1

FISICA-TECNICA

Trasmissione del calore

Katia Gallucci

2

Fenomeni di trasporto

� I fenomeni fisici di trasporto di calore e di massa sono molto frequenti e importanti nella vita di tutti i giorni e in gran parte delle tecnologie.

� Dalla pentola sul fuoco al controllo della temperatura e dell’umidità relativa dell’aria per vivere piùconfortevolmente, dal principio di funzionamento di un forno al flusso di acqua in una tubazione, dall’essiccazione alla surgelazione di un prodotto: tutti questi processi si basano su flussi di calore o di massa.

� Conoscerli significa imparare a governarli.� Il calore è una forma di energia in transito.� Ricordiamo che in fisica si definisce energia l’attitudine

di un sistema fisico a compiere del lavoro.

3

Esperienza di Joule

� Per dimostrarlo eseguiamo l’esperienza di Joule.� Prendiamo un recipiente munito di agitatore, contenente

acqua e con le pareti tali da non consentire alcuno scambio di calore con l'esterno (ossia adiabatiche).

Se si lascia scendere il peso dalla posizione Aa quella B, esso, essendo collegato per mezzo del filo e delle carrucole al mulinello, fa girare questo ultimo e il lavoro compiuto vale:L = F(h0-h1) = F∆h Consideriamo ora il sistema “recipiente”.Né l'energia potenziale (la quota del recipiente non cambia), né l'energia cinetica (l'acqua torna in quiete dopo l'agitazione) hanno subito variazioni.Per cui si dovrebbe avere: L=∆E+∆K=0

4

� L’apparente contraddizione si risolve osservando che, alla fine dell’agitazione, il termometro segna la temperatura t1 maggiore di quella iniziale to.

� Ciò significa che il sistema ha assorbito l’energia corrispondente al lavoro compiuto dal peso.

� Chiameremo questa forma di energia:energia interna U.

� Per tenere conto anche della variazione di quest’ultima, l’equazione del lavoro va quindi modificata come segue:

L=∆U+∆K+∆E

5

� Ripetendo questa esperienza più volte, cambiando la massa d’acqua contenuta nel recipiente e l'entità del lavoro compiuto, e misurando la temperatura T

dell'acqua prima e dopo ogni esperienza, si nota che esiste una proporzionalità tra massa, lavoro e variazione di temperatura; ossia che vale l'espressione :

L= ∆U = cM∆T

dove la costante c è il calore specifico a pressione costante.

� Ma anche questa espressione non è in grado di descrivere tutte le situazioni che si possono verificare.

6

� Si consideri un sistema chiuso, ma che non scambi nécalore né lavoro con l'esterno, suddiviso internamente in due sub-sistemi A e B, contenenti ciascuno la stessa massa d'acqua M rispettivamente alle temperature t1 e t2, con t1>t2

Al passare del tempo la temperaturadel subsistema A continua a diminuire e quella del subsistemaB ad aumentare, sino a quandole due temperature, tendendo naturalmente allo equilibrio, diventano uguali tra di loro (tf).

7

� Poiché non è possibile alcuno scambio di lavoro e di calore con l'esterno, è L=0 e anche ∆U=0. In accordo con queste variazioni di temperatura debbono essere avvenute anche due variazioni di energia interna eguali, ma di segno opposto:

∆U 1=cM(Tf-T1)= -[ ∆U 2]= -[cM(Tf-T2)]

8

� Ad esse non corrispondono variazioni di energia potenziale o cinetica, né alcun lavoro meccanico.

� Quindi, dobbiamo ammettere che vi è stato uno scambio di energia e questa particolare forma di energia si dicecalore e da qui discende la definizione del calore comeenergia in transito.

� Nel nostro caso è Q = ∆U

� Nel caso più generale è possibile scrivere l'espressione:

L+Q= ∆U + ∆K + ∆E

� la somma del lavoro e del calore entrante eguaglia la variazione di energia del sistema.

