Il S

ettore

di H

iggs

del M

odello

Sta

ndard

Un

ive

rsità

di P

ad

ova

Co

rso

Fis

ica

Su

bn

ucle

are

-II a

nno

la

ure

a s

pecia

listica

S

imo

ne

tto

/Dori

go

, A

A 2

008/0

9

To

mm

aso D

ori

go

do

rig

o@

pd

.infn

.it

Som

mario

PA

RT

E I

: L

a l

ag

ran

gia

na

de

l M

od

ell

o S

tan

da

rd–

Intr

od

uzio

ne a

lle s

imm

etr

ie d

i g

au

ge

–S

imm

etr

ie e

satt

e, ro

tte, n

asco

ste

–Il t

eo

rem

a d

i G

old

sto

ne

–R

ott

ura

della s

imm

etr

ia d

i g

au

ge e

meccan

ism

o d

i H

igg

s

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ag

ran

gia

na d

el M

od

ello

Sta

nd

ard

–A

cco

pp

iam

en

ti, m

asse e

im

plicazio

ni

–L

a r

un

nin

g c

ou

plin

g c

on

sta

nt

della Q

CD

PA

RT

E I

I: F

en

om

en

olo

gia

de

l b

os

on

e d

i H

igg

s e

ric

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he

sp

eri

me

nta

li–

Co

nsid

era

zio

ni te

ori

ch

e

–C

orr

ezio

ni ra

dia

tive e

co

nstr

ain

ts d

a f

it e

lett

rod

eb

oli

–D

ecad

imen

ti

–M

eccan

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i d

i p

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uzio

ne in

co

llis

ion

i ele

ttro

ne-p

osit

ron

e

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i d

i p

rod

uzio

ne a

i co

llid

ers

ad

ron

ici

–R

icerc

he d

irett

e a

LE

P II e lim

iti sp

eri

men

tali

–R

icerc

he d

el b

oso

ne d

i H

igg

s a

l T

evatr

on

•A

ppa

rati s

pe

rim

en

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CD

F e

D0

•S

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ni d

’urt

o,

sta

ti f

ina

li a

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ssib

ili

•T

ecn

iche

sp

erim

en

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•Q

ualc

he

ese

mp

io in

dett

aglio

–P

rosp

ett

ive d

ella r

icerc

a a

LH

C•

Pro

du

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ne

a L

HC

e s

tati f

ina

li p

rom

ette

nti

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onsig

liati

F.H

alz

en,

A.D

.Mart

in,

“Quark

s &

Lepto

ns:

An I

ntr

oducto

ry C

ours

e in

Modern

Part

icle

Physic

s”,

Wile

y 1

984

–C

ap

.14

,15

W.E

.Burc

ham

,M.J

obes,

“Nucle

ar

and P

art

icle

Physic

s”,

Lo

ngm

an 1

995

–C

ap

.13

R.K

.Elli

s,

W.J

.Stirlin

g,

B.R

.Webber

“QC

D a

nd C

olli

der

Physic

s”,

Cam

brid

ge

U.P

. 1996

–C

ap

. 8

, 1

0,

11

Altri t

esti u

tili

(liv

ello

più

ava

nzato

):

–L

.B.O

ku

n,

“Le

pto

ni e

Qu

ark

s”,

Ed

. R

iun

iti 1

98

6•

Cap.1

9,2

0

–F

.Ma

nd

l, G

.Sh

aw

, “Q

ua

ntu

m F

ield

Th

eo

ry”,

Wile

y 1

98

4•

Cap. 11,1

2,1

3

–J.F

.Do

no

gh

ue

,E.G

olo

wic

h,B

.R.H

ols

tein

“D

yn

am

ics o

f th

e S

tan

da

rd M

od

el”

, C

am

bri

dg

e U

.P.

19

92

A w

ord

of w

arn

ing

No

n s

on

o u

n’e

ncic

lop

ed

ia–

Dim

entico c

ose,

a v

olte (

rara

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) dic

o f

esserie –

la m

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gio

r part

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delle

volte m

i corr

egg

o,

dopo.

–A

volte p

otr

ò d

imenticare

di sp

iegarv

i con c

hia

rezza d

ove s

to a

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ndo a

para

re:

se s

entite

qualc

he a

rgom

enta

zio

ne d

i cui non c

ap

ite l’o

rigin

e o

l’a

rriv

o,

e n

on v

i sie

te a

pp

ena s

veglia

ti,

ferm

ate

mi.

No

n s

on

o u

n te

ori

co

–La m

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on

oscenza d

ei calc

oli

teorici sog

gia

centi a

d a

lcune

part

i della

tr

att

azio

ne è

arr

uggin

ita

•A

vre

te u

na

pro

sp

ett

iva

“sp

eri

me

nta

le”

de

gli

arg

om

en

ti

•P

er

fort

un

a m

olti d

i voi se

gu

on

o il co

rso

di F

eru

glio

!

–M

i potr

àcapita

re d

i non s

aper

o n

on v

ole

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ere

a q

ualc

he

dom

an

da b

en c

onge

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:•

me

nzio

ne

on

ore

vo

le s

e s

i tr

att

a d

i u

n p

un

to r

ileva

nte

, e

ris

po

nd

erò

alla

le

zio

ne

su

cce

ssiv

a;

•a

ltri

me

nti v

err

ete

ig

no

rati s

e i c

on

ce

tti n

ece

ssa

ri s

on

o a

l d

i là

dello

sco

po

de

l co

rso

.

So

no

qu

i p

er

mig

liora

re, com

e v

oi

–V

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para

te q

uello

che s

pie

go (

spero

), io im

paro

a s

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garl

o m

eglio

–a

Inoltre

:A

vo

lte

an

drò

mo

lto

ve

loce

–E

’un s

egn

o c

he c

onsid

ero

qu

ello

ch

e v

edete

nelle

slid

es c

ose g

iànote

, non c

he d

evo p

rend

ere

il tr

en

o!

•S

e n

on

riu

scite

a s

eg

uir

mi p

ote

te in

terr

om

pe

rmi, e

in

ge

ne

re v

i d

arò

ascolto

–m

a v

i potr

ei anche d

ire d

i riguard

arv

i il

mate

riale

per

conto

vostr

o

A v

olte

rip

ete

rò i c

once

tti più

vo

lte

–S

egno c

he v

orr

ei li

ap

pre

zzaste

e c

he v

e li ch

iedero

’all’

esa

me

A v

olte

sa

lterò

qu

alc

he

slid

e–

Potr

ebbe s

erv

irm

i ad a

rriv

are

in f

ondo a

un

a lezio

ne,

con l’im

pegn

o d

i to

rnarc

i al m

om

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opp

ort

uno

–O

ppure

pu

ò d

ars

i che s

i tr

att

i di m

ate

ria

le s

uperf

luo

Tu

tte

le

slid

es c

he

ved

rete

sara

nn

o d

ispo

nib

ili in

re

te a

fin

e c

ors

o–

Non p

rim

a p

erc

hé

inte

ndo r

ivederl

e d

op

o a

verle p

resenta

te

–Le s

lides s

ono v

erb

ose

per

vo

str

o c

om

odo –

dovre

bbero

ris

ultare

le

gg

ibili

e a

iuta

re c

hi ha p

ers

o u

na lezio

ne a

ric

ostr

uirn

e il p

erc

ors

o

In v

erd

eci son

o a

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ni e

serc

izi p

er

ca

sa

–D

ovre

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essere

alla

vostr

a p

ort

ata

–non s

paventa

tevi!

–P

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stim

ola

rvi, n

on v

e n

e d

arò

solu

zio

ne im

media

tam

ente

, m

a p

otr

ete

PA

RT

E I

La l

ag

ran

gia

na d

el M

od

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Sta

nd

ard

–In

tro

du

zio

ne a

lle s

imm

etr

ie d

i g

au

ge

–S

imm

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ie e

satt

e,

rott

e,

nasco

ste

–Il t

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rem

a d

i G

old

sto

ne

–R

ott

ura

della s

imm

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ia d

i g

au

ge e

mecca

nis

mo

di

Hig

gs

–L

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gia

na d

el M

od

ell

o S

tan

dard

–A

cco

pp

iam

en

ti, m

asse e

im

plicazio

ni

–L

a r

un

nin

g c

ou

plin

g c

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sta

nt

dell

a Q

CD

Intr

od

uzio

ne

:

Sim

metr

ie d

i gaug

e e

MS

A b

assa e

nerg

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razio

ni fo

rte,

em

e d

ebole

sem

bra

no indip

end

enti:

hanno

sezio

ni d’u

rto c

he d

iffe

risco

no d

i 12 o

rdin

i d

i g

randezza�

div

ers

e c

osta

nti d

i accopp

iam

ento

La s

pera

nza d

i descrivere

qu

este

inte

razio

ni con u

n u

nic

o c

am

po u

nific

ato

, ad

alta e

nerg

ia,

ricevett

e v

ers

o la f

ine d

eg

li an

ni ’6

0 u

na s

pin

ta d

alla

form

ula

zio

ne

GS

W (

Gla

show

, S

ala

m,

Wein

berg

) d

ell’

un

ific

azio

ne e

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rodebo

le.

