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Geometria B Gruppo Fondamentale Pt. II 20.03.19 Esercizio 1 1 . Si calcoli il gruppo fondamentale dello spazio topologico in figura. Soluzione. Lo spazio topologico in figura ha come retratto di deformazione il seguente sottospazio: Tale sottospazio è omotopicamente equivalente a S 1 S 1 . Dunque il gruppo fondamentale richiesto è (isomorfo a) Z * Z. 1 Esame del 4 febbraio 2015. 1

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Geometria BGruppo Fondamentale

Pt. II20.03.19

Esercizio 11. Si calcoli il gruppo fondamentale dello spazio topologico in figura.

Soluzione. Lo spazio topologico in figura ha come retratto di deformazione il seguentesottospazio:

Tale sottospazio è omotopicamente equivalente a S1 ∨ S1. Dunque il gruppo fondamentalerichiesto è (isomorfo a) Z ∗ Z.

1Esame del 4 febbraio 2015.

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Esercizio 22. Si calcoli il gruppo fondamentale della superficie topologica X ottenuta comequoziente di un disco con tre buchi rispetto alle identificazioni in figure.

Soluzione. Consideriamo dapprima lo spazio topologico Y identificato come in figura:

Notiamo che lo spazio topologico Y è omeomorfo ad un toro. Identificando le due semicir-conferenze x abbiamo che Y è omeomorfo ad un cilindro con le basi ab−1c identificate. Aquesto possiamo rappresentare lo spazio X nel modo seguente:

2Esame del 16 gennaio 2016.

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A questo punto osserviamo che X è omeomorfo alla somma connessa di due tori. Per vederlo èsufficiente effettuare l’operazione di “taglia e incolla” lungo la curva C (dopo aver “ribaltato”la figura).

Possiamo concludere che X è omeomorfo alla somma connessa di due tori T2, pertanto:

π1(X) = ⟨α, β, γ, δ|αβα−1β−1γδγ−1δ−1 = 1⟩.

�Osservazione. Analogamente si poteva procedere già dalla rappresentazione di partenzaconsiderando il toro ede−1d−1.

Oppure alternativamente tramite la seguente rappresentazione.

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Esercizio 33. Calcolare il gruppo fondamentale dello spazio topologico X ottenuto comequoziente di un cerchio privato di un triangolo e un quadrato rispetto alle identificazioni infigura.

Soluzione. Incollando il lato x, osserviamo che X è omeomorfo allo spazio topologico formatoda un cilindro (senza basi) con identificazioni sui bordi inferiore e superiore:

Applichiamo il teorema di Seifert–Van Kampen scegliendo i seguenti sottospazi:

3Esame del 9 giugno 2015

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I gruppi fondamentali sono rispettivamente:

π1(X1, A) = ⟨[y] | ∅⟩;π1(X2, B) = ⟨[w], [z] | ∅⟩;π1(X1 ∩X2, C) = ⟨[t] | ∅⟩.

Siano ora α : I → X1 e β : I → X2 due cammini tali che α(0) = A, β(0) = B e α(1) =β(1) = C:

Possiamo costruire i due seguenti isomorfismi:

π1(X1, y)−→π1(X1, x)

[γ] 7−→[α ∗ γ ∗ α]

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π1(X2, z)−→π1(X2, x)

[η] 7−→[β ∗ η ∗ β]

e, denotando con y, z e w i cappi α ∗ y ∗ α, β ∗ z ∗ β e β ∗ w ∗ β, possiamo considerare leseguenti presentazioni dei gruppi fondamentali:

π1(X1, x) = ⟨[y] | ∅⟩, π1(X2, X) = ⟨[z], [w] | ∅⟩.