9

� L'acqua scorre in un fiume perché esiste una differenza

di quota (∆z) tra monte e valle; perché fluisca corrente elettrica in un cavo, bisogna stabilire tra la sezione iniziale e quella finale una differenza di potenziale (∆V); perché fluisca calore attraverso una parete è necessario che le temperature delle sue due facce siano differenti, ossia che vi sia una differenza di temperatura (∆T).

� Queste differenze (di quota, di tensione, di temperatura) provocano, se il comportamento spontaneo della natura non è impedito artificialmente, un flusso (d’acqua, di corrente, di calore) che va nella direzione nella quale la differenza stessa diminuisce (di quota, di tensione, di temperatura).

� Per questo motivo, le differenze sopra citate sono dette “forze motrici” o “driving force”.

10

� Volendo esprimere tutto ciò nel sintetico linguaggio della matematica, si scrive:

Ø=-cost.gradYdove:• Ø è il vettore che rappresenta il flusso della grandezza (massa, corrente, calore)• gradY è il gradiente della funzione scalare Y; rappresenta la variazione della grandezza Y (quota, tensione, temperatura); è un vettore;• cost è una costante di proporzionalità• il segno – (meno) indica che il flusso (ricordiamo che èun vettore) va nel verso in cui gradY diminuisce.

11

� Nel caso del calore, ad esempio, possiamo scrivere:Ø=-cost gradT

dove:•T è la temperatura•cost è un coefficiente che tiene conto della maggiore o minore facilità con la quale, a parità di gradT, ha luogo il trasferimento del calore.

12

� La trasmissione del calore si occupa dello studio dell’insieme di leggi che governano tale passaggio di calore e delle leggi che danno la distribuzione di temperatura all’interno del sistema in funzione dello spazio e del tempo. Fisicamente la trasmissione del calore può avvenire in diversi modi:

� se il sistema è un corpo solido, il flusso avviene per agitazione interna delle molecole, senza alterare macroscopicamente la forma e la struttura del corpo, si parla di conduzione;

� se il sistema è composto anche parzialmente di fluidi, poiché questi possono scorrere, il flusso termico provoca delle differenze di densità e queste, a loro volta, dei moti macroscopici di materia (convettivi) in seno al fluido; si parla in tal caso di convezione;

� se il sistema è composto di corpi distanti l’uno dall’altro, il flusso di energia avviene per irraggiamentoelettromagnetico.

13

� Spesso i tre modi coesistono e gli effetti si sovrappongono. In generale la trasmissione dipende dal punto o dai punti considerati e dal tempo, in quanto la temperatura dei punti considerati può variare nel tempo.

� Se però la situazione dei diversi punti non varia nel tempo, si ha il regime permanente o stazionario.

� Unendo i punti che presentano la stessa temperatura, si ha una linea isoterma: il flusso avviene da una isoterma ad un’altra e perciò le linee di flusso sono perpendicolari alle isoterme.

14

� Una legge fisica è una relazione tra fenomeni e tra grandezze fisiche, che descrive il mondo esterno e i suoi fenomeni in modo oggettivo e comunicabile.

� La legge di Fourier è un buon modello per calcolare la quantità di calore che fluisce per conduzione nella direzione x, nell’unità di tempo, attraverso l’unità di superficie perpendicolare a x di una parete di spessore s.

� Essa è proporzionale alla differenza tra le temperature delle due facce della parete e inversamente proporzionale allo spessore s:

Jean-Baptiste-Joseph Fourier (1822) « La Théorie analytique de la chaleur » in cui si proponeva di costruire la teoria matematica del calore, e di confrontare i risultati ottenuti con prove sperimentali.

15

Conduzione

� É quel processo di trasmissione del calore tra punti a temperatura diversa che avviene senza trasporto di materia. La trattazione generale del fenomeno si basa su di un modello matematico del corpo fisico continuo, uniforme, isotropo e con caratteristiche fisiche invariabili nel tempo e indipendenti dalla temperatura.

� La conduzione è un processo mediante il quale il calore fluisce da una regione a più alta temperatura a un'altra a più bassa temperatura, attraverso un solo mezzo o attraverso più mezzi a stretto contatto tra loro.

