Giannini TdC

UNIVERSITÁ DEGLI STUDI DI ROMA TRELaboratorio di Costruzioni dell’Architettura 2

APPUNTI DI TECNICA DELLECOSTRUZIONI

a.a. 1999/2000

Indice

1 Introduzione 11.1 Progetto e veri…ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Classi…cazione delle azioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Modellazione delle azioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Prestazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 I materiali e la struttura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Trattamento delle incertezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 I materiali delle costruzioni in cemento armato 92.1 Le costruzioni in cemento armato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Il calcestruzzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1 Composizione del calcestruzzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.2 Fattori che in‡uenzano le caratteristiche meccaniche del calcestruzzo 122.2.3 Caratteristiche meccaniche del calcestruzzo . . . . . . . . . . . . . . 142.2.4 Comportamento del calcestruzzo con…nato . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.5 Deformazioni lente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 L’acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4 L’aderenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5 Classi…cazione dei materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5.1 Frattili e valori caratteristici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5.2 Controllo di accettazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5.3 Classi…cazione degli acciai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5.4 Valori di progetto, diagrammi di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Elementi sollecitati da tensioni normali. La ‡essione 373.1 Ipotesi di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2 Calcolo elastico. Il metodo delle tensioni ammissibili . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.1 La sezione omogenizzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.2 La ‡essione retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.3 Flessione deviata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2.4 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3 Calcolo allo stato limite ultimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.3.1 Sezione rettangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3.2 Sezioni a T ed I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.3.3 Flessione retta di sezioni di forma qualsiasi . . . . . . . . . . . . . . 703.3.4 Flessione deviata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.3.5 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

I

II INDICE

4 Sforzo normale e ‡essione 774.1 Sforzo normale centrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.1.1 Calcolo elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.1.2 Calcolo allo stato limite ultimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.1.3 Pilastri cerchiati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.1.4 Trazione semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.2 Sforzo normale eccentrico. Calcolo elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.2.1 Pressione eccentrica, piccola eccentricità . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2.2 Grande eccentricità. Presso‡essione retta . . . . . . . . . . . . . . . 844.2.3 Trazione eccentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.2.4 Sezioni di forma arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.2.5 Presso‡essione deviata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.3 Sforzo normale eccentrico. Calcolo allo stato limite ultimo . . . . . . . . . . 954.3.1 Sezione rettangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.3.2 Veri…ca della sezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.3.3 Sezioni di forma generica. Presso‡essione deviata . . . . . . . . . . . 108

4.4 Pilastri snelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.4.1 Il metodo “esatto” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.4.2 Il metodo della colonna modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.4.3 Il metodo del momento ampli…cato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.4.4 Momento variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.4.5 In‡uenza dei vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5 Elementi sollecitati da tensioni tangenziali: il taglio 1235.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.2 Il comportamento delle travi sollecitate a taglio . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.3 Il comportamento delle travi prive di armatura di taglio . . . . . . . . . . . 1275.4 Travi con armatura a taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.4.1 Determinazione delle sollecitazioni nell’armatura di taglio . . . . . . 1305.5 Interazione tra ‡essione e taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.6 Progetto secondo le normative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.6.1 Metodo delle tensioni ammissibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.6.2 Calcolo allo stato limite ultimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.6.3 Armatura longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.6.4 Quantitativi minimi di armatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6 Elementi sollecitati da tensioni tangenziali: la torsione 1436.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.2 Comportamento in fase elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.3 La torsione nelle travi fessurate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.4 Veri…che secondo le norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.4.1 Norme italiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.4.2 Norme europee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.4.3 Combinazione con ‡essione e taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.4.4 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

INDICE III

7 Stati limite di esercizio 1577.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1577.2 La fessurazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

7.2.1 Il meccanismo di formazione delle fessure . . . . . . . . . . . . . . . 1587.2.2 Veri…ca secondo le norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.3 Stato limite di compressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1657.4 Stato limite di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

7.4.1 Calcolo analitico delle deformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

IV INDICE

Capitolo 1

Introduzione

1.1 Progetto e veri…ca

La progettazione delle strutture, come ogni altra attività progettuale, è un’operazione ditipo sintetico in cui intervengono, in modo di¢cilmente sistematizzabile, fantasia, intui-zione, esperienza; così probabilmente il modo migliore per apprendere l’arte del progettareè il farlo, imparando a risolvere i problemi via via che questi si presentano. Il prodottodella progettazione però deve sottostare al vaglio della veri…ca che, al contrario, è unaprocedura di tipo analitico e pertanto può essere molto più facilmente sistematizzata eregolamentata. Queste considerazioni sono valide per ogni genere di progetto; nel caso delprogetto strutturale inoltre la veri…ca è spesso di tipo quantitativo e richiede l’impiego dialgoritmi numerici. Nel seguito di questi appunti saranno illustrate alcune tra le moltepliciprocedure richieste per la veri…ca delle strutture civili; un particolare rilievo sarà dato allestrutture in cemento armato, poiché questa tecnica costruttiva è la più di¤usa, ma sarannotrattate, seppure più brevemente, anche le strutture in acciaio ed in muratura.

Immaginando di dover veri…care una struttura già progettata, si pone il problema dide…nire a quali requisiti la struttura deve soddisfare, in modo da poter poi concludere seessa li soddisfa o no. Un primo problema che si incontra nella de…nizione delle prestazionirichieste alla struttura è di de…nire cosa essa sia, cioè quali parti di un edi…cio debbanoconsiderarsi strutturali e quali no. Negli edi…ci in muratura, ad esempio, i muri svolgo-no sia compiti strutturali sia compiti funzionali; nei moderni edi…ci a telaio (in cementoarmato od in acciaio) vi è una più chiara separazione dei compiti e la struttura vieneindividuata nella gabbia di travi e pilastri, mentre tutti gli altri elementi sono consideratisovrastrutturali. Però in certi casi (per e¤etto delle azioni sismiche, ad esempio) le tampo-nature, normalmente considerate elementi non strutturali, interagiscono con la strutturamodi…candone il comportamento in modo sostanziale. Inoltre per gli edi…ci con setti por-tanti si possono fare le stesse considerazioni svolte per le strutture in muratura. Poiché lenostre analisi vengono svolte con riferimento a modelli che rappresentano in modo più omeno sempli…cato la realtà, è evidentemente preliminare stabilire cosa si deve considerarestruttura, e quindi inserire nel modello, e cosa invece deve restarne fuori.

Individuata la struttura si devono stabilire le prestazioni che da essa si pretendono. Peruna struttura la prestazione fondamentale sta nel sopportare, senza danni per se e per lecose sostenute, le azioni determinate dall’ambiente esterno. Pertanto per poter procedereoltre occorre classi…care e quanti…care le azioni che prevedibilmente agiranno sulla strut-tura nell’arco della sua vita utile. Questo tra l’altro pone un problema preliminare: qualeè la durata della vita utile delle costruzioni civilià Le opere del passato hanno superato,

1

2 Capitolo 1 Introduzione

spesso indenni e senza speciali manutenzioni, molti secoli, ma le tecnologie costruttive at-tuali (cemento armato, acciaio) non sembrano garantire, a meno di importanti e frequntimanutenzioni, una analoga durabilità; in alcuni paesi, meno abituati di noi a conservareil passato, si …ssa convenzionalmente il periodo di rinnovo degli edi…ci in cinquanta anni.Questa durata è probabilmente troppo breve per l’Italia, dove, almeno negli ultimi decen-ni, una politica di demolizioni e ricostruzioni non è mai stata adottata; attualmente nonsi ha un riferimento certo su come …ssare questo dato; la durata di un secolo potrebbeessere una scelta convenzionale ragionevole per un paese conservatore come il nostro, maè una scelta sicuramente opinabile.

1.2 Classi…cazione delle azioni

Le azioni che si prevede potranno agire su di una costruzione possono essere classi…cateda diversi punti di vista. Prima di tutto secondo la loro natura, potremo distinguere tra:

1. Azioni che si manifestano come forze agenti sulla struttura: la più importante è ilpeso, e¤etto della forza di gravità della Terra; la maggior parte delle strutture civilisono progettate per sopportare il loro peso e quello degli oggetti sostenuti. Un’altraazione che si manifesta mediante forze è la pressione esercitata dal vento.

2. Azioni che si esplicano imprimendo un moto alla struttura; esempi sono i cedimentidelle fondazioni1 e, particolarmente importanti, le azioni sismiche.

3. Azioni di tipo termico, comprendono le variazioni di temperatura dovute ai ciclidiurni e stagionali e l’azione di eventi accidentali, quali il fuoco. Nel primo caso glie¤etti sono di tipo indiretto, legati alla variazione di volume dei materiali indottadalla variazione di temperatura, nel secondo si hanno importanti fenomeni di degradodelle resistenze dei materiali che riducono gravemente la prestazione della struttura.

4. Azioni di tipo chimico, quali la corrosione dei metalli, la carbonatazione delle pietree delle malte, anch’esse possono ridurre notevolmente la resistenza delle strutture odi loro parti.

Un altro criterio di classi…cazione riguarda il modo con cui la struttura reagisce al-l’azione; con riferimento alle azioni di tipo meccanico ed in particolare a quelle che siesplicano come forze o spostamenti impressi, si è soliti distinguere tra:

1. Azioni statiche, cioè che variano nel tempo così lentamente da indurre nella strutturaaccelerazioni trascurabili; l’applicazione dei pesi normalmente può essere considerataun’azione di questo genere.

2. Azioni dinamiche, per le quali gli e¤etti delle accelerazioni non sono trascurabili;appartengono a questa categoria l’azione sismica, la forza del vento (per la compo-nente turbolenta), gli e¤etti di macchinari contenenti parti mobili di un impiantoindustriale, gli e¤etti del moto dei veicoli su di un ponte, ecc.

1Se il terreno sottostante la costruzione viene inglobato nel modello e considerato parte della “struttura”il cedimento è una deformazione interna al sistema, prodotta dalle forze esterne; ma se l’interazione terreno–struttura è trascurata e la fondazione è vista come esterna al modello i cedimenti devono essere classi…caticome azioni esterne.

1.2 Classi…cazione delle azioni 3

Inoltre le azioni posso no essere classi…cate in base alla loro evoluzione nel tempo edistribuzione nello spazio; si può quindi distinguere tra:

1. Azioni permanenti, costituite da quelle azioni che sono presenti e costanti durantetutta la vita (od una parte rilevante di essa) della struttura. Il peso proprio ed isovraccarichi …ssi: pavimentazioni, muri divisori, impianti …ssi, sono esempi delleazioni di questo tipo.

2. Azioni variabili, sono azioni che variano nel tempo e che quindi possono anche es-sere assenti, ma il tempo in cui sono presenti costituisce una parte signi…cativa deltotale. Queste azioni sono spesso modellate come processi di rinnovo: l’azione rima-ne costante per un certo tempo, poi cambia improvvisamente valore; tali processisono caratterizzati dalla frequenza media di rinnovo (numero dei rinnovi nell’unitàdi tempo), per cui si distinguono in genere due categorie di azioni:

(a) Azioni quasi permanenti, la cui frequenza di rinnovo è piccola e pertanto siprevedono pochi rinnovi nell’arco della vita utile dell’opera (i carichi degli arrediin un edi…cio di abitazione o per u¢ci)

(b) Azioni che variano con frequenza, come i sovraccarichi dovuti al peso dellepersone in un edi…cio o al peso delle auto su di un ponte

3. Azioni accidentali. Sono azioni raramente presenti (spesso assenti in tutta la vitadell’opera) ma il cui veri…carsi può avere conseguenze gravi per la sicurezza dellastruttura. Esempi tipici sono l’azione sismica, gli scoppi, gli urti di veicoli pesanti,la caduta di aerei, gli incendi.

1.2.1 Modellazione delle azioni

La veri…ca di una struttura richiede che si possa prevedere a quali sollecitazioni saràsottoposta nel periodo di funzionamento; questo, salvo rari casi, non può essere notodeterministicamente, poiché ogni previsione su eventi futuri è a¤etta da un margine, piùo meno grande, di incertezza. Le azioni debbono, almeno in linea di principio, esseremodellate come grandezze aleatorie.

Le grandezze che non variano nel tempo, come il peso proprio della struttura, possonopertanto essere descritte come variabili aleatorie, caratterizzate dalla loro distribuzionedi probabilità o almeno dal valore medio e dalla deviazione standard. La descrizionedelle grandezze che variano nel tempo è molto più complessa, perché richiede l’impiegodi processi stocastici. Spesso per descrivere l’evoluzione dei carichi variabili si impieganomodelli ad onda quadra: a degli istanti selezionati a caso il valore del carico cambia inmodo indipendente dal valore precedente, in accordo con una …ssata distribuzione, e rimanecostante tra due successivi istanti. Il processo è caratterizzato, oltre che dalla distribuzionedel carico, dalla frquenza media di rinnovo che controlla quanto di frequente il carico varia.Un altro schema, più complicato ed utile per descrivere fenomeni soggetti ad accumulo,come la neve, impiega i processi di rinnovo (in inglese ”renewal”), caratterizzati anchequesti dalla frequenza di arrivi, dalla legge di distribuzione e dalla legge di variazione neltempo delle intensità.

Le azioni accidentali spesso vengono descritte come processi di Poisson composti, ca-ratterizzati anch’essi dalla frequenza degli eventi e da una legge di intensità. Spesso peròla descrizione del fenomeno richiede ulteriori informazioni; per esempio nel caso di un


Tempo

Inte

nsità

del

car

ico

Tempo Tempo

(a) (b) (c)

Figura~1.1: Rappresentazione dei processi dei carichi variabili, (a) rapidamente, (b)lentamente, (c) accidentali

evento sismico, oltre all’accadimento ed alla intensità occorre descrivere dettagliatamentel’azione sismica, ad esempio attraverso una storia temporale delle accelerazioni del motodel terreno, la cui previsione è, ovviamente, altrettanto incerta.

Una rappresentazione schematica dei processi rappresentativi delle azioni variabili edaccidentali è mostrata nella Figura 1.1

1.3 Prestazioni

Si possono individuare diverse esigenze prestazionali di una struttura; le soglie che, spessoconvenzionalmente, separano gli stati in cui le prestazioni sono garantite da quelli in cuinon lo sono, vengono chiamati stati limite; questi stati limite, ordinati gerarchicamente,vengono usualmente raggruppati in due categorie: gli stati limite di esercizio e gli statilimite ultimi. Il superamento di uno stato limite di esercizio porta ad una riduzione dellafunzionalità dell’opera ma di solito non ne compromette, almeno direttamente, la resisten-za; viceversa se si supera la soglia di uno stato limite ultimo non è più possibile garantirela capacità della struttura (o di una sua parte) di svolgere la sua funzione principale, cheè quella di sostenere i carichi.

In Figura 1.2 le condizioni di stato limite sono rappresentate come super…ci nello spaziodelle azioni, cioè in uno spazio in cui un punto rappresenta uno stato di sollecitazionedella struttura. La super…cie rappresentativa dello stato limite di esercizio è interamentecontenuta nel dominio racchiuso nella super…cie di stato limite ultimo, come è ragionevoleattendersi. Se il punto rappresentatitivo delle azioni è interno al dominio racchiuso dallasuper…cie il corrispondente stato limite è soddisfatto; risulta invece violato quando il puntoattraversa la super…cie uscendo dal dominio. Nella Fig. 1.2 è mostrato come l’azione varianel tempo, restando all’interno del dominio di esercizio …no ad un istante in cui la sogliadi stato limite viene una prima volta superata; successivamente viene superata anche lasuper…cie di stato limite ultimo. Nel disegno le super…ci di stato limite sono rappresentate…sse e deterministicamente note, ma in realtà anche le loro forma e dimensione sono incerteper i motivi che si diranno più avanti.

Poiché è prevedibile che il dominio di esercizio è contenuto in quello ultimo viene dachiedersi perché non sia su¢ciente veri…care che solo il più stringente degli stati limitesia soddisfatto, ma, al contrario, se ne debbano controllare più di uno. Il motivo è che,a causa dell’aleatorietà delle azioni (e delle resistenze), gli stati limite possono esseresoddisfatti solo in senso probabilistico, controllando che la probabilità di superamento

1.4 I materiali e la struttura 5

Figura~1.2: Rappresentazione schematica delle azioni e delle super…ci di stato limite

dello stato limite sia inferiore ad una soglia …ssata; il livello di questa soglia è il grado diprotezione che la collettività, attraverso le norme, vuole ottenere nei confronti di un eventoindesiderato. È ovvio che nei confronti di eventi le cui conseguenze sono meno gravi siadotteranno livelli di sicurezza inferiori, cioè si accetteranno probabilità maggiori che lostato limite sia superato. Quindi la veri…ca degli stati limite di esercizio non garantiscenei confronti di quelli ultimi, perché per i primi si accetta un rischio maggiore che per isecondi e non è prevedibile a priori quale dei due risulterà maggiormente vincolante per ilprogetto.

1.4 I materiali e la struttura

Il comportamento di una struttura, ed in particolare la sua resistenza, è prima di tut-to condizionato dalle caratteristiche dei materiali con cui essa è realizzata. La naturadei materiali impiegati condiziona in modo determinante le tipologie strutturali e spessoanche quelle architettoniche; nell’ambito di una tipologia le caratteristiche dei materialiin‡uiscono sensibilmente la resistenza della struttura, quindi le incertezze sulle proprietàdei materiali si ri‡ettono ovviamente su quelle dell’intera struttura.

Le incertezze sulle proprietà meccaniche dei materiali dipendono da molti fattori; sesi eseguono delle misure di resistenza di campioni di uno stesso materiale, ad esempiola resistenza delle barre di acciaio provenienti da uno stesso lotto, si ottengono risultatidiversi per ogni campione; la dispersione dei risultati può essere piccola, come accade perl’acciaio, o molto più grande, come nel caso dei materiali lapidei naturali od arti…ciali(p.es. calcestruzzo), ma è tuttavia sempre presente.

La dispersione dei dati relativi all’acciaio può essere misurata direttamente e ridottaaumentando i controlli; per il calcestruzzo questo è impossibile poiché al momento del pro-getto il materiale ancora non esiste e le sue proprietà non possono essere misurate; pertanto


Modello delle azioni

Modello delle azioni

Modello dei

materiali

Modello dei

materiali

Modello dicomportamento

Modello dicomportamento

Interpretazione dei

risultati

Interpretazione dei

risultati

Figura~1.3: Schema a blocchi del processo di previsione del comportamento di unastruttura

la resistenza del calcestruzzo, oltre che dispersa, è incerta, cioè il suo valore non può esserea priori misurato, ma deve essere previsto sulla base di conoscenze indirette e soggettive,per esempio sull’a¢dabilità del processo di produzione; i controlli saranno possibili soloa posteriori su campioni prelevati dai getti, peraltro non del tutto identici al materialeimpiegato nella struttura, a causa delle di¤erenze nelle condizioni di maturazione.

Le aleatorietà relative al comportamento della struttura non dipendono però solo dal-le dispersioni e dalle incertezze circa il comportamento dei materiali, anzi in certi casiqueste non sono la maggior fonte di indeterminazione; un’ulteriore causa di incertezza ècostituita dall’imprecisione del modello utilizzato per descrivere il comportamento dellastruttura. Questi modelli possono essere grossolani o ra¢nati, ma in ogni caso sono in gra-do di cogliere solo in modo approssimato l’e¤ettivo comportamento della struttura reale,pertanto i risultati delle analisi sono sempre a¤etti da errori la cui entità può solo esserequanti…cata in modo probabilistico. La de…nizione dello stato limite, sia di esercizio sia dicollasso, è poi sempre convenzionale in quanto o non esiste una soglia rigida che separa ilbuon funzionamento da quello cattivo o non è realmente possibile individuare attraversol’analisi un fenomeno complesso ed incerto come il collasso (di cosa: dell’intera struttura?di una parte? di un elemento?).

Nella Figura 1.3 sono rappresentate schematicamente le principali fasi del processo dimodellazione richiesto per la previsione delle prestazioni di una struttura, già descritte inprecedenza; ciscuna richiede la formulazione di un medello, più o meno accurato, idoneo adescrivere il fenomeno …sico corrispondente. Oltre alle incertezze e le dispersioni proprieal fenomeno in questa fase si introducono errori, a causa dell’imprecisione dei modelli, equindi ulteriore incertezza; ad esempio l’ipotesi che gli eventi sismici si presentano a caso,

1.5 Trattamento delle incertezze 7

secondo un modello poissoniano, è di solito approssimata e non corrisponde esattamentealla realtà, così come la legge di Gutemberg-Richter di distribuzione delle intensità. In…nei parametri del modello sono spesso determinati in modo approssimato, sulla base di datiinsu¢cienti od inesatti.

In…ne si deve ricordare un’altra causa che può produrre uno scarto anche molto grandetra le previsioni del modello ed il comportamento reale della struttura: l’errore grossolano.Errori di questo tipo si possono veri…care in tutte le fasi del processo di progettazione (p.es.utilizzo di un modello completamente erroneo del comportamento strutturale, un erroredi calcolo che modi…ca di un ordine di grandezza il valore di un parametro importante,errori nella rappresentazione dei disegni esecutivi) o nella fase di esecuzione dell’opera.Questi errori sono particolarmente pericolosi poiché possono dar luogo a scarti moltograndi tra previsione e realtà; mentre per le cause di aleatorietà descritte prima si puòritenere che la probabilità dello scarto diminuisca rapidamente al crescere del valore, perl’errore grossolano c’è da attendersi che la distribuzione di questo scarto sia praticamenteuniforme. Nei confronti di errori di questo tipo non ci si può cautelare aumentando imargini tra situazione attesa e quella critica, perché è sempre possibile il veri…carsi diuno scarto così grande da superare ogni ragionevole margine di sicurezza; il solo modorazionale di agire consiste nel ridurre la probabilità che gli errori grossolani si veri…chino,aumentando i controlli sia in fase di progettazione sia in quella di esecuzione.

1.5 Trattamento delle incertezze

Per tutti i motivi indicati in precedenza appare evidente come tutte o quasi le grandezzeche intervengono nei modelli di previsione delle prestazioni delle strutture, azioni, caratte-ristiche dei materiali, modelli di comportamento, soglie di stato limite, non possano essereprecisate deterministicamente, ma richiedano quindi una trattazione probabilistica. Larisposta, positiva o negativa, circa l’adeguatezza della struttura a svolgere e¢cacementele proprie funzioni, dipende dal livello di probabilità accettato che la struttura fallisca.Questo livello di probabilità, diverso in funzione della gravità delle conseguenze del supe-ramento dello stato limite, sebbene mai espressamente indicato, è implicito nelle normativeche, in forma di leggi o di raccomandazioni, sono emanate da varie autorità nei diversipaesi.

In realtà lo scenario delineato nel precedente capoverso è un’astrazione. Una trattazio-ne completamente probabilistica di tutte le grandezze che in‡uenzano il comportamentostrutturale è impossibile, per l’eccessiva complicazione, da applicare a casi reali. Lo sche-ma sopra delineato rappresenta quindi una traccia concettuale da cui si derivano delleprocedure di tipo deterministico molto più semplici. I modelli probabilistici, per esempiodelle azioni, vengono impiegati per calibrare e giusti…care razionalmente, con riferimentoa situazioni semplici, le procedure approssimate utilizzate poi nella pratica. Quindi, inrealtà, i codici non sono in grado di garantire un’a¢dabilità (intesa come probabilità dinon superamento di una data soglia) uniforme a diverse strutture. In condizioni diverse,per azioni, tipologie ed altro, si ottengono strutture che verosimilmente hanno a¢dabilitàdiverse; il …ne degli estensori delle norme è che questa dispersione non sia troppo grandee che comunque si raggiunga una sicurezza minima garantita (ma non precisamente quan-ti…cata). Si deve anche ricordare che non tutti i processi che in‡uenzano la sicurezza sonocontrollati dalle norme, pertanto anche in condizioni di massima uniformità vi sarannodi¤erenze dovute a fattori esterni, p.es. l’accuratezza dell’esecuzione.

I procedimenti deterministici indicati nei codici di veri…ca si basano su due concetti:


valori nominali e coe¢cienti di sicurezza. Le grandezze aleatorie, che dovrebbero esseredescritte mediante una funzione di distribuzione, vengono invece quanti…cate mediante unsolo valore deterministico (nominale) che normalmente è de…nito come un valore frattiledella distribuzione2, solitamente del 5% inferiore per le resistenze e superiore per le azioni.Questi valori nominali sono poi ulteriormente ridotti od ampli…cati mediante l’uso dicoe¢cienti di sicurezza, che dipendono dal tipo di stato limite; nel caso di grandezzevariabili nel tempo, come i carichi, si introducono inoltre dei coe¢cienti di combinazione,che tengono conto della probabilità che le diverse azioni siano simultaneamente presenti.

In sostanza i valori nominali delle azioni, che per de…nizione hanno già scarsa proba-bilità di veri…carsi, vegono ampli…cati (se agiscono in verso sfavorevole alla sicurezza) oridotti, quando agiscono nel verso favorevole, in modo da determinare una situazione piùo meno rara, secondo il tipo di stato limite esaminato. Le sollecitazioni indotte da questeazioni sono quindi confrontate con le resistenze, funzioni dei dati geometrici della strutturae delle resistenze dei materiali, i cui valori nominali sono già raramente superati verso ilbasso e quindi ulteriormente ridotti mediante i coe¢cienti di sicurezza. Schematicamen-te, indicando con S(¢) la funzione che determina una qualche signi…cativa sollecitazionestrutturale (p.es. il momento massimo in una trave), dipendente principalmente dai valoridelle azioni, e con R(¢) la funzione che esprime la corrispondente resistenza, dipendentedalle resistenze dei materiali, la veri…ca del …ssato stato limite si intende soddisfatta se:

S

24°gGk + °q

0@Qik +

X

j 6=iÃijQjk

1A

35 · R

µf1k°1

;f2k°2

; ¢ ¢ ¢¶

In cui

°g; °q coe¢cienti di sicurezza dei carichi (permanenti e variabili)

Ãij coe¢cienti di combinazione dei carichi variabili

Gk; Qik valori nominali (caratteristici) dei carichi permanenti e variabili (o accidentali)

°1; °2; : : : coe¢cienti di sicurezza delle resistenze

f1k; f2k; : : : valori nominali delle resistenze dei materiali

2 Il valore frattile di una variabile aleatoria per una assegnata probabilità, è quel valore cui corrispondela probabilità data che esso sia (inferiore) o non sia (superiore) superato.

Capitolo 2

I materiali delle costruzioni incemento armato

2.1 Le costruzioni in cemento armato

Con l’introduzione, alla …ne del xix secolo, del ferro nella realizzazione delle strutture,la tecnologia delle costruzioni, …no ad allora basata sulla muratura, subì una profondarivoluzione. Questa nuova tecnologia cambiò non solo le metodologie costruttive, main‡uì anche sullo sviluppo delle scienze applicate alle costruzioni.

Per le costruzioni murarie, caratterizzate da un materiale dotato di scarsa resistenza atrazione, il problema che più spesso si pone è quello di realizzare delle con…gurazioni equi-librate, piuttosto che degli elementi su¢cientemente resistenti, come è confermato dallamaggior parte dei contributi teorici del secolo precedente. Al contrario le costruzioni inferro (e quelle in cemento armato, che nasceranno successivamente) di solito non presen-tano problemi di equilibrio, garantito da vincoli spesso sovrabbondanti, ma presentanoproblemi di resistenza in quanto, essendo ora questa a¢data a parti distinte da quellefunzionali, gli elementi resistenti devono essere dimensionati unicamente in vista della lorofunzione.

Questi fatti, e la semplicità dei legami costitutivi dei materiali ferrosi, diedero impulsoallo sviluppo della meccanica dei solidi, in particolare alla teoria dell’elasticità e, più tardi,a quella della plasticità.

Il costo elevato e la necessità di utilizzare tecniche esecutive più complesse, fecero siche l’impiego del ferro (acciaio) nelle costruzioni civili rimase limitato alle opere di mag-giore impegno (ponti, coperture di grande luce, edi…ci alti, ecc : : : ), mentre nell’ediliziacomune la muratura restò, …no all’introduzione del cemento armato, la tecnica costruttivaprevalente.

Con il di¤ondersi del cemento armato la muratura è stata soppiantata anche negliimpieghi dell’edilizia minuta. Negli anni il campo di applicazione del cemento armato siè andato allargando sia a scapito dell’acciaio nelle opere importanti, sia a scapito dellamuratura, in quelle più comuni. In e¤etti il cemento armato riunisce, almeno in parte,i pregi della muratura e del ferro: della prima ha il basso costo, la semplicità esecutiva,una scarsa sensibilità ad alcuni agenti esterni (corrosione, fuoco), del secondo, sia purein misura più limitata, ha la resistenza elevata e, soprattutto, la capacità di resistere allesollecitazioni di trazione, ciò che consente di realizzare quegli elementi, quali travi, sbalzi,ecc : : : , impossibili in muratura.

9

10 Capitolo 2 I materiali delle costruzioni in cemento armato

Il cemento armato si realizza unendo due materiali diversi: il calcestruzzo e l’acciaio.L’acciaio viene impiegato in percentuale (di solito) modesta sotto forma di barre di sezionepiù o meno circolare di diametro relativamente piccolo (· 30 mm), poste principalmentenelle zone che si prevede saranno soggette a trazione, seguendo approssimativamente l’an-damento delle linee isostatiche. Il calcestruzzo è un materiale arti…ciale di tipo lapideo chesi ottiene mescolando in dosi opportune degli inerti naturali (sabbia, ghiaia o pietrisco)1

con acqua e cemento, che ha la funzione di legante dell’impasto.Il termine cemento armato, usato in Italia, è impreciso in quanto il cemento ha solo

la funzione di legante, mentre l’impasto viene detto conglomerato o calcestruzzo. Sarebbepiù corretto usare il termine “calcestruzzo armato”, come nella maggior parte delle linguestraniere (reinforced concrete, bèton armè, hormigon armado), ma la dizione cementoarmato è ormai parte della lingua u¢ciale.

2.2 Il calcestruzzo

Come accennato le strutture in cemento armato (c.a.) sono realizzate in calcestruzzoopportunamente rinforzato da un’armatura di acciaio, generalmente in barre. Il materialequantitativamente dominante è quindi il calcestruzzo, materiale arti…ciale che si ottieneimpastando degli inerti naturali con un legante, il cemento, le cui reazioni chimiche sonorese possibili dalla presenza di acqua.

2.2.1 Composizione del calcestruzzo

I componenti di un calcestruzzo sono: gli inerti, il cemento e l’acqua. Gli inerti formanolo “scheletro” lapideo del calcestruzzo, tenuto insieme dal cemento. L’acqua serve sia arendere possibili le reazioni chimiche della presa del cemento, sia a conferire all’impastola ‡uidità necessaria a consentirne la lavorabilità.

Il cemento

Il cemento (di tipo Portland) si ottiene cuocendo ad alta temperatura (1400 – 1500 ±C) unamiscela di calcare ed argilla (nella proporzione di circa 1:3) e quindi macinando …nementeil prodotto di cottura (Klinker). Diversi tipi di cemento si ottengono modi…candone lacomposizione: aggiungendo pozzolana si ottiene il cemento pozzolanico, con l’aggiunta diloppa d’alto forno si ottiene il cemento d’alto forno, ecc : : :

Dal punto di vista chimico il cemento è una miscela di silicati ed alluminati di calcioche, anche in virtù della …nissima macinazione, sono in grado di reagire rapidamente conl’acqua formando una massa dura, simile alla pietra.

In un calcestruzzo, generalmente, il legame tra gli inerti fornito dal cemento è l’elementodi minor resistenza. Pertanto la resistenza del calcestruzzo è fortemente dipendente dallaqualità e dalla quantità di cemento impiegato. Oltre certi limiti tuttavia, all’aumentaredel quantitativo di cemento i guadagni di resistenza divengono sempre più modesti, mentresi evidenziano degli e¤etti negativi dovuti all’eccesso di cemento.

1Gli inerti “grossi” (ghiaia o pietrisco) si possono sostituire con inerti arti…ciali, generalmente ottenutiper cottura di materiali argillosi. In questo modo si ottengono dei calcestruzzi leggeri, con peso speci…co,ma anche resistenza, inferiori a quelli dei calcestruzzi ordinari.

2.2 Il calcestruzzo 11

0 10 20 30

Diametro dei fori (mm)

0

20

40

60

80

100

Per

cent

. pas

sant

e in

pes

o

Figura~2.1: Fuso di Fuller

Gli inerti

Gli inerti formano lo scheletro solido del calcestruzzo e ne costituiscono la percentualeprevalente in peso e volume: la loro qualità è determinante per la buona riuscita delcalcestruzzo.

Gli inerti devono riempire al massimo i vuoti dell’impasto, onde rendere minimo ilvolume occupato dal cemento. A questo scopo si usano inerti di diverso diametro:

² Inerti a grana grossa (ghiaia o pietrisco)

² Inerti a grana …ne (sabbia)

Generalmente gli inerti …ni sono a loro volta composti da una sabbia grossa ed una…ne.

Per ottenere un buon calcestruzzo occorre che la miscela di inerti abbia una correttagranulometria, ottenuta mescolando in proporzioni opportune inerti di tipo diverso. Ilcontrollo della granulometria si fa tracciando la curva granulometrica della miscela, che siottiene riportando in un diagramma, in funzione del diametro, la percentuale in peso degliinerti passanti in crivelli con fori di diametro crescente. Un criterio valido per giudicaredella qualità della curva consiste nel veri…care che essa sia contenuta all’interno di unazona (fuso di Fuller) ottenuta empiricamente.

L’in‡uenza degli inerti sulla qualità dell’impasto è ovviamente legata anche alle loroqualità intrinseche: gli inerti grossi non devono essere costituiti da rocce tenere di bas-sa resistenza, mentre le sabbie dovrebbero essere di tipo siliceo piuttosto che calcareo.Inoltre gli inerti devono essere ben “puliti”, cioè privi di argilla e materie organiche che,interponendosi, possono ostacolare l’aderenza tra il cemento e l’inerte.


Cemento 250 – 350 kgInerti …ni (sabbia) 0.4 m3

Inerti grossi (ghiaia) 0.8 m3

Acqua 100 – 200 l

Tabella 2.1: Composizione media di un metro cubo di calcestruzzo

L’acqua

L’acqua, combinandosi con il cemento nel fenomeno dell’idratazione, da luogo alla “presa”che trasforma l’impasto in una massa solida. Tuttavia l’acqua deve svolgere anche la fun-zione di lubri…cante nell’impasto, rendendolo su¢cientemente ‡uido da essere lavorabile.Per questo motivo l’acqua impiegata nell’impasto deve essere in quantità superiore a quellastrettamente necessaria per l’idratazione del cemento. Peraltro si deve tenere presente cheall’aumentare dell’eccesso di acqua peggiorano sensibilmente le caratteristiche meccanichedel calcestruzzo.

L’acqua da usare nell’impasto deve essere il più possibile pura, quando è possibilesi consiglia quindi l’uso di acqua potabile. In particolare devono essere evitate acquecontenenti percentuali elevate di solfati e le acque contenenti ri…uti di origine organica ochimica. La presenza di impurità infatti interferisce con la presa, provocando una riduzionedella resistenza del conglomerato.

Composizione quantitativa del calcestruzzo

La proporzione dei componenti impiegati nella composizione di un calcestruzzo varia sen-sibilmente da caso a caso, per e¤etto delle caratteristiche degli inerti disponibili e delleprestazioni che si prevede di ottenere dal calcestruzzo. In particolare per calcestruzzi diresistenza elevata, oltre a curare la natura e la composizione degli inerti, si dovrannoimpiegare quantitativi elevati di cemento.

La seguente tabella fornisce dei quantitativi indicativi della composizione di un calce-struzzo medio:

2.2.2 Fattori che in‡uenzano le caratteristiche meccaniche del calce-struzzo

Molti fattori, spesso di¢cili da controllare accuratamente, hanno in‡uenza sulle caratteri-stiche meccaniche dei calcestruzzi. Di alcuni, legati alla qualità ed alla quantità dei compo-nenti, si è già detto; a questi si possono aggiungere le condizioni ambientali (temperaturae umidità) in cui si svolge la presa, che pure hanno notevole in‡uenza sul risultato.

Nel seguito si elencano brevemente i fattori più rilevanti di entrambi i tipi:

1. Quantità di cemento. La resistenza del calcestruzzo aumenta quasi proporzional-mente al quantitativo di cemento impiegato; tuttavia dosi eccessive (> 500 kg/m3)sono inutili o addirittura dannose.

2. Inerti. Gli inerti devono essere di buona qualità, puliti e dosati accuratamente.Si deve tener presente che la causa più frequente di cattivi risultati ottenuti nellarealizzazione dei calcestruzzi è proprio legata all’uso di inerti scadenti o sporchi.


Figura~2.2: Resistenza del calcestruzzo in funzione del rapporto acqua-cemento

3. Rapporto acqua-cemento. La quantità minima di acqua richiesta dalla reazionechimica dell’idratazione del cemento è di circa 0.27 litri di acqua per ogni chilo-grammo di cemento (rapporto acqua-cemento a/c = 0.27). I valori del rapporto a/ccomunemente usati sono sensibilmente superiori, al …ne di rendere lavorabile l’im-pasto. Tuttavia l’aumento di acqua rispetto al minimo stechiometrico da luogo aduna progressiva riduzione della resistenza del calcestruzzo (vedi …g. 2.2).

Il dosaggio dell’acqua non può tuttavia scendere sotto certi livelli, altrimenti il cal-cestruzzo risulta non lavorabile, a meno di non usare opportuni accorgimenti, qualil’aggiunta nell’impasto di additivi ‡uidi…canti. Una tecnica comunemente usata permigliorare la lavorabilità di getti poco ‡uidi consiste nella vibrazione, applicata allecasseforme o direttamente nei getti mediante opportuni apparati (vibratori). Valoriusuali per getti in opera del rapporto acqua-cemento sono compresi tra 0.4 e 0.5.

La ‡uidità, e quindi la lavorabilità del getto di calcestruzzo viene misurata medianteil cono di Abrams (…g. 2.3), specie di secchio privo di fondo con forma tronco-conicae dimensioni standard che, dopo essere stato riempito di calcestruzzo e costipatosecondo una procedura codi…cata, viene rimosso, scasserando il getto. La misuradell’abbassamento del calcestruzzo fornisce un’indicazione della sua ‡uidità, secondola seguente scala:

0 ¥ 5 cm Calcestruzzo asciutto5 ¥ 10 cm Calcestruzzo plastico> 10 cm Calcestruzzo ‡uido

4. Condizioni ambientali Il fenomeno della presa risulta molto accelerato se av-viene in ambiente caldo-umido. Questa proprietà è utilizzata, specialmente neglistabilimenti di prefabbricazione, per accelerare i tempi di presa e di indurimento,


Figura~2.3: Cono di Abrams

mediante stagionatura in ambienti caldi e saturi di vapore (maturazione a vapore),il che consente di scasserare i getti dopo poche ore.

Al contrario il caldo secco è dannoso in quanto, provocando l’evaporazione dell’acquadagli strati super…ciali, impedisce lo sviluppo della presa; nelle ore calde dei mesiestivi è opportuno mantenere i getti bagnati, mediante anna¢amento, onde evitareil pericolo dell’evaporazione dell’acqua inclusa nel getto.

Il gelo è sicuramente dannoso; oltre a rallentare il tempo di presa, se sussistono lecondizioni per la formazione di ghiaccio, l’acqua del getto, gelando, impedisce l’idra-tazione e rompe i legami già formati tra la pasta cementizia e gli inerti, producendocalcestruzzi di in…ma qualità (calcestruzzo “bruciato”).

Il fenomeno dell’indurimento, cioè l’aumento di resistenza del calcestruzzo, si protraeper molto tempo (uno o due anni); tuttavia in un tempo assai minore si raggiunge unapercentuale ragionevole della resistenza …nale. La velocità iniziale con cui aumentala resistenza varia molto con la temperatura: a temperatura ambiente (circa 20±C) l’80% della resistenza …nale si raggiunge in circa 20 giorni, mentre in caso dimaturazione a vapore lo stesso valore viene raggiunto in appena due o tre giorni.

2.2.3 Caratteristiche meccaniche del calcestruzzo

La resistenza del calcestruzzo si misura mediante prove sperimentali; la prova di usocomune è quella di compressione semplice (monoassiale) di provini di forma cilindricao cubica. La forma del provino in‡uenza il valore della resistenza misurata: pertanto icampioni debbono avere caratteristiche standard. I provini cilindrici generalmente hannol’altezza h = 30 cm ed il dimetro della base D = 15 cm (rapporto h=D = 2); i provinicubici normalmente hanno lo spigolo di lunghezza compresa tra 15 e 20 cm.

Il diagramma tensioni-deformazioni del calcestruzzo compresso è illustrato in …g. 2.4per calcestruzzi di caratteristiche diverse. Osservando queste curve si nota l’assenza di unvero tratto a comportamento lineare; la curvatura aumenta gradualmente …n quando la


Figura~2.4: Curve Tensione-Deformazione di calcestruzzi di di¤erente qualità

curva raggiunge l’ordinata massima fc, il cui valore de…nisce la resistenza a compressionedel calcestruzzo. Questo valore si raggiunge per una deformazione ²c1, oltre la quale latensione diminuisce al crescere della deformazione, …no alla rottura che si raggiunge per ilvalore ²cu della deformazione.

Mancando un chiaro tratto lineare si è soliti de…nire un modulo elastico convenzionaleEc, de…nito come il modulo secante in corrispondenza della tensione 0:4fc. Come si vededalla …g. 2.4 il modulo elastico del calcestruzzo cresce con la resistenza fc; al contrariola deformazione di rottura ²cu diminuisce mentre cresce la pendenza (negativa) del ramoinstabile; in altre parole al crescere della resistenza il calcestruzzo diviene più fragile.

Il legame costitutivo in compressione monoassiale del calcestruzzo si può approssimarecon diverse espressioni analitiche. La bozza di Norme Europee per il cemento armato(EC2) propone la seguente:

¾c = fc(k´ ¡ ´2)

[1 + (k ¡ 2)´](2.1)

in cui:´ = j²c=²c1j

k = 1:1Ecj²c1=fcjIl valore assoluto della deformazione ²c1 a cui corrisponde il raggiungimento della resistenzafc si assume pari a 2:2 £ 10¡3.

Come si è già detto il modulo elastico Ec dipende dalla resistenza fc, ma l’esperienzadimostra che vi è una forte dispersione dei risultati. In assenza di altre informazioni laNormativa Italiana suggerisce di assumere:

Ec = 5700p

Rck (N=mm2) (2.2)


Figura~2.5: Schema della prova “Brasiliana”

in cui Rck indica resistenza caratteristica cubica, che sarà de…nita in seguito.La bozza di normativa europea (EC2) fornisce invece una relazione discreta, riportata

nella seguente tabella:

Classe C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37Ec 26 27.5 29 30.5 32

Classe C35/45 C40/50 C45/55 C50/60Ec 33.5 35 36 37

in cui Ec è espressa in kN/mm2 e la classe del calcestruzzo indica la resistenza carat-teristica cilindrica fck e quella cubica Rck, espressa in N=mm2. Secondo la norma italianasi può passare dalla resistenza cubica a quella cilindrica mediante la relazione:

fck = 0:83Rck (2.3)

Resistenza a trazione

Come tutti i materiali lapidei, il calcestruzzo ha una resistenza a trazione assai minoredi quella a compressione. Sebbene in certe analisi il calcestruzzo possa essere modellatocome un materiale privo di resistenza a trazione, in realtà questa resistenza condiziona inmodo importante il comportamento degli elementi in cemento armato.

A causa dei modesti valori che questa grandezza raggiunge, la registrazione sperimen-tale della legge ¾ ¡ ² del calcestruzzo teso è operazione delicata. Data la di¢coltà adeseguire prove di trazione pura, la resistenza a trazione si misura di solito mediante proveindirette, come la prova su cilindro sollecitato a taglio (prova brasiliana). In tal caso (vedi…g. 2.5) la resistenza a trazione si calcola con la relazione:

fct =2P¼lD

(2.4)


Figura~2.6: Curve tensione-deformazione del calcestruzzo compresso

in cui P è il carico di rottura, D è il diametro di base ed l l’altezza del provino cilindrico.In alternativa la resistenza a trazione si può misurare mediante una prova a ‡essione

su di una barretta di calcestruzzo di dimensioni standard. Caricando il provino con dueforze simmetriche P distanti a dagli appoggi, se b ed h indicano la base e l’altezza dellasezione della trave, ipotizzando un comportamento lineare-fragile si ha:

fcf =6Pabh2

(2.5)

dove fcf è detta resistenza a trazione per ‡essione. Tale resistenza risulta generalmentepiù alta di quella misurata con la prova di taglio; mediamente si ha:

fcf = 1:2fct (2.6)

Deformazione trasversale

Il rapporto tra la deformazione assiale (nella direzione dell’asse di sollecitazione) e quellatrasversale è dato, per i solidi elastici, dal coe¢ciente di Poisson. Per il calcestruzzo, nelcampo dei valori delle tensioni piccoli rispetto a quelli di rottura, il coe¢ciente di Poissonrisulta normalmente compreso tra 0.15 e 0.20. Al crescere della tensione le deformazionitrasversali aumentano rapidamente in modo tale che la deformazione volumetrica (µ =²1 + ²2 + ²3), dopo aver raggiunto un valore massimo decresce e, in prossimità del collassodel materiale (² » ²cu), prende valori negativi, come mostrato nella …g. 2.6.


Stati di tensione pluriassiali

In molti casi il calcestruzzo risulta soggetto a sollecitazioni composte (bi- o tri-assiali): adesempio nelle sezioni delle travi sollecitate a ‡essione e taglio si ha uno stato di tensioninormali e tangenziali.

Per il caso generale del calcestruzzo soggetto a tensioni triassiali non si dispone dimodelli teorici del tutto soddisfacenti. Uno dei criteri più antichi, che si accorda qualita-tivamente con il comportamento dei materiali fragili, è quello di Mohr-Coulomb o dellamassima tensione tangenziale. Secondo questo criterio, indicando con

¾1 · ¾2 · ¾3

le tensioni principali corrispondenti allo stato di sollecitazione considerato, si raggiunge ilcollasso quando la tensione tangenziale massima ¿max = (¾3 ¡¾1)=2 prende un valore cheè funzione della sola tensione media (¾1 + ¾3)=2, ossia:

(¿max)r = Frµ

¾3 + ¾1

2

¶

Le previsioni del modello di Mohr sono veri…cate solo qualitativamente dal calcestruzzo;in particolare per stati di tensione biassiali, per il qual caso si hanno risultati sperimentaliattendibili, se entrambe le componenti non nulle sono di compressione, il modello di Mohr,non tenendo conto del valore della tensione intermedia, prevede che la resistenza non varirispetto a quella di compressione semplice. Il confronto con la curva ricavata da datisperimentali (Fig. 2.7) mostra che questo si veri…ca solo approssimativamente in quantola tensione di rottura biassiale cresce di oltre il 20% rispetto a quella di compressionesemplice.

Un caso particolare di sollecitazione triassiale è quella in cui due delle componenti deltensore principale sono uguali tra loro; sottoponendo il cilindro ad una pressione radialedi tipo idrostatico e facendo crescere la pressione assiale …no a rottura, si osserva chequest’ultima cresce sensibilmente all’aumentare della pressione radiale. Sulla base di provedi questo tipo Richart ed al. hanno proposto la seguente relazione per valutare la tensionedi rottura del calcestruzzo soggetto ad una pressione idrostatica di con…namento:

fcc = fc + 4:1¾l (2.7)

in cui fc è la resistenza del calcestruzzo non con…nato e ¾l è la pressione laterale dicon…namento.

Le stesse esperienze hanno messo in evidenza che il con…namento non soltanto in-nalza il valore della resistenza del calcestruzzo ma inoltre ne aumenta la deformazioneultima ²cu e produce una riduzione della pendenza del ramo discendente, ossia migliora ilcomportamento post-elastico (duttile) del materiale.

2.2.4 Comportamento del calcestruzzo con…nato

Nelle strutture in cemento armato il calcestruzzo, come si è detto, viene opportunamenterinforzato mediante barre di acciaio. Nelle travi queste barre sono disposte longitudinal-mente, di solito in prossimità della super…cie. Oltre a questa armatura longitudinale vieneanche impiegata un’armatura trasversale (sta¤e), formata da barre sagomate in modo daessere inscritte nel perimetro esterno della sezione e da racchiudere al loro interno le barrelongitudinali (vedi Fig. 2.8).


Figura~2.7: Dominio di resistenza del calcestruzzo per stati di tensione biassiali

L’armatura trasversale svolge diversi ruoli, di cui si dirà di¤usamente nel seguito;qui si osserva che le sta¤e, se abbastanza …tte e opportunamente conformate, possonosvolgere il ruolo di con…nare il calcestruzzo. Infatti quando la tensione assiale si avvicinaa quella di collasso la deformazione trasversale del calcestruzzo diviene molto grande ele sta¤e, ostacolando questa deformazione, provocano l’insorgere di tensioni di coazionesimili a quelle idrostatiche: ne deriva un aumento della resistenza a schiacciamento e delladuttilità del calcestruzzo.

Nelle applicazioni, poichè l’armatura è normalmente presente, è utile disporre di una

Figura~2.8: Schema dell’armatura di un elemento in c.a.


Figura~2.9: Curva tensione-deformazione del calcestruzzo con…nato, secondo il modellodi Kent e Park

legge tensioni-deformazioni per il calcestruzzo con…nato mediante armatura trasversale.Kent e Park hanno proposto una legge schematica che corregge quella del calcestruzzolibero in funzione dell’armatura trasversale.

I dati sperimentali da cui questa legge è ricavata non hanno evidenziato un sensibileaumento della resistenza a compressione del calcestruzzo con…nato con sta¤e rettangolari2

ma da essi risulta un netto miglioramento della duttilità, sia in termini di allungamentomassimo sia in termini di pendenza del ramo instabile. La curva di Kent e Park, mostratain Fig. 2.9, è formata da tratto ascendente parabolico …no al raggiungimento resistenza fcper la deformazione ²c1 = 2£10¡3, seguito da un tratto lineare decrescente …no al valore diuna resistenza residua 0:2fc, che si assume permanga per qualunque deformazione.

La parabola del ramo ascendente ha equazione:

¾c = 2fc

"µ²c²c1

¶¡ 1

2

µ²c²c1

¶2#

(²c · ²c1) (2.8)

mentre il tratto lineare è:

¾c = fc[1 ¡ z(²c ¡ ²c1)] (²c1 · ²c · ²c20) (2.9)

in cui ²c20 è la deformazione corrispondente a ¾c = 0:20fc; l’inclinazione z è data dallarelazione:

z =0:5

²50u + ²50h ¡ ²c1(2.10)

in cui:

²50u =0:0207 + ²c1fc

fc ¡ 6:89(2.11)

2 In questo senso l’e¤etto del contenimento si evidenzia solo nel caso di sta¤e circolari, disposte a spiralee con un passo abbastanza …tto


e

²50h =34½s

sb00

sh(2.12)

Nell’eq. (2.11) la resistenza del calcestruzzo, fc, è espressa in N=mm2, mentre, nell’eq.(2.12), ½s indica la percentuale in volume dell’armatura trasversale rispetto al nucleo delcalcestruzzo con…nato, b00 è la larghezza della sezione della zona con…nata ed sh è l’interassetra le sta¤e.

Esempio 2.1 Per una sezione 30£ 30 cm2 con nucleo con…nato 25£ 25 cm2 e sta¤e di diametroÁ = 8 mm (A = 0:5 cm2), con interassi di 5 – 10 e 15 cm, assumendo fc = 30 N=mm2, si ottiene:

²50u =0:0207 + 0:002 £ 30

30 ¡ 6:89= 0:0035

Indicando con ½s1 la percentuale di armatura corrispondente ad un passo di 1 cm, si ha:

½s1 =0:5 £ 25 £ 4

25 £ 25= 0:08

e quindi:

passo st. 5 10 15½s 0.016 0.008 0.0053

²50h 0.0268 0.0095 0.0051z 17.688 45.454 75.757

²c20 0.0437 0.0196 0.0126

A titolo di confronto si osservi che per il calcestruzzo non con…nato si ha ²c20 = 0:0044. 2

2.2.5 Deformazioni lente

Dopo l’applicazione del carico, subita la deformazione elastica istantanea, la maggior partedei materiali continuano nel tempo a deformarsi; in caso di carico costante la deformazionetende verso un valore asintotico che si raggiunge, idealmente, dopo un tempo in…nitodall’istante di applicazione del carico. Questo tipo di comportamento è detto viscoso.

Oltre alla viscosità il calcestruzzo manifesta un altro fenomeno che evolve nel tempo:il ritiro. Il ritiro è una diminuzione di volume della massa di calcestruzzo, dovuta es-senzialmente alla lenta evaporazione dell’acqua in eccesso rimasta imprigionata nel getto;diversamente dalle deformazioni viscose, che dipendono dall’intensità del carico, il ritiroè, per un certo calcestruzzo e per assegnate condizioni ambientali, funzione solamente del-l’età del materiale. Anche in questo caso la deformazione cresce nel tempo tendendo adun valore asintotico, detto deformazione di ritiro a tempo in…nito.

Le deformazioni lente possono in‡uenzare sensibilmente il comportamento degli ele-menti in cemento armato; in particolare il ritiro, quando è ostacolato da vincoli interniod esterni, genera uno stato di coazione per cui le tensioni di trazione possono facilmentesuperare la (modesta) resistenza del materiale e provocare il formarsi di lesioni. Per questomotivo negli elementi in calcestruzzo è sempre opportuno disporre un certo quantitativodi armatura, anche in quelli in cui i carichi non inducono sollecitazioni di trazione.

Di solito gli e¤etti delle deformazioni lente non vengono analizzati accuratamente:di essi si tiene conto in modo forfettario, riducendo opportunamente il modulo elastico


t0 U.R. = 75% U.R. = 55%(giorni) ® · 20 cm ® ¸ 60 cm ® · 20 cm ® ¸ 60 cm1 ¥ 7 0:26 £ 10¡3 0:21 £ 10¡3 0:43 £ 10¡3 0:31 £ 10¡3

8 ¥ 60 0:23 £ 10¡3 0:21 £ 10¡3 0:32 £ 10¡3 0:30 £ 10¡3

> 60 0:16 £ 10¡3 0:20 £ 10¡3 0:19 £ 10¡3 0:28 £ 10¡3

Tabella 2.2: Deformazioni di ritiro a tempo in…nito ²cs(1; t0) secondo la normativa italiana

U.R. ® · 15 cm ® ¸ 60 cm50% 0:60 £ 10¡3 0:50 £ 10¡3

80% 0:33 £ 10¡3 0:28 £ 10¡3

Tabella 2.3: Deformazioni di ritiro a tempo in…nito ²cs(1) secondo EC2

convenzionale del calcestruzzo. Una analisi accurata degli e¤etti della viscosità e del ritiroè richiesta invece quando si debba tener conto degli e¤etti di stati di coazione, poichè questisono fortemente in‡uenzati dalla deformabilità dei componenti della struttura. È questoil caso delle strutture in cemento armato precompresso in quanto la precompressione èproprio uno stato di coazione, indotto arti…cialmente tra calcestruzzo ed acciaio, che vienesensibilmente alterato dall’evolvere delle deformazioni lente.

