GEOMETRIA - staticmy.zanichelli.it · Capitolo G1. La geometria del piano G4 ORIA T I postulati di...

GEOMETRIA

■ LA GEOMETRIA DEL PIANO

■ I TRIANGOLI

■ PERPENDICOLARI E PARALLELE

■ I PARALLELOGRAMMI E I TRAPEZI

G2

T

CAPITOLO

G1 LA GEOMETRIA DEL PIANO

Oggetti geometrici e proprietˆ

■ Le definizioni

La geometria si occupa di studiare le relazioni fra enti geometrici, cioè oggetti ideali che rappresentano aspetti della realtà. Gli enti sono descritti da definizioni. Una definizione è una frase nella quale viene associato un nome a un ente e ne vengono elencate le proprietà. Per dare una definizione è necessario conoscere il significato di alcuni termini. Per esempio, se diamo come definizione di rettangolo: «un rettangolo è un parallelogramma che ha i quattro angoli congruenti», per stabilire che cos’è un rettangolo dobbiamo sapere che cosa significano le parole «parallelogramma», «angoli», «congruenti».

Se i termini usati non sono conosciuti, si devono dare altre definizioni. Anche in queste saranno utilizzati altri enti, che a loro volta dovranno essere definiti...

■ Gli enti primitivi

Per interrompere questo procedimento non si può fare altro che supporre che alcuni enti non vengano definiti, ma siano accettati come noti. Questi enti sono detti enti primitivi. In geometria consideriamo come enti primitivi: il punto, la retta, il piano.

Indichiamo i punti con lettere maiuscole (A, B, C…), le rette con lettere minuscole (r, s, t…) e i piani con lettere minuscole dell’alfabeto greco , , .fa b c^ h

a. Il punto ideale non ha dimensione, mentre quello che disegniamo con la matita, per quanto piccolo, ha un’estensione!

b. La retta che disegniamo ha per forza uno spessore, mentre la retta ideale èillimitata da entrambe le parti e non ha spessore.

c. Il piano ideale è illimitato in tutte le direzioni. Possiamo disegnarne sul foglio solo una parte che lo rappresenta.

punto retta piano

A r

α

1|▶ Esercizi a p. G25

MATEMATICA E STORIA

Matematica e demo-

crazia Come mai il

metodo dimostrativo è

nato proprio in Grecia?

La risposta

Paragrafo 1. Oggetti geometrici e proprietˆ

G3

TEORIA

T

■ Le figure geometriche

Un insieme qualsiasi di punti costituisce una figura geometrica; lo spazio è l’insieme di tutti i punti e contiene quindi tutte le figure. Una figura che appartiene a un piano si chiama figura piana, altrimenti si chiama figura solida.

■ I postulati

In geometria ci sono alcune proprietà alle quali affidiamo un ruolo simile a quello assunto dagli enti primitivi rispetto alle figure geometriche. Nella geometria razionale vogliamo ricavare, mediante deduzioni, delle proprietà da altre proprietà. In questo procedimento dobbiamo accettare che alcune proprietà vengano assunte come «primitive», ossia non siano dedotte ma accettate come vere. A queste proprietà viene dato il nome di postulati o assiomi.

■ I teoremi

I teoremi sono enunciati la cui verità può essere dimostrata a partire dai postulati o da altri teoremi. Una dimostrazione è una sequenza di deduzioni che, partendo da affermazioni considerate vere (ipotesi), fa giungere a una nuova affermazione (tesi).

In seguito scriveremo spesso l’enunciato dei teoremi mediante la struttura linguistica «Se..., allora...».

La frase che segue il «se» è l’ipotesi, ossia ciò che supponiamo vero; quella dopo «allora» è la tesi, ossia l’affermazione da dimostrare.

ESEMPIO Enunciato del teorema:

«Se un triangolo è isoscele, allora ha due angoli congruenti».

Ipotesi «Un triangolo è isoscele».

Tesi «(Il triangolo) ha due angoli congruenti».

ipotesi

Il triangolo ha due angoli congruenti

tesi

Un triangoloè isoscele

==

Un teorema che è l’immediata conseguenza di un altro teorema, è un corollario.

Se in un teorema vengono scambiate l’ipotesi e la tesi, si ottiene la proposizione inversa che, se risulta valida, prende il nome di teorema inverso (o reciproco).

ESEMPIO Inverso del teorema precedente:

«Se in un triangolo due angoli sono congruenti, allora esso è isoscele».

Ipotesi «Due angoli di un triangolo sono congruenti».

Tesi «(Il triangolo) è isoscele».

La geometria razionale, fondata su definizioni, enti primitivi, postulati e teoremi, trovò la sua prima sistemazione nell’opera di Euclide, matematico greco del III secolo a.C.; per questo motivo, per indicarla, si usa anche il termine geometria euclidea.

Listen to it

Within a given theory, a pos-

tulate or axiom is a state-

ment assumed to be true,

while a theorem is a state-

ment that can be proved.

affermazioni

tesi

deduzioni

dimostrazione

affermazioni

ipotesi

▶ Dopo aver individuato

l’ipotesi e la tesi dei

seguenti teoremi, scri-

vili nella forma: se…,

allora…

• La somma di due

numeri naturali dispari

è un numero pari.

• In un quadrato

le diagonali sono

congruenti.

• Due numeri interi

opposti hanno per

somma 0.

• Due rettangoli con la

stessa base e la stessa

altezza hanno area

uguale.

Capitolo G1. La geometria del piano

G4

TEORIA

T

I postulati di appartenenza e d’ordine

Abbiamo detto che punto, retta e piano sono enti primitivi. Come possiamo allora conoscerne le caratteristiche se non sono definiti?Ciò è possibile mediante i postulati di appartenenza e di ordine che possono essere pensati come «definizioni implicite» degli enti primitivi.

■ I postulati di appartenenza

Poiché la retta è un insieme di punti, possiamo utilizzare il concetto di appartenenza.Dire che un punto P appartiene a una retta r è equivalente a dire che P sta su r o anche che r passa per P.Il concetto di appartenenza è utile anche per rette e piani.Se tutti i punti di una retta r appartengono a un piano a , diciamo che r appartiene ad a , o anche che r sta su a , o che a passa per r.Diciamo poi che tre o più punti sono allineati se appartengono a una stessa retta.Valgono i seguenti postulati.

Postulati di appartenenza

1. A una retta appartengono almeno due punti distinti e a un piano almeno tre punti distinti non allineati.

2. Due punti distinti appartengono a una retta e a una sola.

3. Tre punti distinti e non allineati appartengono a un piano e a uno solo.

4. Considerata una retta su un piano, c’è almeno un punto del piano che non appartiene alla retta.

5. Se una retta passa per due punti di un piano, allora appartiene al piano.

Analizziamo l’espressione «una e una sola» che compare nel secondo postulato:

• una: esprime il concetto di esistenza. Dati due punti distinti A e B esiste una retta che passa per A e B, ossia A e B appartengono alla retta.

• una sola: esprime il concetto di unicità. La retta passante per A e B è unica, e A e B appartengono a una sola retta.

Possiamo quindi affermare che A e B individuano una retta, che chiamiamo retta AB.

Se diciamo: «Per due punti passa una e una sola retta», escludiamo che tutte e tre le linee disegnate nella figura a lato siano rette.


Listen to it

In Euclidean geometry there

are postulates describing

relations between points,

lines and planes.

QR

P S

r

P, Q, R, allineati

P, Q, S, non allineati

▶ Dimostra che per una

retta r e un punto P che

non le appartiene passa

un piano e uno solo,

utilizzando i postulati di

appartenenza.

Animazione

P

A B r

Q

Rα

A

B

αr

A

αr

A

B

retta AB

A B

Paragrafo 2. I postulati di appartenenza e d’ordine

G5

TEORIA

T

Una conseguenza del secondo postulato è che due rette distinte possono avere al più un punto in comune. In questo caso chiamiamo le rette inci-denti.

■ I postulati d’ordine

Ogni retta può essere orientata stabilendo su di essa un verso di percorrenza. Nell’esempio della figura a lato, diciamo che A

precede B, oppure che B segue A, perché, percorrendo la retta nel verso fissato, incontriamo prima A e poi B.Valgono i seguenti postulati.

Postulati d’ordine

1. Se A e B sono due punti distinti di una retta, o A precede B, o B precede A.

2. Se A precede B e B precede C, allora A precede C.

3. Preso un punto A su una retta, c’è almeno un punto che precede A e uno che segue A.

4. Presi due punti B e C su una retta, con B che precede C, c’è almeno un punto A della retta che segue B e precede C.

A

BC

A precede B

B precede C

A precede C

A

B

C

A segue B e

A precede C

Per il postulato 1, non ci sono punti di una retta che non possono essere confrontati e vale la proprietà antisimmetrica; per il postulato 2, vale la proprietà transitiva, quindi la relazione considerata è una relazione d’ordine totale.Il postulato 3 dice che una retta è illimitata: su una retta non esistono né un primo punto, né un ultimo.Il postulato 4 afferma invece che la retta è un insieme denso: fra due punti distinti esiste sempre un altro punto. Dai postulati d’ordine, considerati insieme a quelli di appartenenza, si può dedurre che:

• per un punto di un piano passano infinite rette;

• ogni piano contiene infiniti punti e infinite rette.

L’insieme delle infinite rette di un piano che passano per un punto P del piano stesso si chiama fascio proprio

di rette e P è il centro del fascio.

PROBLEMA

Mettere in

bolla La livella a

bolla è uno stru-

mento che verifi-

ca l’orizzontalità

di un piano.

Quando la livella è posta su un piano orizzon-

tale, la bolla d’aria compare al centro di una

zona prestabilita dello strumento.

▶ Prova a usare una livella a bolla per mettere

un piano in orizzontale. Indica il procedimento

usato e i postulati su cui si basa.

Scheda di lavoro

a

b

P

rette incidenti

A B

retta orientata

▶ Spiega perché, se

diciamo che fra due

punti su una retta ce n’è

almeno uno, possiamo

anche dire che fra i due

punti ce ne sono infiniti.

fascio di rette

P

centro

del fascio

▶ Due rette orientate r e s si intersecano nel punto P. I punti A, C, D appartengono alla retta r e

i punti B e F appartengono alla retta s. Rappresenta graficamente le due rette, sapendo che:

• B segue P ma non segue F;

• C precede P e segue D;

• A segue C ma non precede P.


G6

TEORIA

T

Gli enti fondamentali

■ Le semirette

DEFINIZIONE

Data una retta orientata e un suo punto O, chiamiamo semirette:

• l’insieme formato da O e da tutti i punti che lo seguono;

• l’insieme formato da O e da tutti i punti che lo precedono.

Il punto O si chiama origine della semiretta. La definizione afferma che su una retta esistono due semirette opposte, aventi la stessa origine. L’origine è il solo punto che due semirette opposte hanno in comune.

■ I segmenti

DEFINIZIONE

Data una retta orientata e due suoi punti A e B, con A che precede B, chiamiamo segmento AB l’insieme dei punti della retta formato da A, da B e dai punti che seguono A e precedono B.

I punti A e B si chiamano estremi del segmento, i punti compresi fra A e B sono i punti interni del segmento. Un segmento è nullo se i suoi estremi coincidono, ossia se è privo di punti interni. Il segmento nullo è costituito da un solo punto.

Fissati due punti A e B, possiamo anche pensare alla retta AB divisa in tre parti: il segmento AB, la semiretta di origine A che non contiene B e la semiretta di origine B che non contiene A. Queste due semirette vengono dette prolungamenti del segmento AB.

Due segmenti sono consecutivi se hanno in comune soltanto un estremo; sono adia-centi quando sono consecutivi e appartengono alla stessa retta.

■ Le poligonali

DEFINIZIONE

Si dice poligonale una figura costituita da un insieme ordinato di segmenti in cui ciascun segmento e il successivo sono consecutivi.

Una poligonale è chiusa se l’ultimo estremo coincide con il primo. In caso contrario la poligonale è aperta. I segmenti di una poligonale si dicono anche lati della po

3 |▶ Esercizi a p. G27

Listen to it

A ray is the set of points on

a line that either all precede

or all follow a given point.