16

Postulato di Fourier� La relazione fondamentale per il calcolo del flusso di

calore in caso di conduzione termica pura fu proposta da Joseph Fourier nel 1822:

dove:

• Ø, é la quantità di calore che fluisce nella direzione x nell'unità di tempo

• λ (lambda) è la conducibilità termica, proprietà fisica della materia• A è l'area della superficie normale a x attraverso la quale fluisce il calore

• dT/dx è il gradiente di temperatura nella direzione x.

• - (meno) tiene conto del fatto che il flusso di calore va nel verso in cui diminuisce.

� Nel seguito si adotta per la conducibilità termica il simbolo k utilizzato nella letteratura anglosassone.

17

� Si può meglio apprezzare la proporzionalità diretta, tra la quantità di calore trasferita e l'incremento di temperatura, a parità di spessore x, considerando l'esperienza seguente.

� Si prenda una lastra di spessore x alla temperatura T0; al tempo t=0 si porti istantaneamente la faccia di destra alla temperatura T1 e la si mantenga a tale temperatura.

18

� Al passare del tempo i profili della temperatura all'interno dello strato variano sino a raggiungere, per t grande (ossia a regime permanente), un andamento lineare.

� Si noti che, per "t piccolo" (ossia durante il regime transitorio), T è funzione, oltre che della coordinata x, anche del tempo t. Questo significa che in sistema non è ancora in regime permanente (o stazionario), ossia che il campo di temperature all’interno della lastra non si è ancora stabilizzato. Una volta raggiunta la condizione di regime permanente, per mantenere la differenza di temperatura ∆T= T1-T0 occorre fornire una quantitàcostante di calore Ø nell’unità di tempo; per valori di ∆T non troppo grandi (ossia per T1 poco maggiore di T0, perchéaltrimenti non si potrebbe considerare k indipendente dalla temperatura), si trova che il valore del flusso è dato dalla relazione:

19

� Abbiamo così ritrovato l'equazione di Fourier, espressa in termini finiti invece che differenziali. Si osservi che sino ad ora abbiamo considerato la forma unidimensionale dell’equazione di Fourier; ossia la temperatura T varia solo nella direzione dell'asse delle x: T=T(x). Volendo estendere lo studio al caso di un mezzo isotropo* e nel quale la temperatura vari secondo le tre direzioni x,y e z, ossia con T=T(x,y,z), possiamo scrivere per ogni coordinata:

più sinteticamente:

*Si dice isotropo un mezzo per il quale la conducibilità termica k è costante lungo le tre direzioni x,y,z; questo avviene per la maggioranza dei fluidi e dei solidi omogenei, ma non per materiali fibrosi o laminati, come ad esempio il legno.

20

� Le dimensioni della conducibilità termica si ottengono osservando che è:

dove:

Φ [=] energia su unità di tempo [=] potenzaA [=] superficie

∆T [=] differenza di temperaturaL [=] lunghezza

k [=] [(potenza su superficie) su (differenza di temperatura su

lunghezza)] [=] [flusso su (differenza di temperaturasu lunghezza)]

e quindi:

21

� Essendo ∆T una differenza di temperatura, nulla cambia, sia che la temperatura venga misurata in K (kelvin) o in °C (gradi centigradi).

� Nella pratica k è ancora espresso frequentemente in kcal/mh°C, ma questa unità di misura è solo tollerata a fianco della precedente.

� L'equivalenza tra le due unità è data da:1 W/mK = 0,860 kcal/mh°C1 kcal/mh°C = 1,16 W/mK

22

� La conducibilità è funzione della temperatura; nelle tabelle deve essere scelto il valore più prossimo a quello delle condizioni d’impiego. Essa è anche influenzata dal grado di purezza del materiale; ad esempio, la conducibilità di una lega può essere sensibilmente inferiore a quella dei componenti.

� Nel caso di materiali fibrosi (non isotropi), essa può assumere valori maggiori di 2 ordini di grandezza, secondo che sia considerato un flusso parallelo o perpendicolare alle fibre.

