[Gaetano Moschetti] Teorie Relativistiche

Teorie Relativistiche - AA 2014/15

Gaetano Moschetti

30 maggio 2014

Indice

1 ALGEBRA TENSORIALE 31.1 Richiami sugli spazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Forme lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Tensori doppi covarianti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Tensori doppi controvarianti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Tensori di rango k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 Operazioni sui tensori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Criterio di tensorialita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.8 Tensore metrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.9 Operazioni di innalzamento e abbassamento degli indici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.10 Trasformazioni ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.11 Algebra esterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.11.1 p-forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.11.2 Prodotto esterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.11.3 Componenti strette di una p-forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.11.4 Variazione delle componenti strette al variare della base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.11.5 Elemento di volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.11.6 Prodotto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.11.7 L’operatore * di Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 GEOMETRIA DIFFERENZIALE 242.1 Premesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2 Varieta differenziabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.1 Varieta topologiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.2 Varieta differenziabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.3 Orientabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Campi di tensori su varieta differenziabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.1 Funzioni differenziabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.2 Spazi vettoriali tangenti ad una varieta differenziabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.3 Tensori nello spazio tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.4 Campi di tensori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.5 Differenziazione esterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4 Connessioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4.1 Derivata covariante di un vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4.2 Trasporto parallelo, geodetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4.3 Derivata covariante di un tensore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4.4 Torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4.5 Tensore di curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4.6 Equazione della deviazione geodetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4.7 Coordinate normali geodetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4.8 Significato geometrico del tensore di curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5 Formulazione geometrica della gravitazione newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.6 Varieta riemanniane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.6.1 Definizione e significato geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.6.2 Connesssioni riemanniane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.6.3 Caratterizzazione delle connessioni riemanniane piatte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.6.4 Isometrie, strutture riemanniane conformi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1

2.6.5 Geodetiche di una varieta riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3 RELATIVITA GENERALE 573.1 Assiomi della Relativita Generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1.1 Equazioni di Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.2 Campo gravitazionale di una stella a simmetria sferica: spazio-tempo di Schwarzschild . . . . . . . . . . . 60

3.2.1 La soluzione di Schwarzschild esterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.2.2 Orbite nello spazio-tempo di Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2.3 Verifiche sperimentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2.4 Le singolarita della soluzione di Schwarzschild. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.3 Buchi neri. Soluzione di Kerr-Newman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.4 Soluzioni cosmologiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.4.1 Caso p=0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.4.2 Caso p = µ

3 , Λ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.5 Il problema delle singolarita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4 APPENDICE 874.1 CENNI DI TOPOLOGIA GENERALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.1.1 Premesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.1.2 Spazi topologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.1.3 Chiusura, punti di accumulazione, sottoinsiemi densi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.1.4 Basi di una topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.1.5 Spazi topologici separabili ed a base numerabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.1.6 Spazi di Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.1.7 Spazi connessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.1.8 Spazi compatti e paracompatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.1.9 Funzioni continue ed omeomorfismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.1.10 Spazi topologici quozienti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.1.11 Spazi topologici prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.1.12 Esempi di spazi topologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.2 Coomologia di de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.3 Superfici, ipersuperfici e geometrie non euclidee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.3.1 Superfici regolari in <3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.3.2 Curvatura gaussiana di una superficie regolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.3.3 Teorema di Gauss-Bonnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.3.4 Geometrie non euclidee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.3.5 Ipersuperfici. Curvatura sezionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.4 Varieta propriamente riemanniane complete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.5 Sistemi continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.5.1 Cinematica classica dei sistemi continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.5.2 Equazioni di bilancio della meccanica dei continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.5.3 Ipotesi costitutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.5.4 Continui relativistici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2

Capitolo 1

ALGEBRA TENSORIALE

1.1 Richiami sugli spazi vettoriali

Definizione 1.1.1 Uno spazio vettoriale sul corpo < dei reali, e un gruppo additivo abeliano E, sul quale e definitaun’operazione di moltiplicazione che ad ogni α ∈ < e v ∈ E associa un elemento αv ∈ E, che gode delle seguenti proprieta:

1. 1v = v

2. α(βv) = (αβ)v

3. (α+ β)v = αv + βv

4. α(u + v) = αu + αv

∀α, β ∈ < e ∀u,v ∈ E.

Gli elementi di E verranno chiamati vettori.

Definizione 1.1.2 Si dice che n elementi v1,v2, . . . ,vn di E sono linearmente indipendenti, quando λivi = 0 ⇒λi = 0 1.

Definizione 1.1.3 Si dice che uno spazio vettoriale E ha dimensione n ∈ N e si indica con En, se ogni insieme divettori linearmente indipendenti ha al piu n elementi. Un insieme e1, e2, . . . , en di n vettori linearmente indipententi sichiama base di En.

Proposizione 1.1.1 Una n-upla e1, e2. . . . , en di vettori e una base di En se e solo se ogni vettore v ∈ En si puoesprimere in uno ed un sol modo come combinazione lineare dei vettori dati: v = viei.

Gli elementi della n-upla vi univocamente individuata da v, si chiamano componenti di v.

Proposizione 1.1.2 Assegnata una base e1, e2, . . . , en di En ed una n-upla di vettori e′1, e′2, . . . , e

′n, che per la Propo-

sizione 1.1.1 possone essere espressi da:e′i = Ajiej (1.1)

la seconda n-upla e una base se e solo se la matrice A = ‖Aij‖ e regolare. Ed in questo caso l’equazione inversa della(1.1) e:

ei = Bjie′j (1.2)

essendo B = ‖Bij‖ la matrice inversa di A.

Se e1, e2, . . . , en e e′1, e′2, . . . , e

′n sono due basi di En, e v ∈ En, allora possiamo scrivere:

v = viei e v = v′ie′i

dalle quali per la (1.2) si ha:v′je′j = viei = viBjie

′j (1.3)

da cui per la Proposizione 1.1.1 si ricava:v′j = Bjiv

i (1.4)

1Si sta usando la convenzione di Einstein secondo cui due indici ripetuti di cui uno in alto ed uno in basso (indici muti o legati) sottintendonouna sommatoria, mentre ogni altro indice (libero) i sottindente che l’espressione in cui compare va considerata per i = 1, 2, . . . , n

3

e analogamentevj = Ajiv

′i. (1.5)

Confrontando la (1.1) con la (1.4) e la (1.2) con la (1.5), si deduce che le componenti di un vettore si trasformanocon la matrice inversa della matrice che determina la trasformazione delle basi, per questo motivo le componenti di unvettore si chiamano anche componenti controvarianti.

1.2 Forme lineari

Definizione 1.2.1 Una forma lineare o 1-forma φ su uno spazio vettoriale En e un’applicazione da En in < lineare,cioe:

∀α, β ∈ < and ∀v,u ∈ En φ(αv + βu) = αφ(v) + βφ(u). (1.6)

Definizione 1.2.2 Assegnato uno spazio vettoriale En si chiama spazio duale di En e si indica con il simbolo E∗n,l’insieme di tutte le forma lineari su En.

Proposizione 1.2.1 E∗n e uno spazio vettoriale.

Dimostrazione. Si verifica immediatamente che le seguenti operazioni:

∀φ1, φ2 ∈ E∗n (φ1 + φ2)(v) = φ1(v) + φ2(v) ∀v ∈ En

∀α ∈ <,∀φ ∈ E∗n (αφ)(v) = αφ(v) ∀v ∈ Endanno come risultato elementi di E∗n e soddisfano gli assiomi degli spazi vettoriali.

Fissata una base e1, e2, . . . , en di En, consideriamo le applicazioni e1, e2, . . . , en definite da:

∀v = viei ∈ En ei(v) = vi ∈ < (1.7)

si dimostra immediatamente che queste applicazioni sono lineari, quindi sono elementi di E∗n. Inoltre se φ ∈ E∗n, per la(1.7)

∀v = viei ∈ En φ(v) = viφ(ei) = φiei(v) dove φi = φ(ei) (1.8)

quindi φ puo essere espressa come una combinazione lineare degli elementi e1, e2, . . . , en:

φ = φiei. (1.9)

Si puo dimostrare che la rappresentazione (1.9) e unica. Infatti supponendo che ne esista un’altra: φ = φ′iei, sottraendo

membro a membro quest’ultima dalla (1.9), si ottiene: (φi − φ′i)ei = 0, quindi tenendo conto che per la (1.7)

ei(ej) = δij (1.10)

essendo δij il simbolo di Kronecker definito da:

δij =

1 se i = j

0 se i 6= j(1.11)

si ha:0 = (φi − φ′i)ei(ej) = (φi − φ′i)δij = φj − φ′j .

Resta cosı dimostrato che e1, e2, . . . , en e una base di E∗n che si chiama base duale di e1, e2, . . . , en, e quindi

Proposizione 1.2.2 E∗n e uno spazio vettoriale di dimensione n.

Siano e1, e2, . . . , en e e′1, e′2, . . . , e

′n due basi di En legate fra di loro dalle (1.1) e (1.2) e denotiamo con e1, e2, . . . , en

e e′1, e′2, . . . , e′n rispettivamente le loro basi duali. Sia v = viei = v′ie′i un qualunque vettore di En, allora per la (1.4)si ha:

e′i(v) = v′i = Bijvj = Bije

j(v) (1.12)

quindie′i = Bije

j (1.13)

e analogamenteei = Aije

′j . (1.14)

4

Confrontando le (1.13), (1.14) rispettivamente con le (1.1), (1.2) si vede che le basi duali si trasformano con la matriceinversa rispetto alle basi di En a cui sono legate.

Ora, se φ = φiei = φ′ie

′i e un elemento di E∗n, allora

φ′i = φ(e′i) = φ(Ajiej) = Ajiφ(ej)) = Ajiφj (1.15)

analogamenteφi = Bjiφ

′j . (1.16)

Confrontando le (1.15), (1.16) con (1.1), (1.2), si deduce che le componenti di una forma lineare si trasformano con lastessa matrice delle basi di En, per questo motivo si chiamano componenti covarianti.

Per la Proposizione 1.2.2, il duale E∗∗n di E∗n e uno spazio vettoriale di dimensione n. Pero questa operazione diiterazione del duale non produce una struttura algebrica nuova, come dimostra il seguente

Teorema 1.2.1 Esiste un isomorfismo 2 canonico 3 tra En e E∗∗n

Prima di dimostrare questo teorema conviene dimostrare il seguente

Lemma 1.2.1 Se τ : En → E′n e un’applicazione lineare e iniettiva tra spazi vettoriali di egual dimensione, allora essae un isomorfismo.

Dimostrazione. Basta dimostrare che τ e surgettiva. Fissata una base e1, e2, . . . , en di En consideriamo i vettoriτ(e1), τ(e2), . . . , τ(en) ∈ E′n. Essi costituiscono una base di E′n, infatti per la linearita e inettivita di τ

λiτ(ei) = 0 ⇒ τ(λiei) = 0 ⇒ λiei = 0 ⇒ λi = 0.

Quindi se v ∈ E′n allora v = viτ(ei) = τ(viei).

Dimostrazione Teorema 1. Sia τ l’applicazione definita dalla seguente legge:

∀v ∈ En τ(v) : E∗n → < con τ(v)(φ) = φ(v) ∈ < ∀φ ∈ E∗n. (1.17)

τ(v) e lineare, infatti:

τ(v)(αφ1 + βφ2) = (αφ1 + βφ2)(v) = αφ1(v) + βφ2(v) = ατ(v)(φ1) + βτ(v)(φ2)

quindi τ(v) ∈ E∗∗n e τ : En → E∗∗n .τ e lineare, infatti se α, β ∈ < e u,v ∈ En allora

∀φ ∈ E∗n τ(αu + βv)(φ) = φ(αu + βv) = αφ(u) + βφ(v) = ατ(u)(φ) + βτ(v)(φ) = (ατ(u) + βτ(v))(φ)

quindiτ(αu + βv) = ατ(u) + βτ(v).

τ e iniettiva, infatti se v1,v2 ∈ En sono tali che τ(v1) = τ(v2) allora

∀φ ∈ E∗n τ(v1)(φ) = τ(v2)(φ)⇒ φ(v1) = φ(v2)⇒ φ(v1 − v2) = 0.

Assegnata una base e1, e2, . . . , en di En e la sua duale e1, e2, . . . , en, se v1 − v2 = (vi1 − vi2)ei, allora per l’equazioneprecedente

0 = ei(v1 − v2) = (vi1 − vi2) ⇒ v1 = v2.

Da quanto dimostrato fino ad ora e dal Lemma 1.2.1 segue l’asserto.

2Un isomorfismo tra due spazi vettoriali e un’applicazione lineare e iniettiva da uno spazio vettoriale su tutto l’altro.3Indipendente dalla base. Tra due spazi vettoriali di ugual dimensione si puo sempre trovare un isomorfismo dipendente dalla base, infatti

fissando una base e1, e2, . . . , en nel primo spazio vettoriale ed una base e′1, e′2, . . . , e′n nel secondo, si dimostra facilmente che l’applicazioneτ(viei) = vie′i e un isomorfismo.

5

1.3 Tensori doppi covarianti

Definizione 1.3.1 Assegnato uno spazio vettoriale En, si chiama tensore di rango 2 covariante o tensore doppiocovariante, un’applicazione T : En × En → < bilineare, cioe lineare rispetto ad entrambe le variabili:

∀α, β ∈ < ∀u,v,w ∈ En

T (αu + βv,w) = αT (u,w) + βT (v,w), T (u, αv + βw) = αT (u,v) + βT (u,w). (1.18)

L’insieme di tutti i tensori doppi covarianti verra indicato con uno dei simboli E02 = E∗n ⊗ E∗n

Proposizione 1.3.1 E∗n ⊗ E∗n e uno spazio vettoriale.


∀T1, T2 ∈ E∗n ⊗ E∗n (T1 + T2)(u,v) = T1(u,v) + T2(u,v) ∀u,v ∈ En

∀α ∈ <,∀T ∈ E∗n ⊗ E∗n (αT )(u,v) = αT (u,v) ∀u,v ∈ Endanno come risultato elementi di E∗n ⊗ E∗n e soddisfano gli assiomi degli spazi vettoriali.

Definizione 1.3.2 Si chiama prodotto tensoriale di due forme lineari φ1, φ2 ∈ E∗n e si indica con il simbolo φ1 ⊗ φ2

l’applicazione da En × En e a valori reali definita dalla seguente legge:

∀u,v ∈ En φ1 ⊗ φ2(u,v) = φ1(u)φ2(v). (1.19)

E immediato verificare che la (1.19) verifica la condizione (1.18), quindi φ1 ⊗ φ2 ∈ E∗n ⊗ E∗n.Fissata una base e1, e2, . . . , en di En ed in corrispondenza la base duale e1, e2, . . . , en, se T ∈ E∗n ⊗ E∗n, per le (1.7),

(1.18), (1.19) possiamo scrivere:

∀u = uiei,v = viei ∈ En T (u,v) = T (uiei, vjej) = T (ei, ej)u

ivj = Tijei(u)ej(v) = Tije

i ⊗ ej(u,v)

dove si e posto Tij = T (ei, ej), quindi T si puo esprimere come una combinazione lineare degli n2 prodotti tensorialiei ⊗ ej :

T = Tijei ⊗ ej . (1.20)

Si puo dimostrare che questa rappresentazione di T e unica. Infatti se ce ne fosse un’altra T = T ′ijei⊗ej allora sottraendo

membro a membro quest’ultima dalla (1.20), si otterrebbe (Tij − T ′ij)ei ⊗ ej = 0 e quindi per (1.10) e (1.19)

0 = (Tij − T ′ij)ei ⊗ ej(eh, ek) = (Tij − T ′ij)ei(eh)ej(ek) = (Tij − T ′ij)δihδjk = Thk − T ′hk.

Poiche ogni T ∈ E∗n⊗E∗n si puo scrivere in uno ed un sol modo come combinazione lineare degli n2 prodotti tensorialiei ⊗ ej , ne segue che questi ultimi costituiscono una base di E∗n ⊗ E∗n, quindi resta provato che

Proposizione 1.3.2 E∗n ⊗ E∗n e uno spazio vettoriale di dimensione n2.

Siano e1, e2, . . . , en e e′1, e′2, . . . , e


e e′1, e′2, . . . , e′n rispettivamente le loro basi duali. Sia T = Tijei ⊗ ej = T ′ije

′i ⊗ e′j un elemento di E∗n ⊗ E∗n, allora

T ′ij = T (e′i, e′j) = T (Ahieh, A

kjek) = AhiA

kjT (eh, ek) = AhiA

kjThk (1.21)

e analogamenteTij = BhiB

kjT′hk. (1.22)

Confrontando le (1.21), (1.22) rispettivamente con le (1.1), (1.2) si vede che le componenti di un tensore doppiocovariante si trasformano con la stessa matrice delle basi di En, per questo motivo tali tensori vengono chiamati covarianti.

Abbiamo visto che fissato un tensore doppio covariante, allora e possibile associare ad ogni base e1, e2, . . . , en di En,n2 numeri reali Tij (le sue componenti) che si trasformano al variare della base mediante le leggi (1.21) e (1.22). Viceversase ad ogni base e1, e2, . . . , en di En, associamo n2 numeri reali Tij , allora la (1.20) definisce un tensore doppio covariante,se gli n2 numeri assegnati si trasformano, al variare della base, con le leggi (1.21), (1.22).

Quindi un tensore doppio covariante T puo essere introdotto sia mediante una forma bilineare o assegnando n2 numerireali Tij in ogni base, che si trasformano al variare della base in accordo con le (1.21), (1.22). 4

4Questo discorso vale ovviamente anche per i vettori e per le forme lineari. Per esempio, un vettore puo essere introdotto assegnando ncomponenti vi in ogni base, che si trasformano al variare della base mediante le (1.4), (1.5)

6

Definizione 1.3.3 Un tensore doppio covariante si dice simmetrico se:

∀u,v ∈ En T (u,v) = T (v,u). (1.23)

Se Tij sono le componenti di un tensore doppio simmetrico T rispetto ad una qualunque base e1, e2, . . . , en di En,allora si ha:

Tij = T (ei, ej) = T (ej , ei) = Tji

Viceversa se le componenti di un tensore doppio covariante in una data base e1, e2, . . . , en verificano la condizione:

Tij = Tji (1.24)

allora∀u = uiei,v = viei ∈ En

T (u,v) = T (uiei, vjej) = uivjT (ei, ej) = uivjTij = uivjTji = uivjT (ej , ei) = T (vjej , u

iei) = T (v,u)

quindi T e simmetrico e la (1.24) vale in ogni base. Si ha cosı:

Proposizione 1.3.3 Un tensore doppio controvariante e simmetrico se e solo se in una base le sue componenti verificanola (1.24).

Definizione 1.3.4 Un tensore doppio covariante si dice antisimmetrico se e verificata la seguente condizione:

∀u,v ∈ En T (u,v) = −T (v,u). (1.25)

Con lo stesso procedimento usato per i tensori simmetrici si dimostra che

Proposizione 1.3.4 Un tensore doppio controvariante e antisimmetrico se e solo se in una base le sue componentiverificano l’equazione

Tij = −Tji. (1.26)

Assegnato un tensore T di compnenti Tij nella generica base di En, definiamo i seguenti n2 numeri reali:

T(ij) =1

2!(Tij + Tji) (1.27)

che chiameremo parte simmetrica di Tij . Verifichiamo che le (1.27) definiscono un tensore, che denoteremo con il simboloS(T ). 5 Infatti se T ′ij sono le componenti di T in un’altra base, legate alle Tij dalle (1.21), (1.22), allora:

T ′(ij) =1

2!(T ′ij + T ′ji) =

1

2!(AhiA

kjThk +AkjA

hiTkh) =

1

2!AhiA

kj(Thk + Tkh) = AhiA

kjT(hk).

Analogamente si puo definire la parte antisimmetrica di T:

T[ij] =1

2!(Tij − Tji) (1.28)

e dimostrare che le (1.28) sono le componenti di un tensore, che denoteremo con il simbolo A(T ). 6

Infine dalle ovvie implicazioni:

Tij = T(ij) + T[ij], T(ij) = 0⇔ Tij = −Tji e T[ij] = 0⇔ Tij = Tji

segue:

Proposizione 1.3.5 Ogni tensore ‘e uguale alla somma della sua parte simmetrica e antisimetrica ed inoltre e simmetrico(antisimmetrico) se e solo la sua parte antisimmetrica (simmetrica) e nulla.

5Questo e un esempio di come si puo definire un tensore mediante le sue componenti. S(T ) poteva anche essere definito intrinsecamentedalla legge: S(T )(u,v) = 1

2!(T (u,v) + T (v,u)) ∀u,v ∈ En.

6La definizione intrinseca di A(T ) e : A(T )(u,v) = 12!

(T (u,v)− T (v,u)) ∀u,v ∈ En.

7

1.4 Tensori doppi controvarianti

Definizione 1.4.1 Dato uno spazio vettoriale En, si chiama tensore doppio controvariante o tensore di rango 2controvariante, un’applicazione T : E∗n × E∗n → < bilineare:

∀α, β ∈ < ∀φ, ψ, χ ∈ E∗nT (αφ+ βψ, χ) = αT (φ, χ) + βT (ψ, χ), T (φ, αψ + βχ) = αT (φ, ψ) + βT (φ, χ). (1.29)

L’insieme di tutti i tensori doppi controvarianti verra indicato con uno dei simboli E20 = En ⊗ En. 7

Proposizione 1.4.1 En ⊗ En e uno spazio vettoriale.


∀T1, T2 ∈ En ⊗ En (T1 + T2)(φ, ψ) = T1(φ, ψ) + T2(φ, ψ) ∀φ, ψ ∈ E∗n∀α ∈ <,∀T ∈ En ⊗ En (αT )(φ, ψ) = αT (φ, ψ) ∀φ, ψ ∈ E∗n

danno come risultato elementi di En ⊗ En e soddisfano gli assiomi degli spazi vettoriali.

Definizione 1.4.2 Si chiama prodotto tensoriale di due vettori u1,u2 ∈ En e si indica con il simbolo u1 ⊗ u2

l’applicazione da E∗n × E∗n e a valori reali definita dalla seguente legge:

∀φ, ψ ∈ E∗n u1 ⊗ u2(φ, ψ) = φ(u1)ψ(u2).8 (1.30)

E immediato verificare che la (1.30) verifica la condizione (1.29), quindi u1 ⊗ u2 ∈ En ⊗ En.Fissata una base e1, e2, . . . , en di En ed in corrispondenza la base duale e1, e2, . . . , en, se T ∈ En ⊗ En, per le (1.29),

(1.30) possiamo scrivere:

∀φ = φiei, ψ = ψie

i ∈ E∗n T (φ, ψ) = T (φiei, ψje

j) = T (ei, ej)φiψj = T ijφ(ei)ψ(ej) = T ijei ⊗ ej(φ, ψ)

dove si e posto T ij = T (ei, ej), quindi T si puo esprimere come una combinazione lineare degli n2 prodotti tensorialiei ⊗ ej :

T = T ijei ⊗ ej . (1.31)

Si puo dimostrare che questa rappresentazione di T e unica. Infatti se ce ne fosse un’altra T = T ′ijei⊗ej allora sottraendomembro a membro quest’ultima dalla (1.31), si otterrebbe (T ij − T ′ij)ei ⊗ ej = 0 e quindi per le (1.10) e (1.30)

0 = (T ij − T ′ij)ei ⊗ ej(eh, ek) = (T ij − T ′ij)eh(ei)e

k(ej) = (T ij − T ′ij)δhiδkj = Thk − T ′hk.

Poiche ogni T ∈ En⊗En si puo scrivere in uno ed un sol modo come combinazione lineare degli n2 prodotti tensorialiei ⊗ ej , ne segue che questi ultimi costituiscono una base di En ⊗ En, quindi resta provato che

Proposizione 1.4.2 En ⊗ En e uno spazio vettoriale di dimensione n2.

Siano e1, e2, . . . , en e e′1, e′2, . . . , e


e e′1, e′2, . . . , e′n rispettivamente le loro basi duali. Sia T = T ijei ⊗ ej = T ′ije′i ⊗ e′j un elemento di En ⊗En, allora perla (1.13) e (1.29)

T ′ij = T (e′i, e′j) = T (Biheh, Bjke

k) = BihBjkT (eh, ek) = BihB

jkT

hk (1.32)

e analogamente per la (1.14) e (1.29)T ij = AihA

jkT′hk. (1.33)

Confrontando le (1.32), (1.33) rispettivamente con le (1.1), (1.2) si vede che le componenti di un tensore doppiocontrovariante si trasformano con la matrice inversa rispetto a quella del cambiamento di base di En, per questo motivotali tensori vengono chiamati controvarianti.

Per i tensori doppi controvarianti si possono ripetere le stesse considerazioni gia fatte per quelli covarianti.In particolare, seguendo lo stesso ragionamento, si puo vedere che un tensore doppio controvariante puo essere intro-

dotto, oltre che nella forma intrinseca data dalla Definizione 1.4.1, anche assegnando, per ogni base di En, n2 numerireali T ij soggetti alla condizione di trasformarsi, al variare della base, in accordo con le (1.32), (1.33).

Si possono definire i tensori doppi controvarianti simmetrici e antisimmetrici in maniera analoga a (1.23), (1.25). E,come nel caso dei tensori doppi covarianti, si puo vedere che, un tensore e simmetrico (antisimmetrico) se e solo se in unadata base le componenti soddisfano le equazioni T ij = T ji (T ij = −T ji).

Analogamente, utilizzando le stesse formule del paragrafo precedente con gli indici in alto, si possono definire i tensoriparte simmetrica S(T ) e parte antisimmetrica A(T ) di un tensore doppio controvariante T, e concludere che un tensoredoppio controvariante si puo scrivere come la somma della sua parte simmetrica e della sua parte antisimmetrica e inparticolare che esso e simmetrico (antisimmetrico) se e solo se la sua parte antisimmetrica (simmetrica) e nulla.

7Tale notazione e giustificata dal Teorema 1.8Questa definizione si basa sull’isomorfismo (1.17) definito nel Teorema 1

8

1.5 Tensori di rango k

Definizione 1.5.1 Dato uno spazio vettoriale En, r, s ∈ N e k = r+ s, si chiama tensore di tipo (r, s) o tensore dirango k, r-volte controvariante e s-volte covariante un’applicazione

T : E∗n × · · · × E∗n︸︷︷︸r−volte

×En × · · · × En︸︷︷︸s−volte

→ <

multilineare, cioe lineare rispetto ad ogni variabile. L’insieme di tutti i tensori di tipo (r, s) si indica con uno dei simboliEr

s = En ⊗ · · · ⊗ En︸︷︷︸r−volte

⊗E∗n ⊗ · · · ⊗ E∗n︸︷︷︸s−volte

.9

Proposizione 1.5.1 Ers e uno spazio vettoriale.


∀T1, T2 ∈ Ers (T1 + T2)(φ1, . . . , φr,v1, . . . ,vs) = T1(φ1, . . . , φr,v1, . . . ,vs) + T2(φ1, . . . , φr,v1, . . . ,vs)

∀α ∈ <,∀T ∈ Ers (αT )(φ1, . . . , φr,v1, . . . ,vs) = αT (φ1, . . . , φr,v1, . . . ,vs)

∀φ1, . . . , φr ∈ E∗n ∀v1, . . . ,vs ∈ Endanno come risultato elementi di Ers e soddisfano gli assiomi degli spazi vettoriali.

Definizione 1.5.2 Si chiama prodotto tensoriale di r vettori u1, . . . ,ur ∈ En e s 1-forme φ1, . . . , φs ∈ E∗n e si indicacon il simbolo u1⊗ · · ·⊗ur ⊗φ1⊗ · · ·⊗φs, l’applicazione da E∗n × · · · × E∗n︸︷︷︸

r−volte

×En × · · · × En︸︷︷︸s−volte

e a valori reali definita dalla

seguente legge:∀ψ1, . . . , ψr ∈ E∗n,∀v1, . . . ,vs ∈ En

u1 ⊗ · · · ⊗ ur ⊗ φ1 ⊗ · · · ⊗ φs(ψ1, . . . , ψr,v1, . . . ,vs) = ψ1(u1) . . . ψr(ur)φ1(v1) . . . φr(vs). (1.34)

E immediato verificare che la (1.34) e multilineare, quindi u1 ⊗ · · · ⊗ ur ⊗ φ1 ⊗ · · · ⊗ φs ∈ Ers.

Fissata una base e1, e2, . . . , en di En ed in corrispondenza la base duale e1, e2, . . . , en, se T ∈ Ers, per la multilinearita

e la (1.34), possiamo scrivere:

∀φ1 = φ1i1ei1 , . . . , φr = φrire

ir ∈ E∗n ∀v1 = v1j1ej1 , . . . ,vs = vs

jsejs ∈ En

T (φ1, . . . , φr,v1, . . . ,vs) = T (φ1i1ei1 , . . . , φrire

ir , v1j1ej1 , . . . , vs

jsejs) =

T (ei1 , . . . , eir , ej1 , . . . , ejs)φ1i1 . . . φrirv1j1 . . . vs

js = T i1...ir j1...jsφ1(ei1) . . . φr(eir )ej1(v1) . . . ejs(vs) =

T i1...ir j1...jsei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs(φ1, . . . , φr,v1, . . . ,vs)

dove si e posto T i1...ir j1...js = T (ei1 , . . . , eir , ej1 , . . . , ejs), quindi T si puo esprimere come una combinazione lineare deglinr+s prodotti tensoriali ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs :

T = T i1...ir j1...jsei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs . (1.35)

Si puo dimostrare che questa rappresentazione di T e unica. Infatti se ce ne fosse un’altra

T = T ′i1...ir j1...jsei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs

allora sottraendo membro a membro quest’ultima dalla (1.35), si otterrebbe

(T i1...ir j1...js − T ′i1...ir j1...js)ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs = 0

e quindi0 = (T i1...ir j1...js − T ′i1...ir j1...js)ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs(eh1 , . . . , ehr , ek1 , . . . , eks) =

(T i1...ir j1...js − T ′i1...ir j1...js)eh1(ei1) . . . ehr (eir )ej1(ek1) . . . ejs(eks) =

(T i1...ir j1...js − T ′i1...ir j1...js)δh1i1 . . . δ

hrirδ

j1k1 . . . δ

jsks = Th1...hr

k1...ks − T ′h1...hrk1...ks .

Poiche ogni T ∈ Ers si puo scrivere in uno ed un sol modo come combinazione lineare degli nr+s prodotti tensoriali

ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs , ne segue che questi ultimi costituiscono una base di Ers, quindi resta provato che

9La definizione viene data in questa forma per semplicita di scrittura, ma l’ordine dei fattori non e vincolante, per esempio E121 =

E∗n ⊗ En ⊗ En ⊗ E∗n e l’insieme delle applicazioni multilineari da En × E∗n × E∗n × En a valori in <. Osserviamo inoltre che: E01 = E∗n,

E10 = E∗∗n ∼ En (Teorema 1) e per convenzione E0

0 = <.

9

Proposizione 1.5.2 Ers e uno spazio vettoriale di dimensione nr+s.

Siano e1, e2, . . . , en e e′1, e′2, . . . , e


e e′1, e′2, . . . , e′n rispettivamente le loro basi duali. Sia T = T i1...ir j1...jsei1 ⊗· · ·⊗eir ⊗ ej1 ⊗· · ·⊗ ejs = T ′i1...ir j1...jse′i1 ⊗

· · · ⊗ e′ir ⊗ e′j1 ⊗ · · · ⊗ e′js un elemento di Ers, allora per (1.1) e (1.13)

T ′i1...ir j1...js = T (e′i1 , . . . , e′ir , e′j1 , . . . , e′js) = T (Bi1h1

eh1 , . . . , Birhrehr , Ak1 j1ek1 , . . . , A

ksjseks) =

Bi1h1. . . BirhrA

k1j1 . . . A

ksjsT (eh1 , . . . , ehr , ek1 , . . . , eks) = Bi1h1

. . . BirhrAk1j1 . . . A

ksjsT

h1...hrk1...ks (1.36)

e analogamente per (1.2) (1.14)

T i1...ir j1...js = Ai1h1 . . . AirhrB

k1j1 . . . B

ksjsT′h1...hr

k1...ks . (1.37)

Confrontando le (1.36), (1.37) rispettivamente con le (1.1), (1.2) si vede che agli r indici in alto corrisponde la matriceinversa rispetto a quella del cambiamento di base (legge di controvarianza), mentre agli indici in basso corrisponde la stessamatrice (legge di covarianza), per questo motivo tali tensori vengono chiamati r-volte controvarianti e s-volte covarianti,gli indici in alto indici di controvarianza e gli indici in basso indici di covarianza.

Seguendo lo stesso ragionamento fatto nel caso dei tensori doppi covarianti, si puo vedere che un tensore di rangok = r + s puo essere introdotto, oltre che nella forma intrinseca data dalla Definizione 1.5.1, anche assegnando, per ognibase di En, nk numeri reali T i1...ir j1...js soggetti alla condizione di trasformarsi, al variare della base, in accordo con le(1.36), (1.37). Queste ultime equazioni rendono naturale la seguente

Definizione 1.5.3 Un tensore di rango zero e uno scalare indipendente dalla base.

Un esempio di tensore di rango zero e, come vedremo in seguito, il prodotto scalare. Infatti il prodotto scalare di duevettori e un numero indipendente dalla base in cui si calcola.

Le nozioni di simmetria, antisimmetria, parte simmetrica, parte antisimmetrica, introdotte per i tensori doppi, am-mettono svariate genealizzazioni nel caso di tensori generici. In generale t indici di covarianza racchiusi da parentesi tondeindicano 1

t! per la somma su tutte le possibili permutazione su quegli indici, mentre t indici di covarianza racchiusi daparentesi quadre indicano 1

t! per la somma su tutte le possibili permutazione pari su quegli indici meno la differenza sullepermutazioni dispari. La stessa cosa vale se si trovano t indici di controvarianza racchiusi da parentesi tonde o quadre.In particolare se T ∈ E0

p, denotato con Sp il gruppo delle permutazioni dei primi p interi , e ponendo per ogni π ∈ Sp

πT (v1,v2, . . .vn) = T (vπ(1),vπ(2), . . .vπ(n)) ⇔ πTi1,i2,...,ip = Tπ(i1),π(i2),...,π(ip)

si definisce la parte simmetrica di T

ST =1

p!

∑π∈Sp

πT ⇔ T(i1,i2,...,ip) =1

p!

∑π∈Sp

πTi1,i2,...,ip .

Per definire la parte antisimmetrica di T ∈ E0p bisogna introdurre il simbolo

sign(π) =

+1 se π e pari

−1 se π e dispari

e il simbolo di Levi Civita

εk1,k2,...,kpi1,i2,...,ip

=

0 se (k1, k2, . . . , kp) non e una permutazione di (i1, i2, . . . , ip)

+1 se (k1, k2, . . . , kp) e una permutazione pari di (i1, i2, . . . , ip)

−1 se (k1, k2, . . . , kp) e una permutazione dispari di (i1, i2, . . . , ip)

,

AT =1

p!

∑π∈Sp

sign(π)πT ⇔ T[i1,i2,...,ip] =1

p!εk1,k2,...,kpi1,i2,...,ip

Tk1,k2,...,kp

Di seguito, verranno fatti alcuni esempi. Sia T ∈ E13, un tensore di componenti, in una data base, T ijhk. Allora si

puo vedere che T e simmetrico rispetto agli ultimi due indici10 se e solo se T ijhk = T ijkh, condizione che e verificata se esolo se T ij[hk] = 0, dove T ij[hk] = 1

2! (Tijhk − T ijkh).

Possiamo, per esempio, definire, in accordo con quanto detto prima, il tensore parte antisimmetrica di T rispetto agliindici di covarianza:

T i[jhk] =1

3!(T ijhk + T ihkj + T ikjh − T ijkh − T ikhj − T ihjk). (1.38)

10∀φ ∈ E∗n and ∀u,v,w ∈ En T (φ,u,v,w) = T (φ,u,w,v)

10

La dimostrazione della tensorialita di 1.38 e identica a quella della tensorialita di T(ij).Se T e simmetrico rispetto agli ultimi due indici allora dalla (1.38) segue immediatamente che T i[jhk] = 0. Se invece

T e antisimmetrico rispetto agli ultimi due indici: T ijhk = −T ijkh ⇔ T ij(hk) = 0, allora:

T i[jhk] =1

3(T ijhk + T ihkj + T ikjh). (1.39)

Un altro esempio di simmetria e quella che si ottiene scambiamdo gli indici a coppie. Per esempio se T ∈ E04 e un

tensore di componenti, in una data base, Tijhk, allora

∀ u1,u2,u3,u4 ∈ En T (u1,u2,u3,u4) = T (u3,u4,u1,u2)

e equivalente a Tijhk = Thkij .

1.6 Operazioni sui tensori

Definizione 1.6.1 Assegnati due tensori T ∈ Ers e S ∈ Eh

k, si chiama prodotto tensoriale di T e S l’applicazione

T ⊗ S : E∗n × · · · × E∗n︸︷︷︸r−volte

×En × · · · × En︸︷︷︸s−volte

×E∗n × · · · × E∗n︸︷︷︸h−volte

×En × · · · × En︸︷︷︸k−volte

→ <

definita da∀u1, . . . ,us,v1 . . .vk ∀φ1, . . . , φr, ψ1, . . . , ψh ∈ E∗n

T ⊗ S(φ1, . . . , φr,u1, . . . ,us, ψ1, . . . , ψh,v1 . . .vk) = T (φ1, . . . , φr,u1, . . . ,us)S(ψ1, . . . , ψh,v1 . . .vk) (1.40)

Ovviamente la definizione precedente implica che T ⊗ S e lineare rispetto a tutte le variabili ed inoltre se, rispetto aduna data base e1, . . . , en ∈ En, T ha componenti T i1,...,ir j1,...js e S ha componenti Sp1,...,phq1,...qk , allora

(T ⊗ S)i1...ir j1...jsp1...ph

q1...qk = T ⊗ S(ei1 , . . . , eir , ej1 , . . . , ejs , ep1 , . . . , eph , eq1 , . . . , eqk) =

T (ei1 , . . . , eir , ej1 , . . . , ejs)S(ep1 , . . . , eph , eq1 , . . . , eqk) = T i1,...,ir j1,...jsSp1,...,ph

q1,...qk .

Si ha quindi

Proposizione 1.6.1 Se T ∈ Ers e S ∈ Eh

k allora T ⊗ S ∈ Ershk e, in un’assegnata base, le componenti di T ⊗ S sono

i prodotti delle componenti di T per quelle di S.

Osserviamo che il, prodotto tensoriale di due tensori non e commutativo, infatti, mantenendo la notazione dellaDefinizione 1.6.1, S ⊗ T ∈ Eh

krs che in generale e diverso da Er

shk.

Definizione 1.6.2 Assegnato un tensore T ∈ Ers con r, s 6= 0 avente come componenti gli nr+s numeri reali T i1...ir j1...js

rispetto ad una data base e1, e2, . . . , en di En, si chiama operazione di saturazione degli indici, l’operazione checonsiste nel saturare un indice di controvarianza con uno di covarianza. Per esempio, tanto per fissare le idee e persemplicita di scrittura, i1 e j1:

T i1...ir j1...js → Si2...ir j2...js = T ii2...ir ij2...js . (1.41)

Se T ′i1...ir j1...js sono le componenti di T in una nuova base e′1, e′2, . . . , e

′n di En, legata alla prima dalle (1.1), (1.2),

alloraS′i2...ir j2...js = T ′ii2...ir ij2...js = Bik1B

i2k2 . . . B

irkrA

h1iA

h2j2 . . . A

hsjsT

k1k2...krh1h2...hs =

δh1k1B

i2k2 . . . B

irkrA

h2j2 . . . A

hsjsT

k1k2...krh1h2...hs = Bi2k2 . . . B

irkrA

h2j2 . . . A

hsjsT

h1k2...krh1h2...hs =

Bi2k2 . . . BirkrA

h2j2 . . . A

hsjsS

k2...krh2...hs

essendo Bik1Ah1i = δh1

k1 . Resta cosı dimostrato che gli nr−1+s−1 numeri reali Si2...ir j2...js si trasformano al variare dellabase come le componenti di un tensore. Quindi

Proposizione 1.6.2 L’operazione di saturazione degli indici trasforma un tensore di Ers in un tensore di Er−1

s−1,quindi abbassa di due il rango.11

Ovviamente questa operazione si puo ripetere fino a quando restano sia indici di controvarianza che di covarianza.

Definizione 1.6.3 Dati due tensori T ∈ Ers e S ∈ Eh

k, si chiama moltiplicazione contratta di T e S, l’operazioneche consiste prima nel moltiplicare tensorialmente T e S e poi nel saturare un indice di controvarianza (covarianza) diT con un indice di covarianza (controvarianza) di S una o piu volte.

Il risultato di una moltiplicazione contratta e ovviamente un tensore, poiche ciascuna delle due operazioni da come ri-sultato un tensore. Mantenendo le notazioni della definizione precedente il tensore risultante appartiene a Er−p

s−qh−q

k−p,essendo p+ q il numero delle saturazioni.

11Se r = s = 1 il risultato e un elemento di E00 = <, cio’e un numero che non dipende dalla base: uno scalare intrinseco.

11

1.7 Criterio di tensorialita

Si e visto nei paragrafi precedenti che se si associano ad ogni base e1, e2, . . . , en di En, nr+s numeri reali T i1,...,ir j1,...,js ,questi ultimi si possono considerare le componenti di un tensore di Er

s se e solo se, al variare della base sono verificatele (1.36) (1.37). Tuttavia questa condizione non e sempre agevole da verificare e normalmente si utilizza un criterio cherichiede calcoli piu semplici.

Si procede nel seguente modo: si considera uno spazio tensoriale Ehk, se S e il generico tensore di Eh

k, di componentinella base assegnata Sp1,...,phq1,...,qk , si esegue un’operazione di moltiplicazione contratta tra le componenti di S e lequantita introdotte prima12, cioe si considerano le nr+h−1+s+k−1 quantita

Hi2,...,irj1,...,js,

p1,...,phq2,...,qk = T i,i2,...,ir j1,...,jsS

p1,...,phi,q2,...,qk ,

13 (1.42)

allora si dimostra che

Teorema 1.7.1 T i1,...,ir j1,...,js sono le componenti di un tensore se e solo se lo sono le quantita al primo membro della1.42, per ogni S ∈ Eh

k.

La condizione e ovviamente necessaria perche, per quanto visto nella sezione precedente, la moltiplicazione tensorialecontratta tra due tensori da come risultato un tensore. Dimostriamo la sufficienza in un casi particolari, utilizzandodiverse saturazioni14:

1. r = 1, s = 2, scegliendo h = 1 e k = 0 e saturando il primo indice di covarianza.

2. r = 1, s = 2, scegliendo h = 2 e k = 1 e saturando gli indici ordinatamente.

1. In ogni base e1, e2, . . . , en, vengono assegnate n3 quantita T ijk tali che comunque si scelga un vettore v = viei, len2 quantita Hi

k = T ijkvj sono le componenti di un tensore. Se si considera una nuova base e′1, e

′2, . . . , e

′n e si denotano

con l’apice tutte le quantita definite nella nuova base, tenendo conto della tensorialita sia di Hik che di vj e delle (1.36),

(1.37)T ′rhsv

′h = H ′rs = BriAksH

ik = BriA

ksT

ijkv

j = BriAksT

ijkA

jhv′h

da cui(T ′rhs −BriAksAjhT ijk)v′h = 0.

Poiche il vettore v e quindi le sue componenti sono arbitrarie15, si ottiene

T ′rts = BriAjtA

ksT

ijk (1.43)

2. In ogni base e1, e2, . . . , en, vengono assegnate n3 quantita T ijk tali che comunque si scelga un tensore di componentiSijh allora H = T ijkS

jki sia un tensore di E0

0, cioe uno scalare intrinseco (non dipendente dalla base). Tenendo contodi queste ipotesi e delle (1.36), (1.37), si ha

T ′rtsS′tsr = H ′ = H = T ijkS

jki = T ijkA

jtA

ksB

riS′tsr

da cui(T ′rts − T ijkAjtAksBri)S′jki = 0.

Poiche S e quindi le sue componenti sono arbitrarie, si ottiene nuovamente la (1.43).

1.8 Tensore metrico

Definizione 1.8.1 Assegnato uno spazio vettoriale En, un tensore doppio covariante g, si chiama tensore metrico ometrica, se

1. e simmetrico: ∀u,v ∈ En g(u,v) = g(v,u);

2. e non degenere: g(u,v) = 0 ∀v ∈ En ⇒ u = 0.

12ovviamente Ehk si sceglie in maniera tale che questo sia possibile: se per esempio r = 0 allora deve essere almeno h = 1.13la scelta degli indici saturati e stata fatta per semplicita di scrittura, ovviamente si poteva fare una qualunque altra scelta. Si potevano

saturare anche piu coppie di indici.14la tecnica dimostrativa usata in questi casi e identica a quella che si adotta in tutti gli altri casi e nel caso piu generale, l’unica differenza

e la lunghezza delle espressioni che intervengono.15basta prendere v′h = δht

12

Fissata una base e1, e2, . . . , en di En e denotate con gij = g(ei, ej) le componenti di g in tale base, allora la condizione2 della definizione precedente e equivalente a:

(∀vj gijuivj = 0 → ui = 0)⇔ (giju

i = 0→ ui = 0)⇔ det ‖gij‖ 6= 0. (1.44)

Quindi, tenendo conto anche di quanto specificato per i tensori simmetrici nella sezione 3, si puo concludere che lecomponenti di un tensore metrico, formano una matrice simmetrica e non degenere. E viceversa gli elementi di ognimatrice simmetrica e non degenere possono essere considerati le componenti di un tensore metrico in una base assegnata.

Posto:u · v = g(u,v) (1.45)

e immediato verificare che, stante la definizione 20, la (1.45) verifica gli assiomi che definiscono il prodotto scalare e quindi,in particolare, e possibile definire il quadrato del generico vettore v ∈ En: v2 = v · v, il modulo di v: |v| =

√|v · v|, il

coseno dell’angolo φ formato da due vettori u,v ∈ En di modulo non nullo: cos(φ) = u·v|u| |v| e la condizione di ortogonalita

tra due vettori: u · v = 0.

Definizione 1.8.2 Uno spazio vettoriale con un tensore metrico si chiame euclideo.

Comunque la definizione 20 non esclude che un vettore non nullo possa avere modulo nullo e percio essere ortogonalea se stesso, quindi non e applicabile in un contesto geometrico dove le distanze hanno la forma pitagorica. Perche questosia possibile, la 2 della definizione 20 deve essere sostituita dalla

∀u ∈ En g(u,u) ≥ 0 e g(u,u) = 0⇒ u = 0. (1.46)

Ovviamente la (1.46) e piu restrittiva della 2 della definizione 20, infatti stante la (1.46) se g(u,v) = 0 ∀v ∈ En, inparticolare g(u,u) = 0 e quindi u = 0. La (1.46) e equivalente ad affermare che in ogni base, le componenti gij di g,devono verificare la condizione giju

iuj ≥ 0 ∀ui ∈ < e gijuiuj = 0 ⇒ ui = 0, quindi la forma quadratica giju

iuj deveessere definita positiva, ed in particolare det ‖gij‖ > 0.

Definizione 1.8.3 Uno spazio vettoriale con una metrica verificante la (1.46) si chiama propriamente euclideo e lametrica euclidea. In caso contrario lo spazio vettoriale si chiama pseudo euclideo e la metrica pseudo euclidea.

Tornando al caso generale, si puo dimostrare il seguente

Teorema 1.8.1 E sempre possibile determinare una base e1, e2, . . . , en di En, tale che

ei · ej = ±δij =

±1 se i = j

0 se i 6= j⇔ ‖gij‖ = diag(−1,−1, . . . ,−1︸︷︷︸

h−volte

, 1, 1, . . . , 1︸︷︷︸k−volte

) (1.47)

con h+ k = n.

Prima di dimostrare il teorama conviene dimostrare alcuni lemmi.

Lemma 1.8.1 E sempre possibile determinare un vettore e ∈ En tale che e · e 6= 0.

Dimostrazione. Infatti, se cio non fosse vero, il quadrato di ogni vettore di En dovrebbe essere nullo, ma, in questo caso,per la

u · v =1

4[(u + v) · (u + v)− (u− v) · (u− v)]

che si dimostra facilmente applicando la proprieta distributiva al secondo menbro, il prodotto scalare di due vettoriqualunque di En dovrebbe essere nullo, il che contraddice la (2) della definizione 20.

Lemma 1.8.2 Se e ∈ En ha modulo non nullo, allora l’insieme H = u ∈ En | e · u = 0 e un sottospazio vettoriale diEn di dimensione n− 1.

Dimostrazione. Se α, β ∈ < e u,v ∈ H allora e · (αu+βv) = αe ·u+βe ·v = 0, quindi αu+βv ∈ H, questo dimostra cheH e un sottospazio vettoriale di En. Denotata con p la dimensione di H, poiche e /∈ H, chiaramente p < n, e supponiamoper assurdo che sia p < n − 1. Sia e1, . . . , ep una base di H ed aggiungiamo ad essi altri n − p vettori ep+1, . . . , enin modo che insieme costituiscano una base di En. Sia v = vp+1ep+1 + · · · + vnen, poiche v /∈ H (altrimenti i vettorie1, . . . , en, ep+1, . . . en sarebbero linearmente dipendenti) da e · v = 0 segue che v = 0 e quindi vp+1 = · · · = vn = 0.D’altra parte l’equazione e · v = vp+1e · ep+1 + · · ·+ vne · en = 0 nelle n− p > 1 incognite vp+1 . . . vn ed a coifficienti nonnulli, ammette certamente soluzioni diverse da quella nulla. Si e cosı arrivati ad una contraddizione determinata dall’aversupposto p < n− 1, quindi deve essere p = n− 1.

13

Dimostrazione Teorema 1.8.1. Utilizzando il lemma 1.8.1 scegliamo un vettore e′1 ∈ En tale che e′1 · e′1 6= 0. Denotiamocon Hn−1 l’insieme di tutti i vettori ortogonali ad e′1, che per il lemma 1.8.2 e un sottospazio di En di dimensione n− 1.Introdotta una base e′′2, . . . , e

′′n inHn−1, allora e′1, e

′′2, . . . , e

′′n e una base di En, infatti da λ1e

′1+λ2e

′′2+· · ·+λne′′n = 0

moltiplicando scalarmente ambo i membri per e′1, si trova λ1e′1 · e′1 = 0 da cui λ1 = 0, quindi λ2e

′′2 + · · ·+ λne′′n = 0,

da cui λ2 = · · · = λn = 0. Cosı, tenendo conto che e′1 · e′′i = 0, le conponenti di g in questa base sono:

‖gij‖ =

∥∥∥∥∥∥∥∥∥g11 0 . . . 00 g22 . . . g2n

......

. . ....

0 gn2 . . . gnn

∥∥∥∥∥∥∥∥∥quindi la matrice ∥∥∥∥∥∥∥

g22 . . . g2n

.... . .

...gn2 . . . gnn

∥∥∥∥∥∥∥ (1.48)

ha determinante eguale adet ‖gij‖g11

6= 0 ed essendo simmetrica, definisce un prodotto scalare su Hn−1. A questo punto il

discorso fatto su En si puo ripetere su Hn−1: per il lemma 1.8.1, si puo sceglie un vettore e′2 ∈ Hn−1, di modulo nonnullo, si introduce il sottospazio Hn−2 dei vettori di Hn−1 ad esso ortogonali, si fa vedere che la restrizione a Hn−2 delprodotto scalare su Hn−1 definisce un prodotto scalare su Hn−2, quindi ancora per il lemma 1.8.1 si puo scegliere suHn−2 un vettore e′3 di modulo non nullo e ortogonale ai precedenti. Iterando questo ragionamento si arrivano a costruiren vettori e′1, e

′2, . . . , e

′n a due a due ortogonali.16 Allora si dimostra che i vettori oltre ad essere a due a due ortogonali

sono anche linearmente indipendenti, infatti se λie′i = 0 allora 0 = λie′i · e′j = ±λiδij quindi λj = 0. E stata cosı

costruita una base ortogonale. I vettori ei = e′i|e′i| sono quelli cercati, infatti se i 6= j ei · ej =

e′i·e′j|e′i||e′j | = 0, invece

ei · ei = e′i·e′i|e′i·e′i| = ±1.

Definizione 1.8.4 Una base verificante la (1.47)si chiama base ortonormale.

Teorema 1.8.2 I numeri h e k nella (1.47) non dipendono dalla particolare base ortonormale scelta.

Dimostrazione. Supponiamo che e1, e2, . . . , en sia una base in cui vale la (1.47) e e′1, e′2, . . . , e

′n u’altra base in cui

g′(e′i, e′j) = ±δij ⇔ ‖g′ij‖ = diag(−1,−1, . . . ,−1︸︷︷︸

p−volte

, 1, 1, . . . , 1︸︷︷︸q−volte

)

e supponiamo per assurdo che h 6= p, per esempio h < p. Consideriamo una terza base e′′1, e′′

2, . . . , e′′n, legata alle prime

due dallee′′i = Aijei, e′′i = Cije

′i.

Sia v = viei = v′ie′i = v′′ie′′i ∈ En, allora, per la (1.5), si ha:

vi = Aijv′′j , v′i = Cijv

′′j . (1.49)

Se imponiamo chev1 = · · · = vh = 0 e v′p+1 = . . . , v′n = 0 (1.50)

allora per la (1.49) si ottiene il sistema A1jv′′j = 0, . . . , Ahjv

′′j = 0, Cp+1jv′′j = 0, . . . , Cnjv

′′j = 0, che e un sistemaomogeneo di h+n−p < n equazione nelle n incognite v′′i, che per il teorema di Rouche-Capelli ammette soluzioni diverse daquella nulla. Cosı ogni soluzione non nulla delle precedenti equazioni determina le componenti nella base e′′1, e

′′2, . . . , e

′′n

di un vettore v 6= 0 che verifica le equazioni (1.50). Ma tale vettore non puo esistere perche se calcoliamo g(v,v) nella

prima base otteniamo vh+12+ · · ·+ vn2 > 0, mentre nella seconda base −v′12 − · · · − v′p2

< 0, che e ovviamente assurdoperche il valore di g(v,v) non puo dipendere dalla base.

Definizione 1.8.5 Si chiama segnatura di un tensore metrico, il numero k − h.

Chiaramente per una metrica euclidea h = 0 e k = n quindi la segnatura e n.

16la necessita di puntualizzare che la restrizione, ad ogni sottospazio Hp, del prodotto scalare su En definisce effettivamente un prodottoscalare, deriva dal fatto che rispetto al prodotto scalare su En esistono sottospazi in cui tutti i vettori hanno modulo nullo.

14

Definizione 1.8.6 Un tensore metrico si chiama lorentziano o metrica di Lorentz se la segnatura e n− 2 : ‖gij‖ =diag(−1, 1, 1, . . . , 1︸︷︷︸

(n−1)−volte

).

In una metrica di Lorentz i vettori possono aver modulo positivo, negativo o nullo. Infatti se prendiamo una baseortonormale e1, e2, . . . , en di En, allora g(e1, e1) = g11 = −1, per i 6= 1 g(ei, ei) = gii = 1 e g(e1 + ei, e1 + ei) =g(e1, e1) + g(ei, ei) + 2g(e1, ei) = −1 + 1 + 0 = 0.

Definizione 1.8.7 Se g e una metrica di Lorentz, un vettore v ∈ En si chiama vettore di tipo tempo se g(v,v) < 0,vettore di tipo spazio se g(v,v) > 0, vettore di tipo luce o vettore di tipo nullo se g(v,v) = 0.

1.9 Operazioni di innalzamento e abbassamento degli indici

Teorema 1.9.1 Sia En uno spazio vettoriale e g una metrica su En. Allora g determina un isomorfismo tra En e E∗n.

Dimostrazione. ∀v ∈ En, consideriamo l’applicazione σ(v) : En → < definita dalla seguente legge di corrispondenza:

∀u ∈ En (σ(v))(u) = g(v,u). (1.51)

Dalla linearita di g rispetto alla seconda variabile segue la linearita di σ(v), quindi σ(v) ∈ E∗n, di conseguenza restadefinita l’applicazione σ : En → E∗n. Dalla linearita di g rispetto alla prima variabile segue la linearita di σ. Inoltre σ einiettiva, infatti se v ∈ En e tale che σ(v) = 0, allora da questa, dalla (1.51) e dalla 2 della definizione 20

∀u ∈ En (σ(v))(u) = 0⇔ ∀u ∈ En g(v,u) = 0⇒ v = 0.

Da quanto fino ad ora dimostrato e dal lemma 1.2.1, segue la tesi.

