Formula Rio

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Indice degli argomenti del corso di Scienza delle Costruzioni Corso di laurea in Ingegneria Civile (01CFOAX), Vercelli Fabrizio Barpi Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica Politecnico di Torino 1 19 aprile 2010 1 Email: [email protected], www: http://staff.polito.it/fabrizio.barpi

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Indice degli argomenti del corso di Scienza delle CostruzioniCorso di laurea in Ingegneria Civile (01CFOAX), Vercelli

Fabrizio BarpiDipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica

Politecnico di Torino1

19 aprile 2010

1Email: [email protected], www: http://staff.polito.it/fabrizio.barpi

Indice

1 Note 2

2 Cinematica (dei sistemi di travi) 3

3 Statica (dei sistemi di travi) 5

3.1 Generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 Travi reticolari isostatiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Meccanica del continuo 8

4.1 Analisi della deformazione e della tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.2 Teorema dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.3 Cerchi di Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.4 Elasticita e elasticita lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Problema di De Saint Venant 13

5.1 Flessione (retta, deviata, presso-tensoflessione) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.2 Taglio retto e deviato – formula approssimata (Jourawsky) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.3 Torsione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.4 Centro di taglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6 Criteri di resistenza 20

7 Teoria della trave 22

8 Calcolo degli spostamenti generalizzati e strutture iperstatiche 24

9 Instabilita dell’equilibrio 25

10 Proprieta geometriche di aree piane 27

1

1 Note

• La dispensa ha la funzione di dare una motivazione pratica ed ingegneristica agli argomenti trattati attraverso la presentazione di figure che mostrino fenomeni vicini

all’argomento delle lezione stesse. Inoltre presenta l’organizzazione (scaletta, riassunto, cosa sapere all’esame. . . ) delle lezioni.

• Il corso di Scienza delle Costruzioni fornisce una preparazione di base, che sara integrata da corsi successivi quali Tecnica delle Costruzioni, Teoria e progetto delle

costruzioni in c.a. e c.a. precompresso, Ingegneria Sismica. . . Questo significa che non tutte le figure rappresentate possono essere completamente comprese alla

fine del corso. Un esempio e dato dalla figura 22, che mostra un pilastro in calcestruzzo armato fratturato per taglio a causa di un evento sismico o dalla figura 45,

che mostra un tubo in alluminio instabilizzato per compressione e deformato con deformazioni di tipo elasto-plastico. Il calcestruzzo armato, la dinamica o il legame

costitutivo elasto-plastico non sono naturalmente argomenti trattati nel corso. Quanto detto sopra implica che sia necessario ascoltare la spiegazione del docente

al riguardo di questa raccolta.

• L’autore ha cercato di fare in modo che non siano rappresentate soltanto strutture di tipo civile (ad esempio, la figura 18 mostra un gancio di gru e la la figura 39

la struttura della fusoliera di un Boeing 747). Inoltre, alcune figure rimandano ad argomenti gia trattati precedentente (ad esempio, la figura 47 mostra un modo

“sperimentale” di determinare il baricentro e la figura 48 il momento d’inerzia visto in termini dinamici, trattazione tipiche dei corsi di Fisica di base).

• Le figure mostrate sono una possibile scelta e sono quasi sempre in numero di quattro per argomento. Certamente alcune di esse possono non essere le piu adeguate:

l’autore cerchera di cambiarle appena ne trovera di migliori e piu rappresentative del fenomeno che si propone di illustrare.

• Guardandosi attorno sara possibile trovare innumerevoli altre applicazioni ed esempi di quanto presentato in queste pagine.