Il p

asso t

eorico

più

import

ante

in q

uesta

dir

ezio

ne è

realiz

zare

che le inte

razio

ni

fondam

enta

li sono invaria

nti p

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trasfo

rmazio

ni lo

ca

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au

ge

Per

form

ula

re u

na t

eori

a d

i g

auge b

isog

na s

crivere

un

a lag

rangia

na c

he d

escriva

la c

inem

atica e

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razio

ni fr

a i c

am

pi, e

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invaria

nte

sott

o t

rasfo

rmazio

ni di

sim

metr

ia c

he p

erm

ett

ano la c

onserv

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ne d

elle

qua

ntità

rile

vanti:

carica

ele

ttrica,

colo

re,

isospin

e ip

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arica d

eboli.

Queste

quantità

sono c

onserv

ate

lo

calm

ente

, pe

r non e

ntr

are

in

conflitto

con la

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tività

specia

le.

Inva

ria

nza

glo

ba

le d

i g

au

ge

�co

nserv

azio

ne c

ari

ca e

lettrica

L’im

po

siz

ione d

i in

va

ria

nza lo

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led

i g

aug

e p

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la la

gra

ng

ian

a d

i u

n

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mp

o d

i D

ira

c fo

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duzio

ne

di un

a d

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va

ta c

ova

ria

nte

, e

un

ca

mp

o d

i ga

ug

e A

µa

ssocia

to a

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ton

e. S

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ttie

ne

la

la

gra

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iana

di

QE

D

Inva

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nza

loca

le d

i g

au

ge �

intr

od

uzio

ne

di u

n c

am

po

ve

ttori

ale

a

ma

ssa n

ulla

(co

nsis

ten

te c

on

il ra

ng

e in

fin

ito

de

ll’in

tera

zio

ne).

Un

te

rmin

e d

i m

assa

per

il fo

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e r

om

pere

bb

e l’in

va

ria

nza

di g

aug

eper

via

de

lle p

ropri

età

di tr

asfo

rma

zio

ne

de

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mp

o A

µ.

Qu

esto

va

le p

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alu

nq

ue

boso

ne

ve

tto

re. I bo

so

ni d

eb

oli

no

n

sfu

gg

ono

alla

lo

gic

a. S

e v

og

liam

o in

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ria

nza

lo

ca

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i g

au

ge

, i

bo

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ni ri

ma

ng

on

o a

ma

ssa

nu

lla.

Invarianza d

i gauge g

lobale

La

la

gra

ng

iana

di e

lettro

ne

lib

ero

inva

ria

nte

pe

r tr

asfo

rmazio

ni U

(1)

glo

ba

li

se

va

le

pe

r arb

itra

ri v

alo

ri d

ella

fase

glo

ba

le Λ

.

Es. n

.1 p

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sa

: d

imostr

are

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fferm

azio

ne

qu

i sop

ra, u

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nd

o le

e

qu

azio

ni d

i E

ule

ro -

Lagra

ng

e)

Ciò

im

plic

a la

co

nserv

azio

ne

di u

na

quad

rico

rren

te

e q

uin

di d

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cari

ca e

lettri

ca

q, in

tegra

nd

o n

elle

co

ord

ina

te s

pazia

li e

usa

ndo

il

teo

rem

a d

ella

div

erg

enza:

ψγ

ψµ

µ)

(m

iL

−∂

=

ψψ

ψΛ

=→

iqe

'

)(

20

ψγ

ψδ

µµ

∂Λ

==

qL

0)

(=

∂=

∂ψ

γψ

µµ

µµ

qj

���

�dq

Invaria

nza d

i gau

ge locale

e Q

ED

La lagra

ng

ian

a d

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ttro

ne lib

ero

rim

ane invari

ante

per

trasfo

rmazio

ni U

(1)

locali

solo

se

si in

tro

duce u

na c

orr

ispond

ente

vari

azio

ne n

ella

le

gge d

i tr

asfo

rmazio

ne

delle

derivate

del cam

po f

erm

ionic

o,

un

a d

eri

vata

covaria

nte

definita d

a

in c

ui il

cam

po v

ett

oriale

A t

rasfo

rma c

om

e s

egue:

La lagra

ng

ian

a c

he d

eriva d

all’

inseri

mento

de

lla d

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vata

covariante

D c

ontiene o

ra

term

ine d

i a

ccoppia

mento

della

corr

ente

vett

oriale

e il cam

po A

:

ψγ

ψµ

µ)

(m

iL

−∂

=

ψψ

ψ)

('

xiqe

Λ=

→

)(x

iqA

Dµ

µµ

+∂

=ψ

ψµ

µD

eD

xiq

)(

Λ→

)(

)(

)(

xx

Ax

AΛ

∂−

→µ

µµ ψ

γψ

ψψ

ψγ

ψµ

µµ

µqA

mi

L−

−∂

=

In c

on

tra

sto

co

n la

ric

hie

sta

fo

rma

le d

i b

oso

ni m

assle

ss n

ella

te

ori

a,

l’esis

ten

za

di

co

rre

nti d

eb

oli

ca

rich

e m

ed

iate

da

bo

so

ni ve

tto

ri m

assiv

i è

ne

ce

ssa

ria

pe

r e

vita

re

div

erg

en

ze

ne

lle s

ezio

ni d’u

rto

di sca

tte

rin

g.

Ese

mp

io:

νe-e

sca

tte

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g �

σp

rop

. a

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me

ntr

e l’u

nita

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tàd

ello

svilu

pp

o in

on

de

pa

rzia

li d

ella

sezio

ne

d’u

rto

(J=

1)

imp

lica

ch

e σ

sia

min

ore

di 1

/s �

pe

r

s>

1/G

=9

E4

Ge

V2

la s

ezio

ne

d’u

rto

vio

la l’u

nita

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tà.

Inve

ce

, se

il p

rop

ag

ato

re d

el W

co

ntie

ne

un

te

rmin

e d

i m

assa

, e

sso

re

nd

efin

ita

la

se

zio

ne

d’u

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Vio

lazio

ne

de

ll’un

ita

rie

tàn

ei d

iag

ram

mi a

ll’o

rdin

e p

iùb

asso

e n

on

rin

orm

aliz

za

bili

tà

de

i d

iag

ram

mi a

d o

rdin

i su

pe

rio

ri s

on

o s

tre

tta

me

nte

le

ga

te:

l’un

a im

plic

a l’a

ltra

.

In o

gn

i ca

so

, d

ue

bo

so

ni W

+e

W-n

on

ba

sta

no

a r

en

de

re la

te

ori

a c

on

sis

ten

te:

la

se

zio

ne

d’u

rto

de

l p

roce

sso

di p

rod

uzio

ne

di co

ppie

WW

rim

ane

div

erg

en

te,

sia

pe

r

inte

razio

ne

de

bo

le ν

ν�

WW

ch

e e

.m.

ee�

WW

.

2/

FG

ν

eν

e

ν

νe

e

W

22

/W

Mg

La d

iverg

enza d

el pro

cesso ν

ν�

WW

si può n

eutr

aliz

zare

con d

iagra

mm

i m

edia

ti d

a u

n b

oson

e n

eutr

o m

assiv

o Z

. E

sso p

erm

ett

e a

nche d

i neutr

aliz

zare

la

div

erg

enza d

el pro

cesso e

lett

rom

agn

etico,

media

nte

dia

gra

mm

i che

sin

gola

rmente

sono d

iverg

en

ti.

–N

B:

La

pre

diz

ione

di p

roce

ssi co

n c

orr

en

ti d

eb

oli

ne

utr

e (

co

me

lo

sca

tte

rin

g ν

µ-

e),

ch

e –

se

me

dia

ti d

a s

ca

mb

io d

i u

n s

olo

bo

so

ne

ve

tto

re d

ove

va

no

ave

re

se

zio

ni d’u

rto

co

mp

ara

bili

a q

ue

lli c

on

sca

mb

io d

i co

rre

nte

ca

rica

(co

me

νe-e

)-fu

u

no

de

i g

ran

di

su

cc

es

si

de

lla

te

ori

a e

lett

rod

eb

ole

.

La c

ance

llazio

ne è

possib

ile s

olo

se g

li accoppia

menti a

i le

pto

ni d

ei boso

ni

W,Z

,γ s

ono d

i in

tensità

confr

onta

bile

: g ~

e.

