Fondamenti di Automatica

Modellistica dei sistemi dinamicia tempo discreto

Sistemi dinamici a tempo discreto

I sistemi dinamici a tempo discreto sono sistemi in cui tutte le grandezze variabili sono funzioni della variabile indipendente temporale k che è intera.I sistemi dinamici a T.D. sono descritti dalle seguenti equazioni di stato ed equazioni d’uscita:

2

))(),(,()())(),(,()1(

kukxkgkykukxkfkx

ll

ii

==+

Modellistica di sistemi dinamici a T.D.

Sistemi dinamici a classi di etàEsempio #1: parco macchineEsempio #2: popolazione studentesca

Sistemi dinamici a dati campionati

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“Sistemi dinamici a classi di età”

Sistemi dinamici a tempo discreto

Sistemi dinamici a classi di età

I modelli a classi di età sono utilizzati per studiare l’evoluzione temporale di determinate “classi di popolazione” in periodi di tempo fissati.In questi sistemi, la componente i-esima dello stato rappresenta la numerosità della popolazione della classe i nel periodo k considerato.L’evoluzione di ogni classe considerata dal periodo kal successivo periodo k+1 avviene tenendo conto:- del tasso di mortalità ( ) e- del tasso di sopravvivenza( )

(k)xi

110 ≤−≤ iγ

10 ≤≤ iγ

5

rappresenta il numero di macchine nel parco nell’anno k aventi “età i”, ovvero aventi etàcompresa fra i-1 anni e i anni.

rappresenta il numero di macchine nuove che vengono acquistate nell’anno k

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Esempio #1: Parco macchine (1/7)

(k)xi

ikxetài i ≤≤− )}({1

u(k)

Esempio #1: Ipotesi semplificative (2/7)

Non vengono acquistate auto usate. Quindi, il sistema ha un unico ingresso, dato dal numero di auto nuove comprate .

Non si conservano auto più vecchie di 3 anni.

Il tasso di mortalità è in generale diverso per le varie classi, ma è costante nel tempo.

7

iγ

u(k)

Esempio #1: Eqz di stato (3/7)

Primo anno:

Secondo anno:

Terzo anno:

8

)()1(1 kukx =+

)()1()()()1( 111112 kxkxkxkx γγ −=−=+

)()1()()()1( 222223 kxkxkxkx γγ −=−=+

Esempio #1: Eqz di uscita (4/7)

Si desidera conoscere:

1. Il numero totale di auto presenti nel parco nell’anno k

2. Il costo totale di assicurazione del parco auto

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Esempio #1: Eqz di uscita (5/7)

Il numero totale di auto presenti nel parco nell’anno k è dato dalla somma delle auto delle tre diverse classi presenti nel parco.

Il costo totale di assicurazione è dato dalla somma di tutti i costi di assicurazione annuali nel parco.

in cui è il costo di assicurazione di ogni auto delle classi di età i.

10

)()()()( 3211 kxkxkxky ++=

)()()()( 3322112 kxckxckxcky ++=

ic

Esempio #1: Conclusione (6/7)

Si ricava così un sistema dinamico, a tempo discreto, a dimensione finita, lineare, invariante nel tempo, proprio, rappresentabile nella forma delle variabili di stato:

11

)()()()()()1(

kDukCxkykBukAxkx

+=+=+

Esempio #1: Conclusione (7/7)

Con le seguenti matrici:

12

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

010001000

2

1

γγA

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

001

B

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

321

111ccc

C [ ]0=D

Esempio #2: Popolazione universitaria (1/7)

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Si vuole ricavare un modello matematico che permetta di descrivere la popolazione universitaria di un corso di laurea di I livello.

rappresenta il numero di allievi che al tempo k(inteso come anno accademico, a.a.) appartengono alla classe i-esima (inteso come anno di studio).

(k)xi

Esempio #2: Ipotesi semplificative (2/7)

Gli allievi non abbandonano l’università prima di averla terminata. Non esistono allievi provenienti da altre universitàche si inscrivono direttamente al secondo e al terzo anno. In questo modo l’unico ingresso èrappresentato dalle matricole, che fanno domanda di preimmatricolazione un anno prima.La percentuale di bocciati è in generale diversa per le varie classi, ma è costante nel tempo.