• Come ultimo punto, qualche libro divulgativo:

– J.E. Gordon, Strutture sotto sforzo, Zanichelli (Bologna), 1991

– M. Levy, M. Salvadori, Perche gli edifici cadono, Bompiani (Milano), 1997

– M. Salvadori, Perche gli edifici stanno in piedi, Libri e Grandi Opere (Milano), 1995

e due collegamenti che riguardano software (ludici) per il “collaudo” di ponti:

– http://bridgecontest.usma.edu

– http://www.chroniclogic.com

2

2 Cinematica (dei sistemi di travi)

Obiettivo concettuale Vincolare in maniera efficace una struttura al suolo o vincolare in maniera efficace parti di strutture tra di loro

Obiettivo didattico Determinare le leggi che descrivono i vincoli piani, la cinematica di sistemi di travi e la maldisposizione dei vincoli

Scaletta della lezione • Posizione del problema

• Atto di moto rigido

• Descrizione cinematica dei vincoli (carrello, cerniera, doppio pendolo. . . )

• Applicazione ai sistemi di travi

• Maldisposizione vincolare

• Teoremi sulle catene cinematiche

Esempi di applicazione Esercizi su strutture composte da un solo corpo rigido

Riepilogo Riassunto della lezione

Da sapere all’esame Saper costruire una catena cinematica con i relativi diagrammi degli spostamenti infinitesimi orizzontali e verticali, e saper riconoscere una

struttura labile

Sviluppi Strutture composte da due o piu parti rigide

Supporti Codice (demo) per l’animazione di meccanismi all’indirizzo http://www.softintegration.com/webservices/mechanism

Un libro in piu. . . E. Viola, Esercitazioni di scienza delle costruzioni, Pitagora (Bologna), 1993

3

Figura 1: Carrello esterno del ponte I-35W Mississippi River bridge(http://en.wikipedia.org/wiki/Image:MN-I35-SW-pier.jpg) Figura 2: Cerniera esterna (ponte)

Figura 3: Particolare delle cerniere interne ed esterne dell’Hungerford bridge (Londra) Figura 4: Cerniera interna nel caso di calcstruzzo armato

4

3 Statica (dei sistemi di travi)

3.1 Generale

Obiettivo concettuale Calcolare le forze trasmesse dai vincoli esterni ed interni

Obiettivo didattico Descrivere i vincoli dal punto di vista delle forze trasmesse alla struttura, applicare le equazioni cardinali della statica per trovare le reazioni

esterne ed interne

Scaletta della lezione • Posizione del problema

• Descrizione statica dei vincoli

• Equazioni cardinali della statica

• Equazioni ausiliarie

• Statica grafica

• Applicazione ai sistemi di travi (anche nel caso di maldisposizione vincolare)

Esempi di applicazione Esercizi su strutture aperte e chiuse

Riepilogo Riassunto della lezione

Da sapere all’esame Saper calcolare le reazioni vincolari esterne ed interne di strutture piane isostatiche comunque vincolate. Si tratta di una parte fondamentale

del corso di Scienza delle Costruzioni

Sviluppi Applicazione del teorema dei lavori virtuali al calcolo delle reazioni vincolari

Supporti Codici di calcolo all’indirizzo http://staff.polito.it/fabrizio.barpi/01CFOAX.htm1

Un libro in piu. . . M. Bertero, S. Grasso, Esercizi di scienza delle costruzioni, Levrotto e Bella (Torino), 1981

1L’indirizzo del sito sui cui si trovano i codici e: http://130.192.29.35:8080/examples/jsp/index.html. Poiche questo indirizzo puo subire variazioni, verra indicata nel seguito la pagina dalla quale collegarsi che conterrail link aggiornato.

5

Figura 5: Trave caricata in varie posizioni con indicazione delle forze che gravano suidue appoggi (http://www.fas.harvard.edu/~scidemos/index.html)

Figura 6: Equilibrio di una carrucola(http://en.wikipedia.org/wiki/Mechanical_advantage)

Figura 7: Equilibrio di una leva (http://en.wikipedia.org/wiki/Lever)Figura 8: Equilibrio di un blocco appoggiato un piano inclinato

(http://www.fas.harvard.edu/~scidemos/index.html)6

3.2 Travi reticolari isostatiche

Figura 9: Ponte di tipo reticolare (http://en.wikipedia.org/wiki/Truss)Figura 10: Particolare copertura aerostazione di Malpensa 2000

(http://www.vestrut.it)

Obiettivo concettuale Saper calcolare gli sforzi nelle aste per dimensionare e/o verificare strutture composte da aste tese o compresse

Obiettivo didattico Esaminare strutture soggette a soli sforzi di compressione o trazione

Scaletta della lezione • Posizione del problema

• Metodi di soluzione (Ritter, equilibrio dei nodi. . . )

