Funzioni Complesse di variabile complessa

Funzioni Complesse di variabile complessa

Docente:Alessandra Cutrı

A. Cutrı 18-11-2013 Metodi Matematici per l’ingegneria–Ing. Gestionale

Richiami sui numeri complessi

Indichiamo con C il campo dei Numeri complessi

z = x + iy ∈ C, ses x , y ∈ R i :=√−1 (Rappresentazione

cartesiana dei numeri complessi)

C ∼ R2: z = x + iy ∈ C ↔ (x , y) ∈ R2

x = Re(z), y = Im(z)

Il complesso coniugato di z = x + iy e z = x − iy

Il modulo |z | =√

(Rez)2 + (Imz)2 =√

x2 + y2 =√

zz

Rappresentazione polare del numero complessoz = ρ(cos θ + i sin θ) con ρ = |z | e per z 6= 0 θ = Argz + 2kπcon k ∈ Z. Argz ∈ (−π, π) denota l’Argomento principale di z


Dati due numeri complessi z0 = x0 + iy0 e z1 = x1 + iy1

Somma: z0 + z1 = (x0 + x1) + i(y0 + y1)

prodotto w = z0 · z1 = (x0x1 − y0y1) + i(x0y1 + y0x1)

w = ρ0ρ1(cos(θ0 + θ1) + i sin(θ0 + θ1))

quindi |w | = ρ0ρ1 = |z0| · |z1| ed un argomento di w ,arg(w) = Argz0 + Argz1 (non e detto cheArgz0 + Argz1 ∈ (−π, π) e dunque che sia l’argomentoprincipale di w)

se z 6= 0, il reciproco di z si definisce come 1z := z

|z|2 = x−iyx2+y2

se z1 6= 0, quoziente

z0

z1=

z0z1

|z1|2=

xox1 + y0y1

x21 + y2

1

− ixoy1 + y0x1

x21 + y2

1


Potenze intere di un numero complesso:dato z = x + iy = ρ(cos θ + i sin θ) e n ∈ N si definisce

w = zn = (x + iy)n = ρn(cos(nθ) + i sin(nθ))

Quindi |zn| = |z |n e arg(zn) = n · arg(z)Radice n−ma di un numero complesso:dato z 6= 0, trovare w ∈ C tale che wn = z (n ∈ N). Tale w sidefinisce radice n−ma di zOgni numero complesso z 6= 0 z = x + iy = ρ(cos θ + i sin θ)ammette n radici n−me distinte in C date da:

wk = r(cos(φk) + i sin(φk))

dove r = (ρ)1n , φk = ( θ

n + k 2πn ) k = 0, 1, . . . , n − 1

Se θ = Argz la radice corrispondente a k = 0 si chiama radiceprincipale di z


Funzioni complesse di una variabile complessa

Sia A ⊆ C un aperto connesso di C ∼ R2.

f : A ⊆ C → C

Essendo f (z) ∈ C per ogni z ∈ A ⇒ f (z) = u + iv conu, v ∈ R quindi

f (z) = f (x + iy) = u(x , y) + iv(x , y) u, v : A ⊆ R2 → R

u(x , y) = Re(f (z)) e v(x , y) = Im(f (z))

(z , f (z)) ∈ C× C ∼ R4


Esempi di Funzioni complesse di una variabile complessa

Funzioni lineari: f (z) = az + b per ogni z ∈ C con a, b ∈ C1 b = 0. f (z) = az con |a| = 1. Si ha a = e iβ con β ∈ (−π, π)

|f (z)| = |z | ; arg(f (z)) = arg(a) + arg(z) = β + arg(z)

dunque l’effetto di f corrisponde ad una rotazione di ognipunto z del piano complesso di un angolo β

2 b = 0. f (z) = az con |a| 6= 1. Si ha a = |a|e iβ conβ ∈ (−π, π)

|f (z)| = |a||z | ; arg(f (z)) = arg(a) + arg(z) = β + arg(z)

l’effetto di f corrisponde ad una omotetia: contrazione (se|a| < 1) o dilatazione (se |a| > 1) di ogni punto z del piano piuuna rotazione di ogni punto z di un angolo β (l’ordine delledue operazioni non cambia il risultato)

