Gli scarti “tipi”… facili - sinal.it · Gli scarti .... “tipi”… facili ! f(x)= 1 "2# e...

Gli scarti .... “tipi”… facili

!

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$(x$x )2

2" 2

dove si narra dell’utilizzo di excel per il calcolo della ripetibilità e dell’incertezza

delle misure variabili con la concentrazione

Michele Rapillo

Michele Rapillo Gli scarti... “tipi”... facili

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© 2008 Proprietà letteraria riservata. SINAL Sistema Nazionale per l’Accreditamento di Laboratori Piazza Mincio 2, 00198 Roma Tel. 06 8440991 Fax 06 8841199 www.sinal.it Questa pubblicazione può essere liberamente riprodotta, citando la fonte. Ne è vietata la riproduzione a fini commerciali. Edizione luglio 2008.


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a Teresa per aver dimostrato che la certezza esiste.


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Ringrazio Nicola Bottazzini per i preziosi suggerimenti, per l’utilissimo materiale messo a disposizione e per la revisione generale del presente documento; Fabrizio Francia e il gruppo Francia Latticini per aver consentito la pubblicazione di importanti e riservati dati aziendali; Luis Vizcarra, spalla impagabile, “per essersi prestato al gioco”; Emma Angelini Bianco per il contributo da lettore che è passato dall’incertezza alla certezza; Paolo Bianco per l’attenta revisione del testo ed il supporto alla pubblicazione. Michele Rapillo


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Presentazione

Nel lungo e talvolta tortuoso itinerario della valutazione dell’incertezza di misura non a tutti è dato di procedere speditamente. Certamente ci riesce Michele Rapillo che può avvalersi di una lunga e diversificata esperienza operativa per fare da “Guida” a tutti coloro che in Laboratorio, alle prese con un determinato test analitico, debbono necessariamente produrre un risultato completo. Come in un’escursione lungo un aspro sentiero di montagna, in due si procede meglio e Rapillo ha appunto scelto di procedere assieme ad un compagno di escursione, simpatico ma, come spesso capita nella vita, alquanto arrugginito per quanto riguarda i ricordi universitari relativi ad errori, scarti, gaussiane eccetera, che vengono opportunamente sintetizzati.. L’ing. Rapillo, forte anche della sua attuale posizione di autorevole membro del Comitato di Accreditamento del SINAL che assai spesso si trova alle prese con Laboratori di Prova che della determinazione dell’incertezza di misura farebbero volentieri a meno, con pazienza e perizia incoraggia e spinge sulla buona strada non solo il suo interlocutore, ma anche tutti coloro che vorranno intraprendere la lettura di questa “Guida” che si rivela preziosissima bussola per entrare in confidenza con una componente essenziale della misura di laboratorio. Pertanto a tutti coloro che operano in Laboratori di Prova ed in particolare a quelli che sono impegnati nelle operazioni relative all’accreditamento, consigliamo fortemente la lettura di queste pagine: una lettura che sarà di grande giovamento per il loro lavoro e che per di più li farà spesso sorridere. Antonio Paoletti Presidente SINAL


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Introduzione

Che cosa ci può essere di facile nel concetto di scarto tipo, varianza, chi-quadro? La domanda sorgerà spontanea nella mente di alcuni fra coloro che, nei loro laboratori, si sono trovati qualche volta a contatto con problematiche di validazione di metodi di prova e quindi con la determinazione di ripetibilità ed incertezza delle misure. Per quelli che hanno frequentato corsi specifici sull’incertezza di misura, lo scarto tipo non risulterà così misterioso ed a maggior ragione non lo sarà per gli appassionati lettori delle numerose pubblicazioni sull’argomento: dalla GUM (o UNI ENV 13005) con le sue appendici (centinaia di pagine) in emissione, alla guida EURACHEM (anzi adesso 3 guide), alla guida EUROLAB, e alla documentazione varia che si può trovare in rete. D’altronde chi solo saltuariamente ha occasione d’incontrare questa problematica ne fa spesso la conoscenza in modo disorganico e confuso, tra approccio top-down e bottom-up, olistico ed Horwitz, tra scarto tipo giustappunto e scarto tipo della media, oscuri contributi ottenuti con valutazioni di tipo A e B, e finisce per considerarla piena, non già di risvolti interessanti, ma piuttosto di noia e fastidio, come accade per gli argomenti ostici che si è costretti ad imparare più o meno a memoria perché non sembrano avere un’essenza da cogliere. Tra l’altro le guide sparano questi riferimenti al lettore come se questi avesse appena terminato con profitto un corso avanzato di statistica, gettandolo nel panico alla ricerca di vecchi testi di scuola, tabelle di dati, solo citate e mai riportate nei documenti (come se il lettore fosse seduto su una pila di testi di statistica). Inoltre, anche se Bertolt Brecht afferma che: “Di tutte le cose sicure la più certa è il dubbio”, un’approfondita riflessione sul concetto di incertezza può generare inquietudine. Questo testo molto ricorda per la sua tipicità i dialoghi di Platone, che si contrapponevano agli scritti retorici circolanti all’epoca ad Atene, ed ha il grande pregio di presentare in forma colloquiale ma rigorosa il calcolo dell’incertezza e della ripetibilità delle misure. Analogamente a Sisifo, discepolo di Socrate, Luis viene guidato, dopo un esaustivo elenco di documenti relativi all’incertezza di misura, attraverso le definizioni di scarto tipo, varianza, distribuzione di probabilità, normal probability plot, ecc., che costituiscono le basi teoriche del calcolo. Entrano a questo punto in scena i dati sperimentali sui quali viene effettuato il calcolo con l’indicazione delle relative funzioni del software utilizzato (niente tabelle!). Rispetto ai testi a disposizione degli operatori del settore, questo documento fornisce una guida rapida che suggerisce però diversi livelli di approfondimento privilegiando comunque l’approccio relativo a “come si fanno le cose” rispetto all’approccio “cosa bisogna fare”. Poiché, come recita un proverbio cinese “ L'uomo che ha troppe parole, spesso non ha alcuna certezza”, termino questa breve presentazione esprimendo la convinzione che questo documento contribuirà a sfatare alcuni miti: che l’incertezza di misura sia impossibile da comprendere, che si traduca in una inquietante serie di equazioni da imparare a memoria, che le persone che si occupano di queste tematiche siano umanamente aride e fredde e prive del senso dell’umorismo. Mi auguro pertanto che questa promessa di sradicamento di convinzioni diffuse risulti stimolante per tutte le persone che per ragioni di lavoro o per mera curiosità vengano a trovarsi a contatto con le problematiche di ripetibilità ed incertezza delle misure.

Paolo Bianco Direttore SINAL


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INDICE

IL FATTO.........................................................................................................................................8

IL LAVORO ....................................................................................................................................10 LUIS E I DUBBI SULLA DISTRIBUZIONE DEI DATI SPERIMENTALI ....................................................18

LUIS E LA DISTRIBUZIONE NORMALE ............................................................................................20 LUIS E I DATI ANOMALI .................................................................................................................23

LUIS E LO SCARTO TIPO.................................................................................................................24 LUIS E LA VERIFICA DELLA MEDIA ................................................................................................25

LUIS E LA VERIFICA DELLO SCARTO TIPO......................................................................................26 LUIS E IL CALCOLO DELLO SCARTO TIPO VARIABILE CON LA CONCENTRAZIONE .........................27

L’INCERTEZZA DI LUIS .................................................................................................................36 LUIS E L’APPROCCIO METROLOGICO .....................................................................................................................................38 LUIS E HORWITZ ....................................................................................................................................................................41 LUIS E IL CRITERIO OLISTICO.................................................................................................................................................42 L’INCERTEZZA DI LUIS VARIABILE CON LA CONCENTRAZIONE ...........................................................................................42

LA DECISIONE FINALE DI LUIS ......................................................................................................51


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Il Fatto Il mio amico Luis, un microbiologo sudamericano che dirige il laboratorio di una importante azienda lattiero casearia1, dovendo affrontare il calcolo della ripetibilità e dell’incertezza di misura mi ha chiesto di indicargli qualche riferimento bibliografico che lo aiutasse ad affrontare tali temi in modo rigoroso, ma al tempo stesso pratico. Gli ho consigliato di consultare il sito del SINAL2 che considero il punto di riferimento nazionale più completo sulla tematica. Luis ha seguito il mio consiglio e si è ritrovato davanti un elenco molto ampio; dopo una rapida analisi ha focalizzato l’attenzione su quei documenti che già nel titolo avevano il termine chimica o microbiologia e contemporaneamente anche incertezza o ripetibilità, e quelli che, indipendentemente dalla disciplina (chimica, meccanica, ecc.) trattassero il tema dell’incertezza, ottenendo il sottoinsieme riportato di seguito ed evidenziato in giallo.

Sigla Titolo Rev. DT-0002 Guida per la valutazione e la espressione dell'incertezza nelle misurazioni 1 DT-0004 Linee guida per la taratura di strumenti nel settore della compatibilità

elettromagnetica e dei campi elettromagnetici ambientali 0

DT-0002/1 Esempi applicativi di valutazione dell'incertezza nelle misurazioni elettriche 1 DT-0002/2 Esempi applicativi di valutazione dell'incertezza nelle misurazioni

meccaniche 0

DT-0002/3 Avvertenze per la valutazione dell'incertezza nel campo dell'analisi chimica 0 DT-0002/4 Esempi applicativi di valutazione dell'incertezza nelle misurazioni chimiche 0 DT-0002/5 Esempio applicativo per misurazioni su materiali strutturali 1 DT-0002/63 Guida al calcolo della ripetibilità di un metodo di prova ed alla sua verifica

nel tempo 0

EA-4/02 Expression of the uncertainty of measurement in calibration 00 EA-4/09 Accreditation for sensory testing laboratories 01 EA-4/10 Accreditation for Laboratories Performing Microbiological Testing 02 EA-4/15 Accreditation for Bodies Performing non-Destructive Testing 00 EA-4/16 EA guidelines on the expression of uncertainty in quantitative testing 00 EA-4/18 Guidance on the Application of EN 45001 and ISO/IEC Guide 25 to

Electromagnetic Compatability (EMC) Testing (Già EAL-G27) 1 Ed

QUAM:2000.1 EURACHEM-CITAC Guide CG4 - Quantifying Uncertainty in Analytical Measurement (*)

2 Ed

SIT Doc-519 Introduzione ai criteri di valutazione della incertezza di misura nelle tarature 5 Presentazione SINAL e requisiti della UNI CEI EN ISO/IEC 17025 (P. Bianco)

• ISO/IEC 17025: requisiti tecnici - Incertezza di misura: approccio GUM • ISO/IEC 17025: requisiti tecnici - Incertezza di misura: altri approcci • ISO/IEC 17025: requisiti tecnici - Incertezza di misura: decisioni

Incertezza di misura e prove valutative (S. Pepa e M. Scognamiglio)

www.measurementuncertainty.org Sito dedicato alla guida EURACHEM-CITAC. E' disponibile la guida in linea, con numerosi esempi di chimica analitica.

1 Francia Latticini S.p.A. 2 Sistema Nazionale di Accreditamento dei Laboratori di Prova – www.sinal.it. 3 Documento emesso durante la revisione del presente lavoro


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MATERIALE DEI CORSI DI AGGIORNAMENTO 2006 • Incertezza di misura in chimica e qualità dei dati. P. Anichini Materiale dei corsi sull'incertezza di misura nelle prove chimiche tenuti con la collaborazione di UNICHIM: • Introduzione al corso. C. Divo • Esempio microbiologico. N. Bottazzini • Verifiche della qualità dei risultati. C. Divo Interventi al Convegno L'ACCREDITAMENTO DEI LABORATORI PER LA SICUREZZA ALIMENTARE, 25-26 ottobre 2005, organizzato da ISS ORL, SINAL, SIT · Criteri generali per la valutazione dell'incertezza di misura. F. Pennecchi, M. Mosca · Incertezza di misura: dalla GUM alla linea guida EURACHEM-CITAC. A. Menditto , M. Plassa · Esempi pratici per la valutazione dell'incertezza di misura in ambito chimico. P. Anichini, G.

Bonacchi · Esempi pratici per la valutazione dell'incertezza di misura in ambito microbiologico. A. Maiello,

A. Viti · Valutazione dell'incertezza di misura: esperienza di un laboratorio accreditato per gli OGM. S.

De Martin

A questo punto Luis, che tra l’altro esegue direttamente, e supervisiona, circa 1000 determinazioni giornaliere, ha iniziato una prima ricognizione su tutti questi documenti, e dopo circa una settimana, completamente demoralizzato, e in forte crisi di identità, mi ha chiamato e mi ha detto testualmente: “i pochi concetti che credevo di avere chiari sull’incertezza e sulla statistica si sono trasformati in una informe massa di dubbi e di perplessità, che posso fare?” Gli ho consigliato di seguire un corso sul tema dell’incertezza allo scopo di rinfrescare i concetti base di statistica e di acquisire un approccio sistematico per poter poi meglio utilizzare anche i documenti proposti dal SINAL. Un mese ed un corso dopo Luis mi ha richiamato, confessandomi che il corso era stato molto utile, gli aveva fornito molte informazioni, gli aveva sciolto molti dubbi, ma principalmente gli aveva dato una certezza, la certezza che l’incertezza era una cosa da iniziati, tanto che alla fine del corso uno dei partecipanti, un chimico, aveva detto: ma alla fine, come si calcolano la ripetibilità e l’incertezza? io questo solo volevo sapere e ancora

non lo so!

