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  • Fisica III A.A. 2015-16

    Checklist - Domande ed esercizi

    Versione del 17 dicembre 2015 Differenze rispetto alla versione del 12 dicembre:

    - inserite voci da 4.a.41 a 4.a.49 - inserite voci da 4.b.22 a 4.b.27

    1. Riepilogo e complementi di relativit speciale. 1.a.1. Dare la definizione definizione di 4-vettori covarianti e controvarianti 1.a.2. Definire le quantit e 1.a.3. Scrivere le trasformazioni di Lorentz 1.a.4. Definire il modulo di un 4-vettore 1.a.5. Definire il prodotto scalare di due 4-vettori 1.a.6. Dare la definizione di invariante di Lorentz 1.a.7. Dare la definizone di posizione spazio-temporale di un punto 1.a.8. Definire il tempo proprio e ricavare la relazione (differenzale) fra tempo proprio

    e tempo nel sistema in cui si osserva il moto 1.a.9. Definire le derivate in 4-dimensioni, la quadridivergenza, il differenziale di uno

    scalare di Lorentz, loperatore di DAlembert 1.a.10. Definire la 4-velocit ed il 4-impulso, dire le loro unit di misura nei sistemi

    MKS e ! = c =1 , dimostrare che il loro modulo costante. 1.a.11. Enunciare la legge di conservazione del 4-impulso e fornire una applicazione 1.a.12. Definire la 4-accelerazione e la 4-forza 1.a.13. Dimostrare che 4-accelerazione e 4-velocit sono perpendicolari 1.a.14. Scrivere la legge di Newton (tridimensionale e lestensione quadridimensionale)

    nellambito della relativit special 1.a.15. Definire un tensore covariante di rango 2 1.a.16. Definire la traccia di un tensore di rango 2 1.a.17. Come si trasformano per rotazioni tridimensionali le componenti di un tensore di

    rango 2? 1.a.18. Definire il tensore metrico g 1.a.19. Dare la definizione di tensore antisimmetrico di rango 2 ed indicare quali dei suoi

    elementi siano le componenti di un vettore polare e quali quelle di un vettore assiale tridimensionale

    1.a.20. Definire il 4-tensore momento angolare 1.a.21. Dire se il 4-tensore momento angolare sia un tensore simmetrio o antisimmetrico

    ed illustrare il significato di ogni suo elemento

  • 1.a.22. Enunciare la legge di conservazione del 4-tensore momento angolare ed utilizzarla per dimostrare quale sia la posizione e la velocita del centro di massa reletivistico

    1.a.23. Definire per un processo a due corpi nello stato iniziale e due corpi (non necessariamente identici) nello stato finale le variabili s, t, u

    1.a.24. Dare la definizione di distribuzione esclusiva (completa) dei 4-impulsi delle particelle emergenti dopo la collisione di due particelle [oppure dopo il decadimento di una particella] ; dare anche la definizione di distribuzione inclusiva

    1.a.25. Scrivere lelemento infinitesimo dello spazio dei 4-impulsi di N particelle emergenti dopo la collisione di due particelle [oppure dopo il decadimento di una particella] ed indicare i vincoli esistenti.

    1.a.26. Dimostrare che d 4p p2 m2( ) (p0 ) =d3 !p2E e sfruttare questo risultato per

    semplificare la scrittura dellelemento infinitesimo dello spazio dei 4-impulsi di N particelle emergenti dopo la collisione di due particelle [oppure dopo il decadimento di una particella]

    1.a.27. Dimostrare che nel centro di massa lelemento infinitesimo dello spazio dei 4-

    impulsi, nel caso di 2 sole particelle nello stato finale, si scrive come !pCM4 s dCM .

    1.a.28. Come si trasforma una funzione di distribuzione del 3-impulso f !p( )d3 !p di una particella per una trasformazione di Lorentz?

    1.a.29. Come si trasforma una funzione di distribuzione nello spazio delle fasi f !p, !r( ) d3 !p d3!r di una particella per una trasformazione di Lorentz?

