Formulario di Meccanica quantistica · INDICE 6 25.6 Problema a nuclei ﬁssi per una molecola...

FORMULARIO

DI

MECCANICA QUANTISTICA

Roberto Pesce

26 gennaio 2004

Indice

I Introduzione 7

1 Fenomenologia 8

1.1 Corpo nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Effetto fotoelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Dualismo corpuscolo-onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Effetto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Spettro degli atomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Atomo di Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7 Atomo di Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.8 Principio di indeterminazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Meccanica Analitica 10

2.1 Calcolo delle variazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Equazioni di Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Parentesi di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5 Trasformazioni canoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.6 Trasformazioni canoniche infinitesime . . . . . . . . . . . . . 122.7 Equazione di Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Matrici e operatori 13

3.1 Matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Operazioni di coniugazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4 Inversa di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.5 Equazione secolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.6 Traccia di una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.7 Funzioni di matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.8 Aggiunto di un operatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.9 Operatori hermitiani e antihermitiani . . . . . . . . . . . . . . 153.10 Operatori unitari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.11 Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.12 Delta di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1

INDICE 2

3.13 Commutatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Elettromagnetismo 18

4.1 Equazioni di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2 Potenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.3 Gauge di Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.4 Onde elettromagnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.5 Polarizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.6 Vettore di Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.7 Interferenza e diffrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.8 Ottica geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

II Funzioni speciali 22

5 Polinomi di Hermite 23

5.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2 Equazione differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.3 Funzione generatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.4 Formule ricorsive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.5 Ortonormalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.6 Primi polinomi di Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.7 Autofunzioni dell’oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . 24

6 Polinomi di Legendre 25

6.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.2 Funzioni associate di Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.3 Equazione differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.4 Funzioni generatrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.5 Relazioni ricorsive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.6 Ortonormalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.7 Primi polinomi di Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

7 Armoniche sferiche 28

7.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.2 Coniugazione complessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.3 Parita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.4 Relazione di ricorrenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.5 Ortonormalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.6 Chiusura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.7 Prime armoniche sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.8 Relazioni con il momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . 297.9 Armoniche sferiche e coordinate cartesiane . . . . . . . . . . . 307.10 Armoniche sferiche su due direzioni . . . . . . . . . . . . . . . 30

INDICE 3

7.11 Addizione delle armoniche sferiche . . . . . . . . . . . . . . . 30

8 Funzioni sferiche di Bessel 31

8.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.2 Andamenti asintotici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.3 Prime funzioni sferiche di Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . 32

9 Polinomi di Laguerre 33

9.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339.2 Polinomi generalizzati di Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . 339.3 Equazione differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339.4 Ortonormalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339.5 Primi polinomi di Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

III Formalismo 35

10 Cenni al formalismo della Meccanica Quantistica 36

10.1 Rappresentazione di uno stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3610.2 Enti che esprimono stati quantistici . . . . . . . . . . . . . . . 3610.3 Trasformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3710.4 Operatore associato ad un’osservabile . . . . . . . . . . . . . 3710.5 Proprieta importanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3710.6 Notazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3810.7 Varianze di due osservabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3810.8 Osservabili trasformate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3910.9 Parentesi di Poisson quantistiche . . . . . . . . . . . . . . . . 39

11 Traslazioni 40

11.1 Commutatore [X,P] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4011.2 Rappresentazione posizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4011.3 Traslazioni e quantita di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4011.4 Autofunzioni della quantita di moto . . . . . . . . . . . . . . 41

12 Momento angolare 42

12.1 Rappresentazione posizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4212.2 Relazioni caratteristiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4212.3 Spettro ~J2 e Jz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4312.4 Rappresentazione Jz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4312.5 Commutazione con operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4412.6 Coefficienti di Clebsch-Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . . 4412.7 Disuguaglianza triangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4412.8 Regola di superselezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

INDICE 4

13 Spin 45

13.1 Matrici di Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4513.2 Relazioni utili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4513.3 Spin 1

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4613.4 Spin 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4613.5 Singoletto e tripletto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4613.6 Stati simmetrici ed antisimmetrici . . . . . . . . . . . . . . . 47

14 Matrici di rotazione 48

14.1 Rotazione di α, β, γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4814.2 Matrici notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4814.3 Trasformazione per rotazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4814.4 Stati con momento angolare orbitale definito . . . . . . . . . 49

15 Operatori tensoriali sferici 50

15.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5015.2 Commutatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5015.3 Esempi notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5015.4 Teorema di Wigner-Eckart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5115.5 Elementi di matrice di operatori vettoriali . . . . . . . . . . . 51

16 Riflessioni e parita 52

16.1 Operatore di parita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5216.2 Operatori pari e dispari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5216.3 Regole di selezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

17 Particelle identiche 53

17.1 Operatore di scambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5317.2 Particelle indipendenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5317.3 Principio di Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

18 Evoluzione temporale 54

18.1 Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5418.2 Descrizioni di Heisenberg e di Schrodinger . . . . . . . . . . . 5518.3 Evoluzione dei valori medi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5518.4 Costanti del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5518.5 Descrizione intermedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5518.6 Indeterminazione tempo-energia . . . . . . . . . . . . . . . . . 5618.7 Inversione temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

19 Operatore statistico 57

19.1 Definizione e proprieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5719.2 Evoluzione degli stati misti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5719.3 Matrice densita in 2-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5719.4 Operatore statistico per sistemi composti . . . . . . . . . . . 58

INDICE 5

IV Applicazioni 59

20 Meccanica ondulatoria 60

20.1 Equazione di Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6020.2 Pacchetto d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6020.3 Onde di De Broglie libere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6120.4 Particella libera in una dimensione . . . . . . . . . . . . . . . 6220.5 Particella libera in tre dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . . 6220.6 Operatori in tre dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6220.7 Potenziale centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6320.8 Equazione angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6320.9 Equazione radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

21 Potenziali costanti a tratti 64

21.1 Gradino di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6421.2 Barriera di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6521.3 Buca di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6521.4 Buca infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6521.5 Casi generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

22 Oscillatore armonico 67

22.1 Autofunzioni dell’oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . 6722.2 Livelli energetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6722.3 Trasformazione di coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6722.4 Operatori di creazione e di distruzione . . . . . . . . . . . . . 6722.5 Numero di occupazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6822.6 Effetto degli operatori sugli autostati . . . . . . . . . . . . . . 6822.7 Stato coerente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6822.8 Oscillatore tridimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

23 Atomi idrogenoidi 69

23.1 Livelli energetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6923.2 Funzioni d’onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

24 Perturbazioni 70

24.1 Livello non degenere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7024.2 Livello degenere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7024.3 Metodo variazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

25 Cenni di fisica atomica e molecolare 71

25.1 Approssimazione di campo centrale . . . . . . . . . . . . . . . 7125.2 Interazione degli elettroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7125.3 Interazione spin-orbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7225.4 Atomo in un campo magnetico uniforme . . . . . . . . . . . . 7225.5 Approssimazione di Born-Oppenheimer . . . . . . . . . . . . 73

INDICE 6

25.6 Problema a nuclei fissi per una molecola biatomica . . . . . . 7325.7 Rotazioni e vibrazioni delle molecole biatomiche . . . . . . . . 73

26 Campo elettromagnetico 74

26.1 Gauge in Meccanica Quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . 7426.2 Effetto Aharonov-Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7426.3 Campo elettromagnetico libero . . . . . . . . . . . . . . . . . 7426.4 Sistema di cariche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

27 Probabilita di transizione 77

27.1 Probabilita al prim’ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7727.2 Problema dei due stati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7827.3 Transizioni atomiche indotte da un’onda elettromagnetica . . 7827.4 Transizioni verso il continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7827.5 Decadimento spontaneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7927.6 Emissione stimolata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7927.7 Approssimazione di dipolo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . 8027.8 Transizioni agli ordini di multipolarita superiori . . . . . . . . 80

28 Scattering 81

28.1 Concetti introduttivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8128.2 Descrizione quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8228.3 Equazione integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8228.4 Approssimazione di Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8228.5 Metodo delle fasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8228.6 Scattering di risonanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Parte I

Introduzione

7

Capitolo 1

Fenomenologia

1.1 Corpo nero

Formula di Rayleigh-Jeans:

e(ν, T ) = 2πν2

c2kT (1.1)

Formula di Planck:

e(ν, T ) = 2πν2

c2

hν

ehνkT − 1

(1.2)

1.2 Effetto fotoelettrico

1

2mv2

max = hν − B = eV0 (1.3)

1.3 Dualismo corpuscolo-onda

p =hν

c=

h

λ(1.4)

1.4 Effetto Compton

λ′ = λ +h

mc(1 − cos θ) (1.5)

1.5 Spettro degli atomi

Atomo di idrogeno:

ν =1

λ= R

(

1

n′2 − 1

n2

)

n > n′ (1.6)

R =2π2me4

h3(1.7)

8

CAPITOLO 1. FENOMENOLOGIA 9

Serie νmax νmin

n′ = 1(Lyman) R 34R

n′ = 2(Balmer) 14R 5

36Rn′ = 3(Paschen) 1

9R 7144R

Atomi complessi:ν = τn′ − τn (1.8)

1.6 Atomo di Rutherford

V =k

r; σ(θ) =

1

4

(

k

2E

)2 1

sin4 θ2

(1.9)

1.7 Atomo di Bohr

ν =1

h(En − En′) (1.10)

Raggio di Bohr:

a0 =ℏ

2

me2(1.11)

Livelli energetici:

En = −1

2

me4

n2ℏ2n 6= 0 (1.12)

Raggi delle orbite:

rn =n2

ℏ2

me2(1.13)

1.8 Principio di indeterminazione

∆x∆px ≥ ℏ

2(1.14)

∆t∆E ≥ ℏ

2(1.15)

Capitolo 2

Meccanica Analitica

2.1 Calcolo delle variazioni

Equazione di Eulero:∂f

∂y=

d

dx

∂f

∂y′(2.1)

Integrale primo:∂f

∂x= 0 ⇒ y′

∂f

∂y′− f = cost

2.2 Equazioni di Lagrange

Azione:

S =

∫ t

t1

L(q(t), q(t), t)dt (2.2)

δS(1) = 0 ⇒ d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi= 0 (2.3)

2.3 Equazioni di Hamilton

Principio di Hamilton:δS(1) = 0 ⇔ moto (2.4)

Momenti coniugati:

pi =∂L

∂qi(2.5)

L =∑

piqi − H (2.6)

qi = ∂H∂pi

pi = −∂H∂qi

(2.7)

10

CAPITOLO 2. MECCANICA ANALITICA 11

Azione ridotta:

S0 =

∫ t2

t1

∑

piqidt (2.8)

Principio di Maupertuis:

δ(1)

∫

vds = 0 (2.9)

Legge di Snell per un fascio di particelle:

sin θ1

sin θ2=

n1

n2(2.10)

2.4 Parentesi di Poisson

f, g =∑

i

(

∂f

∂pi

∂g

∂qi− ∂f

∂qi

∂g

∂pi

)

(2.11)

N.B.: i testi classici riportano la definizione con il segno cambiato.