Da seguente diagramma

π1(X1, C)

π1(X1 ∩X2, C) π1(X,C)

π1(X2, C)

j1∗

i2∗

i1∗

j2∗

deduciamo che il gruppo fondamentale di X ha la seguente presentazione:

π1(X,C) =⟨[y], [z], [w] | j1∗

(i1∗([t])

)= j2∗

(i2∗([t])

)⟩Le mappe di inclusione

inducono i morfismi i1∗ : π1(X1 ∩X2, C) → π1(X1, C)

[t] 7→ [α ∗ y ∗ y ∗ y ∗ α] = [y]3

e i2∗ : π1(X1 ∩X2, C) → π1(X2, C)

[t] 7→ [β ∗ z ∗ w−1 ∗ z−1 ∗ w ∗ β] = [z][w]−1[z]−1[w].

Quindi, in conclusione, abbiamo:

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π1(X,C) =⟨[y], [z], [w] | [y]3 = [z][w]−1[z]−1[w]

⟩=

⟨[y], [z], [w] | [y]3[w]−1[z][w][z]−1 = 1

⟩.

�Osservazione. Notiamo che lo spazio topologico X non è una superficie topologica. Perdimostrarlo sfrutteremo la seguente catena di implicazioni:

X ∼ Y ⇒ π1(X) ≃ π2(Y ) ⇒ Ab (π1(X)) ≃ Ab (π1(Y ))

Pertanto basterà dimostrare che l’abelianizzato del gruppo fondamentale di X non è isomor-fo all’abelianizzato di alcuna superficie topologica4.

Come sappiamo dal teorema di classificazione delle superfici topologiche, una superficie to-pologica è omeomorfo alla somma connessa di g tori Tg o alla somma connessa di h pianiproiettivi Uh. Ora abbiamo:

Ab (π1(Tg)) ≃ Z2g;

Ab (π1(Uh)) ≃ Zh−1 × Z2.

Ora, calcoliamo l’abelianizzato di π1(X)5

Ab (π1(X)) =⟨[y], [z], [w] | [y]3[w]−1[z][w][z]−1 = [[y], [z]] = [[z], [w]] = [[w], [y]] = 1

⟩=

=⟨[y], [z], [w] | [y]3 = [[y], [z]] = [[z], [w]] = [[w], [y]] = 1

⟩≃ Z3 × Z2.

Z2g è privo di torsione, dunque Z3 × Z2 non può essere isomorfo ad esso. Non può inoltreessere isomorfo a Zh−1×Z2 perché questo implicherebbe un isomorfismo tra i sottogruppi ditorsione Z3 e Z2. Assurdo.

4Grazie al teorema di classificazione delle superfici topologiche sappiamo esattamente che aspetto hannoquesti gruppi.

5Si noti che utilizzeremo l’Osservazione 4.9 delle dispense.

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Esercizio 4. Nello spazio R3 e nel piano R2 si considerino i seguenti sottospazi:

i. S2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1};

ii. D2 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1};

iii. Γ = ∂D2 ×[−3

2, 32

]⊂ R3.

Si calcolino i gruppi fondamentali dei seguenti spazi topologici:

(a) X1 = S2 ∪ (D2 × {0})

(a) X2 = Γ ∪ (D2 × {−3/2, 0, 3/2})

(c) X3 = Γ ∪ (D2 × {−3/2,−1/2, 1/2, 3/2})

(d) X4 = Γ ∪ (D2 × {−3/2, 3/2}) ∪ S2

Soluzione. Gli spazi X1 e X2 sono omotopicamente equivalenti a due circonferenze unitein un punto e gli spazi spazi X3 e X4 sono omotopicamente equivalenti a tre sfere come infigura:

Dunque tutti gli spazi considerati hanno gruppo fondamentale banale. �

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Esercizio 56. Si consideri lo spazio topologico X ottenuto identificando le curve a e b comein figura. I vertici sono tutti identificati nel punto P .

(a) Si mostri che X ha una struttura di CW-complesso con una 0-cella, tre 1-celle e due2-celle. Se ne deduca che X è omotopicamente equivalente a S1 ∨ S1 ∨ S2.

(b) Si calcoli il gruppo fondamentale di X.

Soluzione.