Sia, ora, e1, e2, . . . , en una base di En, e e1, e2, . . . , en la base duale, se v = viei,u = uiei ∈ En, allora (σ(v))(u) =g(v,u) = gijv

iuj = gijviej(u), quindi

σ(v) = gijviej ⇒ (σ(v))j = gijv

i. (1.52)

Definizione 1.9.1 Se v ∈ En ha componenti (controvarianti) vi in una data base, allora

vj = gijvi (1.53)

si chiamano componeti covarianti di v.

La definizione precedente e motivata dal fatto che le (1.53) sono le componenti della forma lineare associata a vdall’isomorfismo σ. Si dice anche che nella (1.53) le componenti del tensore metrico fanno abbassare l’indice dellecomponenti controvarianti di v.

L’operazione di abbassamento degli indici si puo estendere ai tensori. Supponiamo tanto per fissare le idee cheT ∈ En ⊗ En,17 allora fissata una base e1, e2, . . . , en di En, poiche per la (1.52), σ(eh) = gijδ

ihej = ghje

j , possiamoconsiderare la corrispondenza:

T = T ijei ⊗ ej → T ijσ(ei)⊗ ej = T ijgiheh ⊗ ej

che associa a T il tensore di E∗n ⊗ En, di componenti

Thj = gihT

ij . (1.54)

La stessa motivazione che ha portato a considerare i primi membri delle (1.53) come componenti di v, porta a chiamarele quantita definite dalla (1.54), componenti una volta covarianti e una volta controvarianti del tensore T . Si dice, inoltre,che nella (1.54), il tensore metrico ha abbassato il primo indice di controvarianza di T .

La stessa operazione si puo fare sul secondo indice di controvarianza anzicche sul primo: T ij = gjhTih o su entrambi:

Tij = gihgjkThk. Nella stessa maniera si possono fare abbassare gli indici di controvarianza di un tensore qualunque.

Poiche, come si e visto nella sezione precedente, la matrice ‖gij‖ e non degenere, possiamo considerare la matriceinversa ‖γij‖, allora per la (1.53)

γijvj = γijgjhvh = δihv

h = vi. (1.55)

La (1.55) e l’invera della (1.53) ed esprime le componenti controvarianti in funzione di quelle covarianti. Analogamentesi puo invertire la (1.54):

γkhThj = γkhgihT

ij = δkiTij = T kj , (1.56)

17anche qui la descrizione, fatta in un caso particolare, non e limitativa, perche ogni altro caso si tratta alla stessa maniera

15

cosı come si ottiene anche: T ij = γihγjkThk.Quindi, mentre le gij , fanno abbassare gli indici di controvarianza, gli elementi della matrice inversa γij , fanno alzare

gli indici di covarianza.Si vede immediatamente, applicando il criterio di tensorialita alla (1.55) o alla (1.56), che le γij sono le componenti

di un tensore doppio controvariante, ma sono qualcosa di piu, come dimostra il seguente calcolo delle compomnenticontrovarianti di gij :

ghk = γhiγkjgij = γhiδki = γhk. (1.57)

Possiamo cosı concludere, che gli elementi della matrice inversa di gij , sono le componenti controvarianti di g. Quindi leformule (1.55) e (1.56) si possono riscrivere cosı:

vi = gijvj , T ij = gihThj .

Le componenti miste del tensore metrico sono:

gij = gihghj = δij

Chiaramente le operazioni di abbassamento e di innalzamento degli indici possono essere estese a tensori arbitrari.Per esempio:

Tijhk = gipg

jqghrgksT pqrs.

1.10 Trasformazioni ortogonali

Ogni tensore T ∈ En ⊗ E∗n determina una applicazione τ : En → En nel seguente modo: ∀v ∈ En τ(v) = T · v,dove T · v e il prodotto tensoriale contratto tra T e v, che e un tensore una volta controvariante, quindi un elemento diEn. Se e1, e2, . . . , en e una base di En, v = viei e T = T ijei ⊗ ej , allora τ(v) = T ijv

jei. L’applicazione cosı definita eovviamente lineare:

∀α, β ∈ < ∀v,u ∈ En τ(αv + βu) = T ij(αvj + βuj)ei = αT ijv

jei + βT ijujei = ατ(v) + βτ(u).

Definizione 1.10.1 Se En e uno spazio euclideo, l’applicazione introdotta sopra, si chiama trasformazione ortogonaleo isometria se non altera il prodotto scalare:

∀v,u ∈ En τ(v) · τ(u) = v · u. (1.58)

L’insieme delle trasformazioni ortogonali di En relativamente ad una metrica g, verra denotato con il simbolo O(g, n).

In una data base di En, la 1.58 si scrive: gijTihvhT jku

k = ghkvhuk quindi (gijT

ihT

jk − ghk)vhuk = 0, poiche

quest’ultima deve valere per ogni coppia di vettori v e u, ne segue:

gijTihT

jk = ghk. (1.59)

Teorema 1.10.1 L’insieme O(g, n) con l’operazione di composizione di applicazioni e un gruppo.

Dimostrazione. Se τ, τ ′ ∈ O(g, n), (τ τ ′)(v) · (τ τ ′)(u) = τ(v) ·τ(u) = v ·u quindi τ τ ′ e una trasformazione ortogonalesu En. L’elemento unita e la trasformazione identica, inoltre la (1.58) implica che ogni trasformazione ortogonale τtrasforma una base ortonormale in n vettori ortonormali e quindi in una base ortonormale, questo implica che e unisomorfismo e in quanto tale, invertibile; la sua inversa τ−1 moltiplicata per τ da l’elemento unita.

In una data base, l’operazione di prodotto e espressa da τ τ ′(v) = τ(τ ′(viei)) = τ(T ′ijvjei) = T ihT

′hjvjei, quindi

e definita dal tensoreSij = T ihT

′hj , (1.60)

questo significa che la moltiplicazione tra τ e τ ′ corrisponde ad una moltiplicazione contratta tra i tensori T e T ′ che ledefiniscono o equivalentemente al prodotto riga per colonna delle matrici che li rappresentano. Poiche O(g, n) e chiusorispetto alla motiplicazione allora il tensore definito dalla (1.60) deve verificare la (1.59) quando T e T ′ la verificano.Questo puo anche essere dimostrato direttamente: gijS

ihS

jk = gijT

ipT′phT

jqT′qk = gpqT

′phT′qk = ghk.

Ci sono due casi particolarmente importanti di trasformazioni ortogonali: quando g e una metrica propriamenteeuclidea e quando e una metrica di Lorentz. Nel primo caso, la (1.59) calcolata in una base ortogonale, diventa: δhk =δijT

ihT

jk =

∑ni=1 T

ihT

ik, questo significa che l’operazione di prodotto colonna per colonna della matrice ‖T ij‖ per se

stessa, da come risultato la matrice identita, quindi l’inversa di ‖T ij‖ e la sua trasposta, in questo caso O(g, n) e il gruppodelle matrici ortogonali (rotazioni). Nel secondo caso , fissata una base ortonorma le e denotate con ‖ηij‖ le corrispondenticomponenti del tensore metrico, per quanto si e visto nei paragrafi precedenti, si ha:

‖ηij‖ = diag(−1, 1, 1, . . . , 1︸︷︷︸(n−1)−volte

). (1.61)

Le matrici che verificano la (1.59) sono quelle per cui: ηijTihT

jk = ηhk. Il gruppo O(g, n), in questo caso si chiama

gruppo di Lorentz omogeneo, si indica con L(n). Gli elementi di L(n) si chiamano trasformazioni di Lorentz.

16

1.11 Algebra esterna

1.11.1 p-forme

Definizione 1.11.1 Un tensore T ∈ E0p si dice totalmente antisimmetrico se per ogni v1,v2, . . . ,vp ∈ En, T (v1,v2, . . . ,vp) =

sign(π) T (vπ(1),vπ(2), . . . ,vπ(p)) o equivalentemente se, rispetto ad ogni base, Ti1,i1,...,ip = sign(π) Tπ(i1),π(i2),...,π(ip),essendo π ∈ Sp.

Ovviamente un tensore e totalmente antisimmetrico se e solo se coincide con la sua parte antisimmetrica

Ti1,i2,...,ip = T[i1,i2,...,ip] =1

p!εk1,k2,...,kpi1,i2,...,ip

Tk1,k2,...,kp

Definizione 1.11.2 Chiameremo p-forma o forma di grado p dove p ∈ N, un tensore covariante di rango p,totalmente antisimmetrico. Con il simbolo Λp(En), verra indicato l’insieme delle forme di grado p su En.

Come si verifica facilmente Λp(En) e chiuso rispetto alle operazioni di somma e di prodotto per un numero reale,di conseguenza e un sottospazio vettoriale di E0

p. Osserviamo inoltre che per p > n, Λp(En) = 0, infatti in ognicomponente di un tensore covariante con un numero di indici maggiore della dimensione di En, almeno due indici devonoessere uguali, da cui per antisimmetria tale tensore deve essere nullo. Quindi i sottopazi di p-forme si ottengono perp = 0, 1, 2, . . . , n, precisamente

Λ0(En) = R, Λ1(En) = E∗n, Λ2(En), . . . Λn(En)

Osservando che il numero di componenti indipendenti di una p-forma sono tante quante sono le combinazioni di n elementisu p posti (due componenti i cui indici sono una permutazione l’uno dell’altro sono dipendenti: uguali o opposte) cioe(np

), la dimensione di Λp(En) e

(np

).

Nel seguito porremo

Λ(En) =

n⊕p=0

Λp(En)

la somma diretta di tutti i Λp(En). Λ(En) e uno spazio vettoriale avente come dimensione(n0

)+(n1

)+(n2

)+ · · ·+

(nn

)= 2n.

1.11.2 Prodotto esterno

Definizione 1.11.3 Si chiama prodotto esterno l’applicazione

∧ : Λp(En)× Λq(En)→ Λp+q(En)

che per ogni p, q = 0, 1, 2, . . . , n e per ogni α ∈ Λp(En) e β ∈ Λq(En), associa l’elemento α ∧ β ∈ Λp+q(En), definito da

α ∧ β(v1,v2, . . . ,vp+q) =1

p!q!

∑π∈Sp+q

sign(π)(α(vπ(1), . . . ,vπ(p))β(vπ(p+1), . . . ,vπ(p+q))) ∀v1,v2, . . .vp+q ∈ En.

e se c ∈ R, c ∧α = c α.

Proposizione 1.11.1 (Senza dimostrazione) Il prodotto esterno gode delle seguenti proprieta

1. (α ∧ β) ∧ γ = α ∧ (β ∧ γ) (associativita);

2. α ∧ (β + γ) = α ∧ β +α ∧ γ, (α+ β) ∧ γ = α ∧ γ + β ∧ γ, λ(α ∧ β) = λα ∧ β α ∧ λβ (bilinearita);

3. α ∧ β = (−1)pqβ ∧α ((anti-)commutativita).

Dove α ∈ Λp(En), β,γ ∈ Λq(En) e λ ∈ R. In particolare, per p dispari α ∧α = 0.

L’associativita e la bilinearita del prodotto esterno risultanti dalla proposizione precedente danno allo spazio vettorialeΛ(En) la struttura di graded algebra. La graded algebra Λ(En) prende il nome di algebra esterna o algebra diGrassmann.

In particolare se α e β sono 1-forme, allora

α ∧ β(v1,v2) = α(v1)β(v2)−α(v2)β(v1) ∀v1,v2 ∈ En ⇒ α ∧ β = α⊗ β − β ⊗α (1.62)

Se ora consideriamo un’altra 1-forma γ, con facili conti si trova,((α∧β)∧γ)(v1,v2,v3) = 1

2! ((α∧β)(v1,v2)γ(v3)+(α∧β)(v2,v3)γ(v1)+(α∧β)(v3,v1)γ(v2)− (α∧β)(v1,v3)γ(v2)−

17

(α∧β)(v3,v2)γ(v1)−(α∧β)(v2,v1)γ(v3)) = (α⊗β⊗γ+γ⊗α⊗β+β⊗γ⊗α−α⊗γ⊗β−γ⊗β⊗α−β⊗α⊗γ)(v1,v2v3)Quindi

(α ∧ β) ∧ γ = α ∧ (β ∧ γ) = α ∧ β ∧ γ = α⊗ β ⊗ γ + γ ⊗α⊗ β + β ⊗ γ ⊗α−α⊗ γ ⊗ β − γ ⊗ β ⊗α− β ⊗α⊗ γ

e volendo scrivere in forma piu compatta utilizzando il simbolo di Levi-Civita, basta porre θ1 = α, θ2 = β, θ3 = γ peravere

θ1 ∧ θ2 ∧ θ3 = ε1,2,3i1,i2,i3θi1 ⊗ θi2 ⊗ θi3

e in generaleθ1 ∧ θ2 ∧ · · · ∧ θp = ε1,2,...,pi1,i2,...,ip

θi1 ⊗ θi2 ⊗ · · · ⊗ θip (1.63)

Osservazione 1 Le componenti rispetto ad una data base e1, e2, . . . , en di En di α ∧ β sono

(α ∧ β)ij = (α ∧ β)(ei, ej) = (α⊗ β)(ei, ej)− (β ⊗α)(ei, ej) = αiβj − αjβi

mentre quelle di α ∧ β ∧ γ sono per la (1.63)

(α ∧ β ∧ γ)ijh = (α ∧ β ∧ γ)(ei, ej , eh) = αiβjγk + αjβkγi + αkβiγj − αiβkγj − αkβjγi − αjβiγk =

αi(βjγk − βkγj)− αj(βiγk − βkγi) + αk(βiγj − βjγi)

Nel caso n = 2, α ∧ β ha un’unica componente indipendente

(α ∧ β)12 = α1β2 − α2β1 =

∣∣∣∣α1 α2

β1 β2

∣∣∣∣che e a meno del segno l’area del parallelogramma costruito con i vettori α1 i + α2j e β1 i + β2jNel caso n = 3, le componenti indipendenti di α ∧ β sono

(α ∧ β)12 = α1β2 − α2β1, (α ∧ β)31 = α3β1 − α1β3, (α ∧ β)23 = α2β3 − α3β2

che sono rispettivamente la terza, la seconda e la prima componente del prodotto vettoriale dei vettori α1 i + α2j + α3k eβ1 i + β2j + β3k. In seguito vedremo in che modo il prodotto vettoriale e legato al prodotto esterno.Sempre nel caso n = 3, α ∧ β ∧ γ ha una sola componente indipendente

α1(β2γ3 − β3γ2)− α2(β1γ3 − β3γ1) + α3(β1γ2 − β2γ1) =

∣∣∣∣∣∣α1 α2 α3

β1 β2 β3

γ1 γ2 γ3

∣∣∣∣∣∣cioe il prodotto misto dei vettori α1 i + α2j + α3k, β1 i + β2j + β3k e γ1 i + γ2j + γ3k.

1.11.3 Componenti strette di una p-forma

Si e visto che i sottospazi Λp(En) hanno dimensione(np

), vediamo di determinarne le basi. Nel caso particolare p = 2 se

ω ∈ Λ2(En) e e1, e2, . . . , en e una base di En, le componenti di ω in tale base devono verificare ωij = ω[ij] = 12 (ωij −ωji),

quindi, tenendo conto della (1.63),

ω = ωijei⊗ej =

1

2(ωij−ωji)ei⊗ej =

1

2(ωije

i⊗ej−ωjiei⊗ej) =1

2(ωije

i⊗ej−ωijej⊗ei) =1

2ωij(e

i⊗ej−ej⊗ei) =1

2ωije

i∧ej

Ma i tensori ei ∧ ej non sono indipendenti, infatti ei ∧ ej = −ej ∧ ei quindi non sono certamente una base in Λ2(En).Conveniamo di utilizzare lettere maiuscole per le coppie di indici quando il primo indice e minore del secondo, cioeIJ significa che I < J e le sommatorie su p indici maiuscoli si estendono solo alle p-uple prese in ordine crescente.Cosı, ogni volta che fissiamo una coppia i, j con i < j, consideriamo nella doppia sommatoria ωije

i ∧ ej i termini

ωijei ∧ ej + ωjie

j ∧ ei = ωijei ∧ ej − ωij(−ei ∧ ej) = 2ωije

i ∧ ej = 2ωIJeI ∧ eJ , quindi

ω =1

2ωije

i ∧ ej = ωIJeI ∧ eJ

La generalizzazione nel caso di p generico si fa seguendo lo stesso ragionamento. Se α ∈ Λp(En), allora, da

α = αi1i2...ipei1 ⊗ ei2 ⊗ · · · ⊗ eip =

1

p!εk1k2...kpi1i2...ip

αk1k2...kpei1 ⊗ ei2 ⊗ · · · ⊗ eip ,

18

applicando come prima la (1.63),

α =1

p!αk1k2...kpe

k1 ∧ ek2∧, . . . ,∧ekp = αK1K2...KpeK1 ∧ eK2 ∧ · · · ∧ eKp (1.64)

dove, come nel caso p = 2, l’ultima eguaglianza e dovuta al fatto che nel membro precedente, per ogni p-uplaK1,K2, . . . ,Kp

ci sono p! addendi i cui indici sono una permutazione di K1,K2, . . . ,Kp, tutti uguali tra di loro.

Proposizione 1.11.2 Gli(np

)tensori eK1 ∧ eK2 ∧ · · · ∧ eKp sono una base di Λp(En).

Dimostrazione Dall’eguaglianzaλi1...ipe

i1 ⊗ · · · ⊗ eip = λI1...IpeI1 ∧ · · · ∧ eIp

segueλI1...Ipe

I1 ∧ · · · ∧ eIp = 0⇒ λi1...ipei1 ⊗ · · · ⊗ eip = 0⇒ λi1...ip = 0

essendo ei1 ⊗ · · · ⊗ eip e una base di E0p, da cui λI1...Ip = ±λi1...ip = 0.

Osserviamo inoltre che α come elemeto di E0p ha componenti αk1k2...kp con k1, k2, . . . , kp ∈ 1, 2, . . . , n, mentre come

elemento di Λp(En) ha componenti αK1K2...Kp . Queste ultime si chiamano componenti strette di α.

1.11.4 Variazione delle componenti strette al variare della base

Consideriamo in En due basi e1, e2, . . . , en e e′1, e′2, . . . , e

′n legate dalle (1.1) e (1.2). Se ω ∈ Λ2(En) allora ω =

ωijei ⊗ ej = ωIJe

I ∧ eJ rispetto alla prima base e ω = ω′ije′i ⊗ e′j = ω′IJe

′I ∧ e′J rispetto alla seconda base. Si e gia vistoche le componenti di ω si trasformano secondo le (1.21) e (1.22), vogliamo vedere come si trasformano le componentistrette.Per la (1.64),

ω =1

2ωije

i ∧ ej =1

2ωijA

ihA

jke′h ∧ e′k.

Ma se h < k, nella doppia sommatoria AihAjke′h ∧ e′k ci sono i due termini

AihAj

ke′h ∧ e′k +AikA

j

he′k ∧ e′h = AihA

j

ke′h ∧ e′k −AikA

j

he′h ∧ e′k = (AihA

j

k−AikA

j

h)e′h ∧ e′k = (AiHA

j

K−AiKA

j

H)e′H ∧ e′K .

Quindi per h e k genericiAihA

jke′h ∧ e′k = εp qHKA

ipA

jqe′H ∧ e′K

da cui

ω =1

2ωijε

p qHKA

ipA

jqe′H ∧ e′K .

Ora, se i < j, consideriamo nella sommatoria su i e j ωijεp qHKA

ipA

jq i due termini

ωijεp qHKA

ipA

jq + ωjiε

p qHKA

jpA

iq = ωijε

p qHKA

ipA

jq − ωijε

p qHKA

jpA

iq =

ωijεp qHKA

ipA

jq − ωijε

q pHKA

jqA

ip = ωijε

p qHKA

ipA

jq + ωijε

p qHKA

jqA

ip = 2ωijε

p qHKA

ipA

jq = 2ωIJε

p qHKA

IpA

Jq

, quindiω = ωIJε

p qHKA

IpA

Jq e′H ∧ e′K .

Ma d’altra parte ω = ω′HKe′H ∧ e′K , da cui

ω′HK = εp qHKAIpA

Jq ωIJ ⇔ ωHK = εp qHKB

IpB

Jq ω′IJ (1.65)

In generale se α ∈ Λp(En),

α =1

p!αi1...ipe

i1 ∧ · · · ∧ eip =1

p!αi1...ipA

i1k1. . . A

ipkpe′k1 ∧ · · · ∧ e′kp .

Come nel casp p = 2 possiamo scrivere

Ai1k1 . . . Aipkpe′k1 ∧ · · · ∧ e′kp = ε

k1...kpK1...Kp

Ai1k1 . . . Aipkpe′K1 ∧ · · · ∧ e′Kp ,

perche per ogni p-upla k1, . . . , knek1 ∧ · · · ∧ ekp = εk1...knK1...Kn

eK1 ∧ · · · ∧ eKn .

19

Quindi

α =1

p!αi1...ipε

k1...kpK1...Kp

Ai1k1 . . . Aipkpe′K1 ∧ · · · ∧ e′Kp .

D’altra parte nella sommatoria su i1 . . . ip di αi1...ipεk1...kpK1...Kp

Ai1k1 . . . Aipkp

, selezionando il termine αI1...Ipεk1...kpK1...Kp

AI1k1 . . . AIpkp

,si vede che tutti gli altri corrispondenti a permutazioni di I1 . . . Ip sono uguali a quello dato perche vi compaiono duefattori antisimmetrici (una permutazione dispari produce un doppio cambiamento di segno), di conseguenza

αi1...ipεk1...kpK1...Kp

Ai1k1 . . . Aipkp

= p! αI1...Ipεk1...kpK1...Kp

AI1k1 , . . . , AIpkp.

Percioα = αI1...Ipε

k1...kpK1...Kp

AI1k1 . . . AIpkpe′K1 ∧ · · · ∧ e′Kp ,

ma α = α′K1...Kpe′K1 ∧ · · · ∧ e′Kp , quindi

α′K1...Kp = εk1...kpK1...Kp

AI1k1 . . . AIpkpαI1...Ip , ⇔ αK1...Kp = ε

k1...kpK1...Kp

BI1k1 . . . BIpkpα′I1...Ip (1.66)

Nel caso particolare in cui p = n, tenendo conto che

εk1...kn12...n A1

k1 . . . Ankn =

∑π∈Sn

sign(π)

n∏i=1

Aiπ(i) = detA

per la formula di Leibniz, le (1.66) diventano

α′12...n = detA α12...n, α12...n = detB α′12...n (1.67)

dove A = ||Aij || e B = ||Bij ||.Nel caso n = 3 e p = 2, si ha

α′12 = εij12AHi A

Kj αHK = (A1

1A22−A1

2A21)α12+(A1

1A32−A1

2A31)α13+(A2

1A32−A2

2A31)α23 =

∣∣∣∣ A11 A1

2

A21 A2

2

∣∣∣∣α12+

∣∣∣∣ A11 A1

2

A31 A3

2

∣∣∣∣α13+∣∣∣∣ A21 A2

2

A31 A3

2

∣∣∣∣α23,


Kj αHK = (A1

1A23−A1

3A21)α12+(A1

1A33−A1

3A31)α13+(A2

1A33−A2

3A31)α23 =

∣∣∣∣ A11 A1

3

A21 A2

3

∣∣∣∣α12+

∣∣∣∣ A11 A1

3

A31 A3

3

∣∣∣∣α13+∣∣∣∣ A21 A2

3

A31 A3

3

∣∣∣∣α23,


Kj αHK = (A1

2A23−A1

3A22)α12+(A1

2A33−A1

3A32)α13+(A2

2A33−A2

3A32)α23 =

∣∣∣∣ A12 A1

3

A22 A2

3

∣∣∣∣α12+

∣∣∣∣ A12 A1

3

A32 A3

3

∣∣∣∣α13+∣∣∣∣ A22 A2

3

A32 A3

3

∣∣∣∣α23

e come si vede intervengono i minoro di ordine 2. In generale nella (1.66) intervengono i minori di ordine p.

1.11.5 Elemento di volume

In quello che segue sara considerato uno spazio euclideo (En, g). Date due basi e1, . . . , en e e′1, . . . , e′n di En legate

tra di loro dalle equazioni (1.1) e (1.2), le componenti del tensore metrico nelle due basi sono legate dalle equazioni dicovarianza g′ij = Ahi A

kj ghk = Ahi (ghkA

kj ), cioe il prodotto riga per colonna delle tre matrici ||Aij ||, ||gij || e ||Aij ||. Sapendo

che il determinante di un prodotto e uguale al prodotto dei determinanti e posto g = det||gij ||, g′ = det||g′ij || e ∆ = ||Aij ||si ha

g′ = ∆2g

da cui come prima cosa si deduce che il segno del determinante di ||gij ||, che indicheremo con il simbolo sign(g), nondipende dalla base ed inoltre √

|g′| = |∆|√|g| (1.68)

Ora fissiamo arbitrariamente una base ortonormale di riferimento e1, . . . , en in En.

Definizione 1.11.4 Diremo che un’altra base e1, . . . , en e positivamente orientata se ∆ = det||Aij || > 0 essendo Aijla matrice che determina il cambiamento di base, altrimenti si dira negativamente orientata.

Ovviamente per cambiare l’orientamento della base basta scambiare di posto due elemanti della base, cosa che equivalea scambiare tra di loro due righe della matrice ||Aij || o invertire il verso di uno degli elementi della base, che equivale a

moltiplicare per −1 la corrispondente riga della matrice ||Aij ||.

20

Definizione 1.11.5 Si chiama elemento di volume la n-forma

τ =√|g|e1 ∧ · · · ∧ en con τi1...in = ε1...ni1...inτ1...n = ε1...ni1...in

√|g| (1.69)

essendo e1, . . . , en una base orientata positivamente.

Rispetto ad un’altra base e′1, . . . , e′n, per la (1.68),

τ = ±√|g′|e′1 ∧ · · · ∧ e′n con τ ′i1...in = ±ε1...ni1...in

√|g′| (1.70)

dove va preso il segno + o − secondo che tale base e positivamente o negativamente orientata.Rispetto ad ogni base ortonormale positivamente orientata,

τ = e1 ∧ · · · ∧ en

. L’operazione di innalzamento ed abbassamento degli indici eseguibili in uno spazio euclideo sulle componendi dei tensorisi possono estendere anche alle componenti strette di un tensore. Per esempio

Proposizione 1.11.3 Se α ∈ Λn(En),

α1...n =1

gα1...n

Dimostrazione Valendo per le componenti ordinarie l’usuale operazione di abbassamento degli indici,

α1...n = g1i1 . . . gninαi1...in = g1i1 . . . gninε1...ni1...inα1...n =1

gα1...n.

In particolare

τ1...n =1

gτ1...n = ±

√|g|g

= ±sign(g)√|g|

.

Da cui, per antisimmetria, le componenti covarianti dell’elemento di volume sono

τ i1...in = ±sign(g)√|g|

εi1...in1...n (1.71)

1.11.6 Prodotto interno

Il prodotto scalare definito dal tensore metrico sullo spazio euclideo (En, g) si puo estendere come prodotto interno suogni Λp(En). Per p = 0 poniamo per ogni α, β ∈ Λ0(En) = R, (α|β) = αβ. Per p > 0, fissata una base e1, . . . , en,poniamo sulla base duale (ei|ej) = gij essendo gij le componenti controvarianti (matrice inversa) del tensore metricogij = g(ei, ej) e

(ei1 ∧ · · · ∧ eip |ej1 ∧ · · · ∧ ejp) = det||(eih |ejk)|| =

∣∣∣∣∣∣gi1j1 . . . gi1jp

. . . . . . . . .gipj1 . . . gipjp

∣∣∣∣∣∣ = εi1...ipk1...kp

gj1k1 . . . gjpkp (1.72)

Proposizione 1.11.4 Se α,β ∈ Λp(En) con α = 1p!αi1...ipe

i1 ∧ · · · ∧ eip e β = 1p!βi1...ipe

i1 ∧ · · · ∧ eip , allora

(α|β) =1

p!αi1...ipβ

i1...ip (1.73)

Dimostrazione (α|β) = ( 1p! )

2αi1...ipβj1...jp(ei1 ∧ · · · ∧ eip |ej1 ∧ · · · ∧ ejp) = ( 1p! )

2αi1...ipβj1...jpεi1...ipk1...kp

gj1k1 . . . gjpkp =

( 1p! )

2αi1...ipβk1...kpε

i1...ipk1...kp

= 1p!αi1...ipβ

i1...ip

dove l’ultima eguaglianza e dovuta al fatto che nella sommatoria su k1 . . . kp di due termini totalmente antisimmetrici siottiene p!-volte la stessa quantita (secondo che k1 . . . kp e o no una permutazione pari di i1 . . . ip, sono entrambi positivio entrambi negativi).

In particolare(τ |τ ) = sign(g)

Infatti, tenendo conto di (1.70) e (1.71), (τ |τ ) = 1n!τi1...inτ

i1...in = 1n!sign(g)ε1...ni1...in

εi1...in1...n = sign(g) essendo ε1...ni1...inεi1...in1...n

1 moltiplicato per il numero delle permutazioni di 1 . . . n.

Proposizione 1.11.5 Il prodotto interno e simmetrico.

Dimostrazione Se α,β ∈ Λp(En)

(α|β) =1

p!αi1...ipβ

i1...ip =1

p!αi1...ipg

i1j1 . . . gipjpβj1...jp =1

p!βj1...jpα

j1...jp = (β|α)

21

1.11.7 L’operatore * di Hodge

Definizione 1.11.6 L’operatore star e un’applicazione da Λp(En) in Λn−p(En) che ad ogni β ∈ Λp(En) associa il suoduale ∗β ∈ Λn−p(En), cioe l’unica (n− p)-forma tale che

τ (α|β) = α ∧ ∗β ∀α ∈ Λp(En) (1.74)

essendo τ l’elemento di volume.

Proposizione 1.11.6 In una qualunque base di En le componenti di ∗β sono

(∗β)ip+1...in =1

p!τi1...inβ

i1...ip (∗β)ip+1...in =1

p!τ i1...inβi1...ip (1.75)

Dimostrazione Data una base e1, . . . , en di En, vogliamo calcolare le componenti di βip+1...in di ∗β, note quelle di β.Fissata una qualunque (n − p)-upla (ip+1 . . . in), sistemati i rimanenti p indici in ordine crescente (I1, . . . Ip) e ponendoα = eI1 ∧ · · · ∧ eIp , per la (1.72) si ha

τ (eI1 ∧ · · · ∧ eIp |β) = τ1

p!βj1...jp(eI1 ∧ · · · ∧ eIp |ej1 ∧ · · · ∧ ejp) = τ (

1

p!εI1...Ipk1...kp

gj1k1 . . . gjpkpβj1...jp) =

τ1

p!εI1...Ipk1...kp

βk1...kp = τβI1,...Ip =1

(n− p)!τI1...Ipip+1...ine

I1 ∧ · · · ∧ eIp ∧ eip+1 ∧ · · · ∧ einβI1...Ip 18

e d’altra parte

eI1 ∧ · · · ∧ eIp ∧ ∗β = eI1 ∧ · · · ∧ eIp ∧ 1

(n− p)!(∗β)ip+1...ine

ip+1 ∧ · · · ∧ ein .

Utilizzando la definizionee sottraendo membro a membro, si ottiene

((∗β)ip+1...in − τI1...Ipip+1...inβI1...Ip)eI1 ∧ · · · ∧ eIp ∧ eip+1 ∧ · · · ∧ ein = 0

da cui, per l’indipendenza lineare delle (n−p) forme eI1 ∧· · ·∧eIp ∧eip+1 ∧· · ·∧ein (sottoinsieme di una base), ne consegue

(∗β)ip+1...in = τI1...Ipip+1...inβI1...Ip

e prendendo tutte le possibili permutazioni di I1 . . . Ip si ottiene la prima delle (1.75).Inoltre

(∗β)ip+1...in = gip+1jp+1 . . . ginjn(∗β)jp+1...jn =1

p!gip+1jp+1 . . . ginjnτi1...ipjp+1...jnβ

i1...ip =1

p!τ i1...inβi1...ip ,

da cui la seconda delle (1.75).

Esempi

1. Consideriamo E3 propriamente euclideo e fissiamo una base ortonormale positivamente orientata e1, e2, e3. Sianou = uiei e v = viei due vettori di E3. Le componenti covarianti dei due vettori sono rispettivamente ui = giju

j = ui

e vi = gijvj = vi perche gij = g(ei, ej) = δij essendo la base ortonormale. Quindi possiamo considerare u = uie

i

e v = viei come elementi di E∗3. Abbiamo visto precedentemente che (u ∧ v)ij = uivj − ujvi

19 ed inoltre(u ∧ v)ij = gihgjk(u ∧ v)hk = (u ∧ v)ij . Utilizzando la (1.75) e tenendo conto che n = 3 e che per come estata scelta la base τi1...in = ε1...ni1...in

, si ha ∗(u ∧ v)h = 12!ε

123ijh (u ∧ v)ij , quindi

∗(u∧v)1 =1

2ε123ij1 (u∧v)ij =

1

2((u∧v)23− (u∧v)32) =

1

2(u2v3− u3v2− u3v2 + u2v3) = u2v3− u3v2 = u2v3− u3v2

∗(u ∧ v)2 =1

2ε123ij2 (u ∧ v)ij =

1

2(−(u ∧ v)13 + (u ∧ v)31) = −u1v3 + u3v1 = −(u1v3 − u3v1)

∗(u ∧ v)3 =1

2ε123ij3 (u ∧ v)ij =

1

2((u ∧ v)12 − (u ∧ v)21) = u1v2 − u2v1 = u1v2 − u2v1

I secondi membri sono le componeti del prodotto vettoriale u× v, quindi, in conclusione, ∗(u ∧ v) = u× v.Da questo in particolare segue

∗(e1 ∧ e2) = e1 × e2 = e3, ∗(e1 ∧ e3) = e1 × e3 = −e2, ∗(e2 ∧ e3) = e2 × e3 = e1.

18ovviamente non c’e sommatoria sugli indici I1 . . . IP essendo fissati per ogni fissata (n− p)-upla ip+1, . . . in19Possiamo applicare il prodotto esterno a vettori controvarianti utilizzando l’isomorfismo indotto dal tensore metrico. Se poi la base e

ortonormale, vettori e forme lineari corrispondenti hanno componenti numericamente uguali.

22

2. Sempre in E3 se e1, e2, e3 e una base ortonormale, allora (∗ei)hk = τjhkδji = τihk = ε123

jhk, quindi (∗e1)23 = 1,(∗e2)13 = −1, (∗e3)12 = 1, cioe

∗e1 = e2 ∧ e3 ∗ e2 = e3 ∧ e1 ∗ e3 = e1 ∧ e2

3. Per la (1.75), il duale di una n-foma e ∗β = 1n!τi1...inβ

i1...in = τ1...nβ1...n e in una base ortonormale positivamente

orientata ∗β = β1...n.

4. Applicando ancora la (1.75) si ha (∗1)i1...in = τi1...in , cioe ∗1 = τ , quindi l’elemento di volume si puo definire comeil duale del numero 1.

Proposizione 1.11.7 L’operatore ∗ conserva il prodotto interno a meno del segno di g.

Dimostrazione Se α,β ∈ Λp(En), allora tenendo conto che ∗α, ∗β ∈ Λn−p(En), per la (1.73) e la (1.75) tenendo contodelle (1.70) e (1.71)

(∗α| ∗ β) =1

(n− p)(∗α)jp+1...jn(∗β)jp+1...jn =

1

(n− p!)1

p!

1

p!τ j1...jpjp+1...jnαj1...jpτi1...ipjp+1...jnβ

i1...ip =

1

(n− p!)1

p!

1

p!sign(g)ε

j1...jpjp+1...jn1...n αj1...jpε

1...ni1...ipjp+1...jnβ

i1...ip =1

p!

1

p!sign(g)ε

j1...jpJp+1...Jn1...n αj1...jpε

1...ni1...ipJp+1...Jnβ

i1...ip

Ma per ogni (n − p)-upla Jp+1, . . . Jn, i1 . . . ip e una permutazione di j1 . . . jp. Quando e una permutazione pari, allo-

ra εj1...jpJp+1...Jn1...n e ε1...ni1...ipJp+1...Jn

hanno segno concorde e βi1...ip = βj1...jp . Quando e una permutazione dispari, allora

εj1...jpJp+1...Jn1...n e ε1...ni1...ipJp+1...Jn

hanno segno discorde e βi1...ip = −βj1...jp , ne consegue che εj1...jpJp+1...Jn1...n ε1...ni1...ipJp+1...Jn

βi1...ip =

p!βj1...jp , quindi

(∗α| ∗ β) =1

p!sign(g)αj1...jpβ

j1...jp = sign(g)(α|β). (1.76)

Proposizione 1.11.8 L’operatore ∗ e invertibile e per ogni β ∈ Λp(En), ∗−1β = (−1)p(n−p)sign(g) ∗ β

Dimostrazione Utilizzando la definizione (1.74) dell’operatore ∗ e la regola di inversione del prodotto del prodottoesterno, si ha

τ(β|α) = β ∧ ∗α = (−1)p(n−p) ∗α ∧ β

e d’altra parte per la (1.76) e la commutativita del prodotto interno

τ(β|α) = sign(g)τ(∗β| ∗α) = sign(g)τ(∗α| ∗ β) = sign(g) ∗α ∧ ∗ ∗ β

da cui sottraendo membro a membro ed applicando la proprieta distributiva del prodotto esterno rispetto alla somma

∗α ∧ ((−1)p(n−p)β − sign(g) ∗ ∗β) = 0

e per l’arbitrarieta di α,sign(g)(−1)p(n−p) ∗ ∗β = β

quindi l’applicazione ∗−1 = sign(g)(−1)p(n−p)∗ e tale che

∗ ∗−1 β = ∗−1 ∗ β = sign(g)(−1)p(n−p) ∗ ∗β = β

cioe l’operatore ∗−1 e linverso di ∗.

23

Capitolo 2

GEOMETRIA DIFFERENZIALE

2.1 Premesse

Fin dai tempi di Euclide, si e ritenuto che tra gli assiomi della geometria euclidea, il postulato delle parallele, noto anchecome 50 postulato di Euclide non fosse cosı evidente come gli altri, in quanto la nozione di parallelismo presupponedistanze infinite. Tale postulato si puo enunciare in diversi modi, per esempio:

1. Data ua retta ed un punto non appartenente alla retta data, esiste una ed una sola retta passante per il punto eparallela alla prima retta.

2. La somma degli angoli interni di un triangolo e uguale a 1800.

3. Due rette secate da un traversale, si incontrano dalla parte in cui la somma degli angoli coniugati interni e minoredi 1800.

Per molto tempo, ad opera di greci, arabi, matematici del Rinascimento e del Seicento, si e cercato di dimostrare talepostulato a partire dagli altri, nel tentativo di liberare la geometria euclidea da un peso cosı ingombrante. Tali tentativifurono caratterizzati da insuccessi o da successi solo apparenti, finche nel settecento il frate gesuita Girolamo Saccheri,tento una dimostrazione del 50 postulato per assurdo, cioe supponendo che non fosse vero, tento di pervenire ad unacontraddizione. I teoremi e le costruzioni geometriche utilizzati nel tentativo di arrivare ad una contraddizione, diederovita ad una geometria , che, seppur strana ed inusuale, non sembrava contraddittoria. Poiche, nella mentalita del tempo,la geometria euclidea si trovava nel limbo delle verita icontrovertibili, a Saccheri non venne neppure in mente di dichiararedi avere scoperto una geometria alternativa a quella euclidea. Solo nel secolo successivo, Nicolaj I. Lobacevskij, GiovanniBolyai ed in parte Gauss 1presero coscienza del fatto che la geometria di Saccheri, era una nuova geometria indipendenteda quella di euclide e con la trigonometria non euclidea fu costruito un modello in grado di provare l’indimostrabilita del50 postulato. Furono distinti due tipi di geometrie non euclidee: le geometrie ellittiche e le geometrie iperbolichesecondo il modo in cui viene negato il 50 postulato. Le prime si basano sull’assioma che per un punto non appartenentead una retta data, non passa nessuna retta parallella alla prima, che e equivalente a dire che la somma dgli angoli internidi un triangolo e maggiore di 1800. Le seconde, invece si basano sull’assioma che per un punto non appartenente aduna retta data, passano piu di una retta parallela alla prima o equivalentemente che la somma degli angoli interni di untriangolo e minore di 1800 gradi.

Si deve a Bernhard Riemann la scoperta che, non solo le geometrie non euclidee sono consistenti quanto quella euclidea,ma che non sono delle geometrie esoteriche, disconnesse dalla realta. Egli infatti dimostro che le geometrie non euclideesono le geometrie intrinseche delle superfici, nel senso che se si da il nome di retta alle geodetiche di una data superficieregolare, se tale superficie ha curvatura gaussiana2 non nulla, si ottiene, almeno localmente, un modello di geometria

1sua e la formula, non certamente ovvia, ottenuata a diciassette anni, secondo cui nel piano iperbolico, l’area di un qualunque triangolo edata da c(π − α − β − γ), essendo c una costante di proporzionalita che non dipende dal particolare triangolo e α, β, γ gli angoli interni, dacui si arriva alla conclusione che triangoli simili hanno la stessa area.

2Se P e un punto di una superficie bidimensionale, il fascio di piani passanti per la normale, taglia su di essa una famiglia di curve passantiper P , la curvatura 1

Rdi tali curve, presa con il segno + o con il segno − secondo che la normale principale (quella rivolta verso la concavita

della curva) e orientata in un modo preassegnato o nell’altro, e compresa tra un minimo 1R1

ed un massimo 1R2

. La curvatura gaussiana e per

definizione K = 1R1R2

, che e positivo se tutte le normali principali stanno dalla stessa parte del piano tangente come nel caso di un ellissoide o

del paraboloide ellittico e negativo nel caso contrario, per esempio per una superficie a sella quale l’iperboloide ad una falda ed il paraboloideiperbolico. Se poi tra tale insieme di curve c’e una retta e le altre curve hanno curvatura solo positiva o solo negativa, come nel caso di uncilindro o di un cono allora la curvatura e nulla. Questo significa che la curvatura gaussiana non tiene conto di come la superficie e immersa in<3, ma solo delle sue proprieta intrinseche: per esempio, un cilindro pur sembrando curvo per chi lo vede dallo spazio <3 in cui e immerso, einvece piatto per l’essere bidimensionale che vive sulla sua superficie e non ha percezione di cio che ce all’esterno, infatti, se tale essere misuragli angoli interni di un triangolo trova come risultato 1800 gradi.

24

ellittica, se la superficie e a curvatura positiva o un modello di geometria iperbolica se la superficie e a curvatura negativa.In questo modo si dimostra la consistenza delle geometrie non euclidee, perche gli assiomi non euclidei sulle superficia curvatura non nulla sono, almeno localmente, teoremi sullo spazio euclideo in cui tali superfici sono immerse, questosignifica che le geometrie euclidee sono consistenti almeno quanto quella euclidea. Inoltre cio dimostra che le geometrienon euclidee sono piu naturali di quello che si poteva pensare in un primo tempo. Per esempio, se la geometria come diceil nome e nata per fare misure sulla terra, quella euclidea e solo un’approssimazione della geometria reale, che deve essereellittica.

La geometria riemanniana e stata ampliata, all’inizio del novecento, usando l’algebra tensoriale, da alcuni matematiciitaliani quali Levi-Civita, Ricci, Bianchi, giusto in tempo perche Einstein vi potesse sviluppare sopra la teoria dellaRelativita Generale. Con l’introduzione del concetto di connessione, viene fornito una legame tra spazi tangenti vicini,e viene introdotta la nozione di trasporto parallelo, che seppur banale negli spazi euclidei, non lo e certamente sullesuperfici curve. La connessione genera il tensore di curvatura che, come la curvatura gaussiana, misura la curvaturaintrinseca della superficie e si annulla se e solo se la superficie e piatta. Tale geometria e piu generale di quella riemannianae fornisce una nuova definizione di geodetica, che nel caso riemanniano conincide con la vecchia.

Va detto, infine, che tale geometria puo essere sviluppata solo localmente, cioe senza tenere conto delle proprietaglobali (topologiche) dell’insieme su cui si sta operando. Questo e stato il metodo seguito da Eistein, per sviluppare edin seguito espandere la sua teoria. Pero, man mano che la teoria maturava, nascevano problemi che non potevano essereaffrontati senza tenere conto della natura topologica dello spazio preso in esame. Per esmpio, come vedremo nel prossimocapitolo, le soluzioni note delle equazioni di Enstein presentano delle singolarita, la cui natura si e potuta studiare, soloricorrendo a metodi globali.

Per questo motivo, nel presente corso, si terra pienamente conto dell’aspetto topologico delle costruzioni geometricheche verranno sviluppate.

2.2 Varieta differenziabili

2.2.1 Varieta topologiche

Definizione 2.2.1 Uno spazio topologico X si dice localmente euclideo di dimensione n ∈ N se ∀x ∈ X, esiste unintorno aperto U di x, omeomorfo ad <n.

Definizione 2.2.2 Si chiama varieta topologica di dimensione n ∈ N e verra indicata con il simbolo Mn, uno spaziotopologico di Hausdorff, localmente euclideo di dimensione n ed a base numerabile.

Teorema 2.2.1 Una varieta topologica e paracompatta. (Senza dimostrazione.)

Osservazione 2 La nozione di varieta topologica di dimensione n e una generalizzazione di spazio euclideo <n, infatti Mn

e di Hausdorff, a base numerabile e paracompatto come <n e localmente indistinguibile da <n. Ma e una generalizzazionenon banale, per esempio, su una varieta topologica non si puo introdurre in maniera immediata una struttura di spaziometrico.3

Esempio 1 L’esempio piu ovvio di varieta topologica e <n.

Esempio 2 Sia C = (x, y) ∈ <2 | x2 + y2 = R2 la circonferenza di centro l’origine e raggio R > 0 con la topologiaindotta da <2. Nel capitolo precedente tale spazio tolologico e stato studiato ed e stato chiamato S1, per cui nel seguito,verra posto C = S1. In questa topologia, una base di insiemi aperti e costituita dagli archi di circonferenza privati degliestremi. Poiche S1 ⊆ <2 e <2 e di Hausdorff, per la proposizione 4.1.12 anche S1 e di Hausdorff. Nell’esempio 24si e visto che <n e a base numerabile e per la proposizione 4.1.10 lo e anche ogni suo sottospazio, quindi S1 e a basenumerabile. Inoltre fissati i punti N = (0, R) e S = (0,−R) gli insiemi U = S1 − N e V = S1 − S costituiscono unricoprimento aperto di S1, quindi ogni punto di S1 ha, tra i suoi intorni aperti, o U o V o entrambi. Se si dimostra cheU e V sono omeomorfi ad <, resta dimostrato che S1 e localmente euclideo di dimensione 1 e, per quanto detto prima,che e una varieta topologica di dimensione 1.

Consideriamo la retta <S tangente ad S1 in S e consideriamo la proiezione stereografica ϕ : U → <S definitadalla seguente legge (fig. 2.1): ∀P ∈ U, ϕ(P ) e l’unico punto in cui la retta passante per N e P interseca la retta <S. Eimmediato constatare che tale applicazione e iniettiva ed e su tutto <S e la funzione inversa ϕ−1 e l’applicazione che adogni Q ∈ <S associa l’unico punto in cui la retta individuata da N e da Q incontra S1. Inoltre, poiche l’immagine inversamediante la ϕ di un intervallo aperto di <S e un arco di circonferenza aperto di S1, tale funzione, per la proposizione4.1.19, e continua. Analogamente, l’immagine inversa mediante la ϕ−1 di un arco di circonferenza aperto e un intervalloaperto in <S, quindi, per la proposizione 4.1.19, anche ϕ−1 e continua. Resta cosı dimostrato che ϕ e un omeomorfismo

3l’introduzione di strutture aggiuntive su una varieta topologica, consentono, in certi casi, di definire una distanza.

25

N

S

P

P’

(P)(P’)ϕ ϕ

x

y

x

y

N

S

(P) (P’)ψ ψ

P

P’

Figura 2.1: Proiezioni stereografiche

U V

ϕ ψ

ψ(U) (V)ϕ

ψ o ϕ−1

Mn

ϕ o ψ−1

U V

ϕ (U V) ψ (U V)

Figura 2.2: Trasformazioni di coordinate

tra U e <. Con la stessa costruzione, utilizzando la retta tangente a S1 in N (fig. 2.1), si dimostra che V e omeomorfoa <.

Quanto detto per S1 vale anche per la sfera Sn−1 rappresentabile geometricamente dall’insieme (x1, x2, . . . , xn) ∈<n | (x1)2 + (x2)2 + · · · + (xn)2 = R2. La proiezione stereografica e una semplice generalizzazione di quella dellacirconferenza. Per esempio per n = 3, si considerano i punti N = (0, 0, R) e S = (0, 0,−R), gli aperti U = X − N eV = X − S, che costituiscono un ricoprimento di S2. L’applicazione ϕ da U nel piano πS, tangente a S2 in S, che adogni P ∈ S2 associa l’unico punto ϕ(P ) in cui la retta passante per N e P incontra il piano πS, e un omeomorfismo traU e <2. E analogamente l’applicazione ψ da V nel piano πN , tangente a S2 in N , che ad ogni P ∈ S2 associa l’unicopunto ψ(P ) in cui la retta passante per S e P incontra il piano πN , e un omeomorfismo tra V e <2.

Definizione 2.2.3 Sia Mn una varieta topologica, U un aperto di X omeomorfo ad <n e ϕ un omeomorfismo tra U edun aperto di <n omeomorfo a <n. La coppia (U,ϕ) si chiama carta o carta locale su X e U si chiama dominio dellacarta.

Definizione 2.2.4 Se Mn e una varieta topologica, una famiglia A = (Ui, ϕi)i∈I di carte locali, tali che X =⋃i∈I Ui,

si chiama atlante su X.

Ovviamente, l’esistenza di un atlante e assicurata dal fatto che Mn e localmente euclideo. Nell’esempio 1, A =(<n, i), dove i e l’applicazione identica, e un atlante. Mentre nell’esempio 2, un atlante e: A = (U,ϕ), (V, ψ).

Una carta locale (U,ϕ) da la possibilita di assegnare delle coordinate ad ogni punto del suo dominio. Infatti, l’o-meomorfismo ϕ associa biunivocamente ad ogni punto P ∈ U le coordinate del punto ϕ(P ) ∈ <n. Quindi, assegnare unatlante su una varieta topologica Mn, significa definire su di essa, sistemi di coordinate locali.

Pero i domini delle carte in generale non sono a due a due disgiunti (esempio 2), quindi, nell’intersezione tra duedomini sono definiti due sistemi di coordinate distinti. Cosı, se (U,ϕ) e (V, ψ) sono due carte di un atlante A, tali cheU ∩V 6= ∅, ai punti di U ∩V sono assegnate da ϕ : U ∩V → ϕ(U ∩V ), le coordinate (x1, x2, . . . , xn) dei punti di ϕ(U ∩V )e da ψ : U ∩ V → ψ(U ∩ V ), le coordinate (y1, y2, . . . , yn) dei punti di ψ(U ∩ V ). Poiche sia ϕ che ψ sono invertibili, sipossono considerare le due applicazioni che legano tra di loro i due sistemi di coordinate (fig 2.2):

ψ ϕ−1 : ϕ(U ∩ V )→ ψ(U ∩ V ) (y1, y2, . . . , yn) = ψ ϕ−1(x1, x2, . . . , xn)

e l’applicazione inversa:

ϕ ψ−1 : ψ(U ∩ V )→ ϕ(U ∩ V ) (x1, x2, . . . , xn) = ϕ ψ−1(y1, y2, . . . , yn),

26

N

S

x

y

P= (α, β)

αR

R− β

x’’=

x’=2

2α R

R+ β=

4 R2

x’

Figura 2.3: Trasformazioni di coordinate in S1

che per semplicita di scrittura, nel seguito, verranno indicate con le notazioni usuali:

yi = yi(x1, x2, . . . , xn) e xi = xi(y1, y2, . . . , yn), (2.1)

dove il simbolo yi nel secondo membro della prima, indica la funzione pi ψ ϕ−1, essendo pi(y1, y2, . . . , yn) = yi, la

proiezione sulla i-esima coordinata e analogamente xi nel secondo membro della seconda, indica la funzione pi ϕ ψ−1.Poiche le funzioni ϕ e ψ sono continue assieme alle loro inverse e la i− esima proiezione pi e certamente continua, le

funzioni (2.1) sono continue.Nella fig. 2.3 sono calcolate le funzioni (2.1) nel caso dell’esempio 2. Preso un punto P = (α, β) ∈ U∩V = S1−N,S,

proiettando P sulle tangenti a S ed a N , si ottengono le sue coordinate x′ = 2αRR−β e x′′ = 2αR

R+β , da cui eliminando α e β

con l’aiuto dell’equazione α2 + β2 = R2, si ottiene x′′ = 4R2

x′ e l’inversa x′ = 4R2

x′′ . Le due funzioni ricavate sopra sono, inU ∩ V dove x′ 6= 0 e x′′ 6= 0, non solo continue ma anche dotate di derivate di ordine qualunque. Nel caso della sfera Sn,si puo vedere che le trasformazioni di coordinate in Sn − N,S sono:

yi =4R2xi

(x1)2 + (x2)2 + · · ·+ (xn)2e xi =

4R2yi

(y1)2 + (y2)2 + · · ·+ (yn)2, (2.2)

che, nel loro insieme di definizione, sono funzioni di classe C∞.

2.2.2 Varieta differenziabili

Definizione 2.2.5 Un atlante A su una varieta topologica Mn si dice di classe Ck con k ≥ 0, se per ogni coppia di cartelocali (U,ϕ) e (V, ψ) in A con U ∩ V 6= ∅, le corrispondenti trasformazioni di coordinate (2.1), sono funzioni (reali) diclasse Ck.

In base a questa definizione l’atlante dell’esempio 2 e di classe C∞.

Osservazione 3 Se (U,ϕ) e (V, ψ) sono due carte di un atlante di classe Ck con k > 0 e U ∩ V 6= ∅, denotate con(x1, x2, . . . , xn) e (y1, y2, . . . , yn) le coordinate che esse introducono rispettivamente in U e V , le trasformazioni di coordi-nate (2.1), essendo invertibili in U ∩V , ammettono determinanti jacobiani diversi da zero e di segno costante su ciascunacomponente connessa di U ∩ V ed inoltre sono l’uno inverso dell’altro:

∂xi

∂yj∂yj

∂xh= δih e

∂yi

∂xj∂xj

∂yh= δih. (2.3)

Dati due atlanti A e B di una varieta topologica Mn, con il simbolo A ∪ B, verra indicato l’atlante le cui carte sonoquelle di A e quelle di B.

Definizione 2.2.6 Due atlanti di classe Ck A e B di una varieta topologica Mn si dicono equivalenti quando A∪B e diclasse Ck.

Osservazione 4 Due atlanti di classe C0 sono sempre equivalenti, infatti comunque si prendono due carte in Mn condomini non disgiunti, la trasformazione di coordinate (2.1) e, come osservato precedentemente, sempre continua, percheMn e localmente euclideo.

In generale non e detto che due atlanti di classe Ck, con k > 0, siano equivalenti. Per esempio, se si considera lavarieta topologica <, i due atlanti di classe C∞ (<, i) e (<, ϕ), dove i : < → < definita da i(x) = x e ϕ : < → <definita da ϕ(x) = x3, non sono equivalenti. Infatti i ϕ−1(x) = x

13 non e derivabile in x = 0.

Una varieta topologica, che certamente e dotata di atlanti di classe C0, potrebbe non essere dotata di atlanti di classeCk con k > 0.

27

Da ora in poi, se non indicato diversamente, k verra supposto positivo.

Proposizione 2.2.1 La relazione tra atlanti introdotta nella definizione 2.2.6 e una relazione di equivalenza.

Dimostrazione. Le proprieta riflessiva e simmetrica sono banali. Supponiamo che A, B e C siano tre atlanti di classeCk tali che A ∪ B e B ∪ C siano di classe Ck, vogliamo dimostrare che anche A ∪ C e di classe Ck. Siano (U,ϕ) e(V, ψ) due carte rispettivamente di A e C con U ∩ V 6= ∅. Poiche i domini delle carte di B ricoprono Mn, in particolarericoprono U ∩ V , quindi esiste una famiglia di carte (Wi, χi)i∈I di B tali che U ∩ V ⊆

⋃i∈IWi, da cui si ottiene:

U ∩ V = U ∩ V ∩⋃i∈IWi =

⋃i∈I(U ∩ V ∩Wi). La restrizione della funzione ψ ϕ−1 : ϕ(U ∩ V )→ ψ(U ∩ V ) a ciascun

ϕ(U∩V ∩Wi) si puo scrivere ψχ−1i χiϕ−1, che e la composizione delle funzioni χiϕ−1 : ϕ(U∩V ∩Wi)→ χi(U∩V ∩Wi)

e ψ χ−1i : χi(U ∩ V ∩Wi) → ψ(U ∩ V ∩Wi), che sono di classe Ck perche A e equivalente a B e B e equivalente a

C. Quindi ϕ ψ−1 : ψ(U ∩ V ) → ϕ(U ∩ V ), come composizione di funzioni di classe Ck, e di classe Ck su ogni apertoϕ−1(U ∩ V ∩Wi) e quindi su ogni x ∈ ϕ−1(U ∩ V ).