� La presenza di celle contenenti aria o gas può far sì che il calore non venga trasmesso solo per conduzione, ma anche per convezione; hanno forte influenza la frazione di vuoto, le dimensioni dei pori e la natura del fluido che questi contengono.

23

Valori di k per materiali diversi a diverse

temperature

24

� I materiali vengono distinti in buoni conduttori (k grande) e cattivi conduttori (k piccolo)

� I valori di k dipendono principalmente dalla natura dei corpi, dalla temperatura e per i gas dalla pressione.

� In molti casi la dipendenza di k dalla temperatura può essere considerata di tipo lineare:

k=k0(1+αT)

� Per solidi omogenei, se sono isolanti hanno α positivo se sono conduttori (metalli) hanno α negativo

25

� I problemi sino ad ora affrontati sono stati tali per cui la temperatura T e il flusso ø risultavano funzione di una sola variabile, in particolare della dimensione x.

� I molti casi, però, il contorno del sistema considerato non è regolare e/o l'andamento della temperatura al contorno non è uniforme. In questi casi la soluzione del problema richiede una trattazione a due o tre dimensioni, pur essendo T non funzione del tempo t.

� Sappiamo che l'equazione di Fourier assume in questi casi la forma (in coordinate cartesiane e ricordando che il regime è permanente):

detta equazione di Poisson.

26

� Se la generazione interna di calore è nulla, scompare il quarto termine a sinistra dell'uguale e si ha:

detta equazione di Laplace� In termini meno sintetici, ciò significa che la distribuzione

della temperatura in un sistema è tale da soddisfare l'equazione di Laplace. Non solo, ma poiché il flusso di calore può essere facilmente calcolato se è nota la distribuzione della temperatura, il problema consiste nel determinare quest'ultima. Tale determinazione può essere fatta con metodi analitici, grafici, analogici e numerici.

� I metodi analitici, grafici e analogici sono oggi superati, salvo casi particolari, da quelli numerici, che, con l'introduzione dei calcolatori elettronici, si sono rivelati i più efficaci.

27

� Nei problemi affrontati finora si è posta la condizione che la temperatura, misurata in un generico punto del corpo considerato, non sia funzione del tempo. In tale situazione - che va sotto il nome di regime permanente -l'equazione di Fourier risulta di integrazione semplificata (per geometrie non troppo complesse) perché si annullano i termini che contengono la derivata della temperatura rispetto al tempo.

� L'ipotesi del regime permanente consente di risolvere molti problemi tecnici con buona approssimazione, soprattutto quando i fenomeni che inducono la trasmissione del calore non variano o variano molto lentamente nel tempo; oppure quando le fasi di avvio e di arresto (transitori) dei fenomeni stessi sono trascurabili rispetto alla durata complessiva.

28

� Per esempio il comportamento termico della parete di un edificio può essere studiato in regime permanente se la temperatura interna viene mantenuta costante e se le variazioni climatiche esterne (temperatura dell'aria, soleggiamento, vento) non subiscono variazioni brusche o comunque rapide.

� Ma se questa condizione non è rispettata o se consideriamo il caso di un corpo immesso bruscamente in un bagno a diversa temperatura, il regime non può piùconsiderarsi permanente, ma variabile.

� Ogni punto della parete o del corpo si troverà in istanti successivi a una temperatura diversa, indotta in un caso dall'azione degli agenti atmosferici sulla faccia esterna della parete, nell'altro dal processo spontaneo che porterà in equilibrio le temperature del corpo e del bagno.

29

� La soluzione dei problemi in regime variabile ègeneralmente molto complessa e richiede la corretta definizione delle condizioni al contorno per l'integrazione dell'equazione di Fourier (differenziale) con metodi grafici o analitici ( ad esempio: metodo grafico di Schmidt e metodo delle differenze finite). Molti ricercatori hanno affrontato e risolto problemi di trasmissione del calore in regime variabile e le soluzioni sono riportate sui manuali, spesso sottoforma di diagrammi e nomogrammi.