Era chiaro, anche questa volta, come nella maggior parte dei corsi era stato insegnato al più, “cosa bisogna fare” piuttosto che “come si fanno le cose”. Ormai ero incastrato, dovevo dare una mano a Luis.

Il mio dubbio fu se partire dai concetti base di statistica descrittiva e di inferenza statistica, oppure dalle necessità pratiche di Luis; la mia certezza era la consapevolezza di dovergli fornire sia le informazioni teoriche indispensabili a “capire il perché” che gli elementi pratici per “sapere come”, miscelandoli e definendone le priorità in relazione alle necessità. Decisi di partire dalle necessità pratiche del mio amico.


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Il lavoro

M4Qual è il tuo problema? L5 Devo validare un metodo interno. In realtà non si tratta di un metodo ideato dal laboratorio: con

tutto quello che ho da fare ci mancherebbe che mi mettessi a sviluppare dei metodi di prova! Il metodo, che prevede l’utilizzo di un’apparecchiatura complessa, il FOSSOMATIC MINOR, è stato elaborato da una multinazionale del settore, la FOSS Analytical A/S e non riporta dati di validazione. Il parametro da determinare è il numero di cellule somatiche/ml nel latte vaccino. I limiti operativi del metodo prevedono la determinazione delle cellule somatiche nel campo di misura 100.000 – 2.000.000 cellule/ml. Ai fini della validazione devo determinare, tra l’altro, la ripetibilità e l’incertezza.

M Mi puoi spiegare meglio come è fatta e come funziona questa apparecchiatura? L Il Fossomatic Minor, evidenzia il DNA cellulare con un colorante (Propidium iodide), lo

fotografa e quindi elabora l’immagine elettronicamente restituendo il valore di cellule somatiche attraverso il collegamento ad un PC.

M Quali sono le specifiche tecniche del Fossomatic Minor? In particolare cosa riporta la FOSS in

relazione ai parametri che devi determinare? L La FOSS nelle sue specifiche tecniche riporta la ripetibilità espressa in termini di coefficiente di

variazione CV a tre livelli e una valutazione dell’accuratezza come rapporto con un metodo di conta diretta al microscopio, come puoi ben vedere.

M Bene, ecco il nostro primo problemino: esprimere il CV secondo parametri che conosciamo

meglio e che possiamo determinare: la formula del CV è la seguente

!

CV =s

x"100

dove s è lo scarto tipo di ripetibilità e x la media dei risultati di un numero elevato di prove (>30) eseguite con il metodo in esame. 4 M = Michele 5 L = Luis

Repeatability**: CV < 7 % at 100.000 cells/ml (** coefficient of variance) CV < 5 % at 300.000 cells/ml CV < 4 % at 500.000 cells/ml Accuracy: < 10 % relative mean diff. from Direct Microscopic Somatic Cell Count

(DMSCC) Carry-over: < 1.5%


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L Mi ricordi cosa è lo scarto tipo? M Lo scarto tipo è la radice quadrata positiva della varianza, - ho risposto in modo per me chiaro,

preciso e inequivocabile -. L Cosa è la varianza? M La varianza è una misura della dispersione dei risultati, ed è data dalla somma dei quadrati delle

differenze rispetto alla loro media divisa per il numero dei risultati meno uno, che in termini matematici (quando si riferisce ad un campione di dati) si esprime come riportato di seguito.

!

varianza(x1,x2,...........xn ) =

1

n "1(xi

1

n

# " x)2

Mentre se ci riferiamo all’intera popolazione di dati, il termine n-1 viene sostituito da n.

L Quelle che mi hai dato sono definizioni, io voglio sapere che cosa è in pratica lo scarto tipo,

inoltre nei miei ricordi, non ritrovo lo scarto tipo, che se ho ben capito è probabilmente un altro modo di chiamare la deviazione standard. Tale termine non si trova neanche nelle funzioni statistiche di excel, allora me lo spieghi?

M Per quanto riguarda la seconda parte della tua domanda ti dico subito che sono sinonimi, anche

se, volendo, si possono trovare giustificazioni semantiche e interpretazioni interessanti del diverso nome dato a due parametri identici. In ogni caso nel nostro lavoro, è bene chiarirlo subito, parleremo sempre di scarto tipo. E veniamo alla prima parte della domanda, e cioè cosa è, o meglio cosa rappresenta in pratica, lo “scarto tipo”. In primo luogo ti devo ricordare che molti fenomeni naturali da quelli biologici a quelli fisici si distribuiscono generalmente secondo una curva detta “curva di Gauss”, e da tale curva partiremo.

L Ferma la musica! Anche al corso che ho frequentato hanno iniziato da qui, ma poi sai come è

finita. M Abbi fede e ascolta quello che ti dico!

Intanto, prima di parlare di Gauss devo darti un’altra definizione, quella di ripetibilità. La norma UNI-CEI-ENV 130056 del 2000, dà la seguente definizione:

Ripetibilità (dei risultati di misurazione)

Grado di concordanza tra i risultati di successive misurazioni dello stesso misurando effettuate nelle stesse condizioni di misura. Nota 1 queste condizioni sono denominate condizioni di ripetibilità Nota 2 Le condizioni di ripetibilità comprendono:

• lo stesso procedimento di misurazione, • lo stesso osservatore,

6 UNI-CEI-ENV 13005 Guida all’espressione dell’incertezza di misura


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• lo stesso strumento di misura utilizzato nelle stesse condizioni

• lo stesso luogo • ripetizione entro un breve periodo di tempo

Nota 3 La ripetibilità può essere espressa quantitativamente in termini delle caratteristiche di dispersione dei risultati

Il Manuale Unichim 179/17 distingue invece tra ripetibilità stretta e ripetibilità intermedia e riporta:

Condizioni di ripetibilità stretta:

Condizioni nelle quali i risultati mutuamente indipendenti vengono ottenuti con lo stesso metodo su uno stesso materiale, nello stesso laboratorio, dallo stesso operatore, utilizzando la stessa strumentazione, in un intervallo di tempo breve (senza ritaratura). Nota - Queste condizioni rappresentano la costanza di tutti i fattori

riguardanti la realizzazione delle prove. La variazione di una o più di tali condizioni, tenendo però fisso il laboratorio, il materiale da esaminare e il metodo, porta a considerare una ripetibilità intermedia8. Se intervengono diversi laboratori con lo stesso metodo nell’esame dello stesso campione si determinano le condizioni per valutare la riproducibilità.

Tornando alla distribuzione normale, lo stesso manuale 179/1 dell’UNICHIM, riporta che nella maggior parte dei casi i risultati di analisi chimico fisiche condotte in condizioni di ripetibilità stretta si distribuiscono secondo la classica curva a campana o di Gauss. Nel nostro caso, la variabile in gioco, il conteggio delle cellule somatiche, è una tipica variabile discreta che per sua natura non si distribuisce secondo la curva di Gauss, ma secondo quella di Poisson. Tuttavia ai conteggi elevati, come quelli relativi alle cellule somatiche, la distribuzione di Gauss ed i suoi parametri rappresentano un’ottima approssimazione di quella di Poisson.

L Mi ricordi le caratteristiche e le proprietà delle gaussiana? M Si supponga di eseguire, in condizioni di ripetibilità stretta, un gran numero di misurazioni di un

certo misurando, e di riportare in un grafico (istogramma) le frequenze relative9 dei valori ottenuti (xi) con le prime 20, 40, ...1000 misure. All'aumentare del numero di misure, i valori tendono ad accentrarsi attorno alla loro media e l'istogramma assume una forma a campana sempre più regolare, che può essere approssimata con una funzione reale nota come funzione di Gauss o funzione normale.

7 Manuale Unichim 179/1 Linee guida per la validazione di metodi analitici nei laboratori chimici - valutazione della precisione (ripetibilità stretta) di un metodo analitico eseguito in un unico laboratorio da un solo operatore su di un unico strumento in un breve intervallo di tempo. 8 La definizione e i diversi casi sono riportati nella ISO 5725-3 9 Le frequenze relative sono date dal rapporto tra le frequenze assolute ed il numero delle osservazioni.


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La funzione di Gauss

dove: f(x) è la densità di probabilità o frequenza con cui il valore x può essere riscontrato σ è lo scarto tipo della totalità delle misure; µ è la media della totalità delle misure; e base dei logaritmi naturali ( e = 2.71828...). π = 3.14159...

Distribuzione di Gauss

µ

µ = µ1 = µ2

Al variare dello scarto tipo la curva modifica la sua forma

σ = σ1 = σ2

Al variare della media aritmetica (a parità di scarto tipo) la curva trasla sull’asse delle x

tale area la probabilità che si ottenga un qualsiasi valore di x

Le caratteristiche della distribuzione normale

1. è simmetrica rispetto al valore medio 2. il valore di x = µ oltre che alla media aritmetica

coincide con la moda e la mediana 3. è asintotica all'asse delle x da entrambi i lati 4. è crescente per x<µ e decrescente per x>µ 5. possiede due punti di flesso per x = µ±σ 6. l’area sotto la curva è = 1 (rappresentando tale

area la probabilità che si ottenga un qualsiasi valore di x)

L OK, mi hai ricordato una serie di cose che ho studiato durante il mio corso di studi, ma avendole

abbandonate da tempo, quasi non ricordavo più. In effetti avevo proprio bisogno di questi richiami. Però ….. ora che ci penso, il fatto che l’area sotto la curva di Gauss sia uguale ad 1 mi serve a poco, in quanto le mie necessità sono in genere altre; ad esempio, se io voglio conoscere la probabilità che un dato valore sia compreso in un intervallo definito, delimitato ad esempio da due valori x1 e x2, come devo fare?

La variabilità aumenta all’aumentare di σ


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M Ovviamente tale probabilità è data dall’area della curva compresa tra x1 ed x2 e quindi basta semplicemente calcolare tale area, calcolando l’integrale della funzione di Gauss tra questi due valori. Il vero problema è che questa funzione non è facilmente integrabile.

L E i computer a che servono? M In effetti puoi usare le funzioni di excel, e ti dirò dopo come, ma intanto è utile che tu acquisisca

le ultime informazioni sulla curva di Gauss ed in particolare su come si opera per il calcolo del suo integrale.

riferimento 10

INTERVALLI DI PROBABILITÀ

riferimento11

Per ovviare alle difficoltà di calcolo dell’integrale della funzione di Gauss, si può trasformare una generica funzione gaussiana f(x) con media µ e varianza σ2, in una funzione gaussiana standard con media 0 e varianza 1. Ponendo:

!

Z =x"µ

# si ottiene

!

f (z) =1

2"e#12(z)2

il simbolo Z viene generalmente in molti laboratori sostituito da kp

Per la funzione standardizzata sono state predisposte delle tabelle in funzione di Z. Le tabelle se pur ancora largamente usate stanno sempre più cedendo il campo ai PC

10 Sito SINAL Paolo Bianco ISO/IEC 17025: requisiti tecnici 11 www.biostatistica.unich.it/.../


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L Fermo! Finora abbiamo parlato di popolazioni, quindi di un numero infinito di dati, ma io ho a che fare invece sempre con un numero limitato di dati, come la mettiamo? Come ci può aiutare Gauss?

M Questo stesso problema se lo è posto circa un secolo fa un tuo collega (nel senso che, come te in

passato, anche lui lavorava in una fabbrica di birra) di nome W.S. Gosset, più noto sotto lo pseudonimo di “Student”. Proviamo a definire meglio il rapporto che lega i piccoli campioni e le popolazioni: supponiamo di conoscere il valore medio µ di una popolazione, se operiamo con un certo numero m di piccoli campioni (costituito ognuno da n elementi o unità statistiche), rappresentativi della popolazione, ci possiamo aspettare che la media di ogni campione abbia una certa distribuzione centrata intorno a µ e ci possiamo anche aspettare che la dispersione di tale distribuzione intorno alla media della popolazione dipenda dalla dimensione del campione (più grande il campione, migliore la stima di µ). In termini matematici si può dimostrare che lo scarto tipo delle medie che chiameremo s è uguale a

!

s ="

n

con n uguale al numero di elementi del campione. Questo riflette il fatto che la media tende ad essere meno variabile, ed in effetti se ci riferiamo alle medie invece che alle osservazioni singole l’espressione

!

Z =x "µ

# diventa

!

Z =x "µ

# / n.

Le formule precedenti presuppongono che σ sia nota, cosa che per quanto riguarda i metodi di prova, non sempre è vera, come giustamente hai puntualizzato. Per ovviare a tale problema,

Student propose di sostituire alla Z della relazione precedente,

!

Z =x "µ

# / n, il parametro

!

t =x "µ

s / n dove x e s rappresentano rispettivamente la media e lo scarto tipo del campione in

esame, che sostituiti nella funzione di Gauss, restituiscono le stesse informazioni, ma su un campione limitato della popolazione. La distribuzione di Student è ancora simmetrica rispetto a µ ed è funzione dei gradi di libertà. E si può affermare che la distribuzione di Student ha fianchi più larghi, code più alte e varianza maggiore: in altri termini, facendo un paragone con le “curve femminili” è, come si dice a Roma, un po’ più tracagnotta della distribuzione normale.

