Grafi. giu 03ASD - Grafi2 Definizioni/1 Struttura dati per la rappresentazione di relazioni binarie...

giu 03 ASD - Grafi 2

Definizioni/1

• Struttura dati per la rappresentazione di relazioni binarie

• G=(V,E), |V|=n, |E|=m• V: insieme di Vertici

• E={(vi, vj): vi, vj V} : insieme di Archi

• (vi, vj) = (vj, vi) = {vj, vi} Grafo semplice

• (vi, vj) ≠ (vj, vi) Grafo diretto

notazione impropria


Esempi

• Relazioni di parentela – Alberi genealogici

• Relazioni tra classi nei linguaggi OO• Grafo del Web• Assetti societari• Reti di trasporto• ................


Definizioni/2

• Multigrafo: E è un multi-insieme• Pseudografo: E contiene anche coppie (vi,

vi), dette cappi• Cammino (di lunghezza k) in un grafo:

v1, v2,….., vk: (vi, vi+1) E• Circuito in un grafo: cammino con v1 = vk

• Ciclo in un grafo: circuito con vi ≠ vj

• Grafo pesato: valore reale wk associato ad ogni arco ek


Definizioni/3

• Kn: Grafo semplice con n nodi in cui sono presenti tutti gli archi, detto grafo completo– Numero di archi in Kn : n(n-1)/2

• G’ = (V’, E’) sottografo di G = (V, E) se e solo se V’ V ed E’ E

• grado(v): #di archi incidenti in v• (vi, vj) E: vi adiacente a vj


Esempi di grafi: (a-d) grafi semplici; (c) un grafo completo K4; (e) un multigrafo; (f) uno pseudografo; (g) un circuito in un grafo orientato; (h) un ciclo nel grafo orientato


Rappresentazioni

• Liste di adiacenza: ad ogni vertice è associata la lista dei vertici adiacenti– può essere una tabella o una lista

concatenata

• Matrice di adiacenza: aih = 1 se (vi, vh) E, aih = 0

altrimenti• Matrice di incidenza:

aih = 1 se vi eh, aih = 0 altrimenti


Rappresentazioni di grafi. Un grafo (a) rappresentato con una lista di adiacenze (b-c),


Rappresentazioni di grafi. Un grafo (a) rappresentato come una matrice di adiacenze (d) e come una matrice d’incidenza (e)


Vantaggi e Svantaggi• Lista di adiacenza: memoria O(m)

Vantaggi: permette di scorrere i nodi adiacenti a v in O(grado(v))Svantaggi: inserimenti e cancellazioni su liste concatenate in O(grado(v))

• Matrice di adiacenza: memoria O(n2)Vantaggi: Inserimenti e cancellazioni in O(1)Svantaggi: permette di scorrere i nodi adiacenti a v in O(n)

• D.: matrice di incidenza ?


Visita di un Grafo

• Obiettivo: visitare una sola volta tutti i nodi del grafo.

– Es.: visitare un porzione del grafo del Web

• Difficoltà: – Presenza di cicli: marcare i nodi visitati – Presenza di nodi isolati: la visita

termina quando sono state considerate tutte le componenti isolate del grafo


Visita in profondità - DFS

• La visita procede da ogni nodo finché tutti gli archi adiacenti non sono stati percorsi.

• Se tutti i nodi adiacenti sono stati visitati allora si torna al nodo “predecessore”.

• Una volta tornati al nodo di partenza si prosegue da un nodo qualsiasi non visitato.

• I nodi vengono numerati secondo l’ordine di visita.


Esempio di applicazione dell’algoritmo depthFirstSearch ad un grafo


L’algoritmo depthFirstSearch applicato ad un grafo orientato


Implementazione della DFS/1

• I nodi sono inizialmente marcati con 0• Si inizializza i=0• Assumendo che la visita sia arrivata ad un nodo v,

essa prosegue attraverso un nodo u adiacente a v, se marcato 0.

