Funzioni Uno

ESEMPIO DI STUDIO QUALITATIVO CON L’USO DELLE STIME ASINTOTICHE 1 • Data la funzione f (x)= e x - 1 3 √ x, 1. - determinarne il dominio D ⊆ R e il segno; 2. - calcolarne i limiti alla frontiera di D, e per x → ±∞; dove il limite ` e 0 oppure ±∞ confrontarlo con l’infinitesimo o con l’infinito campione standard; 3. - se possibile, prolungare f (x) su R, in modo che la funzione ottenuta ˜ f (x): R → R sia continua; 4. - disegnare un grafico qualitativo di ˜ f (x), compatibile con le informazioni precedenti, nell’ipotesi che sia il pi` u semplice possibile; 5. - sia per f (x) sia per ˜ f (x) precisare se ammettono massimo o minimo assoluto (o globale), e se si prevede necessariamente la presenza di massimi o di minimi relativi (o locali). soluzione 1. D = R\{0}; e x - 1 > 0 ⇔ x> 0 ⇒ f (x) > 0 in D; 2. x → -∞ f (x) ∼- 1 3 √ x → 0, di ordine 1 3 rispetto a 1 x , x → +∞ f (x) ∼ e x 3 √ x → +∞, di ordine superiore a x α , ∀α> 0 , x → 0 ± f (x) ∼ x 3 √ x = x 2/3 → 0, di ordine 2 3 rispetto a 1 x ; 3. ` e possibile prolungare con continuit` a f (x) in 0, ponendo ˜ f (x)= f (x) per x =0 x per x =0 , infatti ˜ f (x)` e continua in x = 0 per costruzione, e in x = 0 perch´ e f (x)` e quoziente di funzioni continue, con denominatore = 0; 4. il grafico richiesto si ottiene raccordando il grafico (noto) delle funzioni asintotiche nei rispettivi intorni (nel grafico non in scala si pu` o apprezzare meglio l’esistenza del massimo, e la tangente verticale nell’origine) : 5. f (x) non ammette n´ e massimo n´ e minimo assoluto, ammette 0 come estremo inferiore, si prevede necessariamente almeno un punto di massimo locale (o relativo) in x 0 < 0; ˜ f (x) non ammette massimo assoluto, ammette minimo assoluto in x = 0 (coincidente con l’estremo inferiore), si prevede necessariamente almeno un punto di massimo locale (o relativo) in x 0 . • Esercizi analoghi – Ripetere l’esercizio ponendo f (x)=(e -x - 1)/ 3 √ x. – Ripetere l’esercizio ponendo f (x)=(e -x - 1)/ 3 √ x 2 . – Ripetere l’esercizio ponendo f (x)= e x - 1/ 3 √ x 2 . 1 Quest’opera stata rilasciata sotto la licenza Creative Commons Attribuzione - Non commerciale - Non opere derivate. Per leggere una copia della licenza visitare il sito web http://creativecommons.org/licenses/publicdomain/ o spedire una lettera a Creative Commons, 559 Nathan Abbott Way, Stanford, California 94305, USA.

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ESEMPIODISTUDIOQUALITATIVOCONLUSODELLESTIMEASINTOTICHE1Data la funzionef(x) =ex13x,1. - determinarne il dominioD R e il segno;2. - calcolarnei limiti allafrontieradi D, eper x ; doveil limiteè0oppure confrontarloconlinnitesimo o con linnito campione standard;3. - se possibile, prolungaref(x) su R, in modo che la funzione ottenutaf(x) : R R sia continua;4. - disegnare un graco qualitativo dif(x),compatibile con le informazioni precedenti,nellipotesi che sia ilpi` u semplice possibile;5. - sia perf(x) sia perf(x) precisare se ammettono massimo o minimo assoluto (o globale),e se si prevedenecessariamente la presenza di massimi o di minimi relativi (o locali).soluzione1.D = R\{0}; ex1 > 0 x > 0 f(x) > 0 inD;2.x f(x) 13x 0, di ordine13rispetto a1x ,x + f(x) ex3x +, di ordine superiore a x, > 0 ,x 0f(x) x3x= x2/30, di ordine23rispetto a1x ;3. è possibile prolungare con continuitàf(x) in 0, ponendof(x) =

f(x) per x = 0x per x = 0,infattif(x) è continua inx = 0 per costruzione, e inx = 0 perchef(x) è quoziente di funzioni continue, condenominatore = 0;4. il graco richiesto si ottiene raccordando il graco (noto) delle funzioni asintotiche nei rispettivi intorni (nelgraco non in scala si può apprezzare meglio lesistenza del massimo,e la tangente verticale nellorigine) :5. f(x) non ammette ne massimo ne minimo assoluto, ammette 0 come estremo inferiore, si prevede necessari-amente almeno un punto di massimo locale (o relativo) inx0< 0;f(x) non ammette massimo assoluto, ammette minimo assoluto in x = 0 (coincidente con lestremo inferiore),si prevede necessariamente almeno un punto di massimo locale (o relativo) inx0.EsercizianaloghiRipetere lesercizio ponendof(x) = (ex1)/3x.Ripetere lesercizio ponendof(x) = (ex1)/3x2.Ripetere lesercizio ponendof(x) = ex1/3x2.1Questopera statarilasciatasottolalicenzaCreativeCommonsAttribuzione-Noncommerciale-Nonoperederivate. Perleggereunacopiadellalicenzavisitareilsitowebhttp://creativecommons.org/licenses/publicdomain/ospedireunaletteraaCreativeCommons,559NathanAbbottWay,Stanford,California94305,USA.1