spinte agenti prime dell’interrimento a monte

Figura 7.8. Spinte agenti su una briglia prima dell’interrimento.

Prima dell’interrimento a monte della briglia si forma un piccolo bacino, si hanno le spinte seguenti(figura 7.8).

– Spinta idrostatica sul paramento di monte e di valle più un’ulteriore spinta dovuta al terreno (immerso,peso di volume γsat − γ) nella zona compresa tra il fondo dell’alveo e il piano di fondazione.La presenza dei fori di drenaggio riduce la spinta nell’intorno dei fori stessi, però in una misura che,per essere localizzata, è in sostanza trascurabile.

– Spinta dovuta alle sottopressioni lungo il piano di contatto tra la fondazione ed il terreno.L’andamento delle sottopressioni è assunto variabile linearmente lungo il piano di fondazione tra ilcarico idrostatico di monte e quello di valle.

Spinte agenti dopo l’interrimento a monte in presenza di drenaggi nel corpo murario dellabriglia

Dopo l’interrimento, nel caso di briglie con drenaggi, si hanno le spinte seguenti(figura 7.9).

– Spinta del terreno sul paramento di monte, dell’acqua nell’eventuale zona immersa nelle vicinanze delpiano di fondazione e dell’acqua per il carico h sulla gáveta.Per il calcolo della spinta del terreno sul paramento di monte è da osservare che parte del terrenostesso, in prossimità del piano di fondazione, è in stato di saturazione, mentre la rimanente parte loè solo parzialmente, ne consegue che il peso specifico del terreno è legato al suo grado di saturazione,tuttavia la sicurezza consiglia di assumere γt = γsat.Sul paramento di valle agisce la spinta idrostatica e un’ulteriore spinta dovuta al terreno (immerso)nella zona compresa tra il fondo alveo ed il piano di fondazione.


Figura 7.9. Spinte agenti su una briglia dopo l’interrimento a monte in presenza di drenagginel corpo murario della briglia.

– Spinta dovuta alle sottopressioni lungo il piano di contatto tra fondazione e terreno.

L’andamento delle spinte delle sottopressioni è assunto variabile linearmente lungo il piano di fon-dazione tra la pressione di monte ed il carico idrostatico di valle.

Spinte agenti dopo l’interrimento a monte in assenza di drenaggi nel corpo murario dellabriglia

Figura 7.10. Spinte agenti su una briglia dopo l’interrimento a monte in assenza didrenaggi nel corpo murario della briglia.

Dopo l’interrimento, nel caso di briglie senza drenaggi, si hanno le spinte seguenti (figura 7.10).

– Spinta idrostatica sommata a quella del terreno (immerso) sul paramento di monte, spinta idrostat-


ica sul paramento di valle sommata ad un’ulteriore spinta del terreno (immerso) compreso il fondodell’alveo ed il piano di fondazione.

– Spinta dovuta alle sottopressioni lungo il piano di contatto tra la fondazione ed il terreno.

L’andamento delle sottopressioni è assunto variabile linearmente lungo il piano di fondazione tra ilcarico idrostatico di monte e quello di valle.

Osservazioni sulla valutazione delle spinte

Le spinte sui paramenti della briglia e lungo la linea di fondazione sono state valutate nell’ipotesi cautelativache le perdite di carico siano concentrate lungo il piano di fondazione, assunto impermeabile. È questo ilcaso delle dighe fondate su roccia. Negli altri casi, l’instaurarsi di un importante moto di filtrazione nelmateriale raccolto a monte riduce la sia la spinta idrostatica agente sul paramento di monte sia la sottospintasul piano di fondazione. Queste riduzioni sono comunque di non immediata determinazione dipendendo dalleproprietà del terreno di riempimento, di fondazione e dalla geometria del campo di moto.

È importante osservare il benefico effetto dei dreni sulla riduzione delle spinte cui è assoggettata lastruttura. Dal confronto tra i casi con e senza dreni si può osservare:

1. l’assenza della spinta idrostatica nel caso drenato in corrispondenza del paramento di monte;

2. la riduzione della pressione di monte nel caso drenato per il calcolo della sottospinta.

Tipi di verifia

Per i 3 casi illustrati sono da fare le seguenti verifiche statiche:

X verifica allo schiacciamento/galleggiamento della fondazione:

G+ PT > SP (7.17)

X verifica al ribaltamento:Mstab > Mrib (7.18)

X verifica allo scivolamento:(G+R− SP ) tanϕ > R0 (7.19)

7.2.6 Filtrazione sotto le briglieLe opere idrauliche sollecitate da un dislivello tra monte e valle possono essere esposte a fenomeni diinstabilità dipendenti dal processo di filtrazione che s’instaura nel terreno entro il quale le opere sonofondate.

I problemi relativi al sifonamento sono da intendersi in due modi:

1. il primo modo si produce quando in qualche parte del campo di moto, prenda origine la rimozione, adopera della corrente, di particelle terrose: la rapida esaltazione del processo con la formazione di veneo piccoli canali sotterranei (piping), può portare al collasso del manufatto;

2. il secondo modo riguarda la possibilità di sollevamento di una parte del terreno (heaving) nella zonaposta al piede di valle dell’opera quando abbia a verificarsi, in quell’intorno, la condizione che lapendenza locale ie superi quella critica ic.