• Se nessun nodo adiacente marcato 0 è disponibile si torna al nodo da cui si è raggiunto v, oppure si termina se v è il nodo iniziale.

• Ogni volta che viene raggiunto un nodo mai visitato, questo viene marcato con i++

• Viene marcato sia l’inizio che la fine della visita di un nodo v, risp. num(v) e fin(v)


Implementazione della DFS/2depthFirstSearch() {for (tutti i vertici v)

num(v) = fin(v) = 0; /* Vedi slide seg. */edges = {}; // insieme vuotoi = j = 1; /* per aggiornare num(v) e fin(v) */

/* main loop */while (<esiste vertice v con num(v)=0>)

DFS(v);<visualizza edges>

}


Implementazione della DFS/3DFS(v) {num(v) = i++; // num(v): prima volta che si visita v for (<tutti i vertici u adiacenti a v>) if (num(u) == 0) {

edges = edges {(v, u)};DFS(u);

}fin(v) = j++; // fin(v): ultima volta che si visita v

}


DFS iterativa

• L’implementazione iterativa della DFS utilizza una pila per memorizzare gli archi uscenti da un nodo visitato.

• Ad ogni passo si estrae l’arco (w,v) sulla cima della pila.

• La visita prosegue su un nodo u adiacente a v (solo se marcato 0).

• La numerazione fin(v) viene assegnata quando si estrae un arco (w,v) con num(w) < num(v)


DFS iterativavoid iterativeDFS(v) {pila.push((v,v)); // arco fittiziowhile(!pila.isEmpty()) {(w,v) = pila.pop(); // arco w -> vif (num(v) == 0) {num(v) = i++;edges = edges {(w, v)};pila.push((w,v)); // prepariamo la II marcaturafor (<tutti i vertici u adiacenti a v>) if (num(u) == 0) pila.push((v, u));

} else if (fin(v) == 0) fin(v) = j++;//test inutile?}

}


proprietà della DFS• l’algoritmo DFS visita l’intera componente del

grafo raggiungibile dal nodo di partenza• se collezioniamo gli archi (edges) che portano alla

scoperta di nuovi nodi, otteniamo una collezione di alberi che coprono l’intero grafo– un arco viene seguito solo se il nodo adiacente non è mai

stato raggiunto.

• gli archi seguiti connettono un nodo con marca inferiore ad un nodo con marca superiore (forward edges)

• gli archi che non vengono seguiti al contrario connettono nodi con marca superiore a nodi con marca inferiore (back edges)


Complessità della DFS

• O(n) per inizializzare marcatura dei nodi.• Test degli archi uscenti da un nodo v:

– O(grado(v)) nella rappresentazione con lista di adiacenza.

– O(n) nella rappresentazione con matrice di adiacenza.

• Ogni arco viene testato al più due volte, una volta per ogni estremo

• Complessivamente O(n + m), O(n2) (grafo denso)


Ordinamento parziale• Ordinamento parziale di un insieme A:

relazione d'ordine parziale (transitiva) sugli elementi di A– possono esistere coppie tra le quali non è

definito alcun ordine• Un grafo diretto aciclico (DAG)

rappresenta un ordinamento parziale: l'insieme dei vertici è l'insieme A ed esiste un arco (u, v) sse u < v secondo l'ordine parziale

• Se esiste un ciclo il grafo non può rappresentare un ordine parziale: perché?


esempio

l'introduzione/eliminazione di archi transitivi non modifica l'ordine parziale descritto

chiusura transitiva = aggiunta di tutti gli archi transitivi

riduzione transitiva = eliminazione di tutti gli archi transitivi


Applicazione ordini parziali

• Ereditarietà tra classi in linguaggi OO

• Vincoli di precedenza in progetti complessi

• Contenimento insiemistico• Studio di proprietà geometriche• ...


esempioslip

calzini

camicia cintura

orologio

giacca

pantaloni

cravatta

scarpe


Ordinamento Topologico/1

• Un ordinamento topologico di un DAG è un ordinamento lineare dei suoi vertici che soddisfa la seguente condizione: per ogni arco (u, v) del grafo, u precede v nell’ordinamento– a ciascun vertice u si assegna un intero p(u) in modo

tale che, se esiste l'arco (u, v), allora p(u) < p(v)– di conseguenza, se esiste un cammino da u a w,

allora p(u) < p(w): ogni nodo nell’ordine è seguito da tutti i suoi successori

• è sempre possibile determinare un ordinamento topologico di un DAG



• In altre parole si vuole determinare un ordine totale consistente con l'ordine parziale (ce ne possono essere molti!)

