1LE ORIGINI DELLE OPERAZIONI LOGICO-MATEMATICHER. Rossera-Tralamazza, 2003Questo testo ha un solo obiettivo, quello di riprendere alcuni concetti dell’epistemologia e dellapsicologia genetica per poter inserire lo sviluppo del numero nel bambino.SOMMARIOPSICOLOGIA E EPISTEMOLOGIA GENETICAPsicologia del bambino. Psicologia genetica. P. 2Epistemologia genetica.PERCHE’ STUDIARLA?Alcuni esempi di attività didattiche: p. 3l’interpretazione delle difficoltà del bambino.DEFINIZIONE DI ALCUNI CONCETTI EPISTEMOLOGICIL’intelligenza. L’aspetto operativo e figurativo. P. 4I meccanismi che spiegano la formazione dellaconoscenza: assimilazione e accomodamentoLE ORIGINI DELLA CONOSCENZA p. 6Due tipi di conoscenza: sperimentale e p. 7logico matematica. Due tipi di astrazione: empirica e riflettente.Azioni individuali e quelle che possono essere coordinateOperazione e strutture p. 8Strutture matematiche. P. 9Strutture psicologiche p. 9SVILUPPO DELLE OPERAZIONI NEL BAMBINO p. 10Le operazioni concrete p. 12Le operazioni logico-matematiche:Le operazioni di classificazione p. 13Le operazioni di seriazione p. 15La conservazione cardinale p. 17Il protocollo di un interrogatorio clinico p. 192Psicologia e epistemologia geneticaLa psicologia del bambino studia la crescita mentale o lo sviluppo dei comportamenti finoall'adolescenza. Per capire questa crescita mentale non basta risalire alla nascita, perché esisteun'embriologia dei riflessi relativa all'attività motoria del feto. Cerca di descrivere come ilbambino si sviluppa dalla nascita alla maturità, indicando i comportamenti tipici dei neonati,dei bambini, degli adolescenti.La psicologia genetica invece, non si accontenta di descrivere le caratteristiche di tale o talaltro comportamento infantile ad una data età, ma cerca di descrivere o di spiegare la genesi ditale comportamento.In linguaggio piagetiano ciò significa che si descriveranno gli stadi successivi di sviluppo delbambino, si definiranno le strutture o le operazioni che caratterizzano ogni stadio e si cercheràdi spiegare le filiazioni che conducono da uno stadio ad un altro.L'epistemologia genetica cerca di spiegare la conoscenza ed in particolare la conoscenzascientifica sulla base della sua storia e soprattutto delle origini dei concetti, delle operazionisulle quali la conoscenza scientifica si fonda. Ma l'epistemologia si interessa anche allaformalizzazione delle strutture del pensiero.

Per molti filosofi ed epistemologici, l'epistemologia é lo studio della conoscenza quale simanifesta allo stato attuale, in altri termini molti epistemologhi fanno l'analisi della conoscenzain sé e per sé, senza tener conto né del suo sviluppo né della psicologia. Ma, obietta J. Piaget, laconoscenza scientifica é un processo di continua costruzione e riorganizzazione e nonrappresenta quindi un fatto momentaneo, statico. Non vi é da un lato la storia del pensieroscientifico e dall'altro il corpo di pensiero come esso é oggi, ma vi é semplicemente unacontinua trasformazione. Ciò implica che i fattori storici e e quelli psicologici responsabili ditali mutamenti siano importanti per capire la natura della conoscenza scientifica.In altri termini la genesi delle idee scientifiche contemporanee può essere meglio compresa allaluce dei fattori psicologici e sociologici.Ad esempio Cantor sviluppò la teoria degli insiemi sulla base di un'operazione fondamentale: lacorrispondenza biunivoca (uno-a-uno). Egli stabilì una corrispondenza biunivoca tra la serie deinumeri interi e la serie dei numeri pari ottenendo un numero che non é un intero, né un numeropari, ma é aleph zero, cioè il primo numero cardinale transfinito. E' l'operazione elementare dicorrispondenza biunivoca che permise a Cantor di superare la serie del numero finito. Cantornon la inventò, ma la trovò nel suo pensiero.Infatti la corrispondenza biunivoca é un'operazione molto primitiva: é alla base dello scambioeconomico nelle società primitive e ne troviamo le radici nel pensiero infantile ancor primadello sviluppo delle operazioni concrete.L'epistemologia genetica cerca di spiegare come il pensiero umano sia capace di produrre laconoscenza scientifica, grazie a quali mezzi passa da un livello di conoscenza meno elevato aduno più elevato.E' compito degli specialisti di ogni disciplina (matematici, fisici, logici ecc.) stabilire cosa siintenda per conoscenza più bassa o più elevata. Per esempio nel campo della fisica appartieneai fisici decidere se una data teoria rappresenta un progresso su un'altra. La psicologia el’epistemologia genetica cercano di spiegare come il soggetto (il soggetto epistemico) passa daun livello di conoscenza meno elevato ad uno più elevato. Pieget ricorre allora all'ontogenesi,cioè allo studio dello sviluppo della conoscenza matematica, fisica, logica ecc. nel bambinonell'intento di cercare le radici della conoscenza dalle sue forme più elementari fino al livellodel pensiero scientifico.3Perchè studiare la psicologia e l'epistemologia genetica?Durante le mie visite di tirocinio sono stata confrontata a situazioni che potevano esserespiegate dalla psicologia genetica.Ecco alcuni esempi:1. In una classe di II elementare un'allieva maestra presenta un testo, si tratta di una storia cheviene dapprima scoperta partendo da una serie di diapositive. Successivamente 7 cartelloni chedescrivono la successione degli avvenimenti devono essere ordinati dai bambini.Quali sono le attività richieste? Leggere i cartelloni e ordinarli.Ma cosa significa ordinare? Si tratta di applicare la struttura logica della ordine. Operazioneche il bambino ha costruito non prima dei 7 anni, ma che a quest'età non é generalizzabile aqualsiasi contenuto.2. In una classe di I elementare, la studentessa propone, come attività di lavoro manuale lacostruzione di un pupazzo: uno scolaro di cartone. La complessità dell'attività l'induce asuddividerla in due tempi. Quando arrivo, i bambini hanno già costruito la sagoma del corpo edella testa. Quella mattina dovranno dipingere il volto, incollare la testa, tagliare ed inserire lebraccia, ritagliare il quadernetto o il libro, incollarlo, ricoprire la cartella, incollarla. La

studentessa mostra e spiega ai bambini che l'attorniano, come realizzare il loro lavoro. Poiognuno va al proprio posto. Passando tra i tavoli vedo una bambina che cerca di disegnare ilvolto, ma é in difficoltà. Il volto del suo o scolaro sembra più ad un teschio che a un bambino.Mi chiede aiuto, ma prima che intervenga, il suo compagno mi mostra il volto che lui hadisegnato e anche la bambina lo osserva. Da quel momento la bambina cerca di cancellare,correggere e modificare il proprio disegno, migliorandolo. Cos'era successo?A differenza del compagno, lei era in grado di imitare solo in presenza del modello. Non eracapace di imitarlo quando il modello era posto dietro di lei, sul tavolo dell'insegnante. Chedifferenza esiste tra l'imitazione in presenza di un modello e l'imitazione differita (cioè non inpresenza del modello)? L'imitazione differita implica una rappresentazione mentale, mentre laprima può essere il risultato della sola percezione.3. In una classe di IV SE gli allievi svolgono un’attività creativa. Si tratta di costruire deglianimali con turaccioli e pulisci pipe. La maggior parte dei ragazzi sceglie di riprodurre il cigno.La studentessa mostra gli esempi che ha preparato, dà alcune indicazioni. Dopo un'ora i cignisono costruiti, ma ahimè nessuno sta in piedi.Cos'era successo?La studentessa aveva messo a disposizione dei ragazzi il modello, e gli allievi potevano,volendo, tenerselo vicino. Eppure non era bastato. Come mai? La copia di un modello non émai una copia passiva. Per riprodurlo occorre scomporlo e ricostruirlo. Non solo. Lacostruzione di quel cigno, necessitava dell'applicazione di leggi relative al principiod'equilibrio. La studentessa le aveva applicate senza prenderne coscienza, i bambini invecedovevano ancora costruirsele.4. Classe II SE l’allieva presenta un testo: una poesiola che tratta di TV per introdurli ad unadiscussione sulla pubblicità. Successivamente ogni allievo riceve un settimanale con laconsegna di scegliere e ritagliare la pubblicità che preferisce.Dopo pochi minuti ci si accorge che il bambino sceglie la fotografia, l'immagine che preferisce,indipendentemente dal fatto che sia o no la pubblicità di qualcosa.Come mai?4Il termine pubblicità era stato trattato dalla studentessa che, durante la discussione, aveva con ibambini cercato i sinonimi. Per noi il termine pubblicità ha un significato chiaro: serve pervendere un prodotto. Ma per il bambino. Come guarda la TV il bambino? A differenza di noi,il bambino é "dentro" la TV, é coinvolto emotivamente dall'immagine, dal movimento. Ciò gliimpedisce sovente di cogliere il messaggio pubblicitario come l'offerta di un prodotto.Definizione di alcuni concetti epistemologiciPrima di affrontare il tema dello sviluppo delle operazioni logico-matematiche nel bambinooccorre definire e distinguere alcuni termini. Comincerò cercando di definire il termineintelligenza.Per J. Piaget l’intelligenza1 é la capacità che permette al soggetto d'adattare il suocomportamento (come pure le sue conoscenze ed il suo pensiero) alle modifiche dell'ambiente.L'intelligenza compare molto prima del linguaggio, cioè molto prima del pensiero interiore. Sitratta però di un'intelligenza pratica, basata sulla manipolazione degli oggetti, che invece diutilizzare le parole utilizza solo le percezioni e i movimenti organizzati in schemi di azione.Quando il bambino verso i 18 mesi utilizza un bastoncino per avvicinare un oggetto lontano,realizza un atto di intelligenza, poiché uno strumento, un mezzo, viene coordinato ad uno scopodeterminato in precedenza. Per scoprire tale mezzo, il bambino ha dovuto comprenderepreliminarmente il rapporto tra bastoncino e oggetto. Un atto più precoce di intelligenza