Criterio di stabilità di Lane

Il processo di sifonamento prende avvio quando la velocità massima assuma in qualche punto valori chepossano sare luogo alla rimozione delle particelle terrose più fini. Per controllare il fenomeno è quindinecessario contenere il valore della velocità, mediante allungamento delle linee di flusso, con conseguentediminuzione della pendenza.

Il criterio di stabilità di Lane si fonda sul fatto che la resistenza al moto è molto minore lungo il contattotra la base (orizzontale o quasi) del manufatto ed il terreno che lungo gli altri contatti tra le strutture


(verticali) di tenuta (diaframmi, palancole, taglioni) ed il terreno. Si può individuare tra i vari percorsidell’acqua quello critico: esso è prudenzialmente rappresentato dal contorno dell’opera inserita nel mezzoporosom il cui sviluppo, adeguatamente pesato nei suoi tratti (1/3 se il contatto è orizzontale o inclinatodi un angolo ≤45, 1 se verticale o inclinato di un angolo >45 deve essere un multiplo del dislivello h tramonte e valle, il cui valore deve essere non inferiore a quello definito dalla natura dei terreni interessati.

Figura 7.11. Esempio di applicazione del criterio di stabilità di Lane.

Nel caso dell’esempio riportato in figura 5.3(b) si ha:

F =d1 + 2ss + b/3 + 2s2 + d2

h≥ F ∗ (7.20)

Figura 7.12. Applicazione del criterio di stabilità di Lane ad una briglia.


Nel caso della briglia di figura 5.3(b) si ha, a fine costruzione:

F =Lv1 + Lv2 + Lv3 + (L01 + L02)/3

h≥ F ∗ (7.21)

In generale può scriversi, detti Lo e Lv gli sviluppi orizzontale e verticale:

F =1/3L0 + Lv

h≥ F ∗ (7.22)

I valori di F ∗ si trovano tabellati in funzione della granulometria del terreno.

Criterio di stabilità di Terzaghi

Con riferimento allo schema di figura 7.13, una ritenuta limitata da un diaframma infisso per la profonditàS0, Terzaghi ha considerato che possa essere interessata dal sifonamento una porzione di terreno larga S0/2e profonda, al massimo, S0.

Figura 7.13. Schema di calcolo secondo Terzaghi.

Alla base del prisma di terreno sono da considerare tre diverse pressioni:

– pressione neutrale: è l’azione che si trasmette attraverso i pori, essa vale, a carico nullo (h = 0), perterreno saturo:

u = γS0 (7.23)


– pressione totale: è dovuta al peso del terreno saturo, essa vale:

σ = γsatS0 (7.24)

– pressione efficace: è l’azione che si trasmette al contatto tra i granuli, essa è pari alla differenza tra lapressione totale e quella neutrale:

σ′ = σ − u (7.25)

Si consideri il prisma di terreno di lati S0 (profondità del diaframma) ed S0/2. Il campo di moto filtrante (apotenziale di velocità) sia descritto (mediante modello matematico, fisico o manuale) dal reticolo di flusso.

In base alla definizione di potenziale:

Φ = k

(z +

p

γ

)(7.26)

dove:

- p: pressione nel punto;

- k: coefficiente di conducibilità idraulica;

sia ha che la differenza di potenziale fra valle e monte che viene dissipata tra valle e monte vale:

Φ1 − Φn = kh (7.27)

Disegnate le curve equipotenziali Φj nell’intorno della base del diaframma, si può calcolare il valor medio Φnello spessore S0/2, riportando in ordinate sul piano 1–1 a profondità S0, nei punti di intersezione, i valoriΦj , Φj+1, dal quale si deduce il valor medio della sottopressione:

h =Φk

(7.28)

Indicato con γsat il peso specifico del terreno saturo sovrastante, lo stato critico nelle condizioni di stabilitàdel prisma S0×S0/2 si produce quando la presione effettiva sul piano 1–1, che vale (γsat−γ)S2

0/2, eguagliala sottopressione γhS0/2. In queste condizioni, la pendenza, data dal rapporto h/S0 è detta critica; essavale:

ic =h

S0=γsat − γ

γ≈ 1 (7.29)

La stabilità si realizza quando la pendenza ie = h/S0 sia apprezzabilmente minore di ic. Il criterio disicurezza secondo Terzaghi impone che sia:

F =icie

= icS0

h≥ 4÷ 5 (7.30)

Se la relazione (7.30) non è soddisfatta, un miglioramente può ottenersi con un filtro rovescio (di sovraccaricoq per unità di superficie), applicato su S0/2 e realizzato, per esempio con un adeguato strato di materialeinerte e incoerente ed un geotessuto, così da portare F al valore desiderato. Si ha in questo caso:

F = icS0

h+

q

γh(7.31)

7.2.7 Altri tipi di briglieBriglie aperte

I tipi di briglie, diversi da quelli classici in muratura di calcestruzzo o di pietrame, presentano una varia emaggiore distribuzione di aperture ricavate nel corpo briglia, con l’obiettivo, accanto a quello di consentireil deflusso, di fare defluire verso valle parte del materiale trasportato, ritardando o evitando il rapidoriempimento del tratto a monte.

Sono così nate, accanto alle briglie chiuse, le briglie aperte, variamente denominate (figura 7.14):


X filtranti;

X selettive:

– con apertura a finestra;

– a fessura;

– a pettine;

– reticolari.

