Generatori di numeri

pseudo-random

Giorgia Rossi

Fabio Bottoni

Giacomo Albanese

Sommario

1) Introduzione ai generatori di numeri

pseudocasuali (PRNG).

2) Il generatore Fortuna.2) Il generatore Fortuna.

3) Approccio pratico: la realizzazione di un

PRNG

Introduzione ai generatori di

numeri pseudocasuali

Sommario

� Sequenze casuali

� PRNG

� Sicurezza, caratteristiche e problemi di un PRNG

� Possibili applicazioni di un PRNG

�Alcuni metodi di generazione deterministica

�Una classe particolare di PRNG: i CSPRNG

�Test statistici

Sequenze casuali

Varie applicazioni

� crittografia

� simulazioni� simulazioni

Generare sequenze veramente

casuali è molto dispendioso,

sono più comode quelle

pseudo casuali.

Sequenze casuali

Per quanto “somiglianti” a delle vere sequenze casuali,

non si potrà mai arrivare ad ottenere numeri che siano

effettivamente non deterministici.effettivamente non deterministici.

� infiniti

� non influenzabili da qualunque tipo di fattore

esterno.

PRNG

Def: PRNG è un algoritmo in grado di generare sequenze di numeri che approssimano le proprietà di quelle di numeri realmente casuali.

L’input che viene introdotto nel generatore definisce il suo stato iniziale, ed è anche detto seme, che viene espanso.

PRNG

�Una generazione deterministica avviene per mezzo di una funzione.

�La stringa non è mai infinita

periodo di un PRNG

La massima lunghezza della sequenza prima che questa cominci a ripetersi. Se il seme in bit misura n, il periodo massimo è di 2^n.

PRNG

Un PRNG è un algoritmo che prende una sequenza random in ingresso di lunghezza k ne genera una lunga l>>k che sembra casuale

Def

Siano k ed l interi positivi tali che l≥k+1. Un generatore di bit(k,l) è una funzione f che presenta un tempo computazionale polinomiale (come una funzione di k). L’input è detto seme, l’output f è detto stringa generata. È sempre richiesto che l sia una funzione polinomiale di k.

Sicurezza di un PRNG

Le caratteristiche fondamentali

�Deve essere veloce, ovvero eseguibile in tempi

polinomiali.polinomiali.

�Deve essere sicuro.

Risulta molto spesso arduo trovare un compromesso fra questi obbiettivi.

Sicurezza di un PRNG

Intuitivamente un PRNG si definisce sicuro se in un Intuitivamente un PRNG si definisce sicuro se in un

tempo polinomiale (che sia quindi funzione di k ) è

impossibile distinguere il flusso di bit in uscita da uno

realmente casuale.

Sicurezza di un PRNG

Strategia�In media un reale flusso casuale (di lunghezza l) di bit

ha un numero di 1 pari ad l/2, poiché uniformemente distribuito. distribuito.

�Un generico flusso, sempre di lunghezza l, di bit pseudo casuali, conterrà un numero di 1 pari a 2l/3.

l1 > (l/2 +2l/3)/2 = 7l/12

l1 ⇒ numero di 1 contenuti nella stringa esaminata.

Caratteristiche di un PRNG

�Distribuzione uniforme .

� Indipendenza.� Indipendenza.

Esempio:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Problemi

�Spesso il periodo del generatore risulta più corto di quanto in realtà ci si aspetti, a seconda del tipo di seme posti in ingresso.posti in ingresso.

�Mancanza di uniformità nella distribuzione dei numeri della sequenza.

�Alti valori di correlazione fra i valori generati in output.

�Bassa distribuzione dimensionale della sequenza in uscita.

Applicazioni

SimulazioneSono usati per creare campioni su cui poter effettuare

delle statistiche. Il metodo più conosciuto è indubbiamente il Metodo Monte Carlo.

L’ algoritmo genera una serie di numeri tra loro incorrelati, che seguono la distribuzione di probabilità che si suppone abbia il fenomeno da indagare.

Applicazioni

In teoria

Il One-Time-Pad raggiunge la sicurezza perfetta.

In pratica

poco agibile in quanto prevede l’uso di una chiave lunga poco agibile in quanto prevede l’uso di una chiave lunga quanto il testo in chiaro.