� Particolarmente importante, per il gran numero di soluzioni riportate é il trattato di Carlslaw e Jaeger , al quale si può ricorrere per la soluzione di molti dei piùcomuni problemi.

30

Conduzione attraverso lastre piane a facce

parallele

Il calore passa spontaneamente da A1 a A2.

In condizioni stazionarie dT/dy è costante e cioè la curva rappresentativa del profilo di termico è una retta.

T1

T2

y0

L

A1 A2

TL

kTT

L

kqTTkqL

dTkdyq

kdTdyqdy

dTkq

dy

dTkq

L T

T

∆=−=⇒−−=⇒

⇒−=

−=⇒−=⇒−=

∫ ∫

∫∫∫∫

)()( 2112

0

2

1

31

Flusso attraverso pareti composte

Nel caso stazionario i due flussi sono uguali q1=q2

T1

T2

q2q1

L1

A2

L2

T*

2

2

*

22

1

*

111

)()(

L

TTkq

L

TTkq

−=

−=

2

2

*

2

1

*

11 )()(

L

TTk

L

TTk −=

−

1

1

2

2

1

11

2

22

*

L

k

L

k

L

Tk

L

Tk

T

+

+

=

Da cui si ricava:

32

Da cui si ricava:

Se abbiamo diverse parete si ha:

2

2

1

1

121

2112

12

1)(

k

L

k

L

TqTT

LkLk

kkq

+

∆=⇒−

+=

∑

∆=

k

L

Tq

33

ConvezioneConsideriamo la parete di un corpo

solido lambita da un fluido in moto. Se tra la temperatura della superficie della parete T0 e quella del fluido T1vi è una differenza, ossia se è T0>T1, tra la parete e il fluido s’instaura un flusso di calore secondo il modello:

Q=hA∆∆∆∆Tdove h è un coefficiente di

proporzionalità che prende il nome di conduttanza convettiva e che dipende dalle proprietà fisiche del fluido, dalla dinamica del flusso e dalla geometria della parete. Questo tipo di trasporto del calore è detto convezione.

34

� E' opportuno osservare che h è� una funzione molto complessa delle proprietà fisiche

del fluido, della dinamica del flusso e della geometria della parete,

� non è uniforme sulla superficie,� dipende dal punto del fluido in cui si misura la

temperatura T1.� Pertanto la legge che abbiamo scritto definisce più la

conduttanza media, che non il fenomeno di trasferimento del calore vero e proprio.

35

� Dato che è:

h = Ø/A∆∆∆∆T

� la conduttanza convettiva ha le dimensioni di un flusso (energia nell'unità di tempo [=] potenza) diviso per una superficie e per una differenza di temperatura; si esprime, quindi,in:

36

� Il valore di h è stato valutato sperimentalmente per i fluidi, i tipi di moto e le configurazioni piùfrequenti,avvalendosi di correlazioni ricavate mediante l'analisi dimensionale.

37

Il trasporto di calore per convezione è trattato diversamente,secondo che esso sia forzato o naturale. Si ha convezione forzata quando il moto del fluido èindotto da un'azione di pompaggio esterna; si ha, invece, convezione naturale quando il moto del fluido èdovuto allo stesso trasporto di calore in atto.

In entrambi i casi, il flusso può essere laminare o turbolento. Il caso di flusso laminare è poco frequente: lo scambio di calore avviene per conduzione non essendovi rimescolamento di filetti fluidi e, quindi,h = k/s.

38

� Nel caso di flusso turbolento in prossimità della parete vi è uno strato in moto laminare (strato limite), attraverso il quale il calore passa per conduzione.

� Poiché tutti i fluidi (metalli allo stato liquido a parte) sono pessimi conduttori di calore (k piccolo), a paritàdi A e di Ø, nella Ø/A=k∆T si ha ∆T molto grande.

� Allontanandosi dalla parete, s’incontra prima uno strato di transizione, poi quello del fluido in moto turbolento, con forte rimescolamento ed elevato trasporto di calore (h grande). A paritàdi Ø e A, in questo caso nella Ø/A=h∆T, ∆T è più piccolo.