• spesso si usano algoritmi che determinano un ordinamento inverso all'ordinamento topologico– per semplicità, consideriamo anch'essi

"topological sorter"• Un vertice pozzo è un vertice che non

ha archi uscenti. In un DAG esiste sempre almeno un pozzo: perché?



TopologicalSort() {for(i = 1; i <= n; i++) {<trova un vertice pozzo v>num(v) = i;<elimina dal DAG tutti gli archi incidenti in v>

}}

sfruttiamo la proprietà che un sottografo di un DAG è un DAGnum(·) fornisce la numerazione cercata (inversa)


Ordinamento topologico:

g,e,b,f,d,c,a


Ordinamento Topologico/4• In pratica un ordinamento topologico

(inverso) si ottiene se nella sequenza ogni nodo è seguito dai suoi predecessori (e da altri eventuali nodi)

• Si esegue una DFS e si ordinano i vertici secondo il valore fin(v).– il valore fin(v) è inferiore a quello dei suoi

predecessori

• L’ordinamento topologico si ottiene dalla sequenza ordinata secondo fin(v) scandita in ordine inverso. Come si dimostra?


Ordinamento Topologico/5TS(v)num(v) = i++;for(<tutti i vertici u adiacenti a v>)if (num(u) == 0)TS(u);

else if (fin(u) == 0)errore; // identificato un ciclo/* siamo tornati ad u visitando i successori di u */

/* dopo avere esaminato tutti i predecessori, assegna a v un numero maggiore di quelli assegnati a qualsiasi predecessore */

fin(v) = j++;



topologicalSorting(digraph)for(<tutti i vertici v>)

num(v) = fin(v) = 0;i = j = 1;while (<esiste v tale che num(v) == 0>)

TS(v);

<Visualizza i vertici in ordine inverso secondo fin(v)>/* conviene "organizzarsi" in anticipo per non dover pagare il costo di un ordinamento */


Connettività in Grafi diretti

• Due nodi u,v sono connessi in un grafo orientato se esiste un cammino diretto che collega u a v.

• Un grafo diretto è fortemente connesso se per ogni coppia u,v, esiste un cammino da u a v.

• Un grafo è debolmente connesso se ogni coppia di nodi è connessa da un cammino quando gli archi orientati si sostituiscono con archi non orientati.


Componenti fortemente connesse - SCC/1

• Un grafo diretto può essere decomposto in componenti fortemente connesse, V1 , V2 ,… , Vk, tale che

– V = V1 V2 ... Vk

u, v Vj: u connesso a v, v connesso ad u

– Vj è un insieme massimale

– Vi Vj = Ø

• GT = (V, ET): (u, v) E (v, u) ET


SCC / 2

StronglyConnectedComponent(G)Esegui DFS(G) per calcolare fin(v) per ogni vertice v;Calcola GT;Calcola DFS(GT) considerando i nodi nel "main loop" in ordine decrescente secondo fin(v);Output ogni albero di DFS(GT) come una componente fortemente connessa separata


Esempio di esecuzione dell’algoritmo per SCC

num/fin

5/4

G

1/5

c

6/8

d

8/6

a b

4/22/3

g

3/1

h

7/7

e f

5

GT

4

c

1

d

2

a b

86

g

7

h

3

e f

SCC: {a,b,e} {c,d} {f,g} {h}

num

Radici Alberi DFS: b, c, g, h


Visita in ampiezza - BFS

• La visita in ampiezza fa uso di una coda per memorizzare tutti gli archi incidenti nel nodo v visitato che portano ad un nodo marcato 0.