Ritiro

Il ritiro del calcestruzzo, come già detto, si manifesta come una riduzione progressivadi volume, prodotta dall’evaporazione dell’acqua in eccesso rispetto al minimo richiestodall’idratazione del cemento e rimasta intrappolata nei micropori della pasta cementizia.Questo spiega la notevole in‡uenza che sul fenomeno ha l’umidità relativa dell’ambientecircostante ed il rapporto tra la super…cie ed il volume dell’elemento.

L’entità del ritiro è inoltre in‡uenzato dalla composizione del calcestruzzo: il rapportoacqua-cemento, la percentuale di inerti …ni, il quantitativo totale di cemento sono variabilial cui aumento corrisponde un’ampli…cazione del fenomeno del ritiro.

Nel progetto l’entità delle deformazioni di ritiro si possono stimare sulla base di dati nonspeci…ci, presi dalla normativa. Nella norma italiana la deformazione …nale (²cs(1; t0))viene fornita in funzione dell’umidità relativa ambientale e della “dimensione …ttizia”® = 2Ac=u, in cui Ac è l’area della sezione di conglomerato e u il perimetro a contatto conl’atmosfera, nonché del tempo t0 a partire dal quale si considera l’e¤etto del ritiro. Questivalori sono riportati nella tabella 2.2.

La bozza di normativa europea EC2 non tiene conto di t0; il ritiro a tempo in…nito èdato solo in funzione di ® e dell’umidità ambientale, come riportato nella tabella 2.3.

Le due normative citate non danno indicazioni circa la legge con cui il fenomeno evolvenel tempo. A questo proposito le norme ACI suggeriscono la relazione:

²cs(t; t0) = ²cs1t ¡ t0

35 + t ¡ t0(2.13)

in cui ²cs1 è la deformazione …nale e t è il tempo in giorni, misurato dalla data del getto,mentre t0 (usualmente 7 giorni) è il tempo per cui si ritiene abbia inizio il ritiro.


Viscosità

Nel calcestruzzo, per livelli di tensione non troppo prossimi alla resistenza del materiale, sipuò assumere che le deformazioni viscose siano proporzionali alle tensioni; si può parlarepertanto di viscosità lineare. Se la tensione ¾c, applicata all’istante t0 misurato a partiredalla data del getto, rimane costante …no al tempo t, si può porre:

²c(t) =¾cEc

[1 + Á(t; t0)] (t ¸ t0) (2.14)

in cui la deformazione totale al tempo t, ²c, è espressa come somma della parte elastica(istantanea) ¾c=Ec e di quella viscosa (¾c=Ec)Á(t; t0). La funzione Á(t; t0) è detta funzionedi viscosità ed esprime il rapporto, al tempo t, tra la parte lenta e quella istantanea delladeformazione.

Sempre nei limiti di una teoria lineare, le deformazioni viscose sono additive; se siapplica un carico al tempo t1 che produce una tensione ¾c1 ed un altro al tempo t2 cuicorrisponde la tensione ¾2, la deformazione al tempo t è data dalla relazione:

²c(t) =¾c1Ec

[1 + Á(t; t1)] +¾c2Ec

[1 + Á(t; t2)]

Per ¾c2 = ¡¾c1, ciò che corrisponde allo scarico completo, si ha:

²c(t) =¾c1Ec

[Á(t; t1) ¡ Á(t; t2)] (t2 > t1)

Inizialmente, t = t2, solo la deformazione elastica viene restituita, mentre la deforma-zione viscosa permane integralmente in quanto Á(t2; t2) = 0. Al crescere di t il secondotermine cresce più rapidamente del primo, così che una parte della deformazione viscosaviene recuperata; la deformazione residua tende al valore asintotico che si raggiunge atempo in…nito:

²c(1) =¾c1Ec

[Á(1; t1) ¡ Á(1; t2)]

L’entità della deformazione residua dipende dalle età di messa in carico t1 e t2: diminuisceal crescere di t1 (età di prima messa in carico) mentre aumenta con la di¤erenza t2 ¡ t1(durata del tempo di carico). L’andamento nel tempo delle deformazioni per una prova diquesto tipo è illustrato nella …g. 2.10.

Nel caso generale la deformazione al tempo t, conseguente ad una storia di tensioni¾c(¿), si calcola con la relazione:

²c(t) =1Ec

Z t

0[1 + Á(t; ¿)]d¾c(¿) =

1Ec

Z t

0[1 + Á(t; ¿)] _¾c(¿)d¿ (2.15)

dove _¾c(¿) indica la velocità di variazione della tensione al tempo ¿ .Per il calcestruzzo la viscosità, come il ritiro, è dovuta principalmente alla perdita

dell’acqua racchiusa nel getto; pertanto la deformabilità viscosa del materiale è funzionedelle stesse grandezze che in‡uenzano il ritiro.

Nelle norme italiane il coe¢ciente di viscosità a tempo in…nito Á(1; t0) è tabellato infunzione dell’età di messa in carico t0, dell’umidità ambientale e della dimensione …ttizia® della sezione, come riportato nella tabella 2.4

Esaminando la tabella 2.4 si osserva che la deformazione viscose varia tra 1.4 e 3.8volte quella istantanea, con un valore medio superiore a 2. Da ciò risalta l’importanza


Figura~2.10: Evoluzione temporale delle deformazioni del calcestruzzo dovute allaviscosità

t0 UR=75% UR=55%giorni ® · 20 cm ® ¸ 60 cm ® · 20 cm ® ¸ 60 cm3 ¥ 7 2.7 2.1 3.8 2.98 ¥ 60 2.2 1.9 3.0 2.5> 60 1.4 1.7 1.7 2.0

Tabella 2.4: Coe¢cienti di viscosità a tempo in…nito, secondo la normativa italiana

quantitativa del termine viscoso sulla deformazione …nale di un elemento soggetto a carichidi lunga durata, in quanto la parte viscosa della deformazione è in media più che doppiadi quella elastica.

Le EC2 forniscono una tabella analoga, ma con valori di¤erenti, come mostrato nellatab. 2.5.

Per la valutazione della deformazione viscosa la normativa ACI fornisce una relazioneanalitica della funzione di viscosità, espressa nella forma:

Á(t; t0) = C'(t; t0) (2.16)

t0 UR=80% UR=50%giorni ® = 5 cm ® = 15 cm ® = 60 cm ® = 5 cm ® = 15 cm ® = 60 cm

1 3.5 3.0 2.6 5.4 4.4 3.67 2.5 2.1 1.9 3.9 3.2 2.528 1.9 1.7 1.5 3.2 2.5 2.090 1.6 1.4 1.2 2.6 2.1 1.6365 1.2 1.0 1.0 2.0 1.6 1.2

Tabella 2.5: Coe¢cienti di viscosità a tempo in…nito, secondo EC2

2.3 L’acciaio 25

Figura~2.11: Curve tensione–deformazione di acciai da cemento armato e precompresso

in cui C è un parametro da cui dipende la deformazione …nale, funzione degli stessi fattoriche in‡uenzano il ritiro, mentre la funzione '() è espressa dalla relazione:

'(t; t0) = 1:25t¡0:1180(t ¡ t0)0:6

10 + (t ¡ t0)0:6(2.17)

in cui il tempo t, misurato a partire dalla data del getto, è espresso in giorni.A titolo di esempio, prendendo in esame un elemento prismatico con sezione 30£50 cm2

(® = 18:8), caricato al 60± giorno dal getto ed esposto in ambiente umido (UR ' 75¥80%),le norme italiane forniscono il valore Á1 = 2:2, dalle EC2, interpolando la tabella 2.5, siottiene Á1 = 1:52, mentre per le ACI si ha Á1 » 1:14. Si deve concludere che non vi èuna grande concordanza di opinioni tra gli estensori delle diverse normative.

2.3 L’acciaio

L’acciaio nel cemento armato è impiegato sotto forma di barre di sezione circolare, o ap-prossimativamente tale. Infatti per aumentare l’aderenza (vedi sez. 2.4) con il calcestruzzo,l’acciaio di qualità migliore viene prodotto in barre sulla cui super…cie vengono realizzatidei risalti: questo tipo di barre è detto ad aderenza migliorata. In tutti i casi le barre sonocaratterizzate dal diametro e¤ettivo (barre tonde lisce) o dal diametro nominale di unabarra circolare di uguale lunghezza e peso (barre ad aderenza migliorata).

In pratica si possono distinguere due tipi di acciai: l’acciaio ordinario, impiegato nelcemento armato normale e quello ad alta resistenza che si usa nel cemento armato pre-compresso. Le caratteristiche di quest’ultimo tipo saranno illustrate in uno dei capitolidedicati alla precompressione.

Le caratteristiche meccaniche dell’acciaio si determinano mediante prove di trazionesu monconi di barra; tipici diagrammi tensione-deformazione di acciai con diverse carat-


teristiche di resistenza, sono rappresentati in …g. 2.11. Come è esempli…cato nella …gural’andamento tipico della legge ¾ ¡ ² mostra un tratto elastico lineare che si estende …noalla tensione fy, detta di snervamento, seguito da un tratto in cui la deformazione crescecon tensione praticamente costante (tratto plastico). Successivamente la tensione tornaa salire, ma con pendenza molto inferiore a quella iniziale elastica, (incrudimento) …noa raggiungere un massimo, per poi diminuire seguendo un ramo instabile con pendenzanegativa che termina con la rottura e¤ettiva della barra.

La grandezza più importante per de…nire la resistenza del materiale è la tensione disnervamento fy. Come tensione di rottura ft si assume il massimo valore raggiunto nellafase di incrudimento, in quanto il valore e¤ettivo al momento della rottura si può misuraresolamente con prove a spostamento impresso.

I digrammi di …g. 2.11 evidenziano alcune proprietà che sono elencate nel seguito:

² Il modulo elastico dell’acciaio è praticamente costante e pertanto non dipende dallatensione di snervamento. Con buona approssimazione si può assumere, per tutti itipi di acciaio:

Es = 2:05 £ 105 N=mm2

² L’estensione del tratto plastico e l’allungamento di rottura ²t diminuiscono al cresceredella tensione di snervamento: gli acciai di qualità migliore sono pertanto meno dut-tili. Tuttavia negli acciai impiegati nel cemento armato gli allungamenti di rotturasono comunque elevati.

Negli acciai di qualitè migliore il tratto plastico può essere del tutto assente per cuinon è possibile riconoscere un preciso valore della tensione di snervamento. In questocaso si adotta la convenzione di sostituire alla tensione di snervamento la tensione checorrisponde ad una deformazione residua stabilita, generalmente lo 0.2%. Questo valoreviene indicato con il simbolo f(0:2) e si determina nel modo seguente: sul diagramma ¾ ¡ ²si traccia una retta parallela al ramo elastico che taglia le ordinate nel punto ² = 0:002;l’intersezione di questa retta con la curva di carico individua il punto di ordinata f(0:2).Infatti, se lo scarico fosse esattamente parallelo al ramo elastico, raggiunto questo punto,dopo lo scarico si avrebbe una deformazione residua dello 0.2%.

Come materiale l’acciaio ha comportamento simmetrico in trazione e compressione:pertanto la prova di trazione è su¢ciente ad individuarne le caratteristiche meccaniche.Ovviamente, a causa dei fenomeni di instabilità, il comportamento degli elementi puòessere molto diverso in trazione e compressione.

Il comportamento ciclico dell’acciaio, in prima approssimazione, può essere modellatocon una semplice legge elasto-plastica: ramo elastico lineare, deformazione plastica a ten-sione costante, scarico parallelo al ramo elastico …no alla soglia di snervamento di segnoopposto. Questo modello non consente di descrivere fenomeni quali l’e¤etto Bauschin-ger, per cui la tensione di plasticizzazione si riduce al crescere della precedente escursioneplastica.

Una legge che descrive in modo soddisfacente il comportamento ciclico dell’acciaio èquella di Menegotto e Pinto, derivata da una precedente di Ramberg-Osgood:

¾¤ = b²¤ +(1 ¡ b)²¤

(1 + ²¤R)1=R(2.18)

2.4 L’aderenza 27

Figura~2.12: Comportamento ciclico dell’acciaio secondo il modello di Menegotto e Pinto

in cui b ed R sono parametri che de…niscono la forma della curva, mentre ¾¤ ed ²¤ sonorispettivamente la tensione e la deformazione normalizzate:

¾¤ =¾ ¡ ¾rfy ¡ ¾r

; ²¤ =² ¡ ²r²y ¡ ²r

(2.19)

dove (fy; ²y) sono le coordinate del punto di snervamento nel diagramma bilineare invilup-po (…g. 2.12) e (¾r; ²r) sono le coordinate dell’ultimo punto di inversione del segno dellavelocità di deformazione. Dalla costante b dipende l’inclinazione del ramo incrudente,mentre R controlla il raggio del ramo di raccordo tra il ramo elastico e quello plastico;elevati valori di R corrispondono ad una transizione brusca, di tipo elasto-plastico.

2.4 L’aderenza

Il corretto funzionamento delle strutture in cemento armato dipende dalla e¤ettiva possi-bilità che i due materiali costituenti, calcestruzzo ed acciaio, siano realmente solidali, cioèsubiscano le stesse deformazioni. Questo comportamento è reso possibile dall’aderenza, ilfenomeno attraverso cui si trasmettono gli sforzi tra i due materiali.

Il diagramma in …g. 2.13 illustra il risultato di una prova di s…lamento: una barra,annegata per una lunghezza …ssata in un blocco di calcestruzzo, viene sollecitata a trazione…no allo s…lamento. Nel diagramma, in cui è riportato il legame tra la forza applicata e loscorrimento relativo, si distinguono alcuni tratti con diverse caratteristiche. In un primafase la forza cresce quasi in assenza di scorrimenti; questa è dominata dai legami chimici,che si formano durante la presa, tra il cemento e l’acciaio. Superata la modesta resistenzao¤erta da questi legami, la forza può ancora crescere, ma ora a prezzo di scorrimenti piùelevati (secondo ramo della curva). Nelle barre lisce l’incremento di forza che si sviluppa in


Figura~2.13: Curve forza–spostamento di prove di s…lamento.

questo tratto à piccolo e dipende dall’“ingranamento” tra il calcestruzzo e le microrugositàdella super…cie delle barre. Nel caso di barre ad aderenza migliorata questo incrementoè molto più sensibile, in quanto mette in gioco l’ingranamento con le nervature sullasuper…cie delle barre; per vincere l’aderenza devono rompersi i denti di calcestruzzo cheostacolano lo scorrimento. Quando questo avviene ha inizio una fase di grandi scorrimentia forza circa costante che precede lo s…lamento della barra.

Il reale andamento delle tensioni di contatto tra calcestruzzo e acciaio lungo la super…ciedella barra è di¢cilmente prevedibile. Di solito si assume, convenzionalmente, che latensione sia costante su tutta la super…cie a contatto; in questo caso il legame tra la forzae la tensione (media) ¿ b di aderenza, per una barra di diametro Á annegata nel calcestruzzoper una lunghezza l, è dato dalla relazione:

Fb = ¼Ál¿ b (2.20)

Normalmente la misura dell’aderenza non si esegue con prove dirette di s…lamento,di¢cili da eseguirsi, ma con una prova indiretta (beam test), sollecitando a ‡essione untravetto armato con barre ancorate per una lunghezza …ssata e la cui sezione centrale ècostituita solo dall’armatura tesa e da una cerniera metallica praticamente puntiforme. Laforza di s…lamento risulta pertanto data dalla relazione Fb = Mb=z, dove Mb è il momentoche produce lo s…lamento dell’armatura mentre z è la distanza tra la cerniera metallica el’armatura nella sezione di mezzeria.

2.5 Classi…cazione dei materiali

2.5.1 Frattili e valori caratteristici

Veri…care una struttura signi…ca controllare che, sotto l’azione di alcune combinazionidei carichi, lo stato di sollecitazione non esca da opportuni domini di resistenza, che

2.5 Classi…cazione dei materiali 29

Figura~2.14: Istogramma delle frequenze di un campione statistico di una variabilealeatoria gaussiana

dipendono ovviamente dalle proprietà meccaniche dei materiali, ma anche dal tipo dicarichi considerati. Infatti se si prendono in conto carichi eccezionali, per intensità o pertipo, il dominio sarà quello di non collasso, mentre per azioni frequenti si utilizzerà undominio di buon funzionamento.

Queste assunzioni presuppongono che le caratteristiche dei materiali (resistenze, modu-li elastici, deformazioni ultime, ecc : : : ) siano delle grandezze deterministiche, individuateda valori precisi. Ma così non è. Delle azioni si dirà altrove, per quel che riguarda lecaratteristiche meccaniche dei materiali, se, ad esempio, da uno stesso getto di calcestruz-zo si prelevano alcuni campioni che vengono poi posti a maturare per ugual tempo nellostesso ambiente e quindi sottoposti a prova, in genere si otterranno risultati tutti diversi.In questo caso la dispersione è piccola, ma diviene molto più grande quando si analizzanoi risultati di prelievi di getti diversi, anche se ottenuti in condizioni analoghe, usando lestesse quantità e gli stessi tipi dei materiali costituenti.

Le caratteristiche meccaniche del calcestruzzo sono grandezze particolarmente incerte,data la di¢coltà di controllare il processo di produzione; ma anche per l’acciaio si veri…ca,seppure in misura inferiore, una analoga dispersione dei risultati. Considerazioni di questotipo valgono in sostanza per tutti i materiali.

Immaginando di disporre dei risultati di misure sperimentali di una grandezza mecca-nica (p.es. la resistenza a rottura) eseguite su numerosi campioni di un materiale (p.es.calcestruzzo), potremmo costruire un istogramma delle frequenze del tipo illustrato in …g.2.14. Come si vede il gra…co mostra un andamento “a campana” in cui i valorimassimi delle ordinate sono prossimi alla media aritmetica dei risultati. Per valori nontroppo vicini a zero l’istogramma si può approssimare con la curva densità di probabilitàdi Gauss:

Á(x) =1p

2¼¾xexp

"¡1

2

µx ¡ m

¾x

¶2#

(2.21)


in cui m e ¾x indicano la media e la deviazione standard della distribuzione.In sostanza questo signi…ca che la resistenza dei materiali e le altre grandezze meccani-

che (ed anche i carichi) dovrebbero essere trattate come variabili aleatorie, ossia grandezzeche non sono individuate da un preciso valore, ma da una distribuzione di probabilità estesaad un intervallo limitato o no.

L’analisi probabilistica delle strutture è una disciplina relativamente recente, ma ora-mai su¢cientemente evoluta; purtroppo la rinuncia allo schema deterministico e quindila trattazione probabilistica dei problemi dà luogo ad un aumento notevole della lorocomplessità. Così tutte le norme attualmente in vigore fanno riferimento al più sempliceschema deterministico.

Rimane tuttavia il problema di assegnare a delle grandezze intrinsecamente aleatoriedei valori deterministici signi…cativi. Una scelta apparentemente ragionevole potrebbeessere il valore medio, ma in questo modo non si terrebbe conto della dispersione: duemateriali con resistenze di uguale valor medio ma diverse dispersioni non possono esse-re trattati allo stesso modo, in quanto quello cui corrispondono risultati più dispersi èovviamente meno a¢dabile.

Nella maggior parte delle normative moderne si è fatto riferimento al concetto di valorefrattile di una variabile aleatoria, de…nito nel seguente modo:

Data una variabile aleatoria X, con funzione di distribuzione

FX(x) : FX(x) = P (X · x)

(P () è la funzione di probabilità) si de…nisce frattile inferiore di probabilità pquel valore xp tale che

FX(xp) = p

ossia quel valore tale che vi è una probabilità p che risulti X · xp. Analoga-mente si può de…nire un frattile superiore ¹xp, tale che 1¡FX(¹xp) = p; ossia viè probabilità p che risulti X > ¹xp.

La maggior parte delle normative moderne assumono come valori di riferimento (nomi-nali) delle resistenze dei materiali il valore frattile inferiore al 5% (p = 0:05). Per i carichigeneralmente si fa riferimento ai frattili superiori della stessa probabilità. Questi frattilivengono indicati come valori caratteristici delle grandezze in esame. Pertanto i materialivengono comunemente classi…cati in base al valore caratteristico della resistenza.

Per la normativa italiana il calcestruzzo viene classi…cato mediante il valore caratte-ristico della resistenza misurata su provini cubici (Rck), mentre nella maggior parte dellealtre normative si fa riferimento alla resistenza cilindrica (fck ' 0:83Rck). Analogamentegli acciai sono classi…cati in base alla tensione caratteristica di snervamento fyk, ecc : : :

Nel caso che una variabile aleatoria X si possa ritenere gaussiana con media mX e de-viazione standard ¾X , il valore caratteristico (frattile al 5% inferiore) è dato semplicementeda:

Xk = mX ¡ 1:64¾X (2.22)

Se si dispone di numerosi campioni la media e la deviazione standard di X si possonostimare mediante la media statistica X e la radice dello scarto quadratico medio, cioè:

X =1n

nX

i=1

xi s2X =1

n ¡ 1

nX

i=1

(xi ¡ X)2 (2.23)


Se si dispone di un numero limitato di campioni il valor medio e la varianza non sononoti con certezza; in questo caso l’eq. (2.22) è ancora applicabile, sostituendo ad 1.64 uncoe¢ciente k (>1.64) il cui valore dipende dal numero n dei campioni esaminati.

2.5.2 Controllo di accettazione

Per il calcestruzzo lo schema teorico delineato prima è di¢cilmente applicabile; infatti almomento della messa in opera il materiale è ‡uido e solo dopo diversi giorni (28 giorni è iltempo di riferimento) avrà raggiunto una resistenza confrontabile con quella di esercizio.Pertanto l’indagine statistica non potrà basarsi su di una valutazione a priori della resi-stenza caratteristica, ma dovrà piuttosto conformarsi ai criteri di accettazione statistica.Il problema sostanzialmente si può porre in questi termini: ipotizzato un valore della resi-stenza caratteristica si dovrà controllare che, con probabilità assegnata, la reale resistenzacaratteristica del materiale non è inferiore a quella utilizzata nei calcoli.

Per la normativa italiana un prelievo è formato da due campioni, prelevati da unostesso getto al momento della posa in opera; la media delle resistenze dei due campioni èdetta resistenza di prelievo. Il controllo di accettazione si può eseguire secondo due diversemodalità:

1. Ogni controllo di accettazione è rappresentato da tre prelievi (6 campioni) ciascunodei quali eseguito su di un massimo di 100 m3 di getto. Si eseguirà pertanto almenoun controllo ogni 300 m3 di getto. Indicando con Rm la media aritmetica delle treresistenze di prelievo e con Rmin il valore minimo tra i tre, il controllo è superato se:

Rm ¸ Rck + 3:5 (N=mm2)

Rmin ¸ Rck ¡ 3:5 (N=mm2)

2. Nel caso di costruzioni con più di 1500 m3 di calcestruzzo è ammesso un controllodi tipo statistico.

Viene eseguito almeno un prelievo ogni giorno di getto e, complessivamente, non me-no di 15 prelievi ogni 1500 m3. Il controllo è superato se sono veri…cate le condizioniseguenti:

Rm ¸ Rck + 1:4s

Rmin ¸ Rck ¡ 3:5 (N=mm2)

in cui Rmin è il valore minimo delle resistenze di prelievo ed s2 il loro scartoquadratico medio, de…nito nell’eq. (2.23).

2.5.3 Classi…cazione degli acciai

Gli acciai in barre da cemento armato prodotti in Italia sono raggruppati in 4 classi,contraddistinte dal valore caratteristico della tensione di snervamento fyk. Le due classidi minor qualità sono prodotte in barre tonde lisce, le altre due in barre ad aderenzamigliorata. Indicando con ftk la resistenza caratteristica a rottura e con A5 l’allungamentoa rottura, i valori minimi che queste grandezze devono prendere perché un acciaio possaappartenere ad una certa classe sono riportati nella tabella 2.6.

Si possono impiegare barre con diametro compreso tra 5 e 30 mm, ad eccezione deltipo FeB 44k, per cui non si possono impiegare barre con diametro superiore ai 26 mm;solitamente vengono prodotte solo barre con diametro pari (6, 8, ecc : : : ).


TIPO fyk ftk A5

N=mm2 N=mm2 %Fe B 22 k 215 335 24Fe B 32 k 315 490 23Fe B 38 k 375 450 14Fe B 44 k 430 540 12

Tabella 2.6: Principali caratteristiche degli acciai secondo le norme italiane

fyk N=mm2 ftk N=mm2 A5 (%)390 440 8

Tabella 2.7: Caratteristiche dei …li e delle reti elettrosaldate

Oltre che in barre, l’acciaio per il cemento armato viene prodotto in …li tra…lati edin reti e tralicci elettrosaldati, con diametri compresi tra 5 e 12 mm. Le caratteristichedi queste armature sono elencate nella tabella 2.7. Quando manca il tratto plastico latensione di snervamento viene sostituita da f(0:2)k.

2.5.4 Valori di progetto, diagrammi di calcolo

I valori caratteristici sono le etichette con cui vengono classi…cate le grandezze meccanichedei materiali: attraverso essi si cerca di tener conto, sia pure rozzamente, della naturaaleatoria di queste grandezze.

Dai valori caratteristici si derivano quindi i valori di progetto, ossia i valori determi-nistici nominali da utilizzare nelle formule di veri…ca. La scelta di questi valori dipendedal livello di rischio che si accetta circa il veri…carsi di un evento sfavorevole, ossia che lesollecitazioni escano dal dominio di resistenza della struttura.

Generalmente, …ssato un livello di rischio, cioè una probabilità accettata che la con-dizione sia violata, non esiste un unico valore di progetto valido per tutte le situazioni; arigore si dovrebbe utilizzare un valore diverso per ogni caso in quanto esso dipende dalparticolare problema strutturale, dalla natura delle azioni considerate, dal tipo di veri…ca,ecc : : :

In pratica per ogni grandezza meccanica di un certo materiale si individuano due solivalori di progetto: per le veri…che agli stati limite ultimi (di collasso) e per la veri…cheagli stati limite di esercizio. Questi valori di progetto si ottengono dividendo il valorecaratteristico della grandezza per dei coe¢cienti di sicurezza, generalmente diversi per idue tipi di veri…ca.3 Oltre che dal tipo di veri…ca, il coe¢ciente di sicurezza dipende dalladispersione della grandezza a cui si applica: per grandezze con elevata dispersione (comead esempio la resistenza del calcestruzzo) si adottano coe¢cienti grandi, per grandezzepoco disperse si usano coe¢cienti più prossimi all’unità.

Nelle veri…che che richiedono l’analisi della struttura oltre il campo elastico, quali quel-le agli stati limite ultimi, non è su¢ciente de…nire il valore di una grandezza di resistenzadel materiale, come ad esempio la tensione di rottura per compressione del calcestruzzo odi snervamento dell’acciaio, bensì occorre precisare l’intera legge tensioni-deformazioni delmateriale. Questi legami, per il calcestruzzo e l’acciaio, sono stati illustrati nelle prece-

3Per le azioni si procede in modo analogo, ma in questo caso i coe¢cienti di sicurezza moltiplicano ilvalore caratteristico.


denti sezioni; tuttavia, di solito, è possibile utilizzare delle relazioni sempli…cate, chiamatediagrammi di calcolo, che, pur cogliendo gli aspetti essenziali del funzionamento del ma-teriale, consentono di sempli…care le formule di veri…ca. Questo aspetto è importante nelcalcolo manuale, mentre risulta meno signi…cativo quando si ricorre al calcolo automatico.

Il metodo delle tensioni ammissibili

Un criterio di veri…ca, che nella maggior parte delle normative è stato più o meno abban-donato, ma il cui uso è ancora molto di¤uso in Italia, è il metodo delle tensioni ammissibili.Esso consiste nel veri…care che, sotto carichi di esercizio, le tensioni nella struttura nonsuperino dei valori (ammissibili), sensibilmente inferiori ai limiti di resistenza (rottura,snervamento, ecc : : : ), entro i quali il funzionamento dei materiali è sostanzialmenteelastico.

Si tratta evidentemente della veri…ca di un particolare stato limite di esercizio; l’ipotesisu cui il metodo si fonda è che, se per valori di esercizio dei carichi le sollecitazioni riman-gono nei limiti assegnati, allora sarà veri…cata anche la condizione che, per valori rari, nonverrà superata la soglia di resistenza della struttura. In realtà questo non è sempre vero;in particolare rimane il problema di inserire in uno schema di azioni di esercizio quelleeccezionali (come i terremoti, ad esempio): la necessità di ridurre il livello di queste azioniper riportarle nell’ambito di una veri…ca in esercizio produce delle combinazioni di carichiche, in alcuni casi, risultano poco signi…cative. Per le strutture in cemento armato, inoltre,l’utilità di certe soluzioni nella disposizione delle armature risulta evidente solo quando sene esamina il funzionamento in prossimità delle condizioni di collasso. In genere le relati-ve veri…che sono state inserite anche nel metodo delle tensioni ammissibili, conservandoneil meccanismo e riducendo proporzionalmente azioni e resistenze; ma questi arti…ci, purconsentendo al metodo di o¤rire un grado di sicurezza adeguato, lo rendono poco coerenteed insoddisfacente dal punto di vista della formulazione teorica.

I valori previsti dalla normativa italiana per le tensioni ammissibili del calcestruzzo edell’acciaio, sono riportati nel seguito.

Calcestruzzo La tensione ammissibile di compressione negli elementi soggetti a ‡essioneo presso‡essione, come le travi, le solette o i pilastri, si ottiene, in funzione della resistenzacaratteristica cubica a 28 giorni, con la seguente formula:

¾c = 6 +Rck ¡ 15

4(N=mm2) (2.24)

Il valore così ottenuto viene ulteriormente ridotto nei seguenti casi:

1. Nelle solette di spessore inferiore di 5 cm si applica una riduzione del 30%.

2. Nelle travi a T con soletta collaborante:

² se la soletta ha spessore minore di 5 cm la riduzione è del 30%² altrimenti la riduzione è del 10%.

3. Per i pilastri calcolati a compressione semplice la tensione ammissibile prende ilvalore ridotto:

¹¾c = 0:7¾c se s ¸ 25 cm¹¾c = 0:7[1 ¡ 0:03(25 ¡ s)]¾c se s < 25 cm (2.25)


TIPO FeB 22k FeB 32k FeB 38k FeB 44k¾s (N=mm2) 115 155 215 255

Tabella 2.8: Tensioni ammissibili dell’acciaio in barre

in cui s indica la minima dimensione della sezione.

4. Negli elementi sollecitati a presso‡essione la tensione media relativa all’intera sezionenon deve superare ¹¾c.

Negli elementi soggetti alla sollecitazione di ‡essione e taglio o di torsione, se la tensionetangenziale massima non supera il valore:

¿ c0 = 0:4 +Rck ¡ 15

75(N=mm2) (2.26)

non è richiesta la veri…ca delle armature di taglio o di torsione.In ogni caso la tensione tangenziale non deve superare il valore:

¿ c1 = 1:4 +Rck ¡ 15

35(N=mm2) (2.27)

Gli stessi valori sono ammessi nelle sezioni di attacco delle ali all’anima delle travi a T oda cassone.

In caso di azione combinata di torsione e taglio il valore di ¿ c1 è incrementato del 10%.

Acciaio Le tensioni ammissibili degli acciai (¾s) sono date, in funzione della loro classe,nella tabella 2.8.

Per i …li e le reti elettrosaldate la tensione ammissibile si calcola con la seguenterelazione:

¾s = min(0:60f(0:2)k; 0:55ftk; 255) (N=mm2) (2.28)

Aderenza La tensione tangenziale media di aderenza, calcolata nell’ipotesi di distribu-zione uniforme, non deve superare uno dei seguenti valori:

² Barre tonde lisce:¿ b = 1:5¿ c0

² Barre ad aderenza migliorata:¿ b = 3:0¿ c0

Veri…che degli stati limite. Valori di progetto

Come si è già detto le resistenze di progetto fd si ottengono dai valori caratteristicidividendoli per opportuni coe¢cienti di sicurezza °:

fd =fk°

Nel seguito vengono riportati i valori dei coe¢cienti adottati dalla normativa italiana peri materiali costituenti le strutture in cemento armato.


Calcestruzzo I coe¢cienti di sicurezza per il calcestruzzo previsti dalla normativa ita-liana sono:

² Per le veri…che degli stati limite ultimi: °c = 1:6

² Per le veri…che degli stati limite di esercizio: °c = 1:0

Negli elementi con spessori minori di 5 cm il coe¢ciente °c deve essere maggiorato del25%.

La resistenza di calcolo4 a compressione fcd si ottiene dividendo la resistenza caratte-ristica cilindrica per il coe¢ciente °c; pertanto:

fcd =fck°c

=0:83Rck

°c(2.29)

Il diagramma di calcolo normalmente adottato per il calcestruzzo è quello parabola-rettangolo: esso è costituito, nell’intervallo [0; ²c1 = :002], da un ramo di parabola passanteper l’origine e di equazione:

¾c = 2f cd

"²c²c1

¡ 12

µ²c²c1

¶2#

in cui ¹fcd = 0:85fcd, e da un tratto costante, nell’intervallo [²c1; ²cu = 0:0035], di ordinata¹fcd. Quindi la massima tensione di compressione del calcestruzzo risulta di fatto l’85%della resistenza di calcolo.5

La deformazione limite ²cu = 0:0035 è, convenzionalmente, la deformazione di rotturadel materiale.

Resistenza a trazione In assenza di sperimentazione diretta, la resistenza a tra-zione semplice del calcestruzzo si esprime in funzione della resistenza caratteristica con larelazione:

fctm = 0:27R2=3ck (N=mm2) (2.30)

in cui fctm indica il valore medio della resistenza a trazione. Il valore caratteristico siottiene dal precedente moltiplicandolo per il coe¢ciente 0.7:

fctk = 0:7fctm (2.31)

Il valore della resistenza a trazione per ‡essione si assume:

fcfm = 1:2fctm (2.32)

4 I valori di progetto vengono, in Italia, indicati anche come grandezze di calcolo.5Questa riduzione tiene conto che i diagrammi ¾ ¡ ² reali del calcestruzzo hanno un ramo decrescente

e pertanto la risultante delle tensioni su di una sezione in‡essa oltre ²c1 risulta inferiore a quella calcolatacon il diagramma schematico parabola-rettangolo.


Acciaio Per l’acciaio il coe¢ciente di sicurezza previsto dalla norma italiana è:

² per le veri…che degli stati limite ultimi: °s = 1:15

² per le veri…che degli stati limite di esercizio: °s = 1:0

Il diagramma di calcolo usuale è quello elasto-plastico, con ramo elastico di moduloEs = 2:05£105 N=mm2 …no alla tensione di snervamento (di calcolo) fyd = fyk=°s e ramoplastico a tensione costante …no all’allungamento limite (convenzionale) ²sl = 0:01. Siosservi che questa deformazione è molto minore di quella di rottura dell’acciaio, anche deltipo meno duttile; essa corrisponde piuttosto al venir meno delle ipotesi di funzionamentodel cemento armato (principalmente dell’aderenza tra i due materiali) e non alla realerottura della barra. Questo limite deve essere rispettato nel valutare la resistenza ultimadelle sezioni, ma può essere trascurato se il calcolo è …nalizzato ad altro, ad esempio allavalutazione della deformazione ultima.

Altre caratteristiche del calcestruzzo

Alcune grandezze, relative al calcestruzzo, di interesse per l’analisi strutturale, sono leseguenti:

² Coe¢ciente di Poisson: si può assumere un valore compreso tra 0.1 e 0.2.

² Coe¢ciente di dilatazione termica: è poco variabile e si assume per tutti i tipi ilvalore 10¡5 ±C¡1.

² Peso speci…co: convenzionalmente il peso speci…co di un calcestruzzo normale nonarmato si assume pari a 2400 kg/m3. Il peso speci…co del cemento armato si assume2500 kg/m3.

Capitolo 3

Elementi sollecitati da tensioninormali. La ‡essione

Sintetizzando quanto visto nel precedente capitolo, si può a¤ermare che gli elementi strut-turali in cemento armato sono costituiti da due materiali dalle caratteristiche molto diverse,uno dei quali, il calcestruzzo, ha un comportamento che segue poco il modello elastico, inparticolare nei confronti delle sollecitazioni di trazione è fragile ed ha modesta resistenza.

Questi fatti implicano che i risultati della teoria dell’elasticità non possono essere este-si, se non con qualche mediazione ed approssimazione, alle strutture in cemento armato,anche per livelli di sollecitazione modesti, quali quelli associati ai carichi in esercizio. Unmodello accurato per le strutture in cemento armato deve tener conto di queste carat-teristiche, in particolare deve poter prevedere il fenomeno della fessurazione, dovuto alsuperamento della resistenza a trazione del conglomerato, e la conseguente perdita di con-tinuità. Modelli di questo tipo, con diversi gradi di accuratezza, esistono e sono inseriti incodici agli elementi …niti non lineari, ma il loro impiego è molto oneroso, sia nel calcolo,sia nella preparazione dei dati e nell’interpretazione dei risultati; l’uso di questi program-mi è giusti…cato solo per strutture di particolare impegno o per scopi di ricerca. Nellaprogettazione corrente si cerca di fare riferimento, con qualche aggiustamento, al semplicee collaudato calcolo elastico.

In particolare è importante disporre di una teoria della trave di semplicità confronta-bile con quella di Navier – De Saint Venant per i materiali omogenei con elasticità lineare.E proprio in questa direzione che si dispone di modelli semplici ma ben collaudati dall’e-sperienza; questi modelli non sono in grado di cogliere tutte le sfumature del complessocomportamento del cemento armato, né hanno la coerenza della teoria della trave elasti-ca: la loro principale giusti…cazione risiede nel collaudato successo della loro applicazionecome strumenti di progetto.

In questo capitolo verrà analizzato il comportamento delle travi in‡esse, nel prossi-mo quello degli elementi soggetti alla sollecitazione composta di ‡essione e pressione, inuno successivo verranno esaminate le sollecitazioni che inducono tensioni tangenziali: iltaglio e la torsione. Sebbene la sollecitazione di taglio non sia mai disgiunta dalla ‡es-sione, una approssimazione accettata e confortata dall’esperienza consente di analizzarleseparatamente, il che risulta molto vantaggioso dal punto di vista pratico.

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38 Capitolo 3 Elementi sollecitati da tensioni normali. La ‡essione

3.1 Ipotesi di calcolo

Si immagini di eseguire un esperimento, applicando ad una trave semplicemente appoggiatadue carichi uguali, posti alla stessa distanza dagli appoggi in modo che nella parte centralela trave sia sollecitata a pura ‡essione, e di far crescere gradualmente il carico.

Inizialmente, per valori piccoli dei carichi, le tensioni nel calcestruzzo non supererannola resistenza a trazione; inoltre il comportamento dei materiali (calcestruzzo e acciaio) sipotrà ritenere, con buona approssimazione, lineare. Pertanto la trave seguirà lo schemaprevisto dal modello di Navier: sulla sezione si avrà un diagramma delle deformazioni (edelle tensioni) lineare “intrecciato”, con la massima compressione nel lembo superiore ela massima trazione in quello inferiore. Poiché l’armatura viene usata per compensare lade…cienza di resistenza a trazione del conglomerato, è ovvio che essa sarà stata dispostail più vicino possibile al lembo inferiore (teso). Lo strato di calcestruzzo al di sotto dellebarre d’armatura (usualmente 1:5 ¥ 2:5 cm) è detto copriferro e serve a realizzare, oltrealla protezione delle barre dalla corrosione, l’aderenza tra l’armatura ed il calcestruzzo.

Al crescere del carico, in un punto di minor resistenza della …bra più tesa, si innescheràuna fessura: poiché il formarsi di una lesione riduce la resistenza della sezione, la fessuratenderà a propagarsi rapidamente, interessando parti sempre maggiori della sezione. Inassenza di armatura l’equilibrio diverrebbe impossibile e si avrebbe il collasso della trave.La presenza dell’armatura, invece, consente alle tensioni, che in precedenza erano soppor-tate dal calcestruzzo teso, di migrare nell’acciaio; la fessura si arresta creando una sezionecomposta, nella parte superiore, sopra la fessura, dal calcestruzzo compresso, ed in quellainferiore dal solo acciaio teso.

Si osservi che il calcestruzzo teso, nelle zone prossime alla fessura, risulta “scaricato” inquanto la forza ora è stata trasferita all’armatura; solo ad una certa distanza dalla fessura,quando l’aderenza avrà consentito il trasferimento della forza dall’acciaio al calcestruzzo,la sollecitazione sarà di nuovo abbastanza grande da superare la resistenza e produrreun’altra fessura. Quindi una trave in‡essa sarà caratterizzata, nella parte tesa, da uncerto numero di fessure separate da blocchi di calcestruzzo integro, nei quali le tensioninon hanno superato la resistenza.

La formazione delle fessure giusti…ca l’ipotesi, valida nell’analisi delle sezioni in‡essee presso-in‡esse, di considerare nulla la resistenza a trazione; tuttavia questo non implicache il calcestruzzo possa in ogni caso trattarsi come un materiale privo di resistenza atrazione. I blocchi di calcestruzzo integro tra le fessure svolgono un ruolo essenziale neltrasferire le tensioni dalla parte compressa a quella tesa della sezione, e quindi sono es-senziali nel funzionamento a taglio; inoltre consentono che, con buona approssimazione, sipossa assumere ancora valida l’ipotesi di conservazione delle sezioni piane, per cui l’acciaioha la stessa deformazione del calcestruzzo circostante (in media ovviamente, in quanto incorrispondenza delle fessure il calcestruzzo non è presente).

Non si deve essere tratti in inganno: l’analisi della sezione fessurata si può condurre, conottima approssimazione, trascurando la resistenza a trazione del conglomerato, ma questaresistenza è invece essenziale per garantire il funzionamento dell’insieme dei due materiali; isoli materiali realmente privi di resistenza a trazione sono quelli granulari sciolti, negli altricasi la resistenza a trazione, anche se piccola, è essenziale per spiegarne il comportamento.L’applicazione di modelli che, incondizionatamente, trascurano la capacità dei materialidi sopportare trazioni produce risultati paradossali, scarsamente utili per le applicazioni.

Le principali ipotesi su cui si basa l’analisi dello stato di tensione delle sezioni di travisollecitate da azioni normali (‡essione e pressione), sono le seguenti:

3.2 Calcolo elastico. Il metodo delle tensioni ammissibili 39

1. Conservazione delle sezioni piane; ne consegue che la deformazione in ogni puntodella sezione è proporzionale alla distanza del punto considerato dall’asse neutro.

2. La resistenza del calcestruzzo teso è trascurabile. La parte tesa della sezione diconglomerato pertanto non contribuisce all’equilibrio: la sezione reagente è costituitasolo dall’acciaio e dal calcestruzzo compresso.

3. Vi è perfetta aderenza tra acciaio e calcestruzzo, pertanto la deformazione di ognibarra coincide con quella del calcestruzzo nei punti immediatamente circostanti.

I legami costitutivi che si adottano per l’acciaio e per il calcestruzzo compresso dipen-dono dal tipo di analisi: nel calcolo allo stato limite ultimo si usano i diagrammi di calcoloillustrati in precedenza, mentre per l’analisi in campo elastico si assume un legame linearetra tensioni e deformazioni.

3.2 Calcolo elastico. Il metodo delle tensioni ammissibili

3.2.1 La sezione omogenizzata

La veri…ca delle strutture con il metodo delle tensioni ammissibili, come è stato illustratonel precedente capitolo, consiste nel controllare che in nessun punto della struttura letensioni superino i relativi valori ammissibili. Le tensioni vengono calcolate, per le azionidi esercizio, nell’ipotesi di comportamento elastico dei materiali; nel caso del calcestruzzoil comportamento elastico riguarda solo la parte compressa, mentre, come già sottolineato,il contributo del materiale teso viene trascurato.

Nelle sezioni composte da materiali diversi il modulo elastico E varia tra un puntoe l’altro; se si assume l’assenza di scorrimenti, per cui le deformazioni in un punto nondipendono dal materiale che lo occupa, le tensioni risulteranno proporzionali al moduloelastico. Per un’areola dA contenente il punto P ove il materiale ha modulo E(P ), si haallora una forza risultante:

dF = ²E(P ) dA

dove ² è la deformazione nel punto P .Introducendo un modulo elastico di riferimento E0, moltiplicando e dividendo l’equa-

zione precedente per questa grandezza, si ottiene:

dF = ²E0E(P )E0

dA

Questa relazione si può interpretare nel modo seguente: dF è la risultante delle tensioni,in un materiale di modulo E0, agenti sull’area dA pesata con il fattore E(P )=E0. In questomodo ci si può riferire ad un materiale unico, di modulo E0, purché le aree degli elementivengano pesate con il rapporto tra il modulo e¤ettivo e quello di riferimento.1

Questo arti…cio, detto omogeneizzazione della sezione in quanto virtualmente la ri-conduce ad una omogenea con modulo E0, risulta particolarmente conveniente nel calcoloelastico delle sezioni in cemento armato, perché le sezioni delle barre di armatura possono

1 Il vantaggio di questa operazione consiste nel fatto che, essendosi ricondotti al caso di un materialeomogeneo, sono ancora validi i teoremi geometrici della teoria della ‡essione, ad esempio le proprietà delbaricentro e dell’ellisse di inerzia. Tali grandezze tuttavia dovranno riferirsi, ora, ad una sezione costituitada un materiale con “densità” variabile, pari a E(P )=E0.


ragionevolmente considerarsi come elementi puntiformi di area Asi; dopo l’omogeneizza-zione si potrà assumere per ciascuna barra lo stesso modulo del calcestruzzo ed un’areaomogenizzata (Es=Ec)Asi.

Il rapporto tra i moduli elastici dell’acciaio e del calcestruzzo è detto coe¢ciente diomogeneizzazione, ed abitualmente viene indicato con il simbolo n:

n =EsEc

(3.1)

il suo valore, …ssato dalla normativa italiana, si assume uguale a 15.È interessante osservare che, facendo uso dell’eq. (2.2), si ottengono per il calcestruzzo

dei valori del modulo elastico compresi tra 22000 e 40000 N=mm2, al variare di Rck tra15 e 50 N=mm2. Poiché per il modulo elastico dell’acciaio si può assumere il valore di205000 N=mm2, dall’eq. (3.1) si ottengono valori di n compresi tra 9:5 e 5:25, quindisensibilmente inferiori al 15 …ssato dalle norme.

La spiegazione di questa apparente contraddizione sta nel fatto che il modulo elasticoEc tiene conto solo della deformabilità istantanea del calcestruzzo, mentre per l’azionedei carichi permanenti si sviluppa nel tempo anche la deformazione viscosa, la cui entità,come visto, è mediamente maggiore di quella istantanea. Il valore 15 del coe¢ciente diomogeneizzazione tiene conto, in modo forfettario e convenzionale, del contributo dellaviscosità alla deformazione del calcestruzzo.

Per quanto visto, nel calcolo elastico, le sezioni delle travi in cemento armato solleci-tate da tensioni normali, possono considerarsi come composte di un unico materiale: ilcalcestruzzo. La sezione reagente omogenizzata è pertanto costituita dalla parte compressadella sezione di calcestruzzo e dalle armature, le cui aree sono ampli…cate (omogenizzate)mediante il modulo n. A questa sezione si possono applicare tutti i risultati della teoriaelastica delle travi composte di materiale omogeneo.

Tuttavia il problema dell’analisi delle sezioni in cemento armato risulta sensibilmentepiù complesso; infatti, ad eccezione dei casi in cui la sezione è interamente compressa,la parte reagente non è nota a priori, in quanto dipende dallo stato di tensione che,ovviamente, è a sua volta funzione dalla geometria della sezione. Pertanto il problema dàluogo ad un sistema di equazioni la cui soluzione, con l’eccezione di alcuni casi semplici,non può ottenersi analiticamente, ma richiede l’impiego di procedure numeriche iterative.

Fortunatamente il caso più semplice da trattare, quello della ‡essione retta delle sezionirettangolari, è anche il più frequente che si incontra in pratica. I casi più complessi poisi presentano oggi molto meno problematici che nel passato, data la grande di¤usione dimezzi di calcolo potenti che consentono di risolverli, quando si disponga delle procedureopportune, in tempi estremamente brevi.

3.2.2 La ‡essione retta

Una sezione si dice che è sollecitata a ‡essione retta quando la risultante delle sollecitazioniè una coppia che appartiene ad un piano normale alla sezione che passa per uno degli assiprincipali di inerzia. In questo caso l’asse neutro risulta ortogonale all’asse di sollecitazione(traccia del piano della coppia sul piano della sezione) e quindi parallelo all’altro asse diinerzia.

Questa proprietà si applica anche alle sezioni in cemento armato ma, ovviamente, conriferimento alla sezione reagente; poiché questa non è nota a priori, normalmente nonè possibile stabilire se una certa sollecitazione corrisponde o no ad una ‡essione retta.


Figura~3.1: Sezione rettangolare in cemento armata sollecitata da ‡essione retta

Infatti la coincidenza dell’asse di sollecitazione con uno degli assi di inerzia della sezionegeometrica non garantisce, in generale, che questa condizione sarà veri…cata anche per lasezione parzializzata. Fa eccezione il caso delle sezioni che hanno un asse di simmetria.L’asse di simmetria è, come noto, anche asse principale d’inerzia; se la sollecitazione agiscesecondo quest’asse e l’asse neutro risulta ad esso perpendicolare, la sezione parzializzatasarà ancora simmetrica rispetto allo stesso asse e quindi la sollecitazione rimarrà rettaanche con riferimento alla sezione reagente omogenizzata.

Si può concludere che una sezione è sollecitata a ‡essione retta2 se ha un asse disimmetria e questo coincide con l’asse di sollecitazione. La condizione di sollecitazione rettasempli…ca sensibilmente il problema; infatti nell’analisi delle sezioni in cemento armato èfondamentale la determinazione della posizione dell’asse neutro che, separando la sezionecompressa da quella tesa, di fatto individua la parte di calcestruzzo reagente. In caso disollecitazione retta l’asse neutro, essendo ortogonale a quello di sollecitazione, ha giacituranota; pertanto il problema della sua individuazione presenta una sola incognita anzichédue.

Formulazione generale

Si consideri una sezione simmetrica sollecitata a ‡essione semplice da una coppia di mo-mento M agente secondo l’asse di simmetria della sezione; per quanto visto la sollecitazioneè retta e pertanto l’asse neutro avrà giacitura ortogonale all’asse di sollecitazione. Comemostrato in …g. 3.1, si assuma un riferimento ortogonale, l’asse x coincidente con l’asse neu-tro e l’asse y con quello di simmetria. La condizione che, per la sollecitazione di ‡essionesemplice, l’asse neutro passi per il baricentro della sezione omogenizzata, si esprime:

S¤n =Z

A¤y dA =

Z

Accy dA + n

mX

i=1

ysiAsi = 0 (3.2)

2analoghe considerazioni possono svolgersi per la sollecitazione di pressione eccentrica.


in cui A¤ indica l’area della sezione omogenizzata, Acc l’area della sezione di calcestruzzoreagente (compressa), mentre Asi è l’area della i-esima barra di ordinata ysi nel riferimentoadottato.

La sola incognita nell’eq. (3.2) è yc, che individua la posizione dell’asse neutro e quindil’e¤ettiva sezione reagente; la sua determinazione fornisce gli elementi necessari per ilcalcolo delle tensioni. Infatti posto:

I¤G =Z

Accy2 dA + n

mX

i=1

y2siAsi (3.3)

in cui I¤G è il momento di inerzia baricentrico della sezione omogenizzata, si ha:

¾c(y) =MI¤G

y ¾si = nMI¤G

ysi (3.4)

dove ¾c(y) indica la tensione nella …bra di ordinata y del calcestruzzo compresso e ¾si è latensione nella i-esima barra di armatura. Si osservi che la tensione nell’armatura si ottienecon la stessa relazione impiegata nel calcestruzzo, ma ampli…cata del fattore n. Infattipoiché per l’ipotesi di perfetta aderenza i due materiali hanno la stessa deformazione siha:

¾s = Es² =EsEc

Ec² = n¾c

in cui ¾c = Ec² è la tensione del calcestruzzo per e¤etto della deformazione ².3

Pur essendo la sola incognita, yc non compare esplicitamente nell’eq. (3.2); questaassume una forma più chiara se si esegue un cambiamento del riferimento, traslandolo indirezione y della quantità yc ed orientando le ordinate verso il basso. Indicando con » ed´ gli assi del nuovo riferimento:

x = » y = yc ¡ ´

per le armature si ha ysi = yc¡di (di = ´si è la distanza della barra i dal lembo compressodella sezione). Sostituendo queste relazioni nell’eq. (3.2) si ottiene:

ycAcc ¡Z

Acc´ dA + n

ÃycmX

i=1

Asi ¡mX

i=1

diAsi

!= 0

Raccogliendo i termini in yc questa equazione si scrive:

ycA¤ ¡ÃZ

Acc´ dA + n

mX

i=1

diAsi

!= 0 (3.5)

dove A¤ = Acc + nPmi=1 Asi è l’area reagente omogenizzata.

L’equazione (3.5) non è ancora esplicita in yc in quanto l’area Acc della parte compressadella sezione dipende a sua volta dalla posizione dell’asse neutro; per essere resa esplicitaoccorre precisare la forma geometrica della sezione.


Figura~3.2: Schema della sezione rettangolare parzializzata

Sezione rettangolare

Per una sezione rettangolare, come quella illustrata in …g. 3.2, l’eq. (3.5) si esplicitafacilmente. Infatti in tal caso si ha:

A¤ = byc + nAsZ

Acc´ dA = b

Z yc0

´ d´ =12by2c

in cui As =Pmi=1 Asi indica l’area totale delle armature. Sostituendo queste espressioni

nell’eq. (3.5) risulta:

yc(byc + nAs) ¡ 12by2c ¡ ndGAs = 0 (3.6)

avendo indicato con dG la distanza del baricentro delle armature dal lembo compressodella sezione:

dG =Pmi=1 diAsi

As

Sviluppando l’eq. (3.6) si ottiene un’equazione di secondo grado in yc:

y2c + 2nAsb

yc ¡ 2nAsb

dG = 0

la cui radice positiva fornisce la posizione dell’asse neutro:

yc =nAsb

Ãr1 + 2

bdGnAs

¡ 1

!(3.7)

3Qui in realtà si intende un materiale elastico con modulo Ec e quindi reagente anche a trazione.