Se pensiamo al seme come ad una chiave e al PRNG come un generatore di chiavi, basterà che Alice trasmetta solo il seme a Bob e poi entrambi saranno in grado di ottenere la stessa sequenza in uscita da usare come chiave.

Metodo di Von Neumann

Suggerito nel 1946 era noto come Middle Square Method.Si prende un valore iniziale che sia un qualunque

numero di 10 cifre e si eleva al quadrato. Le 10 cifre nel mezzo del risultato sarebbero andate a costituire il mezzo del risultato sarebbero andate a costituire il secondo numero pseudo casuale della sequenza in uscita. Processo iterativo. Molto veloce.

�Se durante il processo le cifre mediane sono tutte 0, il generatore produrrà in uscita sempre sequenze nulle.

Mersenne twister

Nel 1997 Makoto Matsumoto e Takuji Nishimura.

Risolse molti problemi che vi erano stati fino ad allora con i PRNG precedenti.

�Periodo a dir poco colossale, di (2^19937)-1.

�Punti equamente distribuiti in spazi fino a 623 dimensioni.

�Uno dei generatori più veloci.

CSPRNG

Un algoritmo adatto a lavorare in ambito crittografico è detto Crittograficamente Sicuro.

Deve essere in grado di resistere a vari attacchi.

I test per verificare che un generatore sia un PRNG durano molto tempo e NON si è mai completamente sicuri!!

Requisiti di un CSPRNG

�Una sequenza di numeri prodotta in uscita da un algoritmo deterministico deve essere indistinguibile da una stringa realmente casuale.

�Deve essere impossibile per un qualunque attaccante, a partire da una data sottosequenza, poter risalire ai valori passati o futuri di output del PRNG.

�Deve essere impossibile per un qualunque attaccante, a partire da un dato stato interno, poter risalire ai valori passati o futuri di output del PRNG.

Test statistici

Frequency (Monobits) Test

Lo scopo di questo test è verificare se il numero di “1” e “0” in una sequenza sono circa gli stessi che ci si “0” in una sequenza sono circa gli stessi che ci si aspetterebbe per una sequenza veramente casuale. Il test valuta la “distanza” della frequenza degli “1” e “0” rispetto a ½, cioè il numero di zeri e di uno che dovrebbero essere contenuti in una sequenza realmente casuale.

Test statistici

Maurer's Universal Statistical Test

Lo scopo del test è di rilevare se la sequenza possa essere notevolmente compressa senza perdita di informazioni. Una sequenza eccessivamente comprimibile è considerata non casuale.

Test statistici

Runs Test

Questo test si propone di valutare la frequenza delle “runs” di varie lunghezze. Con il termine “run” “runs” di varie lunghezze. Con il termine “run” indichiamo una sottostringa di lunghezza variabile k, i cui k elementi siano tutti identici e che è collegata, all’inizio e al termine, al resto della sequenza tramite dei valori opposti.

…1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1…

Test statistici

Next bit test

Dati i primi k bit di una sequenza casuale, non deve Dati i primi k bit di una sequenza casuale, non deve essere possibile, in un tempo polinomiale, predire il (k +1) esimo bit con probabilità di successo superiore a 1/2 . Nel 1982 fudimostrato che un generatore in grado di passare il next bit test passerà anche tutte le altre prove statistiche di casualità a tempo polinomiale .

I più famosi

�I cifrari a flusso.

I cifrari a blocco.�I cifrari a blocco.

�Fra i cifrari appositamente disegnati per avere delle caratteristiche specifiche per la sicurezza in ambito crittografico ricordiamo l’algoritmo di Yarrow, il BlumBlum Shub ed il Fortuna.

Il generatore Fortuna

PRESENTATION OVERVIEWPRESENTATION OVERVIEWPRESENTATION OVERVIEW

1)Random Number Generators

2)Possibili attacchi ad un PRNG

3)CS-PRNG: Fortuna

RANDOM NUMBER

GENERATORSRANDOM NUMBER

GENERATORS

RANDOM NUMBER

GENERATOR

TRNG= True Random Number Generator

• si basano su fenomeni fisici imprevedibili

• vantaggio: sequenze intrinsecamente aleatorie

• svantaggio: basso throughput (frequenza di

emissione dei simboli)