Esempi di applicazione Esercizi su strutture isostatiche

Riepilogo Riassunto della lezione

Da sapere all’esame Saper calcolare gli sforzi normali di una struttura reticolare piana isostatica

Sviluppi Cenni sul calcolo automatico

Supporti Codici di calcolo agli indirizzi http://www.jhu.edu/virtlab/bridge/truss.htm,

http://www.civl.port.ac.uk/structures/JavaFE/Fdemo.html, http://www.bridgebuilder-game.com/ e

http://bridgecontest.usma.edu/

Un libro in piu. . . M. Bertero, S. Grasso, Esercizi di scienza delle costruzioni, Levrotto e Bella (Torino), 1981

7

4 Meccanica del continuo

4.1 Analisi della deformazione e della tensione

Figura 11: Prima pagina della pubblicazione di A.L. Cauchy (De la pression ou

tension dans un systeme de points materiels, 1828) in cui si descrive ilconcetto di tensione tuttora in uso(http://math-doc.ujf-grenoble.fr/LiNuM/TM/Gallica/S090200.html) Figura 12: Moto di un fluido (http://en.wikipedia.org/wiki/Solid_mechanics)

Obiettivo concettuale Modellare il comportamento di un materiale continuo (non necessariamente un solido)

Obiettivo didattico Determinare le leggi matematiche che discendono dall’ipotesi di continuita

Scaletta della lezione • Posizione del problema cinematico

• Definizione del tensore della deformazione ε (piccole deformazioni)

• Significato fisico

• Proprieta del tensore della deformazione

• Posizione del problema statico

• Definizione di tensore della tensione σ secondo Cauchy

• Legge tensione-versore normale tn = σ n

• Proprieta del tensore della tensione

• Equazioni indefinite di equilibrio8

Esempi di applicazione Esercizi (rosetta estensimetrica, leggi di trasformazione)

Riepilogo Riassunto della lezione

Da sapere all’esame Tutto. . .

Sviluppi • Cenni sulle equazioni di compatibilita

• Cenni sulle equazioni di Beltrami-Michell

Supporti Cenni sulle deformazioni finite (dispensa all’indirizzo http://staff.polito.it/fabrizio.barpi/01CFOAX.htm, file adFinite.pdf)

Un libro in piu. . . G.E. Mase, Meccanica dei continui, Etas Libri (Milano), 1976

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4.2 Teorema dei lavori virtuali

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Figura 13: Cinematismo e spostamenti (virtuali) per il calcolo della reazionevincolare HC di una struttura isostatica (arco a tre cerniere)

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Figura 14: Deformazione elastica di una mensola incastrata all’estremita. Lospostamento e la rotazione dell’estremita possono essere calcolati con ilteorema dei lavori virtuali

Obiettivo concettuale Calcolare gli spostamenti elastici e di strutture intelaiate a molti gradi di iperstaticita, calcolare le reazioni vincolari di strutture isostatiche

Obiettivo didattico Determinare la relazione tra lavoro virtuale esterno ed interno

Scaletta della lezione • Posizione del problema

• Perche l’aggettivo virtuale?

• Lavoro virtuale esterno e interno per i corpi deformabili

Esempi di applicazione Quattro modi di applicazione (calcolo reazioni vincolari strutture isostatiche, calcolo spostamenti generalizzati, meccanismi. . . )

Riepilogo Riassunto della lezione

Da sapere all’esame Saper scrivere il lavoro virtuale esterno e interno e saper applicare il teorema

Sviluppi • Cenni sulle linee di influenza

• Cenni sulla scrittura del lavoro interno ed esterno nel caso di grandi spostamenti (tensori di Piola-Kirchhoff)

• Cenni sul principio di conservazione dell’energia

Supporti Dispensa all’indirizzo http://staff.polito.it/fabrizio.barpi/01CFOAX.htm (file adTLV.pdf)

Un libro in piu. . . R. Baldacci, Scienza delle Costruzioni, UTET (Torino), 1970-76

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4.3 Cerchi di Mohr

Figura 15: Rosette estensimetriche disposte a 0◦, 45◦ e 90◦ (http://www.omega.com) Figura 16: Tubi a saldatura elicoidale in acciao inox (http://www.fimapsnc.it)

