pre s entaz i one dottorato d i r i c erca i n matemat i ca - xxx c i c lo

Universita degli Studi di Napoli Federico II

Geometria algebrica, differenziale, noncommutativa,

e applicazioni alla fisica

Francesco D’Andrea

Dipartimento di Matematica e Applicazioni R. Caccioppoli

19/05/2015

Composizione del gruppo di ricerca

∗ Partecipanti al Progetto STAR: Napoli-call2013-09.

Dipartimento di Matematica, UniNA:

Dott. Francesco D’Andrea (geometria noncommutativa)

Prof. Davide Franco (geometria algebrica)

Prof. Gaetano Fiore (fisica matematica)

Prof. Luciano Amito Lomonaco (topologia algebrica)

Dott. Maurizio Brunetti (topologia algebrica)

Dott. Niels Kowalzig (topologia algebrica)

Dott. Maxim Kurkov (teoria quantistica dei campi)

Dipartimento di Fisica, UniNA:

Prof. Fedele Lizzi (fisica teorica)

Dott. Patrizia Vitale (fisica teorica)

Dott. Agostino Devastato (dottorando in fisica)

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Il formalismo della meccanica hamiltoniana

MECCANICA CLASSICA MECCANICA QUANTISTICA

M = varieta di Poisson H = spazio di Hilbert

Osservabili→ f = f ∈ A0 ⊂ C∞(M)

Quantizzazione−−−−−−−−→(Deformazione)

a = a∗ ∈ A h ⊂ B(H)

(algebra commutativa) ←−−−−−−−Limite

semiclassico

(algebra di operatori)

Eq. del moto→d

dtft =

{H, ft

} d

dtat =

i h

[H, at

]

1. Esiste un modo canonico (forse funtoriale?) di trasformare funzioni inoperatori? (Soddisfacente opportune proprieta dettate dalla fisica.)

2. Quali sono le proprieta geometriche di questi “spazi quantistici”?(Possiamo estendere strumenti e tecniche tipici della geometriadifferenziale allo studio di algebre di operatori?)

3. Se M ha della struttura aggiuntiva (ad esempio, e un gruppo),che tipo di oggetto e la sua quantizzazione?

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Il formalismo della meccanica hamiltoniana

MECCANICA CLASSICA MECCANICA QUANTISTICA

M = varieta di Poisson H = spazio di Hilbert

Osservabili→ f = f ∈ A0 ⊂ C∞(M)

Quantizzazione−−−−−−−−→(Deformazione)

a = a∗ ∈ A h ⊂ B(H)

(algebra commutativa) ←−−−−−−−Limite

semiclassico

(algebra di operatori)

Eq. del moto→d

dtft =

{H, ft

} d

dtat =

i h

[H, at

]

1. Esiste un modo canonico (forse funtoriale?) di trasformare funzioni inoperatori? (Soddisfacente opportune proprieta dettate dalla fisica.)

2. Quali sono le proprieta geometriche di questi “spazi quantistici”?(Possiamo estendere strumenti e tecniche tipici della geometriadifferenziale allo studio di algebre di operatori?)

3. Se M ha della struttura aggiuntiva (ad esempio, e un gruppo),che tipo di oggetto e la sua quantizzazione?

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Il formalismo della meccanica hamiltoniana

MECCANICA CLASSICA MECCANICA QUANTISTICA

M = varieta di Poisson H = spazio di Hilbert

Osservabili→ f = f ∈ A0 ⊂ C∞(M)

Quantizzazione−−−−−−−−→(Deformazione)

a = a∗ ∈ A h ⊂ B(H)

(algebra commutativa) ←−−−−−−−Limite

semiclassico

(algebra di operatori)

Eq. del moto→d

dtft =

{H, ft

} d

dtat =

i h

[H, at

]

1. Esiste un modo canonico (forse funtoriale?) di trasformare funzioni inoperatori? (Soddisfacente opportune proprieta dettate dalla fisica.)

2. Quali sono le proprieta geometriche di questi “spazi quantistici”?(Possiamo estendere strumenti e tecniche tipici della geometriadifferenziale allo studio di algebre di operatori?)