    1.b.1. Ricavare la legge di composizione delle velocit 1.b.2. Dimostrare che il modulo di un 4-vettore ed il prodotto di due 4-vettori sono

    invarianti di Lorentz 1.b.3. Spiegare quaitativamente il paradosso dei gemelli 1.b.4. Se non esistessero gli effetti dovuto alla relativit generale, in un anno quanto

    differirebbe il tempo misurato da un orologio alla superficie terrestre da uno che si trovi su: i) un satellite geostazionario ii) un satellite per GPS

    1.b.5. Dimostrare che le derivate in 4-dimensioni sono covarianti (o controvarianti) 1.b.6. Dimostrare che loperatore di DAlembert un invariante di Lorentz 1.b.7. Calcolare la 4-accelerazione di un punto in funzione della velocit e della

    accelerazione tridimensionali 1.b.8. Calcolare la 4-forza su un punto in funzione della velocit e della forza

    tridimensionali 1.b.9. Dimostrare che la traccia di un tensore di rango 2 un invariante di Lorentz 1.b.10. Calcolare lenergia di soglia nel laboratorio per le seguenti reazioni (la seconda

    particella inizialmente ferma):

    + 16O e+ + e + 16O

  • + e e + e+ + e p+ p p+ p+ p+ p p+ 16O p+ p+ p + 16O e+ + e p+ p e + p n+e e + p n+ e+

    1.b.11. Calcolare lenergia di soglia della reazione e+ + e p+ p in cui le due particelle incidenti collidono con 3-impulsi uguali ed opposti

    1.b.12. Dimostrare che la somma s+t+u pari alla somma dei quadrati delle 4 particelle del processo

    1.b.13. Esprimere la variabile t di Mandelstam in funzione del 3-impulso e dellangolo di scattering nel centro di massa

    1.b.14. Calcolare lenergia che dovrebbe avere un protone che incide su un protone fermo per ottenere una energia nel centro di massa pari a quella di LHC (14TeV)

    1.b.15. Dimostrare che d3 !p2E un invariante relativistico effettuando esplicitamente la

    trasformazione di Lorentz 1.b.16. Come si implementa con il metodo Montecarlo la trasformazione di una funzione

    di distribuzione dei 3-impulsi?

    1.c.1. Dimostrare che d3 !p2E un invariante relativistico senza effettuare esplicitamente la

    trasformazione di Lorentz e senza utilizzare il fatto che d 4p p2 m2( ) (p0 ) =d3 !p2E

    un invariante relativistico, ma utilizzando considerazioni di geometria in 4 dimensioni come spiegato nel testo di Landau.

    2. Elettromagnetismo in forma covariante 2.a.1. Sapere qual la relazione fra le unit di misura elettromagnetiche GAUSSIANE e

    quelle nel sistema MKSA. 2.a.2. Sapere spiegare cosa significa che una certa legge fisica scritta in forma

    "relativisticamente covariante". 2.a.3. Dare la definizione di quadri-corrente e di quadri-potenziale del campo

    elettromagnetico. 2.a.4. Dare la definizione del tensore del campo elettromagnetico e saper scrivere le sue

    componenti. 2.a.5. Scrivere le equazioni di Maxwell (sia quelle non omogenee che quelle omogenee)

    in forma covariante.

  • 2.a.6. Scrivere l'equazione di continuit per la quadri-corrente in forma covariante (e verificarne la consistenza con le equazioni di Maxwell).

    2.a.7. Scrivere una generica "trasformazione di gauge" del quadri potenziale (e verificare la "invarianza di gauge" dell'elettromagnetismo) in forma covariante.

    2.a.8. Dare la definizione di "gauge di Lorenz", "gauge di Coulomb", "gauge temporale" e "gauge assiale".

    2.a.9. Scrivere la legge di trasformazione di Lorentz del campo elettrico e del campo magnetico (distinguendo fra componenti parallele e componenti perpendicolari al "boost").

    2.a.10. Scrivere in forma covariante l'equazione del moto di una carica in un campo elettromagnetico esterno ("(quadri-)forza di Lorentz").

    2.a.11. Dare la definizione del quadri-vettore "densit di forza di Lorentz" e saperne scrivere le componenti.

    2.a.12. Dare la definizione del "tensore energia-impulso" del campo elettromagnetico e scrivere la sua relazione con la "densit di forza di Lorentz".

    2.a.13. Dare la definizione della "densit di energia" del campo elettromagnetico, del "vettore di Poynting" e del "tensore degli sforzi di Maxwell".

    2.a.14. Dire come si generalizzano i teoremi di conservazione dell'energia e dell'impulso a situazioni in cui sia presente un campo elettromagnetico.