potrebbe essere quello di attirare un oggetto posato su di una copertina, tirando la stessa2.Occorre pure definire e distinguere due aspetti del pensiero, diversi e complementari:l'aspetto figurativo del pensiero consiste in una imitazione di stati presi come momentanei estatici. Le funzioni figurative sono soprattutto:- la percezione che é la conoscenza che noi prendiamo dagli oggetti, dai loro movimenti,per contatto diretto ed attuale: l'oggetto é sempre presente,- l'imitazione é la riproduzione di un modello presente o assente,- l'immagine mentale é invece l'evocazione di un oggetto assente, é l'imitazioneinteriorizzata dell'oggetto o di un movimento,l'aspetto operativo del pensiero non riguarda gli stati, ma le trasformazioni da uno statoall'altro3, esso include:- le azioni stesse che trasformano gli oggetti e gli stati,- le azioni interiorizzate, ma non ancora coordinate in operazioni del periodo preoperatorio,- le operazioni propriamente dette, cioè azioni interiorizzate e reversibili, cioè chepossono essere effettuate in entrambe le direzioni. Questo significa che il risultato di unazione A può essere eliminato da un'altra azione B: il prodotto di A per B conduceall'identità, lasciando lo stato inalterato. Ad es. all'azione di aggiungere x elementiposso far corrispondere la sua contraria che consiste nel togliere x elementi.1 PIAGET J., INHERLDER B., La psicologia del bambino (1966), Torino, Einaudi, 1970, pp 7-15 e2 PIAGET J., Lo sviluppo mentale del bambino, (1967) Torino, Einaudi, ed. or. 1964, pp 11-16,3 PIAGET J., Conferenze sull'epistemologia genetica, (1972) Roma, Armando, ed. or. 1970, pp 11-31

5Tutto ciò che é figurativo concerne gli stati, mentre l'aspetto operativo del pensiero concerne letrasformazioni, cioè le azioni e le operazioni che si effettuano sul reale (effettivamente omentalmente). Gli aspetti figurativi risultano subordinati a quelli operativi, poiché ogni stato écompreso come il risultato di una trasformazione. Sono gli studi piagetiani sullo sviluppodell'immagine mentale o quelli sulla memoria che hanno mostrato tale subordinazione. Infatti leesperienze mostrano che il soggetto imita o ricorda non quello che ha visto, bensì quello che hacapito. Per Piaget l'aspetto essenziale del pensiero é quello operativo, poiché la conoscenzaumana é essenzialmente attiva.Conoscere é trasformare la realtà nel senso di capire come un certo stato é stato conseguito. Laconoscenza non é una semplice copia della realtà. Per conoscere un oggetto occorre agire su dilui. Conoscere la realtà significa costruire dei sistemi di trasformazioni che corrispondono più omeno adeguatamente alla realtà. Essi sono più o meno isomorfi alle trasformazioni della realtà.Assimilazione e accomodazione sono i meccanismi che spiegano la formazione dellaconoscenza.Riflettiamo ad esempio riguardo a ciò che implica la capacità di riconoscere una melodia,quella di indicare il percorso per tornare a casa, o la capacità di realizzare una ricetta di cucina.oppure quella di risolvere un problema.Di fronte ad un problema ad esempio noi riteniamo (noi selezioniamo) certi elementi soltanto,che sono scelti in funzione degli strumenti psicologici che disponiamo. Questi nuovi elementidevono essere integrati in un sapere già acquisito. Ma i nuovi elementi non vengono assimilatigiustapponendoli semplicemente agli altri. La loro assimilazione necessita di tutto un lavoro diriorganizzazione dalla parte del soggetto.Questa tendenza fondamentale di assimilare si accompagna alla tendenza di accomodarsiall'oggetto, cioè alla capacità dell'individuo di cambiare, di modificare i propri schemi peradattarsi alla nuova situazione.Esempi di assimilazione nei comportamenti infantili:

Seriazione4: ogni bambino a partire dai 7 anni é in grado di seriare dei bastoncini dal piùpiccolo al più grande. Ma cosa succede ai bambini più piccoli ai quali si chiede di eseguirel’ordine? A 5 anni ad esempio, dopo vari tentativi, il bambino organizza i bastoncini non inordine seriale, ma costituisce delle coppie di grandi e piccoli bastoncini. Poiché i suoi schemi diseriazione sono solo parzialmente costruiti, assimila il problema agli schemi di cui dispone: fauna classificazione dicotomica. Più tardi cercherà di riprodurre la scala tenendo contoesclusivamente degli apici dei bastoncini (trascurando così la loro base comune).La psicologia genetica fornisce decine di esempi analoghi. La maggior parte dei bambini dellastessa età manifestano comportamenti analoghi. I loro errori riflettono il funzionamentodell'intelligenza umana.Per effettuare un'azione occorrono, oltre all'infrastruttura anatomica e fisiologica anche deglistrumenti di natura psicologica: degli schemi o delle strutture (così chiamati da Piaget). Unoschema permette la ripetizione di un'azione in situazioni identiche. Ad esempio lo schema dellaprensione mi permette di prendere in mano questo foglio ora e domani. Ma lo schemafunzionando si generalizza: imparo a prendere in mano un foglio, una matita, la cornetta deltelefono, ecc. L'azione viene allora generalizzata, differenziandosi in funzione di situazioninuove. Sul piano genetico gli schemi sensori-motori (che prolungano i riflessi) si differenzianoe si coordinano tra di loro per formare schemi di un livello superiore. Il bambino, verso i 2 annicomincia a costruire schemi rappresentativi e più tardi verso i 7 anni schemi operatori. La loromaniera d'organizzarsi (diversa ad ogni stadio di sviluppo) Piaget la chiama struttura.4 HENRIQUES A. Aspects de la théorie piagetienne et pédagogie, "Ecole Valaisanne"Sion, Avril 1980 p 7-13

