Didattica dei Fondamenti dell’Informatica 2

Prima giornata: spunti di teoria della calcolabilità e principali classi di

complessità computazionale dei problemi

Guido ProiettiEmail: guido.proietti@univaq.it

URL: www.di.univaq.it/~proietti/index_personal

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Mille dubbi…

• Uhmmm…devo inventarmi un corso che sia utile e che parli di come parlare dei fondamenti dell’informatica

• Avverto subito che il problema è difficile da risolvere: contiene nella sua definizione una ricorsione!

• …e poi, devo parlare dei fondamenti dell’informatica, ma che cos’è veramente l’informatica, e dove risiede la sua anima?

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La dicotomia tra informatique e computer science• Nell’accezione comune, l’informatica viene associata all’utilizzo dei

calcolatori automatici (computer, in senso lato)• Non è un caso: informatica deriva infatti dal francese informatique,

contrazione di information automatique• Si noti invece che nella lingua inglese informatica si traduce con il

termine computer science, o più precisamente computing science, rendendo esplicito il presupposto dell'esistenza della figura di uno scienziato (con tutto il conseguente carico epistemologico) interessato allo studio dei processi computazionali (si noti, non necessariamente automatici!)

• Definizione da Wikipedia: scienza che ha per oggetto lo studio dei fondamenti teorici dell'informazione, della sua computazione a livello logico e delle tecniche pratiche per la loro implementazione e applicazione in sistemi elettronici automatizzati detti quindi sistemi informatici.

• Estremizzando: Computer Science is no more about computers than astronomy is about telescopes. (Edsger W. Dijkstra)

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Domanda aperta

L’informatica è quindi un ramo della matematica, una disciplina ingegneristica o una scienza della natura?

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Le tre anime dell’informatica(C. Mirolo)

All’interno della disciplina convivono tre concezioni principali:•Anima matematica (paradigma razionalista), tipica dell’informatica teorica (gli anglofoni direbbero della computer science)•Anima ingegneristica (paradigma tecnologico), tipica dell’ambito dell’ingegneria del software (gli anglofoni direbbero della information and communication technology, o ICT)•Anima scientifica (paradigma scientifico), tipica dell’ambito dell’intelligenza artificiale

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L’anima matematica

Rimanda al razionalismo in filosofia•La ragione pura (conoscenza a priori) è più affidabile dell’esperienza sensoriale (conoscenza a posteriori)•Programmare è assimilabile a un’attività matematica•Esempi: teoria della calcolabilità, complessità computazionale, verifica formale della correttezza dei programmi, semantica dei linguaggi di programmazione, etc.

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L’anima ingegneristica

Rimanda all’empirismo in filosofia•L’esperienza è alla radice di ogni conoscenza•Da un punto di vista ingegneristico l’informatica mira a produrre sistemi affidabili e i metodi dell’informatica teorica sono considerati speculativi•È impraticabile, se non impossibile, acquisire (dedurre) conoscenza a priori sui programmi reali•Esempi: ingegneria del software (requisiti, progetto, design patterns, architettura, manutenzione ed evoluzione, testing, etc.)

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L’anima scientifica

• La conoscenza a priori (deduttiva) deve essere corroborata/refutata da evidenza empirica (sperimentale)

• L’informatica è una disciplina scientifica e le proprietà dei suoi modelli e risultati sono oggetto di indagine scientifica

• Esempi: debugging, intelligenza artificiale, reti neurali artificiali, modelli e simulazione, programmazione evolutiva

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Il punto di vista del legislatore: l’informatica nella scuola del

riordinoDM 22/08/2007 n. 139: Asse scientifico-tecnologico

Competenze di base a conclusione dell’obbligo di istruzione:•Osservare, descrivere ed analizzare fenomeni appartenenti alla realtà naturale e artificiale e riconoscere i concetti di sistema e di complessità•Essere consapevole delle potenzialità e dei limiti delle tecnologie nel contesto culturale e sociale in cui vengono applicate

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Il punto di vista del legislatore: l’informatica nella scuola del riordino

(2)DM 7/10/2010 n. 211: Liceo Scientifico – Opzione delle scienze applicate

Competenze di base a conclusione dell’obbligo di istruzione: Il collegamento con le discipline scientifiche, ma anche con la filosofia e l’italiano, deve permettere di riflettere sui fondamenti teorici dell’informatica e delle sue connessioni con la logica, sul modo in cui l’informatica influisce sui metodi delle scienze e delle tecnologie, e su come permette la nascita di nuove scienze.