3 b 6= 0 si aggiunge una traslazione di b (vettore di componenti(Reb, Imb)). Conta l’ordine con cui vengono effettuate leoperazioni (rotazione+omotetia) e (traslazione):

z → az → az + b

z → z + b → a(z + b) = az + ab 6= az + bA. Cutrı 18-11-2013 Metodi Matematici per l’ingegneria–Ing. Gestionale

Funzioni quadratiche

f (z) = z2 per ogni z = x + iy ∈ C

f (z) = (x + iy)2 = x2 − y2 + i2xy

Quindi u(x , y) = x2 − y2 e v(x , y) = 2xy

Vediamo una rappresentazione dell’immagine di un reticolato delpiano tramite la funzione f (z) = z2:

file:///Users/ikbook/Documents/alessandraimac/didattica/mmigest...

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Alcuni segmenti verticali nel primo e quarto quadrante:

Input :=

ComplexMapPlot[z^2, z, VerticalLines[{{0,1},{-1,1}},PlotPoints->7], PlotRange->All];

L'unione delle tre famiglie di segmenti precedenti:

Input :=

ComplexMapPlot[z^2, z, RectangularGrid[{{0,1},{-1,1}},PlotPoints->7], PlotRange->All];

http://people.ciram.unibo.it/ barozzi/MatheCompl/MatheCompl.html


Radice quadrata

Osserviamo che la funzione f (z) = z2 non e iniettiva: i punti(x0, y0) e (x0,−y0) hanno la stessa immagine tramite f in quanto

u = x2 − y20 , v = 2xy0 → x =

v

2y0⇒ u =

v2

4y20

− y20

(nel piano (u, v) si ha la stessa immagine).

Restringendo f|A dove A = {x + iy : x > 0} = {z : Rez > 0}diventa iniettiva e la sua immagine (che coincidera con ildominio della funzione inversa e

dom(f −1) = C \ {x ∈ R : x ≤ 0}

Dato w = ρe iθ 6= 0 troviamo in generale due valori di z taliche z2 = w che sono

z1 =√

ρe i θ2 Radice principale di w (inversa di f|A)

z2 =√

ρe i( θ2+π)


file:///Users/ikbook/Documents/alessandraimac/didattica/mmigest...

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La funzione radice quadrata principale

Tutti i punti del piano complesso hanno immagini con parte reale non negativa.

Input :=

ComplexMapPlot[Sqrt[z], z, RectangularGrid[{{-2,2},{-2,2}}], Ticks -> {{-2., -1., 1., 2.}, Automatic}];

Input :=

ComplexMapPlot[Sqrt[z], z, {Thickness[0.001], PolarGrid[{0,0},{0,2}]}, Ticks -> {{0.5, 1., 1.5}, Automatic}];

La funzione z -> 1/z

Le circonferenze hanno come immagini circonferenze (le rette sono casi limite di circonferenze).

Input :=

ComplexMapPlot[1/z, z, HorizontalLines[{{-2,2},{-2,2}}], PlotRange->{{-2.5,2.5},{-2.5,2.5}}];

http://people.ciram.unibo.it/ barozzi/MatheCompl/MatheCompl.html


Esponenziale complesso

Vogliamo definire una funzione che estende al campo complesso ladefinizione x ∈ R → ex . Ricordiamo che

limn→∞

(1 +x

n)n = ex x ∈ R

Se consideriamo ora z = x + iy e facciamo

limn→∞

(1 +x + iy

n)n = ex(cos y + i sin y)

(con calcolo laborioso si vede che il modulo |(1 + x+iyn )|n tende a

ex e l’argomento tende a y) Questo ci suggerisce di definire ez :

ez = ex+iy := ex(cos y + i sin y)

Si ha ovviamente u(x , y) = ex cos y , v(x , y) = ex sin y

|ez | = ex = eRez > 0 ∀z ∈ C ⇒ |e iy | = 1 ∀y ∈ R

ez1+z2 = ez1ez2

ez = ez+2kπi ∀k ∈ ZQuindi ez e 2πi−periodica


Logaritmo complesso

ez 2πi−periodica ⇒ ez non e iniettiva

dato w ∈ C \ {0} (immagine di ez), l’equazione ez = w ha inrealta infinite soluzioni z = x + iy . Come si trovano?