6Le origini della conoscenzaRiguardo all'origine della conoscenza, l'alternativa classica consiste nel decidere se laconoscenza sia una copia del reale o un'assimilazione di esso.John Locke filosofo inglese del XVII secolo (1632-1704) considerava lo spirito umano, alla suanascita, come una "tabula rasa" sulla quale le sensazioni e le immagini venivano impresse.Questa teoria empirista, attribuiva un ruolo essenziale all'esperienza, ignorando completamenteil ruolo dell'attività del soggetto. In questa concezione della conoscenza il ruolo dell'immaginediventa essenziale. Essa é considerata come il prodotto diretto della percezione e dellasensazione e il pensiero o la conoscenza sono concepiti come un sistema di associazioni traimmagini.La psicologia beaviorista americana (Watson) riprende le tesi della filosofia empirista. Ilcomportamento del soggetto é concepito come una risposta a stimoli esterni. Ogni acquisizioneé pure considerata come la risposta a qualcosa che proviene dall'esterno. Quanto al meccanismoche spiega la o le acquisizioni é essenzialemente cumulativo ed associazionista.Nella concezione piagettiana il ruolo dell'immagine é molto diverso. Il reale consiste, sotto lesue apparenze, in un sistema di trasformazioni. Copiare queste trasformazioni é possibile soloriproducendole attivamente, il che equivale a dire che "per conoscere gli oggetti, bisogna agiresu di essi in maniera da scomporli e ricomporli". La conoscenza finisce col diventareassimilazione e assimilare l'oggetto significa partecipare ai sistemi di trasformazione di cui essoé il prodotto. Partendo da questa spiegazione si capisce il ruolo che, nella teoria piagetiana,spetta alle operazioni, le sole possono arrivare alle trasformazioni.Dal punto di vista logico-matematico si tratta di combinare deduttivamente delle trasformazionipossibili, dal punto di vista fisico si tratta invece di arrivare all'oggettività raggiungendo letrasformazioni reali, o verificabili sperimentalmente. 5 Pur essendo l'immagine il risultato diuna copia dell'oggetto, questa é di natura simbolica, poiché il suo significato si situa a livello diconcetto. Noi possiamo evocare con un'immagine mentale un frutto, quale un'arancia, oppure

possiamo riconoscerlo tra altri e affermare "questa é un'arancia". Questa capacità non é ilsemplice risultato delle nostre esperienze percettive anteriori. E' pure il risultato di una serie dischemi di azioni, quali pelare il frutto, mangiarlo, berne il succo ecc.E' sulla base di questi schemi percettivi e motori che si costruisce il concetto, la classe equindi la nostra capacità di affermare che questo ovoide dalla pelle rugosa é un'arancia.Da dove deriva la conoscenza logico-matematica?Piaget distingue due tipi di conoscenza: quella logico-matematica e quella sperimentale (dettaanche empirica) e due corrispondenti tipi di esperienze.a) La conoscenza sperimentaleQuando noi agiamo su di un oggetto, la nostra conoscenza può provenire dall'oggetto stesso. E'questo il punto di vista dell'empirismo e valido per lo più nel caso della conoscenzasperimentale.Esempi: quando il bambino lascia cadere un oggetto si accorge che certi si rompono mentrealtri no. Il bambino fa le sue esperienze e scopre la fragilità, cioè una delle proprietà specifichedell'oggetto stesso. Sollevando oggetti di peso diverso, il bambino si accorge che generalmentegli oggetti piccoli possono pesare maggiormente di quelli voluminosi.Questo tipo di conoscenza proviene soprattutto dall'esperienza.5 J.PIAGET E B. INHELDER, L’immagine mentale nel bambino, ed. La Nuova Italia, Firenze 1974 p 2

7b) La conoscenza logico-matematicaQuando noi agiamo su di un oggetto noi possiamo prendere in considerazione, non solol'oggetto, ma le azioni stesse che noi effettuaiamo su di lui.Esempio: scoprire che contando oggetti in qualsiasi ordine, la loro somma resta invariata, non éuna scoperta che dipende dagli oggetti stessi. Infatti posso fare la stessa esperienza conqualsiasi tipo di oggetti. La commutatività, cioé il fatto che la somma é indipendente dall'ordinenon é una proprietà degli oggetti, l'ordine neppure. E' il soggetto che ordina gli elementi, liriunisce, e li conta. Questo altro tipo di conoscenza deriva dalla coordinazione delle azioni enon dagli oggetti stessi.Vi sono quindi due tipi diversi di astrazioni:- l'astrazione empirica, o pseudo-empirica, che dà origine alla conoscenza delleproprietà fisiche dell'oggetto,- l'astrazione riflettente, che dà origine alla conoscenza logico-matematica. Riflettentenel senso che implica una trasposizione a un livello superiore (al livello delle operazioniad esempio) di ciò che inizialmente é stata una coordinazione pratica e incosciente.Infatti la presa di coscienza della commutatività della somma é il risultato delle azionidi riunire e ordinare, effettuate dal bambino. Ciò non implica che la semplicemanipolazione di oggetti, determina necessariamente la capacità di astrarre delle leggi odei concetti.Ci sono diversi tipi di azioni:- le azioni individuali; quali gettare, spingere, toccare, gettare, prendere, che il più dellevolte danno origine all'astrazione empirica, cioé all'astrazione da oggetti,- le azioni che possono essere coordinate. Le azioni possono essere coordinate in moltimodi diversi. Possono essere unite insieme e realizzare così una coordinazione additiva(per contare gli elementi devo riunire e ordinare), oppure possono al contrariosusseguirsi in un ordine temporale e si ha allora una coordinazione temporale (esempiocolorare prima il fondo, poi i dettagli). Un altro tipo di coordinazione consiste nel farcorrispondere un'azione ad un'altra. (esempio contare: al gesto di toccare l'oggettofaccio corrispondere il nome del numero).

Tutte queste forme di coordinazione trovano dei paralleli nelle strutture logiche. Le radici delpensiero logico non devono essere cercate solo nel linguaggio, ma devono essere individuatepiù generalmente nella coordinazione di azioni che formano la base dell'astrazioneriflettente.Ovviamente questa distinzione fra esperienza fisica e logico-matematica é teorica, noncorrisponde ad una dissociazione a livello funzionale. Infatti non esiste esperienza fisica senzamesse in relazioni, classificazioni o misure, senza cioè l'applicazione di operazioni logicomatematiche.Reciprocamente un'esperienza logico-matematica porta su oggetti. Occorronooggetti per poterli ordinare, raggruppare, contare, tuttavia l'ordine (o la riunione) non esistononegli oggetti stessi, ma é il soggetto che introduce quest'ordine, allineandoli o disponendoliin cerchio.8Dunque le origini delle strutture logico-matematiche si situano nella coordinazione di azioni. Sitratta ora di spiegare come queste coordinazioni di azioni diventano operazioni e comequet'ultime diventano strutture.Cercherò prima di definire cosa intenda per operazione J.Piaget.Un'operazione è un'azione che può essere realizzata effettivamente o effettuata mentalmente(può essere interiorizzata).E’ un'azione reversibile, cioé che può determinarsi in una direzione o in quella opposta. Nontutte le azioni sono reversibili. Fumare una sigaretta ad esempio, non é un'azione reversibile.Essa suppone sempre qualche conservazione, cioé un'invariante.Un'operazione non esiste da sola, é sempre collegata ad un sistema di operazioni.Esempio:L'addizione é un esempio d'operazione. Io posso sommare (azione diretta) e posso sottrarre(azione inversa). La sottrazione é la stessa operazione eseguita nella direzione opposta.E' un'operazione reversibile. La reversibilità dell'addizione é per negazione: + 4 - 4 = 0L'addizione suppone un invariante: la somma. L'addizione é una trasformazione, poichè éun'azione, ma non trasforma qualsiasi cosa all'istante, altrimenti non ci sarebbe possibilità direversibilità. Nel caso dell'addizione, noi possiamo modificare la maniera con cuiraggruppiamo l'insieme delle parti:5 + 2 o 4 + 3 o 6 + 1ma la somma si conserva, non varia.Ora vorrei definire cosa intenda Piaget per struttura.Una struttura è una totalità, cioé un sistema governato da leggi che si applicano al sistemacome tale e non solamente ad uno o ad alcuni elementi.Queste leggi sono leggi di trasformazione e non caratteristiche statiche.Una volta applicata una legge di trasformazione, il suo risultato non si proietta al di fuori delsistema (autoregolazione). C'é quindi una certa chiusura della struttura. Ciò non significa cheuna struttura non possa collegarsi ad altre strutture.Ogni struttura può essere quindi una sottostruttura di un sistema più largo.Esempio: il sistema dei numeri interi.I numeri interi non esistono isolatamente. La serie numerica ha proprietà strutturali di gruppo,d'anello, di corpo ecc. In altri termini, nella serie dei numeri interi si possono trovare diversestrutture, quali ad esempio il gruppo additivo. Le leggi del gruppo additivo sono:l'associatività, la transitività, la commutatività. Sono leggi di trasformazione poiché consentonodi trasformare un numero in un altro aggiungendovi qualcosa. Il gruppo additivo écaratterizzato da una certa chiusura: infatti quando aggiungiamo un numero intero ad un altronon usciamo dalla serie dei numeri interi. E' una sottostruttura di un sistema più largo: ad