Nelle declaratorie, prevalgono l’anima matematica e quella scientifica, in quest’ordine. Questo non vuol dire che l’anima ingegneristica sia meno importante, ma solo che le altre due anime le sono propedeutiche!

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Nanos gigantum humeris insidentes

Per costruire un sillabo coerente con le premesse, proviamo a salire come nani sulle spalle dei giganti!

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Sviluppare il ragionamento matematico

“Il ragionamento matematico può essere considerato piuttosto schematicamente come l'esercizio di una combinazione di due capacità, che possiamo chiamare intuizione e ingegnosità.“

Alan M. Turing (1912-1954)

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Sviluppare il ragionamento algoritmico

“Se è vero che un problema non si capisce a fondo finché non lo si deve insegnare a qualcuno altro, a maggior ragione nulla deve essere compreso in modo più approfondito di ciò che si deve insegnare ad una macchina, ovvero di ciò che va espresso tramite un algoritmo."

Donald Knuth, nume tutelare degli algoritmisti, autore di The Art of Computer Programming

“Se è vero che un problema non si capisce a fondo finché non lo si deve insegnare a qualcuno altro, a maggior ragione nulla deve essere compreso in modo più approfondito di ciò che si deve insegnare ad una macchina, ovvero di ciò che va espresso tramite un algoritmo."

Donald Knuth, nume tutelare degli algoritmisti, autore di The Art of Computer Programming

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Problemi ed algoritmi

Per risolvere un problema (matematico), i giganti ci suggeriscono di coltivare e sviluppare l’intuito e l’ingegno dell’individuo - qualità invero piuttosto innate - attraverso il duro lavoro della comprensione iniziale della intrinseca difficoltà del problema stesso (ovvero del suo ‘’nucleo’’ matematico), seguita poi dallo sviluppo di una appropriata procedura di risoluzione algoritmica (se possibile!)

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Gli obiettivi di questo corsoTutto ciò premesso, ci concentreremo sull’anima matematica dell’informatica, ovvero la teoria della computazione, che a sua volta può essere suddivisa in due grandi filoni: •La teoria della calcolabilità, ovvero lo studio della (ir)risolubilità dei problemi computazionali mediante un procedimento di calcolo (algoritmo)•La teoria degli algoritmi e della complessità computazionale, ovvero lo studio delle risorse di calcolo (principalmente tempo di esecuzione e spazio di memoria utilizzato) necessarie e sufficienti ad un algoritmo (esatto, approssimato, randomizzato) per risolvere un problema computazionale

Il tutto verrà illustrato cercando di utilizzare un linguaggio rigoroso ma senza eccedere nel formalismo, con l’obiettivo quindi di fornire delle idee e del materiale da riutilizzare in classe (opportunamente adattato alle esigenze di ciascuno, ovviamente!)

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Le tre giornate

• Oggi– Facile, difficile, impossibile: spunti di teoria

della calcolabilità e principali classi di complessità computazionale dei problemi

• Venerdì 19/4– Essere algoritmista: progettare un algoritmo

corretto, efficiente, e possibilmente ottimo• Venerdì 26/4– Quando il problema è troppo arduo e tutto il

resto fallisce: algoritmi di approssimazione e il potere della randomizzazione

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Complessità computazionale (dei problemi)

• Che cos’è un algoritmo?• Posso sempre risolvere (algoritmicamente)

un dato problema? • Quanto velocemente? Caratterizzazioni dei

problemi in funzione della loro “difficoltà” computazionale: le classi di complessità

• Il problema da 1 Milione di Dollari: P versus NP

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Procedimento effettivo che consente di risolvere un problema (ovvero di ottenere una risposta ad un determinato quesito) eseguendo, in un determinato ordine, un insieme finito di passi semplici (azioni), scelti tra un insieme (solitamente) finito di possibili azioni.

