I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo ... 10.pdf · della formula di Black e Scholes d 1...

Slides tratte da:

Andrea Resti

Andrea Sironi

Rischio e valore nelle banche

Misura, regolamentazione, gestione

Egea, 2008

I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti

Rischio e valore nelle banche I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo, applicazioni, limiti

2

AGENDA

• Un quadro di sintesi dei diversi modelli

• Le applicazioni dei modelli VaR

• Veri e falsi difetti dei VaR

• L’expected shortfall

• Esercizi

© Resti e Sironi, 2008


3

• I modelli per la misurazione dei rischi di mercato vengono utilizzati dalle istituzioni finanziarie per diverse finalità, tra cui:

confronto e integrazione di rischi diversi

fissazione di limiti all’autonomia operativa dei vari desk

costruzione di misure di performance aggiustate per il rischio

• Tali modelli sono stati oggetto di numerose critiche da parte di accademici, operatori ed esponenti degli organi di vigilanza

• Molte di queste critiche, formalmente corrette, derivano da una cattiva comprensione delle finalità dei modelli

I modelli VaR



4

Un quadro di sintesi dei diversi modelli


Varianze-covarianze Simulazioni

storiche

Ibrido Monte Carlo

Distribuzione

dei rendimenti

Normale

multivariata, corretta

per volatilità recente

Stazionaria

(storica)

Storica, corretta per la

volatilità recente

Completamente

flessibile

Livello di

confidenza

Come multiplo della

deviazione standard

Percentile della

distribuzione

delle variazioni

di valore

Come percentile della

distribuzione ponderata

delle variazioni di

valore

Come percentile

della distribuzione

simulata delle

variazioni di

valore

Variazione

valore di

mercato

Approssimata con

funzioni lineari (ad

es. le “greche”) o

quadratiche (delta

gamma)

Calcolata a partire dalle nuove condizioni di mercato (“full

valuation”), anche se niente impedisce di usare approssimazioni

lineari

Interazione tra

più fattori

Attraverso una

matrice di

correlazioni

Implicita nella

distribuzione

storica

Implicito nella

distribuzione storica

Matrice di

correlazioni e sua

fattorizzata


5

Un quadro di sintesi dei diversi modelli / 2


Varianze-covarianze Simulazioni

storiche

Ibrido Monte Carlo

Principali

pregi

Rapidità di calcolo

Non richiede un

modello di pricing

per ogni posizione

Non richiede ipotesi esplicite sulla

distribuzione dei fattori di rischio

Non richiede una stima esplicita di

volatilità e correlazioni (preserva

quelle passate)

Utilizzabile per

portafogli

complessi

Distribuzione

dei fattori di

mercato

totalmente

flessibile

Principali

limiti

Ipotizza distribuzioni

normali

Richiede una stima

esplicita di volatilità

e correlazioni

Hp. linearità payoff

Richiede un campione storico ampio

Richiede un modello di pricing per

ogni posizione

Onerosità di

calcolo

Richiede un

modello di

pricing per ogni

posizione


6

• Nessuno dei modelli descritti nella tabella rappresenta una soluzione in assoluto "migliore" delle altre:

Per misurare la redditività corretta per il rischio delle unità di

trading, ad esempio, il modello varianze-covarianze rappresenta l'alternativa più adeguata (veloce da calcolare e su un orizzonte giornaliero i limiti di questo approccio non sono del tutto rilevanti)

Nel caso di posizioni caratterizzate da payoff non lineari i modelli di full valuation (simulazione storica o Monte Carlo) rappresentano la scelta migliore

Per verificare se il patrimonio disponibile è sufficiente, la costruzione di scenari di stress risulta maggiormente adeguata

I modelli VaR



7

• Il VaR rende confrontabili rischi diversi

• Il rischio delle diverse posizioni è rappresentato da indicatori diversi: duration e

convessità per le obbligazioni, beta e volatilità per i titoli azionari, delta, gamma, vega, theta e rho per le opzioni etc.

• Il VaR, partendo da sensibilità e volatilità delle singole posizioni, costruisce misure di rischio omogenee

• Ipotizziamo di confrontare il rischio connesso a una posizione lunga in titoli del Tesoro decennali (quotati alla pari) con quello connessa alla vendita di un’opzione call at the money sul dollaro, con scadenza a un anno

• Quale delle due posizioni è più rischiosa?