• I nodi raggiungibili non marcati vengono quindi marcati.

• La visita procede dall’arco (v,u) in testa alla coda.


Implementazione della BFSbreadthFirstSearch() {

for (tutti i vertici v)num(v) = 0;

edges = {}; // empty seti = 1;while (<esiste vertice v tale che num(v) == 0>) {

num(v) = i++;enqueue(v);while (<la coda non è vuota>) {

v = dequeue();for (<tutti i vertici u adiacenti a v>)

if (num(u) == 0) {num(u) = i++;enqueue(u); edges = edges {(v, u)}

}}

}<visualizza edges>

}


Un esempio di applicazione dell’algoritmo breadthFirstSearch ad un grafo


Applicazione dell’algoritmo breadthFirstSearch ad un grafo orientato


Il Problema dei Cammini Minimi

• G=(V,E) è un grafo pesato sugli archi• d(u,v), (u,v) E: peso sull’arco (u,v)• Cammino dal nodo s al nodo t:

v1, v2,….., vk: (vi, vi+1) E, v1= s, vk=t

• Lunghezza del cammino:• Il cammino di lunghezza minima non

contiene cicli ……se le distanze sugli archi sono positive. Come si dimostra?

),( 1

1

1

i

k

ii vvd


Il problema dei Cammini Minimi/2

• Determinare il cammino di lunghezza minima – dal nodo s al nodo t– dal nodo s a tutti gli altri nodi V (SSSP)– tra tutte le coppie di nodi del grafo (APSP)

• Numerose applicazioni: reti stradali, reti di comunicazione, scheduling di progetti, progetto di circuiti,….


Single Source Shortest Paths/1

• Consideriamo un grafo pesato con pesi non negativi.

• Determinare il cammino minimo da un nodo s a tutti i nodi V del grafo

• Ogni sottocammino di un cammino minimo è esso stesso un cammino minimo.

• Ex: s,…,i,…j,…,v: cammino minimo da s a v i,…,j è un cammino minimo da i a j.

Come si dimostra?


Single Source Shortest Paths/2

• La collezione dei cammini minimi da s a tutti i nodi V forma un albero. Come si dimostra?

• Algoritmi per SSSP mantengono ad ogni istante delle etichette sui nodi.

• Etichette rappresentano delle approssimazioni delle distanze dalla sorgente.

• Vi sono algoritmi che ad ogni passo fissano alcune etichette ai loro valori finali, ex Dijkstra.

• Altri algoritmi, ex: Bellmann & Ford, possono modificare tutte le etichette lungo l’intera esecuzione dell’algoritmo.


Dijkstra/1

1. Due insiemi di nodi Q ed R. 2. Inizialmente Q= {}, R={1,..,n}3. 4. Ad ogni passo estrai il nodo v in R con min

dist(v) ed inserisci v in Q5. Per ogni u adiacente a v aggiorna la distanza

da s ad u attraverso nodi in Q:

0)(,)(,, sdistvdistsvRv

vpred(u)

uvdvdistudist

uvdvdistudistif

),()()(

),()()(


Un’esecuzione diDijkstraAlgorithm


Dijkstra/2

• Ad ogni passo si determina la distanza minima di un nodo v in R. Il nodo viene inserito in Q.

• Dijkstra termina in n passi. • Ad ogni passo occorre determinare il nodo v in

R con minimo valore dist(v), O(log n) usando un heap per la coda di priorità.

• Occorre poi eseguire il rilassamento per ogni adiacente u di v, O(grado(u)) vertici, ed eventualmente aggiornare la priorità. Complessivamente O(m log n)

• Complessità di Dikstra O((n + m )log n).