O

O

Oa

b

Listen to it

A segment is the set of

points of a line contained

between two points, the end-

points of the segment.

A B

prolungamenti

A B

segmenti consecutivi

A

B

C

segmenti adiacenti

A CB

A E

B

C

D

Paragrafo 3. Gli enti fondamentali

G7

TEORIA

T

ligonale. Una poligonale è intrecciata se almeno due suoi lati (non consecutivi) si intersecano.

a. Poligonale aperta.

A

B

Fprimo estremo ultimo

estremo

CD

E

E

CB

D

AF

c. Poligonale intrecciata.

A ≡ F

b. Poligonale chiusa.

D

CB

E

■ I semipiani

La definizione di semiretta è possibile perché un punto divide una retta in modo che, «muovendosi» sulla retta, per passare da una semiretta all’altra bisogna «attraversare» il punto.Il postulato di partizione del piano mediante una retta serve per introdurre un concetto analogo per il piano.

POSTULATO

Una retta di un piano divide i punti del piano che non le appartengono in due insiemi distinti, in modo che, se due punti appartengono allo stesso insieme, allora il segmento di cui sono estremi non interseca la retta; se appartengono a insiemi diversi, allora il segmento interseca la retta.

Il postulato dice che, se consideriamo una retta r (figura a lato), essa divide i punti del piano in due insiemi a e b in modo che, per passare dall’insieme a all’insieme b, dobbiamo «attraversare» r; mentre questo non succede se «restiamo», per esempio, in b.

DEFINIZIONE

Considerata una retta r di un piano, un semipiano di origine r è l’insieme dei punti di r e di uno dei due insiemi in cui il piano è diviso da r.

Diciamo che i due semipiani originati da una retta in un piano sono opposti. La retta origine di entrambi è la loro intersezione.

■ Figure convesse, figure concave

DEFINIZIONE

Una figura è convessa se due suoi punti qualsiasi sono estremi di un segmento tutto contenuto nella figura.In caso contrario la figura è concava.

figura convessa figura concava

Q

R

S

α

r

P

β

PQ interseca r

RS non interseca r

origine

semipiano

semipiano

r r

▶ Spiega perché la figura

costituita da due rette è

una figura concava.

A B


G8

TEORIA

T

■ Gli angoli

DEFINIZIONE

Un angolo è ciascuna delle due parti di piano individuate da due semirette aventi la stessa origine, incluse le due semirette.

angolo angolo

Vlati

vertice

Le due semirette sono i lati dell’angolo; il punto di origine in comune è il vertice dell’angolo.

I punti che appartengono all’angolo, ma non ai suoi lati, sono i punti interni dell’angolo. Per indicare un angolo di vertice O e con lati le semirette a e b, usiamo il simbolo aObW .

Un angolo si può anche indicare con una lettera greca (per esempio: a , b, c).

Quando due angoli hanno in comune soltanto il vertice e un lato, si dicono conse-cutivi. Due angoli consecutivi i cui lati non comuni appartengono alla stessa retta si dicono adiacenti.

ESEMPIO

O a

b

c

V df

e

a. Gli angoli aOb e bOc sono consecutivi. b. Gli angoli dVe ed eVf sono adiacenti.

Angolo piatto, angolo giro, angolo nullo

• Un angolo è piatto quando i suoi lati sono due semirette opposte; coincide con un semipiano e spesso lo indicheremo con r .

• L’angolo giro è l’angolo i cui lati sono semirette coincidenti e che coincide con l’intero piano.

• Un angolo è nullo quando i suoi lati sono due semirette coincidenti e non comprende altri punti oltre quelli dei lati.

Listen to it

An angle can be considered

as either of the two parts

of the plane bordered by

two rays with a common

endpoint.

▶ In un piano traccia due

rette a e b che si interse-

cano in O. Considera le

possibili intersezioni fra

un semipiano di origine a

e uno di origine b. Quali

figure ottieni?

Animazione

O

angolo

nullo

O

angolo

giro

O

angolo

piatto


G9

TEORIA

T

Gli angoli possono essere sia figure concave sia figure convesse. Per decidere se un angolo è concavo o convesso, anziché ricorrere alla definizione precedente, possiamo considerare i prolungamenti dei suoi lati.

c. L’angolo piatto è convesso.π contiene il prolungamento dei suoilati, ma non al proprio interno.

O

B

A

angolo concavo angolo convesso angolo piatto

π

O

O

αβ

b. Se un angolo non contiene alproprio interno i prolungamenti deilati, allora è convesso. Infatti, comunque scegliamo due punti, il segmento che li unisce è contenutosempre interamente nell’angolo.

a. A eccezione dell’angolo giro, seun angolo contiene al propriointerno i prolungamenti dei lati,allora è concavo. Infatti è possibile scegliere due punti in modo che il segmento che li unisce non sia contenuto interamente nell’angolo.

■ La congruenza delle figure

Quando parliamo di movimento rigido intendiamo dire che nell’ambito della geometria euclidea si può pensare di spostare le figure senza deformarle. È un concetto che deve essere considerato primitivo.

In geometria utilizzeremo la parola uguaglianza (e il simbolo =) soltanto per indicare la coincidenza punto a punto di due figure.

Useremo invece la parola congruenza per indicare la sovrapponibilità punto a punto di una figura a un’altra mediante un movimento rigido.

DEFINIZIONE

Due figure sono congruenti se sono sovrapponibili punto a punto l’una all’altra mediante un movimento rigido.

Per indicare la congruenza di due figure useremo il simbolo ,.

ESEMPIO Nel triangolo isoscele ABC (figura a lato) la mediana e l’altezza relative alla base sono uguali, perché coincidono, mentre i lati AC e CB sono congruenti.Lo indichiamo con: AC , CB.

Per la congruenza di figure valgono le seguenti proprietà che assumiamo come postulati.

mediana = altezza

A B

C

AC BC~=


G10

TEORIA

T

POSTULATI

• Proprietà riflessiva: ogni figura è congruente a se stessa: 𝒜 , 𝒜.

• Proprietà simmetrica: se 𝒜 , ℬ, allora ℬ , 𝒜.

• Proprietà transitiva: se 𝒜 , ℬ e se ℬ , 𝒞, allora 𝒜 , 𝒞.

Pertanto la relazione di congruenza è una relazione di equivalenza.

Inoltre vale anche il seguente postulato.

POSTULATO

Sono congruenti fra loro: due rette, due semirette, due piani, due semipiani.

■ Il trasporto dei segmenti e degli angoli

Valgono i seguenti postulati.

Postulato del trasporto dei segmentiData una semiretta di origine O e un segmento AB, sulla semiretta esiste ed è unico il punto P tale che OP AB, .

Postulato del trasporto di angoliDati un semipiano, sulla cui origine si sia fissata una semiretta s di origine Ol, e un angolo aObW di origine O, c’è ed è unica la semiretta p appartenente al semipiano, tale che paOb sO, lW X .

■ Le linee piane

Se disegniamo un punto su un foglio e muoviamo la matita, senza staccarla dal foglio, otteniamo una linea. Diremo che una linea piana è un insieme di punti ottenuti dal movimento continuo di un punto del piano.

La retta può essere vista come un caso particolare di linea. Ogni linea che non sia una retta, una semiretta o un segmento viene detta linea curva o semplicemente curva.Un tratto di curva compreso fra due suoi punti viene detto arco; i due punti si chiamano estremi.

Ogni linea è percorribile in due versi opposti. Immaginiamo di percorrere una linea, partendo da un suo punto, sempre nello stesso verso. Se a fine percorso arriviamo nuovamente al punto di partenza, la linea è chiusa; in caso contrario la linea è aperta.Se poi, durante il percorso, incontriamo uno stesso punto più di una volta, allora la linea è intrecciata. In caso contrario è semplice.

Ogni linea semplice chiusa divide l’insieme dei punti del piano che non le appartengono in due regioni: una che contiene segmenti, ma non rette; l’altra che contiene anche rette. I punti della prima regione si dicono interni alla linea, quelli della seconda si dicono esterni.

▶ Verifica le tre pro-

prietà con i triangoli della

figura.

�

�

ℬ

O

P A

B

p

s b

a

O'

O

∼

∼

arco

estremi

Linea semplice chiusa.

punti interni

punti esterni

Linea intrecciata aperta.


G11

TEORIA

T

POSTULATO

Partizione del piano mediante una linea chiusa Una linea che congiunge un punto interno e un punto esterno di una linea chiusa la interseca in almeno un punto.

Consideriamo un punto C e tutti i punti P, Q, R,… tali che CP CQ CR, , …

Diciamo anche che P, Q, R,… hanno distanza uguale da C. L’insieme di tali punti è una particolare linea chiusa non intrecciata: la circonferenza.

DEFINIZIONE

Dati su un piano i punti C e P, la cir-conferenza di centro C e raggio CP è l’insieme dei punti del piano che hanno da C distanza uguale a quella di P.

La parte di circonferenza compresa fra due suoi punti è un arco. L’insieme dei punti di una circonferenza e di tutti quelli interni a essa è un cerchio.

Ammettiamo il seguente postulato della circonferenza.

POSTULATO

Presi a piacere, in un piano, un punto e un segmento, esiste una sola circonferenza che ha per centro quel punto e per raggio quel segmento.

MATEMATICA E STORIA

I primi tre postulati Nel suo libro Elementi, Euclide chiede che si possa:

1. condurre una linea retta da un qualsiasi punto a ogni altro punto;

2. prolungare continuamente per diritto una retta terminata (noi diremmo un segmento);

3. descrivere una circonferenza con ogni centro e ogni distanza.

I primi due postulati vengono detti «postulati della riga» perché ci permettono di usare la

riga non graduata. Il terzo postulato è detto «postulato del compasso». Il compasso del

terzo postulato si chiude non appena lo solleviamo dal foglio, quindi in base a tale postulato non possiamo riportare una di-

stanza da un punto a un altro. Solo attraverso successive dimostrazioni Euclide giunge al trasporto di un segmento.

▶ Oltre ai postulati, Euclide formula delle nozioni comuni. Trova degli esempi.

Cerca nel web: Euclide, postulati, nozioni comuni.

■ I poligoni

Nello studio della geometria euclidea hanno particolare importanza le figure che si generano tracciando poligonali chiuse e non intrecciate.

DEFINIZIONE

Un poligono è l’insieme dei punti di una poligonale chiusa e non intrecciata e di tutti i suoi punti interni.

Listen to it

A circle can be defined as

the set of points with the

same distance from a point.C

R

P

CR CP CQ

Q

~= ~=

raggio

circonferenza

centro

arco AB cerchio

A

B

▶ Una circonferenza, un

arco di circonferenza,

un cerchio sono figure

concave o convesse?

Accompagna le risposte

con esempi.

A

BC

D

EF

poligono


G12

TEORIA

T

In generale, un poligono può essere convesso o concavo. Per brevità, se non faremo altre precisazioni, useremo il termine poligono per indicare un poligono convesso.

In un poligono:

• i segmenti che formano la poligonale sono i lati; i loro estremi sono i vertici;

• gli angoli convessi formati dalle semirette di lati consecutivi sono gli angoli del poligono, o angoli interni;

• gli angoli adiacenti agli angoli interni sono gli angoli ester-ni; a ciascun angolo interno corrispondono due angoli esterni;

• i segmenti che hanno per estremi due vertici del poligono che non appartengono allo stesso lato sono le diagonali.

Un poligono con tutti i lati congruenti è equilate-ro, con tutti gli angoli congruenti è equiangolo.Un poligono è regolare se è equilatero ed equiangolo.Classifichiamo i poligoni in base al numero dei lati: un triangolo ha 3 lati, un quadrilatero 4, un pentagono 5, un esagono 6, un ettagono 7, un ottagono 8, un ennagono 9, un decagono 10 e via dicendo.

Si può dimostrare che in un poligono di n lati il numero d delle diagonali è:

( )d

n n 32=-

.

Le operazioni con i segmenti e con gli angoli

■ Il confronto di segmenti

Confrontare due segmenti significa stabilire se sono o non sono congruenti e, in quest’ultimo caso, quale dei due è maggiore. Per effettuare il confronto basta sovrapporre i segmenti in modo che un estremo dell’uno coincida con un estremo dell’altro.