Definizione 2.2.7 Si chiama struttura differenziabile di classe Ck su una varieta topologica Mn, una classe diequivalenza di atlanti di classe Ck.

Per quanto osservato prima, su una data varieta topologica, potrebbero non esistere strutture differenziabili di classeCk e se esistono potrebbero non essere uniche.

Definizione 2.2.8 Una varieta topologica Mn con una struttura differenziabile σ di classe Ck, si chiama varietadifferenziabile di classe Ck.

Varieta topologiche che non ammettono strutture differenziabili di classe Ck, non sono varieta differenziabili. Varietatopologiche che ammettono strutture differenziabili di classe Ck differenti, corrispondono a varieta differenziabili differenti,secondo la scelta della struttura differenziabile. Cosı, in base all’osservazione 4, < con la struttura differenziabile σ1

determinata dall’atlante (<, i) e una varieta differenziabile di classe C∞, distinta dalla varieta differenziabile di classeC∞, < con la struttura differenziabile σ2 determinata dall’atlante (<, ϕ).

Definizione 2.2.9 Se Mn e una varieta differenziabile di classe Ck, con struttura differenziabile σ, si chiama atlantemassimo, l’unione di tutti gli atlanti di σ: Mσ =

⋃A∈σ A.

Per come e stato definito, l’atlante massimo e un atlante di σ ed e il piu grande degli atlanti di σ.

2.2.3 Orientabilita

Definizione 2.2.10 Due carte (U,ϕ), (V, ψ) di un atlante A di classe Ck con U ∩ V 6= ∅, si dicono concordementeorientate o equiorientate, quando le trasformazioni di coordinate (2.1) determinate da esse, hanno determinantejacobiano positivo.

Definizione 2.2.11 Un atlante A di classe Ck si dice orientato, se comunque si prendono due carte (U,ϕ) e (V, ψ) diA con U ∩ V 6= ∅, esse sono equiorientate.

Definizione 2.2.12 Una varieta differenziabile Mn di classe Ck, si dice orientabile se, nella sua struttura differenziabileσ, esiste un atlante orientato.

Osservazione 5 Se consideriamo, l’esempio della sfera S2, le trasformazioni di coordinate (2.2) in U ∩V = S2−N,Ssono

y1 =4R2x1

(x1)2 + (x2)2, y2 =

4R2x2

(x1)2 + (x2)2.

Il determinante jacobiani di questa trasformazione e:

∂(y1, y2)

∂(x1, x2)= − 16R4

((x1)2 + (x2)2)2< 0.

Quindi l’atlante considerato in questo esempio non e orientato. Cio non vuol dire che la sfera non e orientabile, infattise si considera l’atlante ottenuto dal precedente invertendo un asse, il determinante jacobiano diventa positivo e, nonessendoci altre carte, il nuovo atlante e orientato, quindi S2 orientabile.

Proposizione 2.2.2 In una varieta orientabile un atlante a domini connessi che non e orientato, lo puo diventare facendodelle inversioni elementari di orientamento, che si ottengono cambiando di segno una coordinata. (Senza dimostrazione).

28

x

y v

u

1

1 2 3

1

0 0 1 2 3

Figura 2.4: Nastro di Mobius

In base alla proposizione precedente, per dimostrare che una varieta non e orientabile, basta determinare un atlantea domini connessi non orientato e che non puo essere orientato con inversioni elementari di orientamento.

Esempio 3 Il nastro di Mobius e lo spazio topologico quoziente di un rettangolo, ottenuto incollandone due lati opposti,orientati in maniera diversa. Una costruzione equivalente si puo fare nel segente modo. Consideriamo nel piano ~x, ~y ilrettangolo A = 0 < x < 3, 0 < y < 1 e nel piano ~u,~v il rettangolo B = 0 < u < 3, 0 < v < 1 (fig. 2.4). Diremo cheun punto di A con 2 < x < 3 e equivalente al punto di B con 0 < u < 1, se valgono le seguenti uguaglianze:

u = x− 2, v = y; (2.4)

e che un punto di A con 0 < x < 1 e euivalente al punto di B con 2 < u < 3, se valgono le seguenti eguaglianze:

u = x+ 2, v = 1− y. (2.5)

Poiche la relazione cosı definita e, ovviamente, una relazione di equivalenza, si puo considerare lo spazio quoziente che etopologicamente il nastro di Mobius. Con questa costruzione, si ha il vantaggio di avere automaticamente un atlante lecui carte sono (A, (x, y)) e (B, (u, v)). Nelle due componenti connesse di A

⋂B le formule di trasformazione sono le 2.4

e 2.5, i cui determinante Jacobiani sono∂(u, v)

∂(x, y)=

∥∥∥∥1 00 1

∥∥∥∥ = 1,

e∂(u, v)

∂(x, y)=

∥∥∥∥1 00 −1

∥∥∥∥ = −1.

Da questo, si vede che l’atlante considerato e a domini connessi, non e orientato e non si puo trasformare, come nel casodella sfera, in un atlante orientato, con inversioni elementari di orientamento, infatti cambiando di segno una coordinataentrambi i determinanti jacobiani cambiano di segno, cosı uno negativo c’e sempre. Quindi il nastro di Mobius non e unavarieta orientabile.

Nel seguito, una varieta differenziabile sara tacitamente supposta connessa e orientabile.

29

x f(x)

fU V

ϕ ψ

ψ o f o ϕ−1ϕ (U)

ϕ (x)

ψ (V)

ψ (f(x))

Figura 2.5: Rappresentazione locale di f

2.3 Campi di tensori su varieta differenziabili

2.3.1 Funzioni differenziabili

Definizione 2.3.1 Sia Mn una varieta differenziabile di dimensione n e classe Ck e Vm una varieta differenziabile didimensione m e classe Ck. Una funzione continua f : Mn → Vm si dice differenziabile di classe Ch (0 < h ≤ k) inun punto x ∈ Mn se assegnata una carta (U,ϕ) nell’atlante massimo di Mn con x ∈ U ed una carta (V, ψ) nell’atlantemassimo di Vm, con f(x) ∈ V , tale che la funzione ψ f ϕ−1 : ϕ(U ∩ f−1(V )) → <m e differenziabile di classe Ch inϕ(x). Se W e un aperto di Mn e f e differenziabile di classe Ch in ogni x ∈ W , allora si dice che f e differenziabile diclasse Ch in W . Se f e differenziabile in Mn, si dice semplicemente che e differenziabile.

La definizione precedente riconduce il concetto di differenziabilita di una funzione tra varieta a quello tra funzionireali. Infatti se denotiamo con (x1, x2, . . . , xn) le coordinate definite in U dalla carta (U,ϕ) e con (y1, y2, . . . , ym), quelledefinite in V dalla carta (V, ψ), allora (fig. 2.5) (y1, y2, . . . , ym) = ψ f ϕ−1(x1, x2, . . . , xn), che e equivalente alle mfunzioni reali

yi = pi ψ f ϕ−1(x1, x2, . . . , xn), i = 1, 2, . . . ,m (2.6)

dove al solito le funzioni pi(y1, y2, . . . , ym) = yi sono le proiezioni sulla i-esima coordinata e sono differenziabili di

qualunque ordine. Essendo le funzioni (2.6) reali, si puo decidere sulla loro differenziabilita usando i consueti metodidell’analisi reale.

Poiche la scelta delle carte locali nella definizione precedente, in generale, non e univoca, ci si potrebbe chiedere setale definizione e indepente dalla scelta delle particolari carte. A tal proposito, supponiamo che ψ f ϕ−1 sia di classeCh, che (U ′, ϕ′) sia un’altra carta nell’atlante massimo di Mn tale che x ∈ U ′ e (V ′, ψ′) sia un’altra carta nell’atlantemassimo di Vm tale che f(x) ∈ V ′. Allora, denotata con i l’applicazione identica, in ϕ′(U ∩U ′ ∩ f−1(V )∩ f−1(V ′)) si ha:

ψ′ f ϕ′−1 = ψ′ i f i ϕ′−1 = ψ′ (ψ−1 ψ) f (ϕ−1 ϕ) ϕ′−1 = (ψ′ ψ−1) ψ f ϕ−1 (ϕ ϕ′−1),

quindi la funzione ψ′ f ϕ′−1 si puo considerare come la funzione composta della funzione ψ′ ψ−1 di classe Ck, percheVm e di classe Ck, della funzione ψ f ϕ−1 di classe Ch per ipotesi e della funzione ϕ ϕ′−1 che e di classe Ck percheMn e di classe Ck, essendo h ≤ k, ne segue che ψ′ f ϕ′−1 e di classe Ch.

Proposizione 2.3.1 Siano Mn, Vm e Xh varieta differenziabili di classe Ck e f : Mn → Vm, g : Vm → Xh funzionidifferenziabili di classe Ch (h ≤ k) rispettivamente in x ∈Mn e f(x), allora la funzione g f : Mn → Xh e differenziabiledi classe Ch in x.

Dimostrazione. Se (U,ϕ) e (W,χ) sono rispettivamente due carte negli atlanti massimi di Mn e Xh con x ∈ U , g(f(x)) ∈W , allora χ (g f) ϕ−1 = χ (g ψ−1 ψ f) ϕ−1 = (χ g ψ−1) (ψ f ϕ−1), essendo (V, ψ) un’opportuna cartanell’atlante massimo di Vm. Cosı, χ (g f) ϕ−1, si puo considerare una funzione composta da due funzioni di classeCh, perche per ipotesi f e g sono differenziabili di classe Ch, quindi e di classe Ch.

Definizione 2.3.2 Siano Mn e Vn due varieta differenziabili di classe Ck, una funzione f : Mn → Vn si dice che e undiffeomorfismo di classe Ch (h ≤ k) se e un omeomorfismo e se le funzioni f e f−1 sono differenziabili di classe Ch.

Definizione 2.3.3 Due varieta differenziabili di classe Ck Mn e Vn si dicono diffeomorfe, se esiste un diffeomorfismof : Mn → Vn di classe Ck

30

2.3.2 Spazi vettoriali tangenti ad una varieta differenziabile

Nel seguito con il simbolo Mn si intendera una varieta differenziabile di classe Ck con k > 0, una carta locale si intendeappartenere all’atlante massimo della struttura differenziabile su Mn e verra indicata con il simbolo (U,ϕ, x1, x2, . . . , xn)al fine di specificare le coordinate che essa introduce su U .

L’insieme delle funzioni differenziabili di classe Ch (h ≤ k) su un aperto U di Mn ed a valori in <, forma un algebracon le consuete operazioni di somma e di prodotto di funzioni, che sara indicata con il simbolo Fh(U). Se P ∈ Mn,l’insieme delle funzioni reali, differenziabili di classe Ch in un intorno aperto di P non e un’algebra perche non ha ununico zero, pero la relazione che identifica due di tali funzioni se coincidono in un intorno aperto di P , e una relazione diequivalenza e l’insieme quoziente Fh(P ) e un’algebra.

Definizione 2.3.4 Una curva differenziabile di classe Ck su Mn e una funzione differenziabile di classe Ck γ :]a, b[→Mn, dove ]a, b[ e un intervallo aperto di < 4, e quindi in ogni carta locale (U,ϕ, x1, x2, . . . , xn) che interseca il codominiodi γ, le coordinate (x1(t), x2(t), . . . , xn(t)) di γ(t) sono funzioni differenziabili di classe Ck e si chiamano equazioniparametriche di γ nella carta data.

Definizione 2.3.5 Sia P ∈ Mn e γ(t) una curva differenziabile di classe C1 passante per P: γ(t0) = P per qualchet0 ∈]a, b[. Si chiama vettore tangente alla curva γ nel punto P, l’applicazione X : F1(P )→ < definita da

X(f) =df(γ(t))

dt|t0 .5 (2.7)

L’insieme dei vettori tangenti in P si indica con TP .

Definizione 2.3.6 Si chiama derivazione ogni applicazione X : F1(P )→ < che gode delle seguenti proprieta:

1. linearita: ∀α, β ∈ < ∀f, g ∈ F1(P ), X(αf + βg) = αX(f) + βX(g);

2. X(fg) = X(f)g(P ) + f(P )X(g).

L’insieme delle derivazioni si indica con DP .

Proposizione 2.3.2 DP e uno spazio vettoriale.

Dimostrazione. Definendo:

∀α, β ∈ < ∀X,Y ∈ DP (αX + βY )(f) = αX(f) + βY (f) ∀f ∈ F1(P )

e una semplice verifica dimostrare che αX + βY ∈ DP e che queste operazioni verificano gli assiomi degli spazi vettoriali.

Proposizione 2.3.3 Ogni vettore tangente e una derivazione.

Dimostrazione. Per le regole di derivazione di una somma e di un prodotto

X(αf + βg) =d(αf + βg)(γ(t))

dt|t0 =

d(αf(γ(t)) + βg(γ(t)))

dt|t0 = αX(f) + βX(g);

X(fg) =d(fg)(γ(t))

dt|t0 =

d(f(γ(t))g(γ(t)))

dt|t0 = X(f)g(γ(t0)) + f(γ(t0))X(g) = X(f)g(P ) + f(P )X(g).

Dalle proposizioni precedenti segue che TP e un sottinsieme dello spazio vettoriale DP . Ma si puo dimostrare di piu.

Teorema 2.3.1 TP e uno spazio vettoriale di dimensione n.

Dimostrazione. Fissato un sistema di coordinate (x1, x2, . . . , xn) di classe C1 in un intorno aperto di P , consideriamo le napplicazioni Xi = ∂

∂xi |P che ad ogni f ∈ F1(P ) fanno corrispondere le sue derivate parziali calcolate in P . Le applicazionicosı definite sono ovviamente vettori di DP e sono linearmente indipendenti, infatti se λiXi = 0, considerando le funzionif j(x1, x2, . . . , xn) = xj che ovviamente appartengono a F1(P ) si ha:

0 = λiXi(fj) = λi

∂xj

∂xi|P = λiδji = λj .

4qui si considera ]a, b[ con la topologia indotta da quella di < come varieta differenziabile5X e la derivata di f nella direzione di γ, che, ovviamente esiste sempre, perche in qualunque carta locale, f(γ(t)) = f(x1(t), x2(t), . . . , xn(t))

e la composizione di funzioni di classe C1

31

Quindi se denotiamo con T ′P l’insieme di tutte le possibili combinazioni lineari degli Xi, esso e un sottospazio vettorialedi DP di dimensione n.

Ora, se X ∈ TP corrisponde alla generica curva di equazioni parametriche (x1(t), x2(t), . . . , xn(t)), per la (2.7),

X(f) =df(x1(t), x2(t), . . . , xn(t))

dt|t0 =

∂f

∂xi(P )

dxi

dt(t0),

quindi

X =dxi

dt(t0)

∂

∂xi|P , (2.8)

da cui segue che X ∈ T ′P , quindi TP ⊆ T ′P .Viceversa, se X ′ ∈ T ′P allora X ′ = λiXi. Consideriamo la curva γ di equazioni parametriche xi(t) = xi0 + λi(t − t0),

dove (x10, x

20, . . . , x

n0 ) sono le coordinate di P . Ovviamente γ passa perP (per t = t0), quindi possiamo calcolare il suo

vettore tangente, che per la (2.8) e

X = λi∂

∂xi|P = λiXi = X ′,

questo implica che X ′ ∈ TP da cui segue che T ′P ⊆ TP . Resta cosı dimostrato che TP e il sottospazio vettoriale di DP

generato dalle ∂∂xi |P .

Definizione 2.3.7 Lo spazio vettoriale TP si chiama spazio vettoriale tangente a Mn in P .

Dalla dimostrazione del teorema precedente, in particolare, si deduce che le derivazioni ∂∂xi |P sono elementi di TP ,

d’altra parte, utilizzando l’equazione (2.8), e immediato constatare, che sono i vettori tangenti alle linee coordinatepassanti per P : (x1

0, . . . , xi−10 , xi0 + t− t0, xi+1

0 , . . . , xn0 ), essendo al solito (x10, x

20, . . . , x

n0 ) le coordinate di P.

Definizione 2.3.8 La base ∂∂x1 |P , ∂

∂x2 |P , . . . , ∂∂xn |P , si chiama base naturale associata alle coordinate (x1, x2, . . . , xn).

Siano (U,ϕ, x1, x2, . . . , xn) e (V, ψ, y1, y2, . . . , yn) due carte locali con P ∈ U ∩ V e con trasformazioni di coordinate(2.1). Le due carte locali definiscono due basi naturali ∂

∂x1 |P , ∂∂x2 |P , . . . , ∂

∂xn |P e ∂∂y1 |P ,

∂∂y2 |P , . . . ,

∂∂yn |P in TP . Sia, ora,

f ∈ F1(P ), allora per la (2.1)

f(y1, y2, . . . , yn) = f(x1(y1, y2, . . . , yn), x2(y1, y2, . . . , yn), . . . , xn(y1, y2, . . . , yn))

quindi∂f

∂yi|P =

∂f

∂xh|P∂xh

∂yi|P

poiche questa equazione vale per ogni f ∈ F1(P ), allora

∂

∂yi|P =

∂xh

∂yi|P

∂

∂xh|P . (2.9)

L’equazione inversa si ottiene utilizzando la matrice inversa:

∂

∂xi|P =

∂yh

∂xi|P

∂

∂yh|P . (2.10)

Ovviamente, le componenti rispetto alle due basi sono legate tra di loro dalla legge di cotrovarianza.

2.3.3 Tensori nello spazio tangente

Nel seguito, il simbolo T ∗P indichera lo spazio duale di TP .

Definizione 2.3.9 Sia f ∈ F1(P ), si chiama differenziale di f nel punto P , l’applicazione df |P : TP → < definita da

∀X ∈ TP df |P (X) = X(f). (2.11)

Proposizione 2.3.4 ∀f ∈ F1(P ) df ∈ T ∗p .

32

Dimostrazione. Basta dimostrare la linearita. Per la (2.11):

∀α, β ∈ < ∀X,Y ∈ TP , df |P (αX + βY ) = (αX + βY )(f) = αX(f) + βY (f) = αdf |P (X) + βdf |P (Y ).

Sia (U,ϕ, x1, x2, . . . , xn), una carta locale con P ∈ U , se si denota con xi la funzione fi(x1, x2, . . . , xn) = xi, si ha:

∀X = Xi ∂

∂xi|P ∈ TP dxi|P (X) = X(xi) = Xj ∂x

i

∂xj|P = Xjδij = Xi,

quindi, dalla definizione di base duale segue che i differenziali dx1|P , dx2|P , . . . , dxn|P sono la base duale della basenaturale ∂

∂x1 |P , ∂∂x2 |P , . . . , ∂

∂xn |P .In particolare

∀X = Xi ∂

∂xi|P ∈ TP df |P (X) = X(f) = Xi ∂f

∂xi|P =

∂f

∂xi|P dxi|P (X),

quindi

df |P =∂f

∂xi|P dxi|P . (2.12)

Sia ora (V, ψ, y1, y2, . . . , yn) un altra carta locale con P ∈ V , allora, tenendo conto delle (2.1) in U ∩ V , per la (2.12),si ha:

dyi|P =∂yi

∂xj|P dxj |P , (2.13)

che confrontata con la (2.9) da la stessa legge di trasformazione delle forme lineari. Analogamente l’inversa della (2.13) e:

dxi|P =∂xi

∂yj|P dyj |P . (2.14)

Essendo TP uno spazio vettoriale di dimensione n, su di esso si puo costruire tutta l’algebra tensoriale, con la differenzache, oltre alle basi generiche, in TP ci sono le basi naturali, legate alle carte locali, che vengono indicate con una notazionediversa. Cosı, per esempio, se T ∈ TP ⊗ T ∗P ⊗ T ∗P , in una base naturale associata ad una carta locale (U,ϕ, x1, x2, . . . , xn)con P ∈ U , si scrive:

T = T ijh∂

∂xi|P ⊗ dxj |P ⊗ dxh|P .

Se, ora, (V, ψ, y1, y2, . . . , yn) e un altra carta locale con P ∈ V , allora

T = T ′ijh∂

∂yi|P ⊗ dyj |P ⊗ dyh|P ,

dove

T ′ijh =∂yi

∂xk|P∂xp

∂yj|P∂xq

∂yh|PT kpq e T ijh =

∂xi

∂yk|P∂yp

∂xj|P∂yq

∂xh|PT ′kpq.

Analogamente tra i tensori possiamo considerare quelli totalmente antisimmetrici, cioe quelli appartenenti all’algebraesterna Λ(TP ) = ⊕np=0Λp(TP ). Se α ∈ Λp(TP ) allora, rispetto alle coordinate (x1, . . . , xn) si ha

α = αi1...ipdxi1 |P ⊗ · · · ⊗ dxip |P =

1

p!αi1...ipdx

i1 |P ∧ · · · ∧ dxip |P = αI1...IpdxI1 |P ∧ · · · ∧ dxIp |P (2.15)

dove le componenti strette si trasformano, passando alle coordinate (y1, . . . , yn), mediante le equazioni

α′I1...Ip = εk1...kpI1...Ip

∂xJ1

∂yk1|P . . .

∂xJp

∂ykp|P αJ1...Jp , αI1...Ip = ε

k1...kpI1...Ip

∂yJ1

∂xk1|P . . .

∂yJp

∂xkp|P α′J1...Jp .

In particolare nel caso di n-forme interviene il determinante jacobiano della trasformazione di coordinate calcolato in P

α′1...n =∂(x1 . . . xn)

∂(y1 . . . yn)(P ) α1...n, α1...n =

∂(y1 . . . yn)

∂(x1 . . . xn)(P ) α′1...n

33

2.3.4 Campi di tensori

Definizione 2.3.10 Si chiama campo vettoriale in un aperto W di Mn, un’ applicazione X che per ogni P ∈ Wassocia un vettore X(P ) ∈ TP .

Sia X un campo vettoriale su un aperto W e (U,ϕ, x1, x2, . . . , xn) una carta locale tale che U ∩W 6= ∅. Allora perogni P ∈W ∩ U , si ha:

X(P ) = Xi(P )∂

∂xi|P .

Da ora in poi, i simboli ∂∂x1 ,

∂∂x2 , . . . ,

∂∂xn indicheranno la base naturale calcolata nel generico punto di U ∩W . Con questa

notazione, l’equazione precedente si puo scrivere:

X(x1, x2, . . . , xn) = Xi(x1, x2, . . . , xn)∂

∂xi, (2.16)

intendendo che il punto in cui deve essere calcolato ∂∂xi , e quello dell’argomento di Xi.

Sia (V, ψ, y1, y2, . . . , yn) un altra carta locale tale che W ′ = U ∩V ∩W 6= ∅, allora in W ′ vale la (2.16) ma vale anche:

X(y1, y2, . . . , yn) = X ′i(y1, y2, . . . , yn)∂

∂yi,

con, su tutto W ′:∂

∂yi=∂xh

∂yi(y1, y2, . . . , yn)

∂

∂xhe

∂

∂xi=∂yh

∂xi(x1, x2, . . . , xn)

∂

∂yh

e quindi:

X ′i(y1(x1, x2, . . . , xn), y2(x1, x2, . . . , xn), . . . , yn(x1, x2, . . . , xn)) =∂yi

∂xh(x1, x2, . . . , xn)Xh(x1, x2, . . . , xn)

e

Xi(x1(y1, y2, . . . , yn), x2(y1, y2, . . . , yn), . . . , xn(y1, y2, . . . , yn)) =∂xi

∂yh(y1, y2, . . . , yn)X ′h(y1, y2, . . . , yn).

Da ora in poi, per motivi di semplicita, dove non e possibile fare confusione, gli argomenti delle funzioni non sarannospecificati. Cosı le equazioni precedenti si scrivono:

X = Xi ∂

∂xi= X ′i

∂

∂yi(2.17)

∂

∂yi=∂xh

∂yi∂

∂xhe

∂

∂xi=∂yh

∂xi∂

∂yh(2.18)

X ′i =∂yi

∂xhXh e Xi =

∂xi

∂yhX ′h. (2.19)

Definizione 2.3.11 Si chiama campo tensoriale r-volte controvariante ed s-volte covariante in un aperto W di Mn,un’ applicazione T che per ogni P ∈W associa un tensore T (P ) ∈ TP ⊗ · · · ⊗ TP︸︷︷︸

r−volte

⊗T ∗P ⊗ · · · ⊗ T ∗P︸︷︷︸s−volte

.

Introdotte due carte locali (U,ϕ, x1, x2, . . . , xn) e (V, ψ, y1, y2, . . . , yn), tali che W ′ = U ∩ V ∩W 6= ∅, utilizzando leconvenzioni introdotte sopra e omettendo |P anche nella base duale, in W ′ si ha:

T = T i1,...,ir j1,...,js∂

∂xi1⊗ · · · ⊗ ∂

∂xir⊗ dxj1 ⊗ · · · ⊗ dxjs = T ′i1,...,ir j1,...,js

∂

∂yi1⊗ · · · ⊗ ∂

∂yir⊗ dyj1 ⊗ · · · ⊗ dyjs (2.20)

T ′i1,...,ir j1,...,js =∂yi1

∂xh1. . .

∂yir

∂xhr∂xk1

∂yj1. . .

∂xks

∂yjsTh1,...,hr

k1,...,ks (2.21)

e

T i1,...,ir j1,...,js =∂xi1

∂yh1. . .

∂xir

∂yhr∂yk1

∂xj1. . .

∂yks

∂xjsT ′h1,...,hr

k1,...,ks . (2.22)

Nel caso di campi di p-forme

α′I1...Ip = εk1...kpI1...Ip

∂xJ1

∂yk1. . .

∂xJp

∂ykpαJ1...Jp , αI1...Ip = ε

k1...kpI1...Ip

∂yJ1

∂xk1. . .

∂yJp

∂xkpα′J1...Jp . (2.23)

34

Definizione 2.3.12 Sia W un aperto di Mn e h < k, un campo tensoriale T si dice differenzibile di classe Ch su W ,se le sue componenti in ogni carta locale sono funzioni differenziabili di classe Ch.

Poiche le componenti di un campo di p-forme sono, a meno del segno, le componenti strette, la differenziabilita ericondotta a quella delle componenti strette.Le equazioni (2.21) e (2.22), mostrano che se la differenziabilita delle componenti di T e verificata in una carta locale didominio U , e pure verificata in U ∩ V , essendo V il dominio di un’altra carta locale che interseca U .Nel seguito

1. se non diveramente specificato, si intendera che un campo tensoriale e di classe Ch con h < k;

2. anche se non detto esplicitamente, quando si parlera di tensori si intendera campi di tensori;

3. quando si parlera di somme di tensori o di prodotti di funzioni per tensori si assumera implicitamente che si staconsiderando un aperto W in cui sono tutti definiti.

Definizione 2.3.13 Un campo di p-forme differenziabile si chiama forma differenziale esterna di grado p o p-forma differenziale esterna o p-forma differenziale.

2.3.5 Differenziazione esterna

Definizione 2.3.14 Un’operazione di differenziazione esterna e un’applicazione d che manda ogni p-forma α in una(p+1)-forma che denoteremo con dα e che chiameremo derivata esterna di α, la quale gode verifica i seguenti assiomi

1. (Linearita) Comunque si prendono due p-forme α, β e un numero reale λ,

d(α+ β) = dα+ dβ, d(λα) = λd(α)

2. (Antiderivazione) Comunque si prende una p-forma α e una q-forma β,

d(α ∧ β) = dα ∧ β + (−1)pα ∧ dβ (2.24)

3. Se f e una 0-forma (funzione differenziabile), allora df = df , cioe deve coincidere con il differenziale di unafunzione definito dalla (2.11)

4. d2f = ddf = 0

Osserviamo che nella seconda, il segno del secondo addendo dipende solo dal grado della prima forma differenziale. Cionon e in contrasto con la proprieta di anticommutativita del prodotto esterno, infatti dalla (2.24) segue

(−1)pqd(β ∧α) = (−1)(p+1)qβ ∧ dα+ (−1)p+p(q+1)dβ ∧α = (−1)pq((−1)qβ ∧ dα+ (−1)2pdβ ∧α)

quindid(β ∧α) = dβ ∧α+ (−1)qβ ∧ dα

Proposizione 2.3.5 Assegnata una forma differenziale α e una qualunque carta (U,ϕ, x1, . . . , xn) che interseca il domi-nio di α, le quattro proprieta enunciate sopra determinano univocamente la rappresentazione locale di dα.

Dimostrazione Nella carta assegnata α = αI1...IpdxI1∧· · ·∧dxIp . Tenendo conto che le componenti strette sono funzioni

e quindi 0-forme differenziali, che dxi e il differenziale della funzione f(x1, . . . , xn) = xi e applicando i quattro assiomi, siha

dα = dαI1...Ip ∧ dxI1 ∧ · · · ∧ dxIp + αI1...Ipd(dxI1 ∧ · · · ∧ dxIp)

ma per la seconda e la quarta proprieta della derivata esterna d(dxI1 ∧ · · · ∧ dxIp) = 0, da cui

dα =∂αI1...Ip∂xh

dxh ∧ dxI1 ∧ · · · ∧ dxIp = εhI1...IpH1...Hp+1

∂αI1...Ip∂xh

dxH1 ∧ · · · ∧ dxHp+1 (2.25)

Proposizione 2.3.6 Per ogni forma differenziale α, ddα = 0. Se α e una n-forma, dα = 0

35

Dimostrazione Per la (2.25),

ddα = d(∂αI1...Ip∂xh

dxh ∧ dxI1 ∧ · · · ∧ dxIp) =∂2αI1...Ip∂xh∂xk

dxk ∧ dxh ∧ dxI1 ∧ · · · ∧ dxIp = 0

perche la derivata seconda e simmetrica rispetto ad h e k, mentre dxh ∧ dxk e antisimmetrico. La seconda affermazionee conseguenza del fatto che la derivata esterna di una n-forma e una (n+1)-forma, quindi nulla.

Esempi. In R3 in coordinate cartesiane (x, y, z)

1. df = ∂f∂xi dx

i, ha le stesse componenti del gradiente.

2. d(A(x, y, z)dx+B(x, y, z)dy+C(x, y, z)dz) = ∂A∂y dy∧dx+ ∂A

∂z dz∧dx+ ∂B∂x dx∧dy+ ∂B

∂z dz∧dy+ ∂C∂x dx∧dz+ ∂C

∂y dy∧dz =

(∂C∂y −∂B∂z )dy ∧ dz + (∂A∂z −

∂C∂x )dz ∧ dx+ (∂B∂x −

∂A∂y )dx ∧ dy,

quindi le componenti del rotore del vettore di componenti A,B,C.

3. d(P (x, y, x)dy ∧ dz +Q(x, y, z)dz ∧ dx+R(x, y, z)dx∧ dy) = ∂P∂x dx∧ dy ∧ dz + ∂Q

∂y dy ∧ dz ∧ dx+ ∂R∂z dz ∧ dx∧ dy =

(∂P∂x + ∂Q∂y + ∂R

∂z )dx ∧ dy ∧ dz, Quindi la divergenza del vettore di componenti P,Q,R.

4. Nei corsi di Analisi si e visto che in <3 una forma differenziale F = Fx(x, y, z)dx + Fy(x, y, z)dy + Fz(x, y, z)dz see integrabile o esatta, cioe F = dU = ∂U

∂x dx + ∂U∂y dy + ∂U

∂z dz per qualche funzione differenziabile U(x, y, z), alloravalgono le condizioni di simmetria

∂Fy∂z− ∂Fz

∂y= 0,

∂Fz∂x− ∂Fx

∂z= 0,

∂Fx∂y− ∂Fy

∂x= 0.

Ma come si vede dal secondo esempio, le condizioni di simmetria sono equivalenti all’equazione dF = 0. Quinditutto cio si puo riassumere in F = dU ⇒ dF = ddU = 0 immediada conseguenza di dd = 0.Viceversa se valgono le condizioni di simmetria, cioe se dF = 0 allora non sempre F e esatta. Cio dipende dallatopologia dell’insieme di definizione e precisamente dF = 0⇒ F = dU se il dominio di F e semplicemente connesso.In generale la presenza e la quantita di forme differenziali α su Mn chiuse, cioe tali che dα = 0 e che non sonoesatte cioe α = dβ e strettamente legata alla topologia di Mn (vedi nei complementi Coomolgia di de Rham).

5. Introducendo nello spazio tempo di Minkowski, riferito a coordinate cartesiane (x0, x1, x2, x3), il tensore elettroma-gnetico F = Fijdx

i ⊗ dxj , dove

||Fij || =

∥∥∥∥∥∥∥∥0 Ex Ey Ex−Ex 0 −Bz By−Ey Bz 0 −Bx−Ez −By Bx 0

∥∥∥∥∥∥∥∥allora calcolando esplicitamente l’equazione dF = 0, si ha

0 = dF =∂FIJ∂x0

dx0 ∧ dxI ∧ dxJ +∂FIJ∂x1



dx3 ∧ dxI ∧ dxJ =

(∂F12

∂x0− ∂F02

∂x1+∂F01

∂x2)dx0 ∧ dx1 ∧ dx2 + (

∂F13

∂x0− ∂F03

∂x1+∂F01

∂x3)dx0 ∧ dx1 ∧ dx3+

(∂F23

∂x0− ∂F03

∂x2+∂F02

∂x3)dx0 ∧ dx2 ∧ dx3 + (

∂F23

∂x1− ∂F13

∂x2+∂F12

∂x3)dx1 ∧ dx2 ∧ dx3

da cui, eguagliando a zero l’ultima componente, si ottiene divB = 0 mentre le altre tre componenti eguagliate a zero siriducono a B + rotE = 0, che corrisponde al primo gruppo di equazioni di Maxwell che stabiliscono rispettivamente lanon esistenza di monopoli magnetici e come un campo magnetico variabile genera un campo elettrico.

36

2.4 Connessioni lineari

Nel seguito una varieta differenziabile verra supposta di classe Ck con k > 2 ed ogni campo di tensori di classe Ch conh > 1.

2.4.1 Derivata covariante di un vettore

Definizione 2.4.1 Una connessione lineare su una varieta differenziabile Mn e un’applicazione ∇ che ad ogni campodi vettori X su un aperto W , associa un campo di tensori una volta covariante ed una volta controvariante ∇X di classeCh−1, definito su W , detto derivata covariante di X, tale che le seguenti proprieta siano verificate:

1. ∇(X + Y ) = ∇X +∇Y , essendo X e Y campi di vettori definibili sullo stesso aperto;

2. ∇(fX) = df ⊗X + f∇X, essendo f e X rispettivamente una funzione reale ed un campo di vettori definibili sullostesso aperto (regola di Liebnitz).

Sia X un campo di vettori definito in un aperto W di Mn e scegliamo per ogni P ∈ W una base e1, e2, . . . , en nellospazio tangente TP (campo di basi).6 Poiche ∇ei e un tensore doppio una volta covariante ed una volta cotrovariante,ne segue che

∇ei = γjhieh ⊗ ej , (2.26)

dove γjhi sono delle funzioni di P , che dipendono, fissata la base, dalla particolare connessione scelta.Sia X = Xiei un campo di vettori, per la definizione 2.4.1 e per la definizione di differenziale di una funzione:

dXi(V ) = V (Xi) = V heh(Xi) = eh(Xi)eh(V ), ne segue che:

∇X = ∇(Xiei) = d(Xi)⊗ ei +Xi∇ei = eh(Xi)eh ⊗ ei +Xiγkhieh ⊗ ek = (eh(Xk) +Xiγkhi)e

h ⊗ ek,

quindi, denotate con ∇hXk o equivalentemente con Xk;h le componenti del tensore ∇X, si ha:

∇hXk = Xk;h = eh(Xk) + γkhiX

i. (2.27)

Cosı la conoscenza delle funzioni γijh in corrispondenza di ogni campo di basi, caratterizza completamente la connes-sione, nel senso che, utilizzando la (2.27), si puo calcolare la derivata covariante di ciascun campo di vettori. Per questomotivo tali funzioni si chiamano coefficienti della connessione. In particolare, se viene scelta una base naturale:ei = ∂

∂xi i coefficienti della connessione verranno indicati con il simbolo Γijh e la (2.27) diventa

∇hXk = Xk;h = ∂h(Xk) + ΓkhiX

i, (2.28)

dove, al solito ∂h = ∂∂xh

.

Proposizione 2.4.1 I coefficienti della connessione non sono le componenti di un tensore.

Dimostrazione. Consideriamo due carte locali (U,ϕ, x1, x2, . . . , xn) e (V, ψ, y1, y2, . . . , yn) con U ∩ V 6= ∅, allora in U ∩ Vla (2.26) si scrive

∇ ∂

∂xi= Γjhidx

h ⊗ ∂

∂xje ∇ ∂

∂yi= Γ′jhidy

h ⊗ ∂

∂yj,

confrontando la seconda con la seguente:

∇ ∂

∂yi= ∇(

∂xk

∂yi∂

∂xk) = d(

∂xk

∂yi)⊗ ∂

∂xk+∂xk

∂yi∇ ∂

∂xk=

∂2xk

∂yh∂yidyh ⊗ ∂

∂xk+∂xk

∂yiΓsrkdx

r ⊗ ∂

∂xs=

∂2xk

∂yh∂yidyh ⊗ (

∂yj

∂xk∂

∂yj) +

∂xk

∂yiΓsrk(

∂xr

∂yhdyh)⊗ (

∂yj

∂xs∂

∂yj) = (

∂2xk

∂yh∂yi∂yj

∂xk+∂xk

∂yiΓsrk

∂xr

∂yh∂yj

∂xs)dyh ⊗ ∂

∂yj

si ricava

Γ′jhi =∂2xk

∂yh∂yi∂yj

∂xk+ Γsrk

∂yj

∂xs∂xr

∂yh∂xk

∂yi, (2.29)

da cui si vede che a causa del primo addendo, la legge di trasformazione non e quella dei campi tensoriali.

Definizione 2.4.2 Se, per ogni P ∈ Mn, esiste una carta locale (U,ϕ) con P ∈ U , tale che in U i coefficienti dellaconnessione sono tutti nulli, allora la connessione si dice piatta.

6tale base, cosı come tutto quello che verra calcolato nel seguito, dipendera dal particolare punto scelto, anche se la dipendenza non eespressa esplicitamente.

37

Esempio 4 Se consideriamo, come varieta differenziabile, lo spazio affine <n, imponendo che, dato un campo di vettoriX di classe C1, esista un tensore doppio una volta covariante ed una volta controvariante ∇iXj, le cui componenti in unsistema di riferimento cartesiano siano le derivate parziali di X, si trova che tale tensore esiste ed e definito dalla 2.28,dove le Γijh si trasformano, al variare del sistema di coordinate, con la legge 2.29. Poich’e una connessione e caratterizzata

dai suoi coefficienti, ne segue che le Γijh, cosı introdotte deteminano una connessione, e, dovendosi annullare nei sistemi

di riferimento cartesiani, dove ∇iXj = ∂iXj, tale connessione e necessariamaente piatta.

A questo punto ci si puo chiedere se esistono connessioni non piatte, a questa domanda per il momento non si puo dareuna risposta, perche la definizione precedente non e di nessuna utilita per dimostrare che una connessione non e piatta.Infatti, non essendo i coefficienti della connessione dei tensori, se non si annullano in un dato sistema di coordinate,potrebbero annullarsi in un altro. Vedremo, pero in seguito, dei metodi operativamente piu utili per verificare se unaconnessione e o non e piatta. Si vedra inoltre che, non solo esistono connessioni non piatte, ma che quelle piatte sono deicasi molto particolari.

Saputo che esistono sia connessioni piatte che connessioni non piatte, ci si puo chiedere se le connessioni piattecaratterizzano gli spazi affini oppure se si possono introdurre connessioni piatte in varieta differenziabili diverse da <n.In seguito verra fatto un esempio di una varieta differenziabile non omeomorfa a <n con una connessione piatta.

Definizione 2.4.3 Siano X e Y due campi di vettori definiti in un aperto W di Mn, si chiama derivata covariantedi X nella direzione di Y e si indica con il simbolo ∇YX il prodotto tensoriale contratto tra Y e ∇X.

Se e1, e2, . . . , en e un campo di basi in W , si ha:

∇YX = Y i∇iXjej = Y iXj;iej = (Y i∂iX

j + γjihYiXh)ej .

Proposizione 2.4.2 Siano X e Y due campi di vettori definiti in un aperto W di Mn, per ogni campo di 1-forme ω, siha:

∇YX(ω) = ∇X(Y, ω). (2.30)

Se e1, e2, . . . , en e un campo di basi in W , si ha:

∇ehei = γjhiej . (2.31)

Dimostrazione.∇X(Y, ω) = ∇hXjeh ⊗ ej(Y, ω) = (∇hXj)Y hej(ω) = ∇YX(ω).

In particolare∇ekei(ω) = ∇ei(ek, ω) = γjhie

h ⊗ ej(ek, ω) = γjhiδhkej(ω) = γjkiej(ω).

2.4.2 Trasporto parallelo, geodetiche

Nel seguito una curva verra sempre supposta di classe Ch con h > 1.

Definizione 2.4.4 Sia γ(t) una curva, Y (t) = ∂∂t il campo di vettori tangenti alla curva e X un campo di vettori definito

in un aperto W che interseca γ(t), si chiama derivata covariante di X lungo γ e si indica con DXdt , la derivata

covariante di X nella direzione di Y .

Precisamente in una carta locale (U,ϕ, x1, x2, . . . , xn) il cui dominio interseca W ∩ γ(t):

DXi

dt= Y j∇jXi =

dxj

dt∇jXi =

dxj

dt∂jX

i + ΓijhXh dx

j

dt=dXi

dt+ ΓijhX

h dxj

dt.7

Definizione 2.4.5 Un campo vettoriale X definito in un aperto W , di dice che e trasportato parallelamente lungouna curva γ(t) di classe Ch (h < k) che interseca W , se in W ∩ γ, DX

dt = 0.

La definizione precedente ci consente di connettere tra di loro spazi tangenti in punti diversi. Infatti l’equazione chedefinisce il trasporto parallello:

dXj

dt+ Γijh

dxj

dtXh = 0, (2.32)

e un’equazione differenziale del primo ordine ed in forma normale, nelle funzioni incognite Xi(t), perche la curva γ e

assegnata e quindi le funzioni dxj

dt sono funzioni note di t, la connessione e pure assegnata quindi le Γijh(x1, x2, . . . , xn)

7tale definizione ha senso pur non essendo Y definito in un aperto, infatti nel calcolo di DXdt

non ci sono derivate parziali di Y . Ovviamentela stessa cosa non puo dirsi per X.

38

P

Q

T

T

P

Q

Figura 2.6: Trasporto parallelo di un vettore lungo due curve distinte

sono funzioni note, che composte con le equazioni parametriche della curva, danno funzioni note di t. Nelle ipotesi didifferenziabilita in cui ci siamo messi, vale il teorema di Cauchy, quindi se P ∈ Mn e X0 ∈ TP esiste una ed una solosoluzione X(t) con t0 ≤ t < t0 + δ della (2.32), verificante la condizione iniziale X(t0) = X0. Quindi preso un qualunquet ∈]t0, t0 + δ[ e posto Q = γ(t), il vettore X(t) ∈ TQ e il trasportato parallelo di X0 lungo la curva γ.

Nello spazio affine <n, nel sistema di coordinate in cui Γijh = 0, l’equazione (2.32) si riduce a dXj

dt = 0 che ammette lasoluzione costante. Quindi, in questo caso, la nozione di trasporto parallello corrisponde con l’usuale nozione di trasportoparallelo negli spazi affini: il vettore trasportato parallelalemente e il segmento orientato che ha la stessa direzione, moduloe verso di quello di partenza.

Se la connessione non e piatta, la nozione di trasporto parallello e molto piu debole di quella relativa ad una connessionepiatta, in quanto essa puo aver luogo solo localmente ed e dipendente dalla particolare curva scelta: se si cambia curvacongiungente P e Q, cambia anche l’equazione (2.32), quindi il trasportato parallelo di X0 ∈ TP non e, in generale, lostesso vettore di TQ (fig. 2.6).

Il nome connessione,deriva, dunque, dal fatto che essa permette di collegare spazi tangenti in punti diversi.Il concetto di trasporto parallelo, consente di generalizzare il concetto di linea retta su una varieta differenziabile con

una connessione lineare. Per fare questo, osserviamo che, in uno spazio affine, le rette sono le sole curve che godono dellaproprieta che il proprio vettore tangente e trasportato parallelamente su di essa: presa una qualunque linea ed un vettoretangente in un suo punto P , se applichiamo in tutti gli altri punti, il segmento orientato avente la stessa direzione, moduloe verso, tale segmento orientato non sara tangente alla linea tranne nel caso in cui essa e una retta.

Definizione 2.4.6 Una curva γ(t) si chiama geodetica se il suo vettore tangente Y = ∂∂t e trasportato parallelamente

lungo essa: ∇Y Y = 0 ⇔ Y i∇iY j = 0.

Quindi l’equazione delle geodetiche e la (2.32) con Xi(t) = dxi

dt (t):

d2xi

dt2+ Γijh

dxj

dt

dxh

dt= 0. (2.33)

L’equazione (2.33) e un’equazione differenziale del secondo ordine in forma normale, le cui funzioni incognite sono leequazioni parametriche della curva, quindi, per il teorema di Cauchy, se P = (x1

0, x20, . . . , x

n0 ) ∈Mn e X0 = Xi

0∂∂xi ∈ TP ,

esiste una ed una sola soluzione (x1(t), x2(t), . . . , xn(t)) della (2.33) per t0 ≤ t < t0+δ, tale che xi(t0) = xi0 e dxi

dt (t0) = Xi0.

In altri termini, fissato un punto P ∈Mn e un vettore X0 ∈ TP , esiste una ed una sola geodetica uscente da P e tangentein P a X0.

E immediato constatare che se la varieta differenziabile e <n e le coordinate sono cartesiane, allora i coefficienti della

connessione sono identicamente nulli e il sistema (2.33) si riduce a d2xj

dt2 = 0, che ammette come soluzioni le equazioniparameriche di una retta in coordinate cartesiane.

Osservazione 6 L’equazione (2.33) determina anche il parametro. Infatti se γ(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t)) e una so-luzione dell’equazione (2.33) e consideriamo il cambiamento di parametro t = t(τ), essendo quest’ultima funzione di

classe Ch ed a derivata prima non nulla, allora dxi

dt = dτdtdxi

dτ e d2xi

dt2 = d2τdt2

dxi

dτ + (dτdt )2 d2xi

dτ2 , quindi γ(t(τ)) e soluzionedell’equazione differenziale

d2xi

dτ2+ Γijh

dxj

dτ

dxh

dτ= λ(τ)

dxi

dτcon λ(τ) = −(

dt

dτ)2 d

2τ

dt2(t(τ)), (2.34)

doveλ(τ) = 0 ⇔ t(τ) = ατ + β, α, β ∈ <. (2.35)

39

Quindi l’equazione delle geodetiche piu generale e la (2.34), scritta anche ∇Y Y = λY con Y = ∂∂t , la (2.33), fornisce

l’equazione delle geodetiche rispetto ad un parametro particolare che si chiama parametro affine e dalla (2.35) si vedeche, determinato un parametro affine, tutti gli altri si ottengono da questo con una trasformazione lineare.

Nel seguito, se non espressamente specificato, il parametro verra considerato affine e quindi verra assunta la (2.33)come equazione delle geodetiche.

2.4.3 Derivata covariante di un tensore

La nozione di derivata covariante puo essere estesa ad un tensore di rango qualunque, imponendo che verifichi le condizionidella definizione seguente.

Definizione 2.4.7 Per ogni campo di vettori Y , ∇Y associa ad ogni campo di tensori T r-volte controvariante e s-voltecovariante un campo di tensori ∇Y T , r-volte e s-volte covariante, che, nel caso in cui T e un vettore, si riduce a quantovisto nei paragrafi precedenti, e che verifica le seguenti condizioni

1. ∇Y f = Y (f), per ogni funzione reale di classe Ch (tensore di rango 0);

2. ∇Y (T + T ′) = ∇Y T +∇Y T ′ essendo T e T ′ campi di tensori dello stesso rango, definibili sullo stesso aperto;

3. ∇Y (T ⊗ S) = ∇Y T ⊗ S + T ⊗ ∇Y S essendo T e S due campi di tensori definibili nello stesso aperto (regola diLiebnitz);

4. ∇Y commuta con l’operazione di contrazione degli indici.

Definita la derivata covariante nella direzione di Y , si definisce la derivata covariante, coerentemente alla 2.30, utilizzandola seguente

∇T (Y, ω1, ω2, . . . , ωr, Y1, Y2, . . . , Ys) = ∇Y T (ω1, ω2, . . . , ωr, Y1, Y2, . . . , Ys) (2.36)

Volendo calcolare la derivata covariante di un campo di 1 − forme nella direzione di un campo di vettori Y , fissatauna base e1, e2, . . . , en, poniamo

∇ehei = σihje

j , (2.37)

dove σijh sono funzioni da determinare utilizzando le condizioni della definizione 2.4.7. Denotata con C l’operazione dicontrazione degli indici e ricordando che essa consiste nel saturare un indice di covarianza con uno di controvarianza diun dato tensore, facendo scendere di due il rango del tensore, si trova:

C(ei ⊗ ej) = C(δihδkjeh ⊗ ek) = δihδ

hj = δij , (2.38)

da cui, per la prima della definizione 2.4.7

∇eh(C(ei ⊗ ej)) = ∇ehδij = eh(δij) = 0. (2.39)

Dalle equazioni (2.31), (2.37), (2.39) e dalle proprieta della definizione (2.4.7), si ricava

0 = ∇eh(C(ei ⊗ ej)) = C(∇eh(ei ⊗ ej)) = C((∇ehei)⊗ ej + ei ⊗∇ehej) = C(σihke

k ⊗ ej + γkhjei ⊗ ek) =

C(σihkδpj ek ⊗ ep + γkhjδ

ipep ⊗ ek) = σihkδ

kj + γkhjδ

ik = σihj + γihj ,

quindi la (2.37) diventa∇ehe

i = −γihjej , (2.40)

da cui, tenendo conto della linearita nella variabile Y implicata dall’equazione (2.36), si ottiene

∇Y ei = Y h∇ehei = −Y hγihjej (2.41)

In particolare, se si pone ∇ei = λihjeh ⊗ ej , dalla (2.36) e dalla (2.40) si ricava

λirk = λihjδhr δjk = λihje

h ⊗ ej(er, ek) = ∇ei(er, ek) = ∇erei(ek) = −γirjej(ek) = −γirk,

da cui∇ei = −γihjeh ⊗ ej (2.42)

Grazie alla (2.41) ed alle proprieta della definizione 2.4.7, si puo ricavare l’espressione della derivata covariante di uncampo di 1-forme φ = φie

i nella direzione di Y :

∇Y φ = ∇Y (φiei) = Y (φi)e

i + φi∇Y ei = Y heh(φi)ei − φiY hγihkek = Y h(eh(φk)− φiγihk)ek. (2.43)

40

Dalla (2.43) si ricava

∇Y φ(X) = Y h(eh(φk)− φiγihk)ek(X) = (eh(φk)− φiγihk)eh ⊗ ek(Y,X),

e dalla (2.36)∇φ = (eh(φk)− φiγihk)eh ⊗ ek ⇔ ∇hφk = φk;h = eh(φk)− γihkφi. (2.44)

Lo stesso discorso si puo ripetere per il generico tensore T = T i1,...,irj1,...,jsei1 ⊗ · · · ⊗ eis ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs :

∇Y T = ∇Y (T i1,...,ir j1,...,jsei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs) = Y (T i1,...,ir j1,...,js)⊗ ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs+

T i1,...,ir j1,...,js∇Y ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs + T i1,...,ir j1,...,jsei1 ⊗ · · · ⊗ ∇Y eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs+T i1,...,ir j1,...,jsei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗∇Y ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs + T i1,...,ir j1,...,jsei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ∇Y ejs =

Y h(eh(T i1,...,ir j1,...,js)ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs + T i1,...,irj1,...,jsγkhi1ek ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs+

· · ·+ T i1,...,ir j1,...,jsγkhirei1 ⊗ · · · ⊗ ek ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs − T i1,...,ir j1,...,jsγj1hkei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ek ⊗ · · · ⊗ ejs−

. . . T i1,...,ir j1,...,jsγjshkei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ek) = Y h(eh(T i1,...,ir j1,...,js) + T k,...,ir j1,...,jsγ

i1hk+

· · ·+ T i1,...,kj1,...,jsγirhk − T i1,...,irk,...,jsγkhj1 − . . . T

i1,...,irj1,...,kγ

khjs)ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs

Da quest’ultima e dalla (2.36), si ricava

∇hT i1,...,irj1,...,js = eh(T i1,...,ir j1,...,js) + T k,...,ir j1,...,jsγi1hk + · · ·+ T i1,...,kj1,...,jsγ

irhk

−T i1,...,irk,...,jsγkhj1 − . . . Ti1,...,ir

j1,...,kγkhjs ,

che in una base naturale diventa:

∇hT i1,...,irj1,...,js = ∂hTi1,...,ir

j1,...,js + Γi1hkTk,...,ir

j1,...,js + · · ·+ ΓirhkTi1,...,k

j1,...,js

−Γkhj1Ti1,...,ir

k,...,js − . . .ΓkhjsT i1,...,ir j1,...,k. (2.45)

Osservazione 7 Alle componenti delle derivate covarianti di un campo di tensori, sono applicabili alcune regole dicalcolo delle derivate ordinarie. Per esempio se X e un campo di tensori identicamente nullo ∇iXj = 0, mentre sele componenti di X sono costanti, ∇iXj = ΓjihX

h, che in generale non e identicamente nullo. Un’altra regola che epossibile applicare e la regola di derivazione di un prodotto, per esempio ∇i(XjYh) = ∂i(X

jYh)+ΓjikXkYh−ΓkihX

jYk =(∂iX

j + ΓjikXk)Yh + Xj(∂iYh − ΓkihYk) = (∇iXj)Yh + Xj∇iYh. Si puo vedere che la derivata covariante commuta

con l’operazione di saturazione degli indici, per esempio se Tj = T iji, allora saturando gli indici i e h in T ijh;k =∂kT

ijh+ΓikrT

rjh−ΓrkjT

irh−ΓrkhT

ijr, si ottiene T iji;k = ∂kT

iji+ΓikrT

rji−ΓrkjT

iri−ΓrkiT

ijr = ∂kTj−ΓrkjTr = Tj;k.

Inoltre se Tij = −Tji allora Tij;k = ∂kTij − ΓrkiTrj − ΓrkjTir = −Tji;r. In definitiva si puo operare con le derivatecovarianti, come se l’indice ; k fosse un qualunque altro indice.

2.4.4 Torsione

Dalla (2.36) e dalla prima condizione della definizione 2.4.7, si ricava che, fissata una funzione f , ∇f(Y ) = ∇Y f =Y (f) = df(Y ) ∀Y , quindi in una base naturale ∇f = ∂hfdx

h. Da questa e dall’equazione (2.45) che esprime la derivatacovariante di un tensore in una base naturale, si ottiene:

∇i∇jf = ∇i∂jf = ∂2ijf − Γhij∂hf,

ed invertendo l’ordine di derivazione∇j∇if = ∇j∂if = ∂2

jif − Γhji∂hf,

da cui sottraendo membro a membro e tenendo conto che, con l’ordine di differenziabilita supposto per f , le derivateseconde si possono invertire, si trova che

∇j∇if −∇i∇jf = Thij∂hf con Thij = Γhij − Γhji. (2.46)

Per il criterio di tensorialita, se si tiene conto che, al primo membro c’e la differenza delle componenti di due tensorie che ∂hf sono le componenti della 1-forma df , a cui, in ogni punto possono essere dati valori arbitrari (scegliendoopportunamente f), si deduce che, in ogni punto, Thij sono le componenti di un tensore, che si chiama tensore ditorsione.8

Quindi il tensore di torsione misura la non commutativita delle derivate covarianti seconde di una funzione.

Definizione 2.4.8 Una connessione si dice simmetrica se il tensore di torsione e identicamente nullo: Thij = 0 ⇔Γhij = Γhji.

La connessione piatta e simmetrica, cio si deduce dalla (2.29) e dalla simmetria delle derivate seconde.

8la tensorialita di Thij si puo ricavare anche dalla (2.29), sottraendo ambo i membri dell’equazione data, da quelli dell’equazione ottenutascambiando gli indici in basso ed osservando che che le derivate seconde della trasformazione delle cordinate commutano.