Questa

unific

azio

ne e

lett

rode

bole

necessita c

he W

e Z

abbia

no m

asse

dell’

ord

ine d

ei 100 G

eV

.C

iò a

ppare

nte

me

nte

èin

conflitto

con l’in

vari

anza

locale

di ga

uge

della

lagra

ngia

na.

Vedre

mo c

he l’in

troduzio

ne d

i un c

am

po s

ca

lare

he u

n m

eccanis

mo

appro

priato

ris

olv

on

o il pro

ble

ma.

In p

iù,

hperm

ett

e la c

on

verg

enza d

ello

scatt

ering W

W�

WW

, che r

imaneva d

iverg

ente

(anche s

e in m

anie

ra m

en

o

severa

de

gli

altri p

rocessi d

iscussi sopra

).

Ma p

erc

hé

insis

tere

con la g

auge locale

?

Sia

i f

oto

ni ch

e i g

luo

ni h

an

no

ma

ssa

nu

lla,

e q

ue

sto

si sp

osa

be

ne

co

n la

str

utt

ura

de

lle

risp

ett

ive

la

gra

ng

ian

e c

on

inva

ria

nza

di g

au

ge

.

Pe

r le

in

tera

zio

ni d

eb

oli,

ch

e r

ichie

do

no

bo

so

ni ve

tto

ri d

i m

assa

O(1

00

Ge

V),

qu

esto

èin

ve

ce

u

n p

rob

lem

a.

Ma

pe

rch

én

on

dim

en

tica

rsi d

ell’

invari

an

za

lo

cale

e a

gg

iun

gere

a L

te

rmin

i di

ma

ssa

?

Se

si fa

qu

esto

, si finis

ce

in

un

a t

eo

ria

se

nza

se

ns

o,

pe

rch

éo

gn

i q

ua

ntità

ca

lcola

bile

da

essa

co

nte

rrà

div

erg

en

ze

no

n r

ino

rma

lizza

bili

.

Ese

mp

io:

ne

llo s

ca

tte

rin

g f

ra d

ue

ele

ttro

ni

si h

an

no

dia

gra

mm

i co

me

qu

ello

a f

ian

co

.

Essi co

ntr

ibu

iscon

o a

ll’a

mpie

zza

co

n

inte

gra

li d

el tip

o

Me

ntr

e in

QE

D la

fo

rma

1/q

2d

el p

rop

ag

ato

re d

ei d

ue

fo

ton

i sca

mb

iati r

en

de

fin

ito

l’in

teg

rale

,

pe

r b

oso

ni m

assiv

i il

risulta

to d

ive

rge

, d

ata

la

co

sta

nza

de

l p

rop

ag

ato

re a

q2 g

ran

de

:

Se

po

i si re

go

lari

zza

l’in

teg

rale

in

tro

du

ce

nd

o u

n c

ut-

off

, si sco

pre

ch

e a

ltri

dia

gra

mm

i co

n p

iù

�)

(4

ipropagator

qd

22

22

2

/2

Mq

qiq

Mq

Mq

qg

iq

νµ

νµ

µν

→

−

+−

∞→

ZZ

q

e e

Rottura

sponta

nea d

i una s

imm

etr

ia d

iscre

ta

Co

nsid

eri

am

o la

la

gra

ng

ian

a

λ>

0, essa

possie

de

un

a s

imm

etr

ia d

iscre

ta r

isp

etto

all’

op

era

zio

ne

di

rifle

ssio

ne

φ �

-φ.

Se

pre

nd

iam

o µ

2 >0

, L

descri

ve

un

a p

art

ice

lla a

sp

in 0

e m

assa

µ; il

term

ine

qu

art

ico

ne

l cam

po d

ètta l’a

uto

inte

razio

ne

de

l ca

mp

o c

on v

ert

ici

a 4

pa

rtic

elle

, co

n u

n a

uto

acco

pp

iam

en

to d

i in

tensità

λ.

Inve

ce, se

pre

nd

iam

o µ

2<

0, n

on

sa

pp

iam

o c

om

e in

terp

reta

re il

term

ine

φ2, p

erc

hé

la m

assa

de

lla p

art

ice

lla s

are

bb

e im

ma

gin

ari

a.

La

form

a d

el p

ote

nzia

le n

ei d

ue

ca

si

mostr

ata

a la

to. M

en

tre p

er

µ2 >

0 lo

sta

to φ

=0

èun

min

imo

, n

el caso

µ

2<

0

il m

inim

o d

el p

ote

nzia

le s

i h

a p

er

)41

21 ()

(21

42

22

λφ

φµ

φµ

+−

∂=

−=

VT

L

Po

ich

éin

fis

ica

de

lle p

art

ice

lle n

on

sia

mo

in

gra

do d

i ca

lco

lare

la

fis

ica

e

sa

tta

me

nte

, m

a d

ob

bia

mo r

icorr

ere

a e

sp

an

sio

ni pe

rtu

rba

tive

atto

rno

a

un

min

imo

de

l p

ote

nzia

le,

op

po

rtu

no o

pera

re u

na

tra

sla

zio

ne

del ca

mpo

attorn

o a

l m

inim

o:

Si o

ttie

ne

allo

ra u

na

nu

ova

fo

rma

per

L (

ch

e d

escri

ve

la

ste

ssa

fis

ica

!):

Qu

esta

la

gra

ng

ian

a h

a u

n te

rmin

e d

i m

assa

de

l se

gno

corr

etto

pe

rla

flu

ttu

azio

ne

η(x

), m

en

tre

i te

rmin

i d

i o

rdin

e s

up

eri

ore

in

η

rapp

rese

nta

no

le

au

toin

tera

zio

ni d

el cam

po

.

La

ma

ssa

de

l cam

po

sca

lare

èri

ca

va

bile

da

l te

rmin

e q

ua

dra

tico

:

Ab

bia

mo

qu

ind

i sco

pert

o c

he

ne

l caso

µ2<

0L e

L’ra

pp

resen

tano

in

effe

tti un

ca

mp

o s

ca

lare

ma

ssiv

o. In

te

ori

a d

elle

pert

urb

azio

ni L

’fo

rnis

ce

ris

ulta

ti s

ensati, m

en

tre

L n

o, pe

rch

ée

sp

ansio

ni p

ert

urb

ative

)(

v)

(x

xη

φ+

=

43

22

2

41v

v)

(21

'λ

ηη

λη

λη µ

−−

−∂

=L

22

2v

2µ

λη

−=

=m

Alc

une c

onsid

era

zio

ni sulla

“ro

ttura

”di sim

metr

ia

La

tra

sla

zio

ne

op

era

ta n

el ca

mp

o,

ch

e t

rasfo

rma

L in

L’, r

en

de

na

sco

sta

la s

imm

etr

ia:

into

rno

al p

un

to d

i m

inim

a e

ne

rgia

L’n

on

èp

iùin

va

ria

nte

pe

r tr

asfo

rma

zio

ni

φ�-φ

.

la p

rese

nza

di u

na

de

ge

ne

razio

ne

ne

llo s

tato

di vu

oto

ch

e r

en

de

arb

itra

ria

la

sce

lta

di

esso

, e

di co

nse

gu

en

za

na

sco

nde

la

sim

me

tria

ori

gin

ale

di L

.

Tu

tta

via

pe

r va

lori

gra

nd

i d

ell’

en

erg

ia(r

isp

ett

o a

lla m

assa

de

l ca

mp

o),

la

te

ori

a r

ito

rna

ad

a

ve

re la

su

a s

imm

etr

ia p

er

rifle

ssio

ne

: in

qu

el ca

so,

la m

assa

de

lla f

lutt

ua

zio

ne

qu

an

tistica

(x

) n

on

èp

iùri

leva

nte

pe

r d

ete

rmin

are

la

fis

ica

, e

la

sim

me

tria

rito

rna

ad

esse

re

ap

pa

ren

te.

Vi so

no

in

na

tura

div

ers

i sis

tem

ich

e m

an

ife

sta

no

lo

ste

sso

me

cca

nis

mo

. S

on

o t

utt

i e

se

mp

i d

ella

ste

ssa

situ

azio

ne

: ca

si in

cui è

en

erg

etica

me

nte

fa

vo

revo

le p

er

lo s

tato

fo

nd

am

en

tale

a

ve

re u

n v

alo

re n

on

nu

llo d

i u

n c

am

po

.

Co

nsid

eri

am

o V

(φ)

=

½µ

2φ2

+ ¼

λφ4

:

i d

ue

min

imi d

eg

en

eri

si tr

ova

no

a V

<0

. C

on

a

ggiu

nta

di u

na

co

sta

nte

(ch

e n

on

ca

mb

ia l’e

qu

azio

ne

de

i ca

mpi!)

si p

uò

ris

cri

ve

re V

in

m

od

o c

he

il vu

oto

si tr

ovi a

V’=

0:

V’(

φ) =

¼µ µµµ

4 444/λ /λ/λ/λ

+ ½

µ2φ2 +

¼λ

φ4=

¼λ

(φ2 +

µ2 /

λ)2

.