Le applicazioni dei modelli VaR - Confronto tra rischi diversi -


Creazione di un “linguaggio” comune tra

le diverse unità operative delle banche


8

• VOLATILITÀ giornaliera dei fattori di mercato

• Ora è possibile calcolare il VaR (livello di confidenza 99%)

Titoli del Tesoro: approccio varianze-covarianze e approssimazione delta/gamma

Posizione in opzioni: full valuation



• Yield to maturity decennale = 25 bp

• Variazioni % del cambio EUR/USD = 1,5%

• Variazioni % della volatilità implicita nel prezzo delle opzioni sul dollaro = 0,2%

• Il cambio sul dollaro e la sua volatilità sono perfettamente correlati


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• TITOLI DEL TESORO:

Le variazioni nel valore di mercato della posizione possono essere calcolate come: Il coefficiente δ è dato dalla duration modificata (7,36 anni) moltiplicata per il

valore dell’esposizione (100.000 euro) Il coefficiente γ è dato dalla convexity modificata (69,74), cambiata di segno e

moltiplicata per il valore dell’esposizione Il VaR della posizione (livello di confidenza al 99%)



2)(2

yyVM

2

1

69,747,36 100.000 2,33 0,25% 100.000 2,33 0,25% 4.150

2VaR


10

• OPZIONE CALL:

Approccio di full valuation

Adottiamo come funzione di pricing la formula di Black e Scholes e ricalcoliamo il valore della call in corrispondenza di un valore, per i due fattori di rischio corrispondente al “peggior” valore della call (al netto del 1% di scenari peggiori)

Simuliamo gli effetti di un aumento del prezzo del sottostante (cambio EUR/USD) e di un aumento della volatilità (trattandoli separatamente, poiché sono perfettamente correlati)

Ipotizzando che le variazioni percentuali dei due fattori di rischio siano normali, i percentili sono 2,33 volte la deviazione standard:



Cambio 3,5% (2,331,5%) Nuovo livello: 1,035 euro per dollaro

Volatilità 0,47% (2,330,2%) Passa dal 10% al 10,047%


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• Il VaR della call si ottiene quindi per differenza tra il valore della call in presenza di queste condizioni di mercato “estreme” ed il valore date le condizioni di mercato correnti:



679.2805.6484.9%10;1%047,10;035,12 ccVaRNuove condizioni di mercato Condizioni di mercato correnti

Tasso di cambio a pronti S 1,034895 1

Tasso di cambio strike X 1 1

Tasso d’interesse i 5% 5%

Volatilità s 10,047% 10%

Scadenza T 1 1

Componenti

della formula

di Black e Scholes

d1 0,89 0,55

d2 0,79 0,45

N(d1) 0,813087 0,70884

N(d2) 0,784905 0,673645

Valore della call, con la formula di Black

e Scholes, per un nozionale di… $1 0,094836 0,06805

$100.000 9483,6 6805,0

Differenza tra i due valori (VaR) 2678,6


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• La posizione in titoli del Tesoro sta creando più rischio rispetto alla call: la massima perdita giornaliera cui la banca potrebbe andare incontro nel 99% dei casi è infatti quasi doppia (4.150 euro contro 2.679 euro) nel caso dei titoli di Stato

• L’esempio mostra due vantaggi del VaR:

Il VaR agevola la comunicazione “orizzontale”, cioè fra operatori che lavorano su desk diversi

Il VaR agevola la comunicazione “verticale” nei confronti dell’alta direzione: non ci si scontra con terminologie diverse (modified duration, convexity, beta, delta, gamma, ecc.) per ogni singolo desk

• Il VaR inoltre consente l’aggregazione dei rischi connessi a posizioni diverse, agevolando così il calcolo del rischio di portafogli composti da numerose esposizioni




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• Tramite il VaR è possibile fissare dei limiti all'operatività dei singoli desk

• Consideriamo un desk che negozia titoli del Tesoro a lungo termine (Treasury bonds) per una banca