RANDOM NUMBER

GENERATORSRANDOM NUMBER

GENERATORS

RANDOM NUMBER

GENERATOR

PRNG= Pseudo Random Number Generator

• algoritmo deterministico alimentato da un seme

casuale

• vantaggio: throughput più elevato rispetto ai TRNG

RANDOM NUMBER

GENERATORS

RANDOM NUMBER

GENERATOR

CSPRNG= Cryptographically Secure Pseudo Random

Number Generator

• PRNG utilizzati nell'ambito della crittografia

Un CSPRNG deve rispettare i seguenti criteri:

RANDOM NUMBER

GENERATORSRANDOM NUMBER

GENERATORS

RANDOM NUMBER

GENERATOR

Un CSPRNG deve rispettare i seguenti criteri:

• Passare il “next-bit test”

• Resistere all'attacco “state compromise extensions”

Fortuna appartiene alla classe dei CSPRNG!

Possibili attacchi ad un CS-PRNG

• Attacco più semplice: attacco diretto

PRNG: POSSIBILI ATTACCHIPRNG: POSSIBILI ATTACCHI

• Pericolosità: l'hacker che acquisisce

in qualche modo lo stato interno

• Ripristinare la sicurezza: tramite le fonti di numeri

realmente casuali a disposizione

Possibili attacchi ad un CS-PRNG

• Problema: qual'è la quantità minima di entropia

necessaria a garantire la sicurezza?..

PRNG: POSSIBILI ATTACCHIPRNG: POSSIBILI ATTACCHI

• In generale è difficile effettuare una stima dell'entropia

• Il generatore Fortuna risolve questo

problema!

FORTUNAFORTUNAFORTUNA

FORTUNAFORTUNAFORTUNA

FORTUNA si suddivide in

1) Generatore

2) Accumulatore

3) Controllo sul file del seme

FORTUNA: GENERATORE

• Generatore: cifrario a blocchi (AES) in modalità contatore

• Stato interno: chiave 256 bit + contatore 128 bit

FORTUNA: GENERATOREFORTUNA: GENERATORE

• Stato interno: chiave 256 bit + contatore 128 bit

FORTUNA: GENERATORE

Aggiornamento del seme (reseed):

FORTUNA: GENERATOREFORTUNA: GENERATORE

Aggiornamento del seme (reseed):

• Dopo ogni richiesta di dati casuali

• Dopo aver generato 220 dati pseudo-casuali

FORTUNA: ACCUMULATORE

Accumulatore di entropia:

• Fornisce al Generatore un seme casuale

FORTUNA: ACCUMULATORE

DI ENTROPIA

FORTUNA: ACCUMULATORE

DI ENTROPIA

• Fornisce al Generatore un seme casuale

• 32 pool di entropia

FORTUNA: ACCUMULATORE

L'entropia dalle sorgenti è distribuita ciclicamente

sui vari pool

FORTUNA: ACCUMULATORE

DI ENTROPIA

FORTUNA: ACCUMULATORE

DI ENTROPIA

sui vari pool

• L'aggiornamento del seme è effettuato quando il pool

P0

ha accumulato abbastanza entropia

FORTUNA: ACCUMULATORE

DI ENTROPIA

FORTUNA: ACCUMULATORE

DI ENTROPIA

• Indico con r la generica variazione del seme

• Il Pool Piè incluso se 2i è un divisore di r:

P0

è usato ogni variazione

P1

ogni 2,..

FORTUNA: ACCUMULATORE

• I pool Picaratterizzati da un indice i elevato

contribuiscono molto raramente all'aggiornamento, ma

FORTUNA: ACCUMULATORE

DI ENTROPIA

FORTUNA: ACCUMULATORE

DI ENTROPIA

accumulano maggiore entropia tra due variazioni

• L'hacker non può determinare lo stato interno finchè egli

non controlla tutte le sorgenti di entropia

• Questo rappresenta il vero pregio di Fortuna: l'aver

eliminato le stime dell'entropia!

FORTUNA: CONTROLLO SUL FILE

DEL SEME

• Controllo sul file del seme:

FORTUNA: SEED FILE

MANAGER

FORTUNA: SEED FILE

MANAGER

• Fornisce al generatore un seme iniziale, in questo modo

Fortuna può generare immediatamente dati pseudo-

casuali

• Il file viene riscritto prima dello spegnimento della

macchina, e aggiornato approssimativamente ogni 10 min

Approccio pratico:

realizzazione di un RNG

Riepilogo applicazioni� Generare chiavi in crittografia

� Simulare e modellare fenomeni complessi

� Testing di sistemi complessi

Che cosa si produce� Singolo numero:estratto da un set di valori possibili ed

equiprobabili.

