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S. Palermo DYNAMO: un contributo al controllo sismico dei risultati fem (10.2 NTC)

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Articolo in anteprima su ingegneri.infoDYNAMO:UN CONTRIBUTO AL CONTROLLO SISMICO DEI RISULTATI FEM (10.2 NTC)Dott. Ing. Salvatore Palermo

Indice

1. L’analisi Dinamica Modale

2. Le richieste del p.to 10.2 NTC: giudizio motivato di accettabilità dei risultati2.1 Controllo qualitativo della Dinamica Modale2.2 Controllo quantitativo della Dinamica modale: il contributo di DYNAMO 2.2.1 Esempio pratico di utilizzo di DYNAMO 2.2.2 Conclusioni

1. L’analisi Dinamica ModaleIl metodo degli elementi finiti e i programmi automatici basati su di esso, costituiscono il riferimento perle analisi di ingegneria strutturale, purchè si tengano in debita considerazione aspetti determinanti quali:

a) affidabilità dei programmi;b) modellazione strutturalec) attendibilità dei risultati ottenuti;

dove la dimostrazione dei punti a), c) è esplicitamente richiesta al Progettista al p.to 10.2 NTC (D.M.14.01.08) mediante elaborazione di una relazione, relazione che non potrà che essere verificata dalCollaudatore, come si deduce dal p.to f), 9.1 NTC.Sui p.ti a), b), c) che precedono si può consultare l’articolo ‘LE INSIDIE DEL FEMNELL’INGEGNERIA STRUTTURALE’.

Nell’ambito della valutazione degli effetti (presunti) del sisma, il tipo di analisi standard riconosciutoanche dalle NTC (7.3.3.1) è quello dell’analisi dinamica (lineare) modale.

La matematica deve essere strumento, supporto per l’Ingegnere e non deve mai precedere lacomprensione di un fenomeno o di un modello; non riporteremo pagine di equazioni sull’oscillatoreelementare, sulle equazioni del moto, sul disaccoppiamento e sulle tecniche di calcolo autovalori-autovettori, ma, anche a costo di semplificare drasticamente il problema, ci limiteremo nel seguito aconsiderazioni qualitative.

I passi che vengono effettuati per determinare gli effetti dell’azione sismica, possono essere cosìsinteticamente riassunti (si fa riferimento all’analisi dinamica modale basata sui modi naturali di vibrare):

- generata la struttura, si assegnano sez. geometriche e materiali, risultando così note le rigidezze ditutti gli elementi strutturali e si attribuiscono le masse;

- note che siano rigidezze e masse, si esegue un’analisi dinamica modale che decompone la rispostaglobale della struttura in tante singole risposte o modi di vibrare (o oscillatori), determinando iperiodi di vibrazione di ciascuna risposta o modo di vibrare;

- i programmi ordinano automaticamente i periodi in ordine decrescente così che ai primi modicorrispondano periodi propri più lunghi e quindi maggiormente significativi.

- il primo modo di vibrare (modo fondamentale) è quello a cui compete il periodo di vibrazione piùlungo;

- in corrispondenza di ciascun modo e quindi periodo, in base agli spettri (grafici periodo-accelerazione) definiti dalle norme (NTC), si determina un valore dell’accelerazione spettrale;

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- in relazione alle accelerazioni così ottenute e alle masse presenti sulla struttura, si ottengono degliopportuni insiemi di forze (una forza è pur sempre: massa x accelerazione), uno per ogni modo divibrare,

- caricando la struttura con tali insiemi di forze si ottengono sollecitazioni e spostamenti per ognimodo di vibrare;

- si pone a questo punto il problema inverso: sovrapporre ciò che per comodità si era decomposto;in altre parole ricomporre i risultati dei singoli modi di vibrare per avere un unico risultato.Opportune regole matematiche (SRSS o meglio ancora CQC) consentono questa convenzionaleoperazione.Ad esempio, con la SRSS, un momento flettente finale è dato dalla radice quadrata della sommadei quadrati dei risultati (momenti flettenti) ottenuti da ciascun modo. L’uso della regola SRSS,non presente nelle NTC, viene previsto nella Circolare NTC al p.to C7.3.3.1, sotto la verifica ditalune condizioni.