All’aumentare dei gradi di libertà la distribuzione di Student approssima

la gaussiana. L Fermati, non ti lascio proseguire se non mi dici cosa sono i gradi di libertà.

ν=1 2 4 ∞


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M In generale si può dire che i gradi di libertà sono dati dal numero delle variabili meno il numero

di vincoli. L Mi sembra di parlare con un secondino, gradi di libertà, vincoli; tra poco mi parlerai di sbarre e

sole a scacchi, fammi un esempio. M Ti faccio un esempio tratto dal Perry’s12: quattro numeri in una tabella che deve avere la somma

delle righe e delle colonne uguali a zero ha solo 1 grado di libertà (4 numeri e tre vincoli, in quanto il quarto è ridondante). Nelle situazioni più semplici (quasi sempre nel nostro caso) i gradi di libertà, generalmente indicati con ν , sono dati dal numero delle osservazioni meno uno.

L Perfetto! Ora sì. M Tornando al discorso relativo ai

piccoli campioni, invece di calcolare la media di ogni gruppo, possiamo calcolare lo scarto tipo di ognuno di essi: ci dobbiamo aspettare che tali stime di σ abbiano una qualche distribuzione caratteristica. In particolare viene definita una distribuzione di (s2/σ2)*ν con ν = gradi di libertà = n-1. Tale distribuzione è chiamata distribuzione chi-quadro (χ2) la cui forma dipende dalla numerosità del campione. Nel grafico sono mostrate le varie distribuzioni al variare di v.

L E a che serve? M Serve a verificare la bontà dell’accordo tra dati sperimentali e dati teorici

Il χ2 può servire per valutare se la varianza σ2 di una popolazione, dalla quale sia stato estratto un campione con varianza s2, sia uguale o diversa da un valore predeterminato σ0

2 di una popolazione.

L Ma quante distribuzioni ci sono? M Calmati, ancora una e abbiamo finito! Sempre proseguendo con lo stesso tema dei campioni con distribuzione normale, come

rappresentativi di una popolazione, dobbiamo fare un’ultima considerazione. Invece di considerare la distribuzione delle singole varianze s2 dei campioni, possiamo considerare un altro tipo di distribuzione, che ancora coinvolge la stima della varianza della popolazione σ2. Riferendoci ai nostri m campioni, possiamo calcolare di ognuno la s2

i e quindi calcolare il rapporto tra quelli consecutivi (s2

1/ s22, s2

3/ s24, s2

5/ s26… ecc.

12 Perry’s Chemical Engineers’ Handbook McGraw Hill 1997

ν = 1 2 3 4


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Ancora ci dobbiamo aspettare che questi rapporti abbiano una certa distribuzione di frequenza. Anche questa distribuzione dipende dalle dimensioni del campione. È da notare che i campioni possono non essere della stessa numerosità, in questo caso la forma della distribuzione dipende dalla numerosità dei campioni n1, n2, ... Tale distribuzione è definita come distribuzione di Fischer F(ν1, ν2).

Distribuzione F Più precisamente, se due variabili sono indipendenti e distribuite come χ2, allora il rapporto fra le due variabili, ciascuna divisa per il proprio numero di gradi di libertà, è distribuito secondo una distribuzione simile a quella in figura. Questa distribuzione è utile per determinare se due serie di dati, provenienti da una distribuzione normale, hanno la stessa dispersione (stessa varianza). Ovviamente anche per questa distribuzione esistono sia delle tabelle che delle funzioni di excel.

M In sintesi, se non l’hai ancora capito, testone, queste distribuzioni servono a determinare quale

differenza ci si può aspettare tra varie quantità dovuta ad effetti casuali, o in altri termini per determinare se gruppi di dati differiscono da altri gruppi o da valori/valore ipotizzati. Ad esempio, se fissata una certa probabilità, la varianza del campione in esame può essere assunta come una stima dello varianza della popolazione (o se vuoi leggi scarti tipo invece di varianze).

Ti riporto il riepilogo delle distribuzioni di cui abbiamo parlato

Distribuzione Simbolo Parametri Variabile

Gauss z

Singole osservazioni di una popolazione*

!

Z =x "µ

#

z

Medie

!

Z =x "µ

# / n

Student

t

Medie con σ incognita*

!

t =x "µ

s / n

Chi -quadro χ2 Varianze* χ2 = ν∗s2/σ2

Fisher

F Rapporto delle varianze di due

campioni indipendenti* F(ν1, ν2) = s2

1 /s22

* provenienti da una distribuzione normale Riferimento12

M Ti ricordo che alla base di tutti questi discorsi ci sono due ipotesi: la prima è che stiamo operando in condizioni di ripetibilità stretta (in altri termini le variazioni sono dovute unicamente al caso), la seconda è che la distribuzione dei dati è normale.

(n1, n2) = (20, 2) (20, 4) (20, 8) (20, 16)


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L Ferma la musica! Adesso si va a

prendere il caffé, anzi, mentre andiamo ti voglio mostrare cosa ho trovato su una bancarella a Flohmarkt l’ultima volta che sono andato a Berlino.

M Ebbene? Cosa ha di strano questa

banconota da meritare tanto interesse? A me sembra una normalissima banconota non dissimile da tutte le altre, di qualunque paese del mondo.

L E qui casca l’asino, perché se guardi

l’altra faccia (forse) puoi capire il perché del mio interessamento!

M Grazie per il complimento e fammi guardare meglio la banconota.

…. Ah! Ora capisco è una banconota dedicata a Gauss.

Unica formula matematica riportata su una banconota: i 10 marchi tedeschi emessi nel 1991.

Luis e i dubbi sulla distribuzione dei dati sperimentali

L Ora che abbiamo preso il caffé e ci siamo ristorati, mi viene in mente una cosa che non mi hai ancora detto. Come faccio a sapere se i dati di un campione sono distribuiti secondo una gaussiana?

M Mi aspettavo questa domanda e la risposta è semplice: il metodo migliore per piccoli e medi

campioni è ritenuto il test di Shapiro-Wilk, che potrai trovare ben descritto nel Manuale 179/1 dell’Unichim7 . Io ti parlerò invece del “normal probability plot”, un metodo grafico e “per puro sadismo” del test di Kolmogorov-Smirnov, applicabili praticamente a tutte le situazioni. La logica del probability plot è molto semplice: si tratta di porre in un sistema di assi cartesiani i quantili sperimentali normalizzati in relazione ai quantili teorici di una distribuzione gaussiana e disegnare la curva di correlazione. Se i dati di partenza sono distribuiti normalmente, la curva


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interpolatrice si avvicinerà ad una retta. Se i dati non si posizionano approssimativamente su una retta dobbiamo dedurre che la distribuzione non è normale.

Esempio: campioni da una distribuzione normale

normal probability plot 13

Per quanto riguarda il test di Kolmogorov-Smirnov si verifica se la differenza massima tra le frequenze cumulate attese e sperimentali è inferiore ad un valore critico, per poter concludere che la distribuzione è normale.

L Chiaro e semplice, ottimo, mi piace, anche se spero che mi dirai cosa sono i quantili e le

frequenze cumulate! Ma se i dati, normali o no, presentano dei dati anomali, come me ne accorgo, come mi devo

comportare? M Intanto chiariamo che un dato anomalo, o outlier, è un dato che giace fuori dal modello di

distribuzione, un punto che non è ben interpolato dal modello stimato, ed è indice di qualche sorta di problema quale un risultato estremo, un errore di misura, un errore di trascrizione, ecc.. Il Normal Probability plot ci può ancora aiutare nell’individuare i dati anomali, in quanto se la distribuzione non è ben interpolata con una retta, ma si notano alcuni punti non allineati, molto probabilmente quei punti rappresentano dei dati anomali; sempre da tale diagramma è possibile capire se vi sono dati anomali anche se tutti i dati sono ben allineati: è questo il caso di dati molto lontani dalla maggior parte di dati accentrati in prossimità della media. Per quanto riguarda il cosa fare dei dati anomali, in genere si tende ad eliminarli o a correggerli in relazione alle cause che li hanno determinati, ma non sono rari i casi in cui si accettano tal quali: in ogni caso ogni scelta deve essere ben argomentata e giustificata. Vi sono sistemi specifici per l’individuazione dei dati anomali: uno si basa sull’uso di particolari quantili, i ”quartili”, con tale metodo sono individuati come outliers i dati minori del primo quartile meno 1,5 volte il range interquartile o i dati maggiori del terzo quartile più 1,5 volte il range interquartile. Comunque il test più semplice ed al tempo stesso tra i più efficaci per l’individuazione dei dati anomali (o outlier) è il test di Huber. Come al solito su molti testi puoi trovare altri criteri sia della verifica di normalità (es. test di Shapiro Wilk) che della presenza di dati anomali (es. test di Dixon, test di Grubbs etc.)7

M Per tua comodità e per facilitarti il lavoro ti mostrerò dopo come verificare la normalità dei dati e

come individuare i dati anomali con i criteri che ti ho appena descritto, utilizzando diversi semplici comandi di Excel.

13 Guido Masarotto - Facoltà di scienze statistiche Università di Padova lezioni di inferenza statistica a.a. 2005-2006


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Luis e la distribuzione normale

L Ti ringrazio in anticipo per quanto mi metterai a disposizione, ma ora basta con le chiacchiere, anche se molto interessanti, e fammi capire con qualche esempio pratico.

M Ti propongo di utilizzare per gli esempi dei dati reali, così contemporaneamente potremo

raggiungere il primo dei nostri obiettivi, che è il calcolo dello scarto tipo che ti interessa. L OK, Partiamo dai dati. M In primo luogo i dati da analizzare devono essere ottenuti in condizione di ripetibilità stretta.

Quindi facciamo così: prendiamo un latte da analizzare ed invece di una sola determinazione chiediamo a Valentina di effettuare dieci repliche una dopo l’altra, senza modificare nessuna delle condizioni operative.

V14E ti pareva, loro fanno gli scienziati e Valentina produce i dati, o meglio Valentina li ha già

prodotti. Mentre voi elaboravate le vostre teorie io ho effettuato 10 analisi in condizione di ripetibilità stretta su un latte con circa 150.000 cellule/ml: eccoli, tutti per voi, espressi in migliaia di cellule/ml:

143 131 120 135 149 128 133 131 135 136

L Sei un tesoro, adesso questi dati me li lavoro io. Innanzi tutto voglio verificare se sono distribuiti

normalmente, usando il normal probability plot. A proposito, ma se non mi dici cosa sono i quantili non sono in grado di disegnarlo, e quindi datti una mossa!

M Ti riporto la definizione più semplice che ho letto:

“L'idea alla base di un quantile-p (dove p è compreso tra 0 e 1) è di cercare un numero che sia più grande del 100 x p% dei dati osservati e più piccolo del restante 100 x (1 - p)%. Ad esempio, un quantile 0,1 deve essere un valore che lascia a sinistra il 10% delle osservazioni ed a destra il restante 90%. I quantili con p uguale a 0,25 - 0,50 e 0,75 vengono chiamati rispettivamente il primo, il secondo e il terzo quartile. Dividono la popolazione in quattro parti uguali. Si osservi che il 2° quartile coincide con la mediana. I quantili con p = 0,01;… ; 0,99 si chiamano percentili.”15 Capirai meglio i quantili mentre costruiamo il normal probability plot: Dato un insieme di n valori sperimentali,

1. si ordinano i dati in senso crescente 2. si numerano i dati ordinati da 1 a n 3. si calcola lo scarto tipo e la media dei valori sperimentali, 4. si calcola per ogni valore sperimentale xi il corrispondente valore standardizzato della

distribuzione normale Zi

!

Zi

=xi"µ

#

14 V = Valentina 15 Masarotto Facoltà di scienze statistiche Università di Padova lezioni statistica descrittiva a.a 2001-2002


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5. si calcola il rango di ogni dato ordinato in senso crescente (rango: brutta traduzione italiana dell'inglese rank, che significa posizione in graduatoria/classifica/ordine crescente)

6. si calcolano le frequenze cumulate relative per ogni rango da 1 a n (la Frequenza Cumulata Relativa è uguale a (Rango(i) - 0,5)/n )

7. si calcolano i valori della Z teorica relativa (quantili) ad ognuna delle frequenze cumulate relative,

8. si riportano in un diagramma cartesiano i valori delle Zi (quantili) teoriche sull’asse delle x 9. si riportano i corrispondenti valori delle Zi sperimentali sull’asse delle y 10. si costruisce la retta che interpola i dati 11. si valuta la bontà della correlazione lineare.

Ovviamente tutto ciò può essere fatto con excel in particolare per ricavare i quantili e per costruire la retta interpolatrice in quanto excel restituisce oltre all’equazione della retta anche il coefficiente di correlazione r2 che è l’indice della bontà della correlazione (più r2 si avvicina a 1, migliore è la correlazione lineare).

L Scusa: perché hai usato per il calcolo della frequenza cumulata (Rango(i) - 0,5)/n invece di Rango(i) /n?