� Sequenza di numeri:indipendenza statistica e ditribuzione uniforme.ditribuzione uniforme.

� Introdurre casualità nei computer non è semplice

PRNG vs TRNG� Due approcci per generare numeri casuali usando un

computer:PRNG,TRNG.

� PRNG utilizzano formule matematiche.

� TRNG usano fenomeni fisici naturali.� TRNG usano fenomeni fisici naturali.

PRNG� Usano algoritmi e formule matematiche per generare

sequenze di numeri che appaiono random.

� Un valido esempio è il “metodo congruenziale lineare”.

� Efficienti,deterministici( noto lo starting� Efficienti,deterministici( noto lo startingpoint),periodici.

� Vanno bene solo per alcune applicazioni:dove si necessita di velocità computazionale elevata,di molti numeri,di ripetere sequenze già generate.

� Periodicità:anche se nei più moderni è trascurabile.

Dove si applicano i PRNG� Testing e simulazioni

� Non sempre usati nel data encryption,dove c’ è necessità di numeri realmente impredicibili,anche se esistono buonissimi algoritmi PRNG.esistono buonissimi algoritmi PRNG.

TRNG� Prendono la casualità da fenomeni fisici e la elaborano

al computer.

� È importante la scelta della sorgente caotica.

� Possibili fenomeni da utilizzare:variazione dei � Possibili fenomeni da utilizzare:variazione dei movimenti del mouse in più persone,decadimento di una sorgente radioattiva(si usa un generatore di impulsi pilotato dalla sorgente),rumore atmosferico (reperibile con una normale radio),rumore termico,effetto fotoelettrico.

Altri fenomeni da sfruttare…� Fenomeni macroscopici :carte da gioco,dadi,ruota

della roulette.

� La loro impredicibilità è giustificata dalla teoria del caos e dei sistemi dinamici instabili.caos e dei sistemi dinamici instabili.

� Quindi sono fenomeni imprevedibili apparteconoscendo le condizioni iniziali perfettamente.

..di facile acquisizione� È importante che la sorgente caotica sia facilmente

collegabile col calcolatore per l’acquisizione dei dati.

� i TRNG lavorano come se rendessero il computer capace di sostituirsi a un giocatore nel lancio di un capace di sostituirsi a un giocatore nel lancio di un dado o meglio usano qualche altro fenomeno fisico che è più facile da collegare a un computer di quanto non lo sia un dado.

Differenze PRNG/TRNG

Characteristic Pseudo-Random

Number Generators

True Random Number

Generators

Efficiency Excellent Poor

Determinism Determinstic Nondeterministic

Periodicity Periodic Aperiodic

APPLICAZIONI

Application Most Suitable Generator

Lotteries and Draws TRNG

Games and Gambling TRNG

Random Sampling (e.g., drug

screening) TRNG

Simulation and Modelling PRNG

Security (e.g., generation of data

encryption keys) TRNG

Metodo congruenza lineare (1)� Computer incapace di generare ,nel senso letterale del

termine,numeri casuali.

� Allora si realizza algoritmo che genera sequenza con stesse proprietà statistiche dei numeri casuali.stesse proprietà statistiche dei numeri casuali.

� Metodo congruenza: dato un seme X0 ottiene sequenza pseudocasuale ripetendo la formula seguente

x i+1 = (a * x i + c) (MOD m)

Metodo congruenza lineare (2)� x i+1 = (a * x i + c) (MOD m)

� a coeff. intero positivo detto moltiplicatore

� c coeff. intero non negativo detto incremento

m coeff. intero strettamente positivo detto modulo� m coeff. intero strettamente positivo detto modulo

� x i è il generico numero della sequenza

� Il metodo prende il nome dalla definizione di congruenza.

� Nel nostro caso x i+1 sarà congruo modulo m a (a * x i + c).

Metodo congruenza lineare (3)� x i+1 = (a * x i + c) (MOD m)� Il metodo è detto moltiplicativo se c=0, misto se c ¹ 0; se a=1

il metodo è detto additivo.� Esempio:Esempio:Ipotizziamo le seguenti assegnazioni:a=3c=5m=11Se x0=3 la sequenza che si ottiene applicando la formula della

congruenza modulo m è:3, 3, 3, 3, …, cioè una sequenza assolutamente non casuale.