esempio é sottostruttura dei numeri frazionari.Occorrere distinguere una struttura dai suoi elementi. Una struttura é certo costituita daelementi, in questo caso i numeri. Ma le proprietà del gruppo additivo sono distinte da quelledei numeri, che possono essere pari, dispari, primi, divisibili per ecc.Cercheremo ora di esaminare le tre strutture-madri dei matematici del gruppo Bourbaki, perporci poi la questione fondamentale e cioé se queste strutture matematiche (le strutture-madri)sono naturali, trovano dei corrispondenti sul piano psicologico, o se sono totalmente artificiali.9Le strutture matematicheNel 1930 un collettivo di matematici conosciuto con il nome di N.Bourbaki comincia a cercarele strutture comuni alle diverse branche della matematica (algebra, teoria dei numeri, geometriaecc.) La ricerca si concluse con la scoperta di 3 strutture-madri, a partire dalle quali é possibilegenerare tutte le altre.Le strutture-madri:1. La struttura algebrica, il cui prototipo é la nozione di gruppo. Questa struttura si applicaalle classi e ai numeri. Esempi: gruppo additivo nella serie dei numeri interi, gruppo deglispostamenti in geometria, gruppo additivo delle classi.2. La struttura d'ordine, il cui prototipo é la nozione di reticolo. Si applica alle relazioni.3. La struttura topologica, che é basata cui concetti di vicinanza, confini ecc. Si applica allageometria ed a altre aree della matematicaJ.Piaget fa l'ipotesi che esiste un parallelismo tra le strutture matematiche e le struttureoperatorie (psicologiche) dei bambini.I suoi studi sullo sviluppo del pensiero nei bambini lo conducono progressivamente a validaretale ipotesi. Infatti ritrova nel pensiero dei bambini sia piccoli che di 6 o 7 anni strutture(operazioni) che somigliano a ciascuno di questi tre tipi.Le strutture psicologicheLe strutture algebriche nel pensiero del bambino possono essere trovate in termini moltogenerali, ad esempio nella logica della classificazione. E' la relazione di inclusione che dàorigine alla struttura operatoria di classificazione, la quale é analoga alle strutture algebrichedei matematici. Poiché la proprietà distributiva non vale entro questa struttura, non siamo inpresenza di un gruppo completo, ma di un aggruppamento.Esiste pure una primitiva struttura d'ordine nel pensiero dei bambini. Un esempio: la strutturadi seriazione. La reversibilità qui implicata é quella della reciprocità. La reversibilità é del tiposeguente: A più grande di B implica che B sia più piccolo di A. Quando il bambino cerca ilbastoncino più piccolo di tutti quelli che restano, comprende contemporaneamente che questobastoncino é più piccolo di quelli che prenderà in seguito. Coordina cioé nello stesso tempo, lerelazioni "più grande di" e "più piccolo di". Inoltre, contemporaneamente diventa capace diragionare sulla base della transitività. Secondo i logici la seriazione é una collezione direlazioni asimmetriche e transitive. Qui vediamo che nel pensiero dei bambini le relazioniasimmetriche e la transitività si sviluppano in stretta connessione.Le prime intuizioni spaziali sono di ordine topologico. Le prime operazioni consistono neldividere lo spazio, ordinare nello spazio, ossia operazioni più simili a quelle topologiche che aquelle euclidee. I bambini di 4 anni, ad esempio, pur sapendo riconoscere le forme euclideequali quadrati, rotondi, triangoli, quando si tratta di rappresentarli operano delle distinzioni ditipo topologico.J.Piaget ha cercato di dimostrare come le strutture-madri matematiche hanno le radici nellosviluppo del pensiero individuale e, come altre strutture, possano svilupparsi per combinazione

due di esse:- il numero come sintesi di inclusione di classi e relazioni di ordine,- la misura come sintesi dell'addizione partitiva e della coordinazione degli spostamenti.10Lo sviluppo delle operazioni nel bambinoLa teoria psicogenetica, postula che il bambino stesso costruisce non solo l'edificio del suosapere ma anche gli strumenti intellettuali grazie al quale acquisisce le conoscenze. Questacostruzione segue un cammino, che passa attraverso certe tappe chiamate "stadi" caratterizzatida strumenti intellettuali (schemi o strutture) già costruiti o in costruzione.Ogni stadio di sviluppo prevede una particolare forma di organizzazione psicologica, con leproprie conoscenze e interpretazioni della realtà.6 Le acquisizioni di uno stadio non si perdonoma vengono integrate in strutture più evolute. Tra la nascita e l’adolescenza, lo sviluppocognitivo attraversa, secondo Piaget, quattro stadi principali, sinteticamente presentati nellatabella.Stadio senso-motorio0 a 2 anniSi sviluppa la conoscenza pratica attraverso azioni dirette sullarealtà che si coordinano progressivamente. E' l'intelligenzapratica dei primi adattamenti intenzionali, caratterizzata dallapresenza percettiva, dall'uso di rapporti tra soli due oggetti allavolta. Es. l'obiettivo (il gioco da raggiungere) e il mezzo (ilbastone).Stadio pre-operatorio2 a 6 o 7 anniOra il bambino è capace di rappresentare un oggetto o unavvenimento per mezzo di simboli: l’immagine mentale, la parola,l’imitazione differita, il gioco e il disegno.Pensiero intuitivo (5-7 anni), il pensiero accede ad una più grandegeneralità ma resta ancora irreversibile (incapacità di tenerementalmente presente due fasi di un avvenimento, di coordinaredue stati di una trasformazione). E’ dominato dalle immagini ecaratterizzato dal realismo (tendenza a considerare certi aspettipregnanti della realtà), cioè il primato dell'attività percettivasull'attività rappresentativa.Stadio delleoperazioni concrete7 – 12 anniOperazioni concrete poiché compiute su una realtàpercettivamente presente. L’attività cognitiva diventa operatoria ereversibile e riposa su invarianti. Durante questo periodo ilbambino elabora una serie di operazioni:operazioni logico-matematiche,operazioni spazio temporalioperazioni causali (per spiegare fenomeni)gli invarianti (conservazioni, lunghezza, sostanza, numero, ecc.)Stadio delleoperazioni formali

Dai 12 – 15 anniLa possibilità di ragionare su ipotesi riferite a simboli permettela costruzione delle operazioni formali. Il pensiero diventaipotetico-deduttivo. Dalle proposizioni che considera ipotesi satrarre conclusioni, possibilità virtuali. Elabora le operazioni dicombinazione, alcune forme di probabilità, le nozioni diproporzione ecc.6 L. CAMAIONI, P. DI VLASIO, Psicologia dello sviluppo, ed. ed. Il Mulino, 220 p 87.

11Sviluppo dell’intelligenza secondo la psicologia geneticaIntelligenza = capacità di adattare il proprio comportamento, il proprio pensiero e le proprieconoscenze alle modifiche dell’ambiente.Dai 12-14 anniSTADIO DELLE OPERAZIONI FORMALIIl ragazzo ora può ragionare su ipotesi riferite a simboli. Il pensierodiventa ipotetico e deduttivo.Elabora nuove operazioni più complesse:- le operazioni di combinazione,- le proporzioni,- la probabilità ecc.⇑ ⇑ ⇑ ⇑ ⇑ ⇑Dai 7 ai12-14anniSTADIO DELLE OPERAZIONI CONCRETEMa operazioni compiute su realtà e oggetti che sono presenti.Queste operazioni non si sviluppano contemporaneamente, maprogressivamente nel corso di tutto lo stadio. Il bambino elabora:- le operazioni logico-matematiche (classificazioni,seriazioni e numero)- le operazioni spaziali (es. misura) e temporali- le operazioni causali che gli consentono di spiegare ifenomeni fisici,- le conservazioni (numeriche, logiche, spaziali, fisiche)⇑ ⇑ ⇑ ⇑ ⇑ ⇑La reversibilità rende possibili le operazioni che sono azioniinteriorizzate e coordinateDa 2 a6-7 anniSTADIO PRE-OPERATORIO- Intelligenza simbolica → pre-concetti- Pensiero intuitivo → irreversibilità e primatodella percezione⇑ ⇑ ⇑ ⇑ ⇑Intelligenza rappresentativa: capacità di rappresentarecon simboli o segni un oggetto o un avvenimento

assente (linguaggio, disegno,gioco simbolico, immaginementale, imitazione differita)Da 0 a 2anniSTADIO SENSO MOTORIOIntelligenza pratica12Le operazioni concreteVerso 7-8 anni nascono le operazioni concrete dell’intelligenza e il pensiero del bambinodiventa operatorio7. Ma che cos'è un'operazione e in che cosa consiste il pensierooperatorio?Se è facile definire quest'ultimo per il fatto che può utilizzare delle operazioni e basare su diesse il proprio ragionamento, è molto più difficile spiegare che cosa sia un'operazione secondoil significato attribuito a questo termine da J.Piaget. Egli propone diverse definizioni tra le qualiquesta:"... psicologicamente l'operazione è un'azione interiorizzata diventata reversibile8 percombinazione con altre azioni interiorizzate in una struttura d'insieme"9