Definizione (necessariamente informale) di algoritmo

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Algoritmo ≠ Programma: un algoritmo è l’essenza computazionale di un programma, ovvero della sua codifica in un certo linguaggio di programmazione, in quanto fornisce una procedura risolutiva depurata da dettagli riguardanti il linguaggio di programmazione stesso, l’ambiente di sviluppo, il sistema operativo

Etimologia della parola algoritmo

Il termine Algoritmo deriva da Algorismus, traslitterazione latina del nome di un matematico persiano del IX secolo, Muhammad al-Khwarizmi, che ne descrisse il concetto applicato alle procedure per eseguire alcuni calcoli matematici

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Problemi computazionali• Un problema computazionale è una relazione tra

un insieme di istanze (input) e un insieme di soluzioni (output).

• Una soluzione algoritmica ad un problema computazionale consiste in un algoritmo che calcola per ogni istanza del problema almeno una soluzione, o che rilascia un certificato di non esistenza di una soluzione. Ad esempio, il problema della fattorizzazione:

“Dato un intero positivo n, scomporlo in fattori primi“

ammette una soluzione algoritmica: basta guardare ad uno ad uno tutti i valori minori di n, e per ciascuno di essi, verificare se è primo (scomponendolo a sua volta in fattori primi), e se sì, verificare se divide n.

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Tipologie di problemi computazionali

• Problemi di decisione – Richiedono una risposta binaria ad una domanda. Ad esempio, il numero 29 è primo?

• Problemi di ricerca – Richiedono di restituire una soluzione del problema. Ad esempio, trovare la media aritmetica di un insieme di numeri

• Problemi di ottimizzazione – Richiedono di restituire la soluzione migliore (rispetto ad un prefissato criterio) tra tutte quelle possibili. Ad esempio trovare il cammino di lunghezza minima fra due nodi di un grafo

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Una domanda apparentemente strana

• Possono esistere problemi non calcolabili, cioè irrisolubili (algoritmicamente)? Si noti che se un tale problema esistesse, allora sarebbe preclusa soltanto (si fa per dire!) la sua risoluzione in un numero finito di passi. Ma il concetto di infinito è troppo elusivo per la nostra mente…

• La risposta alla domanda è sì, e anzi i problemi non calcolabili "sono molti di più" di quelli calcolabili! I problemi si classificano quindi in:– problemi non calcolabili (problemi che non

ammettono una soluzione algoritmica)– problemi calcolabili, a loro volta classificabili in:

• problemi trattabili (cioè risolvibili in tempi ‘’ragionevoli’’)

• problemi intrattabili

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Insiemi numerabili

• Un insieme è numerabile (possiede un’infinità numerabile di elementi)

⇔i suoi elementi possono essere messi in

corrispondenza biunivoca con i numeri naturali.

• In altre parole, un insieme numerabile è un insieme i cui elementi possono essere enumerati, ossia descritti da una sequenza del tipo

a1, a2, ... , an, ...

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Insiemi numerabili: esempi

• Insieme dei numeri naturali N• Insieme dei numeri interi Z:

n ↔ 2 n+ 1 n ≥0n ↔2 |n| n< 0

Enumerazione: 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, ...• Insieme dei numeri naturali pari:

2n ↔ n Enumerazione: 0, 2, 4, 6, 8, ...

• Insieme delle sequenze (stringhe) su un alfabeto finito.

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Enumerazione delle sequenze

• Si vogliono elencare in un ordine ragionevole le sequenze costruite su un certo alfabeto (finito)

• Ordine lessicografico: Si ordinano i caratteri dell’alfabeto (arbitrariamente); quindi si ordinano le sequenze in ordine di lunghezza crescente, e, a parità di lunghezza, in “ordine alfabetico”

• Una sequenza s arbitraria si troverà, tra quelle di |s| caratteri, in posizione alfabetica tra queste.

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Esempio

Alfabeto = {a,b,c, ..., z}a, b, c, ..., z, aa, ab, ..., az, ba, ..., bz, ..., za, ..., zz,aaa, aab, .... , baa, ...., zaa, ... , zzz,...

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Enumerazione delle sequenze

Ad una sequenza arbitraria corrisponde il numero che ne indica la posizione nell’elencoAd un numero naturale n corrisponde la sequenza in posizione n Corrispondenza biunivoca con N

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Insiemi non numerabili

Esempi:•insieme dei numeri reali compresi nell’intervallo chiuso [0,1]•insieme dei numeri reali compresi nell’intervallo aperto (0,1)•insieme dei numeri reali•insieme di tutte le linee nel piano•insieme delle funzioni in una o più variabili.