Il limite di valore a rischio allocato a tale unità risk-taking è 160.000 Euro

Partendo da questo valore, sulla base del grado di sensibilità della posizione ai fattori di mercato rilevanti (in questo caso, il tasso di interesse) e del loro livello di volatilità, il desk sarà in grado di determinare l’esposizione massima compatibile con il suo VaR

Se il VaR è stato calcolato con il metodo parametrico:

Il massimo valore di mercato della posizione compatibile con un certo livello di VaR è:

Le applicazioni dei modelli VaR - L’imposizione di limiti all’assunzione di rischio-


yzDMVMVaR s

yzDM

VaRVM

s


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• In presenza di:

volatilità delle variazioni decadali dei tassi a lungo termine (sy) pari a 4 bp livello di confidenza del 97,5 % (|za| pari a circa 1,96) duration modificata pari a 6,25 anni

Un VaR di 160.000 euro corrisponde a un valore di mercato pari a circa 32,7 milioni di Euro:

• Eventuali cambiamenti delle condizioni di mercato (volatilità di y) o della composizione del portafoglio (variazioni di DM) producono un aggiustamento del valore della posizione

• Se tutti i desk della banca hanno un limite VaR, in caso di variazioni delle condizioni di mercato il portafoglio verrà automaticamente allocato verso i mercati caratterizzati da minor tensione



661.653.32%04,096,125,6

000.160

VM

In caso di aumento della volatilità, VM diminuisce


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• Un limite di VaR può essere convertito anche in altre misure di rischio, come ad esempio il basis point value, o DV01

• Partendo dall’equazione del VaR, anziché considerare una variazione dei tassi

pari ad |z|sy, ipotizziamo che essa sia pari a un punto base:

• Il VaR al 97,5% (|za| pari a circa 1,96) corrisponde, in presenza di una volatilità sy dello 0,04%, a un basis point value di 20.409 euro

• Il VaR può quindi essere espresso in misure diverse, a seconda della finalità perseguita e dalle modalità di utilizzo (per un operatore sarà ad esempio comodo avere a disposizione una traduzione immediata in valore di mercato o DV01)



variazione generata nel valore di un portafoglio obbligazionario da una variazione del tasso d’interesse pari a un punto base

yzVaRDMVMDV

s

%01,0%01,001


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• Si tratta del calcolo della redditività corretta per il rischio delle singole posizioni o dei singoli desk le misure di redditività corretta per il rischio sono riconducibili a un semplice rapporto fra utile e rischio

• La misura di rischio può essere stimata ex-ante, come rapporto fra utile atteso e VaR corrente, e verificato ex-post, come quoziente fra utile effettivamente conseguito e valore del VaR effettivamente registrato

• In queste misure, il VaR è spesso chiamato anche CaR, cioè capitale a rischio

Le applicazioni dei modelli VaR - La costruzione di misure di risk-adjusted performance-


Un certo ammontare di rischi deve essere fronteggiato dalla banca attraverso un uguale ammontare di

capitale proprio, per assorbire le eventuali perdite senza recare pregiudizio alle ragioni dei creditori


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• In un ottica ex-post:

• Per indicare misure di performance come quelle appena descritte, vengono

utilizzati numerose sigle come Roc (return on capital), Raroc (risk-adjusted return on capital), Rorac (return on risk-adjusted capital), Rocar (return on capital at risk), Rarorac (risk-adjusted return on risk-adjusted capital).

Le misure di risk-adjusted performance possono essere utilizzate per:

compiere scelte più efficienti confrontando, ex ante, il profilo di redditività corretta per il rischio di posizioni diverse

costruire un sistema di incentivi basato sul rischio connesso ad un determinato utile

confrontare, ex post, la performance delle unità organizzative per determinare quale di esse stia utilizzando meglio il capitale

Le applicazioni dei modelli VaR - La costruzione di misure di risk-adjusted performance


iVaR

u

VaR

VaRiuRaroc

pp

p

p

p

pVaR

uiRaroc

Espresso come premio al rischio


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• I modelli VaR sono strumenti che non vanno considerati una panacea, capace di risolvere in modo semplice e meccanicistico il problema

• Prima di acquistare un software per la misurazione del VaR, è necessario costruire un’adeguata base di dati (data warehouse)