Obiettivo concettuale Determinare le tensioni su una giacitura qualsiasi nel caso di stato tensionale piano

Obiettivo didattico Interpretare graficamente la legge di trasformazione del tensore della tensione (identica a quella della deformazione e dei momenti d’inerzia)

Scaletta della lezione • Posizione del problema

• Determinazione dei coseni direttori e relative circonferenze

• Interpretazione grafica

Esempi di applicazione Esercizi (palo della seggiovia, travi incollate, chiodate. . . )

Riepilogo Riassunto della lezione

Da sapere all’esame Saper costruire il cerchio di Mohr a partire da uno stato tensionale piano qualsiasi (con attenzione alle convenzioni di segno!)

Sviluppi Caso generale (stato tensionale qualsiasi, non necessariamente piano)

Supporti • Dispensa all’indirizzo http://staff.polito.it/fabrizio.barpi/01CFOAX.htm (file adCerchi.pdf)

• Codici di calcolo agli indirizzi http://staff.polito.it/fabrizio.barpi/01CFOAX.htm, http://www.aoe.vt.edu/~jing/MohrCircle.html e

http://www.efunda.com

Un libro in piu. . . G.E. Mase, Meccanica dei continui, Etas Libri (Milano), 1976

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4.4 Elasticita e elasticita lineare

Figura 17: Esempio di “materiale” con coefficiente di Poisson ν negativo, cioe taleda espandersi quando sollecitato da uno sforzo di trazione(http://bradley.bradley.edu/~campbell/deanmain.html) Figura 18: Analisi fotoelastica di un gancio di gru (http://experimentalstress.com)

Obiettivo concettuale Delimitare una classe di materiali che possa essere studiata con un legame costitutivo “semplice ”

Obiettivo didattico Descrivere un particolare legame costitutivo di proporzionalita tra tensioni e deformazioni (Ut tensio, sic vis – R. Hooke)

Scaletta della lezione • Posizione del problema

• Potenziali elastici (Φ, Ψ)

• Legame elastico lineare (σ = H ε)

• Significato fisico del modulo elastico E, del coefficiente di Poisson ν e del modulo di elasticita tangenziale G

Esempi di applicazione Esercizi

Riepilogo Riassunto della lezione

Da sapere all’esame Tutto. . .

Sviluppi Cenni sul legame elastoplastico (evidenze sperimentali)

Supporti Dispensa all’indirizzo http://staff.polito.it/fabrizio.barpi/01CFOAX.htm (file adElast.pdf)

Un libro in piu. . . G.E. Mase, Meccanica dei continui, Etas Libri (Milano), 1976

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5 Problema di De Saint Venant

5.1 Flessione (retta, deviata, presso-tensoflessione)

Figura 19: Esempio di travi inflesse: stazione di rifornimento Fiat Tagliero adAsmara (1938); le due pensline (a sbalzo) richiamano la forma delle ali diun aereo (http://wikimapia.org)

Figura 20: Esempio di flessione deviata: arcareccio in legno(http://www.kaufmannitalia.com)

Obiettivo concettuale Saper dimensionare e/o verificare un elemento presso/tenso inflesso

Obiettivo didattico Modellare una trave inflessa (alla Navier)

Scaletta della lezione • Posizione del problema

• Statica di una porzione di trave

• Conservazione delle sezioni piane e curvatura

• Sistema di riferimento principale e non

Esempi di applicazione Esercizi sulla presso/tenso flessione retta e deviata; dimensionamento di una semplice struttura

Riepilogo Riassunto della lezione

Da sapere all’esame Tutto, in particolar modo gli esercizi. Si tratta di una parte fondamentale del corso di Scienza delle Costruzioni

Sviluppi • Nocciolo d’inerzia

• Sezione parzializzata (materiali non resistenti a trazione)

Supporti • Formulari all’indirizzo http://staff.polito.it/fabrizio.barpi/01CFOAX.htm (file adStatiTens.pdf, adBeltr.pdf e adDeSaintVenant.pdf)

• Codice di calcolo all’indirizzo http://staff.polito.it/fabrizio.barpi/01CFOAX.htm

Un libro in piu. . . • E. Viola, Esercitazioni di scienza delle costruzioni, Pitagora (Bologna), 1993