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Quante sono le funzioni da numeri naturali in numeri

naturali?• Sono enumerabili? NO!!!• Come possiamo dimostrare che le

funzioni da naturali in naturali non sono enumerabili?

• Si procede con un argomento proposto dal matematico tedesco Georg Cantor nel 1891: la diagonalizzazione

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Considerazioni preliminari

• Consideriamo i possibili sottoinsiemi non vuoti dei numeri naturali: {0}, {0,1}, {2,5,7}…

• Per ogni sottoinsieme S di N possiamo costruire una funzione che associa ad ogni elemento di N il valore 1 se questi appartiene ad S, e 0 altrimenti

• Le funzioni da N in N sono quindi almeno tante quanti i sottoinsiemi di N

• Quanti sono i possibili sottoinsiemi di N?

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I sottoinsiemi di N

• Supponiamo per assurdo che i sottoinsiemi di N siano enumerabili

• Consideriamo la seguente tabella:

1 2 3 4 …f0 0 1 1 0 …

f1 1 0 0 0 …

…

• fi è la funzione che identifica l’i-esimo insieme

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Una funzione speciale• Costruiamo la seguente funzione:

1 2 3 4 …

f x0 x1 x2 x3 …

dove xi è 1 se l’i-esimo elemento della diagonale è 0, 0 altrimenti.

• Questa funzione definisce un sottoinsieme di N ma non può apparire nella tabella!!!!

• Quindi l’ipotesi che le funzioni che definiscono sottoinsiemi di N siano enumerabili non può essere vera!

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Funzioni non calcolabili

• Abbiamo dimostrato che un sottoinsieme delle funzioni da N a N non è numerabile

• Quindi tali funzioni sono più dei numeri naturali

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Dalle funzioni ai problemi

• Ricordiamo che un problema computazionale è una funzione matematica che associa ad ogni insieme di dati il corrispondente risultato

⇒ Esistono tanti problemi computazionali quante sono le funzioni ⇒ le funzioni non sono numerabili ⇒ i problemi non sono numerabili.

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Algoritmi vs Problemi

• D’altro canto, un algoritmo è una sequenza finita di caratteri su un alfabeto finito, e abbiamo visto che tali sequenze sono numerabili ⇒

|{Algoritmi}| < |{Problemi}|⇒ Devono esistere problemi per cui

non esiste un algoritmo di calcolo, cioè problemi non calcolabili!

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Alla ricerca di un problema non calcolabile

• Abbiamo dimostrato l’esistenza di funzioni/problemi non calcolabili.

• I problemi che si presentano spontaneamente sono tutti calcolabili.

• Non è stato facile individuare un problema che non lo fosse.

• Turing (1930): Problema dell’arresto.

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Il problema dell’arresto

Consiste nel chiedersi se un generico algoritmo A avente come input un insieme di dati D termina in tempo finito la sua esecuzione, oppure “va in ciclo”, ovvero continua a ripetere la stessa sequenza di istruzioni all’infinito (supponendo di non avere limiti di tempo e memoria).

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Esempio #1: Stabilire se un intero p > 1 è

primo.

Primo(p) //scritto in Cfattore = 2;while (p % fattore != 0)

fattore++;return (fattore == p);

Termina sicuramente (la guardia delwhile diventa falsa quando fattore = p).

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Esempio #2

• Algoritmo che trova il più piccolo numero intero pari (maggiore di 4) che NON sia la somma di due numeri primi.

• L’algoritmo si arresta quando trova n ≥ 4 che NON è la somma di due primi.

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Un corrispondente programma

Goldbach() //scritto in Cn = 2;do {

n = n + 2;controesempio = true;for (p = 2; p ≤ n - 2; p++) {

q = n - p;if (Primo(p) && Primo(q))

controesempio = false;}

} while (!controesempio);return n; //n non è la somma di due primi

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Congettura di Goldbach

1792: “ogni numero intero pari n ≥ 4 è la somma di due numeri primi”

Congettura falsa Goldbach() si arresta

Congettura vera Goldbach() NON si arresta

Il programma Goldbach() è funzionalmente utile solo nel caso in cui la congettura sia falsa!