Da

i d

ati s

ull’

esp

an

sio

ne

dell’

un

ivers

o,

l’en

erg

ia d

el vu

oto

èsì

ne

ga

tiva

, m

a e

str

em

am

en

te

pic

co

la r

isp

ett

o a

l valo

re in

dic

ato

da

V,

ch

e p

er

λ=

1, µ

=1

Ge

V v

ale

10

41

Ge

V/c

m3

(da

co

nfr

on

tare

co

n 1

0-6

Ge

V/c

m3

ch

e e

’l’e

ne

rgia

me

dia

de

ll’u

niv

ers

o).

Sim

me

trie

esa

tte

, n

asco

ste

, e

ro

tte

A s

econda d

ella

din

am

ica d

ella

teoria,

le s

imm

etr

ie d

ella

fu

nzio

ne L

posso

no

manifesta

rsi in

molti m

odi d

ive

rsi.

Un

a s

imm

etr

ia d

i L

rim

an

e u

na

sim

me

tia

de

lla f

isic

ach

e n

e h

a o

rig

ine

. E

se

mp

i so

no

S

U(3

) d

i co

lore

o U

(1)

ele

ttro

ma

gn

etica

La

sim

me

tria

di L

èso

lo a

pp

are

nte

, p

erc

hé

in r

ea

ltà

essa

ha

un

’an

om

alia

. U

(1)

assia

le è

un

ese

mp

io n

ello

SM

. U

n’a

no

ma

lia a

vvie

ne

qu

an

do

un

a s

imm

etr

ia d

elll

’azio

ne n

on

èu

na

ve

ra s

imm

etr

ia d

ella

te

ori

a q

ua

ntistica

co

rris

po

nd

en

te.

No

n c

e n

e o

ccu

pia

mo

in

qu

esto

co

rso

(a

pa

rte

un

acce

nn

o n

ell’

intr

od

uzio

ne

al to

p q

ua

rk).

La

sim

me

tria

di L

pu

ò e

sse

re r

ott

a e

sp

licita

me

nte

da

te

rmin

i n

on

in

va

ria

nti.

Un

ese

mp

io è

la s

imm

etr

ia d

i Is

osp

in S

U(2

) tr

a u

e d

, ch

e è

rott

a d

all’

ele

ttro

ma

gn

etism

o e

da

lla

diffe

ren

za

di m

assa

de

i d

ue

qu

ark

s.

E’u

na

sim

me

tria

ap

pro

ssim

ativa

.

La

sim

me

tria

di L

pu

ò in

fin

e e

sse

re n

asco

sta

, o

vve

ro l’o

pe

razio

ne

pu

ò la

scia

re L

in

va

ria

nte

ma

mo

dific

are

lo

sta

to f

on

da

me

nta

le.

In q

ue

sto

ca

so

no

n è

ap

pa

ren

te la

sim

me

tria

ne

llo s

pe

ttro

de

gli

sta

ti f

isic

i. C

i so

no

du

e m

od

i in

cu

i q

ue

sto

pu

ò a

cca

de

re:

•U

no o

più

cam

pi scala

ri a

cquis

tano v

alo

ri d

ivers

i da z

ero

nel vuoto

: si tr

atta d

i ro

ttura

sponta

nea

di sim

metr

ia,

il cui esem

pio

più

lam

pante

èS

U(2

) Lro

tta d

al cam

po d

i H

iggs n

elle

inte

razio

ni

deboli

Il teore

ma d

i G

old

sto

ne

Consid

eri

am

o o

ra u

n c

am

po s

cala

re c

om

ple

sso

e d

unq

ue la f

orm

a

in q

uesto

caso invari

ante

per

una t

rasfo

rmazio

ne d

i fa

se g

lob

ale

φ�

eiα

φ :

possie

de u

na s

imm

etr

ia p

er

trasfo

rmazio

ni U

(1)

e la f

isic

a n

on d

ipend

e d

a α

.

Pre

ndia

mo λ

>0

, µ

2<

0 e

d e

splic

itia

mo la d

ipe

ndenza d

i L d

alle

com

po

nenti r

eale

e

imm

agin

ari

a d

i φ:

Si vede c

he in q

uesta

form

ula

zio

ne il pote

nzia

le V

(φ)

ha u

n m

inim

o p

er

tutt

i i

valo

ri d

el cam

po t

ali

che φ

12+

φ 22

= v

2 =

-µ

2/λ

.

Questa

volta a

bbia

mo u

n’in

fin

ità

continu

a d

i m

inim

i p

er

V,

org

aniz

zati in u

na

circonfe

renza d

i ra

gg

io v

att

orn

o a

φ=

0.

Co

me n

el caso s

cala

re r

eale

, ci tr

ovia

mo

nella

necessità

di sceglie

re u

n v

alo

re d

el m

inim

o a

ttorn

o a

l q

uale

opera

re i c

alc

oli

)(

212

1φ

φφ

i+

= 2*

*2

*)

()

()

(φ

φλ

φφ

µφ

φµ

µ−

−∂

∂=L

2 )+

(−

+−

∂+

∂=

2

2

2

1

2

2

2

1

22

2

2

141

)(

21)

(21

)(

21φ

φλ

φφ

µφ

φµ

µL

Sce

glia

mo

esp

ansio

ni in

torn

o a

l vu

oto

φ1=

v,

φ 2=

0 s

cri

ve

nd

o

φ(x)

= [v+

η (

x)+

iξ (

x)]

/2½

e s

ostitu

iam

o l’e

sp

ressio

ne in

L. O

tten

iam

o u

na

nu

ova

form

a L

’:

ove

si so

no

espre

ssi in

form

a c

oncis

a i c

oe

ffic

ien

ti n

ei te

rmin

id

i a

uto

inte

razio

ne

de

i ca

mp

i.

Esp

ressa

con ξ

e η

L’p

ossie

de

du

e term

ini cin

etici m

a u

n term

ine

di m

assa

so

lo p

er

η:

Il c

am

po

ξta

ng

enzia

le a

lla c

irco

nfe

renza

di m

inim

o p

ote

nzia

le n

on in

corr

e in

re

sis

ten

za

dal p

ote

nzia

le p

er

pic

co

le o

scill

azio

ni in

torn

o a

l m

inim

o (

v,0

), e

ri

ma

ne

a m

assa

nu

lla. E

’la

pre

se

nza

di u

na

de

gen

era

zio

ne

de

llo s

tato

di

vu

oto

a m

ante

nere

nu

lla la

su

a m

assa

.

La

ro

ttura

de

lla s

imm

etr

ia d

i L

ha

app

are

nte

me

nte

avuto

un

effe

tto

ne

fasto

,

)(

)(

)(

)(

)(

)(

21)

(21

'2

24

42

32

22

2ξ

ηξ

ηη

ξη

ηµ

ηξ

µµ

++

++

++

+∂

+∂

=c

L

22

µη

−=

m

Il c

aso c

onsid

era

to è

solo

un c

aso p

art

ico

lare

di un t

eore

ma g

enera

le,

il te

ore

ma d

i G

old

sto

ne:

la r

ott

ura

sponta

nea d

i una s

imm

etr

ia c

ontinua

genera

boso

ni scala

ri a

massa n

ulla

.

�E

serc

izio

pe

r casa n

°2:

dim

ostr

are

che la lagra

ngia

na p

er

tre

cam

pi scala

ri inte

rage

nti

descrive u

n c

am

po s

cala

re m

assiv

o e

du

e c

am

pi scala

ri a

massa

nulla

.

(Hin

t: t

rovare

l’e

spre

ssio

ne d

el m

inim

o d

el po

ten

zia

le,

e

sceglie

re o

ppo

rtuna

mente

il valo

re d

el ca

mp

o n

ei

din

torn

i del vu

oto

.)

Quanto

vis

to s

em

bra

im

plic

are

che la s

trada

che s

tiam

o investigan

do p

er

dota

re la n

ostr

a t

eoria e

lett

rodebo

le d

i b

oso

ni m

assiv

i è

de

stinata

a

falli

re,

in q

uanto

oltre

ai boso

ni m

assiv

i si g

enera

no c

am

pi scala

ri a

m

assa n

ulla

ch

e n

on s

i osserv

ano in n

atu

ra:

non e

sis

tono p

art

icelle

scala

ri a

m=

0!