M Perché se avessimo usato Rango(i) /n, la frequenza cumulata massima sarebbe stata uguale ad 1 e

quindi la relativa Z sarebbe stata uguale a ∞ (riferimento)13. L Perfetto guarda cosa è venuto fuori dalle tue elucubrazioni, considera che ho seguito passo-passo

ogni tua parola.

A B C D E F

dati

ordinati

quantili sperimentali

z (kp)

rango frequenze cumulate relative

quantili teorici

1 120 -1,78 1 0,05 -1,64

2 128 -0,77 2 0,15 -1,04

3 131 -0,39 3 0,25 -0,67

4 131 -0,39 3 0,25 -0,67

5 133 -0,14 5 0,45 -0,13

6 135 0,11 6 0,55 0,13

7 135 0,11 6 0,55 0,13

8 136 0,24 8 0,75 0,67

9 143 1,13 9 0,85 1,04

10 149 1,88 10 0,95 1,64

Media 134,1

Scarto tipo 7,91

y = 0,9768x + 0,0536

R2 = 0,948

quantili teorici

quan

tili

sper

imen

tali

FORMULE EXCEL UTILIZZATE Z = ((Bi-media(Bi))/(dev.st(Bi)) Freq. Cum. Rel = [Di-0,5]/(totale dati) Quant. Teor = INV.NORM.ST(Ei) Rango = Rango ( ) Scarto tipo = dev.st( )

In prima istanza i dati mi sembrano abbastanza ben interpolati da una retta, per cui deduco, per ora, che la distribuzione è normale. Tu che pensi?

M Ho verificato l’ipotesi di normalità dei dati con un software ad hoc, il software dell’UNICHIM16

che utilizza il test di Shapiro-Wilk, ebbene, il test conferma la distribuzione normale. Ti ricordo comunque che il test di Shapiro Wilk può essere utilizzato per un campione fino a 40 dati. 16 Software applicativo per l’elaborazione dei risultati analitici Milano 2006


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La stessa cosa ci dovremmo aspettare dal test di Kolmogorov Smirnov (che può essere utilizzato per campioni che hanno anche più di 40 dati). Per quanto riguarda tale test si opera come di seguito: si calcolano le frequenze cumulate sperimentali dei dati da analizzare (ipotizzando una distribuzione normale), si determinano quindi le frequenze cumulate relative teoriche per la distribuzione in questione e quindi se ne fa la differenza (punto per punto); se il valore della differenza massima è inferiore ad un valore critico tabulato, si conclude che la distribuzione è normale. Eccoti i risultati serviti caldi caldi.

FORMULE EXCEL UTILIZZATE Z= [(Bi-media(Bi))/dev.st(Bi) FCR= Distrib.Norm(Bi;media;dev.st;VERO) FCT= rango/(n. dati) Δ= ass(FCT-FCR) Scarto tipo = Dev.st.

A B C D E F

indice dati ordinati IzI

frequenza cumulata

sperimentale (FCR)

rango

frequenza cumulata teorica (FCT)

IΔ I

1 120 1,78 0,037 1 0,1 0,063 2 128 0,77 0,220 2 0,2 0,020 3 131 0,39 0,348 3 0,3 0,048 4 131 0,39 0,348 3 0,3 0,048 5 133 0,14 0,445 5 0,5 0,055 6 135 0,11 0,545 6 0,6 0,055 7 135 0,11 0,545 6 0,6 0,055 8 136 0,24 0,595 8 0,8 0,205 9 143 1,13 0,870 9 0,9 0,030 10 149 1,88 0,970 10 1 0,030

Media 134,10 Varianza 62,54 Scarto tipo 7,91 Differenza Critica 95% 0,409 Massima differenza Max Δ 0,205

Essendo la differenza massima = 0,2 < della differenza critica dc = 0,409 (ricavata dalla tabella) si deduce che la distribuzione è normale

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2 4 6 8 10 12

frequenza teorica frequenza sperimentale

L Ho la sensazione che tu manipoli i dati a tuo piacimento secondo le tue necessità: mi dai l’idea

degli analisti politici, che riescono sempre ad ottenere le proiezioni di voto utili ai loro “mandanti”. Perché questa volta nel calcolo delle frequenze cumulate teoriche non hai sottratto il valore 0,5 come hai fatto in precedenza?

M Mi lusinghi, paragonandomi con gli esperti statistici dei nostri litigiosi esponenti politici, ma non

ho fatto alcuna manipolazione. Non ho sottratto lo 0,5 in quanto in questo caso non era necessario.

L Da dove hai tirato fuori il valore critico? M non è stato semplice, ma a seguito di una lunga ricerca su Internet, mi sono imbattuto in un sito

che riportava la tabella seguente.


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Tabella valori critici di Kolmogorov Smirnov p=95% n dc n dc n dc n dc n dc 1 0,975 21 0,287 41 0,208 61 0,171 81 0,149 2 0,842 22 0,281 42 0,205 62 0,170 82 0,148 3 0,708 23 0,275 43 0,203 63 0,168 83 0,147 4 0,624 24 0,269 44 0,201 64 0,167 84 0,146 5 0,563 25 0,264 45 0,198 65 0,166 85 0,145 6 0,519 26 0,259 46 0,196 66 0,164 86 0,144 7 0,483 27 0,254 47 0,194 67 0,163 87 0,144 8 0,454 28 0,250 48 0,192 68 0,162 88 0,143 9 0,430 29 0,246 49 0,190 69 0,161 89 0,142 10 0,409 30 0,242 50 0,188 70 0,160 90 0,141 11 0,391 31 0,238 51 0,187 71 0,159 91 0,140 12 0,375 32 0,234 52 0,185 72 0,158 92 0,140 13 0,361 33 0,231 53 0,183 73 0,156 93 0,139 14 0,349 34 0,227 54 0,181 74 0,155 94 0,138 15 0,338 35 0,224 55 0,180 75 0,154 95 0,137 16 0,327 36 0,221 56 0,178 76 0,153 96 0,137 17 0,318 37 0,218 57 0,177 77 0,152 97 0,136 18 0,309 38 0,215 58 0,175 78 0,151 98 0,135 19 0,301 39 0,213 59 0,174 79 0,151 99 0,135 20 0,294 40 0,210 60 0,172 80 0,150 100 0,134

Fonte 17

y = 1,2649x-0,487

R2 = 1

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

0,350

0,400

0,450

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

Serie1 Potenza (Serie1)

Per i dati da 10 a 100 ho anche calcolato per te la relazione che lega il numero di dati al valore critico; l'equazione è

dn= 1,2649*n(-0,487)

che per n > 100 diventa:

dn =1,358*n(-0,5)

Luis e i dati anomali

L Va bene, mi hai convinto. Adesso dobbiamo vedere se ci sono dei dati anomali. Da una prima occhiata al normal probability plot credo che potrebbero essere anomali il primo e l’ultimo dato in quanto piuttosto lontani dagli altri dati, ma dimmi come è possibile in modo più rigoroso individuare gli outliers?

M Per individuare eventuali dati anomali possiamo utilizzare il test di Huber, che passo subito a

descriverti:

Si ordinano i dati dati ordinati 120, 128, 131, 131, 133, 135,135, 136, 143, 149 Si calcola la mediana dei dati mediana = 134 Si calcola la differenza tra ogni dato e la mediana (Di) Di = 14, 6, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 9, 15 Si calcola la mediana delle differenze (Dm) Dm = 3 Si calcola il prodotto Dm x 4,5 Dm x 4,5 = 3x4,5 = 13,5 I valori per cui Di > Dm x 4,5 sono anomali Valori anomali 120, 149 Il procedimento può essere velocizzato ed automatizzato utilizzando semplici formule excel, come riportato di seguito.

I dati ordinati sono ottenuti selezionando la colonna dei dati e quindi cliccando su “DATI” e successivamente scegliendo l’opzione “ORDINA”, le mediane sono calcolate con la formula MEDIANA(….) i residui sono calcolati con la formula = Ass (B(i)-D(i)), i dati anomali sono evidenziati con la formula = SE(Ci-Di>0;Ci;"")

17 http://everything2.net/index.pl?node_id=1540620


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A B C D E 1 dati dati ordinati residui Test Dm x 4,5 dati anomali 2 143 120 14 13,5 120 3 131 128 6 13,5 4 120 131 3 13,5 5 135 131 3 13,5 6 149 133 1 13,5 7 128 135 1 13,5 8 133 135 1 13,5 9 131 136 2 13,5 10 135 143 9 13,5 11 136 149 15 13,5 149 12 134 3 13 mediana

Di Dm Inoltre ho fatto una verifica con il software16 che ho utilizzato prima e ho avuto la conferma di questi dati anomali.

L Adesso, mi è tutto chiaro e devo riconoscere che finora hai mantenuto la parola, in quanto non hai

mai fatto ricorso alle tabelle ma solo alle funzioni di excel, e quando sei stato costretto ad utilizzare la tabella di Kolmogorov-Smirnov, sei riuscito a trasformarla in una funzione.

Luis e lo scarto tipo

Se ho ben capito quindi, a questo punto possiamo calcolare lo scarto tipo di ripetibilità con i dati di partenza!

M E no, i dati di partenza non vanno bene, in quanto, avendo individuato alcuni dati anomali,

dobbiamo decidere se tenerli o se eliminarli. Io, considerato che i dati sono molto vicini al limite di accettabilità li terrei, anzi, ti propongo di calcolare lo scarto tipo, sia con tutti i dati senza quindi eliminare gli outliers, e quindi di calcolare lo scarto tipo eliminandoli. Il calcolo dello scarto tipo utilizzando tutti i dati è banale, basta utilizzare la formula di excel =dev.st(143;131;120;135;149;128;133;131;135;136) che dà come risultato sr=7,91

L Allora nell’altro caso basta utilizzare la stessa formula, dopo aver eliminato gli outliers! M In genere si, ma è sempre opportuno verificare, se in assenza di tali dati la distribuzione è ancora

normale. Nel nostro caso lo è, come si può facilmente arguire dalla tabella precedente, dove, essendo outliers i due dati estremi, i valori di Di e Dm non cambiano. Eliminando i due dati, si ottiene una sr=4,50. Considerato che se i dati eliminati fossero stati appena diversi es. 121 al posto di 120 e 147 al posto di 149, gli stessi dati non sarebbero risultati anomali. Alla luce di tali considerazioni, io accetterei i dati anomali nel calcolo dello scarto tipo, anche in virtù del fatto che i dati considerati sono delle misure affette da una incertezza ancorché incognita. Una conferma della accettabilità dei dati anomali è data dal fatto che la funzione della distribuzione cumulata assume per il dato 120 il valore di 0,037 e per il dato 149 il valore 0,97; in altri termini i due dati sono rispettivamente in zone della curva di Gauss > dell’ 1% e < 99%, ambiti nei quali gli outliers possono essere accettati.


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Luis e la verifica della media

L A questo punto mi chiedo: ma la media calcolata attraverso il nostro campione di 10 prove ripetute in condizione di ripetibilità stretta, è una stima credibile della media di una popolazione con le stesse caratteristiche?

M La risposta la dobbiamo cercare o dandoci un riferimento opportuno, che al momento non può che

essere la specifica tecnica della FOSS, oppure ricorrendo a qualche considerazione statistica. M Avendo appurato che i dati in nostro possesso hanno distribuzione normale, assumendo come σ lo

scarto tipo ricavato per interpolazione dai dati della specifica tecnica della FOSS, chiamiamo la nostra media calcolata x , il problema che ci poniamo è con quanta precisione x può stimare µ, o in altri termini quale è il range dei valori che include, con una specificata probabilità, il valore vero µ. Dalla relazione +

!

µ"=x

Z si ottiene con facili trasformazioni

µ = x + Zσ − µ = x + Z x

!

ovvero

!

µ = x ± Z"

n, ponendo

!

"x

="

n

Quindi, scegliendo un determinato livello di probabilità o di confidenza che determina il valore di Z, si ottiene :

!

x " Z#

n< µ < x + Z

#

n

Nel nostro caso avendo ottenuto da 10 misure il valore medio x = 134,1 e lo scarto tipo di ripetibilità s = 7,91 , utilizzando per σ il valore 8,57 (valore ricavato per interpolazione dai dati della FOSS), quale è l’intervallo nel quale ci dobbiamo aspettare di trovare la media vera µ della popolazione con una probabilità del 95%? In altri termini, essendo la distribuzione simmetrica rispetto a µ, qual è l’intervallo di confidenza tale per cui il solo il 2,5% dei valori è minore del limite inferiore di tale intervallo e il 2,5% dei valori è maggiore del limite massimo di tale intervallo? La soluzione del problema è banale, in quanto dalla formula di excel = INV.NORM.ST(0,975) si ottiene 1,96 (analogamente INV.NORM.ST(0,025), dà come risultato -1,96) che sostituiti nella precedente dà

10

57,896,11,134

10

57,896,11,134

!+<<

!" µ

128,8 < µ < 139,4 In realtà è anche possibile calcolare direttamente l’intervallo di confidenza; in questo caso la sintassi è: =CONFIDENZA(alfa;dev_standard;dimens), con alfa = nel nostro caso = 0,05 si ottiene il valore di 5,31, che aggiunto e sottratto a 134,1, restituisce gli stessi risultati calcolati precedentemente (128,8 e 139,4).