Calcolata la posizione dell’asse neutro è immediato determinare il momento di inerziabaricentrico della sezione omogenizzata; per l’eq. (3.3) si ha:

I¤G =13by3c + n

mX

i=1

(yc ¡ di)2Asi (3.8)

e quindi i valori massimi delle tensioni di compressione nel calcestruzzo e di trazionenell’acciaio sono dati dalle relazioni (eq. (3.4)):

¾cm =MI¤G

yc ¾sm = nMI¤G

(yc ¡ dm) (3.9)

avendo indicato con dm la distanza dell’armatura più lontana dal lembo compresso.4

Dimensionamento della sezione

La progettazione strutturale si svolge mediante un procedimento di prova e correzione:assegnate le dimensioni degli elementi strutturali e valutati i carichi se ne determinanole sollecitazioni e quindi si veri…ca che queste non superino i limiti stabiliti; se qualchecondizione non è soddisfatta si modi…cano le dimensioni degli elementi interessati e siesegue una nuova veri…ca. Questo avviene non soltanto perché il procedimento diretto delcalcolo delle dimensioni degli elementi è troppo complesso per essere perseguito, ma ancheperché il problema è largamente indeterminato ed inoltre spesso esistono vincoli di altrogenere, architettonici, costruttivi, ecc : : : , che impongono delle ulteriori condizioni alledimensioni delle strutture.

Ciò premesso, è tuttavia utile disporre di semplici relazioni per il dimensionamentodelle sezioni, da impiegarsi ad esempio nell’analisi preliminare. Si deve tener conto inoltreche usualmente l’analisi strutturale delle opere in cemento armato viene condotta con rife-rimento alle sezioni geometriche in calcestruzzo, considerate elastiche e reagenti a trazione,senza tener conto dell’armatura: l’armatura quindi si può calcolare in modo diretto, inquanto le sollecitazioni, nei limiti di questa approssimazione, non dipendono da essa.

Formule di progetto si ottengono facilmente per le sezioni rettangolari con un sololivello di armatura. Benché formule più complesse si possano ottenere per le sezioni conarmatura posta anche al lembo compresso, non vale la pena so¤ermarsi su esse, poiché ai…ni pratici sono su¢cienti quelle relative alla sezione semplicemente armata, i cui risultatisi possono estendere, con qualche approssimazione, anche ai casi più generali.

Si consideri una sezione rettangolare, come quella illustrata in …g. 3.3, con un sololivello di armatura e sollecitata a ‡essione retta da una coppia di momento M . Si voglionodeterminare le dimensioni della sezione e l’armatura necessaria perché le tensioni massimenei materiali siano esattamente quelle ammissibili.

Come si vede dal digramma delle tensioni riportato in …g 3.3, questa condizione implicache il rapporto K = yc=d risulta de…nito dai valori ammissibili delle tensioni nei materiali:

K =ycd

=¹¾c

¹¾c + ¹¾s=n(3.10)

4Normalmente si indicano con segno positivo le tensioni di trazione. Nel cemento armato tuttavia è con-veniente rovesciare questa convenzione, assumendo positive le compressioni. Poiché usualmente la veri…cariguarda il massimo (in valore assoluto) della compressione del calcestruzzo e della trazione dell’acciaio,quando questo non induce ambiguità, si farà riferimento al valore assoluto delle tensioni.


Figura~3.3: Sezione rettangolare con semplice armatrura: condizioni di progetto.

Per l’equilibrio della sezione, la risultante C delle tensioni di compressione del calce-struzzo e quella T delle trazioni nell’armatura formano una coppia di momento M . Ilbraccio della coppia, z, è la distanza tra queste risultanti. Poiché la sezione è rettangolareed il diagramma delle compressioni è un triangolo di altezza yc, tale risultante passa per ilpunto, sull’asse di simmetria, distante yc=3 dal lembo compresso della sezione; pertanto:

z = d ¡ yc3

= dµ

1 ¡ K3

¶= d³

dove ³ = 1 ¡ K=3 è il rapporto tra il braccio z e l’altezza utile d.5

Sostituendo nell’equazione precedente l’espressione di K (eq. (3.10)), si ha:

³ =2n¹¾c + 3¹¾s3(n¹¾c + ¹¾s)

(3.11)

Per l’equilibrio della sezione, il momento esterno M dovrà uguagliare quello della coppiainterna:

M = Cz = Tz (3.12)

dove C e T valgono rispettivamente:

C =Z

Acc¾cdA =

12byc¹¾c T = As¹¾s (3.13)

Sostituendo l’espressione di C nell’eq. (3.12) e tenendo conto delle de…nizioni di z e Ksi ha:

M =12K³¹¾cbd2

5L’altezza utile delle sezioni in cemento armato è la distanza tra il lembo compresso e l’armaturamaggiormente tesa. Normalmente di¤erisce dall’altezza e¤ettiva h della sezione in calcestruzzo per l’altezzadel copriferro.


¹¾s = 115 ¹¾s = 155 ¹¾s = 215 ¹¾s = 255¹¾c ® ³ ® ³ ® ³ ® ³6.0 0.0298 0.854 0.0321 0.877 0.0354 0.902 0.0374 0.9136.5 0.0281 0.847 0.0302 0.871 0.0332 0.896 0.0350 0.9087.0 0.0267 0.841 0.0286 0.865 0.0313 0.891 0.0329 0.9037.5 0.0254 0.835 0.0271 0.860 0.0296 0.885 0.0311 0.8988.0 0.0243 0.830 0.0259 0.854 0.0281 0.881 0.0296 0.8938.5 0.0233 0.825 0.0248 0.849 0.0269 0.876 0.0282 0.8899.0 0.0224 0.820 0.0238 0.845 0.0257 0.871 0.0269 0.8859.5 0.0216 0.815 0.0229 0.840 0.0247 0.867 0.0258 0.88010.0 0.0209 0.811 0.0220 0.836 0.0237 0.863 0.0248 0.87610.5 0.0202 0.807 0.0213 0.832 0.0229 0.859 0.0239 0.87311.0 0.0196 0.803 0.0206 0.828 0.0221 0.855 0.0231 0.869

Tabella 3.1: Valori dei coe¢cienti ® e ³. Tensioni in N/mm2; M in kN£m, b e d in m.

Questa equazione si può risolvere rispetto a d o b, ottenendo:

d = ®

rMb

b = ®2Md2

(3.14)

in cui ® è un coe¢ciente, funzione di n e dei valori delle tensioni ammissibili dei materiali:

® =r

2K³¹¾c

(3.15)

Per le relazioni (3.14), …ssata una delle dimensioni della sezione (b o d), se ne puùdeterminare l’altra in modo che la tensione nel calcestruzzo sia quella …ssata.

Dalla seconda delle equazioni (3.12), noto d, si calcola facilmente l’area di armaturaoccorrente:

T = As¹¾s =Mz

=M³d

da cui:

As =M

³d¹¾s(3.16)

I valori dei coe¢cienti ® e ³ che compaiono nelle formule di progetto (3.14) e (3.16)dipendono, oltre che dal coe¢ciente n, dalle tensioni ammissibili del calcestruzzo e del-l’acciaio e sono riportati, per i valori più frequenti di ¹¾c e ¹¾s, nella tabella 3.1.

L’equazione (3.16) è particolarmente importante; in essa l’unico parametro che dipendeda ¹¾c e da n è il coe¢ciente del braccio delle forze interne ³. Un esame della tabella 3.1dimostra che ³ è poco sensibile alle variazioni delle tensioni ammissibili: nel campo deivalori riportati in tabella la variazione è circa compresa tra 0.8 e 0.9.6 Questo fattoè importante per diversi motivi: 1) giusti…ca in parte l’adozione di un coe¢ciente diomogeneizzazione forfettario e convenzionale, indipendente dal reale modulo elastico delcalcestruzzo, in quanto l’area di armatura richiesta per resistere ad un momento M èpraticamente indipendente dal valore di n; 2) consente di dimensionare l’armatura tesaoccorrente, quando sia …ssata l’altezza della sezione, senza necessità di determinare latensione del calcestruzzo.

6Anche se qui non è analizzata, vi è una analoga scarsa sensibilità anche nei confronti di n.


Quest’ultima osservazione sempli…ca notevolmente il dimensionamento delle armature:si tenga presente che generalmente in una trave la sollecitazione massima viene raggiuntain una sezione; tuttavia, per ragioni costruttive, la sezione di calcestruzzo comunemente èmantenuta costante in tutta la campata, spesso anche in più campate di uno stesso alli-neamento. Non però l’armatura, che viene fatta variare di sezione in sezione (ovviamentein modo discreto), seguendo la legge di variazione del momento. Le veri…che delle sezionipossono limitarsi a quelle critiche più sollecitate, mentre la determinazione dell’armaturaoccorrente nelle sezioni intermedie si calcola facilmente con l’eq. (3.16).

Comunemente si assume ³ » 0:9. Questo è un poco maggiore della media dei valoririportati nella tabella 3.1, ma si deve tener presente che se, come accade sovente, vi èun certo quantitativo di armatura nella zona compressa, il braccio delle risultanti delletensioni aumenta; inoltre gli acciai di qualità inferiore, a cui corrispondono i valori minoridi ³, sono oggi raramente usati.

Sezioni a T ed I

La forma rettangolare è praticamente la sola per cui l’integrale nell’eq. (3.5) si esplicitafacilmente in modo tale che se ne possa dare una soluzione in forma chiusa. Generalmentequesta equazione deve essere risolta numericamente con un procedimento iterativo; unmetodo di facile applicazione sarà illustrato nel successivo paragrafo.

Come è già stato notato, la sezione rettangolare è quella che in pratica si incontra più difrequente; tuttavia è anche abbastanza comune l’impiego delle sezioni a T; questo avvienenon soltanto perché questa forma è la più razionale nelle sezioni in‡esse, poiché concentral’area dove il materiale è maggiormente sollecitato, ma anche in quanto l’intersezione delletravi con le solette da esse portate genera, anche involontariamente, una sezione resistenteche assume la forma a T.

A questo proposito la normativa italiana prescrive quanto segue:

Nel calcolo di nervature solidali con solette, salvo più accurata determinazione,si può ammettere, nell’ipotesi di conservazione delle sezioni piane, come colla-borante con la nervatura, da ciascun lato, una striscia di soletta di larghezzapari alla maggiore fra le dimensioni seguenti:

² un decimo della luce della nervatura;

² cinque volte lo spessore della soletta più una volta la larghezza dell’eventuale rac-cordo della soletta.

In nessun caso la larghezza di soletta collaborante da ciascun lato può superarela distanza fra la sezione in esame e quella in cui ha termine la soletta, né lametà della luce fra le nervature.

Per luci di qualche importanza e comunque superiori a 5 m, o in presen-za di rilevanti carichi concentrati, sono da prevedersi adeguati dispositivi diripartizione.

Il calcolo delle sezioni a T si riconduce facilmente al caso delle sezioni rettangolari.Infatti si possono veri…care due situazioni, illustrate nella …g. 3.4:

1. L’asse neutro taglia la sezione in corrispondenza delle ali (yc · s).


Figura~3.4: Sezione a T: (a sinistra) l’asse neutro attraversa la soletta e (a destra) l’asseneutro è al di sotto della soletta

2. L’asse neutro attraversa la sezione al di sotto delle ali (yc > s).

Nel primo caso la situazione è del tutto identica, ai …ni della resistenza a ‡essione, aquella di una sezione rettangolare di base bs (larghezza in corrispondenza delle ali). Infattiil calcestruzzo al di sotto dell’asse neutro viene trascurato e pertanto, ai …ni del calcolodelle tensioni normali, la sua presenza è inutile. Quindi, se si veri…ca la situazione (1), ilcalcolo delle sollecitazioni si svolge usando le eq. (3.7) – (3.9), ponendo bs in luogo di b.

Nel secondo caso tutto il calcestruzzo delle ali risulta compresso ed è pertanto reagente;pur non essendo indispensabile, anche questo caso si può ricondurre a quello della sezionerettangolare con base uguale alla larghezza dell’anima b, trasformando l’area delle ali inquella di una barra di acciaio equivalente:

Ase =(bs ¡ b)s

n

concentrata nel baricentro alla distanza de = s=2 dal lembo compresso. Le formule (3.7)– (3.9) si applicano ancora, ove si sostituisca all’area totale delle armature, As, l’areaequivalente At = As + Ase posta nel baricentro dt = (dGAs + deAse)=At.

Determinata la posizione dell’asse neutro, nel calcolo del momento di inerzia dellasezione omogenizzata si deve tener conto che l’area delle ali è di¤usa su di un’altezza se non concentrata nel baricentro; pertanto il calcolo si svolge con riferimento alla sezionee¤ettiva e non a quella rettangolare equivalente:

I¤G =13

£bsy3c ¡ (bs ¡ b)(yc ¡ s)3

¤+ n

mX

i=1

Asi(yc ¡ di)2 (3.17)

Ovviamente a priori non è nota quale delle due situazioni si veri…chi. Pertanto ènecessario procedere per tentativi: supponendo valida l’ipotesi (1) si calcola la posizionedell’asse neutro per una sezione rettangolare di base bs; se risulta yc · s l’ipotesi è veri…catae pertanto si può continuare il calcolo come indicato nel primo caso; se invece yc > sl’ipotesi (1) risulta falsa ed il calcolo deve essere ripetuto assumendo valida l’ipotesi (2)che, per esclusione, deve essere necessariamente vera.


Si deve peraltro osservare che se l’asse neutro cade poco al di sotto della soletta loscarto tra le due soluzioni risulta minimo, in quanto il contributo della zona di calcestruzzoal di sotto delle ali, che non esiste ma viene messa in conto dalla prima soluzione, èpiccolo poiché, essendo prossima all’asse neutro, su essa agirebbero tensioni molto piccole.Questo è utile non tanto ai …ni della veri…ca, per cui non è di¢cile utilizzare la soluzioneesatta, ma per il dimensionamento, che si può fare, nella maggior parte dei casi, usando leformule valide per la sezione rettangolare, assumendo per b il valore della larghezza delleali compresse.

Nel caso in cui il verso del momento esterno è tale da comprimere le …bre inferiori,assumendo che, come avviene di solito, l’asse neutro cada al di fuori della soletta, questarisulta tesa e non svolge alcun ruolo. Pertanto la sezione si comporta in questa situazionecome se fosse rettangolare con base uguale alla larghezza b dell’anima.

Le sezioni ad I (o doppio T), sono di impiego meno frequente nel cemento armatoordinario, mentre sono spesso usate in quello precompresso. Se si assume, come è lecitoattendersi, che l’asse neutro cada al di sopra delle ali inferiori della trave, queste sezionisi comportano esattamente come delle analoghe a semplice T, e la presenza della solettainferiore può essere ignorata.

Sezioni di forma arbitraria. Il metodo delle strisce

Nel caso di sezioni di forma qualsiasi (ma simmetriche) come quella di …g. 3.1, l’equazione(3.5) si può risolvere mediante un semplice procedimento iterativo. Dividendo la sezionein strisce sottili di altezza ¢í, indicando con í l’ordinata del baricentro della striscia, siavrà:

Acc =Z yc0

b(´)d´ 'X

i

b(í)¢í

Z yc0

´b(´) d´ 'X

i

íb(í)¢í

dove la sommatoria è estesa a tutte le strisce compresse, cioè che giacciono al di sopradell’asse neutro, e b(´) indica la larghezza della sezione in corrispondenza della …bra postaa distanza ´ dal lembo compresso.

Sostituendo le due espressioni precedenti nell’eq. (3.5) risolta rispetto ad yc, si ha:

yc 'Pi íb(í)¢í + n

Pmj=1 dsjAsjP

i b(í)¢í + nPmj=1 Asj

(3.18)

Il procedimento consiste nell’aggiungere termini alle sommatorie relative alle striscedella sezione di calcestruzzo …no a che non risulta:

yc » ´k +¢´k2

in cui k è l’indice dell’ultima striscia sommata; questo implica che nelle sommatorie cheapprossimano gli integrali è stata presa in conto tutta e sola la parte di sezione compressa.

Trovata la posizione dell’asse neutro, il momento di inerzia della sezione reagente sicalcola agevolmente con una analoga approssimazione. Se le strisce sono abbastanza sottilida poterne trascurare il momento di inerzia proprio si ha:

I¤G 'kX

i=1

y2i b(yi)¢í + nmX

j=1

(yc ¡ di)2Asi


Figura~3.5: Sezione soggetta a ‡essione deviata

in cui yi = yc¡ ´i sono le distanze dall’asse neutro dei baricentri delle strisce. Le tensionimassime nel calcestruzzo e nell’acciaio si calcolano quindi mediante le eq. (3.9).

3.2.3 Flessione deviata

Quando la sezione non ha un asse di simmetria o, pur avendolo, l’asse di sollecitazionenon coincide con esso, la giacitura dell’asse neutro non risulta più perpendicolare alladirezione della sollecitazione e pertanto non è più nota a priori. Il problema presentadunque due incognite, i due parametri necessari a de…nire la posizione dell’asse neutro, equindi richiede la soluzione di un sistema di due equazioni.

Le due equazioni sono fornite dalle condizioni che siano nulli il momento statico rispettoall’asse neutro ed il momento centrifugo tra l’asse neutro e quello di sollecitazione dellasezione omogenizzata. Questo è ben noto dalla teoria elastica delle sezioni in‡esse, e sipuò dedurre facilmente in modo diretto.

Come illustrato in …gura 3.5, indicando con (x; y) un riferimento ortogonale, l’asse xcoincidente con l’asse neutro, e con (t; s) un altro riferimento in cui s è l’asse di solleci-tazione, per le ipotesi di conservazione delle sezioni piane e di comportamento lineare deimateriali, si può porre:

¾(y) = µy (3.19)

in cui µ = ¾cm=yc è la tangente del diagramma delle sollecitazioni.


Per l’equilibrio tra le sollecitazioni e le risultanti delle tensioni si ha:Z

A¤¾(y) dA = 0

Z

A¤¾(y)t dA = 0 (3.20)

Z

A¤¾(y)s dA = M

Sostituendo l’eq. (3.19) nelle prime due equazioni (3.20) si ottiene:Z

A¤y dA = 0

Z

A¤yt dA = 0 (3.21)

che esprimono in forma analitica le due condizioni sopra citate.Indicando con ® l’angolo formato dall’asse neutro con la perpendicolare all’asse di

sollecitazione (preso positivo se di verso antiorario), il passaggio dal riferimento (x; y) aquello (t; s) è dato dalle relazioni:

t = x cos® ¡ y sin®s = x sin® + y cos®

Sostituendo l’espressione di t nella seconda delle eq. (3.21) si ha:

cos®Z

A¤xy dA ¡ sin®

Z

A¤y2 dA = 0

da cui si ottiene:

tan® =RA¤ xy dARA¤ y2 dA

(3.22)

Solo in apparenza l’eq. (3.22) fornisce esplicitamente l’incognita ®: infatti gli integralia secondo membro dipendono dall’area della sezione reagente e dunque dalla posizionedell’asse neutro. Tuttavia questa relazione può essere utilizzata in uno schema iterativo.

Fissata una giacitura di tentativo, individuata dall’angolo ®(1), si può determinare, peresempio con il metodo delle strisce visto nel paragrafo precedente, la posizione di x chesoddisfa la prima delle eq. (3.20). De…nita così la sezione reagente, si possono calcolaregli integrali dell’eq. (3.22), da cui si ottiene un valore di ® di seconda approssimazione. Sequesto coincide, a meno di una tolleranza …ssata, con il valore precedente, si è raggiunta lasoluzione, altrimenti si sostituisce ad ®(1) l’ultimo valore trovato e si ripete il procedimento…no a convergenza.

Determinata la posizione dell’asse neutro, dalla terza delle eq. (3.20) si ricava facil-mente:

µ =M

I¤x cos® + I¤xy sin®

in cui I¤x è il momento di inerzia relativo all’asse neutro e I¤xy è il momento centrifugorelativo ai due assi ortogonali della sezione reagente omogenizzata. Noto µ la tensione in


ogni punto del calcestruzzo compresso è data dall’eq. (3.19), mentre per l’acciaio questovalore deve, come sempre, essere moltiplicato per il coe¢ciente n.

Per la ‡essione deviata non è utile specializzare il problema a casi particolari: infattianche nei più semplici, come la sezione rettangolare, la parte reagente ha in genere formairregolare e la soluzione esplicita delle equazioni (3.21) risulta generalmente impossibile.Pertanto è preferibile in ogni caso fare riferimento alla procedura generale indicata sopra.L’applicazione manuale è piuttosto lunga e tediosa; tuttavia il metodo si può facilmenteprogrammare, rendendolo in tal modo rapido e preciso.

In…ne è necessario osservare che la ‡essione deviata si incontra di rado nelle applica-zioni.7 Il motivo è che raramente le travi esistono come elementi isolati; normalmenteesse sono vincolate dalla continuità con solai e solette che ne condizionano le possibilitàdi deformarsi. Ad esempio le travi di bordo degli edi…ci hanno spesso sezione a formadi ¡, quindi non sono simmetriche e, per quanto visto, dovrebbero essere soggette a ‡es-sione deviata; tuttavia la presenza della soletta costringe il piano di in‡essione a restareretto e queste travi praticamente si comportano come se avessero sezione a T simmetrica,ovviamente con uguale larghezza delle ali.

3.2.4 Esempi

Nel seguito si riportano alcuni esempi, relativi alla veri…ca od al dimensionamento, conil metodo delle tensioni ammissibili, di sezioni in cemento armato sollecitate a ‡essioneretta.

Esempio 3.1 Calcolare i valori massimi della tensione nel calcestruzzo e nell’acciaio in unasezione rettangolare di base b = 30 cm, altezza h = 45 cm, con doppia armatura:

As1 = 2Á12 = 2:26 cm2 d1 = 3:0 cm2

As2 = 3Á18 = 7:60 cm2 d2 = 42:0 cm2

e sollecitata a ‡essione da un momento M = 75 kNm.L’armatura risultante è data da:

As = As1 + As2 = 2:26 + 7:60 = 9:86 cm2

dG =d1As1 + d2As2

As=

3: £ 2:26: + 42: £ 7:609:86

= 33:06 cm

La posizione dell’asse neutro si calcola utilizzando l’eq. (3.7):

yc =nAs

b

Ãr1 + 2

bnAs

dG ¡ 1

!= 13:79 cm

Quindi, dalla eq. (3.8) si ha il momento di inerzia della sezione omogenizzata:

I¤G =

13by3

c + n[(yc ¡ d1)2As1 + (yc ¡ d2)2As2] = 120892 cm4

In…ne le sollecitazioni si ottengono applicando le eq. (3.9)

¾cm =MI¤G

yc =75000001208920

13:79 = 855 N=cm2 = 8:55 N=mm2

¾sm = nMI¤G

(yc ¡ d2) = 157500000120892

(13:79 ¡ 42) =

= ¡26260 N=cm2 = ¡262:6 N=mm2

27Al contrario la sollecitazione di presso‡essione deviata è molto comune nei pilastri degli edi…ci.


Esempio 3.2 Dimensionare una sezione rettangolare in cemento armato sollecitata a ‡essionecon M = 120 kNm, ipotizzando i seguenti materiali:Calcestruzzo Rck = 30 N=mm2 ¾c = 9:75N=mm2

Acciaio Fe B 44 k ¾s = 255 N=mm2

Dalle eq. (3.10), (3.11) e (3.15) o dalla tabella 3.1 si ottiene:

K =9:75

9:75 + 255=15= 0:364 ³ = 0:878 ® = 0:0253

Assumendo la base b = 30 cm, dalla prima delle eq. (3.14) si ha:

d = 0:0253r

1200:30

= 0:509 m

Si pone quindi h = 55 cm (d = 52 cm); l’area dell’armatura è data dall’eq. (3.16):

As =M

³d¾s=

1200000:878 £ 0:52 £ 255

= 1030 mm2 = 10:3 cm2

Si impiegano 2Á16 + 2Á20 ! As = 10:28 cm2. 2

Esempio 3.3 Veri…care la sezione dimensionata nell’esempio precedente.Altezza della zona compressa:

yc =15 £ 10:28

30

Ãr1 + 2

3015 £ 10:28

52 ¡ 1

!= 18:54 cm

Momento di inerzia della sezione omogenizzata:

I¤G =

1330 £ 18:543 + 15(18:54 ¡ 52)210:28 = 236365 cm4

Tensioni massime nei materiali:

¾cm =12000000236365

18:54 = 942: N=cm2 = 9:42 N=mm2

¾sm = 1512000000236365

(18:54 ¡ 52) = ¡25480: N=cm2 = ¡254:8 N=mm2

2

Esempio 3.4 Veri…care la sezione a T rappresentata nella …g. 3.6, sollecitata a ‡essione conM = 240 kNm.Armatura:

As1 = 4Á10 = 4:42 cm2 d1 = 3 cmAs2 = 6Á22 = 22:8 cm2 d2 = 47 cm

Supponendo che l’asse neutro cada nella soletta, si pone b = 80 cm; l’armatura risultante è:

As = 4:42 + 22:80 = 27:32 cm2 dG = 39:72 cm

Dall’eq. (3.7) si ottiene:nAs

b=

15 £ 27:3280

= 5:122 cm

yc = 5:122

Ãr1 +

2 £ 39:725:122

¡ 1

!= 15:69 cm < 20: cm


Figura~3.6: Sezione a T da veri…care

Essendo yc < s, l’ipotesi è confermata; dunque per le eq. (3.8) il momento di inerzia della sezionereagente è:

I¤G =

1380 £ 15:693 + 15[(15:69 ¡ 3)24:52 + (15:69 ¡ 47:)222:8] =

= 449186 cm4

e le tensioni massime risultano:

¾cm =MI¤G

yc = 8:38 N=mm2

¾sm = nMI¤G

(yc ¡ d2) = 251:0 N=mm2

2

Esempio 3.5 Veri…care la sezione in cemento armato illustrata nella …g. 3.7 e sollecitata a‡essione retta con M = 400 kNm: As = 5Á24 = 22:6 cm2, d = 77 cm.Si fa l’ipotesi che l’asse neutro tagli la soletta. In tal caso si applica l’eq. (3.7) con b = 60 cm:

nAs

b=

15 £ 22:660

= 5:65 cm

yc = 5:65

Ãr1 +

2 £ 775:65

¡ 1

!= 24:38 cm > 15 cm

Questo risultato contraddice l’ipotesi fatta: pertanto l’asse neutro è al di sotto della soletta.L’armatura equivalente al calcestruzzo delle ali è:

Ase =(60 ¡ 25)15

15= 35 cm2 de = 7:5 cm

per cui l’armatura risultante:

At = 22:6 + 35: = 57:6 cm2 dt =22:6 £ 77 + 35 £ 7:5

57:6= 34:77 cm


Figura~3.7:

Posto b = 25 cm, dall’eq. (3.7) si ottiene la posizione dell’asse neutro:

nAt

b=

15 £ 57:625

= 34:56 cm

yc = 34:56

Ãr1 +

3 £ 34:7734:56

¡ 1

!= 25:42 cm

Il momento di inerzia della sezione reagente si calcola mediante l’eq. (3.17):

I¤G =

13[60 £ 25:423 ¡ 35:(25:42 ¡ 15)3] + 15 £ 22:6(25:42 ¡ 77)2 = 1217225 cm4

e quindi le tensioni massime risultano:

¾cm =400000001217225

25:42 = 835 N=cm2 = 8:35 N=mm2

¾sm = 15400000001217225

(25:42 ¡ 77) = ¡25425 N=cm2 = ¡254:5 N=mm2

2

Esempio 3.6 Veri…care la sezione circolare in cemento armato, illustrata in …g. 3.8, sollecitataa ‡essione con M = 118 kNm.Si applica il metodo delle strisce, suddividendo la sezione in rettangoli di altezza 1.0 cm. Lelarghezze delle strisce vengono calcolate con la relazione:

b(í) = 2p

í(2r ¡ í)

in cui r indica il raggio della sezione.Si può pertanto costruire la tab. 3.2. Nella prima riga sono riportati l’area, il momento statico ed’inerzia relativi alle sole armature omogenizzate; quelle successive si ottengono dalle precedentiaggiungendovi il contributo della i-esima striscia. Il calcolo viene interrotto quando yc » ´k +¢´k=2, dove k indica l’ultima striscia sommata.


Figura~3.8: Sezione circolare veri…cata con il metodo delle strisce

¢í b(í) í A¤(í) S¤(í) yc = S¤=A¤ I¤

— — — 208.50 8166.0 — 443260.1.00 10.909 0.50 219.41 8171.5 37.243 443260.1.00 18.735 1.50 238.14 8199.6 34.431 443300.1.00 23.979 2.50 262.12 8259.5 31.510 443450.1.00 28.125 3.50 290.25 8357.9 28.796 443800.1.00 31.607 4.50 321.85 8500.2 26.410 444440.1.00 34.627 5.50 356.48 8690.6 24.379 445480.1.00 37.296 6.50 393.78 8933.0 22.686 447060.1.00 39.686 7.50 433.46 9230.7 21.295 449290.1.00 41.845 8.50 475.31 9586.4 20.169 452310.1.00 43.806 9.50 519.11 10003. 19.268 456270.1.00 45.596 10.5 564.71 10481. 18.560 461290.1.00 47.233 11.5 611.94 11024. 18.015 467540.1.00 48.734 12.5 660.68 11634. 17.609 475160.1.00 50.110 13.5 710.79 12310. 17.319 484290.1.00 51.371 14.5 762.16 13055. 17.129 495090.1.00 52.526 15.5 814.69 13869. 17.024 507710.1.00 53.582 16.5 868.27 14753. 16.992 522300.

Tabella 3.2:

3.3 Calcolo allo stato limite ultimo 57

Il momento di inerzia calcolato nella tab. 3.2 è relativo ad un asse parallelo all’asse neutro, tangenteal lembo più compresso della sezione. Il momento baricentrico è pertanto:

I¤G = I¤ ¡ A¤y2

c = 522300: ¡ 868:27 £ 16:9922 = 271606 cm4

Quindi le tensioni massime di compressione nel calcestruzzo e di trazione nell’acciaio risultano:

¾cm =MI¤G

yc = 7:4 N=mm2

¾sm = nMI¤G

(yc ¡ dm) = 254:2 N=mm2

2

3.3 Calcolo allo stato limite ultimo

Come è stato già sottolineato in precedenza, la veri…ca delle strutture con il metodo deglistati limite consiste nel controllare che, per opportune combinazioni dei carichi, dettecondizioni di progetto, la struttura non superi certe condizioni limiti di funzionamento; inparticolare la più importante8 è quella di resistenza (o non collasso), detta anche condizionedi stato limite ultimo.

Nelle strutture a telaio la veri…ca allo stato limite ultimo si esegue controllando chele sollecitazioni prodotte dai carichi di progetto non superino in alcun punto la resistenzadelle sezioni; nel caso di ‡essione semplice questa condizione è veri…cata se:

Md · Mu (3.23)

dove Md indica il momento prodotto dai carichi di progetto (per la condizione di caricoesaminata) e Mu è il momento resistente ultimo della sezione. La veri…ca della sezionepertanto coincide con la determinazione del suo momento ultimo Mu.

Convenzionalmente il collasso della sezione è determinato dal superamento, nel calce-struzzo o nell’acciaio, della rispettiva deformazione ultima. Precisamente si assume chesia stato raggiunto il limite di resistenza della sezione in‡essa se la deformazione del cal-cestruzzo compresso prende il valore ²cu = 3:5 £ 10¡3 o quella dell’acciaio teso il valoredell’allungamento limite ²sl = 0:01. Questo implica che tutti i diagrammi delle deforma-zioni relativi ad una situazione di collasso devono passare per uno di questi due punti,come è illustrato in …g. 3.9, con riferimento al caso della ‡essione retta.

Come si vede dalla …gura, l’insieme di tutti i possibili diagrammi di collasso per ‡essionepuò suddividersi in tre regioni, corrispondenti a diversi meccanismi di rottura.

² Regione 1. Corrisponde ai diagrammi in cui ²cm = ²cu,9 j²smj < ²sy, dove ²sy =fyd=Es è l’allungamento dell’acciaio in corrispondenza della tensione di plasticizza-zione. La rottura avviene per schiacciamento del calcestruzzo, mentre l’acciaio nonha superato la soglia plastica. Questo meccanismo si veri…ca nelle sezioni fortementearmate e produce collassi improvvisi e con piccole deformazioni (piccola duttilità).

² Regione 2. È costituita dai digrammi per cui ²cm = ²cu e ²sy · j²smj · ²sl.Il collasso è ancora prodotto dallo schiacciamento del calcestruzzo, ma dopo chel’acciaio ha superato la soglia plastica. Le sezioni che collassano in questo modosono dette normalmente armate; il loro comportamento è tanto più duttile quantomaggiore è l’allungamento dell’acciaio nella condizione di rottura.

8Ma non necessariamente la più vincolante.9²cm indica la massima deformazione del calcestruzzo compresso.


Figura~3.9: Meccanismi di collasso per ‡essione delle sezioni in cemento armato

² Regione 3. Raccoglie i diagrammi per cui ²cm < ²cu, j²smj = ²sl. Lo stato limiteè raggiunto per l’eccessivo allungamento dell’armatura principale, prima che il cal-cestruzzo arrivi alla deformazione ultima. Questo si veri…ca per sezioni debolmentearmate, cui corrispondono meccanismi di collasso duttili, accompagnati da grandideformazioni plastiche.

La maggior parte delle sezioni correttamente progettate collassano con un meccanismoche appartiene ad una fascia a cavallo tra le regioni 2 e 3. Il diagramma di separazionetra queste due regioni (²cm = ²cu, j²smj = ²sl) è detto di rottura bilanciata e corrispondealla situazione in cui entrambi i materiali raggiungono simultaneamente la deformazioneultima. Le sezioni che collassano in questo modo si dicono avere armatura bilanciata.10

3.3.1 Sezione rettangolare

Fissato un diagramma delle deformazioni corrispondente allo stato limite della sezione,dalle leggi tensioni-deformazioni dei materiali si deducono i corrispondenti diagrammidelle tensioni. In particolare per il calcestruzzo, adottando la legge parabola-rettangoloprevista dalla normativa italiana, per tutti i diagrammi che appartengono alle regioni 1e 2 (per cui ²cm = ²cu) il diagramma delle tensioni assume la forma parabola rettangolo,illustrata in …g. 3.10.

Indicando ancora con yc l’altezza della zona compressa, il diagramma si può dividerein due parti: una, di altezza

yc1 =²cu ¡ ²c1

²cuyc =

(3:5 ¡ 2:0)10¡3

3:5 £ 10¡3yc = 0:429yc

con tensione uniforme, di valore fcd = 0:85fcd, e l’altra, di altezza

yc2 =²c1²cu

yc =2 £ 10¡3

3:5 £ 10¡3yc = 0:571yc

10Alcuni autori de…niscono rottura bilanciata quella per cui ²cm = ²cu e j²smj = ²sy , ossia il diagrammadi separazione tra le regioni 1 e 2. Noi preferiamo assegnare questa de…nizione all’altro meccanismo, moltopiù frequente ed importante, mentre il limite delle sezioni fortemente armate corrisponde ad una rotturafragile il cui veri…carsi andrebbe evitato.


Figura~3.10: Diagramma delle tensioni nel calcestruzzo al collasso

in cui le tensioni variano con legge parabolica lungo l’altezza.Per una sezione rettangolare la risultante delle tensioni relative a questo diagramma si

valuta facilmente:

C1 = yc1bfcd = 0:429ycbfcd

C2 =23yc2bf cd = 0:381ycbf cd

C = C1 + C2 = 0:810ycbfcd (3.24)

Il centro di applicazione di C dista dal lembo compresso della quantità:

´C =C1yc1=2 + C2(yc1 + 3yc2=8)

C=

=[0:4292=2 + 0:381(0:429 + 0:214)]y2c bfcd

0:81ycbfcd= 0:416yc (3.25)

Dunque la risultante delle compressioni agenti su di una sezione rettangolare è una forzaC di intensità 0:81ycbfcd applicata alla distanza 0:416yc dal lembo compresso. Con piccolaapprossimazione questo sistema risultante coincide con quello dovuto ad un diagrammauniforme, di intensità fcd, che si estende per una altezza pari a » 0:8yc, come illustrato in…g. 3.10. Quest’ultimo è chiamato il diagramma rettangolare equivalente.

Per le rotture che avvengono nel campo 3, il diagramma delle tensioni è diverso daquello rappresentato in …g. 3.10. Infatti al diminuire di ²cm si riduce il tratto a ten-sione costante, che scompare quando ²cm < ²c1; pertanto la risultante delle tensioni nelcalcestruzzo non è più espressa dall’eq. (3.24).

La risultante ora si deve esprimere in funzione della deformazione massima del calce-struzzo, ²cm. Si devono quindi distinguere due casi:

1. ²c1 · ²cm · ²cu:

C =µ

1 ¡ 13®

¶ycbfcd

´C =6®2 ¡ 4® + 14(3®2 ¡ ®)

yc (3.26)


Figura~3.11: Coe¢cienti dell’area e della posizione del baricentro dello “stress block” infunzione della deformazione massima del calcestruzzo

2. ²cm · ²c1:

C = ®³1 ¡ ®

3

ýcbf cd

Ć =1 ¡ ®=43 ¡ ®

yc (3.27)

in cui ® = ²cm=²c1.In …g. 3.11 sono rappresentati i diagrammi del coe¢ciente di forma dello “stress block”:

¯ =C

ycbfcd

e del rapporto Ć=yc, in funzione del parametro ® = ²cm=²c1. Risulta evidente che Ć=ycnon varia molto, restando compreso tra 0.416 e 0.33, e che segue una legge praticamentelineare, per cui alle due espressioni nelle eq. (3.26) e (3.27) si può sostituire la semplicerelazione:

Ć ' (0:333 + 0:0472®)yc (3.28)

Questa è rappresentata con linea tratteggiata in …g. 3.11 e praticamente coincide con lalegge “esatta”.

Al contrario ¯ varia notevolmente con ²cm e, come è ovvio, tende a zero per ²cm !0; tuttavia, avendo andamento parabolico, per valori di ²cm non troppo piccoli, il suovalore non varia eccessivamente. Poiché, come si chiarirà meglio in seguito, per questomeccanismo di rottura, l’errata valutazione di ¯ ha modesta in‡uenza sulla stima delmomento ultimo, generalmente si adottano, anche per la regione 3, i coe¢cienti costanti0.81 e 0.416 (o, ciò che è equivalente, il diagramma rettangolare).


Sezione rettangolare con un solo livello di armatura

Per le sezioni in cui l’armatura è disposta su di un solo strato e quindi non vi è arma-tura nella zona compressa, il meccanismo di collasso è funzione della sola percentuale diarmatura.

Per individuare in quale delle tre regioni cade il diagramma delle deformazioni ultime,è utile pertanto determinare le percentuali di armatura che corrispondono ai digrammi difrontiera tra le regioni 1–2 e 2–3.

In entrambi i casi, essendo ²cm = ²cu ed j²sj ¸ ²sy, si avrà che le risultanti dellecompressioni nel calcestruzzo e delle trazioni nell’acciaio varranno:

C = 0:81ycbfcd T = Asfyd

Per l’equilibrio della sezione C ¡ T = 0; sostituendo le precedenti espressioni di C e T siha pertanto:

0:81ycbf cd ¡ Asfyd = 0 (3.29)

Se j²sj = ²sy = fyd=Es, la posizione dell’asse neutro è …ssata dalla linearità deldiagramma delle deformazioni:

yc =²cu

²cu + fyd=Esd (3.30)

Risolvendo l’eq. (3.29) rispetto ad As, dopo aver sostituito l’espressione di yc, si ottiene:

A(1)s = 0:81

²cu²cu + fyd=Es

bdf cdfyd

A(1)s è la quantità di armatura occorrente perché la sezione collassi secondo il meccanismo

limite tra le regioni 1 e 2.Nell’analisi delle sezioni allo stato limite ultimo è utile introdurre il concetto di percen-

tuale meccanica dell’armatura, de…nita come il rapporto tra la massima forza di trazionesopportata dall’acciaio e quella massima di compressione portata dalla sezione “utile” dicalcestruzzo, di area bd. Indicando con ¹s questa grandezza:

¹s =Asfydbdfcd

(3.31)

la percentuale critica, che separa la regione delle sezioni fortemente armate da quellenormalmente armate è:

¹(1)s =

0:81²cu²cu + fyd=Es

(3.32)

Le sezioni con percentuali di armatura maggiori di ¹(1)s sono fortemente armate e col-

lassano nella regione 1. Le sezioni con percentuale inferiore a ¹(1)s sono normalmente o

debolmente armate. L’elemento di separazione tra questi due insiemi si determina ancoradall’equazione di equilibrio (3.29), tenendo conto che, per ²s = ¡²sl, l’altezza della zonacompressa è:

yc²cu

²cu + ²sld =

3:5 £ 10¡3

(3:5 + 10) £ 10¡3d = 0:259d


e quindi

¹(2)s = 0:81

ycd

= 0:81 £ 0:259 = 0:21 (3.33)

Se ¹(2)s · ¹s < ¹(1)

s la sezione è normalmente armata e collassa nel campo 2; se¹s < ¹(2)

s è debolmente armata ed il suo diagramma ultimo è nel campo 3.Dunque, nota la percentuale meccanica di armatura di una sezione, è immediato stabili-

re secondo quale meccanismo collassa e quindi applicare le relazioni adeguate per calcolarneil momento ultimo.

Sezioni fortemente armate: (¹s > ¹(1)s ) Per queste sezioni, nel punto di collasso

l’acciaio è ancora elastico, quindi la tensione nell’acciaio è proporzionale alla deformazione.L’equazione di equilibrio alla traslazione si scrive pertanto:

0:81ycbfcd + Es²sAs = 0

Sostituendo in questa equazione la condizione di congruenza:

²s =yc ¡ d

yc²cu

con alcune sempli…cazioni si ottiene:

0:81K2 + ®u¹sK ¡ ®u¹s = 0

in cui K = yc=d è, come nel caso elastico, l’altezza adimensionale della zona compres-sa e ®u = ²cu=²sy è il rapporto tra la deformazione ultima del calcestruzzo e quella diplasticizzazione dell’acciaio.

La radice positiva dell’equazione precedente determina la posizione dell’asse neutro:

K = 0:617®u¹s

Ãs1 +

3:24®u¹s

¡ 1

!(3.34)

Il momento ultimo della sezione si ottiene come risultante delle tensioni nella con…gu-razione di collasso:

Mu = Cz = Tz

dove z indica il braccio delle forze interne. Per l’eq. (3.25) si ha:

z = d ¡ 0:416yc = (1 ¡ 0:416K)d

Inoltre, per l’eq. (3.24):C = 0:81ycbfcd = 0:81Kbdf cd

Quindi, sostituendo queste espressioni in quella del momento si ottiene:

Mu = 0:81(1 ¡ 0:416K)Kbd2fcd (3.35)


Sezioni normalmente armate: (¹(2)s · ¹s · ¹(1)

s ) Al collasso in queste sezioni ilcalcestruzzo ha raggiunto la deformazione ultima, mentre l’acciaio ha superato la sogliaplastica; pertanto, per la risultante delle compressioni si applicano ancora le eq. (3.24) -(3.25), mentre la forza di trazione nell’armatura è T = Asfyd. L’equazione di equilibrioalla traslazione coincide quindi con l’eq. (3.29), da cui si deduce:

K =ycd

=Asfyd

0:81bdfcd= 1:235¹s (3.36)

Per queste sezioni l’altezza della zona compressa è semplicemente proporzionale allapercentuale meccanica di armatura. Il momento ultimo pertanto si calcola:

Mu = Tz = Asfyd(d ¡ 0:416yc) == (1 ¡ 0:416K)dAsfyd = (1 ¡ 0:514¹s)dAsfyd (3.37)

Sezioni debolmente armate: (¹s < ¹(2)s ) Se si accetta l’approssimazione che lo “stress

block” del calcestruzzo compresso, valido nelle regioni 1 e 2, si possa adottare anche quando²cm < ²cu, allora questo caso si tratta in modo identico al precedente, usando le eq. (3.36)e (3.37). Non vi è quindi ragione di fare distinzione tra sezioni normalmente e debolmentearmate11.

Volendo far uso delle relazioni “esatte” si devono ulteriormente distinguere due casi,secondo che ²cm è maggiore o minore di ²c1 = 2 £ 10¡3. La condizione di separazione siha quando ²cm = ²c1 e ad essa corrisponde la posizione dell’asse neutro:

K =²c1

²c1 + ²sl= 0:1667

La risultante delle tensioni sul calcestruzzo è data dalla eq. (3.26) con ® = 1, quindi:

C =23Kbdfcd = 0:111bdfcd

Poiché per l’equilibrio C = T , a questa con…gurazione corrisponde una percentuale mec-canica di armatura:

¹(3)s =

Tbdfcd

= 0:111 (3.38)

Quindi, per ¹s ¸ ¹(3)s si applica l’eq. (3.26), e pertanto l’equazione di equilibrio si

scrive: µ1 ¡ ²c1

3²cm

¶ycbf cd = Asfyd

Sostituendo l’espressione di ²cm in funzione di yc fornita dalla condizione di congruenza:

²cm =yc

d ¡ yc²sl

si ottiene un’equazione in yc che, risolta in termini di K, diviene:

K =¹s + ²c1=(3²sl)1 + ²c1=(3²sl)

= 0:0625 + 0:9375¹s (3.39)

11 Il diagramma delle deformazioni è però diverso, e questo richiede di tenere distinti i due casi quandole armature sono disposte su più livelli, come si vedrà più avanti.


avendo tenuto conto che ²c1 = 2 £ 10¡3 e ²sl = 10 £ 10¡3

Se ¹s < ¹(3)s la risultante C si calcola con la relazione (3.27). Sostituendo ad ®

l’espressione in termini di K che si ricava dalla congruenza:

® =²cm²c1

=K

1 ¡ K²sl²c1

l’equazione di equilibro diviene:

²sl²c1

K1 ¡ K

µ1 ¡ 1

3²sl²c1

K1 ¡ K

¶ycbfcd = Asfyd

da cui, con opportune manipolazioni, segue l’equazione cubica in K:

¡2:667K3 + (1 ¡ 0:2¹s)K2 + 0:4¹sK ¡ 0:2¹s = 0 (3.40)

Nell’intervallo dei valori di ¹s per cui l’eq. (3.40) è valida, una ottima approssimazionedella soluzione è data dalla:

K ' (0:45 + 0:441¹s)p

¹s (3.41)

ma di fatto, per valori di ¹s non troppo piccoli (¹s > 0:03) anche l’eq. (3.39) fornisce unabuona approssimazione della soluzione dell’eq. (3.40); quindi non è in pratica necessariodistinguere i due casi.

Determinato il valore di K, il momento ultimo si calcola, tenendo conto dell’espressione(3.28) del baricentro delle pressioni e dell’espressione di ®, con la relazione:

Mu =1 ¡ 1:333K + 0:097K2

1 ¡ KdAsfyd ' (1 ¡ 0:394K)dAsfyd (3.42)

L’errore che si commette utilizzando l’eq. (3.37) anche per le sezioni debolmente armatesi può valutare confrontando i valori del rapporto Mu=dAsfyd ottenuti da questa equazionecon quelli “esatti”, forniti dall’eq. (3.42). Si trova che il massimo errore relativo non superal’1.4%. Tale risultato giusti…ca pienamente l’utilizzo della più semplice eq. (3.37).

Sezioni con doppia armatura

Si esamina ora il caso, molto frequente, in cui l’armatura è disposta su due livelli: l’arma-tura principale tesa, di area As, posta alla distanza d dal lembo compresso, e l’armaturacompressa A0

s con posizione d0. Per comodità nel seguito tutte le grandezze relative aquest’ultima armatura saranno contraddistinte con un apice 0.

In una data situazione di collasso, al contrario di quanto avviene per quella tesa,nell’armatura compressa il livello di tensione non è noto a priori, non essendo stabilitose la sua deformazione supera o no la soglia plastica. Pertanto è conveniente indicaresimbolicamente con ¾s(²) il legame tensione–deformazione dell’acciaio che, nello schemaelasto-plastico adottato, è:

¾s(²) =½

Es² se j²j < ²syfsy sign(²) se j²j ¸ ²sy

(3.43)

La presenza dell’armatura nella zona compressa non modi…ca i modi di collasso dellasezione illustrati nella …g. 3.9, ma cambia il valore delle percentuali di armatura che


separano le regioni 1–2 e 2–3. Infatti in tal caso, per j²sj ¸ ²sy ed ²cm = ²cu, l’equazionedi equilibrio si scrive:

0:81ycbfcd + A0s¾s(²

0s) = Asfyd (3.44)

che di¤erisce dalla eq. (3.29) per aver tenuto conto del contributo dell’armatura compressa.La deformazione dell’armatura compressa, ²0s, si può esprimere in funzione della posi-

zione dell’asse neutro e della massima deformazione del calcestruzzo:

²0s =K ¡ ±

K²cm (3.45)

in cui ± = d0=d è il rapporto tra la distanza dell’armatura dal lembo compresso (general-mente 2 – 3 cm) e l’altezza utile della sezione.

Per il meccanismo di collasso in cui l’acciaio ha raggiunto il limite di snervamento(j²sj = ²sy) la posizione dell’asse neutro è data dall’eq. (3.30). Noto il valore di K etenendo conto che per ipotesi ²cm = ²cu, con l’eq. (3.45) si determina il valore di ²0s che,inserito nell’eq. (3.43), fornisce il valore della tensione nell’acciaio compresso. Pertantonell’eq. (3.44) ¹s è la sola incognita; risolvendo l’equazione si ha:

¹(1)s = 0:81K + ¹0s

¾s(²0s)fyd

=0:81²cu

²cu + fyd=Es+ ¹0s

¾s(²0s)fyd

(3.46)

Questa equazione generalizza l’eq. (3.32) al caso della doppia armatura; in essa ¹0s =A0sfyd=bdfcd è la percentuale meccanica di armatura compressa.

Il valore di ¹(1)s che deriva dall’eq. (3.46) è sempre maggiore di quello relativo alla

sezione con semplice armatura; dunque la presenza di acciaio nella parte compressa dellasezione ne aumenta la duttilità, poiché sposta verso l’alto la soglia delle sezioni fortemen-te armate (che hanno un comportamento fragile). Peraltro questa proprietà è mitigatada fenomeni più complessi, che sfuggono all’analisi della sezione e che saranno illustratiin seguito, quale ad esempio l’instabilità delle barre compresse. L’utilità dell’armaturacompressa si può sviluppare pienamente solo se vengono prese opportune precauzioni perimpedire questi fenomeni negativi.

Per il meccanismo di rottura bilanciata si ha ancora K = 0:259; quindi calcolato ilvalore della tensione nelle barre compresse, ²0s = ²cu(1 ¡ 3:861±), dall’eq. (3.44) si ottieneil valore della percentuale di armatura:

¹(2)s = 0:21 + ¹0s

¾s(²0s)fyd

(3.47)

Quindi anche per le sezioni dotate di due livelli di armatura è facile stabilire, medianteil confronto della percentuale di armatura tesa con i valori di soglia, in quale dei tre campicadrà il diagramma delle deformazioni al collasso.

Si esaminano ora le espressioni per il calcolo del momento ultimo delle sezioni conarmatura doppia, distinguendo, come in precedenza, per i tre possibili campi di rottura.

Sezioni fortemente armate: (¹s > ¹(1)s ) L’acciaio teso è ancora elastico, pertanto

l’equazione di equilibrio si può scrivere:

0:81ycbfcd + A0s¾s(²

0s) + Es²sAs = 0


in cui le deformazioni delle due armature possono esprimersi in funzione dell’altezza dellazona compressa:

²s =K ¡ 1

K²cu ²0s =

K ¡ ±K

²cu

Se risulta, come è frequente in questo caso, ²0s ¸ ²sy, dalle due equazioni precedenti siottiene un’equazione quadratica in K:

0:81K2 + (¹0s + ¹s®u)K ¡ ¹s®u = 0

la cui soluzione positiva è:

K = 0:617(¹0s + ¹s®u)

Ãs1 +

3:24¹s®u(¹0s + ¹s®u)2

¡ 1

!(3.48)

(®u = ²cu=²sy).Determinato K si può calcolare ²0s e controllare che la soglia plastica sia stata e¤etti-

vamente superata. In caso contrario si deve porre:

¾s(²0s) = Es²0s = Es²cu(K ¡ ±)=K

per cui l’equazione di equilibrio diviene:

0:81K +µ

¹0sK ¡ ±

K+ ¹s

K ¡ 1K

¶²cu²sy

= 0

cui corrisponde la soluzione:

K = 0:617®u(¹s + ¹0s)

Ãs1 +

3:24(¹s + ¹0s±)®u(¹s + ¹0s)2

¡ 1

!(3.49)

Noto K e quindi ²0s, il momento ultimo della sezione si ottiene aggiungendo al risultantedelle tensioni nel calcestruzzo, espresso nell’eq. (3.35), il contributo fornito dall’acciaiocompresso:

Mu = 0:81(1 ¡ 0:416K)Kbd2fcd + ¾s(²0s)A0s(d ¡ d0) (3.50)

Sezioni normalmente armate: (¹(2)s · ¹s · ¹(1)

s ) Anche in questo caso è necessariodistinguere se l’armatura compressa ha superato o meno la soglia di plasticizzazione.

Assumendo che ²0s ¸ ²sy, dall’equazione di equilibrio si deduce immediatamente l’al-tezza della zona compressa:

K = 1:235(¹s ¡ ¹0s) (3.51)

Quindi, determinato ²0s = ²cu(K ¡ ±)=K, se questo risulta inferiore alla deformazione diplasticizzazione, per cui l’acciaio compresso è in campo elastico, l’equazione di equilibriosi scrive:

0:81Kbdfcd + A0sEs²cu

K ¡ ±K

¡ Asfyd = 0

che risolta rispetto a K fornisce:

K = 0:617³¹s ¡ ®u¹0s +

p(¹s ¡ ®u¹0s)2 + 3:24®u¹0s±

´(3.52)

Determinato il corretto valore di K e quindi la deformazione e la tensione nell’armaturacompressa, il momento ultimo della sezione si valuta calcolando il momento risultanterispetto al baricentro delle tensioni nel calcestruzzo:

Mu = [(1 ¡ 0:416K)Asfyd + (0:416K ¡ ±)A0s¾s(²

0s)]d (3.53)


Sezioni debolmente armate: (¹s < ¹(2)s ) Nel caso di più di un livello di armatura,

anche continuando ad utilizzare il diagramma rettangolare equivalente, le relazioni valideper la sezione normalmente armata non possono utilizzarsi senza qualche modi…ca. In-fatti nella regione 3 il punto …sso del diagramma non è più la deformazione massima delcalcestruzzo compresso, bensì quella dell’acciaio teso, quindi la deformazione delle bar-re compresse deve essere espressa in funzione di ²sl e non di ²cu come è stato fatto inprecedenza.