Ad oggi la congettura è ancora aperta, ed è nota essere vera fino a numeri dell’ordine di 1018

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Osservazione

Un algoritmo che risolvesse il problema dell’arresto costituirebbe dunque uno strumento estremamente potente: permetterebbe infatti di dimostrare in tempo finito congetture ancora aperte sugli interi (tipo la congettura di Goldbach).

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Teorema

Turing ha dimostrato che riuscire a calcolare se un programma arbitrario si arresta e termina la sua esecuzione non è solo un’impresa ardua, ma è addirittura IMPOSSIBILE!

TEOREMA

Il problema dell’arresto non è calcolabile (più precisamente, NON È DECIDIBILE).

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DIMOSTRAZIONE (per assurdo)

Se il problema dell’arresto fosse decidibile, allora esisterebbe un algoritmo ARRESTO che, presi A e D come generici dati di input, determinerebbe in tempo finito le risposte:

ARRESTO(A,D) = 1 se A(D) terminaARRESTO(A,D) = 0 se A(D) non termina

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Osservazioni (1)

L’algoritmo ARRESTO non può consistere in un algoritmo che simuli la computazione A(D):

se A non si arresta su D, ARRESTO non sarebbe in grado di rispondere 0 in tempo finito.

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Osservazioni (2)

• Osserviamo anche che il dato D può legittimamente essere un algoritmo: gli algoritmi sono rappresentabili con sequenze di simboli, che possono essere presi dallo stesso alfabeto usato per codificare i dati di input.

• Quindi, ha senso considerare l’ipotesi di dover progettare un algoritmo che indaghi sulle proprietà di altri algoritmi, trattando questi ultimi come dati.

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DIMOSTRAZIONE (1)

• Un algoritmo per algoritmi è un algoritmo A, comunque formulato, che può operare sulla rappresentazione di un altro algoritmo B, che cioè calcola A(B).

• In particolare, può avere senso determinare se A(A) termina in tempo finito, cioè

ARRESTO(A,A) = 1⇔

A(A) termina

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DIMOSTRAZIONE (2)

Se esistesse l’algoritmo ARRESTO, esisterebbe anche il seguente algoritmo:

PARADOSSO(A)while (ARRESTO(A,A)) {

;}

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DIMOSTRAZIONE (3)

L’ispezione dell’algoritmo PARADOSSOmostra che:

PARADOSSO(A) termina

⇔x = ARRESTO(A,A) = 0

⇔A(A) non termina

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DIMOSTRAZIONE (4)

Cosa succede calcolando PARADOSSO(PARADOSSO)?

PARADOSSO(PARADOSSO) termina

⇔x = ARRESTO(PARADOSSO, PARADOSSO) = 0

⇔PARADOSSO(PARADOSSO) non termina

contraddizione!

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DIMOSTRAZIONE (5)

L’unico modo di risolvere la contraddizione è che l’algoritmo PARADOSSO non possa esistere.Dunque non può esistere nemmeno l’algoritmo ARRESTO.In conclusione, il problema dell’arresto è indecidibile!

QED

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Osservazione

Aver dimostrato che il problema dell’arresto è indecidibile implica che non può esistere un algoritmo che decida in tempo finito se un algoritmo arbitrario termina la sua computazione su input arbitrari.

Attenzione: ciò non significa che non si possa decidere in tempo finito la terminazione di algoritmi particolari su input particolari (o anche arbitrari)!

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Altri problemi non calcolabili

• Esistono risultati di non calcolabilità relativi ad altre aree della matematica, tra cui la teoria dei numeri e l'algebra, e per problemi meno ‘’esoterici’’ del problema dell’arresto

• Tra questi, occupa un posto di rilievo il ben noto decimo problema di Hilbert.

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Equazioni diofantee

Un'equazione diofantea è un'equazione della forma

p(x1,x2,...,xm) = 0

dove p è un polinomio a coefficienti interi.

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Il decimo problema di Hilbert (1)

Data un’arbitraria equazione diofantea, di grado arbitrario e con un numero arbitrario di incognite

p(x1,x2,...,xm) = 0

stabilire se p ammette soluzioni intere.

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Il decimo problema di Hilbert (2)

• La questione circa la calcolabilità di questo problema è rimasta aperta per moltissimi anni, e ha attratto l'attenzione di illustri matematici

• È stata risolta negativamente nel 1970 da un matematico russo allora poco più che ventenne, Yuri Matiyasevich.