• F.P. Beer, E.R. Johnston, J.T. DeWolf, Meccanica dei solidi, Mc Graw-Hill, 2002

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5.2 Taglio retto e deviato – formula approssimata (Jourawsky)

Obiettivo concettuale Saper dimensionare e/o verificare elementi soggetti a sforzi taglianti (travi, giunzioni bullonate, travi composte in legno, travi composte

acciaio-calcestruzzo, ponti. . . )

Obiettivo didattico Determinare una formula approssimata per il calcolo delle tensioni tangenziali nell’ambito delle ipotesi del solido di De Saint Venant

Scaletta della lezione • Posizione del problema

• Equlibrio di una porzione opportuna di trave

• Lavoro di deformazione e fattore di taglio

Esempi di applicazione Esercizi su giunzioni bullonate e su sezioni di forma varia

Riepilogo Riassunto della lezione

Da sapere all’esame Tutto, in particolar modo gli esercizi. Si tratta di una parte fondamentale del corso di Scienza delle Costruzioni

Sviluppi Travi ad altezza variabile e taglio efficace T ∗

Supporti Formulario all’indirizzo http://staff.polito.it/fabrizio.barpi/01CFOAX.htm (file adStatiTens.pdf)

Un libro in piu. . . • E. Viola, Esercitazioni di scienza delle costruzioni, Pitagora (Bologna), 1993

• F.P. Beer, E.R. Johnston, J.T. DeWolf, Meccanica dei solidi, Mc Graw-Hill, 2002

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Figura 21: Esempio di giunzione chiodata: sezione del Britannia Bridge(http://en.wikipedia.org/wiki/Britannia_Bridge)

Figura 22: Pilastro in calcestruzzo armato fortemente danneggiato a causa dellosforzo di taglio (http://www.arch.virginia.edu/~km6e/arch324/)

Figura 23: Esempio di taglio retto: collegamento bullonato trave-pilastro in acciaio(http://dicata.ing.unibs.it/gelfi)

Figura 24: Giunto per strutture in legno a piastra testato in laboratorio(http://www.tecnologos.it/Articoli/articoli/numero_005/08giunzioni.asp

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5.3 Torsione

Obiettivo concettuale Saper dimensionare e/o verificare elementi soggetti a sforzi di torsione (giunzioni bullonate, travi composte in legno, travi a cassone, ponti. . . )

Obiettivo didattico Determinare le tensioni indotte dal momento torcente (soluzioni esatte ed approssimate)

Scaletta della lezione • Posizione del problema

• Problemi di Neumann e Dirichlet, funzione di Prandtl

• Sezione ellittica, triangolare, rettangolare e ingobbamento

• Sezioni sottili aperte

• Sezioni sottili chiuse (formula di Bredt)

Esempi di applicazione Esercizi

Riepilogo Riassunto della lezione

Da sapere all’esame Tutto, in particolar modo gli esercizi. Si tratta di una parte fondamentale del corso di Scienza delle Costruzioni

Sviluppi Sezioni a cassone pluriconnesse (vedi figura 26)

Supporti Formulario all’indirizzo http://staff.polito.it/fabrizio.barpi/01CFOAX.htm (file adStatiTens.pdf)

Un libro in piu. . . • E. Viola, Esercitazioni di scienza delle costruzioni, Pitagora (Bologna), 1993

• F.P. Beer, E.R. Johnston, J.T. DeWolf, Meccanica dei solidi, Mc Graw-Hill, 2002

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Figura 25: Esempio di torsione: bullone avvitato(http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/torq2.html#tc)

Figura 26: Esempio di torsione: ponte a cassone con sezione pluriconnessa –Newbaybridge, California (http://www.newbaybridge.org)

Figura 27: Gessetto rotto a torsione: si nota la superficie di frattura inclinata dicirca 45◦

Figura 28: Bilancia di Cavendish, usata per misurare la densita media della Terra(http://www.fas.harvard.edu/~scidemos/index.html)

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5.4 Centro di taglio

Obiettivo concettuale Spiegare il comportamento di una trave inflessa (mensola?) con carico eccentrico

Obiettivo didattico Determinare la posizione della risultante delle tensioni tangenziali