Tuttavia

, vedre

mo c

he s

ucced

e q

ualc

osa d

i d

ivers

o q

uand

o s

i applic

a il

meccanis

mo d

i G

old

sto

ne a

lla lagra

ngia

na S

U(2

)xU

(1)

del m

odello

22

)(

221

ii

ii

ii

mL

φφ

λφ

φφ

φµ

µ−

−∂

∂=

Il m

eccanis

mo d

i H

iggs

Il m

od

ello

di G

old

sto

ne

ora

vis

to s

i p

uò

do

tare

de

ll’in

tera

zio

ne

ele

ttro

mag

ne

tica

te

ne

ndo

pre

se

nte

il p

rincip

io d

i g

auge

e p

assa

nd

o a

sim

metr

ia U

(1)

loca

le:

Pre

nde

nd

o lo

sta

to d

i vu

oto

in

(v,0

) e

sce

glie

nd

o l’e

spa

nsio

ne

la la

gra

ng

iana

div

en

ta

un

a d

iffico

ltà

risp

etto

a p

rim

a: il

ca

mp

o s

ca

lare

ηh

a o

ra m

assa

2)1

/2,

ξ è

rim

asto

a m

assa

nu

lla, e

il ca

mp

o d

i ga

ug

e A

µh

a m

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q

uesto

corr

isp

on

de

a u

n g

rad

o d

i lib

ert

àin

più

risp

etto

alla

la

gra

ng

ian

a d

i p

art

en

za

!

Il g

rad

o d

i lib

ert

àin

più

èpe

rò fittizio

. Il c

am

po ξ

èin

effe

tti irri

leva

nte

µν

νµ

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µµ

µµ

φφ

λφ

φµ

φφ A

AF

FF

iqA

iqA

L

∂−

∂=

−−

−+

∂−

∂=

∗∗

2

41)

()

()

(2

*

)(

)(

2

1

x

xv

ξφ

ηφ

=

+=

...

41

21)

)((

21)

)((

212

22

2+

−∂

−+� ��

� ��∂

∂+� ��

� ��−

∂∂

=v

vF

FqvA

AA

vq

vµ

µµ

µµ

µµ

µµ

µξ

ξξ

ηλ

ηη

Scri

via

mo

allo

ra il ca

mpo

ne

lla fo

rma

mo

du

lo*e

xp(f

ase

):

Se

ora

ap

plic

hia

mo

al ca

mp

o u

na

gau

ge lo

ca

le U

(1)

ab

bia

mo

Da

ciò

seg

ue

ch

e le

flu

ttu

azio

ni H

’e

θ’de

vo

no

tra

sfo

rmare

co

me

:

qu

ind

i ch

iaro

che

sceg

lien

do

la

fa

se

θ

]/

)(

[)]

([

21)

(v

xie

xH

vx

θφ

+=

]/

)(

[)]

([

]/

)('

[

)](

[

)](

[)]

('[

)(

)('

vx

ix

iqv

xi

xiq

ex

Hv

ee

xH

v

xe

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θθ

φφ

+=

+

=Λ

Λ

)(

)(

)('

)(

)('

xqv

xx

xH

xH

Λ+

== θθ

)(

1)

(x

qv

xθ

−=

Λ

Il c

he

sig

nific

a c

he

dob

bia

mo

avere

NB

: nel caso d

el cam

po s

cala

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om

ple

sso

con L

invariante

per

U(1

) g

lob

ale

eiα, nessuna

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ella

fase c

osta

nte

α p

uò c

ancella

re

Il c

am

po ξ

(x),

qui in

vece la s

imm

etr

ia p

er

fasi Λ

(x)

dip

endenti d

a x

ce lo p

erm

ette!

ch

iaro

ch

e i b

oson

i d

i G

old

sto

ne

so

no

“oscill

azio

ni”

ne

l p

ara

me

tro

ch

e d

istin

gue d

ive

rsi sta

ti d

i vu

oto

: la

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qΛ

(x).

Sceglie

nd

o la

ga

ug

e

un

ita

ria

ab

bia

mo

rim

osso

il g

rad

o d

i lib

ert

àn

on

vo

luto

.

Usa

nd

o le

reg

ole

di tr

asfo

rma

zio

ne

de

l ca

mp

o s

ca

lare

e d

el cam

po

di

ga

ug

e p

er

U(1

) lo

ca

le, co

n la

sce

lta

de

lla fase

vis

ta s

op

ra:

po

ssia

mo a

llora

ris

cri

ve

re la

la

gra

ng

iana:

Co

me

pro

messo

, L

no

n c

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tie

ne

tra

ccia

de

lla fa

se

θ(x

).

La

tra

sfo

rma

zio

ne

di L

in

un

a form

a c

he

esp

licita

il tr

asfe

rim

ento

di

gra

di d

i lib

ert

àa

ssocia

ti a

bo

so

ni d

i G

old

sto

ne

a c

om

po

ne

nti

)](

[21

)('

)(

1)

()

('

xH

vx

xqv

xA

xA

+=

∂+

=

φ

θµ

µµ

44

32

22

22

22

2

41

41

41

21

21]

)(

21 [

vF

FH

vHH

AvA

q

HA

Aq

AA

vq

Hv

HL

v

vλ

λλ

λ

µµ

µµ

µµ

µµ

µ

+−

−−

+

++

+−

∂=

Tra

sfo

rmazio

ni S

U(2

) e Y

ang

-Mill

sP

er

intr

od

urr

e il m

od

ello

sta

nd

ard

co

nvie

ne

pre

nd

ere

in

co

nsid

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zio

ne

du

e c

am

pi d

i D

ira

c

ch

e t

rasfo

rmin

o c

om

e u

n d

op

pie

tto

pe

r u

na

sim

me

tria

in

tern

a S

U(2

) d

i is

ospin

.

Ric

hie

dia

mo

ch

e la

la

gra

ng

ian

a s

ia in

va

ria

nte

pe

r tr

asfo

rma

zio

ni S

U(2

) lo

ca

li in

finite

sim

e:

I g

en

era

tori

di S

U(2

) n

on

co

mm

uta

no

(il

gru

pp

o n

on

èa

be

lian

o):

In a

na

log

ia c

on

la

QE

D p

ossia

mo r

ich

ied

ere

la

ga

ug

e in

va

ria

nza

lo

ca

le u

sa

nd

o d

eri

va

te

co

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ria

nti:

I ca

mp

i W

de

vo

no

tra

sfo

rma

re c

om

e s

eg

ue

:

Il t

erm

ine

cin

etico

de

i ca

mp

i co

ntie

ne

ora

un

’au

toin

tera

zio

ne

de

i W

, in

qu

an

to

2]

2,

2[

kijk

ji

iτ

ετ

τ=

ψγ

ψµ

µ)

(m

iL

−∂

=

ψτ

ψψ

ψτ

]2/

1['

2/

⋅Λ

+=

=→

⋅Λ

igeig

)(

21

ψψψ

=

jjW

igµ

µµ

τ 2+

∂=

�

µµ

µµ

Wg

gW

W∧

Λ+

Λ∂

+→

1

WgW

WW

W∧

−∂

−∂

=

Il m

eccanis

mo d

i H

iggs in S

U(2

)

Pre

ndia

mo o

ra in c

onsid

era

zio

ne la r

ott

ura

sponta

nea d

ella

sim

metr

ia loca

le d

i gaug

e d

el gru

ppo S

U(2

) L.

Questo

gru

ppo n

on

èscelto a

caso,

ma è

il punto

di arr

ivo

indag

ine d

i G

lasho

w,

Sala

m e

Wein

berg

per

inseri

re in u

na t

eori

adi g

auge i

boson

i vett

ori m

assiv

i W

. Il f

oto

ne a

rriv

erà

inclu

de

ndo U

(1).

..

Si part

e d

a u

na

lagra

ngia

na c

he d

escrive u

n d

opp

iett

o d

i ca

mpi scala

ri:

4 g

radi di

à.

Ci serv

ono 3

di essi p

er

dota

re i b

osoni vett

ori d

ella

teoria G

SW

di m

assa…

Scrivia

mo i c

am

pi com

e s

eg

ue:

Sott

o u

na t

rasfo

rmazio

ne S

U(2

) glo

bale

dei cam

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chia

ram

ente

invari

ante

. P

er

renderl

a localm

ente

invari

ante

intr

oducia

mo u

n

para

metr

o d

i g

auge Λ

(x)

e r

impia

zzia

mo la

derivata

co

n u

na c

ovari

ante

:

un t

riple

tto d

i cam

pi di g

auge

e p

er

rota

zio

ni in

finitesim

e d

i S

U(2

)

2†

†2

†)

()

()

(φ

φλ

φφ

µφ

φµ

µ−

−∂

∂=L

)(

)(

43

21

21

φφ

φφ

φφφ

ii

ba

++=

=

φφ

φτ

)2

(

'j

ji

e

Λ

=→

jjW

igµ

µµ

τ 2+

∂=

�

)(

]2

/)

(1[

)('

)(

xx

xx

φτ

φφ

⋅Λ

+=

→

intr

od

uzio

ne

de

lla d

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va

ta c

ova

ria

nte

, la

la

gra

ng

ian

a d

ive

nta

ultim

o t

erm

ine

ra

pp

rese

nta

l’e

nerg

ia c

ine

tica

de

i ca

mp

i d

i g

au

ge

,

pro

do

tto

de

i tr

e t

en

so

ri W

µν:

Se

ora

po

nia

mo

co

me

al so

lito

λ>

0,

µ2<

0,

il p

ote

nzia

le

ha

un

min

imo

in

Sce

glia

mo

ora

φ3

2=

v2,

“na

sco

nd

en

do

”la

sim

me

tria

SU

(2)

ne

llo s

tato

di vu

oto

. P

ossia

mo

allo

ra

esp

an

de

re il ca

mp

o n

ell’

into

rno

de

l vu

oto

sce

lto

,

sce

glie

nd

o u

na

fa

se

ta

le c

he

Il m

ecca

nis

mo

èlo

ste

sso

di q

uello

vis

to n

el ca

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U(1

): p

ossia

mo

sce

glie

re la

dir

ezio

ne

de

gli

assi d

i is

ospin

in

og

ni p

un

to x

de

llo s

pa

zio

-te

mp

o p

er

alli

ne

are

φ(x

) lu

ng

o la

dir

ezio

ne s

ce

lta

, e

ffe

ttu

an

do

un

a r

ota

zio

ne

SU

(2)

div

ers

a a

se

co

nd

a d

i x.