41

2.4.5 Tensore di curvatura

Consideriamo un campo di vettori X e calcoliamo due volte la derivata covariante in una data carta locale:

∇i∇jXh = ∂i∇jXh + Γhik∇jXk − Γkij∇kXh = ∂2ijX

h + ∂i(ΓhjkX

k) + Γhik(∂jXk + ΓkjrX

r)− Γkij∇kXh =

∂2ijX

h +Xk∂iΓhjk + Γhjk∂iX

k + Γhik∂jXk + ΓhirΓ

rjkX

k − Γkij∇kXh,

scambiando gli indici i e j

∇j∇iXh = ∂2jiX

h +Xk∂jΓhik + Γhik∂jX

h + Γhjk∂iXk + ΓhjrΓ

rikX

k − Γkji∇kXh

e sottraendo membro a membro, si ottiene:

∇i∇jXh −∇j∇iXh = Xk(∂iΓhjk − ∂jΓhik + ΓhirΓ

rjk − ΓhjrΓ

rik)− (Γkij − Γkji)∇kXh,

da cui, tenendo conto che T kij = Γkij − Γkji e il tensore di torsione e definendo

Rhkij = ∂iΓhjk − ∂jΓhik + ΓhirΓ

rjk − ΓhjrΓ

rik, (2.47)

si ricava∇i∇jXh −∇j∇iXh = RhkijX

k − T kij∇kXh. (2.48)

Poiche il primo membro della (2.48) e un tensore, perche differenza di due tensori e T kij∇kXh e un tensore, percheprodotto contratto tra due tensori, RhijkX

k e un tensore, ma per l’arbitrarieta di X e per il criterio di tensorialita la(2.47) definisce un tensore che si chiama tensore di curvatura.

Dalla (2.47), si trova banalmente la seguente:

Proposizione 2.4.3 Se una connessione e piatta allora il tensore di curvatura e identicamente nullo.

Questa proposizione ci consente di dimostrare che una data connessione non e piatta: basta verificare che il tensoredi curvatura non e identicamente nullo, cosa che puo essere verificata in un sistema di riferimento qualunque, visto chel’annullarsi di un tensore in una base implica l’annullarsi in ogni base.

Il tensore di curvatura, assieme al tensore di torsione misura la non commutativita delle derivate covarianti secondedi un campo di vettori. In particolare, se la connessione e simmetrica, le derivate covarianti di una funzione commutano,ma non commutano le derivate covarianti di un campo di vettori. Se poi la connessione e anche piatta, commutano sia lederivate covarianti di una funzione che quelle di un campo di vettori.

Il tensore di curvatura gode delle seguenti simmetrie:

Rhkij = −Rhkji ⇔ Rhk(ij) = 0, (2.49)

Rh[kij] = 0 ⇔ Rhkij +Rhjki +Rhijk = 0 (2.50)

ed infine le identita di Bianchi che riguardano la derivata covariante del tensore di curvatura:

Rhk[ij;r] = 0 ⇔ Rhkij;r +Rhkri;j +Rhkjr;i = 0. (2.51)

Definizione 2.4.9 Si chiama tensore di Ricci, il tensore ottenuto contraendo l’indice di controvarianza con il secondoindice di covarianza del tensore di curvatura:

Rik = Rhihk. (2.52)

2.4.6 Equazione della deviazione geodetica

Consideriamo una famiglia di geodetiche (congruenza) γ(t, s), dove t e un parametro affine e s e un parametro cheindividua ciascuna geodetica. Supporremo che γ sia di classe Ch con h > 1, per cui ha senso considerate oltre al campo divettori V (t, s) = ∂

∂t (t, s) tangente alle geodetiche, anche il campo di vettori N(t, s) = ∂∂s (t, s) tangente alle curve t = cost..

Supporremo, inoltre che i due campi di vettori V e N non siano mai paralleli fig. (2.7). Intuitivamente, il vettore N(t, s)da la separazione infinitesima tra il punto P (t, s) ed il punto P (t, s+ ds), la sua derivata nella direzione di V : ∇VN dala velocita relativa tra i due punti, mentre la derivata seconda nella direzione di V : ∇V∇VN da l’accelerazione relativatra i due punti.

Esempio 5 Consideriamo nello spazio affine un sistema di coordinate cartesiane (x1, x2, . . . , xn) ed una congruenza dirette (geodetiche) di equazioni parametriche xi(t, s) = ai(s)t + bi(s), essendo ai(s) e bi(s), funzioni di classe C1. I

vettori N e V hanno componenti rispettivamente N i = ∂xi

∂s = dai

ds (s)t + dbi

ds (s) e V i = ∂xi

∂t = ai(s). Poiche i coefficienti

della connessione sono identicamente nulli, ∇VN = ∂N∂t = dai

dt (s) e ∇v∇vN = ∂2N∂t2 = 0. Quindi, in questo caso,

la velocita relativa e non nulla se le rette non sono parallele (dai

ds 6= 0), l’accelerazione relativa invece e sempre nullaindipendentemente dalla congruenza scelta. Cio fa pensare che, il non annullarsi dell’accelerazione relativa, sia unaproprieta della varieta in cui la congruenza di geodetiche viene assegnata, piuttosto che della congruenza stessa.

42

V

N

s s s s

t

t

t

t

t

t

12 3 4

5s

5

1

2

3

4

5

6

Figura 2.7: Deviazione geodetica

Proposizione 2.4.4 Se la connessione e simmetrica, vale la seguente

∇V∇VNh = RhkijVkV iN j , (2.53)

che si chiama equazione della deviazione geodetica.

Dimostrazione. Cominciamo con il dimostrare che

∇VN = ∇NV ⇔ V i∇iN j = N i∇iV j . (2.54)

Infatti, fissata una qualunque carta (U,ϕ, x1, x2, . . . , xn), che intersechi la data congruenza, V i = ∂xi

∂t e N i = ∂xi

∂s da cui

V i∇iN j =∂xi

∂t(∂i(

∂xj

∂s) + ΓjihN

h) =∂2xj

∂t∂s+ ΓjihV

iNh =∂2xj

∂s∂t+ ΓjhiV

iNh =∂xh

∂s(∂h(

∂xj

∂t) + ΓjhiV

i) = Nh∇hV j ,

in cui si e usata la commutativita delle derivate e la simmetria della connessione. Applicando la (2.48) e la (2.54), siricava

∇V∇VNh = V i∇i(V j∇jNh) = V i∇i(N j∇jV h) = V i(∇iN j)∇jV h + V iN j∇i∇jV h =

N i(∇iV j)∇jV h + V iN j∇j∇iV h + V iN jRhkijVk = N i((∇iV j)∇jV h + V j∇i∇jV h) +RhkijV

kV iN j =

N i∇i(V j∇jV h) +RhkijVkV iN j ,

da cui, tenendo conto che, essendo V tangente a delle geodetiche, deve verificare l’equazione V i∇iV j = 0, si ottiene la(2.53).

2.4.7 Coordinate normali geodetiche

Sia P0 ∈Mn, ed e1, e2, . . . , en una base di TP0 . Possiamo identificare i vettori di TP0 con <n facendo corrispondere ad ognivettore v = aiei ∈ TP0 il punto (a1, a2, . . . , an) ∈ <n. Tale corrispondenza e, ovviamente, biunivoca e con la topologiaindotta da essa9, diventa un omeomorfismo. Per cui possiamo identificare TP0

con <n, con coordinate globalmente definite(a1, a2, . . . , an).

Sia, ora, w = aiei ∈ TP0, per quanto visto nel paragrafo precedente, esiste una ed una sola geodetica γw(t), essendo

t il parametro affine tale che γw(0) = P0 e ∂∂t |t=0

= w. Ovviamente, poiche la soluzione e locale, t ∈ [0, δ[ per qualche

δ > 0. Il parametro affine t dipende dalla “lunghezza“10 di w, come mostra il seguente

Lemma 2.4.1 Se λ ∈ <+ e τ = tλ , allora γλw(τ) = γw(λτ).

Dimostrazione Per quanto visto nell’osservazione 6, essendo t un parametro affine, anche τ lo e. E immediato verificareche se u e tale che γu(0) = P0 e ∂

∂τ |τ=0= u, allora u = λw. Infatti

u =∂

∂τ |τ=0=dt

dτ(0)

∂

∂t |t=0= λw

9A ⊆ TP0 e aperto se e solo se il suo corrispondente e aperto in <n.10ovviamente non ha senso parlare di lunghezza di un vettore fino a quando non si introduce un prodotto scalare.

43

quindi γw(λτ) = γw(t) = γu(τ) = γλw(τ).

Denotiamo con exp(w) il punto P = γw(1). Se la soluzione dell’equazione delle geodetiche non si puo estendere finoad 1 (δ < 1), tale punto non esiste. Pero si puo dimostrare che

Proposizione 2.4.5 Esiste un intorno aperto U ′ di P0 in TP0omeomorfo a <n, tale che exp : U ′ → exp[U ′] e un

diffeomorfismo.

Tale risultato ci consente di definire una carta locale (U, φ, x1, x2, . . . , xn) in Mn, dove U = exp[U ′], φ = exp−1

e le coordinate (x1, x2, . . . , xn) del genrico punto P ∈ U sono le componenti del vettore w tale che P = exp(w). Inaltri termini preso un qualunque P ∈ U si considera la geodetica che parte da P0 ed arriva in P con il valore delparametro affine uguale a 1, le componenti del vettore tangente in P0 che genera tale geodetica, sono le coordinate diP . Ovviamente il punto P0 ∈ U e l’origine di tale sistema di coordinate, infatti la soluzione costante γw(t) = P0 e taleche P0 = exp(w) per un unico vettore w, essendo exp−1 un diffeomorfismo in U e d’altra parte la soluzione costante diottiene in corrispondenza di w = 0, quindi P0 = (0, 0, . . . , 0).Le coordinate cosı definite si chiamano coordinate normali geodetiche centrate in P0.

Proposizione 2.4.6 Se (x1, x2, . . . , xn) e un sistema di coordinate normali geodetiche centrate in P0, allora l’equazionedella generica geodetica uscente da P0 e xi(t) = ait, con ai ∈ <, cioe ha la stessa forma delle equazioni parametrichedelle rette uscenti dall’origine in <n.

Dimostrazione. Sia w = aiei ∈ TP0, γw(t) la geodetica che in t = 0 ha come vettore tangente w e λ ∈ <+. Allora per il

lemma 2.4.1 γλw(τ) = γw(λτ), dove τ = tλ , da cui, per τ = 1, γw(λ) = γλw(1) = exp(λw) che e il punto di coordinate

(a1λ, a2λ, . . . , anλ), quindi le equazioni parametriche di γw(t) sono xi(t) = ait.

Teorema 2.4.1 Se la connessione e simmetrica, in un sistema di coordinate normali geodetiche centrate in P0, Γhij(P0) =0.

Dimostrazione. Poiche, per la proposizione precedente, l’equazione della generica geodetica uscente da P0 e xi(t) = ait,

allora dxi

dt (t) = ai e d2xi

dt2 (t) = 0, quindi l’equazione (2.33) diventa Γhij(a1t, a2t, . . . , ant)aiaj = 0 ed in particolare,

per t = 0, Γhij(P0)aiaj = 0. Poiche quest’ultima equazione deve valere per ogni geodetica e quindi per ogni n-pla(a1, a2, . . . , an), per la simmetria della connessione, Γhij(P0) = 0.

Si puo cosı concludere che

1. Se una connessione e piatta per ogni punto P0 ∈ Mn esiste una carta (U,ϕ) con P0 ∈ U tale che Γijh(P ) ≡ 0 perogni P ∈ U .

2. Se una connessione non e piatta (tensore di curvatura non nullo) ma e simmetrica (tensore di torsione identicamentenullo), allora per ogni punto P0 ∈Mn esiste una carta (U,ϕ) con P0 ∈ U tale che Γijh(P0) = 0.

2.4.8 Significato geometrico del tensore di curvatura

Consideriamo una congruenza di curve (non necessariamente geodetiche) γ(t, s) come nel paragrafo precedente e comeprima chiamiamo V = ∂

∂t e N = ∂∂s . Consideriamo il quadrilatero formato dai punti A = (t, s), B = (t + ∆t, s),

C = (t, s+ ∆s), D = (t+ ∆t, s+ ∆s), fig.2.8. Fissato un vettore u(A) ∈ TA, trasportiamolo parallelamente lungo l’arcodi curva AB in u(B) ∈ TB e quest’ultimo lungo BD in u(D). Facciamo la stessa cosa utilizzando il percorso ACD, cioeu(A) viene trasportato parallelamente lungo AC in u(C) e quest’ultimo viene trasportato parallelamente lungo CD inu′(D). Cosı facendo lo stesso vettore u(A) e stato trasportato parallelamente, seguendo due percorsi diversi nei vettoriu(D),u′(D) ∈ TD, vogliamo vedere in che relazione stanno questi vettori.

Poiche u(B) e trasportato parallelamente lungo AB, deve verificare l’equazione (2.32), quindi a meno di infinitesimidi ordine superiore

ui(B) ' ui(A) +dui

dt(A)∆t = ui(A)− Γijh(A)V j(A)uh(A)∆t.

Scegliendo un sistema di coordinate normali geodetiche centrato in A, si ha Γijh(A) = 0, quindi l’equazione precedentesi riduce, a meno di infinitesimi di ordine superiore al primo

ui(B) ' ui(A).

Seguento lo stesso ragionamento di prima si trova:

ui(D) ' ui(B) +dui

ds(B)∆s = ui(B)− Γijh(B)N j(B)uh(B)∆s = ui(A)− Γijh(B)N j(B)uh(A)∆s.

44

t

t+dt

s

s+ds

A

B

C

D

V

N

u(A)

u(B)

u(C)

u(D) u’(D)

Figura 2.8: Vettore trasportato parallelamente lungo due percorsi diversi

Seguendo l’altro percorso si ottiene, come prima

ui(C) ' ui(A)

e

u′i(D) ' ui(C) +dui

dt(C)∆t = ui(C)− Γijh(C)V j(C)uh(C)∆t = ui(A)− Γijh(C)V j(C)uh(A)∆t.

Da cuiu′i(D)− ui(D) = −Γijh(C)V j(C)uh(A)∆t+ Γijh(B)N j(B)uh(A)∆s, (2.55)

d’altra parte, a meno di infinitesimi di ordine superiore

Γijh(C)V j(C) = (Γijh(A) + ∂kΓijh(A)∂xk

∂s(A)∆s)V j(A) = ∂kΓijh(A)Nk(A)V j(A)∆s

e

Γijh(B)N j(B) = (Γijh(A) + ∂kΓijh(A)∂xk

∂t(A)∆t)N j(A) = ∂kΓijh(A)V k(A)N j(A)∆t,

che sostituite nella (2.55), danno

u′i(D)− ui(D) = −∂kΓijh(A)Nk(A)V j(A)uh(A)∆t∆s+ ∂kΓijh(A)V k(A)N j(A)uh(A)∆s∆t =

(∂kΓijh(A)− ∂jΓikh(A))V k(A)N j(A)uh(A)∆s∆t = Rihkj(A)V k(A)N j(A)uh(A)∆s∆t.

Cosı, il termine di ordine piu basso e quindi preponderante per ∆t e ∆s piccoli, della differnza tra i due vettori,dipende dal tensore di curvatura. Si puo concludere dicendo che il tensore di curvatura misura la differenza del trasportoparallello di un vettore lungo due curve diverse o equivalentemente la differenza tra un vettore ed il suo trasportatoparallelamente lungo una curva chiusa.

2.5 Formulazione geometrica della gravitazione newtoniana

L’apparato matematico fino ad ora sviluppato, ci consente di dare una formulazione geometrica della teoria gravitazionaleclassica. In Meccanica classica, bisogna considerare un tempo assoluto, quindi ogni formulazione quadridimensionale diessa, deve avvenire nello schema di una varieta M4 che e una foliazione di ipersuperfici tridimensionali Σt di equazionet = cost, che possiamo supporre diffeomorfe ad <3. Su tale varieta possiamo considerare un sistema di coordinate globali(t, x1, x2, x3), dove (x1, x2, x3) sono coordinate cartesiane di <3, corrispondenti ad un sistema di riferimento inerziale,trasportate dal diffeomorfismo sulle ipersuperfici Σt .

Per il principio d’inerzia, ogni punto materiale isolato si muove di moto rettilineo ed uniforme, quindi le sue equazionidi moto sono

d2xµ

dt2= 0, (2.56)

che e l’equazione delle geodetiche per una connessione piatta.Supponiamo, ora, che il punto non sia isolato, ma che si muova in un campo gravitazionale di (densita) di energia

potenziale φ11, allora le sue equazioni di moto sono

mid2xµ

dt2= −mg

∂φ

∂xµ, (2.57)

11L’energia potenziale e mgφ

45

essendo mila massa inerziale e mg la massa gravitazionale della particella. A questo punto ci si puo porre il problemadi determinare una connessione su M4, in maniera tale che l’equazione delle geodetiche, coincida con la (2.57). Se ciofosse possibile, si potrebbe ridurre il campo gravitazionale ad un fatto puramente geometrico, cioe il campo gravitazionalepotrebbe essere considerato, non una forza a distanza, ma una deformazione della geometria (connessione non piatta), acausa della quale il moto piu naturale, il moto geodetico, non e una linea retta, ma una triettoria curva. In altre parole,l’incurvarsi della traiettoria di un punto in un campo gravitazionale, non e dovuto ad una forza ma alla geometria dellospazio-tempo.

Il problema posto sopra ha una soluzione immediata, infatti, confrontando l’equazione (2.57) con l’equazione dellegeodetiche (2.33), si vede che esse coincidono pur di prendere come parametro affine il tempo t, e i coefficienti dellaconnessione tutti nulli tranne

Γµ00 =mg

mi

∂φ

∂xµ=

∂φ

∂xµµ = 1, 2, 3 (2.58)

avendo imposto la nota evidenza sperimentale che mg = mi. Se non ci fosse equivalenza delle due masse, la connessionedeterminata da una massa M (che compare nella φ) non sarebbe determinata univocamente a prescindere dalle particelledi massa trascurabile (rispetto a M) che in esso si muovono.12

Il tensore di curvatura di tale connessione ha una sola componente non nulla:

Rµ0ν0 =∂2φ

∂xµ∂xν. (2.59)

Dalle (2.58) e (2.59), si vede che i coefficienti della connessione hanno come controparte nell’interpretazione classica laforza e il tensore di curvatura, come ci aspettavamo dall’equazione della deviazione geodetica, e legato alla disuniformitadel campo gravitazionale, producendo quindi un’accelerazione relativa tra particelle che si muovono lungo geodetichevicine (forze mareali).

Campo gravitazionale uniforme

A livello puramente speculativo, supponiamo che il campo gravitazionale sia uniflorme cioe che, detta g una costantepositiva, φ = gx3, avendo scelto l’asse ∂

∂x3 con la stessa direzione del campo gravitazionale e orientazione opposta. Dalla(2.59) segue immediatamente che il tensore di curvatura e nullo, mentre, per la (2.58), il solo coefficiente della connessionenon nullo e Γ3

00 = g. Vogliamo dimostrare che la connessione e piatta e per far cio basta trovare un sistema di coordinatein cui si annullano tutti i coefficienti della connessione. Osserviamo che in un sistema di riferimento in caduta libera,sempre a causa dell’equivalenza tra massa inerziale e massa gravitazionale, la forza −mgg

∂∂x3 e annullata dalla forza di

trascinamento mig∂∂x3 , per cui scrivendo le coordinate spaziotemporali di tale sistema di riferimento

t′ = t (2.60)

x′1 = x1 (2.61)

x′2 = x2 (2.62)

x′3 = x3 +g

2t2 (2.63)

e tenendo conto che tale trasformazione di coordinate e la sua inversa hanno matrici jacobiane

∂(t′, x′1, x′2, x′3)

∂(t, x1, x2, x3)=

∥∥∥∥∥∥∥∥1 0 0 00 1 0 00 0 1 0gt 0 0 1

∥∥∥∥∥∥∥∥ e∂(t, x1, x2, x3)

∂(t′, x′1, x′2, x′3)=

∥∥∥∥∥∥∥∥1 0 0 00 1 0 00 0 1 0−gt 0 0 1

∥∥∥∥∥∥∥∥si vede facilmente, usando la (2.29) che tutti i coefficienti della connessione Γ′ijk(t′, x′1, x′2, x′3) nel nuovo sistema dicoordinate sono identicamente nulli. In particolare

Γ′300 =∂2xk

∂t′2∂x′3

∂xk+ Γ3

00

∂x′3

∂x3

∂t

∂t′∂t

∂t′=∂2x3

∂t′2+ Γ3

00 = −g + g = 0.

Di conseguenza un campo gravitazionale uniforme corrisponde ad una connessione piatta, quindi non e necessario uncambio di geometria per descrivere tale campo, basta solo ridefinire i sistemi di riferimento inerziali. Cioe considerareinerziali i sistemi di riferimento in caduta libera, per cui la gravita avvertita in un riferimento in quiete in un campogravitazionale e solo forza apparente dovuta alla sua non inerzialita.

12In realta, affinche la connessione sia determinata univocamente da M non e necessario che le due masse siano uguali ma basta che il lororapporto abbia un valore indipendente dalla particella test.

46

Campo gravitazionale non uniforme

Discorso diverso invece vale quando quando si considera il campo gravitazionale reale. Non uniforme perch’e le direzioninon sono parallele ma puntate verso un centro di attrazione e i moduli dipendono dalla (inverso del quadrato della)distanza. Dalla (2.59) si deduce immediatamente che la connessione non e piatta e che quindi non esiste un sistema dicoordinate in cui la connessione e identicamente nulla. Questo vuol dire che non esiste nessun sistema di coordinate incui l’equazione delle geodetiche si possa ridurre alla (2.56). In termini fisici cio vuol dire che non esiste un sistema diriferimento in cui la somma dell’attrazione gravitazionale e delle forze apparenti sia nulla.In un sistema di riferimento in caduta libera il campo delle forze apparenti (forza di trascinamento) e un campo costante senon altro in direzione (accelerazione verticale), cio vuol dire che la forza di trascinamento puo essere esattamente oppostaall’attrazione gravitazionale solo in un punto. Quindi la gravita in tale riferimento si azzera solo in un punto, rimanendo,per continuita, trascurabile nelle vicinanze di quel punto. Questo ha, come controparte geometrica, l’esistenza di unsistema di coordinate (normali geodetiche) in cui i coefficienti di una connessione simmetrica si azzerano in un punto.Si puo quindi trovare un sistema di riferimento in cui la gravita si puo rendere piccola ed anche trascurabile in una regionenon troppo estesa ma non si puo annullare identicamente ed inoltre restano le forze mareali che essendo descritte da untensore (tensore di curvatura) non si possono rendere piccole con una opportuna scelta del riferimento.

Sistemi di riferimento approssimativamente inerziali

Nel nostro schema in cui la forza gravitazionale non e un’azione a distanza ma l’effetto di una connessione non piatta,non possiamo considerare come sistema di riferimento inerziale un sistema in quiete rispetto al campo gravitazionale,perche in assenza di forze (e la gravita non e piu una forza) un punto libero non obbedisce alla (2.56) quindi non simuove di moto rettilineo ed uniforme. Nel caso del campo uniforme si possono, come abbiamo visto, ridefinire i sistemi diriferimento inerziali come quelli in caduta libera. Ma nel caso di campo non uniforme non esistono sistemi di riferimentoin cui vale la (2.56) ma solo sistemi di riferimento, ancora quelli in cadua libera, in cui essa vale approssimativamente.Inoltre, a causa delle forze mareali, si perderebbe la rigidita di cui ogni riferimento classico deve essere dotato13. Percui, in una formulazione geometrica della gravita il concetto sia di sistema di riferimento che di sistema di riferimentoinerziale perde di significato. Al piu, in presenza di un campo gravitazionale, si possono definire sistemi di riferimentoapprossimativamente inerziali, i sistemi di riferimento in caduta libera. Approssimativamente perche l’equazione(2.56) non vale esattamente e perche, a causa delle forze mareali (deviazione geodetica), non hanno la caratteristica dirigidita di cui sono dotati i sistemi di riferimento della Meccanica Classica e della Relativita Ristretta.

Legame tra materia e geometria

Tenendo conto che l’unica componente non nulla del tensore di Ricci e

R00 = Rµ0µ0 =

3∑µ=1

∂2φ

∂xµ∂xµ= ∆φ,

denotata con ρ la densita di materia che determina il campo gravitazionale, l’equazione di Poisson

∆φ = 4πGρ,

si puo anche scrivereR00 = 4πGρ. (2.64)

Tale equazione sta alla base dell’idea che la materia determina la geometria. Idea da cui nascono le equazioni di campodi Einstein.

13L’idea dell’ascensore di caduta libera, cioe di un corpo rigido in movimento ha un senso nel campo gravitazionale terrestre dove le forzemareali sono trascurabili. Ma un corpo rigido in movimento vicino ad una stella di neutroni prima si deformerebbe e poi si frantumerebbe.

47

2.6 Varieta riemanniane

2.6.1 Definizione e significato geometrico

Definizione 2.6.1 Una struttura riemanniana su una varieta differenziabile Mn di classe CK con k > 2, e un campodi tensori metrici di classe Ch con h > 1 definito su tutto Mn. Se, in particolare, i tensori metrici sono proriamenteeuclidei, tale struttura si chiamera propriamente riemanniana, altrimenti pseudo-riemanniana.

Definizione 2.6.2 Una varieta differenziabile Mn di classe CK con k ≥ 2, con una struttura riemanniana, si chiamavarieta riemanniana. Se la struttura e proriamente riemanniana, la varieta si dira propriamente riemanniane,altrimenti si dira pseudo-riemanniane.

Teorema 2.6.1 Su una varieta differenziabile Mn e sempre possibile costruire una struttura propriamente riemanniana.

In generale su una stessa varieta differenziabile e possibile introdurre piu strutture riemanniane. Cosı esistono varietariemanniane distinte che hanno la stessa topologia e la stessa struttura differenziabile, cioe sono diffeomorfe. Nel seguitosi indichera una struttura riemanniana con il nome generico di tensore metrico.

Il tensore metrico, oltre alle solite operazioni (modulo, angoli, ortogonalita, ...) che con un prodotto scalare si possonooperare su ciascuno spazio tangente, consente di calcolare, la lunghezza degli archi di curve regolari.

Definizione 2.6.3 Se γ(t) e una curva di classe Ch con h ≥ 1 e t ∈ [a, b], denotato con ∂∂t il suo vettore tangente, in

analogia con le curve in <n, chiameremo lunghezza di γ il numero

l =

∫ b

a

∣∣∣∣ ∂∂t (t)∣∣∣∣ dt =

∫ b

a

√∣∣∣∣g(∂

∂t(t),

∂

∂t(t))

∣∣∣∣dte ascissa curvilinea il parametro s tale che

∣∣ ∂∂s

∣∣ = 1, cioe tale che

l =

∫ sa

sb

ds. (2.65)

La (2.74) da a ds il significato intuitivo di arco di lunghezza infinitesima o distanza tra due punti della curva infinitamentevicini. Mentre la lunghezza di un arco finito di curva delimitato da due punti e dato dalla differenza della loro ascissacurvilinea. Per questo motivo l’ascissa curvilinea si puo interpretare come un sistema di coordinate sulla curva una voltache se ne fissa l’origine ed il verso di percorrenza.Il legame s(t) che intercede tra l’ascissa curvilinea e un altro parametro si ottiene confrontando i vettori tangenti rispettoai due parametri.

∂

∂t(t) =

ds

dt(t)

∂

∂s(s(t))⇒

∣∣∣∣ ∂∂t (t)∣∣∣∣ =

∣∣∣∣dsdt (t)

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ ∂∂s (s(t))

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣dsdt (t)

∣∣∣∣⇒ ds

dt= ±

√∣∣∣∣g(∂

∂t(t),

∂

∂t(t))

∣∣∣∣quindi in una carta locale (U,ϕ, x1, . . . , xn) dove la curva o il tratto di curva che interseca il dominio U della carta haequazioni parametriche xi = xi(t), si ha

ds

dt= ±

√∣∣∣∣gij(x1(t), . . . , xn(t))dxi

dt(t)dxj

dt(t)

∣∣∣∣da cui, svincolandoci dalla particolare curva, si puo dare a ds il significato intuitivo di distanza infinitesima tra due puntidella varieta ponendo

ds = ±√|gij(x1, . . . , xn)dxidxj |

o equivalentemente si puo considerare intuitivamente

ds2 = gij(x1, . . . , xn)dxidxj (2.66)

come il quadrato della distanza tra due punti infinitamente vicini sulla varieta e nel seguito verra utilizzata la (2.66) perindicare il tensore metrico g = gij(x

1, . . . , xn)dxi⊗ dxj . Cio e in accordo con il modo in cui storicamente e stato indicatoil tensore metrico e non produce errori nei calcoli, essendo il prodotto tensoriale, al pari del prodotto ordinario tra numeri,lineare rispetto a tutte le variabili.

Inoltre, un tensore metrico consente di eseguire, in ogni spazio tangente, le operazioni di abbassamento ed innalzamentodegli indici dei tensori.

48

Esempio 6 Considerato <3 con il tensore metrico ds2 = dx2 + dy2 + dz2 in un dato sistema di riferimento cartesiano(O,~x, ~y, ~z), su una qualunque superficie regolare di equazioni parametriche x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), si puodefinire in maniera naturale una metrica indotta da quella euclidea semplicemente sostituendo i differenziali delle equazioniparametriche nella metrica euclidea.

Cosı, per esempio, se consideriamo una sfera di centro l’origine e raggio R, le sue equazioni parametriche x =R sin θ cosφ, y = R sin θ sinφ, z = R cos θ definiscono una carta locale nell’aperto U = S2−N,S, γ, dove N = (0, 0, R),S = (0, 0,−R) e γ e la curva di equazione φ = 0 e dove l’aperto di <2 a cui U e omeomorfo e il rettangolo aperto(θ, φ) | 0 < θ < π, 0 < φ < 2π. Non e difficile capire che, dopo un’opportuna rotazione degli assi cartesiani in <3,ridefinendo le equazioni parametriche di S2 in tale riferimento, si ottiene un’altra carta, il cui dominio V ricopre assiemead U , S2. Calcolando dx, dy, e dz, si trova il tensore metrico sulla sfera: dσ2 = R2(dθ2 + sin2 θ dφ2). Tale tensoremetrico e singolare solo per sin θ = 0 cioe nei punti N e S in cui le coordinate non sono definite. Se invece si consideral’ellissoide rotondo E2 di centro l’origine e semiassi a, b = a, c, le sue equazioni parametriche sono: x = a sin θ cosφ, y =a sin θ sinφ, z = c cos θ, si puo ripetere, come nel caso della sfera, il discorso sulle coordinate, mentre la metrica indottada <3 e dσ2 = (a2 cos2 θ + c2 sin2 θ) dθ2 + a2 sin2 θ dφ2, che , come nel caso della sfera, e singolare dove le coordinate(θ, φ) non sono definite. Cosı S2 e E2, pur essendo, come varieta differenziabili, indistinguibili perche diffeomorfe, comevarieta riemanniane sono distinte perche hanno un diverso tensore metrico.

Un cilindro C di equazioni parametriche x = a cos θ, y = b sin θ, z = z, ha un carta locale definita nell’aperto U =C−s, dove s e la retta θ = 0 ed dove l’aperto di <2 a cui U e omeomorfo e la striscia (θ, z) | 0 < θ < 2π,∞ < z < +∞.Un atlante si puo costruire prendendo un’altra carta, identica alla precedente, ma ruotata di un angolo θ0, rispetto allaprima. La metrica indotta da <3 e dσ2 = (a2 sin2 θ + b2 cos2 θ)dθ2 + dz2.

Esempio 7 L’insieme delle possibili configurazioni per un sistema mecccanico a vincoli olonomi, bilateri ed indipen-denti dal tempo, e rappresentato dallo spazio delle configurazioni, che e una varieta differenziabile le cui car-te locali sono costituite da tutti i possibili sistemi di coordinate lagrangiane definibili su di esso. L’energia cineti-ca del sistema T = 1

2ahk(q1, q2, . . . , qn)qhqk, definisce in maniera naturale una struttura propriamente riemannianads2 = 1

2ahk(q1, q2 . . . , qn)dqhdqk, perche la matrice ‖ahk(q1, q2, . . . , qn)‖ e definita positiva in ogni configurazione. Si-stemi meccanici distinti possono avere come spazio delle configurazioni la stessa varieta differenziabile, ma, in generale,avendo energie cinetiche distinte, hanno anche strutture riemanniane distinte.

Cosı, per esempio un punto P vincolato a muoversi sul toro di equazioni parametriche x = (a + R cos θ) cosφ, y =(a + R cos θ) sinφ, z = R sin θ, con a > R, ha, ovviamente, come spazio delle configurazioni un toro, la sua energiacinetica e T = 1

2m(R2θ2 + (a + R cos θ2)φ2), che, per quanto detto sopra, definisce sul toro la struttura riemannianadσ2 = 1

2m(R2dθ2 + (a+R cos θ2)dφ2), che, a meno della costante 12m, e proprio la metrica indotta da <3.

Consideriamo un pendolo doppio (fig. 2.9), cioe un sistema, vincolato a muoversi su un piano, formato da due asteAB e BC, incernierate nell’estremo B, con il punto A fisso e le cui configurazioni sono determinate dagli angoli θ e φche le due aste formano con una direzione fissata. Tutte e sole le configurazioni di tale sistema si ottengono per (θ, ϕ)appartenenti al quadrato Q = 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Pero, se si tiene conto che per θ = 0 e θ = 2π si ottengono lestesse configurazioini ed analogamente per ϕ = 0 e per ϕ = 2π, lo spazio delle configurazioni e il quadrato Q con i latiopposti identificati, cioe ha la topologia S1 × S1 del toro. Comunque la sua energia cinetica, nell’ipotesi che le due asteabbiano la stessa massa m e la stessa lunghezza l, e T = 1

6ml2(4θ2 + ϕ2 + 3 cos(θ − φ)θϕ), che determina sul toro una

metrica diversa da quella precedente. Per concludere, si sono considerati due sistemi meccanici completamente diversi, ilcui spazio delle configurazioni e topologicamente un toro, ma con una struttura riemanniana diversa. Si pensi per esempioche nel primo caso, le linee coordinate sono sempre ortogonali, perche il tensore metrico ha forma diagonale, mentre nelsecondo caso, le linee coordinate sono ortogonali solo nei punti in cui si annulla la funzione cos(θ − ϕ).

2.6.2 Connesssioni riemanniane

A partire da una struttura riemanniana, e possibile definire una particolare connessione.

Proposizione 2.6.1 In una varieta riemanniana esiste una ed una sola connessione ∇ che gode delle seguenti proprieta:

1. ∇ e simmetrica;

2. ∇igjh = 0: il tensore metrico ha derivata covariante identicamente nulla.

Dimostrzione. Poiche∇igjh = ∂igjh − Γkijgkh − Γkihgjk = 0

, riscrivendo due volte la stessa equazione con gl’indici permutati,

∂jghi − Γkjhgki − Γkjighk = 0,

49

A

B

C

θ

ϕ

Figura 2.9: Pendolo doppio

∂hgij − Γkhigkj − Γkhjgik = 0.

Sommando le prime due e sottraendo la terza ed utilizzando l’ipotesi che la connessione e simmetrica, si ottiene

∂igjh + ∂jghi − ∂hgij − 2Γkijghk = 0,

da cui si ottiene

Γkijghk =1

2(∂igjh + ∂jghi − ∂hgij)

e quindi

Γkij =1

2ghk(∂igjh + ∂jghi − ∂hgij). (2.67)

La connessione definita dal teorema precedente si chiama connessione riemanniana ed i coefficienti di tale connes-sione si chiamano anche, coefficienti di Christoffell. Tale connessione ci consente di estendere alle varieta riemannianetutto quello che e stato fatto, nei paragrafi precedenti, sulle connessioni generiche e sulle loro conseguenze, come la nozionedi trasporto parallelo, geodetica, tensore di curvatura etc..

In piu, per una connessione riemanniana valgono delle proprieta che per una connessione generica non sono valide, peresempio, il tensore di curvatura che, definito a partire da una connessione riemanniana, si chiama tensore di Riemann,e dotato delle seguenti ulteriori simmetrie:14

R(ij)hk = 0 ⇔ Rijhk = −Rjihk, (2.68)

Rijhk = Rhkij , (2.69)

in particolare quest’ultima implica che il tensore di Ricci e simmetrico:

Rij = Rkikj = ghkRhikj = gkhRkjhi = Rkjki = Rji. (2.70)

Definizione 2.6.4 Si chiama scalare di curvatura la funzione ottenuta contraendo gli indici del tensore di Ricci:

R = gijRij = Rii. (2.71)

Proposizione 2.6.2 Le componenti indipendenti del tensore di Riemann sono 112n

2(n2 − 1).

Dimostrazione Cominciamo con l’osservare che una matrice simmetrica RIJ N × N ha in totale(N2

)+ N = N(N+1)

2

elementi indipendenti. Inoltre per h e k fissati, a causa della (2.68), Rijhk indipendenti sono in totale N =(n2

)ed

analogamente per i e j fissati , per la (2.49), le Rijhk indipendenti sono sempre N =(n2

). Cosı per la (2.69) possiamo

contare gli elementi indipendenti della matrice N × N simmetrica RIJcon I = (i, j) e J = (h, k), cioe 12

(n2

)((n2

)+ 1) =

14n(n− 1)(n(n−1)

2 + 1). Infine bisogna tenere conto della (2.50). Ma con le nuove simmetrie, quest’ultima si puo scrivereR[ijhk] = 0, infatti utilizzando le (2.49), (2.68), (2.69), si puo scrivere

8Rijhk = Rijhk −Rjihk +Rjikh −Rijkh +Rhkij −Rkhij +Rkhji −Rhkji

8Rihkj = Rihkj −Rhikj +Rhijk −Rihjk +Rkjih −Rjkih +Rjkhi −Rkjhi14si ricorda che Rijhk = gisR

sjhk

50

8Rikjh = Rikjh −Rkijh +Rkihj −Rikhj +Rjhik −Rhjik +Rhjki −Rjhkila somma dei primi membri e 0 per la (2.50) mentre la somma dei secondi membri da la somma su tutte le 4! = 24permutazioni di (i, j, h, k) prese col segno + o − secondo che le permutazioni sono pari o dispari, quindi R[ijhk] = 0. Siottengono cosı tante equazioni quante sono le combinazioni di n elementi presi a gruppi di 4. Di conseguenza il numero

totale di componenti indipendenti si riduce a 14n(n− 1)(n(n−1)

2 + 1)−(n4

)= 1

12n2(n2 − 1).

Da quanto dimostrato sopra si deduce che

1. Nel caso n = 2, ce solo una compnente indipendente del tesore di Riemann R1212, tutte le altre o sono nulle o siricavano da essa scambiando gli indici. Quindi tanto il tensore di Riemann che il tensore di Ricci sono individuatidallo scalare di curvatura.

2. Nel caso n = 3 ci sono 6 componenti indipendenti del tensore di Riemann ed il tensore di Ricci ha 6 componentiindipendenti essendo una matrice simmetrica 3× 3. Di conseguenza di Riemann e equivalente al tensore di Ricci.

3. Nel caso n = 4 il tensore di Riemann ha 20 componenti indipendenti mentre il tensore di Ricci, come matricesimmetrica 4 × 4 ne ha 10. Da cio si deduce che non basta il tensore di Ricci per determinare completamente iltensore di Riemann.

Definizione 2.6.5 Il tensore15definito localmente da

Cijhk = Rijhk +2

n− 2(gi[kRh]j + gj[hRk]i) +

2

(n− 1)(n− 2)Rgi[hgk]j (2.72)

si chiama tensore di Weyl.

Ricavando il tensore di Riemann dalla (2.72)

Rijhk = Cijhk −2

n− 2(gi[kRh]j − gj[hRk]i)−

2

(n− 1)(n− 2)Rgi[hgk]j

si vede che per n ≥ 4 la parte del tensore di Riemann non determinata dal tensore di Ricci e il tensore di Weyl. Comevedremo in seguito, in Relativita Generale il tensore di Weyl e la parte del tensore di Riemann che non dipende dallamateria.Il tensore di Weyl ha le stesse simmetrie del tensore di Riemann ed in piu verifica l’equazione

Cijik = 0.

2.6.3 Caratterizzazione delle connessioni riemanniane piatte

Nel paragrafo sulle connessioni si e visto che una connessione piatta determina un tensore di curvatura identicamentenullo. Cio s ricava immediatamente dalla formula (2.47) che esprime le componenti del tensore di curvatura in termine deicoefficienti della connessione: l’annullarsi identico delle Γ implica l’annullarsi identico del tensore di curvatura. D’altraparte il viceversa non e cosı ovvio: un tensore di curvatura identicamente nullo potrebbe essere compatibile con unaconnessione non piatta. Ed infatti il viceversa in generale non e vero, tranne nel caso in cui la connessione e riemanniana,come afferma la seguente proposizione, la cui dimostrazione, piuttosto tecnica, verra omessa.16

Proposizione 2.6.3 Una connessione riemanniana e piatta se e solo se il tensore di Riemann e identicamente nullo.

Definizione 2.6.6 Se, per ogni P ∈ Mn, esiste una carta (U,ϕ, x1, x2, . . . , xn) con P ∈ U , tal che in questa carta iltensore metrico ha componenti costanti, si dice che il tensore metrico e costante.

Per la (2.67), se il tensore metrico e costante, la connessione e piatta. Questo e quello che succede negli spazi affinidove esiste una carta globale in cui la matrice che rappresenta il tensore metrico ha la forma diagonale e gli elemeti delladiagonale principale sono 1 o −1.

Esempio 8 La metrica euclidea ds2 = dx2 + dy2 + dz2 di <3 in coordinate cartesiane (x, y, z), diventa, in coordinatepolari, ds2 = dρ2 + ρ2(dθ2 + sin2 θdφ2). Un semplice calcolo (esercizio) mostra che, in coordinate polari, i coefficientidi connessione non sono tutti identicamente nulli, ma il tensore di curvatura e identicamente nullo, come ci si dovevaaspettare.

15ovviamente si tratta di un tensore perche costruito con somme, prodotti tensoriali e parti antisimmetriche di tensori.16per chi fosse interessato, tale dimostrazione si puo trovare su Y. Choquet-Bruhat, C. De Witt-Morette, M. Dillard-Bleick - Analysis

Manifold and Physics - North-Holland.

51

Esempio 9 Consideriamo la sfera S2 di raggio R, si e visto negli esempi precdenti che tale superficie e caratterizzata,oltre che da una determinata topologia e struttura differenziabile, anche da una strutura riemanniana espressa da dσ2 =R2(dθ2 + sin2 θdφ2). Calcolando i coefficienti della connessione con l’aiuto delle (2.67) ed associando alla variabile θl’indice 0 ed alla variabile φ l’indice 1, si vede che i soli coefficienti non nulli sono Γ0

11 = − sin θ cos θ e Γ101 = cos θ

sin θ .Poiche per una connessione riemanniana il tensore di curvatura e antisimmetrico rispetto alla prima coppia di indicioltre che rispetto alla seconda e trovandoci in due dimensioni, la sola componente indipendente del tensore di curvaturache puo non essere nulla e R0101 = g00R

0101 = R2(∂0Γ0

11 − Γ011Γ1

01) = R2 sin2 θ 6= 0, perche le coordinate non sonodefinite per sin θ = 0. Quindi la sfera e un esempio di connessione non piatta.

Esempio 10 Consideriamo il cilindro di equazione x2

a2 + y2

b2 = 1, la cui struttura riemanniana,come si e visto in uno

degli esrempi precedenti, e data da dσ2 = (a2 sin2 θ + b2 cos2 θ)dθ2 + dz2. Se a = b, il tensore metrico e costante,quindi per quanto e stato osservato prima la connessione e piatta. Per decidere se la connessione e piatta anche pera 6= b, bisogna calcolare il tensore di curvatura. L’unico coefficiente della connessione non nullo e Γ0

00, d’altra parteR0101 = g00R

0101 = g00(∂0Γ0

11 − ∂1Γ010 + Γ0

0hΓh11 − Γ01hΓh10) = 0, perche l’unico addendo in cui compare Γ0

00 eΓ0

00Γ011 = 0. Quindi la connessione e piatta anche nel caso generale. Questo e un esempio di varieta differenziabile

non equivalente ad uno spazio affine (S1 × < non e omeomrfo a <2), con connessione piatta in accordo con il fatto chela curvatura gaussiana e zero.

Osservazione 8 Si puo osservare che un cilindro e topologicamente S1 × < e quindi non e omeomorfo a <2.17 D’altraparte la sfera meno un punto S2 −N, come si e visto nei paragrafi precedenti, e omeomorfa ad <2, ma togliere un solopunto non cambia certamente la connessione. Quindi ci possono essere topologie euclidee con connessioni non piatte etopologie non euclidee con connessioni piatte. Questo dipende dal fatto che la topologia riguarda le proprieta globali dellavarieta: basta togliere un punto per cambiare topologia, mentre la struttura riemanniana e legata alle proprieta locali, sipensi che il tensore di curvatura, in una connessione riemanniana, e costruito con le derivate prime e seconde del tensoremetrico, quindi il valore del tensore di curvatura in un dato punto P , dipende dal valore del tensore metrico in un intornopiccolo a piacere di P ed e quindi insensibile alle proprieta globali della varieta. Per le varieta bidimensinali, e solo lacurvatura gaussiana totale che e legata alla topologia (teorema di Gauss Bonnet).

2.6.4 Isometrie, strutture riemanniane conformi

Definizione 2.6.7 Una funzione differenziabile φ : Mn → Vm tra due varieta differnziabili induce per ogni P ∈ Mn

un’applicazione lineare φ∗ : TP (Mn) → Tφ(P )(Vm) tra gli spazi tangenti in P e φ(P ) definita nel seguente modo: seV ∈ TP , per ogni f ∈ F1(φ(P )),

φ∗V (f) = V (f φ).

Se (U,ϕ, x1, . . . , xn) e una carta locale in Mn con P ∈ U e (V, ψ, y1, . . . , ym) e una carta locale in Vm con φ(P ) ∈ V ,allora

φ∗V (f) = V (f φ) = V i∂

∂xif(φ1(x1, . . . , xn), . . . , φm(x1, . . . , xn)) = V i

∂φh

∂xi∂f

∂yh⇒ (φ∗V )h =

∂φh

∂xiV i

Da cui si ricava immediatamente la seguente

Proposizione 2.6.4 Se φ : Mn → Vn e un diffeomorfismo, allora φ∗ : TP (Mn) → Tφ(P )(Vn) e un isomorfismo per ogniP ∈Mn.

Definizione 2.6.8 Siano Mn una varieta differenziabile, (Vn, g) una varieta riemanniana e φ : Mn → Vn un diffeomorfi-smo. Si chiama pull-back di g e si indica con φ∗g il campo di tensori doppi covarianti18 su Mn definito per ogni P ∈Mn

daφ∗g(V,W ) = g(φ∗V, φ∗W ) ∀V,W ∈ TP (Mn).

Introdotte, come prima due sistemi di coordinate locali attorno a P e φ(P ), si ha

(φ∗g)ij = φ∗g(∂

∂xi,∂

∂xj) = g(φ∗

∂

∂xi, φ∗

∂

∂xj) = g(

∂φh

∂xi∂

∂yh,∂φk

∂xj∂

∂yk) =

∂φh

∂xi∂φk

∂xjg(

∂

∂yh,∂

∂yk) =

∂φh

∂xi∂φk

∂xjghk

quindi la matrice (φ∗g)ij verifica tutte le condizioni che definiscono un tensore metrico, di conseguenza

17se si taglia una generatrice del cilindro si ottiene un rettangolo aperto che, come prodotto di intervalli aperti e omeomorfo a <2, quindiS1 ×< non puo essere omeomorfo a <2, perche i due spazi non sono ottenibili l’uno dall’alro per deformazioni continue. Tecnicamente si diceche <2 e semplicemente connesso mentre S1 ×< non lo e.

18e infatti immediato verificare che φ∗g, cosı definita, e bilineare.

52

Proposizione 2.6.5 Nelle ipotesi della definizione precedente, φ∗g e una struttura riemanniana su Mn.

Definizione 2.6.9 Due varieta riemanniane (Mn, g) e (Vn, g) si dicono isometriche se esiste un diffeomorfismo φ :Mn → Vn tale che φ∗g = g in tal caso l’applicazione φ si chiama isometria.

Un esempio di isometria e l’applicazione (4.34) tra il modello di Poincare e quello di Minkowski.

Definizione 2.6.10 Data una varieta differenziabile Mn, un diffeomorfismo φ : Mn →Mn si chiama trasformazione.Una trasformazione su una varieta riemanniana (Mn, g) si chiama trasformazione isometrica o piu semplicementeisometria se conserva la struttura riemanniana, cioe φ∗g(P ) = g(φ(P )) per ogni P ∈Mn.Una trasformazione su una varieta riemanniana (Mn, g) si chiama trasformazione conforme se esiste una funzionedifferenziabile Ω : Mn → <+, tale che φ∗g(P ) = Ω(φ(P ))g(φ(P )) per ogni P ∈Mn.

In <n esempi di isometrie sono le traslazioni, le rotazioni, le inversioni degli assi. Esempi di trasformazioni conformi sonole dilatazioni.Nello spazio-tempo di Minkowski le trasformazioni di Lorentz sono isometrie in quanto lasciano invariante il tensoremetrico ds2 = −dt2 + dx2 + dy2 + dz2

Definizione 2.6.11 Due strutture riemanniane g e g sulla stessa varieta differenziabile Mn si dicono conformi se esisteuna funzione differenziabile Ω : Mn → <+, tale che g(P ) = Ω(P )g(P ) per ogni P ∈Mn.

Si verifica facilmente la seguente

Proposizione 2.6.6 Due metriche conformi misurano gli stessi rapporti di moduli di vettori, gli stessi angoli (quandosono definiti) e nel caso di metriche di Lorentz19 hanno gli stessi coni di luce.

I tensori di Riemann Rijhk e Rijhk di due metriche conformi non sono uguali ma cio che li fa differire e la parte relativaal tensore di Ricci, mentre la parte relativa al tensore di Weyl e la stessa per le due metriche

Cijhk = Cijhk

Definizione 2.6.12 Una struttura riemanniana ds2 si dice conformemente piatta se e conforme ad struttura rieman-niana piatta

ds2 = Ω

n∑i=1

dxi2

Per esempio la metrica (4.35) del disco di Poincare e conformemente piatta. In seguito, tra le soluzione delle equazionidi Einstein si troveranno altri esempi di strutture riemanniane conformemete piatte.

2.6.5 Geodetiche di una varieta riemanniana

Poiche ogni varieta riemanniana e dotata di una connessione (riemanniana), e possibile definire, come in ogni altraconnessione, una classe particolare di curve, le curve geodetiche, come quelle curve il cui vettore tangente e trasportatoparallelamente su esse (curve autoparallele). Tale definizione e stata data nel tentativo di generalizzare il concetto diretta, infatti le rette sono le sole curve autoparalele in uno spazio affine. Pero esiste un’altra propieta caratterizzante lerette in uno spazio affine, che puo servire come punto di partenza per generalizzare il concetto di retta: dati due puntidistinti P e Q, tra tutte le curve congiungenti P e Q, un segmento di retta e quello di minima lunghezza. Tale proprietadelle rette puo essere estesa solo su varieta riemanniane, perche solo su esse ha senso il concetto di lunghezza di una curvadifferenziabile.

Per poter determinare la curva di lunghezza stazionaria 20 bisogna ricorrere a principi variazionali.Siano P e Q due punti, consideriamo l’insieme C2(P,Q) delle curve differenziabili di classe C2 congiungenti P e Q,

parametrizzate opportunamente in maniera tale che, detti a < b due numeri reali, ∀γ(t) ∈ C2(P,Q), γ(a) = P e γ(b) = Q.Consideriamo un’applicazione L(γ, ∂∂t ) che chiameremo lagrangiana, la quale, per ogni γ(t) ∈ C2(P,Q), associa la

funzione relale definita in [a, b], L(γ(t), ∂∂t (t)). La lagrangiana consente di definire un funzionale I : C2(P,Q)→ < che si

chiama azione, mediante la legge di corrispondenza I(γ) =∫ baL(γ(t), ∂∂t (t))dt. E possibile definire mediante metodi di

analisi funzionale il differenziale δI dell’azione (differenziale di Frechet), quindi le curve che rendono l’azione stazionariasono quelle che verificano l’equazione δI(γ) = 0.

19Poiche Ω > 0 le due metriche devono avere la stessa segnautra.20minima in una varieta propriamente riemanniana, in una varieta pseudo-riemanniana puo anche essere la curva di lunghezza massima, per

esempio, nello spazio-tempo di Minkowski, le traiettorie di tempo proprio ( lunghezzac

) massimo tra due eventi, sono quelle rettilinee.

53

Teorema 2.6.2 Le curve di C2(P,Q) che rendono stazionaria l’azione: δI(γ) = 0, sono tutte e sole le soluzionidell’equazione di Eulero-Lagrange

d

dt

∂L∂V i

− ∂L∂xi

= 0, (2.73)

dove V i = dxi

dt sono le comonenti di ∂∂t .

Senza dimostrazione.

Se supponiamo la varieta propriamente riemanniana e come lagrangiana consideriamo la funzione L(γ, ∂∂t ) =√

∂∂t ·

∂∂t ,

cioe

L(γ(t),

∂

∂t(t)

)=

√gij(x1(t), x2(t), . . . , xn(t))

dxi

dt(t)dxj

dt(t), (2.74)

dove ∂∂t e il vettore tangente a γ e (x1, x2, . . . , xn) e un sistema di coordinate definite da una opportuna carta locale,

allora l’azione associa, ad ogni curva di C2(P,Q), la sua lunghezza e per il teorema precedente, le curve di lunghezzaminima congiungenti P e Q, sono quelle le cui equazioni parametriche verificano la (2.73).

Proposizione 2.6.7 L’equazione (2.73) con la lagrangiana (2.74) si riduce al sistema di equazioni differenziali:

d2xi

dt2+ Γijh

dxj

dt

dxh

dt= λ

dxi

dt.

Dimostrazione. Tutto e ricondotto a calcolare le derivate al primo membro della (2.73). Dalla proposizione precedente si riconosce subito che le curve di lunghezza stazionaria tra due punti sono esattamente

le geodetiche.Se la varieta non e propriamente riemanniana scegliamo come lagrangiana L(γ, ∂∂t ) = ∂

∂t ·∂∂t , cioe

L(γ(t),

∂

∂t(t)

)= gij(x

1(t), x2(t), . . . , xn(t))dxi

dt(t)dxj

dt(t), (2.75)

allora l’azione associa a ciascuna curva la sua energia cinetica, quindi le soluzioni delle equazioni di Eulero-Lagrange sonole curve di energia stazionaria.

Proposizione 2.6.8 L’equazione (2.73) con la lagrangiana (2.75) si riduce al sistema di equazioni differenziali

d2xi

dt2+ Γijh

dxj

dt

dxh

dt= 0.

Dimostrazione. Come quella della proposizione precedente. Dalla proposizione precedente si vede che, anche se la varieta e propriamente riemanniana, conviene scegliere in ogni

caso la lagrangiana 2.75, perche, in questo modo, le soluzioni sono le geodetiche con un parametro affine.

Proposizione 2.6.9 L’equazione 2.73 ammette il seguente integrale primo

L − V i ∂L∂V i

= cost. (2.76)

Dimostrazione. Se (x1(t), x2(t), . . . , xn(t)) e una soluzione di (2.73), rappresentata in una carta locale, allora V i(t) = dxi

dt (t)e

dLdt

=∂L∂xi

V i +∂L∂V i

dV i

dt=

d

dt

(∂L∂V i

)V i +

∂L∂V i

dV i

dt=

d

dt

(∂L∂V i

V i),

da cui si ottiened

dt

(L − V i ∂L

∂V i

)= 0.

Applicando il risultato precedente alla lagrangiana 2.75, si trova

L − V i ∂L∂V i

= gijViV j − V i2gijV j = −gijV iV j = cost,

si e cosı dimostrato che

Proposizione 2.6.10 Il vettore tangente ad una geodetica con un parametro affine ha quadrato costante. In particolarequando tale costante e in valore assoluto uguale a 1, tale parametro affine si riduce all’ascissa curvilinea.

Definizione 2.6.13 Una variabile xi, si dice ciclica, quando la lagrangiana non dipende da essa: ∂L∂xi = 0.

In corrispondenza di ogni variabile ciclica c’e un integrale primo. Infatti dalle equazioni di Lagrange, se ∂L∂xi = 0, allora

ddt

∂L∂V i = 0, da cui ∂L

∂V i = const.

54

Esempi

Esempio 11 In uno degli esempi precedenti sono state calcolati i coefficienti di Christoffel per una sfera di raggio R,possiamo, quindi, utilizzarli per scrivere l’equazione delle geodetiche:

d2θ

dt2− sin θ cos θ

(dϕ

dt

)2

= 0,d2ϕ

dt2+ 2

cos θ

sin θ

dθ

dt

dφ

dt= 0.