3. Se M ha della struttura aggiuntiva (ad esempio, e un gruppo),che tipo di oggetto e la sua quantizzazione?

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Il formalismo della meccanica hamiltoniana

MECCANICA CLASSICA MECCANICA QUANTISTICA

M = varieta di Poisson H = spazio di Hilbert

Osservabili→ f = f ∈ A0 ⊂ C∞(M)

Quantizzazione−−−−−−−−→(Deformazione)

a = a∗ ∈ A h ⊂ B(H)

(algebra commutativa) ←−−−−−−−Limite

semiclassico

(algebra di operatori)

Eq. del moto→d

dtft =

{H, ft

} d

dtat =

i h

[H, at

]

1. Esiste un modo canonico (forse funtoriale?) di trasformare funzioni inoperatori? (Soddisfacente opportune proprieta dettate dalla fisica.)

2. Quali sono le proprieta geometriche di questi “spazi quantistici”?(Possiamo estendere strumenti e tecniche tipici della geometriadifferenziale allo studio di algebre di operatori?)

3. Se M ha della struttura aggiuntiva (ad esempio, e un gruppo),che tipo di oggetto e la sua quantizzazione?

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1. Il problema della quantizzazione

Vari approcci: deformazione per quantizzazione (formale), stretta (C∗-algebre), . . .

Maxim Kontsevich

(Medaglia Fields 1998)

Marc A. Rieffel

Contributi fondamentali nell’ambito delle C∗-algebre:I deformazione stretta (strict deformation quantization)I equivalenza forte di Morita per C∗-algebreI rango stabile di una C∗-algebraI metriche su spazi di stati di C∗-algebre

Cedric Villani

(Medaglia Fields 2010)

Distanza di Monge-

Kantorovich-Wasserstein

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1. Il problema della quantizzazione

Vari approcci: deformazione per quantizzazione (formale), stretta (C∗-algebre), . . .

Maxim Kontsevich

(Medaglia Fields 1998)

Marc A. Rieffel

Contributi fondamentali nell’ambito delle C∗-algebre:I deformazione stretta (strict deformation quantization)I equivalenza forte di Morita per C∗-algebreI rango stabile di una C∗-algebraI metriche su spazi di stati di C∗-algebre

Cedric Villani

(Medaglia Fields 2010)

Distanza di Monge-

Kantorovich-Wasserstein

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1. Il problema della quantizzazione

Vari approcci: deformazione per quantizzazione (formale), stretta (C∗-algebre), . . .

Maxim Kontsevich

(Medaglia Fields 1998)

Marc A. Rieffel

Contributi fondamentali nell’ambito delle C∗-algebre:I deformazione stretta (strict deformation quantization)I equivalenza forte di Morita per C∗-algebreI rango stabile di una C∗-algebraI metriche su spazi di stati di C∗-algebre

Cedric Villani

(Medaglia Fields 2010)

Distanza di Monge-

Kantorovich-Wasserstein

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1. Il problema della quantizzazione

Vari approcci: deformazione per quantizzazione (formale), stretta (C∗-algebre), . . .

Maxim Kontsevich

(Medaglia Fields 1998)

Marc A. Rieffel

Contributi fondamentali nell’ambito delle C∗-algebre:I deformazione stretta (strict deformation quantization)I equivalenza forte di Morita per C∗-algebreI rango stabile di una C∗-algebraI metriche su spazi di stati di C∗-algebre

Cedric Villani

(Medaglia Fields 2010)

Distanza di Monge-

Kantorovich-Wasserstein

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1. Il problema della quantizzazione

Vari approcci: deformazione per quantizzazione (formale), stretta (C∗-algebre), . . .

Maxim Kontsevich

(Medaglia Fields 1998)

Marc A. Rieffel

Contributi fondamentali nell’ambito delle C∗-algebre:I deformazione stretta (strict deformation quantization)I equivalenza forte di Morita per C∗-algebreI rango stabile di una C∗-algebraI metriche su spazi di stati di C∗-algebre

Cedric Villani

(Medaglia Fields 2010)

Distanza di Monge-

Kantorovich-Wasserstein

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2. Geometria differenziale noncommutativa

Alain Connes (Medaglia Fields 1982)

Dal libro rosso di Connes [trad.]:

La corrispondenza fra spazi geometrici e algebre commutative e un’ideabasilare della geometria algebrica. Lo scopo di questo libro e di estenderetale corrispondenza alle algebre non commutative nell’ambito dell’analisi reale.

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3. Gruppi quantistici

Nell’ambito delle deformazioni formali un contributo fondamentale e dovuto a Drinfel’d.