Figura 7.14. Schemi di briglie aperte: a finestra, a fessura, reticolari; a pettine.

Il criterio di dimensionamento fa conto per il deflusso della portata di progetto solamente sulla gáveta,mentre portate minori impegnano solamente la parte filtrante.

Briglie selettive

Le briglie selettive, a differenza di quelle classiche che trattengono nel primo periodo di vita tutto il materialetrasportato dalla corrente, permettono una sua selezione granulometrica, trattenendo solamente i materialidi maggior diametro e rendendo quindi meno incisivo l’intervento di sistemazione.

Le briglie selettive (figura 7.15) sono sostanzialmente delle briglie di tipo classico dotate di un’aperturadi notevoli dimensioni nella parte centrale. Tale apertura può essere fornita di una griglia a maglie moltolarghe quando la briglia sia utilizzata anche per la trattenuta del materiale trasportato in superficie dalleacque di piena: tronchi, arbusti, . . . In quest’ultimo caso è necessario provvedere alla sua manutenzioneperiodica, specialmente dopo le piene di qualche entità.

Figura 7.15. Briglia selettiva con passerella.

Di particolare delicatezza per il corretto funzionamento del manufatto è il dimensionamento dell’apertura.Quando una corrente veloce incontra un ostacolo possono verificarsi due casi:


1. la corrente ha energia specifica sufficiente per oltrepassare l’ostacolo conservando il suo carattereveloce;

2. la corrente non ha sufficiente energia per oltrepassare l’ostacolo: passa in condizioni lente tramiteun risalto a monte dell’ostacolo e acquista energia specifica necessaria per attraversare l’ostacolo incondizioni critiche (figura 7.16).

Figura 7.16. Schema di funzionamento di una briglia selettiva.

Una briglia selettiva ben dimensionata deve provocare un regime idraulico del secondo tipo: ne consegue laformazione di un tratto a monte con velocità relativamente nmodeste, che produce il deposito del materialesolido. A causa della pendenza del fondo prima si depositano i materiali di maggiore diametro e poi quellisempre più fini.

Il vantaggio di una briglia selettiva è quindi che essa riduce notevolmente il flusso di materiale solidodurante la piena e consente successivamente la rimozione del materiale più fine, distribuito nel tempo, perquantità e per qualità, in funzione delle portate transitanti nel corso d’acqua.

Briglie per la trattenuta di materiale galleggiante

La scarsa cura dedicata alla parte alta dei bacini montani, l’instabilità dei versanti e quindi della coperturavegetale e arborea possono dare luogo alla mobilitazione di quantità notevoli di materiali litoidi e vegetali.I quali, affluendo nei torrenti, trascinati sul fondo, in sospensione o galleggianti possono creare problemi dinotevole gravità.

Un provvedimento che rende relativamente agevole la rimozione dei tronchi è quello di dotare la brigliaaperta di trefoli di acciaio tesi nella parte superiore, e di lasciare invece priva di ostacoli la parte bassadell’apertura.

Alcune briglie sono realizzate con il paramento di monte inclinato verso valle. La disposizione favorisce ilmovimento del materiale galleggiante verso l’alto e dà modo al materiale lapideo di defluire dalle luci liberesul fondo. La struttura di queste briglie (figura 7.17) è costituita da due spalle laterali di conglomeratocementizio e da alcuni (eventuali) speroni intermedi per sostenere una serie di travi, generalmente di acciaio,inclinate di 45–60 sull’orizzontale.


Figura 7.17. Briglia aperta per la trattenuta di corpi galleggianti realizzata concalcestruzzo ed acciaio.

Andrea Lisjak 7.3. Difese di sponda 285

7.3 Difese di sponda

7.3.1 GeneralitàI torrenti di montagna hanno la tendenza a procedere in maniera rettilinea a causa della provalenza delleforze inerziali su quelle gravitative, ciò si traduce in tiranti limitati e velocità elevate. Le curve sono dovuteessenzialmente a vincoli esterni di tipo geologico. In presenza di una curva si ha un’approfondimento dellasponda esterna per erosione e lo spostamento del materiale eroso verso l’interno a causa di correnti secondarievorticose.

Le opere di difesa di sponda hanno come scopo principale quello di evitarne l’erosione, specie quandoessa possa compromettere la stabilità dei versanti. Le difese sono di due tipi.

X Difese longitudinali o radenti : sono costruite fissando, con un muro o una scogliera o altro dispositivo,la linea di sponda che si vuole realizzare a torrente sistemato.

X Difese sporgenti (pennelli o repellenti): sono ottenute con manufatti che, radicati nella sponda, siprotendono verso l’alveo per definire, con la loro testa, i punti che fissano la nuova linea di sponda.

È opportuno ricordare che anche le briglie e le soglie (paragrafo 7.2) contribuiscono, fissando la sezione, alladifesa delle sponde.

7.3.2 Difese longitudinaliLe difese longitudinali possono essere ottenute in vari modi e con l’utilizzo di materiali differenti a secondadi:

−→ azioni cui è esposta la riva;

−→ propensione del fiume a scavare e trasportare materiale;

−→ scarpa che è possibile assegnare alla sponda.