    2.b.1. Scrivere la pi generale trasformazione di Lorentz e dimostrare che essa lascia

    invariato l'elemento di quadri-volume. 2.b.2. Dare la definizione del tensore di rango 4 completamente antisimmetrico (detto

    anche "tensore (o: densit) di Levi-Civita"). Usando tale tensore, definire il "duale" del tensore del campo elettromagnetico e, in termini di esso, riscrivere le equazioni di Maxwell omogenee.

    2.b.3. Scrivere le equazioni di Maxwell per i quadri-potenziali in "gauge di Lorentz" e (pi difficile!) in "gauge di Coulomb".

    2.b.4. Ricavare esplicitamente le leggi di trasformazione di Lorentz del campo elettrico e del campo magnetico. Discutere, in particolare, il caso in cui, in un certo sistema di riferimento inerziale, il campo magnetico nullo e il caso in cui il campo elettrico nullo.

    2.b.5. Dire quali sono gli "invarianti di Lorentz" che si possono costruire con il tensore del campo elettromagnetico e ricavarne le espressioni esplicite in termini dei campi elettrico e magnetico. Ridiscutere, usando gli invarianti, il caso discusso nel punto precedente e discutere il caso in cui gli invarianti sono nulli.

    2.b.6. Ricavare il campo elettromagnetico creato da una carica in moto uniforme. 2.b.7. Ricavare la relazione fra la densit di forza di Lorentz e il tensore energia-impulso

    del campo elettromagnetico. 2.b.8. Ricavare esplicitamente le componenti del tensore energia-impulso del campo

    elettromagnetico. 2.b.9. Discutere la non univocit nella definizione del tensore energia-impulso e come

    tale ambiguit venga risolta richiedendo che il tensore di momento angolare si esprima in modo "naturale" in funzione del tensore energia-impulso: verificare che tale richiesta implica che il tensore energia-impulso debba essere simmetrico.

  • 2.c.1. Scrivere la Lagrangiana relativistica per una particella carica in un campo elettromagnetico esterno e verificare che le equazioni di Eulero-Lagrange forniscono la formula della forza di Lorentz. Discutere (usando la formulazione Lagrangiana) il legame fra l'invarianza di gauge delle equazioni dell'elettrodinamica e la legge di conservazione della carica.

    3. Complementi [obbligatori] 3.a.1. Quanto valgono, in unit MKS o naturali, le costanti: c, 0, 0, e2/4, ! ? 3.a.2. Quanto vale la costante c! in eVxnm e in MeVxfm ? 3.a.3. Spiegare la differenza fra le seguenti categorie di fotoni: infrarossi visibili

    ultravioletti raggi X raggi . 3.a.4. Quanto vale la massa del fotone reale? 3.a.5. Quanto vale la carica elettrica dellelettrone e del protone (in MKS)? 3.a.6. Quanto valgono la massa dellelettrone e del protone (in MKS e in MeV/c2)? 3.a.7. Quanto vale la differenza fra la massa del neutrone e la somma della massa del

    protone e dellelettrone? 3.a.8. Dare la definizione di sezione durto per particelle puntiformi: esprimerla in

    funzione del numero di eventi osservati per unita di tempo e per unita di volume, della concentrazione delle particellle interagenti e della loro velocita relativa

    3.a.9. Esprimere la sezione durto nel caso particolare di un sottile fascio di particelle incidente su una lastra contenente i bersagli [NB: i dati sono il flusso di particelle incidenti, la densita superficiale dei bersagli, la frequenza di eventi osservati]

    3.a.10. Esprimere la sezione durto nel caso particolare di particelle incidenti su un unico bersaglio [NB: i dati sono la corrente di particelle incidenti e la frequenza di eventi osservati]

    3.a.11. Esprimere la sezione durto nel caso particolare di unonda incidente su un unico bersaglio

    3.a.12. Quali sono gli ordini di grandezza tipici delle sezioni durto delle interazioni forti e delle interazioni debole?

    3.a.13. Dare la definizione di sezione durto totale, sezione durto differenziale inclusiva, sezione durto differenziale esclusiva

    3.a.14. Dare la definizione di larghezza e di vita media per il decadimento di una particella

    3.a.15. Dare la definizione di rapporto di decadimento (Branching fraction o Branching ratio)

    3.a.16. Quali sono, molto approssimativamente, gli ordini di grandezza delle vie medie dovute ad interazioni deboli, elettromagnetiche, forti?