Il c

am

po

, scri

tto

ne

lla f

orm

a

esp

on

en

zia

le *

fa

se

”, p

uò

esse

re r

ido

tto

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glie

ndo

la

ga

ug

e,

co

me

vis

to p

rim

a.

Inse

ren

do

ne

lla la

gra

gia

na

l’e

sp

an

sio

ne

diφ

into

rno

al vu

oto

, tr

ovia

mo

µν

µν

µµ

µµ

φφ

τφ

φτ

φW

WV

Wig

Wig

L41

)(

)2

()

2(

†−

−⋅

+∂

⋅+

∂=

2†

†2

)(

)(

φφ

λφ

φµ

φ−

=V

2)

(21

))(

(2

2

4

2

3

2

2

2

1

**

**

†v

bb

aa

ba

ba

=+

++

=+

==

φφ

φφ

φφ

φφ

φφφ

φφ

φ

...

])

()

()

[(]

)(

1 [2

32

22

12

22

22

++

++

−∂

=µ

µµ

µλ

WW

Wv

gH

vH

L

νµ

µν

νµ

µν

WgW

WW

W∧

−∂

−∂

=

)(

)(

0

21)

(x

Hv

x+

=φ

NB

vedi pro

ssim

a s

lide

Sulla

gene

ralit

àdella

scelta d

el

vuoto

Lo s

vilu

ppo n

ell’

into

rno d

el vu

oto

si può e

ffett

uare

con i q

uatt

ro c

am

pi re

ali

θ1,

θ 2,θ

3,h a

ttra

vers

o la f

orm

ula

zio

ne

Questo

èperf

ett

am

ente

genera

le in q

uanto

, per

pic

co

le p

ert

urb

azio

ni,

)(0

210

v=

φ

vx

i

xh

vx

e/

)(

)(

0

21)

()

(θ

τφ

⋅

+=

�

+

=+

�� �� ��

−+

−+

=3

21

21

3

) )(

0(

/1

/)

(

/)

(/

1

21)

(

θθ

θθ

θ

θθ

θφ

i

xh

vv

iv

ii

vi

iv

ix

Un r

ichia

mo: l’i

perc

arica d

ebole

Se

si scrivo

no

le

co

rre

nti d

eb

oli

ca

rich

e

co

n le

ma

tric

i d

i P

au

li o

pe

ran

ti s

u d

op

pie

tti d

i fe

rmio

ni le

ft-h

an

de

d,

si h

an

no

co

rre

nti c

ha

rge

-ra

isin

g e

ch

arg

e-l

ow

eri

ng

:

sa

reb

be

utile

po

ter

esp

rim

ere

le

in

tera

zio

ni d

eb

oli

co

me

in

va

rian

ti s

ott

o r

ota

zio

ni di is

ospin

d

eb

ole

SU

(2) L

, m

a c

i se

rve

un

a t

erz

a c

orr

en

te d

i is

ospin

asso

cia

ta a

τ3:

Qu

esta

pu

rtro

pp

o n

on

pu

o’e

sse

re a

sso

cia

ta a

un

a c

orr

en

te d

eb

ole

ne

utr

a,

pe

rch

ési

acco

ppia

so

lo a

sta

ti le

ft-h

an

de

d,

me

ntr

e le

co

rre

nti d

eb

oli

ne

utr

e h

an

no

un

a c

om

po

ne

nte

h

an

de

d.

Si ri

solv

e il p

rob

lem

a in

tro

du

ce

nd

o Q

=I 3

+Y

/2,

ove

ora

la

co

rre

nte

e.m

. è

la s

om

ma

de

lla t

erz

a

co

mp

on

en

te d

i is

osp

in d

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ole

e d

ella

co

rre

nte

di ip

erc

ari

ca

de

bole

. Q

ue

st’u

ltim

a s

i acco

ppia

sia

ai d

op

pie

tti le

ft c

he

ai sin

gole

tti ri

gh

t-h

an

de

d.

LL

LL

LL

ee

jµ

µµ

µγ

νγ

νχ

τγ

χ21

21

213

3−

==

LL

jχ

τγ

χµ

µ±

±=

LL

LL

ej

ej

νγγ

ν

µµ

µµ

==

−+

Y

LL

RR

emj

je

ee

ej

µµ

µµ

µγ

γ21

3+

=−

−=

L

e

Lev��

�� ��=

χ

Con Y

, si cre

a u

n

link f

ra c

orr

ente

em

e c

orr

enti d

ebo

li!

La lag

rangia

na d

el M

odello

Sta

ndard

Il p

asso f

inale

per

scrivere

un

a lagra

ngia

na d

elle

inte

razio

ni ele

ttro

de

boli

con t

re

boson

i vett

ori m

assiv

i e u

n f

oto

ne a

massa n

ulla

consis

te n

el consid

era

re il

gru

pp

o S

U(2

) LxU

(1) Y

e r

ichie

dere

l’in

vari

anza d

i gau

ge loca

le ind

ipe

nde

nte

mente

ai due s

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ogru

ppi.

Per

cam

pi fe

rmio

nic

i L s

i scrive a

llora

In q

uesta

form

ula

zio

ne t

utt

i i cam

pi ha

nno a

ncora

massa n

ulla

. T

erm

ini di m

assa

per

i fe

rmio

ni ro

mpon

o a

nch

’essi l’i

nvari

anza d

i gau

ge d

i S

U(2

) L.

Aggiu

nge

ndo a

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erm

ini re

lativi a u

n d

op

pie

tto d

i scala

ri c

om

ple

ssi in

form

a d

i dopp

iett

o d

i is

ospin

de

bole

co

n iperc

ari

ca Y

=+

1,

con la d

eri

vata

covaria

nte

e s

ceglie

nd

o il vuoto

e la s

ua e

spansio

ne c

om

e a

l solit

o,

trovia

mo c

he la

lagra

ngia

na d

ei cam

pi b

oson

ici contie

ne o

ra i t

erm

ini...

]2

'[

]2

'[

+−

∂+

−⋅

−∂

=R

RL

LYB

gi

YB

gW

gI

iL

ψγ

ψψ

γψ

µµ

µµ

µµ

µ

])

2/'

([

µµ

µµ

YB

gW

gI

i−

⋅−

∂=

�

)(

)(

43

21

021

φφ

φφ

φφφ

ii

++=

=+

)(

)(

0

21)

(x

Hv

x+

=φ

2†

†2

†)

()

()

(φ

φλ

φφ

µφ

φµ

µ−

−=

��

L

I cam

pi W

3e B

sono m

escola

ti d

alla

scelta d

ella

gaug

e u

nitaria.

Possia

mo

dis

acco

ppia

rli con la c

om

bin

azio

ne lin

eare

dove a

bbia

mo a

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efinito t

an(θ

W)=

g’/g.

Con q

uesta

sostitu

zio

ne s

i tr

ova

(s

em

pre

tra

scu

rando i t

erm

ini di in

tera

zio

ne):

WW

WW

WB

Z

WB

A

θθ

θθ

µµ

µ

µµ

µ

cos

sin

sin

cos

3

3

+−

=

+=

...

))(

(

)'

(8

))(

(

)(

8)

)((

)(

8)

)((

)(

21

22

2

22

22

22

22

21

22

11

11

22

2

+∂

−∂

∂−

∂

++

+∂

−∂

∂−

∂

++

∂−

∂∂

−∂

++

∂−

∂∂

−∂

+−

∂

µν

νµ

µν

νµ

µµ

µν

νµ

µν

νµ

µµ

νν

µµ

νν

µ

µµ

νν

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νν

µ

µλ

AA

AA

ZZ

gg

vZ

ZZ

Z

Wv

gW

WW

W

Wv

gW

WW

W

Hv

H

iniz

io a

ve

va

mo

8 g

rad

i d

i lib

ert

àd

ai b

oso

ni ve

tto

ri e

4 d

al d

op

pie

tto

sca

lare

di h

igg

s.