w ∈ C \ {0} ⇒ w = ρ(cosθ + i sin θ) = ρe iθ

si devono determinare x , y in modo che ez = w ⇔ ex+iy = ρe iθ

Quindi:

ex = ρ e iθ = e iy ⇒ x = log ρ , y = θ + 2kπ , k ∈ Z

Otteniamo

z = logC w = log ρ + i(θ + 2kπ) k ∈ Z

Esistono pertanto infiniti logaritmi complessi di w e

Re(logC w) = log |w | Im(logC w) = arg(w) + 2kπ k ∈ Z


Logaritmo principale complesso

Se pero restringiamo il dominio di ez all’insieme

A = {x + iy : x ∈ R, y ∈ (−π, π)}

ez z ∈ A e iniettiva e la sua immagine e C \ {x ≤ 0} allora seconsideriamo l’inversa della restrizione di ez all’insieme Aotteniamo una funzione ad un solo valore definita su C \ {x ≤ 0}che prende il nome di Logaritmo principale

Log(z) = log(|z |) + iArg(z) z ∈ C \ {x ≤ 0}

(Arg(z) e l’Argomento principale di z)


Limiti di Funzioni complesse di una variabile complessa

Sia z0 = x0 + iy0 ∈ A ⊆ C (A e un insieme aperto)

limz→z0

f (z) = l ∈ C ⇔{

lim(x ,y)→(x0.y0) u(x , y) = Re(l)lim(x ,y)→(x0.y0) v(x , y) = Im(l)

f e continua in z0 se e solo se l = f (z0)Quindi per lo studio ci si riporta al caso di limiti di funzioni da R2

a R (le funzioni u e v)


Derivabilita in senso complesso

Sia A ⊆ C un aperto di C. f : A ⊆ C → C, z0 ∈ A. f e derivabilein z0 se esiste finito il

limz→z0

f (z)− f (z0)

z − z0=: f ′(z0)

Poiche A e aperto, se z0 ∈ A, esiste un intorno Br (z0)(cerchio di centro z0 e raggio r) contenuto in A e dunque perz ∈ Br (z0) si puo considerare il rapporto incrementale

f (z)− f (z0) ∈ C e z − z0 ∈ C dunque il rapportoincrementale si definisce come il quoziente di due numericomplessi (non avrebbe senso dividere due vettori!!!)

le regole di derivazione di somma, prodotto,quoziente,funzionicomposte,inverse sono analoghe a quelle di funzioni reali divariabile reale


Condizioni CR

Anche se formalmente la definizione di derivabilita in z0 e moltosimile al concetto di derivabilita per funzioni reali di variabile reale,vedremo che i due concetti sono profondamente diversi e lacondizione di derivabilita complessa e estremamente forte.

Che relazione c’e tra la derivabilita di f in z0 = x0 + iy0 e ladifferenziabilita di u(x , y) = Re(f ) e v(x , y) = Im(f ) in(x0, y0)? Non sono nozioni equivalenti ma vale il seguenteteorema:

Theorem

Condizioni di Cauchy-Riemann (CR): Sia f : A ⊆ C → C, Aaperto, z0 = x0 + iy0 ∈ A. Allora f e derivabile in z0 se e solo seu(x , y) = Ref (x + iy) e v(x , y) = Im(f (x + iy)) sono differenziabiliin (x0, y0) e valgono le condizioni di Cauchy-Riemann seguenti:

ux(x0, y0) = vy (x0, y0)uy (x0, y0) = −vx(x0, y0)


Dimostrazione del teorema CR

Dobbiamo provare che f e derivabile in z0 se e solo se u(x , y) ev(x , y) sono differenziabili in (x0, y0) e valgono le condizioni diCauchy-Riemann:

ux(x0, y0) = vy (x0, y0)uy (x0, y0) = −vx(x0, y0)

DIM ′′ ⇒′′: f derivabile in z0 equivale a

f (z) = f (z0) + f ′(z0)(z − z0) + o(|z − z0|) z → z0

cioe, essendo |z − z0| =√

(x − x0)2 + (y − y0)2, indicandof ′(z0) = A + iB

u(x , y)+iv(x , y) = u(x0, y0)+iv(x0, y0)+(A+iB)(x−x0+i(y−y0))+o(|z−z0|)da cui (isolando parte reale e parte immaginaria):

u(x , y) = u(x0, y0)+A(x−x0)−B(y−y0)+o(√

(x − x0)2 + (y − y0)2)

v(x , y) = v(x0, y0)+B(x−x0)+A(y−y0)+o(√

(x − x0)2 + (y − y0)2)


Quindi u e v sono differenziabili in (x0, y0) e

∇u(x0, y0) = (A,−B) ∇v(x0, y0) = (B,A)

da cui segueux(x0, y0) = vy (x0, y0)uy (x0, y0) = −vx(x0, y0)

ed inoltref ′(z0) = ux + ivx = vy − iuy = . . .