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L Il tuo esempio non mi convince del tutto, in quanto nel suo sviluppo non hai mai menzionato il birraio (Student), pur operando su un campione di solo dieci dati e non su una popolazione infinita.

M Non l’ho chiamato in causa in quanto non serviva, dato che abbiamo assunto come scarto tipo il

valore 8,57 derivandolo dai dati della FOSS, e assumendolo come proveniente da una popolazione infinita, cosa che ci ha consentito di utilizzare la funzione di Gauss e le formule ad essa relative. Se supponiamo, invece sempre nello stesso esempio, di non conoscere σ in quanto non utilizziamo i dati della FOSS, allora dobbiamo far ricorso allo scarto tipo di ripetibilità s calcolato dal laboratorio dai risultati delle 10 ripetizioni e alla distribuzione di Student. In questo caso il limite di confidenza sarà espresso da

!

x " ts

n< µ < x + t

s

n

La soluzione del problema è praticamente uguale alla precedente, con l’unica differenza di dover calcolare la t e di utilizzare la formula di excel =INV.T(0,05; 9) = 2,26 (la formula si riferisce ad una distribuzione di Student a due code) che sostituito nella precedente dà:

10

91,726,21,134

10

91,726,21,134

!+<<

!" µ

128,4 < µ < 139,8

Da cui, come vedi, risulta un intervallo leggermente maggiore. In excel 2003 non è disponibile la formula per il calcolo diretto dell’intervallo di confidenza.

Luis e la verifica dello scarto tipo

L Scusa, ma se invece voglio sapere se lo scarto tipo da me calcolato è una stima credibile dello scarto tipo vero (nel caso questo sia riportato ad esempio in un metodo di prova), cosa faccio?

M È questo il caso in cui ricorriamo alla distribuzione del χ2.

Supponiamo nel nostro caso di accettare come vero σ il valore di 8,57 della Foss. Dalla relazione χ2

(p,ν) = ν∗s2/σ2 = (n-1)* s2/σ2, si ricava l’intervallo in cui deve essere compreso

lo scarto tipo s

2

1);2/1(2

22

1;2/

)1(!=!!= "

#!"

nn

sn

$%$% &'

& ovvero 11

2

1);2/1(

2

22

1;2/

!""

!

!=!!=

n

s

n

nn #$#$%

&

%

In questa relazione sono noti tutti i termini tranne χ2, che possiamo calcolare da tabelle ad hoc, o utilizzando le formule di excel. Noi utilizziamo, ovviamente, excel. Scegliendo un livello di probabilità p = 95% e ricorrendo alla solita convenzione di indicare p = 1-α, p1 =α/2 e p2 =1-α/2, si calcolano i due valori di χ2, per p1 e p2 con le formule INV.CHI(0,025;9) e INV.CHI(0,975;9), che danno rispettivamente per il χ2 i valori 2,70 e 19,02. Con semplici trasformazioni si ottiene che deve risultare s/σ > [χ2

(α/2; 9)/ν]1/2 e s/σ < [χ2(1-α/2;

9)/ν]1/2. E sostituendo i valori numerici si ha che:


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( ) 67,757,8

91,791

2

2

2

=!"

#$%

&'='(

)

sn

Pertanto, essendo tale valore < 19,02 ( 2

1;2/1 !=! n"#$ ) e > 2,70 ( 2

1;2/ !=n"#$ ), il valore dello scarto tipo calcolato è compatibile con quello della FOSS.

L Vedo che hai mantenuto la tua parola, adesso però andiamo a prendere un bel caffé.

Luis e il calcolo dello scarto tipo variabile con la concentrazione

M Buono quel caffé!

Prima di andare avanti, facciamo il punto della situazione. Ti faccio notare che finora abbiamo determinato lo scarto tipo di ripetibilità solo per un tenore di cellule uguale a 134.000 cellule/ml e che la Foss dà tre valori diversi a 100.000, a 300.000 e a 500.000 cellule/ml. In altri termini lo scarto tipo di ripetibilità è funzione della concentrazione di cellule.

L Va bene, ma questo significa che dovremmo calcolare lo scarto tipo a tutti i livelli e quindi

almeno da 100.000 cell/ml a 1.500.000 cell/ml. M È esattamente quello che dobbiamo fare per poter determinare una relazione che leghi lo scarto

tipo del laboratorio alla concentrazione di cellule somatiche. Chiediamo a Valentina di effettuare 10 determinazioni su campioni di latte che coprano il campo da 100.000 a 1.500.000 cellule/ml.

L Glielo chiedo subito. Ma noi ci rivediamo tra una settimana, perché devo anche lavorare, tu

intanto leggiti questo sonetto e medita sulla statistica:


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LA STATISTICA

Sai ched'è la statistica? È na' cosa che serve pe fà un conto in generale de la gente che nasce, che sta male,

che more, che va in carcere e che spósa.

Ma pè me la statistica curiosa è dove c'entra la percentuale,

pè via che, lì, la media è sempre eguale puro co' la persona bisognosa.

Me spiego: da li conti che se fanno

seconno le statistiche d'adesso risurta che te tocca un pollo all'anno:

e, se nun entra nelle spese tue, t'entra ne la statistica lo stesso

perch'è c'è un antro che ne magna due

Trilussa


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M Ciao Luis, Valentina è riuscita a fare le analisi come avevamo concordato? L Sì ecco i dati già in ordine crescente

serie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 180 297 720 127 650 435 493 198 530 1022 1413 186 300 733 128 655 445 530 200 541 1025 1421 187 306 740 131 655 449 551 201 545 1031 1423 187 309 745 132 659 449 552 214 548 1034 1424 188 312 750 133 665 456 552 216 556 1047 1428 190 318 759 135 670 460 554 216 559 1051 1432 194 320 764 135 683 460 555 217 561 1055 1441 197 323 765 136 684 462 561 221 562 1056 1454 197 323 775 140 688 464 567 221 568 1067 1479

Val

ori

200 324 780 145 700 480 571 221 572 1070 1487

M Molto bene. Ognuna di queste 11 serie dovrebbe essere sottoposta allo stesso procedimento che abbiamo usato prima e cioè:

• verificare che siano normali, • individuare i valori anomali • decidere cosa fare dei valori anomali • calcolare la media di ogni serie • calcolare lo scarto tipo di ogni serie

e quindi calcolare la relazione che lega gli scarti tipo ai vari livelli. Supponiamo per un istante di avere fatto tutto questo e chiamiamo sr il generico scarto tipo e rx le medie corrispondenti. Possono verificarsi due casi: a) sr non varia sensibilmente al variare di rx b) sr varia al variare di rx Nel caso a) è sufficiente calcolare la media quadratica pesata

rs degli scarti tipo nel seguente

modo

)1........()1()1(

)1.......()1()1()1(

21

22

33

2

22

2

11

!+!+!

!+!+!+!=

n

rnnrrr

r

nnn

snsnsnsns

Nel caso b) si ricerca la relazione funzionale che lega sr a rx

Il criterio che determina la validità del caso a) o del caso b) si basa sul seguente test di Fisher

minmax,;12

(min)

2

(max)

!!"#=$ p

r

rF

s

s


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dove 2

(max)rs e 2

(min)rs sono rispettivamente la varianza massima e minima ed Fp;νmax,νmin è la

variabile di Fisher, il cui valore è riportato in tabelle (ma vedremo anche in excel) in funzione di α e di νmax = νmin = ni-1 essendo n il numero delle prove valide eseguite ad ogni livello. Il test può ancora essere utilizzato se il numero ni non è lo stesso per tutte le prove ma varia rispetto al valore medio di poco es. + 1. Un altro test utilizzabile (meno restrittivo, ma più complesso) è il test di Bartlett7

A questo punto, se siamo nel primo caso, il problema non si pone, se siamo nel secondo caso, excel ci consente di calcolare la relazione che lega lo scarto tipo alla media.

L Bene, quindi applicando la tua teoria adesso io determino, utilizzando il normal probability plot, se i dati di Valentina sono tutti distribuiti normalmente e se vi sono dati anomali, mentre tu fai quattro chiacchiere con Fabrizio che prima ti ha cercato.

M Ciao Luis, come siamo messi? L Ho riportato tutti i dati sul normal probability plot, ho tracciato con excel le 11 rette di

correlazione ed ho determinato, sempre con excel il coefficiente di correlazione r2 di ogni retta. I risultati sono stati i seguenti:

serie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

r2 0,94 0,89 0,96 0,95 0,93 0,96 0,73 0,77 0,95 0,95 0,89

Ho quindi deciso di ritenere non accettabili i dati con un coefficiente di correlazione minore di 0,89 e quindi ho scartato le serie 7 e 8. Per quanto riguarda infine i dati anomali, da una prima occhiata al probability plot, l’unica serie che mi dato l’impressione di avere dati anomali è stata la 11, ed a questa ho applicato il test di Huber, che ha evidenziato come dati anomali il 1479 e il 1487; prima di eliminarli però ho calcolato la media e lo scarto tipo di ogni serie, e poiché l’eliminazione di entrambi i dati mi avrebbe evidenziato anche il 1454 come dato anomalo, e mi avrebbe restituito uno scarto tipo di 8,86, cosa ovviamente improbabile se paragonata alle altre s, ho deciso di eliminare solo 1487, cosa che mi ha portato alla seguente situazione.

serie 1 2 3 4 5 6 9 10 11

180 297 720 127 650 435 530 1022 1413 186 300 733 128 655 445 541 1025 1421 187 306 740 131 655 449 545 1031 1423 187 309 745 132 659 449 548 1034 1424 188 312 750 133 665 456 556 1047 1428 190 318 759 135 670 460 559 1051 1432 194 320 764 135 683 460 561 1055 1441 197 323 765 136 684 462 562 1056 1454 197 323 775 140 688 464 568 1067 1479

Val

ori

200 324 780 145 700 480 572 1070 media 190,6 313,2 753,1 134,2 670,9 456 554,2 1045,8 1440,2

sr 6,22 9,92 18,99 5,39 16,926 12,33 13,01 17,023 20,42


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A questo punto dobbiamo applicare il test di Fisher, per poter affermare con sicurezza quello che a prima vista sembra evidente, cioè se lo scarto tipo varia sensibilmente al variare della media. Come si fa?

M Dobbiamo ricorrere alla relazione minmax,;12

(min)

2

(max)

!!"#=$ p

r

rF

s

s

Nel nostro caso essendo (max)

2

rs = (20,42)2 = 417 e (min)

2

rs = (5,39)2 = 29,1 si ha che 2

(min)

2

(max)

r

r

s

s = 14,35

per il calcolo di F ricorriamo ancora una volta ad excel operando come segue: • fissata una probabilità del 5%, poiché il numero di dati relativi a (max)

2

rs è 9 e il numero di dati

relativi a (min)

2

rs è 10, si ha che ν(max) = 8 e ν(min) = 9.

• Dalla funzione excel INV.F(0,05;8;9) si ottiene F = 3,23.

Essendo 2

(min)

2

(max)

r

r

s

s = 14,35 > 3,23 si deduce che le varianze, come ci aspettavamo, sono

significativamente diverse al variare della media del campione da cui derivano. Questa situazione ci impone di ricercare la funzione che meglio interpola le s in funzione delle medie, ricorrendo ancora una volta ad excel. Dal comando “inserisci grafico” si sceglie la “dispersione xy” e si inseriscono come x i valori delle medie e come y i valori degli scarti tipo, quindi si clicca sul comando “inserisci linea di tendenza”. Excel consente di disegnare diverse linee di tendenza restituendone anche l’equazione e il coefficiente di correlazione r2, noi abbiamo considerato le seguenti:

Tipo di regressione Equazione r2 Regressione lineare che passa per lo 0 s = 0,0187x 0,3873

Regressione lineare con intercetta s = 0,016x + 6,1768 0,8134 Regressione esponenziale s = 6,6689e0,001x 0,7314

Regressione di potenza s = 0,2934x0,6023 0,9435 Regressione logaritmica s = 6,7758Ln(x) - 28,569 0,9376

La relazione da scegliere è ovviamente quella che presenta il valore di r2 più prossimo ad 1 e quindi la regressione di potenza.

L Va bene, tu sai quanto ti stimo, ma a questo punto sarei molto più tranquillo se potessimo

effettuare una verifica indipendente dei nostri calcoli. M Conoscendoti, ho portato con me uno strumento molto interessante, che può aiutarci allo scopo, il

prezioso software dell’UNICHIM16 L E che aspettiamo ad usarlo? M Guarda, che finora l’ho già usato diverse volte. Lo usiamo anche adesso.


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Il procedimento è semplice: • inseriamo i dati, premiamo il tasto calcoli e premiamo il tasto “test di normalità” ed ecco il

risultato dove sono evidenziati in rosso i dati anomali

La settima e l’ottava serie non hanno una distribuzione normale, per cui le dobbiamo eliminare e rifare il calcolo.

Dal nuovo calcolo non emergono serie non normali, ma è evidenziato un dato anomalo che eliminiamo e, rifacendo il calcolo otteniamo:


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M A questo punto dobbiamo decidere cosa fare dell’ulteriore dato anomalo. Se lo eliminiamo otteniamo uno scarto tipo pari a 12,9, che è molto più basso di quello per una media di 1000 cellule. Inoltre se eliminiamo anche questo dato anomalo ci troveremo in una condizione estremamente favorevole, nel senso che, eliminandolo, ci dobbiamo aspettare un CV% molto basso che quindi potrebbe non rispecchiare la variabilità vera delle risposte analitiche. D’altro canto tu mi insegni che la conta delle cellule somatiche può dipendere anche dalle altre caratteristiche del latte (grasso, proteine, indice crioscopico, ecc.). Fatte queste considerazioni ti propongo di non eliminare il valore 1479.

