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I diagrammi dello sforzo normale (N), taglio (T) e momento

flettente (M) di strutture isostatiche.

Prof. Roma Carmelo

SCOPO DELL’UNITÀ DIDATTICA

L’argomento specifico dell’unità didattica è la determinazione delle

sollecitazioni interne delle strutture isostatiche ed il tracciamento dei diagrammi

convenzionali delle sollecitazioni di sforzo Normale (N), Taglio (T) e Momento flettente

(M). Il disegno dei diagrammi ha lo scopo di rappresentare graficamente tutte le

informazioni che si possono dedurre dal calcolo delle azioni interne che si ritengono utili

al fine di corretta progettazione.

Lo scopo fondamentale di detti diagrammi è rendere intuitivo, visivo tramite la

rappresentazione grafica lo stato tensionale delle strutture.

nelle varie sezioni rette della struttura stessa corrispondono stati

tensionali interni alle sezioni, ai quali si dovrà opporre la resistenza

del materiale. L’abilità nel determinare l’intensità e le distribuzioni

delle sollecitazioni interne è fondamentale per analizzare e per

poter progettare le strutture. Fissate le condizioni al contorno

(geometria della struttura, distribuzione ed entità dei carichi esterni

applicati, entità delle reazioni vincolari) è possibile ricavare

mediante relazioni di equilibrio di parti della struttura la

distribuzione lungo l’asse dell’elemento le sollecitazioni interne.

Nella presente esposizione, si ipotizza che gli elementi strutturali

siano rigidi, non deformabili, inoltre la torsione in questa unità

didattica non sarà trattata.

MN

T

ESPOSIZIONE DELL'ARGOMENTO

Caratteristiche della sollecitazione

Le forze e i momenti interni (spesso chiamate caratteristiche della sollecitazione) si

sviluppano all’interno di una struttura a causa dell’azione del sistema di forze esterne

rendendo internamente equilibrata la struttura.

L’insieme delle forze esterne, forze direttamente applicate alla struttura e le

conseguenti reazioni vincolari, possono generare stati di sollecitazione di:

- sforzo normale N;

- sforzo tagliante T;

- momento flettente M,

Sforzo Normale

Lo sforzo normale N in una determinata sezione è dato dalla somma algebrica di

tutte le forze o componenti di forze normali al piano della sezione a applicate a sinistra o

a destra della sezione.

L'azione assiale N si considera positiva e si definisce Trazione quando tende ad

allungare le fibre della trave e quindi tende ad allontanare ogni sezione da quelle

adiacenti; viene assunto con segno positivo (+).

L'azione assiale N si considera negativa e si definisce Compressione quando tende

ad accorciare le fibre della trave per cui tende ad avvicinare ogni sezione a quelle

adiacenti: viene assunto con segno positivo (-).

VA VB

A B

S1 S2 S3 S4 S5 S6

VA

A

+ + + + + + +

+

VB

B

-------

-

T=0

-+

Sforzo di taglio

Lo sforzo di taglio in una determinata sezione è dato dalla somma algebrica di tutte le forze o

componenti di forze parallele al piano della sezione e applicate a sinistra o a destra della sezione.

• Convenzione dei segni: si indica che uno sforzo di taglio è positivo (+) se T è diretto verso

l’alto a sinistra della sezione e verso il basso a destra della sezione ; al contrario lo sforzo di

taglio è negativo ( - ) quando T è diretto verso il basso a sinistra della sezione e verso l’alto a

destra della sezione. Per definire il concetto di sinistra e di destra in tutti i casi in cui l'asse non è

orizzontale; di solito ciò viene precisato tratteggiando il lembo che si considera "inferiore"

Nelle figure soprariportate sono rappresentate graficamente le convenzioni comunemente adottate per

l'azione di taglio T. Nel caso in figura lo sforzo di taglio è di segno positivo (+) se la faccia di sinistra del

concio elementare scorre verso l’alto e la faccia di destra verso il basso, viceversa è di segno negativo (-

), se le facce non scorrono il taglio è nullo.

Occorre precisate che sezioni, inizialmente ortogonali all’asse per effetto dello sforzo di taglio , si

ingobbano. Tuttavia, lo scorrimento è uguale per ogni fibra assiale, per cui non si instaurano

sollecitazioni e deformazioni assiali

dx

T

T

T

T

dx

dx

T

T

T

T

dmed

dx

Nelle figure sono rappresentate graficamente le

convenzioni comunemente adottate per l'azione di

taglio T.