2. Le richieste del p.to 10.2 NTC: giudizio motivato di accettabilità dei risultatiAl termine dell’analisi le NTC richiedono che il progettista, per ogni singolo progetto strutturale, devedocumentare mediante relazione scritta i controlli che vengono fatti e che siano utili a comprovarel’attendibilità dei risultati ottenuti.In merito ai tipi di controlli le NTC al p.to 10.2 ‘Giudizio motivato di accettabilità dei risultati, riportano:

- confronto con risultati ottenuti da semplici calcoli, anche di larga massima, eseguiti con metoditradizionali;

- consistenza delle scelte operate in sede di schematizzazione e di modellazione della struttura edelle azioni, sulla base di considerazioni riguardanti gli stati tensionali e deformativi determinati.

Come si è già avuto modo di affermare nell’articolo già citato ‘LE INSIDIE DEL FEMNELL’INGEGNERIA STRUTTURALE’, queste modalità sono sicuramente da percorrere, ma si ritienesiano parzialmente sufficienti e genericamente poste; l’impostazione riflette ancora un approcciotradizionale che può essere insufficiente per il controllo del calcolo automatico, che nella fattispecie sifonda sulla discretizzazione fem e sull’analisi modale.

Se fissiamo l’attenzione sulla dinamica modale è opportuno allora considerare quali siano gli aspetti daconsiderare, strettamente connessi a questo tipo di analisi.E’ sempre bene, far prevalere (e precedere) una valutazione qualitativa prima di apprestarsi a valutazioniquantitative (numeriche) dei risultati ottenuti.

2.1 Controllo qualitativo dei risultati della Dinamica ModaleCon riferimento alla dinamica modale condotta sulle strutture di un generico edificio, si forniscono nelseguito indicazioni per comprendere se i risultati ottenuti al temine dell’analisi siano qualitativamentecoerenti con l’edificio analizzato.

La comprensione di questo argomento è importante anche ai fini progettuali infatti l’osservazione delleforme modali e dell’entità delle masse partecipanti (es. dominanza di modi torsionali) può ancheevidenziare debolezze strutturali su quali intervenire progettualmente (ad esempio riproporzionandotalune rigidezze/inerzie oppure creando un giunto, per attenuare le eccentricità torsionali e far prevaleremodi traslazionali per i quali la risposta sismica della struttura è più efficiente e prevedibile).

Si ricorda preliminarmente che le forze sismiche possono considerarsi concentrate, nel caso di edifici, neibaricentri di massa dei rispettivi impalcati e tramite la loro azione fanno nascere tagli orizzontali resistenti(il cui baricentro risultante è il centro delle rigidezze), negli elementi verticali (pilastri/muri) in funzionedella rigidezza traslatoria degli stessi elementi.

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A) Se la distribuzione delle masse e delle rigidezze è praticamente simmetrica rispetto a due assiortogonali in pianta allora il baricentro di massa e il baricentro delle rigidezze possono considerarsicoincidenti e quindi, sotto azione sismica, l’edificio subirà solo spostamenti senza rotazioni.Dal punto di vista dell’analisi dinamica modale, eseguita sull’edificio tridimensionale, si dovrannoosservare deformate modali dell’edificio puramente traslatorie in direzione x, y associate ai primi modi divibrare (spesso al primo e al secondo, al primo a al terzo, al secondo e al terzo,…) e con massa modalepartecipante elevata e presente solo nella direzione considerata (es. modo 1: traslazionale in x conMx=88%, My=0; modo 3: traslazionale in y con Mx=0%, My=90%); il resto della massa partecipantesarà associata a modi successivi ma sempre solo traslatori (es. al 4° modo: Mx=10%, My=0% e 6°modo: Mx=0%, My=8%).

Il periodo più alto tra i modi (primo periodo) sarà di solito associato alla deformata modale che agiscelungo la direzione più debole dell’edificio (spesso coincidente con il lato più corto).

Saranno inoltre anche presenti varie deformate modali torsionali (o rotazionali) ma tali deformate sidovranno presentare con masse modali associate praticamente nulle (es. Mx=0%, My=0%) in virtù dellasuddetta simmetria.Questi modi di vibrare torsionali saranno anch’essi tra i primi, ad esempio potranno presentarsi comesecondo, terzo o al limite come primo; questo è anche dipendente dal sistema sismo-resistente.Se ad esempio si ha un nucleo centrale con telai attaccati, il nucleo in virtù della sua elevata rigidezzatorsionale non si deforma, al contrario dei telai che torsionalmente deboli ruotano attorno al nucleo stessoche fa da perno, generando una deformata modale in pianta di tipo torsionale e magari (in virtù delladebolezza dei telai, con periodo tra i più elevati e quindi) associata al primo modo di vibrare (anche secon Mx=0%, My=0%, in virtù della simmetria).