Scaletta della lezione • Posizione del problema

• Risultante delle tensioni tangenziali

• Esame delle figure 29, 30 31 e 32

Esempi di applicazione Centro di taglio della sezione a C, a L e a Z

Riepilogo Riassunto della lezione

Da sapere all’esame Saper determinare il centro di taglio di una sezione sottile (quantitativamente e qualitativamente)

Sviluppi Definizioni alternative (Cicala, Reissner. . . )

Supporti Eventuale visita al laboratorio del Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica di Torino

Un libro in piu. . . –

18

Figura 29: Trave con sezione a C: carico a destra del centro di taglio (Laboratoriodel Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica, Politecnico diTorino)

Figura 30: Trave con sezione a C: carico in prossimita del centro di taglio(Laboratorio del Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica,Politecnico di Torino)

Figura 31: Trave con sezione a C: carico a sinistra del centro di taglio (Laboratoriodel Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica, Politecnico diTorino)

Figura 32: Trave con sezione a C: carico in prossimita del baricentro (Laboratorio delDipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica, Politecnico diTorino)

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6 Criteri di resistenza

Obiettivo concettuale Confrontare le tensioni calcolate con la resistenza del materiale

Obiettivo didattico Determinare una grandezza (tensione ideale, σid) da confrontare con il risultato di una prova monoassiale di laboratorio σP (figure 33 e 34)

Scaletta della lezione • Posizione del problema

• Criteri di Galileo, Tresca (figura 35), Beltrami e von Mises

• Confronto con i dati sperimentali (ad es., P.W. Bridgman, http://prola.aps.org/)

Esempi di applicazione Esercizi vari

Riepilogo Riassunto della lezione

Da sapere all’esame Tutto. . .

Sviluppi Cenni sui modelli in scala (figura 36)

Supporti Eventuale visita al laboratorio del Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica di Torino

Un libro in piu. . . –

20

Figura 33: Prova di trazione su una barra di acciaio da armatura (Laboratorio delDipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica, Politecnico diTorino)

Figura 34: Prova di compressione su un cubo di calcestruzzo (Laboratorio delDipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica, Politecnico diTorino)

Figura 35: Criterio di Tresca rappresentato nello spazio delle tre tensioni principali(http://en.wikipedia.org/wiki/Yield_surface)

Figura 36: Prova su un modello di diga a gravita in scala 1:40 (modello alto 2.4m,diga reale alta 96m). Il peso proprio deve essere scalato nello stessorapporto (cortesia di ISMES, Bergamo)

21

7 Teoria della trave

Obiettivo concettuale Dedurre un modello di comportamento di un elemento inflesso (trave) descritto sulla base della linea d’asse (e poco piu), aggirando le difficolta

di una teoria tridimensionale

Obiettivo didattico Costruire un modello semplice di comportamento di un elemento inflesso piano

Scaletta della lezione • Posizione del problema

• Cinematica

• Statica

• Teorema dei lavori virtuali

• Legge costitutiva elastica

• Equazione della linea elastica

Esempi di applicazione Esercizi sulle caratteristiche della sollecitazione e sulla linea elastica

Riepilogo Riassunto della lezione

Da sapere all’esame Tutto, con particolare attenzione all’integrazione dell’equazione della linea elastica

Sviluppi Soluzione di strutture iperstatiche

Supporti –

Un libro in piu. . . R. Baldacci, Scienza delle Costruzioni, UTET (Torino), 1970-76

22

Figura 37: Travi in alluminio della Struttura RAI di Milano(http://www.wondertruss.com)

Figura 38: Travi in legno lamellare della copertura di una piscina a Roma(http://www.kaufmannitalia.com)

Figura 39: Dettaglio della fusoliera in alluminio di un Boeing 747(http://en.wikipedia.org/wiki/Fuselage)

Figura 40: Trave reticolare della nuova segreteria studenti della sede di Torino delPolitecnico.2

3

8 Calcolo degli spostamenti generalizzati e strutture iperstatiche

Figura 41: Disegni tecnici del ponte di Padernohttp://digilander.libero.it/paolosala/JSBJ/foto_D.htm

Figura 42: Passerella pedonale – Columbus Ohio, USA(http://www.archistructures.org)