Occorre precisate che sezioni, inizialmente

ortogonali all’asse per effetto dello sforzo di taglio ,

si ingobbano. Tuttavia, lo scorrimento è uguale per

ogni fibra assiale, per cui non si instaurano

sollecitazioni e deformazioni assiali ( taglio puro

senza flessione)

Momento flettente

Il momento flettente di una sezione è dato dalla somma algebrica dei momenti flettenti di tutte le forze

esterne agenti a sinistra o destra della sezione.

A B

fibre neutrefibre tese

fibre compresse

MM

fibre compresse

fibre tesefibre neutre

dx

fibre compresse

MM

fibre compresse

fibre tese

fibre neutre

PP

fibre neutre

A

Ps

+

P

B A B

-

s

dx

a

b

c

d

e

e

fibre tese

Il Momento flettente induce alle facce di una sezione una rotazione. Se si immagina simile effetto esteso a tutte

le sezioni di una trave, soggette a momento, queste ruotano reciprocamente e la trave necessariamente si deforma,

curvandosi o, come si dice più correttamente, inflettendosi. Per esempio, nel caso della figura a, b, c, dove le coppie a

sinistra e a destra, che generano il momento flettente nelle sezioni del campo centrale, la trave si deforma inflettendosi

con la convessità verso il basso. Ne consegue che le fibre inferiori della trave sono tese, quelle superiori si comprimono.

Quando l'inflessione è di questo tipo, il momento flettente che l'ha provocata è per convenzione di segno positivo ( + ).

Invece, nel caso della figura d, e, f, dove le coppie flettenti generano un momento flettente , l'inflessione della

trave è tale da rivolgere la convessità verso l'alto. Le fibre superiori sono tese, quelle inferiori sono compresse. Quando

l’inflessione è di questo tipo, è negativa ed il momento flettente che l'ha provocata è di segno negativo (-).

Sollecitazioni interne

Consideriamo una trave isostatica vincolata con un carrello ed cerniera esterna (a terra)

sottoposta ad un carico uniformemente ripartito ed ad un carico.

VA VB

A B

l

HB

A B

F

q

1

F1

q

convenzione dei segni

Le reazioni risultano:

Calcolo delle reazioni vincolari

Gli sforzi che il tratto di destra esercita sul tratto di trave di sinistra sono uguali e contrari

agli sforzi che il tratto di sinistra esercita su quello di destra (azioni e reazioni). .

VB

B

HB

q

VA

A

F1M

T

N

M

T

N

x x

VA VB

A B

HBF1

q

Separiamo i due tronchi di trave idealmente "tagliati " dalla sezione. Affinché la trave sia in

equilibrio applichiamo ad esse le azioni che si scambiavano quando erano unite.

Qualsiasi siano le azioni, possono essere ricondotte ad una forza parallela alla sezione, che

viene detta Taglio e indicata con T, ad una forza perpendicolare alla sezione, che viene

detto sforzo Normale ed indicato con N e ad un Momento flettente che viene indicato con M.

Per calcolare tali azioni scriviamo le tre equazioni di equilibrio rispetto agli assi locali della trave

M

T

T

N

M

N

Possiamo affermare che :• Il taglio in una sezione generica è pari alla somma di tutte le forze parallele alla sezione

considerata e poste a sinistra o a destra della sezione stessa;• Il momento in una sezione generica è pari alla somma dei momenti di tutte le forze poste a

destra o a sinistra della sezione stessa;• Lo sforzo normale in una sezione è pari alla somma di tutte le forze normali poste a destra o a

sinistra della sezione considerata.

Osservazioni• Dalle equazioni viste in precedenza si desume, che nel caso di trave sottoposta ad un

carico uniformemente distribuito, il taglio varia con una legge di primo grado, cioè è una retta, mentre il momento varia con una legge di secondo grado, cioè una parabola.

• Le caratteristiche di sollecitazione sono le funzioni che descrivono l’andamento dello sforzo normale, del taglio e del momento flettente e sono ottenute nel seguente modo:

1) Sezioni che separano in due tronchi il sistema equilibrato, operate nei seguenti punti: a) sui carichi distribuiti; b) prima e dopo ogni forza; c) prima e dopo ogni nodo del telaio;

2) Ripristino dell’equilibrio tramite i valori N(x), T(x), M(x) assunti dal vincolo di continuità (incastro continuo).

Convenzione dei segni per il tracciamento dei diagrammi N, T, M

Per il tracciamento dei diagrammi si assumono come riferimenti positivi o

negativi quelli rappresentati nelle seguenti figure.

