DALLA MECCANICA CLASSICA ALLA MECCANICA QUANTISTICA

PRIMA FASE:gli esperimenti che misero in crisi

la meccanica classica

LO SPETTRO DEL CORPO NERO

Si chiama corpo nero un oggetto capace di assorbire completamente onde elettromagnetiche di qualunque lunghezza d’onda.

Alla fine dell’Ottocento divenne centrale lo studio delle proprietà di emissione e di assorbimento di un corpo nero.

Un corpo nero emette radiazioni per irraggiamento. Lo spettro della radiazione emessa dipende solo dalla temperatura T e non dalla composizione chimica del corpo o dalle dimensioni del foro.

Animazione Java

Sperimentalmente si osserva come, fissata T, l’energia emessa sia distribuita tra le varie lunghezze d’onda.

Al crescere della temperatura T la lunghezza d’onda λmax a cui corrisponde il massimo della curva si sposta verso lunghezze d’onda minori seguendo una legge sperimentale

T

Km

3

max

1090,2

LEGGE DI SPOSTAMENTO DI WIEN

In base all’esperimento, per lunghezze d’onda inferiori a λmax l’intensità di irraggiamento scende rapidamente a zero.

In teoria (applicando al problema le equazioni di Maxwell) per lunghezze d’onda inferiori a λmax l’intensità di irraggiamento dovrebbe cresce indefinitamente.

Previsione classica

Curva sperimentale

La soluzione al problema arrivò nel 1900 ad opera di Max Planck.

Alla base della soluzione proposta dalla meccanica classica vi era l’assunzione che la radiazione elettromagnetica venisse scambiata dal corpo nero in modo continuo.  

Questi pacchetti di energia furono chiamati “quanti elettromagnetici” o, più semplicemente “quanti”.

Planck ipotizzò che la radiazione elettromagnetica fosse emessa o assorbita dagli atomi solo in pacchetti discreti di energia, di entità proporzionale alla frequenza dell'onda elettromagnetica.

Secondo Planck, l’energia E scambiata dal corpo nero è direttamente proporzionale alla frequenza f dell’onda elettromagnetica assorbita o emessa secondo la formula

E = n h f

dove n è un intero positivo ed h è la “costante di Planck”, il cui valore numerico attualmente accettato è

h = 6,62607 x 10 -34 J · s

La costante di Planck esprime il valore fisso e non frazionabile in cui l’energia di una radiazione è divisa. Ogni radiazione è caratterizzata dalla frequenza: maggiore è la frequenza (più corta è la lunghezza dell’onda) maggiore è l’energia racchiusa in un quanto.

L’energia cambia in quantità, ma per essere emessa viene racchiusa sempre nel medesimo quanto, della stessa dimensione.

L’EFFETTO FOTOELETTRICO

Nel 1887 Hertz osservò che colpendo una placca di zinco con delle radiazioni ultraviolette, il metallo si caricava elettricamente.

Se l’energia della radiazione elettromagnetica incidente supera la forza che tiene legati gli elettroni all’atomo, alcuni elettroni dello zinco vengono espulsi, generando così una carica elettrica . 

Il processo di estrazione di elettroni ottenuto illuminando un metallo è chiamato comunemente “effetto fotoelettrico”.

APPLICAZIONE: IL CANCELLO AUTOMATICO

Secondo la meccanica classica la radiazione incidente di qualsiasi frequenza avrebbe potuto possedere energia sufficiente per emettere elettroni dal metallo colpito.

Nel 1902, Philipp Lenard ideò un esperimento che contrastava la visione classica

catodo

anodo

Tubo a vuoto

Rad

iazi

one

mon

ocro

mat

ica

di

lung

hezz

a d’

onda

λ

+-

Pri

mo p

rob

lem

a

Secondo la meccanica classica aumentando l’intensità della radiazione incidente si deve rilevare una intensità di corrente maggiore indipendentemente dalla frequenza della radiazione monocromatica.

Si ha emissione di elettroni per effetto fotoelettrico in modo proporzionale all’intensità della radiazione incidente soltanto per frequenze maggiori di un valore minimo.

catodo

anodo

Tubo a vuoto

Rad

iazi

one

mon

ocro

mat

ica

di

lung

hezz

a d’

onda

λ

+- Seco

nd

o

pro

ble

ma

Secondo la meccanica classica in che modo può aumentare l’energia cinetica degli elettroni?

Aumentando l’intensità della radiazione luminosa.

catodo

anodo

Tubo a vuoto

Rad

iazi

one

mon

ocro

mat

ica

di

lung

hezz

a d’

onda

λ

+-

terz

o

pro

ble

ma

Aumentando la differenza di potenziale tra anodo e catodo.

Secondo la meccanica classica l’energia cinetica degli elettroni emessi aumenta in modo proporzionale all’intensità della radiazione monocromatica.