Questo sistema di equazioni ammette le soluzioni ϕ(t) = ϕ0 e θ(t) = αt+ β, essendo α, β, ϕ0 costanti. Queste soluzionirappresentano tutti i cerchi massimi (meridiani) uscenti dai poli. Poiche la scelta dei poli e arbitraria, tutti i cerchimassimi sono geodetiche.L’integrale generale si ottiene dalla lagrangiana L = R2((dθdt )

2 + sin2 θ(dϕdt )2) utilizzando l’integrale primo (2.76) e quelloche si ottiene dalla ciclicita della varibile ϕ. Precisamente(

dθ

dt

)2

+ sin2 θ

(dϕ

dt

)2

= E, sin2 θdϕ

dt= c

sistema che si porta facilmente alle quadrature eliminando nella prima dϕdt tramite la seconda e risolvendo un’equazione

differenziale a variabili separabili.

Esempio 12 Per un cilindro circolare i coefficienti della connessione riemanniana sono identicamente nulli, quindil’equazione delle geodetiche e:

d2θ

dt2= 0,

d2z

dt2= 0,

che ammette come integrale generale θ(t) = αt+β e z(t) = δt+µ, essendo α, β, δ, µ ∈ <. Quindi le geodetiche sul cilindrocircolare sono, in generale le eliche ed in particolare le direttrici e le generatrici. Da questo si vede che il postulato delleparallele, malgrado la topologia non sia quella euclidea, e ancora valido.

Pero tale geometria non e esattamente quella euclidea per motivi topologici. Infatti due punti posti sulla stessageneratrice sono congiunti da infinite geodetiche: la generatrice che li contiene e le eliche passanti per il primo punto edaventi come passo d

n , dove d e la distanza dei due punti e n ∈ N. Non vale quindi il postulato secondo cui per due puntidistinti passa una ed una sola retta. Pero, tagliando il cilindro lungo una generatrice viene ripristinata la topologia euclideaed anche il postulato, perche le eliche vengono tagliate e quindi non possono intersecare due volte la stessa generatrice.

Esempio 13 Nella sezione 4.3.2 sono calcolati i coefficienti di Christoffell (4.20) relativi al tensore metrico del toro(4.19), dai quali si ottengono le equazioni delle geodetiche

d2θ

dt2+a+ r cos θ

rsin θ

(dϕ

dt

)2

= 0,d2ϕ

dt2− 2

r sin θ

a+ r cos θ

dθ

dt

dϕ

dt= 0 (2.77)

da cui si vede che tra le soluzioni ci sono le circonferenze (meridiani) ϕ(t) = ϕ0 e θ(t) = αt+ β, essendo α, β, ϕ0 costanti,nonche i due equatori θ(t) = 0, π e ϕ(t) = αt+ β, con α, β costanti.Anche qui, oltre all’integrale primo (2.76) ce n’e un altro dovuto alla ciclicita della variabil ϕ, quindi

r2

(dθ

dt

)2

+ (a+ r cos θ)2

(dϕ

dt

)2

= E e (a+ r cos θ)2 dϕ

dt= c

Anche qui , dopo aver eliminato dalla prima dϕdt , utilizzando la seconda, si ottiene un’equazione differenziale a variabili

separabili.

Esempio 14 Utilizzando le (4.29), si ottengono le equationi delle geodetiche sulla pseudosfera

d2t

dτ2+

1

sinh t cosh t

[(dt

dτ

)2

+

(dϕ

dτ

)2]

= 0,d2ϕ

dτ2− 2 tanh t

dt

dτ

dϕ

dτ= 0 (2.78)

da cui si vede che tra le soluzioni vi sono le trattrici ϕ(τ) = ϕ0, che pero non sono di classe C2 in t = 0, come si vededalla cuspide della trattrice in t = 0 o anche dall’equazione differenziale

d2t

dτ2+

1

sinh t cosh t

(dt

dτ

)2

= 0

55

se vi arrivano per un valore finito del parametro τ . Per controllare cio basta considerare i due integrali primi

R2 tanh2 t

(dt

dτ

)2

+R2

cosh2 t

(dϕ

dτ

)2

= E(> 0) e2R2

cosh2 t

dϕ

dτ= c.

Il secondo diventa un identita, per c = 0, se ϕ(τ) = ϕ0 mentre il primo (se t(0) = t0 > 0 e dtdτ (0) < 0) diventa

dt

dτ= −√E cosh t

R sinh t⇒ ln cosh t = −

√Eτ

R+ ln cosh t0 ⇒ (t = 0⇔ τ =

R√E

ln cosh t0 > 0).

Quindi la pseudosfera non e geodeticamente completa.

56

Capitolo 3

RELATIVITA GENERALE

3.1 Assiomi della Relativita Generale

La formulazione geometrica alla teoria gravitazionale classica pensata da Cartan dopo la nascita dela relativita generale,pur non avendo nessuna importanza fisica perche non fornisce nessuna previsione nuova rispetto alla teoria classica, eimportante da un punto di vista didattico perche facilita la comprensione delle premesse della relativita generale.

Per costruire una teoria relativistica della gravitazione, lasciamo inalterarate le idee che stanno alla base di taleformulazione: gravita come connessione, forze mareali come tensore di curvatura e vediamo quali modifiche devono esserefatte alle assunzioni matematiche.

Bisogna considerare una varieta differenziabile che generalizzi lo spazio-tempo di Minkowski, quindi deve avere dimen-sione 4 ed, in accordo con il principio di indipendenza dall’osservatore della velocita della luce, deve essere dotata di unastruttura pseudo-riemanniana di segnatura 2. Cio vuol dire che ∀P ∈M4, assegnata una base ortonormale (e0, e1, . . . , e3)di TP , il tensore metrico ha, in TP , la seguente espressione: ds2 = −e0⊗e0 + e1⊗e1 + e2⊗e2 + e3⊗e3. Una tale varietapseudo-riemanniana verra chiamata lorentziana o iperbolica.

Assioma 1 Lo spazio-tempo M4 e una varieta iperbolica di dimensione 4, con la connessione riemanniana derivantedalla struttura pseudo-riemanniana.

L’assioma precedente dice di che tipo deve essere la geometria, ma non dice quale deve essere. Si assume che lageometria non sia unica come nella fisica classica, ma vari dinamicamente al variare della distribuzione di materia, ilmeccanismo che determina questa dipendenza e fornito dalle equazioni di Einstein, che saranno formulate nel prossimoparagrafo.

Assioma 2 Ogni campo materiale determina, tramite le equazioni di Einstein, la struttura riemanniana dello spazio-tempo.

Come nello spazio-tempo di Minkowski, e possibile classificare, per ogni P ∈ M4, i vettori di TP in vettori di tipotempo, di tipo luce o nullo e di tipo spazio. Resta quindi determinato in ciascun TP il cono di luce, definito comel’insieme dei vettori di tipo nullo. A differenza, pero, dello spazio tempo di Minkowski, qui il cono di luce, in generale,non e una ipersuperficie nello spazio-tempo, ma resta confinato nello spazio tangente.

Come nello spazio-tempo di Minkowski, e possibile dividere l’insieme delle curve differenziabili in curve di tipo tempo,di tipo nullo o luce, di tipo spazio ed indefinite, secondo che, il campo di vettori tangenti e costantemente di tipo tempo,di tipo luce, di tipo spazio o non e sempre dello stesso tipo.

In base alla proposizione 2.6.10 le geodetiche non sono mai indefinite, perche, preso un parametro affine, il vettoretengente ha quadrato costante e quindi non puo cambiare di segno.1

Proposizione 3.1.1 Ogni geodetica e sempre di tipo definito.

Nella prima parte si e visto, che una particella si muove con velocita inferiore a quella della luce se e solo se la suatraiettoria spazio-temporale cioe la sua linea di universo e una curva di tipo tempo, mentre si muove con velocita c see solo se la sua linea di universo e una traiettoria di tipo nullo.

Assioma 3 La linea d’universo di una particella che si muove a velocita inferiore a quella della luce e una curva ditipo tempo, la cui ascissa curvilinea divisa per la velocita della luce e il tempo proprio τ della particella e le cuiquadrivelocita e quadriaccelerazioni sono rispettivamente i vettori V = ∂

∂τ e A = ∇V V . La linea di universo di unaparticella che si muove alla velocita della luce e una curva di tipo nullo.

1il quadrato del vettore tangente, pur non essendo costante, resta dello stesso segno anche rispetto ad un parametro non affine, infatti se∂∂t

e il vettore tangente rispetto al parametro affine e V (t) = µ(t) ∂∂t

(t) quello rispetto ad un parametro qualunque, V · V = µ2 ∂∂t· ∂∂t

.

57

In relativita ristretta una particella non soggetta a forze ha come linea d’universo una retta di tipo tempo (nullo) equindi una geodetica di tipo tempo (nullo) dello spazio-tempo di Minkowskii.

Assioma 4 La linea di universo di una particella libera e una geodetica di tipo tempo o di tipo nullo secondo che essa simuova ad una velocita minore o uguale a quella della luce. Nel caso di geodetiche di tipo tempo, il tempo proprio τ e quelparticolare parametro affine per cui ∂

∂τ ·∂∂τ = −c2.

Osservazione 9 A differenza della fisica classica, dove si assume che la geometria e euclidea e la presenza di materia,genera delle forze a distanza che deviano dal loro moto rettilineo ed uniforme le particelle libere, qui si assume che lamateria modifica la geometria (connessione) dello spazio tempo, quindi i moti spontanei, cioe quelli geodetici, non sonopiu moti rettilinei ed uniformi.

Oltre a questo, non ci sono tante altre cose comuni con lo spazio-tempo di Minkowski: in generale non esistono sistemidi coordinate cartesiane e questo implica che

1. il tensore metrico non e costante rispetto a nessun sistema di coordinate;

2. la connessione non e piatta;

3. non esistono sistemi di riferimento inerziali, ma solo sistemi di riferimento in caduta libera (sistemi di coordinatenormali geodetiche) che sono solo approssimativamente inerziali , quindi:

4. non ha senso parlare di trasformazioni di Lorentz.

Infine va osservato che, cosı come la connessione determina le geodetiche e quindi le traiettorie delle particelle libere,il tensore di curvatura determina le forze mareali e quindi l’accelerazione relativa tra particelle libere vicine.

Nel seguito, dove non e specificato il contrario, verranno scelte unita di misura in maniera tale che c = 1. Questo, inparticolare, implica che il tempo proprio τ di una particella coincide con l’ascissa curvilinea della sua linea di universo ela quadrivelocita ∂

∂τ ha modulo unitario: ∂∂τ ·

∂∂τ = −1.

3.1.1 Equazioni di Einstein

Un fluido relativistico e descritto da un tensore energia-impulso T ij simmetrico, soggetto alla legge di evoluzione

∇iT ij = 0. (3.1)

Poiche siamo nell’ambito di una teoria relativistica, il concetto di campo materiale e piu ampio di quello classico: ognicampo fisico dotato di una densita di energia, verra inteso come campo materiale. Cosı nell’ambito dei campi materialirientrano, oltre i fluidi, il campo elettromagnetico, il campo di neutrini etc.. Tutti questi campi, comunque, sono carat-terizzati, come i fluidi, da un tensore energia impulso simmetrico e verificante l’equazione (3.1). Quindi qualunque sia ilcampo o i campi materiali che generano il campo gravitazionale, matematicamente essi vengono descritti da un tensoredoppio simmetrico ed a divergenza nulla.

Cosı le equazioni di campo che forniscono un legame tra i campi materiali e la struttra riemanniana, dovranno esseredel tipo

Gij = kTij , k ∈ <, (3.2)

dove Gij e un tensore geometrico da determinarsi opportunamente.Il tensore Gij , che da ora in poi chiameremo tensore di Einstein, puo essere determinato imponendo le seguenti

condizioni:

1. si deve annullare quando la connessione e piatta. Questo implica che, tra le soluzioni nel vuoto (T ij = 0), ci deveessere anche lo spazio-tempo di Minkowski;

2. si deve poter costruire a partire solo dal tensore di curvatura e dal tensore metrico;

3. deve essere lineare nel tensore di curvatura;

4. deve essere simmetrico ed a divergenza nulla, dovendo, per la (3.2), essere uguale ad un tensore con questecaratteristiche.

La condizione 1., nasce da esigenze ci compatibilita con la relativita ristretta. La 4. e un vincolo matematico che deveessere necessariamente rispettato. Le 2. e 3., nascono invece da esigenze di semplicita.

L’equazione (2.64), valida nell’ambito classico, e concettualmente simile alla (3.2), perche a sinistra c’e un tensoregeometrico ed a destra la densita di massa di un campo materiale. Si potrebbe, percio essere tentati di generalizzare la(2.64) in ambito relativistico, ponendo Gij = Rij . Il tensore di Ricci verifica, ovviamente tutte le condizioni enunciate

58

sopra, con l’unica eccezione dell’annullarsi della divergenza. Bisogna, quindi, verificare quanto vale ∇iRij = Rij ;i. Dalle

identita di Bianchi (2.51)Rijhk;r +Rijrh;k +Rijkr;h = 0,

contraendo gli indici i e h e tenendo conto del fatto che la derivata covariante commuta con l’operazione di contrazionedegli indici, si ottiene

Rjk;r +Rijri;k +Rijkr;i = 0,

da cui, alzando l’indice jRjk;r +Rijri;k +Rijkr;i = 0,

per le simmetrie del tensore di curvaturaRjk;r −Rjiri;k +Rjirk;i = 0,

infine, saturando gli indici j e r, si ottiene

Rjk;j −Rii;k +Rik;i = 0 ⇒ Rjk;j =1

2R;k.

Quindi il tensore di Ricci non ha divergenza nulla, pero dall’equazione precedente e da gij;h = 0 si ricava che il tensore

Rij −1

2gijR, (3.3)

e a divergenza nulla, oltre a godere di tutte le altre proprieta enunciate sopra. Si puo dimostrare, inoltre, che il tensore(3.3) e, l’unico tensore verificante tali proprieta, quindi esso e il tensore di Einstein e le equazioni di campo che chiameremoequazioni di Einstein sono:

Rij −1

2gijR =

8πG

c4Tij . (3.4)

Il tensore di Einstein dipende dal tensore metrico e dalle sue derivate prime e seconde, quindi le equazioni (3.4), unavolta assegnato il campo materiale Tij , definiscono un sistema di equazioni differenziali del secondo ordine, alle derivateparziali, nelle funzioni incognite gij . Risolte queste equazioni, resta determinata la struttura riemanniana e quindi l’unicaconnessione ad essa associata.

Le prime semplici soluzioni cosmologiche delle equazioni (3.4) trovate inizialmente da Friedmann avevano un anda-mento dinamico, cioe rappresentavano un universo in espansione. Cio non piacque ad Einstein, perch’e contrastava conl’idea che si aveva a quel tempo di un universo statico ed immutabile nell’eternita. Egli penso allora che tali soluzionirappresentassero un fallimento delle sue equazioni e pertanto cerco di modificare queste ultime, aggiungendo al primomembro, il termine a divergenza nulla Λgij , essendo Λ una costante, chiamata costante cosmologica, da determinar-si opportunamente in maniera tale da ottenere soluzioni cosmologiche statiche. In questo modo le nuove equazioni diEinstein diventarono

Rij −1

2gijR+ Λgij =

8πG

c4Tij , (3.5)

che sono piu generali, in quanto le precedenti si ottengono per Λ = 0, ma il tensore a primo membro non verifica lecondizioni che sono state imposte per determinare il tensore di Einstein, perche non si annulla quando la connessione epiatta.

Tredici anni dopo, la scoperta di Hubble dello spostamento verso il rosso dello spettro luminoso delle galassie, che venivainterpretato come una prova dell’espansione dell’universo, fu una conferma sperimentale della soluzione di Friedmann equindi delle equazioni di Einstein nella prima forma. Da allora la costante cosmologica, definita da Einstein come il piugrande errore della sua vita,2 fu abbandonata. Attualmente, dalle osservazioni, si deduce che la costante cosmologica, senon e nulla e molto piccola, quindi, nel seguito, se non espressamente specificato, verranno considerate come equazioni dicampo le equazioni (3.4). Comunque in tempi recenti sono state utlizzate le equazioni (3.5) per tenere conto del contributoalla gravita dell’energia quantistica del vuoto, ma in questo caso il termine Λgij e interpretato come un contributo altensore energia-impulso, piuttosto che un termine aggiuntivo al tensore di Einstein.

Le equazioni di Einstein in assenza di campi materiali: Tij = 0, si riducono a Rij − 12gijR = 0, da cui, alzando l’indice

i, saturando con l’indice j e tenendo conto che gii = δii = 4, si ricava R = 0, quindi le equazioni di Einstein nel vuotosono

Rij = 0. (3.6)

Quest’ultima equazione, che ammette certamente come soluzione Rijhk = 0, cioe la connessione piatta, non ammettesolo questa soluzione come vedremo tra breve.

Le equazioni di Einstein, sono molto difficili da integrare, ad oggi si conoscono poche soluzioni esatte, che sono stateottenute imponendo delle simmetrie molto forti in maniera da semplificare notevolmente le equazioni. Comunque quellepoche soluzioni esatte sono in grado di descrivere il campo gravitazionale di una stella o l’intero universo, facendo delleprevisioni, che, dove si discostano dalle previsioni newtoniane, sono state verificate sperimentalmente.

2si adopero per disfarsi della previsione piu spettacolare della sua teoria: l’espansione dell’universo.

59

3.2 Campo gravitazionale di una stella a simmetria sferica: spazio-tempodi Schwarzschild

3.2.1 La soluzione di Schwarzschild esterna

Onde semplificare le equazioni di campo, si consideri il caso di una stella a simmetria sferica, cioe di un corpo perfettamentesferico con distribuzione di massa, se non omogenea almeno a gusci sferici concentrici di ugual densita e priva di momentoangolare3. Una tale soluzione deve essere rappresentata da un tensore metrico a simmetria sferica, cioe, denotato cont una variabile temporale e con r la variabile radiale sulle ipersuperfici Σt0 = t = t0, allora, le superfici r = r0 diΣt0 , sono sfere concentriche e quindi individuate dal tensore metrico f(t0, r0)dΩ2, dove f(t, r) e un’opportuna funzionepositiva regolare e

dΩ2 = dθ2 + sin2 θdφ2

e il tensore metrico di una sfera di raggio unitario.Da questo segue che, le soluzioni delle equazioni di campo corrispondenti a queste assunzioni devono essere ricercate

tra i tensori metrici del tipo

ds2 = A(t, r)dt2 + 2B(t, r)dtdr + C(t, r)dr2 + (f(t, r))2dΩ2, (3.7)

essendo A(t, r), B(t, r), C(t, r) e f(t, r) delle funzioni regolari, tali che la segnatura del tensore metrico e, in ogni punto,−2 e ∂f

∂r 6= 0.Si puo dimostrare che con un opportuno cambiamento di coordinate4, il tensore metrico (3.7), puo essere diagonalizzato,

in maniera tale che, denotate ancora con t e r le nuove coordinate, esso si possa scrivere nella forma

ds2 = −eν(t,r)dt2 + eλ(t,r)dr2 + r2dΩ2, (3.8)

dove gli esponenziali sono stati usati per avere la certezza che la segnatura sia −2 in ogni punto.La stella divide lo spazio-tempo in due zone: la parte interna e quella esterna, ciascuna delle quali e rappresentata

da una soluzione diversa delle equazioni di campo, perche il campo materiale interno e diverso da quello esterno. Delledue soluzioni, la piu interessante e certamente quella esterna, perche descrive il campo gravitazionale stellare. Quellainterna che dipende dal particolare fluido che costituisce la stella e dalla sua equazione di stato, non verra considerata.L’ipotesi piu semplice, per la soluzione esterna e che non ci sia campo materiale esterno: Tij = 0. In conclusione bisognadeterminare le soluzioni della tipo (3.8) delle equazioni di campo (3.6), cioe calcolare il tensore di Riccci della (3.8),eguagliarlo a zero, e determinare le soluzioni ν(t, r) e λ(t, r) delle equazioni differenziali cosı ottenute.

Utilizzando le notazioni ˙ = ∂∂t e ′ = ∂

∂r , i coefficienti di Christoffel non nulli della (3.8), sono:

Γ000 =

ν

2, Γ0

01 =ν ′

2, Γ0

11 =1

2eλ−ν λ, Γ1

00 =1

2eν−λν ′, Γ1

01 =1

2λ, Γ1

11 =1

2λ′,

Γ122 = −re−λ, Γ1

33 = Γ122 sin2 θ, Γ2

12 = Γ313 =

1

r, Γ2

33 = − sin θ cos θ, Γ323 =

cos θ

sin θ.

L’unica componente non nulla del tensore di Ricci ad indici diversi e R01 = λr , da cui, per le equazioni di campo (3.6),

λ = 0, quindi nelle rimanenti componenti non nulle del tensore di Ricci, si possono togliere tutti i termini in cui λ e λsono a fattore. Con questa premessa, le equazioni di campo (3.6), si scrivono:

2eλ−νR00 = ν ′′ +1

2ν ′(ν ′ − λ′) +

2ν ′

r= 0, (3.9)

−2R11 = ν ′′ +1

2ν ′(ν ′ − λ′)− 2λ′

r= 0, (3.10)

R22 =r

2(λ′ − ν ′)e−λ + 1− e−λ = 0, (3.11)

R33 = R22 sin2 θ. (3.12)

Sottraendo membro a membro la seconda dalla prima si ottiene

λ′ + ν ′ = 0 ⇒ ν(t, r) = −λ(r) + f(t), (3.13)

3rotazione attorno ad un asse.4la trasformazione di coordinate t′ = t e r′ = f(t, r), trasforma il coefficiente di dΩ2 in r′2 lasciando inalterato la forma del tensore metrico,

mentre la trasformazione di coordinate t = k(t′, r′) e r = r′, dove k(t′, r′) e una soluzione dell’equazione differenziale A ∂k∂r

+B = 0.

60

essendo f(t) una funzione arbitraria. Sostituendo la (3.13) nella(3.11), si ottiene

rλ′e−λ + 1− e−λ = 0 ⇒ e−λλ′

e−λ − 1=

1

r⇒ − log |e−λ − 1| = log r + k ⇒

e−λ = 1± h

rh ∈ <+ ⇒ e−λ = 1− h

rh ∈ <, 5

da cui si ottiene l’integrale generale

eν = H(t)(1− h

r), eλ = (1− h

r)−1, con H(t) > 0.

La funzione arbitraria H(t) e ininfluente, infatti con la trasformazione della coordinate temporale t′ =∫ √

H(t)dt, siottiene dt′2 = H(t)dt2 e poiche il tempo non compare da nessun’altra parte del tensore metrico, quest’ultimo , senzaperdita di generalita, puo essere scritto

ds2 = −(1− h

r)dt2 + (1− h

r)−1dr2 + r2dΩ2.6 (3.14)

Da notare che le componenti del tensore metrico non dipendono dal tempo, in questo caso si dice che lo spazio-tempoe statico. La staticita non e stata imposta in partenza, perche si sono considerate funzioni generiche di t e di r, ma estata determinata come conseguenza delle equazioni di campo.

Per h = 0 si ottiene la connessione piatta: spazio-tempo di Minkowskii in cordinate spaziali sferiche, cosa che ci sidoveva aspettare, perche tra le soluzioni senza campi materiali, ci deve essere in particolare lo spazio-tempo della relativitaristretta 7.

Per h 6= 0, la connessione non e piatta8, ma per r → ∞, tende alla connessione piatta, in questo caso si dice che lospazio-tempo e asintoticamente piatto.

Proposizione 3.2.1 Le equazioni a simmetria sferica delle equazioni di campo nel vuoto (3.6), distinte dallo spazio-tempodi Minkowskii, sono statiche ed asintoticamente piatte.

Nel tensore metrico (3.14), la costante di integrazione h viene determinata, imponendo la compatibilita con la teorianewtoniana nel caso di campi gravitazionali deboli. Cio si realizza, imponendo che le geodetiche di tipo tempo della(3.14), per r grande (campo gravitazionale debole), corrispondano alle soluzioni della teoria di Newton. Con tale criterio,si vede che per una stella di massa M , deve essere h = rS = 2GM

c2 , dove G e la costante di gravitazione universale.In conclusione, il campo gravitazionale esterno di una stella a simmetria sferica di massa M e raggio R0, e determinato

dal tensore metricods2 = −(1− rS

r)dt2 + (1− rS

r)−1dr2 + r2dΩ2, (3.15)

dove r ∈ [R0,∞].Dalla (3.15), si vede subito che il tensore metrico e, non solo degenere, ma anche singolare nei punti r = 0 e nei punti

della ipersuperficie r = rS .9 Nel seguito, tale ipersuperficie verra chiamata orizzonte degli eventi ed il raggio rS dellesfere che si ottengono intersecandola con t = cost, si chiamera raggio di Schwarzschild.

La natura di tali punti verra studiata piu avanti. Per ora basta dire che, per una stella ordinaria di raggio R0,rS R0

10, quindi, in generale, la soluzione esterna, definita per r ∈]R0,+∞[, non contiene tali singolarita.

Le superfici equatoriali di tempo coordinato costante

Il tensore metrico delle ipersuperfici di tempo coordinato costante e

ds2 = (1− rSr

)−1dr2 + r2(dθ2 + sin2 θdφ2)

da cui, considerando la superficie ottenuta sostituendo alle sfere r = const i loro equatori θ = π2 , si ottiene il tensore

metrico bidimensionaledσ2 = (1− rS

r)−1dr2 + r2dφ2. (3.16)

5il valore h = 0 corrisponde al caso che si e escluso quando si e diviso per e−λ − 1.6poiche eν e eλ sono funzioni positive, a rigore la soluzione trovata dovrebbe essere definita pre r > h, d’altra parte le funzioni 1 − h

re

(1− hr

)−1 sono soluzioni anche per 0 < r < h.7questa conclusione non e vera con una costante cosmologica non nulla.8per esempio R3

232 = 1− e−λ = hr

.9che, curiosamenete, corrisponde, nell’ambito classico, al raggio minimo che dovrebbe avere una stella di massa M affinche la luce possa

sfuggire dal suo campo gravitazionale.10per esempio, per una stella della massa del Sole, rS ≈ 3Km e per un pianeta della massa della Terra rS ≈ 9mm.

61

Per concretizzare tale tensore metrico in una superficie di <3 consideriamo la seguente superficie Σ di rotazione

x = r cosφ, y = r sinφ, , z = z(r), r ∈]0,+∞[, φ ∈ [0, 2π[

dove la funzione z(r) e da determinarsi opportunamente affinche il tensore metrico di Σ coincida con (3.16). E difatti,posto ′ = d

dr , il tensore metrico di Σ e

dσ2Σ = dr2 + r2dφ2 + z′(r)2dr2 = (1 + z′(r)2)dr2 + r2dφ2

che, confrontata con la (3.16), da la seguente equazione differenziale

1 + z′(r)2 =r

r − rS⇒ z′(r)2 =

rSr − rS

, r > rS

che integrata con la condizione iniziale z(rS) = 0 ha come soluzione la parabola

z(r) = ±2√rS(r − rS) ⇔ z2 = 4rS(r − rS)

dovendo scegliere uno dei due segni, altrimenti si avrebbe uno sdoppiamento della (3.16), prendiamo il segno +, diconseguenza (3.16) e il tensore metrico della superficie di equazioni parametriche

x = r cosφ, y = r sinφ, , z = 2√rS(r − rS), r ∈ [rS ,+∞[, φ ∈ [0, 2π[

cioe un ramo di parabola ruotato di 360 attorno alla retta ortogonale all’asse.

Significato fisico del tempo coordinato t

La linea di universo di un osservatore in quiete O rispetto alla stella e determinata dalle equazioni parametriche

t = t(τ), r = r0, θ = θ0, φ = φ0

essendo τ il tempo proprio di tale osservatore, quindi tale che ∂∂τ ·

∂∂τ = −1, d’altra parte

g00 =∂

∂t· ∂∂t

= (dτ

dt)2 ∂

∂τ· ∂∂τ

= −(dτ

dt)2

D’altra parte g00 calcolato sulla linea di universo di O e −eν(r0). quindi (dτdt )2 = eν(r0) ed imponendo che il tempo propriodi O sia concordemente orientato con t e che abbia la stessa origine, si trova,

τ(t) = eν(r0)t (3.17)

si puo cosı concludere che il tempo coordinato e, a meno di una costante, il tempo proprio di un osservatore in quieterispetto alla stella. Va pero ossevato che tale costante dipende da r0, cio implica che osservatori in quiete rispetto allastella ma posti a distanze diverse (diversi valori di r) avranno tempi propri differenti. Cio e di fondamentale importanzaper le localizzazioni GPS e come vedremo in seguito e la causa dello spostamento verso il rosso della luce che risale uncampo gravitazonale.

3.2.2 Orbite nello spazio-tempo di Schwarzschild

Determinato il modo in cui una stella a simmetria sferica fa incurvare lo spazio-tempo, determiniamo il modo in cui lospazio tempo fa muovere le particelle libere. Per far cio, bisogna determinare le soluzioni dell’equazione delle geodetichedi tipo tempo o di tipo luce.

Sara fatta sul raggio R0 della stella, l’ipotesi che R0 > rS , quindi, nel seguito, verra sempre supposto r > rS .Il parametro τ usato per le geodetiche sara un generico parametro affine, quindi, a meno di un fattore costante, il

tempo proprio della particella, la linea di universo e la geodetica data.Tenendo conto dell’espressione dei simbolo di Christoffel calcolati nel paragrafo precedente e denotato con τ un parametroaffine, si trova:

d2t

dτ2+ ν′

dt

dτ

dr

dτ= 0,

d2r

dτ2+ν′

2eν−λ

(dt

dτ

)2

+1

2λ′(dr

dτ

)2

− re−λ(dθ

dτ

)2

− re−λ sin2 θ

(dφ

dτ

)2

= 0,

d2θ

dτ2+

2

r

dr

dτ

dθ

dτ− sin θ cos θ

(dφ

dτ

)2

= 0,

62

d2φ

dτ2+

2

r

dr

dτ

dφ

dτ+ 2

cos θ

sin θ

dθ

dτ

dφ

dτ= 0.

Si verifica immediatamente che θ(τ) = π2 e t(τ), r(τ), φ(τ) soluzioni del sistema

d2t

dτ2+ ν′

dt

dτ

dr

dτ= 0, (3.18)

d2r

dτ2+ν′

2eν−λ

(dt

dτ

)2

+1

2λ′(dr

dτ

)2

− re−λ(dφ

dτ

)2

= 0, (3.19)

d2φ

dτ2+

2

r

dr

dτ

dφ

dτ= 0. (3.20)

e una famiglia di soluzioni dell’equazioni delle geodetiche. Analogamente θ(τ) = θ0, φ(τ) = φ0 e t(τ), r(τ) soluzioni delsistema

d2t

dτ2+ ν′

dt

dτ

dr

dτ= 0, (3.21)

d2r

dτ2+ν′

2eν−λ

(dt

dτ

)2

+1

2λ′(dr

dτ

)2

= 0, (3.22)

e un’altra famiglia di soluzioni. Chiaramente, a causa della simmetria sferica, tale risultato e indipendente dalle particolaricoordinate θ, φ : una qualunque rotazione dell’asse polare, genera delle coordinate θ′, φ′ equivalenti a quelle di partenza,per cui deve esistere una famiglia di orbite apparteneti alla superficie equatoriale θ′ = π

2 . Applicando il teorema diCauchy si puo vedere che che queste sono le sole soluzioni dell’equazione delle geodetiche. Il secondo gruppo di soluzionicorrispondono ai moti verticali della teoria newtoniana mentre quelli del primo gruppo corrispondono ai moti piani.11

Come nel caso classico, non si perde in generalita se si studiano le orbite verticali e quelle su una sezione θ = π2 , infatte

tutte le altre sono, a meno di una rotazione dell’asse polare, uguali a queste.A causa della simmetria della lagrangiana, le equazioni sono riconducibili ad integrali primi, infatti oltre all’integrale

dell’energia che, per θ = π2 , e

gijViV j = −eν

(dt

dτ

)2

+ eλ(dr

dτ

)2

+ r2

(dφ

dτ

)2

= E(≤ 012) (3.23)

ci sono gli integrali primi conseguenza della ciclicita delle variabili t e φ, precisamente

dt

dτ= c1e

−ν ,dφ

dτ=c2r2

. La costante di integrazione c1, con la scelta del parametro affine τ ′ = c1τ , viene eliminata. Nel seguito verra denotatocon τ il parametro affine che elimina la c1 e con J la costante di integrazione nel secondo integrale primo, relativamenteal nuovo parametro affine, cosı i due integrali primi si scrivono:

dt

dτ= e−ν , r2 dφ

dτ= J. (3.24)

I due integrali primi esprimono rispettivamente, il legame, a meno di una costante, tra il tempo proprio della particellaed il tempo proprio dell’osservatore in quiete rispetto alla stella e, l’analogo della conservazione classica del momentoangolare (costanza della velocita areale) rispetto al tempo proprio della particella. In particolare, come nel caso classico,i moti verticali si ottengono per J = 0.

Sostituendo le (3.24) nella (3.23), si ottiene

eλ(dr

dτ)2 +

J2

r2− e−ν = E. (3.25)

11E ben noto che, nella teoria newtoniana della gravita, l’orbita di un punto soggetto all’attrazione gravitazionale di un centro O, se none verticale, appartiene ad un piano passante per O, il quale e individuato dalle condizioni iniziali. Senza perdere in generalita, per studiareil moto, si puo considerare un sistema di riferimento avente origine in O e piano del moto coincidente con il piano coordinato z = 0, che,introdotto un sistema di coordinate sferiche, corrisponde al piano θ = π

2.

12secondo che la velocita della particella e inferiore o uguale alla velocita della luce.

63

10 20 30 40 50

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

10 20 30 40 50

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

10 20 30 40 50

0.8

0.85

0.9

0.95

10 20 30 40 50

0.8

0.85

0.9

0.95

1.05

1.1

Figura 3.1: Grafico di UJ(r), per valori crescenti e positivi di Jdove il secondo grafico corrisponde al valore critico J =

√3

Orbite di particele di massa a riposo non nulla: caso E < 0

Tenendo conto delle espressioni esplicite di ν(r) e λ(r), riportate dalla (3.15), cioe eν = e−λ = 1− rSr , l’equazione (3.25),

moltiplicata per e−λ, si puo scrivere

(dr

dτ)2 = 1 + (E − J2

r2)eν ⇒ (

dr

dτ)2 = 1 + (E − J2

r2)(1− rS

r),

da cui, posto r = rrS> 1, si ottiene

(dr

dτ)2 = 1 + (E − J2

r2S r

2)(1− 1

r) = 1 + E(1− J2

r2SEr

2)(1− 1

r)

ed infine, ponendo J = JrS√−E , si ottiene

(dr

dτ)2 = 1 + EUJ(r) dove UJ(r) = (1 +

J2

r2)(1− 1

r). (3.26)

Poiche il primo membro dell’equazione precedente deve essere non negativo, anche il secondo membro lo deve essere,quindi

UJ(r) ≤ − 1

E, (3.27)

cosı come nel caso classico, basta studiare il potenziale efficace UJ(r), per poter fare una classificazione qualitativa dellesoluzioni al variare dell’energia E. Studiando la funzione nell’intervallo ]0,+∞[, si trova

UJ(1) = 0, limr→+∞

UJ(r) = 1, limr→0+

UJ(r) = −∞, U ′J(r) =1

r4(3J2 − 2J2r + r2),

da cui si vede che U ′J

(r) = 0 non ha soluzioni reali se −√

3 < J <√

3, ha una sola soluzione r = J2 = 3 se J = ±√

3 e

due soluzioni distinte r1,2 = J2 ± |J |√J2 − 3 > 1 se J >

√3 o J < −

√3.

Nella figura 3.1, e riportato il grafico di UJ(r) per diversi valori di J . Si ricorda che, nel caso classico, se il momentoangolare e nullo, il potenziale efficace, definito in ]0,+∞[, ha lo stesso andamento della prima delle figure 3.1, se inveceil momento angolare e non nullo, il potenziale efficace, per r grande, ha lo stesso andamento degli ultimi due della figura3.1 e per r → 0+, il grafico va dal minimo a +∞. Questo implica che la banda permessa non puo mai raggiungere r = 0.

64

Cio si puo spiegare dicendo che fino a quando r e grande (campo gravitazionale debole) le due teorie sono in accordoqualitativo, quando ci avviciniamo al centro (campo gravitazionale forte), la forza centrifuga del potenziale efficace classicoprevale sulla forza gravitazionale, rendendo irrangiungibile il centro, mentre nel caso relativistico e la gravita a prevalere.

Dai grafici della figura 3.1, si possono classificare i possibili moti, in particolare, se −√

3 ≤ J ≤√

3 ci sono solo moti diimpatto se − 1

E < 1 e moti di impatto o di allontanamento (distanza dal centro crescente indefinitivamente) se − 1E ≥ 1.

Se invece J >√

3 o J < −√

3, allora ci sono due valori di r: 1 < r1 < r2 in cui la funzione UJ(r) assume, rispettivamente,un massimo ed un minimo, quindi, oltre ai moti descritti precedentemente, che si ottengono per − 1

E > min(UJ(r1), 1), seUJ(r2) < − 1

E < min(UJ(r1), 1) la banda permessa e limitata, con estremi distinti da r1 e r2, quindi, in corrispondenza,i moti sono legati. Altre possibili soluzioni sono due moti circolari, per − 1

E = UJ(r2) o per − 1E = UJ(r1) quando

inizialmente drdτ = 0 e moti asintotici per − 1

E = UJ(r1), quando inizialmente drdτ 6= 0.

Riassumendo, le differenze rispetto alle soluzioni classiche sono:

1. la particella puo raggiungere l’orizzonte degli eventi (r = 1) per ogni valore di J , mentre nel caso classico, il centroe raggiungible solo quando il momento angolare e nullo;

2. nel caso classico, se il momento angolare e non nullo, i moti legati esistono sempre, mentre nel nostro caso i motilegati esistono solo quando J >

√3 o J < −

√3;

3. c’e un secondo moto circolare (instabile) ed un moto asintotico dovuti alla presenza del massimo, che nel casoclassico non esistono.

Qui pero occorre precisare che le soluzioni, nel caso di una stella di raggio R0, vanno considerate nell’intervallo ]R0,+∞[.Se J e tale che il massimo non esiste o pur esistendo si abbia r1 < R0 = R0

rS, allora nell’intervallo ]R0,+∞[ non c’e

nessun massimo e il potenziale efficace ha lo stesso andamento di quello classico anch’esso tagliato per r < R0, quindi ladiscussione qualitativa e identica.

La discussione qualitativa da risultati molto generici, per esempio, se il moto e legato, l’unica informazione disponibilee che la variabile radiale puo oscillare tra un valore minimo ed uno massimo, esattamente come avviene nella teoriaclassica per i moti legati. Pero nel caso classico, grazie all’equazione di Binet, si puo conoscere la traiettoria ed e ben notoche il moto legato e un’ellisse. Per vedere quali sono le traiettorie nel caso relativistico bisogna determinare una analogaequazione in cui la funzione incognita e r(φ). Per far cio, dalle (3.24), si ricava

dφ

dτ=

J

r2=

√−EJrS r2

,

da cuidr

dτ= rS

dr

dφ

dφ

dτ=√−E J

r2

dr

dφ,

che sostituita nella (3.26) da

−E J2

r4(dr

dφ)2 = 1 + E(1 +

J2

r2)(1− 1

r).

Ponendo u = 1r e tenendo conto che du

dφ = − 1r2

drdφ , si ottiene

−EJ2(du

dφ)2 = 1 + E(1 + J2u2)(1− u),

da cui derivando rispetto a φ

−2J2 du

dφ

d2u

dφ2= (−1 + 2J2u− 3J2u2)

du

dφ.

escludendo il caso in cui u e una funzione costante di φ, corrispondente ai moti circolari, l’equazione precedente, diventa

d2u

dφ2=

1

2J2− u+

3

2u2, (3.28)

che e l’analogo relativistico della formula di Binet e differisce da quest’ultima per il termine di anarmonicita − 32u

2. Nelcaso di traiettorie lontane dal centro (r grande), u e piccolo, il termine al quadrato e trascurabile rispetto al terminelineare e si riottiene, come approssimazione, l’equazione di Binet. Ci si aspetta, quindi di trovare, per r grande, le stesseorbite della teoria classica e per r piccolo, dove il termine al quadrato non e piu trascurabile, delle difformita.

L’equazione (3.28) e stata integrata numericamente, fissando J = 3 e per r0 iniziale sempre piu grande, ottenendo,dopo alcuni giri completi, le orbite riportate nella fig.3.2. Le figure mostrano che in corrispondenza del minimo, l’orbitae una circonfernza, come nel caso classico, ma quando r0 cresce si ha uno spostamento del perielio dell’orbita che diventasempre piu accentuato.

65

-75 -50 -25 25 50 75

-75

-50

-25

25

50

75

-75 -50 -25 25 50 75 100

-75

-50

-25

25

50

75

-50 50 100 150

-100

-50

50

100

200 400 600 800 1000

-300

-200

-100

100

200

300

400

Figura 3.2: Orbite legate con condizioni iniziali u(0) = u0 e dudφ (0) = 0, con quattro valori decrescenti di u0.

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

-4 -2 2 4

-4

-2

2

Figura 3.3: Orbite asintotiche attorno all’orbita circolare instabile.

66

2 4 6 8 10 12 14

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

Figura 3.4: Grafico della funzione U(r).

Tale precessione del perielio dell’orbita di Mercurio, fu osservato prima della formulazione della teoria generale dellarelativita. Allora, per spiegare tale moto, nell’ambito della teoria classica, si assunse l’esistenza di un ulteriore pianetainterno, non visibile perche troppo vicino al Sole, il cui campo gravitazionale perturbava l’orbita di Mercurio. Invece lateoria della gravitazione di Einstein prevede tale precessione senza dover assumere cause di perturbazioni esterne.

La precessione del perielio di Mercurio fu la prima conferma sperimentale della relativita generale. Le teorie classica erelativistica, che sono in accordo per campi gravitazionali deboli, fanno delle previsioni differenti per campi gravitazionaliintensi e i risultati sperimentali sono in accordo con le previsioni della relativita generale.

Orbite di particele di massa a riposo nulla: caso E = 0

L’equazione (3.25) per E = 0, diventa

(dr

dτ)2 = 1− J2

r2(1− rS

r),

che, posto r = rrS

e J = JrS

, si puo anche scrivere

(dr

dτ)2 = 1− J2U(r) dove U(r) =

1

r2(1− 1

r). (3.29)

Se J = 0, si trova immediatamente la soluzione: φ(τ) = φ0, r(τ) = ±τ e t(τ) viene determinato con una sempliceintegrazione. Nel caso J 6= 0, tenedo conto che il primo membro della (3.29) deve essere non negativo, allora lo deveessere anche il secondo membro, quindi

U(r) ≤ 1

J2. (3.30)

Studiando l’andamento della funzione U(r), si puo fare una classificazione delle soluzioni:

U(1) = 0, limr→+∞

U(r) = 0+, U ′(r) =1

r4(3− 2r),

in r = 32 , c’e un massimo.

Dall’andamento di U(r), rappresentato nella fig. 3.4, si vede che se 1J2 > U( 3

2 ), non ci sono limiti per r, quindi la

particella si allontana indefinitivamente o cade sulla stella. Nel caso in cui 1J2 = U( 3

2 ), se inizialmente la particella si

trova in r = 32 , la traiettoria e una circonferenza, se, inizialmente r > 3

2 , la particella sfugge al campo gravitazionale o lasua traiettoria tende asintoticamente alla circonferenza r = 3

2 se invece, inizialmente r < 32 , la particella cade sulla stella

o, come prima, tende asintoticamente alla circonferenza r = 32 . Se 1

J2 < U( 32 ), o la particella cade sulla stella o sfugge al

suo campo gravitazionale.La presenza di orbite circolari, anche se instabili, per un fotone, e un fenomeno curioso. Prima di tutto, poiche r = 1

corrisponde al raggio di Schwarzschild, tali orbite hanno un raggio pari ad una volta e mezzo il raggio di Schwarzschild.Un osservatore che si trovasse a tale distanza, ammesso che la stella abbia un raggio cosı piccolo da rendere cio possibile,avrebbe la possibilita di guradarsi la nuca senza dover fare ricorso a specchi.

Anche nel caso di particelle di massa nulla e possibile determinare l’equazione differenziale della traiettoria, utilizzandolo stesso procedimento gia visto nel paragrafo precedente. Dalle (3.24), si ricava

dφ

dτ=

J

r2=

J

rS r2,

67

-6 -4 -2 2 4 6

-2

2

4

6

Figura 3.5: Traiettorie di particelle di massa nulla per dudφ (0) = 0 e diversi valori di u(0).

da cuidr

dτ= rS

dr

dφ

dφ

dτ=

J

r2

dr

dφ,

che sostituita nella (3.29) daJ2

r4(dr

dφ)2 = 1− J2

r2(1− 1

r).

Ponendo u = 1r e tenendo conto che du

dφ = − 1r2

drdφ , si ottiene

J2(du

dφ)2 = 1− J2u2(1− u),

da cui derivando rispetto a φ

2J2 du

dφ

d2u

dφ2= −J2(2u− 3u2)

du

dφ.

escludendo il caso in cui u e una funzione costante di φ, corrispondente al moto circolare e il caso J = 0, che, come si evisto prima, si puo integrare banalmente, l’equazione precedente, diventa

d2u

dφ2= −u+

3

2u2. (3.31)

Alcune soluzioni numeriche di tele equazione sono riportate nella fig. 3.5.

Traiettorie che attraversano l’orizonte degli eventi

La discussione delle sezioni precedenti e stata fatta nella componente connessa r > rS = rS dello spazio-tempo diSchwarzschild. Si e visto che, togliendo l’ipotesi che il raggio della stella sia superiore a rS , le particelle in caduta libera,se non hanno una traiettoria legata, possono arrivare fino all’orizzonte degli eventi. Per semplicita consideriamo il casoJ = 0, cioe ci mettiamo nell’ipotesi che il moto della particella e radiale. Nel caso generale si ottiene lo stesso risultatocon calcoli piu lunghi. L’equazione (3.25) diventa

(dr

dτ)2 = 1 + E(1− rS

r),

da cui, tenendo conto che si stanno considerando traiettorie di particelle che cadono, si trova

dr

dτ= −

√r + E(r − rS)√

r.

Se per τ = τ0, la particella si trova in r = r0 > rS , e tocca l’orizzonte degli eventi per τ = τ1, allora

τ1 − τ0 =

∫ τ1

τ0

dτ = −∫ rS

r0

√r√

r + E(r − rS)dr =

∫ r0

rS

√r√

r + E(r − rS)dr. (3.32)

68

Poiche la funzione integranda al secondo membro e continua nell’intervallo [rS , r0], ne segue che la geodetica toccal’orizzonte per un valore finito del parametro affine. Cio e vero in entrambi i casi E < 0 e E = 0, ma, in particolare, nelprimo caso, il parametro affine e, a meno di un fattore costante il tempo proprio della particella, questo significa che laparticella arriva sull’orizzonte in un tempo finito, quindi, se non vi sono impedimenti di natura geometrica e nel paragrafosuccessivo vedremo che non ce ne sono, lo puo attraversare.

Il discorso e diverso se si calcola l’intervallo di tempo coordinato t, necessario per raggiungere l’orizzonte. Infatti perla (3.24), si trova

dr

dt=dr

dτ

dτ

dt= −(1− rS

r)

√r + E(r − rS)√

r,

quindi denotate con t0 e t1 le coordinate temporali della particella, quando le sue coordinate radiali sono rispettivamenter0 e rS , si ha

t1 − t0 =

∫ t1

t0

dt =

∫ r0

rS

r√r

(r − rs)√r + E(r − rS)

dr ≥ m∫ r0

rS

1

r − rSdr,

essendo m il minimo della funzione r√r√

r+E(r−rS)nell’intervallo [rS , r0]. Poiche il secondo membro tende a +∞ come

− log(r − rS), ne segue che l’intervallo t1 − t0 non e limitato, percio la particella arriva sull’orizzonte per t→ +∞.In particolare, poiche il tempo proprio di un osservatore in quiete rispetto alla stella e proporzionale al tempo coordi-

nato, ne segue che per tale osservatore passera un tempo infinito prima che la particella arrivi sull’orizzonte, cioe vedraavvicinarsi asintoticamente la particella all’orizzonte.

3.2.3 Verifiche sperimentali

Si e gia visto nella discussione sulle orbite nello spazio-tempo di Schwarzschild che, nel caso in cui, durante il moto, rdiventa cosı piccolo che il limite classico non e piu valido, allora le orbite differiscono sostanzialmente da quelle classiche.In particolare, nel caso dei moti legati, si e visto che il perielio dell’orbita subisce uno spostamento dopo ogni giro. Questaprevisione e una descrizione qualitativa dell’orbita di Mercurio, il quale trovandosi piu vicino al Sole degli altri pianeti epiu sensibile agli effetti non classici del campo gravitazionale. Le previsioni sull’orbita di Mercurio, dedotte nell’ambitodello spazio-tempo di Schwarzschild, sono in accordo anche quantitativamente con i dati sperimentali. Ma gli accordi piuspettacolari con i dati sperimentali si hanno dove il campo gravitazionale e molto forte, quindi dove la differenza tra leprevisioni delle due teorie e notevole. Questo e il caso del pulsar binario psr1913 + 16, che mostra una forte precessionecausata dall’orbita molto eccentrica in cui il semiasse maggiore e dell’ordine di un milione di chilometri13. Il valorenumerico di tale precessione e in perfetto accordo con le previsione relativistiche. Inoltre la teoria di Einstein prevedeche, come nel caso di una carica elettrica che se accelerata irradia, un corpo che si muove in un campo gravitazionaleirradia energia sotto forma di onde gravitazionali. In questa maniera il sistema binario perde continuamente energia,manifestandosi cio in una variazione del periodo orbitale, che nel caso di campi gravitazionali deboli, non e possibilemisurare in un arco di tempo paragonabile alla vita umana. Nel caso della pulsar binaria, invece, in venti anni diosservazioni si e stato possibile misurare una variazione del periodo, in accordo con i risultati previsti dalla teoria, finoalla quattordicesima cifra decimale. Per questo risultato, gli autori Hulse e Taylor hanno vinto il premio nobel nel 1993.

Altre verifiche sperimentali riguardano la deflessione della luce da parte del campo gravitazionale, che abbiamo vistonello studio delle geodetiche di tipo nullo dello spazio-tempo di Schwarzschild. Per verificare questo effetto basta sem-plicemente confrontare due fotografie dello stesso campo stellare, riprese rispettivamente, quando il campo stellare vienevisto vicino al bordo solare durante un’eclissi, ed a distanza di sei mesi, di notte. Come si vede dalla fig. 3.6, i raggiluminosi passanti vicino al Sole arrivano all’osservatore deviati di un certo angolo rispetto a quando non c’e il campogravitazionale del Sole. Tale angolo, dedotto dall’integrazione approssimata dell’equazione (3.31) e in accordo con quelloche determina la differenza di posizione del campo stellare nelle due foto, con errori non superiori al 20%.

Migliori risultati si ottengono misurando la deflessione di radioonde emesse da sorgenti quasi-stellari, mediante radio-telescopi. Due di queste sorgenti 3C279 e 3C273, vengono periodicamente occultate dal sole e si prestano a misure conmargine di errore piccolo (uno per cento). Altre verifiche sono state eseguite misurando echi radar da parte di pianeti esatelliti artificiali in orbita attorno al Sole.

Spostamento gravitazionale verso il rosso

Un’altra previsione della relativita generale e la variazione della lunghezza d’onda della luce nell’attraversamento di uncampo gravitazionale. Tutte le particelle materiali che salgono in un campo gravitazionale, vengono rallentate e quindiperdono energia cinetica. La stessa cosa vale per la luce, solo che i fotoni dovendo viaggiare (nel vuoto) a velocita invariabilec, manifestano la perdita di energia in una diminuzione della frequenza, legata all’energia dalla formula E = hν, dove he la costante di Planck.

13tenendo conto che la distanza media Terra-Sole e di circa 149 milioni di chilometri, la grande eccentricita dell’orbita da un’idea di quantopiccola deve essere la distanza minima tra ciascuna stella ed il centro di gravita del sustema.

69

A

B

Figura 3.6: Posizione reale e posizione apparente di una stella vista attraverso un campo gravitazionale.

Per spiegare quantitativamente questo fenomeno, consideriamo un osservatore B in quiete sulla superficie di una stella odi un pianeta di massa M e raggio R ed un osservatore A, in quiete rispetto a B ma ad un’altezza rA maggiore di R, quindile linee di universo dei due osservatori sono linee coordinate di t, cioe, la linea di universo di B e (t, r = R, θ = θB , φ = φB)mentre quella di A e (t, r = rA, θ = θA, φ = φA), mentre il tempo prorio dei due osservatori, come si e gia visto in diverse

occasioni, e τB = eν(R)

2 t =√

1− rSc2R t, τA = e

ν(rA)

2 t =√

1− rSc2rA

t, dove le unita di misura sono generiche. Supponiamo,

ora, che B illumini A. Se T e l’intervallo di tempo coordinato tra due creste d’onda successiva, allora l’intervallo di tempo

proprio misurato da B tra le due creste d’onda e τB =√

1− rSc2RT , mentre quello misurato da A e τA =

√1− rS

c2rAT ,

quindi le lunghezze d’onda misurate da A e B rispettivamente sono λA = cτA e λB = cτB , da cui si vede che λA > λB : Amisura una maggiore lunghezza d’onda e quindi una frequenza inferiore, da cui lo spostamento verso il rosso. Denotatocon z l’eccedenza rispetto a 1 del rapporto tra le due lunghezze d’onda, si ha

1 + z =λAλB

=

√1− rS

c2rA√1− rS

c2R

, (3.33)

da cui, supponendo che A si trovi ad una distanza molto grande dalla stella, si ottiene

z ∼= (1− rSc2R

)−12 − 1, (3.34)

che e la formula per lo spostamento gravitazionale verso il rosso. In particolare quando R → rS , z → +∞, mentre seR rS , allora la (3.34), trascurando i termini di ordine superiore al primo in rS

R , si scrive

z ∼=GM

c2R, (3.35)

che e la formula dello spostamento verso il rosso di una stella non collassata misurato all’infinito. E stato misurato ilredshift gravitazionale di alcune nane bianche, come Sirius B, dove z e dell’ordine di 10−4. Ma conferme sperimentalisono avvenute anche in laboratorio utilizzando il campo gravitazionale terrestre.

3.2.4 Le singolarita della soluzione di Schwarzschild.

Come si e visto precedentemente,la metrica di Schwarzschild (3.15) e singolare nel punto r = 0 e sulla sfera r = rS .Nei paragrafi precedenti, non se n’e tenuto conto, perche si e supposto il raggio della stella che detemina il campogravitazionale, maggiore di rS . Quando, pero, una stella esaurisce il suo combustibile e viene a mancare la pressioneinterna, essa comincia a collassare. Tale collasso gravitazionale, che, nel caso di stelle piccole, puo arrestarsi ad un certostadio, per stelle di massa superiore ad una massa critica che e dell’ordine di 2 masse solari, continua senza limite. Inuna situazione di questo genere, compaiono le singolarita citate sopra. Studiando le traiettorie delle particelle in cadutalibera, si e visto che tale limite puo essere superato. Quindi per vedere qual’e il destino delle particelle che lo attraversano,bisogna studiare anche l’altra componenete 0 < r < rS dello spazio-tempo di Schwarzschild. A tal proposito bisognadeterminare la natura geometrica dei punti r = 0 r r = rS in cui il tensore metrico non e definito

Una singolarita del tensore metrico puo essere di due tipi: o dipendente dal sistema di coordinate ed in quanto taleeliminabile con un opportuno cambiamento di coordinate o e una singolarita della geometria. Per poter fare rigorosamentequesta distinzione, occorre dare una definizione generale di singolarita geometrica. Tale definizione generale non esiste,pero esistono dei criteri per vedere se una singolarita porta a delle patologie geometriche che poi fisicamente si traducono

70

in qualcosa che va oltre la comune capacita di comprensione. Per esempio, si puo controllare se su una singolarita iltensore di curvatura e divergente. Tale criterio non si basa, ovviamente sull’analisi delle singole componenti del tensoredi curvatura, che dipendono dal sistema di coordinate, ma sull’analisi di invarianti costruiti a partire dal tensore dicurvatura. Per esempio la funzione RijhkRijhk, per il criterio di tensorialita, e un invariante e, nel caso della soluzione diSchwarzschild, diverge come r−6 per r → 0, quindi, in base a tale criterio, il punto r = 0 e una singolarita geometrica. Ildivergere del tensore di curvatura, si traduce fisicamente nel fatto che le forze mareali, che da esso dipendono linearmente,tra punti vicini in caduta libera in r = 0, crescono senza fine. Quindi, per il malcapitato osservatore che cade in r = 0,nessuna forza sarebbe in grado di tenere aggregate le particelle di cui e composto. Si puo anche verificare che ci sonosingolarita di natura geometrica, quando lo spazio-tempo non e geodeticamente completo, cioe se esistono geodetichedi tipo tempo che non possono piu essere continuate oltre un dato valore del parametro affine. Una situazione di questogenere porta alla conclusione che, la particella che segue tale geodetica, trovera il bordo dello spazio e la fine del tempo,perche il parametro affine e, a meno di un fattore, il tempo proprio dell’osservatore. La funzione integranda nella (3.32) econtinua anche per r=0, quindi la particella che cade nella singolarita r = 0, vi arriva in un tempo proprio finito. Quindilo spazio-tempo di Schwarzschild non e geodeticamente completo in r = 0.