∂f

∂t= 0 ; H, f = 0 ⇒ f e una costante del moto (2.12)

Parentesi fondamentali:

qi, qj = pi, pj = 0 (2.13)

pi, qj = δj

i (2.14)

Identita di Jacobi:

f, g, h + g, h, f + h, f, g = 0 (2.15)

2.5 Trasformazioni canoniche

Tipo 1: F1 = F1(q, Q, t):

pi = ∂F1

∂qi

Pi = − ∂F1

∂Qi

(2.16)

Tipo 2: F2 = F2(q, P, t) = F1 +∑

QiPi:

pi = ∂F2

∂qi

Qi = ∂F2∂Pi

(2.17)

Tipo 3: F3 = F3(p, Q, t) = F1 −∑

qipi:

qi = −∂F3∂pi

Qi = − ∂F3

∂Qi

(2.18)

CAPITOLO 2. MECCANICA ANALITICA 12

Tipo 4: F4 = F4(p, P, t) = F1 +∑

QiPi −∑

qipi:

qi = −∂F4∂pi

Qi = ∂F4∂Pi

(2.19)

In generale:

H ′ = H +∂F

∂t(2.20)

Le parentesi di Poisson sono invarianti per trasformazioni canoniche.

2.6 Trasformazioni canoniche infinitesime

F (q, P ) =∑

qiPi + εG(q, P ) (2.21)

δpi = −ε ∂G∂qi

δqi = −ε ∂G∂pi

(2.22)

δf(q, p) = −εf, G (2.23)

2.7 Equazione di Hamilton-Jacobi

∂S

∂t+ H

(

q,∂S

∂q, t

)

= 0 (2.24)

Equazione stazionaria:

∂H

∂t= 0 ⇒ H

(

q,∂S0

∂q

)

= E ⇒

Qi = ∂H∂Pi

Pi = 0(2.25)

qi ciclica ⇒ αi =∂S

∂qicostante del moto (2.26)

Integrali di azione:

Ji(α) =

∮

pidqi =

∮

∂Si

∂qidqi (2.27)

H(Ji) = E ⇒ ∂H

∂Ji= νi ⇒ Qi = νit + βi (2.28)

νi = (τ i)−1 (2.29)

(

~∇S0

)2= 2m (E − V (~r)) (2.30)

Capitolo 3

Matrici e operatori

3.1 Matrici

t11 t12 · · · t1n

t21 t22 · · · t2n...

.... . .

...tm1 tm2 · · · tmn

Se ei e base nel dominio e wj e base nel codominio, le colonne sono lecomponenti dei trasformati degli ei nella base wj .Prodotto righe per colonne tra A (m x p) e B (p x n):

cij =

p∑

k=1

aikbkj (3.1)

A(BC) = (AB)C (3.2)

(A + B)C = AC + BC (3.3)

C(A + B) = CA + CB (3.4)

det(AB) = detA det B (3.5)

det(tA) = det A (3.6)

Prodotto tensoriale tra una matrice A (m1xn1) e una matrice B m2xn2):

C = A ⊗ B (3.7)

Ci1i2;j1j2 = Ai1j1Bi2j2 (3.8)

3.2 Operazioni di coniugazione

Data A (m x n) si definiscono la:- trasposta: tAij = Aji

13

CAPITOLO 3. MATRICI E OPERATORI 14

- complessa coniugata: (A∗)ij = A∗ij

- coniugata hermitiana: (A†)ij = A∗ji

Si ha

(A + B)∗ = A∗ + B∗ ; (AB)∗ = A ∗ B∗ (3.9)t(A + B) =t A +t B ; t(AB) =t B tA (3.10)

(A ∗ B)† = A† + B† ; (AB)† = B†A† (3.11)

Una matrice e reale, simmetrica, hermitiana a seconda che sia uguale ri-spettivamente alla complessa coniugata, alla trasposta o alla coniugatahermitiana.

3.3 Sistemi lineari

Teorema di Cramer: Dato un sistema di n equazioni in n incognite conmatrice dei coefficienti A a determinante non nullo e matrice dei termininoti B, ∃! soluzione X = A−1B.Teorema di Rouche-Capelli: Un sistema lineare ha soluzioni se e solo se ilrango ρ della matrice dei coefficienti e pari al rango della matrice completadel sistema. In tal caso il sistema ha ∞n−ρ soluzioni.

3.4 Inversa di una matrice

A−1 =1

det A

t

(cofA) (3.12)

cofaij = (−1)i+j det Aij (3.13)

detA−1 = (det A)−1 (3.14)

dA−1

dt= −A−1 dA

dtA−1 (3.15)

(tA)−1 =t (A−1) ; (A∗)−1 = (A−1)∗ ; (A†)−1 = (A−1)† (3.16)

Una matrice e ortogonale se la sua trasposta e uguale all’inversa.Una matrice e unitaria se la sua coniugata hermitiana e uguale all’inversa.

3.5 Equazione secolare

Av = λBv ⇔ det(A − λB) = 0 (3.17)

in particolareAv = λv ⇔ det(A − λI) = 0 (3.18)


3.6 Traccia di una matrice

E’ la somma degli elementi diagonali di una matrice quadrata. La tracciadi un prodotto di matrici e invariante per permutazioni cicliche e quindi latraccia di una matrice e invariante per cambiamenti di base.Se consideriamo la matrice Ai1i2;j1j2 di ordine N1N2, prodotto tensoriale didue matrici quadrate A1 e A2, possiamo vederla come una matrice di tipo 1avente come elementi matrici di tipo 2 e viceversa. Possiamo quindi definire

(Tr1A)i2j2 =

N1∑

n=1

Ani2;nj2 (3.19)

e analogo per Tr2.

Tr A = Tr2(Tr1A) = Tr1(Tr2A) (3.20)

Tr A = Tr(A1 ⊗ A2) = (Tr1A1)(Tr2A2) (3.21)

3.7 Funzioni di matrici

f(A) =∞

∑

n=0

(n!)−1

(

dnf(x)

dxn

)

x=0

An (3.22)

f(A) =∑

i

f(ai)|ai >< ai| (3.23)

gli ai sono gli autovalori di A e |ai > i corrispondenti autovettori.

3.8 Aggiunto di un operatore

< t|A†|u >=< u|A|t >∗ (3.24)

(A†)† = A (3.25)

(cA)† = c∗A† (3.26)

(A + B)† = A† + B† (3.27)

(AB)† = B†A† (3.28)

(|u >< v|)† = |v >< u| (3.29)

3.9 Operatori hermitiani e antihermitiani

Un operatore H e hermitiano se H = H†

Un operatore J e antihermitiano se J = −J†


Un operatore qualsiasi puo essere scomposto in una parte hermitiana ed inuna antihermitiana:

A = HA + JA =A + A†

2+

A − A†

2

Il prodotto di due op. herm. e her. solo se gli op. commutanoGli autovalori di un op. hermitiano sono reali, quelli di un op. antihermi-tiano immaginari puriSono hermitiani la moltiplicazione per una funzione reale e la derivataseconda, la derivata e antihermitiana.

3.10 Operatori unitari

Un operatore e unitario se e l’inverso del proprio autoaggiunto.Il prodotto di due operatori unitari e ancora unitario.Un operatore unitario ha autovalori di modulo 1, se e anche hermitiano haautovalori ±1.

Una trasformazione unitaria conserva la traccia, il determinante e lerelazioni algebriche tra matrici e vettori.

3.11 Trasformata di Fourier

ϕ(k) =1√2π

∫ +∞

−∞dxϕ(x)e−ikx (3.30)

ϕ(k) =1√2π

∫ +∞

−∞dxϕ(x)eikx (3.31)

Teorema di convoluzione:∫ +∞

−∞dx e−ikxf(x)g(x) =

1√2π

∫ +∞

−∞dk′ f(k − k′)g(k′) (3.32)

Integrali utili:

∫

dxe(ibx−Ax2) =

√

π

Ae−

b2

4A (3.33)

3.12 Delta di Dirac

δ(x−x′) =1

2π

∫ +∞

−∞dyei(x−x′)y t.c.

∫ +∞

−∞dx′f(x′)δ(x−x′) = f(x) ∀f(x)

(3.34)


Ha la dimensione dell’inverso dell’argomento.√

2πδ e la trasformata dell’unita.

δ(x − x′) = δ(x′ − x) (3.35)∫ +∞

0dxf(x)δ(x) =

1

2f(0) (3.36)

∫

Idx′f(x′)δ(x − x′) =

f(x) x ∈ I0 x /∈ I

(3.37)

δ[f(x)] =∑

i

δ(x − xi)

|f ′(xi)|xi zeri semplici di f(x) (3.38)

δ(~r − ~r′) = δ(x − x′)δ(y − y′)δ(z − z′) (3.39)

δ(x − x′)δ(y − y′)δ(z − z′) =1

r2 sin θδ(r − r′)δ(θ − θ′)δ(ϕ − ϕ′) (3.40)

δ(x)δ(y)δ(z − z′) =1

2πr2 sin θδ(r − r′)δ(θ) (3.41)

δ(~r) =1

4πr2δ(r) (3.42)

f ′(x) = −∫ +∞

−∞dyδ′(y − x)f(y) (3.43)

f (n)(x) = (−1)n

∫ +∞

−∞dyδ(n)(y − x)f(y) (3.44)

La primitiva e la funzione gradino. Per le simulanti vd. Passatore f.37

3.13 Commutatori

Definizione:[A, B] = AB − BA (3.45)

Proprieta:

U, V hermitiani ⇒ [U, V ] antihermitiano (3.46)

[A, B + C] = [A, B] + [B, C] ; [A + B, C] = [A, C] + [B, C] (3.47)

[A, BC] = [A, B]C + B[A, C] ; [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B (3.48)

[A, Bn] =n−1∑

s=0

Bs[A, B]Bn−s−1 (3.49)

[A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0 (3.50)

Due matrici diagonali commutano.

Capitolo 4

Elettromagnetismo

per un ragguaglio sui vari sistemi di misura vedere PMQE pag.368

la prima formula si riferisce al sistema mks, la seconda a quello gaussiano

4.1 Equazioni di Maxwell

~∇ · ~E =ρ

ε= 4πρ ; ~∇∧ ~E = −∂ ~B

∂t= −1

c

∂ ~B

∂t(4.1)

~∇ · ~B = 0 ; ~∇∧ ~B = µ~j + µε∂ ~E

∂t=

4π

c~j +

1

c

∂ ~E

∂t(4.2)

Equazione di continuita:

~∇ ·~j +∂ρ

∂t= 0 (4.3)

Forza di Lorentz:~F = q~v ∧ ~B =

q

c~v ∧ ~B (4.4)

Momento cinetico ~Π e momento canonico ~p (sist. gauss):

~Π = m~v = ~p − e

c~A (4.5)

4.2 Potenziali

~B = ~∇∧ ~A ; ~E = −~∇Φ − ∂ ~A

∂t= −~∇Φ − 1

c

∂ ~A

∂t(4.6)

Trasformazioni di gauge:

~A′ = ~A + ~∇Λ ; Φ′ = Φ − ∂Λ

∂t= Φ − 1

c

∂Λ

∂t(4.7)

~p ′ = gauss = ~p +e

c~∇Λ (4.8)

18

CAPITOLO 4. ELETTROMAGNETISMO 19

dalle eq. di Maxwell

~∇2Φ +∂~∇ · ~A

∂t= −ρ

ε; ~∇2Φ +

1

c

∂~∇ · ~A

∂t= −4πρ (4.9)

~∇2 ~A − ∂2 ~A

∂t2− ~∇

(

~∇ · ~A + µε∂Φ

∂t

)

= µ~j ; ~∇2 ~A − 1

c2

∂2 ~A

∂t2− ~∇

(

~∇ · ~A +1

c

∂Φ

∂t

)

= −4π

c~j

(4.10)

4.3 Gauge di Coulomb

~∇ · ~A = 0 (4.11)

Potenziale istantaneo:

Φ(~r, t) =

∫

ρ(~r′, t)

|~r − ~r′|d~r′ (4.12)

Nella gauge di Coulomb si ha trasversalita.Gauge di Lorentz:

~∇ · ~A +1

c

∂Φ

∂t= 0 (4.13)

4.4 Onde elettromagnetiche

~∇2f − n2

c2

∂2f

∂t2= 0 (4.14)

f(~r, t) = exp[A(~r + ik0(L(~r) − ct)] (4.15)

4.5 Polarizzazione

In generale:~E = (Ex0e

−ikz i + Ey0e−ikz j)eiωt

1. Polarizzazione lineare lungo l’asse x (Ey0 = 0):

~E = Ex0 cos(ωt − kz)i

2. Polarizzazione lineare lungo lasse y (Ex0 = 0):

~E = Ey0 cos(ωt − kz)j

3. Polarizzazione lineare lungo una retta ad angolo α (Ex0reale, Ey0 6= 0sfasati di nπ):

~E = (Ex0i + Ey0j)cos(ωt − kz) ; tanα =Ey

Ex


4. (Ex0 reale, Ey0 6= 0 sfasati di ±π2 + 2kπ)

~E = Ex0 cos(ωt − kz)i + Ey0 cos(ωt − kz ± π

2)j

Polarizzazione ellittica:

Ex0 6= Ey0 ;

(

Ex

Ex0

)2

+

(

Ey

Ey0

)2

= 1

Polarizzazione circolare:

Ex0 = Ey0 = E0 ; E2x + E2

y = E20

Se −π2 polarizzazione destrorsa; se π

2 polarizzazione sinistrorsa.