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iγ

Esempio #2: Altre considerazioni (3/7)

Si indichi con k l’anno accademico attuale.

Per la seconda ipotesi, rappresenta il numero di allievi che si iscrivono all’università facendo domanda di preimmatricolazione nell’ a. a. k e che quindi frequenteranno effettivamente il primo anno universitario nell’ a. a. k+1.

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u(k)

Esempio #2: Eqz di stato (4/7)

Primo anno:

Secondo anno:

Terzo anno:

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)()()1( 111 kukxkx +=+ γ

)()()1()1( 22112 kxkxkx γγ +−=+

)()()1()1( 33223 kxkxkx γγ +−=+

Esempio #2: Eqz di uscita (5/7)

Interessa conoscere il numero degli studenti che si diplomano al termine dei 3 anni di studio.

La relazione di uscita è così rappresentata dal prodotto del tasso di sopravvivenza al terzo anno per il numero di allievi del terzo anno:

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)()1()( 33 kxky γ−=

Esempio #2: Conclusione (6/7)

Si ricava così un sistema dinamico, a tempo discreto, a dimensione finita, lineare, invariante nel tempo, proprio, rappresentabile nella forma delle variabili di stato:

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)()()()()()1(

kDukCxkykBukAxkx

+=+=+

Esempio #2: Conclusione (7/7)

Con le seguenti matrici:

19

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

32

21

1

100100

γγγγ

γA

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

001

B

[ ]3100 γ−=C [ ]0=D

“Sistemi dinamici a dati campionati”

Sistemi dinamici a tempo discreto

Sistemi dinamici a dati campionati

Per i sistemi dinamici a dati campionati l’ingresso discreto viene ricostruito attraverso un convertitore D/A. Successivamente il segnale viene elaborato dal sistema dinamico a T.C. che fornisce l’uscita . Infine, quest’ultima viene discretizzata nel segnale .

D/A A/D

Sistema dinamico a T.C.

)(ku )(tu )(ty )(ky

u(k)u(t)

y(t)y(k)

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Discretizzazione(1/4)

Per i sistemi a dati campionati è importante capire come avviene il processo di discretizzazione di un sistema a tempo continuo.Discretizzare vuol dire convertire un modello a tempo continuo in un modello a tempo discreto.Il processo di discretizzazione avviene attraverso un convertitore A/D che fa da campionatore con un passo di campionamento .

22

sT

Discretizzazione(2/4)

La discretizzazione di un sistema a tempo continuo corrisponde a studiare l’evoluzione degli stati valutati negli istanti di campionamento.Quindi, nel processo di discretizzazione partiamo dalle matrici A,B,C,D del sistema a tempo continuo per arrivare a trovare le matrici , , , di un sistema a tempo discreto.

con 23

dA dB dC dD

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=+=

)()()()()()(

.

tDutxCtytButAxtx

sTik ⋅=

⎩⎨⎧

+=+=+

)()()()()()1(

kuDkxCkykuBkxAkx

dd

dd

Discretizzazione (3/4)

Si ipotizza che l’ingresso sia costante tra un istante di campionamento e l’altro.

costante per Si consideri la formula di Lagrange:

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u(t)

∫ −−− +=t

ttAttA dBuetxetxt0

)(0

)( )()()( 00 τττ

ss TiTi ⋅+≤≤⋅ )1(τ

kTit s =⋅=0

11 +=⋅+= kT)(it s

x(k))Tx(i)x(t s =⋅=0

=)(τu )Tu(i s⋅=

Discretizzazione (4/4)

Si ottiene:

quindi:

Poiché il legame con l’uscita dello stato e dell’ingresso è di tipo statico, si ha:

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sATd eA = ∫ −⋅=

s

s

TTA

d deBB0

)( ττ

)()()1(0

)( kBudekxekxs

ss

TTAAT

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+ ∫ − ττ

CCd = DDd =

Conclusione

L’analisi del processo di discretizzazione verràripreso e approfondito nel corso di ‘Controlli Automatici’ attraverso lo studio di alcune tecniche per la discretizzazione del controllore.

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