• 6 falsi difetti:

Sei falsi difetti del VaR


Senza una base di dati, si può andare incontro ad errori che non sono imputabili alla metodologia VaR, ma al modo in cui è stata implementata

trascurano gli eventi eccezionali

trascurano le relazioni di clientela

si basano su ipotesi irrealistiche

producono risultati fortemente divergenti

amplificano l’instabilità dei mercati

“arrivano troppo tardi, quando il danno è fatto”


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• I modelli VaR non sono in grado di coprire l'intera gamma dei possibili eventi che un'istituzione finanziaria deve essere in grado di fronteggiare

In realtà:

I modelli VaR non hanno come finalità quella di rendere una banca “non fallibile”, ma di indicare la quantità di capitale necessaria per limitare il rischio di fallimento ad una percentuale accettabile.

Il livello di confidenza usato nel calcolo del VaR può essere aumentato a piacere, così da catturare la percentuale di eventi desiderata.

Un VaR al 100%, non sarebbe però né teoricamente auspicabile, né praticamente conseguibile

Sei falsi difetti del VaR - I modelli VaR trascurono gli eventi eccezionali -


Si trascura, ad esempio, un 1% degli scenari futuri

La banca dovrebbe finanziarsi interamente con capitale e verrebbe meno la sua funzione primaria


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• “La sua meccanica applicazione potrebbe indurre la banca a porre bruscamente termine a tutte le posizioni la cui redditività corretta per il rischio risultasse inadeguata”

• In realtà i modelli VaR rappresentano uno strumento a cui è naturale e necessario

affiancare le valutazioni soggettive della direzione della banca

• Una determinata operazione, con redditività insufficiente a remunerare il capitale, potrebbe comunque essere conservata in portafoglio sulla base di una valutazione soggettiva di lungo periodo

Sei falsi difetti del VaR - I modelli VaR trascurono le relazioni di clientela -


Si cadrebbe in una visione troppo di breve termine del processo di creazione del valore in banca


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• Se le ipotesi che sono alla base dei diversi criteri per il calcolo del VaR non sono condivisibili, esse condurranno a quantificare il rischio e ad allocare il capitale fra le diverse unità operative in modo inaffidabile

• In realtà ogni istituzione finanziaria sceglie di detenere un certo livello di capitale e di allocarlo alle diverse attività svolte

• Chi adotta un modello VaR conosce le ipotesi (talvolta discutibili) su cui esse sono basate, ma chi non dispone di un modello, procede in modo considerevolmente più opaco

• In ogni caso le ipotesi di un modello possono essere opportunamente modificate in presenza di condizioni particolari di mercato, o di specifiche valutazioni soggettive del management

Sei falsi difetti del VaR - I modelli VaR si basano su ipotesi irrealistiche-



22

• I modelli VaR sono stati criticati da alcuni ricercatori che, confrontando empiricamente i risultati prodotti dai diversi approcci, hanno riscontrato forti divergenze

• In realtà i risultati dei modelli VaR dipendono fortemente dall’approccio utilizzato e dalle ipotesi adottate (ampiezza del campione storico, orizzonte temporale, numero di fattori di rischio etc. ), non possono essere considerati una misura univoca

• Se i risultati sono utilizzati per introdurre in tutte le business unit di un’istituzione finanziaria limiti all’operatività e misure di performance corrette per il rischio, l’importante è che si utilizzino criteri omogenei per tutte le unità della banca

Sei falsi difetti del VaR - I modelli VaR producono risultati fortemente divergenti -



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• Se tutte le istituzioni finanziarie utilizzano il VaR, in corrispondenza di eventuali cadute dei mercati, i loro trader riceveranno probabilmente il medesimo segnale operativo

• In realtà:

i modelli VaR adottati dalle istituzioni finanziarie non sono tutti uguali e producono misure di rischio diverse

in presenza di crisi di mercato gli operatori delle diverse istituzioni finanziarie tendono ad adottare comportamenti uniformi, ma ciò è dovuto alla natura umana e alle modalità di funzionamento dei mercati finanziari