4.6 Vettore di Poynting

~P = ~E ∧~B

µ(4.16)

Intensita di un’onda:I = |~P | =

c

4π| ~E ∧ ~B| (4.17)

4.7 Interferenza e diffrazione

Interferenza di due onde polarizzate linearmente:

I = I1 + I2 + 2√

I1I2 cos∆ = I1 + I2 + 2√

I1I2 cos[(k1 − k2)z + (ϕ1 − ϕ2)](4.18)

Reticolo di interferenza:

I = I0

[

sin(

Nk d2 sin θ

)

(

k d2 sin θ

)

]2

(4.19)

massimi:d sin θ = nλ

minimi:Nkd

2sin θ = n′π con n′ = 0, N, 2N, . . .

Diffrazione da una fenditura:

I = I0

[

sinΦ

Φ

]2

; Φ =kD sin θ

2=

πD sin θ

λ(4.20)

Reticolo di diffrazione:

I = I0

[

sin(

kD2 sin θ

)

kD2 sin θ

]2 [

sin(

Nk d2 sin θ

)

(

k d2 sin θ

)

]2

(4.21)


4.8 Ottica geometrica

Principio di Fermat:

δ(1)

∫

ds

v= 0 (4.22)

Legge di Snell:sin θ1

sin θ2=

n2

n1(4.23)

Equazione dell’iconale:(

~∇L)2

= n2 (4.24)

Parte II

Funzioni speciali

22

Capitolo 5

Polinomi di Hermite

5.1 Definizione

Formula di Rodriguez:

Hn(x) = (−1)nex2

(

dn

dzne−z2

)

n intero positivo (5.1)

Hn e un polinomio di grado e parita n, con n zeri

5.2 Equazione differenziale

Equazione di Hermite:

[

d2

dx2− 2x

d

dx+ 2n

]

Hn(x) = 0 (5.2)

5.3 Funzione generatrice

exp(−y2 + 2yx) =∞

∑

n=0

yn

n!Hn(x) (5.3)

5.4 Formule ricorsive

d

dxHn = 2nHn−1 (5.4)

(

2x − d

dx

)

Hn = Hn−1 (5.5)

2xHn = Hn+1 + 2nHn−1 (5.6)

23

CAPITOLO 5. POLINOMI DI HERMITE 24

5.5 Ortonormalita∫

Hn(x)Hm(x)e−x2dx =

√π2nn!δnm (5.7)

5.6 Primi polinomi di Hermite

H1 = 1

H2 = 2 x

H3 = −2 + 4x2,−12 x + 8x3

H4 = 12 − 48 x2 + 16x4

H5 = 120 x − 160 x3 + 32x5

H6 = −120 + 720x2 − 480 x4 + 64x6

H7 = −1680 x + 3360x3 − 1344 x5 + 128x7

H8 = 1680 − 13440 x2 + 13440x4 − 3584 x6 + 256x8

H9 = 30240x − 80640 x3 + 48384x5 − 9216 x7 + 512x9

H10 = −30240 + 302400x2 − 403200 x4 + 161280x6 − 23040 x8 + 1024x10

5.7 Autofunzioni dell’oscillatore armonico

ψn(q) =

√

α√π2nn!

exp

(

−α2q2

2

)

Hn(αq) (5.8)

α =

√

mω

ℏ(5.9)

Capitolo 6

Polinomi di Legendre

6.1 Definizione

Pl(x) =l

2ll!

dl

dxl(x2 − 2)l l intero positivo (6.1)

Pl e un polinomio di grado e parita l con l zeri nell’intervallo (−1, 1)

Pl(1) = 1 Pl(−1) = (−1)l (6.2)

6.2 Funzioni associate di Legendre

Pml (x) = (1 − x2)

m2

dm

dxmPl(x) 0 ≤ m intero ≤ l (6.3)

Pml e un polinomio di grado e parita l − m, con l − m zeri in (-1,1).

P ll = (2l − 1)!! (1 − x2)

l2 (6.4)

P 0l = Pl(x)Pm

l (1) = Pml (−1) = 0 (6.5)

Pml (0) =

(−1)p (2p+2m)!2lp! (p+m)!

l − m = 2p

0 l − m = 2p + 1(6.6)

6.3 Equazione differenziale[

(1 − x2 d2

dx2− 2x

d

dx+ l(l + 1) − m2

1 − x2

]

Pml = 0 (6.7)

25

CAPITOLO 6. POLINOMI DI LEGENDRE 26

6.4 Funzioni generatrici

1√1 − 2tx + t2

=∞

∑

l=0

tlPl(x) (6.8)

(2m − 1)!! (1 − x2)m2

tm

[1 − 2tx + t2]m+1/2=

∞∑

l=m

tlPml (x) (6.9)

6.5 Relazioni ricorsive

(2l + 1)xPml = (l + 1 − m)Pm

l+1 + (l + m)Pml−1 (6.10)

(1 − x2)d

dxPm

l = −lxPml (+l + m)Pm

l−1

= (l + 1)xPml − l + 1 − m)Pm

l+1 (6.11)

valide anche per l = 0, assumendo P−1 = 0

6.6 Ortonormalita∫ 1

−1Pm

k Pml dx =

2

2l + 1

(l + m)!

(l − m)!δkl (6.12)

6.7 Primi polinomi di Legendre

P0 = 1

P1 = x

P2 = −1

2+

3 x2

2

P3 =−3 x

2+

5 x3

2

P4 =3

8− 15 x2

4+

35 x4

8

P5 =15 x

8− 35 x3

4+

63 x5

8

CAPITOLO 6. POLINOMI DI LEGENDRE 27

Nella 2a colonna della tab. seguente si trovano i polinomi per x = cos(θ)

P 11 = −

√

1 − x2 = − sin(θ)

P−11 =

√1 − x2

2=

sin(θ)

2

P 12 = −3 x

√

1 − x2 = −3 sin(θ) cos(θ)

P−12 =

x√

1 − x2

2=

sin(θ) cos(θ)

2

P 22 = −3

(

−1 + x2)

= 3 sin(θ)2

P−22 =

1 − x2

8=

sin(θ)2

8

P 13 =

−3√

1 − x2(

−1 + 5x2)

2=

−3 sin(θ) (3 + 5 cos(2 θ))

4

P−13 =

√1 − x2

(

−1 + 5x2)

8=

sin(θ) (3 + 5 cos(2 θ))

16

P 23 = −15

(

−x + x3)

= 15 cos(θ) sin(θ)2

P−23 =

x − x3

8=

cos(θ) sin(θ)2

8

P 33 = −15

(

1 − x2)

32 = −15 sin(θ)3

P−33 =

(

1 − x2) 3

2

48=

sin(θ)3

48

Capitolo 7

Armoniche sferiche

7.1 Definizione

Y ml (θ, ϕ) = (−1)m

[

2l + 1

4π

(l − m)!

(l + m)!

] 12

Pml (cos θ) eimϕ (7.1)

Sono normalizzate a 1 sulla sfera unitaria.l = 1,...,∞; −l ≤ m ≤ l

Y 0l =

√

2l + 1

4πPl(cos θ) (7.2)

Y ll = (−1)l

[

2l + 1

4π

(2l)!

22l(l!)2

] 12

sinl θ eilϕ (7.3)

7.2 Coniugazione complessa

Y m∗l (θ, ϕ) = (−1)mY −m

l (θ, ϕ) (7.4)

7.3 Parita

Y ml (π − θ, ϕ + π) = (−1)lY m

l (θ, ϕ) (7.5)

7.4 Relazione di ricorrenza

cosθ Y ml =

[

(l + 1 + m)(l + 1 − m)

(2l + 1)(2l + 3)

] 12

Y ml+1 +

[

(l + m)(l − m)

(2l + 1)(2l − 1)

] 12

Y ml−1

(7.6)

7.5 Ortonormalita∫

Y m∗l Y m′

l′ dΩ = δmm′δll′ (7.7)

28

CAPITOLO 7. ARMONICHE SFERICHE 29

7.6 Chiusura

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Y m∗l (θ, ϕ)Y m

l (θ′, ϕ′) =δ(θ − θ′)δ(ϕ − ϕ′)

sin θ= δ(Ω − Ω′) (7.8)

7.7 Prime armoniche sferiche

Y 00 =

1

2√

π

Y 01 =

√

3π cos(θ)

2

Y 11 =

−(

ei ϕ√

32 π sin(θ)

)

2

Y 02 =

√

5π

(

−1 + 3 cos(θ)2)

4

Y 12 =

−(

ei ϕ√

152 π cos(θ) sin(θ)

)

2

Y 22 =

e2 i ϕ√

152 π sin(θ)2

4

Y 03 =

√

7π

(

−3 cos(θ) + 5 cos(θ)3)

4

Y 13 =

−(

ei ϕ√

21π

(

−1 + 5 cos(θ)2)

sin(θ))

8

Y 23 =

e2 i ϕ√

1052 π cos(θ) sin(θ)2

4

Y 33 =

−(

e3 i ϕ√

35π sin(θ)3

)

8

7.8 Relazioni con il momento angolare

~L2Y ml = l(l + 1)Y m

l (7.9)

LzYml = mY m

l (7.10)

L±Y ml = [l(l + 1) − m(m ± 1)]

12 Y m±1

l = [(l ∓ m)(l + 1 ± m)]12 Y m±1

l

(7.11)

CAPITOLO 7. ARMONICHE SFERICHE 30

7.9 Armoniche sferiche e coordinate cartesiane

l=0 Y 00 indipendente da r, invariante per rotazioni

l=1 Y m1 combinazioni lineari di x, y, z

l=2 Y m2 formazioni quadratiche in x, y, z

x =

√

2π

3R(−Y 1

1 + Y −11 ) (7.12)

y = i

√

2π

3R(Y 1

1 + Y −11 ) (7.13)

z =

√

4π

3RY 0

1 (7.14)

7.10 Armoniche sferiche su due direzioni

Y ml (n′) =

∑

m

Dl∗mm′Y m′

l (n) (7.15)

con Dlmm′ matrice di rotazione, v. (14.1)

7.11 Addizione delle armoniche sferiche

Pl(n1n2) =4π

2l + 1

∑

m

Y m∗l (n1)Y

ml (n2) (7.16)

Capitolo 8

Funzioni sferiche di Bessel

8.1 Definizioni

Funzioni di Bessel sferiche:

jn(x) =

√

π

2xJn+1/2(x) (8.1)

Funzioni di Neumann sferiche:

nn(x) =

√

π

2xNn+1/2(x) (8.2)

Funzioni di Hankel sferiche:

hn(x)± = jn(x) ± inn(x) (8.3)

Jn(x) e Nn(x) sono le funzioni di Bessel di prima e seconda specie, soluzionidi

x2y′′ + xy′ + (x2 − n2)y = 0

8.2 Andamenti asintotici

Per x → ∞:

jn(x) → 1

xsin(x − n

π

2) ; nn(x) → 1

xcos(x − n

π

2) (8.4)

Per x → 0:

jl(x) → xl

(2l + 1)!!; nl(x) → 1

xl+1

(2l + 1)!!