� Quanto precede ci consente di concludere che la maggior resistenza al passaggio del calore è offerta dallo strato limite; questo effetto può essere sfruttato o deve essere ridotto, secondo che si voglia ridurre o aumentare il flusso di calore.

39

Coefficiente di pellicola o di scambio

termico convettivo

� Quando un fluido si muove, anche con moto turbolento (Re>2100) esiste sempre uno strato di fluido a contatto con la parete (pellicola) che è stagnante. Anche se la pellicola è sottile(il calore deve passare per conduzione, risulta grande la resistenza che essa offre al passaggio del calore

� Una volta superata la pellicola di fluido aderente alla parete, il calore si trasmette per convenzione grazie al movimento e al rimescolamento del fluido e la resistenza offerta alla trasmissione del calore è trascurabile

40

Calore ceduto dal fluido alla parete

Calore che passa attraverso la parete

Calore ceduto dalla parete al fluido

T1

L

Tc

Td

T2

pellicole

)(111 cTThq −=

)(2 dc TTL

kq −=

)(223

TThq d −=

41

Essendo i flussi per unità di area e nell’unità tempo uguali si può scrivere:

q1=q2=q3=q

e indicare con U il coefficiente totale di trasmissione del calore

U dipende dai valori dei coefficienti di pellicola h (funzioni a loro volta degli spessori delle pellicole che non si possono determinare sperimentalmente)

21

21

11

)(

hk

L

h

TTq

++

−=

Uhk

L

h

111

21

=++

TAUQTTUq ∆=⇒−= )( 21

42

Durante l’esercizio inoltre, i fluidi i fluidi depositano delle incrostazioni sulle pareti che costituiscono delle resistenze addizionali per cui si considera un UD (coefficiente di trasmissione del calore a parete incrostata)

TAUQ D∆=

43

� Nel caso di convezione forzata, h dipende:

� dalle caratteristiche del fluido: densità ρ, viscosità µ, calore specifico a pressione costante cp e conduttivitàk;

� dalle condizioni di moto del fluido: velocità v;� dalla geometria della parete: diametro equivalente D,

ossia è h = h(ρ,µ,cp,k,v,D)

� Per ottenere un’espressione che consenta di calcolare h

dobbiamo applicare l’analisi dimensionale.

44

� L'analisi dimensionale consiste nel combinare tra loro le variabili che influenzano un fenomeno (correttamente scelte a priori), in modo da creare gruppi adimensionali ossia senza dimensioni; il numero di questi necessario per descrivere il fenomeno si determina con il teorema Πdi Buckingham.

� Questo tipo di analisi estende il campo d’applicazione dei dati sperimentali, consentendo la creazione di equazioni empiriche, ma non dà alcuna informazione sulla natura del fenomeno che deve essere noto priori.

45

� Applicando l'analisi dimensionale, nel caso di convezione forzata,si ottiene:

� Il rapporto hD/k, detto numero di Nusselt (Nu), si può ottenere dividendo il flusso di calore per convezione (h∆T) per quello per conduzione (k∆T/D) e, quindi confronta l’importanza dei due flussi;

� Il rapporto cpµ/k, detto numero di Prandtl (Pr), si può ottenere dividendo µ/ρ (coefficiente di diffusione della quantità di moto) per k/ρcp (coefficiente di diffusione del calore) e, quindi confronta le due diffusività molecolari.

� Il rapporto ρvD/µ, detto numero di Reynolds (Re) indica se il regime di moto è laminare o turbolento; in generale per Re<2.000÷2.500 èlaminare; oltre, dopo una zona di transizione, è turbolento.

� Possiamo quindi scrivere la precedente espressione anche nella forma:

Nu=cost Rea Prb

con cost, a e b da determinarsi sperimentalmente.