• Se anche il secondo estremo coincide, i segmenti sono congruenti. Nell’esempio in figura a, scriviamo: AB OP, .

• Se il secondo estremo di uno risulta interno all’altro (figura b), i due segmenti non sono congruenti. Scriviamo:

AB CD1 (AB minore di CD), CD AB2 (CD maggiore di AB).

▶ Disegna sei punti A,

B, C, D, E, F in modo

che ABCD sia un qua-

drilatero convesso, con

A, B, C, D disposti in

senso orario, E un punto

interno ad ABCD e F un

punto esterno, con EF

che interseca soltanto

BC. Indica se i poligoni

DABE, DEBC, ABFCD,

ABECD sono figure

concave o convesse.

B

C

D

E

H

I

LM

F

G

A

vertice

lato

diagonali

P

Q

R

S

angolointerno

angoloesterno

angoloesterno

▶ Abbiamo affermato

che in un poligono di

n lati il numero delle

diagonali d è dato dalla

formula

( )d

n n

2

3=

-.

Verificalo per n 3= , 4,

5, 6.

Dimostra la validità della

legge per n qualsiasi.

Animazione

DA

B C

EF

esagono regolare

SS

SS

S S


AB CD

A ≡ C D

C

D

B

<

B ≡ P

AB OP

A ≡ O

O

P

~=a

b

Paragrafo 4. Le operazioni con i segmenti e con gli angoli

G13

TEORIA

T

Costruzione per determinare un punto equidistante da due punti dati

Quello che segue è un esempio di costruzione con riga e compasso.In queste costruzioni, caratteristiche della geometria euclidea, il compasso serve per tracciare circonferenze o archi di circonferenza, la riga per congiungere punti e tracciare segmenti, mentre non può essere usata per misurare, come siamo abituati a fare.Dato un segmento AB, cerchiamo un punto C equidistante da A e da B, avente come distanza quella del segmento stesso.

A BBA

b. Tracciamo la circonferenza di centro A e raggio AB, poi la circonferenza di centro B e raggio AB.

a. È dato il segmento AB. c. C e C' sono equidistanti da A e da B. C appartiene alla circonferenza di centro A, quindi AC AB. C appartiene anche alla circonferenza di centro B, quindi BC AB.Per la

BA

C

=

==

C'

~=

~=proprietà transitiva, AC BC.~=

Nella costruzione della figura b usiamo il postulato della circonferenza. Nella figura c utilizziamo la definizione di circonferenza.

■ LÕaddizione e la sottrazione fra segmenti

Somma di segmentiDati due segmenti adiacenti AB e BC, la loro somma è il segmento AC, che ha per estremi i loro estremi non comuni.

Scriviamo: AB BC AC+ = .

Per estendere questa definizione a due segmenti qualsiasi, basta considerare due segmenti adiacenti che siano congruenti a quelli dati.

L’addizione fra segmenti gode delle proprietà commutativa e associativa. Inoltre, esiste l’elemento neutro, che è il segmento nullo.

▶ Completa inserendo uno dei simboli 1, , , 2.

Fai il confronto tra i segmenti con il compasso.

• AB EF

• FG DC

• FQ FG

• PF AB

• AB EG

A B

D P

G

F

E Q

C

FE

AB + CD = EF

A

B

C

D


G14

TEORIA

T

Valgono inoltre le seguenti proprietà.Dati quattro segmenti AB, CD, EF, GH:

1. se AB CD, ed EF GH, , allora AB EF CD GH,+ + , ossia somme di segmenti congruenti sono congruenti;

2. se AB CD2 ed EF GH2 , allora AB EF CD GH2+ + , se AB CD1 ed EF GH1 , allora AB EF CD GH1+ + , ossia somme di segmenti disuguali nello stesso senso sono disuguali nello stesso senso.

Differenza di segmentiDati i segmenti AB e AC (con AC AB2 o AC AB, ), la differenza fra AC e AB è il segmento che, addizionato ad AB, dà come somma AC.

Scriviamo: AC AB BC- = . Dati quattro segmenti AB, CD, EF, GH, vale la seguente proprietà: se AB CD, ed EF GH, (con AB EF2 ), allora AB EF CD GH,- - , ossia differenze di segmenti ordinatamente congruenti sono congruenti.

■ I multipli e i sottomultipli di segmenti

Si chiama multiplo di un segmento a, secondo il numero naturale n 12 , un segmento b congruente alla somma di n segmenti congruenti ad a.

Scriviamo b na= .Se n 1= , possiamo estendere la definizione, considerando in questo caso, come multiplo di a, a stesso. Se n 0= , b è il segmento nullo.

Nella relazione precedente possiamo anche dire che a è sottomultiplo di b secondo il numero n (con n 0! ).

Scriviamo a nb

= oppure a n b1

= .

Inoltre, con m numero naturale, la scrittura c nm

b= (con n 0! ) significa

c nm

b mbn= = a k.

ESEMPIO Il segmento a si ottiene dal segmento b considerando il multiplo secondo 2 del sottomultiplo secondo 3 di b:

ab

b2 3 32

= =a k .

Valgono i seguenti postulati.

Postulato di Eudosso-Archimede per i segmentiDati due segmenti, che non siano congruenti o nulli, esiste sempre un segmento multiplo del minore che supera il maggiore.

Postulato di divisibilità dei segmentiDato un segmento, esiste il suo sottomultiplo secondo un qualsiasi numero naturale.

▶ Verifica con esempi

che l’addizione fra

segmenti gode della

proprietà commutativa e

associativa.

AC – AB = BC

A CB

AB + BC = AC

infatti

ba = —

3

1= — b

3

b = 3a

a

b

= = =

b

= =

a

2a = — b

3

▶ Dati i segmenti

MN, PQ, RS, tali

che PQ RS52

, e

MN PQ23

, , dimostra

che:

.PQ RS MN PQ21

54

,+ -

Animazione

▶ Verifica geometrica-

mente la relazione dell’e-

sercizio sopra.

Animazione


G15

TEORIA

T

■ Il punto medio di un segmento

Punto medio di un segmentoIl punto medio di un segmento è il punto che lo divide in due segmenti congruenti.Vale il seguente postulato.

Unicità del punto medioEsiste sempre il punto medio di un segmento ed è unico.

■ Il confronto di angoli

Confrontare due angoli significa stabilire se sono o non sono congruenti e, in quest’ultimo caso, verificare quale dei due è maggiore.

Per effettuare il confronto basta sovrapporre un angolo all’altro, in modo che coincidano i due vertici e un lato.

• Se anche il secondo lato risulta sovrapposto, come nella figura a, i due angoli sono congruenti. Scriviamo:

,a b.

• Se il secondo lato di un angolo risulta interno all’altro, come nella figura b, i due angoli non sono congruenti. Scriviamo:

1a b (a minore di b) oppure 2b a (b maggiore di a).

X X

A BM

▶ Descrivi il procedimento per ottenere con riga e compasso la seguente costruzione per individuare il punto medio di un seg-

mento e utilizzala con un segmento scelto da te. (Esamineremo le giustificazioni delle costruzioni nei prossimi capitoli.)

Video

A B A B

P

M

Q

AP BQ~=

A B

P

Q

AM MB~=

a b c

�1 �2

β α

α

α βa ~=

~=

β

α

α < β o β > α

α

b


G16

TEORIA

T

■ L’addizione e la sottrazione fra angoli

Somma di angoliDati due angoli consecutivi aVbW e bVcW , la loro somma è l’angolo aVcW , che ha per lati i loro lati non comuni.

Scriviamo: aVb bVc aVc+ =W W W .

Se due angoli non sono consecutivi, otteniamo la somma con la seguente costruzione.

ˆa. Disegniamo i due angoli α e β. b. Costruiamo un angolo consecutivo

ad α e congruente a β: aOb = α + β.

α

β

α

β

βʼ

O a

b

Dati quattro angoli a, b, c, d, per l’addizione valgono le seguenti proprietà:

1. se ,a b e ,c d allora ,a c b d+ + , ossia somme di angoli congruenti sono congruenti;

2. se 2a b e 2c d allora 2a c b d+ + , se 1a b e 1c d allora 1a c b d+ + , ossia somme di angoli disuguali nello stesso senso sono disuguali

nello stesso senso.

Differenza di angoliDati gli angoli a e b (con 2a b o ,a b), la differenza fra a e b è l’angolo che, addizionato a b, dà come somma a.

Scriviamo: a b c- = .

Dati quattro angoli a, b, c, d, vale la seguente proprietà: se ,a b e ,c d (con 2a c), allora ,a c b d- - , ossia differenze di angoli ordinatamente congruenti sono congruenti.

La differenza di due angoli congruenti è l’angolo nullo.

▶ Descrivi il procedimento, che puoi osservare nella figura, per la costruzione con riga e compasso di un angolo congruente a

un angolo dato e utilizzalo con un angolo scelto da te. (Nell’animazione c’è anche la giustificazione della costruzione: la esami-

neremo nel prossimo capitolo.)

Animazione

P

R

Q

α

V

AV QP

A

~=

VA

AB QR

B

~=

V

β

A

β α

B

~=

�1�2

�1

a b c d

γ = α − β

α

γ

β


G17

TEORIA

T

■ I multipli e i sottomultipli di angoli

Per gli angoli valgono considerazioni analoghe a quelle viste per i segmenti, ma, per poter ottenere sempre i multipli, è necessario estendere il concetto di angolo in modo da poter ottenere angoli maggiori di un angolo giro.

Consideriamo un angolo aVbW e un verso di rotazione, per esempio quello antiorario, come nella figura a. L’angolo può essere pensato come l’insieme delle semirette che si ottengono facendo ruotare, nel verso scelto, la semiretta a fino a farla coincidere con b. Consideriamo ora tutte le semirette che si ottengono da una rotazione della semiretta a, come quella della figura b: l’angolo aVbW ottenuto dal movimento di a fino a sovrapporsi a b dopo aver effettuato un giro completo è un angolo maggiore di un angolo giro.

La diversa e più ampia definizione di angolo che abbiamo esaminato permette di ottenere sempre la somma di due angoli.

ESEMPIO Considerati gli angoli abY e cdY della figura, l’angolo pq ab cd, +Z Y Y esiste ed è maggiore di un angolo giro.

a

d

q

pc

α

α’

α’ α

ββ’

b~=

~=

β’ β

pq ab + cd^ ^ ^

~=

Questo modo di considerare gli angoli permette anche di definire un multiplo b di un angolo a secondo un numero n qualsiasi.

Si chiama multiplo di un angolo a , secondo il numero naturale n 12 , un angolo b che sia la somma di n angoli congruenti ad a .

Scriviamo:

nb a= .

Se n 1= , possiamo estendere la definizione, considerando in questo caso, come multiplo di a, a stesso. Se n 0= , b è l’angolo nullo.

Nella relazione precedente possiamo anche dire che a è sottomultiplo di b secondo il numero n (con n 0! ).

Scriviamo:

nab

= oppure n1

a b= .

Inoltre, con m numero naturale, la scrittura nm

c b= (con n 0! ) significa

nm

m n1

c b b= = ` j.

Va

b

Va

b

a

b


G18

TEORIA

T

ESEMPIO L’angolo β è multiplo dell’angolo α secondo n 3= . L’angolo γ è multiplo secondo m 2= del sottomultiplo secondo n 3= dell’angolo β.

Valgono inoltre i seguenti postulati.

Postulato di Eudosso-Archimede per gli angoliDati due angoli, che non siano congruenti o nulli, esiste sempre un angolo multiplo del minore che supera il maggiore.

Postulato di divisibilità degli angoliDato un angolo, esiste il suo sottomultiplo secondo un qualsiasi numero naturale.

■ La bisettrice di un angolo

DEFINIZIONE

La bisettrice di un angolo è la semiretta uscente dal vertice che divide l’angolo in due angoli congruenti.

bisettrice

Vale inoltre il seguente postulato.

Unicità della bisettricePer un qualsiasi angolo esiste ed è unica la bisettrice.

α

β

γ

1α = — β

3

β = 3α

1γ = 2 — β

3 = — β

2

3

▶ Disegna gli angoli

a , b , c tali che

4a b= e 31

c a= .