Dijkstra/3• Correttezza: Dimostrare che dist(v) è la distanza

minima d(v) da v ad s quando v è incluso in Q.• Per assurdo, considera il primo nodo inserito in

Q per cui• Esiste un cammino alternativo più breve che

contiene almeno un nodo in R.• Sia v’ l’ultimo nodo in R sul cammino da v a s. • v’ è connesso ad s con un cammino formato di

soli nodi in Q con dist(v’)<dist(v).• Una contraddizione poiché v’ sarebbe stato

selezionato in luogo di v.

)()( vdistvd


Dijkstra/4

DijkstraAlg(grafo digraph, vertice source)for tutti i vertici v

dist(v)= ;dist(source)=0;R = tutti i vertici; while R!=0

v = vertice in R con minimo dist(v);for tutti i vertici u in R adiacenti a v

if dist(u)>dist(u)+d(v,u)dist(u)= dist(u)+d(v,u;

pred(u) = v;


Dijkstra/5

• La collezione dei pred(u) forma l’albero dei cammini minimi con sorgente s.

• Si può risolvere il problema APSP eseguento n volte Dijkstra a partire da n sorgenti. Complessità:O(nlog n(m +n)).


Minimo Albero Ricoprente – MST

• Si desidera selezionare un sottografo di un grafo che mantenga la connettività tra tutti i nodi al minore costo possibile.

• Ex: selezionare un sottoinsieme di tratte aeree che permettono di raggiungere tutte le destinazioni con costo minimo.

• Assumiamo un grafo semplice e pesi non negativi d(u,v) sugli archi.

• La rete ottima è un albero. Perché?


a

b

h

c d

g

e

f

i

8 7

9

1021

8

4

11 144

2

67

Il Minimum Spanning Tree di un Grafo


MST / 2

• Strategie Greedy: procedi attraverso una sequenza di scelte ottime locali.

• Strategie greedy convergono alla soluzione ottima solo in casi particolari.

• Per il MST, consideriamo algoritmi che mantengono la seguente proprietà:P1. Ad ogni passo l’insieme degli archi selezionati è un sottoinsieme del MST finale.

• Ad ogni passo un nuovo arco viene aggiunto alla soluzione mantenendo P1


MST / 3

• Definiamo un arco “safe” se può essere aggiunto ad un MST mantenendo P1

• Il generico algoritmo Greedy:Algorithm_MST(G,d)A={}while A non è uno Spanning Treetrova un arco (u,v) safe per A;/* SafeInserisci (u,v) in A;return A

• Diversi algoritmi differiscono per la strategia di ricerca di un arco safe.

• Questo algoritmo ha n-1 iterazioni


Archi “safe”

• Una partizione S, V/S dei vertici rispetta un insieme di archi A se

• L’arco (u,v) di peso minimo che attraversa il taglio S, cioèè safe per A

• Si dimostra che esiste un MST che include sia A che (u,v)

SVvSu /,

SV u,vSvuAvu /,,),( oppure


Prova

• Per assurdo, assumi che un MST T’ include A ma non include (u,v).

• Considera il taglio (S, V/S) per cui (u,v) è safe. Vi è un arco in T’ che attraversa il taglio (S, V/S).

• (u,v) forma un ciclo in T’ con (x,y). • Poiché d(u,v)<=d(x,y) T = T’ /(x,y)

(u,v) ha costo minore.


Algoritmo di Boruvka

• L’insieme A forma un insieme di componenti connesse

• Safe: Determina l’arco di costo minimo che connette due componenti connesse in A.

• I pesi degli archi vengono memorizzati in una coda di priorità.

• Ad ogni passo si estrae il minimo e si eliminano anche tutti gli archi tra due componenti che vengono unite.