46

Analisi dimensionale nella determinazione dei

coefficienti di pellicola o di scambio termico

convettivo

Per calcolare gli h sono necessarie relazioni generali che tengano conto delle proprietà del fluido e quelle moto:

q=f(v, l,∆T,µ,k,ρ,cp,βg)

dove q = flusso di calore (kcal/m2s) [Q/L2t]v = velocità del fluido (m/s) [L/t]∆T = differenza di temperatura (°C) [T]µ = viscosità del fluido (kg/ms) [M/Lt]k = coefficiente di conducibilità termica del fluido (kcal/m°Cs) [Q/LTt]ρ = densità del fluido (kg/m3) [M/L3]cp = calore specifico del fluido (kcal/kg°C) [Q/MT]β = coefficiente di espansione termica (1/°C) [1/T]g = accelerazione di gravità (m/s2) [L/T2]

47

� Assumendo che le varie grandezze siano legate tra loro tramite esponenti diversi possiamo scrivere

q= ψ [va lb∆Tcµdkeρfcpi(βg)n]

� Sostituiamo le unità di misura:

� Per il segno di uguaglianza le stesse basi devono avere lo stesso esponente:

� Per il calore Q → 1=e+i� Per le lunghezze L → -2=a+b-d-e-3f+n� Per il tempo t → -1=-a-d-e-2n� Per la massa M→ 0=d+f-i� Per la temperatura T → 0=c-e-i-n

=

n

n

nii

i

f

f

eee

e

dd

dcb

a

a

t

L

TTM

Q

L

M

tTL

Q

tL

MTL

t

L

tL

Q232

1ψ

48

Abbiamo 5 equazioni in 8 incognite. Il sistema può essere risolto a meno di tre incognite. Fissiamo a, i, n ed esprimiamo le altre incognite in funzione di queste:

In definitiva:e= 1-ib= -1+a+3nd=-a+i-2nf=a+2nc=1+n

e= 1-i

b= -2-a+d+1-i+3f-n

d=-a+1-1+i-2n

f=i-d

c=1-i+i+n

e= 1-i

b= -1-a+d-i+3f-n

d=-a+i-2n

f=i+a-i+2n=a+2n

c=1+n

e= 1-i

b= -1-a-a+i-2n-

i+3a+6n-n

d=-a+i-2n

f=i+a-i+2n=a+2n

c=1+n

49

Sostituiamo i valori trovati:

Raggruppiamo i termini con lo stesso esponente:

( ) ( )( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

=

+

+

−−−

−

−+−−+−

−+−+++−

n

n

nii

i

na

na

iii

i

niania

nianna

a

a

t

L

TTM

Q

L

M

tTL

Q

tL

MTL

t

L

tL

Q223

2

111

1

22

2

131

2

1ψ

=

⋅

nia

t

L

TL

M

M

tLTL

Mt

Q

Q

LTt

Lt

M

L

MLt

ML

t

L

LTt

QT

LtL

Q223

2

2

22

3

32

111ψ

∆

∆=

ni

p

a

gTlk

cvlTkl

q βρµ

µρµ

ψ 2

2

3 1111

niaGrNu

k

hl

Tk

Tlh

Tk

qlPrReψ===

∆

∆=

∆

Grashoff50

niaGrNu PrReψ=

dove a, i, n sono valori da determinare sperimentalmentePer convezione forzata:

Per convezione naturale:

Per condotti lunghi, liquidi e gas in moto turbolento si può utilizzare la relazione

iaNu PrReψ=

niGrNu Prψ=

33.08.0PrRe023.0=Nu

51

Esercizi

1. Le superfici interne di un edificio devono essere mantenute a 22°C mentre la superficie esterna è a -23°C. Le parete hanno uno spessore di 25 cm e sono costruite con mattoni aventi una conducibilità termica di 0,5kcal/hm°C. Calcolare il calore disperso per unitàdi area e di tempo attraverso le pareti

2. Calcolare la quantità di calore che ogni ora passa attraverso 1m2 di parete composta da uno spessore di 25 cm di mattoni refrattari (k=1,2kcal/mh°C), di 20 cm di mattoni isolanti (k=0,18kcal/mh°C),di 25 cm di mattoni comuni (k=0,6kcal/mh°C) quando T1=700°C e T2=50°C