Si osservi che le norme includono come primo tra i requisiti da osservare per classificare un edificio comeregolare in pianta proprio che la distribuzione delle masse e delle rigidezze sia simmetrica rispetto a dueassi ortogonali.Per un edificio regolare in pianta si potrebbe evitare una analisi tridimensionale e procedere con analisinel piano, come si può evincere dai risultati che precedono; tra i modi di vibrare in x, y non nasceinfluenza reciproca (Mx 0%, My=0%; Mx=0%, My 0%) e i modi di vibrare torsionale non dannocontributo alla risposta sismica (masse partecipanti nulle).Quindi con analisi nel piano x si ritroverebbero gli stessi risultati dei modi associati ad x nell’analisi 3D;con analisi nel piano y si ritroverebbero gli stessi risultati dei modi associati ad y nell’analisi 3D; non siritroverebbero (essendo l’analisi nel piano) dei modi torsionali, ma tanto come si è detto questi sonoininfluenti.Occorre peraltro precisare che le NTC al p.to 7.2.6 escludono la possibilità di procedere per telai piani(quale che ne sia l’ipotesi di partenza), richiedendo espressamente che il modello della struttura debbaessere tridimensionale (questo per evitare valutazioni nel piano, di massa, rigidezza e resistenza cherispetto a determinate distribuzioni spaziali potrebbero comunque risultare non adeguatamenterappresentative).

Si osservi inoltre che pur analizzando un edificio che presenta distribuzione delle masse e delle rigidezzepraticamente simmetrica rispetto a due assi ortogonali se, per rispettare la richiesta delle norme, siassegna una eccentricità accidentale al baricentro delle masse (mediante un suo spostamento fisico, se sista usando l’ipotesi di piano rigido per cui tutta la massa è concentrata nel baricentro di ogni piano), alloraal termine di questa analisi dinamica modale si avranno dei modi di vibrare torsionali (ad es. 3°, 6°,…)ma questa volta con masse modali partecipanti non più nulle a causa dell’eccentricità introdotta (ad es. atitolo indicativo modo 3: Mx=10%, My=0, modo 6: Mx=0%, My= 4%) e quindi con una minorepartecipazione di massa associata ai modi traslazionali x, y.

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Si rammenti infatti, in proposito, che le norme richiedono di considerare un’eccentricità accidentale,spostando il centro di massa di ogni piano, in ogni direzione considerata (+/- x, +/- y), di una distanza paria +/- 5% della dimensione massima del piano in direzione perpendicolare all’azione sismica.Se invece, per rispettare la richiesta delle norme di generare tali eccentricità accidentali del baricentrodelle masse, si sono inserite condizioni di carico statiche con equivalenti coppie torsionali a ciascunpiano, ovviamente nessuna ripercussione si dovrà avere sull’analisi modale (avendo confinato laquestione in una condizione di carico statica).

B) Se la distribuzione delle masse e delle rigidezze non è invece simmetrica rispetto a uno o entrambigli assi ortogonali in pianta, quindi si ha un edificio non regolare in pianta, allora il baricentro di massae il baricentro delle rigidezze non coincidono e quindi, sotto azione sismica, l’edificio subirà spostamentie rotazioni. Ad esempio se la massa continua ad essere simmetricamente distribuita rispetto a due assi mail pilastro di un angolo dell’edificio ha inerzia maggiore dell’analogo pilastro sull’angolo opposto allorail baricentro delle rigidezze non coincide più con quello delle masse generando una eccentricità tra i duebaricentri.

Dal punto di vista dell’analisi dinamica modale, eseguita sull’edificio tridimensionale, si dovranno questavolta osservare deformate modali non più puramente traslatorie, ma anche con una contestuale rotazione otorsione, più o meno accentuata, in dipendenza del valore dell’eccentricità suddetta, e in modo più o menopresente in una o entrambe le direzioni x, y in dipendenza del fatto che l’eccentricità sia solo su unadirezione o anche nell’altra.Se ad esempio si hanno eccentricità significative in entrambe le direzioni (ad es. perché il baricentro dellerigidezze non appartiene più a nessuno dei due assi di simmetria) allora si potranno ancora avere primimodi di vibrare con percentuali di masse elevate ma contemporaneamente presenti, per lo stesso modo, inentrambe le direzioni a causa della traslazione e rotazione (es. modo 1: Mx=70% , My=10%; modo 2:Mx=25%, My=40%; modo 3: Mx=4%, My=35%;… dove, in questo caso sono tutti modi torsionali con ilprimo e il terzo prevalentemente traslatorio e il secondo essenzialmente torsionale).