Si osserva che l’energia cinetica degli elettroni emessi aumenta in modo proporzionale alla lunghezza d’onda della radiazione monocromatica.

catodo

anodo

Tubo a vuoto

Rad

iazi

one

mon

ocro

mat

ica

di

lung

hezz

a d’

onda

λ

+-

terz

o

pro

ble

ma A

Secondo la meccanica classica aumentando la d.d.p. tra gli elettrodi la corrente dovrebbe aumentare indefinitamente.

Si osserva che esiste una corrente limite dipendente da λ

catodo

anodo

Tubo a vuoto

Rad

iazi

one

mon

ocro

mat

ica

di

lung

hezz

a d’

onda

λ

+-

Secondo la meccanica classica diminuendo la d.d.p. tra gli elettrodi la corrente dovrebbe diminuire fino ad annullarsi.

Si osserva che il valore nullo della corrente si raggiunge per una d.d.p. di arresto che dipende esclusivamente da λ

terz

o

pro

ble

ma B

Per il teorema di conservazione dell’energia:

totfinale

totiniziale EE

finalefinaleinizialeiniziale UKUK

))((0)0)((max VeJVeK

Assumendo come stato iniziale quello in cui la lastra irradiata ha il potenziale di 0V mentre l’altro elettrodo ha il potenziale

d’arresto -ΔVa, analizziamo il comportamento di un elettrone emesso con energia cinetica Kmax.

VeK max

LA SPIEGAZIONE DI EINSTEIN PER L’EFFETTO FOTOELETTRICO

Einstein estense il concetto di quanto formulato da Planck: non solo le variazioni di energia sono quantizzate, ma anche la radiazione elettromagnetica, in virtù del fatto di veicolare energia, esiste in qualità di quanti di energia.

Secondo tale ipotesi, la luce è composta da un flusso di quanti di energia, definiti successivamente  fotoni

Ogni fotone ha una massa nulla e trasporta un’energia E direttamente proporzionale alla sua frequenza f

Quindi nella radiazione elettromagnetica, l’energia è quantizzata.

Secondo la teoria della relatività, l’energia è legata alla quantità di moto dalla relazione:

E = h f

4222 cmpcE

cf

h

c

hf

c

Ep

Anche la quantità di moto è quantizzata.

L’effetto fotoelettrico si spiega ipotizzando che un singolo fotone può interagire solo con un singolo elettrone.

L’elettrone può uscire dal metallo solo se l’energia del fotone è almeno uguale al lavoro di estrazione.

Deve quindi esistere una frequenza minima al di sotto della quale l’effetto fotoelettrico non può avvenire: fmin = We / h

h

WfWhf e

e

L'apparente dipendenza del numero di elettroni emessi dall'intensità della radiazione incidente, deriva dal fatto che considerando semplicemente che  una maggiore intensità significa un maggior numero di fotoni e quindi di elettroni estratti.

Come spiegare l’energia cinetica massima degli elettroni emessi?

Analizziamo l’interazione elettrone/fotone.

Un elettrone emesso assorbe dal fotone l’energia E = hf ed esce dal metallo con energia cinetica Kmax.

eWhfK max

quindi l’energia cinetica massima dipende solo dalla frequenza e dal tipo di metallo, in accordo con gli esperimenti.

inoltre, poiché We= h fmin, possiamo ottenere la relazione:

)( minmax ffhK

Lo spettro dell’atomo di idrogeno.

Scomponendo con un prisma la luce emessa da un gas monoatomico ad alta temperatura o percorso da corrente si vede uno spettro a righe

Balmer determinò attraverso esperimenti la serie spettrale delle determinate frequenze

emesse dell’atomo di idrogeno nel visibile

mnZnm

nmcRf H

,

1122

Questo esperimento metteva in discussione il modello atomico planetario proposto da Rutherford !

Ogni carica accelerata emette energia. L’emissione continua di energia da parte dell’elettrone dovrebbe produrre uno spettro continuo.

ve

La perdita continua di energia dovrebbe fare avvicinare l’elettrone sempre più al nucleo collassando in un tempo di 10-7 s.

Il danese Niels Bohr intuì che era necessario applicare anche alla descrizione degli atomi le nuove idee della fisica dei quanti e perciò avanzò due ipotesi:

Un elettrone non può percorrere qualsiasi orbita intorno ad un nucleo, ma solo un insieme discreto di orbite, dette orbite stazionarie, ciascuna caratterizzata da un preciso livello energetico.

Percorrendo un’orbita stazionaria l’elettrone non emette energia ma può emettere saltando da un’orbita all’altra.

Bohr diede anche la condizione di quantizzazione che permette di stabilire quali orbite sono permesse.

Se l’n-sima orbita ha raggio rn e quantità di moto pn, le sole orbite permesse sono quelle per cui risulta:

nhpr nn 2p4

r 4

Imponendo l’equilibrio tra forza elettrica e forza centripeta, si ricava dapprima il valore di vn e sostituendo nella formula precedente il valore di rn.

Il valore dell’energia sull’orbita n è:222

0

4 1

8)(

nh

emnE e

2

202

em

hnr

en

Come avviene l’emissione di luce da parte degli atomi?