(a) Un possibile modo di vedere il problema è immaginare lo spazio X come un tronco dicono “bucato” (i.e. non è presente la base maggiore) come da Figura 1 .

Figura 1: Lo spazio X visto come un tronco di cono.

Se chiamiamo D il disco che forma la base minore, L la superficie laterale e c il latoche unisce le due due circonferenze possiamo interpretare X come un CW-complessocomposto da:

– una 0-cella {P};– tre 1-celle {a, b, c};– due 2-celle {D,L}.

6Esame del 7 giugno 2018.

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Chiamiamo A il sotto CW-complesso contraibile {P, b,D} e sfruttiamo il Teorema 2.18delle dispense per ottenere la seguente equivalenza omotopica:

X ∼ X/A.

Otteniamo così lo spazio rappresentato in Figura 2.

Figura 2: Lo spazio X/A.

Notiamo ora che lo spazio X/A è omotopicamente equivalente ad una sfera con trepunti identificati, che sappiamo essere a sua volta equivalente a S2 ∨ S1 ∨ S1 (si vedaanche Figura 3).

Figura 3: Sfera S2 con tre punti identificati.

(b) Dal punto (a) è immediato ricavare

π(X) = π(S2 ∨ S1 ∨ S1) = ⟨[α], [β] | ∅⟩ ≃ Z ∗ Z.

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Esercizi Vari

Esercizio 1 Nello spazio euclideo R3 siano O il punto (0, 0, 0), r la retta x = y = 0 e Γ lacirconferenza nel piano z = 0 definita da x2 + y21 = 0. Si considerino i seguenti sottospazi:

1. X1 = R3 \ {O}.

2. X2 = R3 \ {r}.

3. X3 = R3 \ {r ∪ Γ}.

e li si suddividano in classi di omotopia e di omeomorfismo.

Esercizio 2 Si considerino in (R3, ε) i seguenti sottospazi:

X1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1};X2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + 2z2 = 1};X3 = {(x, y, z) ∈ R3 : 3x2 + 3y2 + 2z2 = 1}.

Calcolare il gruppo fondamentale di X = X1 ∪X2 e Y = X2 ∪X3.

Esercizio 3 Sia D ⊂ R2 il disco chiuso centrato nell’origine e di raggio 4 e siano D1,D2 e D3 i dischi aperti di raggio unitario centrati ripettivamente in (−2, 0), (0,−2), (2, 0).Siano Y = D \ (D1 ∪ D2 ∪ D3), Z il cilindro S1 × [0, 4] e X lo spazio topologico ottenutodall’unione di Y e Z identificando il bordo inferiore del cilindro con il bordo di D1 e il bordosuperiore con il bordo di D3, come in figura:

Si calcoli il gruppo fondamentale di X.

Esercizio 4 Sia X il quadrato in figura quozientato rispetto alle identificazioni mostra-te, e siano Q e R i punti di X come in figura.

Calcolare il gruppo fondamentale di X.

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Esercizio 5 Siano A e B i poligoni in figura:Si calcolino i gruppi fondamentali dei seguenti spazi topologici:

• X1 ottenuto contraendo a un punto il sottospazio a ∪ b ∪ α ∪ β;

• X2 ottenuto contraendo a un punto c ed identificando punto a punto a con α e b conβ.

X1 e X2 sono superfici topologiche?

Esercizio 6 Sia S la sfera di centro (0, 0, 0) e raggio 1 in R3, sia Γ = {(x, y, z) ∈ R3|x2+y2 =1/4, z = 0}, sia C = Γ× [−1, 1] e sia X = S ∪C, con la topologia indotta da quella euclidea.Si calcoli il gruppo fondamentale di X.

Esercizio 77. (a) Si classifichi la superficie topologica ottenuta come quoziente di un esagonorispetto alle identificazioni in figura.

7Esame del 17 giugno 2016.

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(b)Si calcoli il gruppo fondamentale dello spazio topologico ottenuto come quoziente dell’unionedell’esagono e di un quadrato privato di un triangolo rispetto alle identificazioni in figura.

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