Si preferisce pertanto trattare il caso separatamente, esplicitando però solo le relazionirelative al primo sottocampo (²cm ¸ ²c1), in quanto, come si è visto per le sezioni con unsolo livello di armatura, questa soluzione si può estendere, con buona approssimazione,anche al campo successivo.

Tenendo conto dell’eq. (3.26), l’equazione di equilibrio della sezione si scrive:

µ1 ¡ ²c1

3²cm

¶K + ¹0s

¾s(²0s)fyd

¡ ¹s = 0

in cui le deformazioni del calcestruzzo e dell’acciaio compresso si possono esprimere infunzione del coe¢ciente K:

²cm =K

1 ¡ K²sl ²0s =

K ¡ ±1 ¡ K

²sl

Supponendo che l’armatura compressa abbia superato il limite di snervamento, l’equa-zione di equilibrio diviene:

µ1 ¡ 1 ¡ K

3K²c1²sl

¶K + ¹0s ¡ ¹s = 0

da cui si ricava:

K = 0:9375(¹s ¡ ¹0s) + 0:0625 (3.54)

Da K si deriva ²0s; se questo è inferiore al limite di snervamento l’acciaio compresso èin fase elastica e quindi l’equazione di equilibrio deve essere modi…cata nella:

µ1 ¡ 1 ¡ K

3K²c1²sl

¶K + ¹0s

K ¡ ±1 ¡ K

²sl²sy

¡ ¹s = 0

da cui si ricava:

K = 0:5313[1 + 0:8824(¹s + ¹0s®l)]¡¡

p0:2822[1 + 0:8824(¹s + ¹0s®l)]2 ¡ 0:9375(¹s + ¹0s®l±) ¡ 0:0625 (3.55)

in cui ®l = ²sl=²sy.Quindi, determinato K, il momento ultimo si calcola con l’eq. (3.42) opportunamente

corretta per tener conto dell’armatura compressa:

Mu = [(1 ¡ 0:394K)Asfyd + (0:394K ¡ ±)A0s¾s(²

0s)]d (3.56)



Le dimensioni di una sezione non sono mai determinate in modo univoco dalla sollecita-zione; questo è particolarmente vero quando il progetto è svolto con riferimento allo statolimite ultimo della sezione: al variare del meccanismo di collasso imposto tra i campi 1, 2 e3, la stessa sollecitazione determina sezioni molto diverse, con un campo di variazione assaipiù esteso di quello consentito dal calcolo alle tensioni ammissibili. Si deve tuttavia tenerpresente che quest’ampia libertà deve essere utilizzata con cautela; infatti lo stato limitiultimo non è l’unico che deve essere veri…cato: sezioni eccessivamente o troppo debolmentearmate possono poi non soddisfare gli stati limite di esercizio. Bisogna poi ricordare che lenorme impongono dei limiti alle dimensioni delle sezioni ed alle percentuali di armatura,oltre a tener presenti quelle regole empiriche con cui si cerca di tener conto dei fenomeninon considerati dagli schematici modelli di calcolo.

Se non si hanno particolari vincoli e limiti che condizionano le dimensioni della sezionein calcestruzzo, un criterio di progetto ragionevole consiste nell’assumere come meccanismodi collasso quello della rottura bilanciata.

Come si è visto, per le sezioni con un solo livello di armatura, in condizioni di rotturabilanciata si ha K = 0:259, quindi, calcolando il momento risultante rispetto al punto deveè posta l’armatura, si ha:

Mu = 0:81ycbfcd(d ¡ 0:416yc) = 0:187bd2fcd

Posta la condizione di progetto Md = Mu, l’equazione precedente consente di determinareuna delle dimensioni della sezione; ad esempio, …ssata la base b, si ottiene:

d = ¹®

rMdb

(3.57)

in cui ¹® = 2:311=q

fcd.L’eq. (3.57) ha forma analoga all’eq. (3.14), ottenuta nell’ambito del calcolo alle tensioni

ammissibili. Ovviamente i valori di ¹® sono diversi da quelli di ®, ma, se si tiene contoche, mediamente, le sollecitazioni di calcolo sono ampli…cate, rispetto a quelle di esercizio,del fattore 1.5 (coe¢ciente di sicurezza dei carichi), dall’applicazione delle due equazionisi ottengono risultati molto simili.

Come si è già fatto notare il risultato dell’eq. (3.57) non è vincolante: sezioni condimensioni (entro certi limiti) diverse da quelle così ottenute non soltanto sono possibili,ma o¤rono lo stesso grado di sicurezza nei confronti del collasso.

Se l’altezza utile della sezione è ottenuta applicando l’eq. (3.57) il braccio delle forzeinterne della sezione è

z = d ¡ 0:416yc = 0:89d

Pertanto l’area dell’armatura occorrente per l’equilibrio risulta:

As =Mdzfyd

=Md

0:89dfyd(3.58)

È interessante osservare come, anche in questo caso, il coe¢ciente del braccio delle forzeinterne sia prossimo a 0.9, valore utilizzato nel calcolo elastico. Questo valore è statoottenuto per l’armatura bilanciata, ma non è di¢cile veri…care che varia poco, almeno…nché la sezione non risulta eccessivamente armata. Quindi l’eq. (3.58) si può con buona


approssimazione applicare a tutte le sezioni che collassano nei campi 2 e 3, cioè con la solaeccezione delle sezioni fortemente armate, per le quali la tensione nell’acciaio, al momentodel collasso, è inferiore al limite di plasticizzazione. Tuttavia per sezioni molto armate(rottura nel campo 2 ma in prossimità di 1) è opportuno adottare un coe¢ciente ³ = z=dminore di 0.9; valori compresi tra 0:80 ¥ 0:85 sono più appropriati in simili casi.

3.3.2 Sezioni a T ed I

L’ipotesi di considerare trascurabile il contributo del calcestruzzo teso, adottata sia nelcalcolo a rottura sia in quello elastico, fa si che, quando l’asse neutro attraversa la soletta, lasezione a T si comporti nello stesso modo di una rettangolare con base uguale alla larghezzabs della soletta compressa; a queste sezioni, pertanto, si applicano tutte le considerazionisvolte nel punto precedente a proposito della sezione rettangolare.

Quando l’asse neutro cade al di sotto del lembo inferiore della soletta, invece, il com-portamento cambia: in particolare il prisma delle pressioni (“stress block”) non ha piùbase rettangolare e quindi non sono più validi i coe¢cienti 0.81 e 0.416 determinati perla sezione rettangolare. Tuttavia, così come si è visto per le sezioni debolmente armate,anche in questo caso l’uso di un diagramma di pressioni approssimato ha modesta in‡uen-za sul calcolo del momento ultimo della sezione: pertanto, almeno per tutti i casi in cuil’asse neutro non cade molto al di sotto della soletta, si ritiene ancora valido l’impiego deldiagramma rettangolare equivalente, calibrato sulla sezione rettangolare.

L’uso di questo diagramma sempli…ca notevolmente il calcolo della risultante dellecompressioni. Indicando con yc > s l’altezza della zona compressa, per l’approssimazioneadottata, …ntanto che risulta 0:8yc · s, ovvero yc · 1:25s, si possono continuare ad adot-tare le formule della sezione rettangolare, in quanto il prisma delle compressioni interessaancora solo la soletta. Quando invece yc > 1:25s, allora la risultante delle tensioni nelcalcestruzzo sarà:

C = (bs ¡ b)sfcd + 0:8ycbf cd

in cui il primo termine è la risultante delle tensioni sulle ali, il secondo quella sull’anima.Il centro di pressione ha distanza dal lembo compresso:

´C =(bs ¡ b)s2fcd=2 + 0:32y2cbf cd

C=

(bs=b ¡ 1)s2 + 0:64y2c2[(bs=b ¡ 1)s + 0:8yc]

(3.59)

Nella condizione di collasso al limite tra la forte e la normale armatura la posizio-ne dell’asse neutro è ancora espressa dall’eq. (3.30). Considerando anche la presenza diun’armatura compressa A0

s, che si suppone plasticizzata, l’equazione di equilibrio si scrive:

(bs ¡ b)sf cd + 0:8bdfcd²cu

²cu + fyd=Es+ A0

sfyd = Asfyd

da cui si ottiene la percentuale meccanica limite per l’armatura tesa:

¹(1)s = ¹0s +

0:8²cu²cu + fyd=Es

+(bs ¡ b)s

bd(3.60)

Questa relazione si può ricondurre a quella di una sezione rettangolare con armaturacompressa aggiungendo a quella e¤ettiva una percentuale equivalente all’area delle ali:(bs ¡ b)s=bd.


Analogamente per l’armatura bilanciata, sempre assumendo che sia yc > 1:25s, l’eq. (3.47)ora diviene:

¹(2)s = 0:21 +

(bs ¡ b)sbd

+ ¹0s¾s(²0s)fyd

(3.61)

La similitudine tra le ali e l’armatura compressa in parte evita di sviluppare di nuovoesplicitamente le equazioni per la determinazione della posizione dell’asse neutro. Questeinfatti, quando l’armatura compressa è plasticizzata (o assente), coincidono con quelle re-lative alla sezione rettangolare (eq. (3.48) per le sezioni fortemente armate e eq. (3.51) neglialtri casi), avendo solo cura di aggiungere alla reale percentuale di armatura compressaquella equivalente alle ali: (bs ¡ b)s=bd.

Se l’armatura compressa non è plasticizzata l’armatura equivalente deve essere tenutadistinta da quella e¤ettiva, quindi le equazioni (3.49) e (3.52) devono essere opportuna-mente modi…cate:

1. Sezioni fortemente armate:

K = 0:617[®u(¹s + ¹0s) + ¹¹]

Ãs1 +

3:24(¹s + ¹0s±)®u[®u(¹s + ¹0s) + ¹¹]2

¡ 1

!

(3.62)

2. Sezioni normalmente armate:

K = 0:625³¹s ¡ ®u¹0s ¡ ¹¹ +

p(¹s ¡ ®u¹0s ¡ ¹¹)2 + 3:2®u¹0s±

´

(3.63)

3. Sezioni debolmente armate:

K = 0:625 (0:8 + ¹s + ®l¹0s ¡ ¹¹¡p

(0:8 + ¹s + ®l¹0s ¡ ¹¹)2 ¡ 3:2(¹s + ®l¹s± ¡ ¹¹)´

(3.64)

dove ¹¹ = (bs¡ b)s=bd è la percentuale meccanica di armatura equivalente alle ali dellasezione a T.

Determinata la posizione dell’asse neutro il momento ultimo si calcola generalizzandoadeguatamente le eq. (3.50) e (3.53). Per le sezioni fortemente armate si ha:

Mu = [0:8(1 ¡ 0:4K)bd2 + (bs ¡ b)s(d ¡ s=2)]f cd + ¾s(²0s)A0s(d ¡ d0)

(3.65)

Mentre per le altre si può porre:

Mu = [(1 ¡ 0:4K)Asfyd + (0:4K ¡ ±)A0s¾s(²

0s)]d + (0:4Kd ¡ s=2)(bs ¡ b)sfcd

(3.66)

3.3.3 Flessione retta di sezioni di forma qualsiasi

Nelle sezioni in cemento armato la direzione dell’asse neutro puè essere prevista a priorisolo se sono simmetriche e sollecitate lungo quest’asse oppure vincolate ad in‡ettersi senzaruotare; in questo caso, come per il problema elastico, si tratta di ‡essione retta.


Pur con queste limitazioni, per le sezioni di geometria più complessa della rettangolarenon è possibile sviluppare formule semplici di utilizzo pratico. In questo caso, e più ingenerale nella ‡essione deviata, è preferibile fare riferimento ad una procedura generale chepuò essere impiegata per sezioni di ogni forma. Questa procedura richiede calcoli piuttostolunghi e quindi risulta e¢cace solo se inserita in un programma di calcolo.

L’idea del metodo è molto semplice: consiste nell’esplorare, ovviamente con un oppor-tuno passo discreto, tutti i possibili diagrammi di collasso …no a determinare quello per cuiè soddisfatta la condizione N = 0 e quindi calcolare il momento risultante corrispondente.12

Poiché la direzione dell’asse neutro è nota, è facile stabilire quali sono il punto dellasezione di calcestruzzo e l’armatura maggiormente sollecitati. Posto ²cm = ²cu si fa crescere(in valore assoluto) la deformazione dell’acciaio più teso …no a che o si raggiunge l’equilibrioo ²s · ²sl. Se si raggiunge questo punto senza che sia stato soddisfatto l’equilibrio, si riducela deformazione del calcestruzzo muovendo il diagramma nel campo 3.

Per valutare la sollecitazione risultante che corrisponde ad un …ssato diagramma delledeformazioni è necessario ricorrere ad un procedimento approssimato, dividendo la partecompressa della sezione in strisce sottili, tali che su ciascuna si possa assumere una tensioneuniforme. Quindi se yi indica la distanza del baricentro della …bra i-esima dall’asse neutro,la sua deformazione media sarà:

²ci =²cmyc

yi

e la corrispondente tensione si determina poi facilmente utilizzando la legge parabola-rettangolo o anche, quando opportuno, una relazione più accurata. Analogamente si puòcalcolare la deformazione e poi la tensione in ogni barra di armatura. Indicando con ¾cie ¾sj le tensioni nelle strisce di calcestruzzo e nelle barre, la risultante delle tensioni sicalcola semplicemente con le sommatorie:

N =nstrX

i=1

¾cibi¢yi +mX

j=1

¾sjAsj (3.67)

in cui bi e ¢yi sono la larghezza e lo spessore della striscia i.Determinata la posizione dell’asse neutro che soddisfa l’equilibrio, il momento ultimo

della sezione si valuta poi in modo analogo:

Mu =nstrX

i=1

¾cibi¢yiyi +mX

j=1

¾sjAsjysj (3.68)

(ysj indica la distanza delle barre dall’asse neutro).Il metodo, oltre a permetter di trattare sezioni di ogni forma, consente senza di¢coltà

di adottare legami costitutivi dei materiali più complessi di quelli schematici utilizzati inprecedenza; quindi rende possibile lo sviluppo di modelli più ra¢nati, in grado ad esempiodi seguire il comportamento della sezione per grandi deformazioni. Inoltre, come è facileintuire, si applica quasi senza modi…che anche alla sezioni soggette alla sollecitazionecomposta di pressione e ‡essione.

12Poiché N è funzione monotona di yc è possibile esplorare il campo dei meccanismi di rottura conpasso ampio; quando due valori consecutivi di N scavalcano lo zero si può applicare una procedura diinterpolazione per determinare una soluzione più accurata. Generalmente il procedimento converge conrapidità.


3.3.4 Flessione deviata

Come nel caso elastico il problema della ‡essione deviata risulta notevolmente più onerosoda trattare, sia perché presenta due incognite, sia perché l’inclinazione dell’asse neutroesclude la possibilità di selezionare casi semplici, come quello della sezione rettangolare.Pertanto, come per la ‡essione retta di sezioni di forma complessa, conviene esporre unaprocedura numerica piuttosto che cercare di sviluppare formule che risulterebbero, anchenei casi semplici, notevolmente complesse.

Come per il caso elastico (§ 3.2.3) conviene utilizzare due riferimenti ortogonali; uno(x; y) con l’asse x coincidente con quello neutro e l’altro (t; s) con t parallelo all’asse disollecitazione, come mostrato in …g. 3.5.

Le equazioni di equilibrio (3.20) sono ovviamente ancora valide, ma da esse non possonotrarsi le condizioni geometriche delle eq. (3.21), che derivano dalla linearità del legameelastico. Sostituendo nella seconda delle eq. (3.20) l’espressione di t in funzione di x ed yfornita dalla trasformazione delle coordinate si ottiene:

cos®Z

A¾(y)xdA ¡ sin®

Z

A¾(y)y dA = 0 (3.69)

dove ora l’integrale può intendersi esteso a tutta la sezione geometrica, con la condizionedi utilizzare per ¾ l’e¤ettivo valore della tensione in quel punto.

La procedura non è molto diversa da quella illustrata nel § 3.2.3 per il caso elastico.Fissata una direzione di tentativo dell’asse neutro, individuata dall’angolo ® si può cer-carne la posizione per cui è veri…cata la condizione di equilibrio alla traslazione espressadalla prima delle eq. (3.20). Questo si può fare usando il metodo illustrato nel punto pre-cedente per la ‡essione retta delle sezioni arbitrarie. L’asse x è e¤ettivamente neutro perla condizione esaminata se soddisfa anche l’eq. (3.69). Gli integrali che vi compaiono sipossono ancora calcolare, per la parte relativa al calcestruzzo, con il metodo delle strisce.Esplicitamente si avrà:

Z

A¾(²)x dA '

nstrX

i=1

x22i ¡ x21i2

¢yi¾ci +mX

j=1

Asj¾sjxsj

Z

A¾(²)y dA '

nstrX

i=1

(x2i ¡ x1i)yi¢yi¾ci +mX

j=1

Asj¾sjysj

dove x2i; x1i sono le ascisse degli estremi della striscia i e xsj ; ysj sono le coordinate dellaj-esima barra.

Se l’eq. (3.69) non è soddisfatta si deve modi…care ® e riprovare. Un modo sempliceconsiste nel calcolare il nuovo valore di ® proprio mediante questa equazione, assumendotan® uguale al rapporto tra il primo ed il secondo integrale; altrimenti si useranno metodiclassici dell’analisi numerica, quali il metodo di Newton.

Raggiunta la convergenza il valore del momento ultimo è dato dalla terza delle equa-zioni (3.20):

Mu = sin®Z

A¾(y)xdA + cos®

Z

A¾(y)y dA (3.70)


3.3.5 Esempi

Si riprendono alcuni degli esempi riportati nel § 3.2.4, relativi alla veri…ca di sezioni in‡essecon il metodo delle tensioni ammissibili, ripetendone il calcolo allo stato limite ultimo perrendere possibile il confronto tra i risultati ottenuti con i due metodi.

Esempio 3.7 Si calcoli il momento ultimo sopportato dalla sezione rettangolare descritta nell’e-sempio 3.1, assumendo che i materiali impiegati abbiano le seguenti caratteristiche:Calcestruzzo: Rck = 30 N(mm2 fcd = 13:23 N=mm2

Acciaio: Fe B 44k fyd = 374 N=mm2

Per le eq. (3.31) e (3.33) le percentuali limite di armatura delle sezioni semplicemente armaterisultano:

¹(1)s =

0:81²cu

²cu + fyd=Es= 0:588 ¹(2)

s = 0:21 (3.71)

Le percentuali meccaniche di armatura della sezione in esame sono:

¹s =7:6 £ 37400

30 £ 42 £ 1323= 0:1705 ¹0

s =3 £ 37400

30 £ 42 £ 1323= 0:051

quindi ¹s < ¹(2)s e pertanto la sezione risulta debolmente armata.

Supponendo che l’armatura compressa abbia superato lo snervamento, per l’eq. (3.54) si ha:

K = 0:9375(0:1705 ¡ 0:051) + 0:0625 = 0:1745

da cui segue:

²0s =

K ¡ ±1 ¡ K

²sl = 1:25 £ 10¡3 < ²sy = 1:78 £ 10¡3

in cui ± = 3=42 = 0:0714. Poiché la deformazione dell’acciaio compresso è inferiore alla soglia disnervamento, la posizione dell’asse neutro è data dall’eq. (3.55):

K = 0:7455 ¡p

0:74552 ¡ 0:1790 ¡ 0:0625 = 0:1848

e pertanto la deformazione e la tensione nell’acciaio compresso valgono:

²0s = 1:39 £ 10¡3 ¾0

s = ²0sEs = 292:4 N=mm2

In…ne il momento ultimo della sezione si calcola facendo uso dell’eq. (3.56) e risulta:

Mu = 110:7 kNm

Si osservi che nell’esempio 3.1 la sezione risultava veri…cata per una sollecitazione di esercizio M =75 kNm: quindi tra la sollecitazione ultima e quella di esercizio si ha il rapporto 110:6=75 = 1:47,molto vicino al valore 1.5 del coe¢ciente di sicurezza dei carichi. 2

Esempio 3.8 Dimensionare una sezione in cemento armato per una sollecitazione di progettoMd = 1:5 £ 120 = 180 kNm, utilizzando gli stessi materiali previsti nell’esempio precedente.Si assume, come nell’esempio 3.2, b = 30 cm; essendo ¹® = 2:311=

p13230 = 0:0201, …ssato il

meccanismo di rottura bilanciata, l’altezza utile della sezione risulta:

d = ¹®

rMd

b= 0:0201

r1800:30

= 0:49 m

Quindi l’area dell’armatura occorrente si calcola con l’eq. (3.58):

As =180000

0:91 £ 0:49 £ 374= 1079 mm2

Questi risultati sono poco diversi da quelli ottenuti progettando la sezione alle tensioni ammissibili;ciò conferma che le sezioni progettate con questo criterio collassano in prevalenza nella zona ditransizione tra la normale e la debole armatura. 2


Esempio 3.9 Determinare l’armatura occorrente perché una sezione rettangolare, di dimensionib = 30 cm, d = 37 cm abbia un momento ultimo di 180 kNm (stessi materiali dell’esempioprecedente).Assumendo che il braccio delle forze interne sia z = 0:9d e supponendo che il meccanismo di collassocada nelle regioni 2 o 3, il quantitativo di armatura occorrente risulta:

As =Mu

zfyd=

1800000:9 £ 0:37 £ 374

= 1445 mm2

cui corrisponde la percentuale meccanica:

¹s =14:45 £ 3740030 £ 37 £ 1323

= 0:368

Quindi, confrontando ¹s con i valori limiti forniti dall’eq. (3.71), si deduce che il collasso avvienenel campo 2. La posizione dell’asse neutro pertanto è data dall’eq. (3.36):

K = 1:235¹s = 0:4545

a cui corrispondono i valori del braccio delle forze interne z = (1 ¡ 0:416K)d = 0:811d e delmomento ultimo Mu = 162:6 kNm.Si ricalcola pertanto l’armatura assumendo z = 0:8d. Con calcoli analoghi ai precedenti si ottiene:

As = 16:26 cm2 ¹s = 0:414

La sezione è ancora normalmente armata. L’altezza della zona compressa risulta K = 0:511 edil braccio delle forze interne z = 0:787d; a questi valori corrisponde il momento ultimo Mu =179 kNm, su¢cientemente prossimo a quello richiesto dal progetto. 2

Esempio 3.10 Determinare il momento ultimo della sezione a T dell’esempio 3.4, illustrata in…g. 3.6, ove si impieghino i seguenti materiali: calcestruzzo Rck = 30 N=mm2, acciaio Fe B 44k,già usati nell’es. 3.7.Se l’asse neutro attraversa la soletta la sezione si comporta come se fosse rettangolare con b = 80 cm;di conseguenza le percentuali meccaniche delle armature risultano:

¹s = 0:171 ¹0s = 0:033

Dunque la sezione è debolmente armata. Se ²0s ¸ ²sy la posizione dell’asse neutro si calcola con

l’eq. (3.54):K = 0:9375(0:171 ¡ 0:033) + 0:0625 = 0:192

Quindi, essendo ± = d0=d = 0:0638, la deformazione dell’acciaio compresso prende il valore:

²0s =

K ¡ ±1 ¡ K

= 1:585 £ 10¡3

minore della soglia plastica. Pertanto l’acciaio compresso rimane elastico e di conseguenza laposizione dell’asse neutro deve essere valutata mediante l’eq. (3.55), da cui si ottiene:

K = 0:1947 yc = Kd = 9:15 cm < s

Il risultato è coerente con l’ipotesi iniziale e quindi è corretto; il momento ultimo è dato dal-l’eq. (3.56):

Mu = 371 kNm

Se si confronta questo valore con quello (240 kNm) con cui la sezione era stata veri…cata alletensioni ammissibili, si osserva che il loro rapporto è 1.54, molto simile al coe¢ciente di sicurezzache deve essere applicato ai carichi. 2


Figura~3.12: Sezione a T

Esempio 3.11 Determinare il momento ultimo della sezione a T illustrata in …g. 3.12, suppo-nendo di utilizzare gli stessi materiali descritti nell’esempioL’area delle barre di armatura è:

As = 10Á24 = 45:2 cm2

Se l’asse neutro è all’interno della soletta si assume b = 80 cm; ne deriva una percentuale meccanicadell’armatura ¹s = 0:29, da cui segue che la sezione collassa nel campo 2 e la posizione dell’asseneutro, data dall’eq. (3.36), è:

K = 1:235¹s = 0:358 yc = Kd = 19:7 cm > s

Questo risultato contrasta con l’ipotesi iniziale, quindi l’asse neutro si trova sotto le ali. Prendendocome larghezza della sezione quella dell’anima b = 40 cm, la percentuale di armatura equivalentealle ali è:

¹¹ =(80 ¡ 40)10

40 £ 55= 0:182

mentre quella dell’armatura tesa ora risulta:

¹s = 0:581

La di¤erenza tra quest’ultima e quella compressa equivalente ¹s ¡ ¹¹ = 0:399 è ancora compresa trai valori di ¹(1)

s e ¹(2)s (eq. (3.71)) e pertanto l’altezza della zona compressa si calcola con l’eq. (3.51):

K = 1:25(¹s ¡ ¹¹) = 0:499 yc = 27:4 cm

In…ne il momento ultimo della sezione si ottiene applicando l’eq. (3.66):

Mu = (55 ¡ 0:4 £ 27:4)45:2 £ 37400++ (0:4 £ 27:4 ¡ 5)(80 ¡ 40)10 £ 1323 =

= 77:6 £ 106 Ncm = 776 kNm


È interessante osservare che le tensioni massime in fase elastica di questa sezione, sollecitata dalmomento M = Mu=1:5 = 517 kNm, risultano:

¾c = 13:1 N=mm2 ¾s = 237:5 N=mm2

che non rispettano, per il calcestruzzo, il limite posto dalle tensioni ammissibili. 2

Capitolo 4

Sforzo normale e flessione

La condizione di sollecitazione più generale che produce tensioni normali è la combinazionedi sforzo normale e flessione. La flessione semplice, esaminata nel capitolo precedente, ne èun caso particolare, ma, sia per la sua importanza, sia perché alcune relazioni degeneranoper N → 0 e quindi devono essere trattate in modo diverso, si è preferito esaminareseparatamente e per primo il più semplice caso della flessione pura.

Le ipotesi elencate nella sez. 3.1 a proposito degli elementi inflessi si possono ovvia-mente estendere anche al caso della pressoflessione: continuano ad essere quindi validela conservazione delle sezioni piane, la non resistenza del calcestruzzo teso e la perfettaaderenza tra acciaio e calcestruzzo. Così, in caso di calcolo elastico, si può ancora far usodel concetto di sezione omogenizzata, composta dal calcestruzzo compresso e dalle barredi acciaio le cui aree sono amplificate del modulo n, come chiarito nel § 3.2.1.

Quando la sollecitazione è dovuta alla sola flessione una parte della sezione risultasempre tesa: pertanto la sezione di calcestruzzo reagente non coincide mai con l’intera.Al contrario, quando è presente uno sforzo assiale la sezione può risultare totalmentecompressa o tesa; quando ciò avviene il problema si semplifica sensibilmente perché lasezione di calcestruzzo risulta interamente reagente od assente e quindi la geometria dellasezione efficace è nota a priori, come avviene per gli elementi realizzati con materialiisotropi.

4.1 Sforzo normale centrato

Un caso particolarmente semplice da analizzare è quello in cui la sollecitazione è tale daprodurre un diagramma delle deformazioni uniforme. Il caso più frequente ed importanteè quello in cui la sezione è compressa; quello in cui è tesa (trazione pura) si incontra assaimeno di frequente e presenta degli aspetti peculiari soprattutto legati alla distribuzionedelle fessure. Dal punto di vista della resistenza il problema è assai semplice e sarà trattatoalla fine di questa sezione: qui si esamina il caso delle sollecitazioni che provocano lacompressione uniforme dell’elemento.

La condizione che deve essere soddisfatta perché si abbia pressione centrata dipendedal tipo di analisi. Tenendo conto che tutta la sezione di calcestruzzo è reagente, in caso dicomportamento elastico la risultante delle sollecitazioni deve passare per il baricentro dellaintera sezione omogenizzata, mentre in condizioni ultime deve coincidere con la risultantedelle tensioni resistenti. Queste due condizioni sono generalmente diverse, salvo quando ilbaricentro delle armature coincide con quello della sezione di calcestruzzo. Poiché questa

77

78 Capitolo 4 Sforzo normale e flessione

situazione é abbastanza frequente e comunque non vi é di solito troppa differenza tra ledue condizioni precedenti, nel seguito non si avrà cura di distinguerle tra loro.

In pratica è ben difficile che la compressione centrata possa esattamente realizzarsi:gli errori di centratura, la continuità tra gli elementi, i difetti di verticalità, sono fattoriche introducono in ogni caso una sollecitazione di flessione che si aggiunge allo sforzoassiale. Tuttavia, quando l’eccentricità è piccola rispetto alle dimensioni della sezione, glieffetti della flessione si possono trascurare consentendo di studiare la sezione come se fossesoggetta a pressione centrata.

4.1.1 Calcolo elastico

La sezione, essendo uniformemente compressa, è interamente reagente, quindi l’area dellasezione omogenizzata è:

A∗ = Ac + nAs

in cui Ac è l’area della sezione di calcestruzzo ed As è l’area totale delle armature. Latensione nel calcestruzzo si ottiene quindi immediatamente dall’equilibrio alla traslazione:

σc =N

A∗=

N

Ac + nAs(4.1)

mentre la tensione nelle armature, ovviamente compresse, è semplicemente n volte quelladel calcestruzzo, calcolata con l’eq. (4.1).

La verifica con il metodo delle tensioni ammissibili consiste nel controllare che latensione nel calcestruzzo σc non superi il valore ammissibile ridotto σ̄c dato dall’eq. (2.25).

Nel dimensionamento della sezione spesso ciò che viene fissato è la percentuale geome-trica dell’armatura:

ρs =AsAc

(4.2)

per cui dall’eq. (4.1), posto σc = σ̄c, si ottiene:

Ac =N

σ̄c(1 + nρs)(4.3)

Le norme impongono dei limiti al valore di ρs. Per i pilastri la normativa italianaprescrive che non deve superare 0.06 (6%) e non essere inferiore al maggiore dei seguentidue:

0.003 0.008Ac(min)

Ac

in cui Ac(min) è l’area di calcestruzzo strettamente necessaria; pertanto:

As ≥ 0.8

100

N

σ̄c(4.4)

4.1.2 Calcolo allo stato limite ultimo

Essendo la sezione uniformemente compressa e l’acciaio deformato oltre il limite elastico, alcollasso entrambi i materiali raggiungono la tensione resistente e quindi lo sforzo normaleultimo risulta:

Acfc +Asfy

4.1 Sforzo normale centrato 79

Nelle verifiche si dovranno adottare i valori di calcolo delle resistenze; inoltre, in ot-temperanza alle norme italiane, il coefficiente di sicurezza del calcestruzzo γc deve esseremaggiorato del 25%, ciò che è equivalente a ridurre la tensione di calcolo di un fattore 0.8.Quindi lo sforzo normale ultimo (di progetto) si ottiene con la relazione:

Nu = 0.8f cdAc + fydAs (4.5)

e la sezione è verificata se Nu ≥ Nd.Fissata la percentuale di armatura, il dimensionamento dell’area di calcestruzzo si

ottiene dall’eq. (4.5) ponendo Nu = Nd:

Ac =Nd

0.8f cd + ρsfyd(4.6)

Anche per le sezioni calcolate a rottura devono essere soddisfatte le stesse limitazionidei valori di ρs elencate prima nel paragrafo dedicato al calcolo elastico; tuttavia l’areastrettamente necessaria ora è data dall’eq. (4.6) e quindi l’eq. (4.4) viene sostituita da:

As ≥ 0.8

100

Nd

0.8fcd=

Nd100fcd

(4.7)

4.1.3 Pilastri cerchiati

Per gli elementi in cui la sollecitazione prevalente è la compressione la maggior parte dellaforza è sopportata dal calcestruzzo, mentre l’armatura ha il ruolo complementare di con-ferire duttilità e resistenza a trazione all’elemento. Tuttavia in prossimità del collasso lebarre, se non sono efficacemente trattenute da un’armatura trasversale (staffe), svergo-lando per carico di punta, possono distruggere la parte esterna della sezione, con effettinegativi sulla resistenza.

Il modo più efficace per aumentare la capacità portante delle sezioni compresse consistequindi nel migliorare la resistenza del calcestruzzo: questo, come si è già visto, si puòottenere mediante il confinamento della sezione. Se in un pilastro di sezione circolareo poligonale si dispone un’armatura trasversale, generalmente realizzata mediante unaspirale, con un passo sufficientemente fitto, grazie al meccanismo ad “arco” illustrato infig. 4.1 l’effetto del contenimento esercitato dalle spire si estende anche alle zone intermedie,così che questa armatura svolge un’azione analoga a quella di un tubo che avvolgessel’intero pilastro.

Quando il pilastro è compresso si manifesta una espansione trasversale, proporzionalealla contrazione assiale tramite il coefficiente di Poisson; questa deformazione, contrastatadall’armatura cerchiante, provoca nel pilastro una pressione radiale di confinamento σl.A sua volta sull’armatura agisce una sollecitazione opposta, che induce nella spirale unaforza di trazione facilmente determinabile dalle condizioni di equilibrio:

F =1

2σlDs

in cui D è il diametro del nucleo cerchiato della sezione ed s è il passo della spirale.La massima pressione di contenimento dipende dalla resistenza della spirale: uguaglian-

do F alla forza che ne provoca lo snervamento si ottiene che la tensione di confinamentoultima è data da:

σl =2AspfyDs

(4.8)


Figura~4.1: Schema del funzionamento di un pilastro cerchiato.

in cui Asp è l’area della sezione dell’armatura a spirale.Ricordando l’eq. (2.7), che dà la resistenza del calcestruzzo confinato in funzione della

pressione di contenimento, e sostituendo a σl l’espressione (4.8), si ottiene:

fcc = fc + 8.2AspfyDs

Il valore di calcolo della resistenza del calcestruzzo confinato si ottiene dall’espressioneprecedente, interpretata come valore caratteristico, dividendola per il coefficiente γc (mag-giorato del 25% poiché si tratta di pressione centrata) e moltiplicandola per 0.85. Poichéfyk = fydγs, si ottiene:

fccd =0.85fcc1.25γc

= 0.8fcd +0.85

1.25γc8.2AspfydγsDs

= 0.8fcd + 4AspfydDs

in cui si è tenuto conto che, nelle norme italiane, γc = 1.6 e γs = 1.15.Nei pilastri cerchiati si trascura il contributo del calcestruzzo esterno al nucleo confi-

nato; infatti questo materiale è più fragile e meno resistente di quello interno, pertantoquando si giunge al collasso del nucleo è andato già distrutto e non può contribuire allaresistenza. Poiché l’area del nucleo è Acc = πD2/4, indicando con As l’area totale dellebarre longitudinali, il carico ultimo del pilastro risulta:

Nu = Accfccd +Asfyd = 0.8fcdπD2

4+

µπD

sAsp +As

¶fyd (4.9)

Introducendo l’area equivalente:

A∗s = AspπD

s(4.10)

4.1 Sforzo normale centrato 81

definita come l’area di una barra longitudinale equipesante alla spirale, l’eq. (4.9) si scrive:

Nu = 0.8fcdπD

4+ (A∗s +As) fyd (4.11)

L’equazione precedente è quella adottata dalle norme italiane per la verifica allo statolimite ultimo dei pilastri cerchiati.

Per i pilastri cerchiati devono essere inoltre rispettate le seguenti limitazioni:

s ≤ D5; Nu ≤ 2

µ0.8f cd

πD2

4

¶; A∗s ≤ 2As (4.12)

che, a parole, possono così indicarsi: il passo della spirale non deve superare un quinto deldiametro del nucleo; il carico ultimo della sola sezione di calcestruzzo deve essere almenola metà del carico ultimo totale, l’area dell’armatura longitudinale non può essere menodella metà di quella dell’armatura equivalente alla spirale.

Calcolo alle tensioni ammissibili

L’importanza dell’armatura cerchiante si evidenzia solo quando l’elemento è sollecitatofino al collasso, in fase elastica invece questa armatura non svolge alcun ruolo significa-tivo. È questo uno dei casi in cui il calcolo alle tensioni ammissibili non può dedursi daun’analisi elastica dell’elemento, ma deve utilizzare, mediante opportuni aggiustamenti,delle relazioni derivate dal calcolo allo stato limite ultimo.

Per i pilastri cerchiati la verifica si esegue controllando che la tensione nel calcestruz-zo non superi il valore ammissibile ridotto σ̄c. La tensione si calcola ancora mediantel’eq. (4.1), assumendo come area della sezione omogenizzata:

A∗ = Ac + n(As + 3A∗s) (4.13)

in cui A∗s è l’area dell’armatura longitudinale equivalente alla spirale data dall’eq. (4.10).Anche in questo caso si applicano le limitazioni espresse nelle eq. (4.12), ma la seconda

di queste è sostituita dalla seguente:

A∗ ≤ 2Acossia l’area omogenizzata equivalente non può superare il doppio di quella del nucleocerchiato.

Se si confrontano l’equazione per la verifica alle tensioni ammissibili (4.13) con quellaa rottura (4.11) si osserva che mentre in quest’ultimo caso l’area dell’armatura equivalen-te alla spirale (A∗s ) è semplicemente sommata a quella longitudinale, nella verifica alletensioni ammissibili è pesata con un fattore triplo.

Per spiegare questa anomalia si deve tenere presente che l’armatura, rispetto al calce-struzzo, ha un peso che, nel calcolo elastico, è dato dal coefficiente n (rapporto conven-zionale tra i moduli), mentre nel calcolo a rottura è dato dal rapporto tra le resistenzedi calcolo dei materiali (fyd/0.8f cd). Mentre n viene assunto costante e pari a 15, que-st’ultimo dipende dalle caratteristiche dei materiali impiegati. Se, ad esempio, si fissa:Rck = 25 N/mm2, fyk = 430 N/mm2), si ottiene fyd/0.8f cd = 42.4, valore prossimo a3n = 45. Dunque il valore con cui, nel calcolo alle tensioni ammissibili della normativaitaliana, viene pesata l’armatura a spirale, deriva dall’intento di conferire a questa arma-tura, approssimativamente, lo stesso peso che, rispetto al calcestruzzo, ha nel calcolo allostato limite ultimo.


4.1.4 Trazione semplice

Sebbene gli elementi in cemento armato siano poco adatti all’impiego come tiranti, in certicasi può accadere che in alcuni elementi la sollecitazione prevalente sia uno sforzo normaledi trazione.

Dal punto di vista della resistenza il problema è molto semplice in quanto la sezionedi calcestruzzo, interamente tesa, non fornisce alcun contributo. La sezione resistentepertanto è costituita dalle sole armature e la sollecitazione produrrà una distribuzioneuniforme delle deformazioni se la sua retta d’azione passa per il baricentro delle armature.In questo caso la tensione risulta uguale in tutte le barre e, per l’equilibrio, risulta:

N = Asσs (4.14)

in cui As e σs sono l’area totale e la tensione delle armature.Se l’armatura è in campo elastico (|σs| ≤ fyd), dall’eq. (4.14) si calcola il valore di σs:

σs =N

As(4.15)

e quindi, se la sezione viene verificata con il metodo delle tensioni ammissibili, si dovràcontrollare che |σs| ≤ σs.

Nel calcolo allo stato limite ultimo si deve determinare il carico di rottura della sezione;questo corrisponde alla condizione in cui l’acciaio raggiunge la tensione di plasticizzazione,pertanto nell’eq. (4.14) la tensione σs deve porsi uguale a quella di snervamento:

Nu = −Asfyd (4.16)

dove il segno meno tiene conto della convenzione scelta di considerare negative le forze ditrazione.

Anche se ovviamente deve essere verificata, la condizione di resistenza di solito non èquella vincolante. Infatti generalmente più critica è la condizione che limita l’ampiezzadelle fessure nel calcestruzzo; ciò richiede di ridurre la tensione di esercizio dell’acciaioovvero di progettare a rottura con coefficienti di sicurezza più elevati.

4.2 Sforzo normale eccentrico. Calcolo elastico

Si esamina ora la condizione di sollecitazione composta di sforzo normale e flessione,trattando separatamente i casi della compressione e della trazione.

Lo stato di sollecitazione viene individuato dalla forza normale N e dal punto P dicoordinate xP , yP , detto centro di sollecitazione, intersezione della retta di azione di N conil piano della sezione. In alternativa la stessa sollecitazione può descriversi mediante Ned i due momenti baricentrici Mx,My relativi agli assi principali di inerzia della sezione.Tuttavia quest’ultima forma di rappresentazione può risultare ambigua in quanto nonsempre il baricentro e gli assi principali della sezione omogenizzata coincidono con quellidella sezione di calcestruzzo e comunque certamente ne differiscono quando questa risultaparzializzata.

Nel seguito, nella parte dedicata al calcolo elastico, si farà di solito riferimento agliassi principali dell’intera sezione omogenizzata, che sono, quando la sezione è interamentecompressa, gli assi principali della sezione reagente. Generalmente questi assi coincidono,o differiscono di poco, dagli assi della sezione geometrica.

4.2 Sforzo normale eccentrico. Calcolo elastico 83

4.2.1 Pressione eccentrica, piccola eccentricità

Si considera il caso che lo sforzo normale sia di compressione; se, con riferimento allasezione omogenizzata, il centro di sollecitazione è interno al nocciolo centrale di inerzia,l’asse neutro è esterno alla sezione che pertanto risulta interamente compressa e dunquereagente. In questo caso le caratteristiche geometriche della sezione sono note a priori e percalcolare lo stato di tensione si possono utilizzare le relazioni che si ottengono applicandola sovrapposizione degli effetti, ben note dallo studio delle travi realizzate con materialireagenti a trazione. Sempre con riferimento agli assi principali di inerzia, la tensione inun generico punto della sezione, di coordinate x, y è data dall’equazione:

σc =N

A∗+NxpI∗y

x+NypI∗xy (4.17)

in cui xp, yp sono le coordinate del centro di sollecitazione e I∗x, I∗y i momenti d’inerzia dellasezione omogenizzata.

La condizione perché la sezione risulti effettivamente tutta compressa è che le tensioni,calcolate con l’eq. (4.17), risultino positive in tutti i punti della sezione A. Introducendoi giratori di inerzia della sezione r2x = I∗y/A∗ e r2y = I∗x/A∗, dall’eq. (4.17) si ottiene lacondizione:

xxpr2x

+yypr2y

+ 1 ≥ 0 (∀x, y ∈ A) (4.18)

Uguagliando a zero questa espressione si stabilisce una corrispondenza di antipolaritàri-spetto all’ellisse centrale di inerzia tra il centro di sollecitazione e l’asse neutro. Il luogodegli antipoli delle tangenti alla frontiera di A è la frontiera del nocciolo di inerzia. Adesempio per una sezione rettangolare con armatura simmetrica dall’eq. (4.18) si ottieneche i punti del nocciolo sono individuati dalla disequazione:¯̄̄̄

xpx0

¯̄̄̄+

¯̄̄̄ypy0

¯̄̄̄≤ 1 (4.19)

in cui

x0 = 2r2xb

y0 = 2r2yh

sono, in valore assoluto, le coordinate dei vertici del nocciolo e b, h le dimensioni dellasezione.

Esempio 4.1 Verificare la sezione rettangolare b = 30 cm, h = 40 cm, armata simmetricamentecon 4φ22, posti in prossimità dei vertici, alla distanza c = 3.5 cm dai bordi e sollecitata dalla forzaassiale N = 700 kN, con centro di sollecitazione di coordinate xp = 3 cm, yp = 2.5 cm.Caratteristiche geometriche della sezione:

A∗ = 30× 40 + 15× 4× 3.8 = 1428 cm2

I∗x =1

1230× 403 + 15× 4× 3.8(20− 3.5)2 = 222073 cm4

I∗y =1

1240× 303 + 15× 4× 3.8(15− 3.5)2 = 120153 cm4

Raggi di inerzia:

r2x =I∗yA∗

= 84.14 cm2 r2y =I∗xA∗

= 155.5 cm2


Vertici del nocciolo:

x0 = 2r2xb= 5.61 cm y0 = 2

r2yh= 7.77 cm

per cui applicando l’eq. (4.19) risulta:¯̄̄̄xpx0

¯̄̄̄+

¯̄̄̄ypy0

¯̄̄̄= 0.856 < 1

e quindi la sezione è interamente compressa.Le tensioni si calcolano con l’eq. (4.17); il punto dove la sollecitazione è massima è lo spigolo dicoordinate (b/2, h/2), per cui si ha:

σc(mx) = 700000

µ1

1428+2.5× 20222073

+3× 15120153

¶= 910 N/cm2 = 9.1 N/mm2

La tensione minima si ha nello spigolo opposto, dove risulta σc = 0.70 N/mm2. 2

4.2.2 Grande eccentricità. Pressoflessione retta

Quando il centro di sollecitazione è esterno al nocciolo (per le sezioni rettangolari le suecoordinate non verificano la disuguaglianza (4.19)), l’asse neutro taglia la sezione cherisulta parzializzata e, come nel caso della flessione, la sezione reagente non è a priorideterminata.

Se la sezione ha un asse di simmetria ed il centro di sollecitazione è uno dei suoi puntil’asse neutro è ortogonale a questo asse, e la sua giacitura dunque è nota; questo, comegià fu visto per la flessione, semplifica il problema che tuttavia si può trattare in formaanalitica solo per sezioni dalla geometria semplice. Anche qui il caso più elementare e dimaggior interesse pratico è quello delle sezioni rettangolari.

Se y è l’asse di simmetria su cui giace il centro di sollecitazione P , si indichi con u ladistanza di P dal bordo compresso della sezione, considerata positiva quando P è esternoalla sezione, con yp la distanza di P dall’asse neutro e con yc l’altezza della zona compressa,come illustrato in fig. (4.2), in modo tale che si ha:

yp = yc + u (4.20)

Con riferimento all’asse x0 perpendicolare ad y e passante per P , la condizione diequilibrio alla rotazione della sezione richiede che:Z

A∗σy0 dA = 0

dove y0 indica la distanza di un punto generico della sezione dall’asse x0. Se y è la distanzadello stesso punto dall’asse neutro, si avrà ovviamente y = yp − y0. Tenendo presenteche, per la linearità del diagramma delle tensioni, si può porre σ = θy, dall’equazioneprecedente si ottiene:

yp

ZA∗y0 dA−

ZA∗y02 dA = 0

che, sinteticamente, si può scrivere:

ypS∗x0 − I∗x0 = 0 (4.21)

in cui S∗x0 e I∗x0 sono il momento statico e quello d’inerzia della sezione reagente omogeniz-

zata, riferiti all’asse x0.


Figura~4.2: Sezione rettangolare soggetta a pressoflessione retta

Sezione rettangolare

Per una sezione rettangolare l’espressione esplicita di S∗x0 e I∗x0 è semplice:

S∗x0 =1

2b(y2p − u2) + n

mXi=1

Asi(di + u)

I∗x0 =1

3b(y3p − u3) + n

mXi=1

Asi(di + u)2

Sostituendo queste espressioni nell’eq. (4.21) e riordinando i termini in funzione dell’unicaincognita (yp) che vi compare, si ottiene l’equazione cubica:

y3p +

"6n

b

mXi=1

Asi(di + u)− 3u2#yp −

"6n

b

mXi=1

Asi(di + u)2 − 2u3

#= 0

che si può scrivere in modo compatto:

y3p + pyp − q = 0 (4.22)

dove i coefficienti p e q dipendono dalla geometria della sezione, dalle armature e dallaposizione del centro di sollecitazione:

p =6n

b

mXi=1

Asi(di + u)− 3u2

q =6n

b

mXi=1

Asi(di + u)2 − 2u3 (4.23)


La soluzione dell’equazione cubica (4.22) è nota in forma esplicita:

yp =−p

3

µq2 +

qp3

27 +q2

4

¶1/3 +Ãq

2+

rp3

27+q2

4

!1/3(4.24)

In alternativa l’eq. (4.22) si può risolvere abbastanza rapidamente mediante un procedi-mento numerico iterativo.

Dal valore di yp si determina quindi l’altezza della zona compressa yc = yp − u. In-dividuata la posizione dell’asse neutro la sezione reagente risulta definita e quindi si puòprocedere al calcolo delle sollecitazioni. L’uso dell’eq. (4.17) è tuttavia poco pratico, inquanto richiede di trasferire il riferimento nel baricentro della sezione reagente. Risultapiù comodo utilizzare l’equazione monomia che si ricava dall’equilibrio alla traslazione:Z

A∗σ dA = θ

ZA∗y dA = θS∗n = N

in cui si è fatto uso della relazione lineare σ = θy e si è indicato con S∗n il momento staticodella sezione omogenizzata relativamente all’asse neutro. Risolvendo l’equazione rispettoa θ e sostituendo la soluzione nell’espressione di σ si ha:

σc =N

S∗ny (4.25)

I valori delle tensioni nell’acciaio si ottengono con una relazione analoga amplificata delfattore n:

σsi = nN

S∗n(yc − di)

Per le sezioni rettangolari il momento statico relativo all’asse neutro è dato da:

S∗n =1

2by2c + n

mXi=1

Asi(yc − di)


Il problema di determinare le dimensioni ed il quantitativo di armatura di una sezione incemento armato a partire dalle sollecitazioni presenta, nel caso della pressoflessione, ungrado di indeterminazione maggiore di quello relativo alla flessione semplice. Infatti, quan-do non esistono vincoli di altra natura, le dimensioni “ottimali” di una sezione inflessa sonoovviamente quelle per cui entrambi i materiali lavorano alla massima tensione consentita;pertanto si dispone di due equazioni che permettono di calcolare l’area dell’armatura euna dimensione della sezione in calcestruzzo. Nel caso della sollecitazione di pressoflessio-ne la tensione nell’armatura dipende anche dall’eccentricità del carico. Tenendo ferme lealtre condizioni, al diminuire dell’eccentricità la tensione nell’acciaio diminuisce finché, seil centro di sollecitazione è interno al nocciolo, l’armatura risulta compressa; è evidente cheper eccentricità che portano il centro di sollecitazione di poco fuori il nocciolo la tensionenell’acciaio teso sarà piccola.

Da queste considerazioni segue che il valore di progetto della tensione nell’armaturanon sempre potrà coincidere con la tensione ammissibile dell’acciaio; se l’eccentricità non


è molto grande, relativamente alle dimensioni della sezione, sarà conveniente assumere unvalore minore, tanto più piccolo quanto più è piccola l’eccentricità.

In generale al crescere del valore di progetto della tensione dell’acciaio si ottengonosoluzioni, se esistono, con sezioni più grandi e meno armate. L’inverso avviene se latensione viene ridotta. Pertanto spesso è necessario procedere per tentativi, fissando diversivalori di σs (ovviamente non superiori a σs), fino a trovare una soluzione ragionevole, ossiauna sezione non troppo grande e non troppo armata.

Fissate le tensioni di esercizio del calcestruzzo e dell’acciaio è possibile sviluppare delleformule di progetto analoghe a quelle valide per la sollecitazione di sola flessione. Latensione nel calcestruzzo si assumerà ovviamente uguale al suo valore ammissibile mentreper quella dell’acciaio si dovrà tener conto delle considerazioni precedenti. Indicandocon σcm la tensione massima nel calcestruzzo e con σs e σ0s i valori assoluti delle tensioninell’acciaio teso e compresso e supponendo la sezione armata simmetricamente (A0s = As),il fattore K = yc/d e la tensione nell’armatura compressa sono noti:

K =nσcm

nσcm + σsσ0s = n

K − δ

Kσcm (4.26)

dove δ = d0/d. A rigore questa quantità, dipendendo dall’altezza utile della sezione, che èincognita, a sua volta non è nota; ma non avendo eccessiva influenza sulla soluzione puòfissarsi, in modo approssimato, a priori.

Indicando con h l’altezza della sezione, per la sua simmetria si ha h = d+ d0; quindi leequazioni di equilibrio si scrivono:

N =1

2bdKσcm +As(σ

0s − σs)

Ne =1

2bd2Kσcm

µ1 + δ

2− K3

¶+Asd

1− δ

2(σ0s + σs)

In queste equazioni le incognite sono l’altezza utile d e l’area delle due armature As, inquanto la larghezza b si intende fissata e le altre grandezze sono dei dati o si calcolanomediante le eq. (4.26).

Eliminando As tra le equazioni precedenti si ottiene un’equazione in d:

d2

α− 2N

bd− N

beβ = 0

dove:

β = −4 σ0s − σs(1− δ)(σ0s + σs)

α =

½Kσcm

·1 +

µ1 + δ

2− K3

¶β

2

¸¾−1(4.27)

da cui si ottiene l’espressione di d:

d = α

Nb+

sµN

b

¶2+N

beβ

α

(4.28)

Determinato d il quantitativo necessario di armatura si ottiene risolvendo rispetto adAs una delle due equazioni di equilibrio. Per esempio dalla seconda si ottiene:

As =2Ne/d− bdKσcm

¡1+δ2 − K

3

¢(1− δ)(σ0s + σs)

(4.29)


δ = 0.05

σs σc = 7.25 N/mm2 σc = 8.5 N/mm

2 σc = 9.75 N/mm2 σc = 11 N/mm

2

N/mm2 α β α β α β α β

15 2.4675 -3.1361 2.0924 -3.2774 1.8151 -3.3859 1.6020 -3.471835 2.5321 -2.0523 2.1517 -2.3013 1.8690 -2.4988 1.6506 -2.659355 2.5553 -1.2332 2.1723 -1.5391 1.8888 -1.7880 1.6701 -1.994575 2.5811 -0.5925 2.1883 -0.9275 1.9007 -1.2057 1.6803 -1.440495 2.6195 -0.0775 2.2102 -0.4258 1.9144 -0.7199 1.6899 -0.9717115 2.6705 0.3454 2.2403 -0.0069 1.9330 -0.3086 1.7020 -0.5698135 2.7323 0.6989 2.2781 0.3482 1.9571 0.0443 1.7179 -0.2216155 2.8028 0.9988 2.3226 0.6531 1.9863 0.3503 1.7376 0.0831175 2.8801 1.2564 2.3727 0.9176 2.0198 0.6183 1.7607 0.3520195 2.9630 1.4801 2.4273 1.1493 2.0572 0.8548 1.7869 0.5910215 3.0503 1.6762 2.4857 1.3539 2.0977 1.0651 1.8158 0.8048235 3.1412 1.8494 2.5472 1.5360 2.1409 1.2533 1.8470 0.9972255 3.2351 2.0036 2.6113 1.6990 2.1863 1.4228 1.8801 1.1713

δ = 0.10σs σc = 7.25 N/mm

2 σc = 8.5 N/mm2 σc = 9.75 N/mm

2 σc = 11 N/mm2

N/mm2 α β α β α β α β

15 2.6940 -3.2473 2.3011 -3.4048 2.0072 -3.5257 1.7793 -3.621435 2.6186 -2.0397 2.2521 -2.3172 1.9754 -2.5372 1.7587 -2.716055 2.5490 -1.1271 2.1948 -1.4680 1.9296 -1.7453 1.7225 -1.975375 2.5137 -0.4132 2.1570 -0.7865 1.8939 -1.0965 1.6906 -1.358095 2.5093 0.1606 2.1405 -0.2275 1.8728 -0.5552 1.6685 -0.8357115 2.5281 0.6318 2.1416 0.2393 1.8650 -0.0969 1.6563 -0.3880135 2.5639 1.0256 2.1565 0.6349 1.8681 0.2963 1.6529 0.0000155 2.6124 1.3598 2.1819 0.9745 1.8801 0.6373 1.6567 0.3395175 2.6704 1.6468 2.2155 1.2693 1.8990 0.9358 1.6665 0.6391195 2.7357 1.8961 2.2554 1.5274 1.9235 1.1993 1.6812 0.9053215 2.8065 2.1145 2.3004 1.7554 1.9525 1.4336 1.6998 1.1436235 2.8818 2.3075 2.3494 1.9583 1.9851 1.6434 1.7216 1.3580255 2.9607 2.4793 2.4016 2.1399 2.0207 1.8322 1.7462 1.5520

Tabella 4.1: Coefficienti per il progetto delle sezioni pressoinflesse con armaturasimmetrica. Unità di misura: kN — cm.