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Problemi risolubili

Concentriamoci ora sui problemi risolubili, ovvero quelli per cui esiste un algoritmo risolutivo (che opera in tempo finito). Il nostro obiettivo è ora quello di separare i problemi trattabili da quelli intrattabili, dove intuitivamente trattabile significa che il problema può essere risolto prima che sia diventato inutile averne trovato la soluzione

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Complessità computazionale:

alcuni concetti di cui non è sempre facile parlare

algoritmo

problema

istanza

modello di calcolo

dimensione

dell’istanza

caso peggiore

efficienza

correttezza

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A cosa vogliamo rispondere?CONTESTO: Abbiamo un problema a cui sono associate diverse (infinite) istanze di diversa dimensione. Vogliamo risolvere (automaticamente) il problema progettando un algoritmo. L’algoritmo sarà eseguito su un modello di calcolo e deve descrivere in modo non ambiguo (utilizzando appositi costrutti) la sequenza di operazioni sul modello che risolvono una generica istanza. La complessità temporale/spaziale di un’esecuzione dell’algoritmo è misurata come numero di operazioni eseguite/memoria utilizzata sul modello e dipende dalla dimensione dell’istanza e dall’istanza stessa. Invece, la complessità temporale/spaziale di un algoritmo è il suo numero di operazioni eseguite/memoria utilizzata nel caso peggiore, cioè rispetto all’istanza più difficile da trattare, normalizzato però ovviamente rispetto alla dimensione dell’istanza stessa (perché altrimenti istanze grandi risulterebbero più ‘’difficili’’ di istanze piccole solo per via della loro dimensione).

DOMANDA: Quanto è difficile il problema, ovvero, qual è la complessità temporale/spaziale del miglior algoritmo risolutivo che posso sperare di progettare? D’ora in avanti, ci concentreremo sulla risorsa tempo 59

Modelli di calcolo

Innanzitutto, per parlare di complessità computazionale, dobbiamo parlare di

modello di calcolo

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Un modello storico: la macchina di Turing

- troppo di basso livello: somiglia troppo poco ai calcolatori reali su cui girano i programmi- utile per parlare di calcolabilità ma meno utile per parlare di efficienza 61

Un modello più realistico• Macchina a registri (RAM: random access machine)

– un programma finito

– un nastro di ingresso e uno di uscita

– una memoria strutturata come un array

• ogni cella può contenere un qualunque valore intero/reale, e quindi ha una dimensione infinita

– due registri speciali: PC e ACC

• La RAM è un’astrazione dell’architettura di von Neumann, ed è Turing-equivalente, cioè si può dimostrare che tutto quello che si può calcolare su una Macchina di Turing si può calcolare anche su una RAM, e viceversa. Questo non è un caso: infatti, la tesi di Church-Turing, universalmente accettata, afferma che tutti i modelli di calcolo ragionevoli sono o equivalenti o meno potenti della Macchina di Turing!

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Macchina a registriRAM: random access machine

memoria(come un grosso Array con celle

illimitate)

programmafinito

nastro di Input

nastro di Output

PC

ACC

CPU

PC: program counter prossima istruzione da eseguire

ACC: mantiene operandi istruzione corrente

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Il concetto di dimensione dell’istanza

• Formalmente, è il numero di bit strettamente necessari per rappresentare l’istanza sul nastro di input della RAM. Quindi, ad esempio, se l’input è un valore numerico n, allora la dimensione dell’istanza sarà pari alla sua codifica binaria (ed è pari quindi ad un numero di bit logaritmico rispetto al valore, cioè log2n)

• Si noti però che se l’input è un insieme di dati ‘’omogenei’’ di cardinalità n (ad esempio, un insieme di numeri da ordinare), allora si assume, al fine di semplificare l’analisi dell’algoritmo, che la dimensione dell’input è pari ad n

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Modello di calcolo: cosa posso fare

• L’analisi della complessità di un algoritmo è basata sul concetto di passo elementare

• Passi elementari su una RAM– istruzione ingresso/uscita (lettura o stampa)– operazione aritmetico/logica– accesso/modifica del contenuto della memoria

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• Sia tempo(I) il numero di passi elementari di un algoritmo sull’istanza I. Allora, la complessità computazionale dell’algoritmo è:

T(n) = max istanze I di dimensione n {tempo(I)}

• Intuitivamente, T(n) è il numero di passi elementari dell’algoritmo sulle istanze di ingresso che comportano più lavoro per l’algoritmo stesso

• Perché è importante? Perché rappresenta una garanzia (cioè una limitazione superiore) sul tempo di esecuzione su ogni possibile istanza di input!