Sei falsi difetti del VaR - I modelli VaR amplificano l’instabilità dei mercati-


Ad esempio quando la volatilità aumenta, la massima esposizione compatibile con il limite prefissato si riduce,

richiedendo di vendere un certo ammontare di titoli

Le vendite generalizzate potrebbero accentuare la tendenza al ribasso


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• Un’ultima critica alle misure di VaR riguarda il ritardo con il quale esse riflettono eventuali shock di mercato e la conseguente inefficacia nel prevenire le perdite

• Il “ritardo” deriva principalmente dal fatto che i modelli VaR si fondano sulla stima della volatilità storica per la previsione della volatilità futura

• Esistono anche tecniche di stima basate su dati storici e tuttavia sufficientemente reattive alle condizioni di mercato più recenti

• In ogni caso:

Sei falsi difetti del VaR - Le misure VaR “arrivano troppo tardi, quando ormai il danno è fatto” -


se un modello VaR venisse alimentato con previsioni più sofisticate si potrebbero ottenere misure capaci di anticipare eventuali crisi dei mercati

L’incapacità di anticipare le variazioni estreme è un limite di qualunque tecnica previsionale

La finalità di un modello VaR non è anticipare i possibili crolli ma generare misure di rischio fondate su condizioni “normali”


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• Il VaR consente di rispondere al seguente quesito:

• Ciò che conta, dunque, è la probabilità che la perdita effettiva ecceda il VaR e il

modello non fornisce alcuna informazione circa la dimensione di tale eccedenza.

• Consideriamo ad esempio due portafogli azionari, contraddistinti dai vettori h e k

Due veri difetti del VaR - La dimensione delle perdite-


Qual è la perdita massima che potrebbe essere subita entro un determinato orizzonte temporale, se si eccettua una piccola percentuale, pari ad esempio all’1%, di casi più sfavorevoli?

cVaRLpr 1

Medesimo valore di mercato = 1 mln di euro Medesimo VaR giornaliero (livello di confidenza 99%) = 50.000 euro Simulazione (storica o Montecarlo) con 500 osservazioni


26

Come si vede dalla tabella la

perdita più consistente per il portafoglio h è 150.000 euro; (supera il VaR

del 200%)

La perdita massima per il portafoglio k è

60.000 euro (supera il VaR solo del 20%)



Peggiori 10 perdite su 500

(ordinate partendo dalla peggiore)

Portafoglio h Portafoglio k

1 150.000 60.000

2 120.000 56.000

3 100.000 55.000

4 70.000 53.000

5 60.000 51.000

6 50.000 50.000

7 48.000 45.000

8 45.000 40.000

9 42.000 35.000

10 40.000 30.000

VaR al 99% (VaR99%) 50.000 50.000

Maximum Loss (Lmax) 150.000 60.000

Maximum Excess Loss (Lmax – VaR99%) 100.000 10.000

Maximum Excess Loss in percentuale del VaR

(Lmax/VaR99% - 1)

200% 20%

Expected Excess Loss (E(L-VaR99% | L > VaR99%)) 50.000 5.000

Expected Excess Loss in percentuale del VaR 100% 10%


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• Per h il valore atteso delle perdite superiori al VaR è 100.000 euro. • Per il portafoglio k la perdita attesa eccedente il VaR è 5.000

euro , il 10% del VaR •A parità di VaR, i due portafogli presentano in realtà

differenze significative in termini di rischio



La perdita attesa eccedente il VaR (“expected excess loss”) è pari a 50.000, 100% del VaR


28

• Il VaR non rispetta la subadditività

• Per qualsiasi misura di rischio r subadditiva vale che:

• Solo in alcuni casi l’applicazione del VaR rispetta questa proprietà. • Può quindi accadere che:

Due veri difetti del VaR - La mancata subadditività-


il rischio di un portafoglio composto da più posizioni deve risultare non superiore alla somma dei rischi delle singole posizioni

)()()( yxyx rrr

)()()( yxyx VaRVaRVaR

Ciò accade tipicamente quando la distribuzione congiunta dei fattori di mercato è caratterizzata da code spesse ed è diversa dalla normale multivariata


29

• Consideriamo due titoli a e b:



Titolo a Titolo b

Distribuzione dei valori futuri

Probabilità VMT VMT

1% 70 70

4% 90 90

95% 100 100

E(VMT) 99,3 99,3

II. Valore corrente

VM0 VM0

Valore 99,3 99,3

III. Variazioni di valore future

Probabilità VM VM

1% -29,3 -29,3

4% -9,3 -9,3

95% 0,7 0,7

IV. Misure sintetiche

E(VM) 0,0 0,0

VaR al 99% 9,3 9,3

Immaginiamo che il valore corrente dei

titoli sia pari, oggi, proprio

a 99,3 euro (cioè il loro

valore atteso).