2l + 1(8.5)

31

CAPITOLO 8. FUNZIONI SFERICHE DI BESSEL 32

8.3 Prime funzioni sferiche di Bessel

N.B.: Nei problemi di interesse fisico si assume in genere x > 0

j0 =sinx

x

j1 = −x cos x + sinx

x3

j2 = −3 x cos x +(

−3 + x2)

sinx

x5

j3 =x

(

−15 + x2)

cos x + 3(

5 − 2 x2)

sinx

x7

j4 =5 x

(

−21 + 2x2)

cos x +(

105 − 45 x2 + x4)

sinx

x9

j5 =−x

(

945 − 105 x2 + x4)

cos x + 15(

63 − 28 x2 + x4)

sinx

x11

n0 = −cos x

x

n1 = −cos x + x sinx

x3

n2 =

(

−3 + x2)

cos x − 3 x sinx

x5

n3 =3

(

−5 + 2x2)

cos x + x(

−15 + x2)

sinx

x7

n4 = −(

105 − 45 x2 + x4)

cos x + 5x(

21 − 2 x2)

sinx

x9

n5 = −15(

63 − 28 x2 + x4)

cos x + x(

945 − 105 x2 + x4)

sinx

x11

Capitolo 9

Polinomi di Laguerre

9.1 Definizione

Lk(x) = ex dk

dxk(xke−k) (9.1)

9.2 Polinomi generalizzati di Laguerre

Lan(x) =

da

dxaLn(x) (9.2)

9.3 Equazione differenziale

xy′′ + (a − 1 − x)y′ + ny = 0 (9.3)

I polinomi di Laguerre si hanno per a = 0.

9.4 Ortonormalita∫ ∞

0La

nLamxae−xdx = δmn (9.4)

33

CAPITOLO 9. POLINOMI DI LAGUERRE 34

9.5 Primi polinomi di Laguerre

L0 = 1

L1 = 1 − x

L2 =2 − 4 x + x2

2

L3 =6 − 18 x + 9x2 − x3

6

L4 =24 − 96 x + 72x2 − 16 x3 + x4

24

L5 =120 − 600 x + 600x2 − 200 x3 + 25x4 − x5

120

L11 = 2 − x

L12 =

6 − 6 x + x2

2

L22 =

12 − 8 x + x2

2

L32 =

20 − 10 x + x2

2

L13 =

24 − 36 x + 12x2 − x3

6

L23 =

60 − 60 x + 15x2 − x3

6

L33 =

120 − 90 x + 18x2 − x3

6

L43 =

210 − 126 x + 21x2 − x3

6

L53 =

336 − 168 x + 24x2 − x3

6

Parte III

Formalismo

35

Capitolo 10

Cenni al formalismo dellaMeccanica Quantistica

10.1 Rappresentazione di uno stato

< ϕ|ψ >=∑

ρ

< ϕ|aρ >< aρ|ψ > (10.1)

< ϕ|ψ >=< ψ|ϕ >∗ (10.2)

< ψ|ψ >= ‖|ψ > ‖2 =∑

ρ

| < aρ|ψ > |2 (10.3)

10.2 Enti che esprimono stati quantistici

Convergenza in norma:

limn→∞

∥

∥

∥

∥

∥

∥

|ψ > −n

∑

ρ=1

|aρ >< aρ|ψ >

∥

∥

∥

∥

∥

∥

= 0 (10.4)

L’identita e la somma dei proiettori:

I =∑

ρ

|aρ >< aρ| (10.5)

Funzione d’onda:

< ϕ|ψ >=

∫ +∞

−∞dxϕ∗(x)ψ(x) (10.6)

Identita di Bessel-Parseval:∫

dx|ψ(x)|2 =∑

ρ

∣

∣

∣

∣

∫

dxa∗ρ(x)ψ(x)

∣

∣

∣

∣

2

(10.7)

∫

dx a∗ρ(x)aσ(x) = δρσ (10.8)

36

CAPITOLO 10. CENNI AL FORMALISMO DELLA MECCANICA QUANTISTICA37

10.3 Trasformazioni

¥ Osservabili a valori discreti:

< bσ|ψ >=∑

ρ

< bσ|aρ >< aρ|ψ > < bσ|aρ >= Uσρ U−1 = U † (10.9)

¥ Osservabili a valori continui:

ψ(k) =

∫ +∞

−∞dxU(k, x)ψ(x) t.c.

∫ +∞

−∞dk|ψ(k)|2 =

∫ +∞

−∞dx|ψ(x)|2

(10.10)¥ Osservabili di ambo i tipi:

< aρ|ψ >=

∫ +∞

−∞dx a∗ρ(x)ψ(x) t.c.

∑

ρ

| < aρ|ψ > |2 =

∫ +∞

−∞dx|ψ(x)|2

(10.11)

ψ(x) =∑

ρ

aρ(x) < aρ|ψ > t.c.∑

ρ

| < aρ|ψ > |2 =

∫ +∞

−∞dx|ψ(x)|2

(10.12)

10.4 Operatore associato ad un’osservabile

Valore medio:< Q >=< ψ|Q|ψ >= TrQ|ψ >< ψ| (10.13)

L’operatore associato ad una grandezza fisica e lineare, simmetrico edhermitiano (o autoaggiunto).

< aσ|Q|ψ >=∑

ρ

< aσ|Q|aρ >< aρ|ψ > (10.14)

Rappresentazione spettrale:

Q =∑

qr

qr

∑

λ

|qrλ >< qrλ| (10.15)

10.5 Proprieta importanti

Completezza:

ψ(x) =∑

ρ

aρ(x) < aρ|ψ > (10.16)

ψ(x) =

∫

dkV (k, x)ψ(x) (10.17)


Ortonormalita:∫

dx a∗ρ(x)aρ′(x) = δρρ′ (10.18)∫

dx V ∗(k, x)V (k′, x) = δ(k − k′) (10.19)

Chiusura:∑

ρ

aρ(x)a∗ρ(x+) = δ(x − x′) (10.20)

∫

dk V (k, x)V ∗(k, x′) = δ(x − x′) (10.21)

10.6 Notazione di Dirac

< ϕ|ψ >=

∫ +∞

−∞dx < ϕ|x >< x|ψ > (10.22)

∫ +∞

−∞dx |x >< x| = I (10.23)

< x|x′ >= δ(x − x′) (10.24)

|ψ >=∑

ρ

|aρ >< aρ|ψ >=

∫ +∞

−∞dx |x >< x|ψ > (10.25)

Proiettori:

PX(x) = dx |x >< x| ; PA(aρ) = |aρ >< aρ|

Trasformazioni:

< arho|ψ >=

∫

dx < aρ|x >< x|ψ > (10.26)

< x|ψ >=∑

ρ

< x|aρ >< aρ|ψ > (10.27)

< k|ψ >=

∫

dx < k|x >< x|ψ > (10.28)

10.7 Varianze di due osservabili

Disuguaglianza di Schwartz:

‖|a > ‖‖|b > ‖ ≥ 1

2| < a|b > − < b|a > | (10.29)

(∆F )ψ =√

< ψ|(F− < F >ψ)2|ψ > (10.30)

(∆F )ψ(∆G)ψ ≥ 1

2| < ψ|[F, G]|ψ > | (10.31)


10.8 Osservabili trasformate

A′ = U †AU ⇒< ψ|A′|ψ >=< ψ′|A|ψ′ > (10.32)

A = UAU † ⇒< ψ′|A|ψ′ >=< ψ|A|ψ > (10.33)

10.9 Parentesi di Poisson quantistiche

Trasformazione unitaria infinitesima:

U = I − ε

ℏG con G hermitiano (10.34)

δA = −iε

ℏ[A, G] (10.35)

A, Bq =1

ℏ[A, B] (10.36)

Capitolo 11

Traslazioni

11.1 Commutatore [X,P]

[x, Px] = iℏ (11.1)

11.2 Rappresentazione posizione

P (X)x = −iℏ

∂

∂x(11.2)

~P (X) = −iℏ~∇ (11.3)

Px e definito a meno di una f(X).Operatore Hamiltoniano:

H = − ℏ2

2m~∇2 + V (~r) (11.4)

Equazione stazionaria di Schrodinger:

Hψ(~r) = Eψ(~r) (11.5)

11.3 Traslazioni e quantita di moto

T ( ~a2)T ( ~a1) = T ( ~a1 + ~a2) (11.6)

T (−~a) = T−1(~a) (11.7)

T (~a) = e−iℏ

~P ·~a (11.8)

40

CAPITOLO 11. TRASLAZIONI 41

11.4 Autofunzioni della quantita di moto

ψ~p(~r) =1

(2πℏ3/2ei ~p·~r

ℏ (11.9)

ψ~k(~r) =

1

(2π)3/2ei~k·~r (11.10)

|ψ >=

∫ +∞

−∞dk |k >< k|ψ > (11.11)

Rappresentazione op. X op. P op. K

X x· −iℏ ddx −i d

dx

P iℏ ddp p· 1

ℏp·

K i ddk ℏk· k·

Normalizzazione nella scatola e densita degli stati:

ki =2π

Lni (11.12)

ρ =∆nx∆ny∆nz

∆kx∆ky∆kz(11.13)

Capitolo 12

Momento angolare

12.1 Rappresentazione posizione

~L2 = −ℏ2

(

1

sin θ

∂

∂θsin θ

∂

∂θ+

1

sin2 θ

∂2

∂ϕ2

)

(12.1)

Lx = ypz − zpy = iℏ

(

sinϕ∂

∂θ+ cot θ cos ϕ

∂

∂ϕ

)

(12.2)

Ly = zpx − xpz = iℏ

(

− cos ϕ∂

∂θ+ cot θ sinϕ

∂

∂ϕ

)

(12.3)

Lz = xpy − ypx = −iℏ∂

∂ϕ(12.4)

12.2 Relazioni caratteristiche

Operatori di creazione e di distruzione (a scaletta):

J+ = Jx + iJy ; J− = Jx − iJy (12.5)

Commutatori:

[Jx, Jy] = iJz ; [Jy, Jz] = iJx ; [Jz, Jx] = iJy (12.6)

[ ~J · ~a, ~J, ·~b] = i ~J · ~a ∧~b (12.7)

[ ~J2, J+] = [ ~J2, J−] = [ ~J2, Jn] = 0 (12.8)

[Jz, J+] = J+ ; [Jz, J−] = −J− ; [J+, J−] = 2Jz (12.9)

~J2 =1

2(J+J− + J−J+) + Jz

2 (12.10)

J−J+ = ~J2 − Jz(Jz + 1) ; J+J− = ~J2 − Jz(Jz − 1) (12.11)

42

CAPITOLO 12. MOMENTO ANGOLARE 44

j = 1:

J+ =√

2

0 1 00 0 10 0 0

(12.24)

J− =√

2

0 0 01 0 00 1 0

(12.25)

Jx =1

2(J+ + J−) =

1√2

0 1 01 0 10 1 0

(12.26)

Jy =1

2i(J+ − J−) =

1√2

0 −i 0i 0 −i0 i 0

(12.27)

Jz =1

2(J+J− − J−J+) =

1 0 00 0 00 0 −1

(12.28)

12.5 Commutazione con operatori

S op. scalare, ~K op. vettoriale

[S, J − n] = 0 (12.29)

[Jn, Ka] = in ∧ a · ~K (12.30)

12.6 Coefficienti di Clebsch-Gordan

Vedi allegato.