Difesa con scogliere

La difesa con scogliere viene effettuata nel caso degli alvei con le sponde sponde più cimentate.La difesa con sogliera è realizzata con massi di varia pezzatura e peso: le dimensioni devono assicurare la

stabilità della scogliera affinché i massi non siano asportati dalla corrente di piena, con misure che raramentesuperano il metro di diametro (massi di circa 1–1,5 t). Quando, tuttavia, si tema la loro rimozione easportazione, specie per lo scavo che può prodursi al piede delle sponde, i massi possono essere collegati traloro con cavi d’acciaio (trefoli), ancorati ai massi con chiodi cementati.

La fondazione della scogliera deve essere approfondita a non meno di 2–3m sotto la linea di talweg. Lascarpa della scogliera deve essere dell’ordine di 3/2 o 2/1.

La sommità della difesa si limita in genere alla quota massima piena, assumendo rispetto a questa unfranco di 0,5m.La figura 7.18 mostra 4 diversi tipi di una difesa scogliera:

a) difesa di tipo classico;

b) difesa con taglione al piede di conglomerato cementizio;

c) difesa con taglione al piede realizzato con jet–grouting;

d) difesa con taglione al piede rivestito per la parte emergente con pietrame: la scogliera è rivestita conterreno vegetale inerbito.

La figura 7.19 rappresenta una difesa di sponda realizzata con massi:

a) con la piantagione di talee2 di salice tra i massi, il cui sviluppo radicale crea un collegamento tra lascogliera ed il terreno mentre l’ingrossamento del tronco comporta una compressione tra i massi vicini,con un miglioramento della stabilità;

2Le talee sono segmenti di fusto di specie arbustive ed arboree in grado di produrre radici e di generare in breve tempo unaltro esemplare (tra le specie che posseggono queste caratteristiche si ricordano salici, pioppi, noccioli ldots).


Figura 7.18. Difese di sponda con scogliera.

Figura 7.19. Difese di sponda realizzata con massi.

b) con latifoglie solo al di sopra della difesa, in zona che non dovrebbe essere interessata dalle pienemaggiori

La figura 7.20 mostra un difesa di sponda a massi con talee di salice piantate tra di essi.Le figure 7.21 e 7.22 illustrano una difesa a massi protetta al piede con colonne di jet–grouting


Figura 7.20. Talee di salice tra i massi di una difesa.

Figura 7.21. Difesa di sponda a massi con protezione al piede con colonne consolidate.

La figura 7.23 riporta il dettaglio del collegamento tra loro dei massi collocati al piede della difesa.

Difesa con gabbioni

I gabbioni sono parallelepipedi di rete metallica prodotti in stabilimento. Ripiegati per il trasporto, vengonopoi aperti in sito, riempiti di pietrame, e chiusi con coperchio ancora in rete. La rete è di acciaio zincato di2–2,2mm circa di diametro. Il filo è talvolta plastificato; in qualche caso è impiegato filo d’alluminio. Lafigura 7.24 illustra alcune varianti di difesa a gabbioni:

a) difesa di tipo classico;

b) difesa di tipo classico ma ricoperta con terreno vegetale piantato e inerbito;


Figura 7.22. Difesa di sponda a massi con protezione al piede con colonne consolidate:dettaglio delle colonna.

Figura 7.23. Collegamente elastico dei massi al piede di una difesa.

c) difesa di tipo classico ma con materiali di ricoprimento più grossolani e con piantagione di arbusti(maggiore resistenza alle piene e quindi scabrezza superiore);

d) difesa ricoperta da terreno ma sostenuta con tondame orizzontale e paletti al piede per la sua protezionecontro le piene più frequenti.

Le strutture a gabbioni possono essere adottate solo in corsi d’acqua con trasporto solido limitato perdimensioni e velocità: il materiale grossolano, investendo la struttura, potrebbe infatti rompere la rete edar quindi luogo al suo dissesto.


Figura 7.24. Difese di sponda con gabbioni.

Figura 7.25. Difese di sponda con astoni di salice.

Difesa con astoni di salice

La figura 7.25, relativa ad un corso d’acqua sottoposto ad azioni non molto intense, rappresenta una difesacon astoni di salice disposti lungo la sponda e ancorati con filo d’acciaio e paletti. Gli astoni sono protettial piede con una scogliera costituita da una fila di massi di adeguata pezzatura, generalmente collegati traloro (figura 7.23).

La soluzione è adottata per alvei con pendenza minore del 3% e con limitato trasporto solido.


Difesa con legname e pietrame

Una difesa di sponda di tipo naturalistico consiste in una struttura a cassone realizzata con tondame di lariceo castagno e pietrame (figura 7.26). Il manufatto è ottenuto utilizzando coppie di longaroni paralleli allasponda a interasse di 1–1,5m, distanziati da tondelli sovrapposti (a interasse di circa 1,5m). La struttura èinclinata verso la sponda del 10–15%. Gli elementi (d=15–25 cm) ortogonali alla sponda hanno un interassedi circa 1,5m e formano un piccolo incastro che collabora con la chiodatura alla stabilità complessiva. Lospazio tra il tondame è riempito con pietrame e terreno proveniente dallo scavo. Nel materiale di riempimentosono inserite talee di salice (circa 10 al metro) o ramaglia viva. Lo sviluppo dell’apparato radicale dellepiante costituisce un collegamento tra la palizzata e la sponda d’alveo.