Completa:

• ,a c ;

• ,b a ;

• ,b c ;

• ,c b .

▶ Descrivi il procedimento per ottenere con riga e compasso la seguente costruzione per trovare la bisettrice di un angolo e

utilizzala con un angolo scelto da te. (Esamineremo le giustificazioni delle costruzioni nei prossimi capitoli.)

Video

V

A

B

AC BC~=

V

A

B

C

α β~=

V

A

α

β

B

C

�1

�2a b c


G19

TEORIA

T

■ Angoli retti, acuti, ottusi

DEFINIZIONE

Un angolo che sia:

• metà di un angolo piatto è un angolo retto;

• minore di un angolo retto è un angolo acuto;

• maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto è ottuso.

Indicheremo l’angolo retto con 2r .

Poiché tutti gli angoli piatti sono congruenti, anche tutti gli angoli retti sono congruenti fra loro.

Inoltre, possiamo vedere l’angolo giro come il doppio di un angolo piatto e quindi lo indichiamo con 2r.

Due angoli sono supplementari se la loro somma è un angolo piatto.Due angoli sono complementari se la loro somma è un angolo retto.Due angoli sono esplementari se la loro somma è un angolo giro.

■ Angoli complementari di uno stesso angolo

TEOREMA

Se due angoli sono complementari di uno stesso angolo, o di angoli ordinatamente congruenti, allora sono congruenti.

Ipotesi 1. 2,a cr

+ ; 2. 2,b cr

+ ; Tesi ,a b.

DIMOSTRAZIONE

Per l’ipotesi 1: 2,a cr

+ , da cui 2,ar

c- .

Per l’ipotesi 2: 2,b cr

+ , da cui 2,br

c- .

Poiché tutti gli angoli retti sono congruenti fra loro e differenze di angoli ordinatamente congruenti sono congruenti, si deduce che ,a b.

angolo retto angolo acuto angolo ottuso

αβ γ

α = π2

β < π2

γ >π2

▶ Dimostra che tutti gli

angoli retti sono con-

gruenti.

αβ αβ

αβ

α e β supplementari

α + β = π

α e β complementari

α + β =

α e β esplementari

α + β = 2ππ2

α

γ

β


G20

TEORIA

T

■ Gli angoli opposti al vertice

DEFINIZIONE

Due angoli si dicono opposti al vertice se hanno in comune il vertice e i lati di un angolo sono i prolungamenti dei lati dell’altro. O

Se due angoli sono opposti al vertice, hanno in comune il vertice e i loro lati appartengono alle stesse rette.

■ Il teorema degli angoli opposti al vertice

TEOREMA

Se due angoli sono opposti al vertice, allora sono congruenti. βα

O

a

b a9

b9

Ipotesi a e b opposti al vertice; Tesi ,a b.

DIMOSTRAZIONE

,a c r+ poiché adiacenti, quindi ,a r c- ;

,b c r+ poiché adiacenti, quindi ,b r c- .

Poiché tutti gli angoli piatti sono congruenti fra loro e differenze di angoli congruenti sono congruenti, si deduce che ,a b.

Nel dimostrare il teorema precedente abbiamo anche dimostrato che angoli supple-mentari dello stesso angolo, o di angoli congruenti, sono congruenti, utilizzando uno schema analogo a quello del teorema degli angoli complementari di uno stesso angolo o di angoli congruenti.

Si può anche dimostrare che gli angoli esplementari dello stesso angolo o di angoli congruenti sono congruenti.

▶ Verifica con un

disegno che l’unione

dei punti di due angoli

opposti al vertice è una

figura concava.

Listen to it

Opposite angles are con-

gruent.

c. Osserviamo che anche β e γ sonosupplementari: β +γ ≅ π.

b. Osserviamo che α e γ sono supplementari: α + γ ≅ π.

a. Indichiamo con γ l’angolo bOa′.

βαO

a

γ

βαO

a

γ

βαO

a

γ

ˆ

a′ a′ a′

b′ b′ b′

bbb

Paragrafo 5. Lunghezze, ampiezze, misure

G21

TEORIA

T

Lunghezze, ampiezze, misure

■ Le lunghezze e le ampiezze

La relazione di congruenza fra segmenti è una relazione di equivalenza.Possiamo allora dividere l’insieme dei segmenti in classi di equivalenza, ognuna contenente tutti i segmenti fra loro congruenti. Ogni classe di equivalenza indica una proprietà comune ai segmenti che le appartengono: la lunghezza.

DEFINIZIONE

La lunghezza di un segmento è la classe di equivalenza, della relazione di congruenza fra segmenti, a cui appartiene il segmento.

Due segmenti congruenti hanno lunghezza uguale.Indichiamo una lunghezza con una lettera minuscola (a, b, c, …) o precisando gli estremi di un segmento che abbia quella lunghezza (AB, PQ, EF, …).Le lunghezze si possono confrontare, sommare e sottrarre riferendosi ai segmenti relativi.

DEFINIZIONE

La distanza fra due punti è la lunghezza del segmento che congiunge i due punti.

Quanto detto per segmenti e lunghezze può essere ripetuto per angoli e ampiezze.

DEFINIZIONE

L’ampiezza di un angolo è la classe di equivalenza, della relazione di congruenza fra angoli, a cui appartiene l’angolo.

Due angoli congruenti hanno ampiezza uguale.

Indichiamo le ampiezze come gli angoli ( ABCV , abY , ,a …).

■ Le misure

Per misurare la lunghezza di un segmento PQ, fissiamo la lunghezza di un altro

segmento AB, non nullo, come unità di misura: se PQ nm

AB= , con nm numero

razionale positivo o nullo, diciamo che nm è la misura della lunghezza di PQ rispetto

ad AB e che le lunghezze PQ e AB sono commensurabili.

Possiamo scrivere l’uguaglianza come rapporto ABPQ

nm

= e dire che il rapporto fra

le lunghezze PQ e AB è nm .

Indichiamo le misure con simboli come PQ , ED, ,AC …Le misure sono dei numeri, quindi questi simboli non vanno confusi con PQ, ED, AC, …, che indicano segmenti o lunghezze.


A

B

C

D

AB CD~=

stessa lunghezza

P

Q

distanza fra P e Q

stessa ampiezza

α

β

α β~=


G22

TEORIA

T

ESEMPIO Se consideriamo i segmenti della figura e prendiamo come unità di misura la lunghezza di AB, indicandola con u:

PQ AB u ABPQ

43

43

43

"= = = ; PQ 43

= .

A

P

PQ = –3

4 Q

B

u

Di solito utilizziamo come unità di misura per le lunghezze il metro (m) e i suoi multipli o sottomultipli. Per esempio, il centimetro (cm) è il sottomultiplo del metro rispetto a 100.Il concetto di misura può essere esteso anche al caso di lunghezze incommensurabili, tali cioè che la misura di una rispetto all’altra non è un numero razionale. In questo caso la misura è un numero reale di cui, nei problemi, si può utilizzare un valore approssimato.

ESEMPIO Calcoliamo la misura di BC, sapendo che ABC è un triangolo rettangolo e che AB 3= e AC 4= .Applichiamo il teorema di Pitagora:

,BC AC AB 4 3 7 2 62 2 2 2-= - = - = .

B

43

C

A

?

Per le misure delle ampiezze degli angoli valgono considerazioni analoghe a quelle viste per le lunghezze e le loro misure.

Se a e b sono le ampiezze di due angoli e nm

a b= , con nm numero razionale po

sitivo o nullo, diciamo che nm è la misura di a rispetto a b.

Indichiamo la misura dell’ampiezza a di un angolo ancora con a . Utilizziamo come unità di misura delle ampiezze degli angoli il grado sessagesimale, sottomultiplo rispetto a 360 dell’angolo giro. Un angolo piatto ha ampiezza 180°, un angolo retto 90°.

▶ In un triangolo rettan-

golo il cateto AB è 43

del cateto AC e la loro

somma è 35 cm.

Qual è la lunghezza in

centimetri dell’ipote-

nusa? Quanto misura

rispetto ad AB?

Animazione

180°

90°

▶ Determina le ampiezze

di due angoli sapendo

che la loro differenza è

30° e la loro somma è

66°.

Qual è la misura dell’am-

piezza del minore rispet-

to a quella del maggiore?

MATEMATICA INTORNO A NOI

Senza bussola Esistono varie tecni-

che di orientamento per riconoscere

la propria posizione anche in un luogo

inesplorato e forse quella più comune

è l’uso della bussola. Non sempre

però si ha a disposizione questo stru-

mento.

▶ Riusciresti a trovare il Nord usando

solo un comune orologio da polso e il

Sole?

La risposta

In sintesi

G23

TEORIA

T

IN SINTESILa geometria del piano

■ Oggetti geometrici e proprietà

Una figura geometrica è un qualsiasi insieme di punti. Lo spazio è l’insieme di tutti i punti. Fra le proprietà geometriche, alcune sono espresse mediante postulati: proprietà che accettiamo come vere. Le altre sono descritte da teoremi, ossia proposizioni che devono essere dimostrate.

■ I postulati di appartenenza e d’ordine

Postulati di appartenenza1. A una retta appartengono almeno due punti

distinti e a un piano almeno tre punti distinti non allineati.

2. Due punti distinti appartengono a una retta e a una sola.

3. Tre punti distinti e non allineati appartengono a un piano e a uno solo.

4. Considerata una retta su un piano, c’è almeno un punto del piano che non appartiene alla retta.

5. Se una retta passa per due punti di un piano, allora appartiene al piano.

Postulati d’ordine

1. Se A e B sono due punti distinti di una retta, o A precede B, o B precede A.

2. Se A precede B e B precede C, allora A precede C.

3. Preso un punto A su una retta, c’è almeno un punto che precede A e uno che segue A.

4. Presi due punti B e C su una retta, con B che precede C, c’è almeno un punto A della retta che segue B e precede C.

■ Gli enti fondamentali

Data una retta orientata e un suo punto O, sono semirette:

• l’insieme formato da O e da tutti i punti che lo precedono;

• l’insieme formato da O e da tutti i punti che lo seguono.

Data una retta orientata e i suoi punti A e B, con A che precede B, il segmento AB è l’insieme dei

punti della retta formato da A, da B e dai punti che seguono A e precedono B.

Due segmenti sono:

• consecutivi se hanno in comune solo un estremo;

• adiacenti se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta.

B C E F

G

P Q R

segmento BC

estremi segmenti

consecutivi

segmenti

adiacenti

Data una retta r di un piano, un semipiano di origine r è l’insieme dei punti di r e di uno dei due insiemi in cui il piano è diviso da r.

In una figura convessa, presi due punti qualsiasi, il segmento che li congiunge è contenuto tutto nella figura. In una figura concava questa pro-prietà non è vera per almeno due punti.

Un angolo è ciascuna delle due parti di piano individuate da due semirette aventi la stessa ori-gine, incluse le due semirette.

Due angoli sono:

• consecutivi se hanno in comune il vertice e un lato e giacciono da parti opposte rispetto al lato in comune;

• adiacenti se sono consecutivi e i lati non comuni appartengono alla stessa retta.

angoli

consecutivi

Oangoli

adiacenti

P

angolo aVb

ab

Vvertice

lati

Un angolo è piatto quando i suoi lati apparten-gono alla stessa retta. L’angolo giro è l’angolo che coincide con l’intero piano.

Due figure sono congruenti se sono sovrapponi-bili mediante un movimento rigido.


G24

TEORIA

T

Dati nel piano i punti O e A, la circonferenza di centro O e raggio OA è l’insieme dei punti del piano che hanno da O distanza uguale a quella di A. L’insieme dei punti di una circonferenza e dei suoi punti interni si chiama cerchio.

Un poligono è l’insieme dei punti di una poligo-nale chiusa e non intrecciata e di tutti i suoi punti interni.Un poligono con tutti i lati congruenti è equila-tero, con tutti gli angoli congruenti è equiango-lo. Un poligono è regolare se è equilatero ed equiangolo.

■ Le operazioni con i segmenti e con gli angoli

Per i segmenti è possibile fare il confronto ed ese-guire le operazioni di addizione e di sottrazione.Inoltre, definiamo multiplo del segmento a secondo il numero naturale n il segmento b:

• somma di n segmenti congruenti ad a, se n 12 ;

• uguale ad a, se n 1= ;

• uguale al segmento nullo, se n 0= .