I coefficienti α e β dipendono dalle tensioni di esercizio dei materiali e dal coefficienteδ; i loro valori, per certi intervalli frequenti dei parametri, sono riportati nelle tabelle 4.1.

Verificare la sezione rettangolare con dimensioni b = 30 cm, h = 50 cm, d0 = 3 cm,con armatura simmetrica As = A0s = 2φ20 + 2φ22 = 13.9 cmq, sollecitata a pressioneeccentrica:

N = 350 kN e = 34 cm

prevedendo l’impiego dei seguenti materiali:

Esempio 4.2 Calcestruzzo Rck = 25 N/mm2 σc = 8.5 N/mm

2

Acciaio FeB 38 k σs = 215 N/mm2

Poiché si ha:

u = e− h/2 = 34− 25 = 9 cm


per le equazioni (4.23) i coefficienti p e q valgono:

p =6× 1530

13.9(12 + 56)− 3× 92 = 2592.6

q =6× 1530

13.9(122 + 562)− 2× 93 = 135318

quindi applicando l’eq. (4.24) si ottiene:

yp =−2592.63× 51.916 + 51.916 = 35.27 cm

L’altezza della zona compressa risulta:

yc = yp − u = 35.27− 9 = 26.27 cmIl momento statico rispetto all’asse neutro della sezione omogenizzata è:

S∗n =1

230× 26.272 + 15× 13.9(23.27− 20.73) = 10882 cm3

e quindi le tensioni massime nel calcestruzzo e nell’acciaio risultano:

σc =350

1088226.27 = 0.845 kN/cm2 = 8.45 N/mm2

σs = 15350

10882(26.27− 47) = −10.00 kN/cm2 = −100.0 N/mm2

2

Esempio 4.3 Determinare le dimensioni di una sezione rettangolare idonea a sopportare laseguente sollecitazione:

N = 500 kN e = 40 cm

supponendo l’impiego dei seguenti materiali:Calcestruzzo Rck = 30 N/mm

2 σc = 9.75 N/mm2

Acciaio FeB 38 k σs = 215 N/mm2

Si assume b = 30 cm e σcm = σ̄c = 9.75 N/mm2. Per σs = σ̄s = 225 N/mm2 e δ = 0.05, dalletabelle 4.1 si ottiene:

α = 2.1193 β = 1.1592

che, sostituiti nell’eq. (4.28), forniscono d = 89.04 cm. A questo valore dell’altezza utile corrispondeδ = d0/d = 3/89 = 0.034; applicando le eq. (4.26) e (4.29) si ottiene quindi:

K = 0.3939 σ0s = 134, 1 N/mm2 As = 1.6 cm

2

La sezione così ottenuta ha una percentuale di armatura molto piccola. È preferibile ridurrela tensione di esercizio dell’acciaio: ponendo σs = 155 N/mm2, dalle tabelle 4.1 (δ = 0.05) siottengono i coefficienti:

α = 1.9863 β = 0.3503

da cui segue:d = 72.6 cm ∼ 73 cm

K = 0.4855 δ = 3/73 = 0.041 σ0c = 133.9 N/mm2

As = 6.35 cm2

Per σs = 115 N/mm2 e δ = 0.05 risulta:

α = 1.933 β = −0.3086


da cui segue:d = 57.5 cm ∼ 57 cm

K = 0.5598 δ = 3/57 = 0.053 σ0s = 132.5 N/mm2

As = 16.4 cm2

2

Esempio 4.4 Verificare l’ultima soluzione dell’esercizio precedente (b = 30 cm h = 60 cm).

u = e− h/2 = 10 cm

p = 3636 q = 227173

yp =−3636

3× 61.689 + 61.689 = 42.04 cm yc = 32.04 cm

S∗n = 16405 cm3

σc = 9.76 N/mm2 σs = −114 N/mm2

2

4.2.3 Trazione eccentrica

Anche quando lo sforzo normale esercita trazione è opportuno distinguere il caso in cuil’asse neutro è esterno (piccola eccentricità) da quello in cui attraversa la sezione (grandeeccentricità).

Piccola eccentricità

Quando il centro di sollecitazione della forza di trazione coincide con il baricentro dellearmature la sezione risulta uniformemente tesa e quindi la sezione reagente è formata dallasola parte in acciaio. Se il centro di sollecitazione si allontana dal baricentro la sezioneresta interamente tesa fin quando P rimane all’interno del nocciolo della sezione reagente,cioè delle sole armature. L’equazione del nocciolo è ancora l’eq. (4.18), ma i raggi di inerziarx ed ry si riferiscono solo all’armatura:

r2x =

Pmi=1Asix

2iPm

i=1Asir2y =

Pmi=1Asiy

2iPm

i=1Asi

in cui xi, yi sono le coordinate, relative al baricentro, della barra di area Asi.Per le sezioni rettangolari con armatura simmetrica il nocciolo ha la forma romboidale

espressa dall’eq.(4.19). Se l’armatura è disposta nei vertici della figura si ha:

rx =b

2− cx ry =

h

2− cy

dove cx, cy sono le distanze delle armature dai bordi della sezione. Se cx ¿ b e cy ¿ h sipuò porre:

x0 = 2r2xb' b

2− 2cx

y0 = 2r2yh' h

2− 2cy


Figura~4.3: Sezione rettangolare sollecitata da tensoflessione retta

Dunque i vertici del nocciolo distano dal perimetro delle armature delle quantità cx e cy.Come nel caso della compressione, finché il centro di sollecitazione non è esterno al

nocciolo la sezione reagente è nota a priori, pertanto le tensioni (nelle barre di acciaio) sicalcolano con l’eq. (4.17), in cui A∗, I∗x e I∗y sono l’area ed i momenti di inerzia della solaarmatura.

Grande eccentricità

Nel caso di pressione eccentrica, per e → ∞ ed N → 0 in modo tale che M = Ne resticostante, la sollecitazione tende alla flessione pura. Cambiando il segno di N ed e si ottieneuna sollecitazione di trazione che produce lo stesso momento; perciò, per N molto piccolo,le tensioni nella sezione praticamente non cambiano. Avvicinando il centro di pressione albaricentro e facendo crescere (in valore assoluto) N , si ottiene una sollecitazione di trazionee flessione per la quale lo stato di tensione nella sezione rimane dello stesso tipo. Quindi,per la trazione di grande eccentricità, il bordo della sezione maggiormente compresso èquello più distante dal centro di sollecitazione, come illustrato in fig. 4.3.

Pertanto, adottando le stesse convenzioni usate nel § 4.2.2, risulta u < 0 e yp < 0,ove u ed yp indicano, come in precedenza, la distanza del centro di sollecitazione dallembo compresso e dall’asse neutro, rispettivamente. Con queste precisazioni l’eq. (4.21),derivata dall’equilibrio intorno al centro di sollecitazione P , è ancora valida e altrettantolo sono le equazioni (4.22) e (4.23) ottenute per le sezioni rettangolari. Quindi le tensionisi possono calcolare applicando l’eq. (4.25), tenendo conto ovviamente che ora N < 0.Si deve invece osservare che in questo caso l’eq. (4.24) non è più utilizzabile, in quantonon fornisce la radice utile (negativa) dell’equazione cubica (4.22). Le altre due radici di


questa equazione hanno forma generale complessa; anche se la parte immaginaria dellesoluzioni alla fine scompare, il loro uso è poco pratico. Risulta più semplice utilizzare unprocedimento numerico iterativo.

Esempio 4.5 Determinare le tensioni massime prodotte nella sezione rettangolare di base b =25 cm e altezza h = 60 cm, armata con 4φ20 poste alla distanza c = 3 cm dai bordi, dalla forza ditrazione N = −100 kN con eccentricità e = −60 cm dal centro della sezione.

La distanza del centro di sollecitazione dal lembo della sezione è:

u = e− h2= −60− 30 = −90 cm

Dall’eq. (4.23) si ottengono i valori di p e q:

p =6× 1525

[6.28(3− 90) + 6.28(57− 90)]− 3(−90)2 = −27013

q =6× 1525

6.28(872 + 332)− 2(−90)3 = 1653740

La soluzione dell’eq.(4.22), ottenuta con un procedimento numerico iterativo, è quindi y = −80.36 cm;di conseguenza:

yc = yp − u = −80.36 + 90 = 9.64 cm

quindi il momento statico della sezione reagente risulta:

S∗n = −2674.2 cm3

e le tensioni massime di compressione e trazione:

σc =−100−2674.2 × 9.64 = 0.36 kn/cm

2= 3.6 N/mm

2

σs = 15−100−2674.2(9.64− 57) = −26.56 kn/cm

2 = −265.6 N/mm2

2

4.2.4 Sezioni di forma arbitraria

Per le sezioni di forma più complessa della rettangolare non è utile sviluppare relazionianalitiche in forma chiusa, del tipo dell’eq. (4.22). In questi casi è preferibile utilizzare unalgoritmo numerico con cui trattare sezioni di ogni forma, purché simmetrica, sollecitatea pressoflessione retta.

Il calcolo dei momenti statico e d’inerzia che compaiono nell’eq. (4.21) si può svolgereagevolmente dividendo la sezione in strisce sottili, parallele all’asse neutro, approssimandogli integrali con sommatorie. In modo analogo a quanto fatto nel caso della flessione,indicando con ηi la distanza di una striscia dal lembo compresso della sezione, le espressionidel momento statico e del momento d’inerzia relativamente al centro di sollecitazione sono


espresse dalle relazioni:

S∗x0 =

ZA∗y0 dA =

Z yc

0b(η)(u+ η) dη + n

mXi=1

Asi(u+ di) '

'Xj

b(ηj)(u+ ηj)∆ηj + nmXi=1

Asi(u+ di)

I∗x0 =

ZA∗y02 dA =

Z yc

0b(η)(u+ η)2 dη + n

mXi=1

Asi(u+ di)2 '

'Xj

b(ηj)(u+ ηj)2∆ηj + n

mXi=1

Asi(u+ di)2

in cui le somme si estendono a tutte le strisce compresse, ossia fin quanto non risulta:

yc =I∗x0S∗x0− u ' ηk +

∆ηk2

k essendo l’indice dell’ultima striscia inclusa nella somma.Il procedimento è illustrato nell’esempio seguente.

Esempio 4.6 Determinare le tensioni massime indotte da una forza di compressione normale diintensità N = 100 kN ed un momentoM = 6 kNm su di una sezione ellittica con assi 25×40 cm conarmatura simmetrica As = A0s = 3φ20 = 9.42 cm

2 disposta in corrispondenza dell’asse maggiore a17 cm dal baricentro, quando il centro di sollecitazione appartiene all’asse maggiore della sezione.Rispetto al baricentro la forza assiale agisce con un’eccentricità e =M/N = 60 cm. Quindi:

u = 60− 40/2 = 40 cmL’area, il momento statico ed il momento d’inerzia dell’armatura, relativamente al centro disollecitazione, sono:

As = 2× 9.42 = 18.84 cm2Ss = 9.42(43 + 77) = 1130.4 cm

3

Is = 9.42(432 + 772) = 73268.7 cm4

Dividendo la sezione in strisce di altezza ∆η = 1 cm si può quindi costruire la tabella 4.2In questa tabella i termini della prima riga si riferiscono alla sola armatura omogenizzata e quellidelle righe successive si ottengono aggiungendo ai corrispondenti della riga precedente i contributidella striscia in esame. Più precisamente:

A∗i = A∗i−1 + b(ηi)∆ηi

S∗i = S∗i−1 + b(ηi)∆ηiy

0i

I∗i = I∗i−1 + b(ηi)∆ηiy

02i

Il calcolo viene arrestato quando il termine della prima colonna aumentato della metà dello spessoredella striscia supera il corrispondente dell’ultima colonna.Determinata la posizione dell’asse neutro yc = 57.76− 40 = 17.76 cm il corrispondente valore delmomento statico è:

S∗n = −34257 + 625.86× 57.76 = 1895.1 cm3quindi applicando l’eq. (4.25) e la successiva si ottiene:

σc = 9.37 N/mm2

σs = 152.2 N/mm2

2


y0i ∆ηi b(ηi) A∗i S∗i I∗i yp = I∗i /S

∗i

40.00 0.00 0.00 282.60 16956. 1099031. 64.8240.50 1.00 5.56 288.16 17181. 1108143. 64.5041.50 1.00 9.50 297.65 17575. 1124503. 63.9842.50 1.00 12.10 309.76 18090. 1146364. 63.3743.50 1.00 14.13 323.89 18704. 1173099. 62.7244.50 1.00 15.80 339.68 19407. 1204385. 62.0645.50 1.00 17.22 356.90 20191. 1240032. 61.4246.50 1.00 18.45 375.35 21048. 1279915. 60.8147.50 1.00 19.52 394.86 21975. 1323948. 60.2548.50 1.00 20.45 415.32 22967. 1372060. 59.7449.50 1.00 21.28 436.60 24021. 1424195. 59.2950.50 1.00 22.00 458.60 25132. 1480300. 58.9051.50 1.00 22.63 481.23 26297. 1540320. 58.5752.50 1.00 23.18 504.40 27514. 1604198. 58.3153.50 1.00 23.64 528.04 28779. 1671870. 58.0954.50 1.00 24.04 552.08 30089. 1743263. 57.9455.50 1.00 24.36 576.44 31441. 1818294. 57.8356.50 1.00 24.61 601.05 32831. 1896869. 57.7857.50 1.00 24.80 625.86 34257. 1978877. 57.76

Tabella 4.2:

4.2.5 Pressoflessione deviata

Quando il centro di sollecitazione non appartiene ad un asse principale di inerzia dellasezione reagente l’asse neutro non è ortogonale a quello di sollecitazione. In caso di piccolaeccentricità, essendo tutta la sezione reagente, si applica l’eq. (4.17) ed il caso non presentaparticolari difficoltà. Per la grande eccentricità (centro di sollecitazione esterno al nocciolo)la pressoflessione è retta solo se la sezione ha almeno un asse di simmetria ed il centro disollecitazione appartiene ad esso; in caso contrario la giacitura dell’asse neutro è incognitae quindi il problema di determinare la sezione resistente, come nel caso della sola flessione,presenta due incognite.

Con riferimento alla fig. 4.4, si indichi con s una retta passante per il centro di solleci-tazione P e per il baricentro della sezione geometrica, con x l’asse neutro. Indicando con ted y due rette ortogonali ad s ed x rispettivamente e passanti per l’intersezione di questedue, si ottengono due riferimenti ortogonali (s, t) e (x, y), ruotati tra loro dell’angolo α.

Con riferimento agli assi (t, s) le equazioni di equilibrio della sezione sono:ZA∗

σ dA = NZA∗

σs dA = Nsp (4.30)ZA∗

σt dA = 0

in cui sp è l’ordinata del centro di pressione nel riferimento (s, t). Per la conservazione dellesezioni piane e la linearità dei legami costitutivi dei materiali si può porre, relativamente


Figura~4.4: Sezione sollecitata da pressoflessione deviata

alla sezione omogenizzata, σ = θy; tenendo conto che:

s = y cosα+ x sinα

dalle prime due delle eq. (4.30) si ottiene:

cosα

ZA∗y2 dA+ sinα

ZA∗xy dA = sp

ZA∗y dA (4.31)

Analogamente, tenendo conto che:

t = x cosα− y sinα

dalla terza delle eq. (4.30) si ha:

cosα

ZA∗xy dA− sinα

ZA∗y2 dA = 0

da cui, dividendo tutti i termini per cosα, si ottiene:ZA∗xy dA = tanα

ZA∗y2 dA (4.32)

Le eq. (4.31) e (4.32) formano un sistema le cui incognite sono sp ed α, che individuanola posizione e la giacitura dell’asse neutro. In caso di sollecitazione retta i due riferimenticoincidono (α = 0) e l’eq. (4.31) è equivalente all’eq. (4.21).

La soluzione di questo sistema generalmente richiede un procedimento iterativo; unavia possibile, ma non l’unica nè la più efficiente, consiste nel fissare un valore di tentativodi α, quindi, risolvendo l’eq. (4.31) rispetto ad sp, per esempio con il metodo delle strisce


visto nel paragrafo precedente, si determina la posizione dell’asse neutro. Si può quindiutilizzare l’eq. (4.32) per verificare se la giacitura fissata è corretta; in caso contrario,risolvendo l’equazione rispetto ad α, si ottiene un valore di seconda approssimazione chepuò essere utilizzato per iterare il procedimento, e così via.

4.3 Sforzo normale eccentrico. Calcolo allo stato limite ul-timo

Il calcolo allo stato limite ultimo delle sezioni sollecitate dall’azione combinata dello sforzoassiale e della flessione non differisce in modo rilevante dalle procedure illustrate a propo-sito della sola flessione. Tuttavia ai meccanismi di collasso descritti nella sezione 3.3 edillustrati in fig. 3.9 si devono aggiungere quelli relativi alle sollecitazioni di piccola eccen-tricità, sia di compressione sia di trazione, che corrispondono a stati di deformazione incui l’asse neutro è esterno alla sezione.

Un’altro aspetto che differenzia questo caso dalla flessione semplice è che, essendo orala sollecitazione individuata da due parametri, esistono infinite coppie di valori (N,M)che corrispondono a condizioni di stato limite della sezione. Nel piano N,M resta quindiindividuata una regione, detta dominio di resistenza, i cui punti corrispondono ai valoridella sollecitazione sopportati dalla sezione; la sua frontiera, detta curva di stato limite,o di interazione, individua le coppie (N,M) per cui si raggiunge lo stato limite ultimo. Ipunti esterni al dominio corrispondono a sollecitazioni di collasso, che non possono essereequilibrate dalle tensioni interne alla sezione. Un esempio di curva di questo tipo, relativaad una sezione rettangolare con armatura simmetrica, è mostrata nella fig. 4.5.

Questa figura mette in evidenza che, per sezioni simmetriche e fissato il segno diM , lecurve di stato limite espresse in forma esplicita come Mu =Mu(N) sono ad un sol valore,al contrario della forma inversa Nu = Nu(M). Tuttavia si deve osservare che, per sezioninon simmetriche, questa proprietà non si conserva per i valori estremi di N .

Quando la condizione che Mu(N) sia ad un sol valore è valida, la verifica della sezionenei confronti della sollecitazione (Nd,Md) si può eseguire controllando che:

|Mu(Nd)| ≥ |Md| (4.33)

ammesso cheNd non superi i valori del massimo sforzo normale per trazione e compressioneed Mu sia dello stesso segno di Md.

Per la sollecitazione di flessione semplice, nel caso si debbano considerare diverse con-dizioni di sollecitazione dello stesso segno, è sufficiente verificare che |Mu| ≥ maxi |Mdi|.Nel caso di forza assiale e flessione invece l’eq. (4.33) deve essere controllata per tutte lecoppie dei valori (Ndi,Mdi); infatti spesso la condizione più gravosa non è quella a cuicorrisponde il valore maggiore di N , in quanto, come è evidenziato dalla fig. 4.5, per valorinon troppo grandi di N il momento ultimo cresce all’aumentare della forza normale.

Nel caso di flessione semplice lo sviluppo del meccanismo di collasso è funzione dellesole percentuali di armatura. La presenza di una forza assiale condiziona a sua volta,spesso in modo decisivo, il tipo di meccanismo; valori elevati di N provocano il collassodella sezione per schiacciamento del calcestruzzo prima che l’acciaio possa plasticizzarsi, oaddirittura quando è ancora compresso (piccola eccentricità), mentre un’elevata trazionefa collassare la sezione per cedimento delle armature mentre il calcestruzzo è interamenteteso. Dunque ai meccanismi di collasso illustrati nella fig. 3.9 si devono aggiungere quelli

4.3 Sforzo normale eccentrico. Calcolo allo stato limite ultimo 97

Figura~4.5: Domini di resistenza per sforzo normale e flessione di sezioni rettangolarisimmetricamente armate

corrispondenti ai casi di piccola eccentricità dello sforzo normale, sia di compressione siadi trazione.

In caso di compressione centrata si assume che il collasso avvenga quando la defor-mazione del calcestruzzo raggiunge ²c1; infatti questo è il valore per cui si raggiunge laresistenza massima; per deformazioni maggiori la resistenza diminuisce e pertanto, nelcaso di deformazione uniforme della sezione, oltre questo punto l’equilibrio non è possibilea meno di una riduzione di N .

Per pressione di piccola eccentricità, cui corrisponde un diagramma delle deformazionivariabile ma di un solo segno, si assume che il passaggio dal meccanismo di collasso perpressione centrata (²cmx = ²c1) a quello flessionale (²cmx = ²cu) avvenga gradualmenteruotando i diagrammi intorno al punto di intersezione dei due schemi limite, rettangolaree triangolare, che si torva alla distanza

y0 =3

7h

dal bordo più compresso, come mostrato in fig. 4.6.


Figura~4.6: Meccanismi di rottura delle sezioni sollecitate a sforzo normale e flessione

4.3.1 Sezione rettangolare

Campi di rottura

Nelle sezioni sollecitate a pressione e flessione il meccanismo di collasso dipende, oltre chedalle quantità di armatura, dall’entità della forza normale. Al crescere di N il collassopassa dai meccanismi duttili (grandi rotazioni) a quelli più fragili, fino al collasso perschiacciamento uniforme del calcestruzzo. Per le sezioni simmetricamente armate questocorrisponde al caso di collasso per sforzo normale centrato. Come nel caso della flessioneè utile saper riconoscere a priori quale è il meccanismo di collasso della sezione che corri-sponde ad un fissato valore dello sforzo normale. A questo scopo è sufficiente determinarei valori di N relativi a situazioni limite, corrispondenti alla transizione tra un meccani-smo e l’altro, quindi confrontare il valore effettivo di N con i valori così determinati edindividuare l’intervallo tra cui questo si colloca.

Piccola eccentricità Se la sezione è interamente compressa, tenedo conto dell’ulteriorecoefficiente di sicurezza imposto allo sforzo normale centrato, si ha:

Nmax = 0.8bhf̄cd +Asfyd +A0sfyd

e quindi, in termini adimensionali:

nmax =Nmaxbdf̄cd

= 0.8 (1 + δ) + µ+ µ0 (4.34)

dove si è posto h = d + d0 e δ = d0/d. Ovviamente dovrà risultare nd ≤ nmax, altrimentil’equilibrio sarà impossibile per qualsiasi valore di M . La sezione rimane interamentecompressa (campo 0) fino a che nmax ≥ nd ≥ n0, dove n0 è il valore dello sforzo normaleche corrisponde alla transizione tra i campi 0 ed 1. In questo caso l’asse neutro è al lemboinferiore della sezione: pertanto yc = h. La risultante delle compressioni è:

N0 = 0.8bhf̄cd +Asσs +A0sfyd


in cui σs = min [fyd, Es²s], è la tensione nell’acciaio inferiore, normalmente ancora incampo elastico, in quanto

²s = ²cuδ

1 + δ(4.35)

mentre si è ipotizzato, come è verosimile, che l’acciaio superiore, più compresso, sia incampo plastico. In termini adimensionali si ha quindi:

n0 = 0.8 (1 + δ) + µαuδ

1 + δ+ µ0 (4.36)

con αu = ²cu/²y.Vi è un’altra sottile zona da considerare, non indicata nella figura 4.6, corrispondente

al campo in cui l’asse neutro cade nel copriferro e pertanto la sezione è parzializzatama l’acciaio inferiore risulta ancora compresso. Il collasso avviene in questa zona pern0 ≥ n ≥ n00 , dove (σs = 0)

n00 =0.8bdf̄cd +A

0sfyd

bdf̄cd= 0.8 + µ0 (4.37)

Grande eccentricità: rottura con acciaio in campo elastico Per valori di n minoridi n00 la sezione al collasso risulta parzializzata e l’acciaio inferiore è teso. Questo risultatuttavia in campo elastico (campo 1) fino a che n > n1, dove n1 è il valore dello sforzonormale che porta al collasso la sezione con l’acciaio teso al limite dello snervamento; intal caso yc = d²cu/(²cu + ²y), e pertanto:

N1 = 0.8bycf̄cd +A0sfyd −Asfyd

In questo caso per ipotesi la tensione nell’acciaio teso è quella di snervamento, mentrequella dell’acciaio compresso potrebbe, in situazioni limite di sezioni particolarmente sottili(< 10 cm), risultare in campo elastico. Nell’equazione precedente si è escluso questo caso,pertanto:

n1 = 0.8²cu

²cu + ²y+ µ0 − µ (4.38)

Rottura simultanea del calcestruzzo e dell’acciaio Per n ≤ n1 l’acciaio teso risulta,al collasso, in campo plastico. La rottura avviene per schiacciamento del calcestruzzo(campo 2) fino ad un valore di n tale che al collasso si ha simultaneamente ²s = ²sl e²c = ²cu. In questa situazione l’altezza della zona compressa è

yc = d²cu

²cu + ²sl= 0.2593d

Il valore (adimensionale) n2 dello sforzo normale che corrisponde a questo meccanismo è:

n2 =0.8bycf̄cd +A

0sσ0s −Asfyd

bdf̄cd= 0.207 + µ0

σ0sfyd− µ (4.39)

La tensione nell’acciaio compresso si deriva dalla legge elasto-plastica dell’acciaio σ0s =min {fyd, Es²0s} in funzione della deformazione

²0s = ²cuK − δ

K= 3.5 · 10−3 (1− 3.857δ)

Negli elementi con h > 30 cm risulta in pratica ²0s > ²y e pertanto σ0s = fyd. Nelletravi di piccolo spessore e nelle solette l’acciaio compresso può invece risultare elastico.


Sezione interamente tesa Per n < n2 il collasso della sezione avviene nel campo 3,cioè per eccessivo allungamento dell’acciaio mentre ²c < ²cu. La sezione è tuttavia ancoraparzializzata (parte tesa e parte compressa) fino a quando l’asse neutro raggiunge il lembosuperiore. In questo caso la sezione risulta interamente tesa e la resistenza è affidata allesole armature. Il valore di n (< 0) per cui questa condizione si verifica è:

n3 =−A0sEs²slδ −Asfyd

bdf̄cd= −µ0αlδ − µ (4.40)

dove αl = ²sl/²y e si è tenuto conto che ²0s = −²slδ e si è ipotizzato che |²0s| > ²y, il chegeneralmente avviene se h > 20 cm.

Determinazione del momento ultimo

Compressione eccentrica, piccola eccentricità (n0 ≤ n ≤ nmax) Quando l’asseneutro è esterno alla sezione, per le ipotesi adottate, la parte di sezione prossima al lembomaggiormente compresso ha, per l’altezza y0, deformazioni maggiori di ²c1. Pertanto, sesi utilizza la legge parabola-rettangolo, la tensione in questa parte di sezione ha il valoreuniforme fcd. Nella parte restante, di altezza h − y0 = 4

7h, la tensione segue una leggeparabolica il cui punto di nullo è esterno alla sezione. Indicando come in precedenza conyc la distanza dell’asse neutro dal lembo più compresso, per una sezione rettangolare larisultante delle tensioni nel calcestruzzo si calcola con la relazione:

C = by0f cd + b

Z yc−y0

yc−hσc(²) dy (4.41)

in cui la tensione σc(²) segue la legge parabolica:

σc(²) = 2fcd

"²

²c1− 12

µ²

²c1

¶2#(0 ≤ ² ≤ ²c1)

mentre la deformazione è proporzionale alla distanza y dall’asse neutro:

² = ²c1y

yc − y0Sostituendo queste due ultime espressioni nell’eq. (4.41) e svolgendo l’integrale si ottiene:

C = bhf cd

·1− 64

21(7K 0 − 3)2¸

(4.42)

in cui K 0 = yc/h ≥ 1 è il coefficiente adimensionale della posizione dell’asse neutro. Laquantità tra parentesi quadrata varia tra 0.81, per K 0 = 1, ed 1, per K 0 = ∞ (pressionecentrata). Tuttavia si deve tenere presente che, per la normativa italiana, il valore di C nonpuò superare quello relativo alla pressione centrata, che deve essere valutato adottandoun coefficiente di sicurezza maggiorato del 25%. Questo fa si che Cmax = 0.8f cdbh siapraticamente pari al limite inferiore del campo di variazione di C in questa situazione.Pertanto in pratica si dovrà assumere C = cost = 0.8bhf cd.

In modo del tutto analogo si valuta il momento delle tensioni nel calcestruzzo; relati-vamente all’asse neutro si ha:

Mcn = by0f cd

³yc − y0

2

´+ b

Z yc−y0

yc−hσc(²)y dy


per cui, sostituendo le espressioni di σc e di ² e svolgendo i calcoli risulta:

Mcn = bh2f cd

49K 03 − 66.5K 02 + (566/21)K 0 − 185/98(7K 0 − 3)2

Il momento relativo al centro della sezione si calcola utilizzando la formula del trasporto;tenendo conto dell’eq. (4.42) si ottiene:

Mc =Mcn − Cµyc − h

2

¶= bh2fcd

160

147(7K 0 − 3)2 (4.43)

Prendendo in esame una sezione con doppia armatura ed indicando con A0s l’areadell’acciaio più prossimo al lembo maggiormente compresso, lo sforzo normale ultimo dellasezione è:

Nu = 0.8bhfcd +A0sσs(²

0s) +Asσs(²s) (4.44)

Poiché generalmente ²0s > ²c1 > ²sy, risulta σs(²0s) = fyd; quindi la sezione raggiunge il

massimo dello sforzo normale portato quando anche σs(²s) = fyd:

Nu(mx) = 0.8bhfcd + (A0s +As)fyd (4.45)

Valori superiori a questo non possono essere equilibrati dalla sezione; per valori inferiorisi ha necessariamente σs(²s) < fyd e quindi ²s < ²sy. L’equazione di equilibrio diviene:

Nd = Nu = 0.8bhfcd +A0sfyd +Asσs(²s)

da cui si ottiene:

σs(²s) =Nd − 0.8bhf cd −A0sfyd

As(4.46)

quindi, essendo l’acciaio in campo elastico, si deduce ²s = σs(²s)/Es. Tenendo conto cheper la conservazione delle sezioni piane si ha:

²s = ²c1yc − dyc − y0 = ²c1

K 0 − d/hK 0 − 3/7

si ottiene il valore di K 0:

K 0 =²c1(d/h)− (3/7)²s

²c1 − ²s (4.47)

La soluzione trovata è coerente se K 0 ≥ 1.Determinata, attraverso K 0, la posizione dell’asse neutro, il momento ultimo della

sezione soggetta allo sforzo assiale Nd si valuta facilmente. Facendo uso dell’eq. (4.43) siha:

Mu = bh2f cd

160

147(7K 0 − 3)2 +A0sfyd

µh

2− d0

¶+Asσs(²s)

µh

2− d

¶(4.48)


Grande eccentricità: collasso nel campo 1 (n1 ≤ n ≤ n0) Per ipotesi si ha |²s| ≤²sy, al contrario l’armatura complessa generalmente è plasticizzata (²0s ≥ ²sy). L’equazionedi equilibrio della sezione si scrive:

Nd = 0.81bycfcd +A0sfyd +Asσs(²s) (4.49)

dove Nd è il valore di progetto della forza normale e la tensione nell’acciaio teso è data infunzione della posizione dell’asse neutro da:

σs(²s) = Es²s = Es²cuyc − dyc

Sostituendo l’espressione di σs nell’eq. (4.49), dopo aver diviso tutti i termini per bdf cd,si ottiene:

nd = 0.81K + µ0s + µsαuK − 1K

(4.50)

in cui

nd =Nd

bdfcd

è il valore adimensionale della forza normale e αu = ²cu/²sy.Risolvendo l’eq. (4.50) si ottiene il valore di K:

K = 0.617hnd − µ0s − αuµs +

p(nd − µ0s − αuµs)

2 + 3.2αuµs

i(4.51)

Questa espressione, per nd = 0, coincide con l’eq. (3.48) relativa alla sollecitazione di solaflessione. Determinato K si valutano facilmente i valori di ²s ed ²0s:

²s = ²cuK − 1K

²0s = ²cuK − δ

K(4.52)

Il valore di K così trovato è coerente con le ipotesi se ²0s ≥ ²sy e |²s| ≤ ²sy. Sequeste condizioni sono soddisfatte il momento ultimo della sezione, relativamente al suobaricentro geometrico, è:

Mu = 0.81bycfcd

µh

2− 0.416yc

¶+A0sfyd

µh

2− d0

¶+AsEs²s

µh

2− d

¶(4.53)

in cui yc = Kd ed ²s è dato dalla prima delle eq. (4.52).

Collasso nel campo 2 (n2 ≤ n ≤ n1) In questo caso ²l ≥ |²s| ≥ ²sy; se inoltre ²0s ≥ ²syentrambe le armature sono in campo plastico e pertanto l’equazione di equilibrio si scrive:

Nd = 0.81bycf cd +A0sfyd −Asfyd

da cui si ottiene immediatamente il valore dell’altezza della zona compressa; in formaadimensionale:

K =nd + µs − µ0s

0.81(4.54)


Ponendo nd = 0 questa equazione coincide con l’eq. (3.51). Noto K, mediante le eq. (4.52)si determinano le deformazioni delle armature; se entrambe superano la soglia di plasti-cizzazione la soluzione è coerente, altrimenti se ²0s < ²sy l’acciaio compresso è in campoelastico e l’equazione di equilibrio si modifica nella seguente:

Nd = 0.81bycf cd +A0sEs²cu

K − δ

K−Asfyd

da cui si ottiene l’equazione di secondo grado in K:

0.81K2 − (nd + µs − µ0sαu)K − µ0sαuδ = 0

la cui soluzione

K = 0.617³nd + µs − µ0sαu +

p(nd + µs − µ0sαu)2 + 3.2µ0sαuδ

´(4.55)

fornisce il valore di K. Da questa equazione si deriva come caso particolare l’eq. (3.52).Il momento ultimo della sezione si calcola con un’espressione analoga all’eq. (4.53):

Mu = 0.81bycfcd

µh

2− 0.416yc

¶+A0sσs(²

0s)

µh

2− d0

¶−Asfyd

µh

2− d

¶(4.56)

in cui σs(²0s) = Es²0s se ²0s ≤ ²sy, altrimenti σs(²0s) = fyd.

Collasso nel campo 3 (n3 ≤ n ≤ n2) Come si è visto per la flessione, la risultante delletensioni nel calcestruzzo si può ancora calcolare, senza commettere un errore eccessivo,sulla base del diagramma rettangolare equivalente; con questa approssimazione l’equazionedi equilibrio è:

Nd = 0.8ycf cd +A0sσs(²

0s)−Asfyd

Se ²0s ≥ ²sy questa equazione coincide con quella relativa al campo 2 e la sua soluzione èancora l’eq. (4.54); in caso contrario la deformazione dell’acciaio compresso si esprime infunzione della posizione dell’asse neutro con la relazione:

²0s = ²slK − δ

1−K (4.57)

a cui corrisponde l’equazione di equilibrio (adimensionale):

nd = 0.8K + µ0sαlK − δ

1−K − µs

dove αl = ²sl/²sy. Risolvendo l’equazione si trova:

K = 0.617 [0.8 + nd + µ0sαl + µs−p(0.8 + nd + µ0sαl + µs)2 − 3.2(nd + µ0sαlδ + µs)

i(4.58)

Il momento ultimo è dato ancora dall’eq. (4.56), ma la deformazione dell’acciaio com-presso si calcola con l’eq. (4.57).


Trazione, piccola eccentricità (n < n3) Quando la forza assiale ha il verso dellatrazione, se l’asse neutro risulta interno alla sezione, le relazioni sviluppate nei paragrafiprecedenti sono ancora valide, con la sola condizione di porre il segno di nd negativo.Quando l’asse neutro è esterno (piccola eccentricità) la sezione è interamente tesa e quindisolo l’acciaio contribuisce alla resistenza. La forza assiale massima di trazione è pertanto:

N−u(mx) = (As +A0s)fyd (4.59)

Forze maggiori non possono essere equilibrate; per valori inferiori si ha |σs(²0s)| < fyd, percui l’acciaio meno teso è in campo elastico e l’equazione di equilibrio è:

Nd = −Asfyd +A0sσ0s (Nd < 0)

da cui si ottiene:

σ0s =Nd +Asfyd

A0s(4.60)

È evidente che questa soluzione è coerente solo se risulta −fyd ≤ σ0s < 0. In questo casoil momento ultimo, relativamente al baricentro geometrico della sezione, è dato da:

Mu = −Asfydµh

2− d

¶+ σ0s

µh

2− d0

¶(4.61)

4.3.2 Verifica della sezione

Come è stato già sottolineato più volte, quando la sollecitazione è composta dalla forzanormale e dalla flessione il meccanismo di collasso non dipende solo dalla percentualedelle armature. Il meccanismo di rottura, fissate le armature, dipende dal valore di n. Ilmodo di procedere nella verifica di una sezione, per differenti valori della forza normale, èillustrato nel seguente esempio.

Esempio 4.7 Determinare i valori del momento ultimo di una sezione rettangolare di dimensionib = 30 cm, h = 50 cm, con doppia armatura simmetrica As = A0s = 3φ20 = 9.42 cm2 e realizzatacon i seguenti materiali:

Calcestruzzo Rck = 30 N/mm2

fcd = 13.23 N/mm2= 1.323 kN/cm

2

Acciaio Fe b 44 K fyd = 374 N/mm2 = 37.4 kN/cm2

considerando cinque valori della forza normale:Nd = 2200; 1500; 800; 100; −500 kNLe percentuali meccaniche di armatura sono:

µ = µ0 =9.42× 37.4

30× 47× 1.323 = 0. 18886

ed inoltre δ = 3/47 = 0.0 6383 ²y = 374/205000 = 1. 824× 10−3 αu = ²cu/²y = 1.919 αl = ²sl/²y =5.482

I valori caratteristici dello sforzo normale adimensionale, risultano:

nmax = 0.8 (1 + δ) + µ+ µ0 = 1.229

n0 = 0.8 (1 + δ) + µαuδ

1 + δ+ µ0 = 1.155

n1 = 0.8²cu

²cu + ²y+ µ0 − µ = 0.526

n2 = 0.207 + µ0 σ

0s

fyd− µ = 0.207

n3 = −µ0αlδ − µ = −0.255


1) Nd = 2200 kN. Il corrispondente valore adimensionale è:

nd =Nd

bdfcd=

2200

30× 47× 1.323 = 1.179

Poiché nmax > nd > n0 il collasso avviene per piccola eccentricità. La forza assegnata è inferioreal valore massimo portato dalla sezione [eq. (4.45)]:

Nu(mx) = 0.8× 30× 50× 1.323 + (9.42 + 9.42)37.4 = 2292 kN

e dunque la soluzione esiste e si ha [eq (4.46)]:

σs =2200− 0.8× 30× 50× 1.323− 9.42× 37.4

9.42= 27.61 kN/cm2

Quindi risulta ²s = σs/Es = 27.61/21000 = 1.3× 10−3; applicando l’eq. (4.47) si ottiene:

K0 =2(47/50)− (3/7)1.3

2− 1.3 = 1.89

Il momento ultimo si determina applicando l’eq. (4.48):

Mu = 30× 502 × 1.323 160

147(7× 1.89− 3)2++9.42× 37.4(25− 3) + 9.42× 27.61(25− 47) = 3060 kNcm = 30.6 kNm

2) Nd = 1500 kN. Il corrispondente valore adimensionale è nd = 0.804; perciò n0 > nd > n1 edunque il collasso avviene in campo 1. Applicando l’eq. (4.51) si ottiene: K = 0.85. I corrispondentivalori delle deformazioni delle armature sono dati dall’eq. (4.52):

²s = 3.5× 10−3 0.85− 10.85

= −0.618× 10−3

²0s = 3.5× 10−30.85− 0.0638

0.85= 3.237× 10−3

Poiché risulta che |²s| < ²sy ed ²0s > ²sy la soluzione è congruente con le ipotesi iniziali. Il momentoultimo si calcola quindi con l’eq. (4.53), e si ottiene:

Mu = 210.1 kNm

3) Nd = 800 kN. Poiché il corrispondente valore adimensionale è nd = 0.434 si verifica facilmenteche il collasso avviene nel campo 2. Ipotizzando anche che l’armatura compressa sia plasticizzatasi applica l’eq. (4.54), per cui si ha:

K =0.434 + 0.189− 0.189

0.81= 0. 5358

Applicando le eq. (4.52) si determinano i valori corrispondenti delle deformazioni:

²s = −3.03× 10−3 ²0s = 3.083× 10−3

Poiché entrambe risultano, in valore assoluto, maggiori della deformazione di snervamento il ri-sultato è coerente con le ipotesi. Applicando l’eq. (4.56) si ottiene quindi il valore del momentoultimo:

Mu = 271.1 kNm

4) Nd = 100 kN. Si ha nd = 0.0536 e perciò il collasso avviene nel campo 3. Ritenendo chel’armatura compressa sia elastica si applica l’eq. (4.58) e si ottiene K = 0.169, cui corrisponde,


tramite l’eq. (4.57), la deformazione ²0s = 1.261 × 10−3. Ora la soluzione è coerente, pertanto ilmomento si calcola mediante l’eq. (4.58), applicando la quale risulta: Mu = 177 kNm.

5) Nd = −500 kN. nd = −0.271 < n3, pertanto si può assumere che il meccanismo di collasso siaper trazione con piccola eccentricità. Per l’eq. (4.60):

σ0s =−500 + 9.42× 37.4

9.42= −15. 679 kN/cm2

che, in valore assoluto, non supera la tensione di plasticizzazione. Il momento ultimo è quindi datodall’eq. (4.61): Mu = 45 kNm 2

Uso dei domini di resistenza

Fissata la forma della sezione, ad esempio rettangolare, e per un dato rapporto tra learmature di estremità, ad esempio per il caso di armatura simmetrica (A0s/As = 1), ivalori adimensionali della forza normale e del momento ultimi:

nu =Nu

bdfcdmu =

Mu

bd2f cd

dipendono solo dalla percentuale meccanica di armatura µs e dal rapporto δ = d0/d.1

Pertanto si possono tracciare dei diagrammi del tipo di quelli riportati nella fig. 4.5,rappresentando nella stessa carta diverse curve in funzione di µs per un fissato valore diδ. Dato che quest’ultima grandezza non ha eccessiva influenza, pochi diagrammi coprono,per il tipo di sezione considerato, tutto lo spettro delle situazioni di interesse.

Queste curve si possono utilizzare sia per verificare sia per dimensionare le sezionisollecitate da pressoflessione retta. Fissate le dimensioni b, d della sezione e selezionatala famiglia di curve corrispondenti al valore di δ più vicino a quello effettivo, si riportanosulla carta i punti di coordinate (ndi,mdi) relativi a tutte le condizioni di carico esaminate.Quando si vuole verificare una sezione la cui armatura è già fissata si deve controllare chenessun punto cada all’esterno del dominio delimitato dalla curva che corrisponde allapercentuale di armatura assegnata. In fase di progetto la quantità di armatura necessariasi determina cercando la curva più bassa che racchiude tutti i punti-sollecitazione. L’area diacciaio si determina in base al valore di µs che corrisponde alla curva prescelta, invertendol’eq. (3.31) che definisce la percentuale meccanica di armatura:

As = µsbdf cdfyd

L’armatura compressa quindi si ottiene in base al fissato rapporto α = A0s/As: A0s = αAs.Se la soluzione trovata risulta insoddisfacente, ad esempio perché comporta quantitativieccessivi di armatura, si procede ad un altro tentativo cambiando le dimensioni dellasezione.

La forma delle curve di interazione mette in evidenza la necessità di esaminare tuttele possibili condizioni di carico. Se ad esempio N ed M sono indipendenti tra loro, inquanto prodotti da carichi diversi, si dovranno esaminare anche le condizioni in cui Nanziché crescere diminuisce, ponendo uguale ad uno il coefficiente di sicurezza dei carichi

1Questo non è del tutto esatto in quanto anche il valore della deformazione di snervamento ²sy = fyd/Esha influenza sui risultati. Tuttavia, se l’intervallo di variazione della tensione di snervamento dell’acciaionon è troppo grande, si può trascurare l’influenza di questo parametro.


permanenti e zero quello dei carichi variabili, in quanto questa situazione in certi casirisulta più pericolosa di quella in cui N prende il valore massimo.

Quando non si dispone di tavole pre-calcolate la curva di interazione di una sezionepuò essere calcolata per punti. In genere è sufficiente esaminare pochi casi, raccordando ipunti con segmenti rettilinei. Ad esempio si possono analizzare le seguenti condizioni:

Pressione centrata. ²c(mx) = ²c1 ²s = ²c1Diagramma triangolare ²c(mx) = ²cu ²s = 0

Acciaio al limite di snerv. ²c(mx) = ²cu ²s = −²syDiagramma intermedio zona 2 ²c(mx) = ²cu ²s = −²sl/2Rottura bilanciata ²c(mx) = ²cu ²s = −²slDiagramma intermedio zona 3 ²c(mx) = ²c1 ²s = −²slTrazione centrata ²c(mx) = −²sl ²s = −²slSi deve far notare che fissando il diagramma delle deformazioni la posizione dell’asse

neutro risulta nota a priori. Pertanto, almeno per la sezione rettangolare, il calcolo dellerisultanti Nu,Mu si esegue facilmente, anche in presenza di più di due livelli di armatura,senza dover risolvere alcuna equazione.

Questo procedimento costituisce una valida alternativa al calcolo diretto diMu(Nd), inparticolare se devono essere verificate numerose condizioni di carico, in quanto, una voltatracciata la curva, la verifica per ogni condizione di sollecitazione risulta immediata.

Esempio 4.8 Costruire il dominio di resistenza della sezione rettangolare di base b = 25 cm ealtezza h = 60 cm (d = 57 cm), con armatura doppia simmetrica As = A0s = 4φ16 = 8.0 cm2.Resistenza caratteristica del calcestruzzo Rck = 30 N/mm

2 (f̄cd = 1.323 kN/cm2), acciaio tipo Feb

44 k (fyd = 37.4 kN/cm2).

1. ²c(mx) = ²s = ²c1; K0 =∞ [(eq. (4.45) (4.48)].

Nu = 0.8× 25× 60× 1.323 + 2× 8.0× 34.7 = 2186 kNMu = 0

2. ²c(mx) = ²cu, ²s = 0; K = 1 [eq. (4.49) (4.53)].

Nu = 0.81× 25× 57× 1.323 + 8.0× 37.4 = 1527 + 299.2 = 1826 kNMu = 1527(30− 0.416× 57)− 299.2(30− 3) = 17680 kNcm

3. ²c(mx) = ²cu, ²s = −²sy/2 [eq. (4.49) (4.52)].

²sy =fydEs

=37.4

21000= 1.78× 10−3 ²s = −0.89× 10−3

K =²cu

²cu + |²s| = 0.797 σs = Es²s = 18.7 kN/cm2

yc = Kd = 45.44 cm

Nu = 0.81× 25× 45.44× 1.323 + 8.0× 37.4− 8.0× 18.7 = 1366.9 kNMu = 1217(30− 0.416× 45.44) + 8.0× 37.4× 27 + 8× 18.7× 27

= 25627 kNcm

4. ²c(mx) = ²cu, ²s = −²sy [eq. (4.49) (4.52)].K =

²cu²cu + ²sy

= 0.663 yc = Kd = 37.78 cm

Nu = 0.81× 25× 37.78× 1.323 + 8.0× 37.4− 8.0× 37.4 = 1012 kNMu = 1012(30− 0.416× 37.78) + 2× 8.0× 37.4× 27 = 30614 kNcm


5. ²c(mx) = ²cu, ²s = −3× 10−3 (Campo 2).

K = 0.3585 yc = 30.69 cm

δ =d0

d=3

57= 0.0526 ²0s = ²cu

K − δ

K= 3.16× 10−3 > ²sy

Nu = 0.81× 25× 30.69× 1.323 = 822.3 kNMu = 822.3(30− 0.416× 30.69) + 2× 8.0× 37.4× 27 = 30326 kNcm

6. ²c(mx) = ²cu, ²s = −5× 10−3 (Campo 2).

K = 0.4118 yc = 23.47 cm

²0s = ²cuK − δ

K= 3.05× 10−3 > ²sy

Nu = 0.81× 25× 23.47× 1.323 = 628.8 kNMu = 628.8(30− 0.416× 23.47) + 2× 8.0× 37.4× 27 = 28881 kNcm

7. ²c(mx) = ²cu, ²s = −7.5× 10−3 (Campo 2).

K = 0.318 yc = 18.14 cm

²0s = ²cuK − δ

K= 2.92× 10−3 > ²sy

Nu = 0.81× 25× 18.14× 1.323 = 485.9 kNMu = 485.9(30− 0.416× 18.14) + 2× 8.0× 37.4× 27 = 27067 kNcm

8. ²c(mx) = ²cu, ²s = −²sl (Rottura bilanciata).

K = 0.259 yc = 14.78 cm

²0s = ²cuK − δ

K= 2.79× 10−3 > ²sy

Nu = 0.81× 25× 14.78× 1.323 = 395.9 kNMu = 395.9(30− 0.416× 14.78) + 2× 8.0× 37.4× 27 = 25600 kNcm

9. ²c(mx) = ²c1, ²s = −²sl (Campo 3).

K =²c1

²c1 + ²sl= 0.1667 yc = 9.5 cm

²0s = ²c1K − δ

K= 1.368× 10−3 < ²sy σ0s = Es²

0s = 28.74 kN/cm

2

Per le eq. (3.26) si ha:

Nu = 0.667× 25× 9.5× 1.323 + 8.0× 28.74− 8.0× 37.4 == 209.5− 69.3 = 140.2 kN

Mu = 209.5(30− 0.375× 9.5) + 8.0× 28.74× 27 + 8.0× 37.4× 27 == 19823 kNcm


Figura~4.7: Dominio di resistenza di una sezione rettangolare ad armatura simmetrica.

10. ²c(mx) = ²c1/2, ²s = −²sl (Campo 3)

K =²c(mx)

²c(mx) + ²sl= 0.091 yc = 5.18 cm

²0s = ²c(mx)K − δ

K= 0.421× 10−3 < ²sy σ0s = Es²

0s = 8.84 kN/cm

2

Per le eq. (3.27) si ha (α = 0.5):

β = 0.417 ηc = 0.35yc

pertanto

Nu = 0.417× 25× 5.18× 1.323 + 8.0× 8.84− 8.0× 37.4 == 71.4− 228.5 = −157.0 kN

Mu = 71.4(30− 0.35× 5.18) + 8.0× 8.84× 27 + 8.0× 37.4× 27 == 12000 kNcm

11. ²c(mx) = ²s = −²sl (Trazione pura).Nu = −2× 8.0× 37.4 = −598.4 kNMu = 0

I risultati sono riportati nella fig. 4.7. 2

4.3.3 Sezioni di forma generica. Pressoflessione deviata

Quando la sezione ha forma meno semplice di quella rettangolare, ma è tuttavia sollecitatada pressoflessione retta, si applica il metodo generale esposto nel § (3.3.3) a propositodella flessione. Il metodo consiste nel determinare, avendo fissato il diagramma delledeformazioni ultime, la sollecitazione risultante mediante la somma dei contributi delle


sottili strisce in cui è stata idealmente suddivisa la sezione; quindi nel cercare per tentativila posizione dell’asse neutro che uguaglia questa risultante alla forza normale agente sullasezione. Le sole differenze rispetto a quanto esposto per la flessione sono le seguenti: i)l’eq. (3.67), che determina la posizione dell’asse neutro, ora è verificata quando N = Nd;ii) il momento ultimo, espresso dall’eq. (3.68), deve essere valutato relativamente ad unpunto stabilito (ad esempio il baricentro della sezione in calcestruzzo) in quanto ora ilvalore del momento dipende dal polo di riduzione.

Se la sezione non è simmetrica o l’asse di sollecitazione non coincide con uno di sim-metria, la direzione dell’asse neutro non è nota a priori. In questo caso il problema hadue incognite, come già si è visto a proposito della flessione. Le equazioni disponibili sonoquelle di equilibrio [eq. (4.30)], già utilizzate per l’analogo problema in campo elastico. Ilprocedimento da seguire è simile a quello illustrato per la flessione nel § (3.3.4).

Indicando con x l’asse neutro e con y un’altro ad esso ortogonale, con s, t gli assi diun riferimento la cui origine coincide con quella del precedente e tale che ad s appartieneil centro di sollecitazione, si ha (fig. 4.4):

t = x cosα− y sinαper cui la terza delle eq. (4.3) diviene:Z

Aσ(²)t dA = cosα

ZAσ(²)xdA− sinα

ZAσ(²)y dA = 0 (4.62)

Fissata una direzione di tentativo x si cerca, mediante il procedimento visto in prece-denza per la sollecitazione retta, la posizione dell’asse neutro che verifica la prima delleeq. (4.3) per N = Nd, quindi si verifica che l’eq. (4.62) sia soddisfatta, calcolando gli inte-grali con le relazioni riportate nel § 3.3.4. In caso positivo la posizione dell’asse neutro èquella corretta: quindi si può determinare il valore del momento ultimo facendo uso dellaseconda delle eq. (4.30). In caso contrario si fissa per x una nuova direzione e si ripete ilprocedimento fino a che tutte le equazioni sono verificate.