Finora si è implicitamente ipotizzato che l’edificio fosse regolare in altezza; se invece non lo è che cosaaccade?Ipotizziamo, per separare gli effetti, che sia non regolare in altezza ma che sia regolare in pianta.Ad esempio si supponga che in elevazione l’edificio sia a forma di ‘L’, cioè manchi un corpo d’angolonella parte superiore e quindi i sistemi verticali resistenti al sisma (pilastri, setti) non si estendono pertutta l’altezza dell’edificio, come il caso di seguito descritto.

C) In casi di accentuata non regolarità in altezza (e comunque di regolarità in pianta) si avrannodeformate modali traslazionali, le masse associate ai primi modi di vibrare nelle rispettive direzioni x, y(specie per strutture complesse) potranno presentarsi non più elevate (ad es. modo 1: Mx=35%, My=5%;modo 2: Mx=10%, My=55%, ecc.), cosa che richiederà di coinvolgere molti modi di vibrare permobilitare almeno la quantità di massa richiesta dalle norme (ovvero numero di modi la cui massapartecipante totale sia superiore all’85%, oppure tutti i modi con massa partecipante superiore al 5%,); inaltre parole può accadere che il primo modo di vibrare (in ciascuna direzione x, y) non sia affattodominante.

Si osservi che quanto precede è il sostanziale motivo per cui le norme sismiche tra i requisiti che pongonoper l’utilizzo dell’analisi statica con forze sismiche equivalenti (analisi statica lineare) c’è proprio quelloche l’edificio sia regolare in altezza.Infatti una analisi statica lineare ‘carica’ l’edificio con un solo insieme di forze (statiche) che vengonocalcolate ipotizzando che nella risposta dinamica dell’edificio sia dominante il primo modo o periodo divibrazione (per ciascuna direzione x, y considerata).

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D) Se l’edificio è non regolare in pianta e non regolare in altezza, tutti gli effetti precedentementedescritti in modo separato si sovrappongono e la lettura e verifica della coerenza dell’analisi richiede unimpegno maggiore per ‘decodificare’ i singoli effetti all’interno del risultato globale.

2.2 Controllo quantitativo della Dinamica modale: il contributo di DYNAMODYNAMO è un applicativo-software, completamente realizzato in Microsoft Excel (per vers. 2002, 2003,2007) con una duplice finalità, rivolta alle strutture intelaiate:

• didattica: illustrare in modo trasparente il funzionamento dell’analisi dinamica modale con lospettro di risposta, statica lineare, semplificata Zona 4 e, nel caso di analisi pushover, effettuare ilcalcolo di set di forze, il tutto secondo NTC;

• professionale: consentire, per sottostrutture e per schemi limite, di verificare la qualità dei risultatiintermedi ottenuti dal programma fem che il progettista utilizza correntemente, quindi acquisiresensibilità con le variabili e gli ordini di grandezza in gioco con questo tipo di analisi.

Nell’ambito della dinamica modale, si può disporre di: periodi, masse partecipanti, accelerazioni, forze dipiano per ciascun modo di vibrare (max 12 modi di vibrare o piani).Nell'ambito della pushover, si può disporre di 2 set di forze:- quello delle forze proporzionali alle masse;- quello delle forze proporzionali al prodotto delle masse per la deformata corrispondente al primo mododi vibrare (distribuzione ‘modale’).

Al paragrafo che precede si è delineato quando attendersi dei modi di vibrare traslazionali, rotazionali e siè altresì detto l’utilità di far prevalere i modi traslazionali per i quali la risposta sismica della struttura èpiù efficiente.

Ad ogni modo il programma DYNAMO si presta per valutare, con buona stima, i modi di vibraretraslazionali nella direzione considerata, con particolare riferimento ai primi (i più importanti).Questo consente di fare un confronto con i risultati ottenuti da un modello fem più complesso e quindieffettuare un giudizio di accettabilità dei risultati al fem.Si rammenta quanto espressamente richiesto al p.to 10.2 NTC ‘Giudizio motivato di accettabilità deirisultati: ‘confronto con risultati ottenuti da semplici calcoli, anche di larga massima, eseguiti con metoditradizionali’.

Affermato il principio (confronto dei risultati), la strada suggerita da NTC (semplici calcoli, anche dilarga massima, eseguiti con metodi tradizionali) è di scarsa percorribilità.Infatti se si desidera verificare il periodo di vibrazione, l’impiego di semplici calcoli (anche ad esempiomediante l’impiego delle formule semplificate presenti nelle norme) può dare risultati conapprossimazioni tali da vanificare la credibilità di qualsiasi confronto con i risultati ottenuti dal calcoloautomatico; in questo senso DYNAMO può fornire un supporto alternativo per queste valutazioni.