Scriviamo: b na= .

Se n 0! , possiamo anche dire che a è sottomul-

tiplo di b e scriviamo a nb

= .

CDAB =

3CD = 3AB

A CB D

Il punto medio di un segmento è il punto che lo divide in due segmenti congruenti.

Anche per gli angoli è possibile fare il confronto, eseguire le operazioni di addizione e di sottra-zione, definire multipli e sottomultipli.

La bisettrice di un angolo è la semiretta uscente dal vertice che divide l’angolo in due angoli con-gruenti.

Un angolo retto è la metà di un angolo piatto.Un angolo acuto è minore di un angolo retto.Un angolo ottuso è maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto.

Due angoli sono:

• complementari se la loro somma è un angolo retto;

• supplementari se la loro somma è un angolo piatto;

• esplementari se la loro somma è un angolo giro.

Teorema. Se due angoli sono complementari di uno stesso angolo, allora sono congruenti.

Due angoli sono opposti al vertice se hanno in comune il vertice e i lati di un angolo sono i pro-lungamenti dei lati dell’altro.

Teorema. Se due angoli sono opposti al vertice, allora sono congruenti.

βαV

α ~= β

■ Lunghezze, ampiezze, misure

La lunghezza di un segmento è la classe di equi-valenza, della relazione di congruenza fra seg-menti, a cui appartiene il segmento.

La distanza fra due punti è la lunghezza del seg-mento che congiunge i due punti.

L’ampiezza di un angolo è la classe di equivalen-za, della relazione di congruenza fra angoli, a cui appartiene l’angolo.

Per misurare la lunghezza di un segmento PQ, fissiamo la lunghezza di un altro segmento AB,

non nullo, come unità di misura: se PQ nm

AB= ,

con nm numero razionale positivo o nullo, dicia-

mo che nm è la misura della lunghezza di PQ

rispetto ad AB e che le lunghezze PQ e AB sono commensurabili.

Per misurare l’ampiezza di un angolo a fissiamo l’ampiezza x di un angolo b, non nullo, come unità di misura.

Se nm

a b= , con nm numero razionale positivo

o nullo, diciamo che nm è la misura di a rispetto

a b.

G25

ESERCIZ

I

EParagrafo 2. I postulati di appartenenza e d’ordine

Oggetti geometrici e proprietà

VERO O FALSO?

a. Un ente geometrico primitivo non viene definito. V F

b. Un punto è una figura geometrica. V F

c. Un teorema è una proposizione che si deduce dai postulati. V F

d. Postulati e teoremi sono enunciati accettati come veri. V F

TEST Quale tra i seguenti è il teorema inverso del seguente: «Il prodotto di due numeri naturali

• pari se almeno uno dei due fattori • pari»?

A Il prodotto di due numeri naturali pari è un numero pari.

B Se il prodotto di due numeri naturali è pari, allora almeno uno dei due fattori è dispari.

C Se il prodotto di due numeri naturali è pari, allora almeno uno dei due fattori è pari.

D Il prodotto di due numeri naturali è dispari se i due fattori sono entrambi dispari.

Trasforma nella forma «Se..., allora...» i seguenti enunciati.

a. «Ogni corpo non vincolato cade verso il centro della Terra.»

b. «Immergendo un corpo caldo in acqua fred-da, essa si riscalda.»

c. «Una pallina lanciata verso l’alto ricade a terra.»

d. «Toccando il fuoco, ci si brucia.»

Scrivi di fianco a ogni enunciato se è una defi-nizione o una proprietà.

a. «Azimut è l’angolo compreso tra il circolo verticale di un astro e il meridiano del luogo di osservazione.»

b. «Il cielo è azzurro.»

c. «Il poliuretano è una materia plastica usata per le fibre sintetiche e nella preparazione di vernici e adesivi.»

I postulati di appartenenza e d’ordine

I postulati di appartenenza

VERO O FALSO?

a. Tre punti distinti definiscono sempre un piano. V F

b. Esiste un solo piano che passa per due punti. V F

c. Per due punti distinti passano una sola retta e un solo piano. V F

d. Esiste sempre un solo piano che passa per una retta e per un punto che non appartiene alla retta. V F

Utilizza gli assiomi di appartenenza per giustificare le

seguenti affermazioni.

Tre punti non allineati individuano tre rette distinte.

Una retta è un sottoinsieme proprio del piano.

Due rette distinte che si intersecano in un punto appartengono allo stesso piano.

1 |▶ Teoria a p. G2

1••

2••

3••

4••


5••

6••

7••

8••

CAPITOLO G1

ESERCIZI


G26

ESERCIZ

IE

EUREKA! Uno strano piano Sia P = {a, b, c, d, e} un insieme qualsiasi di cin-que elementi distinti. Sia {{ , } , , }R x y x y P x y!!= l’insieme di tut-ti i sottoinsiemi di P formati da due elementi distinti di P. Detto «piano» l’insieme P, detti «punti» i suoi elementi e detti «rette» gli elementi di R, posso-no pensarsi validi senza contraddizioni i primi tre postulati di appartenenza della geometria del piano euclideo? Quante sono le «rette» in que-sto modello di «piano»? [sì; 10]

APPROFONDIMENTO

Punti, rette e postulati La figura rappresenta un

modello in cui il piano è costituito da quattro punti dise-

gnati in rosso e le rette sono le linee chiuse in blu.

Scrivi quali postulati di appartenenza della retta sono validi

per questo modello.

A B

D C

Risoluzione - 6 esercizi in pi•.

I postulati d’ordine

VERO O FALSO? Considera la seguente figura e scrivi di fianco a ogni affermazione se è vera o falsa (il verso di percorrenza della retta è indica-to dalla freccia).

A

B

C D E

a. C precede E. V F

b. E precede D. V F

c. D segue C. V F

d. A precede C. V F

e. B segue A. V F

f. E segue B. V F

COMPLETA le seguenti frasi, stabilendo l’ordine fra i punti indicati: specifica se un punto precede o segue un altro punto (il verso di percorrenza della retta in figura è indicato dalla freccia).

AB C D

A B; B A;

A D; D A;

C segue ; C A;

C precede ; D precede .

FAI UN ESEMPIO Indica su quali delle seguenti figure è possibile definire una relazione d’ordine e, quando non è possibile, mostra un esempio che giustifichi la tua risposta.

Rappresenta su una retta orientata i punti A, B, C, D, E, F in modo che: A preceda F ma non B; C segua B e preceda A; E segua A ma non preceda né F né D.

9••

10••

11••

12••

13••


G27

ESERCIZ

I

E

Giustifica mediante i postulati di appartenenza e d’ordine le seguenti affermazioni, aiutandoti con un disegno.

Due rette distinte hanno al più un solo punto in comune.

Ogni piano contiene infiniti punti.

Ogni piano contiene infinite rette.

ESEMPIO DIGITALE Per un punto di un piano passano infinite rette.

Date due rette, esiste almeno un punto che non appartiene a nessuna delle due.

Gli enti fondamentali

Semirette, segmenti e poligonali

VERO O FALSO?

a. Due segmenti adiacenti sono anche consecutivi. V F

b. Due segmenti consecutivi sono anche adiacenti. V F

Considera la figura CA B

c. L’intersezione del segmento AB con il segmento BC è B. V F

d. L’intersezione della semiretta BC, di origine B, con la semiretta AB, di origine A, è B. V F

e. Una poligonale intrecciata non può essere chiusa. V F

SPIEGA PERCHÉ Alessandro: «In un segmento ci sono infiniti punti». Carlo: «Allora è illimitato!».Spiega perché Alessandro ha ragione e Carlo no.

TEST A che ora la lancetta delle ore e quella dei minuti possono essere descritte come due seg-menti adiacenti?

A Alle 17. C Alle 19.

B Alle 18. D Alle 20.

VERO O FALSO?

A

B

C

D

a. A e B sono punti interni del segmento AB. V F

b. AB e BC sono segmenti adiacenti. V F

c. AD e DC sono segmenti consecutivi. V F

d. ABCD è una poligonale chiusa. V F

e. AB e CD sono segmenti adiacenti. V F

VERO O FALSO?

a. Due segmenti con un estremo in comune si dicono consecutivi. V F

b. Due segmenti adiacenti possono avere anche più di un punto in comune. V F

c. Se due segmenti consecutivi appartengono alla stessa retta, sono adiacenti. V F

d. Due segmenti che appartengono alla stessa retta si dicono adiacenti. V F

ASSOCIA ciascuna frase alla relativa corretta scrittura simbolica e per ogni affermazione fai una possibile rappresentazione grafica.

1. Il punto A non appartiene alla retta r.

2. La retta a interseca la retta b nel punto P.

3. Il punto C appartiene al segmento DE.

4. La retta t interseca il piano a nel punto P.

5. Le rette a e b non si intersecano.

a. C DE!

b. { }Pt + a =

c. a b+ Q=

d. A !

e. { }a b P+ =

14••

15••

16••

17••

18••


19••

20••

21••

22••

23••

24••


G28

ESERCIZ

IE

Semipiani e angoli

COMPLETA le scritture in riferimento alla figura, utiliz-zando anche i simboli ! , ! , + (a e b sono i due semipiani di origine r).

a. A ! d. CD + Q!

b. BD r Q! e. B b

c. C a f. a rb =

B

C

D

A rα

β

Disegna due rette in modo che l’intersezione di due dei quattro semipiani originati dalle rette sia ancora un semipiano. Cosa puoi dire degli altri due semipiani?

VERO O FALSO?

a. ABCDEF è una figura concava. V F

b. E FAV è convesso. V F

c. c è concavo. V F

d. b è concavo. V F

e. a è convesso. V F

EUREKA! Convesso è bello Quali di questi sottoinsiemi del piano sono figure convesse?

I. Un esagono qualunque.

II. L’unione di due figure convesse.

III. L’intersezione di due figure convesse.

A I e II. B I e III. C II e III. D I, II e III. E Nessuna delle risposte precedenti.(USA Northern State University: 48th Annual Mathematics Contest, 2001)

FAI UN ESEMPIO Con esempi, aiutandoti con un disegno, fai vedere che:

a. l’unione di due figure convesse può essere concava;

b. l’intersezione di due figure concave può essere convessa;

c. l’unione di due figure concave può essere convessa.

TEST Quale dei seguenti enunciati è falso?

A Un angolo ottuso è minore di un angolo piatto.

B Un angolo retto è minore di un angolo ottuso.

C Un angolo ottuso è doppio di un angolo retto.

D Un angolo ottuso è convesso.

E Un angolo acuto è convesso.

TEST Nella figura è falsa la relazione:

A cO Od d e Od+ =W W

B O O bOa c b c c+ =W W W

C Od O aOda b d, =W W W

D O O aOda c b d+ =W W W

E O dOeb c + Q=W W

c d

a

b

e

O

VERO O FALSO?

d O a

bc

a. L’angolo aOdW è un semipiano. V F

b. aObW e Ob cW sono adiacenti. V F

c. aObW e OdcW sono consecutivi. V F

d. Ob cW e OdcW sono consecutivi. V F

25••

26••

27••

E D

A B

CF β

α

γ

28••

29••

30••

31••

32••


G29

ESERCIZ

I

E

VERO O FALSO?

a. Due angoli consecutivi sono anche adiacenti. V F

b. Due angoli adiacenti sono anche consecutivi. V F

c. Se due angoli hanno il vertice in comune, allora sono consecutivi. V F

d. Se un angolo ha i lati coincidenti, allora è nullo. V F

e. In un angolo piatto i lati coincidono. V F

Scrivi tutte le coppie di angoli consecutivi e di angoli adiacenti che vedi nella figura.

MATEMATICA E STORIA

Che cos’è un angolo? Leggi le seguenti definizioni, numerate da 8 a 12, tratte dagli Elementi di Euclide e riguardanti il con-

cetto di angolo.

a. Realizza opportune figure che illustrino nel modo secondo te più corretto e com-

pleto ciascuna delle definizioni precedenti. Osserva, nella definizione 8, il termine

«linea»: potrai interpretarlo in modo molto ampio, non solo nel senso di «linea retta».

b. Rivedi le definizioni che coinvolgono il concetto di angolo riportate nelle pagine della

teoria di questo capitolo. Confrontale con quelle tratte direttamente dagli Elementi di Euclide (riportate qui sopra), soffer-

mandoti in particolare sui termini che in esse vengono usati: nelle definizioni degli Elementi trovi alcuni termini vaghi e di

difficile interpretazione?