Domini di resistenza

Nel caso generale la sollecitazione agente in una sezione è individuata da un vettore con3 componenti. Indicando con x, y un sistema di assi ortogonali nel piano della sezione,il vettore avrà le componenti: {N,Mx,My}, in cui N è la forza normale, Mx = Nex,My = Ney sono le componenti del momento flettente agenti nelle direzioni degli assi.Ogni stato di sollecitazione individua quindi un punto in uno spazio a 3 dimensioni; ipunti rappresentativi delle azioni che portano la sezione a raggiungere lo stato limiteultimo descrivono, in questo spazio, una superficie detta di stato limite. Un esempio èrappresentato in fig. (4.8).

Le curve che si ottengono intersecando questa superficie con piani che contengonol’asse N sono le curve di interazione della sezione relative alle sollecitazioni agenti secondodirezioni assegnate. In particolare quando il piano passa per un asse di simmetria (seesiste) della sezione, si ottiene la corrispondente curva di interazione per pressoflessioneretta.

Le superfici di stato limite si possono rappresentare sotto forma di curve di livello,per esempio sul piano Mx,My relativamente a valori costanti di N . Tuttavia il numerodei parametri necessari per individuare ciascuna curva diviene ora eccessivo perché siaconveniente l’utilizzo di abachi precalcolati; inoltre anche il calcolo diretto di ciascuna


Figura~4.8: Dominio di resistenza di una sezione in cemento armato sollecitata dapressoflessione deviata

superficie risulta piuttosto oneroso. Pertanto, a differenza delle curve di interazione delcaso monoassiale, le superfici di stato limite non trovano un utilizzo pratico per la verificaed il progetto delle sezioni sollecitate da pressoflessione deviata. In questo caso l’approcciodiretto, descritto in precedenza, è il più conveniente; sebbene anch’esso sia oneroso, quandola procedura è trasferita in un programma per il calcolatore, diviene possibile applicarloagevolmente al pari delle verifiche relative alla sollecitazione retta.

Metodi approssimati

Quando non è disponibile un programma per la verifica “esatta” per pressoflessione de-viata, almeno per le sezioni rettangolari è possibile usare uno dei metodi approssimatiche riconducono il calcolo a due verifiche per sollecitazione retta; qui se ne espongonosuccintamente due.

Il primo è adottato dal Codice Russo, seguendo i risultati di un lavoro di Bresler: ilcarico ultimo Nu, di una sezione sollecitata da forza normale eccentrica con componentiflessionali, relative agli assi principali, Mdx,Mdy, si ottiene con la relazione:

1

Nu' 1

Nux+

1

Nuy+

1

Nu0(4.63)

in cuiNux edNuy sono le forze assiali ultime corrispondenti all’azione separata dei momentiMdx ed Mdy rispettivamente, mentre Nu0 è la forza ultima per pressione centrata. Iconfronti fatti con le soluzioni “esatte” hanno dimostrato che l’eq. (4.63) da risultatiabbastanza accurati.

Una via alternativa consiste nel cercare un’espressione approssimata delle curve dilivello, per N = cost, della superficie di stato limite. Tuttavia la forma di queste curve èfunzione di molti parametri: la geometria della sezione, la quantità e la disposizione dellearmature, l’entità della forza assiale. Una semplice relazione approssimante è:µ

Mux

Mux0

¶n+

µMux

Mux0

¶m= 1 (4.64)


in cuiMux0 eMuy0 sono i momenti ultimi per pressoflessione retta agente nelle due direzioniprincipali. Per m = n = 1 l’eq. (4.64) corrisponde ad una retta passante per i due puntidi stato limite ultimo per pressoflessione retta. Questa ipotesi è certamente prudenziale,in quanto le curve di livello reali presentano sempre una certa convessità verso l’origine, inparticolare per valori elevati di Nd. Un criterio ragionevole è quello di assumere il valoredi n = m linearmente variabile tra 1 e 2 in funzione del rapporto Nd/Nu0, dove Nu0 è ilcarico ultimo per pressione centrata.

4.4 Pilastri snelli

Nei paragrafi precedenti di questo capitolo è stato analizzato il comportamento delle se-zioni sollecitate da una forza assiale eccentrica. Nel caso di elementi tozzi, cioè per i qualiil rapporto tra la lunghezza e la minore delle dimensioni della sezione è sufficientementepiccolo, il problema di valutare la capacità portante dell’elemento è equivalente a quellodell’analisi della sua sezione più sollecitata (ammesso che tutte abbiano la medesima resi-stenza). Quando un elemento (pilastro) è sollecitato da una forza di compressione, più omeno eccentrica, se è snello, ossia il rapporto tra la dimensione longitudinale e quella tra-sversale è abbastanza elevato, insorgono altri effetti che ne modificano il comportamentorispetto a quello della sezione considerata isolatamente.

In generale la variazione di configurazione dei corpi prodotta dalla deformazione modi-fica le sollecitazioni che pertanto vengono a dipendere dalle deformazioni in modo tale chele equazioni di equilibrio divengono non lineari. Tuttavia, poiché normalmente gli sposta-menti prodotti dai carichi sono piccoli, si ritiene che l’influenza di questi sulle sollecitazionisia trascurabile e si assume che lo stato di sollecitazione coincida con quello relativo allaconfigurazione iniziale non deformata. Tale approssimazione, spesso valida, è detta teoriadel primo ordine e le sollecitazioni relative alla configurazione indeformata sollecitazionidel primo ordine. In alcuni casi però questa semplificazione non è accettabile in quantogli effetti delle deformazioni sulle sollecitazioni non sono trascurabili; le variazioni dellesollecitazioni prodotte da questi fenomeni sono dette termini del secondo ordine.

Un esempio celebre è costituito dall’asta di Eulero; una mensola sollecitata da unaforza di compressione N con eccentricità e. La deformazione prodotta dalla flessioneaumenta l’eccentricità del carico e pertanto accresce l’entità della flessione: quando ilcarico approssima il valore critico:

Ncr =³ π2l

´2EI (4.65)

l’equilibrio diviene impossibile, per quanto piccola sia l’eccentricità iniziale e.Al carico critico corrisponde una tensione critica:

σcr =NcrA

=π2E

λ2

dove λ = 2l/ρ è il rapporto tra la lunghezza libera di inflessione, che per la mensola è ildoppio della lunghezza l, ed il raggio di inerzia ρ =

pI/A; λ viene detta la snellezza della

trave. Per elementi con piccola snellezza σcr risulta molto più grande della resistenza delmateriale; per questi elementi (tozzi) il collasso avviene prima che gli effetti del secondoordine possano divenire significativi e pertanto la teoria del primo ordine risulta soddisfa-cente. Al contrario, quando λ è molto elevato, la tensione critica è molto inferiore allaresistenza; per questi elementi il collasso sopraggiunge a causa dei fenomeni del secondo

4.4 Pilastri snelli 113

ordine mentre in loro assenza il materiale sarebbe ancora in campo elastico. In tal casola teoria di Eulero, basata sull’ipotesi di comportamento elastico della trave, è adeguataed il valore di riferimento è effettivamente il carico critico fornito dall’eq. (4.65).2 Infineper i valori intermedi di λ vi è una forte interazione tra gli effetti del secondo ordine (nonlinearità geometrica) e la non linearità del materiale, per cui il carico critico non coincidecon quello previsto dalla teoria di Eulero, ma deve essere corretto per tener conto dellareale legge tensione-deformazione del materiale. Per gli elementi in cemento armato che,a causa della trascurabile resistenza a trazione del calcestruzzo, dimostrano una rapidadeviazione dalla linearità, la teoria di Eulero non è in pratica mai utilizzabile, se non conopportuni aggiustamenti e correzioni.

Poiché, come si è detto, i fenomeni del secondo ordine sono trascurabili quando σcr èmolto maggiore della resistenza, è evidente che questi fenomeni sono generalmente tantopiù importanti quanto più la struttura è realizzata con materiali di elevata resistenza;ciò spiega perché i fenomeni del secondo ordine sono particolarmente importanti nellostudio delle strutture in acciaio. Per il cemento armato, data la resistenza assai piùmodesta del calcestruzzo, essi sono generalmente meno importanti; solitamente gli elementistrutturali in cemento armato sono sufficientemente tozzi da consentirne lo studio mediantel’approssimazione del primo ordine. Tuttavia non sono nemmeno rari i casi in cui questonon è vero; ad esempio se si devono realizzare pilastri alti il pericolo delle sollecitazionidel secondo ordine non può essere trascurato.

Tenere conto correttamente dei fenomeni del secondo ordine nelle strutture in cementoarmato è un problema complesso: infatti occorre determinare in modo preciso le deforma-zioni della struttura, compito difficile a causa della fessurazione del materiale. L’analisidella sezione, condotta in precedenza, riguarda il comportamento delle sezioni fessurate.Come verrà chiarito meglio in un successivo capitolo questo stato non riguarda tutte lesezioni dell’elemento; la fessurazione è un fenomeno discreto: tra le fessure rimangonoblocchi di calcestruzzo integro e pertanto la reale rigidezza della trave, oltre a variare conla sollecitazione, varia rapidamente da un punto all’altro, assumendo il minimo in corri-spondenza delle fessure. La rigidezza “media” dell’elemento risulta compresa tra quelladella sezione integra e quella fessurata, avvicinandosi a quest’ultima nelle zone di eleva-ta sollecitazione flessionale. La valutazione accurata della deformabilità di una trave incemento armato richiede pertanto l’analisi di fenomeni complessi, come l’aderenza tra ac-ciaio e calcestruzzo, ed è difficile da ottenere, anche con modelli numerici raffinati. Infinesi deve tenere presente che le leggi semplificate usate per il calcolo della resistenza ultimadella sezione, come la legge parabola-rettangolo del calcestruzzo o quella elasto-plasticasenza incrudimento dell’acciaio, sono state fissate con l’ottica di valutare la resistenza,non la deformabilità della sezione; per una valutazione accurata di quest’ultima grandez-za si dovrebbero utilizzare relazioni più realistiche, come ad esempio, per il calcestruzzo,l’eq. (2.1).

Nei paragrafi che seguono si analizzeranno alcuni metodi relativi alla valutazione dellasicurezza dei pilastri “snelli”, soggetti alla sollecitazione di pressoflessione; si esamineràprima il caso “canonico” della trave vincolata con carrello e cerniera, sollecitata da unosforzo normale eccentrico con eccentricità costante (asta di Eulero), quindi si tratteràdell’influenza della variazione del momento lungo l’asse ed infine si esaminerà il caso delpilastro inserito in una struttura intelaiata.

2 In realtà questa affermazione è vera solo per e→ 0 (asta caricata di punta), altrimenti vi è comunqueuna certa influenza del comportamento non lineare del materiale.


Figura~4.9: Schema dell’asta di Eulero

4.4.1 Il metodo “esatto”

Supponendo di saper determinare, in modo più o meno accurato, la legge momento—curvatura di ciascuna sezione, opportunamente corretta per tener conto del contributo delleparti non fessurate, l’equazione di equilibrio dell’asta di Eulero, vincolata alle estremitàcon cerniera e carrello e sollecitata da una forza normale con eccentricità costante (fig. 4.9)si scrive facilmente:

M(θ) = N [e+ v(x)] (4.66)

in cui v(x) indica lo spostamento della linea elastica della trave, θ ' −d2v/dx2 è lacurvatura, N la forza di compressione di eccentricità iniziale e ed M(θ) indica la leggemomento-curvatura della sezione. In condizioni di funzionamento elastico M = EIθ e lasoluzione dell’eq. (4.66) si ottiene con semplici procedimenti analitici.

Nel caso generale in cui M(θ) è non lineare la soluzione di questa equazione si può ot-tenere con un procedimento numerico. Divisa l’asta in n conci di lunghezza ∆x l’eq. (4.66)si può scrivere in ciascuna delle n−1 sezioni di estremità dei conci, ottenendo così le n−1equazioni seguenti:

Mi(θi) = N(e+ vi) i = 1, 2, · · · , n− 1 (4.67)

Il legame tra gli spostamenti vi e le curvature θi è dato in termini di differenze finite(fig. 4.9):

θi = −vi−1 − 2vi + vi+1∆x2

(4.68)

Se ora {v(k)i } è una soluzione approssimata dell’eq. (4.67) e {θ(k)i } è il corrispondentevettore delle curvature, esprimendo il termine non lineare dell’eq. (4.67) con una serie diTaylor troncata al primo ordine nell’intorno di {θ(k)i }, si ha:

Mi(θ(k)i ) +DMi(θ

(k)i )(θi − θ

(k)i ) = N(e+ vi)


dove DM indica la derivata della funzione M(θ) ed è pertanto la rigidezza tangente K(k)i

della sezione i nel punto θ(k)i . Tenendo conto dell’eq. (4.68) si ottiene quindi il sistema

lineare:

−K(k)i vi−1 + (2K

(k)i −N∆x2)vi −K(k)

i vi+1 = ∆x2³Ne−Mi(θ

(k)i ) +K

(k)i θ

(k)i

´risolvendo il quale si ottiene il vettore {v(k+1)i } di successiva approssimazione. Da questo,tramite le (4.68), si ottengono i corrispondenti valori di θ(k+1)i ed il procedimento puòessere iterato fino a convergenza.

Questo metodo, illustrato per il caso di sollecitazione costante, si può generalizzaresenza difficoltà anche per casi in cui la sollecitazione varia lungo l’asse della trave e si puòfacilmente inserire in un programma di calcolo. La maggiore difficoltà, come si è detto inprecedenza, consiste nel determinare in modo corretto la legge momento—curvatura dellesezioni. Quando interessa una stima della capacità massima della resistenza del pilastro,considerando che in prossimità del collasso la fessurazione è molto estesa ed operando afavore di sicurezza, si può assumere che la deformabilità della trave coincida con quelladella sezione. In tal caso, con discreta approssimazione, la legge momento—curvaturapuò essere assimilata ad una spezzata composta con tre tratti rettilinei che congiungono ipunti di coordinate (0, 0) - (θf ,Mf ) - (θy,My) - (θu,Mu), dove (θf ,Mf ) è il punto di iniziofessurazione, caratterizzato dal raggiungimento della resistenza a trazione del calcestruzzo,e si ha θf = Mf/EcI

∗ (I∗ è il momento di inerzia dell’intera sezione omogenizzata);(θy,My) e (θu,Mu) sono i punti relativi al raggiungimento della tensione di snervamentodell’acciaio teso e della resistenza ultima della sezione e si calcolano facilmente mediantei procedimenti indicati nella prima parte di questo capitolo. Determinata la posizionedell’asse neutro yc, la curvatura si ottiene mediante la relazione:

θ =|²s|d− yc

essendo ²s la deformazione dell’acciaio e d l’altezza utile della sezione.Il procedimento che è stato illustrato in questo paragrafo, anche se certamente ab-

bordabile se si dispone di un calcolatore e di un idoneo programma, rimane comunqueabbastanza impegnativo ed in molti casi sproporzionato agli scopi della progettazionecorrente. Per tale motivo sono stati sviluppati dei metodi alternativi, certamente menoaccurati e generali, ma verificati essere sufficientemente sicuri, che richiedono uno sforzodi calcolo molto più limitato. I due metodi più diffusi sono descritti nei paragrafi seguenti.

4.4.2 Il metodo della colonna modello

Il metodo della “colonna modello” consiste nell’assumere che la linea d’asse deformatadella trave sia nota a meno di un parametro che ne definisce l’ampiezza.

Considerando la solita trave vincolata alle estremità con carrello e cerniera e sollecitatada due forze opposte di eccentricità e (fig. 4.9), si assume che l’equazione della deformatadella trave sia una sinusoide:

v(x) = f sin

µπx

l0

¶(4.69)

dove l0 è la lunghezza della trave e f indica la deformata massima (freccia). Derivandodue volte l’eq. (4.69) si ottiene che anche la curvatura è espressa da una legge analoga il


Figura~4.10: Soluzione del problema dell’asta snella con il metodo della colonna modello

cui massimo, raggiunto nella sezione di mezzo, vale:

θm =1

r= |v00(l0/2)| = π2f

l20' 10f

l20(4.70)

La verifica del pilastro si esegue controllando che, nella sezione di momento massimo,sia possibile soddisfare l’equazione di equilibrio:

M(θ) = N(e+ f) (4.71)

tenendo conto dell’eq. (4.70) e della legge momento—curvatura della sezione. La soluzionedi questa equazione si può ottenere graficamente (fig. 4.10), riportando sul piano M, θ lalegge momento-curvatura della sezione ed una retta di equazione:

M = N(e+ l20θ/10)

Il punto di intersezione, se esiste, tra questa retta e la curva individua il punto di equilibrio.Se la retta non interseca la curva l’equilibrio è impossibile in quanto la sollecitazione

supera la resistenza per ogni valore di θ. Il carico ultimo del pilastro è il massimo valoredi N per cui l’eq. (4.71) ha una soluzione, cioè il valore di N per cui la retta di caricodiviene tangente a quella della resistenza della sezione.

Come si è già detto, la legge M(θ) può essere approssimata con una spezzata di due otre lati; in questo caso il punto di tangenza con la retta di carico deve coincidere o con ilpunto di collasso della sezione (θu,Mu) o con quello di snervamento dell’acciaio (θy,My).L’inclinazione dell’ultimo tratto della curvaM(θ) è generalmente piccola, pertanto, poichéil primo caso si verifica solo quando la pendenza della curva di carico è inferiore a quelladell’ultimo ramo della spezzata, esso può aversi solo se la quantità Nl20/10 è piccola. Intermini adimensionali, dividendo le forze per bdfcd e le lunghezze per d, questa condizioneimplica che la trave abbia una piccola snellezza. In tal caso il carico ultimo così ottenutoè di poco inferiore a quello della sezione.

Nei casi di maggiore interesse, quando la snellezza è abbastanza elevata, il punto di tan-genza coincide con quello di snervamento, come mostrato nella fig. 4.10; quindi l’equazionedi equilibrio in condizioni critiche si scrive:

My = Nu(e+ l20θy/10)


da cui si ottiene:

Nu =My

e+ l20θy/10(4.72)

Questa equazione non fornisce tuttavia una soluzione esplicita del problema poiché My eθy sono a loro volta funzioni di N . Pertanto la determinazione della soluzione richiede uncerto numero di iterazioni, come illustrato nell’esempio che segue.

Esempio 4.9 Per un pilastro di sezione 30×30 cm2 e con lunghezza libera di inflessione l0 = 7 m,armato simmetricamente con 3φ22 (A = A0 = 11.4 cm2), sollecitato da un carico eccentrico(e = 30 cm), determinare il carico ultimo con il metodo della colonna modello.

Si prevede l’impiego dei seguenti materiali: Calcestruzzo Rck = 30 N/mm2, Acciaio Fe b 44k.

Fissato N si calcolano My e θy che da esso dipendono; quindi mediante l’eq. (4.72) si calcola Nu.Utilizzando Nu come nuovo valore di N , si itera il procedimento fino a quando Nu ' N .

N (kN) My (kN cm) θy (cm−1) Nu (kN)0 10258 .1139× 10−3 288.3

288.3 13127 .1390× 10−3 356.6356.6 13763 .1454× 10−3 370.7370.7 13890 .1467× 10−3 373.5373.5 13920 .1470× 10−3 374.1374.1 13924 .1471× 10−3 374.2

Il carico ultimo del pilastro risulta Nu = 374 kN mentre quello della sezione è 482 kN; gli effettidel secondo ordine pertanto producono una riduzione della capacità portante di circa il 22%.Applicando il “metodo esatto” descritto nel paragrafo precedente, discretizzando il pilastro con11 conci ed utilizzando leggi momento-curvatura bilineari, si ottiene per il carico ultimo il valoreNu = 357 kN corrispondente allo spostamento massimo f = 8.5 cm, maggiore di quello (7.2 cm)previsto dalla colonna modello. 2

Il confronto dei risultati del metodo della colonna modello con quelli del “metodoesatto” condotto nel precedente esempio mostra come l’approssimazione del metodo nonsia dalla parte della sicurezza. Questo non deve sorprendere in quanto la forma sinusoidale,adottata per la linea elastica, dà luogo a curvatura nulla agli estremi, quindi è in equilibriocon una legge dei momenti meno severa di quella effettiva. Peraltro si deve sottolineare cheal contrario la legge momento-curvatura della sezione fessurata, usata nel metodo “esatto”,è invece troppo onerosa perché, come si è già fatto notare, non tiene conto del contributodelle zone non fessurate. Si può ritenere quindi che l’errore per difetto commesso con ilmetodo della colonna modello sia almeno in parte compensato da quello per eccesso dovutoall’aver sottostimato la rigidezza reale della trave.

La bozza delle Norme Europee per il cemento armato (EC2), suggerisce, per la verificadelle colonne snelle, il metodo della colonna modello. L’uso è limitato ai casi di snellezzeλ inferiori a 140 e per eccentricità del carico non inferiori ad un decimo dell’altezza dellasezione (e ≥ 0.1h).

La legge curvatura-freccia proposta dalle stesse norme differisce da quella ottenuta inprecedenza per un coefficiente k1:

f = k1l2010

θ

che dipende dalla snellezza della trave nel modo seguente:

K1 =

½(λ− 15)/20 se 15 ≤ λ ≤ 351 se λ > 35


4.4.3 Il metodo del momento amplificato

Il metodo del momento amplificato (moment magnifier method) è indicato, come procedi-mento approssimato, dalla normativa statunitense ACI.

Sempre ipotizzando che la deformata sia rappresentabile con una sinusoide di ampiezzaf , in condizioni elastiche, nella sezione di momento massimo si ha:

Mmx = −EIu00(l0/2) = EI π2

l20f sin

µπx

l0

¶x=l0/2

= EIπ2

l20f = Ncrf

dove si è tenuto conto che EIπ2/l20 = Ncr è il valore del carico critico euleriano di un’astacon lunghezza libera l0.

Dall’equilibrio tra i momenti interni e quelli esterni di questa sezione si ottiene quindi:

Mmx = N(e+ f) = Ncrf

da cui segue:

f =Ne

Ncr −Ne quindi il momento massimo agente sulla trave risulta:

N(e+ f) = Ne1

1−N/Ncr =M0δ

dove M0 = Ne è il momento del primo ordine e δ è il fattore di amplificazione, che tieneconto degli effetti del secondo ordine, ed è definito dalla relazione:

δ =1

1−N/Ncr (4.73)

Partendo da questa relazione la normativa ACI suggerisce di usare, come sollecitazionidi calcolo nella sezione critica del pilastro, il carico assiale Nd ed il momentoMdδ, dove Nded Md sono le sollecitazioni che derivano dall’analisi usuale della struttura (trascurando ifenomeni del secondo ordine) e δ è il fattore di amplificazione fornito dall’eq. (4.73).

Il valore di δ dipende in modo essenziale da Ncr, che a sua volta è funzione dellarigidezza EI della sezione. Questa rigidezza, rispetto a quella della sezione intera, deveessere ridotta per tener conto degli effetti della fessurazione; le norme ACI suggerisconodue formule alternative:

EI =EcIg2.5

1

1 + βdo EI =

µEcIg5

+EsIs

¶1

1 + βd(4.74)

dove Ec ed Es sono i moduli elastici del calcestruzzo e dell’acciaio, Ig è il momento d’iner-zia dell’intera sezione di calcestruzzo, Is quello dell’armatura rispetto al baricentro dellasezione ed il coefficiente βd tiene conto delle deformazioni viscose che di fatto riducono larigidezza secante dell’elemento. Nelle predette norme questo coefficiente viene preso parial rapporto tra la quota di Nd dovuta ai carichi permanenti ed il totale:

βd = (Nd)perm/Nd


Figura~4.11: Determinazione del carico ultimo di un pilastro snello con il metodo delmomento amplificato

Esempio 4.10 Verificare il pilastro dell’esempio 4.9 con il metodo dell’amplificazione del mo-mento.Per βd = 0.5 ed Ec = 31220 N/mm

2, essendo Ig = 67500 cm4, dalla prima delle eq. (4.74) si ha:

EI = 5.62× 107 kNcm2

da cui, segue: Ncr = 1131 kN. Analogamente, valutando EI mediante la seconda delle eq. (4.74),si ottiene Ncr = 1490 kN.La determinazione di Nu, ossia della massima forza di eccentricità e sopportata dal pilastro, sicalcola nel modo seguente: sul piano N,M si riporta il dominio di resistenza della sezione e lacurva di equazione M = Ne/(1 − N/Ncr); il punto di intersezione di questa con la frontiera deldominio di resistenza individua il punto di collasso della sezione, e quindi dell’intero pilastro.Nella fig. 4.11 il procedimento è illustrato per l’esempio in esame; la curva (1) si riferisce al caso conNcr = 1131 kN, da cui si ottiene Nu ' 330 kN, mentre ad Ncr = 1490 kN (curva 2) corrispondeNu ' 360 kN; quest’ultimo valore è molto prossimo a quello ottenuto con il “metodo esatto”. 2

Quest’ultima osservazione non deve essere interpretata come un significativo test divalidità; si tenga presente che nel metodo del momento amplificato un ruolo importantespetta al coefficiente di viscosità βd, di cui non si tiene conto negli altri metodi; una sceltadiversa del valore di βd, conseguente ad una diversa ipotesi di ripartizione tra i carichipermanenti e variabili, avrebbe condotto a diversi risultati. Inoltre, giova ripeterlo, il“metodo esatto” esatto lo è solo concettualmente, in quanto le leggi momento-curvaturaadottate negli esempi sono largamente approssimate.

4.4.4 Momento variabile

La variazione del momento lungo l’altezza del pilastro ha spesso notevole influenza sul-l’entità degli effetti del secondo ordine. Poiché di solito sui pilastri non agiscono forzesignificative lungo il loro asse, il momento ha andamento lineare, e quindi i valori mas-simi sono raggiunti nelle sezioni di estremità. Se gli spostamenti laterali delle estremità


del pilastro sono impediti, gli effetti del secondo ordine in queste sezioni sono nulli ed ilmomento agente coincide con quello del primo ordine. Gli spostamenti massimi si rag-giungono in qualche sezione intermedia ed è in questa che gli effetti del secondo ordinesaranno maggiori; la situazione più gravosa si verifica quando nella stessa sezione sonomassimi entrambi i termini, il che si verifica quando il momento ha valore costante.

Gli effetti discussi in precedenza divengono particolarmente rilevanti se i due momentidi estremità hanno segno opposto; in tal caso la deformazione della linea d’asse è sensibil-mente minore che nel caso di un’asta sollecitata da momenti di uguale segno e lo sposta-mento massimo si verifica in una sezione dove il momento del primo ordine è sensibilmenteminore di quello massimo.

Con il metodo “esatto” non vi è difficoltà nel tener conto dell’andamento variabile delmomento, anche per effetto di eventuali carichi agenti lungo l’asse della trave, ma i metodiapprossimati, colonna modello ed amplificazione del momento, sono calibrati sul caso diun’asta sollecitata da un momento (del primo ordine) costante. Per poter continuaread usare questi procedimenti anche in situazioni più complesse e di maggiore interessepratico si deve determinare un “momento equivalente” che tenga conto degli effetti delreale andamento.

Per il caso di variazione lineare del momento, sia le norme ACI che le EC2 propongonodi utilizzare i metodi approssimati illustrati nei paragrafi precedenti, considerando unpilastro sollecitato da un carico con eccentricità costante:

|e| = max{|0.6e2 + 0.4e1|, 0.4|e2|} (4.75)

dove e1 ed e2 sono le eccentricità del carico nelle sezioni di estremità e si ha |e2| ≥ |e1|.

Esempio 4.11 Verificare il pilastro dell’esempio 4.9 nel caso che l’eccentricità del carico varilinearmente tra e1 = 20 cm ed e2 = 30 cm, utilizzando il metodo della colonna modello.Per l’eq. (4.75) si ha:

e = 0.6× 30 + 0.4× 20 = 26 cm > 0.4e2quindi si procede come nell’esempio 4.9; partendo da un valore di tentativo per N di 400 kN siottiene:

N (kN) My (kN cm) θy (cm−1) Nu (kN)400 14048 0.148× 10−3 422422 14247 0.150× 10−3 427427 14292 0.151× 10−3 428

Quindi il carico ultimo, calcolato con lo schema della colonna modello, risulta ' 428 kN. Con ilmetodo “esatto”, sempre rappresentando la legge M(θ) con una bilatera, si ottiene Nu = 415 kN.

2

4.4.5 Influenza dei vincoli

Le analisi precedenti sono state svolte per il semplice schema della trave appoggiata.Per il carico di punta (e→ 0) e nel caso di comportamento elastico della trave, ogni altracondizione di vincolo si riconduce a questo schema scegliendo opportunamente la lunghezzalibera di inflessione l0. Per esempio la mensola ha lunghezza libera pari al doppio di quellaeffettiva (l0 = 2l); la trave doppiamente incastrata, ma ovviamente libera di accorciarsi, hal0 = l/2 e la trave vincolata da glifi, in modo che siano impedite le rotazioni e permessi glispostamenti orizzontali, ha l0 = l. In alcuni casi questi risultati derivano solo da condizioni


di simmetria, quindi hanno validità generale, anche se il carico è eccentrico ed i materialihanno comportamento non lineare.

I pilastri di un edificio con struttura a telaio sono vincolati elasticamente alle estremitàdalle travi; le sezioni di estremità pertanto possono parzialmente ruotare. Inoltre questesezioni possono subire uno spostamento relativo in direzione orizzontale, dovuto allo scor-rimento relativo tra i piani. Quest’ultimo moto dipende dalla rigidezza di tutti gli elementiverticali della struttura. Se il telaio è dotato di elementi di controvento o di rigide paretidi taglio, gli spostamenti orizzontali risultano molto piccoli e si possono trascurare. Intale caso il telaio viene considerato a nodi fissi ed i pilastri si considerano come elementiisolati dotati di vincoli rigidi nei confronti degli scorrimenti ed elastici per le rotazioni.Quando non esistono elementi di controvento ed i pilastri non sono sufficientemente rigidi,il telaio viene classificato a nodi mobili e nella verifica dei pilastri si deve tener conto dellapossibilità che si verifichi lo scorrimento interpiano.

In entrambi i casi si può tener conto delle condizioni di vincolo scegliendo un valoreopportuno per la lunghezza libera di inflessione del pilastro: questo si ottiene tramiteil coefficiente k definito come il rapporto tra la lunghezza libera di inflessione e quellaeffettiva dell’elemento:

l0 = kl

La lunghezza effettiva del pilastro l è definita come la distanza tra gli assi dei vincoli. Ilcoefficiente k dipende dalla rigidezza relativa delle travi e dei pilastri tramite i parametri:

ψ =

PEcIcol/lcolPEcαIb/leff

(4.76)

dove:

Ec Modulo di elasticità del calcestruzzo.

Icol, Ib Momenti di inerzia della sezione di calcestruzzo dei pilastri e delle travi.

lcol Lunghezza dei pilastri (distanza tra gli assi dei vincoli).

leff Luce effettiva della trave.

α Coefficiente funzione del vincolo alle estremità delle travi: trave continua ad entrambigli estremi α = 1; trave libera di ruotare all’estremità opposta α = 0.5; mensolaα = 0.

Le somme si estendono a tutti i pilastri e le travi contenute nel piano di inflessione econvergenti al nodo esaminato.

Calcolati i coefficienti ψA e ψB relativi ai nodi di estremità di ogni pilastro, il coef-ficiente k si determina mediante il nomogramma riportato in fig. 4.12. Il nomogramma(a) si riferisce ai telai a nodi fissi, quello (b) ai telai a nodi mobili. Si osservi che ψ = 0corrisponde all’incastro, ψ =∞ alla cerniera. Nel caso di spostamenti impediti k varia tra0.5 (doppio incastro) ed 1 (doppia cerniera). Per i telai a nodi mobili k varia tra 1 (vincolidi incastro e glifo) ed ∞ per i vincoli di cerniera e carrello; in tal caso infatti il pilastrodiviene un pendolo che non è in grado di garantire l’equilibrio alle forze laterali.

Le norme europee EC2 sconsigliano di assumere per ψA e ψB valori inferiori a 0.4.


Figura~4.12: Nomogrammi per la determinazione della lunghezza libera di inflessione deipilastri delle strutture intelaiate

Capitolo 5

Elementi sollecitati da tensionitangenziali: il taglio

5.1 Introduzione

Nei due capitoli precedenti è stato analizzato il comportamento delle travi in cementoarmato nei confronti delle azioni che producono solamente tensioni normali. Entro questilimiti è stato possibile sviluppare una teoria analoga a quella di Navier–De Saint Venant perle travi elastiche, opportunamente modi…cata per tener conto del diverso comportamentodel calcestruzzo nei confronti delle sollecitazioni di compressione e di trazione. In questomodello il calcestruzzo è stato assimilato ad un materiale privo di resistenza a trazione;tale sempli…cazione consente, per gli elementi sollecitati a sforzo normale e ‡essione, dicostruire una teoria coerente e perfettamente adeguata allo scopo di valutare la resistenzadelle travi in cemento armato nei confronti di queste azioni.

Tuttavia in realtà solo di rado le travi sono sollecitate a sola ‡essione o presso‡essio-ne: normalmente queste azioni sono accompagnate dal taglio, sollecitazione che, nel solidoelastico di De Saint Venant, produce tensioni tangenziali. La presenza della sollecitazionedi taglio è dovuta al fatto che ogni variazione lungo l’asse della trave del momento ‡et-tente richiede la presenza di una forza di taglio, come risulta dalla ben nota equazione diequilibrio:

V =dMdx

(5.1)

in cui V indica la sollecitazione di taglio, M è il momento ed x l’ascissa misurata lungol’asse della trave.

Dall’eq. (5.1) segue che il taglio è nullo solo quando M è costante. In pratica questacondizione si veri…ca di rado, quindi la sollecitazione di taglio accompagna quasi semprequella di ‡essione. Inoltre, sempre dalla medesima equazione, risulta che il taglio nonpuò esistere, se non in qualche sezione isolata, senza la contemporanea presenza di M :pertanto sarebbe più corretto parlare della sollecitazione congiunta di ‡essione e taglio.

La presenza delle tensioni tangenziali rende incoerente il semplice modello del calce-struzzo privo di resistenza a trazione in quanto il trasferimento di queste tensioni dallaparte tesa della sezione (l’armatura) a quella compressa richiede la partecipazione del cal-cestruzzo presente nella zona tesa che, nella teoria della ‡essione, era stato trascurato. Ine¤etti la resistenza a trazione del calcestruzzo, anche se modesta, svolge un ruolo essenzialenel funzionamento delle travi sollecitate a ‡essione e taglio.

123

124 Capitolo 5 Elementi sollecitati da tensioni tangenziali: il taglio

In molti casi gli e¤etti delle sollecitazioni di taglio risultano critici per la resistenzadegli elementi in cemento armato, riducendone sensibilmente la capacità portante rispettoa quella valutata mediante la teoria ‡essionale. Inoltre il collasso dovuto alle forze di taglio,essendo provocato dalla rottura del calcestruzzo teso, è di tipo fragile, cioè improvviso edaccompagnato da piccole deformazioni, quindi estremamente pericoloso: occorre dunqueevitare che si veri…chi, ossia occorre rendere la resistenza a taglio degli elementi maggioredi quella a ‡essione. Questo obbiettivo si ottiene disponendo, quando necessario, dellearmature nel senso trasversale della trave (sta¤e e barre inclinate) che, come verrà chiaritopoi, collaborano con il calcestruzzo nel sostenere queste sollecitazioni.

Come si vedrò, per gli e¤etti delle azioni di taglio e dei corrispondenti meccanismiresistenti non è possibile sviluppare una teoria relativamente semplice e coerente come èavvenuto …n qui nei riguardi delle azioni normali. Il comportamento delle travi in cementoarmato fessurate per l’azione della ‡essione e del taglio è piuttosto complesso e la stimadell’entità dei contributi forniti dai diversi meccanismi non sempre si può dedurre sulla ba-se della sola legge tensione–deformazione del materiale; spesso si deve ricorrere a formuleempiriche, giusti…cate dai risultati di esperimenti di laboratorio e dal loro utilizzo pratico.Inoltre i modelli di comportamento utilizzati per valutare la resistenza, quali il tralicciodi Mörsch, non sono congruenti con l’ipotesi di comportamento elastico dei materiali, edin e¤etti sono utilizzati solo per ricavare delle equazioni di equilibrio: il loro funziona-mento pertanto si attiva solo in una fase di avanzata plasticizzazione, quando le esigenzedella congruenza divengono secondarie. Per questi motivi, a di¤erenza di quanto fatto inprecedenza per la ‡essione e la presso‡essione, non sarà condotta un’analisi separata delcomportamento in campo elastico rispetto a quello allo stato limite ultimo. Le veri…che al-le tensioni ammissibili si deducono dagli stessi modelli del calcolo a rottura, semplicementeriducendo contemporaneamente le sollecitazioni e la resistenza dei materiali, in modo daottenere, con i due metodi, confrontabili livelli di sicurezza.

5.2 Il comportamento delle travi sollecitate a taglio

Se si considera una trave realizzata con un materiale a comportamento elastico lineare ereagente a trazione, quale può considerarsi anche il calcestruzzo, per livelli di sollecita-zione su¢cientemente bassi, le tensioni tangenziali agenti sulle sezioni normali si possonocalcolare con la nota relazione, derivata mediante la teoria approssimata di Jourawski:

¿(y) =V S(y)Ib(y)

(5.2)

in cui I è il momento di inerzia baricentrico della sezione, S(y) è il momento statico,relativamente al baricentro, della parte di sezione al disopra della …bra di ascissa y e b(y) èla larghezza di detta …bra (…g. 5.1a). Per una sezione rettangolare l’eq. (5.2) fornisce unalegge parabolica, come illustrato nella stessa …gura. Il valore massimo di ¿ è raggiunto nelbaricentro, dove si ha:

¿mx =Vzb

(5.3)

dove z = I=S(0) indica il braccio delle forze interne.Per le sezioni in cemento armato, fessurate in accordo con il modello adottato per

l’analisi della ‡essione, si può pensare di estendere la validità dell’eq. (5.2) alla sezione

5.2 Il comportamento delle travi sollecitate a taglio 125

Figura~5.1: Distribuzione delle tensioni tangenziali nella sezione integra (a) e fessurata(b)

reagente omogenizzata, cioè formata dal calcestruzzo compresso e dall’acciaio pesato conil modulo n. Applicando la teoria di Jourawski a questa sezione si ottiene l’andamentoriportato in …g. (5.1b). Il valore massimo della ¿ è raggiunto ancora nel baricentro (asseneutro) della sezione reagente ed è ancora fornito dall’eq. (5.3), ove ora z ' 0:9d. Aldisotto dell’asse neutro il valore di ¿ resta costante in quanto S(y) non cambia, datoche il calcestruzzo teso viene trascurato. Solo in corrispondenza della …bra ove è postal’armatura tesa si chiude l’equilibrio ed S e ¿ si annullano.

Da queste considerazioni emerge un’incongruenza: la parte di calcestruzzo sottostantel’asse neutro, “inesistente” ai …ni della ‡essione, deve essere in grado di sopportare la ten-sione tangenziale ¿mx che, come risulta usando il cerchio di Mohr, produce una tensioneprincipale di trazione di pari valore. Sebbene, come verrà spiegato più avanti, il trasfe-rimento di tensioni tangenziali attraverso le facce di una fessura sia, entro certi limiti,realmente possibile, le osservazioni precedenti dimostrano che, in presenza della sollecita-zione di taglio, non è lecito estendere alle travi in cemento armato la teoria di Navier–DeSaint Venant, semplicemente sostituendo la sezione reagente omogenizzata a quella intera.

Per comprendere cosa avvenga in una trave in cemento armato sollecitata a ‡essionee taglio si deve rinunciare all’analisi della sola sezione ed esaminare la trave nella suaestensione spaziale. A questo scopo si consideri il comportamento di una trave appoggiata,caricata uniformemente, al crescere dell’intesità del carico. Inizialmente, per piccoli valoridelle sollecitazioni, il comportamento è elastico lineare e la distribuzione delle tensionisegue le leggi della teoria delle travi elastiche. In tal caso l’andamento delle linee isostatichedelle tensioni principali è del tipo illustrato in …g. 5.2.

Normalmente il valore massimo della tensione principale di trazione viene raggiuntoal lembo inferiore (teso): in qualche punto, superata la resistenza a trazione, si innescauna fessura che, essendo perpendicolare alle isostatiche di trazione, inizialmente risultanormale all’asse della trave. Al crescere del carico la fessura si propaga e, per e¤ettodelle tensioni tangenziali, si inclina verso l’asse. Schematicamente si può assumere che lefessure seguano un percorso perpendicolare alle isostatiche di trazione, ossia che seguano


Figura~5.2: Linee isostatiche in una trave appoggiata; comportamento elastico ed isotropodel materiale

l’andamento delle isostatiche di compressione: nascono ortogonali all’asse della trave equindi via via si inclinano …no a divenirne quasi parallele quando giungono in prossimitàdel corrente compresso. Questo comportamento è, almeno qualitativamente, confermatodalle esperienze sulla rottura delle travi condotte nei laboratori (si veda la …g. 5.3).

Da queste considerazioni si deduce un risultato fondamentale: nell’analisi del compor-tamento delle travi in cemento armato sollecitate a ‡essione e taglio si deve rinunciareal semplice schema della sezione fessurata normalmente all’asse ed esaminare dei conci dilunghezza …nita entro cui, nella parte tesa, si estendono delle fessure inclinate.

Si torni ora all’eq. (5.1), che deriva dall’equilibrio di un concio di trave. Per una travein cemento armato sollecitata a ‡essione e taglio, come è stato dimostrato nella sez. 3.2.2,si può porre M = Tz, dove T è la forza di trazione portata dall’armatura e z è il bracciodelle forze interne. Sostituendo tale espressione di M nell’eq. (5.1) si ottiene:

V = zdTdx

+dzdx

T (5.4)

da cui risulta evidente che all’equilibrio della forza di taglio V possono concorrere duetermini: il primo dipendente dalla variazione della forza di trazione nell’acciaio, il secondodalla variazione del braccio delle forze interne z.

In una trave snella, cioè con un rapporto tra luce e altezza elevato, di sezione costante enelle zone distanti dagli appoggi, come risulta dallo studio del comportamento a ‡essione,il braccio z è praticamente costante, per cui si può assumere che dz=dx ¼ 0. In tal casoil secondo termine dell’eq. (5.4) risulta trascurabile ed il solo meccanismo di equilibriopossibile è legato alla variazione di T . Perché questo avvenga occorre che l’aderenzatra acciaio e calcestruzzo sia in grado di trasferire la quantità necessaria di forza tral’acciaio ed il calcestruzzo, ed il calcestruzzo nella parte tesa della sezione sia quindi in

5.3 Il comportamento delle travi prive di armatura di taglio 127

Figura~5.3: Meccanismi di rottura in travi in cemento armato prive di armatura di taglioal variare del rapporto M=V

grado sopportarla e trasmetterla al corrente compresso, in modo da soddisfare l’equilibrioglobale del concio. Questo meccanismo resistente viene detto comportamento a trave.

Il caso opposto si veri…ca quando, per qualche ragione, viene a mancare l’aderenzatra acciaio e calcestruzzo, in modo che T non può variare; in tal caso dT=dx = 0 enell’eq. (5.1) viene a mancare il primo termine quindi la sola possibilità di soddisfarel’equilibrio è a¢data alla variazione di z. Perché questo possa realizzarsi occorre che lalinea d’asse del corrente compresso risulti inclinata in modo tale che z vari con x secondola stessa legge del momento M ; ciò è possibile solo nelle zone prossime agli appoggi dove,come è mostrato dalla …g. (5.2), le isostatiche di compressione convergono verso la basedell’appoggio, disegnando all’interno della trave un arco per il quale l’armatura funge dacatena. Il meccanismo resistente che viene così a formarsi viene detto appunto e¤etto arco:esso può divenire signi…cativo, dopo che il “comportamento a trave” ha perso e¢cacia,solo nelle travi tozze, ossia con un rapporto luce–altezza relativamente piccolo, o comunquenelle zone prossime agli appoggi. La presenza del “meccanismo ad arco” spiega il fattoche nelle travi che collassano per taglio la crisi solitamente non avviene in prossimità degliappoggi, dove il taglio è massimo, ma in zone più vicine al centro della trave, dove l’e¤ettoarco non può essere e¢cace. Il collasso può avvenire però in prossimità dell’appoggio sel’armatura è insu¢ciente o male ancorata, ovvero se l’anima è così sottile da schiacciarsiper e¤etto dell’elevata forza di compressione che si sviluppa nell’arco.

5.3 Il comportamento delle travi prive di armatura di taglio

Quando all’interno di un elemento di calcestruzzo si apre una fessura le due facce contiguenon sono super…ci lisce. Infatti la fessura non attraversa gli inerti grossi, che formano loscheletro più resistente dell’impasto, ma ne segue i contorni, dove la resistenza è dovu-ta all’azione legante del cemento; così, dopo l’apertura della fessura, le protuberanze diqueste super…ci scabre rimangono ingranate con le corrispondenti cavità rendendo ancora


Figura~5.4: Forze agenti su di un “dente” di calcestruzzo compreso tra due fessure

possibile la trasmissione di forze tangenziali, almeno …n quando l’ampiezza della fessuranon diviene tanto grande da separare completamente le facce. Questo meccanismo, det-to di ingranamento degli inerti (aggregate interlock), è il più importante tra quelli chepermettono il trasferimento delle forze di taglio nelle travi fessurate prive dell’armaturad’anima.

Le fessure che attraversano la zona tesa della trave la separano in tanti blocchi dicalcestruzzo che si comportano come mensole incastrate nella parte superiore compressadell’elemento. Esaminando una di queste (…g. 5.4) si nota che, quando agisce il meccanismoresistente del comportamento a trave, la mensola è sollecitata dalla forza ¢T = T1 ¡ T2,prodotta dalla variazione della forza di trazione dell’armatura. A questa sollecitazione sioppongono le seguenti azioni resistenti:

1. Le tensioni tangenziali ¿a che agiscono sulle super…ci delle fessure, dovute all’ingra-namento degli inerti.

2. Le forze di taglio Vd, prodotte dall’e¤etto spinotto (dowel action) delle armaturelongitudinali.

3. Il momento Mc agente nella sezione di incastro della mensola di calcestruzzo nelcorrente compresso.

Dell’ingranamento degli inerti si è già parlato in precedenza. L’e¤etto spinotto sisviluppa grazie all’elevata rigidezza delle barre longitudinali, considerate come travi inca-strate nei due blocchi contigui separati dalla fessura e quindi di piccolissima luce. Perchéquesto meccanismo sia e¢cace occorre che il calcestruzzo vincoli e¤ettivamente le barre:in assenza di sta¤e questo è a¢dato alla sola resistenza del calcestruzzo di copriferro,generalmente modesta. Quando essa viene superata la barra si deforma distaccando il cal-cestruzzo che la ricopre. Per questo motivo il contributo dell’e¤etto spinotto, specialmentenelle travi prive di sta¤e, è modesto.

5.3 Il comportamento delle travi prive di armatura di taglio 129

Figura~5.5: Momento ultimo sperimentale di travi prive di armatura di taglio, in funzionedel rapporto a=d.

Il momento Mc è dovuto alla resistenza a ‡essione dei denti di calcestruzzo e pertantodipende principalmente dall’altezza sc delle sezioni di incastro delle mensole che, al cresce-re della sollecitazione, si riduce notevolmente a causa dell’estendersi delle fessure verso lazona compressa: ne consegue una proporzionale riduzione del contributo di questo termineall’equilibrio dei “denti” di calcestruzzo. In certi casi la riduzione della sezione di incastrodelle mensole permette a due blocchi contigui di subire una forte rotazione relativa: l’in-cremento nell’apertura della fessura porta alla perdita dell’ingranamento degli inerti conconseguente impossibilità di ripristinare l’equilibrio e quindi al collasso della trave.

Lo schema sperimentale generalmente adottato nei laboratori consiste in travi sem-plicemente appoggiate, caricate simmetricamente con due forze di intensità P , poste alladistanza a dagli appoggi. Così, nei tratti compresi tra gli appoggi ed i carichi, la traverisulta sollecitata a taglio costante e momento linearmente variabile, mentre nella par-te centrale il momento, costante, prende il valore massimo M = Pa, mentre il taglio èovviamente nullo.

Il meccanismo di collasso per queste travi (senza armatura per il taglio) dipende essen-zialmente dal rapporto adimensionale M=V d che, per lo schema di carico precedentementedescritto, coincide con il rapporto a=d tra la distanza del carico dall’appoggio e l’altezzautile della sezione.

In …g. 5.5 sono riportati i risultati di prove di laboratorio su travi, tutte di uguale sezio-ne ed armatura, al variare della distanza a tra il carico e l’appoggio. Nel gra…co è riportatoil valore del momento ultimo raggiunto in funzione del rapporto a=d; la linea orizzontalecorrisponde al valore della resistenza ‡essionale della sezione, derivata dalla teoria della‡essione. Per valori di a=d maggiori di 7 il momento ultimo sperimentale praticamentecoincide con quello teorico, segno che la trave ha potuto raggiungere la sua resistenza ‡es-


sionale perché la resistenza a taglio è in tal caso maggiore; come previsto questo si veri…canelle travi molto snelle per le quali è possibile omettere l’utilizzo dell’armatura di taglio.

Quando a=d prende valori inferiori la resistenza della trave si riduce rispetto a quantoprevisto dalla sola ‡essione. I risultati sperimentali seguono da vicino la retta tratteggiatapassante per l’origine, che corrisponde alla previsione teorica di un sistema che collassa alraggiungimento di una …ssata soglia di taglio. Per 7 > a=d > 3 la rottura è prodotta dalcedimento dei denti di calcestruzzo e la conseguente perdita di e¢cacia del “meccanismo atrave”. Per valori di a=d inferiori a 3 i risultati sperimentali si discostano da questo anda-mento e la resistenza cresce al diminuire di a=d …no a che, per a=d · 1:5, viene nuovamenteraggiunta la piena resistenza ‡essionale della sezione, segno che il collasso torna ad esseredeterminato dalla ‡essione e non dal taglio. Questo è dovuto all’insorgere del meccanismoad arco; nella zona di transizione, per 1:5 < a=d < 3, dopo il cedimento del “meccanismoa trave” si innesca il “meccanismo ad arco” che permette di portare un’ulteriore quota dicarico. Quando l’angolo formato dalla biella con l’asse della trave è piccolo, il contributo èmodesto; man mano che il carico si avvicina all’appoggio quest’angolo aumenta ed il mec-canismo ad arco diviene più e¢cace, …no a permettere il raggiungimento della resistenza‡essionale dell’elemento.

5.4 Travi con armatura a taglio

La resistenza al taglio delle travi prive di armatura d’anima è generalmente modesta e,come si è visto, in molti casi è tale da ridurne la capacità portante rispetto a quellaprevista dalla teoria ‡essionale. La necessità di garantire che le travi raggiungano la loropiena capacità portante richiede che la resistenza al taglio deve essere aumentata …no araggiungere, e possibilmente superare, quella ‡essionale; ciò anche in considerazione dellanatura fragile, e quindi particolarmente pericolosa, del collasso per taglio.

Per aumentare la resistenza a taglio, nelle travi in cemento armato si dispone un’armaturad’anima, cioè un’armatura disposta trasversalmente all’asse della trave e che congiunge laparte compressa (il corrente in calcestruzzo) a quella tesa (l’armatura longitudinale). Learmature utilizzate a questo scopo sono di due tipi: le sta¤e e le barre piegate.Le sta¤e sono armature chiuse, e generalmente seguono il perimetro della sezione circon-dando le armature longitudinali (…g. 5.6a e b); di solito sono disposte ortogonalmenteall’asse della trave ma, in linea di principio, potrebbero anche essere inclinate di un’angolominore. Le barre piegate invece sono normalmente realizzate mediante le stesse armaturelongitudinali che vengono piegate in modo da attraversare l’anima …no a raggiungere illembo opposto, dove proseguono per un certo tratto (…g. 5.6c). L’angolo ¯ formato dallebarre con l’asse della trave è normalmente compreso tra i 45± ed i 60±; il valore usatopiù di frequente è ¯ = 45±. Per diversi motivi che saranno chiariti nel seguito le sta¤erisultano più e¢caci delle barre piegate nel prevenire i meccanismi di rottura per taglio:pertanto il loro uso è generalmente consigliato; in ogni caso è necessario che almeno unaparte dell’armatura d’anima sia realizzata mediante sta¤e.

5.4.1 Determinazione delle sollecitazioni nell’armatura di taglio

La presenza delle armature d’anima non altera sensibilmente i meccanismi di formazionedelle fessure: pertanto lo schema della trave fessurata per e¤etto della ‡essione e deltaglio resta lo stesso descritto nella sezione precedente. Dopo la fessurazione agisconoancora gli stessi meccanismi analizzati per le travi non armate: ingranamento degli inerti,

5.4 Travi con armatura a taglio 131

Figura~5.6: Schemi dell’armatura d’anima di travi in c. a.

e¤etto spinotto, resistenza ‡essionale delle mensole, nelle zone dove prevale il meccanismodi trave, l’e¤etto arco in prossimità degli appoggi. Anzi l’e¢cacia di questi meccanismiaumenta, specialmente se l’armatura è realizzata con sta¤e, per i seguenti motivi:

1. L’e¤etto spinotto migliora perché le sta¤e, se abbastanza vicine tra loro, possonoimpedire, o almeno ritardare, la deformazione delle armature longitudinali ed ilconseguente distacco del copriferro.

2. L’ingranamento degli inerti migliora perché le armature d’anima, in particolare pri-ma che siano plasticizzate, ostacolano l’aprirsi delle fessure consentendo un ingrana-mento e¢cace.

3. La resistenza ‡essionale delle mensole di calcestruzzo aumenta perché l’armaturaprovoca la compressione di queste bielle, con conseguente riduzione delle tensioni ditrazione. Inoltre limitando l’estendersi delle fessure impediscono l’eccessiva riduzionedelle sezioni di incastro delle mensole al corrente compresso.

4. Il pericolo della perdita di aderenza dovuto alle fessure che si propagano longitudi-nalmente lungo il percorso dell’armatura tesa e che provoca il distacco del copriferro,viene sensibilmente ridotto.

Accanto a questi bene…ci sui meccanismi resistenti presenti anche in sua assenza, l’ar-matura d’anima contribuisce direttamente a sopportare una parte delle forze di taglio.Secondo un modello dovuto a Mörsch, molto schematico ma che coglie i caratteri es-senziali del fenomeno, la trave fessurata viene assimilata ad una trave reticolare in cui ilcalcestruzzo compresso e l’armatura tesa fungono da correnti, le bielle di calcestruzzo sonole aste di parete compresse, le armature d’anima le aste tese, come illustrato nella …g. 5.7.