Vladimir G. Drinfel’d (Medaglia Fields 1990)

Stanisław L. Woronowicz (Medaglia Banach 2009)

Nell’ambito delle C∗-algebre, il fondatore e stato Woronowicz.

(Iniziatore della teoria, nonche autore di vari contributi fontamentali di algebre di operatori, ad esempio

la classificazione di funzioni positive fra C∗-algebre in dimensione bassa.)

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3. Gruppi quantistici

Nell’ambito delle deformazioni formali un contributo fondamentale e dovuto a Drinfel’d.

Vladimir G. Drinfel’d (Medaglia Fields 1990) Stanisław L. Woronowicz (Medaglia Banach 2009)

Nell’ambito delle C∗-algebre, il fondatore e stato Woronowicz.

(Iniziatore della teoria, nonche autore di vari contributi fontamentali di algebre di operatori, ad esempio

la classificazione di funzioni positive fra C∗-algebre in dimensione bassa.)

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Un esempio dalla geometria algebrica

Regole di commutazione della meccanica quantistica (in unita h = 1):[xi, pj

]=√−1 δij , i, j = 1, . . . , n (?)

Sia K un campo algebricamente chiuso di caratteristica 0. Chiamiamo algebra di WeylAK,n l’algebra su K generata da {xi, pi}

ni=1 con regole di commutazione (?).

Le seguenti congetture sono stabilmente equivalenti: [Tsuchimoto, Belov-Kanel, Kontsevich]

Congettura di Dixmier – DCn

Tutti gli endomorfismi dell’algebra di Weyl AK,n sono automorfismi.

DCn⇒ JCn

(ben noto)

JC2n⇒DCn

(Tsuchimoto et al., 2005)

Congettura Jacobiana – JCn (sull’invertibilita di una funzione regolare)

Sia F : Kn → Kn una funzione polinomiale e JF il determinante Jacobiano.Se JF ∈ K∗, esiste G : Kn → Kn polinomiale inversa di F.

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Un esempio dalla geometria algebrica

Regole di commutazione della meccanica quantistica (in unita h = 1):[xi, pj

]=√−1 δij , i, j = 1, . . . , n (?)

Sia K un campo algebricamente chiuso di caratteristica 0. Chiamiamo algebra di WeylAK,n l’algebra su K generata da {xi, pi}

ni=1 con regole di commutazione (?).

Le seguenti congetture sono stabilmente equivalenti: [Tsuchimoto, Belov-Kanel, Kontsevich]

Congettura di Dixmier – DCn

Tutti gli endomorfismi dell’algebra di Weyl AK,n sono automorfismi.

DCn⇒ JCn

(ben noto)

JC2n⇒DCn

(Tsuchimoto et al., 2005)

Congettura Jacobiana – JCn (sull’invertibilita di una funzione regolare)

Sia F : Kn → Kn una funzione polinomiale e JF il determinante Jacobiano.Se JF ∈ K∗, esiste G : Kn → Kn polinomiale inversa di F.

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Possibili argomenti di ricerca

Argomento Competenze Referente/i

Aspetti matematici di teoriequantistiche di campo

Algebre di operatori, K-teoria/omologia,meccanica quantistica, . . .

F. D’AndreaG. Fiore

Gruppi quantistici Gruppi di Lie, bialgebre/algebre di Hopf,C∗-algebre di Woronowicz, . . .

F. D’AndreaG. Fiore

Metriche su spazi di stati diC∗-algebre

Algebre di operatori, spazi vettoriali ordi-nati con unita, (trasporto ottimale), (teoriadell’informazione quantistica), . . .

F. D’Andrea

Luoghi di Hodge e teoriadi Noether-Lefschetz

Geometria di famiglie di varieta algebriche,spazi di moduli, teoria delle deformazioni,teoria di Noether-Lefschetz in car. positiva.

D. Franco

Equazioni per la fisica dellainterazione laser-plasmi

Analisi e risoluzione – anche numerica – diequazioni differenziali e integrali non lineari,elettrodinamica, magnetofluidodinamica.