• Complessità: O(m log n). m eliminazioni da un heap.


a

b

h

c d

g

e

f

i

8 7

9

1021

8

4

11 1442

67

a

b

h

c d

g

e

f

i

1 2

34

6

5

7

9

Esecuzione dell’Algoritmo

di Boruvka

La numerazione indica l’ordine di selezione degli archi del MST


Algoritmo di Kruskal• Ordina gli archi secondo peso crescente• Safe: Determina l’arco di peso minimo che

non induce cicli in A.• Complessità:

– Ordinamento degli archi in O(m log m). – Verifica m volte se si ha un ciclo. Determinare

l’esistenza di un ciclo può essere svolto in O(log n) utilizzando una struttura dati per insiemi disgiunti

• L’esecuzione sull’esempio è identica all’algoritmo di Boruvska


Gestione di insiemi/1

• Ogni insieme ha uno dei suoi elementi come rappresentante.

• L’elemento rappresentante non viene modificato finchè l’insieme non viene modificato.

• Operazioni: – Make-Set(x): costruisce insieme di un elemento con

rappresentante l’elemento stesso– Union(x,y): unisce due insiemi con rappresentanti x ed

y.– Find-Set(x): restituisce il rappresentante dell’insieme

contenente x.


Gestione di Insiemi/2

• Sequenza di m operazioni su elementi implementabili in tempo O(m+n log n) con foreste di insiemi disgiunti.

• Ogni elemento è un nodo di un albero.• Ogni insieme è un albero distinto il cui

rappresentante è il nodo alla radice.• Make-Set(x): nuovo albero con nodo. • Find-Set(x): risali l’albero contente x fino alla

radice.• Union(x,y): albero con minor numero di nodi

viene appeso alla radice dell’altro. Union-by-weight.


Algoritmo di Kruskal

MST-Kruskal(G,w)

A=0;

Ordina E in ordine non decrescente;

Per ogni secondo l’ordine

If Find-Set(u)<>Find-Set(v)

then A=A {(u,v)};

Union(u,v};

Return A

Set(v);-Make ,Vv

Evu ),(


Algoritmo di Prim / 1

• L’insieme A forma ad ogni passo una singola componente connessa

• Inizialmente A contiene {u,v} tale che (u,v) è l’arco di costo minimo.

• Ad ogni passo si inserisce in A l’arco di costo minimo che attraversa il taglio A, V/A.


Algoritmo di Prim /2• L’implementazione di Prim è simile a Dijkstra

con Q=A. Un Heap R memorizza il peso minimo di un arco che connette un nodo di R ad un nodo di A.

• Ad ogni passo un nodo v di minima priorità è inserito in A (e rimosso dall’Heap R)

• Per tutti i nodi u in R adiacenti a v si aggiorna la priorità di u se d(v,u) è minore della priorità corrente di u.

• Complessità: O(m log n) per l’aggiornamento della priorià che può essere svolta m volte.


Algoritmo di Prim / 3PrimAlg(grafo graph, vertice s)

A = {s};R = tutti i vertici/s;for tutti i vertici v rank(v)=min{d(s,v), };while R!=0 estrai vertice v in R con minimo rank(v)=d(r,v), ; A = A v; pred(v) = r;

for tutti i vertici u in R adicacenti ad v if rank(u)>d(v,u) rank(u) = d(v,u);

Ar


a

b

h

c d

g

e

f

i

8 7

9

1021

8

4

11 1442

67

a

b

h

c d

g

e

f

i

1 2

47

5

3

6

8

Esecuzione dell’Algoritmo

di Prim

La numerazione indica l’ordine di selezione degli archi del MST


Esempio di compito d’Esame

1. Indicare un esempio di caso peggiore per l’algoritmo di Quicksort.

2. Scrivere un metodo per il calcolo del predecessore in un albero binario di ricerca.

3. Risolvere la seguente ricorrenza: T(n)=3T(n/2)+n

4. Mostrare l’inserimento di un elemento in un dato albero AVL.

5. Illustrare l’esecuzione dell’algoritmo per l’ordinamento topologico su un dato ordine parziale.

Grafi. giu 03ASD - Grafi2 Definizioni/1 Struttura dati per la rappresentazione di relazioni binarie...

Documents

Transcript of Grafi. giu 03ASD - Grafi2 Definizioni/1 Struttura dati per la rappresentazione di relazioni binarie...