Per analizzare il comportamento delle travi armate per il taglio si adottano alcune sche-matizzazioni. Le fessure vengono considerate rettilinee, inclinate di un’angolo ® rispetto


Figura~5.7: Rappresentazione schematica del meccanismo resistente al taglio delle traviin c. a. (traliccio di Mörsh)

all’asse della trave; indicando con ¯ l’inclinazione dell’armatura d’anima, l’equazione diequilibrio dei momenti di una mensola di calcestruzzo compresa tra due fessure successivedistanti s tra loro si scrive quindi (si veda la …g. 5.8):

¢Tz = (Vd + Va)s + Mc + Fs sin¯z cot® + Fs cos¯z (5.5)

in cui ¢T = T2¡T1 è la variazione della forza di trazione nell’acciaio dovuta alla variazionedel momento ‡ettente, z è il braccio delle forze interne, Vd è il taglio portato dall’armaturalongitudinale per e¤etto spinotto, Va è la componente tangenziale della forza trasmessaper ingranamento degli inerti, Mc è il momento sopportato dalla sezione di incastro dellamensola di calcestruzzo, Fs è la forza agente nell’armatura d’anima, ® e ¯ sono gli angoliformati dalle bielle compresse di calcestruzzo e da quelle tese (armatura) con l’asse dellatrave.

Ponendo ¢T ' (dT=dx)s ed assumendo z ' cost, si ha:

¢T ' d(M=z)dx

s ' Vz

s

dove si è tenuto conto che V = dM=dx. Sostituendo l’espressione precedente nell’eq. (5.5)e risolvendo l’equazione così ottenuta rispetto ad Fs si ottiene:

Fss

=V ¡ Vc

z sin¯(cot® + cot¯)=

Vsz sin¯(cot® + cot¯)

(5.6)

in cui Vc = Vd + Va + Mc=s raccoglie il contributo di tutti i termini che prescindono dallapresenza dell’armatura. Se Vc > V l’eq. (5.6) perde senso: in questo caso la trave è ingrado di sopportare l’azione del taglio senza bisogno dell’armatura d’anima. Nel casocontrario Vs = V ¡Vc indica il quantitativo eccedente, che non potrebbe essere equilibratoin assenza dell’armatura.

5.4 Travi con armatura a taglio 133

Figura~5.8: Schema del meccanismo resistente al taglio nelle travi con armatura d’animaed equilibrio delle forze

Per l’equilibrio, alla forza di trazione nell’armatura Fs deve corrispondere una compres-sione C nella biella compressa. Imponendo l’equilibrio nella direzione ortogonale all’assesi ottiene:

Fs sin¯ = C sin®

da cui, tenendo conto dell’eq. (5.6), si ha:

C = Fssin¯sin®

=Vss

z sin®(cot® + cot¯)(5.7)

Se la forza C viene considerata centrata lungo l’asse della biella di calcestruzzo, essaprovoca una compressione uniforme il cui valore si calcola dividendo C per l’area dellasezione normale della biella: bs sin®, b essendo la larghezza dell’anima della trave:

¾c =C

bs sin®=

Vsbz sin2 ®(cot® + cot¯)

=¿s

sin2 ®(cot® + cot¯)(5.8)

in cui con ¿s = Vs=bz si è indicato il massimo della tensione tangenziale che corrispondealla forza di taglio Vs, calcolata secondo la teoria di Jourawski, con riferimento alla sezioneparzializzata.

Le equazioni (5.7) e (5.8) forniscono i valori delle sollecitazioni nelle armature d’animae nelle bielle di calcestruzzo di una trave fessurata in accordo con lo schema di funziona-mento del traliccio di Mörsch. Esse sono state derivate sulla base di sole considerazionidi equilibrio, senza porre alcuna attenzione alla congruenza: pertanto i risultati che nederivano saranno attendibili solo in prossimità della condizione di collasso, quando la pla-sticizzazione dei materiali rende secondaria (in certa misura) la congruenza, mentre latrave è costretta a ricorrere a tutte le sue risorse per equilibrare le forze esterne. Per tale


motivo l’analisi del comportamento a taglio, contrariamente a quanto fatto in precedenzaper la ‡essione e lo sforzo normale, non è stata condotta separatamente per il caso elastico,da utilizzare nel metodo delle tensioni ammissibili, e quello nello stato limite ultimo. Perle veri…che con il metodo delle tensioni ammissibili si utilizzano le stesse relazioni derivatein precedenza, semplicemente scalando i valori sia delle forze sia delle resistenze in modoopportuno, per rendere confrontabili le azioni di esercizio con delle tensioni ammissibili.

In ogni caso perché le equazioni (5.6) e (5.8) siano utilizzabili occorre determinare iltermine Vc, ossia la quota parte del taglio portata dalla trave prescindendo dal contributodell’armatura. La valutazione teorica di questa quantità è un’impresa ardua, perché essadipende da fenomeni complessi, di¢cili da inquadrare in una teoria schematica, fondamen-talmente basata sul modello della trave di Navier–De Saint Venant. La via più diretta èquella che passa per la sperimentazione in laboratorio, dai cui risultati si possono desume-re delle formule empiriche che forniscono delle valutazioni forfettarie e cautelative di Vc.La maggior parte delle normative adottano qualcuna di queste relazioni, opportunamentetarate con prudenziali coe¢cienti di sicurezza. Determinato Vc la sollecitazione nell’arma-tura e nei denti di calcestruzzo si calcola poi facilmente mediante le precedenti equazioni,basate sullo schema di Mörsch.

Le eq. (5.6) e (5.8) sono state ricavate lasciando indeterminati i valori dell’angolo ®formato dalle fessure idealizzate con l’asse della trave e dell’angolo ¯ di inclinazione dellearmature. Mentre quest’ultimo è un parametro di progetto il primo dipende dalla …sica delfenomeno della fessurazione. In assenza di rilevanti compressioni assiali si è soliti assumereper ® il valore baricentrico dell’inclinazione delle isostatiche di compressione, per cui sipone ® = ¼=4. Con questa posizione le precedenti equazioni si sempli…cano, per cui si ha:

Fss

=Vs

z(sin¯ + cos¯)¾c =

2¿s1 + cot¯

(5.9)

Quando l’armatura d’anima è realizzata mediante sta¤e poste ortogonalmente all’asse(¯ = ¼=2), l’eq. 5.9 diviene:

Fss

=Vsz

¾c = 2¿s (5.10)

mentre per le barre piegate, per le quali il valore usuale dell’angolo di inclinazione è ¼=4,corrisponde:

Fss

=Vs

zp

2¾c = ¿s (5.11)

Dal confronto delle eq. (5.10) e (5.11) appare che le armature inclinate a 45± funzionanomeglio di quelle verticali in quanto, a parità di taglio, risultano meno sollecitate (per unfattore 1=

p2) e producono nel calcestruzzo una compressione inferiore (la metà). Questo è

vero quando il confronto viene fatto tra sta¤e verticali ed inclinate, meno quando le sta¤evengono confrontate con le barre piegate, perché quest’ultime sono in realtà meno e¢cacinel migliorare il comportamento globale della trave. Per quanto riguarda poi l’aspettoeconomico, espresso dal quantitativo di armatura necessario per sopportare una assegnatasollecitazione, il vantaggio o¤erto dalle armature inclinate è solo apparente, poiché se lasezione richiesta è inferiore, la loro lunghezza aumenta e quindi il volume complessivo èpraticamente lo stesso.

5.5 Interazione tra ‡essione e taglio 135

5.5 Interazione tra ‡essione e taglio

Se le travi sono adeguatamente armate nei confronti della sollecitazione di taglio la re-sistenza ‡essionale non è sensibilmente in‡uenzata dalla presenza della sollecitazione ta-gliante: questo consente di progettare le travi analizzando separatamente la sollecitazione‡essionale ed il taglio.

In realtà, come è stato spiegato descrivendo il funzionamento delle travi sotto l’azionedi ‡essione e taglio, vi è una forte interazione tra le due azioni: la presenza del taglioprovoca che lo sviluppo delle fessure avviene secondo linee inclinate; pertanto il concettodi sezione retta, fondamentale nella teoria della trave elastica ed utilizzato anche perl’analisi delle travi in‡esse di cemento armato, perde notevolmente di signi…cato.

L’inclinazione delle fessure comporta che la forza di sollecitazione T dell’armatura tesanon coincide esattamente con quella prevista dalla teoria della ‡essione. La ragione sicomprende osservando la …g. 5.8: in assenza di armatura d’anima (Fs = 0), imponen-do l’equilibrio del blocco di trave delimitato da una fessura e prendendo come polo deimomenti il punto di applicazione della risultante delle compressioni, si ha:

M 02 = T2z

dove M 02 indica il momento risultante agente nella sezione (2’), corrispondente all’ascissa

della zona compressa del blocco di calcestruzzo, mentre nella sezione (2), corrispondentealla posizione dell’armatura esaminata, agisce il momento

M2 ' M 02 ¡ V2z cot®

Secondo la teoria della ‡essione, nella sezione (2) l’armatura dovrebbe essere sollecitatadalla forza:

T2f =M2

z=

M 02

z¡ V cot®

da cui segue che la sollecitazione e¤ettiva dell’armatura di¤erisce da quella prevista dallateoria ‡essionale secondo la relazione:

T2 = T2f + V2 cot® (5.12)

Pertanto la sollecitazione di taglio produce, nella trave fessurata, un incremento dellasollecitazione dell’armatura pari a V cot®.1 Di questo si può tener conto semplicementefacendo scorrere il diagramma dei momenti con cui si progettano le armature della quantitàz cot® ' 0:9d cot®, dalla parte dei momenti decrescenti, in modo tale che in ogni sezioneil momento considerato sia maggiore di quello corrispondente all’equilibrio della parte ditrave individuata da una sezione retta.

Se la trave è dotata di armatura di taglio l’equazione di equilibrio del tronco di traveseparato da una fessura diagonale diviene:

M 02 = T2z + Fs sin¯

s2

(5.13)

dove Fs indica la risultante delle forze sopportate dalle armature di taglio, considerateuniformemente distribuite, nel tratto di lunghezza s. La lunghezza s da prendere in conto

1Si deve osservare tuttavia che la sollecitazione massima non aumenta, in quanto nella sezione dimomento massimo si ha V = 0.


è la distanza, misurata parallelamente all’asse della trave, tra la prima e l’ultima dellebarre che attraversano la fessura; con le solite ipotesi sempli…catrici si ha:

s = z(cot® + cot¯)

Quindi dall’eq. (5.6) si ottiene:

Fs =Vs

sin¯

Sostituendo queste due espressioni nell’eq. (5.13) risulta:

M 02 = T2z + Vs2

z2(cot® + cot¯)

da cui, esprimendo il momento M 02 in funzione di quello M2 agente sulla sezione retta ove

è applicata la forza T2, si ha:

M2 = T2z + Vs2z2(cot® + cot¯) ¡ V2z cot®

che, risolta rispetto a T2 e tenendo conto che V = Vc + Vs, fornisce l’espressione:

T2 = T2f + Vc2 cot® +12Vs2(cot® ¡ cot¯) (5.14)

Ove si trascuri il contributo del taglio portato dal calcestruzzo (Vc = 0, Vs = V ),l’eq. (5.14) viene soddisfatta calcolando l’armatura con il momento ottenuto traslando ildigramma della quantità:

a1 =z2(cot® ¡ cot¯) (5.15)

5.6 Progetto secondo le normative

5.6.1 Metodo delle tensioni ammissibili

Come è stato più volte sottolineato, si ricorda che la veri…ca con il metodo delle tensioniammissibili non deriva da un’analisi del comportamento in fase elastica, ma dalle stesse re-lazioni viste in precedenza a proposito del comportamento in fase ultima, opportunamenteadattate.

Per la vigente normativa italiana, quando le veri…che vengono condotte con riferimentoal metodo delle tensioni ammissibili, lo stato di sollecitazione del calcestruzzo è misuratodalla tensione tangenziale massima ¿ cm calcolata in accordo alla teoria della sezione elasticafessurata, mediante l’eq. (5.3).

Se risulta ¿ cm · ¹¿ c0 [dove ¹¿ c0 è un valore ammissibile che dipende dalla resistenza ca-ratteristica del calcestruzzo mediante l’eq. (2.26)], non è richiesta la veri…ca dell’armaturadi taglio: questo signi…ca che l’elemento deve considerarsi non armato a taglio anche se, perle prescrizioni di cui si dirà nel seguito, è comunque necessario prevedere un quantitativominimo di armatura.

Se invece risulta ¹¿ c0 < ¿ cm · ¹¿ c1 [eq. (2.27] la trave deve essere provvista di op-portuna armatura: secondo la normativa italiana in questo caso tutta la sollecitazione ditaglio deve essere sopportata dall’armatura. Il dimensionamento è basato sull’eq. (5.6)assumendo l’inclinazione delle bielle ® = 45± [eq. (5.9)] e con la condizione che la tensionenell’armatura non superi quella ammissibile dell’acciaio.

5.6 Progetto secondo le normative 137

Se con s si indica l’interasse tra le armature (sta¤e o piegati) Fs è la forza sopportatada ciascuna, per cui l’area necessaria risulta:

Asw =Fs¹¾s

=V s

z(sin¯ + cos¯)¹¾s(5.16)

In particolare per ¯ = ¼=2 (sta¤e) e ¯ = ¼=4 (barre piegate) si ha:

Asw =V sz¹¾s

(sta¤e) Asw =V sp2z¹¾a

(piegati) (5.17)

dove, poiché si è ipotizzato che Vc = 0, Vs = V è l’intera sollecitazione di taglio.L’area Asw è quella delle armature che, in una sezione, attraversano il piano medio della

trave. Per le sta¤e essa è pari all’area della barra con cui la sta¤a è realizzata moltiplicataper il numero dei suoi bracci (¸ 2).

La normativa italiana prescrive che almeno il 40% della forza totale di scorrimento siaassorbita da sta¤e; questa forza è la risultante delle tensioni tangenziali ¿ cm agenti sulpiano neutro della trave:

S =Z

¿ cmb dx =Z

Vz

dx

dove l’integrale deve essere calcolato su tratti in cui V ha segno costante. Se si assumez ' cost dall’equazione precedente risulta:

S =1z

ZV dx =

M2 ¡ M1

z

dove M1 ed M2 sono i momenti che agiscono sulle sezioni di estremità del concio di traveper cui si è calcolato S.

5.6.2 Calcolo allo stato limite ultimo

Elementi sprovvisti di armatura d’anima

Per gli elementi privi di armatura di taglio (o armati solo con il minimo regolamentare) laveri…ca richiede che la sollecitazione di taglio di calcolo Vd non superi il taglio resistente Vcuportato dal calcestruzzo mediante i meccanismi descritti nei paragra… precedenti. Secondole norme italiane questo è dato dalla relazione:

Vcu = 0:25fctdr(1 + 50½l)bd± (5.18)

in cui i simboli hanno il seguente signi…cato:

fctd resistenza a trazione di calcolo del calcestruzzo = fctk=°c; fctk è dato dall’eq. (2.31).

r = maxf(1:6 ¡ d); 1g, con d, altezza utile della sezione, espressa in metri.

½l = minfAs=bd; 0:02g, percentuale geometrica dell’armatura longitudinale tesa.

b larghezza della membratura resistente al taglio.

± fattore che tiene conto degli e¤etti delle forze normali. Nel caso di ‡essione semplice(N = 0) si assume ± = 1. Nel caso sia presente una signi…cativa forza di trazione± = 0 (quindi in questo caso il taglio portato dal calcestruzzo è nullo e la trave deve


essere necessariamente armata). Quando è presente una forza di compressione sipone:

± = 1 + M0=Md

in cui M0 è il momento di decompressione, ossia il valore per cui, nella …bra menocompressa, si raggiunge una tensione nulla.

As area dell’armatura longitudinale tesa. Per quanto visto in precedenza l’area da con-siderare è quella intersecata da una fessura inclinata a 45o, cioè posta alla distanza0:9d dalla sezione dove agisce il taglio Vd. Per essere presa in conto l’armatura deveessere e¢cacemente ancorata oltre il punto di intersezione con la fessura.

La bozza delle norme europee (EC2) propone per il calcolo di Vcu un’espressione pocodiversa:

Vcu = [0:25fctdr(1:2 + 40½l) + 0:15¾cm]bd (5.19)

dove si deve assumere r = 1 per gli elementi in cui più del 50% dell’armatura è interrotta(cioè non è prolungata …no agli appoggi e quindi ancorata), altrimenti si assume r =maxf(1:6 ¡ d); 1g, come nelle norme italiane; ¾cm = Nd=Ac è la tensione media nellasezione di calcestruzzo, positiva se di compressione. Gli altri simboli hanno il signi…catoillustrato prima.

Per tener conto dei bene…ci dell’e¤etto arco, le norme europee consentono, per il taglioprodotto da carichi applicati ad una distanza dagli appoggi minore di 2:5d, di ampli…care laresistenza a trazione del calcestruzzo fctd del fattore ¯ = 2:5d=x · 5, dove x è la distanzadel carico dall’appoggio. Per poter utilizzare questo incremento di resistenza occorreveri…care che la modalità di applicazione del carico ed il funzionamento dell’appoggiosiano tali da consentire lo sviluppo di una biella di calcestruzzo tra carico ed appoggio.Inoltre, in presenza di carichi distribuiti, il taglio massimo da considerare nelle veri…cheè quello agente alla distanza d dall’appoggio. Analogamente le norme italiane prevedonoche il taglio prodotto dai carichi distanti x < 2d dagli appoggi sia ridotto del fattore x=2d.

Elementi provvisti di armatura d’anima

Norme italiane Per la veri…ca del calcestruzzo compresso si richiede che la tensionemedia nelle bielle non superi il valore ²fcd, dove ² è un fattore di riduzione della resistenzache tiene conto della schematicità del modello. Nelle norme italiane ¾c si calcola a partiredall’intera forza di taglio V e non dalla sola quota portata dall’armatura. Dall’eq. (5.9),ponendo Vs = V e ricordando l’espressione di ¿ cm, la condizione ¾c · ²fcd implica:

Vd · 12²fcd(1 + cot¯)bz

Ponendo z = 0:9d ed ² = 2=3 si ottiene:

Vd · 0:3fcd(1 + cot¯)bd (5.20)

L’aumento di resistenza conseguente all’inclinazione dell’armatura (45± · ¯ · 90±) èconsentito solo nel caso che si impieghino sta¤e inclinate. Per le barre piegate non se nedeve tener conto; pertanto, come nel caso di sta¤e rette, si deve assumere:

Vd · 0:3fcdbd


L’armatura deve essere progettata in modo da sopportare le forze di taglio eccedentiquelle equilibrate dal calcestruzzo; pertanto:

Vd · Vcu + Vsu (5.21)

in cui Vcu e Vsu sono i tagli portati rispettivamente dal calcestruzzo e dall’armatura. Perla normativa italiana, in presenza di armatura d’anima, Vcu si calcola con una relazionediversa dall’eq. (5.18), valida per le travi non armate a taglio:

Vcu = 0:60fctdbd± (5.22)

in cui i simboli hanno lo stesso signi…cato di quelli usati nell’eq. (5.18).L’incremento del taglio resistente dovuto alle armature viene quindi calcolato con

l’eq. (5.6) [o meglio, poiché si assume ® = 45±, con la prima delle eq. (5.9)]. Indicandocon s l’interasse tra le armature e ponendo Fs = Fsu = Aswfyd, si ottiene:

Vsu = Aswfyd0:9ds

(sin¯ + cos¯) (5.23)

avendo sostituito a z il valore approssimato 0:9d.Nei casi particolari di sta¤e rette (¯ = 90±) e di barre piegate (¯ = 45±), si ha

rispettivamente:

Vsu = Aswfyd0:9ds

(sta¤e) Vsu =p

2Aswfyd0:9ds

(piegati)

Le stesse norme suggeriscono, nel caso di barre piegate, di limitare la tensione di calcoloal valore 0:8fyd.

Norme europee (EC2) Le bielle di calcestruzzo sono veri…cate a compressione se latensione media, calcolata con l’eq. (5.9) ponendo ® = 45±, non supera la resistenza dicalcolo ridotta ²fcd. Da questa condizione, ponendo Vs = V , si trae:

Vd · 12²fcd(1 + cot¯)zb (5.24)

dove z può essere approssimato con 0:9d ed ² è un coe¢ciente di riduzione della resistenzadato dalla relazione:

² = maxf(0:7 ¡ fck=200); 0:5g (fck in N=mm2)

In presenza di sforzo normale la resistenza delle bielle compresse deve essere ridottadel fattore:

minf1:67(1 ¡ ¾cp=fcd); 1gin cui ¾cp = (Nd ¡ fydA0

s)=Ac; A0s essendo l’area dell’armatura compressa ed Ac quella

dell’intera sezione di calcestruzzo.La condizione che limita la sollecitazione delle bielle compresse [eq. (5.24)] deve essere

sempre veri…cata, anche in assenza di armatura a taglio; tuttavia in quest’ultimo caso lacondizione Vd · Vcu è normalmente la più vincolante.

La resistenza a taglio è data come somma dei contributi del solo calcestruzzo e dell’ar-matura [eq. (5.21)]. Per l’EC2 il termine Vcu è dato dalla stessa espressione (5.19) valida inassenza di armatura d’anima; il secondo si calcola con la stessa equazione (5.23) utilizzatadalla normativa italiana.


5.6.3 Armatura longitudinale

Per i motivi illustrati nella sezione 5.5 l’armatura longitudinale deve essere calcolata sullabase di una sollecitazione ‡essionale incrementata per tener conto degli e¤etti dell’inclina-zione delle fessure.

Questo si ottiene progettando l’armatura longitudinale per il momento:

M 0d = Md + Vda1

ovvero, ciò che è in pratica equivalente, traslando il diagramma dei momenti della quantitàa1.

Per le norme italiane si deve assumere:

a1 = maxfz(1 ¡ cot¯); 0:2dg (5.25)

mentre secondo l’EC2, in accordo con l’eq. (5.15), si ha:

a1 = maxfz(1 ¡ cot¯)=2; 0g (5.26)

Quest’ultima espressione appare poco cautelativa in quanto dedotta dalla condizione Vs =V . In particolare in assenza di armatura si dovrebbe assumere a1 = z, come si ottienedalle norme italiane, mentre dall’eq. (5.26) si ricava a1 = z=2.

5.6.4 Quantitativi minimi di armatura

Per le norme italiane se risulta ¿ cm < ¹¿ c0, ovvero Vd < Vcu, nelle travi si deve porre unaquantità minima di armatura che deve rispettare le seguenti limitazioni:

Asws

¸ 0:1b¤ (cm2=m) (5.27)

dove b¤ (in cm) indica la larghezza della sezione a cui corrisponderebbe la tensione tan-genziale massima di ¹¿ c0:

b¤ =Ve

0:9d¿ c0dove Ve indica la sollecitazione di taglio in condizioni di esercizio.

Inoltre deve essere rispettata la condizione:

s · minf0:8d; 0:33 mg (5.28)

Nel caso di calcolo alle tensioni ammissibili, quando la tensione tangenziale supera ilvalore ¹¿ c0, l’intera forza di taglio deve essere portata dall’armatura ed almeno il 40% dellaforza di scorrimento deve essere a¢dato alle sta¤e. Nel caso di calcolo agli stati limite seVd > Vcu almeno il 50% della forza di taglio deve essere equilibrata dalle armature.

Per la bozza delle norme EC2 il minimo quantitativo dell’armatura d’anima richiestonelle travi è dato dalla percentuale:

½w =Asw

sb sin¯

I valori minimi richiesti di ½w sono riportati dalle norme stesse in una tabella in funzio-ne delle classi del calcestruzzo e dell’acciaio. Ad esempio, per l’acciaio tipo S400 ed ilcalcestruzzo tipo C25/30, si ha ½min = 0:0013.

Almeno il 50% dell’armatura a taglio necessaria deve essere realizzata mediante sta¤e.


Esempio 5.1 Veri…care nei confronti della sollecitazione di taglio e, se necessario, progettarnel’armatura la sezione rettangolare con base b = 30 cm, altezza h = 60 cm, armatura longitudinaleAsl = 5Á20 = 15:7 cm2, soggetta alla forza di taglio Ve = 75 kN. Si assume che i materiali abbianole seguenti caratteristiche:Calcestruzzo Rck = 30 N/mm2

Acciaio Fe B 44 kMetodo delle tensioni ammissibili. Per il calcestruzzo le tensioni tangenziali ammissibili sicalcolano mediante le eq. (2.26) e (2.27):

¹¿ c0 = 0:4 +Rck ¡ 15

75= 0:4 +

30 ¡ 1575

= 0:6 N=mm2

¹¿ c1 = 1:4 +Rck ¡ 15

35= 0:4 +

30 ¡ 1535

= 1:83 N=mm2

mentre per l’acciaio si ha ¹¾s = 255 N=mm2.La tensione tangenziale massima nel calcestruzzo risulta [eq. (5.3)]:

¿cm =75000

0:9 £ 570 £ 300= 0:49N=mm2 < ¹¿ c0

Pertanto non è necessario prevedere un’armatura d’anima, eccetto quella minima richiesta dallanormativa. Per il calcolo di quest’ultima si ha:

b¤ =Ve

0:9d¹¿ c0=

750000:9 £ 570 £ 0:6

= 244 mm = 24:4 cm

e dunque, applicando l’eq. (5.27):

Asw

s= 0:1b¤ = 2:44 cm2=m

Calcolo allo stato limite ultimo. La sollecitazione di progetto si ottiene moltiplicando quella diesercizio per il coe¢ciente di sicurezza dei carichi (° = 1:5); quindi Vd = 1:5 £ 75 = 112:5 kN. Leresistenze di calcolo a compressione e trazione del calcestruzzo sono date dalle eq. (2.29)—(2.31),in base alle quali risulta:

fcd = 15:56 N=mm2 fctd = 1:14 N=mm2

mentre la resistenza di calcolo dell’acciaio è: fyd = 374 N=mm2.In assenza di armatura deve essere veri…cata l’eq. (5.18). Ritenendo che l’armatura longitudi-nale indicata nei dati dell’esempio sia prolungata per la lunghezza 0:9d dalla parte dei momentidecrescenti, si ha:

r = (1:6 ¡ 0:57) = 1:03½l = 15:7=30 £ 57 = 0:0092 < 0:02± = 1 (N = 0)

e quindi:Vcu = 0:25 £ 1:14 £ 1:03(1 + 50 £ 0:0092)300 £ 570 = 73240 N < Vd

Pertanto la trave deve essere armata per il taglio.Resistenza delle bielle compresse [eq. (5.20)]:

0:3fcdbd = 0:3 £ 15:56 £ 570 £ 300 = 798228 N

À Vd. Pertanto la veri…ca del calcestruzzo compresso è largamente soddisfatta.


Il taglio portato dal calcestruzzo si calcola con l’eq. (5.22):

Vcu = 0:60fctdbd± = 0:60 £ 1:14 £ 300 £ 570 £ 1 = 116974 N

Poiché risulta Vcu > Vd si deve assumere Vsu = min = Vd=2 = 56:3kN. Quindi per l’eq. (5.23) con¯ = 90± (sta¤e) si ha:

Asw

s=

Vsu

0:9dfyd=

563000:9 £ 570 £ 374

= 0:293 mm2=mm = 2:93 cm2=m

2

Esempio 5.2 Per la stessa sezione dell’esempio precedente si veri…chi il caso in cui Ve = 200 kN.Tensioni ammissibili. La tensione massima nel calcestruzzo è:

¿ cm =200000

0:9 £ 570 £ 300= 1:3 N=mm2

e quindi risulta ¹¿ c0 < ¿ cm < ¹¿ c1: quindi la trave deve essere armata per il taglio. Per la primadelle eq. (5.17) si ha:

Asw

s=

2000000:9 £ 570 £ 255

= 1:53 mm2=mm = 15:3 cm2=m

Veri…ca allo stato limite ultimo. La sollecitazione di progetto è Vd = 1:5 £ 200 = 300 kN. Laveri…ca a compressione delle bielle è soddisfatta poiché Vd < 798 kN. Per il calcolo dell’armaturasi ha:

Vsu = Vd ¡ Vcu = 300 ¡ 117 = 183 kN > Vd=2

quindi:Asw

s=

Vsu

0:9dfyd=

1830000:9 £ 570374

= 0:95 mm2=mm = 9:5 cm2=m

2

Capitolo 6

Elementi sollecitati da tensionitangenziali: la torsione

6.1 Introduzione

Le tensioni tangenziali nelle sezioni rette delle travi, oltre che dalla sollecitazione di taglio,analizzata nel capitolo precedente, sono provocate dalla sollecitazione di torsione.

L’azione tercente è presente in molte situazioni: infatti è raro che i carichi siano ap-plicati in modo tale che la loro risultante passi per la linea dei centri di taglio della traveche, di conseguenza, risulta anche sollecitata dall’azione di un momento torcente di entitàpiù o meno grande. Tuttavia nella pratica della progettazione spesso questa sollecitazioneviene ignorata: infatti quando, come è frequente, le strutture vengono schematizzate comepiane non vi è spazio per mettere in conto l’azione torcente ed anche se si utilizzano piùra¢nati modelli tridimensionali di solito vengono considerati solo carichi che produconosollecitazioni di taglio e ‡essione.

L’esperienza ha dimostrato che la sempli…cazione del trascurare le sollecitazioni torsio-nali di solito non produce e¤etti indesiderati. Per chiarire questa apparente contraddizioneè utile introdurre la distinsione tra una torsione “primaria” ed una “secondaria”. La pri-ma è quella prodotta da carichi che, per essere equilibrati, richiedono la presenza di unareazione torsionale nella trave, cioè per i quali la possibilità di soddisfare l’equilibrio è con-dizionata dalla capacità della trave di resistere all’azione torcente. Un esempio di “torsioneprimaria” è quella che nasce nelle travi a ginocchio, usate nella realizzazione delle scale,che sostengono i gradini come mensole sporgenti trasversalmente dalla trave. L’equilibriodei gradini è possibile solo se la trave è in grado di resistere al momento torcente cheequilibria i momenti di incastro delle mensole. La torsione “secondaria” è invece quellache si sviluppa per e¤etto dei vincoli di continuità di un sistema iperstatico; annullan-do la rigidezza torsionale delle travi i momenti torcenti scompaiono ma l’equilibrio dellastruttura è ancora possibile.

Quest’ultimo tipo di azione è quella che si incontra più di frequente e di fatto è presentein quasi tutte le travi delle strutture in cemento armato, in quanto normalmente questenon sono costituite da elementi isolati ma, al contrario, formano sistemi spaziali continuiin cui si sviluppano, tra le altre, anche delle azioni torcenti. Ad esempio le sezioni delletravi che sostengono i solai con cui sono solidali devono subire rotazioni torcenti ugua-li alle rotazioni ‡essionali delle estremità dei travetti: a queste rotazioni corrispondonoproporzionali sollecitazioni.

143

144 Capitolo 6 Elementi sollecitati da tensioni tangenziali: la torsione

Ovviamente solo la torsione secondaria può essere trascurata senza che questo costi-tuisca un pericolo per la struttura. La fessurazione del calcestruzzo, dovuta alle azionitorcenti, riduce considerevolmente la rigidezza torsionale delle travi, che di conseguenzaassorbono delle sollecitazioni sensibilmente inferiori a quelle previste da un modello difunzionamento dei materiali perfettamente elastico. In sostanza le strutture si “adattano”rilasciando, almeno parzialmente, quei vincoli che non sono in grado di realizzare in modoe¢cace.

La liceità del trascurare le torsioni secondarie è in realtà limitata alle veri…che neiconfronti degli stati limite ultimi, in quanto in questa fase quello che conta è che la strutturasia in grado di garantire l’equilibrio di ogni sua parte, senza riguardo per eventuali danni.Per le condizioni di esercizio occorre tener presente che le rotazioni torsionali possonoprodurre stati di fessurazione incompatibili con il buon funzionamento; in questi casi sidovrà prevedere un’armatura adeguata atta ad impedire l’eccessiva fessurazione. Un ruoloimportante è giocato dalle dimensioni (e¤etto scala): trascurare le sollecitazioni torsionalisecondarie è di solito lecito per le travi che sostengono solai di luce relativamente piccola(< 6 m); per le travi che sostengono solai di luce maggiore è opportuno prendere inesame il pericolo dei danni che possono insorgere per e¤etto delle sollecitazioni torsionaliiperstatiche.

Raramente la sollecitazione torcente è presente da sola: normalmente essa è prodottada azioni che provocano anche altre sollecitazioni, in particolare la ‡essione ed il taglioe, in certi casi, lo sforzo normale. La veri…ca razionale di un elemento richiede quindiche si sappia tenere conto della interazione mutua di queste diverse sollecitazioni. Per glielementi realizzati con materiali a comportamento elastico lineare la possibilità di sommaregli e¤etti rende la cosa semplice, ma per il cemento armato le nonlinearità e soprattuttol’apertura delle fessure fa si che vi sia una profonda interazione e quindi, almeno in teoria,non è lecito esaminare le singole azioni separatamente. Di fatto il problema è veramentecomplesso e governato da molti parametri per cui anche per via sperimentale non non sonostati ancora ottenuti modelli a¢dabili, in grado di tener conto dell’interazione reciprocadella torsione con la ‡essione ed il taglio. In pratica gli e¤etti delle diverse sollecitazionivengono valutati separatamente, sommando i quantitativi di armatura richiesti da ciascunaazione e le rispettive sollecitazioni, ovviamente se dello stesso tipo.

6.2 Comportamento in fase elastica

Prima della fessurazione anche le travi in cemento armato si possono trattare, senza ec-cessivo errore, mediante il modello elastico di De Saint Venant, per il quale sono note lesoluzioni di tutti i casi di interesse pratico. Per le sezioni rettangolari con lati di dimen-sioni b ed h, con b · h, la massima tensione tangenziale prodotta dal momento torcenteMt è data dalla relazione:

¿max = ÃMtb2h

(6.1)

in cui Ã è una funzione del rapporto h=b, variabile tra 4:79 per h=b = 1 e 3 (h=b = 1).La rigidezza torsionale della sezione è de…nita dalla relazione: dµ=dx = Mt=kt, in cui

µ(x) indica la rotazione della sezione di ascissa x. Per le sezioni rettangolari si ha:

kt = ¯Gb3h (6.2)

6.2 Comportamento in fase elastica 145

Figura~6.1: Decomposizione in rettangoli di …gure complesse

dove G = E=2(1 ¡ º) è il modulo di taglio del materiale e ¯ è un’altra funzione di h=b,variabile tra 0:41 per le sezioni quadrate ed 1=3 per quelle rettangolari molto allungate.

Le sezioni monoconnesse che possono essere decomposte in parti rettangolari, comead esempio le sezioni a T, ad L, ad I, ecc: : : (…g. 6.1), possono in via approssimatatrattarsi assumendo che ogni rettangolo assorba una parte del momento torcente totaleproporzionale alla sua rigidezza. Quindi se una sezione viene scomposta in n rettangoli, ilmomento che sollecita l’j-esima parte è:

Mtj = MtktjPni=1 kti

e la tensione tangenziale massima nell’elemento si ottiene applicando l’eq. (6.1):

¿mx;j = ÃjMtjb2jhj

Il modo di decomporre una …gura solitamente non è univoco: il criterio da adottarenella scomposizione consiste nel rendere massima la rigidezza totale della sezione. Questoprocedimento a rigore è corretto solo per le sezioni sottili per cui si possa assumere h=b ¼1, condizione soddisfatta in pratica dalle sezioni in acciaio; tuttavia può essere utilizzatocon tollerabile approssimazione anche per le tozze sezioni in cemento armato.

Le relazioni precedenti non si applicano alle sezioni pluriconnesse, come le travi acassone dei ponti. Per le sezioni tubolari, in cui lo spessore è piccolo rispetto alle dimensioniglobali, si può assumere che la tensione tangenziale sia costante attraverso lo spessore; lacondizione di continuità del ‡usso delle tensioni porta quindi ad assumere:

¿h = cost

h essendo lo spessore del tubo. Per l’equilibrio della sezione si ha dunque (…g. 6.2):

Mt =I

¿hr ds = 2¿h (6.3)

in cui indica l’area racchiusa dalla linea mediana della parete del tubo e si è tenutoconto della condizione di continuità.

La rigidezza torsionale delle sezioni di questo tipo si valuta facilmente uguagliandol’energia di deformazione elastica con il lavoro delle sollecitazioni. Indicando con µ larotazione della sezione, il lavoro del momento torcente è 1

2Mtµ, mentre l’energia interna


Figura~6.2: Sezione tubolare sollecitata a torsione

è data dalla relazione: 12

RV ¿° dV . Uguagliando queste due espressioni e ponendo, per

l’elasticità del materiale, ° = ¿=G, tenendo conto che dall’eq. (6.3) si deduce:

¿ =Mt2h

si ottiene:12Mtµ =

12lI

¿h¿G

ds =12

lG

µMt2

¶2 Idsh

dove l indica la lunghezza del concio di trave considerato. Sempli…cando l’equazioneprecedente si ottiene:

µ =Mtl

4G2

Idsh

=Mtlkt

Dal confronto tra il secondo ed il terzo membro di questa uguaglianza si deduce:

kt =4G2H dsh

(6.4)

che nel caso in cui lo spessore sia costante diviene:

kt =4G2h

p(6.5)

dove p indica la lunghezza della linea mediana della parete del tubo.È importante osservare che i risultati della teoria sempli…cata dei tubi sottili, per

quanto riguarda lo stato tensionale, derivano dalle sole condizioni di equilibrio: pertantoil loro campo di validità si estende oltre il limite della teoria elastica lineare, includendoanche il campo del comportamento plastico dei materiali.

6.3 La torsione nelle travi fessurate 147

Figura~6.3: Linee isostatiche in una trave sollecitata a torsione

6.3 La torsione nelle travi fessurate

Finché il materiale ha un comportamento elastico, od almeno approssimativamente tale,la torsione produce, nelle sezioni rette delle travi, uno stato di tensione puramente tan-genziale, di intensità crescente dal baricentro verso il bordo, dove si raggiungono i valorimassimi. In presenza della sola torsione le tensioni principali risultano pertanto ovunqueinclinate di 45± rispetto al piano della sezione; queste tensioni, una di compressione el’altra di trazione, sono in modulo uguali alla tensione tangenziale ¿ . Su di un cilindro disezione circolare le isostatiche disegnano delle eliche inclinate a 45±; nelle travi di sezionerettangolare le isostatiche formano un reticolo di linee inclinate a 45±, come illustrato nella…g. 6.3.

Le prime fessure si sviluppano ortogonalmente alle trazioni principali e quindi seguonol’andamento delle isostatiche di compressione. Poiché le tensioni maggiori si hanno sullafrontiera, le fessure nascono in corrispondenza della super…cie e quindi si propagano, alcrescere della sollecitazione, verso l’interno.

Quando la fessurazione è ben sviluppata due fessure consecutive individuano una bielladi calcestruzzo compresso che interessa per un certo spessore la parte più periferica dellatrave. Se questa è dotata di un’armatura opportuna la trave può essere assimilata ad untraliccio spaziale, formato da bielle di calcestruzzo compresso ed armature tese: entrambeinteressano solo un modesto spessore della parte più esterna del cilindro. Questo grigliatoideale può essere assimilato ad un tubo con struttura a traliccio a cui si è soliti a¢darel’intera resistenza all’azione torcente. Il nucleo interno o¤re un contributo modesto chepuò essere trascurato.

Ai …ni delle veri…che di resistenza la trave viene dunque assimilata ad una di sezionetubolare, di spessore ¹h; come linea mediana del tubo si assume la congiungente dellearmature longitudinali poste nei vertici (…g. 6.4). Con questa schematizzazione, la


Figura~6.4: Schema del traliccio resistente di una trave in c.a. sollecitata a torsione.

tensione media nello spessore del “tubo” si ottiene dall’eq. (6.3):

¿ =Mt2h

(6.6)

dove è ancora l’area racchiusa dalla linea mediana dello spessore; per una sezione ret-tangolare = b0h0, dove b0 ed h0 indicano le distanze tra i centri delle barre di armaturaposte nei vertici della sezione.

La forza risultante delle tensioni agenti su di un tratto di lunghezza unitaria dellaparete del “tubo” è pertanto:

¿1 =Mt2

(6.7)

Indicando con ® l’inclinazione delle bielle di calcestruzzo, questa forza induce una com-pressione C il cui modulo si ottiene scomponendo la forza stessa nelle direzioni della biellaed in quella longitudinale:

C =¿¹h1sin®

=Mt

2 sin®(6.8)

mentre la corrispondente componente longitudinale è:

Fl1 = C cos® =Mt

2tan®(6.9)

In corrispondenza dello spigolo della trave la forza C si decompone in una verticale:

Fst = C sin® =Mt2

(6.10)

ed una longitudinale Fh. Quest’ultima è equilibrata dalla corrispondente, di segno opposto,prodotta dalla compressione agente sulla biella della faccia adiacente (…g. 6.5), mentre lacomponente verticale Fst deve essere assorbita da un’idonea armatura.

6.3 La torsione nelle travi fessurate 149

Figura~6.5: Equilibrio delle forze nel traliccio resistente alla torsione

Dunque la trave deve essere dotata di un doppio ordito di armature: uno longitudinale,per assorbire le forze Fl1, l’altro trasversale (sta¤e), che sopporta le forze Fst. La forzatotale in direzione longitudinale è:

Fl = Fl1p =Mt

2 tan®p (6.11)

dove p indica la lunghezza (perimetro) della linea mediana dello spessore della sezionetubolare equivalente. Al collasso la forza massima portata dall’armatura longitudinale èAlfyd, in cui Al indica l’area totale dell’armatura longitudinale resistente alla torsione;uguagliando questa resistenza alla sollecitazione data dall’eq. (6.11) si ha:

Alfyd =Mtu

2 tan®p

da cui si deduce il momento torcente ultimo della sezione:

Mtu = 2Alfyd

ptan® (6.12)

Indicando con Ast l’area di una sta¤a e con s il passo, l’area dell’armatura tra-sversale intersecata da una biella di altezza (relativamente alla sezione retta) unitaria èAst1=(s tan®); pertanto la forza ultima Fst equilibrata dall’armatura trasversale è fydAst=(s tan®).Uguagliando la forza resistente a quella agente data dall’eq. (6.10) si ottiene:

fydAsts tan®

=Mtu2

da cui, sostituendo ad Mtu il valore fornito dall’eq. (6.12) in funzione dell’area dell’arma-tura longitudinale, si ottiene:

Asts

=Alp

tan2 ® (6.13)


Fissato il valore di ®, che di solito si assume uguale a 45o, questa relazione consente dideterminare il quantitativo di sta¤e occorrenti per equilibrare lo stesso momento ultimosopportato dall’armatura longitudinale. Inversamente, se Al ed Ast sono state …ssateindipendentemente, l’eq. (6.13) permette di calcolare l’angolo di inclinazione delle fessure® per cui in fase ultima sussiste l’equilibrio tra le forze portate dall’armatura e dalle sta¤e:

tan® =r

Asts

pAl

(6.14)

sostituendo il valore di tan® nell’eq. (6.12) si ottiene il momento torcente ultimo dellasezione:

Mtu = 2fyd

sAlp

Asts

(6.15)

Si osservi che Al esprime anche il volume dell’armatura longitudinale presente in unconcio di lunghezza unitaria; nello stesso concio il volume delle sta¤e è Astp=s, avendoassimilato la lunghezza di una sta¤a con il perimetro p della linea mediana dello spessoredella sezione cava …ttizia. L’eq. (6.14) mostra che l’inclinazione delle bielle di calcestruzzoè data dalla radice del rapporto volumetrico delle sta¤e e dell’armatura longitudinale.Fissando il volume totale di armatura Vtot = Al+Astp=s, si può esprimere il quantitativo dista¤e in funzione dell’area dell’armatura longitudinale: Ast=s = (Vtot¡Al)=p. Sostutuendotale relazione nell’eq. (6.15) si ottiene quindi:

Mtu = 2fydp

Al(Vtot ¡ Al)=p2

Annullando la derivata di questa espressione rispetto ad Al si ottiene il quantitativo di ar-matura longitudinale che rende massimo il momento ultimo, per un assegnato quantitativodi armatura totale: facilmente si ricava: Al = Vtot=2, a cui corrisponde un quantitativodi sta¤e Ast=s = Vtot=2p. Sostituendo queste espressioni nell’eq. (6.14) si ottiene quinditan® = 1: si può concludere che il migliore utilizzo dell’armatura si raggiunge distribuen-done ciascuna metà tra barre longitudinali e sta¤e, in accordo con l’eq. (6.11) quando siassume tan® = 1.

La forza di compressione C agente sulle bielle di calcestruzzo genera una tensionemedia ¾c che si ottiene dividendo la forza C per l’area della sezione normale della biella.Per una biella compresa tra due fessure poste a distanza unitaria, nella direzione normaleall’asse della trave, quest’area è 1 cos®h; quindi utilizzando l’eq. (6.8) si ottiene:

¾c =C

1 cos®¹h=

Mt2¹h sin® cos®

=Mt

¹h sin 2®(6.16)

ed in particolare per ® = 45±:

¾c =Mt¹h

(6.17)

Il valore di ¾c dipende dallo spessore ¹h della sezione tubolare equivalente: esso nonè ovviamente ben de…nito, in quanto la sezione tubolare è solo una astrazione di calcolo,a meno che la sezione non sia realmente cava. Il valore da adottarsi per ¹h è quindiconvenzionale e deve essere scelto in modo tale che, ponendo ¾c uguale alla resistenza acompressione del calcestruzzo (eventalmente ridotta per tener conto delle approssimazionidel calcolo), le eq. (6.16) o (6.17) diano il valore del momento torcente ultimo di quelle traviche, dotate di forte armatura, collassano per schiacciamento del calcestruzzo. Relazioniempiriche di questo tipo sono fornite dalle norme.

6.4 Veri…che secondo le norme 151

6.4 Veri…che secondo le norme

6.4.1 Norme italiane

Calcolo alle tensioni ammissibili

Per la normativa italiana, quando la veri…ca degli elementi viene eseguita con il metododelle tensioni ammissibili, la veri…ca relativa alla massima sollecitazione nel calcestruzzosi svolge con riferimento alla massima tensione tangenziale, ¿mx, calcolata nell’ipotesi dicomportamento elastico del calcestruzzo con le relazioni che derivano dalla teoria di DeSaint Venant. Per le sezioni rettangolari ad esempio si utilizza l’eq. (6.1). Questa ten-sione deve essere confrontata con i valori ammissibili ¿ c0 e ¿ c1 già utilizzate nella veri…caalla sollecitazione di taglio. Se ¿mx · ¿ c0 il calcestruzzo è in grado di resistere all’azionetorcente mediante la sua resistenza a trazione, quindi non è necessario prevedere un’arma-tura speci…ca oltre quella minima regolamentare. Quando ¿ c0 < ¿mx · ¿ c1 la trave puòsopportare l’azione torcente purché si disponga un quantitativo adeguato di armatura. Se¿mx supera ¿ c1 il calcestruzzo compresso non è in grado di sopportare la sollecitazione epertanto le dimensioni della sezione devono essere opportunamente aumentate.

Il calcolo delle armature, quando necessarie, si esegue con riferimento al modello atraliccio e sezione ideale cava descritto nella sezione precedente. Per determinare la sol-lecitazione nelle armature longitudinali e nelle sta¤e si utilizzano quindi le eq. (6.11) e(6.10). Indicando con Al l’area totale dell’armatura longitudinale si dovrà veri…care lacondizione: Fl = Al¾s, dove ¹¾s indica la tensione ammissibile dell’acciaio. Per l’eq. (6.11)si ha:

Al ¸Mt

2¹¾sp

avendo posto ® = 45± e quindi tan® = 1. Analogamente se Ast è l’area della sezione diuna sta¤a ed s il passo, sempre per ® = 45±, dalla condizione: Ast¹¾s=s ¸ Fst e facendouso dell’eq. (6.10) si ottiene:

Ast ¸Mt

2¹¾ss

Calcolo allo stato limite ultimo

Per la veri…ca allo stato limite di collasso degli elementi sottoposti a torsione, la normativaitaliana fa riferimento al modello della sezione cava equivalente: pertanto le formule diveri…ca sono basate sulle equazioni stabilite nelle precedenti sezioni.

L’elemento risulta veri…cato se il momento agente di calcolo non supera la resistenzadelle bielle compresse e delle armature. Per il calcolo del momento resistente delle bielle dicalcestruzzo lo spessore ¹h della sezione cava equivalente viene stabilito nel modo seguente:

¹h =de6

(6.18)

in cui de indica il diametro del massimo cerchio iscritto nel poligono che ha per vertici ibaricentri delle armature longitudinali, come illustrato in …g. (6.6). Per l’eq. (6.17),assumendo per la resistenza del calcestruzzo il valore fcd=2, si ottiene:

Mtd · 12fcdh (6.19)


Figura~6.6: Determinazione dello spessore della sezione cava equivalente secondo le normeitaliane

Il calcolo del momento ultimo relativo al cedimento delle armature longitudinali e dellesta¤e si esegue con le eq. (6.12) e (6.10). Ponendo ® = 45± risulta:

Mtd · 2Alfyd

p

Mtd · 2Astfyd

s

in cui i simboli hanno il signi…cato illustrato nella sezione precedente.

6.4.2 Norme europee

Come per le altre sollecitazioni, in queste norme sono previste solamente le veri…che aglistati limite. Il modello di riferimento è ancora quello del traliccio tubolare.

Per il calcolo della resistenza delle bielle di calcestruzzo lo spessore della sezione cavaequivalente si ottiene dalla relazione:

¹h =Acp

in cui Ac indica l’area della sezione racchiusa dal perimetro esterno, compresa quella dieventuali cavità, e p è la lunghezza del suddetto perimetro. In ogni caso ¹h non può essereinferiore al doppio del copriferro delle barre longitudinali. Nel caso di travi a cassone diregola ¹h non deve superare lo spessore e¤ettivo della parete. Applicando l’eq. (6.16) si hapertanto:

Mtd · Mtu1 = ºfcd¹h sin 2® (6.20)


dove º è un fattore di riduzione della resistenza del calcestruzzo:

º = 0:7µ

0:7 ¡ fck200

¶¸ 0:35

con fck in N=mm2. Nel caso delle sezioni a cassone, quando le sta¤e sono disposte suentrambe le facce della parete, si può assumere º = (0:7 ¡ fck=200) ¸ 0:5.

Il momento resistente relativo all’armatura longitudinale si deriva dall’eq. (6.12):

Mtd · Mtu2 = 2Alfyd

ptan®

e quindi l’area di sta¤e richiesta per equilibrare lo stesso momento è data dall’eq. (6.13):

Asts

=Alp

tan2 ®

Di regola si assume ® = 45o. Quando le quantità delle armature longitudinali e delle sta¤esono …ssate indipendentemente, l’angolo ® si deduce dalla condizione di uguaglianza deimomenti ultimi mediante l’eq. (6.14). Il valore di ® deve comunque essere compreso tra:0:4 · cot® · 2:5. Se uno di questi limiti è superato si deve adottare quello più vicino.

6.4.3 Combinazione con ‡essione e taglio

Come è ovvio gli elementi sollecitati a torsione sono, nella maggior parte dei casi, simul-taneamente soggetti alle azioni della ‡essione e del taglio. Certamente nelle strutturein cemento armato vi è una sensibile interazione tra queste sollecitazioni elementari, mal’analisi teorica del problema presenta notevoli di¢coltà ed i dati sperimentali non sonosu¢cienti a permettere di ricavare a¢dabili formulazioni empiriche. Pertanto le normativeconsentono a questo proposito delle drastiche sempli…cazioni.

Per la combinazione tra torsione e ‡essione generalmente non si tiene conto di alcunainterazione; l’armatura longitudinale richiesta per resistere al momento torcente si aggiun-ge a quella calcolata a ‡essione. Per le norme europee (EC2), nella parte compressa dellasezione, quando la risultante delle forze di compressione dovute alla ‡essione supera latrazione che agisce sulla stessa zona a causa del momento torcente, è possibile ometterel’armatura longitudinale aggiuntiva.

Nella combinazione con la sollecitazione di taglio le armature d’anima (sta¤e) si cal-colano separatamente per entrambe le sollecitazioni e quindi si sommano i quantitativirichiesti, con la condizione di utilizzare in entrambi i casi lo stesso valore dell’angolo ® diinclinazione delle bielle.

Quando la veri…ca viene condotta con il metodo delle tensioni ammissibili, le normeitaliane prescrivono che la tensione tangenziale massima agente sulla sezione, ottenutasommando quelle dovute al taglio con quelle prodotte dalla torsione, non deve superare ilvalore ammissibile ¿ c1 incrementato del 10%.

Nel caso si adotti il calcolo allo stato limite ultimo le stesse norme richiedono che siaveri…cata la condizione:

MtdMtu1

+VdVu2

· 1 (6.21)

in cui Mtd e Vd sono il momento torcente ed il taglio di calcolo, Mtu1 è il momento torcenteultimo relativo al collasso del calcestruzzo, dato dall’eq. (6.19), mentre Vu2 è il taglio ultimodella sezione dovuto alla resitenza del calcestruzzo, che si calcola con l’eq. (5.20).


Il calcolo delle sta¤e si esegue separatamente ma si deve assumere Vcu = 0, ossia tuttolo scorrimento deve essere a¢dato alle armature d’anima.

Per le norme europee l’eq. (6.21) è sostituita dalla relazione analoga:µ

MtdMtu1

¶2

+µ

VdVu2

¶2

· 1

in cui i simboli hanno analogo signi…cato, ma i valori ultimi del momento torcente e deltaglio si calcolano, in accordo con le stesse norme, mediante le equazioni (6.20) e (5.24),rispettivamente.

Sempre secondo queste norme le armature di taglio e torsione si possono omettere (ameno dei minimi regolamentari) se sono veri…cate le due condizioni seguenti:

Mtd · Vdbw4:5

Vdµ

1 + 4:5MdVdbw

¶· Vu1

dove Vu1 è il taglio resistente fornito dal secondo membro dell’eq. (5.24).