T+

+

M

+

+

N

+

+

Le tre equazioni necessarie alla determinazione di N(x),

T(x), M(x) sono espresse in assi locali asta così come

rappresentato in figura.

Per quanto riguarda i segni, consideriamo positive le

forze se sono dirette secondo la convenzione, detta di

De Saint Venant, riportata in alto a destra, facendo

attenzione nel confrontare le forze di destra, con la parte

destra dello schema, viceversa per la parte sinistra dello

schema.

M

T

T

N

M

N

Esempio di tracciamento dei diagrammi delle caratteristiche

di sollecitazione di una pensilina per ricovero autovetture

Esempio pensilina per ricovero autovetture

Quantifichiamo i carichi ripartiti rispettivamente in q1 = 2,00 kN/m e q2 = 6,00 kN/m .

Può essere schematizzato come una trave a mensola con montante verticale solidale a

un traverso superiore orizzontale. Lo schema statico deve essere sufficientemente

rappresentativo della realtà ai fini del calcolo delle razioni vincolari e delle caratteristiche

della sollecitazione.

h=5,

00 m

1,00 m 3,00 m

q2 = 6,00 kN/m

A

2 1 3

q1 = 2,00 kN/m

Schematizzazione statica

La prima operazione da fare è schematizzare la struttura, disponendo i vincoli e gli

eventuali carichi gravanti sulla stessa.

Seconda operazione da compiere, è la sostituzione della simbologia dei vincoli con le

reazioni vincolari prodotte ed adottare la convenzione dei segni.

h=5,

00 m

1,00 m 3,00 m

q2 = 6,00 kN/m

A

V

H

MA

A

A

2 1 3

Convenzionedei segni

q1 = 2,00 kN/m

Per calcolare le componenti delle

reazioni vincolari, scriviamo le

Equazioni Cardinali della Statica.

.

Le equazioni cardinali della statica sono sufficienti per risolvere completamente e

univocamente sistemi isostatici (GdV = GdL), non labili.

Calcolo delle componenti di reazione vincolare

00,49273255,1365,0165,252

00,24)31(6

10

mkNM

kNV

kNH

A

A

A

5,135,015,26

)(

05,15,05,2)6(

0)(

0

0

0

0

221

2

1

221

2

1

qqqM

baqV

hqH

qqqM

baqV

hqH

M

F

F

A

A

A

A

A

A

A

y

x

• Se il risultato fosse stato di segno negativo, avremmo dovuto invertire il verso della

reazione.

• Per tutte le travi, ma particolarmente per quelle ad asse obliquo e nei telai, è

necessario indicare da quale parte si è posto l’osservatore per guardare gli elementi

strutturali. Questo, evidenzia la posizione dell’osservatore che è indicata tracciando

una linea tratteggiata, generalmente all’intradosso dell’elemento strutturale, per

indicare le fibre inferiori.

x

q = 6,00 kN/m

3

S'

x

M

T

T

N

M

N

Convenzione dei segni

T

M

N

2

h=5,

00 m

1,00 m 3,00 m

q2 = 6,00 kN/m

A

V

H

MA

A

A

2 1 3

q1 = 2,00 kN/m S'

Traverso 1-3

Calcolo della sollecitazione di sforzo normale.

Poiché sul traverso non gravano carichi

paralleli al suo asse, lo sforzo normale è

nullo.

Calcolo della sollecitazione di sforzo di taglio

Calcolo della sollecitazione di momento flettente

Nota: L’equazione del momento flettente ha una

variazione parabolica.

Per x=0,00 M= 0,00 kN ∙ m

x=0,50 M= -0,75 kN ∙ m

x=1,00 M= -3,00 kN ∙ m

2

6M ; 02

qM ; 02

2''

xxxMs

0N 0,'' NsF

Per la determinazione dei diagrammi nel tratto 1-3, ridisegniamo la struttura per un tratto x dall’estremità ove viene ipoteticamente effettuato la sezione.