30

• Ipotizziamo che i due titoli siano detenuti da un unico investitore

• Supponiamo inoltre che essi siano indipendenti

• Dall’assenza di correlazione ci si attende un effetto di diversificazione del rischio:



il VaR del portafoglio comprendente a e b dovrebbe essere inferiore a 18,6 (9,3 + 9,3) euro


31



Titolo b

-29,3 -9,3 0,7 1% 4% 95%

Titolo a

-29,3 -58,6 -38,6 -28,6 1% 0,01% 0,04% 0,95%

-9,3 -38,6 -18,6 -8,6 4% 0,04% 0,16% 3,80%

0,7 -28,6 -8,6 1,4 95% 0,95% 3,80% 90,25%

Nota: i valori in corsivo indicano le probabilità

Distribuzione dei valori futuri del portafoglio

comprendente i due titoli: tabella a doppia entrata

Probabilità Probabilità cumulata Valore

0,01% 0,01% -58,6

0,08% 0,09% -38,6

1,90% 1,99% -28,6

0,16% 2,15% -18,6

7,60% 9,75% -8,6

90,25% 100,00% 1,4

VaR al 99% 28,6

Distribuzione dei valori futuri del portafoglio

comprendente i due titoli: tabella riordinata


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• Riferendoci all’ultima tabella della slide precedente, la riga in grigio evidenzia il primo percentile, cioè il valore che lascia alle proprie spalle l’1% (almeno) di casi peggiori

• Si è quindi verificato che:

• Questo problema, però, non si verifica se il VaR viene calcolato secondo

l’approccio parametrico (distribuzione normale)

• In questo caso, infatti, il VaR è semplicemente un multiplo |z| della deviazione standard



Tale valore rappresenta il VaR al 99%, e risulta pari a una perdita di 28,6 euro, sensibilmente superiore alla somma dei VaR

)()()( baba VaRVaRVaR


33

• Dalla formula della varianza di portafoglio e assumendo r1 :

• Viene escluso così ogni possibile rischio di subadditività

• Quando la distribuzione empirica delle variazioni di valore assume una forma chiaramente non normale non è certo possibile adottare l’approccio parametrico solo perché esso garantisce risultati subadditivi.



222 2 bbaaba ssrsss

baba

baba

baba

VaRVaRVaR

zzz

sss

sss


34

• I problemi relativi ai modelli VaR possono essere superati ricorrendo all’expected shortfall (ES)

• Se si preferisce fare riferimento alla variazione del valore di mercato DVM:

• Se il VaR è calcolato con riferimento alla sola componente di perdita inattesa: (E(L) = perdita attesa)

o

• Facendo riferimento ai valori di mercato futuri (VM) anziché loro delle variazioni

DVM:

Una misura di rischio alternativa: l’expected shortfall


Valore atteso di tutte le perdite superiori al VaR

VaRLLEES

VaRVMVMEES

VaRLELLELEES )()(

VaRVMEVMVMEVMEES )()(

VaRVMEVMVMEVMEES )()(


35

• L’ES dipende dal VaR prescelto come soglia

• Riferendoci alla tabella della slide 25 (le prime cinque righe indicano gli scenari in cui la perdita è superiore al VaR):



anche questa misura si caratterizza per un determinato livello di confidenza e per un dato orizzonte temporale

L’expected shortfall non è che la media di queste cinque perdite: 100.000 euro per il portafoglio h, e 55.000 euro per il portafoglio k

ES a un anno, con livello di confidenza del 99%


36

• Considerando i due titoli a e b della slide 28:

• L’ES per il portafoglio-somma a+b è 40,8 euro:



per ognuno di essi l’ES a un anno, con un livello di confidenza del 99%, è pari a 29,3 euro