Ora

ab

bia

mo

tre

bo

so

ni m

assiv

i (3

x3

=9

gra

di d

i lib

ert

à),

un

o m

assle

ss (

2 g

.l.)

e u

n b

oso

ne

scala

re d

i H

igg

s.I

co

nti t

orn

an

o!

La r

ott

ura

di

SU

(2)x

U(1

) h

a d

ato

vita p

recis

am

ente

allo

spett

ro c

he v

ole

vam

o:

un b

oso

ne s

cala

re

massiv

o,

due W

e u

na

Z m

assiv

i, e

un f

oto

ne

a m

assa n

ulla

.

Rela

zio

ni fr

a g

li accoppia

menti

Da

lle e

qu

azio

ni d

el m

esco

lam

ento

ch

e in

vert

ite

da

nn

o

si o

ttie

ne l’in

tera

zio

ne d

i co

rre

nte

ne

utr

a c

om

e

Scri

tta

così, s

i id

en

tifica

sub

ito

l’in

tera

zio

ne

ele

ttro

ma

gn

etica

, ch

e h

a

acco

pp

iam

ento

e, p

er

cu

i

Ino

ltre

, usa

ndo

la

re

lazio

ne fra

co

rren

ti

WW

WW

WB

Z

WB

A

θθ

θθ

µµ

µ

µµ

µ

cos

sin

sin

cos

3

3

+−

=

+=

WW

WW

ZA

B

ZA

W

θθ

θθ

µµ

µ

µµ

µ

sin

cos

cos

sin

3

−=

+=

µµ

µµ

µµ

µµ

µθ

θθ

θZ

jg

jgi

Aj

gj

gi

Bj

gW

Y

WW

Y

WW

Y)

2si

n'

cos

()

2co

s'

sin

()

2

'3

33

−−

+−

=+

eg

gW

W=

=θ

θco

s'

sin

32

2µ

µµ

jj

jem

Y−

=

Consid

era

zio

ni aggiu

ntive

Po

ssia

mo

tro

va

re u

na

sim

me

tria

re

sid

ua

de

l vu

oto

, d

escri

tta

da

un

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tto

gru

pp

o d

el g

rup

po

S

U(2

) LxU

(1) Y

? I

n t

al ca

so

il b

oson

e d

i g

au

ge

asso

cia

to r

ima

ne

a m

=0

, co

me

se

mp

re.

In e

ffe

tti se

ap

plic

hia

mo

Qa

llo s

tato

di vu

oto

tro

via

mo

Qφ φφφ 0

=(I

3+

Y/2

) φ φφφ 0

=0

pe

r cu

i il

vu

oto

ch

e

ab

bia

mo

scelto

èe

ffe

ttiv

am

en

te in

va

ria

nte

pe

r u

na

U(1

) lo

ca

le g

en

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ta d

a Q

:

De

i q

ua

ttro

ge

ne

rato

ri I

e Y

, so

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co

mb

ina

zio

ne

Qla

scia

il vu

oto

in

va

ria

nte

. Il f

att

o c

he

il

foto

ne

rim

an

ga

a m

assa

nu

lla n

on è

un

a p

revis

ion

e d

el m

od

ello

, m

a è

imp

licita

ne

lla s

ce

lta

di

un

o s

tato

di vu

oto

a c

ari

ca

nu

lla.

Usa

nd

o la

ma

ssa

MW

= ½

gv

, e

il va

lore

mis

ura

to d

ella

co

sta

nte

di F

erm

i e

de

lla c

osta

nte

di

str

utt

ura

fin

e,

tro

via

mo

:

00

)(

00

'φ

φφ

φ=

=→

Qx

iae

GeV

mm

GeV

m

Gm

ee

g

GeV

vvg

mG

mg

WW

ZW

W

WW

W

W

90

co

s/

,80

si

n 1

4/

,

sin

246

G)

2(

21

,

28

1/2

2

1/2

-

22

≅=

≅

� � ��

2=

=

=

==

=

=

θ

θ

παπ

αθ

La m

assa d

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rmio

ni

La lagra

ng

ian

a d

ei cam

pi d

i D

irac

non a

mm

ett

e t

erm

ini d

i m

assa s

e s

i vuole

mante

nere

l’in

va

rianza d

i gau

ge.

Per

cam

pi di D

irac i t

erm

ini di m

assa s

ono s

crivib

ili c

om

e

Se r

icord

iam

o le a

ssegn

azio

ni di is

ospin

e ip

erc

arica d

ebo

le:

vedia

mo c

he il dopp

iett

o s

cala

re s

celto p

er

descrivere

il cam

po d

i H

iggs h

a p

ropri

o i v

alo

ri “

giu

sti”

per

accopp

iare

ferm

ioni le

ft e

rig

ht:

...

]2

'[

]2

'[

+−

∂+

−⋅

−∂

=R

RL

LYB

gi

YB

gW

gI

iψ

γψ

ψγ

ψµ

µµ

µµ

µµ

)(

)]1(

21)

1(21 [

55

RL

LR

ee

ee

mm

ψψ

ψψ

ψγ

γψ

ψψ

+−

=+

+−

−=

20

0

12

/1

2/1

12

/1

2/1

3

−−−

−+

RLe

ee

YI

I

ν

H(I

= ½

,Y=

1)

eR(I

=0,Y

=-2

)e

L(I

= ½

,Y=

-1)

mescola

dopp

iett

i

e s

ingo

lett

i

Sceglie

nd

o il vuoto

e le s

ue f

lutt

uazio

ni com

e a

l solit

o,

la la

gra

ng

ian

a v

ien

e a

conte

nere

term

ini de

l tipo

èfa

cile

ide

ntificare

con la m

assa d

ell’

ele

ttro

ne il te

rmin

e

In L

notiam

o a

nche il te

rmin

e d

i accop

pia

me

nto

di H

al cam

po f

erm

ion

ico:

esso

pro

porz

ion

ale

alla

massa d

el fe

rmio

ne.

Questo

fatt

o è

import

ante

per

capire la f

eno

menolo

gia

del boson

e d

i H

igg

s (

lo

vedre

mo p

iùa

vanti).

Va n

ota

to c

he il m

eccanis

mo d

i H

iggs,

che c

i è

serv

ito a

dota

re d

i m

assa i

boson

i vett

ori W

e Z

–ottenendo u

na t

eoria r

inorm

aliz

za

bile

e c

oere

nte

–ci

regala

”auto

maticam

ente

term

ini di m

assa a

nche p

er

i fe

rmio

ni. A

ssie

me

a

questi a

bbia

mo

dovuto

com

pra

re a

nch

e i t

erm

ini di accopp

iam

ento

,che in

fatt

i sono p

roporz

ionali

a m

(m

=0 �

zero

accopp

iam

ento

)

he

ee

eg

ee

ee

vg

LR

RL

eL

RR

Le

)(

2)

(2

+−

+−

ehevm

eem

Lv

gm

ee

me

e−

−=

=

2

Masse e

accoppia

menti

Qu

an

to v

isto

so

pra

per

i le

pto

ni ca

rich

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uò

este

nd

ere

ai q

uark

s e

le

ma

sse d

i qu

esti d

ipen

don

o a

nch

’esse d

al va

lore

di v e

da

costa

nti

inco

gn

ite

g.

In term

ini d

el v.e

.v. d

el cam

po

di H

igg

s, svilu

pp

an

do

il te

rmin

eq

ua

dra

tico

neg

li sp

ino

ri le

ma

sse d

ei fe

rmio

ni si scri

vo

no

m

f =

2-½

gfv

.

I va

lori

de

gli

“acco

pp

iam

enti d

i Y

uka

wa”

gfd

ell’

Hig

gs a

i fe

rmio

ni

co

pro

no

un

va

sto

ra

nge

di va

lori

:

Il M

od

ello

Sta

nd

ard

no

n s

olo

no

n p

red

ice il va

lore

de

i p

ara

metr

ig,

ma

no

n n

e s

pie

ga

l’a

mp

io r

an

ge

.