Risoluzione - Un esercizio in più - Attività di ricerca: Angoli, astronomia, orologi.

Euclide ritratto nella «Scuola d’Atene»

di Raffaello (Vaticano, Stanza della

Segnatura, 1508-1511).

«8. Un angolo piano è l’inclinazione reciproca di due linee in un piano le quali si

incontrino e non giacciano in linea retta.»

«9. Quando le linee che comprendono l’angolo sono rette, l’angolo è detto ret-

tilineo.»

«10. Quando una retta innalzata a partire da un’altra retta forma con essa angoli

adiacenti uguali fra loro, ciascuno dei due angoli è retto e la retta si dice perpen-

dicolare a quella su cui è innalzata.»

«11. Dicesi angolo ottuso l’angolo maggiore di un angolo retto.»

«12. Dicesi acuto l’angolo minore di un angolo retto.»

La congruenza delle figure

VERO O FALSO?

a. Tutti i punti sono congruenti. V F

b. Tutte le semirette sono congruenti. V F

c. Se due figure sono uguali, allora sono congruenti. V F

d. Se due figure sono congruenti, allora sono uguali. V F

e. Una retta e un segmento non possono essere congruenti. V F

f. Un angolo e un semipiano non possono essere congruenti. V F

EUREKA! Che figure! Siano F1, F2 e F3 figure qualsiasi del piano euclideo. Quale affermazione tra le seguenti è falsa?

A Se F1 è congruente a F2 e F2 è congruente a F3 , allora F1 è congruente a F3 .

B Date F1 e F2 congruenti tra loro, è possibile che F F1 2+ Q= .

C Se F1 e F2 non sono congruenti tra loro, non esiste alcuna figura F3 che sia congruente sia a F1 sia a F2 .

D Data F1, esiste almeno una figura F2 del pia-no, congruente a F1 e tale che F F1 2+ Q= .

33••

34••

α

β

γ

δ

35••

36••


G30

ESERCIZ

IE

Le linee piane

FAI UN ESEMPIO di curva aperta intrecciata, di curva semplice chiusa, di curva intrecciata chiusa.

Disegna a tua scelta cinque curve chiuse, evi-denziando con colori diversi le parti interne.

Disegna a tuo piacimento tre curve chiuse. Per ogni curva, evidenzia con due colori diversi la parte interna e quella esterna. All’interno di ogni curva disegna quattro segmenti e all’ester-no disegna quattro rette.

I poligoni

VERO O FALSO?

a. L’insieme dei segmenti che costituiscono il bordo di un poligono è una poligonale. V F

b. In un poligono il numero dei lati è uguale al numero dei vertici. V F

c. In un poligono il numero degli angoli esterni è maggiore di quello degli angoli interni. V F

d. Un poligono è equilatero se e solo se è equiangolo. V F

e. I poligoni regolari sono convessi. V F

TEST Il numero delle diagonali di un poligono con n lati:

A è sempre superiore a n.

B può essere uguale a n.

C è n 2- .

D è sempre un numero pari.

VERO O FALSO?

a. Se un poligono è concavo, ha almeno una diagonale esterna al poligono. V F

b. Un quadrilatero non può essere concavo. V F

c. Un poligono convesso non può avere un angolo concavo. V F

d. Un esagono ha 6 diagonali. V F

e. Se un poligono ha gli angoli congruenti, è regolare. V F

Determina il numero delle diagonali di un poli-gono di:

a. 10 lati; c. 12 lati;

b. 11 lati; d. 13 lati.

Riesci, deducendolo dai risultati ottenuti nell’e-sercizio 43, a determinare il numero delle diago-nali di un poligono di 14 lati senza applicare la formula?

Le operazioni con i segmenti e con gli angoli

Il confronto di segmenti

VERO O FALSO?BA C D E

x x x x

a. AB BC CD DE,+ + . V F

b. AC CE2 . V F

c. BE AB2 . V F

Dato il segmento AB, disegna su r con il compasso un segmento CD AB, .

A

a

B

r

A

C

B

b

rA

DB

c

r

37••

38••

39••

40••

41••

42••

43••

44••


45••

46••


G31

ESERCIZ

I

E

COMPLETA Utilizzando il compasso, confronta i seguenti segmenti e inserisci al posto dei puntini uno dei tre simboli ,, 2, 1.

AB CD AB EF

AB GH CD EF

CD GH EF MN

GH MN CD MN

AB MN EF GH

B

A

C D

F

E M

N

G

H

L’addizione e la sottrazione fra segmenti

È vero che la somma di due segmenti si ottiene disponendo i due segmenti dati uno consecutivamente all’altro? E la somma di due angoli?

Facendo riferimento alle figure dell’esercizio 47, costruisci i segmenti somma.

AB MN+ ; EF GH+ ;

GH MN+ ; CD MN+ ;

CD EF+ ; CD GH+ ;

AB GH+ ; EF MN+ .

Facendo riferimento ai segmenti dell’esercizio 47, costruisci i segmenti differenza.

AB CD- ; AB GH- ; EF CD- ; GH MN- .

VERO O FALSO?

a. Due segmenti sono sempre sommabili. V F

b. La differenza fra segmenti gode della proprietà associativa. V F

c. Somme di segmenti non congruenti non sono congruenti. V F

d. La differenza di due segmenti può essere il segmento nullo. V F

Gli esercizi 52 e 53 si riferiscono alla figura riportata sotto. I segmenti contrassegnati con lo stesso

simbolo sono tra loro congruenti.

Il segmento somma AB BC+ è congruente a:

A AB CD+ .

B AB CG+ .

C CDBC + .

D FG .

Il segmento EC CD- è minore di:

A C BCG -

B AB.

C BC.

D AD.

47••

48••

49••

50••

51••

TEST

S

E

F

B

A

C

D

G

S

S

52••

53••


G32

ESERCIZ

IE

I multipli e i sottomultipli di segmenti

Scrivi le relazioni esistenti fra le seguenti coppie di segmenti.

A B

C D

E

F

M

N

H

T

S

K

Z

L TN N N N N

S N

CD = 2AB EF =

MN =

HK =

ST = AB =

SZ =

LT =

Completa osservando la figura.

a. AB , DB

b. AC , AB

c. CD2,

d. EF ,

e. EF , AB

f. DB 31

,

g. CD 23

,

Completa osservando la figura.

a. AB , DE

b. AC , AB

c. CB,

d. EF ,

e. DE , AC

f. DF 52

,

g. AB53

,

A

D E F

C

B

VERO O FALSO?

BA C D E

x x x x

a. AB CE21

, . V F

b. AE AD AB21

31

,- . V F

c. AD BE2 . V F

Costruzioni

Disegna un triangolo e, utilizzando riga e com-passo, costruisci il punto medio di ognuno dei suoi lati.

Disegna quattro segmenti consecutivi ma non adiacenti tali che la somma dei primi due sia congruente alla differenza tra il doppio del terzo e la metà del quarto.

Dato un segmento AB scelto a piacere, disegna i

segmenti congruenti a 2AB, AB31 e AB7

2 .

Disegna due segmenti adiacenti e di ognuno determina il punto medio utilizzando riga e compasso.

COMPLETA

54••

55••

A C D B

S S S S S S

E F

S S S

56••

57•• MATEMATICA

INTORNO A NOI

Calcio a 5 Nicola e i suoi

amici si allenano in un

vecchio campo da calcio

e decidono di rifare tutte

le linee. Serve un com-

passoÉ

Problema e risoluzione.

40 m

3 m

25 m

6 m

6 m 6 m

3 m

58••

59••

60••

61••


G33

ESERCIZ

I

E

Disegna sulla stessa retta tre segmenti AB, CD e

BF tali che C sia il punto medio del segmento AB, D sia il punto medio del segmento BF e val-

ga BF AB32

, . Esprimi CD come multiplo del

segmento AB.

Sapendo che la differenza di due segmenti AB e

CD è congruente alla somma tra i 32 di AB e 6

1

di CD, determina secondo quale numero n AB è multiplo di CD. Disegna poi i due segmenti AB

e CD trovati e verifica graficamente la relazione del testo.

Il confronto di angoli

COMPLETA le relazioni confrontando gli ango-li in figura.

1a

~ d

a b+ =

b c+ =

c ~

~ b

~ c- =

d a- =

ωγ

β δα

COMPLETA Utilizzando riga e compasso, con-fronta gli angoli illustrati e scrivi le relazioni esistenti fra essi mediante i simboli ,, 2, 1.

αβ

δ

γ

L’addizione e la sottrazione fra angoli

La somma di due angoli acuti è sempre un angolo acuto? È sempre un angolo convesso?

Costruzioni con riga e compasso

In ognuna delle seguenti situazioni esegui, se possibile, le operazioni richieste.

β

αα

β

αβ

β

α

a. α + β; α – β. b. α + β; β – α. c. α – β; β – α. d. α + β; α – β.

γ

β

α

γ

β

α

β

γ

α

β

γ

α

a. α + β; α – γ; β + γ. b. β – α; β + γ; γ – α. c. α – β; β – α; β + γ. d. α + β; α – β; β + γ.

62••

63••

64••

65••

66••

67••

68••


G34

ESERCIZ

IE

Facendo riferimento agli angoli dell’esercizio 65, costruisci gli angoli somma.

a b+ ; a c+ ; a d+ ; b c+ ; b d+ ; c d+ .

Facendo riferimento agli angoli dell’esercizio 65, costruisci gli angoli differenza.

b a- ; cb - ; a c- ; b d- ; da - ; c d- .

Disegna due angoli, uno minore e uno maggiore di un angolo piatto e con riga e compasso costru-isci un angolo congruente a ognuno dei due.

Disegna due angoli in modo che la loro somma sia un angolo piatto e che la loro differenza sia congruente a uno dei due.

Disegna tre angoli con il vertice in comune in modo che la loro somma sia un angolo giro e che la differenza tra il primo e il terzo angolo sia congruente al secondo angolo.

Disegna tre angoli a , b, c in modo che sia veri-ficata la relazione ( ) 1a b c b+ - .

I multipli e i sottomultipli di angoli

scrivendo le relazioni esistenti fra le seguenti coppie di angoli.

COMPLETA osservando la figura.

a

b

cd

V

e

f

g

a. Va c ,W aV bW

b. Va c ,W aV eW

c. g ,VfW

d. V cd ,W Vb cW

e. f 6,f e-V VaW W

f. g ,Vf 41W

VERO O FALSO?

O

d

c

b

a

γβ

α

a. ,a b. V F

b. aOd31

,a b+ W . V F

c. 2b c a+ . V F

d. aOd1b a-W V F

e. aOd32

, b c+W . V F

69••

70••

71••

72••

73••

74••

COMPLETA

75••

α

β

76••

α

β αβ

77••

78••

α β

79••

80••


G35

ESERCIZ

I

E

La bisettrice di un angolo

Disegna due angoli, uno maggiore e uno minore di un angolo piatto e per ognuno costruisci la bisettrice, utilizzando riga e compasso.

VERO O FALSO? Dalla figura deduciamo che:

a. aOb dOc,W W . V F

b. c è bisettrice di bOdW . V F

c. c è bisettrice di Oa eW . V F

d. aOb bOd2-W W è l’angolo nullo. V F

e. bOd aOe21

,W W . V F

Le definizioni relative agli angoli

Disegna un angolo acuto e un suo complementare, un angolo retto e un suo supplementare, un angolo ottuso e un suo supplementare.