A questo punto continuiamo con il nostro calcolo, sfruttando le ulteriori caratteristiche del software UNICHIM16 ed effettuando quindi un confronto tra le varianze, che risultano non omogenee tra di loro. In particolare, leggi cosa riporta il manuale che accompagna il software:

La disomogeneità delle varianze che si evidenzia è una conseguenza diretta della situazione per cui la variabilità delle misure aumenta col crescere della concentrazione, il cui livello è espresso dalla media: si deve allora studiare una possibile relazione funzionale fra scarto tipo e media delle diverse serie (colonne) di dati, che consenta di calcolare lo scarto tipo, e quindi la ripetibilità, anche per concentrazioni diverse da quelle dei campioni sottoposti alle misure replicate. Viene allora effettuata un'ulteriore elaborazione, che sul foglio DATI2 mostra oltre ai dati ordinati e alle statistiche base già rilevate in precedenza – i risultati del calcolo delle regressioni fra scarto tipo e media secondo tre diversi modelli: - regressione lineare che passa per lo 0 ( y = bx ) - regressione lineare con intercetta ( y = a + b x ) - regressione doppio-logaritmica ( logy = c + d logx ) La riga inferiore di ciascuna sezione contiene gli scarti tipo calcolati in base all'equazione di regressione in funzione dei valori delle relative medie (riga 14). Secondo il criterio suggerito, è da preferire quel modello (equazione) per cui la somma dei quadrati delle differenze fra lo


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scarto tipo calcolato e misurato (riga 15) risulta minimo. Questa SQ (somma dei quadrati) minima viene evidenziata sul foglio. I risultati di tale elaborazione sono i seguenti:

M La relazione è quindi:

y = 0,6023x - 0,5325

dove, avendo posto y = log(s) e x = log(x), si ha che lo scarto tipo di ripetibilità è espresso dalla relazione

S = 10(c+d*log(x))

Che con i dati ottenuti c = -0,5323 - d = 0,6023 - x = tenore di cellule

diventa s = 10 (0,6023logx -0,5325)

ricordando alcune elementari proprietà dei logaritmi e delle potenze, con semplici manipolazioni si ottiene

s = 0,2934x0,6023

che è esattamente uguale a quella da noi calcolata per altra via utilizzando la correlazione di potenza in excel. Ad un’analisi più attenta, si rileva che le altre equazioni presentano una certa differenza, ma la cosa è praticamente irrilevante in quanto, la retta di correlazione passante per l’origine ha un r2 = 0,39 e quindi indica una mancanza di correlazione, mentre quella con intercetta ha un r2 = 0,81, indice di una correlazione quasi accettabile, differisce da quella dell’UNICHIM in quanto dà risultati in alcuni casi migliori in altri peggiori, come si può vedere dalla tabella seguente.


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media 190,60 313,20 753,10 134,20 670,90 456,00 554,20 1045,80 1435,00

scarto tipo vero 6,22 9,92 18,99 5,39 16,92 12,33 13,01 17,03 20,42

Scarto tipo calcolato UNICHIM: 6,79 8,57 14,94 5,98 13,75 10,64 12,06 19,18 24,82

Scarto tipo calcolato con excel 8,39 9,81 14,91 7,73 13,96 11,47 12,61 18,31 22,82

differenza % UNICHIM 9,17% -13,62% -21,32% 10,84% -18,75% -13,73% -7,32% 12,63% 21,52%

differenza % EXCEL 23,48% 14,49% -0,18% 29,42% 1,53% 7,80% 4,54% -4,54% -8,03%

Ti basta questa verifica? L Si, molto bene, poi mi dici come posso fare per acquisire il software dell’UNICHIM16. M Questo te lo dico subito: basta che tu telefoni all’UNICHIM allo 02/76004450 o ti colleghi al sito

http://www.unichim.it. Ma continuando con i nostri calcoli; a questo punto, per completare la prima parte del nostro

lavoro dobbiamo calcolare il limite di ripetibilità e il CV% che al 95% di probabilità è espresso come:

21;95,01 rnStr != ""

Dove t al 95% con n-1 = ν = 8 gradi di libertà (n = numero di dati della serie con minor numero di dati) può essere calcolato da excel con la formula =INV.T(0,05;9) e quindi sostituendo il valore trovato nella precedente si ha

2306,2rSr !=

Dove Sr si ricava dalla formula precedentemente determinata

Sr = 0,2934x0,6023

A questo punto possiamo determinare il CV. Con semplici passaggi si ha che

CV= s/x = 0,2934 *x(-1)x0,6023 = 0,2934*x(-0,3977) E con questo la prima parte del nostro lavoro si può considerare completata in quanto abbiamo calcolato tutti i parametri che ci interessavano.

L E no! Come sai bene uno dei criteri per il controllo della qualità di un risultato di prova è

l’effettuazione di una prova in doppio, e con quello che abbiamo detto, la situazione è abbastanza complicata, come possiamo fare?

M Per le prove in doppio, nel nostro caso e con un livello di confidenza del 95%, vale la relazione18

18 N. Bottazzini e L. Cavalli Guida al calcolo della ripetibilità di un metodo di prova ed alla sua verifica nel tempo Seminario SINAL, settembre 2007


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28;95,021 rStxx !"# oppure l’equivalente 8;95,021

rxx !" 6023,0

8;95,0219567,0 xrxx !""#

Per semplificare i calcoli possiamo riportare in un diagramma le funzioni precedentemente trovate per sr, r, e CV% in funzione di x.

r= 0,9568x0,6023

sr= 0,2934x0,6023

CV% = 29,34x-0,3977

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

scarto tipo sr limite di ripetibilità r CV% Con questo sistema, la prova è accettabile se il valore assoluto della differenza dei risultati delle due prove è al di sotto della curva della r.

L’incertezza di Luis L Adesso passiamo ad affrontare l’incertezza di misura! M Intanto ti informo che oltre ai documenti di riferimento consigliati dal SINAL2 di cui tu ben

conosci, forse, almeno i titoli, utilizzeremo per il nostro scopo anche i seguenti:

UNI CEI ENV 13005 - 2000 Guida all’espressione dell’incertezza di misura Manuale UNICHIM 179/1 Linee guida per la valutazione dei metodi

analitici nei laboratori chimici ARPA Agenzia Regionale Prevenzione e Ambiente dell’Emilia-Romagna

Linee guida per la validazione dei metodi analitici e per il calcolo dell’incertezza di misura

Fogli di calcolo UNICHIM Software per il calcolo, il trattamento statistico

e la valutazione dei dati ottenuti nelle prove di laboratorio (ed. 2006)

L Alla faccia, ed io mi dovrei studiare tutta questa roba? E il laboratorio chi lo porta avanti? E le

analisi sui prodotti chi le fa? E a Fabrizio cosa gli racconto quando mi chiede se i prodotti sono stati deliberati?

M Non fare la lagna, anche perché li abbiamo già utilizzati! Cerchiamo di capire, prima di

lamentarci, e veniamo ai fatti.


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Intanto partiamo dalle definizioni di incertezza e dei principali termini collegati, riportati nella UNI CEI ENV 13005. Incertezza di misura

Parametro, associato al risultato di una misurazione, che caratterizza la dispersione dei valori ragionevolmente attribuibili al misurando. Nota 1 il parametro può essere, per esempio, uno scarto tipo (o un suo multiplo dato), o la semiampiezza di un intervallo avente un livello di fiducia stabilito. Nota 2 L’incertezza di misura, in genere, comprende più componenti. Talune di queste possono essere valutate dalla distribuzione statistica dei risultati di serie di misurazioni e possono dunque essere caratterizzate mediante scarti tipo sperimentali. Le altre componenti, anch’esse caratterizzabili mediante scarti tipo, sono valutate da distribuzioni di probabilità ipotizzate sulla base dell’esperienza o di informazioni d’altro tipo. Nota 3 S’intende che il risultato della misurazione è la migliore stima del valore del misurando, e che tutte le componenti dell’incertezza, comprese quelle derivanti da effetti sistematici, quali quelle associate a correzioni e campioni di riferimento, contribuiscono alla dispersione.

Incertezza tipo

Incertezza del risultato di una misurazione espressa come scarto tipo.

Incertezza tipo composta

Incertezza tipo del risultato di una misurazione allorquando il risultato è ottenuto mediante i valori di un certo numero di altre grandezze; essa è uguale alla radice quadrata positiva di una somma di termini, che sono le varianze e le covarianze di quelle grandezze, pesate secondo la variazione del risultato della misurazione al variare di esse.

Incertezza estesa

Grandezza che definisce, intorno al risultato di una misurazione, un intervallo che ci si aspetta comprendere una frazione rilevante della distribuzione dei valori ragionevolmente attribuibili al misurando. Nota 1 La frazione può essere interpretata come la probabilità di copertura o livello di fiducia dell’intervallo. Nota 2 Per poter associare uno specifico livello di fiducia all’intervallo definito dall’incertezza estesa è necessario fare ipotesi, esplicite o implicite, sulla distribuzione di probabilità caratterizzata dal risultato della misurazione e dalla sua incertezza tipo composta. Il livello di fiducia che può essere attribuito a questo intervallo può essere conosciuto solo nei limiti entro i quali quelle ipotesi siano giustificate.

L “Maestro, il senso lor m’è duro”, come dice il Poeta. Leggendo queste definizioni, ho la certezza che sia aumentata la mia incertezza sul significato dell’incertezza di misura, perché non provi ad essere più chiaro?

M Lascia in pace Virgilio, Dante, il terzo canto dell’Inferno e i giochi di parole; e cerca di essere

più serio!


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Provo a darti qualche ulteriore chiarimento ricavato dalla UNI CEI ENV 13005. L’incertezza di misura può essere intesa come la stima dell'intervallo dei valori entro cui cade il valore del misurando, dove per misurando si intende una particolare grandezza sottoposta a misurazione. Questa definizione deriva dal fatto che ogni misura è caratterizzata da una certa variabilità. Tra i possibili fattori che possono determinare la variabilità e quindi l’incertezza di una misura, sono individuati lo Scarto Aleatorio che nelle misurazioni ripetute varia in modo non prevedibile e lo Scarto Sistematico che, nelle misure ripetute, resta costante o varia in modo prevedibile. L’insieme combinato di queste due componenti dà luogo all’incertezza tipo composta. Per capire il rapporto che intercorre tra incertezza composta ed incertezza estesa, basta che tu ti rifaccia a quanto abbiamo detto a proposito della distribuzione di Gauss: ricorderai che in una distribuzione normale il 68% dei dati si trova nell’intervallo centrato sul valore medio µ e avente come semi intervallo lo scarto tipo s della distribuzione stessa, e il 95% dei dati nell’intervallo centrato sul valore medio µ e avente come semi intervallo circa due volte lo scarto tipo. Il primo intervallo rappresenta l’incertezza composta, mentre il secondo l’incertezza estesa, per cui si ha che, con una probabilità del 95%:

Incertezza estesa = 2* incertezza composta

L OK, ma ora fammi vedere i fatti pratici, i numeri, le formule, in altri termini i criteri di calcolo dell’incertezza.

M Prima di parlare del calcolo dell’incertezza è bene puntualizzare che l’incertezza di misura

associata al risultato deve essere espressa con le stesse unità del risultato ed essere indicata come semi intervallo di fiducia del risultato della misurazione, ossia come incertezza estesa. L’incertezza può essere calcolata con diversi approcci o criteri (metrologico, olistico e Horwitz).

Luis e l’approccio metrologico

L’approccio metrologico è considerato il più rigoroso. Relativamente a questo criterio, la guida SINAL DT 000219 dice (riporto testualmente in corsivo): “in generale, il misurando Y dipende da un certo numero di grandezze d’ingresso X1, X2, ..., Xi, ..., Xn, secondo una funzione del tipo:

Y= f (X1, X2, ..., Xi, ..., Xn) (1)

usualmente chiamata modello della misurazione. Tipiche grandezze di ingresso sono quelle che derivano dal processo di misurazione, quelle riportate nei certificati di taratura dei campioni e degli strumenti impiegati, nonché le grandezze di influenza, che sono sostanzialmente, ma non esclusivamente, le variabili ambientali come la temperatura, la pressione, l’umidità, ecc. La stima y del misurando Y viene ottenuta dalla (1) sostituendo ai valori delle grandezze Xi le corrispondenti stime di ingresso xi:

y = f (x1, x2, ..., xi, ..., xn) (2) Come i valori delle grandezze d’ingresso Xi, anche le dispersioni sono stimate attraverso opportune valutazioni, in base alle informazioni disponibili.