Si e visto che r = 0 costituisce una singolarita geometrica, altrettanto non si puo dire per i punti dell’orizzonte deglieventi. Infatti non ci sono invarianti costruiti a partire dal tensore di curvatura che divergono per r → rS ed inoltre sipuo verificare direttamente che tale singolarita del tensore metrico sono eliminabili con un cambiamento di coordinate.

Prima di vedere cio, chiariamo il concetto con degli esempi.

Esempio 15 Consideriamo lo spazio-tempo:

ds2 = − 1

t4dt2 + dr2 + r2dΩ2, (3.36)

tale tensore metrico e singolare per t = 0 ed e definito nelle due componenti connesse t < 0 e t > 0. Tutto cio pero nonrappresenta niente di concreto per quanto riguarda la topologia e la connessione dello spazio-tempo, infatti tale singolaritadipende dal particolare sistema di coordinate scelto: la trasformazione t′ = 1

t trasforma la (3.36) in

ds2 = −dt′2 + dr2 + r2dΩ2,

che, come e noto, e lo spazio-tempo di Minkowskii bidimensionali.

Esempio 16 Lo spazio-tempo di Rindler e definito dalla metrica:

ds2 = −x2dt2 + dx2 −∞ < t <∞, 0 < x <∞. (3.37)

In questo caso, per x = 0, la metrica e degenere e quindi la sua inversa e singolare, ma come si verifica immediatamentex = 0 non e una singolarita geometrica, infatti, facendo i calcoli si vede che non solo non e possibile costruire mediante iltensore di curvatura, un invariante divergente per x→ 0, ma addirittura il tensore di curvatura e identicamente nullo. Ciovuol dire che lo spazio-tempo (3.37) e, almeno localmente, lo spazio-tempo di Minkowskii bidimensionale. Per eliminare lasingolarita, passiamo dalla coordinata temporale t e spaziale x a coordinate di tipo nullo.14 Una curva e di tipo nullo se,indicato con k = dt

dτ∂∂t + dx

dτ∂∂x il vettore tangente, si ha 0 = gijk

ikj = −x2( dtdτ )2 + (dxdτ )2, da cui eliminando il parametro

τ , si ricava ( dtdx )2 = 1x2 , da cui t = ± log x+ cost, quindi, i parametri

u = t− log x, v = t+ log x ⇔ t =u+ v

2, x = exp

v − u2

(3.38)

sono le coordinate nulle cercate, infatti per u = cost o per v = cost, si ottengono le curve di tipo nullo. Nelle nuovecoordinate il tensore (3.37) diventa

ds2 = −ev−ududv, (3.39)

da cui si vede, in altro modo, perche le coordinate u e v sono nulle, infatti ∂∂u ·

∂∂u = g00 = 0 e ∂

∂v ·∂∂v = g11 = 0.

Il tensore metrico (3.39), e definito per −∞ < u <∞ e −∞ < v <∞ senza nessuna singolarita, ma non estende lospazio-tempo di Rindler su x = 0, perche per tale valore di x, le nuove variabili non assumono valori finiti. L’ulterioretrasformazione di coordinate U = −e−u < 0 e V = ev > 0, trasforma la (3.39) nella

ds2 = −dUdV. (3.40)

La (3.40), oltre ad essere piu semplice della (3.39), e equivalente a quest’ultima per U < 0 e per V > 0. Nessuno ciimpedise, pero, di considerare la (3.40) per −∞ < U < ∞ e −∞ < V < ∞ che e un’estensione della (3.39) e quindi

14Una coordinata si dice temporale(spaziale, nulla) quando la linea coordinata corispondente e una curva di tipo tempo(spazio, nullo),cioe quando il vettore della base naturale ad essa associata e un vettore di tipo tempo (spazio, nullo). Cosı, per esempio le linee coordinatecorrispndenti a t sono di tipo tempo, perche ∂

∂t· ∂∂t

= g00 = −x2 < 0.

71

x=x

x=x

x=x

x=x

t=t

t=t

t=t

1

2

3

4

1

2

4

t=t3

x=0

x=0

I

II

X

T

III

IV

t=+

t=− OO

OO

Figura 3.7: Spazio-tempo di Minkowskii come estensione dello spazio-temo di Rindler (zona I)

della (3.37), e contiene x = 0⇔ (u→ +∞, v → −∞)⇔ (U = 0, V = 0). Quindi dopo questi cambiamenti di coordinatela metrica di Rindler e stata estesa, in maniera da contenere i punti singolari della metrica originaria, come punti nonsingolari.

Infine la trasformazione di coordinate T = (U+V )/2, X = (V −U)/2, trasforma la (3.40) nella metrica di Minkowskiibidimensionale

ds2 = −dT 2 + dX2, −∞ < T <∞, −∞ < X <∞. (3.41)

Si puo concludere dicendo che lo spazio-tempo di Rindler e una porzione dello spazio-tempo di Minkowskii e che i suoipunti singolari x = 0, non sono singolarita geometriche, perche nelle coordinate (T,X), il tensore metrico, in essi non edegenere. Tale relazione puo essere meglio visualizzata, scrivendo il legame esistente tra le coordinate di Rindler (t, x) ele coordinate di Minkowskii (T,X)

t = tanh−1 T

X, x =

√X2 − T 2, X > 0, −X < T < X, (3.42)

dedotto dalla composizione delle precedenti trasformazioni di coordinate. Nella fig. 3.7, si vede che, per la (3.42), lospazio-tempo di Rindler corrisponde alla zona I dello spazio-tempo di Minkowskii ed e delimitato dalle rette X = ±T .In tale zona le linee coordinate t = cost e x = cost, sono, rispettivamente, le semirette uscenti dall’origine ed i rami diiperboli equilatere aventi come asintoti le rette X = ±T .

Le linee (di tipo tempo) γx0 , di equazione x = x0 > 0, rappresentano le linee d’universo di osservatori uniformementeaccelerati (modulo della quadriaccelerazione costante). Calcoliamo il modulo della quadriaccelerazione di tali osservatori:

1. vettore tangente: V = ∂∂t = (1, 0, 0, 0),

2. tempo proprio: dτ =√|gijV iV j |dt =

√|g00|dt = xdt ⇒ dt

dτ = x−10 ,

3. quadrivelocita: U = ∂∂τ = dt

dτ∂∂t = x−1

0∂∂t = (x−1

0 , 0, 0, 0),

4. quadriaccelerazione: A = ∇UU ⇒ Ai = U i(∂iUj + ΓjihU

h) = x−10

∂Uj

∂t + Γj00x−20 = (0, x−1

0 , 0, 0), essendo l’ultima

eguaglianza conseguenza di: ∂U0

∂t = ∂U1

∂t = 0 e Γ000 = 0, Γ1

00 = − 12g

11∂1g00 = x0,

5. modulo della quadriaccelerazione: |A| =√A ·A =

√(A1)2 = x−1

0 .

In conclusione, piu piccolo e x0, piu grande e la quadriaccelerazione e al tendere di x0 a 0, essa tende a +∞. Cosa checi si poteva aspettare guardando la fig. 3.7, infatti le linee x = x0 sono delle iperboli, che, quando x0 → 0, tendono alcono di luce.

72

Nello spazio-tempo di Schwarzschild si puo fare un ragionamento analogo. Le linee d’universo degli osservatori fermirispetto alla stella (o comunque alla sorgente puntiforme del campo gravitazionale), hanno equazione r = r0, θ = θ0,φ = φ0. Tali osservatori sono accelerati, perche non essendo il loro moto geodetico, la loro quadriaccelerazione e non

nulla. Si e gia visto che, per questi osservatori il tempo proprio e σ = eν(r0)

2 t e la quadrivelocita U = ∂∂σ = e−

ν(r0)2

∂∂t ,

quindi la quadriaccelerazione e: A = ∇UU ⇒ Ai = U i(∂iUj + ΓjihU

h) = e−ν(r0)

2∂Uj

∂t + Γj00e−ν(r0) ⇒ A0 = A2 = A3 =

0, A1 = Γ100e−ν(r0) = 1

2eν(r0)ν′(r0) = 1

2deν

dr (r0) = GMr20

, da cui |A| =√A ·A =

√g11(A1)2 = (1− rS

r0)−

12GMr20

.

Osservazione 10 L’accelerazione degli osservatori in quiete rispetto alla stella e nel limite classico, l’accelerazione digravita. Infatti, classicamente, da mg = GMm

r20

15, semplificando la massa inerziale con la massa gravitazionale, si ottiene

g = GMr20

, che e quanto trovato nel caso relativistico se r0 rS. Comunque l’eguaglianza e solo numerica, perche nelle

due teorie queste accelerazioni hanno significato diverso: classicamente l’accelerazione di gravita e l’accelerazione a cui esoggetto un punto sotto l’azione dell’attrazione gravitazionale, in relativit’a generale e dovuta al fatto che il moto non equello spontaneo (geodetico). Detto in altri termini, classicamente il peso ha il significato di forza attiva (eventualmentecorretta dalle forze di trascinamento dovute alla rotazione), in relativita generale ha il significato di forza apparente.

Dal risultato precedente si vede che la quadriaccelerazione e tanto piu grande, quanto r0 e piccolo, in particolare,quando r0 → rS , |A| → +∞, cioe e necessaria un’accelerazione infinita per poter stare in quiete (rispetto al campogravitazionale) sull’orizzonte degli eventi.

Tale situazione e simile a quella dello spazio-tempo di Rindler e, se si tiene conto che dopo la trasformazione dicoordinate y = x2, la metrica (3.37), assume la forma ds2 = −ydt2 + 1

4ydy2, si puo pensare che le singolarita sull’orizzonte

degli eventi per la metrica di Schwarzschild, siano della stessa natura della singolarita x = 0 per la metrica di Rindlere che quindi si possa operare un cambiamento di coordinate simile al precedente, che estenda la soluzione ed elimini lesingolarita.

A causa della simmetria sferica dello spazio-tempo di Schwarzschild, solo i primi due addendi della metrica so-no importanti per analizzare la natura delle singolarita in r = rS . Quindi nel seguito verra considerata la metricabidimensionale

ds2 = −(1− rSr

)dt2 + (1− rSr

)−1dr2, r > rS −∞ < t <∞. (3.43)

Praticamente si passa dallo spazio-tempo (3.43) allo spazio-tempo (3.15) sostituendo ad ogni punto di coordinate (t0, r0),la sfera di centro il punto (t0, 0) e raggio r0.

Come prima cosa si introducono coordinate di tipo nullo. Per far cio, si osserva che (t(τ), r(τ)) sono le equazioniparametriche di una curva di tipo nullo se e solo se il suo vettore tangente k = dt

dτ∂∂t + dr

dτ∂∂r verifica l’equazione

0 = gijkikj = −(1− rS

r)(dt

dτ)2 + (1− rS

r)−1(

dr

dτ)2,

che e equivalente all’equazione differenziale

(dt

dr)2 = (1− rS

r)−2 ⇔ dt

dr= ± r

r − rS,

che si integra immediatamente:

t = ±r∗ + cost, dove r∗ = r + rS log

∣∣∣∣ rrS − 1

∣∣∣∣ , (3.44)

con dr∗dr = (1− rS

r )−1. Quindi le coordinate di tipo nullo sono:

u = t− r∗, v = t+ r∗ ⇔ t =u+ v

2, r∗ =

v − u2

, (3.45)

da cui si trova

ds2 = −(1− rSr

)1

4(du+ dv)2 + (1− rS

r)−1 1

4(dv − du)2(

dr

dr∗)2,

ed infineds2 = −(1− rS

r)dudv, (3.46)

dove r e definito implicitamente dall’equazione

r + rS log

∣∣∣∣ rrS − 1

∣∣∣∣ =v − u

2.

15poiche siamo in ipotesi di simmetria sferica, si sta supponendo la rotazione della stella attorno ad un suo asse nulla o trascurabile.

73

Dividendo ambo i membri di quest’ultima equazione per rS e passando agli esponenziali, si trova

errS

∣∣∣∣ rrS − 1

∣∣∣∣ = ev−u2rS ⇒ r

rS

∣∣∣1− rSr

∣∣∣ = e− rrS e

v−u2rS ,

quindi la (3.46) si puo anche scrivere

ds2 = ∓rSre− rrS e

v−u2rS dudv, (3.47)

dove il segno in alto si riferisce alla regione r > rS e quello in basso alla regione 0 < r < rS . In questo modo si e

fattorizzato il coefficiente degenere 1− rSr della (3.46) in un fattore non degenere: rS

r e− rrS ed in uno degenere: e

v−u4GM . Per

analogia con il caso di Rindler, la trasformazione di coordinate

U = −e−u

2rS < 0, V = ev

2rS > 0, (3.48)

per r > rS eU = e

− u2rS > 0, V = e

v2rS > 0, (3.49)

per 0 < r < rS trasforma la (3.47) nella

ds2 = −4r3S

re− rrS dUdV (3.50)

A questo punto la metrica precedente, puo essere estesa in maniera regolare a −∞ < U <∞,−∞ < V <∞, dove alleregioni U < 0, V > 0 corrispondente a z > rS e U > 0, V > 0 corrispondente a < r < rS vi sono le nuove regioni V < 0.

Ora basta passare da coordinate nulle (U, V ) a coordinate temporali e spaziali (T,X), con la solita trasformazione dicoordinate T = U+V

2 , X = V−U2 ⇔ U = T −X, V = T +X, per ottenere

ds2 =4r3S

re− rrS (−dT 2 + dX2)

e quindi la metrica completa di Schwarzschild nelle coordinate trovate da Kruskal

ds2 =4r3S

re− rrS (−dT 2 + dX2) + r2dΩ2, (3.51)

dove r e una funzione di (T,X) definita implicitamente dall’equazione

errS

∣∣∣∣ rrS − 1

∣∣∣∣ = ev−u2rS = ∓UV

da cuierrS (

r

rS− 1) = −UV = X2 − T 2, (3.52)

mentre t e legata alle nuove coordinate da

t =u+ v

2= −rS log∓U + rS log V = rS log

V

∓U= rS log

X + T

∓(T −X)= 2rS tanh−1

(T

X

)±1

. (3.53)

Nella fig. 3.8 viene riportata una rappresentazione bidimensionale dell’estensione di Kruskal dello spazio-tempo diSchwarzschild: come prima, ogni punto di coordinate (t0, r0) rappresenta la sfera di centro (t0, 0) e raggio r0. Talediagramma puo essere capito ed interpretato, utilizzando le equazioni (3.52) e (3.53), che legano tra di loro le cordinate(t, r) di Scwarzschild a quelle (T,X) di Kruskal.

Schematicamente le caratteristiche principali del diagramma di Kruskal sono le seguenti:

1. Le curve di tipo nullo sono quelle di equazione T = ±X + cost. Questo deriva dal fatto che in coordinate (U, V ), lecurve di tipo nullo hanno equazione U = cost e V = cost e dal legame V = T +X,U = T −X che intercorre tra idue sistemi di coordinate.

2. Il vettore tangente nel generico punto di una curva di tipo tempo, deve formare con l’asse T un angolo inferiore a450 gradi. Cio perche deve essere interno al cono di luce ed i coni di luce sono formati da rette a 450 gradi (fig. 3.9).

3. L’orizzonte degli eventi e costituito dalle due rette T = ±X, mentre nelle vecchie coordinate e r = rS e t = ±∞.In coordinate (U, V ), l’orizzonte degli eventi ha equazione U = 0, V = 0, che in coordinate (T,X) diventa T = ±X.Mentre per la (3.53), su T = ±X deve essere t = ±∞, cio e in accordo con quanto dimostrato prima, cioe cheuna particella impiega un tempo coordinato infinito per arrivare sull’orizonte degli eventi e spiega il motivo dellasingolarita sull’orizzonte degli eventi.

74

t=t

t=t

t=t

1

2

4

t=t3

I

II

X

T

III

IV

r=r

r=r

r=r

r=r

1

2

3

4

r=0

r=2GM

r=0

r=2GM

t=+

t=− OO

OO

Figura 3.8: Estensione di Kruskal dello spazio-tempo di Schwarzschild

4. La regione dello spazio-tempo di Schwarzschild dove r > rS e la regione U = T − X < 0 e V = T + X > 0,cioe la regione I. Dalle equazioni (3.52) e (3.53), si riconosce subito che le linee coordinate r = r0 e t = t0 sonorispettivamente i rami di iperbole X2 − T 2 = α(r0) > 0 e le semirette T = β(t0)X con β(t0) ∈ <.

5. La regione dello spazio-tempo di Schwarzschild dove 0 < r < rS e la regione U = T −X > 0 e V = T +X > 0, cioela regione II. La singolarita geometrica r = 0, e, per la (3.52) l’iperbole di tipo spazio, di equazione T 2 −X2 = 1 edovendo essere r > 0, lo spazio-tempo si riduce all’aperto delimitato dalla disequazione T 2 −X2 < 1.

6. Le regioni III e IV compaiono solo nelle nuove coordinate e quest’ultima e identica alla regione I. Le regioni incui r > rS , per la (3.52) sono quelle delimitate dalla disequazione X2 − T 2 > 0, cioe le regioni I e IV , ma quellacorrispondente allo spazio-tempo di Schwarzschild e la regione I. La regione con 0 < r < rS dello spazio-tempo diScharzschild e una delle regioni conteneti la singolarita geometrica r = 0, quindi o la II o la III. Ma delle due, solola II e raggiungibile da curve di tipo tempo, orientate verso il futuro. Scambiando X con −X il tensore metriconon varia, quindi le regioni I e IV sono geometricamente identiche.

Le conseguenze logiche di quello che e stato detto sopra sono:

1. Una particella che si trova nella regione I (IV ), o non attraversa mai l’orizzonte degli eventi ed in tal caso rimanenella regione di partenza oppure, se lo attraversa, andando verso il futuro puo solo raggiungere la regione II. Dallaregione II non puo piu scappare e dovra cadere nella singolarit’a r = 0, infatti partendo da un qualunque puntointerno della regione II, anche andando alla massima velocita, quella della luce, la sua traiettoria sarebbe una rettaparallela ad una delle bisettrici degli assi e quindi parallela all’orizzonte ed in quanto tale non e piu in grado diattraversarlo e deve necessariamente incontrare l’iperbole r = 0. Invece una particella che si muove alla velocitadella luce, se si trova sopra l’orizzonte, puo mantenere la sua linea d’universo coincidente con l’orizzonte e quindipuo evitare di cadere sulla singolarita. Questo e il motivo della parola orizzonte usata per definire l’ipersuperficier = rS , infatti esso e una linea di demarcazione oltre la quale non e visibile niente, perche dentro di esso anchela luce rimane intrappolata. Per tale motivo una stella che collassando, lascia scoperto l’orizzonte degli eventi, sichiama buco nero (black hole).

2. Le particelle che si trovano nella regione III possono solo uscire, ma non entrare.

3. Nessuna particella puo andare dalla regione I alla regione IV o viceversa, infatti partendo da un punto qualun-que della regione I, anche seguendo una retta parallela ad una bisettrice (velocita della luce), si rimane parallelial’orizzonte e quindi o si cade nella regione II o si resta nella regione di partenza.

Nel tentativo di mettere assieme in un unico spazio-tempo connesso le regioni r > rS e 0 < r < rS dello spazio-tempo diSchwarzschild, sono state trovate le coordinate di Kruskal, che, oltre a risolvere tale problema, fanno nascere le due nuove

75

I

II

X

T

III

IV

r=0

r=2GM

r=0

r=2GM

t=+

t=− OO

OO

Figura 3.9: Linee di universo di due particelle, di cui solo una ha sufficente accelerazione per non oltrepassare l’orizzontedegli eventi

regioni III e IV , dove la IV e identica alla I e la III e l’immagine speculare rispetto al tempo della II. La regione III,non viene considerata una regione fisica, nel senso che essa possa effettivamente esistere in una situazione reale. Tentiamodi visualizzare geometricamente la regione IV . Nella fig. 3.8, si vede che le ipersuperfici t = cost sono rappresentatedalle rette uscenti dall’origine. Esse attraversano sia la regione I che la regione IV ed il punto di collegamento e l’origine,cioe la sfera t = cost, r = rS . Quindi, ciascuna di tali ipersuperfici e rappresentata da due spazi asintoticamente piatti,collegati tra di loro da un cunicolo passante per l’orizzonte degli eventi. Nella fig. 3.10 si vede il raccordo sull’orizzontedi due superfici equatriali di tempo costante, ciascuna appartenente ad una regione diversa. Guardando la fig. 3.10, siha la sensazione che attraversando l’orizzonte degli eventi si possa uscire in un altro universo identico a quello in cui sie entrati. Cio ovviamente non e vero, perche per quanto si e visto prima, i due universi non sono collegabili con curvedi tipo tempo, quindi chi entra nel cunicolo o da una parte o dall’altra, e attraversa l’orizzonte degli eventi, dovrebbeviaggiare con una velocita maggiore di quella della luce per poter sfuggire alla singolarita ed entrare nell’altro universo.

Se consideriamo una stella a simmetria sferica ma dotata di carica elettrica e, integrando le equazioni di Einstein, siottiene la soluzione di Reissner-Nordstrom:

ds2 = −(1− rSr

+r2Q

r2)dt2 + (1− rS

r+r2Q

r2)−1dr2 + r2dΩ2, (3.54)

dove, in unita di misura non adattate alle costanti universali, come al solito rS = 2GMc2 e r2

Q = Q2Gkc4 , essendo Q la carica

della stella e k = 14πε0

la costante di Coulomb nel vuoto. Si vede immediatamente che per Q = 0 la metrica (3.54) siriduce alla metrica di Schwarzschild. Estendento tale spazio-tempo, come si e fatto nel caso di Schwarschild, si vede chela singolarita geometrica r = 0 corrisponde ad una curva di tipo tempo, quindi evitabile anche a velocita inferiori a quelladella luce ed inoltre per 0 < Q2 < m2, dopo la regione con la singolarita, c’e un universo simile a quello da cui si e usciti,accessibile anche a velocit’a inferiore a quella della luce.

Quanto e stato detto prima, porta ad situazioni paradossali, sia nel caso dello spazio-tempo di Schwarzschil sia inquello di Reissner-Nordstrom, una stella a simmetria sferica, collassando crea un altro universo che nel primo caso (caricanulla) e inaccessibile, mentre nel secondo caso (carica non nulla) e addirittura accessibile. A questo punto bisogna direche non c’e motivo per ritenere che esistano stelle cariche, perche in una stella, le cariche elettriche positive sono, grossomodo uguali in numero a quelle negative. Ma anche se esistessero, poiche il secondo universo si trova nel futuro rispetto alprimo, un osservatore o una telecamera che riuscisse ad attraversare il cunicolo, integro malgrado le enormi forze mareali,non potrebbe piu comunicare con l’universo che si e lasciato alle spalle.

In conclusione, questi neo-universi non vengono considerati fisici, ma solo il prodotto secondario di una trasforma-zione matematica che serve ad eliminare le singolarita non geometriche. Pero il fatto che questi cunicoli vengano fuorimatematicamente dalle equazioni di Einstein, fa pensare che essi possano emergere in situazioni diverse ed in forma menoparadossale. Per esempio, cunicoli di questo genere, che vengono chiamati wormholes, potrebbero essere delle scorciatoie

76

Figura 3.10: Superficie t = cost, θ = π2 , la parte piu stretta del cunicolo e r = rS .

che collegano zone distanti dello spazio-tempo. Alcuni hanno proposto che lo spazio-tempo su scala microscopica non siaun continuo omeomorfo ad <4, ma che abbia una topologia estremamente complessa formata da un intreccio inestricabiledi tali cunicoli, la cosidetta schiuma spazio-temporale.

3.3 Buchi neri. Soluzione di Kerr-Newman

Si e gia detto che una stella, che, alla fine della sua evoluzione, possiede una massa superiore ad un certo limite, devecollassare senza limite, perche nessuna forza e in grado di sostenerla. Se il collasso e isotropo, cioe avviene in misuraeguale in tutte le direzioni, allora rientriamo nell’ipotesi di simmetria sferica, e tale collasso gravitazionale da luogo adun orizzonte degli eventi e quindi ad un buco nero, come si e visto nello studio della soluzione di Schwarzschild. In realtal’ipotesi di simetria sferica, che puo andare bene per lo studio del campo gravitazionale di una stella ordinaria, non eun’ipotesi realistica nel caso di un oggetto collassato. Infatti, se prima del collasso, la stella aveva una sia pur minimavelocita angolare, tanto da considerare una buona approssimazione l’ipotesi di simmetria sferica, man mano che collassa,tale velocita, dovendosi conservare il momento angolare, aumenta senza limite. Quindi la soluzione di Schwarzschild, checi da una prima visione teorica del campo gravitazionale di una stella collassata, non e realistica, percio bisogna trovarequalche soluzione piu rispondente alla realta. Una soluzione che generalizza quella di Schwarzschild nel caso di una stellacaratterizzata, oltre che da una massa M , anche da un momento angolare per unita di massa a, e stata trovata da Kerrnel 1963 ed estesa poi da Newmann nel caso in cui tale stella fosse dotata anche di carica elettrica Q. Tale soluzione,che verra chiamata soluzione di Kerr-Newman, e a simmetria assiale e, in unita di misura dove c = 1 e in coordinate(t, r, θ, φ) di Boyer e Lindquist, ha la seguente forma

ds2 = ρ2(dr2

∆+ dθ2) + (r2 + a2) sin2 θdφ2 − dt2 +

rSr

ρ2(a sin2 θdφ− dt)2, (3.55)

con∆(r) = r2 + a2 +GQ2 − rSr, ρ2(r, θ) = r2 + a2 cos2 θ.

Per quanto riguarda il collasso di un corpo qualunque, non e stata trovata nessuna soluzione esatta in relativita generale chelo descriva. Potrebbero succedere diverse cose, per esempio il corpo si puo frammentare, o cambiare di forma emettendoonde gravitazionali. In ogni caso se la massa finale supera la massa critica, ci si aspetta che tale corpo diventi un buconero, cioe che ci sia la formazione di un orizzonte degli eventi. Comunque, e opinione comune che, qualunque sia laforma del corpo prima di inziare il collasso, alla fine l’orizzonte sara altamente regolare. Tale congettura e basata su unteorema di Price il quale afferma che se il collasso e approssimativamente sferico, quando la stella diventa un buco nero,tutte le informazioni sul corpo di partenza, diverse da quelle riguardanti massa, momento angolare e carica elettrica,andranno perse. Quindi il risutato finale di tale collasso e la soluzione di Kerr-Newman, poiche, alla fine, le unichequantita fisiche sopravvissute sono quelle che caratterizzano tale soluzione. Il teorema no hair (senza peli) che, per ora esolo una congettura, afferma che, qualunque sia lo stato iniziale del corpo prima del collasso gravitazionale, quindi anchese le ipotesi di Price non fossero verificate, lo stato finale sara caratterizzato soltanto dalla massa, momento angolare ecarica elettrica del corpo di partenza. Se tale congettura fosse verificata, la (3.55), descriverebbe il risultato finale di ognicollasso gravitazionale.

In questo paragrafo la (3.55), verra studiata brevemente, solo per mettere in risalto le differenze con la soluzione siSchwarzschild, a cui essa si riduce per a = Q = 0. Poiche, come ’e stato gia osservato, tipicamente una stella non ha caricaelettrica, non si perdera molto in generalita mettendoci nell’ipotesi che Q = 0. In questa ipotesi la (3.55) e formalmentela stessa, l’unica differenza e l’espressione di ∆(r), che per Q = 0 diventa ∆(r) = r2 + a2 − rSr.

77

θ=0

θ=π/2

r=r+r=r

−

r=r

r=r

+

−

Figura 3.11: Limite statico, orizzonti degli eventi e singolarita, nel caso a2 < G2M2, la zona in grigio e l’ergosfera. Nellaseconda figura e rappresentata la sezione equatoriale (θ = π

2 ), si notino i coni di luce tangenti agli orizzonti.

Consideriamo un osservatore in quiete rispetto alle stelle fisse, quindi le sue coordinate spaziali sono costanti. la sualinea di universo ha equazioni parametriche (t, r = r0, θ = θ0, φ = φ0). Affinche un tale moto sia possibile, il vettoretangente alla linea d’universo ∂

∂t deve essere di tipo tempo, quindi g00(t, r0, θ0, φ0) < 0, cioe −1 + rSrρ2 < 0, da cui

r2 − rSr + a2 cos2 θ > 0, quindi

r > r(θ) dove r(θ) =rS +

√r2S − 4a2 cos2 θ

2. (3.56)

La superficie limite r = r(θ) si chiama limite statico e delimita, come si e detto prima la regione in cui si puo starefermi rispetto alle stelle fisse, da quella in cui cio non e possibile.

Le possibili singolarita della metrica (3.55) sono per ∆ = 0 e per ρ2 = 0. Nel caso ∆ = 0 il discriminante di taleequazione e r2

S − 4a2, quindi i soli casi in cui ∆ = 0 determina singolarita, sono quelli in cui r2S ≥ 4a2. Nel caso in cui

4a2 < r2S l’equazione ∆ = 0 ammette le soluzioni r± =

rS±√r2S−4a2

2 che corrispondono a due superfici r = r+ e r = r−.Si puo dimostrare che le singolarita su tali superfici non sono geometriche e quindi eliminabili con un’estensione dellospazio-tempo e che esse rappresentano fisicamente orizzonti degli eventi come nel caso della metrica di Schwarzschild, cioepunti di non ritorno oltrepassati i quali non si puo piu tornare indietro. Percio r = r+ e la superficie di un buco nero.

Poiche r+ ≤ r(θ) e r+ = r(θ)⇔ θ = 0, π, la superficie di limite statico ha al suo interno l’orizzonte piu grande r = r+

fig. 3.1116. La zona compresa tra le due superfici si chiama ergosfera ed e precisamente quella regione in cui non si puostare in quiete rispetto alle stelle fisse, ma dalla quale si puo ancora uscire con una velocita inferiore a quella della luce.

E stato ipotizzato da Penrose negli anni sessanta una procedura chiamata processo Penrose per estrarre energia daun buco nero ruotante a spese del momento angolare di quest’ultimo. Se si introduce una massa nell’ergosfera questa nonpotendo stare in quiete perche ha oltrepassato il limite statico viene trascinata dal gampo gravitazionale della stella, sepoi tale massa non cadesse dentro il buco nero, uscirebbe dall’ergosfera con energia superiore a quella con cui era entrata.Tale incremento di energia verrebbe compensato da una diminuzione del momento angolare del buco nero.Chiaramente tale procedimento non puo durare all’infinito: oltre un certo limite il buco nero esaurisce tutto il suomomento angolare, riducendosi ad un buco nero di Schwarzschild, dove non c’e ergosfera.

Nel caso in cui 4a2 = r2S , c’e un solo orizzonte degli eventi, ma non ci sono differenze sostanziali rispetto al caso

precedente. Se invece a2 > G2M2, non c’e nessun orizzonte e quindi non c’e formazione di un buco nero.Restano da studiare la singolarita ρ2 = 0. Passando alle coordinate di Kerr-Schild (t, x, y, z) 17 con la trasformazione

di coordinate

x+ iy = (r + ia) sin θ exp i

∫(dφ+

a

∆dr), z = r cos θ, t =

∫(dt+

r2 + a2

∆dr)− r, (3.57)

la metrica diventa

ds2 = −dt2 + dx2 + dy2 + dz2 +rSr

3

r4 + a2z2(dt+

r(xdx+ ydy)− a(xdy − ydx)

r2 + a2+z

rdz)2, (3.58)

16Nello spazio-tempo di Schwarzschild, il limite statico e l’orizzonte degli eventi coincidono.17in queste coordinate fu trovata inizialmente la soluzione di Kerr.

78

θ=0

φ

θ=0

φ

r=cost

θ=π/2 θ=π/2

θ=π/4

θ=π/2

r=cost<0>0

θ=π/4

θ=π/4

Figura 3.12: Sezioni y = 0 e y′ = 0 degli spazi-tempo r ≥ 0 e r ≤ 0 ed il modo in cui si raccordano sul discox2 + y2 < a2, z = 0 per formare uno spazio-tempo unico.

dove r e determinato implicitamente dall’ equazione

r4 − (x2 + y2 + z2 − a2)r2 − a2z2 = 0. (3.59)

L’equazione precedente, per r > 0, si puo anche scrivere

x2 + y2

r2 + a2+z2

r2= 1, (3.60)

che, per r = r0, rappresenta un ellissoide: linee tratteggiate nella fig. 3.12. La coordinate di Boyer-Lindquist r e nonnegativa, pero dall’equazione precedente si vede che le equazioni r = r0 < 0 definiscono le stesse superfici. Anzi si puofare di piu: si possono considerare le trasformazioni (3.57) anche per r ≤ 0, ottenendo un sistema di coordinate (x′, y′, z′),rispetto a cui la metrica (3.58) resta inalterata. Quindi si possono considerare due spazi-tempo distinti, in coordinate(t, x, y, z) e (t, x′, y′, z′) rispettivamente, con tensore metrico avente la stessa espressione analitica, corrispondenti a r ≥ 0e r ≤ 018. Nella fig. 3.12 sono rappresentate le sezioni (x, z) e (x′, z′).

L’equazione (3.60) vale nel caso in cui r 6= 0, volendo vedere che risultato da per r = 0, basta sostituire la secondadelle (3.57) nella (3.60), ottenendo

x2 + y2 = sin2 θ(r2 + a2), (3.61)

che per r = 0 diventax2 + y2 = a2 sin2 θ.

Quindi per r = 0 gli ellissoidi degenerano nel disco x2 +y2 ≤ a2, che, per la seconda delle (3.57), appartiene al piano z = 0.In particolare, poiche ρ2 si annulla quando contemporaneamente r = 0 e θ = π

2 , ne segue che ρ2 = 0⇔ x2 + y2 = a2, cioela metrica e singolare sulla circonferenza x2 + y2 = a2, z = 0. Facendo i conti si vede che l’invariante RijhkRijhk divergesu tutti i punti di tale circonferenza, quindi essa e una singolarita geometrica.Nella fig. 3.11 e evidenziata la circonferenzasingolare nel piano equatoriale. Nella fig. 3.12, che riporta le sezioni y = 0 e y′ = 0, il disco r = 0, si riduce ad unsegmento e la circonferenza singolare, ai suoi estremi.

I due spazi-tempo (t, x, y, z) e (t, x′, y′, z′), possono essere incollati in modo da formare uno spazio-tempo unico. Poicheuno e definito per r ≥ 0 e l’altro per r ≤ 0, essi possono essere raccordati per r = 0, cioe sul disco x2 + y2 < a2, z = 0.Precisamente tale operazione viene fatta identificando ogni punto di coordinate (x, y) che si trova sulla parte superioredel disco con il punto di coordinate (x′ = x, y′ = y) che sta sulla parte inferiore e viceversa. In tale modo una curva

18si tenga conto che i valori r+ e r− a cui corrispondono gli orizzonti, se esistono, sono sempre positivi, per cui lo spazio-tempo con r ≤ 0non ha orizzonti.

79

che si trova nel primo spazio-tempo ed attraversa il disco dalla parte superiore esce nel secondo spazio-tempo dalla parteinferiore e viceversa.

Proposizione 3.3.1 Tale spazio-tempo, cosı esteso possiede curve chiuse di tipo tempo.

Dimostrazione. Le curve (t0, r0, θ0, φ) sono le curve θ = θ0 tracciate sull’ellissoide t = t0, r = r0, che per la seconda delle(3.57) e la (3.61) sono le circonferenze di equazione z = r0 cos θ0, x

2 + y2 = sin2 θ0(r2o + a2). Quindi sono chiuse. A

questo punto, basta dimostrare che tali curve chiuse, per opportuni valori delle costanti, hanno il vettore tangente ∂∂φ di

tipo tempo e quindi sono di tipo tempo. ∂∂φ ·

∂∂φ = gφφ = (r2 + a2) sin2 θ + rSra

2 sin4 θr2+a2 cos2 θ . Se si sceglie θ0 = π

2 e r0 < 0,

cioe si sceglie come curva chiusa l’intersezione tra il piano equatoriale θ = π2 e l’ellissoide r = r0 < 0, allora se r2

0 a2,

r2 +a2 ≈ a2 e quindi ∂∂φ ·

∂∂φ = a2(1 + rS

r0). Se r0 e sufficientemente piccolo in valore assoluto, allora tale valore e negativo

quindi ∂∂φ e di tipo tempo.

3.4 Soluzioni cosmologiche

Fino ad ora sono state considerate soluzioni delle equazioni di Einstein, rappresentanti il campo gravitazionale generatoda una massa M. Ci si puo chiedere se esistono soluzioni rappresentanti l’intero universo, cioe modelli cosmologici.Come modello di fluido cosmico sara considerato un fluido perfetto di galassie, cioe T ij = (µ + p)V iV j + pgij , essendoµ la densita di energia, p la pressione e V il campo di quadrivelocita del fluido. Cio definisce le equazioni di campo inquanto si e specificato il secondo membro delle stesse19

Rij −1

2Rgij + Λgij = 8πG(((µ+ p)ViVj + pgij)

e insieme a queste le equazioni di conservazione∇iT ij = 0

Ma tali equazioni in mancanza di qualche semplificazione diventano intrattabili. Le semplificazioni hanno origine dalleosservazioni e da principi ed assiomi che sembrano attendibili almeno nella descrizione dell’universo allo stato attuale.Come prima cosa verra assunto l’assioma di Weyl, secondo cuile linee d’universo delle galassie formano una congruenza di geodetiche non intersecanti, ortogonali ad una foliazionemediante ipersuperfici Σ dello spazio-tempo.In accordo con tale postulato, costruiamo un sistema di coordinate spazio-temporali (t, x1, x2, x3) che semplificano laforma del tensore metrico. Denotata con t una variabile costante su ciascuna ipersuperficie Σ20, possiamo consideraresulla ipersuperficie t = 0 un sistema di coordinate spaziali xα = (x1, x2, x3) e, poiche per ogni punto passa una ed unasola linea d’universo, propagare queste ultime sulle altre ipersuperfici t = cost imponendo che x1, x2, x3 = cost su ognilinea di universo. Quest’ultima posizione ci dice che ∂

∂t e il vettore tangente alle linee di universo delle galassie ed essendo

queste ultime ortogonali alle ipersuperficie Σ e quindi ai vettori spaziali ∂∂x1 , ∂

∂x2 , ∂∂x3 , si ricava che g0α = ∂

∂t ·∂∂xα = 0,

cioeds2 = g00(t, x1, x2, x3)dt2 + gαβ(t, x1, x2, x3)dxαdxβ (3.62)

Infine imponendo che le curve con xα = cost sono geodetiche, dalle equazioni d2xα

dτ2 + Γαijdxi

dτdxi

dτ = 0 segue 0 = Γα00 =12gαi(∂0g0i + ∂0gi0 − ∂ig00) = 1

2gαβ(∂0g0β + ∂0gβ0 − ∂βg00) = − 1

2gαβ∂βg00, da cui per la regolarita in ogni punto della

matrice ‖gαβ‖, ∂βg00 = 0, cioe g00 dipende solo da t. Quindi ponendo t′ =∫ √−g00(t)dt, si ha dt′2 = −g00(t)dt2 e

rinominando t′, la (3.62) diventads2 = −dt2 + gαβ(t, x1, x2, x3)dxαdxβ (3.63)

dove il nuovo t non solo parametrizza le ipersuperfici Σ come il vecchio, ma e anche il tempo proprio delle galassie, infatti∂∂t ·

∂∂t = g00 = −1.

Dopo questa prima semplificazione, verra assunto il principio di Copernico secondo cuila nostra posizione nell’universo non e privilegiata rispetto alle altrein altre parole, quello che vediamo dalla nostra posizione, per quanto riguarda luniverso su larga scala21, e simile aquello che vede un altro osservatore posto in qualunque altro punto delluniverso. Questo principio, unito all’isotropia22

19Sara considerata una costante cosmologica non nulla per mostrare in seguito come una manipolazione di quest’ultima puo modificare lesoluzioni. Come prima saranno considerate unita di misura in cui c = 1.

20Se f(P) e la funzione per cui le ipersuperfici Σ sono definite da f(P ) = cost, allora basta porre t = f(P ).21quella in cui una galassia e assimilabile ad una particella di un fluido22Dalle osservazioni fatte sul cosmo dalla nostra posizione, si puo dedurre che l’universo e con buona approssimazione isotropo su larga scala.

Questo vuol dire che, su una scala sufficientemente grande in cui le irregolarita locali sono trascurabili, l’universo e approssimativamente lostesso in tutte le direzioni. Le osservazioni piu recenti che confermano tale isotropia riguardano la rilevazione di radiosorgenti extragalattichee la radiazione cosmica di fondo.

80

dell’universo su larga scala, osservata dalla Terra, implica che lo spazio deve essere una ipersuperficie tridimensionalea simmetria sferica attorno ad ogni punto, cioe deve possedere il massimo numero di simmetrie che una ipersuperficietridimensionale possa avere. Questo implica che lo spazio deve essere a curvatura costante e quindi, assumendo che siasemplicemente connesso, per il teorema 4.3.8, puo essere solo S3, <3 o H3 secondo che la curvatura sia positiva, nulla onegativa.

La sfera tridimensionale di raggio 1, x2 + y2 + z2 + v2 = 1 ha curvatura K = 1 ed equazioni parametrichex = sinχ sin θ cosφ,

y = sinχ sin θ sinφ,

z = sinχ cos θ,

v = cosχ.

per cui, posto come al solito dΩ2 = dθ2 + sin2 θdφ2, la metrica indotta da quella euclidea dx2 + dy2 + dz2 + dv2, e

dσ2 = dχ2 + sin2 χdΩ2

Per K = 0, il tensore metrico di <3 in coordinate sferiche e

dσ2 = dχ2 + χ2dΩ2

La falda superiore dell’iperboloide x2 + y2 + z2 − v2 = −1, ha curvatura K = −1 ed equazioni parametrichex = sinhχ sin θ cosφ,

y = sinhχ sin θ sinφ,

z = sinhχ cos θ,

v = coshχ.

e la metrica indotta dalla metrica di Lorentz dx2 + dy2 + dz2 − dv2 e

dσ2 = dχ2 + sinh2 χdΩ2

Le tre metriche si possono sintentizzare in

dσ2 = dχ2 + f2(χ)dΩ2, con f(χ) =

sinχ, se K = 1;

χ se K = 0;

sinhχ se K = −1.

(3.64)

che sono quindi, a meno del raggio o fattore di scala (unica incognita del problema) i tensori metrici delle superficiet = cost. In conclusione le nostre ipotesi ci portano a cercare soluzioni delle equazioni di Einstein del tipo

ds2 = −dt2 + S2(t)(dχ2 + f2(χ)dΩ2), con f(χ) =

sinχ, se K = 1;

χ se K = 0;

sinhχ se K = −1.

(3.65)

dove la funzione incognita S(t) non puo annullarsi in nessun punto altrimenti il tensore metrico sarebbe degenere e quindi,per continuita, deve avere segno costante. Per fissare le idee e senza perdere in generalita supporremo S(t) > 0, stessirisultati si ottengono se si supponesse S(t) < 0.

Osserviamo che il tensore metrico e di conseguenza il tensore di Einstein, che da quest’ultimo si ricava, e funzionesolo di t, di conseguenza le equazioni di campo impongono che anche il tensore energia-impulso sia solo funzione di t.Possiamo cosı assumere che le variabili termodinamiche µ e p dipendano solo da t.

Ogni soluzione soluzioni della forma (3.65) delle equazioni di Einstein si chiama spazio-tempo di Friedmanm-Robertson-Walker (FRW). Per determinare tale soluzioni, come al solito, bisogna calcolare il primo membro delleequazioni di campo partendo dal tensore metrico (3.65), ottendo cosı un sistema di equazioni differenziali del secondoordine in cui le funzioni incognite sono S(t), p(t) e µ(t). Va osservato che bisogna specificare, caso per caso, un’equazionedi stato che leghi le variabili µ e p, di conseguenza le incognite indipendenti sono solo due.

I soli coefficienti della connessione non nulli sono:

Γ011 = SS, Γ0

22 = f2SS, Γ033 = f2 sin2 θSS, Γ1

01 =S

S, Γ1

22 = −ff ′, Γ133 = −ff ′ sin2 θ,

81

Γ202 =

S

S, Γ2

12 =f ′

f, Γ2

33 = − sin θ cos θ, Γ303 =

S

S, Γ3

13 =f ′

f, Γ3

23 =cos θ

sin θ,

dove ˙ = ddt e ′ = d

dχ .Le componenti del tensore di Ricci non nulle sono:

R00 = −3S

S, R11 = S2(

S

S+ 2

S2

S2+

2K

S2), R22 = f2R11, R33 = sin2 θR22.

Lo scalare di curvatura e

R = 6(S

S+S2

S2+K

S2),

quindi le componenti non nulle del tensore di Einstein sono:

G00 = R00 +R

2= 3

S2

S2+ 3

K

S2, G11 = R11 − S2R

2= −S2(2

S

S+S2

S2+K

S2), G33 = sin2 θ G22 = f2 sin2 θ G11.

In definitiva, le equazioni di Einstein si scrivono:

3S2

S2+ 3

K

S2− Λ = 8πGµ, (3.66)

2S

S+S2

S2+K

S2− Λ + 8πGp = 0, (3.67)

eliminando S2

S2 dalla seconda per mezzo dalla prima e moltiplicando la prima per S2, si ottiene

3S2 = 8πGµS2 + ΛS2 − 3K, (3.68)

3S

S= −4πG(3p+ µ) + Λ. (3.69)

Infine, la divergenza del tensore energia impulso si scrive

∇iT ij = (∇iµ+∇ip)V iV j + (µ+ p)(∇iV i)V j + (µ+ p)V i∇iV j + (∇ip)gij ,

da cui tenendo conto che V i = (1, 0, 0, 0), dal fatto che il moto del fluido e geodetico, cioe V i∇iV j = 0 e dall’espressionedei coefficienti della connessione gia calcolati, si ha:

∇iV i = Γii0 = 3S

S.

Infine tenedo conto di quanto ottenuto sopra e che la derivata covariante di una funzione si riduce alla derivata ordinaria,si ricava

∇iT ij = (µ+ p)δj0 + 3(µ+ p)S

Sδj0 − p δj0.

Quindi l’equazione di conservazione ∇iT ij = 0, diventa

µ = −3(µ+ p)S

S. (3.70)

Le equazioni (3.68)-(3.70), non sono indipendenti. L’equazione (3.68) e un integrale primo delle (3.69), (3.70), infatti eimmediato constatare che derivando rispetto al tempo la (3.68) ed eliminando µ con la (3.70), si ottiene la (3.69). Pero inun integrale primo compare una costante di integrazione arbitraria, mentre la costante che compare nella (3.68) e −3K,che puo assumere solo tre valori. Quindi il ruolo dell’equazione (3.68) e quello di assegnare la costante di integrazione,per il resto le equazioni indipendenti sono due, tante quante sono le funzioni incognite indipendenti.

Assumendo µ > 0 e p ≥ 0, nel caso in cui Λ = 0, la (3.69) implica che S(t) < 0, quindi S(t) non puo esserecostante, cioe, l’universo e in espansione o in contrazione. Dalle osservazioni, si vede che le galassie si allontanano, questo

significa che attualmente l’universo e in espansione. In particolare, posto H = SS e denotato con t = 0, l’era attuale, dalle

osservazioni si deduce che H(0) ≈ 10−10anni−1 > 0, tale valore si chiama costante di Hubble23. Poiche S(0) > 0, alloraS(0) > 0, da questo e da S(t) < 0 segue che S(t) > S(0) > 0 ∀t < 0, quindi andando nel verso delle t decrescenti, la S(t)decresce e non potendo avere un asintoto orizzontale perche S(t) < 0, il grafico di S(t) deve incontrare necessariamentel’asse delle ascisse per qualche valore finito di t < 0, quindi deve esistere un istante t0 < 0 tale che S(t0) = 0.

23malgrado il nome, H(t) non e costante, ma rapportando i tempi umani a quelli cosmologici, la variazione di H(t) e insignificante.

82

D’altra parte, tenendo conto che per t → t0+, S(t) e positiva e crescente, ne segue che limt→t0+SS = +∞ e quindi

per la (3.66) calcolata per Λ = 0, si trova limt→t0+ µ = +∞. Cio vuol dire che S = 0, non e una singolarita dovuta allecoordinate, ma corrisponde ad una singolarita dello spazio-tempo.

Poiche le condizioni S(0) > 0, S(0) > 0 non possono essere eliminate perche la S(t) e sempre positiva e all’istanteattuale l’universo e in espansione, l’esistenza della singolarita nel passato dipende da S(t) < 0, che e stato ricavato dalla(3.69) con delle particolari assunzioni. Da quest’ultima equazione si vede qual’e il caso piu generale in cui S(t) < 0:µ + 3p > 0 e Λ ≤ 0 o anche positivo, ma in ogni caso inferiore al minimo della funzione 4πG(µ + 3p). Quindi, intale ipotesi, lo spazio-tempo e singolare nel passato e poiche tale singolarita e geometrica, non e prolungabile ad istantiantecedenti t0, ne segue che lo spazio-tempo ha avuto inzio in tale istante.

Quello che e stato ottenuto dalle equazioni di Einstein, e la previsione teorica della teoria del big-bang, secondocui l’universo ha avuto origine in passato dall’esplosione di un punto di densita infinta. Tale teoria e suffragata oltre chedall’osservazione dell’allontanmento delle galassie, anche dalla radiazione cosmica di fondo, rilevata alla fine degli annisessanta, che e una conseguenza di tale teoria.

Anche se l’universo nella presente epoca ha, con buona approssimazione, le simmetrie che sono state imposte, sipotrebbe pensare che irregolarita locali, attualmente trascurabili, non lo siano piu, andando verso il passato con densitasempre maggiori, per cui il modello usato podrebbe essere non valido nel passato. Si potrebbe, allora, pensare che unmodello meno simmetrico, quindi piu adatto a descrivere tale universo primordiale potrebbe non avere la singolaritainiziale. Tale conclusione e errata, perche oltre al fatto che sono state trovate soluzioni esatte spazialmente omogenee, macon meno simmetrie delle soluzioni FRW, pure dotate di singolarita nel passato, come si vedra nel prossimo paragrafo,la mancanza di simmetrie non rende le soluzioni delle equazioni di Einstein prive di singolarita, in quanto queste sonosempre presenti in condizioni estreme, facendo delle ipotesi fisiche ragionevoli.

3.4.1 Caso p=0

Attualmente nell’universo la materia e cosı disgrecata che e assimilabile a polvere (pressione nulla), quindi l’equazione distato p=0 e piu che plausibile. Inoltre le osservazioni attribuiscono a Λ un valore nullo o in ogni caso molto piccolo, percui anche l’assunzione Λ = 0 e pure plausibile. Nel seguito, anche per vedere qual’e l’andamento generale delle soluzioni,considereremo Λ generico, intendendo pero che solo per Λ = 0 si ottengono soluzioni che possono descrivere il nostrouniverso.

L’equazione (3.70) puo essere integrata facilmente, l’integrale generale e µ = hS3 dove h e una costante positiva, che si

puo anche scrivere h = 3M4π , essendo M una costante positiva, da cui

4π

3µ =

M

S3, (3.71)

che sostituita nella (3.68), da l’equazione di Friedman

S2 − 2GM

S− Λ

3S2 = −K. (3.72)

Le equazioni (3.71) e (3.72) esprimono rispettivamente l’equazione di conservazione della massa (a pressione nulla) el’equazione di conservazione dell’energia (energia cinetica piu energia potenziale), dove pero la costante al secondo membronon e arbitraria ma puo assumere solo tre valori, secondo la geometria dell’universo.

Nelle figure 3.13, 3.14 e 3.15, vengono riportati i grafici della funzione V (S) = −2GMS −Λ3 S

2 nei casi in cui Λ e nullo,negativo e positivo.

Nel caso Λ = 0 la funzione V (S) e il ramo di iperbole avente per asintoti gli assi ed appartenete al quarto quadrante.si vede che per K = 1, la banda permessa e limitata, e poiche, inizialmemte S e crescente, ne segue che S raggiungeun valore massimo all’istante t1, tale che S(t1) = −1 e dopo decresce fino ad arrivare ad S = 0. Nei casi K = 0, 1,la banda permessa e illimitata, quindi, poiche all’epoca attuale S > 0, la S cresce senza limiti. Questo significa chel’evoluzione dell’universo dipende dalla sua curvatura: se la curvatura e positiva, si espande fino ad un raggio massimo,per poi ricollassare fino a S = 0, cioe in un’altra singolarita; se la curvatura e positva o nulla, invece l’universo si espandesenza fine. Il grafico di S e riportato, nei tre casi, nella seconda delle fig. 3.13, dove l’origine e stata presa in maniera taleche l’istante iniziale sia t = 0.

Osservazione 11 Fino ad ora non e stato privilegiata nessuna delle tre ipotesi sulla curvatura. Il valore della curvaturadipende dalla materia presente nell’universo. Dalle osservazioni si ottiene un valore che oscilla attorno al valore criticoche da come risultato K = 0. Quindi allo stato attuale non e chiaro se l’universo ricollassera in un big-crush o se lasua espansione sara eterna.

I casi Λ 6= 0, come gia detto , non corrispondono a soluzioni fisiche, ma e utile studiarle per capire il significato fisicodella costante cosmologica: una costante cosmologica negativa e equivalente ad aggiungere un ulteriore campo attrattivo,

83

S

K=−1

K=1

K=0

Λ=0

t

S

K=1

K=0

k=−1

Figura 3.13: Grafico di V (S) per Λ < 0 ed andamento qualitativo della funzione S(t) al variare del tipo di curvatura.

mentre una costante cosmologica positiva e equivalente ad aggiungere un campo repulsivo. Poiche le soluzioni consideratenon sono fisiche possiamo considerare anche quelle simmetriche rispetto al tempo.

Nei casi Λ 6= 0 l’energia potenziale ha un punto di stazionarieta solo per Λ > 0, infatti V ′(S) = 23

3GM−ΛS3

S2 , che si

annulla in S = 3

√3GM

Λ , che e positivo solo per Λ > 0 e in questa ipotesi V (S) = − 3√

9G2M2Λ < 0. Inoltre tenendo conto

che in entrambi i casi limS→0+ V (S) = −∞, mentre limS→+∞ V (S) = +∞ per Λ < 0 e limS→+∞ V (S) = −∞ per Λ > 0,i grafici sono quelli riportati nelle figure 3.14 e 3.15.

Nel caso Λ < 0 e immediato constatare che, per qualunque valore di K c’e solo un tipo di soluzione: big-bang all’istanteiniziale, espansione fino ad un massimo e ricollasso fino al big-chrush.

Nel caso Λ > 0 la situazione e piu complessa. Per K = 0 o K = −1 ci sono solo due tipi di soluzioni: una che parteda una singolarita iniziale e si espande indefinitivamente e la simmetrica rispetto al tempo: un universo infinito che esisteda sempre ed che collassa fino ad arrivare, in un certo istante, ad una singolarita. Per K = 1, bisogna distinguere trecasi: il caso in cui il massimo di V e uguale a −K = −1 e questo succede per Λ = Λcrit = (9G2M2)−1, come nella primadelle figure 3.72, se invece Λ > Λcrit allora V (S) < −K, come nella seconda delle figure 3.15, mentre se Λ < Λcrit alloraV (S) > −K, come nella terza delle figure 3.15.

Nel caso Λ = Λcrit, ci sono le seguenti soluzioni

1. S(t) = S, che corrisponde ad una sfera tridimensionale il cui raggio resta immutato nel tempo. Questo e lospazio-tempo statico di Einstein, per ottenere il quale e stata introdotta la costante cosmologica.

2. L’universo comincia da un big-bang iniziale e tende asintoticamente ad un raggio costante, cioe allo spazio-tempostatico di Einstein. La simmetrica rispetto al tempo: per t → −∞ l’universo e quello statico di Einstein e in untempo finito, collassa in una singolarita.