VERO O FALSO?

a. La differenza fra due angoli acuti è sempre un angolo acuto. V F

b. A volte due angoli acuti sono complementari. V F

c. A volte due angoli ottusi sono supplementari. V F

d. La somma di due angoli acuti è sempre un angolo acuto. V F

e. Se due angoli sono supplementari, uno è acuto e uno è ottuso. V F

VERO O FALSO? Rispondi osservando la figura.

a. a è complementare di c. V F

b. ,c f . V F

c. b è supplementare di d . V F

d. ,{ d . V F

e. d è complementare di a . V F

Per ogni figura scrivi il termine relativo all’angolo considerato, scegliendolo fra i seguenti (più termini possono essere validi per la stessa figura): giro, retto, acuto, ottuso, convesso, concavo, angoli adiacenti, angoli consecutivi, angoli complementari, angoli supplementari.

a b c d

e f g h

81••

82••

b

c

d

e

Oa

83••

84••

85••

αβ

γ

δ ε

φ

86••


G36

ESERCIZ

IE

Per ogni angolo indicato disegna un suo supplementare.

Per ogni angolo indicato disegna, se possibile, un suo complementare.

COMPLETA Di fianco a ogni coppia di angoli scrivi se essi sono adiacenti, consecutivi, supplementari o complementari.

,a b

,c d

,b al l

,a b a b++ l l

,a dl

,a b d b+ +l l

Disegna un angolo acuto, un angolo retto e un angolo ottuso. Per ognuno degli angoli disegna un angolo adiacente a esso e un angolo consecutivo ma non adiacente.

Figure e dimostrazioni

Dalla figura alla sua descrizione

ESERCIZIO GUIDA Dopo aver osservato la figura, cerchiamo di descriverla in modo che essa possa essere riprodotta da una persona che non la vede.

Per descrivere questa figura è necessario specificare che:

• c’è un segmento AB;

• il punto D sta sul segmento AB e AD è la quarta parte di AB;

• il punto C non appartiene alla retta AB ;

• sono tracciati i segmenti CD e BC, che risultano consecutivi e non adiacenti.

In modo sintetico possiamo scrivere: D ! AB; AD 41

= AB.CD e BC sono segmenti consecutivi non adiacenti.Queste informazioni sono sufficienti per riprodurre non una figura identica alla precedente, ma una figura che abbia tutte le proprietˆ che ci interessano.

87••

88••

89••

β

α

γ

δ′

δ

α′

β′

90••

91

C

DA B

X XX X


G37

ESERCIZ

I

E

Negli esercizi seguenti, per ogni figura proposta descrivi le proprietà presenti, in modo che possa essere

riprodotta da un tuo compagno che non la vede.

A

B

C

D

E F G

O P

Q

c

b

aB

a

b

A

S

S S

Dal testo alla figura

ESERCIZIO GUIDA Tenendo presente la descrizione simbolica, disegniamo la figura corrispondente:

AB, BC, CD, DE sono segmenti; D ! AB; EDC 21r=W .

Le informazioni permettono di dire che la figura è composta da quattro segmenti consecutivi, di cui gli ultimi due formano un angolo retto. L’estremo D del terzo segmento sta su AB. Poiché non è specificato che AD , DB, il punto D non si deve scegliere in modo particolare, ossia non deve essere il punto medio di AB. Allo stesso modo il segmento BC non deve essere adiacente ad AB. Le figure a e b, pur soddisfacendo le condizioni poste, non sono accettabili in quanto sono presenti delle proprietà in più rispetto a quelle descritte. La figura richiesta è la c.

C

A

E

D B

a

NO

A

E

D B C

b

NO

E

A D B

C

c

Sí

CHE COSA NON DEVI FARE In generale, quando si deve tradurre in rappresentazione grafica un testo fatto di parole o di simboli, è bene non disegnare mai i casi particolari, a meno che non siano proprio quelli richiesti. Esempi:

O a

b

cSÌ

O a

b

cNO

b. «Disegna una semirettainterna all’angolo aOb.» ^

La semiretta non deve essere la bisettrice dell’angolo.

O a

b

NO

NOOb a

O

a

b

c. «Disegna un angolo aOb.»

L’angolo non deve essere particolare, per esempio non deve essere retto o piatto.

SÌ

^

NO

A BP

X X

A BP

SÌ

a. «Disegna un punto P sulsegmento AB.»

Il punto P non deve essere il punto medio di AB.

92••

93••

94••

95


G38

ESERCIZ

IE

Negli esercizi seguenti, per ogni descrizione, disegna la figura corrispondente.

AB, BC, CD, DE sono segmenti; E BC! ; BE EC, .

AB è un segmento; Ca, C AB! , AB BC4= ; ACa 41r=W .

aOb bOc cOd r+ + =W W W ; aOb bOd21

=W W .

, , ,aOb bOc cAd A Oc!W W W ; Ad non è interna ad aOcW .

Teoremi sui segmenti

ESERCIZIO GUIDA Sulla retta r disegniamo, nell’ordine, tre punti A, B e C, e il punto medio M di BC.

Dimostriamo che:

BMAC AB

2=- .

Disegniamo la figura:

A B M C

r

Scriviamo l’ipotesi e la tesi:

Ipotesi 1. A, B, C, M ! r;

2. BM , MC;

Tesi BMAC AB

2=- .

Scriviamo la dimostrazione, giustificando ogni passaggio.

DimostrazionePer la definizione di somma di segmenti:

AC = AB + BM + MC.

Per l’ipotesi 2:

AC = AB + BM + BM.

Per la definizione di multiplo di un segmento:

AC = AB + 2BM.

Per la prima legge di monotonia:

AC - AB = AB - AB + 2BM

AC - AB = 2BM.

Per la seconda legge di monotonia:

AC ABBM2

-= .

Per la proprietà simmetrica della congruenza:

BMAC AB

2=- .

Scriviamo una seconda dimostrazione.

Dimostrazione alternativaInvece di dimostrare la tesi richiesta, per la defi-nizione di multiplo e sottomultiplo di un seg-mento, è equivalente dimostrare la seguente tesi:

Tesi AC - AB = 2BM.

Osserviamo che:

• AC - AB = BC per la definizione di differen-za fra segmenti;

• BC = BM + MC per la definizione di somma fra segmenti.

Dall’ipotesi 2 deduciamo:

BC = BM + BM

e, per la definizione di multiplo di un segmen-to, vale che:

BC = 2BM.

Dalla prima relazione concludiamo che:

AC - AB = BC = 2BM.

96••

97••

98••

99••

100


G39

ESERCIZ

I

E

ESEMPIO DIGITALE Il segmento AC è di-viso dal punto medio B in due segmenti AB e BC. Siano M e N i punti medi di questi seg-menti. Dimostra che MN AM NC, + .

Disegna sulla stessa retta i segmenti congruenti AB e CD. Dimostra che anche AC e BD sono congruenti. (SUGGERIMENTO Devi utilizzare la proprietà secondo la quale somme di segmenti congruenti sono congruenti.)

Disegna due segmenti adiacenti fra loro con-gruenti, AO e OB, e considera i loro punti medi D e C. Dimostra che DC AD CB= + .

Considera tre segmenti adiacenti, AB, BC e CD, con AB , CD. Dimostra che il punto medio M di BC è anche punto medio di AD.

Disegna sulla stessa retta i segmenti congruenti AB e CD. Dimostra che il punto medio di AD è anche punto medio di BC. (SUGGERIMENTO Devi utilizzare la proprietà secondo la quale differen-ze di segmenti congruenti sono congruenti.)

Disegna due segmenti, AB e CD, appartenenti alla stessa retta, uno interno all’altro, in modo che abbiano lo stesso punto medio. Dimostra che i segmenti AC e BD sono congruenti.

Su una retta considera, nell’ordine, i punti A, B e C in modo che sia AB BC2= e disegna il pun-to medio M di AB. Dimostra che i segmenti AC e MB hanno lo stesso punto medio.

Sulla semiretta Oa disegna tre punti, A, B, C, in modo che sia OA BC, . Dimostra che:

a. OB AC, ;

b. i segmenti OC e AB hanno lo stesso punto medio.

Considera su una retta orientata il segmento AB e sia P un punto interno ad AB, più vicino a B che ad A. Dimostra che il segmento che ha per estremi il punto P e il punto medio di AB è con-gruente alla metà della differenza AP PB- .

Considera su una retta orientata il segmento PQ e sia T un punto della retta esterno a PQ. Dimo-stra che il segmento che ha per estremi il punto T e il punto medio del segmento PQ è congruente alla metà della somma dei segmenti PT e QT.

Sulla semiretta di origine O scegli due punti, A e B e disegna il punto medio M di AB. Dimo-

stra che: OMOA OB

2=+ .

Dato un segmento AB e il suo punto medio M, sul segmento MB fissa un punto C a piacere. Dimostra che la differenza fra AC e CB è il dop-pio di MC.

Disegna un segmento AB e il suo punto medio M. Sul segmento AM fissa un punto C a piacere e disegna il punto medio N del segmento AC. Dimostra che il doppio della distanza fra i due punti medi è uguale alla differenza dei due seg-menti AB e AC.

M è il punto medio del segmento AB. Prolunga il segmento dalla parte di A e sul prolungamen-to fissa un punto P a piacere. Dimostra che il doppio della distanza di P da M è uguale alla somma delle distanze di P dagli estremi del seg-mento AB.

Disegna un segmento AB e, internamente a esso, un segmento EF. Costruisci il punto medio M di AE e il punto medio N di FB. Dimostra che la distanza fra i due punti medi è uguale alla semi-somma dei segmenti AF ed EB. (SUGGERIMENTO È equivalente dimostrare MN AF EB2 = + ;

MN ME EF FN2 2= + +^ h. Per la proprietà distributiva si ha che...)

Considera due segmenti adiacenti e congruenti AB e BC, e fissa un punto P qualunque interno al segmento AB. Detto M il punto medio del seg-mento AP, dimostra che ( )MB AC AP2

1, - .

Sulla retta r disegna nell’ordine tre punti A, B e C tali che BC AB2, . Siano M e N i punti medi rispettivamente dei segmenti AB e BC, e sia P il punto medio del segmento MN. Dimostra che AC MP4, .

101••

102••

103••

104••

105••

106••

107••

108••

109••

110••

111••

112••

113••

114••

115••

116••

117••


G40

ESERCIZ

IE

Teoremi sugli angoli

ESERCIZIO GUIDA Disegniamo due angoli, aObW e cOdW , il secondo interno al primo, in modo che entrambi abbiano la stessa bisettrice Os. Dimostriamo che aOc dOb,W W .

Disegniamo la figura, indicando con a l’angolo aOsW e con al l’angolo sObW , con b l’angolo cOsW e con bl l’angolo sOdW , con c l’angolo aOcW e con cl l’angolo dObW .

a

b

c

d

sO

α′

α β

γ

γ′

β′


Ipotesi 1. ,a al; 2. ,b bl;

Tesi ,c cl.

Scriviamo la dimostrazione, spiegando i vari passaggi.

DimostrazioneEseguendo la sottrazione fra angoli risulta che:

c a b= - e c a b= -l l l.

Le due sottrazioni hanno congruenti il minuen-do, per l’ipotesi 1, e il sottraendo, per l’ipotesi 2, quindi ,c cl, perché differenze di angoli congruenti.

DIMOSTRAZIONE GUIDATA Sono dati due angoli consecutivi aObW e bOcW e le rispettive bisettrici Os e Ot.

Dimostra che: sOtaOb bOc

2,+W

W W.


Ipotesi 1. aOs sOb,W W ;

2. bOt ,W ;

Tesi .sOt 2,+W

Dimostrazione

• Esprimiamo gli angoli sObW e bOtW come sotto-

multipli rispettivamente di aObW e bOcW .

L’angolo sObW è sottomultiplo dell’angolo aObW

secondo il numero , perciò sOb aOb1

,W W .

Analogamente bOt bOc1

,W W .

• Dimostriamo la tesi.L’angolo sOtW si può esprimere come somma degli angoli sObW e , pertanto:

sOt sOb, +W W aOb21

, +W aOb21

, +^ hW .

118

119

O

c

t

b

s

a


G41

ESERCIZ

I

E

Due angoli congruenti, aObW e cOdW , hanno in comune l’angolo cObW . Dimostra che la bisettri-ce Os dell’angolo cObW è anche bisettrice dell’an-golo aOdW .

Disegna tre angoli consecutivi aObW , bOcW e cOdW , di cui aObW e cOdW siano congruenti. Dimostra che la bisettrice di aOdW è anche bisettrice di bOcW .