Metodo congruenza lineare (4)� Le cose cambiano se scegliamo x0=1; la sequenza

ottenuta è allora la seguente:

1, 8, 7, 4, 6, 1, 8, 7, 4, 6, 1, …

Possiamo notare che i primi 5 numeri vengono Possiamo notare che i primi 5 numeri vengono riprodotti interamente!

� Se x0=2 si ottiene

2, 0, 5, 9, 10, 2, 0, 5, 9, 10, 2, …;

ancora una sequenza di 5 numeri ripetuta.

Metodo congruenza lineare (5)� Se modifichiamo invece a assegnandogli il valore 12, e

poniamo x0=1 allora si ottiene:

1, 6, 0, 5, 10, 4, 9, 3, 8, 2, 7, 1, 6, 0, 5, …1, 6, 0, 5, 10, 4, 9, 3, 8, 2, 7, 1, 6, 0, 5, …

una sequenza di lunghezza 11 e cioè pari a m.

� E’ da sottolineare che in ogni caso i numeri ottenuti sono compresi tra 0 e 10 e cioè tra 0 e

m-1.

Osservazioni..� La lunghezza massima raggiungibile dalla sequenza

generata, senza ripetizione, vale

m;

� Il valore di x0 può essere determinante nella � Il valore di x0 può essere determinante nella lunghezza della sequenza.

� E’ allora necessario individuare dei criteri per assegnare ad a, c, m e al seme dei valori in

modo che la sequenza riprodotta sia la più lunga possibile.

Criteri ottimalità metodo� Alcuni studiosi hanno individuato i seguenti criteri

necessari e sufficienti che garantiscono l'ottimalità del metodo:x i+1 = (a * x i + c) (MOD m)

1. I parametri c e m devono essere coprimi cioè MCD(c,m) 1. I parametri c e m devono essere coprimi cioè MCD(c,m) = 1

2. ogni divisore primo di m deve dividere (a-1)3. se m è multiplo di 4, anche (a-1) lo deve essere.� Per rendere più aleatorio il processo, il seme viene fissato in

modo hardware,prelevandone il valore da un contatore interno al computer.

il prezzo da pagare..� PRNG progettato male

� Maggio 2008 si scopre falla di sicurezza nel PRNG di OpenSSL.

� OpenSSL è software di crittografia per creazione di � OpenSSL è software di crittografia per creazione di connessioni di rete sicure(usato in Mozilla).

� Ha interessato tutte le chiavi crittografiche generate da Settembre 2006.

� Causa:rimozione di linee di codice che inizializzavano il PRNG con dati di entropia.

segue..� Senza questa entropia,l’unico dato dinamico per

l’inizializzazione era il PID del software(ma può assumere valori solo tra 1 e 32768).

� Troppi pochi valori,quindi prevedibilità chiavi � Troppi pochi valori,quindi prevedibilità chiavi generate.

� Importanza test di valutazione di un generatore a seconda delle applicazioni.

In pratica:generatore Lava� Si parte dal presupposto che realizzare un’autentica

sequenza non ripetitiva è inattuabile utilizzando solo un computer .

� Il generatore Lava usa una sorgente caotica in cui una � Il generatore Lava usa una sorgente caotica in cui una piccola sollecitazione a un certo istante di tempo ha un notevole impatto sullo stato futuro del sistema (scorrelati).

Come funziona(1)

PhysicalSource ofChaos

analogto digital

DigitalBlender

produces RandomNumbers

Come funziona(2)1.Si digitalizza la sorgente caotica,catturando un istante

dell’attività della sorgente .

2.Digital Blender:algoritmo che ha in input dati digitali stutturati e caotici;dà in output solo dati caotici.stutturati e caotici;dà in output solo dati caotici.

3.L’insieme di dati random sono raccolti e adattati a seconda dell’applicazione che ne farà uso.

Sorgente caotica(1)� si incapsula sensore CCD in modo che questo misuri

solamente il rumore di fondo in uno spazio totalmente privo di luce.

Sorgente caotica(2)� Si può utilizzare anche una webcam dato che la

maggior parte di esse hanno un chip CCD al loro interno.

Sorgente caotica(3)� Esempio:si può avere una quantità di dati relativi ad

un’immagine ,pari a 19200 pixels nel dominio YUV.