12.7 Disuguaglianza triangolare

|j1 − j2| ≤ j ≤ j1 + j2 (12.31)

12.8 Regola di superselezione

Non coesistono stati con m o j interi e semidispari.

Capitolo 13

Spin

13.1 Matrici di Pauli

Per le parentesi di commutazione vedi il momento angolare.E’ utile definire

~s =ℏ

2~σ (13.1)

In rappresentazione sz, per s=1/2 si hanno le matrici di Pauli:

σx =

(

0 11 0

)

(13.2)

σy =

(

0 −ii 0

)

(13.3)

σz =

(

1 00 −1

)

(13.4)

σx2 = σy

2 = σz2 = I (13.5)

13.2 Relazioni utili

Sia M una matrice 2x2M = M0I + ~M · ~σ (13.6)

(~σ · ~a)(~σ ·~b) = ~a ·~b + i~a ∧~b · ~σ (13.7)

eiασn = cos α + iσn sinα (13.8)

45

CAPITOLO 13. SPIN 47

Tripletto:

|1 + 1 > = | + 1

2+

1

2>

|1 0 > =1√2

[

| + 1

2− 1

2> +| − 1

2+

1

2>

]

(13.20)

|1 − 1 > = | − 1

2− 1

2>

Gli stati di tripletto sono simmetrici, quello di singoletto antisimmetrico.

Pertanto:S = 1 ⇒ funzione orbitale antisimmetricaS = 0 ⇒ funzione orbitale simmetrica

13.6 Stati simmetrici ed antisimmetrici

Per un sistema di due particelle di spin s il rapporto tra il numero degli statisimmetrici nelle variabili di spin e quelli antisimmetrici e (s + 1)/s, gli statidi spin totali sono (2s + 1)2.

Capitolo 14

Matrici di rotazione

14.1 Rotazione di α, β, γ

Djmm′ = e−iαmdj

mm′(β)e−iγm′

(14.1)

djmm′(β) =< jm|e−iβJy |jm′ > (14.2)

14.2 Matrici notevoli

D1/2 =

(

e−i α+γ2 cos β

2 −e−i α−γ2 sin β

2

ei α−γ2 sin β

2 ei α+γ2 cos β

2

)

(14.3)

D1 =

12e−i(α+γ)(1 + cosβ) − 1√

2e−iα sinβ 1

2e−i(α−γ)(1 − cos β)1√2e−iγ sinβ cos β − 1√

2eiγ sin β

12ei(α−γ)(1 − cos β) 1√

2eiα sin β 1

2ei(α+γ)(1 + cos β)

(14.4)

14.3 Trasformazione per rotazioni

|jm >′=∑

m′

Djmm′ |jm′ > (14.5)

48

CAPITOLO 14. MATRICI DI ROTAZIONE 49

14.4 Stati con momento angolare orbitale definito

Una particella:

♦ addendi invarianti per rotazione si trasformano come Y 00 e quindi l = 0

♦ addendi proporzionali a una componente di ~r si trasformano come le Y m0

e quindi l = 1♦ addendi con espressioni quadratiche nelle componenti di ~r si scrivono come

rirj =1

3δijr

2 + Tij

Tij = rirj −1

3δijr

2

Le Tij sono le componenti di un tensore cartesiano simmetrico del 2o ordinea traccia nulla (5 componenti indipendenti) e indica l = 2 (l’altro termine einvariante e indica l = 0);in termini delle armoniche sferiche:

T11 =r2

4N2(Y 2

2 + Y −22 ) − r2

6N0Y 0

2

T12 =r2

4iN2(Y 2

2 − Y −22 ) = T21

T13 =r2

2N1(Y 1

2 − Y −12 ) = T31

T22 = − r2

4N2(Y 2

2 + Y −22 ) − r2

6N0Y 0

2

T23 =r2

2iN1(Y 1

2 + Y −12 ) = T32

T33 =r2

3N0Y 0

2

N0 =1

4

√

5

π; N1 = −1

2

√

15

2π; N2 =

1

4

√

15

2π

Due particelle:

r(1)i r

(2)j =

1

3δij~r

(1) · ~r(2) + Aij + Sij (14.6)

Aij =1

2(r

(1)i r

(2)j − r

(1)j r

(2)i ) = ~r(1) ∧ ~r(2)

Sij =1

2[r

(1)i r

(2)j + r

(1)j r

(2)i − 2

3δij~r

(1) · ~r(2)]

Il primo termine e scalare e indica L=0, Aij e componente di un vettoree indica L = 1, Sij e componente di un tensore cartesiano simmetrico delsecondo ordine a traccia nulla e indica L = 2.

Capitolo 15

Operatori tensoriali sferici

15.1 Definizione(

T (k)q

)′=

∑

q′

Dkq′qT

(k)q′ = DkT (k)

q Dk† (15.1)

k e il rango; q = −k,−k + 1, . . . , k

15.2 Commutatori

[Jn, T (k)q ] =

∑

q′

< kq′|Jn|kq > T(k)q′ (15.2)

[Jz, T(k)q ] = qT (k)

q ; [J±, T (k)q ] =

√

k(k + 1) − q(q ± 1)T(k)q±1 (15.3)

15.3 Esempi notevoli

♦ uno scalare e op. tens. sfer. con k = 0♦ le Y m

l formano un op.tens. sfer. con k = l:

DlY ml (r)Dl† =

∑

m′

Dlmm′Y m′

l (r)) (15.4)

♦ se Wx, Wy, Wz sono componenti di un op. vettoriale, allora

W+ = − 1√2(Wx + iWy)

W0 = Wz (15.5)

W− =1√2(Wx − iWy)

50

CAPITOLO 15. OPERATORI TENSORIALI SFERICI 51

sono componenti di un op. tens. sfer di rango 1, poiche

W+ = WNY 11 ; W0 = WNY 0

1 ; W− = WNY −11 ; N =

√

4π

3

♦ se ~U, ~V sono op. vettoriali, UiVj sono combinazioni di op. tens. sfer. conk = 0, 1, 2 per la (14.6)

15.4 Teorema di Wigner-Eckart

< λjm|Tqk|λ′j′m′ >=< λj|

∣

∣T (k)∣

∣|λ′j′m′ >< j′km′q|jm > (15.6)

L’elemento di matrice e nullo a meno che q = m−m′ e j, j′, k soddisfino alladisuguaglianza triangolare (12.31).

15.5 Elementi di matrice di operatori vettoriali

< λjm|Kq|λjm′ >= g < λjm|Jq|λjm′ > con g =< λj| ~J · ~K|λj >

j(j + 1)(15.7)

Capitolo 16

Riflessioni e parita

16.1 Operatore di parita

Π2 = I (16.1)

Π = Π† = Π−1 (16.2)

Π e hermitiano e unitario; ha autovalori ±1 con degenerazione infinita. Lesue autofunzioni sono le funzioni pari (autoval. +1) e dispari (autoval. -1).Commuta con l’hamiltoniano se l’energia potenziale e invariante per rifles-sioni.N.B.:In quest’ultimo caso le autofunz. dell’energia corrispondenti ad autoval. non dege-

neri hanno par. definita; in caso di degenerazione tali autofunz. possono sempre venir

costruite.

16.2 Operatori pari e dispari

A operatore pari ⇒ [Π, A] = 0 (16.3)

A operatore dispari ⇒ [Π, A]+ = 0 (16.4)

16.3 Regole di selezione

Un operatore pari ha elementi di matrice nulla tra stai di parita opposta.Un operatore dispari ha elementi di matrice nulli tra stati di uguale parita.N.B.: Non si applica a sistemi di piu particelle la relazione tra la parita e ilmomento angolare.

52

Capitolo 17

Particelle identiche

17.1 Operatore di scambio

P12ψ(ξ1, ξ2) = ψ(ξ2, ξ1) (17.1)

ξ e l’insieme delle coordinate spaziali e di spin.L’op. di scambio e hermitiano, ha autovalori ±1 e commuta con l’hamilto-niano di due particelle identiche.Un sistema di due particelle identiche non puo avere stati simmetrici e statiantisimmetrici.Per sistemi di piu particelle ci sono piu operatori di scambio che non commutano tra di

loro (solo con l’hamiltoniano). Sistemi completi di autofunzioni di H e dei Pij sono solo

le autofunz. di H completamente simmetriche od antisimmetriche.

17.2 Particelle indipendenti

ψ±(ξ1, . . . , ξn) =1√n!

∑

P

(±1)P ψa1(ξP (1)) . . . ψan(ξP (n)) (17.2)

P e una generica permutazione di 1, . . . , n.Il segno + vale per i bosoni, il segno - per i fermioni.

17.3 Principio di Pauli

Due fermioni identici non possono stare nello stesso stato di particella

singola.

53

Capitolo 18

Evoluzione temporale

18.1 Generalita

|ψ(t) >= U(t, t0)|ψ(t0) > (18.1)

iℏdU(t, t0)

dt= H(t)U(t, t0) ; U(t0, t0) = I (18.2)

U(t, t0) = I +1

iℏ

∫ t

t0

dt′H(t′)U(t′, t0) (18.3)

iℏd

dt|ψ(t) >= H(t)|ψ(t) > (18.4)

Se H non dipende da t:

U(t, t0) = exp

[

− i

ℏ(t − t0)H

]

(18.5)

|ψ(t) >=∑

E

|uE > exp

[

− i

ℏE(t − t0)

]

< uE |ψ(t0) > (18.6)

|ψ(t) >=

∫

dE exp

[

− i

ℏE(t − t0)

]

ρ(E)|uE >< uE |ψ(t0) > (18.7)

Se gli hamiltoniani a tempi diversi commutano:

U(t, t0) = exp

[

1

iℏ

∫ t

t0

dt′H(t′)

]

(18.8)

54

CAPITOLO 18. EVOLUZIONE TEMPORALE 55

18.2 Descrizioni di Heisenberg e di Schrodinger

Heisenberg: ket fisso, oss. variabileSchrodinger: ket variabile, oss. fissa

< A >ψ=< ψH |AH |ψH > (18.9)

AH = U †(t, t0)AU(t, t0) (18.10)

|ψH >= |ψ(t=) >= U †(t, t0)|ψ(t) > (18.11)

dAH

dt=

1

iℏ[AH , HH ] +

∂AH

∂t(18.12)

∂AH

∂t:= U †∂AS

∂tU (18.13)

18.3 Evoluzione dei valori medi

∂AH

∂t= 0 ⇒ d < A >ψ

dt=

1

iℏ〈[A, H]〉 (18.14)

Teoremi di Ehrenfest:

< x >=< p >

m; < p >=< F > (18.15)

18.4 Costanti del moto

G costante del moto ⇔ [H, G] = 0 (18.16)

18.5 Descrizione intermedia

|ψI >= U †0(t, t0)|ψS > (18.17)