L’idea di DYNAMO ha seguito 3 obiettivi:1. realizzare un programma che trattasse di vari tipi di analisi (dinamica modale, statica lineare, ecc.),rendendo totalmente trasparente al Progettista il flusso del procedimento;2. realizzare un programma che a fronte di un ridottissimo n.o di dati in input consentisse di avererapidamente dei dati in output da confrontare;3. permettere al progettista di fare una valutazione critica dei risultati attraverso considerazioniingegneristiche, evitando valutazioni sulla dinamica strutturale, sulle equazioni del moto,…, che sonosicuramente meno vicine allo spirito pragmatico e alla sensibilità di chi progetta.

Per cercare di avvicinarsi a tali 3 obiettivi queste le scelte fatte:

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1. il programma è stato scritto su foglio elettronico, evitando linguaggi di programmazione ‘criptati’, inmodo da rendere totalmente visibile e documentato il flusso di calcolo;2. si è fatto riferimento ad un solo telaio (che sarà quello rappresentativo, rispetto all’edificio globale,delle caratteristiche di rigidezza e massa nella direzione considerata) e all’ipotesi di travi di pianoinfinitamente rigide flessionalmente: i dati da inserire si riducono alle sole sezioni dei pilastri, loromodulo elastico, pesi al piano e tutto questo su un solo telaio;3. la possibilità prevista di variare il coefficiente r (che calibra le rigidezze traslazionali dei pilastri)consente al progettista di fare valutazioni ingegneristiche sulle rigidezze traslatorie in relazione, adesempio, ai periodi di vibrazione.Come si vedrà il valore r=12, che corrisponde all’ipotesi di travi infinitamente rigide flessionalmente,fornisce un periodo di vibrazione che costituisce un valore limite inferiore; nel senso che l’analisi fem,condotta con le inerzie effettive delle travi, dovrà fornire periodi sempre superiori. Allo stesso modo,come si vedrà, valori inferiori a r=12 conducono a periodi di vibrazione più vicini ai casi effettivi contravi in altezza o con travi in spessore (valori da ritrovare al fem).

Questa la sequenza dei fogli prevista in DYNAMO, dove l’input dei dati richiesto è limitatissimo e tutto ilcalcolo è comunque condotto in modo trasparente:

sequenza dei fogli che sarà chiara nel seguito.

2.2.1 Esempio pratico di utilizzo di DYNAMOPer fissare le idee si consideri una generica struttura intelaiata tridimensionale per un edificio di civileabitazione risolta con un programma fem e successivamente verificata nei vari elementi strutturali(fondazioni, travi, pilastri), il tutto ai sensi delle NTC

Si segnala che per i tre telai ‘importanti’ (telai nel seguito chiamati tipo T1x) e interni in una direzioneprincipale, quale la x, le travi sono in spessore (h=28 cm.).

L’analisi al fem è stata condotta assegnando a tutte le travi di elevazione, del modello tridimensionale, unmodulo elastico pari al 50% di quello nominale e senza effettuare riduzioni sul modulo elastico deipilastri.

Si riportano alcuni dei risultati di interesse ottenuti dall’analisi dinamica modale condotta al fem, per lastruttura globale tridimensionale:T1x_Fem=1,060 sec. T2x_Fem =0,358 sec.

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Vista la struttura si può facilmente ipotizzare che un telaio interno tipo T1x può essere sufficientementerappresentativo, nella direz. x esaminata, in termini di massa e rigidezza, del comportamento traslatoriodella struttura globale nella stessa direzione.Si considera allora un telaio T1x; i dati sulle sezioni dei pilastri, loro modulo elastico, pesi al piano, che loriguardano, vengono rispettivamente inseriti nei fogli 1.Matrice K, 2.Matrice M di DYNAMO.