19 SINAL DT-0002 Guida per la valutazione e la espressione dell'incertezza nelle misurazioni


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Le incertezze di ingresso possono essere determinate attraverso due categorie di valutazione, contraddistinte con le lettere A e B. Si sottolinea che tutte le incertezze hanno la stessa natura per cui la distinzione in base alle categorie di valutazione (A e B) riguarda unicamente il modo con il quale le incertezze vengono stimate.” . In primo luogo devi considerare che ai nostri fini l’incertezza, sia di categoria A che di categoria B deve essere espressa in termini di scarto tipo. I criteri suggeriti dalla stessa guida SINAL19 per il calcolo delle componenti A e B dell’incertezza in termini di scarto tipo, sono i seguenti: Incertezze di categoria A Le incertezze di categoria A sono quelle che possono essere valutate direttamente dal laboratorio attraverso la ripetizione di un processo di misurazione, in condizioni controllate. Si tratta, ai fini pratici, di applicare i concetti di cui abbiamo parlato in precedenza a proposito del calcolo dello scarto tipo. Il valore dello scarto tipo così calcolato costituisce il parametro statistico che viene tradizionalmente indicato come scarto tipo della serie di misurazioni. L’incertezza associata ad una serie di misure si determina con la formula seguente:

!

u x i( ) =si

ni

Incertezze di categoria B Le valutazioni di incertezza effettuate in modo diverso da quello basato su serie di osservazioni ripetute, si definiscono di categoria B. Per la loro determinazione possiamo ancora utilizzare la norma UNI CEI ENV 13005:20006 e la guida SINAL19 La situazione di minima informazione è rappresentata da un intervallo, individuato da due valori ximax e ximin, al di fuori del quale si esclude possa trovarsi il valore della grandezza, mentre all’interno tutti i valori hanno la stessa probabilità. In questo caso si assume una distribuzione uniforme di probabilità, detta anche rettangolare, di ampiezza pari ad ximax - ximin, che porta al seguenti risultato:

Esempio purezza di un sale

Se il valore centrale è più probabile di quello agli estremi si assume una distribuzione di probabilità detta triangolare di ampiezza pari ad ximax - ximin


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Esempio vetreria di classe A

L La cosa comincia ad interessarmi, continua. M Una volta determinate le singole componenti delle incertezze, dobbiamo calcolare l’incertezza

composta, che, come riportato dalla UNI CEI ENV 13005 è data dalla seguente formula

)()( 2

1

2

i

n

i i

xux

yyu •!!

"

#$$%

&

'

'= (

=

Dove y è la funzione che esprime la stima del misurando dipendente da una serie di parametri x1, x2, ….., xn. (vedi equazione 2 SINAL DT 0002 riportata in precedenza)

L Radici quadrate, derivate parziali, sommatorie, stima del misurando …….. ci risiamo con le

complicazioni. M Calmati, che la situazione è molto più semplice di quanto sembra!

Si dà il caso che per i nostri scopi l’equazione da te definita complicata si semplifica notevolmente per i casi da noi generalmente trattati. È ancora il SINAL19 che ci facilita il compito con una utilissima tabella di riepilogo che ti riporto.


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- Formule per la valutazione dell’incertezza tipo composta (SINAL DT0002 Tabella 3)

Nota: h e n sono costanti note con incertezza largamente inferiore a quella degli altri componenti.

E qua ci fermiamo. Svilupperemo l’esempio pratico solo se sarà necessario, nel corso del nostro lavoro. Se vuoi, comunque informazioni più dettagliate e complete sul criterio metrologico le puoi trovare nelle guide SINAL20 e nel documento del suo direttore21 relativo alla norma UNI CEI EN ISO_IEC 1702522 oltre che nella norma UNI CEI ENV 130056.

Luis e Horwitz

L’approccio di Horwitz, si basa sull’elaborazione statistica di una grossa mole di dati ricavati da confronti interlaboratori. Tale criterio è utile, in fase di primo approccio, nella valutazione dell’incertezza. Il criterio di Horwitz si riassume in una formula 20 DT 0002, DT 0002/3, DT 0002/4 21 Paolo Bianco ISO/IEC 17025: requisiti tecnici - Incertezza di misura: approccio GUM 22 Requisiti generali per la competenza dei laboratori di prova e di taratura


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σR = 0,02*c0,8495

Che può assumere anche la forma

[ ]cR

RSDlog5,012 !"=

Dove: σR scarto tipo di riproducibilità RSDR scarto tipo relativo di riproducibilità C concentrazione dell’analita espresso in unità (m/m) Tale approccio, applicabile fondamentalmente all’analisi degli alimenti ed alle acque, certamente non è applicabile al nostro caso, non fosse altro che per il fatto che le nostre misure sono espresse in cellule/ml e non come massa/massa.

Luis e il criterio olistico

Per quanto riguarda l’approccio olistico o “top down”, il metodo si basa sull’utilizzo dei risultati di una stessa prova, eseguita in laboratori diversi ed è in genere quello più usato nel campo chimico e microbiologico. Alcuni esempio pratici di tale approccio li puoi trovare chiaramente sviluppati nei documenti di validazione del software dell’UNICHIM16 che prendono in considerazione i seguenti casi:

• Uso di una norma che reca i valori di scarto tipo di ripetibilità, σr e di riproducibilità, σR

• Uso di un metodo interno simile ad una norma che reca i valori di σr e di σR • Uso dei parametri di precisione ricavati da prove interlaboratorio • Uso di materiali di riferimento certificati (CRM) che riportano in modo completo i

parametri di precisione. Anche di tale metodo svilupperemo l’esempio pratico, solo se sarà necessario, nel corso del nostro lavoro. In altri termini ti dico, per tranquillizzarti, che non svilupperemo tutti i metodi di calcolo dell’incertezza, ma focalizzeremo l’attenzione solo su quello che risulterà il più adatto oltre che più pratico per il nostro scopo, tralasciando tutti gli altri.

L Grazie per le informazioni, ma soprattutto grazie ……. per lo sconto.

L’incertezza di Luis variabile con la concentrazione

M E torniamo al nostro caso specifico. Nella determinazione delle cellule somatiche nel latte vaccino, con il metodo in oggetto, l’entità delle componenti dell’incertezza varia con la concentrazione dell’analita (ricordati dello scarto tipo!). In questi casi, come riportato dalla Guida EURACHEM23, è importante prendere in considerazione le variazioni dell’incertezza tipo composta con la concentrazione dell’analita.

23 Rapporti ISTISAN 03/30 - Quantificazione dell’incertezza nelle misure analitiche Seconda edizione (2000) della Guida EURACHEM / CITAC CG 4


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Gli approcci possibili, riporta la guida, includono: • restringere il campo di applicazione della procedura specificata o la stima dell’incertezza ad

un piccolo intervallo di concentrazioni di analita; • fornire una stima dell’incertezza in termini di Scarto Tipo Relativo (STR); • stabilire esplicitamente la relazione tra l’incertezza e la concentrazione e quindi, in base ad

essa, determinare di nuovo l’incertezza di un dato risultato. Noi optiamo per la terza soluzione, in quanto quella che più compiutamente interpreta le necessità del Laboratorio e dei suoi clienti.

L E ti pareva, altrimenti sarebbe stato troppo facile. M La Guida EURACHEM23 al paragrafo E.4.2 riporta:

Per tener conto sia della proporzionalità dell’incertezza sia della possibilità di un valore essenzialmente costante con il livello, si usa la seguente espressione generale:

2

1

2

0 )()( sxsxu !+= dove u(x) è l’incertezza tipo composta del risultato x (cioè l’incertezza espressa come uno scarto tipo) s0 rappresenta un contributo costante all’incertezza globale s1 è una costante di proporzionalità.

L’equazione si basa sul metodo normale della combinazione dei due contributi all’incertezza globale, assumendo che un contributo (s0) sia costante ed uno (xs1) proporzionale al risultato. La Figura E.4.1 illustra la forma di questa funzione.

E.4.4.3. Dipendenza intermedia


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In casi intermedi, ed in particolare quando la situazione corrisponde alla zona B nella Figura E.4.1, possono essere adottati due approcci. a) Applicare una dipendenza variabile L’approccio più generale è determinare, registrare e usare sia s0 sia s1. Le stime dell’incertezza, quando necessario, possono essere effettuate sulla base del risultato riportato. Questo è l’approccio raccomandato qualora fattibile. NOTA: Si veda la nota del paragrafo E.4.2. (NOTA: L’approccio precedente si dimostra pratico solo quando è possibile calcolare un numero grande di valori. ….) b) Applicare un’approssimazione fissa Per analisi generiche e nei casi in cui • la dipendenza non è molto forte (ossia, vi è scarsa evidenza di proporzionalità) oppure • l’intervallo dei risultati previsti non è molto grande qualora in entrambi i casi le incertezze non differiscano di più del 15% circa da una stima dell’incertezza media, spesso sarà ragionevole calcolare e stabilire un valore fisso dell’incertezza per un uso generale, basandosi su un valore medio dei risultati attesi. Quindi o • si usa un valore medio o tipico di x per calcolare un’unica stima dell’incertezza e la si usa in

alternativa a stime calcolate singolarmente o • si è ottenuto un unico valore dello scarto tipo, in base a studi su materiali che ricoprono

l’intero intervallo dei livelli di analita ammessi (entro il campo di applicazione per la stima dell’incertezza) e c’è scarsa evidenza che giustifichi un’ipotesi di proporzionalità. Questo caso dovrebbe essere generalmente trattato come un caso di dipendenza nulla e lo scarto tipo in oggetto riportato come s0.

E.4.5. Determinare s0 ed s1

E.4.5.1. Nei casi particolari nei quali un termine è dominante, sarà normalmente sufficiente usare l’incertezza espressa come scarto tipo o scarto tipo relativo rispettivamente come valore di s0 o di s1. Quando la dipendenza è meno ovvia, potrebbe tuttavia essere necessario determinare s0 ed s1 indirettamente da una serie di stime dell’incertezza a differenti livelli di analita.

E.4.5.2. Dato un calcolo d’incertezza composta da varie componenti, alcune delle quali dipendono dal livello di analita mentre altre no, sarà generalmente possibile indagare sulla dipendenza dell’incertezza globale dal livello di analita mediante una simulazione con il procedimento seguente: 1. calcolare (o ottenere sperimentalmente) le incertezze u(xi) per almeno dieci livelli xi di analita, che coprono l’intero intervallo ammesso 2. riportare in grafico u(xi)2 in funzione di xi

2 3. mediante regressione lineare, ottenere stime di m e di c per la curva u(x)2 = mx2 + c 4. calcolare s0 e s1 da s0 = √c, s1 = √m 5. registrare s0 e s1

Da quanto riportato sopra è chiaro che la prima cosa da fare è il calcolo dell’incertezza almeno a

dieci livelli, cosa che potremmo fare col metodo olistico o con il sistema cosiddetto metrologico, ma che comunque ci richiede un lungo lavoro, a meno di non essere in possesso dei dati


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necessari, quali ad esempio risultati di circuiti interlaboratorio, serie di dati con materiali certificati, et similia, cosa di cui dubito molto.

L E ti pareva che lui avesse qualche fiducia in quello che facciamo!

Aspetta a sputare sentenze con il tuo latinorum, e ascolta quello che ho da dire! M Ho capito, se ricordo bene tu hai partecipato a qualche circuito interlaboratorio per la prova

relativa alla ricerca delle cellule somatiche, o ricordo male? L Ricordi male perché intanto è Valentina che vi partecipa, e non solo qualche volta, ma

costantemente con cinque campioni a livelli diversi 4 volte l’anno, per cui penso che potremmo disporre di molti dati.

M Non dire quattro se non ce l’hai nel sacco e raccogli i dati di cui disponi. L Ecco i dati, ma come possiamo da questi dati calcolare la relativa incertezza? M Nell’applicazione di questo criterio, qualcuno dice che i laboratori devono utilizzare lo stesso

metodo di prova, altri considerano ancora accettabile il criterio anche se il laboratorio utilizza un metodo di prova diverso purché:

• i laboratori partecipanti siano in numero elevato (>40) • siano laboratori stimati per competenza tecnica; • i risultati del circuito e i risultati del laboratorio siano tra loro paragonabili, e che siano

compatibili gli scarti tipo di ripetibilità. Prima di utilizzare questo criterio verifichiamo se i risultati del nostro laboratorio sono coerenti con i risultati dei laboratori partecipanti al ring test, attraverso la relativa correlazione. Dalla correlazione, come puoi ben vedere, si evince un’ottima concordanza tra i dati, che assieme al fatto che i laboratori partecipanti sono stati in genere > 50 e tutti di chiara competenza, conferma l’applicabilità del metodo di calcolo dell’incertezza.

retta di correlazione laboratorio/laboratori y = 0,9231x + 15,113

R2 = 0,9938

0

500

1000

1500

0 500 1000 1500

valori di riferimento

va

lori

de

l

lab

ora

torio


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Il documento UNICHM24, ai fini del calcolo dell’incertezza mediante l’uso di parametri di precisione derivanti da circuiti interlaboratorio riporta quanto segue:

La formula da utilizzare è mskUrL/

22+= ! con 222

rRL!!! "= .