Il manufatto viene difeso dallo scalzamento al piede con una collana di massi collegati fra di loro eprotetti con pali di legno o spezzoni di rotaia infissi per almeno 2m.Una variante per la difesa al piede è illustrata in figura 7.27: il piede è protetto dallo scalzamento da untappeto di pietrame che s’arresta contro una struttura di legname. Se si producesse uno scavo sul bordoesterno del tappeto, il rotolamento dei massi eviterebbe l’ulteriore scavo, proteggendo così il cassone dilegname e pietrame in elevazione.È talvolta utilizzata una soluzione più economica, detta a parete semplice. La parete contro la terra èabolita: il tondame ortogonale è sostituito da pali che vengono infissi per almen0 50 cm nella sponda (figura7.28). Questa soluzione è adottata per le minori altezze per le minori altezze e con ridotto pericolo discalzamento.

Per limitare lo scavo al piede della sponda sono talvolta usate le stesse strutture ma con un tappeto diprotezione esterno verso l’alveo. La figura 7.29 mostra una difesa con un tappeto di protezione al piede.

La figura 7.30 illustra una difesa integrata costituita da una difesa di sponda a parete semplice e sogliein alveo realizzate con legname e pietrame.

La figura 7.31 mostra una difesa di sponda ottenuta con pali battuti accostati e il dettaglio della tirantatu-ra. L’impiego dei pali battuti può farsi solo, e per contenuta profondità, in terreni sabbiosi e moderatamenteghiaiosi.

Difesa con viminate e fascinate

Per la difesa delle sponde dei corsi d’acqua sono usate anche viminate (dette anche palizzate, graticci,staccionate) e fascinate (figura 7.32).

X Le viminate sono costituite da pali conficcati nel terreno tra i quali s’intrecciano vimini di salice fresco.

X Le fascinate sono simili alle viminate, con la differenza che la struttura, anziché essere costituita da ungraticcio di vimini, è formata da parecchie fascine sovrapposte.

La figura 7.33 mostra una difesa costituita da una fila di massi alla base con una sovrastante fascinata viva.

Difesa con muri di sponda

La difesa con muri di sponda o muri d’ala è impiegata quando siano da contenere al minimo gli spazi occupatidal torrente, per la presenza di manufatti, quali strade, abitazioni oppure di speciali situazioni geotecnicheo topografiche: sponde molto ripide,. . .

Anche i muri di sponda vanno fondati per non meno di 2,00–2,50m sotto la linea di talweg e, talvolta,protetti da massi gettati alla rinfusa per evitare o ridurre lo scavo (figura 7.34)

I muri sono dotati di fori di drenaggio di diametro adeguato ed opportunamente distribuiti per indurre laspinta sul muro. Anche in questi casi può essere utilizzata la tecnica del jet–grouting, quando le fondazionidel muro siano da spingere a profondità maggiori di quella indicata poc’anzi.

In qualche caso, per proteggere l’abitato contro piene che abbiano prodotti livelli maggiori dei massimiconosciuti, si deve provvedere al sovralzo di muri già esistenti (figura 7.35).

7.3.3 Difese sporgentiLe difese sporgenti – pennelli o repellenti – sono opere non rigide, radicate alla sponda e protese verso l’alveofino a delimitarlo secondo il previsto disegno di sistemazione.

La forma dei pennelli può essere:


Figura 7.26. Difese di sponda con legname e pietrame a parete doppia.

- ad asta semplice;

- a L;

- a martello;

- a baionetta;

- a mazza da hockey.


Figura 7.27. Muro di sponda con legname e pietrame a parete doppia con tappeto dipietrame al piede.

La disposizione planimetrica rispetto all’asse dell’alveo sistemato, può essere:

- ortogonale;

- discendente;

- ascendente.

La figura 7.36 mostra i vari tipi di pennelli e la loro possibile disposizione rispetto alla direzione dellacorrente.

La distanza tra i pennelli è dell’ordine di 2–4 volte la loro sporgenza: in queste condizioni può ritenersiche il costo, con l’ammorsamento alla sponda e la difesa della testa contro lo scalzamento, sia comporabilecon quello di una difesa longitudinale.

La presenza dei pennelli crea zone d’alveo inattive ai fini del deflusso, nelle quali, specie durante le piene,si sedimenta una parte del materiale trasportato dalla corrente: in queste zone si sviluppano vegetazioni,spontanee o piantate, che facilitano l’ulteriore sedimentazione e rendono stabile la sponda.

La stabilità dei manufatti può essere compromessa dall’azione della corrente che li investe e dallo scavoche può crearsi intorno allo loro testa. I manufatti con andamento planimetrico ascendente e quelli conla testa a martello rivolta verso monte sono i più esposti alle azioni della corrente. Per contenere le qualispesso il pennello è costruito con la sommità degradante dalla sponda verso l’alveo, in modo che la sezioneesposta si riduca a misura che aumenta la velocità della corrente. Per contro questi pennelli presentano ilvantaggio d’indirizzare la corrente che li sormonta ortogonalmente alla testa verso il centro dell’alveo.


Figura 7.28. Difesa di sponda con legname e pietrame a parete semplice.