A partire da questo livello due tipi di strutture d’operazioni si costruiscono:- le operazioni logico-matematiche che organizzano gli oggetti discreti (discontinui) esono fondate sulle differenze, sulle somiglianze o sulle loro equivalenze,- le operazioni infralogiche (o operazioni spazio temporali) che portano invece su“oggetti” continui e che sono fondate sulle relazioni di vicinanza e separazione.Operazioni logico-matematiche10

⇓Quantità discontinueOperazioni infralogiche(spazio temporali)⇓quantità continueClassificazioni Partizioni� Numero � MisuraSeriazioni SpostamentiConservazioniConservazioni numeriche es. Conservazione della sostanzaLe strutture d’operazione concrete sono sistemi di trasformazione reversibili, ma unatrasformazione operatoria non si effettua che in rapporto a un invariante.Nel corso dello stadio delle operazioni concrete avremo l’elaborazione :- delle operazioni logico matematiche: seriazioni, classificazioni, conservazioninumeriche,- delle operazioni spazio temporali: operazioni di misura ecc.- delle conservazioni: logiche, numeriche, spaziali e fisiche. In questo ambito tratteremodelle operazioni di classificazione, di seriazione e delle conservazioni numeriche.7 J.BIDEAUD, O. HOUDE, J.L.PEDINIELLI, L’homme en développement, PUF Paris, 20038 Reversibilità la capacità del pensiero di tornare indietro alla situazione iniziale di una trasformazione, e di comporreuna trasformazione (chiamata operazione diretta) con la sua contraria.9 J. Piaget, Studi d'epistemologia genetica, PUF, Parigi 1957, p 35

13Operazioni di classificazione

Sugli oggetti presenti nel campo percettivo è possibile compiere delle operazioni: si possonocollegare mentalmente l'uno all'altro gli oggetti sulla base della presenza in ciascuno di essi diuna certa qualità: il colore, la forma, la dimensione ecc. e il ragionamento porta sullesomiglianze. In questo caso non si prende in considerazione la vicinanza o la distanza di questioggetti e nemmeno la loro posizione o il fatto di essere immobili o mobili. In altri termini suglioggetti si possono compiere delle operazioni logico-matematiche prescindendo peròcompletamente dalle posizioni nello spazio e nel tempo degli oggetti stessi. Anche leoperazioni logico-aritmetiche conducono alla costruzione di invarianti: una classe, una serie,una quantità numerica rimangono ciò che sono indipendentemente dai mutamenti di posizionedei loro elementi, oppure indipendentemente dalle composizioni alle quali possono prendereparte: somme, sottrazioni, moltiplicazioni.Le operazioni di classificazione consistono nel raggruppare degli oggetti in funzione delle lorocaratteristiche comuni. La classificazione più semplice appare come una successione lineare diinclusioni: la classe dei cani < nella classe degli animali < classe degli esseri viventi.Ci sono diverse strutture di classi: gli aggruppamenti additivi di classi (es. Quadrati rossi,Quadrati), la moltiplicazione delle classi e cioè l'intersezione semplice (es. Rossi – piccoli rossi– Piccoli) e la tavola a doppia entrata (es. Quadrati – Non quadrati – Grandi – Non Grandi)Secondo la definizione di J.Piaget ogni classe è necessariamente relativa a un sistema di classi.Non è possibile pensare una classe come qualcosa di isolato. La costruzione di una classe A(oggetti rossi) comporta la costruzione della classe complementare A' (oggetti non rossi) e lacostruzione della classe includente B (tutti gli oggetti rossi e non rossi) che ha originedall'addizione logica delle classi A e A'. Costruire questa classe significa dunque operare unaclassificazione additiva.Nella moltiplicazione semplice si ha l'intersezione di due classi non disgiunte e la costruzionedi una terza classe che corrisponde alla parte comune delle prime due. Questa terza classe ècostituita di elementi che appartengono contemporaneamente alla prima e alla seconda classe.Costruire questa classe significa dunque operare una classificazione moltiplicativa.Nella tavola a doppia entrata sono invece messe in relazione due successioni di classi nondisgiunte (e non due classi solamente). Una moltiplicazione biunivoca consiste nel mettereciascuna delle classi di ognuna delle due successioni in rapporto con tutte le classi dell'altrasuccessione e nel costruire così un sistema di classi moltiplicative.Rossi Non RQuadr.NonQ.La situazione sperimentale utilizzata Piaget e Inhelder per cercare di analizzare lo sviluppodella classificazione additiva nel bambino è stata la seguente: al bambino venivano presentatefigure di legno (triangoli, cerchi, quadrati ecc.) di colori diversi e varie dimensioni.14Il compito consisteva nel chiedere al soggetto di mettere insieme gli elementi che erano tra lorosimili. L'esperienza ha permesso di individuare un'evoluzione di condotte classificatorie:I° livello (dai 2 ai 5 anni) : collezioni figuraliI bambini di questo livello, invece di costruireuna classe, compongono:- degli oggetti collettivi (es. fanno un treno)- dispongono gli oggetti in fila (un triangolo, poiun quadrato, poi un triangolo ecc.)- oppure costituiscono delle composizionispaziali sovente simmetriche.

Quando si interessano a qualità comuni questenon sono generalizzate a tutti gli elementi: iniziaa costituire un gruppo di oggetti con la stessaforma, poi aggiunge elementi dello stessocolore.II° livello ( 5-7 anni) collezioni non figuraliCostruisce delle collezioni, ma non ancora delleclassi, poiché giustapposte le une alle altre.III° livello (8-9 anni circa) classificazioniadditiveIl bambino è ora capace di classificarecorrettamente il materiale secondo il principiodell'aggruppamento additivo e di confrontare iltutto con una delle sue parti riconoscendo ilrapporto d’ inclusione di una sottoclasse in unaclasse totale.15La nozione di inclusione di una sottoclasse in una classePer Piaget e Inhelder la comprensione del rapporto di inclusione di una classe parziale in unaclasse totale è indispensabile per poter immaginare sin dall'inizio, di una prova diclassificazione, che è possibile ripartire la totalità degli elementi in sottoclassi all'interno dellequali è possibile operare una nuova suddivisione senza però l'annullamento dell'unità logicadella struttura in cui essa è stata introdotta.La difficoltà a comprendere il rapporto di inclusione è stata studiata dagli psicologi ginevriniattraverso diverse situazioni sperimentali facendo ricorso ad una grande varietà di materialidiversi: gettoni (figure geometriche), fiori, animali, frutti, perle di legno di due colori ecc.Descriviamo ora l'esperienza più nota. Il materiale è costituito da 20 cartoncini cheraffiguravano: 16 fiori di cui 8 primule (4 gialle e 4 di altri colori) 8 altri fiori. Il bambinodoveva effettuare una classificazione (raggruppare i fiori che erano simili) e rispondere adalcuni problemi di quantificazione dell'inclusione;"Il mazzo di primule gialle è più grande o più piccolo del mazzo di tutte le primule?""Ci sono più primule o più fiori?"I risultati di questa esperienza hanno mostrato che la maggior parte dei bambini dai 5 ai 7 anni(al livello quindi delle collezioni non figurali) sono incapaci di quantificare il rapporto diinclusione. Infatti essi negano che vi siano più primule che primule gialle. Tutto si svolge comese le primule gialle, dissociate mentalmente dalle altre primule e collegate tra loro dalla qualità"a" (giallo) nella classe A, non fossero ormai più disponibili e non potessero dunque venireconsiderate per la loro qualità "b" (primule) e costituire così la classe B.Lo stesso problema è stato proposto con altro materiale: animali, perle di legno, frutta ecc.Queste prove non sono però riuscite tutte alla stessa età.La comprensione del rapporto d'inclusione per esempio della classe delle mele rosse nelle melerichiede la capacità di passare: dalla considerazione di una qualità che dissocia certi elementi daaltri (esempio il rosso) alla considerazione di un'altra qualità che invece li unisce (esempio lamela). E' appunto tale mobilità di pensiero che permette, una volta costruita una classificazione,di mutarne la struttura scegliendo come base di suddivisione dei criteri diversi.Operazioni di seriazioneNel pensiero dei bambini esiste anche una primitiva struttura d'ordine: é la struttura di