Per x=0,00 T= 0,00 kN

x=1,00 T= 6,00 kN

x=2,00 T= 12,00 kN

x=3,00 T= 24,00 kN

Calcolo della sollecitazione di sforzo assiale

xxFTs 22'' qT ; 0qT ; 0

+

N (Sforzo normale) V (Sforzo di taglio ) M (Momento flettente)

-

A

M'' = -27 kN m1

N (nullo)

Traverso 1-3

T = 24 kN

Dopo aver trovato i valori, tracciamo i diagrammi per il tratto 1-3,

h=5,

00 m

1,00 m 3,00 m

A HA

2 1 3

S''x

S''x

M

T

T

N


2

M

T

N

q2 = 6,00 kN/m

q1 = 2,00 kN/m

M

N

VA

MA

0N 0,'' NsF

6V ; qV ; 0qV ; 0 22,'' xxxF Vs

Per la determinazione dei diagrammi nel tratto 2-1, ridisegniamo la struttura per un tratto x

dall’estremità ove viene ipoteticamente effettuato la sezione.

Traverso 1-2

Calcolo della sollecitazione di sforzo normale.

Poiché sul traverso non gravano carichi

paralleli al suo asse, lo sforzo normale è

nullo.



Per x=0,00 T= 0,00 kN

x=0,50 T= -3,00 kN

x=1,00 T= -6,00 kN

Per x=0,00 M= 0,00 kN ∙ m

x=0,50 M= -0,75 kN ∙ m

x=1,00 M= -3,00 kN ∙ m

2

6M ; 02

qM ; 02

2''

xxxMs

Calcolo delle caratteristiche della sollecitazione

di sforzo assiale

+


-

A

M'' = -27 kN m1

N (nullo)

Traverso 2-1

-

M' = -3 kN m1

T = -6 kN

-

Dopo aver trovato i valori, tracciamo i diagrammi per il tratto 1-1

Per la determinazione dei diagrammi nel tratto A-1, ridisegniamo la struttura per un tratto x

dall’estremità ove viene ipoteticamente effettuato il taglio.

Montante A-1

Calcolo della sollecitazione di sforzo assiale



xA H

MA

A

RA

M

T

T

N

M

N


N

M

T

h=5,

00 m

1,00 m 3,00 m

q2 = 6,00 kN/m

A

V

H

MA

A

A

2 1 3

q1 = 2,00 kN/m

s'''

x

s'''

q1 = 2,00 kN/m

Lo sforzo normale è costante lungo tutto il montante, essendo il valore negativo significa che l’asta è compressa.

Per x=0 T=10,00 kN

x=1 T= 7,00 kN

x=2 T= 6,00 kN

x=3 T= 4,00 kN

x=4 T= 2,00 kN

x=5 T= 0,00 kN

La variazione dello sforzo di taglio è lineare.

Per x=0 M= -49,00 kN ∙ m

x=1 M= -40,00 kN ∙ m

x=2 M= -33,00 kN ∙ m

x=3 M= -28,00 kN ∙ m

x=4 M= -25,00 kN ∙ m

x=5 M= -24,00 kN ∙ m

kN 42N ; VN ; 0VN ; 0 AA,''' NsF

102T ; 0qT ; 0 1,''' xHxF ATs

49102

-2M ; 02

MM ; 02

1''' xx

xHx

xqM AAs

+


-

A

M'' = -27,00 kN m1

N (nullo)

-

M' = -3,00 kN m1

T = -6,00 kN

-

-

M = 49 KN mA

M''' = -24,00 KN m

-

+

T = 10,00 kN

T = 0,00 kN

T = 24,00 kN

Dopo aver trovato i valori, tracciamo i diagrammi per il montante A-1.

Si completa il tracciamento dei diagrammi N, T ed M per la struttura in oggetto.

+


-

A

M'' = -27,00 kN m1

N (nullo)

-

M' = -3,00 kN m1

T = -6,00 kN

-

-

M = 49 KN mA

M''' = -24,00 KN m

-

+

T = 10,00 kN

T = 0,00 kN

T = 24,00 kN

I diagrammi delle caratteristiche delle sollecitazioni sono la rappresentazione

grafica dell’andamento delle caratteristiche della sollecitazione al variare della

posizione della sezione lungo l’asse della trave.

A cosa servono i diagrammi?

Per dimensionare la struttura ottimizzando i materiali.

0'''''' MMMPossiamo notare infine che, nel nodo 1, la somma dei tre momenti , quindi c’è

equilibrio al nodo, questo è un controllo, il quale “ci dice” che la struttura è stata calcolata

correttamente.

Osservazione: il segno meno dei tre momenti nei diagrammi indica il lato della

trave dove le fibre sono tese. Staticamente, i versi dei momenti hanno il senso

rappresentato in figura.

M''' = -24 KN m

1

M' = -3 KN m1 M'' = -27 KN m

0'''''' MMM

Fine presentazione

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