6.4.4 Esempio

Esempio 6.1 Progettare le armature della sezione rettangolare di dimensioni 35 £ 50 cm2 solle-citata a torsione.Momento torcente in esercizio: Mt = 20 N=mm2.Calcestruzzo Rck = 30 N=mm2

Acciaio FeB 44 kNorme italianeVeri…ca alle tensioni ammissibili.Tensioni ammissibili:

¿ c0 = 0:4 +30 ¡ 15

75= 0:6 N=mm2

¿c1 = 1:4 +30 ¡ 15

35= 1:83 N=mm2

¾s = 255 N=mm2

Tensione tangenziale massima nel calcestruzzo:

¿max = ÃMt

b2h= 4:4

20 £ 106

3502 £ 500= 1:44 N=mm2 < ¿ c1

Calcolo delle armature:

= (350 ¡ 60)(500 ¡ 60) = 1:276 £ 105 mm2

p = 2(290 + 440) = 1460 mm

Al =Mt

2¾sp =

20 £ 106

2 £ 1:276 £ 105 £ 2551460 = 448:7 mm2 (» 4:5 cm2)

Ast

s=

Al

p=

4:51:46

= 3:08 cm2=m

Calcolo allo stato limite ultimo.Sollecitazione di calcolo:

Mtd = °fMt = 1:5 £ 20 = 30 kNm


Resistenze di calcolo

fcd =0:83Rck

°c= 15:56 N=mm2

fyd =fyk

°s= 374 N=mm2

Spessore equivalente della sezione tubolare:

h =356

= 5:83 cm

Momento torcente ultimo per rottura del calcestruzzo:

Mtu =12fcdh = 57:87 £ 106 Nmm (» 57:9 kNm) > Mtd

Armatura:Al =

Mtd

2fydp = 458:9 mm2 (» 4:6 cm2)

Ast

s=

Al

p= 3:15 cm2=m

Norme europee.

h =35 £ 50

2(35 + 50)= 10:3 cm

º = 0:7µ

0:7 ¡ 24:9200

¶= 0:403 (fck = 0:83Rck = 24:9 N=mm2)

Mtu1 = ºfcdh = 82:4 kNm > Mtd

Il calcolo delle armature è analogo a quello svolto per le norme italiane. 2

Capitolo 7

Stati limite di esercizio

7.1 Introduzione

Il metodo delle tensioni ammissibili, il cui impiego è ancora molto di¤uso in Italia, èin certa misura un ibrido tra un metodo di veri…ca delle condizioni di collasso e quelle diesercizio. In e¤etti esso richiede di limitare le sollecitazioni prodotte dai carichi di esercizioentro valori sensibilmente inferiori a quelli del limite elastico dei materiali: in tal senso sitratta evidentemente della veri…ca di uno stato limite di esercizio. Tuttavia, come è statochiarito più volte, molte delle veri…che richieste dalla normativa hanno senso solo se riferitea condizioni di collasso, da cui derivano. Quindi, sebbene questo procedimento di veri…capresenti delle incongruenze logiche che hanno indotto ad estrometterlo od a relegarlo inposizione marginale e svantaggiata dalla maggior parte delle normative, l’esperienza dellasua applicazione ha mostrato che, almeno nella maggior parte dei casi, è in grado digarantire una adeguata sicurezza delle opere, sia nei confronti del collasso, sia nei confrontidei danni che possono veri…carsi in condizioni di esercizio.

Il metodo della veri…ca dello stato limite ultimo è certamente più razionale, ma da solonon è su¢ciente a garantire che, in condizioni di esercizio, le strutture non manifestinodanni ed inconvenienti che, pur non compromettendone direttamente la sicurezza ultima,possono negativamente in‡uire sulla funzionalità delle opere.

Per questo il metodo è detto di veri…ca agli stati limite, intendendo che normalmente lestrutture devono essere veri…cate nei confronti di più di uno stato limite: quello di collassoè ovviamente il più importante, ma anche quelli relativi alle condizioni di esercizio devonoessere presi in conto.

Per le strutture in cemento armato lo stato limite di esercizio più signi…cativo riguardala fessurazione, in quanto il manifestarsi di fessure troppo ampie in condizioni di normaleuso dell’opera non solo ne compromette l’estetica, ma può anche, a lungo termine, avereconseguenze negative sulla resistenza.

Un’altra condizione di stato limite che deve essere presa in conto riguarda la defor-mabilità. Deformazioni eccessivamente grandi delle strutture comportano danni estetici efunzionali e possono indurre danni importanti agli elementi sovrastrutturali (tamponature,in…ssi, tramezzi, ecc.). Le strutture in cemento armato, generalmente tozze, sono menosensibili di altre (p. es. quelle in acciaio) a questo tipo di problema. Nelle opere ordinarie,con travi di luce contenuta, le condizioni di resistenza e di limitazione delle fessure sonogeneralmente prevalenti, ma in casi meno ovvi (p. es. travi di grande luce) lo stato limitedi deformazione può divenire condizionante.

Le veri…che nei riguardi degli stati limite di esercizio si eseguono, come è ovvio, con

157

158 Capitolo 7 Stati limite di esercizio

riferimento alle azioni di esercizio e si può presumere che il funzionamento della strutturaresti in campo elastico; pertanto lo stato tensionale degli elementi presso–in‡essi si ottienemediante l’analisi elastica delle sezioni (con l’ipotesi di non resistenza a trazione del cal-cestruzzo), che è stata presentata nei capitoli precedenti con riferimento al metodo delletensioni ammissibili.

7.2 La fessurazione

L’apertura di fessure nelle parti tese delle strutture in cemento armato è inevitabile, datala modesta resistenza a trazione del calcestruzzo. Tuttavia, come è già stato accennatonella sezione precedente, occorre limitare l’ampiezza delle fessure che si possono produrrein condizioni di esercizio, sia per ragioni estetiche sia per la sicurezza dell’opera. Infatti ilricoprimento di calcestruzzo o¤re un’e¢cace protezione delle armature nei confronti dellacorrosione, che può venir meno se l’apertura di qualche lesione abbastanza grande con-sente agli agenti corrosivi di raggiungere le armature. La corrosione, riducendo la sezioneresistente delle barre, può quindi provocare una drastica diminuzione della sicurezza dellastruttura; il fenomeno dipende da molteplici fattori, tra cui le condizioni ambientali a cuiè esposta l’opera, la sensibilità dell’armatura alla corrosione (che aumenta al diminuire deldiametro delle barre), l’ampiezza e la profondità delle fessure, la natura delle azioni (sepermanenti o di breve durata).

La veri…ca si esegue confrontando l’ampiezza massima prevista delle fessure con deivalori limite che vengono …ssati in funzione dei parametri di cui si è detto (condizioniambientali, sensibilità, tipo di carico).

Tra le cause che possono provocare la fessurazione in una struttura in cemento armatosi devono annoverare, oltre all’azione dei carichi esterni, anche gli stati di coazione chepossono insorgere per e¤etto di cambiamenti di volume dovuti al ritiro ed alle variazionitermiche. Per ridurre l’entità delle fessure dovute a questi fenomeni si può agire sullecause, per esempio realizzando calcestruzzi con piccoli valori di ritiro, ovvero controllandol’ampiezza delle fessure mediante la disposizione di armature di¤use nella struttura, lequali, pur non eliminando la fessurazione, ne evitano la concentrazione in poche ampiefessure, favorendo invece lo sviluppo di numerose piccole lesioni.

7.2.1 Il meccanismo di formazione delle fessure

Nell’analisi delle sezioni sollecitate da tensioni normali (pressione e ‡essione) la resistenza atrazione del calcestruzzo è stata interamente trascurata, come è lecito dato il suo modestovalore; ma, come è stato già molte volte ricordato, questa resistenza in realtà svolgeun ruolo essenziale nel funzionamento delle strutture in cemento armato, essendo il solomezzo che consente lo scambio di forze tra le armature tese ed il calcestruzzo compresso.Il fenomeno della fessurazione, cioè il fatto che nella parte tesa degli elementi si apra uncerto numero discreto di lesioni tra le quali sussistono dei blocchi integri di calcestruzzo,dipende evidentemente dalla resistenza a trazione di questo materiale.

L’analisi quantitativa del fenomeno peraltro è complessa perché dipende da numerosifattori; di conseguenza le formule che normalmente si usano per prevedere l’ampiezza dellefessure sono di origine semi-empirica. Tuttavia, schematizzando notevolmente il problema,è possibile sviluppare una teoria semplice che, almeno dal punto di vista qualitativo,permette di evidenziare le caratteristiche del fenomeno e di spiegare il ruolo svolto daiprincipali fattori.

7.2 La fessurazione 159

Figura~7.1: Rappresentazione schematica della formazione delle fessure in un prisma incemento armato sollecitato a trazione

Distanza tra le fessure

Si consideri quindi un prisma di calcestruzzo, armato simmetricamente e sollecitato atrazione pura. Tutte le sezioni risultano ugualmente sollecitate a trazione uniforme; alcrescere della forza, in qualcuna delle sezioni più deboli verrà superata la resistenza delcalcestruzzo, con conseguente formazione di una fessura (si veda …g. 7.1).

Esaminando il prisma di calcestruzzo compreso tra due fessure successive si osservache la tensione di trazione, nulla in corrispondenza delle fessure, cresce verso l’interno delconcio via via che l’aderenza consente di trasferire parte della sollecitazione dall’armaturaal calcestruzzo circostante. La condizione per cui, al crescere della forza, all’interno delconcio si possa formare un’altra fessura, è che, in qualche punto, la tensione superi laresistenza del materiale. Indicando con ¿ b(x) la tensione di aderenza lungo l’asse dellebarre, questa condizione è veri…cata se, per qualche a risulta:

pZ a

0¿ b(x) dx ¸ Acfct (7.1)

dove p indica il perimetro delle barre, Ac è l’area della sezione del prisma ed fct la resistenzaa trazione del materiale. a è la distanza a cui si sviluppa la nuova fessura, misurata apartire dalla fessura preesistente. Per ovvie ragioni di simmetria deve essere veri…catala condizione a · a0=2, dove a0 indica la distanza tra le due fessure preesistenti, cioè lalunghezza del concio.

Ponendo tra i due membri dell’eq. (7.1) il segno di uguaglianza, da essa si ricava ilvalore minimo amin della distanza a cui si possono sviluppare due fessure. Se a0 ¸ 2aminsi svilupperà un’ulteriore fessura tra quelle esistenti, in caso contrario (a0 < 2amin) questonon potrà avvenire; quindi 2amin è anche la distanza massima che può intercorrere tra duefessure:

amax = 2amin (7.2)

Assumendo per ¿ b(x) un andamento uniforme, dalle equazioni (7.1) e (7.2) si deducela relazione:

amax = 2Acfctp¿ b

(7.3)


Supponendo che l’armatura sia costituita da n barre di uguale diametro Á, poiché in talcaso, indicando con As = n¼Á2=4 l’area dell’armatura, si ha:

p = n¼Á = n¼Á2

44Á

= 4AsÁ

dall’eq. (7.3) si ottiene:

amax =fctÁ2¿ b½

(7.4)

in cui ½ = As=Ac indica la percentuale geometrica delle armature.

Ampiezza delle fessure

L’ampiezza della fessura si ottiene come di¤erenza tra l’allungamento dell’acciaio e quel-lo del calcestruzzo; trascurando quest’ultimo termine, generalmente piccolo, l’ampiezzamassima di una fessura è data dalla semplice relazione:

wmax = 2Z amax=2

0²s(x) dx (7.5)

dove ²s(x) = ¾s(x)=Es è la deformazione dell’acciaio, che si suppone funzionare in campoelastico. La tensione nell’acciaio varia in funzione di x, a causa del trasferimento di forzeal calcestruzzo. Per un andamento uniforme della tensione di aderenza si ha:

¾s(x) = ¾s ¡ p¿ bxAs

in cui ¾s è la tensione nell’acciaio calcolato con riferimento alla sezione fessurata. Sosti-tuendo l’equazione precedente nell’eq. (7.5) si ricava:

wmax =¾sEs

µ1 ¡ p¿ b

4As¾samax

¶amax

da cui, tenendo conto dell’eq. (7.3):

wmax =¾sEs

µ1 ¡ fct

2¾s½

¶2Acfctp¿ b

(7.6)

Nel caso che l’armatura sia costituita da barre di uguale diametro, tenendo contodell’eq. (7.4), l’eq. (7.6) si scrive1:

wmax =¾sEs

µ1 ¡ fct

2¾s½

¶fctÁ2¿ b½

(7.7)

Questi risultati sono stati ottenuti a partire da ipotesi semplicistiche del fenomeno;inoltre il caso esaminato, un tirante sollecitato da una forza assiale, non è quello di più

1Volendo tener conto anche della deformazione del calcestruzzo, l’eq. (7.7) deve essere modi…cata nella:

wmax =¾sEs

·1¡ fct

2¾s

µ1½+ n

¶¸fctÁ2¿b½

dove n = Es=Ec. Per percentuali di armatura non troppo grandi si ha 1=½ À n, e pertanto questaequazione di¤erisce poco dall’eq. (7.7).


rilevante interesse pratico. Pur con questi limiti la trattazione svolta ha il merito dichiarire la natura dei fenomeni e di mettere in evidenza quali sono i parametri principaliche controllano il fenomeno della fessurazione.

Dall’eq. (7.7) è evidente che l’ampiezza delle fessure aumenta con il diametro Á dellebarre impiegate e diminuisce al crescere della tensione di aderenza ¿ b; pertanto per ridurrel’ampiezza delle fessure si può agire sia sul diametro delle barre, utilizzando barre di minordiametro, sia aumentando ¿ b, utilizzando barre ad aderenza migliorata. L’aumento dellapercentuale di armatura ½ produce una riduzione della distanza delle fessure ma ancheun aumento della deformazione media dell’acciaio (ovviamente supponendo che ¾s resticostante); di questi due e¤etti contrastanti generalmente risulta prevalente il primo. Comesi vede dall’eq. (7.7) la resistenza a trazione fct gioca un ruolo esattamente inverso a ½,così sembrerebbe che l’ampiezza delle fessure dovrebbe aumentare al crescere della resi-stenza del calcestruzzo; tuttavia, tenendo conto che migliorando la qualità del calcestruzzoanche ¿ b aumenta, questi due e¤etti approssimativamente si compensano: ne segue che laresistenza del calcestruzzo ha scarsa in‡uenza sullo sviluppo della fessurazione.

Le eq. (7.6) e (7.7) si possono scrivere nella forma

wmax = ²smamax (7.8)

in cui viene messo in evidenza che l’ampiezza massima delle fessure si può esprimere comeil prodotto della distanza massima tra due lesioni successive e la deformazione mediadell’acciaio. Confrontando l’eq. (7.8) con le eq. (7.6) e (7.7) si ottiene che, per il modellostudiato, risulta:

²sm =¾sEs

µ1 ¡ fct

2¾s½

¶(7.9)

In questa equazione l’allungamento medio dell’acciaio è espresso come il prodotto tra ladeformazione delle barre nella sezione fessurata ed un fattore (< 1) che tiene conto delcontributo del calcestruzzo.

7.2.2 Veri…ca secondo le norme

Norme italiane

Relativamente alla fessurazione, la normativa italiana prevede diverse condizioni di statolimite; in ordine di severità decrescente sono:

1. Stato limite di decompressione, per cui la sezione deve risultare interamente com-pressa.

2. Stato limite di formazione delle fessure: la tensione massima di trazione nella sezionenon fessurata non deve superare il frattile inferiore della resistenza a trazione delcalcestruzzo.

3. Stato limite di apertura delle fessure: il valore caratteristico dell’ampiezza massimadelle fessure non deve superare uno dei seguenti valori nominali:

w1 = 0:1 mm w2 = 0:2 mm w3 = 0:4 mm

La scelta del particolare stato limite da adottare dipende da vari fattori:


cond.amb. azioni armaturasensibile poco sens.

stato lim. wk stato lim. wkpoco aggr. frequenti aper. fess. · w2 aper. fess. · w3

quasi per. dec./aper. fess. · w1 aper. fess. · w2mod. aggr. frequenti aper. fess. · w1 aper. fess. · w2

quasi per. decomp. — aper. fess. · w2molto aggr. rare aper./form. fess. · w1 aper. fess. · w2

frequenti decomp. — aper. fess. · w1

Tabella 7.1: Stati limite di fessurazione.

1. Il tipo di azioni : si distinguono in quasi permanenti, frequenti e rare.

2. Le condizioni ambientali : l’ambiente è classi…cato in poco aggressivo, moderatamenteaggressivo, molto aggressivo.

3. La sensibilità delle armature, distinte in sensibili e poco sensibili. Appartengono alprimo gruppo le barre di diametro · 4 mm, gli acciai temperati, gli acciai incruditia freddo e soggetti a tensioni permanenti superiori a 390 N=mm2.

Il tipo di stato limite che deve essere considerato è indicato nella tabella (7.1).Peraltro si deve notare che delle tre condizioni di stato limite previste solo l’ultima

(apertura delle fessure) può essere soddisfatta dalle strutture in cemento armato. Lealtre riguardano di fatto solo gli elementi in cemento armato precompresso, che verrannostudiati separatamente.

Il valore caratteristico dell’ampiezza delle fessure si calcola mediante la relazione:

wk = 1:7wmax = 1:7²smamax

in cui il fattore 1.7 è adottato per tener conto della forte dispersione dei risultati speri-mentali. L’allungamento medio dell’armatura, ²sm, e la distanza massima tra le fessureamax si possono calcolare mediante espressioni semi-empiriche ottenute modi…cando op-portunamente quelle teoriche [eq. (7.4) e (7.7)] per tener conto dei risultati sperimentalie di condizioni di sollecitazione più generali di quella, elementare, studiata teoricamente.La normativa italiana adotta le relazioni:

amax = 2³c +

s10

´+ k2k3

Á½

(7.10)

²sm =¾sEs

"1 ¡ ¯1¯2

µ¾sr¾s

¶2#

¸ 0:4¾sEs

(7.11)

in cui i simboli hanno il seguente signi…cato:

c Ricoprimento dell’armatura.

s Distanza tra le barre, con la condizione s · 14Á.

Á Diametro delle barre.

k2 Coe¢ciente che dipende dall’aderenza tra acciaio e calcestruzzo: k2 = 0:4 per barre adaderenza migliorata, k2 = 0:8 per barre lisce.


k3 Coe¢ciente che tiene conto della forma del diagramma nella sezione non fessurata. Siassume k3 = 0:25(¾1 + ¾2)=2¾1, dove ¾1 ¸ ¾2 sono i valori estremi delle tensioni ditrazione; k3 varia tra 0:125 per diagrammi triangolari o intrecciati (¾2 = 0) e 0:25per il caso della trazione uniforme (¾2 = ¾1).

½ = As=Ace® è la percentuale di armatura longitudinale riferita all’area di calcestruzzoe¢cace Ace® . Per la de…nizione dell’area e¢cace in varie situazioni si può fareriferimento alla …gura 7.2.

¾s Tensione, in esercizio, nell’acciaio teso, riferito alla sezione fessurata.

¾sr Tensione nell’armatura longitudinale, calcolata con riferimento alla sezione fessura-ta, dovuta ai carichi che producono la fessurazione (ossia il raggiungimento dellaresistenza a trazione nella …bra maggiormente tesa della sezione).

¯1 Tiene conto dell’aderenza acciaio–calcestruzzo: ¯1 = 1 per le barre ad aderenzamigliorata, ¯1 = 0:5 per le barre lisce.

¯2 Coe¢ciente che tiene conto del tipo di azione: si assume ¯2 = 1 nel caso di primaapplicazione di carichi di breve durata, ¯2 = 0:5 per i carichi di lunga durata e diazioni ripetute.

Confrontando le formule semi-empiriche (7.10) e (7.11) con quelle dedotte dalla teoriasempli…cata si possono trarre alcune considerazioni. Il secondo termine dell’eq. (7.10) èanalogo all’eq. (7.4), quando si sostituisca il termine fct=2¿ b con il prodotto dei coe¢cientik2k3. Nell’eq. (7.10) nessun termine dipende dalla resistenza a trazione del calcestruzzo:questo è coerente con quanto osservato precedentemente circa il fatto che entrambe legrandezze fct e ¿ b sono funzioni crescenti della resistenza del materiale; pertanto k2 tieneconto solo dell’aumento dell’aderenza dovuto all’impiego di barre ad aderenza migliorata.Il coe¢ciente k3 considera gli e¤etti delle condizioni di sollecitazione più generali di quellaesaminata nella trattazione teorica. Il primo termine dell’eq. (7.10), che non ha analogonell’eq. (7.4), tiene conto di fenomeni non considerati nelle ipotesi del modello teorico.

Anche l’eq. (7.11) ha notevoli similitudini con l’eq. (7.9). Infatti nel caso di trazionesemplice risulta:

¾sr = fctAc=As = fct=½

(avendo ipotizzato di poter porre Ace® = Ac). Quindi, sostituendo nell’eq. (7.11), siottiene:

²sm =¾sEs

"1 ¡ ¯1¯2

µfct¾s½

¶2#

che fondamentalmente di¤erisce dall’eq. (7.9) perché il termine in parentesi tonde è quielevato al quadrato. Poiché questo è sempre inferiore ad 1, ciò implica che ad esso èattribuito un peso inferiore che nell’eq. (7.9), specialmente quando è piccolo, ossia quandola sollecitazione agente è molto maggiore di quella di prima fessurazione (¾s À ¾sr).

Norme europee

Nell’Eurocodice 2 viene preso in esame anche il problema del controllo della fessurazioneche può prodursi, anche in assenza di forze esterne, a causa delle autotensioni generate dalledeformazioni, impedite dai vincoli, dovute al ritiro ed alle variazioni termiche. La regola


Figura~7.2: De…nizione dell’area di calcestruzzo e¢cace

7.3 Stato limite di compressione 165

suggerita consiste nel disporre un’armatura di¤usa, su¢ciente ad assorbire le risultantidelle tensioni di fessurazione. Questo accorgimento consente di controllare la propagazionedelle fessure in quanto, in caso di apertura di una lesione, la perdita di capacità portantedovuta al cedimento del calcestruzzo teso è compensata dall’acciaio.

Per la determinazione dell’ampiezza massima delle fessure si impiegano relazioni similia quelle riportate nelle norme italiane. Il valore caratteristico di wmax è dato da:

wk = ¯²sramax

dove ¯ è un coe¢ciente, variabile tra 1.3 e 1.7, funzione della minima dimensione dell’e-lemento, ²sr (deformazione media dell’armatura) si calcola mediante l’eq. (7.11), in cuii simboli hanno lo stesso signi…cato e valore, mentre la distanza massima tra le fessure,amax, si valuta mediante l’equazione:

amax = 50 + 0:25k1k2Á½r

in cui le grandezze sono espresse in millimetri ed i coe¢cienti k1 e k2 hanno signi…catianaloghi a quelli (k2 e k3) dell’eq. (7.10), a cui sono legati dalle relazioni:

k1 = 2k2 k2 = 4k3

7.3 Stato limite di compressione

Il metodo delle tensioni ammissibili prescrive un limite alla massima tensione del calce-struzzo compresso. In condizioni di esercizio questa limitazione impedisce che nel calce-struzzo, per l’eccessiva sollecitazione, possano formarsi delle lesioni lungitudinali; inoltrelimita l’entità delle deformazioni viscose entro valori compatibili con quelli previsti.

La veri…ca dello stato limite ultimo non garantisce che questa condizione sia, in eser-cizio, soddisfatta. Le sezioni fortemente armate raggiungono momenti ultimi elevati condimensioni della sezione di calcestruzzo contenute. In simili casi il calcestruzzo, anche incondizioni di esercizio, può essere sollecitato a livelli prossimi a quelli di rottura.

Per evitare che in esercizio il calcestruzzo risulti eccessivamente sollecitato, le normeitaliane prescrivono che la tensione massima prodotta dai carichi di esercizio, calcolatanello stato fessurato con l’ipotesi di comportamento elastico dei materiali, ¾c;mx, nonsuperi il valore 0:45fck, per le combinazioni delle azioni frequenti o semipermanenti, e0:55fck per le combinazioni rare.

Le norme europee (EC2) forniscono indicazioni analoghe; inoltre richiedono anche chesia veri…cata una limitazione della massima tensione nell’acciaio che, per le combinazionidi carico rare, non deve superare il valore 0:8fyk. Quest’ultima condizione serve ad impe-dire che in esercizio l’armatura possa plasticizzarsi, perché questo evento comporterebbel’apertura permanente delle lesioni prodotte dalle azioni rare e di breve durata, di cui nor-malmente non si tiene conto in quanto, in condizioni di funzionamento elastico dell’acciaio,tendono a richiudersi quando cessa l’azione.

7.4 Stato limite di deformazione

Le deformazioni degli elementi strutturali devono essere limitate perché, se troppo grandi,possono seriamente compromettere la funzionalità della struttura. In e¤etti deformazio-ni eccessive di elementi orizzontali, quali travi, solai e piastre, non soltanto danno luogo


ad e¤etti fortemente antiestetici, ma possono anche compromettere funzioni importanti,come lo smaltimento delle acque piovane dai terrazzi, o produrre danni ad elementi so-vrastrutturali (tramezzi, tamponature, in…ssi) da essi sostenuti e che dispongono di scarsacapacità adattativa.

La deformazione massima accettabile degli elementi in‡essi dipende in larga misuradalla destinazione dell’opera a cui appartengono: pertanto la severità dei vincoli che de-vono essere rispettati può cambiare da caso a caso. In assenza di esigenze speciali si puòfare riferimento alla norma ISO 4356, secondo la quale la funzionalità della struttura nonè compromessa se la freccia massima degli elementi in‡essi non supera 1/250 della luce.

I danni che possono insorgere negli elementi sovrastrutturali a causa delle eccessivedeformazioni della struttura portante dipendono ovviamente dal tipo di elemento, daimateriali in cui è realizzato, dalla presenza o meno di elementi di giunto, ecc. In assenzadi speci…che richieste le norme ISO citate suggeriscono che, per le strutture che sostengonotramezzature od altri elementi sovrastrutturali, la deformazione sia limitata ad 1/500 dellaluce.

La parte di deformazione prodotta dai carichi permanenti può essere eliminata pre-vedendo una controfreccia (ossia costruendo la trave con una forma ad arco) di ugualevalore dell’abbassamento previsto. Questo accorgimento è usato spesso nelle strutture inacciaio, sia perché sono normalmente più deformabili, sia perché ne è più facile stimarein modo attendibile la deformazione, mentre è applicato più raramente nelle costruzioniin cemento armato, che sono meno deformabili e per le quali la valutazione della frecciapresenta maggiori incertezze.

La valutazione analitica della deformazione delle strutture in cemento armato non èsemplice, a causa del comportamento fragile del calcestruzzo teso. Limitandosi a conside-rare i soli e¤etti delle tensioni normali si ha che il comportamento può variare tra quellodella sezione interamente reagente (Stato I, non fessurato) e quello della sezione comple-tamente fessurata (Stato II). Nelle situazioni intermedie, poiché come si è visto le fessureinteressano solo un numero discreto di sezioni tra cui permangono blocchi di calcestruzzointegro, la rigidezza “media” di un concio di trave di lunghezza …nita varia tra quelladella sezione non fessurata, quando la massima tensione di trazione è inferiore di quella difessurazione, e quella della sezione fessurata, quando la sollecitazione è molto maggiore diquella di fessurazione.

Data la di¢coltà e la scarsa precisione con cui è possibile valutare le deformazionidelle strutture in cemento armato, se gli elementi sono su¢cientemente tozzi il calcolodelle deformazioni può essere omesso, ritenendosi che in questi casi le limitazioni indicatein precedenza risulteranno soddisfatte.

Le norme italiane e l’Eurocodice 2 forniscono delle tabelle dei limiti di snellezza (l=h)degli elementi, sotto i quali la veri…ca esplicita dello stato limite di deformazione può essereevitata. Questi valori sono riportati nella tabella 7.2.

Per le norme italiane, quando l’elemento è destinato a sostenere pareti divisorie, devonoessere rispettate le ulteriori limitazioni: per le travi appoggiate l=h · 120=l, per le travicontinue l=h · 150=l (l in metri).

I due valori riportati nella colonna relativa all’EC2 si riferiscono il primo al casodi elementi con calcestruzzo molto sollecitato, il secondo al caso di calcestruzzo pocosollecitato.2

2Senza determinare l’e¤ettiva sollecitazione del calcestruzzo si può assumere che il calcestruzzo è moltosollecitato se la percentuale di armatura necessaria ò maggiore di 1.5%, è poco sollecitato quando questapercentuale à inferiore a 0.5%.

7.4 Stato limite di deformazione 167

Elementi snellezza massima l=hNorme italiane Eurocodice 2

Travi e piastre sempl. app. 20 18 ¥ 25Camp. terminale travi cont.o piastre cont. monodimens. — 23 ¥ 32o piastre bid. cont. lato lungo

Campate interm. di travi o piastre cont. 26 25 ¥ 35Piastre sorrette da pilastri senza travi — 21 ¥ 30

Mensole 7 7 ¥ 10

Tabella 7.2: Snellezze limite per la veri…ca dello stato limite di deformazione

Questi valori si riferiscono a condizioni medie e vanno modi…cati al variare delle situa-zioni. Secondo l’EC2, nel caso di sezioni a T in cui il rapporto tra la larghezza dell’ala equella dell’anima è superiore a 3, essi devono essere moltiplicati per il coe¢ciente 0.8; nelcaso di travi o piastre che sostengono tramezzi di luce superiore a 7 m, i valori riportatinella tabella 7.2 devono essere moltiplicati per il fattore 7=l (l in metri). Altri fattori dicorrezione sono previsti dall’Eurocodice in funzione della tensione di esercizio dell’acciaio.

7.4.1 Calcolo analitico delle deformazioni

Per gli elementi in cemento armato la valutazione analitica delle deformazioni, come ègià stato sottolineato, presenta sensibili di¢coltà a causa dell’insorgere della fessurazionenelle parti tese. I risultati che si ottengono utilizzando formulazioni approssimate, basatesull’analisi della fessurazione presentata nella sezione 7.2, risultano generalmente a¤etti dasensibili scarti rispetto ai risultati sperimentali, che peraltro sono notevolmente dispersi.Inoltre si deve tener conto degli e¤etti di fenomeni, come il ritiro e la viscosità, che neltempo modi…cano lo stato deformativo, anche in assenza di variazione dei carichi.

Una formulazione relativamente semplice consiste nell’assumere che, ove la massimatrazione non supera la resistenza del calcestruzzo, l’elemento non è fessurato e quindila sezione reagente è data dall’intera sezione di calcestruzzo e dall’acciaio omogenizzato.Indicando con Ig il momento di inerzia di questa sezione, la curvatura è data dalla relazione:

µ =M

EcIg(7.12)

dove Ec è il modulo elastico del calcestruzzo, opportunamente ridotto per tener conto deifenomeni viscosi.

Quando la sollecitazione supera la resistenza a trazione e l’elemento si fessura, si devetener conto che la sua rigidezza diviene variabile lungo la trave, con minimi localizzati incorrispondenza delle sezioni fessurate. Per il calcolo degli abbassamenti delle travi si puòutilizzare la deformazione media del concio fessurato, come de…nito nella sezione 7.2. Perla norme italiane e l’EC2 questa deformazione è data dalla relazione [eq. (7.11)]:

²sm = ²sII

"1 ¡ ¯1¯2

µ¾sr¾s

¶2#

= ²sII³ (¾s > ¾sr) (7.13)

dove ²sII è la deformazione dell’acciaio teso relativamente alla sezione fessurata, mentreil signi…cato degli altri simboli è quello illustrato nel § 7.2.2. Nei casi più comuni (acciaioad aderenza migliorata e carichi frequenti o quasi permanenti) il prodotto ¯1¯2 prende ilvalore 0.5.


Nel caso che la sollecitazione sia di sola ‡essione il rapporto ¾sr=¾s può essere sostituitoda Mfr=M , rapporto tra il momento di fessurazione e quello e¤ettivo. In tal caso indicandocon Ifr il momento di inerzia della sezione fessurata, l’eq. (7.13) diviene:

²sm =M(d ¡ yc)

EcIfr

"1 ¡ ¯1¯2

µMfM

¶2#

(M > Mfr) (7.14)

Al limite di fessurazione (¾ = ¾sr o M = Mfr) le eq. (7.13) e (7.14) forniscono un valoredi ²sm completamente indipendente da quello relativo allo stato I (non fessurato). Questoproduce una discontinuità nei valori di ²sm in corrispondenza del punto di fessurazione chepuò divenire paradossale qualora si assuma ¯1¯2 = 1, poiché in questo caso per ¾s = ¾srsi ha ²sm = 0.

L’Eurocodice 2 corregge le equazioni (7.13) e (7.14) per superare questa anomalia,ponendo:

²sm = ²sI(1 ¡ ³) + ²sII³ (7.15)

in cui ³ è il fattore implicitamente de…nito dall’eq. (7.13), mentre ²sI e ²sII sono le de-formazioni dell’acciaio corrispondenti allo stato I (non fessurato) e II (fessurato) dellasezione. Per ¾s · ¾sr (M · Mfr) si assume ³ = 0, per cui risulta ²sm = ²sI . Nelle zonefessurate (³ > 0) la deformazione media risulta compresa tra le due e tende a quella dellasezione fessurata per ¾s À ¾sr (³ » 1). Se ¯1¯2 < 1 anche l’eq. (7.15 ) presenta unadiscontinuità in corrispondenza del punto di fessurazione, tuttavia poiché in questo casorisulta comunque, per ¾s ¸ ¾sr, ²sm ¸ ²sI , essa non da luogo ai risultati paradossali chesi possono ottenere utilizzando direttamente l’eq. (7.13).

Nota la deformazione media dell’armatura la curvatura della sezione si determina conla semplice relazione:

µm =²sm

d ¡ yc(7.16)

dove d è l’altezza utile ed yc l’altezza della zona compressa della sezione. Sostituendo ad²sm l’eq. (7.13) si ottiene quindi:

µm =²sII

d ¡ yc³ = µII³ (7.17)

dove µII indica la curvatura della sezione fessurata. Secondo l’Eurocodice 2 si può quindiporre:

µm = µI(1 ¡ ³) + µII³ (7.18)

dove µI è la curvatura della sezione non fessurata, calcolata con l’eq. (7.12). Si deveosservare che l’eq. (7.18) non è del tutto coerente con l’eq. (7.15).

Diversamente dalle norme italiane e dall’EC2 le norme statunitensi ACI de…nisconodirettamente la rigidezza (inerzia) media della sezione nella trave fessurata mediante lasemplice relazione empirica:

Im =

8><>:

Ig se M · Mfr

Igµ

MfrM

¶3

+ Ifr

"1 ¡

µMfrM

¶3#

se M > Mfr(7.19)


Figura~7.3: Dominio di integrazione dell’equazione (20)

in cui Ig ed Ifr sono i momenti di inerzia della sezione negli stati non fessurato e fessu-rato, rispettivamente. Dalla rigidezza Im si passa quindi alla curvatura mediante l’ovviarelazione:

µm =M

EcIm

L’eq. (7.19) ha il pregio di essere continua per cui Im e µm non subiscono brusche variazioninel passaggio dallo stato non fessurato a quello fessurato.

Quando le sollecitazioni (il momento negli elementi in‡essi) è noto a priori, comeavviene nelle strutture isostatiche, la determinazione degli spostamenti è relativamentesemplice. In funzione di M e delle caratteristiche geometriche e meccaniche delle sezionidi calcestruzzo e delle armature, tramite le equazioni (7.12) e (7.17) [o (7.18) o (7.19)], sicalcola in ogni sezione il valore medio della curvatura µm(x). L’abbassamento della travesi determina quindi mediante doppia integrazione della funzione µm(x):

u(x) = u(0) + '(0)x +Z x

0

Z »

0µm(´)d´ d» (7.20)

in cui u(0) e '(0) sono l’abbassamento e la rotazione della sezione di origine.L’integrale doppio che compare nell’eq. (7.20) si può trasformare in un integrale mono-

dimensionale semplicemente eseguendo uno scambio nell’ordine di integrazione. Il dominiodi integrazione nel piano »; ´ è mostrato in …g. (7.3); invertendo l’ordine di integrazione siha: Z x

0d»

Z »

0µm(´)d´ =

Z x

0µm(´)d´

Z x

´d» =

Z x

0(x ¡ ´)µm(´)d´

per cui l’eq. (7.20) diviene:

u(x) = u(0) + '(0)x +Z x

0(x ¡ ´)µ(´) d´ (7.21)


Per esempio, nel caso di una trave semplicemente appoggiata, per le condizioni alcontorno u(0) = u(l) = 0 si ha:

'(0) = ¡1l

Z l

0(l ¡ ´)µm(´) d´

e quindi:3

u(x) =Z x

0(x ¡ ´)µm(´)d´ ¡ x

l

Z l

0(l ¡ ´)µm(´)d´

Strutture iperstatiche

Nelle strutture iperstatiche la distribuzione delle sollecitazioni dipende dalle caratteristi-che deformative degli elementi costituenti. Per le strutture in cemento armato, a causadel comportamento non lineare del materiale, dovuto principalmente alla fessurazione, ilproblema è notevolmente complicato e richiede algoritmi di calcolo più complessi di quellinormalmente utilizzati per lo studio delle strutture elastico–lineari.

In pratica tuttavia anche le strutture in cemento armato vengono di solito analizzateassumendo l’ipotesi che il loro comportamento sia elastico lineare, valutando la rigidezzadegli elementi con riferimento all’intera sezione di calcestruzzo ma trascurando il contribu-to delle armature. Questa sempli…cazione o¤re il duplice vantaggio di poter utilizzare gliusuali metodi di calcolo validi per le strutture elastiche e di permettere la determinazionedelle sollecitazioni prescindendo dalla distribuzione delle armature, che vengono calcolatesuccessivamente sulla base delle sollecitazioni così determinate. L’esperienza ha dimostra-to che questa approssimazione, per quanto grossolana, fornisce risultati soddisfacenti ai…ni della veri…ca di sicurezza delle opere. In e¤etti le riduzioni di rigidezza che si veri…ca-no nelle zone più sollecitate delle membrature in‡esse modi…cano un poco la distribuzionedelle sollecitazioni, ma questa ridistribuzione non comporta e¤etti sensibili nei confrontidella sicurezza al collasso perché, se la struttura è su¢cientemente duttile, a questo …neciò che conta è che sia soddisfatto l’equilibrio globale dell’elemento, in quanto le ridistri-buzioni che si veri…cano in fase plastica consentono di utilizzare gli eccessi di resistenzaper colmare eventuali lacune. In fase di esercizio invece possono veri…carsi inconvenientidovuti all’eccessiva sollecitazione di alcune sezioni, ma generalmente questi e¤etti sonoevitati dai margini di sicurezza relativi ai materiali ed alle azioni, oltre che dal rispettodei minimi regolamentari.

Anche per la veri…ca dello stato limite di deformazione delle strutture iperstatiche ègeneralmente ammesso applicare il procedimento, illustrato nel paragrafo precedente conriferimento alle strutture isostatiche, utilizzando le sollecitazioni determinate con l’ipo-tesi di funzionamento elastico–lineare della struttura. Volendo ottenere una determina-zione più accurata delle sollecitazioni e degli spostamenti occorre invece tener conto delcomportamento non lineare indotto dalla fessurazione.

A titolo di esempio nel paragrafo seguente viene illustrato un metodo per l’analisi delletravi continue in fase fessurata e successivamente è riportata la lista di un programma inFORTRAN che applica il procedimento descritto.

Travi continue in fase fessurata

Il modello di comportamento utilizzato è quello descritto nei paragra… precedenti. In fasenon fessurata (M < Mfr) la rigidezza della sezione è quella intera del calcestruzzo (ed

3u è positivo verso l’alto.


Figura~7.4: Convenzioni e simboli per la trave continua.

eventualmente dell’acciaio omogenizzato). In fase fessurata (M ¸ Mfr) il momento diinerzia medio delle sezioni si può calcolare usando le equazioni (7.17) o (7.18) o (7.19),secondo il modello prescelto.

Mentre dall’eq. (7.19) si ottiene direttamente il valore di Im, dalle equazioni (7.17) e(7.18) questa grandezza deve essere derivata ponendo: µm = M=EcIm. Dall’eq. (7.17) siottiene quindi:

Im =Ifr³

(7.22)

e dall’eq. (7.18):

Im =IgIfr

Ifr(1 ¡ ³) + Ig³(7.23)

Per la soluzione del problema è conveniente utilizzare il metodo delle forze. Le incognitesono quindi i momenti di continuità mi tra le campate i-esima ed (i+1)-esima. Indicandocon M0i(x) il momento prodotto dai carichi sulla campata i, considerata come una traveappoggiata, il momento e¤ettivo della trave continua Mi(x), relativamente alla stessacampata, è:

Mi(x) = M0i(x) ¡ mi¡1(1 ¡ xli

) ¡ mixli

(7.24)

dove si è adottata la convenzione di considerare i momenti M(x) positivi se tendono le…bre inferiori della trave, come mostrato in …g. (7.4).


Una coppia di momenti opposti, di modulo unitario, agenti in corrispondenza dell’ap-poggio k producono, sulla trave privata della continuità, il momento […g. (7.4)]:

M 0k(x) =

8<:

x=lk sulla campata k(1 ¡ x=lk+1) sulla campata k + 10 sulle altre campate

(7.25)

Poiché le forze che producono il momento M 0k formano un sistema equilibrato, il lavoro

virtuale dei momenti M 0k per ogni campo di deformazioni congruenti deve essere nullo.

Utilizzando come campo di deformazioni virtuali quelle prodotte dal momento e¤ettivoM(x):

M(x)EcI(x)

(I(x) è il momento di inerzia della sezione), tenendo conto delle equazioni (7.24) e (7.25)e ponendo » = x=l, si ottiene:

ZM(x)EcI(x)

M 0k(x) _x =

= lkZ 1

0

M0k(»)»EcIk(»)

d» + lk+1

Z 1

0

M0;k+1(»)(1 ¡ »)EcIk+1(»)

d» ¡

¡ mk¡1lkZ 1

0

(1 ¡ »)»EcIk(»)

d» ¡

¡ mk·lk

Z 1

0

»2

EcIk(»)d» + lk+1

Z 1

0

(1 ¡ »)2

EcIk+1(»)d»

¸¡

¡ mk+1lk+1

Z 1

0

(1 ¡ »)»EcIk+1(»)

d» = 0

Queste equazioni, scritte per ogni appoggio, danno luogo ad un sistema che, in formacompatta, si può scrivere:

mk¡1c(2)k + mk

³c(1)k + c(3)k+1

´+ mk+1c

(2)k+1 = b(1)k + b(2)k+1 (k = 1; 2; : : : )

(7.26)

dove i coe¢cienti c ed i termini noti b sono forniti dalle relazioni:

c(1)k = lkZ 1

0

»2

EcIk(»)d» c(2)k = lk

Z 1

0

»(1 ¡ »)EcIk(»)

d» c(3)k = lkZ 1

0

(1 ¡ »)2

EcIk(»)d»

b(1)k = lkZ 1

0

M0k(»)»EcIk(»)

d» b(2)k = lkZ 1

0

M0k(»)(1 ¡ »)EcIk(»)

d»

Se Ik(») non dipende dalla sollecitazione il sistema di equazioni (7.26) è lineare; in parti-colare se Ik(») = cost si ottiene la ben nota equazione dei 3 momenti. Nel caso in esameinvece il momento di inerzia varia con la sollecitazione a causa del progredire della fes-surazione, pertanto la soluzione del sistema di equazioni (7.26) richiede un procedimentoiterativo. Un semplice schema è il seguente: si inizia assumendo I(») = Ig, momento diinerzia della sezione non fessurata; risolvendo il sistema (7.26) si determina una soluzionedi primo tentativo. Dalle sollecitazioni conseguenti si ottengono i valori di I(») correttiper tener conto della fessurazione. Con questi valori si calcolano i coe¢cienti c(j)k ed itermini noti b(j)k e, con essi, una soluzione di seconda approssimazione. Il procedimentoviene quindi iterato …no a quando due successive soluzioni di¤eriscono per meno di unatolleranza …ssata.


Lista del programma Nel seguito viene riportata la lista di un programma, in FOR-TRAN 77, per il calcolo delle sollecitazioni e degli spostamenti di travi continue in regimefessurato.

I dati devono essere preparati in un “…le”, secondo lo schema seguente, in cui ogni vocedella lista corrisponde ad una riga (“record”):

1. Numero delle campate, Tolleranza errore convergenza, Opzione: (=0 Norma italiana,= 1 EC2, =2 ACI)

2. Per ogni campata:

(a) Luce di calcolo, Numero delle sezioni esaminate (deve essere dispari)

(b) Per ogni sezione:

² Rigidezza sez. non fess., Rig. sez. fess. mom. pos., Rig. sez. fess. mom.neg., Momento di fessurazione positivo, Mom. fess. negativo, Momento deicarichi su trave appoggiata.

C Programma per il calcolo delle sollecitazioni nelle travi continue inC c.a. nello stato fessuratoc

Parameter (ncp=20, nszp=21)dimension spn(ncp), ns(ncp), rg(ncp,nszp), rf(ncp,nszp,2),&bmf(ncp,nszp,2), bm0(ncp,nszp), reff(nszp), bme(ncp,nszp),&v(nszp),xsi(nszp), c1(ncp), c2(ncp), c3(ncp), b1(ncp), b2(ncp),&c(2*ncp-3), b(ncp-1), x(ncp-1),xp(ncp-1),curv(ncp,nszp),&rot(nszp),y(ncp,nszp)

Cdata beta/0.5/ , maxit /10/

CC Input dei datiCc iop=0 Norma Italc iop=1 EC2c iop=2 ACI

read(5,*) nc,tll,iopDo 20 i=1,ncread(5,*) spn(i),ns(i)do 10 j=1,ns(i)

10 read(5,*) rg(i,j),(rf(i,j,k),k=1,2),(bmf(i,j,k),k=1,2),bm0(i,j)20 continueCC Inizio ciclo iterazioniC

iter=030 do 200 i=1,nc

do 40 j=1,ns(i)40 xsi(j)=float(j-1)/float(ns(i)-1)


CC Alla prima iterazione assume la rigidezza non fessurataC

if(iter.eq.0) thendo 50 j=1,ns(i)

50 reff(j)=rg(i,j)goto 80

end ifCC Calcolo delle sollecitazioni e rigidezze in tutte le sezioniC

do 70 j=1,ns(i)bm=bm0(i,j)if(i.gt.1) bm=bm-x(i-1)*(1-xsi(j))if(i.lt.nc) bm=bm-x(i)*xsi(j)bme(i,j)=bmif(bm.ge.0) then

if(bm.le.bmf(i,j,1)) thenreff(j)=rg(i,j)

elsez=1-beta*(bmf(i,j,1)/bm)**2if(iop.eq.0) then

reff(j)=rf(i,j,1)/zelseif(iop.eq.1) then

reff(j)=1/((1-z)/rg(i,j)+z/rf(i,j,1))else

reff(j)=rg(i,j)*(bmf(i,j,1)/bm)**3 +& rf(i,j,1)*(1-(bmf(i,j,1)/bm)**3)

endifendif

elseif(bm.ge.bmf(i,j,2)) then

reff(j)=rg(i,j)else

z=1-beta*(bmf(i,j,2)/bm)**2if(iop.eq.0) then

reff(j)=rf(i,j,2)/zelseif(iop.eq.1) then

reff(j)=1/((1-z)/rg(i,j)+z/rf(i,j,2))else

reff(j)=rg(i,j)*(bmf(i,j,2)/bm)**3 +& rf(i,j,2)*(1-(bmf(i,j,2)/bm)**3)

endifendif

endifcurv(i,j)=bm/reff(j)

70 continueC


C Calcolo dei coefficienti c e dei termini noti bC80 do 90 j=1,ns(i)90 v(j)=xsi(j)**2/reff(j)

call simpson(v,ns(i),0.,1.,c1(i))do 100 j=1,ns(i)

100 v(j)=xsi(j)*(1-xsi(j))/reff(j)call simpson(v,ns(i),0.,1.,c2(i))do 110 j=1,ns(i)

110 v(j)=(1-xsi(j))**2/reff(j)call simpson(v,ns(i),0.,1.,c3(i))do 120 j=1,ns(i)

120 v(j)=bm0(i,j)*xsi(j)/reff(j)call simpson(v,ns(i),0.,1.,b1(i))do 130 j=1,ns(i)

130 v(j)=bm0(i,j)*(1-xsi(j))/reff(j)call simpson(v,ns(i),0.,1.,b2(i))

200 continuecc Assemblaggio dei coefficienti del sistema di equazionic

do 300 i=1,nc-1c(2*i-1)=c1(i)*spn(i)+c3(i+1)*spn(i+1)if(i+1.lt.nc) c(2*i)=c2(i+1)*spn(i+1)b(i)=b1(i)*spn(i)+b2(i+1)*spn(i+1)

300 continuecall solve2(c,b,nc-1,x)

cc Controllo convergenzac

if(iter.gt.0) thenerr=0do 320 i=1,nc-1

320 err=max(err,abs(x(i)-xp(i)))write(6,*) ’Iterazione n.’,iter,’ Errore =’,errif(err.le.tll.or.iter.gt.maxit) goto 400

end ifcc Ricorda il risultato in xpc

do 350 i=1,nc-1350 xp(i)=x(i)

iter=iter+1cc Nuova iterazionec

goto 30c


c Convergenza raggiunta. Calcolo degli abbassamentic400 continue

do 450 i=1,ncrot(1)=0dx=spn(i)/(ns(i)-1)do 410 j=2,ns(i)

410 rot(j)=rot(j-1)+(curv(i,j-1)+curv(i,j))*dx/2y(i,j)=0do 420 j=2,ns(i)

420 y(i,j)=y(i,j-1)+(rot(j-1)+rot(j))*dx/2do 430 j=2,ns(i)

430 y(i,j)=y(i,j)-y(i,ns(i))*float(j-1)/float(ns(i)-1)450 continuecc Stampa dei risultatic

write(6,1000)do 500 i=1,ncwrite(6,1100) i,(bme(i,j),j=1,ns(i))

500 write(6,1200) (y(i,j),j=1,ns(i))stop

1000 format(’1’,’SOLUZIONE’,//)1100 format(1x,/,’CAMPATA N.’,i3,/’ Momenti=’,/(1x,6e12.5))1200 format(1x,’Abbassam.=’,/(1x,6e12.5))

endcc

subroutine solve2(c,b,n,x)cc Soluzione sistemi lineari con matrice simmetrica e banda 2c

dimension c(*),b(*),x(*)cc Riduzionec

do 10 i=2,nc(2*i-1)=c(2*i-1)-c(2*i-2)**2/c(2*i-3)

10 b(i)=b(i)-b(i-1)*c(2*i-2)/c(2*i-3)cc Sostituzione all’indietroc

x(n)=b(n)/c(2*n-1)do 20 i=n-1,1,-1

20 x(i)=(b(i)-x(i+1)*c(2*i))/c(2*i-1)returnend

c


csubroutine simpson(v,n,a,b,q)

cc Integrale definito con regola di Simpsonc

dimension v(*)if(mod(n,2).ne.1) thenwrite(6,1000)stopendifq=v(1)do 10 i=2,n-3,2

10 q=q+4*v(i)+2*v(i+1)q=(q+4*v(n-1)+v(n))*(b-a)/3/(n-1)return

1000 format(’ ERRORE IN ROUTINE SIMPSON’,/&’Il numero dei punti di integrazione deve essere dispari’)end

Note Gli integrali che de…niscono i coe¢cienti c e b dell’eq. (7.26) vengono calcolati nu-mericamente con la regola di Simpson. Questo richiede che il numero di sezioni esaminateper ogni campata (punti di integrazione) sia dispari. È ovvio che le sezioni consideratesono distribuite uniformemente alla distanza costante l=(n ¡ 1).

Per il calcolo degli abbassamenti si è integrata due volte la funzione delle curvature,applicando direttamente l’eq. (7.20), usando la semplice regola dei trapezi. Questo proce-dimento, meno accurato, ha il vantaggio di fornire direttamente il valore dello spostamentodi ogni punto di integrazione e quindi, per punti, l’intera deformata della trave.

Esempio

Come esempio di utilizzazione del calcolo non lineare delle sollecitazioni e degli abbassa-menti di una trave in cemento armato viene studiata, mediante il programma presentatoin precedenza, una trave continua a due campate.

Esempio 7.1 Si considera la trave simmetrica a due campate rappresentata in …g. (7.5). Siassume che sia sollecitata da un carico di esercizio uniforme p = 40 kN=m. La trave è stataprogettata con il metodo delle tensioni ammissibili per le sollecitazioni ricavate da un calcoloelastico della trave non fessurata. Si ottiene: 2

Momento sull’appoggio M = 18pl2 = 180 kNm

Momento massimo in campata M = 9128pl

2 = 101:2 kNm

Esempio 7.2 Assumendo per i materiali le seguenti caratteristiche: Calcestruzzo Rck = 30 N=mm,Acciaio tipo Fe B 44k, sono state calcolate le armature rappresentate in …gura.Nella trave si riconoscono tre tipi di sezione, diversi per i quantitativi dell’armatura:Sez. 1 Asup = 2Á14 = 3:1 cm2 Ainf = 4Á16 = 8:0 cm2

Sez. 2 Asup = 2Á14 + 2Á16 + 1Á20 = 10:2 cm2 Ainf = 2Á16 = 4:0 cm2

Sez. 3 Asup = 2Á14 + 4Á16 + 1Á20 = 14:2 cm2 Ainf = 2Á16 = 4:0 cm2


Figura~7.5: Armatura della trave continua dell’esempio.

Sez. Ig(cm4) I+f (cm4) I¡f (cm4) M+fr(Ncm) M¡

fr(Ncm)1 540000 250134 117884 3:285 £ 106 ¡3:285 £ 106

2 540000 149913 304706 3:285 £ 106 ¡3:285 £ 106

3 540000 152922 388258 3:285 £ 106 ¡3:285 £ 106

Tabella 7.3:

Dividendo la trave in 10 conci di uguale lunghezza (¢x = 60 cm), la Sez. 1 interessa le sezioni 1 –8, la Sez. 2 la sezione 9 e la Sez. 3 le sezioni 10 - 11.Le caratteristiche delle sezioni richieste dal programma sono riportate nella tabella (7.3)I risultati ottenuti, adottando il modello di fessurazione della normativa italiana, sono illustratinella …g. 7.6, a confronto con quelli corrispondenti all’analisi della trave non fessurata. Come sivede il diagramma delle sollecitazioni non si modi…ca sensibilmente, tuttavia il momento sull’ap-poggio aumenta di circa l’11% (M = 200 kNm). Questo è dovuto al fatto che le sezioni prossimeall’appoggio, essendo maggiormente armate, sono, in fase fessurata, più rigide di quelle della partecentrale della trave. Le deformazioni (calcolate con riferimento al modulo elastico del calcestruzzoE¤

c = 0:4Ec = 12500 N=mm2, ridotto per tener conto della viscosità) sono ovviamente molto mag-giori in fase fessurata di quelle relative alla fase I. Tuttavia il risultato sarebbe stato invece pocodiverso se il calcolo, in fase fessurata, fosse stato eseguito sulla base del momento relativo alla faseelastica. 2


Figura~7.6: Diagrammi dei momenti e delle deformazioni della trave continua dell’esempio

Giannini TdC

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