Se lo scavo prodotto dalla corrente alla testa del pennello giungesse ad interessare il piano d’impostadelle fondazioni, si potrebbe produrre un franamento di una sua parte. Al quel seguirebbe un nuovo scavo alpiede della nuova estremità e un ulteriore franamento: con la distruzione progressiva del manufatto, speciese questo sia costituito da una struttura rigida anziché da una struttura a massi, che risulta più deformabilee che può, con un crollo parziale, costituire protezione al piede per la parte rimanente.

La difesa contro l’azione dello scavo si ottiene:

−→ approfondendo in maniera adeguata il piano di imposta delle fondazioni;

−→ disponendo attorno alla testa una difesa: cortina di colonne di jet–grouting armate collegate in sommità


Figura 7.29. Difesa di sponda con legname e pietrame a parete semplice con tappeto dipietrame al piede.

con un cordolo di conglomerato cementizio;

−→ disponendo alla base del pennello e particolarmente in corrispondenza della testa, un tappeto diprotezione ancorato al pennello stesso. Le formazioni vorticose cui il pennello dà luogo esaurisconoinfatti buona parte della loro azione contro la protezione. Un eventuale scavo sul bordo del tappetopuò produrre un movimento verso il basso dei massi della struttura, bloccando così l’ulteriore scavo.

Nei casi di minore rilievo può essere protetta da una cortina di pali di legno o di profilati metallici.


Figura 7.30. Difesa di sponda e soglie con legname e pietrame.


Figura 7.31. Difesa di sponda pali battuti e tirantati.


Figura 7.32. Difesa di sponda con viminate o fascinate variamente disposte.

Figura 7.33. Difesa di sponda con viminate o fascinate variamente disposte.


Figura 7.34. Difese con muro di sponda.

Figura 7.35. Sovralzo di muro di sponda.


Figura 7.36. Tipi di pennelli e loro disposizione rispetto alla direzione della corrente.


Figura 7.37. Pennello ortogonale costruito con massi di diametro di circa 1m: a) intestatoalla sponda; b) a protezione di un muro di sponda.


Figura 7.38. Pennello di massi protetto da una cortina di jet–grouting.


Figura 7.39. Pennello di legname e pietrame radicato su sponda rivestita in pietrame.


Figura 7.40. Pennello ad asta semplice con tappeto di protezione al piede.


Figura 7.41. Pennello a L con tappeto di protezione.

Capitolo 8

Sistemazioni fluviali

8.1 GeneralitàLa difesa di un’area esposta ad esandazioni di un corso d’acqua in piena può ottenersi essenzialmente in 2modi:

1. aumentando la sua capacità di portata;

2. diminuendo la portata di piena che, con prefissata frequenza, transita nel tratto in esame.

8.1.1 Aumento della capacità di portata delle sezioniLa portata che transita in un corso d’acqua può essere espressa come:

Q = K√j (8.1)

dove:

- K: conveyance;

- j: pendenza motrice.

È evidente quindi che per aumentare la capacità di una sezione si può agire sia sulla conveyance K che sullapendenza motrice j.

Aumento della conveyance

La conveyance può essere valutata mediante la formula di Gauckler–Strickler–Manning:

K = ksΩR2/3 = ksByR2/3 (8.2)

Un suo aumento può essere ottenuto quindi in 3 modi:

1. Aumentando la profondità del canale (y) ossia agendo sul raggio idraulico R.

In generale è un metodo sconsigliabile in quanto non produce una variazione di energia.

2. Aumentando la larghezza B del canale.

È un metodo molto efficace tuttavia spesso è impedito da vincoli inamovibili. A tal proposito l’Autoritàdi Bacino produce dei Piani di Bacino in cui fissa delle zone di rispetto (P0, P1, P2, P3, P4) in basealla pericolosità del rischio idraulico:

- P0: nessun vincolo;- P1: pericolosità moderata;- P2: pericolosità “consistente”;- P3: immediato pericolo (abitazioni a ridosso degli argini);

305

306 Capitolo 8. Sistemazioni fluviali Andrea Lisjak

- P4: aree di competenza fluviale.

3. Diminuendo la scabrezza dell’alveo, mediante periodica manutenzione atta a rimuovere le specievegetali

Aumento della pendenza motrice

La pendenza di un corso d’acqua vale:

j =∆H∆L

(8.3)

Dal momento che il dislivello ∆H è generalmente fissato, l’unica possibilità è quella di diminuirne la lunghez-za complessiva. Tale risultato viene ottenuto mediante parziali rettifiche di percorso. Vista la drasticità ditali interventi essi sono da eseguire solamente quando strettamente necessari e comunque mantendo unacerta congruenza:

−→ nelle curvature;

−→ nella sinuosità.

8.1.2 Diminuzione della portata di progetto

Quando tutte le alternative appena esposte sono state valutate allora è possibile intervenire direttamentesul sistema fiume diminuendo la portata di piena associata ad un determinato tempo di ritorno QTR . Perottenere tale risultato si possono utilizzare:

−→ effetti d’invaso sia concentrati che diffusi;

−→ canali scolmatori.