G. Fiore

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Motivazioni

�opportunita di acquisire competenze in un certo numero di campi

GEOMETRIA DIFFERENZIALE

• strutture di spin• gruppi di Lie/spazi omogenei• varieta di Poisson/gruppi di Poisson-Lie• varieta complesse

ALGEBRE DI OPERATORI

• algebre di Banach/C∗-algebre• deformazioni strette, alla Berezin, . . .• K-teoria/omologia, KK-teoria• topologie/metriche su spazi di stati

GEOMETRIA ALGEBRICA

• teoria delle deformazioni• spazi di moduli• luoghi di Hodge• teoria di Noether-Lefschetz

FISICA MATEMATICA/TEORICA

• meccanica quantistica

• teoria quantistica dei campi

• tecniche di sviluppo asintotico delnucleo del calore

FISICA LASER-PLASMI

• analisi qualitativa equazioni differenziali e integrali• teniche di risoluzione (anche numerica)• equazioni della magnetofluidodinamica/elettrodinamica

�collaborazioni nazionali e internazionali

�comunita scientifica molto attiva

�sono argomenti che attraggono finanziamenti

� lo sbocco professionale naturale e nel mondo accademico

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Motivazioni

�opportunita di acquisire competenze in un certo numero di campi

�collaborazioni nazionali e internazionali

Esempio: COST Action MP1405 – “Quantum structure of spacetime”

Data inizio: 30/04/2015 – Data fine: 29/04/2019.Partecipano 22 nazioni:

Austria Belgio Bulgaria CroaziaCipro Rep. Ceca Dannimarca FranciaGermania Grecia Islanda IrlandaItalia Lussemburgo Olanda PoloniaPortogallo Serbia Slovacchia SpagnaSvizzera Regno Unito

�comunita scientifica molto attiva

�sono argomenti che attraggono finanziamenti

� lo sbocco professionale naturale e nel mondo accademico

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Motivazioni

�opportunita di acquisire competenze in un certo numero di campi

�collaborazioni nazionali e internazionali

�comunita scientifica molto attiva

Esempio: conferenze organizzate dal network GREFI-GENCO

2007 • 1st French-Italian meeting on noncommutative geometry (La Sapienza, Roma)2008 • Rencontre GDR geometrie non commutative (Aspet, Pyrenees)2009 • Noncommutative geometry and quantum physics (Vietri sul Mare, SA)2010 • Quantum groups, free probability and nc geometry (CIRM, Marsiglia)2011 • Meeting of the French-Italian GDRE on nc geometry (Ist. Henri Poincare, Parigi)2012 • Nc geometry, index theory and applications (Palazzone SNS, Cortona)2012 • Noncommutative geometry and applications to physics (Politecnico di Milano)2013 • Noncommutative geometry and applications (Brasov, Romania)2014 • Noncommutative geometry and applications (Villa Mondragone, Frascati)2015 • Advances in noncommutative geometry (Univ. Paris Diderot, Parigi)

⇒ possibilita di partecipazione a conferenze/scuole di dottorato

�sono argomenti che attraggono finanziamenti

� lo sbocco professionale naturale e nel mondo accademico

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Motivazioni

�opportunita di acquisire competenze in un certo numero di campi

�collaborazioni nazionali e internazionali

�comunita scientifica molto attiva

�sono argomenti che attraggono finanziamenti

Esempio: il mio “funding ID”

Nome Finanziamento CoordinatoreIniziativa Specifica INFN 2014: GeoSym-QFT G. FioreSTAR 2013 (Compagnia di San Paolo): “Geometric aspects of QFT. . . ” F. D’AndreaCOST Action MP1405: “Quantum structure of spacetime” R.J. SzaboProgramma bilaterale Italia-Serbia 2013 – M01066 L. CastellaniGiovani GNFM 2011 (INdAM) F. D’AndreaINdAM-CNRS project GREFI-GENCO 2011 D. GuidoFARO 2010 (Compagnia di San Paolo): “Algebre di Hopf, differenziali e [ . . . ]” M. BrunettiINdAM-CNRS project GREFI-GENCO 2007 J.-L. SauvageotIAP (Interuniversity Attraction Pole, Belgio), 2007 P. BieliavksyPRIN 2011: “Operator algebras, noncommutative geometry and applications” R. LongoPRIN 2008: “Noncommutative geometry, quantum groups and applications” G. LandiPRIN 2006: “Noncommutative geometry, quantum groups and applications” G. LandiPRIN 2004: “SINTESI - Singolarita Integrabilita Simmetrie” F. Calogero

� lo sbocco professionale naturale e nel mondo accademico

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Motivazioni

�opportunita di acquisire competenze in un certo numero di campi

�collaborazioni nazionali e internazionali

�comunita scientifica molto attiva

�sono argomenti che attraggono finanziamenti

� lo sbocco professionale naturale e nel mondo accademico

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