C’è infatti un unico valore di perdita superiore al VaR, che coincide con la media condizionata

Cioè la media (ponderata per le probabilità) dei valori di perdita (58,6 e 38,6)

delle prime due righe della seconda tabella di slide 30

8.40%09.0

%08.06.38

%09.0

%01.06.58%99 ES


37

• Si può notare che l’ES del portafoglio rispetta la condizione di subadditività e può essere dimostrate che questa proprietà è sempre valida per questa misura

• L’ES è anche omogeneo di grado uno

• L’ES è funzione globalmente convessa rispetto alla composizione del portafoglio;

• Per questi motivi numerosi ricercatori e diverse istituzioni finanziarie hanno prestato maggiore attenzione all’ES come indice di rischio



se le posizioni in portafoglio vengono scalate per una costante positiva k, anche l’ES risulta moltiplicato per k

è più facile utilizzare questa misura di rischio per la composizione di portafogli ottimi a rischio minimo


38

• Il VaR è il capitale necessario per limitare a =1-c la probabilità di fallimento di

una banca

• La differenza tra ES e VaR può essere vista come:



il valore atteso del costo che le autorità di vigilanza dovrebbero sostenere per salvare

la banca

il premio che un assicuratore neutrale al

rischio richiederebbe alla banca per un’assicurazione contro il rischio di perdite

superiori al VaR

Rischio e valore nelle banche I modelli per la stima della volatilità

39 © Resti e Sironi, 2008

Esercizi/1 1. Una banca detiene due posizioni, rispettivamente in azioni e in titoli di

Stato a lungo termine. Il portafoglio azionario vale attualmente 80.000 euro ed ha un beta medio ponderato pari a 95%; i titoli di Stato hanno un valore di mercato di 100.000 euro e duration modificata di 7 anni. La volatilità delle variazioni percentuali nell’indice di borsa è stimata pari a 15%; la volatilità delle variazioni assolute dello yield to maturity dei titoli di Stato a 7 anni è stimata pari a 2%. Sulla base del rispettivo VaR al 99%, quale dei due portafogli è attualmente più rischioso? Di quanto? Come cambierebbe il risultato se la banca dovesse adottare un VaR al 95%? E cosa accadrebbe se, dato un VaR al 99%, la volatilità dell’indice azionario dovesse aumentare dal 15% al 25%? [per risolvere questo esercizio, ricordate che N-1(99%)2,33 e che N-1(95%)1,64, dove N-1(.) indica l’inversa della funzione di ripartizione normale standard]



Esercizi/2 2. Il VaR di un portafoglio costituito da due posizioni è 50 milioni

di euro. In quale dei seguenti casi il VaR parametrico aumenterebbe perché una delle due posizioni è stata chiusa?

I. se le due posizioni hanno segni opposti (una lunga e una corta) e sono esposte a fattori di mercato correlati negativamente tra loro;

II. se i due fattori di mercato a cui sono esposte le due posizioni sono indipendenti;

III.se le due posizioni hanno lo stesso segno (entrambe lunghe o entrambe corte) e sono esposte a fattori di mercato correlati negativamente tra loro;

IV. il VaR parametrico non aumenta mai, perché esso garantisce la subadditività.



Esercizi/3 3. Sulla base della seguente distribuzione di probabilità delle

perdite su un portafoglio e utilizzando un livello di confidenza del 95%, calcolate il VaR (definito come la massima perdita inattesa L tale che la probabilità di incorrere in perdite inattese maggiori di L è il 5%) e il relativo expected shortfall.

Segue alla slide successiva



Esercizi/3

Probabilità Perdite, cominciando dalla peggiore

0.50% 1000

0.30% 100

1% 80

1.60% 70

0.80% 65

0.80% 60

1% 50

1.30% 30

0.40% 20

92.30% 0

Mostrate inoltre come il VaR e l’ES (sempre ad un livello di confidenza del 95%) cambierebbero se la massima perdita, anziché un miliardo di euro (come indicato nella tabella) fosse pari a 500 milioni di euro.

I modelli VaR per i rischi di mercato: riepilogo ... 10.pdf · della formula di Black e Scholes d 1...

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