3. L’universo e per t→ −∞ quello statico e per t→ +∞ si espande senza limite. La simmetrica rispetto al tempo.

Nel caso Λ > Λcrit, si ha lo stesso andamento riscontrato per K = 0 e K = −1.Nel caso Λ < Λcrit, ci sono le seguenti due soluzioni

1. La soluzione parte da una singolarita iniziale, arriva ad un raggio massimo e ricollassa in un’altra singolarita.

2. La soluzione parte da un universo infinito per t→ −∞, raggiunge un raggio minimo e si riespande indefinitivamente.

3.4.2 Caso p = µ3, Λ = 0

Un altro caso che puo essere preso in considerazione e quello in cui l’universo e dominato dalla radiazione, cio che avvenivanell’universo primordiale subito dopo il big-bang. In questo caso l’equazione di stato e p = 1

3µ. Integrando l’equazione(3.70), si deduce che µ e proporzionale a S−4. Quindi l’equazione di Friedmann corrispondente, per Λ = 0, ha un’energiapotenziale del tipo α

S2 con α < 0. Tale funzione ha lo stesso andamento di quella ottenuta nel caso p = 0, quindiqualitativamente non cambia niente.

84

S

Κ=−11

Κ=1−1

Κ=0

Λ<0

Figura 3.14: Grafico di V (S) per Λ < 0.

S

Λ=Λcrit

>0

K=−1

K=0

K=1

SK=0

K=−1

K=1

Λ>Λcrit

SK=0

K=−1

K=1

Λ<Λcrit

Figura 3.15: Grafico di V (S) per Λ > 0 nel caso in cui il punto di stazionarieta di V (S) corrisponde a K = 1 e negli altripossibili casi.

85

3.5 Il problema delle singolarita

Come si e visto nella descrizione del campo gravitazionale di una stella e dell’universo nel suo insieme, le soluzioni delleequazioni di Einstein esaminate, presentano delle singolarita. La presenza di campi singolari in Fisica, viene sempreinterpretata come un venir meno della validita della teoria che li genera. Anche la presenza di certe situazioni patologichecome la presenza di curve chiuse di tipo tempo in cui viene meno la causalita dello spazio-tempo (la causa avviene sempreprima dell’effetto) viene interpretato piuttosto che come la possibilita di un ritorno al passato, in qualche remota zonadell’universo, come il fatto che la teoria, avvicinandoci nel luogo di non validita, cominci a dare i numeri.

Comunque, anche se non viene considerato fisico quel punto o quei punti dello spazio-tempo in cui la curvatura equindi le forze mareali diventano infinite, non vuol dire che tali concetti perdano di validita, nelle vicinanze di questipunti, dove essa e estremamente grande senza essere infinita. Cio vuol dire che, anche se i punti singolari devono essererimossi dallo spazio-tempo come non fisici, nei punti vicini, le forze mareali sono ugualmente enormi.

Poiche si conoscono poche soluzioni esatte delle equazioni di Einstein, ci si potrebbe chiedere se la presenza disingolarita affligga, in generale. le soluzioni di tali equazioni o se essa sia tipica delle soluzioni piu semplici.

Verso la fine degli anni sessanta dei fisici russi, congetturarono che le singolarita fossero tipiche delle soluzioni esattenote, perche altamente simmetriche e che in una situazione reale dove le simmetrie non sono matematicamente esatte, talisingolarita potrebbero non essere presenti. Per esempio se una stella viene supposta a simmetria perfettamente sferica,cosa che nella realta non e possibile, se collassa mantenedo tale simmetria, tutta la materia confluisce in un punto creandouna densita infinita. In una situazione reale cio potrebbe non avvenire. Una tale congettura farebbe sperare che futuresoluzioni meno simmetriche e piu realistiche potrebbero essere prive di singolarita.

Tale congettura e stata dopo poco tempo confutata dai teoremi sulle singolarita di R. Penrose e S. Hawking, che,sotto ipotesi molto plausibili, quali la positivita della densita di energia del campo materiale (gravita attrattiva) ed ilverificarsi di certe condizioni quali l’esistenza di una superficie chiusa intrappolata,24 in generale affermano che lesoluzioni delle equazioni di Einstein non sono geodeticamente complete.

Quindi l’apparenza di singolarita in condizioni estreme delle materia, non deriva dalle simmetrie delle soluzioni esattenote, ma e una patologia della teoria. Il motivo per cui la teoria fallisce, si ritiene dovuto al fatto che, in simili situazioniestreme, non si puo non tenere conto degli effetti quantistici, quindi si presume che una teoria quantistica della gravitasia esente da singolarita.

Purtroppo tale teoria non esiste e malgrado i numerosi tentativi, negli ultimi decenni, di quantizzare la gravita, cisi e sempre trovati di fronte a teorie non rinormalizzabili. Questo puo essere spiegato o con il fatto che la strada perdeterminare una teoria della gravita rinormalizzabile, e cosı ben nascosta che ancora nessuno e riuscito a trovarla, o conil fatto che le due teorie sono strutturalmente incompatibili e che quindi bisogna fare dei cambiamenti drastici a livellodei fondamenti (matematici?) per poterle unificare.

Per inciso, bisogna dire che, pur non esistendo una teoria quantistica della gravita, in diverse occasioni, sono statistudiati, a livello semiclassico, effetti quantistici applicati alla gravita. Per esempio S. Hawking ha dimostrato che, se sitiene conto della meccanica quantistica, i buchi neri non sono cosı neri come prevede la teoria classica di Einstein, nelsenso che essi possono emettere materia con continuita fino ad evaporare. Poiche questa emissione e tanto piu alta quantopiu il buco nero e piccolo, tale previsione potrebbe essere applicata ad eventuali mini buchi neri formatisi al tempo delbig-bang. Per buchi neri piu grandi quali quelli generati dal collasso gravitazionale di una stella, tale processo e cosılento, che il tempo necessario per l’evaporazione supera l’eta dell’universo, quindi in questo caso gli effetti quantistici sonotrascurabili e la discussione fatta precedentemente nell’ambito di una teoria non quantistica resta perfettamente valida.

24e una superficie chiusa tale che, in qualunque direzione venga emesso da essa un raggio luminoso, esso converge sempre verso il suo interno;per esempio nella regione II dell’estensione di Kruskal dello spazio-tempo di Schwarzschild, ogni punto rappresenta una sfera che verifica talecondizione.

86

Capitolo 4

APPENDICE

4.1 CENNI DI TOPOLOGIA GENERALE

4.1.1 Premesse

Il modo, secondo me, piu proficuo per spiegare cos’e la topologia, e descrivere come, storicamente, e nata. Il problema,la cui soluzione ad opera di Eulero nel 1736, ha dato vita alla teoria dei grafi e quindi alla topologia e il problemadei ponti di Konigsberg. La citta di Konigsberg e attraversata da un fiume che in un certo punto si biforca e pocoprima della biforcazione emerge un isola. Le varie parti, in cui la citta e tagliata dal fiume, sono collegate da ponti comenella prima delle figure 4.1. Il problema e di vedere se esiste un percorso continuo che passa da tutti i ponti, in manieratale che ogni ponte sia attraversato una sola volta. Questo e un tipico problema che non dipende ne dalla grandezzadelle isole, ne dalla lunghezza dei ponti, ne dalla forma delle sponde o dei ponti ne da ogni altra caratterizzazione dinatura metrica. Il problema e la sua soluzione dipendono dal numero delle sponde e dal numero di ponti che partonoda ciascuna sponda. Quindi rappresentando, come nella seconda della figure 4.1 le sponde con dei punti che chiamiamonodi ed i ponti con delle linee congiungenti i nodi, il problema si riduce a disegnare tutta la figura senza alzare la pennadal foglio (continuita) e senza disegnare due volte la stessa linea. In maniera estremamente semplice, Eulero dimostroche tale problema non ha soluzioni. Infatti, indicato con il termine grado di un nodo il numero di linee che passano daesso, se tale problema avesse una soluzione, ogni nodo diverso dal nodo di partenza e dal nodo di arrivo dovrebbe averegrado pari, perche, per ogni linea che fa entrare nel nodo, ce ne deve essere una che fa uscire. Questo significa che se ilproblema avesse soluzioni, solo due nodi dovrebbero avere grado dispari: quello di partenza e quello di arrivo. Cio nelnostro caso non e vero perche tutti i nodi hanno grado dispari: tre hanno grado 3 ed uno ha grado 5.

Eulero dimostro anche un teorema secondo cui, dato un poliedro, indicato con v il numero dei vertici, con l il numerodei lati e con f il numero delle facce, si ha v−l+f = 2. Quindi la somma al primo membro, che chiameremo caratteristicadi Eulero-Poincare e sempre due, indipendentemente dal tipo di poliedro. Per esempio in un cubo v = 8, l = 12, f = 6,in accordo con il teorema di Eulero. Ora, si puo considerare la triangolazione di una sfera, prendendo un numero discretov di vertici su di essa e congiungendoli a tre a tre con dei triagoli, in maniera tale da formare un poliedro inscritto nellasfera. Anche se ciascun dei numeri v, l, f , dipende dalla particolare triangolazione, la caratteristica di Eulero-Poincare esempre 2. Quindi il numero 2 ha la peculiarita di un invariante (per triangolazione) da associare alla superficie della sferao ad ogni superficie ottenibile dalla sfera per deformazioni continue, cioe senza tagli ne incollature, quali per esempio gliellissoidi. A conferma di cio, il teorema di Eulero e stato generalizzato ai poliedri con un numero g di buchi e precisamentesi dimostra che v−l+f = 2−2g. Cosı per il poliedro con un buco ottenuto dalla triangolazione di un toro, la caratteristicadi Eulero-Poincare e sempre 0, indipendentemente dalla particolare triangolazione usata. Cio fa pensare che il numerozero e un invariante da associare ai tori e tutte le superfici ottenibili da un toro per deformazioni continue, quali le sferecon un manico o le tazze, essendo ogni triangolazione di queste ultime, riconducibile (con continuita) ad un poliedro conun buco.

Figura 4.1: I Ponti di Konigsberg ed il grafo corrispondente

87

La caratteristica di Eulero-Poincare, ridefinita successivamente con metodi matematici piu moderni da Poincare, equello che viene chiamato un invariante topologico, cioe un numero che non varia per deformazioni continue.

Questa e proprio la sostanza della topologia: essa di un oggetto matematico tiene conto solo di quelle proprieta chesono invarianti per trasformazioni continue. Per esempio, come puntualizzato prima, da un punto di vista topologico unaciambella ed una tazza sono oggetti indistinguibili. Mentre, non e compito della topologia determinare o descrivere legeodetiche di una superficie, essendo queste ultime dipendenti dalle trasformazioni continue. Questi concetti verrannoripresi in maniera piu precisa nella sezione riguardante gli omeomorfismi, in cui si vede, tra l’altro, che il concetto chiavesu cui si basa la nozione di continuita e quello di insieme aperto.

4.1.2 Spazi topologici

Definizione 4.1.1 Una topologia o struttura topologica su un insieme X e un sottoinsieme τ dell’insieme potenzaP(X) di X, verificante i seguenti assiomi:

1. ∅, X ∈ τ ;

2. se Xii∈I , dove I ’e un insieme qualunque, e tale che ∀i ∈ I Xi ∈ τ allora⋃i∈I Xi ∈ τ ;

3. se X1, X2, . . . , Xn e tale che Xi ∈ τ per i = 1, 2, . . . , n allora⋂

1≤i≤nXi ∈ τ.

Gli elementi di τ si chiamano insiemi aperti.

Definizione 4.1.2 Un insieme X con una struttura topologica τ , si chiama spazio topologico. Gli elementi di Xverranno chiamati punti di X.

Definizione 4.1.3 Se X e uno spazio topologico e x ∈ X, un sottoinsieme Y di X si chiama intorno di x, se esiste unaperto A tale che x ∈ A ⊆ Y .

Dalla definizione precedente segue che ogni insieme aperto e intorno di ogni suo punto.

Definizione 4.1.4 Sia X uno spazio topologico, un sottoinsieme C di X, si dice chiuso quando il suo complementareX − C e un insieme aperto.

Denotata con σ la famiglia di tutti gli insiemi chiusi di uno spazio topologico X e tenedo conto della proprieta dellateoria degli insiemi

∀Y ⊆ X, X − (X − Y ) = Y, (4.1)

vale la seguente

Proposizione 4.1.1 Le famiglie σ e τ , si ottengono per complementazione l’una dall’altra, nel senso che ogni chiuso eil complementare di un aperto e ogni aperto e il complementare di un chiuso.

Passando ai complementi nella definizione 4.1.1 e tenendo conto della ben nota proprieta della teoria degli insiemisecondo cui il complemento dell’unione coincide con l’intersezione dei complementi e il complemento dell’intersezionecoincide con l’unione dei complementi, si dimostra la seguente

Proposizione 4.1.2 La famiglia σ degli insiemi chiusi in uno spazio topologico X e caratterizzata dalle seguenti condi-zioni

1. ∅,X ∈ σ;

2. se Xii∈I , dove I ’e un insieme qualunque, e tale che ∀i ∈ I Xi ∈ σ allora⋂i∈I Xi ∈ σ;

3. se X1, X2, . . . , Xn e tale che Xi ∈ σ per i = 1, 2, . . . , n allora⋃

1≤i≤nXi ∈ σ.

Proposizione 4.1.3 Sia X un insieme e σ un sottoinsieme di P(X) verificante le proprieta della proposizione 4.1.2,allora esiste una ed una sola topologia τ su X tale che la famiglia degli insiemi chiusi coincide con σ.

Dimostrazione. La famiglia τ dei sottoinsiemi di X che sono complementi di elementi di σ, ovviamente verifica le condizionidella definizione 4.1.1, quindi definisce una topologia su X. Per la (4.1), la famiglia degli insiemi chiusi per τ coincidecon σ. Sia τ ′ un’altra toplogia su X la cui famiglia di chiusi coincide con σ. Poiche τ e τ ′ hanno gli stessi insiemi chiusi,devono coincidere, infatti se A e un aperto per una delle due topologie, allora B = X −A ∈ σ, quindi esiste un aperto A′

per l’altra topologia tale che B = X −A′, da cui X −A = X −A′ e quindi A = A′. Grazie alla proposizione precedente e immediato concludere che una toplogia puo essere equivalentemente definita

mediante la famiglia degli insiemi chiusi. Quindi una definizione alternativa di topologia puo essere la seguente

88

Definizione 4.1.5 Una topologia o struttura topologica su un insieme X e un sottoinsieme σ dell’insieme potenzaP(X) di X, verificante i seguenti assiomi:

1. ∅, X ∈ σ;

2. se Xii∈I , dove I ’e un insieme qualunque, e tale che ∀i ∈ I Xi ∈ σ allora⋂i∈I Xi ∈ σ;

3. se X1, X2, . . . , Xn e tale che Xi ∈ σ per i = 1, 2, . . . , n allora⋃

1≤i≤nXi ∈ σ.

Gli elementi di σ si chiamano insiemi chiusi.

Esempio 17 Se X e un insieme qualunque, la famiglia τ = ∅, X verifica banalmente le proprieta della definizione4.1.1, quindi definisce una topologia che si chiama topologia indiscreta. Su un insieme X con un solo elemento si puodefinire solo la toplogia indiscreta, perche il suo insieme potenza e costituito solo da X e dall’insieme vuoto.

Esempio 18 Se X e un insieme qualunque, la famiglia τ = P(X) verifica banalmente le proprieta della definizione 4.1.1,quindi definisce una topologia che si chiama topologia discreta. Su un insieme X con un solo elemento, topologiadiscreta ed indiscreta coincidono.

Nei due esempi precedenti, la famiglia σ degli insiemi chiusi coincide con τ .

Esempio 19 Sia X un insieme qualunque e sia σ la famiglia costituita dai sottoinsiemi finiti di X, da X e dall’insiemevuoto. σ verifica le condizioni della definizione 4.1.5 (esercizio), quindi definisce una topologia su X. In particolare se Xe finito, la topologia cosı definita e la toplogia discreta.

Esempio 20 Si ricorda che uno spazio metrico e un insieme X su cui e definita una distanza, cioe un’applicazioned : X ×X → < verificante, per ogni scelta di x, y, z ∈ X, le seguenti proprieta:

1. d(x, y) = d(y, x);

2. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z); (diseguaglianza triangolare)

3. d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 ⇔ x = y.

Fissato un punto x ∈ X e un ε > 0, si chiama disco di centro x e raggio ε l’insieme S(x, ε) = y ∈ X | d(x, y) < ε.Se x ∈ Y ⊆ X, si dice che x e un punto interno di Y se ∃ε > 0 tale che S(x, ε) ⊆ Y . L’interno di un insieme Y el’insieme dei suoi punti interni e si indica con Y . Ovviamente Y ⊆ Y e sempre verificata, se invece accade che Y = Y ,allora si dice che Y e un insieme aperto.

Se (X, d) e uno spazio metrico, la famiglia τ dei suoi insiemi aperti verifica le condizioni della definizione 4.1.1(esercizio), quindi definisce una topologia i cui insiemi aperti sono tutti e soli gli insiemi aperti definiti dalla distanza.

Quindi si puo concludere che

Proposizione 4.1.4 Ogni spazio metrico e uno spazio toplogico.

Su un dato insieme X, in generale, e possibile definire piu di una topologia, scegliendo diversi insiemi τ verificantile condizioni della definizione 4.1.1. Per esempio sull’insieme < dei numeri reali e possibile definire tutte le topologieintrodotte negli esempi precedenti: la topologia discreta, indiscreta, dei sottoinsiemi finiti ed, essendo < uno spaziometrico, anche quella indotta dalla distanza. Nel seguito se non espressamente specificato si intende che la topologia di< e quella determinata dalla distanza che verra chiamata topologia euclidea. La stessa cosa vale in <n.

Definizione 4.1.6 Siano τ1 e τ2 due topologie sullo stesso insieme X. Si dice che τ1 e piu fine di τ2 o equivalentementeche τ2 e meno fine di τ1 se τ2 ⊆ τ1.

Cosı, per esempio dato un insieme X, la topologia indiscreta e quella meno fine definibile su X, mentre la topologiadiscreta e quella piu fine.

Definizione 4.1.7 Sia X un spazio topologico e τ la topologia di X, se Y e un sottoinsieme non vuoto di X, allora lafamiglia τ ′ = Y ∩ U | U ∈ τ ⊆ P(Y ) verifica in Y , le condizioni della definizione 4.1.1, quindi definisce una toplogiain Y . Lo spazio topologico cosı definito si chiama sottospazio topologico di X e la topologia τ ′ si chiama topologiaindotta da τ .

Esempio 21 Consideriamo <3, utilizzando la definizione precedente, su ogni sottoinsieme Y di <3 si puo introdurre latopologia indotta. In questo modo si possono, per esempio, dotare di topologia tutte le curve e le superfici di <3.

89

4.1.3 Chiusura, punti di accumulazione, sottoinsiemi densi

Definizione 4.1.8 Se A e un sottoinsieme di uno spazio topologico X, si chiama chiusura di A e si indica con Al’intersezione di tutti gli insiemi chiusi contenenti A.

Dalla definizione precedente segue imediatamente che

A ⊆ A. (4.2)

Proposizione 4.1.5 Un sottoinsieme A di uno spazio topologico X e chiuso se e solo se A = A.

Dimostrazione. Poiche, per definizione, A e l’intersezione di un insieme di chiusi, esso e chiuso, quindi da A = A segueche A e chiuso. Viceversa, se A e chiuso, allora A ⊆ A essendo A uno dei chiusi che contengono A e, dalla 4.2, segue latesi.

Definizione 4.1.9 Se A e un sottoinsieme di uno spazio topologico X e x ∈ X, si dice che x e un punto di accumu-lazione o punto limite per A se ogni intorno di x interseca A in almeno un punto diverso da x. L’insieme dei punti diaccumulazione di A si chiama derivato di A e si indica con il simbolo D(A).

Proposizione 4.1.6 Se A e un sottoinsieme di uno spazio topologico X, allora D(A) ⊆ A.

Dimostrazione. Basta dimostrare che se x non appartiene a A allora non appartiene a D(A). Se x non appartiene a A,esiste un chiuso D ⊇ A non contenete x, da cui segue che x ∈ X −D, (X −D) ∩A = ∅ e X −D e aperto, quindi e statotrovato un intorno aperto di x che non interseca A, percio x non e un punto di accumulazione di A.

Definizione 4.1.10 Un sottoinsieme D di uno spazio topologico X si dice denso in X se D = X.

Esempio 22 L’insieme Q dei numeri razionali e l’insieme <−Q degli irrazionali sono densi in <.

Proposizione 4.1.7 D e denso in X se e solo se per ogni aperto non vuoto A di X, A ∩D 6= ∅.

Dimostrazione. Se D e denso in X e A e un insieme aperto e non vuoto tale che A ∩D = ∅, allora X − A e un insiemechiuso, distinto da X contenete D, ma cio e assurdo perche, essendo D denso, il piu piccolo insieme chiuso che lo contienee X. Viceversa, supponiamo che per ogni aperto non vuoto A, A ∩ D 6= ∅, allora se C e un insieme chiuso diverso daX, X − C e aperto non vuoto, quindi (X − C) ∩D 6= ∅, da cui si deduce che D non puo essere contenuto in C, questosignifica che l’unico insieme chiuso contenete D e X, da cui D = X.

4.1.4 Basi di una topologia

In generale l’insieme τ e molto ampio. Si pensi, per esempio a <n, anche se e sempre possibile, dato un sottoinsieme,decidere se esso e aperto o no, la famiglia di tutti gli insiemi aperti e molto grande e difficilmente visualizzabile nel suoinsieme. Nasce quindi l’esigenza di poter caratterizzare la famiglia degli aperti con una sottofamiglia piu semplice.

Definizione 4.1.11 Si chiama base di uno spazio topologico X, una famiglia B di aperti non vuoti, tale che ogni apertodi X si possa esprimere come unione di aperti di B.

Teorema 4.1.1 Se B e una base dello spazio topologico X, valgono le seguenti proprieta:

1. ∀x ∈ X ∃B ∈ B t.c. x ∈ B o equivalentemente X =⋃B∈B B;

2. se B1, B2 ∈ B e B1 ∩B2 6= ∅, allora da x ∈ B1 ∩B2 segue che ∃B ∈ B tale che x ∈ B ⊆ B1 ∩B2.

Dimostrazione. La prima segue immediatamente dalla definizione di base e dal fatto che X e un insieme aperto. Perdimostrare la seconda basta osservare che B1 ∩B2 e un aperto non vuoto di X ed in quanto tale esprimibile come unionedi elementi di B.

Esempio 23 Una base di <n e data dall’insieme B = S(x, ε) | x ∈ <n, ε ∈ <+. Infatti, se A e un aperto di <n,∀x ∈ A ∃εx > 0 t.c. S(x, εx) ⊆ A, da cui

⋃x∈A S(x, εx) ⊆ A, poiche l’inclusione inversa e ovviamente vera, si

ottiene⋃x∈A S(x, εx) = A.

90

4.1.5 Spazi topologici separabili ed a base numerabile

Definizione 4.1.12 Uno spazio topologico X si dice a base numerabile, se ammette una base di cardinalita ℵ0.

Definizione 4.1.13 Uno spazio topologico X si dice separabile, se ha un sottoinsieme denso e numerabile.

Proposizione 4.1.8 Uno spazio topologico X a base numerabile e separabile.

Dimostrazione. Sia B = Bnn∈N una base numerabile. Per ogni n ∈ N scegliamo un punto xn ∈ Bn e consideriamol’insieme D =

⋃n∈Nxn. Ovviamente D e numerabile, se si dimostra che D interseca ogni insieme aperto non vuoto,

allora, per la proposizione 4.1.7, esso e denso e quindi il teorema resta dimostrato. Sia A un insieme aperto non vuoto,poiche B e una base, A e dato dall’unione di elementi di B, ma ciascun elemento di B interseca D in almeno un punto,quindi A ∩D 6= ∅.

Se X e uno spazio metrico, la proposizione precedente si puo invertire.

Proposizione 4.1.9 Se X e uno spazio metrico separabile, allora e a base numerabile.

Dimostrazione. Sia D = xnn∈N un sottoinsieme di X denso e numerabile che deve esistere per ipotesi. Consideriamol’insieme di dischi B = S(xn, q) | xn ∈ D, q ∈ Q+ che ovviamente e numerabile. Se si dimostra che B e una base allorail teorema resta dimostrato.

Sia A un aperto di X e x ∈ A, esiste un ε > 0 tale che S(x, ε) ⊆ A. Poiche D e denso in X, ogni disco di centro xdeve intersecare D, quindi esiste un n ∈ N tale che d(x, xn) < ε

4 . Scelto un q ∈ Q tale che ε4 < q < ε

2 , dimostriamo che

x ∈ S(xn, q) ⊆ S(x, ε). (4.3)

Ovviamente x ∈ S(xn, q) perche d(x, xn) < ε4 < q. Se y ∈ S(xn, q), d(x, y) ≤ d(x, xn) + d(xn, y) < ε

4 + q < ε4 + ε

2 < ε,quindi y ∈ S(x, ε).

Grazie alla 4.3 si puo concludere che ∀x ∈ A ∃xn ∈ D, q ∈ Q+ t.c. x ∈ S(xn, q) ⊆ A, da cui si ricava che A euguale all’unione di elementi di B.

Esempio 24 <n e uno spazio metrico separabile perche Qn e un sottoinsieme denso e numerabile. Quindi, grazie allaproposizione precedente, si puo concludere che <n e a base numerabile e quest’ultima e l’insieme B = S(x, q) | x ∈Qn, q ∈ Q+.

Proposizione 4.1.10 Se X e uno spazio metrico separabile, ogni suo sottospazio Y e separabile ed a base numerabile.

Dimostrazione. Per la proposizione 4.1.9, X e a base numerabile. Denotata con B = Bnn∈N la base numerabile di X,l’insieme BY = Y ∩Bnn∈N e una base numerabile per Y ed inoltre per la proposizione 4.1.8, Y e separabile.

Da quest’ultima proposizione segue che ogni sottospazio di <n e separabile ed a base numerabile.

Esempio 25 Una base di insiemi aperti su ogni superficie, di dimensione k, Σk (k < n) di <n e costituita dalla famigliadelle intersezioni tra i dischi S(x, ε) e Σk, che si puo rendere numerabile, limitandosi ai dischi della base numerabile di<n. Cosı, per esempio, una base di insiemi aperti su una sfera S2 e costituita da calotte sferiche aperte, mentre su unacirconferenza S1, e costituita da archi di circonferenza aperti.

4.1.6 Spazi di Hausdorff

Definizione 4.1.14 Uno spazio di Hausdorff e uno spazio topologico nel quale comunque si scelgano due punti x e y,esiste un intorno U di x ed un intorno V di y tali che U ∩ V = ∅.

La seguente proposizione mette in luce una vasta classe di spazi di Hausdorff.

Proposizione 4.1.11 Ogni spazio metrico e uno spazio di Hausdorff.

Dimostrazione. Sia X uno spazio metrico e x, y due punti di X. Fissato un numero positivo ε tale che 2ε ≤ d(x, y), si vedeimmediatamente che S(x, ε) ∩ S(y, ε) = ∅. Infatti se cio non fosse vero, dovrebbe esistere un punto z ∈ S(x, ε) ∩ S(y, ε),da cui si otterrebbe d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) < 2ε, in chiara contraddizione con la scelta di ε.

Esempio 26 Lo spazio toplogico <n, in quanto spazio metrico e di Hausdorff.

Esempio 27 La topologia dell’esempio 19, se X e un insieme infinto, non e di Hausdorff, infatti in tale topologia, gliaperti sono i complementi degli insiemi finiti, quindi non esistono due insiemi aperti disgiunti, pertanto questa topologianon puo essere di Hausdorff.

Proposizione 4.1.12 Ogni sottospazio di uno spazio di Hausdorff e uno spazio di Hausdorff.

Dimostrazione. Se Y e un sottospazio di uno spazio di Hausdorff X, scelti due punti x, y ∈ Y , esistono due intorni U eV rispettivamente di x e y in X, tali che U ∩ V = ∅. Allora U ∩ Y e V ∩ Y sono due intorni in Y , rispettivamente di x ey, disgiunti.

91

4.1.7 Spazi connessi

Definizione 4.1.15 Uno spazio topologico X si dice connesso se non e esprimibile come unione di due aperti non vuotie disgiunti.

Proposizione 4.1.13 Uno spazio topologico X e connesso se e solo se vale una delle seguenti condizioni:

1. non esiste un sottoinsieme A di X diverso da ∅ e da X che e sia aperto che chiuso;

2. non esistono due chiusi non vuoti e disgiunti F e G, tali che X = F ∪G.

Dimostrazione. Se X non e connesso esistono due insiemi aperti e non vuoti A e B tali che A ∩ B = ∅ e X = A ∪ B,allora, poiche B = X − A, l’insieme B e aperto e chiuso; inoltre gli insiemi chiusi X − A e X − B sono tali che(X −A) ∩ (X −B) = X − (A ∪B) = X −X = ∅ e (X −A) ∪ (X −B) = X − (A ∩B) = X.

Viceversa, se non e verificata la prima, allora esiste un sottoinsieme A di X che e aperto e chiuso, quindi l’insiemeB = X −A e aperto ed inoltre A ∩B = ∅ e A ∪B = X, quindi X non e connesso. Se invece non e verificata la seconda,esistono due chiusi non vuoti F e G tali che F ∩G = ∅ e F ∪G = X, allora gli insiemi A = X−F e B = X−G sono apertinon vuoti ed inoltre A∩B = (X − F )∩ (X −G) = X − (F ∪G) = ∅ e A∪B = (X − F )∪ (X −G) = X − (F ∩G) = X,quindi X non e connesso.

Definizione 4.1.16 Un sottoinsieme Y di uno spazio topologico X si dice insieme connesso se come sottospazio di Xe connesso.

Definizione 4.1.17 Sia X uno spazio topologico e x0 ∈ X, si chiama componemte connessa di x0, il piu grandesottoinsieme connesso Cx0

di X, contenente x0.

Chiaramente se X e connesso Cx0= X per ogni x0 ∈ X.

Proposizione 4.1.14 Un sottoinsieme di < e connesso se e solo se e un intervallo. In particolare < e connesso. (Senzadimostrazione).

4.1.8 Spazi compatti e paracompatti

Definizione 4.1.18 Una famiglia di sottoinsiemi Y = Yii∈I di uno spazio topologico X, si dice che e un ricoprimentodi X quando X =

⋃i∈I Yi. In particolare se gli insiemi Yi sono aperti, Y si chiama ricoprimento aperto. Un

sottoricoprimento di Y e un sottoinsieme di Y che e ancora un ricoprimento di X.

Definizione 4.1.19 Uno spazio topologico si dice compatto se da ogni ricoprimento aperto si puo estrarre un sottori-coprimento finito.

Esempio 28 Lo spazio topologico < non e compatto, infatti la famiglia degli intervalli aperti di centro intero e raggio 2,e un ricoprimento aperto di < che non ammette un sottoricoprimento finito.

Definizione 4.1.20 Un sottoinsieme Y di uno spazio topologico X si dice compatto, se Y con la topologia indotta ecompatto.

Proposizione 4.1.15 In uno spazio compatto X, ogni sottoinsieme infinito ha almeno un punto di accumulazione.

Dimostrazione. Sia L un sottoinsieme di X privo di punti di accumulazione, questo significa che per ogni x ∈ X esiste unintorno aperto Ux di X, tale che Ux∩L o e vuoto o al piu e lo stesso x. La famiglia Uxx∈X e ovviamente un ricoprimentoaperto di X ed essendo X compatto, esiste un insieme finito x1, x2, . . . , xn di punti di X tali che

⋃i=1,...,n Uxi = X.

Questo implica che L e finito, infatti L = L ∩X = L ∩⋃i=1,...,n Uxi =

⋃i=1,...,n(L ∩ Uxi) ⊆ x1, x2, . . . , xn.

Proposizione 4.1.16 I compatti di < sono tutti e soli i suoi sottoinsiemi chiusi e limitati. (Senza dimostrazione).

In particolare dalla proposizione precedente segue che gli intervalli chiusi e limitati di < sono compatti. Questaproprieta ha una generalizzazione in <n.

Proposizione 4.1.17 In <n ogni sottoinsieme del tipo P = (x1, x2, . . . , xn) ∈ <n | ai ≤ xi ≤ bi i = 1, 2, . . . , n =∏ni=1 [ai, bi] e compatto.

Definizione 4.1.21 Siano U = Uii∈I e V = Vjj∈J due ricoprimenti di uno spazio topologico X, si dice che V e piufine di U o equivalentemente che V e un raffinamento di U , se ∀V ∈ V ∃U ∈ U tale che V ⊆ U .

92

Definizione 4.1.22 Un ricoprimento V = Vii∈I di uno spazio topologico X si dice localmente finito se ∀x ∈ Xesiste un intorno U di x, che interseca solo un numero finito di elementi di V.

Definizione 4.1.23 Uno spazio topologico X si dice paracompatto se e di Hausdorff e se, ogni ricoprimento aperto Udi X ammette un raffinamento V localmente finito.

La condizione di paracompattezza e piu debole di quella di compattezza, infatti e immediato constatare che uno spaziotopologico di Hausdorff e compatto e paracompatto, ed e abbastanza generale da includere gli spazi euclidei <n.

Proposizione 4.1.18 Lo spazio topologico <n e paracompatto. (Senza dimostrazione).

4.1.9 Funzioni continue ed omeomorfismi

Definizione 4.1.24 Siano X e X ′ due spazi topologici e f : X → X ′ un’applicazione da X in X ′. Si dice chel’applicazione f e continua se, per ogni aperto A di X ′, l’immagine inversa f−1(A) e un aperto in X.

Esempio 29 Se X = X ′ = <, si puo vedere che la continuita di f secondo la definizione precedente implica la continuitanel senso ordinario, in ogni punto x0 ∈ <, cioe ∀ε > 0 ∃δ > 0 t.c. ∀x ∈]x0 − δ, x0 + δ[ f(x) ∈]f(x0) − ε, f(x0) + ε[.Infatti, fissato un qualunque x0 ∈ <, se ε e un numero positivo qualunque, allora l’intervallo A =]f(x0)−ε, f(x0)+ε[ e unaperto di <, quindi, essendo f continua, la sua immagine inversa f−1(A) e aperto in < ed inoltre x0 ∈ f−1(A). Questosignifica che x0 e un punto interno di f−1(A), quindi esiste un δ > 0 tale che ]x0− δ, x0 + δ[⊆ f−1(]f(x0)− ε, f(x0) + ε[),da cui ∀x ∈]x0 − δ, x0 + δ[, f(x) ∈]f(x0)− ε, f(x0) + ε[.

Teorema 4.1.2 Se X, X ′ e X ′′ sono tre spazi topologici e f : X → X ′, g : X ′ → X ′′ due funzioni continue allora lafunzione composta g f : X → X ′′ definita da g f(x) = g(f(x)) ∀x ∈ X, e continua.

Dimostrazione. Se A e un insieme aperto di X ′′ allora, essendo f e g continue, f−1(g−1)(A) e un aperto di X. D’altraparte, dalla ovvia eguaglianza (g f)−1(A) = f−1(g−1)(A), segue che l’immagine inversa mediante la g f dell’aperto Ae un insieme aperto, da cui la tesi.

Teorema 4.1.3 Se X e X ′ sono due spazi topologici, f : X → X ′ e continua se e solo se l’immagine inversa di ognichiuso di X ′ e un chiuso di X,

Dimostrazione. Il teorema segue dalla ovvia eguaglianza

∀Y ⊆ X ′ f−1(X ′ − Y ) = X − f−1(Y ). (4.4)

Se f e continua e Y e un insieme chiuso di X ′, allora X ′ − Y e aperto in X ′, quindi f−1(X ′ − Y ) e aperto in X, da cui,per la 4.4, f−1(Y ) e chiuso in X. Viceversa supponiamo che l’immagine inversa di ogni chiuso in X ′ sia un chiuso in X,allora, fissato un aperto Y in X ′, X ′ − Y e chiuso in X ′, quindi f−1(X ′ − Y ) e chiuso in X, da cui, per la 4.4, f−1(Y ) eaperto in X.

Proposizione 4.1.19 Siano X e X ′ due spazi topologici e f : X → X ′. Sia U = Uii∈I una base di X ′. f e continuase e solo se ∀i ∈ I f−1(Ui) e un aperto di X.

Dimostrazione. Se f e continua, la condizione e ovviamente verificata. Viceversa, se la condizione e verificata e A e unaperto di X ′, allora A =

⋃j∈J Uj con J ⊆ I, da cui f−1(A) = f−1(

⋃j∈J Uj) =

⋃j∈J f

−1(Uj), che e un’unione di apertie quindi un aperto.

Definizione 4.1.25 Siano X e X ′ due spazi topologici, un’applicazione f : X → X ′ si chiama omeomorfismo sestabilisce una corrispondenza biunivoca tra i due spazi topologici ed inoltre e continua e la sua inversa f−1 : X ′ → X econtinua. Se esiste un omeomorfismo tra X e X ′, si dice che i due spazi topologici sono omeomorfi.

Osservazione 12 Un omeomorfismo tra due spazi topologici X e X ′, non solo stabilisce una corrispondenza biunivoca tragli elementi di X e X ′, ma anche tra i loro insiemi aperti (chiusi). Questo significa che due spazi topologici omeomorfi,anche se definiti in maniera totalmente differente, sono indistinguibili da un punto di vista topologico. La nozione diomeomorfismo in topologia ha la stessa funzione della nozione di isomorfismo in algebra.

Esempio 30 Le applicazioni (P → Q, P → E, Q → E) illustrate nella figura 4.2 tra cerchio, quadrato ed ellisse,sono ovviamente corrispondenze biunivoche ed inoltre tenendo conto che una base di insiemi aperti su ciascuna figurae costituita dalle sue intersezione con i dischi aperti di <2, per la proposizione 4.1.19 sono anche continue con le loroinverse. Quindi cerchio, quadrato ed ellisse sono omeomorfi. Con la stessa costruzione, si puo vedere che sfera, cubo edellissoide sono superfici omeomorfe.

93

PQ

EP’

Q’

E’

Figura 4.2: Esempi di omeomorfismi

Per dimostrare che due spazi topologici sono omeomorfi, basta determinare un omeomorfismo, per dimostrare che nonsono omeomorfi, non potendo verificare che tutte le applicazioni dall’uno all’altro non sono omeomorfismi, si utilizzanoproprieta o strutture invarianti per omeomorfismo. Nel senso che, se una propieta di uno spazio topologico e invarianteper omeomorfismi, uno spazio topologico che non gode di tale proprieta non puo essere omeomorfo a nessuno degli spazitopologici che godono di quella proprieta. Esempi di propieta invarianti per omeomorfismi sono la connessione e lacompattezza. A tal proposito si dimostrano i seguenti teoremi.

Proposizione 4.1.20 Siano X e X ′ due spazi topologici, e f : X → X ′ un’applicazione continua e surgettiva. Se X econnesso allora anche X ′ e connesso.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che X ′ non sia connesso, allora, per la proposizione 4.1.13, esiste un sottoinsiemeA′ 6= ∅ di X ′ non coincidente con X ′ che e sia aperto che chiuso. Allora f−1(A′) e aperto e chiuso perche la f e continuae non potendo essere vuoto o coincidente con X perche la f e surgettiva, si arriva alla conclusione assurda che X non econnesso.

D’altra parte, tenendo conto che un omeomorfismo e, in particolare, un’applicazione continua e surgettiva, si trovache

Corollario 4.1.1 Se X e X ′ sono spazi topologici omeomorfi e uno dei due e connesso, anche l’altro deve essere connesso.

Chiaramente, il viceversa del teorema non e vero, cioe non e detto che due spazi topologici connessi devono esserenecessariamente omeomorfi. Per esempio gli intervalli [0, 1] e [0, 1[, che per la proposizione 4.1.14 sono sottospazi connessidi < non possono essere omeomorfi, perche, per il teorema di Weierstrass, l’immagine di una funzione continua definitain [0, 1] deve essere un intervallo chiuso e limitato.

Proposizione 4.1.21 Siano X e X ′ due spazi topologici, e f : X → X ′ un’applicazione continua e surgettiva. Se X ecompatto anche X ′ e compatto.

Dimostrazione. Sia Aii∈I un ricoprimento aperto per X ′. Dall’ovvia eguaglianza⋃i∈I f

−1(Ai) = f−1(⋃i∈I Ai), si

ricava che⋃i∈I f

−1(Ai) = f−1(X ′) = X ed essendo f continua, f−1(Ai)i∈I e un ricoprimento aperto di X. Dallacompattezza di X, segue che esso ammette un sottoricoprimento finito f−1(Ai)i∈I essendo I un sottinsieme finitodi I. Si trova quindi che X =

⋃i∈I f

−1(Ai) = f−1(⋃i∈I Ai), da cui, tenendo conto che f e surgettiva, ne segue che

X ′ =⋃i∈IAi .

Come prima, essendo, in particolare, un omeomorfismo un’applicazione continua e surgettiva, si ricava immediatementeche

Corollario 4.1.2 Se X e X ′ sono spazi topologici omeomorfi e uno dei due e compatto, anche l’altro deve essere compatto.

Anche in questo caso, il viceversa non e vero. Per esempio un quadrato ed un cubo, essendo chiusi e limitati, sonosottospazi compatti di <3, ma chiaramente non possono essere omeomorfi.

Con i teoremi appena dimostrati, si puo escludere l’esistenza di omeomorfismi tra vari spazi topologici. Per esempiolimitandoci alle superfici di <3 considerate come sottospazi, si puo sicuramente affermare che l’iperboloide ellittico(a duefalde) non essendo connesso non e omeomorfo all’iperboloide iperbolico, il quale a sua volta non essendo compatto nonpuo essere omeomorfo alla sfera, che come sottoinsieme chiuso e limitato di <3, lo e. Per lo stesso motivo una superficiesferica, non e omeomorfa al piano, in questo caso si dice che la topologia della sfera e diversa dalla topologia euclidea.In seguito vedremo che esiste un omeomorfismo tra il piano e la sfera privata di un punto, quindi si puo dire che il piano

94

(come qualunque spazio topologico omeomorfo ad <n) si puo compattificare con l’aggiunta di un punto. Tale operazionedi compattificazione puo esssere definita in maniera rigorosa, ma cio esula dallo scopo di questi appunti.

Se invece si toglie un punto da un piano, si ottiene una topologia diversa da quella euclidea. Cio puo essere vistoricorrendo a strutture algebriche invarianti per omeomorfismo, ma anche cio esula dallo scopo di questi appunti. Inseguito, dopo aver introdotto altre nozioni, vedremo come rappresentare tale topologia.

Proposizione 4.1.22 In <

1. Tutti gli intervalli aperti, limitati o illimitati, sono tra di loro omeomorfi.

2. Tutti gli intervalli chiusi e limitati sono tra di loro omeomorfi.

3. Tutti gli intervalli del tipo [a, b[, con a ∈ <(b ∈ <) e b(a) finito od infinto, sono tra di loro omeomorfi.

Intervalli apparteneti a categorie diverse non sono omeomorfi.

Dimostrazione. Se cosideriamo due intervalli finiti ]a1, b1[ e ]a2, b2[, l’omeomorfismo e individuato dall’equazione dellaretta congiungente i punti (a1, a2) e (b1, b2). La funzione arctanx e un omeomorfismo tra ]− Π

2 ,Π2 [ e ]−∞,+∞[, quindi

per quanto detto prima, ] −∞,+∞[ e omeomorfo a qualunque intervallo aperto e limitato. Analogamente la funzioneexpx e un omeomorfismo tra ] − ∞,+∞[ e ]0,+∞[. Analogamente si dimostrano gli altri due punti. Infine l’ultimaaffermazione e una conseguenza banale delle proprieta delle funzioni reali continue ed invertibili.

In particolare, in <n, e immediato constatare che ogni disco aperto e omeomorfo a tutto <n. Fissato il disco apertounitario D1 = (x1, x2, . . . , xn) ∈ <n | ρ =

√(x1)2 + (x2)2 + · · ·+ (xn)2 < 1, basta considerare l’applicazione da <n

su tutto D1, che manda l’origine nell’origine e ad ogni punto P 6= O a distanza ρP > 0 dall’origine associa il punto P ′

appartenente alla semiretta uscente da O e passante per P , ed a distanza tanh ρP dall’origine.

4.1.10 Spazi topologici quozienti

Sia X uno spazio topologico con topologia τ , e R una relazione di equivalenza su X. Considerato l’insieme quoziente X/R,cioe l’insieme i cui elementi sono le classi di equivalenza determinate da R, denotiamo con π : X → X/R la proiezionenaturale di X su X/R, cioe l’applicazione che ad ogni elemento x ∈ X associa la classe di equivalenza [x] a cui essoappartiene. Consideriamo la seguente famiglia di insiemi τR = π(U) | U ∈ τ, U = π−1(π(U)). Cioe in τR ci stanno leproiezioni di quegli insiemi aperti U di X che godono della proprieta che se in U c’e un elemento x ∈ X allora ci devonoessere tutti gli elementi della classe di equivalenza di x: x ∈ U → [x] ⊆ U .

Proposizione 4.1.23 La famiglia τR gode delle proprieta della definizione 4.1.1, pertanto definisce una topologia suX/R.

Dimostrazione. Ovviamente X/R = π(X) e ∅ = π(∅) sono elementi di τR, essendo X e ∅ aperti di X che godono dellaproprieta X = π−1(π(X)) e ∅ = π−1(π(∅)).

Sia π(Ui)i∈I una famiglia qualunque di elementi di τR, chiaramente π(⋃i∈I Ui) ∈ τR, infatti

⋃i∈I Ui e un aperto di

X tale che se x ∈⋃i∈I Ui allora deve esistere un i ∈ I tale che x ∈ Ui e quindi con [x] ⊆ Ui ⊆

⋃i∈I Ui. D’altra parte e

immediato dimostrare che π(⋃i∈I Ui) =

⋃i∈I π(Ui), quindi

⋃i∈I π(Ui) ∈ τR.

Sia, ora, π(Ui)i∈I una famiglia finita di elementi di τR. Intanto⋂i∈I Ui e un elemento di τ perche intersezione finita

di elementi di τ , inoltre se x ∈⋂i∈I Ui allora x ∈ Ui per ogni i ∈ I, da cui, essendo ciascun π(Ui) ∈ τR, ne segue che

[x] ⊆ Ui per ogni i ∈ I, quindi [x] ⊆⋂i∈I Ui, cio implica che π(

⋂i∈I Ui) ∈ τR. Cosı per provare l’ultima proprieta della

definizione 4.1.1 basta provare che⋂i∈I π(Ui) = π(

⋂i∈I Ui). Se y ∈ π(

⋂i∈I Ui), allora ∃x ∈

⋂i∈I Ui e quindi x ∈ Ui per

ogni i ∈ I tale che π(x) = y, cio implica che y ∈ π(Ui) per ogni i ∈ I e quindi y ∈⋂i∈I π(Ui). Viceversa se y ∈

⋂i∈I π(Ui),

allora y ∈ π(Ui) per ogni i ∈ I, quindi ∃xi ∈ Ui per ogni i ∈ I, tali che π(xi) = y, da questo, per come e stata definita π,segue che tutti gli xi sono tra di loro equivalenti e quindi devono appartenere ad una stessa classe di equivalenza [x] = y,d’altra parte, dovendo, per ipotesi, ciascun π(Ui) appartenere a τR, ne segue che xi ∈ [x] ⊆ Ui per ogni i ∈ I da cuiπ(x) = y con x ∈ Ui per ogni i ∈ I e quindi per x ∈

⋂i∈I Ui, percio y ∈ π(

⋂i∈I Ui).

Definizione 4.1.26 L’insieme X/R con la topologia τR, si chiama spazio topologico quoziente di X, e la topolgiaτR si chiama topologia quoziente.

Proposizione 4.1.24 La topologia quoziente e la piu fine topologia su X/R rispetto alla quale l’applicazione π e continua.

Dimostrazione. Se Y ∈ τR, allora Y = π(U) con U ∈ τ e π−1(Y ) = π−1(π(U)) = U ∈ τ , quindi π e continua. SiaY ⊆ X/R tale che U = π−1(Y ) ∈ τ , poiche π π−1 = id, ne segue che π(U) = Y , da cui π−1(π(U)) = π−1(Y ) = U ,quindi Y ∈ τR. Cosı se τ ′ e un’altra topologia su X/R, tale che π e continua, se Y ∈ τ ′, allora π−1(Y ) ∈ τ , quindi perquanto visto prima, Y ∈ τR.

95

x

y

O

A

P

ϕ

R

Figura 4.3: Topologia della circonferenza

4.1.11 Spazi topologici prodotto

Siano X e Y due spazi topologici e X × Y il loro prodotto cartesiano. Denotiamo con p : X × Y → X e q : X × Y → Yle proiezioni canoniche associate al prodotto: p(x, y) = x e p(x, y) = y per ogni (x, y) ∈ X × Y .

Definizione 4.1.27 Si chiama topologia prodotto su X × Y , la topologia meno fine, rispetto alla quale le proiezionip e q sono continue. L’insieme X × Y con la topologia prodotto si chiama spazio topologico prodotto dei due spazitopologici X e Y .

Le seguenti due proposizioni, lasciate senza dimostrazione, danno una caratterizzazione piu operativa degli aperti diX × Y .

Proposizione 4.1.25 Una base per la topologia prodotto e costituita dagli insiemi del tipo U × V , con U aperto di X eV aperto di Y .

Proposizione 4.1.26 Se B e C sono basi rispettivamente per la topologia di X e la topologia di Y , allora la famigliaD = B × C | B ∈ B, C ∈ C e una base per la topologia prodotto.

La proposizione seguente sara utile negli esempi del prossimo capitolo.

Proposizione 4.1.27 Siano X, Y , X ′ e Y ′ quattro spazi topologici e φ : X → X ′ ψ : Y → Y ′ omeomorfismi, alloral’applicazione f : X × Y → X ′ × Y ′ definita da f(x, y) = (φ(x), ψ(y)) per ogni (x, y) ∈ X × Y e un omeomorfismo.

Dimostrazione. Chiaramente f stabilisce una corrispondenza biunivoca tra X × Y e X ′ × Y ′. Se A′ e un aperto di X ′ eB′ un aperto di Y ′, si dimostra facilmente che f−1(A′ ×B′) = φ−1(A′)× ψ−1(B′), che e un aperto di X × Y , essendo φe ψ omeomorfismi. Se A e B sono aperti rispettivamente di X e Y allora essendo f(A×B) = φ(A)× ψ(B), un prodottodi insiemi aperti, deve essere un aperto di X ′ × Y ′.

Dalla proposizione precedente, nel caso particolare in cui ψ e l’omeomorfismo identico, si ricava il seguente

Corollario 4.1.3 Se X, Y , X ′ sono tre spazi topologici e φ : X → X ′ e un omeomorfismo, allora anche l’applicazionef : X × Y → X ′ × Y definita da f(x, y) = (φ(x), y) per ogni (x, y) ∈ X × Y , e un omeomorfismo.

4.1.12 Esempi di spazi topologici

Gli esempi seguenti riguardano un campo di applicazione molto ristretto della topologia, precisamente quello riguardantele varieta topologiche.

Esempio 31 Sia C una circonferenza di centro O raggio R. In un sistema di riferimento avente O come origine, leequazioni parametriche di C sono x = R cosφ, y = R sinφ, essendo φ l’angolo al centro dell’arco PA, orientato in sensoantiorario, dove A e l’intersezione di C con il semiasse positivo delle x e P e il punto associato a φ, come in fig.4.3.L’applicazione f : [0, 2π[→ C definita dalle equazioni parametriche stabilisce una corrispondenza biunivoca tra [0, 2π[ eC, ma l’inversa di f non e continua in A, perche ogni insieme del tipo [0, ε[ con ε ∈ <+, e aperto in [0, 2π[, ed ha comeimmagine l’arco semiaperto APε.

1

1si puo anche dire che il limite per P che tende ad A da destra e da sinistra da come risultato rispettivamente 0 e 2π.

96

Se, invece, consideriamo lo spazio quoziente S1 = [0, 2π]/R, essendo R la relazione di equivalenza che identificaciascun punto interno con se stesso e gli estremi 0 e 2π tra di loro, l’insieme S1 e costituito dai punti interni di [0, 2π] edalla classe di equivalenza [0] = 0, 2π. Per come e stata definita la topologia quoziente, gli insiemi aperti per S1 sonodeterminati da tutti gli insiemi aperti di [0, 2π], che non contengono nessuno degli estremi o li contengono entrambi. Inquesta topologia, gli intorni aperti di [0] = 0, 2π non son piu generati da intervalli del tipo [0, ε[, ma sono generati,modulo 2π, da intervalli del tipo ]−ε, ε[. Quindi se cosideriamo la funzione f : S1 → C, definita, come la f , dalle equazioniparametriche, essa e un omeomorfismo perche stabilisce una corrispondenza biunivoca tra S1 e C e perche l’immagineinversa di un arco aperto (contenete o no A) e un intervallo aperto di S1 ed ogni intervallo aperto di S1 (contenete o no[0]) ha come immagine un arco aperto di C.

Con S1 si indica, in generale, la topologia della circonferenza. Dalla costruzione fatta sopra si vede che la topologia dellacirconferenza e quella di un intervallo reale con gli estremi identificati. O alternativamente, si dice che una circoferenzae ottenuta topologicamente, da un segmento chiuso, incollandone gli estremi.

Se si considera lo spazio topologico < e la relazione di equivalenza R, definita da aRb ↔ a − b = 2kπ con k ∈ Z,allora non solo S1 = </R da un punto di vista insiemistico, ma si dimostra facilmente che come spazi topologici sonoomeomorfi. Quindi si puo definire, equivalentemente, la toplogia di S1 come la topologia euclidea modulo 2π.

Esempio 32 Vediamo come si puo costruire la topologia di un cilindro, cioe delle superfici bidimensionali omeomorfe adun cilindro. Per semplicita consideriamo il cilindro circolare retto H di equazioni parametriche, rispetto ad un assegnatosistema di riferimento cartesiano, x = R cosφ, y = R sinφ, z = z, con φ ∈ [0, 2π[ e z ∈ <. Come nel caso precedente,l’applicazione f : [0, 2π[×< ⇒ H, definita dalle equazioni parametriche, stabilisce una corrispondenza biunivoca tra lasriscia [0, 2π[×< con la topologia prodotto e H, ma l’inversa non e continua nei punti della generatrice φ = 0, perche gliaperti di [0, 2π[×< del tipo [0, ε[×V con ε ∈ <+ e V aperto di < vengono mandati dalla f in sottoinsiemi non aperti diH. Se invece di [0, 2π[×< consideriamo lo spazio topologico S1 ×<. la funzione f : S1 ×< → H definita dalle equazioniparametriche e un omeomorfismo. perche gli insiemi del tipo [0, ε[×V con ε ∈ <+ e V aperto di <, non sono aperti inS1×<. Dalle considerazioni precedenti si vede che la topologia di un cilindro si puo ottenere identificando i punti oppostidei lati della striscia [0, 2π]×<. Oppure si puo anche dire che S1×< si ottiene incollando i lati opposti della striscia[0, 2π]×<.

Esempio 33 Consideriamo un toro T di raggio R ed ampiezza a > R. In un opportuno sistema di riferimento cartesiano,le sue equazioni parametriche sono: x = (a + R cos θ) cosφ, y = (a + R cos θ) sinφ, z = R sin θ, con θ ∈ [0, 2π[ eφ ∈ [0, 2π[. Tali equazioni parametriche stabiliscono una corrispondenza biunivoca tra i punti di T ed il quadrato semiaperto[0, 2π[×[0, 2π[, ma come nei casi precedenti, non ce continuita sulle circonferenze θ = 0 e φ = 0. Queste discontinuitasi possono eliminare identificando gli estremi di ciascuno dei due intervalli, cosı l’applicazione f : S1 × S1 → T e unomeomorfismo. Quindi la topologia del toro e S1 × S1. L’operazione di identificazione descritta sopra e equivalentead incollare i lati opposti del quadrato [0, 2π]× [0, 2π]

Esempio 34 Una sfera S di centro C e raggio R, ha equazioni parametriche, in un dato sistema di riferimento diorigine in C, x = R sin θ sinφ, y = R sin θ sinφ, z = R cos θ con θ ∈]0, π[ e φ ∈ [0, 2π[. Tali equazioni parametrichetengono conto di tutti i punti della sfera tranne i punti diametralmente opposti N e S in cui S interseca l’asse z. Conragionamento analogo a quello fatto negli esempi precedenti, se nell’intervallo [0, 2π[, si identificano i punti opposti, siottiene un omeomorfismo f : S1×]0, π[→ S − N,S. Poiche un intervallo aperto e omeomorfo a tutto <, dal corollario4.1.3, segue che una sfera privata di due punti ha la topologia di un cilindro. Nel capitolo successivo verra descritto unomeomorfismo tra la sfera privata di un punto e <2. Invece la topologia della sfera non e derivabile come prodottocartesiano di altri spazi topologici, tale topologia si indica con il simbolo S2.