Ino

ltre

, la

quasi e

sa

tta

co

incid

enza

di g

tco

n 1

èu

n’o

sserv

azio

ne

di

gra

nd

e in

tere

sse

…

24

6

24

5

35

10

110

610

3

10

310

810

4

110

910

2

−−

−

−−

−

−−

×=

×=

×=

×=

×=

×=

=×

=×

=

τµ

gg

g

gg

g

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g

e

bs

d

tc

u

Eserc

izio

per

casa n

°4

Part

endo d

alla

part

e d

i in

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zio

ne n

el te

rmin

e c

inetico d

el cam

po s

cala

re e

spre

sso

per

mezzo d

ella

derivata

cova

riante

SU

(2)x

U(1

):

sostitu

ire il ca

mpo s

cala

re n

ell’

into

rno d

el vuoto

,

arr

ivan

do a

d e

sprim

ere

i t

erm

ini di m

assa e

di in

tera

zio

ne p

er

mezzo d

eg

li sta

ti

ruota

ti r

ela

tivi a

i boson

i fisic

i W

+,W

- ,Z

, e o

ttenere

i t

erm

ini d

i m

assa e

acco

ppia

menti

del W

,Z,

e f

oto

ne.

Com

menta

re s

ulle

inte

nsità

rela

tive e

la p

resenza o

asse

nza d

i te

rmin

i re

lativi agli

accopp

iam

enti f

ra q

ueste

part

icelle

, e le im

plic

azio

ni.

Ric

ord

and

o c

he le larg

hezze s

ono p

roporz

ionali

al qua

dra

to d

egli

accop

pia

menti a

l vert

ice,

usare

i v

alo

ri o

tten

uti p

er

pre

ved

ere

il ra

pport

o f

ra le larg

hezze d

i decad

imento

(Hin

t: il te

rmin

e d

a s

vilu

ppare

è

)(

)(

0

21)

(x

Hv

x+

=φ]

)2

/'(

[µ

µµ

µYB

gW

gI

i−

⋅−

∂=

�

)(

)(

ZZ

H

WW

H

→Γ

→Γ

2

)(

0

21)

2

'

2(

�� �� ��

+−

⋅−

xH

vB

gW

gµ

µτ

Una r

ivis

itazio

ne d

elle

div

erg

enze

Il m

eccan

ism

o d

i H

igg

s è

un

me

tod

o e

leg

an

te p

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intr

od

urr

e b

oson

i m

assiv

i n

ella

te

ori

a, m

a n

on

sare

bb

e o

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liga

tori

o s

e n

on

fo

sse

per

la r

inorm

aliz

za

bili

tàd

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te

ori

a

Ab

bia

mo

già

no

tato

co

me i p

roce

ssi d

i sca

tte

rin

g d

i ne

utr

ino

su

e

lettro

ne

sia

no

div

erg

en

ti s

e n

on s

i in

clu

de

lo

scam

bio

di u

n b

oso

ne

m

assiv

o W

L’in

tro

duzio

ne

de

i W

a s

ua v

olta

com

port

a p

rob

lem

i, in

qu

an

to s

i d

imo

str

a c

he

lo

sca

tteri

ng

ne

utr

ino-W

(un

pro

ce

sso p

ratica

me

nte

im

po

ssib

ile d

a g

ene

rare

, m

a teo

rica

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te le

cito)

div

erg

e. S

erv

e u

n

altro

dia

gra

mm

a c

on

sca

mb

io d

i Z

per

ren

dere

la

som

ma

co

nverg

en

te!

La

so

luzio

ne

no

n è

un

ica

, m

a l’a

rra

ng

iam

en

to d

ei boso

ni de

bo

li in

u

na

str

uttu

ra g

rup

pa

le S

U(2

) è

ele

gan

te e

eco

nom

ica

Lo

scatteri

ng

WW�

WW

mo

str

a c

om

e il b

oso

ne

di H

igg

s e

ntr

a

dir

etta

men

te in

gio

co

re

nden

do

co

nverg

en

te il p

rocesso

. S

en

za

un

bo

so

ne

sca

lare

H a

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iato

ai W

non

ci sare

bb

e r

ino

rma

lizzab

ilità

de

lla te

ori

a G

SW

!

QC

D n

el M

odello

Sta

ndard

Fin

ora

ab

bia

mo ignora

to le in

tera

zio

ni fo

rti. E

sse p

osson

o e

ssere

intr

odott

e in

modo d

irett

o s

econd

o lo s

che

ma d

ella

QE

D,

con a

lcu

ne im

port

anti d

iffe

ren

ze.

La Q

CD

èbasata

su u

na s

imm

etr

ia e

satt

a,

SU

(3)

di colo

re,

che g

overn

a le

trafo

rmazio

ni d

ella

fase

dei cam

pi di co

lore

de

i quark

s:

I genera

tori d

i S

U(3

) non c

om

muta

no t

ra loro

,

e q

uesto

port

a a

un’a

uto

inte

razio

ne d

ei glu

on

i,

com

e p

er

i bosoni vett

ori d

eb

oli:

Com

e p

er

la Q

ED

, se s

i part

e d

a

una la

gra

ngia

na p

er

quark

s

colo

rati e

lib

eri

e s

i im

pon

e

invari

anza S

U(3

) lo

cale

, si è

forz

ati a

intr

od

urr

e u

na c

ovari

anza

della

derivata

, con o

tto c

am

pi

vett

oriali

G(c

orr

ispon

denti

agli

N2-1

=8 g

enera

tori)

ch

e

cabc

ba

Tif

TT

=]

,[

)(

)(

')

()

(x

ex

xq

Tx

ig

qq

aa

sψ

ψψ

Λ=

→

a

aj q

j qq

k qjk

j q

a

jka

sjk

jk

cb

abc

s

aa

a

qa

as

qq

GG

mi

L

GT

ig

Gx

fg

xx

Gx

G

xTx

igx

x

µν

µν

µµ

µµ

µ

µµ

µµ

ψψ

ψγ

ψδ

ψψ

ψ

−−

=

−∂

=

Λ−

Λ∂

−→

Λ+

=→ �

�41

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

])

(1[

)('

)(

�

�

La lagra

ng

ian

a o

ra v

ista

descri

ve q

uark

s c

olo

rati e

glu

oni. O

tto

glu

on

i sono

necessari

a c

om

pensare

le v

ariazio

ni arb

itra

rie n

elle

fasi

Λa(x

) dei tr

e c

am

pi

di colo

re d

ei q

uark

s in o

gn

i pu

nto

dello

spazio

tem

po

La S

U(3

) di co

lore

èuna s

imm

etr

ia e

satt

a d

ella

natu

ra:

i glu

oni h

ann

o m

assa

nulla

com

e il fo

tone

I glu

oni h

ann

o a

uto

inte

razio

ni, a

causa d

ella

natu

ra n

on a

be

lian

a d

i S

U(3

) che h

a intr

odott

o n

ella

lagra

ngia

na d

i Q

CD

i t

erm

ini m

isti a

ttra

vers

o le

espre

ssio

ni

La c

osta

nte

gs

dete

rmin

a l’in

tensità

delle

inte

razio

ni fo

rti e c

opre

il ru

olo

di

carica”

de

l ca

mpo d

i colo

re.

Si noti p

erò

co

me e

ssa è

sem

pre

associa

ta a

lle

costa

nti d

i str

utt

ura

di S

U(3

): q

uesto

im

plic

a d

ivers

a inte

nsità

per

i div

ers

i accopp

iam

enti q

g e

gg.

Infine,

la n

atu

ra n

on a

belia

na

del gru

ppo S

U(3

) ha u

n e

ffett

o s

ulla

dip

ende

nza d

al quadrim

om

ento

tra

sfe

rito

della

costa

nte

di a

ccoppia

mento

cb

abc

s

a

cb

abc

s

aa

a

GG

fg

GG

G

Gx

fg

xx

Gx

G

νµ

µν

νµ

µν

µµ

µµ

−∂

−∂

=

Λ−

Λ∂

−→

)(

)(

)(

)(

La

co

sta

nte

di a

cco

pp

iam

en

to α

Sè

dip

en

de

nte

da

l m

om

en

to tra

sfe

rito

ne

l p

rocesso

: α

S=

αS(Q

2).

Ta

le d

ipe

nden

za

èd

ovuta

alle

corr

ezio

ni p

ert

urb

ative

di “o

rdin

e s

upe

riore

”

(ne

lla c

osta

nte

di a

ccop

pia

me

nto

) a

l pro

pa

ga

tore

de

l m

ed

iato

re d

ell’

inte

razio

ne (

il g

luo

ne

, p

er

la Q

CD

):

effe

tto

e’an

alo

go

alla

“rin

orm

aliz

za

zio

ne

”d

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ca

rica

ele

ttrica

in Q

ED

,

“Runnin

g c

ouplin

g c

onsta

nt”

: α

S(Q

2)

In Q

ED

, l’a

mp

iezza

di scatte

rin

g, a

d e

sem

pio

, e

- e-→

e- e

-, com

ple

ta a

tutti g

li o

rdin

i p

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urb

ativi e

’d

ata

da

i d

iagra

mm

i:

~ e

2∝

α~

e6∝

α3

~ e

4∝

α2

Il p

rop

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pe

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Z2)

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o d

ella

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