DIM ′′ ⇐′′:

u(x , y) = u(x0, y0)+ux(x0, y0)(x−x0)+uy (x0, y0)(y−y0)+o(|z−z0|)iv(x , y) = i [v(x0, y0)+vx(x0, y0)(x−x0)+vy (x0, y0)(y−y0)+o(|z−z0|)]sommando:

f (z) = f (z0) + [ux + ivx ](x − x0) + [uy + ivy ](y − y0) + o(|z − z0|)ma, per le condizioni CR, ux + ivx = −iuy + vy dunque, ponendof ′(z0) := ux(x0, y0) + ivx(x0, y0) si ha

f (z) = f (z0) + f ′(z0)(z − z0) + o(|z − z0|)A. Cutrı 18-11-2013 Metodi Matematici per l’ingegneria–Ing. Gestionale

esempi

f (z) = ez e derivabile in ogni punto z ∈ C e f ′(z) = ez

Infatti,

u(x , y) = ex cos y , v(x , y) = ex sin y sono differenziabili in ogni (x , y) ∈ R2

ed inoltre valgono le condizioni CR:

ux = ex cos y = vy uy = −ex sin y = −vx

inoltre f ′(z) = ux + ivx = ex(cos y + i sin y) = ez

f (z) = z NON e derivabile in alcun punto z ∈ C (e continuain ogni punto)

Infatti:

u(x , y) = x , v(x , y) = −y dunque ux = 1 e vy = −1


f (z) = |z |2 e derivabile SOLTANTO nel punto z = 0 (econtinua in ogni punto)

Infatti: u(x , y) = x2 + y2 e v(x , y) = 0 dunque vx = vy = 0mentre ux = 2x e uy = 2y pertanto l’unico punto dove sonosoddisfatte le CR e (0, 0) e f ′(0) = 0

f (z) = |z | NON e derivabile in alcun punto (e continua inogni punto)

Infatti:v(x , y) = 0 dunque vx = vy = 0

mentre u(x , y) =√

x2 + y2 NON e differenziabile in (0, 0) ed al difuori dell’origine e differenziabile e ux = x√

x2+y2e uy = y√

x2+y2

pertanto al di fuori di (0, 0) le condizioni CR non sono soddisfatte.


Se f (x + iy) = u(x , y) + iv(x , y) e a valori reali (i.e.v(x , y) ≡ 0 in A) oppure a valori immaginari puri (i.e.u(x , y) ≡ 0 in A). Allora f e derivabile in A (connesso) se esolo se e Costante in A (perche ∇u ≡ 0 implica per lecondizioni CR che ∇v ≡ 0 e viceversa in A)

Se f e derivabile in un punto z0 = (x0.y0):

CR ⇒ < ∇u(x0.y0),∇v(x0.y0) >= 0 , ‖∇u(x0.y0)‖ = ‖∇v(x0.y0)‖

ed essendo

∇u(x0.y0) ⊥ {u(x , y) = u(x0.y0)} , ∇v(x0.y0) ⊥ {v(x , y) = v(x0.y0)}

le linee di livello u(x , y) = u(x0.y0) e v(x , y) = v(x0.y0) sonotra loro ortogonali


Funzioni Olomorfe

Def: f : A ⊆ C → C A aperto, si dice Olomorfa in A se e derivabilein ogni punto di A con derivata continua. Se A = C allora folomorfa si dice Intera. Si dice che f e Olomorfa in z0 ∈ A se f eolomorfa in un intorno Br (z0) ⊆ A.Le funzioni Olomorfe in A si indicano con H(A)

Se f ∈ H(A) con A ⊆ C Aperto, allora le condizioni CRimplicano che le due forme differenziali:

ω1 := u(x , y)dx − v(x , y)dyω2 := v(x , y)dx + u(x , y)dy

sono Chiuse in A e se A ⊆ R2 e Semplicemente connessosono Esatte in A


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