Obiettivo concettuale Risolvere strutture intelaiate

Obiettivo didattico Risolvere strutture a molti gradi di iperstaticita

Scaletta della lezione • Posizione del problema

• Applicazione del teorema dei lavori virtuali

• Equazioni di Muller-Breslau

Esempi di applicazione Esercizi sulle strutture iperstatiche

Riepilogo Riassunto della lezione

Da sapere all’esame Saper risolvere una struttura n-volte iperstatica. Questa parte e fondamentale per superare l’esame scritto

Sviluppi • Strutture reticolari iperstatiche

• Strutture esternamente isostatiche e internamente iperstatiche (struttura a forma di “P”) e esternamente ed internamente iperstatiche

(struttura a forma di “A”)

Supporti Codici di calcolo agli indirizzi http://staff.polito.it/fabrizio.barpi/01CFOAX.htm e

http://www.civl.port.ac.uk/structures/JavaFE/Fdemo.html

Un libro in piu. . . M. Bertero, S. Grasso, Esercizi di scienza delle costruzioni, Levrotto e Bella (Torino), 1981

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9 Instabilita dell’equilibrio

Obiettivo concettuale Spiegare il cambiamento di comportamento di strutture snelle rispetto a quelle tozze

Obiettivo didattico Modellare il comportamento di strutture snelle

Scaletta della lezione • Posizione del problema

• Esempi ad elasticita concentrata

• Esempi ad elasticita diffusa

• Esperimenti

Esempi di applicazione Esercizi

Riepilogo Riassunto della lezione

Da sapere all’esame Tutto. . . ; in particolar modo la trattazione del carico critico di un’asta ad elasticita diffusa compressa (carico di Eulero) in corrispondenza di

diverse condizioni di vincolo

Sviluppi Cenni alla formula della secante

Supporti Lavagna attrezzata

Un libro in piu. . . J. Singer, J. Arbocz, T. Weller, Buckling experiments: experimental methods in buckling of thin-walled structures, Chichester, Wiley, 1998-2002

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Figura 43: Colonne della metropolitana di New York (http://www.nycsubway.org)Figura 44: Instabilita flesso-torsionale del corrente superiore di una capriata in

acciaio (http://www.hsh.info)

Figura 45: Imbozzamento di un cilindro di alluminio soggetto a compressione(cortesia del prof. F. Algostino, Dipartimento di Ingegneria Strutturale eGeotecnica, Politecnico di Torino)

Figura 46: Colonne compresse con diverse condizioni di vincolo alle estremita(http://en.wikipedia.org/wiki/Buckling)

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10 Proprieta geometriche di aree piane

Figura 47: Determinazione sperimentale del centro di massa(http://www.fas.harvard.edu/~scidemos/index.html)

Figura 48: Nuotatori che minimizzano il loro momento d’inerzia(http://en.wikipedia.org/wiki/Moment_of_inertia)

Obiettivo concettuale Trattare le proprieta geomeriche delle aree piane (baricentro, momenti d’inerzia. . . ) che compaiono nel problema di De Saint Venant

Obiettivo didattico Calcolare baricentro e momenti d’inerzia di una distribuzione di aree

Scaletta della lezione • Posizione del problema

• Area, momenti statici, baricentro, momenti d’inerzia

• Aree elementari (formulario all’indirizzo http://staff.polito.it/fabrizio.barpi/01CFOAX.htm)

• Leggi di trasformazione

Esempi di applicazione Esercizi sulle sezioni piene e sottili

Riepilogo Riassunto della lezione

Da sapere all’esame Saper calcolare momenti statici, baricentro e momenti d’inerzia di una distribuzione di aree qualsiasi. E una parte propedeutica al problema di

De Saint Venant

Sviluppi Cerchi di Mohr per i momenti d’inerzia

Supporti • Formulari all’indirizzo http://staff.polito.it/fabrizio.barpi/01CFOAX.htm (files adGeomAree.pdf, adTab1.pdf e adTab2.pdf)

• Codici di calcolo all’indirizzo http://staff.polito.it/fabrizio.barpi/01CFOAX.htm

Un libro in piu. . . A. Carpinteri, La geometria delle masse, Pitagora (Bologna), 1983

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