Effetti d’invaso localizzati

La creazione di una diga in linea provoca la creazione di un lago artificiale a monte di essa. L’equazione dellago può essere approssimato mediante l’equazione dell’invaso:

dW (t)dt

= Q(t)−R(W, ξ) (8.4)

dove:

- W (t): volume d’invaso;

- Q(t): portata in ingresso nell’invaso;

- R(W, ξ): funzione di rilascio dipendente sia dal volume d’invaso sia da operazioni umane controllatemediante un parametro ξ di controllo delle paratoie in uscita

Tale equazione può essere facilmente integrata alle differenze finite. La figura 5.3(b) esprime un possibileandamento della portata in entrata Q(t) e della funzione di rilascio R.Risulta evidente che in uscita l’onda di piena è caratterizzata da uno sviluppo temporale più lungo ma daun colmo di piena più piccolo.

Effetti d’invaso diffusi

Per la valutazione degli effetti d’invaso diffusi si ricorre all’approssimazione parabolica dell’equazione dellaconvezione–diffusione relativa al moto vario nei canali:

∂Q

∂t+ C

∂Q

∂x= D

∂2Q

∂x2

Il termine che consente la diminuzione della portata al colmo è il coefficiente di diffusione D, sul quale èpossibile intervenire mediante aree golenali di rallentamento.

Andrea Lisjak 8.2. Regolazione delle portate a mezzo di serbatoi 307

Figura 8.1. Possibile andamento della portata in entrata ed in uscita da un invaso.

Canali scolmatori

Mediante canali scolmatori si lascia che la piena arrivi non attenuata e poi si scarica parte della portata inun altro corpo idrico.

8.2 Regolazione delle portate a mezzo di serbatoi

8.2.1 DigheLo scopo principale per cui vengono costruite le dighe è la produzione di energia elettrica. L’utilizzo delledighe per la laminazione delle piene è generalmente un effetto secondario, all’ente gestore stesso della digaconviene infatti che la diga sia riempita il più possibile. Normalmente una diga è dotata di paratoie fisseche non permettono di scaricare l’acqua a valle sin dall’inizio dell’evento di piena.

Figura 8.2. Effetto di una diga per la laminazione delle piene.

Sistema distribuito di dighe

Esistono due motivazioni principali che consentono di affermare la non equivalenza tra un’unica grandediga posta alla chiusura del bacino e un sistema distribuito di tante piccole dighe in corrispondenza degliaffluenti:


1. fasatura dei colmi : ciascuna diga opera una diminuzione della portata al colmo ed un aumento delladurata al colmo, ne consegue che allungando le code si mandano in fase diverse onde di piena coneffetto sovrappositivo nella sezione di chiusura del bacino;

2. tempi di corrivazione diversificati : il tempo di corrivazione del bacino nel suo complesso è diverso daitempi di corrivazione dei singoli sottobacini.

8.2.2 Casse di espansione

Le casse di espansione svolgono in pianura un’azione analoga a quella delle dighe poste alla chiusura deibacini montani. La casse di espansione sono degli immagazzinamenti laterali ad un corso d’acqua, limitatida arginature, con un’opera di presa a monte della cassa ed un’opera di restituzione in alveo. La captazionedelle acqua di norma non viene regolata ma si avvia in base al livello di monte mentre la restituzione ècontrollata in modo da avvenire progressivamente.

Figura 8.3. Schema di una cassa di espansione.

Ripartitore

Il ripartitore di una cassa di espansione è generalmente costituito da uno stramazzo laterale con successi-vamente posta una briglia a fessura, la quale costringendo la corrente lenta a passare in condizioni critichefunge da sezione di controllo della corrente a monte. Il progetto delle dimensioni P ed L dello stramazzolaterale viene eseguito per tentativi integrando l’equazione per gli stramazzi laterali in modo da garantirelo sfioro della portata Qp −Qlim.

Briglia

In uscita dalla briglia la pendenza del canale è di norma inferiore a quella critica: if < ic.Le soluzioni possibili sono due:

Andrea Lisjak 8.2. Regolazione delle portate a mezzo di serbatoi 309

Figura 8.4. Effetto di una cassa di espansione: l’area tratteggiata rappresenta il volumeavviato verso la cassa.

Figura 8.5. Schema del ripartitore.

– figura 8.6(A): tale soluzione non è ottimale in quanto la vasca di sedimentazione funziona come unatrappola per sedimenti;

– figura 8.6(B): tale soluzione è quella ottimale in quanto la presenza del risalto creato da una contro-briglia produce una movimentazione del sedimento e non vi sono pareti che ne possono bloccare iltrasporto.

Organi di scarico

Gli organi di scarico della cassa di espansione sono solitamente delle paratoie piane o a settore. All’uscitadalla vasca di dissipazione non ci sono mai problemi di sedimentazione in quanto l’acqua in entrata è privadi trasporto solido significante.


Figura 8.6. Possibili soluzioni per dissipare l’energia della corrente in uscita dalla briglia afessura.

8.3 Arginatura dei corsi d’acqua

8.3.1 Arginature

Nomenclatura e criteri di dimensionamento

Per evitare le esondazioni di un corso d’acqua una delle posssibilità è quella di arginarlo, o, se il fiume è giàarginato, di provvedere al sovralzo e ringrosso arginale nei tratti esposti, quando si debba controllare unaportata maggiore di quella massima conosciuta.

La piena alla quale commisurare la quota arginale è di regola quella caratterizzata da un tempo diritorno di 100 anni, ovviamente con la riserva di sicurezza rappresentata da un franco arginale assunto noninferiore ad 1,00m.