seriazione. Si attualizza quando ad esempio si tratta di ordinare dal più piccolo al più grandeuna collezione di bastoncini di diversa grandezza: il ragionamento porta sulle differenze ( e nonpiù sulle somiglianze come era il caso nelle classificazioni) di lunghezza di ogni bastoncino.Quando il bambino non costruisce più la serie per tentativi, ma utilizza un metodo sistematico etotalmente esaustivo: cerca il più piccolo, poi il più piccolo di tutti quelli che restano e viadicendo, egli dimostra di capire che il bastoncino scelto é più grande dei precedenti e piùpiccolo di quelli che prenderà in seguito. Coordina cioè nello stesso tempo due relazioni: "é piùgrande di", "é più piccolo di". Contemporaneamente i bambini sono capaci di ragionare sullabase della relazione di transitività. Infatti nel pensiero del bambino le relazioni d'ordine(asimmetriche) e la transitività si sviluppano contemporaneamente.Situazione sperimentale: si presentano al bambino 10 asticciole la cui lunghezza varia inmodo regolare (da 9 a 16,5 cm) e gli si chiede di costruire una scala. Una volta costruita la serieil soggetto riceve una nuova asticciola (di misura intermedia a due elementi) e gli si chiede diposizionarla intercalandola tra due elementi.16Evoluzione delle condotteI° livello ( da 4 anni ) Nessuntentativo di seriazioneCostituzione di coppie confronto:trasporto della differenza di un elementosul secondo:- oppure il bambino tiene conto solodella linea delle sommità: fa una scalama senza prendere in considerazione lebasi M-Ange5;1Janine 5;3II° livello (5-6 anni)Riesce per tentativi ed errori a costruirela scala, ma senza costruire un sistemadi relazioni che gli permetta diintercalare nuovi elementi. Per potereintercalare un nuovo elemento deveannullare la serie già composta ericominciare da capo.III° livello (dai 7 anni) seriazioneoperatoriaMetodo sistematico: cerca ogni voltal’elemento più piccolo, sa ancheintercalare nuovi elementi coordinandola doppia relazione > e <.17La conservazione cardinaleOgni forma di conoscenza presuppone un sistema di conservazione. L'idea che qualcosa siconserva, pur attraverso una serie di mutamenti nelle caratteristiche di un oggetto o di uninsieme di oggetti, permette di introdurre un principio d'ordine nelle modificazioni registratedalla percezione.

Nelle trasformazioni di oggetti o di situazioni gli invarianti possono essere di volta in voltadiversi. Quando l'intervallo vuoto tra due punti viene riempito, ciò che non varia è la distanzatra questi due punti; quando trasformo una palla di plastilina in una salsiccia, varia la sua formama la quantità di materia resta invariata.Durante il periodo delle operazioni concrete (dai 6 ai 12 anni), diversi sono gli invariantielaborati dal bambino. Si distinguono in:- invarianti spaziali (lunghezza, distanza, superficie, volume, parallelismo ecc.)- invarianti fisici (sostanza, peso, volume)- invarianti numerici (conservazione cardinale)Gli schemi (o le nozioni) di conservazioni si acquisiscono correlativamente all'elaborazionedelle strutture logico-aritmetiche delle classi, delle relazioni e numeriche.Noi possiamo stabilire che due collezioni di gettoni sono equivalenti sia contandole, siafacendo corrispondere un gettone della prima collezione a uno dell’altra collezione, stabilendocosì una corrispondenza termine a termine (corrispondenza biunivoca). Piaget e Szeminska 11analizzano il meccanismo della corrispondenza biunivoca in situazioni in cui il bambino éobbligato ad inventarla e ad utilizzarla nella forma che gli conviene.La situazione sperimentale è la seguente: in presenza di 12 gettoni rossi e 12 gettoni blu losperimentatore, dopo avere allineato i rossi, chiede al bambino di disporre i gettoni blu sotto lalinea dei rossi "per avere la stessa quantità, lo stesso numero di gettoni rossi e di gettoni blu".Quando il bambino ha messo i suoi gettoni gli si chiede: "C'è la stessa quantità di blu e dirossi? Come lo sai? Come hai fatto a saperlo?Dopo avere disposto i suoi gettoni e confermato che si tratta della stessa quantità, losperimentatore riavvicina i gettoni rossi: e ripropone le stesse domande chiedendo al bambinodi giustificare il suo giudizio. Il problema viene posto un’altra volta dopo essere tornati allasituazione iniziale. Lo sperimentatore, questa volta distanzia i gettoni blu in maniera tale che ilgettone all'estremità destra superi di 2 cm la linea superiore dei rossi. Lo sperimentatore pone lestesse domande.Evoluzione dei comportamenti.I° stadio: il bambino si limita ad unconfronto globale senza tener conto dellaquantificazione esatta: riproduce due filedella stessa lunghezza senza tener contodella densità (cioè del numero deglielementi),gettoni rossi o o o o o o o ogettoni blu o o o o o o o o o o o o11 : J.Piaget. A. Szeminska, La genesi del numero nel bambino, ed. La nuova Italia, Firenze, 1987 ed. or. 1941 pp 108-126

18II° stadio: applica la corrispondenzatermine a termine ma senza conservazionedella quantità in caso di deformazione dellafigura. Il bambino a questo stadio sa che igettoni sono altrettanti per il fatto che hafatto sempre corrispondere un gettone a unaltro (anche se non li ha contati). Ammettel’equivalenza solo quando le dueconfigurazioni percettive (le due file di

gettoni) coincidono spazialmente. Ci sonoanche bambini che ammettono che le duecollezioni hanno lo stesso numero, ma che inuna ce n’è di più (quando una fila superaspazialmente l’altra). Il numero contato(quotité) si conserva prima della quantità.Il bambino fa corrispondere ogni suo gettonea ogni gettone dello sperimentatore ericonosce che le due collezioni hanno lastessa quantitàgettoni rossi o o o o o o o ogettoni blu o o o o o o o oMa quando le due file di gettoni noncoincidono più spazialmente, nega la loroequivalenza:o o o o o o o oo o o o o o o oSono la stessa quantità , ma sono di più igettoni blu.III° livello: c'é corrispondenza precisa eequivalenza durevole.Sono la stessa quantità perché non haiaggiunto nulla.o o o o o o o oo o o o o o o oSecondo P. Greco la conservazione della quotité, cioè del numero contato è più precoce dellaconservazione cardinale. Bisogna dunque assegnare alla nozione di quotité un certo statutocardinale, quasi numerico. Essa nasce dall’aspetto seriale inerente all’azione stessa di contare.Ciò che manca alla quotité è il sistema delle inclusioni che fonda la cardinazione operatoria.Quest’ultima sarà fondata sull’operazione d’iterazione.A titolo di illustrazione, nella pagina seguente, presentiamo il protocollo dell’interrogatorio diDenise (7,2).19CONSERVAZIONE CARDINALE: la prova dei gettoniBambina: Denise. età 7;1 Sperimentatore : R.RosseraSperimentatore azioni bambinaI partePrendi i tuoi gettoni ... fammi unafila di gettoni sotto alla mia che hala stessa quantitàSono la stessa quantità?II parteAdesso sono la stessa quantità o cene è una fila che ne ha di piu`?Fai la stessa cosa allora, la stessaquantitàAdesso sei sicura che abbiamo lastessa quantità? Perché?III parteAdesso guarda cosa succede