AI = U †0(t, t0)ASU(t, t0) (18.18)

|ψI(t) >= UI(t, t0)|ψI(t0) > (18.19)

iℏdUI(t, t0)

dt= VIU(t, t0) con VI = U †

0V U0 (18.20)

iℏd

dt|ψI(t) >= VI |ψI(t) > (18.21)

UI(t, t0) = I +1

iℏ

∫ t

t0

dt′VI(t′)UI(t

′, t0) (18.22)

U(t, t0) = U0(t, t0)UI(t, t0) (18.23)

Al prim’ordine:

U(t, t0) = U0(t, t0) +1

iℏ

∫ t

t0

dt′U0(t, t′)V (t′)U0(t

′, t0) (18.24)

CAPITOLO 18. EVOLUZIONE TEMPORALE 56

18.6 Indeterminazione tempo-energia

τψ(∆E)ψ ≥ ℏ

2(18.25)

18.7 Inversione temporale

ψ∗(~r, ti) = exp[−i(tf − ti)H]ψ∗(~r, tf ) (18.26)

Tψ(~r, t) = ψ∗(~r, t) (18.27)

Capitolo 19

Operatore statistico

19.1 Definizione e proprieta

Valor medio di un’oss. in uno stato misto:

< Q >= TrQρ (19.1)

Trρ = 1 (19.2)

pρ(|k >) = ρkk |k > stato puro (19.3)

Trρ2 ≤ 1 (19.4)

ρ =∑

i

|ρi > ρi < ρi| (19.5)

< Q >ρ=∑

i

< ρi|Q|ρi > ρi (19.6)

19.2 Evoluzione degli stati misti

ρS = UρHU † (19.7)

iℏρS(t) = −[ρS(t), HS(t)] (19.8)

Gli autovalori di ρ non variano nella descriz. di Schrodinger.Si puo calcolare la probabilita di un processo a partire dagli stati di base emediare i risultati con i pesi che questi stati hanno nello stato iniziale.

19.3 Matrice densita in 2-D

< σi >= Pi (19.9)

ρ =1

2(I + ~P · ~σ) =

1

2

(

1 + P3 P1 − iP2

P1 + iP2 1 − P3

)

(19.10)

P1 = ρ12 + ρ21 ; P2 = i(ρ12 − ρ21) ; P3 = ρ11 − ρ22 (19.11)

57

CAPITOLO 19. OPERATORE STATISTICO 58

Autovalori di ρ: 1±P2

Rappresentazione di Poincare per la polarizzazione:- punti su sfera unitaria: stati puri- punti dentro sfera unitaria: stati misti- punti su piano P1P3: stati pol. rettilinea- punti su asse P2: stati pol. circolare- punti generici: stati pol. ellittica.- all’autovalore 1+P

2 corrisponde la pol. parziale.C’e corrispondenza biunivoca tra proiettori e versori di Poincare e traanalizzatori e direzioni di Poincare.

|q+ >< q+| =1

2(I + ~Q · ~σ) (19.12)

|q− >< q−| =1

2(I − ~Q · ~σ) (19.13)

< Q >= ~P · ~Q (19.14)

Probabilita di trovare |q+ > nello stato ~P :

p = Tr[1/2(I + ~Q · ~σ)][1/2(I + ~P · ~σ)] =1

2(I + ~Q · ~P ) (19.15)

Legame con la meccanica statistica:

ρ =e−H/kT

Tr e−H/kT(19.16)

19.4 Operatore statistico per sistemi composti

< W >= Tr U (1)ρ(1) (19.17)

ρ(1)hi =

∑

j

ρ(hj)(ij) = [Tr2ρ]hi (19.18)

Incorrelazione se

< U1V 2 >=< U1 >< V 2 > ovvero ρ(ij)(hk) = ρ1(ih)ρ

2(jk)

Parte IV

Applicazioni

59

Capitolo 20

Meccanica ondulatoria

20.1 Equazione di Schrodinger

Equazione stazionaria:

− ℏ2

2mu + V (~r)u(~r) = Eu(~r) (20.1)

Equazione temporale:

− ℏ2

2mψ + V (~r)ψ = iℏ

∂ψ

∂t(20.2)

Soluzione ad energia definita:

ψ(~r, t) = u(~r)e−i Eℏ

t (20.3)

Equazione di continuita:

~j =ℏ

2im

(

ψ∗~∇ψ − ψ~∇ψ∗)

(20.4)

20.2 Pacchetto d’onde

f(x, t) =1√2π

∫ +∞

−∞dk[a1(k) cos(kx − ωt) + a2(k) sin(kx − ωt)] (20.5)

a(k)2 = [a1(k) + a1(−k)]2 + [a2(k) − a2(−k)]2

(20.6)

f(x, t) =1√2π

∫ +∞

−∞dkA(k, t)eikx (20.7)

A(k, t) =1

2[a1(k) + a1(−k)] − i[a2(k) − a2(−k)] (20.8)

60

CAPITOLO 20. MECCANICA ONDULATORIA 61

f(x, t) =1√2π

∫ +∞

−∞dk[C(k)ei(kx−ωt) + C∗(k)e−i(kx−ωt)] (20.9)

C(k) =1

2[a1(k) − ia2(k)] a1, a2 ∈ R (20.10)

C(k) + C∗(−k) =1√2π

∫ +∞

−∞dxf(x, 0)e−ikx (20.11)

C(k) − iC∗(−k) =1√2π

i

ω

∫ +∞

−∞dx

(

∂f(x, t)

∂t

)

t=0

e−ikx (20.12)

a1(k) =1√2π

∫ +∞

−∞dx[f(x, 0) cos kx +

1

ω

(

∂f(x, t)

∂t

)

t=0

sin kx] (20.13)

a2(k) = − 1√2π

∫ +∞

−∞dx[f(x, 0) sin kx +

1

ω

(

∂f(x, t)

∂t

)

t=0

cos kx] (20.14)

(20.15)

< x >=

∫ +∞−∞ x|f(x)|2dx∫ +∞−∞ |f(x)|2dx

; ∆x =√

< (x− < x >)2 =√

< x2 > − < x >2

(20.16)

< k >=

∫ +∞−∞ x|A(k)|2dk∫ +∞−∞ |A(k)|2dk

; ∆k =√

< (k− < k >)2 =√

< k2 > − < k >2

(20.17)

∆x∆k ≥ 1

2; ∆t∆ν ≥ 1

4π(20.18)

f(x, t)eik0(x−vfaset)

∫

C(k′ + k0)eik′(x−vgruppot)dk′ (20.19)

vfase =ω0

k0; vgruppo =

(

dω

dk

)

k=k0

(20.20)

20.3 Onde di De Broglie libere

ω =ℏk2

2m(20.21)

vfase =ℏk0

2m=

1

2

p

m(20.22)

vgruppo =ℏk0

m=

p

m(20.23)

E = ℏω =(ℏk)2

2m=

p2

2m(20.24)


20.4 Particella libera in una dimensione

E < 0 non si hanno soluzioni accettabiliE = 0 l’unica soluzione accettabile e 1

E > 0 soluzioni cos kx, sin kx con k =√

2mEℏ2 : onda stazionaria

ψ(x, t) =1√2π

∫

ψ(k)ei(

kx− ℏk2

2mt)

dk (20.25)

ψ(k) =1√2π

∫

ψ(x, 0)e−ikxdx (20.26)

ψ(x, t) =

∫

ψ(x′, 0)G(x′, t, x, 0)dx (20.27)

G(x′, t, x, 0) =

√

m

2πiℏtei

(x−x′)2

2ℏt (20.28)

20.5 Particella libera in tre dimensioni

ψ(~r) =1

(2π)3/2ei~k·~r (20.29)

E =ℏ

2

2m|~k|2 (20.30)

20.6 Operatori in tre dimensioni

d~s = h1du1e1 + h2du2e2 + h3du3e3 (20.31)

~∇ψ =1

h1

∂ψ

∂u1e1 +

1

h2

∂ψ

∂u2e2 +

1

h3

∂ψ

∂u3e3 (20.32)

~∇ · ~A =1

h1h2h3

[

∂

∂u1(h2h3A1) +

∂

∂u2(h1h3A2) +

∂

∂u3(h2h1A3)

]

(20.33)

~∇2ψ =1

h1h2h3

[

∂

∂u1

(

h2h3

h1

∂ψ

∂u1

)

+∂

∂u2

(

h1h3

h2

∂ψ

∂u2

)

+∂

∂u3

(

h2h1

h3

∂ψ

∂u3

)]

(20.34)

pr =1

2

(

~p · ~r

r+

~r

r· ~p

)

= −iℏ1

r

∂

∂rr = −iℏ

(

∂

∂r+

1

r

)

(20.35)

p2r = −ℏ

2 1

r2

∂

∂rr

∂

∂r= −ℏ

2 1

r

∂2

∂r2= −ℏ

2

(

∂2

∂r2+

2

r

∂

∂r

)

(20.36)


20.7 Potenziale centrale(

p2r

2m+

L2

2mr2

)

ψ(~r) + V (r)ψ(~r) = Eψ(~r) (20.37)

Per un potenziale centrale [H, L2] = 0

20.8 Equazione angolare

L2Y (θ, ϕ) = ℏ2βY (θ.ϕ) (20.38)

20.9 Equazione radiale[

− ℏ2

2m

1

r

d2

dr2r +

l(l + 1)ℏ2

2mr2+ V (r)

]

R(r) = ER(r) (20.39)

Equazione ridotta:

χ(r) = rR(r) ; χ(0) = 0 (20.40)[

− ℏ2

2m

d2

dr2r +

l(l + 1)ℏ2

2mr2+ V (r)

]

χ(r) = Eχ(r) (20.41)

Sviluppo dell’onda piana:

eikz =∞

∑

l=0

il(2l + 1)Pl(cos θ)jl(kr) (20.42)

Capitolo 21

Potenziali costanti a tratti

21.1 Gradino di potenziale

E < 0 non ci sono soluzioni0 < E < V :

Φ(x) =

A1eik1x + B1e

−ik1x x < 0B2e

−χx x > 0

k1 =

√

2mE

ℏ2; χ =

√

2m(V − E)

ℏ2

B1 =1 − iχ/k

1 + iχ/kA1 ; B2 =

2

1 + iχ/kA1

E > V (caso in cui le particelle provengono da sinistra):

Φ(x) =

A1eik1x + B1e

−ik1x x < 0A2e

k2x x > 0

k1 =

√

2mE

ℏ2; K2 =

√

2m(E − V )

ℏ2

B1 =1 − k2/k1

1 + k2/k1A1 ; A2 =

2

1 + k2/k1A1

Coefficienti di trasmissione e di riflessione:

R =

(

1 − k2/k1

1 + k2/k1

)2

(21.1)

T =4k2/k1

(1 + k2/k1)2(21.2)

R + T = 1 (21.3)

Per l’evoluzione temporale vd. appunti Dillon f.21

64

CAPITOLO 21. POTENZIALI COSTANTI A TRATTI 65

21.2 Barriera di potenziale

0 < E < V :Con la stessa tecnica si trova

T =

[

1 +V 2

4E(V − E)sinh2(χa)

]−1

; χ =

√

2m(V − E)

ℏ2(21.4)

E > V :

T =

[

1 +V 2

4E(E − V )sin2(ka)

]−1

; k =

√

2m(E − V )

ℏ2(21.5)

Per barriere di forma qualsiasi

log T = −2

∫ b

aχ(x)dx (21.6)

21.3 Buca di potenziale

Larghezza 2aE > V : analogo alla barriera0 < E < V :- Parita +:

Φ(x) =

A cos kx x < |a|Be−χx x > a

(21.7)

k =

√

2mE

ℏ2; χ =

√

2m(V − E)

ℏ2

- Parita -:

Φ(x) =

A sin kx x < |a|Be−χx x > a

(21.8)

k =

√

2mE

ℏ2; χ =

√

2m(V − E)

ℏ2

Deve essere:

ka tan ka = χa per la parita +−ka cot ka = χa per la parita -

21.4 Buca infinita

Larghezza 2a

parita + ⇒ ψn(x) = A cos knx n dispari (21.9)

parita - ⇒ ψn(x) = A sin knx n pari > 0 (21.10)

kn =nπ

2a; A =

1√a

(21.11)

CAPITOLO 21. POTENZIALI COSTANTI A TRATTI 66

Livelli energetici:

En =n2π2

ℏ2

8ma2(21.12)

21.5 Casi generali

Vd. PMQE 5.4,5.5; Messiah pag.78Per esempi (buca non simmetrica, buca doppia, buca sferica) vd. Dillonf.25,40

Capitolo 22

Oscillatore armonico

22.1 Autofunzioni dell’oscillatore armonico

ψn(q) =

√

α√π2nn!

exp

(

−α2q2

2

)

Hn(αq) (22.1)

α =

√

mω

ℏ(22.2)

22.2 Livelli energetici

En =

(

n +1

2

)

ℏω (22.3)

22.3 Trasformazione di coordinate

Q =

√

mω

ℏq ; P =

√

1

ℏmωp (22.4)

[Q, P ] = i (22.5)

22.4 Operatori di creazione e di distruzione

a =

√2

2(Q + iP ) ; a† =

√2

2(Q + iP ) (22.6)

[a, a†] = 1 (22.7)

Q =1√2(a + a†) ; P =

1

i√

2(a − a†) (22.8)

67

CAPITOLO 22. OSCILLATORE ARMONICO 68

22.5 Numero di occupazione

N = a†a (22.9)

Na = a(N − 1) ; Na† = a†(N + 1) (22.10)

< ψ|a†a|ψ >= ψ < ψ|ψ > ; < ψ|aa†|ψ >= (ψ + 1) < ψ|ψ >(22.11)

Na|ψ >= (ψ − 1)a|ψ > ; Na†|ψ >= (ψ + 1)|ψ > (22.12)

con N |ψ >= ψ|ψ >

22.6 Effetto degli operatori sugli autostati

Sia |n > l’n-mo autostato dell’oscillatore

a†|n >=√

n + 1|n + 1 > (22.13)

a|n >=√

n|n − 1 > (22.14)

|n >=1√n!

(a†)n|0 > (22.15)

22.7 Stato coerente

< λ|N |λ >= |λ|2 (22.16)

22.8 Oscillatore tridimensionale

per una trattazione completa v. Boffi pag. 234

Energia e degenerazione del livello n-mo:

E = ℏω

(

n +3

2

)

(22.17)

dn =(n + 1)(n + 2)

2(22.18)

Capitolo 23

Atomi idrogenoidi

23.1 Livelli energetici

En = −mZ 2e4

2n2ℏ 2(23.1)

Degenerazione:

dn =∑

(2l + 1) = n2 (23.2)

23.2 Funzioni d’onda

ψnlm(~r) = Rln(r)Y ml (θ, ϕ) (23.3)

Rln(r) = Nln exp[−αnr](2αnr)lLn+l2l+1(2αnr) (23.4)

αn = Z/(na0) ; a0 = ℏ2/(me2) raggio di Bohr (23.5)

Nln =√

[2Z/(na0)]3(n − l − 1)!/[2n(n + l)!3] (23.6)

ψ100 =1√π

(

Z

a0

) 32

e− Zr

2a0

ψ200 =1

4√

2π

(

Z

a0

) 32(

2 − Z

a0r

)

e−Zr

a0

ψ21−1 =1

8√

π

(

Z

a0

) 32 Z

a0re

− Zr2a0 sin θeiϕ

ψ210 =1

4√

2π

(

Z

a0

) 32 Z

a0re

− Zr2a0 cos θ

ψ211 = − 1

8√

π

(

Z

a0

) 32 Z

a0re

− Zr2a0 sin θeiϕ

69

Capitolo 25

Cenni di fisica atomica emolecolare

25.1 Approssimazione di campo centrale

Hamiltoniano di un atomo complesso:

H = H0 +∑

i

(

−Ze2

ri− VC(ri)

)

+∑

i<j

e2

|~ri − ~rj |(25.1)

H0 =∑

i

(

p2i

2m+ VC(ri)

)

(25.2)

Energia totale:

E =∑

i

ε(i)nl (25.3)

Degenerazione di una configurazione elettronica:

d =∏

i

(

gi

νi

)

(25.4)

Per una shell completa L = S = 0

25.2 Interazione degli elettroni

V1 =∑

i<j

e2

rij−

∑

i

(

Ze2

ri+ VC(ri)

)

(25.5)

< γLSMLMS |V1|γ′L′S′M ′LM ′

S >= δLL′δMLM ′

LδSS′δMSM ′

SVγγ′(L, S)

(25.6)REGOLA DI HUND:il livello energeticamente piu basso di una data con-

figurazione e quello con la molteplicita di spin piu elevata e, a parita di

molteplicita, quelli con L piu elevato.

71

CAPITOLO 25. CENNI DI FISICA ATOMICA E MOLECOLARE 72

25.3 Interazione spin-orbita

V2 =∑

i

(~li · ~si)g(ri) con g(ri) =1

2(mc)21

ri

dVC

dri(25.7)

Se V1 ≪ V2 si ha l’accoppiamento jj e una buona base e |nlsjmj >Se V2 ≪ V1 si ha l’accoppiamento LS e una buona base e |γLSJMJ >.

Costante di struttura fine:

α =e2

ℏc(25.8)

Regola dell’intervallo di Lande:

∆nlj =ℏ

2

4(mc)2

⟨

1

r

dVC

dr

⟩

l per j = l + 1/2−l − 1 per j = l − 1/2

(25.9)

25.4 Atomo in un campo magnetico uniforme

H =p2

2m− e

mc~p · ~A +

e2

2mc~A2 con ~A =

1

2~B ∧ ~r (25.10)

Momento magnetico associato al moto orbitale:

~µ =e

2mc~l (25.11)

Magnetone di Bohr:

µB =eℏ

2mc(25.12)

Raggio classico dell’elettrone:

rl =e2

mc2(25.13)

Momento magnetico associato allo spin:

~µs =e

mc~s = µB~σ (25.14)

Perturbazioni:

W1 = −µB(Lz + 2Sz)B (25.15)

W2 =e2

8mc2B2r2

⊥ (25.16)

Se W1 ≪ V2 si ha l’effetto Zeeman:

∆E = −µBBgM (25.17)

g = 1 +J(J + 1) − L(L + 1) + S(S + 1)

2J(J + 1)(25.18)

Se V2 < W1 < V1 si ha l’effetto Paschen-Back :

∆E = −µB(ML + 2MS)B (25.19)

CAPITOLO 25. CENNI DI FISICA ATOMICA E MOLECOLARE 73

25.5 Approssimazione di Born-Oppenheimer

1) Si risolve il problema elettronico a nuclei fissi2) Si risolve il moto nucleare

25.6 Problema a nuclei fissi per una molecola

biatomica

Integrale di sovrapposizione:

∆ =

∫

u∗AuBdV (25.20)

HAA = HBB = −WH + J con J = −∫

uAe2

rbuAdV (25.21)

HAB = HBA = −WH∆ + K con K = −∫

uAe2

rbuBdV (25.22)

Combinazione simmetrica:

ES = −WH +J + K

1 + ∆(25.23)

Combinazione antisimmetrica:

EA = −WH +J − K

1 − ∆(25.24)

25.7 Rotazioni e vibrazioni delle molecole biato-miche

Energia elettronica:

Eel ≃ℏ

2

ma2(25.25)

Energia vibrazionale:

Evib =

√

m

MEel (25.26)

Energia rotazionale:

Erot =

√

m

MEvib (25.27)

Regole di selezione:♦ per la vibrazione ∆v = ±1♦ per la rotazione ∆k = ±1dove v e k sono i numeri quantici corrispondenti.

Capitolo 26

Campo elettromagnetico

In questo capitolo ci riferiremo al sistema di Gauss

26.1 Gauge in Meccanica Quantistica

|ψ′ >= G|ψ > t.c.

< ψ′|~r|ψ′ >=< ψ|~r|ψ >

< ψ′|~Π|ψ′ >=< ψ|~Π|ψ >(26.1)

< ψ′|O|ψ′ >=< ψ|G†OG|ψ > (26.2)

G(~r, t) = exp[ie

ℏcΛ~r, t] (26.3)

26.2 Effetto Aharonov-Bohm

Equazione di Schrodinger in presenza di un potenziale vettore:

1

2m

[

−iℏ~∇− e

c~A]2

ψ(~r) + V ψ(~r) = Eψ(~r) (26.4)

dove ~B e nullo ψ(~r) = ψ0(~r) exp

[

ie

ℏc

∫ ~r

(s)

~A(~r′)d~s

]

(26.5)

Per una trasformazione di gauge:

ψ = ψ0 exp

[

ie

ℏcΛ(~r, t)

]

(26.6)

26.3 Campo elettromagnetico libero

(Normalizzazione in una scatola di volume V)

~A(~r, t) =1√V

∑

k,α

(

C~k,α(t)ε(α)ei~k·~r + C∗

~k,α(t)ε(α)∗e−i~k·~r

)

(26.7)

C~k,α(t) = C~k,α

(0)e−iωt (26.8)

74

CAPITOLO 26. CAMPO ELETTROMAGNETICO 75

Hamiltoniana:

H =1

8π

∫

( ~B2 + ~E2)dV =∑

k,α

1

2(P 2

~k,α+ Q2

~k,α) (26.9)

Q~k,α=

1

c√

4π(C~k,α

+ C∗~k,α

) ; P~k,α= − iωk

c√

4π(C~k,α

− C∗~k,α

) (26.10)

Lagrangiana:

L =1

8π

∫

( ~E2 − ~B2)dV =∑

k,α

1

2( ˙Q~

,αk − ω2Q~k,α

) (26.11)

Oscillatori di radiazione:

a~k,α=

1√2ℏωk

(ωkQ~k,α+ iP~k,α

) ; a∗~k,α=

1√2ℏωk

(ωkQ~k,α− iP~k,α

)

(26.12)

H =∑

k,α

ℏωkN~k,α(26.13)

En~k,α=

∑

i

n~ki,αiℏωki

(26.14)

26.4 Sistema di cariche

Lcariche =∑

i

[

1

2mi ~r

2i +

ei

c~ri · ~A(~ri, t) − eiΦ(~ri, t)

]

(26.15)

Lcampo =1

8π

∫

( ~E2 − ~B2)dV (26.16)

~E⊥ = −1

c

∂ ~A

∂t; ~E‖ = −~∇Φ

L =∑

i

[

1

2mi ~r

2i +

ei

c~ri · ~A(~ri, t)

]

− 1

2

∑

i6=j

eiej

|~ri − ~rj |+ Lrad (26.17)

Lrad =1

8π

∫

( ~E⊥2 − ~B2)dV =

∑

k,α

1

2(q~k,α

q−~k,α− ω2q~k,α

q−~k,α) (26.18)

q~k,α=

1

c√

4π(C~k,α

+ C∗−~k,α

) (26.19)

p~k,α= q−~k,α

(26.20)

H =∑

i

1

2mi

[

~pi −ei

c~A(~ri, t)

]2+

1

2

∑

i6=j

eiej

|~ri − ~rj |+ Hrad (26.21)

Hrad =∑

k,α

1

2(p~k,α

p−~k,α+ ω2q~k,α

q−~k,α) =

∑

k,α

1

2(P 2

~k,α+ ω2Q2

~k,α) (26.22)

CAPITOLO 26. CAMPO ELETTROMAGNETICO 76

~A(~R, t) = c

√

4π

V

∑

k,α

q~k,αε(α)ei~k·~r =

=c√

π√V

∑

k,α

1

2

[

(Q~k,α+

i

ωkP~k,α

)ε(α)ei~k·~r + (Q~k,α− i

ωkP~k,α

)ε(α)ei~k·~r]

(26.23)

Capitolo 27

Probabilita di transizione

27.1 Probabilita al prim’ordine

Se il tempo di transizione e trascurabile lo stato rimane lo stesso; se ilcambiamento e molto lento il sistema si adatta via via alla nuova situazione.