L’arginatura viene generalmente eseguita con un rilevato di terra omogenea. Il materiale è solitamenteterra omogenea limosa e argillosa compresa tra il tipo A-6 della classificazione CNR–UNI 10.066, ed il tipoA-4. Al materiale terroso usato per il rilevato arginale sono richiesti:

– modesta permeabilità, non superiore a 10−6 − 10−8 m/s;

– elevato peso specifico.

La compattazione contribuisce a migliorare entrambe le proprietà.La figura 8.7 riporta la nomenclatura in uso per le arginature.

Oltre alla necessità di limitare la filtrazione e di assicurare la stabilità del pendio, di deve impedire cheil rilevato e la zona circostante (a campagna) siano esposti a fenomeni di sifonamento o impaludamento.Questa ulteriore garanzia comporta, talvolta, lo spostamento del piede dell’argine verso campagna più diquanto sia richiesto dalle normali verifiche statiche. La sezione trasversale di un argine deve infatti assicurarela copertura della linea di infiltrazione che può stabilirsi nel corpo arginale, a partire dalla quota di massimapiena.

8.3.2 Distanze dagli argini per piantagioni, scavi e manufatti

Le attività o gli interventi che in qualche circostanza possono svolgersi o farsi in prossimità delle arginaturefluviali sono da considerare con particolare cura per evitare che da essi possano derivare danni alla strutturao che processi di moto che si instaurino nel corpo arginale e nel sottosuolo possano evolversi pericolosamente.

La materia è fondamentalmente disciplinata dal Testo unico delle disposizioni di legge intorno alle operepubbliche delle diverse categorie (T.U. 25 luglio 1904, n. 523).

8.3.3 Filtrazione nel corpo arginale

La presenza dell’acqua in un corpo terroso influisce in modo apprezzabile sulle sue condizioni di stabilità,specie per un abbassamento relativamente rapido del livello nel corso d’acqua.

Lo studio dell’andamento della filtrazione e delle sue evoluzioni in regime vario può effettuarsi utilizzandole equazioni di flusso in mezzi porosi. Esse sono di facile scrittura ma non di facile manipolazione, a causadell’incognita e variabile forma della superficie libera.

Andrea Lisjak 8.3. Arginatura dei corsi d’acqua 311

Figura 8.7. Nomenclatura in uso per le arginature.

8.3.4 Stabilità degli argini

Richiami normativi

La nozione di stato di stabilità di un pendio in materiale sciolto è espressa dal fattore di sicurezza, indicatosolitamente col simbolo F , inteso come rapporto fra le azioni resistenti o stabilizzanti che si oppongono aldissesto della struttura e quelle che invece tendono a favorirlo. Il valore ottenuto è da confrontare con quellidettati dalla normativa tecnice che disciplina la materia.

La stabilità deve essere verificata relativamente alle seguenti condizioni:

1. a termine costruzione: F = 1, 2;


2. a serbatoio pieno con il livello di massimo invaso: F = 1, 4;

3. a seguito di rapido svuotamento del serbatoio da livello massimo a livello di minimo invaso e, ovesignificativo, anche a livelli intermedi: F = 1, 2.

8.3.5 Protezione delle rive e delle arginature

I paramenti delle rive e degli argini devono essere protetti sia dalle acque che corrono nell’alveo sia dalleacque meteoriche. I modi utilizzati per proteggere il corpo arginale sono relativamente abbastanza numerosi.

Le figure 8.8 e 8.9 rappresentano l’insieme delle possibili cause di rottura o di dissesto di un argine.

Figura 8.8. Possibili cause di rotture e dissesti arginali: rotture verso campagna.

8.3.6 Stabilizzazione degli alvei di magra

Nei corsi d’acqua aventi un’ampia sezione trasversale la corrente di magra è contenuta generalmente in unazona ristretta, detta alveo di magra. Per evitare divagazioni del filone di corrente, che potrebbero modificarein maniera più o meno sistematica le zone golenali, anche con possibili timori per la stabilità degli arginimaestri, l’alveo di magra è spesso stabilizzato con opere appropriate.

Le opere impiegate si suddividono in due classi.

1. Opere radenti o longitudinali : sono manufatti costruiti parallelamente alla corrente disposti special-mente nelle sponde concave delle curve. Esse sono realizzati con muri o rilevati difesi con adattirivestimenti delle sponde:

– muri in calcestruzzo;

– lastre di calcestruzzo gettare in opera o prefabbricate;

– scogliere con blocchi naturali o artificiali;

– gabbioni.

2. opere sporgenti o pennelli : sono opere che, a partire dalla sponda nella quale sono radicati, si proten-dono in alveo allo scopo di modificare in un certo tratto di fiume, le caratteristiche del campo di motodella corrente.

Andrea Lisjak 8.3. Arginatura dei corsi d’acqua 313

Figura 8.9. Possibili cause di rotture e dissesti arginali: rotture verso fiume.

Come regola generale d’intervento bisogna sempre effettuare una progressione per tempi successivi, proce-dendo:

– da monte a valle: se l’intervento viene fatto per motivi di sedimentazione;

– da valle a monte: se l’intervento viene fatto per motivi di sicurezza contro le esondazioni.

Bibliografia

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Idrologia Tecnica, Sistemazione Dei Corsi d'Acqua, Idraulica Fluviale

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