E adesso? C'è la stessa quantità digettoni rossi e blu?Chi ne ha di più?Allora come fare?Adesso?Sei sicura?Cosa hai guardato per esseresicura?R. mette 10 gettoni blu in fila sul tavoloD. prende i suoi gettoni rossi e percorrispondenza termine a termine ne mette10 in fila .O O O O O O O O O OO O O O O O O O O OR. allarga i gettoni bluO O O O O O O O OOO O O O O O O O O OD con due dita allarga i gettoni della suafila spostandone due all'esterno poi altridue fino ad avere due file con gli estremiche coincidono. (ritorno empirico)O O O O O O O O O OO O O O O O O O O OD mostra con due dita che due gettoni blucorrispondono a due gettoni rossi e ripeteil gesto fino a verificare l'intera fila.R. restringe la fila di gettoni bluOOOOOOOOOOO O O O O O O O O OD. restringe la fila dei rossi fino adottenere due file in corrispondenza otticaOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO(Ritorno empirico)D mostra con le mani gli estremi delle duefile prima a destra poi a sinistraSìNo perchè qui ne mancano due(mostra un estremo della fila) e quine manca uno (mostra l'altro)EccoSìPerchè? Perché..Perchè qui ce ne sono due e quidueNo!No. I rossi sono di piùAdesso sìSìperché finisce qua e finisce qua

20IV parteAdesso faccio un'altra cosaAdesso abbiamo la stessa quantitàdi rossi e di blu?Cosa hai guardato?Prova a contare

Allora?Allora qui sono di più ? (mostra irossi) Ce ne sono 10 ma sono piùtantiV parteAhh Allora faccio qualcosa d'altroOra tu metti la stessa quantità dicubiC'è la stessa quantità?Ora guarda...Ma sei poi sicura che sono 10?Li hai poi contati?Perché, avevi contato anche questi?Allora sono 16 e 16 e sono la stessaquantità perché sono lo stessonumero..Non c'è più bisogno di guardarequa e qua?R prende i gettoni blu e li mette in cerchioaccanto alla fila dei rossiD mostra la fila dei rossiD. conta i rossipoi conta i bluR. prende 16 cubi e li dispone in filaD prende successivamente i cubi a 2 o a 3alla volta e li mette in corrispondenzatermine a termineD.Mostra gli estremi delle fileR raggruppa una fila di cubiD. conta i cubi raggruppatiEsclama sorpresaR. mostra la filaD. conta i gettoni nella filaR. mostra i limiti estremi della filaNo sono di più i rossiQuesti sono lunghi (indica fila) equesti sono rotondi (indica gettoniblu)1010Sono 10 gettoni solo che qui sonopiù pochi (mostra i gettoni blu incerchio)(Quotité)NoNo sono uguali, soltanto che qui(blu) c'è un rotondo e è più piccoloSì sì perchè qui finisce uguale e quiancheSi (stessa quantità) perché qui c'èuna fila lunga, qui sono 10 e anchequi (sono 10) soltanto che sonotutti ammucchiati1.2.3........16!allora sono di più questi (mostracubi raggruppati)1.2..... 16

Sono 16 e sono pariNo.

21IntelligenzaPensieroAspetto figurativo delpensieroPercezione, imitazione,immagine mentaleAspetto operativo delpensieroAzioni, azioni interiorizzatee non reversibili,operazioniStrumenti psicologiciSchemi:ciò che è repetibile egenera-lizzabile diun’azioneOperazioni e struttureSchemi coordinatiConoscenzaCostruire sistemi ditrasformazione (schemio operazioni) checorrispondono più omeno adeguatamentealla realtàMeccanismiAssimilazione Accomodamento22LA CONOSCENZASperimentale Logico-matematicaproviene dall'oggetto proviene dalla coordinazione di azioniastrazione empirica astrazione riflettentedà origine alla conoscenza dà origine alla conoscenzadelle proprietà fisiche dell' logico-matematicaoggetto. Implica una trasposizione a livellosuperiore di ciò che era coordinazionepratica di azioni.Come le coordinazioni d'azioni diventano operazioni e strutture:operazione é un'azione che può essereinteriorizzata, reversibile,

suppone qualche invariante, ésempre collegata ad un sistema d'operazionistruttura totalità, cioé sistema governato daleggi di trasformazione,chiusura delsistema ma pure sottostruttura di unsistema più largoStrutture matematiche Strutture psicologichealgebriche: il Gruppo algebriche: classificazioni additive eadditivo dei numeri, classi, e moltiplicative.spostamenti.d'ordine: si applica alle d'ordine: seriazione, corrispondenzerelazioni serialitopologiche:si applica topologiche prime intuizioni spazialialla geometria e allamatematica.Sono le operazioni, gli elementi costitutivi delle strutture che il soggetto utilizza. E' l'attività delsoggetto, con l'incessante processo di coordinazioni e messe in relazioni, che genera le strutture.23Le operazioniOperazioni logico-matematiche Operazione infralogiche (o spazio-temporali)Si applicano alle collezioni dioggetti e/o alle loro relazioni.Si applicano all'oggetto come tale e alle sue parti o ai suoirapporti spazio-temporali interniGli elementi sono messi inrelazione indipendentemente dailoro rapporti di vicinanza.Quindi in maniera discontinuaGli elementi sono messi in relazione in funzione deirapporti di vicinanza.Quindi secondo relazioni continue.Operazioni logico-matematiche Operazioni fisiche Operazioni spazio-temporaliConservazione cardinaleEs. una collezione di gettoniconserva la sua quantità anche sesi allontano i gettoniConservazione delle quantitàcontinue (dei liquidi).Es. la quantità di sciroppo siconserva anche se lo travasoin un bicchiere più strettoConservazione della lunghezzaEs. La lunghezza di un'astaspostata si conserva malgradolo spostamento.Le operazioni di classificazione:additive, moltiplicative

Raggruppo in funzione dicaratteristiche comuni.Conservazione della sostanzaConservazione della superficieLe operazioni di seriazione(ordine)Ordino in funzione di differenze(altezze, peso ecc.)Conservazione del pesoConservazione del volumegeometricoConservazione del volumefisicoIl numero come sintesi diinclusione e di ordineLa misura come sintesi dipartizione e spostamentoOperazioni fisiche costitutivedell'oggetto fisico. Derivanodalle azioni particolari che ilsoggetto esercita suglioggettiOperazioni costitutive dellospazio geometrico.Derivano dalla coordinazionegenerale delle azioni24RiepilogoPsicologia del bambino: cerca di descrivere come il bambino si sviluppa, dalla nascitaall'adolescenza.Psicologia genetica: cerca non solo di descrivere, ma pure di spiegare la genesi di tale o talaltro comportamento. Descrive gli stadi successivi dello sviluppo del bambino, definisce lestrutture che li caratterizzano, e cerca di spiegare le filiazioni da uno stadio all'altro.L'epistemologia genetica cerca di spiegare come il pensiero umano sia capace di produrre laconoscenza scientifica, come il soggetto epistemico passa da un livello di conoscenza menoelevato ad uno più elevato. Piaget ricorre allora all'ontogenesi: cioè allo studio dello sviluppodella conoscenza matematica, fisica, logica ecc. nel bambino allo scopo di cercare le radicidelle conoscenze dalle sue forme più elementari fino al livello del pensiero scientifico.Intelligenza per Piaget non é un'attitudine, o la capacità di servirsi dell'esperienza nétantomeno il risultato di un individuo ai tests d'intelligenza. E' piuttosto la capacità chepermette al soggetto d'adattare il proprio comportamento (come pure le proprie conoscenze edil proprio pensiero) alle modifiche dell'ambiente.Del pensiero distingue due aspetti, diversi e complementari:- l'aspetto figurativo che consiste in un'imitazione di stati presi come momentanei, (lefunzioni figurative sono percezione, imitazione, immagine mentale)- l'aspetto operativo che comprende le azioni, le azioni interiorizzate, ma non ancorareversibili del periodo preoperatorio, le azioni interiorizzate, coordinate e reversibili cioè le