Probabilita di transizione:

Wif = | < f |U(t, t0)|i > |2 (27.1)

Al prim’ordine:

W(1)if =

1

ℏ2

∣

∣

∣

∣

∫

eiℏ(Ef−Ei)τ < f |V (τ)|i > dτ

∣

∣

∣

∣

2

(27.2)

Frequenza di Bohr della transizione:

ωfi =Ef − Ei

ℏ(27.3)

Perturbazione costante:

W(1)if (t, 0) =

1

ℏ2|Vfi|2f(t, ωfi) (27.4)

f(t, ω) = t2sin2(ωt/2)

(ωt/2)2(27.5)

per t → ∞ f(t, ω) → 2πtδ(ω)

Perturbazione periodica:

V (t) = Ce−iωt + C†eiωt

Wfi =1

ℏ2

∣

∣

∣

∣

∫ t

0dτeiωfiτ

(

< f |C|i > e−iωτ+ < f |C†|i > eiωτ)

∣

∣

∣

∣

2

(27.6)

ωfi > 0 ⇒ assorbimento Wfi =1

ℏ2| < f |C|i > |2f(t, ωfi − ω)

ωfi < 0 ⇒ emissione Wfi =1

ℏ2| < f |C†|i > |2f(t, ωfi + ω)

77

CAPITOLO 27. PROBABILITA DI TRANSIZIONE 78

27.2 Problema dei due stati

H0 = E1|1 >< 1| + E2|2 >< 2|V (t) = γ|2 >< 1|e−iωt + γ|1 >< 2|eiωt

|ψ(t) >= C1(t)|1 > +C2(t)|2 > ; |ψ(0) >= |1 >

|C2(t)|2 =γ2/ℏ

2

γ2/ℏ2 + (ω − ω21)2/4sin2

√

γ2

ℏ2

(ω − ω21)2

4t

(27.7)

|C1(t)|2 = 1 − |C2(t)|2 (27.8)

27.3 Transizioni atomiche indotte da un’ondaelettromagnetica

Transition rate:

wab =

∫

dWab

t(27.9)

wba =4π2e2

cℏ2ω2ba

I(ωba)

∣

∣

∣

∣

< b|ei~k·~r ~p

m|a > ·ε)

∣

∣

∣

∣

2

(27.10)

Approssimazione di dipolo elettrico:

ei~k·~r ≃ 1 (27.11)

27.4 Transizioni verso il continuo

Wiγ(t) =

∫

∆EdEWif (t)ρ(E, γ) (27.12)

Numero di stati compresi tra E ed E+dE:

dNE = ρ(E, γ)dE

Perturbazione costante (regola d’oro di Fermi):

wiγ =2π

ℏρ(Ei, γ)|Vfi|2 (27.13)

Perturbazione periodica:

wiγ =2π

ℏρ(Ei ± ℏω, γ)|Vfi|2 (27.14)

+ per l’assorbimento, - per l’emissione.


La densita degli stati dipende dalla normalizzazione:

|ψ >=

∫

dbρ(b)|b >< b|ψ >

< b|b′ >= N(b)δ(b − b′)

ρ(b) = 1/N(b) (27.15)

27.5 Decadimento spontaneo

Densita degli stati:

ρ(E, Ωk)dΩk =V

(2π)3ω2

2ℏc3dΩk (27.16)

In approssimazione di dipolo elettrico:

wdΩ =e2ω3

2πℏc3|~rba · ε(α)|2dΩ (27.17)

~rba =< b|~r|a > (27.18)

wdΩ =e2ω3

2πℏc3|~rba|2 sin2 θdΩ ∆mj = 0 (27.19)

wdΩ =e2ω3

2πℏc3|~rba|2

1 + cos2 θ

2dΩ ∆mj = ±1 (27.20)

w =e2

ℏc

4ω3

3c2|~rba|2 (27.21)

Vita media:1

τa=

∑

i

w(a → bi) (27.22)

Potenza irraggiata:

W = wℏω =4e2ω4

3c3|~rba|2 (27.23)

27.6 Emissione stimolata

W(1)ab =

1

ℏ2f(t, ωba + ωk)e

2 2πℏ

ωkV(n~k,α

+ 1)| < b|∑

i

e−i~k·~ri~pi|a > ·ε(α)|2

(27.24)

I =n~k

c

Vℏω (27.25)


27.7 Approssimazione di dipolo elettrico

wab =4π2e2

cℏ2I(ωba)| < b|~R|a > ·ε|2 (27.26)

Regole di selezione:♦Regola di Laporte: se |a > e |b > hanno parita definita, deve essere opposta.♦Teorema di Wigner-Eckart: v. (15.4) ∆J = ±1, 0 per m, si deve ricordareche

~R · ε = −R+ε− − R−ε+ + R0ε0 (27.27)

Un fotone polarizzato circolarmente ha momento angolare definito lungo la

sua direzione di propagazione; la componente del momento angolare e +1 o

-1 a seconda che la polarizzazione sia destra oppure sinistra.

♦Nell’accoppiamento LS si ha ∆S = 0 ⇒ ∆L = ∆J = 0,±1; si ha poi∆mJ = 0,±1 ma ∆mJ = 0 e proibita se ∆J = 0

N.B:la transizione J = 0 → J = 0 e rigorosamente proibita.

27.8 Transizioni agli ordini di multipolaritasuperiori

Bisogna tenere presente che

(~k · ~r)(~p · ε) =∑

i,j

kiεjripj (27.28)

ripj =1

3δij

~r(1) · ~r(2) +1

2(r

(1)i r

(2)j − r

(1)j r

(2)i ) +

1

2[r

(1)i r

(2)j + r

(1)j r

(2)i − 2

3δij

~r(1) · ~r(2)]

(27.29)

I vari termini sono op. tens. sferici di rango 0,1,2; il primo non agisce pertrasversalita; il secondo rappresenta transizioni di dipolo magnetico e ilterzo di quadrupolo elettrico.Ad essi si applica il teorema di Wigner-Eckart.

Se si considera il momento magnetico di spin bisogna tenere conto

della perturbazione eA0mc ei~k·~r~s ∧ ~k · ε

Capitolo 28

Scattering

28.1 Concetti introduttivi

(Se no coerenza, no scattering multiplo e centri diffusori identici)Numero di proiettili diffusi nell’angolo solido dΩ:

dn =dNinc

dAΣ(Ω)dΩ =

dNinc

dAησ(Ω)dΩ (28.1)

dNinc

dA e il numero di particelle incidenti nell’unita di superficie.Σ(Ω) e la sez. d’urto diff-le per quel processo con quella targhetta.η e il numero di centri diffusori.σ(Ω) e la sez. d’urto diff.le per il processo considerato.

dσ = σ(Ω)dΩ (28.2)

σ =

∫

4πdΩσ(Ω) (28.3)

σ e la sez. d’urto totale per il processo considerato.Numero di proiettili emessi nell’angolo solido totale:

n =dNinc

dAησ (28.4)

Per le formule di trasformazione nel sistema di riferimento del laboratorio v. Goldstein

pag. 83 e Messiah pag.380

σ(θ) sin θ = 2πbdb

dθ(28.5)

σ = 2π

∫ π

0σ(θ) sin θdθ = 2π

∫ 0

bmax

bdb (28.6)

81

CAPITOLO 28. SCATTERING 82

28.2 Descrizione quantistica

Impongo

ψ~q(~r) −→ ei~q·~r + f~q(θ, ϕ)eiqr

rper r → ∞ con q =

√

2mEq

ℏ(28.7)

Si trovaσ(Ω) = |f~k

(θ, ϕ)|2 (28.8)

28.3 Equazione integrale

Funzione di Green:(

~∇2~r + ~k2

)

G(~r, ~r′) = δ(~r − ~r′) (28.9)

G(~r, ~r′) = − 1

4π

eik|~r−~r′|

|~r − ~r′|(28.10)

f~k(θ, ϕ) = − 1

4π

∫ +∞

−∞d~r′e−i~k·~r′U(~r′)ψ~k

(~r′) (28.11)

28.4 Approssimazione di Born

U(~r) =2m

ℏ2V (~r) ; q = 2k sin

θ

2(28.12)

fBA~k

(θ, ϕ) = − 1

2π

m

ℏ2

∫ +∞

−∞d~r e−i~k′·~rV (~r)ei~k·~r = − 1

2π

m

ℏ2

∫ +∞

−∞d~r e−i~q·~rV (~r)

(28.13)

Se gli stati sono normalizzati alla delta di Dirac:

fBA~k

(θ, ϕ) = −(2π)2m

ℏ2< ~k′|V |~k > (28.14)

28.5 Metodo delle fasi

Nella regione asintotica, l’unico ricordo dell’interazione e l’l-mo sfasamentoδl.

ψ~k(~r) → eikz + f~k

(θ) (28.15)

f~k(θ) =

1

k

∞∑

l=0

(2l + 1)Pl(cos θ) sin δleiδl (28.16)

CAPITOLO 28. SCATTERING 83

σ(θ) =1

k2

∑

l,l′

(2l + 1)(2l′ + 1)Pl(cos θ)Pl′(cos θ) sin δl sin δl′ei(δl−δl′ )

(28.17)

σ =4π

k2

∑

l

(2l + 1) sin2 δl (28.18)

Se il potenziale ha raggio di azione a limitato finche ka < l l’onda l-ma eirrilevante.La continuita della derivata logaritmica al limite tra raggio interno e raggioesterno da:

Pl = Kcos δljl′(kr) + sin δlnl′(kr)

cosδljl(kr) + sin δlnl(kr)

∣

∣

∣

∣

a

(28.19)

δl ∝ k2l+1 (28.20)

δ0 = a0k a0 lunghezza di scattering (28.21)

Approssimazione di Born per gli sfasamenti:

sin δl ≃ −2mk

ℏ2

∫ ∞

0dr r2j2

l (kr)V (r) (28.22)

N.B.: Nella sezione d’urto di tripletto intervengono solo gli sfasamentidispari, in quella di singoletto solo quelli pari.

28.6 Scattering di risonanza

Risonanza nell’l-ma onda parziale all’energia Er:

δl(Er) = π/2dδl(E)

dE

∣

∣

∣

E=Er

> 0(28.23)

Formula di Breit-Wigner:

sin2 δl =

(

Γ2

)2

(E − Er)2 +(

Γ2

)2 (28.24)

Γ e la larghezza di risonanza.Tempo caratteristico:

τ =2ℏ

Γ(28.25)

Formulario di Meccanica quantistica · INDICE 6 25.6 Problema a nuclei ﬁssi per una molecola...

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