Foglio 1.Matrice K

Inserimento sez. Pilastri e luci per telaio 'tipo' in direz. x

r= 12E(cls)=N/mmq 31.447,16

=kN/mq 31.447.160,00

Pilastrata -1- Pilastrata -2- Pilastrata -3- Pilastrata -4- Pilastrata -5- Pilastrata -6- Pilastrata -7-

liv. 0-1 P-1- liv. 0-1 P-2- liv. 0-1 P-3- liv. 0-1 P-4- liv. 0-1 P-5- liv. 0-1 P-6- liv. 0-1 P-7-Sez. (R, C?) R C R R C R

R C ?B=mm 300,00 350,00 350,00 300,00H=mm 450,00 450,00 450,00 450,00D=mm 450,00 450,00J=m4= 0,00101250000 0,00201288959 0,00160781250 0,00160781250 0,00201288959 0,00101250000 R C?

h0-1=m 3,80 3,80 3,80 3,80 3,80 3,80spost. '1' liv. 1:

k11= 18.363,6 29.761,0 29.160,7 29.160,7 29.761,0 18.363,6 -k12= 11.400,4- 15.918,0- 18.103,4- 18.103,4- 15.918,0- 11.400,4- -k13= - - - - - - -

restanti k1i= - - - - - - -liv. 1-2 P-1- liv. 1-2 P-2- liv. 1-2 P-3- liv. 1-2 P-4- liv. 1-2 P-5- liv. 1-2 P-6- liv. 1-2 P-7-

Sez. (R,C?) R C R R C RR C ?

B=mm 300,00 350,00 350,00 300,00H=mm 400,00 400,00 400,00 400,00D=mm 400,00 400,00J=m4= 0,00090000000 0,00125663706 0,00142916667 0,00142916667 0,00125663706 0,00090000000 R C?

h1-2=m 3,10 3,10 3,10 3,10 3,10 3,10spost. '1' liv. 2:

k21= 11.400,4- 15.918,0- 18.103,4- 18.103,4- 15.918,0- 11.400,4- -k22= 21.375,8 25.248,8 33.943,9 33.943,9 25.248,8 21.375,8 -k23= 9.975,4- 9.330,8- 15.840,5- 15.840,5- 9.330,8- 9.975,4- -

restanti k2i= - - - - - - -liv. 2-3 P-1- liv. 2-3 P-2- liv. 2-3 P-3- liv. 2-3 P-4- liv. 2-3 P-5- liv. 2-3 P-6- liv. 2-3 P-7-

Sez. (R,C?) R C R R C RR C ?

B=mm 300,00 350,00 350,00 300,00H=mm 350,00 350,00 350,00 350,00D=mm 350,00 350,00J=m4= 0,00078750000 0,00073661757 0,00125052083 0,00125052083 0,00073661757 0,00078750000 R C?

h2-3=m 3,10 3,10 3,10 3,10 3,10 3,10spost. '1' liv. 3:

k32= 9.975,4- 9.330,8- 15.840,5- 15.840,5- 9.330,8- 9.975,4- -k33= 18.525,7 17.881,1 24.390,8 24.390,8 17.881,1 18.525,7 -k34= 8.550,3- 8.550,3- 8.550,3- 8.550,3- 8.550,3- 8.550,3- -

restanti k3i= - - - - - - -liv. 3-4 P-1- liv. 3-4 P-2- liv. 3-4 P-3- liv. 3-4 P-4- liv. 3-4 P-5- liv. 3-4 P-6- liv. 3-4 P-7-

Sez. (R,C?) R R R R R RR C ?

B=mm 300,00 300,00 300,00 300,00 300,00 300,00H=mm 300,00 300,00 300,00 300,00 300,00 300,00D=mmJ=m4= 0,00067500000 0,00067500000 0,00067500000 0,00067500000 0,00067500000 0,00067500000 R C?

h3-4=m 3,10 3,10 3,10 3,10 3,10 3,10spost. '1' liv. 4:

k43= 8.550,3- 8.550,3- 8.550,3- 8.550,3- 8.550,3- 8.550,3- -k44= 8.550,3 8.550,3 8.550,3 8.550,3 8.550,3 8.550,3 -k45= - - - - - - -

restanti k4i= - - - - - - -

B

DHSisma +/- X

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Foglio 2.Matrice M

Inserimento Pesi ai livelli del telaio 'tipo' in direz. x

Pesi totali che, al livello (o piano) considerato, gravano sul telaio:

Peso (kN) Massa (kN sec2/m)= Peso/g g (m/sec2)= 9,81Liv. 1: W1= 933,81 M1= 95,190Liv. 2: W2= 933,81 M2= 95,190Liv. 3: W3= 924,81 M3= 94,272Liv. 4: W4= 905,00 M4= 92,253Liv. 5: W5= M5= -Liv. 6: W6= M6= -Liv. 7: W7= M7= -Liv. 8: W8= M8= -Liv. 9: W9= M9= -