Esempio 35 Nell’esempio precedente si e visto che la topologia euclidea del piano <2 si ottiene dalla sfera S2 privata diun punto e che quella del cilindro S1 ×< si ottiene privando la sfera S2 di due punti. Da questo si deduce che privandoil piano di un punto si ottiene la topologia di un cilindro. Cio si puo anche vedere prendendo un sistema di coordinatepolari centrato sul punto O eliminato: x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, con ρ > 0 e φ ∈ [0, 2π[. Al solito, identificando i punti 0e 2π nell’intervallo [0, 2π], si trova che l’applicazione f :]0,+∞[×S1 → <2 − O e un omeomorfismo. Infine, tenendoconto che ]0,+∞[ come intervallo aperto e omeomorfo a <, ne segue che <2 − O ha la toplogia S1 ×< del cilindro.

Gli esempi fatti, riguardanti superfici bidimensionali, si possono generalizzare al caso di superfici tridimensionali, inparticolare, si possono considerare la topologia euclidea <3, la topologia della sfera S3, la topologia del cilindro S2 × <,la topologia del tri-toro S1 × S1 × S1 che si ottiene identificando le facce opposte di un cubo. Cosı come altre topologieche non hanno un analogo bidimensionale quali S2 × S1, S1 × S1 ×<, S1 ×<2 etc.

97

4.2 Coomologia di de Rham

Sia Mn una varieta differenziabile di classe Ck. Denotiamo con Λp(Mn) l’insieme dei campi di p-forme differenziali diclasse Ch con 2 ≤ h < k, definite globalmente su Mn con p ∈ 0, 1, . . . , n. Λp(Mn) puo essere dotato di struttura dispazio vettoriale su < con le operazioni di somma e di prodotto per numeri reali, eseguite punto per punto sugli spazitangenti. Osserviamo che tali spazi vettoriali, a differenza di quello che succede per le p-forme sugli spazi vettoriali didimensione finita Λp(En), sono di dimensione infinita. Basti pensare che Λ0(Mn) e lo spazio delle funzioni a valori realidifferenziabili di classe Ch, mentre Λ0(En) = <.Analogamente a quanto succede per le p-forme sugli spazi vettoriali di dimensione finita, allo spazio vettoriale Λ(Mn) =⊕np=0Λp(Mn) puo essere data la struttura di algebra esterna, mediante il prodotto esterno tra forma differenziali, puntoper punto, su ciascun spazio tangente. Inoltre, come si e gia visto su Λ(Mn) agisce l’operatore d di derivazione esternache obbedisce alle regole

1. dΛp(Mn) ⊂ Λp+1(Mn),

2. dd = 0.

Definizione 4.2.1 La coppia (Λ(Mn),d) si chiama complesso di de Rham su Mn e puo essere rappresentato grafica-mente dalla sequenza

0d- Λ0(Mn)

d- Λ1(Mn)d - . . .

d- Λp(Mn)d - . . .

d- Λn(Mn)d - 0

Definizione 4.2.2 Diremo che una p-forma differenziale α e chiusa o alternativamente che e un cociclo se dα = 0.Diremo invece che α e una p-forma differenziale esatta o alternativamente che e un cobordo se esiste una (p-1)-formadifferenziale β tale che α = dβ.

Proposizione 4.2.1 Per ogni p ∈ 0, . . . , n, gli insieme Zp dei cocicli e Bp dei cobordi sono spazi vettoriali, conBp ⊆ Zp

Dimostrazione Zp e il nucleo dell’omomorfismo d e Bp e l’immagine di d, quindi sono entrambi sottospazi di Λp(Mn).Inoltre se α ∈ Bp allora per quamche (p-1)-forma differenziale β, α = dβ ⇒ dα = ddβ = 0⇒ α ∈ Zp.

Osservazione 13 Sono casi particolari p = 0 e p = n.B0 = 0, Z0 = f : Mn → < | df = 0, quindi e l’insieme delle funzioni costanti su ciascuna componente connessa diMn, cioe Z0 = <m essendo m il numero di componenti connesse di Mn. In particolare se Mn e connesso, Z0 = <.

Definizione 4.2.3 Diremo che due cocicli α,β ∈ Zp sono omologhi e scriveremo α ∼ β se α− β ∈ Bp.

Tale relazione e una relazione di equivalenza:

1. α−α = 0 ∈ Bp;

2. se α− β ∈ Bp allora β −α = −(α− β) ∈ Bp;

3. se α− β ∈ Bp e β − γ ∈ Bp allora α− γ = (α− β) + (β − γ) ∈ Bp

Definizione 4.2.4 Lo spazio vettoriale Hp(Mn) = Zp/Bp si chiama p-esimo spazio vettoriale di coomologia suMn e la sua dimensione che indicheremo con bp si chiama p-esimo numero di Betti di Mn.

Proposizione 4.2.2 b0 e uguale al numero di componenti connesse di Mn

Dimostrazione Si e visto che Z0 = <m essendo m il numero di componenti connesse di Mn e B0 = 0 quindi H0(Mn) =<m ⇒ b0 = m. Vari altri teoremi provano che i numeri di Betti di una varieta differenziabile sono strettamente legati alla topologia dellavarieta.

Teorema 4.2.1 (Lemma di Poincare) Se Mn e omeomorfa a <n, bp = 0 per p = 1, . . . , n.

Teorema 4.2.2 (Teorema di dualita di Poincare) Se Mn e compatta, bp = bn−p, per p = 0, . . . , n.

Il Teorema di de Rham stabilisce sostanzialmente una dualita tra spazi vettoriali di coomologia e gruppi di omologia,tale che bp = bp, essendo bp il numero di generatori indipendenti del p-esimo gruppo di omologia 2.

2Si puo assimilare, discorsivamente parlando, il numero di Betti bp al numero di sottovarieta indipendenti senza bordo di dimensione p chenon sono il bordo di una sottovarieta di dimensione p+ 1. Per esempio b1 corrisponde al numero massimo di tagli tramite curve chiuse che sipossono praticare su una varieta connessa senza disconnetterla

98

Definizione 4.2.5 Si chiama caratteristica di Eulero-Poincare di una varieta differenziabile Mn l’invariante topo-logico3

χ =

n∑p=0

(−1)pbp

Esempi In cio che sgue Mn e connessa, quindi b0 = 1.

1. Se Mn = <n, allora bp = 0 (p > 0) per il lemma di Poincare e χ = 1.

2. Se Mn = Sn (sfera n-dimensionale), per il teorema di dualita di Poincare, bn = b0 = 1 ed inoltre si puo dimostrareche bp = 0 per p = 1, . . . , n− 1. Per esempio si puo intuire che b1 = 0 nel caso della sfera bidimensionale per il fattoche viene disconnessa dal taglio praticato da ogni curva chiusa. Mentre χ = 2 se n e pari e χ = 0 se n e dispari.

3. Se Mn = Tn (toro n-dimensionale), allora bp =(np

). Per esempio nel caso n = 2, si ha b0 = b2 = 1 perche T 2 e

connesso e compatto e b1 = 2 perche 2 e il massimo numero di tagli che si possono praticare senza disconnetterlo.Invece χ = 0 per ogni n. Infatti χ =

∑np=0(−1)p

(np

)= (1− 1)n = 0.

4. Un toro bidimensionale con h buchi (sfera con n manici) essendo connesso e compatto ha sempre b0 = b2 = 1 eb1 = 2h. Quindi χ = 2− 2h. Si ritrova cosı χ = 0 per il toro, mentre χ = −2 per il bi-toro (sfera con due manici),χ = −4 per il tri-toro (sfera con tre manici) ecc.

3E stata introdotta discorsivamente nell’introduzione al paragrafo di Topologia Generale come il numero dei vertici - il numero dei lati +il numero delle facce di una qualunque triangolazione di una varieta bidimensionale, essendo tale numero un invariante topologico e quindiindipendente dalla particolare triangolazione scelta.

99

4.3 Superfici, ipersuperfici e geometrie non euclidee

4.3.1 Superfici regolari in <3

In quello che segue <3 sara sempre riferito ad un sistema di coordinate cartesiane (x, y, z) con assi paralleli e concordi aduna terna ortonormale i, j, k.

Definizione 4.3.1 Una superficie Σ di <3 e il luogo dei punti che verificano un’equazione del tipo f(x, y, z) = 0, essendof una funzione almeno di classe C1 tale che ∇f(P ) 6= 0 per ogni P ∈ Σ.Si chiamano vettori normali di Σ in un punto P i vettori ±∇f(P ).Si chiama piano tangente a Σ in P il luogo dei punti Q tali che (Q− P ) · ∇f(P ) = 0.

La condizione ∇f(P ) 6= 0 per ogni P ∈ Σ esprime il fatto che la normale e definita in ogni punto.Una superficie Σ puo essere ottenuta localmente come l’immagine di una funzione φ : U → Σ essendo U un aperto

connesso di <2, rappresentabile mediante le tre funzioni

x = x(u, v) (4.5)

y = y(u, v) (4.6)

z = z(u, v) (4.7)

con (u, v) ∈ U .

Definizione 4.3.2 Una superficie regolare o superficie parametrica e una superficie rappresentabile come sopra da

una funzione φ iniettiva, di classe Ch con h > 1 e tale che la matrice jacobiana ∂(x,y,z)∂(u,v) abbia rango 2 in ogni punto.

Nel seguito una superficie regolare sara chiamata semplicemente superficie.Le linee coordinate in un punto P0 = (u0, v0) sono le curve di equazioni parametriche

x = x(u, v0) (4.8)

y = y(u, v0) (4.9)

z = z(u, v0) (4.10)

e

x = x(u0, v) (4.11)

y = y(u0, v) (4.12)

z = z(u0, v) (4.13)

mentre i vettori tangenti alle linee coordinate sono

∂P

∂u=∂x

∂ui +

∂y

∂uj +

∂z

∂uk e

∂P

∂v=∂x

∂vi +

∂y

∂vj +

∂z

∂vk

quindi sono vettori normali

N = ±∂P∂u× ∂P

∂u=

∣∣∣∣∣∣i j k∂x∂u

∂y∂u

∂z∂u

∂x∂v

∂y∂v

∂z∂v

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ ∂x∂u ∂y∂u

∂x∂v

∂y∂v

∣∣∣∣ i− ∣∣∣∣ ∂x∂u ∂z∂u

∂x∂v

∂z∂v

∣∣∣∣ j +

∣∣∣∣ ∂y∂u ∂z∂u

∂y∂v

∂z∂v

∣∣∣∣ kSostituendo i differenziali delle (4.5)-(4.7) nel tensore metrico euclideo ds2 = dx2 + dy2 + dz2, si ottiene il tensore

metrico su Σ (storicamente prima forma fondamentale)

dσ2 = Edu2 + 2Fdv2 +Gdv2

con

E = (∂x

∂u)2+(

∂y

∂u)2+(

∂z

∂u)2 =

∂P

∂u·∂P∂u

, F =∂x

∂u

∂x

∂v+∂y

∂u

∂y

∂v+∂z

∂u

∂z

∂v=∂P

∂u·∂P∂v

, G = (∂x

∂v)2+(

∂y

∂v)2+(

∂z

∂v)2 =

∂P

∂v·∂P∂v

4

Con semplici calcoli si puo verificare che N ·N = EG−F 2, cioe il determinante del tensore metrico di Σ, da cui si ottienel’espressione delle normali unitarie.

N = ±∂P∂u ×

∂P∂v√

EG− F 2(4.14)

4Il prodotto scalare · ovviamente si intende in <3.

100

4.3.2 Curvatura gaussiana di una superficie regolare

Definizione 4.3.3 Una curva γ(t) ⊆ <3 si dice biregolare se e regolare e di classe C2.

Definizione 4.3.4 Sia γ(s) una curva biregolare parametrizzata dalla sua ascissa curvilinea. Denotiamo con t(s) = dPds

il versore della tangente.Si chiama cuvatura la funzione positiva

k(s) =

∣∣∣∣dtds (s)

∣∣∣∣ .Si chiama normale principale il versore

n(s) =1

k(s)

dt

ds(s).

In particolare se la curva e piana n deve stare nel piano della curva ed essere orientata verso la concavita della curva.Considerata una superficie regolare Σ ⊆ <3 di classe C2, consideriamo un qualunque punto P0 di tale superficie e

delle due normali unitarie ne scegliamo una, per esempio la (4.14) con il segno +. Ogni vettore unitario vi nel pianotangente a P0 individua, insieme a N un piano Πi passante per P0 e parallelo ai due vettori, il quale tagliera Σ in unacurva biregolare γi la cui curvatura in P0 denoteremo con ki e poniamo Ki = kiN · n. Osserviamo che n deve stare sulpiano della curva Πi ed essere ortogonale al versore tangente t, quindi non puo che essere parallelo ad N, di conseguenzail segno di Ki e positivo se n e N sono concordemente orientati, negativo altrimenti.Poiche l’insieme dei vettori tangenti a Σ in P0 e topologicamente una circonferena C e potendosi dimostrare che la funzionef : C → < definita da f(i) = Ki e continua, dalla compattezza di C segue

Teorema 4.3.1 L’insieme numerico Ki | i ∈ C e dotato di minimo e massimo, ripsettivamente Km e KM .

Definizione 4.3.5 I numeri Km e KM si chiamano curvature principali della superficie Σ nel punto P0.K = Km+KM

2 si chiama curvatura media della superficie Σ nel punto P0.Il prodotto K = KmKM delle due curvature principali si chiama curvatura gaussiana di Σ in P0.

Osservazione 14 I segni dei numeri Ki e di conseguenza i segni delle curvature principali e della curvatura mediadipendono dalla scelta dell’orientazione della normale N alla superficie in P0. Cosı cambiando orientazione di N tutti isegni diventano opposti, ma il segno della curvatura gaussiana, dipendendo dal prodotto di due fattori, ovviamente noncambia.

Osservazione 15 Le curvature principali, la curvatura media e la curvatura gaussiana sono state costruite facendoriferimento ad elementi non intrinseci alla superficie come la normale e i piani normali, quindi a priori non si puo direche si tratti di numeri inerenti la geometria intrinseca della superficie (tensore metrico).E effetivamente vero che che le curvature principali e la curvatura media dipendono da come la superficie e immersa in<3 ma non la curvatura gaussiana.

Gauss ha infatti dimostrato

Teorema 4.3.2 (egregium). La curvatura gaussiana dipende solo dal tensore metrico della superficie ed e percio inva-riante per isometrie5.

Si puo cosı concludere che le curvature principali e media sono curvature estrinseche, cioe determinate da relazionitra elementi interni alla superficie ed elementi dello spazio in cui essa e immersa. Mentre la curvatura gaussiana e unacurvatura intrinseca cioe dipendente solo da relazioni tra elementi interni alla superficie.

Si puo dimostrare, in particolare che la curvatura gaussiana e intimamente legata al(l’unica componente indipendentedel) tensore di curvatura o equivalentemente allo scalare di curvatura, dalle seguenti

K =R0101

EG− F 2=R

2(4.15)

Definizione 4.3.6 Il punto P0 di Σ si dice

1. ellittico se le due curvature principali hanno lo stesso segno: K > 0,

2. parabolico se una sola delle due curvature principali e nulla: K = 0,

3. iperbolico se le due curvature principali hanno segno discorde: K < 0,

5Trasformazioni che lasciano invariante il tensore metrico (movimenti della superficie che conservono lunghezze ed angoli misuratiinternamente).

101

Definizione 4.3.7 Se K non dipende da P0, di dice che Σ e una superficie a curvatura gaussiana costante.

Esempi.

1. Una sfera di raggio R ha solo punti ellittici e curvature principali uguali a (±) 1R ed e percio una superficie a curvatura

gaussiana costante positiva, K = 1R2 .

2. Il piano ha curvature principali nulle in ogni punto quindi e una superficie a curvatura gaussiana nulla.

3. Il cilindro circolare retto di raggio R e a punti parabolici, le curvature principali in ogni punto sono Km = 0(curvatura della generatrice passante per il punto dato) e KM = (±) 1

R (curvatura della direttrice passante per ilpunto dato). Quindi e una superficie di curvatura gaussiana costante nulla6. Stesso discorso vale anche se il cilindronon e circolare. Osserviamo inoltre che il cilindro ha curvatura estrinseca diversa dal piano ma uguale curvaturaintrinseca. Cioe ha un aspetto diverso dal piano se guardato da un osservatore esterno ma e visto come il piano(almeno locamente) da un osservatore interno.

4. In ogni punto di un iperboloide ellittico ci sono piani passanti per la normale che intersecano la superficie in curve(ellissi) con convessita verso l’interno e in curve (iperboli) con convessita verso l’esterno della superficie, dandocosı alla superficie una conformazione a sella. Per cui, qualunque direzione si sceglie per N ci sara una curvaturaprincipale positiva ed una curvatura principale negativa, quindi la curvatura gaussiana e negativa ed i punti sonoiperbolici. Stesso discorso vale per il paraboloide iperbolico con il tipico andamento a sella.

5. Il toro e il tipico esempio di una superficie che contiene punti ellittici, parabolici ed iperbolici. Se si appoggia il torosu un piano orizzontale, questo e tangente su tutti i punti di una circonferenza C1. Se poi si appoggia un pianoorizzontale sopra il toro questo sara tangente su tutti i punti di una circonferenza C2 diametralmente opposta allaprima. Queste due circonferenze tagliano il toro in due aperti, uno esterno Ae ed uno interno Ai. Per ogni puntodell’aperto esterno tutte le curve tagliate da un piano passante per la normale volgono la concavita dalla stessaparte (punti ellittici). Per ogni punto dell’aperto interno ci sono curve con concavita opposte (punti iperbolici). Ipunti sulle due circonferenze C1 e C2 sono punti parabolici.Tutto cio puo essere visto analiticamente, Il toro ha equazioni parametriche

x = (a+ r cos θ) cosϕ (4.16)

y = (a+ r cos θ) sinϕ (4.17)

z = r sin θ (4.18)

con a > r e θ, ϕ ∈ [0, 2π[, dove θ = 0, π sono i due equatori e θ = π2 ,

3π2 sono i due poli, cioe le circonferenze C1 e

C2. Il tensore metrico edσ2 = r2dθ2 + (a+ r cos θ)2dϕ2. (4.19)

Ponendo x0 = θ e x1 = ϕ, i coefficienti di Christoffell non nulli di questa metrica sono

Γ011 =

a+ r cos θ

rsin θ e Γ1

01 = − r sin θ

a+ r cos θ, (4.20)

da cui si trova R0101 = r(a+ r cos θ) cos θ e tenendo conto che EG− F 2 = r2(a+ r cos θ)2, si ottiene

K(θ, ϕ) =cos θ

r(a+ r cos θ)

da cui si deduce che nei poli ci sono solo punti parabolici. Allo stesso risultato si poteva arrivare se si tiene contoche K = R

2 = g00g11R0101 = 1r2(a+r cos θ)2 r(a+ r cos θ) cos θ = cos θ

r(a+r cos θ) .

4.3.3 Teorema di Gauss-Bonnet

Definizione 4.3.8 Si chiama curvatura totale di una superficie Σ, l’integrale superficiate∫

ΣK(P )dσ dove K(P ) e la

curvatura gaussiana nel generico punto P ∈ Σ e dσ e l’elemento di superficie espresso localmente da dσ = (EG−F 2)dudv.

Un teorema tutt’altro che ovvio stabilisce un legame tra la curvatura totale e la caratteristica di Eulero-Poincar χ di Σ.

Teorema 4.3.3 (Gauss-Bonnet) Se Σ e una superficie compatta, senza frontiera e orientabile,∫Σ

K(P )dσ = 2πχ7 (4.21)

6cio si deduce anche dalla (4.15) se si tiene conto che il tensore di Riemann del cilindro e identicamente nullo.7Oltre al legame non ovvio tra curvatura totale e topologia, si osservi che mentre il secondo membro e definito da tutti i punti di Σ (per

esempio se su da una sfera per la quale χ = 2 si togliesse un punto, la topologia diventerebbe quella di <2 per la quale χ = 1), l’integrale puoessere calcolato a meno di un insieme di misura nulla.

102

Esempi

1. Una sfera di raggio R sfera ha curvatura gaussiana costante uguale a 1R2 e caratteristica di Eulero-Poincar uguale

a 2, quindi il secondo membro e uguale a 4π mentre il primo membro e il prodotto di 1R2 per l’area della superficie

della sfera 4πR2.

2. Un ellissoide non ha curvatura costante, quindi il calcolo del primo membro della (4.21) non e banale come quello dellasfera, pero il teorema ci assicura che e ugualmente 4π perche l’ellissoide ha la topologia della sfera. Intuitivamenteschiacciando una sfera aumentando la curvatura in certi punti, allora per motivi topologici, da qualche altra partedeve diminuire.

3. Abbiamo visto che in un toro ci sono punti a curvatura positiva, negativa e nulla, ma poiche per un toro χ = 0, talicurvature si compensano in maniera tale che la curvatura totale sia nulla. Possiamo anche utilizare il teorema diGauss-Bonnet per determinare la caratteristica di Eulero-Poincare di un toro, una volta nota la curvatura gaussiana.Infatti ∫

T

Kdσ =

∫T

cos θ

r(a+ r cos θ)r(a+ r cos θ)dθdϕ =

∫ 2π

0

dϕ

∫ 2π

0

cos θdθ = 0.

4. Per un bitoro χ = −2, percio i punti a curvatura negativa sovrastano quelli a curvatura positiva, essendo la curvaturatotale −4π.

4.3.4 Geometrie non euclidee

Si puo calcolare la curvatura totale di una regione A di Σ invece che di tutta la superficie estendendo l’integrale ad A.

Definizione 4.3.9 Un triangolo geodetico su una superficie Σ e la figura ottenuta congiungendo mediante geodetichetre punti (vertici) non appartenenti alla stessa geodetica.Gli angoli interni di un triangolo geodetico si ottengono misurando, con il prodotto scalare definito dalla strutturariemanniana, gli angoli formati dai vettori tangenti alle geodetiche nei vertici.

Teorema 4.3.4 (Gauss) Se A e triangolo geodetico su Σ allora∫A

K(P )dσ =

3∑i=1

θi − π (4.22)

dove al primo membro compare la curvatura totale del triangolo A e al secondo membro θ1, θ2 e θ3 sono gli angoli internidi A.

Da questo teorema segue immediatamente che se la curvatura totale del triangolo e positiva allora la somma degli angoliinterni e maggiore di π, se e negativa e minore di π.

Definizione 4.3.10 Una geometria si dice non euclidea se non vale il V postulato di euclide (postulato delle parallele)o equivalentemente se la somma degli angoli interni di un triangolo e diversa da π. In particolare si dice

1. ellittica se la somma degli angoli interni di un triangolo e maggiore di π o equivalentemente se, dati una retta edun punto fuori di essa, per quest’ultimo non passa nessuna retta parallela alla data

2. iperbolica se la somma degli angoli interni di un triangolo e minore di π o equivalentemente se, dati una retta edun punto fuori di essa, per quest’ultimo passano infinite rette parallele alla data.

Cosı come modelli di geometrie non euclidee si possono prendere le superfici a curvatura gaussiana costante8 non nullain cui le geodetiche hanno la funzione delle rette.L’unica superficie di <3 compatta a curvatura gaussiana costante positiva e la sfera (Teorema di Liebmann).Le sole superfici di <3 chiuse a curvatura gaussiana costantemente nulla sono il piano ed il cilindro (Teorema di Hartman-Nirenberg).Come modello di geometria iperbolica fu inizialmente considerata (Beltrami) la pseudosfera, cioe la superficie diequazioni parametriche

x = Rcosϕ

cosh t(4.23)

y = Rsinϕ

cosh t(4.24)

z = R(t− tanh t) (4.25)

8se la curvatura non fosse costante, la somma degli angoli interni di un triangolo dipenderebbe oltre che dal triangolo anche dal luogo incui tale misura viene eseguita.

103

con ϕ ∈ [0, 2π[ e t ∈ <, ottenuta facendo ruotare attorno all’asse ~z di 2π la curva di equazioni parametriche (trattrice)

ρ =R

cosh t(4.26)

z = R(t− tanh t) (4.27)

Calcolando i differenziali delle equazioni parametriche e sostituendoli nel tensore metrico si <3, si ottiene il tensore metricosulla pseudosfera

dσ2 = R2 tanh2 t dt2 +R2

cosh2 tdϕ2 (4.28)

con la quale si puo calcolare l’area∫P

R2| sinh t|cosh2 t

dtdϕ = 2πR2 lima→+∞

(∫ a

0

sinh t

cosh2 tdt−

∫ 0

−a

sinh t

cosh2 tdt

)= 2πR2 lim

a→+∞

([− 1

cosh t

]a0

−[− 1

cosh t

]0

−a

)= 4πR2

cioe la stessa area della sfera pur non essendo compatta. Questo e uno dei motivi che ne giustifica il nome.I coefficienti di Christoffell non nulli sono

Γ000 = Γ0

11 =1

sinh t cosh t, Γ1

10 = − tanh t (4.29)

da cui si ricava R0101 = −R2 sinh2 tcosh4 t

e quindi K = − 1R2 , cioe l’opposto della curvatura gaussiana della sfera. Questo e

l’altro motivo che ne giustifica il nome.Ma la pseudo-sfera non e completa nel senso che le geodetiche non sono definite per valori illimitati del parametro affine(sez. 4.4) infatti come si vede dall’equazione delle geodetiche sulla pseudosfera (2.78) vi sono geodetiche che devononecesariamente passare dall’equatore t = 0 dove tale geodetica avrebbe una cuspide e quindi non sarebbe di classe C2,quindi tali geodetiche non possono essere prolungate per valori illimitati del parametro affine.Si porrebbe quindi il problema di tentare, come modello di geometria iperbolica, con un’altra superficie a curvaturacostante negativa ma completa. Tale tentativo pero cozza contro il seguente

Teorema 4.3.5 (Hilbert) Non esistono in <3 superfici complete a curvatura gaussiana costante negativa.

In realta malgrado il teorema di Hilbert, esiste una superficie completa a curvatura gaussiana costante negativa immersain <3, a condizione pero che si doti <3 di una struttura pseudoriemanniana9 e precisapente di una metrica di Minkowskids2 = dx2+dy2−dz2. La superficie H in questione e la falda z > 0 dell’iperboloide a due falde di equazione z2−x2−y2 = 1,che in equazioni parametriche si scrive

x = R sinhχ cosϕ (4.30)

y = R sinhχ sinϕ (4.31)

z = R coshχ (4.32)

con χ ∈ [0,+∞[ e ϕ ∈ [0, 2π[. Il vettore normale di tale superficie e N = −xi− yj+zk con N ·N = x2 +y2−z2 = −1 < 0,quindi N e un vettore di tipo tempo e quindi H e una superficie di tipo spazio e quindi dotata di una metrica propriamenteriemanniana e precisamente, sommando i quadrati dei differenziali delle prime due equazioni parametriche e sottraendoil quadrato del differenziale della terza10, si ottiene

dσ2H = R2dχ2 +R2 sinh2 χdϕ2 (4.33)

da cui si ricavano i soli coefficienti di Christoffell non nulli

Γ011 = − sinhχ coshχ, Γ1

01 =coshχ

sinhχ

e quindi R0101 = −R2 sinh2 χ e cioe K = − 1R2 .

Questa superficie, che e completa ha tutto cio che serve per essere considerato un modello di geometria iperbolica, che sichiama piano iperbolico (modello di Minkowski).Ora si consideri sul piano z = 0 il disco aperto D di centro l’origine e raggio R (x2 + y2 < R) con la topologia indotta da

<2 e la funzione f che ad ogni punto Q di D di coordinate cilindriche (ρ, ϕ, 0) associa l’unico punto Q′ = ( 2ρ1−ρ2 , ϕ,

1+ρ2

1−ρ2 )

9il teorema di Hilbert si basa sul presupposto che la struttura riemanniana di <3 sia quella euclidea ds2 = dx2 + dy2 + dz210se si sommassero i quadrati dei tre differenziali (immersione in <3 euclideo), si otterrebbe una superficie a curvatura positiva, come si

intuisce dal fatto che sta tutta da una sola parte rispetto al piano tangente nel genrico punto.

104

in cui la retta uscente dal punto (0, 0,−R) e passante per Q incontra H. Si puo facilmente dimostrare11 che tale funzionee un omeomorfismo tra D e H che nelle coordinate di H, si scrive

(ρ, ϕ)→ (χ = tanh−1 2ρ

1 + ρ2, ϕ) (4.34)

da cui, tenendo conto che dχ = 21−ρ2 dρ e che sinhχ = 2ρ

1−ρ2 si trova che f manda la struttura riemanniana (4.33) su Hnella struttura riemanniana

dσ2D =

4R2

(1− ρ2)2(dρ2 + ρ2dφ2) =

4R2

(1− x2 − y2)2(dx2 + dy2) (4.35)

su D. Il disco D con la struttura riemanniana (4.35) e il modello di Poincare, di cui si puo trovare una descrizione inhttp://www.dmi.unict.it/ moschetti/poinc/node1.html. Cosı il paraboloide H immerso nello spazo-tempo di Minkowskitridimensionale altro non e (isometrico al) che il modello di Poincare. Una rappresentazione grafica dell’isometria f sipuo trovare in http://www.dmi.unict.it/ moschetti/poinc/node5.html.

4.3.5 Ipersuperfici. Curvatura sezionale

Nel seguito con il termine ipersuperfice indicheremo una varieta propriamente riemanniane (Mn, g)di dimensione n > 2 aprescindere dalla sua immergibilita in <n per qualche n. In questo caso la curvatura e descritta pienamente dal tensoredi Riemann.

Proposizione 4.3.1 Sia P ∈Mn e πP un sottospazio bidimensionale di TP , siano inoltre U e V due vettori linearmenteindipendenti di πP , allora il numero

K(U, V ) =R(U, V, U, V )

g(U,U)g(V, V )− (g(U, V ))2

dipende da πP e non dalla scelta dei vettori linearmente indipendenti che lo generano.

Dimostrazione Siano U ′, V ′ ∈ πP linermente indipendenti, quindi U ′ = αU + βV e V ′ = γU + δV con ∆ =

∣∣∣∣α βγ δ

∣∣∣∣ 6= 0.

Allora, tenendo della linearita e dell’antisimmetria di R rispetto ai primi due argomenti si trova

R(αU + βV, γU + δV, U ′, V ′) = αR(U, γU + δV, U ′, V ′) + βR(V, γU + δV, U ′, V ′) =

αδR(U, V, U ′, V ′) + βγR(V,U, U ′, V ′) = ∆R(U, V, U ′, V ′),

da cui, ripetendo lo stesso ragionamento con la seconda coppia di indici, si ricava

R(U ′, V ′, U ′, V ′) = ∆2R(U, V, U, V ).

Analogamenteg(αU + βV, αU + βV )g(γU + δV, γU + δV )− (g(αU + βV, γU + δV ))2 =

(α2g(U,U)+β2g(V, V )+2αβg(U, V ))(γ2g(U,U)+δ2g(V, V )+2γδg(U, V ))−(αγg(U,U)+βδg(V, V )+(αδ+βγ)g(U, V ))2 =

−(αδ − βγ)2(g(U, V ))2 + (αδ − βγ)2g(U,U)g(V, V ) = ∆2(g(U,U)g(V, V )− (g(U, V )2)).

Questa proposizione giustifica la seguente

Definizione 4.3.11 Se πP e sottospazio vettoriale di dimensione 2 di TP , si chiama curvatura sezionale della varietapropriamente riemanniana (Mn, g) nel punto P rispetto al sottospazio πP

K(πP ) =R(U, V, U, V )

g(U,U)g(V, V )− (g(U, V ))2

essendo U e V due qualunque vettori linearmente indipendenti di πP .

In particolare se si considera una base ortonormale e1, . . . , en di TP , allora, tenendo conto che il tensore metrico ela matrice identica, e che g(ei, ei)g(ej, ej) − (g(ei, ej))

2 = 1 perche e il minore ottenuto incrociando incrociando le righei-esime e j-esime con le colonne i-esime e j-esime, si ricava K(ei, ej) = Rijij .

E evidente che nel caso n = 2, in ogni punto c’e una sola curvatura sezionale che coincide con la curvatura gaussiana.La curvatura sezionale e individuata dal tensorre di Riemann, ma si puo dimostrare che viceversa

11i conti nel dettaglio si trovano qua http://www.dmi.unict.it/∼moschetti/poinc/node6.html

105

Teorema 4.3.6 Il tensore di Riemann e completamente individuato dalla curvatura sezionale.

Definizione 4.3.12 Una varieta propriamente riemanniana si dice a curvatura costante se la curvatura sezionaleK(πP ) non dipende da πP e non dipende da P.

Teorema 4.3.7 (Schur) In una varieta riemanniana (Mn, g) di dimensione n ≥ 3 se K(πP ) non dipende dal particolaresottospazio πP per ogni P , allora non dipende neanche da P , cioe e a curvatura costante.

Teorema 4.3.8 Esistono solo tre varieta propriamente riemanniane complete, semplicemente connesse di curvaturacostante:

1. Curvatura costante positiva, sfera n-dimensionale Sn.

2. Curvatura costante nulla, spazio euclideo n-dimensionale <n.

3. Curvatura costante negativa, spazio iperbolico n-dimensionale Hn, cioe generalizzando il caso bidimensionale, la

componente connessa dell’iperboloide ellittico t2−∑ni=1 x

i2 = R2 immersa nello spazio-tempo di Minkowski (n+1)-

dimensionale ds2 = −dt2 +∑ni=1 dx

i2.

Tutte le altre varieta propriamente riemanniane complete e a curvatura costante non sono semplicemente connesse maottenute come spazi quozienti da quelle elencate sopra.

106

4.4 Varieta propriamente riemanniane complete

In questa sezione con Mn si indichera una varieta propriamente riemanniana,Ad ogni coppia di punti P e Q di Mn si puo associare il numero d(P,Q) definito come l’estremo inferiore delle lunghezzedi tutte le curve differenziabili a tratti 12 che li congiungono.

Teorema 4.4.1 d e una metrica, che quindi da a Mn la struttura di spazio metrico.

Si potrebbe pensare di definire d(P,Q) come la lunghezza della geodetica che li congiunge, ma questo in generale non elecito perche non e detto che comunque si prendano due punti esista una ed una sola geodetica che li congiunge. Perovale la seguente condizione piu debole

Teorema 4.4.2 Ogni punto P ∈ Mn ha un intorno aperto U tale che per ogni Q ∈ U esiste una ed una sola geodeticacongiungente P e Q contenuta in U . La lunghezza di tale geodetica coincide con d(P,Q).

Come conseguenza di cio si puo mostrare che

Teorema 4.4.3 La topologia che la metrica d induce su Mn e la stessa di quella di cui Mn e dotato come varietatopologica.

Definizione 4.4.1 Diremo che Mn e completo se e completo come spazio metrico.Diremo che Mn e geodeticamente completo se per ogni P0 ∈Mn la funzione exp e definita su tutto TP0

o equivalen-temente se ogni geodetica e definita per tutti i valori del parametro affine in ]−∞,+∞[.

Teorema 4.4.4 (Hopf-Rinow) Se Mn e una varieta propriamente riemanniana connessa, le seguenti condizioni sonoequivalenti

1. Mn e geodeticamente completa;

2. Mn e completa;

3. Ogni sottoinsieme di Mn chiuso e limitato (rispetto a d) e compatto.

Corollario 4.4.1 Ogni varieta propriamente riemanniana connessa e compatta e geodeticamente completa.

Teorema 4.4.5 Su una varieta propriamente riemanniana connessa e completa ogni due punti P e Q possono essereconnessi da una geodetica (non necessariamente unica) di lunghezza d(P,Q).

Come esempio in cui la geodetica congiungente due punti non e unica, si puo prendere la sfera e due punti diametral-mente opposti.

12differenziabili in tutti i punti tranne un numero finito.

107

4.5 Sistemi continui

4.5.1 Cinematica classica dei sistemi continui

Dato un sistema continuo S, denotiamo con C∗ una configurazione di riferimento per S e con C(t) la configurazione di Sad un dato istante t. Denotate con (y1, y2, y3) le coordinate del generico punto P di S nella configurazione di riferimento,e con (x1, x2, x3) le coordinate di P all’istante t, il moto di S verra descritto dalle tre funzioni

x1 = x1(y1, y2, y3, t), x2 = x2(y1, y2, y3, t), x3 = x3(y1, y2, y3, t). (4.36)

In altri termini, le equazioni (4.36) sono le equazioni parametriche della traiettoria del punto che nella configurazione diriferimento ha coordinate (y1, y2, y3).

Nel seguito, per brevita di scrittura, le variavili dipendenti verranno indicate con il simbolo (y, t). Cosı, per esempio,le (4.36) si scriveranno xi = xi(y, t).

Definizione 4.5.1 Il moto di S si dice regolare in un intervallo di tempo [t′, t′′], se le (4.36)

1. sono almeno di classe C2 in C∗ × [t′, t′′],

2. ∀t ∈ [t′, t′′], stabiliscono una corrispondenza biunivoca tra C∗ e C(t) con funzioni inverse yi = yi(x, t) almeno diclasse C2.

La prima condizione garantisce la non lacerabilita del sistema e implica che le traiettorie di tutti i punti siano abbastanzaregolari da poterne calcolare l’accelerazione. La seconda condizione invece, impedisce che, durante il moto, due punti,inizialmente distinti, possano occupare la stessa posizione (impenetrabilita) o che la traiettoria di un punto possa biforcarsi,ad un certo istante, in due traiettorie distinte.

In particolare, la seconda condizione implica che la matrice jacobiana e non singolare

∀t ∈ [t′, t′′] J(y.t) = det∂(x1, x2, x3)

∂(y1, y2, y3, t)6= 0,

e dovendo avere, per continuita, sempre lo stesso segno, si puo supporre, senza perdere in generalita, che

∀t ∈ [t′, t′′] J(y, t) > 0. (4.37)

Questa descrizione del moto di un sistema continuo, si chiama rappresentazione lagrangiana e le velocita ed accele-razioni dei punti del sistema, dati da

v(P ∗, t) =∂P

∂t, a(P ∗, t) =

∂v

∂t(4.38)

e in componenti da

vi(y, t) =∂xi

∂t(y, t), ai(y, t) =

∂vi

∂t(y, t) (4.39)

si chiamano velocita lagrangiana ed accelerazione lagrangiana.Il moto di S puo essere osservato anche dal punto di vista euleriano: invece di concentrarsi sulla storia della particella

che nella configurazione di riferimento di S occupava la posizione di coordinate lagrangiane (y1, y2, y3), ci si concentrasulla particella che a un dato istante t transita per un fissato punto di coordinate euleriane (x1, x2, x3). Chiaramente se,all’istante t, per il punto (x1, x2, x3), transita il punto P, che, nella configurazione di riferimento C∗ si trovava nel puntodi coordinate (y1, y2, y3), allora le due terne sono legate tra di loro dalle equazioni (4.36) e dalle loro inverse.

Cosı, se un campo q e espresso in coordinate lagrangiane q(y, t), la sua espressione in coordinate euleriane e q(x, t) =q(y(x, t), t) e viceversa un campo definito in coordinate euleriane da q(x, t), e espresso in coodinate lagrangiane daq(y, t) = q(x(y, t), t). Da ora in poi verra supposto tacitamente che i campi considerati siano almeno di classe C1.

Definizione 4.5.2 Sia q(x, t) un campo espresso in coordinate euleriane. Si chiama derivata locale di q rispetto a t,la derivata parziale ∂q

∂t (x, t). Si chiame derivata lagrangiana o sostanziale,

dq

dt(x, t) =

dq(x(y, t), t)

dt|y=y(x,t) =

∂q

∂t(x, t) +

∂q

∂xi(x, t)

∂xi

∂t(y(x, t), t) =

∂q

∂t(x, t) +

∂q

∂xi(x, t)vi(x, t).

La definizione precedente di derivata sostanziale, applicata al campo di velocita euleriana v(x, t), ci da la seguenteformula

a(x, t) =∂v

∂t(x, t) +

∂v

∂xi(x, t)vi(x, t).

108

Proposizione 4.5.1∂J

∂t(y, t) = J(y, t) div v(y, t).

Dimostrazione. Tenendo conto della formula di derivazione di un determinante e denotando con il simbolo Aij il

complemento algebrico di ∂xj

∂yi, si trova:

∂J

∂t(y, t) = Aj1(y, t)

∂

∂t

∂x1

∂yj(y, t) +Aj2(y, t)

∂

∂t

∂x2

∂yj(y, t) +Aj3(y, t)

∂

∂t

∂x3

∂yj(y, t) = Aji (y, t)

∂

∂t

∂xi

∂yj(y, t) =

Aji (y, t)∂vi

∂yj(y, t) = Aji (y, t)

∂xh

∂yj(y, t)

∂vi

∂xh(x(y, t), t) = J(y, t)δhi

∂vi

∂xh(x(y, t), t) = J(y, t)

∂vi

∂xi(x(y, t), t),

dove, la penultima eguaglianza e dovuto alla proprieta per cui il prodotto degli elementi di una riga per i loro complementialgebrici da il determinante e il prodotto degli elementi di una riga per i complementi algebrici degli elementi di un’altrariga, si annulla.

Il teorema che segue, va sotto il nome di teorema del trasporto

Teorema 4.5.1d

dt

∫C

q(x, t)dC =

∫C

(dq

dt(x, t) + q(x, t) div v(x, t))dC

Dimostrazione. Utilizzando la formula di cambiamento di variabili negli integrali multipli e la proposizione 4.5.1, si trova

d

dt

∫C

q(x, t)dC =∂

∂t

∫C∗q(y, t)J(y, t)dC∗ =

∫C∗

(∂q

∂t(y, t)J(y, t) + q(y, t)

∂J

∂t(y, t))dC∗ =

∫C∗

(∂q

∂t(y, t) + q(y, t) div v(y, t))J(y, t)dC∗ =

∫C

(dq

dt(x, t) + q(x, t) div v(x, t))dC.•

4.5.2 Equazioni di bilancio della meccanica dei continui

La prima equazione di bilancio della meccanica dei continui e il principio di conservazione della massa:

m =

∫C(t)

ρ(x, t)dC = costante, (4.40)

essendo, ρ(x, t), la densita, che si supporra essere positiva e generalmente continua. L’equazione precedente si puo anchescrivere

d

dt

∫C(t)

ρ(x, t)dC = 0,

che, per il teorema del trasporto, diventa∫C(t)

(dρ

dt(x, t) + ρ(x, t) div v(x, t))dC = 0. (4.41)

Dovendo, quest’ultima equazione essere vera anche per ogni porzione materiale c ⊆ C(t), non esiste nessun punto in cui lafunzione integranda e diversa da zero, altrimenti, essendo continua, per il teorema della permanenza del segno, dovrebbeesistere una porzione materiale c ⊆ C(t) in cui essa assume lo stesso segno, quindi la (4.41) estesa a c non potrebbeannullarsi. Da questo segue

dρ

dt(x, t) + ρ(x, t) div v(x, t) = 0, (4.42)

da cui, tenendo conto che

dρ

dt(x, t) + ρ(x, t) div v(x, t) =

∂ρ

∂t(x, t) +

∂ρ

∂xi(x, t)vi(x, t) + ρ(x, t)

∂vi

∂xi(x, t) =

∂ρ

∂t(x, t) +

∂(ρvi)

∂xi(x, t),

si ottiene l’equivalente equazione euleriana di continuita della massa

∂ρ

∂t(x, t) + div(ρv)(x, t) = 0. (4.43)

Come conseguenza della (4.42), si ricava la seguente identita

d

dt

∫C(t)

ρ(x, t)q(x, t)dC =

∫C(t)

ρ(x, t)dq

dt(x, t)dC, (4.44)

109

dove q(x, t) e una qualsiasi funzione di tipo euleriano associata al moto. La (4.44) si ricava dal teorema del trasporto,osservando che, per la (4.42)

d

dt(ρ(x, t)q(x, t)) + ρ(x, t)q(x, t) div v(x, y) = (

dρ

dt(x, t) + ρ(x, t) div v(x, t))q(x, t) + ρ(x, t)

dq

dt(x, t) = ρ(x, t)

dq

dt(x, t).

La quantita di moto e il momento angolare, sono definiti dalle equazioni

Q =

∫C

ρ(x, t)v(x, t)dC e KO =

∫C

(P −O)× ρ(x, t)v(x, t)dC. (4.45)

Le equazioni di bilancio della quantita di moto e del momento angolare sono

dQ

dt= R(e) e

dKO

dt= MO

(e), (4.46)

essendo rispettivamente R(e) e MO(e), il risultante ed il momento risultante delle forze esterne. In generale questi due

vettori si possono scomporre in una parte di volume e in una di superficie

R(e) =

∫C

ρFdC +

∫Σ

ΦdΣ e MO(e) =

∫C

ρ(P −O)× FdC +

∫Σ

(P −O)× ΦdΣ, (4.47)

dove F rappresenta la densita specifica (per unita di massa) di forze di volume e Φ e lo sforzo, cioe la forza che agiscesull’unita di area di superficie dΣ.

Assioma di Cauchy. Lo sforzo specifico nel punto P dipende solo dalla normale n all’elemento di superficie dΣ inP : Φ = Φ(P,n, t). Il seguente teorema di Cauchy, verra enunciato senza dimostrazione.

Teorema 4.5.2 Φ dipende linearmente dalla normale. Cioe esiste un campo tensoriale doppio t, che si chiama tensoredegli sforzi, tale che Φi(P,n, t) = tijni.

Applicando la (4.44) alla (4.45) si ottiene

dQ

dt=

∫C

ρ(x, t)dv

dt(x, t)dC =

∫C

ρ(x, t)a(x, t)dC,

da cui, la prima delle (4.46), tenendo conto della prima delle (4.47) e del teorema di Gauss, si scrive∫C

ρ(ai − F i)dC =

∫Σ

tijnidΣ =

∫C

∂tij

∂xidC.

Da cui, essendo il dominio di integrazione arbitrario e le funzioni integrande continue, si ottiene la forma differenzialedell’equazione di bilancio della quantita di moto

ρaj = ρF j +∂tij

∂xi, (4.48)

o in forma vettoriale

a = F +1

ρdiv t, essendo div t =

∂tij

∂xiej . (4.49)

Applicando lo stesso procedimento all’equazione dei momenti, si trova

dKO

dt=

∫C

ρ(x, t)(P −O)× dv

dt(x, t)dC =

∫C

ρ(x, t)(P −O)× a(x, t)dC,

e quindi, ponendo Φi = tijej , cioe Φ = Φini∫C

ρ(P −O)× (a− F)dC =

∫Σ

(P −O)×ΦinidΣ =

∫C

∂

∂xi((P −O)×Φi)dC,

da cui si ricava ∫C

ρ(P −O)× (a− F− div t)dC =

∫C

(∂

∂xi(P −O))×ΦidC =

∫C

ei × tijejdC.

Il primo membro e uguale a zero per la (4.49), quindi l’integrale al secondo membro si deve annullare per ogni C:

0 =

∫C

tijei × ejdC =

∫C

tijdC ei × ej =

∫C

(t12 − t21)dC e1 × e2 +

∫C

(t13 − t31)dC e1 × e3 +

∫C

(t23 − t32)dC e2 × e3 =

110

∫C

(t12 − t21)dC e3 −∫C

(t13 − t31)dC e2 +

∫C

(t23 − t32)dC e1 = 0,

da cui ∫C

(tij − tji)dC = 0,

dovendo quest’ultima eguaglianza valere per ogni C, ed essendo la funzione integranda continua, si ha

tij = tji, (4.50)

cioe il tensore degli sforzi ’e simmetrico.In conclusione, le equazioni di evoluzione trovate sono la (4.43) e le (4.49), quattro in totale. Le funzioni incognite

sono: ρ, vi e le componenti del tensore degli sforzi, che per le (4.50) si riducono a sei, quindi dieci in totale. Pertanto,questo modello non puo ritenersi completo per descrivere l’evoluzione del sistema. Cio e dovuto al fatto che, nello schemaconsiderato, non si e tenuto conto dell’energia interna delle particelle ed al fatto che tale schema e troppo generale perpoter dare risultati univoci. Quindi per poter pareggiare il numero di equazioni con il numero delle incognite, bisognafare delle ipotesi costitutive sul mezzo, e utilizzare le equazioni della termodinamica per poter rendere conto di quellaparte di energia che nella discussione precedente non e stata considerata.

4.5.3 Ipotesi costitutive

Definizione 4.5.3 Si chiama fluido perfetto, un fluido

1. non viscoso: tij = −pδij, essendo p la pressione;

2. a trasformazioni termodinamiche reversibili: la prima legge della termodinamica assume la forma

θdS = dε− p

ρ2dρ, (4.51)

essendo θ la temperatura assoluta, S l’entropia specifica e ε l’energia interna specifica (per unita di massa).

Facendo l’assunzione che il mezzo considerato sia un fluido perfetto, il problema si semplifica notevolmente, infatti,per il primo punto della precedente definizione, il tensore degli sforzi e indiviuato da una sola funzione, quindi in questomodo il numero delle incognite scende a cinque: ρ, p, vi, mentre le equazione di evoluzione restano sempre quattro: la(4.43) e le (4.49), che, in queste ipotesi, tenendo conto di

∂tij∂xi

= −δij∂p

∂xi= − ∂p

∂xj,

diventano

a = F− 1

ρ∇p. (4.52)

A questo punto, specificando l’equazione di stato del fluido, in generale, e possibile eliminare una delle variabilee cosı pareggiare il numero di equazioni con il numero di incognite. Un esempio importante e costituito dai fluidiperfetti barotropici, i quali hanno un’equazione di stato del tipo ρ = ρ(p), comprendendo il caso particolare dei fluidiincompressibili, per i quali ρ = cost.

Un esempio di fluido perfetto barotropico si ottiene assumendo la legge dei gas ideali per i fluidi:

ε =1

(γ − 1)

p

ρ

per un flusso adiabatico: dS=0, dove γ e l’indice adiabatico, legato alla natura fisica del gas. In queste ipotesi l’equazione(4.51), diventa

0 =1

(γ − 1)

dp

ρ− γ

(γ − 1)

p

ρ2dρ ⇔ dp

p= γ

dρ

ρ⇔ p = Aργ ,

essendo A una costante positiva.

111

4.5.4 Continui relativistici

Per un fluido relativistico verra fatta l’assunzione, come nel caso classico, che ogni particella viene distinta dalle altremediante l’assegnazione di tre coordinate (y1, y2, y3), che restano immutate durante la sua evoluzione. L’evoluzione, nelcontesto relativistico, viene descritta dalla sua linea d’universo, che, prendendo come parametro il tempo proprio, rispettoad un sistema di coordinate spazio-temporali qualunque (x0, x1, x2, x3), ha equazione xi = xi(τ, y1, y2, y3) = xi(τ, y). Cosı,

in questo contesto la velocita viene sostituita dalla quadrivelocita U = ∂xi

∂τ (τ, y) e l’accelerazione dalla quadriaccelerazione

A = ∂2xi

∂τ2 (τ, y).Fatte queste premesse, occorre generalizzare le equazioni di evoluzione ottenute nei paragrafi precedenti, ai sistemi

relativistici. Denotiamo con ‖θij(P )‖ il tensore doppio simmetrico le cui componenti spaziali coincidono, nel sistema diquiete istantaneo di P , con le componenti del tensore degli sforzi, mentre le altre sono tutte nulle:

‖θij‖ =

0 0 0 00 t11 t12 t13

0 t21 t22 t23

0 t31 t32 t33

Definizione 4.5.4 Si chiama tensore energia-impulso il tensore doppio definito da T ij = µ0U

iU j − θij, dove µ0 e ladensita di massa propria totale (massa a riposo piu energia interna).

Assioma 5 L’evoluzione di un sistema continuo relativistico, in un sistema di coordinate qualunque, e governato dallaseguente equazione di evoluzione

∇iT ij = ψj , (4.53)

dove ψi e la densita delle forze esterne distinte dalle forze di contatto di cui si tiene conto nel tensore energia impulso, e∇i e la derivata covariante.

Da ora in poi verra fatta l’ipotesi che le forze esterne siano nulle ψi = 0 e che le coordinate siano quelle relative ad unsistema di riferimento inerziale (x0, x1, x2, x3) = (ct, x, y, z), in questo modo l’equazione (4.53) si riduce a

∂iTij = 0. (4.54)

Si dimostra che l’equazione (4.54), nel limite classico c → ∞ si riduce alle equazioni di evoluzione dei continui classici,ricavate nei paragrafi precedenti. Calcoliamo separatamente la parte temporale e quella spaziale della (4.54), ponendoµ = γµ0.

0 = ∂iTi0 = ∂0(µ0(U0)2) + ∂α(µ0U

0Uα)− ∂iθi0 =∂

∂(ct)(µc2γ) + ∂α(µcγvα)− ∂iθi0 =

µc∂γ

∂t+ γc

∂µ

∂t+ µcvα∂αγ + cγ div(µv)− ∂iθi0.

Dividendo per c

µ∂γ

∂t+ γ

∂µ

∂t+ µvα∂αγ + γ div(µv)− 1

c∂iθ

i0 = 0,

passando al limite per c→ +∞ e tenendo conto che γ → 1 e ∂i(γ) = γ3

c2 v∂iv → 0, si ricava

∂µ

∂t+ div(µv) = 0, (4.55)

che coincide con l’equazione di continuita della massa, tenendo conto che, nel limite classico, µ si riduce alla densita dimassa. Invece, la parte spaziale e

0 = ∂iTiα = ∂0(µ0U

0Uα) + ∂β(µ0UβUα)− ∂iθiα =

∂

∂t(µγvα) + ∂β(µγvβvα)− ∂0θ

0α − ∂βθβα =

µvα∂γ

∂t+ γ

∂

∂t(µvα) + µvβvα∂βγ + γ∂β(µvβvα)− 1

c

∂

∂t(θ0α)− ∂βθβα,

da cui passando al limite per c→∞, si trova

∂

∂t(µvα) + div(µvvα)− ∂βθβα = 0.

Sviluppando le derivate∂µ

∂tvα + µ

∂vα

∂t+ div(µv)vα + µvβ∂βv

α − ∂βθβα = 0

112

e tenendo conto dell’equazione di continuita della massa (4.55), si ricava

µ∂vα

∂t+ µ

∂xβ

∂t∂βv

α − ∂βθβα = 0,

da cui

µdvα

dt− ∂βθβα = 0 ⇔ µa− divθ = 0, (4.56)

tenendo conto che nel limite classico µ si riduce alla densita di massa e θ al tensore degli sforzi, si riottiene l’equazione dievoluzione classica.

Ora, vediamo come si scrive il tensore energia-impulso, nel caso particolare in cui il sistema continuo sia un fluidoperfetto. Nel sistema di istantanea quiete del generico punto, il tensore degli sforzi e rappresentato dalla matrice

‖θij‖ =

0 0 0 00 −p 0 00 0 −p 00 0 0 −p

e U i = (c, 0, 0, 0), quindi

‖T ij‖ =

µ0c

2 0 0 00 p 0 00 0 p 00 0 0 p

ed in forma covariante, cioe invariante in ogni sistema di riferimento, T ij = µ0U

iU j+ηijp+ pc2U

iU j = (µ0+ pc2 )U iU j+p ηij .

O in forma equivalente, utilizzando il vettore unitario V = Uc ,

T ij = (µ0c2 + p)V iV j + p ηij . (4.57)

Come e stato detto nel paragrafo precedente, specificando l’equazione di stato, il problema si chiude, nel senso che, ilnumero delle variabili indipendenti eguaglia il numero delle equazioni.

Nel seguito verra utilizzato il tensore energia-impulso (4.57), verificante l’equazione di evoluzione∇iT ij = 0.

113

Bibliografia

[1] V.Checcucci, A.Tognoli, E.Vesentini - Lezioni di topologia generale - Feltrinelli

[2] Y.Choquet-Bruhat, C. DeWitt-Morette, M.Dillard-Bleick - Analysis, Manifolds and Physics. Part I: Basic - Elsevier

[3] M.P.do Carmo - Differential Geometry of Curves and Surfaces - Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey

[4] S.W.Hawking, G.F.R.Ellis - The large scale structure of space-time - Cambridge University Press

[5] C.W.Misner, K.S.Thorne, J.A.Wheeler - Gravitation - W.H.Freeman and Company

[6] R.M.Wald - General Relativity - The University of Chicago Press

[7] J.V.Narlikar, T.Padmanabhan - Gravity, Gauge Theories and Quantum Cosmology - D.Reidel Publishing Company

114

[Gaetano Moschetti] Teorie Relativistiche

Documents

Transcript of [Gaetano Moschetti] Teorie Relativistiche