operazioni. Per Piaget l'aspetto essenziale del pensiero é quello operativo, poiché concerne letrasformazioni, cioè le azioni e le operazioni che si effettuano sul reale (effettivamente omentalmente).Per effettuare un'azione occorrono, oltre all'infrastruttura anatomica e fisiologica, anche deglistrumenti di natura psicologica: degli schemi o strutture. Piaget ha chiamato schema ciò cheé repetibile e generalizzabile di un'azione. Considerato in se stesso un qualsiasi schema nonha una componente logica, ma gli schemi possono coordinarsi tra loro e formare una logicadelle azioni che costituisce il punto di partenza delle strutture logiche-matematiche.La conoscenza, non é una semplice copia della realtà, la conoscenza umana é essenzialmenteattiva, poiché per conoscere un oggetto devo agire su di lui costruendo dei sistemi ditrasformazione (schemi, operazioni) che corrispondono più o meno adeguatamente alla realtà.Ispirandosi alla biologia, Piaget propone, quali meccanismi che spiegano la formazione dellaconoscenza i concetti di assimilazione e accomodazione .In funzione dei propri strumenti intellettuali, il soggetto filtra (sceglie) gli stimoli ritenendonesolo alcuni, poi integra questi nuovi elementi, questa nuova conoscenza nel sapere giàacquisito. Quest’incorporazione (assimilazione) necessita di un lavoro di riorganizzazione(accomodamento), che solo il soggetto può effettuare. Nessuno può sostituirsi a colui cheapprende. L'insegnante può "offrire" delle conoscenze. L'allievo non le assimileràautomaticamente, ma sceglierà alcuni elementi che integrerà alle proprie conoscenzeristrutturandole.Le origini della conoscenza logico-matematicaL'alternativa classica consiste nel decidere se la conoscenza sia una copia del reale (un prodottodiretto della percezione e delle sensazioni) o un'assimilazione di esso.Nella concezione piagettiana il reale consiste in sistema di trasformazioni. Copiare questetrasformazioni é possibile solo riproducendole attivamente, il che equivale a dire che perconoscere gli oggetti bisogna agire su di loro in maniera tale da scomporli e ricomporli. Laconoscenza finisce col diventare assimilazione. E assimilare l'oggetto é lo stesso che25partecipare ai sistemi di trasformazione con cui esso é prodotto. Da qui la parte che spetta alleoperazioni, che sole possono cogliere le trasformazioni.Anche la capacità di riconoscere un frutto, ed affermare "questa é un'arancia" non é il semplicerisultato delle nostre esperienze percettive anteriori. E' pure il risultato di una serie di schemi diazioni quali: pelare il frutto, mangiarlo, berne il succo ecc.E' sulla base di schemi percettivi e motori che si costruisce il concetto, la classe e quindi lanostra capacità di affermare che quest'ovoide rugoso é un'arancia.Piaget distingue due tipi di conoscenze:- la conoscenza sperimentale che proviene soprattutto dall'esperienza. Quando noiagiamo su di un oggetto, la nostra conoscenza può provenire dall'oggetto stesso, dallesue proprietà fisiche (es. fragilità).- La conoscenza logico-matematica. Quando noi agiamo su degli oggetti noi possiamoprendere in considerazione non gli oggetti stessi, ma la azioni stesse che noi effettuiamosu di loro. Es. scoprire che contando gli oggetti in qualsiasi ordine, la loro somma restainvariata.Nell'ipotesi piagettiana vi sono quindi due diversi tipi d’astrazione:- l'astrazione empirica, o pseudo-empirica, che dà origine alla conoscenza delleproprietà fisiche dell'oggetto, e- l'astrazione riflettente, che dà origine alla conoscenza logico-matematica. Riflettente

nel senso che implica una trasposizione a un livello superiore (al livello delle operazioniad esempio) di ciò che inizialmente é stata una coordinazione pratica e incosciente. Lapresa di coscienza della proprietà commutativa della somma é il risultato delle azioni diriunire ed ordinare interiorizzate e coordinate mentalmente. Noi possiamo coordinarementalmente due azioni e realizzare così una coordinazione additiva, oppure possiamoeseguire due azioni che si succedono in ordine temporale e si ha allora unacoordinazione ordinale, o sequenziale.E' questa coordinazione a livello di azioni che costituisce la base dell'astrazione riflettente,che dà origine alla conoscenza logico-matematica.Ovviamente questa distinzione tra esperienza fisica e logico-matematica é teorica, noncorrisponde ad una dissociazione a livello funzionale Non esiste esperienza fisica senzal'applicazione di messe in relazioni e operazioni logico-matematiche. Reciprocamenteun'esperienza logico-matematica porta su oggetti.Ma come queste coordinazioni diventano operazioni e strutture?Un'operazione é un'azione che può essere interiorizzata, che può determinarsi in unadirezione o in quella opposta, é cioé un'azione reversibile. Ma suppone sempre qualcheconservazione: un invariante. Inoltre non esiste mai da sola, é sempre collegata ad un sistemadi operazioni. Esempio: l'addizioneUna struttura é una totalità, cioé un sistema governato da leggi di trasformazione. Una voltaapplicata una legge, il suo risultato non si proietta al di fuori dal sistema. C'é quindi una certachiusura della struttura, ma questo non significa che una struttura non possa collegarsi ad altrestrutture. Ogni struttura é quindi una sottostruttura di un sistema più largo.Esempio il gruppo additivo del sistema dei numeri interiGli esempi che abbiamo citato sono relativi al campo matematico. Cercheremo ora diesaminare le strutture-madri del gruppo matematico N. Bourbaki, per porci la questioneepistemologica fondamentale, e cioé se queste strutture matematiche sono naturali ( se trovanodei corrispondenti sul piano psicologico) o se sono totalmente artificiali26Le strutture matematicheNel 1930 un collettivo di matematici conosciuto con il nome di N.Bourbaki comincia a cercarele strutture comuni alle diverse branche della matematica (algebra, teoria dei numeri, geometriaecc.) La ricerca si concluse con la scoperta di 3 strutture-madri, a partire dalle quali é possibilegenerare tutte le altre.Le strutture-madri:1. La struttura algebrica, il cui prototipo é la nozione di gruppo. Questa struttura si applicaalle classi e ai numeri. Esempi: gruppo additivo nella serie dei numeri interi, gruppo deglispostamenti in geometria, gruppo additivo delle classi.2. La struttura d'ordine, il cui prototipo é la nozione di reticolo. Si applica alle relazioni.3. La struttura topologica, che é basata cui concetti di vicinanza, confini ecc. Si applica allageometria ed a altre aree della matematicaJ.Piaget fa l'ipotesi che esiste un parallelismo tra le strutture matematiche e le struttureoperatorie (psicologiche) dei bambini.I suoi studi sullo sviluppo del pensiero nei bambini lo conducono progressivamente a validaretale ipotesi. Infatti ritrova nel pensiero dei bambini sia piccoli che di 6 o 7 anni strutture chesomigliano a ciascuno di questi tre tipi.Le strutture psicologicheLe strutture algebriche nel pensiero del bambino possono essere trovate in termini moltogenerali, ad esempio nella logica della classificazione. E' la relazione di inclusione che dà

origine alla struttura operatoria di classificazione, la quale é analoga alle strutture algebrichedei matematici. Ma poiché la proprietà distributiva non vale entro questa struttura, non siamo inpresenza di un gruppo completo, ma di un aggruppamento.Esiste pure una primitiva struttura d'ordine nel pensiero dei bambini. Un esempio: la strutturadi seriazione. La reversibilità qui implicata é quella della reciprocità. La reversibilità é del tiposeguente: A più grande bi B implica che B sia più piccolo di A. Quando il bambino cerca ilbastoncino più piccolo di tutti quelli che restano, comprende contemporaneamente che questobastoncino é più piccolo di quelli che prenderà in seguito. Coordina cioè nello stesso tempo lerelazioni "più grande di" e "più piccolo di". Inoltre, contemporaneamente diventa capace diragionare sulla base della transitività. Secondo i logici la seriazione é una collezione direlazioni asimmetriche e transitive. Qui vediamo che nel pensiero dei bambini le relazioniasimmetriche e la transitività si sviluppano in stretta connessione.Le prime intuizioni spaziali sono di ordine topologico. Le prime operazioni consistono neldividere lo spazio, ordinare nello spazio, ossia operazioni più simili a quelle topologiche che aquelle euclidee. I bambini di 4 anni, ad esempio, pur sapendo riconoscere le forme euclideequali quadrati, rotondi, triangoli, quando si tratta di rappresentarli operano delle distinzioni ditipo topologico.J.Piaget ha cercato di dimostrare come le struttura-madri matematiche hanno le radici nellosviluppo del pensiero individuale. E come altre strutture possano svilupparsi per combinazionedue di esse. Il numero come sintesi di inclusione di classi e relazioni di ordine.La misura come sintesi dell'addizione partitiva e della coordinazione degli spostamenti.Al livello delle operazioni concrete le due forme di reversibilità non vengono mai sintetizzate in ununico sistema. Al livello delle operazioni formali vengono costruite nuove strutture che dannoorigine alla logica delle proposizioni in cui entrambi i tipi di reversibilità vengono egualmente usati.