Dimostra che, se le bisettrici di due angoli con-secutivi formano fra loro un angolo retto, allora gli angoli sono adiacenti.

Due angoli retti, aObW e cOdW , hanno in comune l’angolo cObW . Dimostra che cObW e aOdW sono supplementari.

Due angoli, aObW e bOcW , sono adiacenti, come indicato nella figura. Dimostra che le loro biset-trici formano un angolo retto. (SUGGERIMENTO Considera d a+ e fc b+ )

==

•

•

b

cOa

δ

γ

β

α

YOU & MATHS Deducing angle measures

Knowing that AOCW and BODW are right angles, as shown in the figure, fill in the table and pro-vide the missing reasons in order to prove that AOB COD,W W .

Statement Reasons

AOC BOC= -W W given

AOB =W -

OC D =W -

Nell’angolo aObW disegna la bisettrice Os e una semiretta Oc esterna all’angolo dalla parte di b.

Dimostra che cOsaO bOcc

2=+W

W W.

(SUGGERIMENTO È equivalente dimostrare che aO bOc cOc s2=+W W W . Costruisci, dalla parte di a, un angolo consecutivo a quelli dati e congruente a...)

Disegna tre semirette, Oa, Ob, Oc, in modo da formare tre angoli congruenti. Prolunga una delle tre semirette. Dimostra che tale prolunga-mento è la bisettrice dell’angolo formato dalle altre due semirette. (SUGGERIMENTO Utilizza la proprietà: angoli sup-plementari di angoli congruenti sono congruenti.)

Le bisettrici Os e Ot dei due angoli consecutivi aObW e bOcW sono perpendicolari. Disegna gli angoli e dimostra che due punti qualsiasi, presi rispettivamente uno su Oa e l’altro su Oc, sono allineati con O.

Considera tre punti A, B e C allineati, con B interno al segmento AC. Nei due semipiani opposti individuati dalla retta AC, individua rispettivamente un punto D e un punto E, in modo tale che DBAV sia congruente a CBEV . Dimostra che i punti D, B ed E sono allineati.

120••

121••

122••

123••

124••

125••

A

B

C

D

O

126••

127••

128••

129••

MATEMATICA AL COMPUTER

La geometria del piano Verifichiamo la validità del se-

guente teorema usando un software di geometria dinami-

ca. «Gli angoli opposti al vertice sono congruenti».

A

D

V α = 45.64°

β = 45.64°

C

B

Esercitazione guidata - 7 esercizi in pi•.


G42

ESERCIZ

IE

Nella figura gli angoli aOcW , cOeW e bOdW sono ret-

ti. Dimostra che l’angolo piatto aOeW è diviso in

quattro angoli a due a due congruenti.

(SUGGERIMENTO Utilizza la proprietà: angoli

complementari di uno stesso angolo sono...)

b

eOa

c

d

Dimostra che due angoli aObW e cOdW , aventi lo

stesso vertice O e i lati a = c e b = d, sono con-

gruenti o supplementari.

Disegna tre angoli consecutivi, aObW , bOcW e cOdW ,

in modo che quello centrale (bOcW ) sia acuto e i

due laterali (aObW e cOdW ) siano congruenti.

Traccia le due bisettrici Os e Ot degli angoli

aObW e cOdW . Dimostra che sOt bOd,W W .

Lunghezze, ampiezze, misure

Segmenti

RISOLVIAMO UN PROBLEMA

■ Un segmento tripartito

I punti P e Q dividono il segmento AB in tre parti in modo che AP PB31

, e AQ PB, .

Sapendo che ,QB 5 5= cm, trova la lunghezza di AB e di PQ.

▶ Disegniamo la figura seguendo le indicazioni

del problema.

Tracciamo il segmento AB, segniamo il punto P vici-

no all’estremo A e il punto Q tra P e B.

A BP Q AP ~= – PB1

3

AQ ~= PB

AB AP PB= + , perciò dobbiamo determinare pri-

ma la lunghezza di AP e di PB.

▶ Calcoliamo la lunghezza di AP.

Osserviamo che:

• AQ AP PQ, + per costruzione;

• PB PQ QB, + per costruzione;

• AQ PB, per ipotesi.

Quindi:

AQ PB AP PQ PQ QB", ,+ + .

Osservando che PQ appare a entrambi i membri e

che per ipotesi ,QB 5 5= cm, otteniamo:

,AP QB AP 5 5", = cm.

▶ Calcoliamo la lunghezza di PB.

Per ipotesi AP PB31

, , quindi:

PB AP3, .

Sostituendo il valore trovato per la lunghezza di AP:

, ,PB 3 5 5 16 5cm cm$= = .

▶ Calcoliamo la lunghezza di AB.

Per costruzione A AP PBB , + , quindi:

, ,AB 5 5 16 5 22cm cm cm= + = .

▶ Calcoliamo la lunghezza di PQ.

Per costruzione APQ B AP QB, - - , quindi:

, ,PQ 22 5 5 5 5 11cm cm cm cm= - - = .

Utilizzando le informazioni fornite, trova le lunghezze richieste.

A B DC

AB = 9 cm, BC AB32

, .

AD = ?

A BM N C

AC = 64 cm, MB BN53

, .

CN = ? AM = ?

130••

131••

132••


133••

134••


G43

ESERCIZ

I

E

A B C

AC BC BC23

,- , AB = 6 cm.

AC = ?

AC AB47

, ,

AC AB+ = 33 cm.

AB = ?

A

B

C

AB CH54

, ,

CH AB- = 3 cm.

BC = ?

Su una semiretta orientata di origine O, consi-dera, nell’ordine, i punti A, B, C, D. Sapendo che OA CD, , AB BC2, , BC CD+ = 20 cm e che OD = 46 cm, determina le lunghezze dei seg-menti AC e OA. [AC = 18 cm; OA = 14 cm]

Siano AB, BC e CD tre segmenti adiacenti e M, N e O i rispettivi punti medi. Sapendo che MO = 60 cm, MN CD, e AB = 24 cm, deter-mina le lunghezze dei segmenti BC e CD.

[33,6 cm; 28,8 cm]

TEST Se D è il punto medio di AC e C è il punto medio di AB, sapendo che BD = 12 cm, qual è la lunghezza di AB?

A 4 cm. D 32 cm.

B 12 cm. E Nessuna delle precedenti.

C 16 cm.(USA Catawba College NCCTM Mathematics Contest, 2005)

Angoli

COMPLETA se è possibile, inserendo le misure delle ampiezze degli angoli indicati.

Angolo Complementare Supplementare Esplementare

27°

40°

118°

278°

80°

70°

TEST Il tuo orologio da polso segna le 11:40. Qual è l’angolo tra la lancetta delle ore e quella dei minuti?

A 90° B 100° C 110° D 120°

EUREKA! Complementare e supplementare Ricava la misura di un angolo tale che la differen-za tra il suo supplementare e il doppio del suo complementare sia 48°. [48°]

(CAN John Abbott College, Final Exam, 2003)

135••

136••

137••

A H B

C

138•• MATEMATICA INTORNO A NOI

Taxi in città Un tassista lavora in una città statunitense

in cui le vie sono tutte parallele e perpendicolari, formando

un reticolo quadrettato come in figura…

piazza

stazione

Problema e risoluzione.

139••

140••

141••

142••

143••


G44

ESERCIZ

IE

EUREKA! Un ventaglio di angoli Se BD è la bisettrice dell’angolo ABCV e BE è la bisettrice dell’angolo ABDV , sapendo che la misura dell’an-golo DBCV è 24°, qual è la misura dell’angolo EBCV ?

A 36° D 24°

B 48° E Nessuna delle precedenti.

C 12°(USA Catawba College NCCTM Mathematics Contest, 2005)

INVALSI 2006 La lancetta delle ore di un orolo-gio è passata dalle 3 alle 12. Qual è l’ampiezza dell’angolo descritto?

A 270°

C 120°

B 180°

D 90°

YOU & MATHS Maths in English Translate the following statements from symbols to words:

a. °.ABC 45 9=V ; b. JK AQ, .

COMPLETA inserendo la misura.

a. Il complementare di a = 27° è .

b. La quarta parte di un angolo piatto è .

c. Il supplementare di b = 115° è .

d. La metà della terza parte di un angolo piatto è .

ESEMPIO DIGITALE Calcola le ampiezze di tre angoli consecutivi a , b e c, sapendo che la loro somma è un angolo concavo che mi-sura 290° e che a e c sono entrambi supple-mentari di b.

EUREKA! Computer vs cervello Roberto ha scritto un programma A che, dato un angolo, ne restituisce il supplementare e un programma B che, dato un angolo, ne calcola il complementare. Per divertirsi, reitera 1021 volte consecutivamen-te il programma A partendo da un angolo di 30° (applica ogni volta il programma al risultato ot-tenuto dall’appli-cazione prece-dente). Infine, al risultato ottenuto applica una volta il programma B. Che output avrà?

Osservando le figure, determina le misure degli angoli incogniti.

7α – 36°

α

5x

3x – 18°

α

x

4α

a b c

2α

L’ampiezza della somma di due angoli consecu-tivi è 112°. Sapendo che un angolo è congruen-

te ai 43 dell’altro, determina le ampiezze dei due

angoli e dei loro supplementari.[64°; 48°; 116°; 132°]

Le semirette a, b, c, d hanno origine comune nel vertice O e sono disposte in modo tale che b sia la bisettrice dell’angolo aOcW e c sia la bisettrice dell’angolo aOdW . Determina l’ampiezza dell’an-golo formato dalle due bisettrici, sapendo che aObW è il complementare di cOdW . [30°]

144••

145••

146••

147••

148••

149••

150••

151••

152••


G45

ESERCIZ

I

E

Determina le misure delle ampiezze degli angoli

a, b, c e d della figura, sapendo che b e bl sono

complementari e che a e d sono opposti al

vertice.

148°

22°

β′

α

β

γ

δ

Determina le misure delle ampiezze di a, b e d ,

sapendo che r è bisettrice di c e che b e f sono

opposti al vertice.

110°

r

20°

δγ

αβ

ε

YOU & MATHS Opposite angles Look at the

figure and complete the statements by filling in

the missing parts.

A

B C

D

Q

a. If °BDC 65=W , then ABD =W , since

BDCW and ABDW are .

b. If the measure of DC QW is a , then

ABD =W , since DC QW and ABDW are

.

INTORNO A NOI Non tutte rettangolari...

Nella bandiera in fi-

gura è 45 58,a d e b

è il complementare di

58°. Sapendo che c e d

sono esplementari e

che la somma di a con

b è congruente a un

terzo della differenza

tra c e d , determina le

ampiezze degli angoli , ,a b c e d .

[ °58a = ; 32°b = ; 315°c = ; 45°d = ]

153••

154••

155••

156••

β

α

δ

γ

MATEMATICA INTORNO A NOI

La mappa del tesoro Camilla e Lorenzo trovano in soffitta

una mappa del tesoro, eredità del bisnonno, appassionato

esploratore. Nella mappa è illustrato come raggiungere

un forziere colmo d’oro e pietre preziose appartenuto a

qualche pirata. Incuriositi, chiedono ai nonni di aiutarli a

capire le origini della mappa e soprattutto se il luogo de-

scritto è reale e raggiungibile! I nonni però sono lontani ed è

possibile sentirli solo tramite telefono.

a. Guarda la mappa in figura e disegna un profilo schema-

tico dell’isola, approssimandolo con segmenti e archi di

circonferenza.

b. Quali istruzioni dovranno dare, telefonicamente, Camilla

e Lorenzo affinché i nonni possano ricostruire un

modello schematico della mappa ed eventualmente rico-

noscere l’isola?

Risoluzione - 2 esercizi in pi•.

Nord

Ovest

Torre della

chiave

Pietra

grigia

Est

Sud

Guado

Palme velenose

MAPPA DEL TESORO

App

rodo

Punte

spigolose

4000 passi

Sc

og

l iera

GEOMETRIA - staticmy.zanichelli.it · Capitolo G1. La geometria del piano G4 ORIA T I postulati di...

Documents

Transcript of GEOMETRIA - staticmy.zanichelli.it · Capitolo G1. La geometria del piano G4 ORIA T I postulati di...