Le condizioni che permettono questo impiego sono le seguenti: a) il laboratorio ha partecipato alle prove con risultati non anomali; b) il laboratorio può dimostrare di aver ottenuto da n (intorno a 10) ripetizioni, eseguite con il metodo considerato nella prova interlaboratorio, risultati accettabili il cui scarto tipo è compatibile con quello di ripetibilità ricavato dalla prova interlaboratorio. Seguendo tale indirizzo, in primo luogo dobbiamo valutare per ogni risultato del circuito la compatibilità dello scarto tipo s ottenuto dal laboratorio con lo scarto tipo di ripetibilità del circuito e quindi calcolare l’incertezza. Per valutare se lo scarto tipo ottenuto dal laboratorio sia compatibile con quello del circuito ricorriamo alla distribuzione del χ2. Considerando i dati del primo circuito abbiamo per σR il valore di 9,59, per σr il valore di 5,644, mentre il valore dello scarto tipo s del laboratorio deve essere calcolato con la formula che abbiamo determinato precedentemente e che riporto

Sr = 0,2934x0,6023

sostituendo in tale formula x con 158 (tenore di cellule del circuito), si ha che Sr = 6,19.

Per la verifica di compatibilità tra gli scarti tipo, utilizziamo la formula ormai nota

11

2

1);2/1(

2

22

1;2/

!""

!

!=!!=

n

s

n

nn #$#$%

&

%

ricorrendo ad excel, con un livello di probabilità p = 95% e sapendo che per ogni livello sono state fatte dal laboratorio 10 prove per il calcolo della ripetibilità, si calcolano i due valori di χ2 con le formule INV.CHI(0,025;9) e INV.CHI(0,975;9) che danno rispettivamente per il χ2 i valori 2,70 e 19,02.

Sostituendo i valori calcolati nelle formule precedenti si ricava che 11,22,130,02

2

!=!"

s

Successivamente, per il calcolo dell’incertezza applichiamo la formula

mskUrL/

22+= ! con 222

rRL!!! "=

e sostituendo i valori del circuito otteniamo il risultato cercato dell’incertezza composta che per una prova in doppio risulta 17,8 e per una prova singola 19,8.

L È molto chiaro quello che dici, ma il lavoro diventa piuttosto lungo e noioso. M Hai perfettamente ragione, ma noi possiamo automatizzare il tutto con un semplicissimo foglio

excel, dove possiamo riportare tutti i nostri dati e inserire le formule già utilizzate. Ecco il foglio:

24 Software applicativo per l’elaborazione dei risultati analitici Convalida con il calcolo manuale (UNICHIM)


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media

circuito σr σR sr lab compatibilità

scarto tipo incertezza

1 prova incertezza 2 prove

χ2(0,975;9)

158 5,644 9,59 6,19 1,20 OK 19,84 17,81 2,70 686 15,938 34,285 14,99 0,88 OK 67,71 64,30 1102 24,596 58,537 19,94 0,66 OK 113,48 109,92 χ2

(0,975;9)/9 592 11,986 27,906 13,72 1,31 OK 57,38 54,01 0,30 m

ar-0

6

275 10,093 15,192 8,64 0,73 OK 28,54 25,79 116 5,62 11,46 5,14 0,84 OK 22,46 21,26 χ2

(0,025;9)

773 15,97 39,13 16,11 1,02 OK 78,37 74,99 19,02

mag

-06

340 9,81 19,45 9,82 1,00 OK 38,91 36,35 633 15,16 36,27 14,28 0,89 OK 71,82 68,92 χ2

(0,025;9)/9

1138 22,43 62,57 20,33 0,82 OK 123,70 120,31 2,11 748 17,78 35,62 15,79 0,79 OK 69,34 65,65 256 9,34 16,32 8,28 0,79 OK 31,47 29,21 lu

g-06

35 3,29 6,48 2,50 0,58 OK 12,23 11,71 259 10,54 16,26 8,34 0,63 OK 29,85 27,43 758 14,5 36,2 15,92 1,21 OK 73,58 70,05

set-0

6

311 8,97 15,64 9,31 1,08 OK 31,67 28,81 109 4,864 9,081 4,95 1,04 OK 18,25 16,86

nov- 06

330 11,411 18,657 9,65 0,71 OK 35,27 32,52 215,3 6,802 13,207 7,46 1,20 OK 27,11 24,98 119,1 6,891 15,453 5,22 0,57 OK 29,57 28,63

mar

-07

462,5 10,487 27,301 11,82 1,27 OK 55,68 53,11 264,9 7,921 13,386 8,45 1,14 OK 27,41 24,67 706,7 15,431 35,009 15,26 0,98 OK 69,87 66,45 31,1 3,378 4,784 2,33 0,47 OK 8,22 7,53 142,1 6,323 11,944 5,81 0,84 OK 23,36 21,87 m

ag-0

7

354,6 8,723 20,273 10,07 1,33 OK 41,78 39,28 130 5,64 10,44 5,50 0,95 OK 20,73 19,22 658 12,88 33,93 14,62 1,29 OK 69,25 66,10 461 8,95 20,09 11,80 1,74 OK 43,02 39,65 215 6,98 13,88 7,45 1,14 OK 28,25 26,21 lu

g-07

505 12,34 31,17 12,46 1,02 OK 62,44 59,90 L Come al solito vorrei avere una conferma di questo lavoro, per essere più sicuro. M Grazie per l’ormai nota fiducia nelle cose che ti dico; comunque ti ricordo che abbiamo sempre a

disposizione il solito ottimo software dell’UNICHIM16, che tra le altre cose consente di calcolare l’incertezza in vari modi tra cui utilizzando i risultati di circuiti interlaboratori.

E veniamo a noi, come puoi vedere dalla maschera seguente, per poter applicare il foglio di calcolo dell’UNICHIM è necessario conoscere 4 parametri fondamentali.

2

2

!

s


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Una volta inseriti i dati, si clicca sul tasto

E compare la richiesta “numerosità della media”. Imputando il numero di dati per i quali si vuole calcolare l’incertezza solitamente 1 o, per le prove in doppio 2, si ottiene l’incertezza richiesta. Al termine di queste semplici operazioni la maschera si presenta così:

L Bene questo software, mi piace sempre di

più, nonostante sia servito anche a confermare i tuoi calcoli.

M OK sono d’accordo sulla bontà del software

di cui non hai sperimentato che una piccola parte.


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incertezza estesa calcolata con

il software UNICHIM

Media laboratorio

Media riferimento sr SR sr lab

Prove singole

prove in doppio

164 158 5,644 9,59 6,19 19,843 17,807 750 686 15,938 34,285 14,99 67,709 64,305

1256 1102 24,596 58,537 19,94 113,478 109,917 649 592 11,986 27,906 13,72 57,383 54,005 m

ar-0

6

274 275 10,093 15,192 8,64 28,540 25,790 113 116 5,62 11,46 5,14 22,464 21,256 810 773 15,97 39,13 16,11 78,372 74,989

mag

-06

329 340 9,81 19,45 9,82 38,911 36,348 660 633 15,16 36,27 14,28 71,823 68,925

1211 1138 22,43 62,57 20,33 123,698 120,309 777 748 17,78 35,62 15,79 69,340 65,646 237 256 9,34 16,32 8,28 31,473 29,215 lu

g-06

35 35 3,29 6,48 2,50 12,231 11,711 275,5 259 10,54 16,26 8,34 29,853 27,426 754,5 758 14,5 36,2 15,92 73,582 70,054

set-0

6

315 311 8,97 15,64 9,31 31,672 28,807 103 109 4,864 9,081 4,95 18,255 16,859

nov- 06

364 330 11,411 18,657 9,65 35,266 32,521 223 215,3 6,802 13,207 7,46 27,114 24,978 152 119,1 6,891 15,453 5,22 29,568 28,631

mar

-07

463 462,5 10,487 27,301 11,82 55,681 53,113 262 264,9 7,921 13,386 8,45 27,412 24,670 737 706,7 15,431 35,009 15,26 69,868 66,451 36 31,1 3,378 4,784 2,33 8,218 7,531 135 142,1 6,323 11,944 5,81 23,358 21,867 m

ag-0

7

370 354,6 8,723 20,273 10,07 41,779 39,275 152 130 5,64 10,44 5,50 20,734 19,218 667 658 12,88 33,93 14,62 69,254 66,097 470 461 8,95 20,09 11,80 43,021 39,654 223 215 6,98 13,88 7,45 28,247 26,207 lu

g-07

483 505 12,34 31,17 12,46 62,438 59,899

L A questo punto, se permetti, continuo io.

Considerato quanto riportato al punto E.4.5.2. precedente della Guida Eurachem23, avendo determinato l’incertezza a vari livelli, bisogna:

riportare in grafico u(xi)2 in funzione di xi

2 mediante regressione lineare, ottenere stime di m e di c per la curva u(x)2 = mx2 + c calcolare s0 e s1 da s0 = √c, s1 = √m

Andiamo per ordine e costruiamo una matrice nelle cui prime tre colonne riportiamo i dati noti quali la media di riferimento, l’incertezza per la singola prova, l’incertezza per le prove in doppio e nelle colonne 4, 5 e 6 i quadrati di questi parametri. Facciamo un’interpolazione lineare mediante excel dei quadrati delle incertezze composte delle prove singole in funzione del quadrato delle medie relative e determiniamo l’equazione della retta. Se il coefficiente di


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correlazione r2 è prossimo ad 1, utilizzeremo l’equazione della retta per il calcolo dello scarto tipo, altrimenti, dovremo percorrere una delle altre strade consigliate dalla Guida Eurachem23. Successivamente faremo lo stesso percorso per le prove in doppio. Tenendo presente che abbiamo calcolato l’incertezza estesa, mentre noi abbiamo bisogno dell’incertezza composta, dovremo dividere i valori ottenuti precedentemente per 2. Ed ecco i risultati:

PROVE SINGOLE y = 0,0027x + 39,507

R2 = 0,9774

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 200000 400000 600000 800000 1000000 1200000 1400000

I coefficienti della curva u(x)2 = mx2 + c

sono: m= 0,0027e c = 39,507 da cui s0 = 6,28 e s1 = 0,052

E la formula per il calcolo dell’incertezza composta 2

1

2

0 )()( xssxu !+= diventa:

20027,0507,39)( xxu !+=

Med

ia L

abor

ator

io

ince

rtez

za e

stes

a

prov

a sin

gola

ince

rtez

za e

stes

a

prov

e in

dop

pio

med

ia 2

quad

rato

ince

rtez

za

com

post

a pr

ova

sing

ola

quad

rato

ince

rtez

za

com

post

a pr

ove

in d

oppi

o

164 20 18 24964 98 79 750 68 64 470596 1146 1034

1256 113 110 1214404 3219 3020 649 57 54 350464 823 729 274 29 26 75625 204 166 113 22 21 13456 126 113 810 78 75 597529 1536 1406 329 39 36 115600 379 330 660 72 69 400689 1290 1188

1211 124 120 1295044 3825 3619 777 69 66 559504 1202 1077 237 31 29 65536 248 213 35 12 12 1225 37 34

275,5 30 27 67081 223 188 754,5 74 70 574564 1354 1227 315 32 29 96721 251 207 103 18 17 11881 83 71 364 35 33 108900 311 264 223 27 25 46354 184 156 152 30 29 14185 219 205 463 56 53 213906 775 705 262 27 25 70172 188 152 737 70 66 499425 1220 1104 36 8 8 967 17 14 135 23 22 20192 136 120 370 42 39 125741 436 386 152 21 19 16900 107 92 667 69 66 432964 1199 1092 470 43 40 212521 463 393 223 28 26 46225 199 172 483 62 60 255025 975 897

PROVE IN DOPPIOy = 0,0025x + 15,896

R2 = 0,9728

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 200000 400000 600000 800000 1000000 1200000 1400000

I coefficienti della curva u(x)2 = mx2 + c sono: m= 0,0025 e c = 15,896

da cui s0 = 3,99 e s1 = 0,05 E la formula per il calcolo dell’incertezza composta

2

1

2

0 )()( xssxu !+= diventa: 20025,0896,15)( xxu !+=


Pag. 51 di 52

Dai risultati precedenti possiamo quindi concludere che l’incertezza estesa con un grado di copertura del 95% è data

per le prove singole da 20027,0507,392)( xxU !+!=

e per le prove in doppio da 20025,0896,152)( xxU !+!=

M Ottimo risultato, vedo che sei diventato un asso con excel!

La decisione finale di Luis

L Ti devo dire un’ultima cosa: avendo letto da qualche parte che l’unica cosa certa di una misura è la sua incertezza, ho maturato una certezza: parteciperò al prossimo corso sull’incertezza tenuta da un ente riconosciuto per competenza e professionalità!


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Michele Rapillo ingegnere chimico, ricercatore tecnologo ENEA, opera da oltre 20 anni nell’ambito della qualità e dell’accreditamento dei laboratori di prova. Già membro di comitati di certificazione di prestigiosi organismi di certificazione italiani (IIP, ICIM, CERSA, AGROQUALITÀ) e del comitato di accreditamento di FIDEA, attualmente è membro dei comitati di accreditamento di SINCERT (dal 1999) e di SINAL (dal 2001).

Il calcolo dell’incertezza è guardato da molti con sospetto, un sospetto che questo volumetto intende fugare proponendo un approccio al problema che coniuga un linguaggio chiaro ed accessibile a tutti con il rigore della trattazione. Lo svolgimento dell’argomento che utilizza formule di fogli di calcolo o software dedicati consente al lettore di comprendere le nozioni fondamentali ed anche l’applicazione pratica.

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