� Massimizzo entropia della sorgente caotica settandone il guadagno.il guadagno.

� Crominanze non mostrano livelli di caoticità a differenza della luminanza che andremo a considerare.

Luminanza Y� Dati relativi alla luminanza rappresentati con 2

immagini: deboli strisce uniformi con intorno rumore

Webcam luminance data(2x magnification)

Digital Blender(1)

Digital Blender(2)� un “n-way turn”,

� n diverse SHA-1 operazioni hash in parallelo

� n operazioni di xor-rotate.

Come funziona(3)� L’n-way turn converte i dati digitalizzati ottenuti dal

CCD in n sets di dati.

� Ognuno di questi n entra nel blocco SHA-1 che produce in uscita 20 ottetti di dati.produce in uscita 20 ottetti di dati.

� Ognuno degli n entra anche nel blocco xor-rotate che produce anch’esso 20 ottetti di dati.

� I 20 ottetti di dati prodotti da un blocco xor rotate sono messi in xor coi 20 ottetti prodotti dal blocco SHA-1 successivo e producono 20 ottetti di numeri random.

Scelta di n� In totale questo algoritmo produce n*20 ottetti di

numeri random.

� Come scelgo n?

Dipende dalla quantità di dati ottenuti dalla sorgente Dipende dalla quantità di dati ottenuti dalla sorgente caotica e dall’output rate factor chiamato alfa.

� Più grande è alfa ,maggiore sarà l’output per un dato input.

Esempio� Assumendo 19200 ottetti di input, la seguente tabella

mostra il numero di ottetti generati in funzione di alfa:

input length alpha rate n-way level octets generated

19200 16.00 71 1420

19200 12.00 61 1220

19200 8.00 49 980

19200 6.00 43 860

19200 4.00 35 700

19200 3.00 31 620

Esempio� Ipotizziamo di utilizzare un 17 way turn,una volta che

questo è completo,l’algoritmo fa 17 differenti operazioni SHA-1 hash e 17 operazioni di xor rotate.

� Quando le rispettive uscite di questi blocchi sono � Quando le rispettive uscite di questi blocchi sono messe in xor e concatenate vengono prodotti 340 ottetti di numeri random.

Random numbers in image form(2x magnification)

..continua esempio� È facile notare come allo stesso livello d’ingrandimento

l’immagine in uscita sia molto più piccola di quella in ingresso all’algoritmo.

� questo perché per un alfa uguale a 1 ad esempio,ci sono � questo perché per un alfa uguale a 1 ad esempio,ci sono circa 56 ottetti di pixels di luminanza consumati per ogni ottetto di numeri random prodotto.

Applicazione� Solitamente nonserve una grande quantità di numeri

casuali tutti insieme ma serve metterli in una certa forma(a seconda dell’applicazione per la quale vengono utilizzati.vengono utilizzati.

� Nel modificare i dati(per adattarli all’applicazione finale) è importare mantenere la loro distribuzione uniforme.

Invenzioni recenti� QRBG usa un led ed un sensore che rileva l’emissione

di fotoni ,esso sfrutta la luce prodotta da un semiconduttore.Usa dei chip che registrano il fenomeno costruendo un database contenente fenomeno costruendo un database contenente un’autentica sequenza random.

� società britannica genera randomness basandosi su tutto quello che và dall’analisi del vento solare alle nuvole di venere,dalle emissioni di giove ad altri eventi cosmici.

Excel e i numeri casuali� Due funzioni:CASUALE e CASUALE.TRA(;)

� CASUALE:genera numero con virgola tra 0 e 1.

� CASUALE.TRA(;) genera numero in un range che posso specificare.posso specificare.

� Esempio:voglio generare un numero casuale tra 20 e 45;in una cella excel scrivo =CASUALE.TRA(20;45)

Java e i numeri casuali� Utilizzo la classe java.util.Random ma va bene solo per casi

semplici,cioè nessun requisito di sicurezza.� Per verificare quanto siano poco casuali i bit generati da

java.util.Random vediamo:

� Per la crittografia si usa la classe java.security.SecureRandom; fornisce un RNG crittograficamente molto valido.esempio codice:SecureRandom random = new SecureRandom(); byte bytes[] = new byte[20]; random.nextBytes(bytes);

GRAZIE PER L’ATTENZIONE!