Bohr postulò che un fotone è emesso da un atomo quando un suo elettrone passa da un’orbita permessa di energia maggiore ad un’altra orbita permessa di energia minore.

Quando un elettrone salta da un’orbita n1 di energia maggiore ad una n2

di energia minore, la differenza di energia tra i due stati ammissibili è

)()( 21 nEnEE

Questa energia è liberata sottoforma di un fotone di frequenza

21

22

320

421 11

8

)()(

nnh

me

h

nEnE

h

Ef

22

11

nmcRf H

In pieno accordo con l’esperimento di Balmer!

SECONDA FASE:LA FORMALIZZAZIONE DELLA

MECCANICA QUANTISTICA

La luce ha una doppia natura: si presenta come onda o come particella a seconda delle condizioni sperimentali.

Questa è una proprietà intrinseca di tutte le radiazioni elettromagnetiche

Louis de Broglie ipotizzo che anche la materia deve avere una doppia natura corpuscolare e ondulatoria.

Ad ogni particella con quantità di moto p deve essere associata la lunghezza d’onda di de Broglie in modo tale che

p

h

Oggetti macroscopici hanno λ “piccola”.

Oggetti microscopici hanno λ “grande”.

La relazione di de Broglie:

E’compatibile con la meccanica classica(vedi diapositiva precedente)

Ingloba la relazione di Planck

Giustifica le ipotesi di Bohr

Ingloba la relazione di Planck: E = h f

Ricordiamo che la quantità di moto di un fotone è

c

Ep

Il valore della lunghezza d’onda di de Broglie sarà allora

E

ch

p

h da cui hf

chE

Giustifica le ipotesi di Bohr

Nel modello corpuscolare l’elettrone gira lungo un traiettoria circolare senza irraggiare

Nel modello ondulatorio l’elettrone è un’onda stazionaria

La lunghezza dell’orbita deve essere un multiplo intero della lunghezza d’onda dell’elettrone

nhprp

hnrnr nn

nnn 222

Il metodo sperimentale della fisica ha come primo passo l’osservazione di un fenomeno

Per osservare un fenomeno bisogna poterlo “vedere” cioè è necessario colpirlo con un raggio di luce!

Non è possibile conoscere con precisione DOVE un elettrone si trova senza impartirgli una quantità di moto non determinabile

Questo è il contenuto del principio di indeterminazione di Heisenberg nella sua prima forma

px

Dove Δx e Δp sono le indeterminazioni rispettivamente sulla posizione e sulla quantità di moto.

Non posso conoscere contemporaneamente in modo esatto la misura dell’energia di un sistema e la durata del tempo in cui questa misura viene effettuata.

La seconda forma del principio di indeterminazione di Heisenberg riguarda l’incertezza sul tempo e quella sull’energia:

Et

Funzione d’onda e dualismo onda corpuscoloInterpretazione di Copenaghen

Niels Bohr

P.A.M. Dirac

W. Heisenberg

E. Schrödinger

Principi fondamentali1 2

Le affermazioni probabilistiche della meccanica quantistica sono irriducibili, nel senso che non riflettono la nostra conoscenza limitata di qualche variabile nascosta. Nella fisica classica, si ricorre alla probabilità anche se il processo è deterministico (per esempio il lancio di un dado), in modo da sopperire a una nostra conoscenza incompleta dei dati iniziali. Per contro, l'interpretazione di Copenaghen sostiene che in meccanica quantistica i risultati delle misurazioni di variabili coniugate sono fondamentalmente non deterministici, ossia che anche conoscendo tutti i dati iniziali è impossibile prevedere il risultato di un singolo esperimento, poiché l'esperimento stesso influenza il risultato.

Sono prive di senso domande come: «Dov'era la particella prima che ne misurassi la posizione?», in quanto la meccanica quantistica studia esclusivamente quantità osservabili, ottenibili mediante processi di misurazione. L'atto della misurazione causa il «collasso della funzione d'onda», nel senso che quest'ultima è costretta dal processo di misurazione ad assumere i valori di uno a caso dei possibili stati permessi.

Cosa vibra in un «onda di materia»E’ qualcosa che non ha un

analogo classico

Viene chiamata funzione d’onda ed è la soluzione dell’equazione di Schrödinger

Dipende dalle coordinate e dal tempo ψ(x,y,z,t)

E’ proporzionale alla densità di probabilità La probabilità di osservare la particella è

proporzionale al |ψ|²

Interpretazione del principio di HeisenbergSe non sappiamo nulla

della posizione della particella, possiamo ipotizzare la sua ψ come uniformemente distribuita nello spazio. Pertanto avrà una ben precisa lunghezza d’onda e, per la relazione di De Broglie, una precisa quantità di moto!

Se conosciamo con esattezza la posizione, invece, la sua lunghezza d’onda sarà mal definita, per cui la particella avrà una grande incertezza sull’impulso

«Coloro che non restano sconcertati quandovengono in contatto per la prima voltacon la teoria quantistica sicuramente non l’hanno capita»

Niels Bohr