• Domanda: Analogamente a quanto accade con lo studio delle funzioni in analisi matematica, ha senso caratterizzare T(n) al tendere di n all’infinito, cioè al crescere della dimensione dell’input?

Il caso peggiore di un algoritmo

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Una grande idea: la notazione asintotica

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Idea: descrivere T(n) in modo qualitativo, ovvero perdere un po’ in precisione (senza perdere l’essenziale) e guadagnare in semplicità, al fine di raggruppare gli algoritmi in classi di equivalenza rispetto alla loro complessità computazionale.

f(n) = O(g(n)) se due costanti c>0 e n0≥0 tali che 0f(n) ≤ c g(n) per ogni n ≥ n0

Notazione asintotica O

cg(n)

f(n)

n0 n

f(n) = ( g(n) )

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Esempi:

Sia f(n) = 2n2 + 3n, allora

• f(n)=O(n3) (c=1, n0=3)

• f(n)=O(n2) (c=3, n0=3)

• f(n) O(n)

In generale, un qualsiasi polinomio di grado k appartiene a O(nk)

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Notazione asintotica O e concetto di limite

menteasintotica cngnf

ngOnf

ngOnf cngnf

limn

esiste) (se ngnf

lim ngOnf n

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Complessità computazionale (o temporale) di un algoritmo e di un

problemaDefinizioneUn algoritmo A ha una complessità computazionale O(f(n)) su istanze di dimensione n se T(n)=O(f(n))

Definizione (upper bound di un problema)Un problema P ha una complessità computazionale o upper bound O(f(n)) se esiste un algoritmo che risolve P la cui complessità computazionale è O(f(n))

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La classe TimeOra che abbiamo definito i concetti di dimensione dell’istanza, modello di calcolo e notazione asintotica ‘’O’’, possiamo introdurre la classe Time: Data un’istanza di dimensione n, e data una qualunque funzione f(n), chiamiamo

Time(f(n))l’insieme dei problemi che possono essere risolti sulla RAM in tempo O(f(n)).

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Esempi

• Il problema della ricerca, ovvero di verificare se un certo elemento è presente in un dato insieme di dimensione n, appartiene a Time(n): basta scorrere tutti gli elementi e verificarne la presenza

• Lo stesso problema, nel caso in cui gli elementi fossero ordinati, si può dimostrare che appartiene a Time(log n)

• NOTA: Time(1) denota i problemi che possono essere risolti in tempo costante, indipendentemente dalla dimensione dell’istanza (sono quindi problemi banali)

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La classe P

La classe P è la classe dei problemi decidibili in tempo polinomiale nella dimensione n dell’istanza di ingresso:

P = Uc≥0 Time(nc)

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La classe ExpTime

La classe ExpTime è la classe dei problemi decidibili in tempo esponenziale nella dimensione n dell’istanza di ingresso, ovvero in O(ap(n)), dove a>1 è una costante e p(n) è un polinomio in n; più formalmente, si può scrivere:

ExpTime=Uc≥0Time(2(nc))

Chiaramente, P ⊑ ExpTimeSi può dimostrare che l’inclusione è propria, cioè esistono problemi in ExpTime che non appartengono a P: uno di questi problemi è quello di verificare se un certo algoritmo si arresta in al più k passi, con k fissato.

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Un altro problema in ExpTime: SAT

Data un’espressione booleana in forma normale congiuntiva, cioè la congiunzione (operatore logico AND) di un insieme di clausole, in cui ogni clausola è la disgiunzione (operatore logico OR) di un certo insieme di variabili che possono assumere valore TRUE o FALSE, il problema della soddisfacibilità (SAT) richiede di verificare se esiste una assegnazione di valori di verità alle variabili che rende l’espressione TRUE.