Liv. 10: W10= M10= -Liv. 11: W11= M11= -Liv. 12: W12= M12= -

Dopo avere inserito i dati che precedono, si passa al foglio 3.Forze F, ottenendo così i seguenti risultati diinteresse (estratto):

Modo 1: λ 1= 91,541 Modo 1: ω 1= 9,568 Modo 1: T1= 0,657Modo 2: λ 2= 639,297 Modo 2: ω 2= 25,284 Modo 2: T2= 0,249Modo 3: λ 3= 1.596,905 Modo 3: ω 3= 39,961 Modo 3: T3= 0,157Modo 4: λ 4= 2.834,803 Modo 4: ω 4= 53,243 Modo 4: T4= 0,118Modo 5: λ 5= n.d. Modo 5: ω 5= - Modo 5: T5= -Modo 6: λ 6= n.d. Modo 6: ω 6= - Modo 6: T6= -Modo 7: λ 7= n.d. Modo 7: ω 7= - Modo 7: T7= -Modo 8: λ 8= n.d. Modo 8: ω 8= - Modo 8: T8= -Modo 9: λ 9= n.d. Modo 9: ω 9= - Modo 9: T9= -

Modo 10: λ 10= n.d. Modo 10: ω 10= - Modo 10: T10= -Modo 11: λ 11= n.d. Modo 11: ω 11= - Modo 11: T11= -Modo 12: λ 12= n.d. Modo 12: ω 12= - Modo 12: T12= -

Periodi T=2 π /ω (sec)Autovalori λ riordinati Pulsazioni ω=(λ)1/2 (rad/sec)

Un primo giudizio di accettabilità dei risultati, per rispondere alle richieste del par. 10.2 NTC, è chesenz’altro i periodi ottenuti al fem, non sono fuori range.

Se fissiamo l’attenzione sui primi due periodi, DYNAMO, nell’ipotesi di travi infinitamente rigideflessionalmente (r=12), fornisce periodi che devono costituire un valore limite inferiore; nel senso chel’analisi fem, condotta con le inerzie effettive delle travi, deve fornire periodi sempre superiori.In effetti risulta:T1x_Fem =1,060 sec >> T1x_Dyn= 0,657 secT2x_Fem =0,358 sec >> T2x_Dyn= 0,249 sec

Per una struttura intelaiata di questo tipo, con travi in spessore e quindi di rigidezza flessionale contenuta,si può stimare un fattore r globale di rigidezza traslatoria intorno a r=5; cioè ben lontano da r=12corrispondente all’ipotesi di infinita rigidezza flessionale delle travi.

In DYNAMO effettuiamo un solo semplice cambiamento, ponendo r=5 al posto di r=12 nel foglio1.Matrice K.

Inserimento sez. Pilastri e luci per telaio 'tipo' in direz. x

r= 5E(cls)=N/mmq 31.447,16

=kN/mq 31.447.160,00

B

DHSisma +/- X

Tutti i diritti riservati

S. Palermo DYNAMO: un contributo al controllo sismico dei risultati fem (10.2 NTC)

9/10

Quindi si ottengono, i seguenti risultati (r=5):

Modo 1: λ 1= 38,142 Modo 1: ω 1= 6,176 Modo 1: T1= 1,017Modo 2: λ 2= 266,374 Modo 2: ω 2= 16,321 Modo 2: T2= 0,385Modo 3: λ 3= 665,377 Modo 3: ω 3= 25,795 Modo 3: T3= 0,244Modo 4: λ 4= 1.181,168 Modo 4: ω 4= 34,368 Modo 4: T4= 0,183Modo 5: λ 5= n.d. Modo 5: ω 5= - Modo 5: T5= -Modo 6: λ 6= n.d. Modo 6: ω 6= - Modo 6: T6= -Modo 7: λ 7= n.d. Modo 7: ω 7= - Modo 7: T7= -Modo 8: λ 8= n.d. Modo 8: ω 8= - Modo 8: T8= -Modo 9: λ 9= n.d. Modo 9: ω 9= - Modo 9: T9= -

Modo 10: λ 10= n.d. Modo 10: ω 10= - Modo 10: T10= -Modo 11: λ 11= n.d. Modo 11: ω 11= - Modo 11: T11= -Modo 12: λ 12= n.d. Modo 12: ω 12= - Modo 12: T12= -

Periodi T=2 π /ω (sec)Autovalori λ riordinati Pulsazioni ω=(λ)1/2 (rad/sec)

