Corso di Laurea in MatematicaAnalisi Matematica UNO

Foglio di esercizi 8 - Integrali

F Gli esercizi contrassegnati con questo simbolo potranno essere consegnati per la correzione.

Es. 1. Calcolare i seguenti integrali indefiniti immediati e per sostituzione:

(a)

(7 2x)3 dx

(b)

2

(3 5x)6 dx

(c) F

3

1 + 9x2dx

(d)

1

1 4x2 dx

(e)

1 + sin x

(x cos x)3 dx

(f) Fex exex + ex

dx

(g)

sin10 x cos3 x dx

(h)

sin4(3x) cos2(3x) dx

(i)

cos(3x) cos(5x) dx

(j) F

sin(1x)x

dx

(k)

cos x

1 + sin2 xdx

(l)

sin(log x)

xdx

(m)

3

1x3

x4dx

(n)

log x

x

4 + 3 log2 xdx

(o) F

e2xex 1 dx

(p)

2 + 5x

5x2

dx

Es. 2. Calcolare i seguenti integrali ricordando il metodo dintegrazione per parti:

(a)

x2e3x dx

(b)

x3 log x dx

(c)

x3 sin x dx

(d)

cos2 x dx

(e) Fe2x sin x dx

(f)

log2 x dx

(g)

x arctan(1 + x) dx

(h) F

arccosx dx

(i)

x log 2x dx

(j) F(x+ 1) log(x+ 2) dx

(k)

cos(log x) dx

(l)

x3 log(x+ 1) dx

(m)

log

5

1 + x2 dx

Es. 3. Calcolare i seguenti integrali ricordando il metodo della decomposizione in frazioni parziali:

(a)

2x2 1

x3 2x2 + x 2 dx

(b) F

x2

x+ 1dx

(c) F

x+ 1

x3 1 dx

(d)

x2 2x

(2x 1)(x2 + 1) dx

(e)

5x2 + 11x 2

(x+ 5)(x2 + 9)dx

(f)

x3 + x+ 1

x4 + x2dx

(g)

1

(x2 1)2 dx

(h)

1

(x2 1)3 dx

Es. 4. Calcolare le formule ricorrenti per i seguenti integrali:

In =

sinn x dx Jn =

xnex dx.

Calcolare quindi I5 e J4.

Es. 5. F Scrivere lo sviluppo di Mc Laurin allordine 4 della generica primitiva di

f(x) =2 + ex

3 + x3.

Es. 6. Scrivere lo sviluppo di Mc Laurin allordine 9 della primitiva di f(x) = cos(2x2) che si annullain x = 0.

1

Es. 7. Scrivere lo sviluppo di Mc Laurin allordine 3 della funzione f(x) = G(x) arctanx, dove G(x)

e` la primitiva di g(x) = ex2

che si annulla in x = 0.

Es. 8. Calcolare i seguenti integrali utilizzando sostituzioni opportune:

(a)

dx

x( 4x 1)

(b)

dx

ex + ex

(c)

dx

1 + sinx

(d)

dx

1 + cos x

(e)

dx

1 + tanx

(f)

x

1 x2 earcsin x dx

(g)

dx

(1 x)1 + x

(h)

ex 1 dx

(i)

dx

3 + 2 cosx+ sinx

(j)

1 x2 dx

(k)

x2 + 1 dx

(l)

x2 1 dx

(m)

x+ 1x2 + 1

dx

(n) F

x2 6x+ 7 dx

(o)

x2 2x+ 2 dx

Es. 9. Calcolare i seguenti integrali (M() indica la funzione mantissa):

(a)

160

3

1 + 4x

xdx

(b)

pi/40

dx

cosx+ cos3 x

(c)

321/2

M(x3) dx

(d) F 22|x4 1| dx

(e)

20

ex max{1, x2} dx

(f)

21

dxx+ 3x

(g)

pi/20

1 sinx1 + cosx

dx

(h)

23pi

pi2

dx

2 sinx+ cosx 1

(i)

12

ex + 1

ex 1 dx

(j) F 20

e2x

4ex + 1

dx

(k)

21

arctanx

(1 + x)3dx

Es. 10. Calcolare dx

(x 1)x2 3x+ 2tramite la sostituzione

x2 3x+ 2 = t(x1) (questa sostituzione, che prende il nome di sostituzione

di Eulero e` alternativa a quella vista nellesercizio 4.l).

Es. 11. Sia f(x) = xe|x|. Calcolare 11f(x)dx,

11|f(x)|dx.

Es. 12. Calcolare larea dei seguenti sottonsiemi di R2:

(a) regione limitata dallasse x, dal grafico di f(x) = ex sinx, e dalle rette x = 0, x = 2pi

(b) regione compresa tra le curve y = ex e y = 1 + e x2, con x [0, 3].

(c) F A ={

(x, y) R2 : 1 x 6, 0 y 1x(9 log2 x)

}.

(d) regione di piano delimitata dalle curve f(x) = x2 2x, g(x) = x2 + x.(e) F regione limitata del piano delimitata dalla parabola di equazione y = x(1 x) e dalla retta

di equazione y = x2

.

(f) A ={

(x, y) R2 : x > 0, 0 < y < 6, y < |x2 3|}.Es. 13. Determinare a 0 in modo tale che la media integrale della funzione

f(x) =8

(|x|+ 2)2

sullintervallo [a 1, a+ 1] valga 1.Es. 14. Sia g(x) = (1+x2)e|x+1|. Determinare G : R R, primitiva di g che soddisfa lim

x+G(x) =

3.

2

Es. 15. F Sia g(x) = | cosx|. Determinare G : R R primitiva di g che si annulla in 0.Es. 16. Sia

f(x) =

|x| x < 1

1

4 + x2+ x 1.

Determinare in modo che f ammetta primitiva in R e, per tale valore di , calcolare la primitiva dif che si annulla in x = 0.

Es. 17. Calcolare

In =

21

nx(x2 + 1n

)n dxper ogni n N \ {0}, e dire quanto vale lim

n In.

Es. 18. Sia f : R R una funzione continua di periodo T . Sia F una primitiva di f . Determinarea R in modo che G(x) = F (x) ax sia periodica di periodo T .Es. 19. Sia data la funzione f : (0, 1) R definita da

f(x) = n(n 1)(x 1

n+ 1

)per x

[1

n+ 1,

1

n

), n = 1, 2, 3, . . .

Disegnare un grafico qualitativo di f e stabilire se f e` integrabile sullintervallo [0, 1].

Es. 20. Calcolare i seguenti limiti:

(a) limk+

2k pi/20

xekx2

dx

(b) limk+

2k pi/20

ekx2

sinx dx

Alcuni esercizi di approfondimento

Es. 21. Sia f : [0,+) R una funzione continua, di classe C1 in (0,+) e strettamente crescente,e supponiamo f(0) = 0.

(a) Dimostrare la disuguaglianza di Young : per ogni a, b > 0, con

b < supx[0,+)

f(x)

si ha

ab a0

f(t) dt+

b0

f1(s) ds.

(Suggerimento. Utilizzare opportune sostituzioni; puo` essere utile distinguere i casi b f(a) eb > f(a)).

(b) Tramite il punto precedente dimostrare che per ogni a, b > 0 e per ogni p > 1 si ha

ab ap

p+bq

q,

dove q e` detto esponente coniugato di p ed e` definito dalla relazione1

p+

1

q= 1.

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