È facile convincersi che SAT appartiene ad ExpTime, in quanto può essere risolto provando le 2n possibili assegnazioni di verità alle n variabili. Ma la vera domanda è: SAT appartiene a P? Sembra incredibile, ma non siamo in grado di dare una risposta a questa semplice domanda, anche se si congettura che la risposta sia NO.

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Non determinismo• Negli algoritmi visti finora ogni passo è determinato

univocamente dallo stato della computazione; vengono quindi detti deterministici. Tale ipotesi dipende dal modello di calcolo che abbiamo adottato.

• Supponiamo ora di avere un modello di calcolo (apparentemente) più potente, ovvero una macchina non deterministica che ci consenta, ad ogni passo dell’esecuzione di un algoritmo, di proseguire la computazione lungo un numero finito di esecuzioni multiple. Si noti che stiamo parlando di un modello di calcolo astratto, che non esiste nella realtà!

• Un algoritmo non deterministico è un algoritmo che ha il potere, ad ogni istante della computazione non deterministica, di indovinare l’esecuzione giusta lungo cui proseguire per arrivare alla risoluzione del problema.

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Esempio

Come potrebbe funzionare un algoritmo non deterministico per SAT?– Indovina ad ogni passo il valore giusto da

assegnare ad una variabile (TRUE o FALSE)– La computazione sarà descritta da un albero

binario, dove le ramificazioni corrispondono alle scelte non deterministiche (la computazione deterministica è invece descritta da una catena)

– Quindi se la formula è soddisfacibile, esiste almeno un cammino che porta a una foglia con valore TRUE. Si noti che tale cammino è lungo n

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La classe NP

• Data una qualunque funzione f(n), chiamiamo NTime(f(n)) l’insiemi dei problemi che possono essere decisi da un algoritmo non deterministico in tempo O(f(n))

• La classe NP è la classe dei problemi decidibili in tempo polinomiale non deterministico nella dimensione n dell’istanza di ingresso:

NP = Uc≥0 NTime(nc)• SAT appartiene a NTime(n), e quindi SAT

appartiene a NP

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Gerarchia delle classi

P è incluso in NP oppure no?– Ovviamente sì: un algoritmo

deterministico è un caso particolare di un algoritmo non deterministico, in cui però le computazioni non si ramificano

– L’inclusione è propria? Non si sa, e questo è uno dei 6 problemi matematici aperti la cui risoluzione vi farà vincere 1 Milione di Dollari! (si veda Wikipedia)

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Gerarchia delle classi (2)

NP è incluso in ExpTime oppure no?– Ovviamente sì: un algoritmo non

deterministico può essere ‘’simulato’’ da un algoritmo deterministico che esplora una dopo l’altra tutte le computazioni ramificate in tempo esponenziale

– L’inclusione è propria? Non si sa…

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Gerarchia delle classi (3)

• Quindi abbiamoP ⊑ NP ⊑ ExpTime, con P ≠ ExpTime

• Si congettura che tutte le inclusioni siano proprie

• In NP c’è una classe molto speciale di problemi che sicuramente non apparterrebbero a P se fosse NP ≠ P: i problemi NP-completi

• Si può dimostrare che SAT è NP-completo (più precisamente, è stato il primo problema per cui si è provata la NP-completezza [Stephen Cook, 1971])

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Gerarchia delle classi

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Decidibili

ExpTime(ARRESTO(k))P

(ricerca) NP

NP-completi (SAT)

Altri famosi problemi NP-completi

• Commesso viaggiatore– Dati un grafo completo G con pesi w sugli

archi ed un intero k, verificare se esiste un ciclo un G di peso al più k che attraversa ogni vertice una ed una sola volta

• Colorazione– Dati un grafo G ed un intero k, verificare se

è possibile colorare i vertici di G con al più k colori tali che due vertici adiacenti non siano dello stesso colore

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Altri famosi problemi NP-completi (2)

• Somme di sottoinsiemi– Dati un insieme S di numeri naturali ed un

intero t, verificare se esiste un sottoinsieme di S i cui elementi sommano esattamente a t

• Zaino– Dati un intero k, uno zaino di capacità c, e n

oggetti di dimensioni s1, …., sn cui sono associati profitti p1, …., pn, bisogna verificare se esiste un sottoinsieme degli oggetti di dimensione ≤c che garantisca profitto ≥k

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