Si osservi la buona coincidenza tra i periodi al fem e quelli forniti da DYNAMO:T1x_Fem= 1,060 sec. T2x_Fem = 0,358 sec.T1x_Dyn= 1,017 sec T2x_Dyn= 0,385 sec

Si può esprimere un secondo giudizio di accettazione motivata dei risultati al fem, chiedendoci se le forzesismiche risultanti di piano, ottenute al fem, siano verosimili.Tralasciando i semplici passi intermedi, questi i risultati, offerti da DYNAMO: F1_sismica_globale_x= 175 (178)

F2_sismica_globale_x= 281 (266)F3_sismica_globale_x= 380 (384)F4_sismica_globale_x= 389 (396)

Si può osservare che i valori trovati al fem (tra parentesi) risultano allineati con quelli calcolati daDYNAMO.

Si osservi che ai fini della valutazione che appena precede occorre assegnare in DYNAMO leaccelerazioni ovvero definire gli spettri previsti nelle NTC, a tal fine sono stati previsti i fogli versodestra.

Procediamo infine con un secondo caso.Se le travi dei tre telai interni principali in direz. x fossero state realizzate anziché in spessore, in altezza(che risultano verificate adottando queste sezioni: 0,45x0,50 al liv. 1, 0,40x0,50 al liv. 2, 0,35x0,45 al liv.3, 0,30x0,40 al liv. 4), risolvendo al fem (con modulo di tutte le travi al 50% di quello nominale) sisarebbero ottenuti i seguenti periodi, per la struttura globale tridimensionale e in direzione x:T1x_Fem= 0,890 sec. T2x_Fem= 0,325 sec.

In DYNAMO, posto r=7 nel foglio 1.Matrice K:Inserimento sez. Pilastri e luci per telaio 'tipo' in direz. x

r= 7E(cls)=N/mmq 31.447,16

=kN/mq 31.447.160,00

B

DHSisma +/- X

si ottengono, i seguenti risultati (r=7):

Tutti i diritti riservati

S. Palermo DYNAMO: un contributo al controllo sismico dei risultati fem (10.2 NTC)

10/10

Modo 1: λ 1= 53,399 Modo 1: ω 1= 7,307 Modo 1: T1= 0,860Modo 2: λ 2= 372,923 Modo 2: ω 2= 19,311 Modo 2: T2= 0,325Modo 3: λ 3= 931,528 Modo 3: ω 3= 30,521 Modo 3: T3= 0,206Modo 4: λ 4= 1.653,635 Modo 4: ω 4= 40,665 Modo 4: T4= 0,155Modo 5: λ 5= n.d. Modo 5: ω 5= - Modo 5: T5= -Modo 6: λ 6= n.d. Modo 6: ω 6= - Modo 6: T6= -Modo 7: λ 7= n.d. Modo 7: ω 7= - Modo 7: T7= -Modo 8: λ 8= n.d. Modo 8: ω 8= - Modo 8: T8= -Modo 9: λ 9= n.d. Modo 9: ω 9= - Modo 9: T9= -

Modo 10: λ 10= n.d. Modo 10: ω 10= - Modo 10: T10= -Modo 11: λ 11= n.d. Modo 11: ω 11= - Modo 11: T11= -Modo 12: λ 12= n.d. Modo 12: ω 12= - Modo 12: T12= -

Periodi T=2 π /ω (sec)Autovalori λ riordinati Pulsazioni ω=(λ)1/2 (rad/sec)

Si osservi la buona coincidenza tra i periodi al fem e quelli forniti da DYNAMO:T1x_Fem= 0,890 sec. T2x_Fem = 0,325 sec.T1x_Dyn= 0,860 sec T2x_Dyn= 0,325 sec

E’ utile per questo caso riepilogare su una retta l’andamento del coefficiente di rigidezza r.

2.2.2 ConclusioniDYNAMO è stato ideato come una calcolatrice da tavolo, che anziche di algebra tratta di sismica: pochiinput per avere ordini di grandezza del problema strutturale e poter in taluni casi esprimere giudizi diaccettabilità su un calcolo globale più complesso, in accordo al 10.2 NTC.

DYNAMO quindi va sfruttato nei modi che risultano più congeniali al progettista, considerato chel’approccio attraverso il coefficiente r trasforma il problema sismico in concetti più vicino al sensoingegneristico che alla dinamica.

Si ritiene auspicabile avere nel futuro altri strumenti di questo tipo, che possono prestarsi in modo rapidoad una verifica dei risultati ottenuti dal calcolo sismico condotto al fem, verifiche che oramai iniziano adessere richieste anche dalle competenti strutture preposte al controllo del progetti.