    3.a.17. Che cosa sono le quantit che in un nucleo usualmente si indicano con A, Z, N ? (simbologia

    NAZ X )

    3.a.18. Dare la definizione di nuclei isotopi, isobari, isotoni, stabili, instabili. 3.a.19. Quanto lordine di grandezza dellenergia media di legame di un elettrone

    allinterno di un atomo? 3.a.20. Spiegare qualitativamente leffetto fotoelettrico e lo scattering Compton

  • 3.a.21. Discutere qualitativamente le osservazioni sperimentali dello scattering di Rutherford

    3.a.22. Fornire la relazione tra parametro d'impatto (b) e angolo di scattering () nel caso di scattering di Rutherford (Coulombiano) e di scattering su sfera rigida

    3.a.23. Fornire (senza dimostrazione) le espressioni delle sezioni durto differenziali (d/d) Rutherford e Mott

    3.a.24. Quanto lordine di grandezza dellenergia media di legame di un nucleone allinterno di un nucleo?

    3.a.25. Come definita lunit di massa atomica e quanto vale (in MeV/c2)? 3.a.26. Come sono definiti lenergia di legame (B) di un atomo ed il difetto di massa

    () di un atomo ? 3.a.27. Su quali ipotesi si basa il modello a goccia di un nucleo? 3.a.28. Enunciare la formula semiempirica B = B(A,Z) ed indicarne i termini che sono

    spiegati dal modello a goccia 3.b.1. Calcolare la probabilita che un neutrino interagisca nellattraversare la Terra

    lungo un diametro. Nota: sia assuma che lenergia del neutrino sia tale che la sezione durto totale su un singolo nucleone sia 1fb.

    3.b.2. Cercando i dati delle sezioni durto totali nelle apposite figure o tabelle (reperibili anche nella compilazione Particle Data Group http://pdg.lbl.gov ) si calcoli la probabilita di interazione di:

    un fotone da 1 MeV che incida su 1 mm di grafite un fotone da 10 MeV che incida su 1 mm di Piombo un fotone da 50 KeV che incida su 1 m di Piombo un neutrino da 100 GeV che incida su 1 km di grafite un protone da 100 GeV che incida su 1 cm di grafite

    3.b.3. Dimostrare che se la probabilita di decadimento di una particella non dipende dal tempo, la probabilita di trovare la particella non decaduta al tempo t segue una legge esponenziale.

    3.b.4. Dimostrare con calcoli cinematici che nello scattering di Rutherford alcune particelle urtano un bersaglio con massa molto maggiore di quella della particella stessa

    3.b.5. Ricavare la sezione durto differenziale dello scattering di Rutherford, sia in funzione dellangolo sia in funzione del parametro di impatto b

    3.b.6. Discutere le differenze tra lo scattering di Rutherford (particelle ) e lo scattering di elettroni su bersaglio puntiforme.

    3.b.7. Dare la definizione di raggio nucleare mediante lo scattering di Rutherford 3.c.1. Esprimere la sezione durto per particelle puntiformi in funzione del numero di

    eventi osservati per unita di tempo e per unita di volume, della concentrazione delle particelle interagenti e delle loro velocita in un sistema di riferimento arbitrario.

  • 4. Onde elettromagnetiche e irraggiamento 4.a.1. Spiegare le differenze fra ottica fisica ed ottica geometrica 4.a.2. Calcolare, a partire dalle EDM, la velocita delle onde elettromagnetiche in un

    mezzo omogeneo, lineare ed isotropo. 4.a.3. Determinare la soluzione piu generale possibile per onde e.m. piane in un mezzo

    lineare, omogeneo, isotropo e non dispersivo, spiegando il ruolo di questultima ipotesi.

    4.a.4. Determinare tutte le relazioni fra campo elettrico, magnetico e direzione di propagazione di unonda e.m. piana.

    4.a.5. Esprimere la densita di energia di unonda e.m. piana in funzione dei campi elettrico e/o magnetico

    4.a.6. Dare la definizione ed esprimere il vettore di Poynting di unonda e.m. piana in funzione del campo elettrico e/o magnetico.

    4.a.7. Esprimere la pressione (di radiazione) che un campo e.m. esercita su una superficie piana.

    4.a.8. Scrivere il tensore degli sforzi per unonda e.m. piana che si propaga in una direzione n .

    4.a.9. Calcolare la forza esercitata su una superficie piana da parte di unonda e.m. piana che in parte viene trasmessa ed in parte viene riflessa.

    4.a.10. Determinare la soluzione piu generale possibile per onde sferiche in un mezzo lineare, omogeneo, isotropo e non dispersivo.

    4.a.11. Dare la definizione di onda piana e.m. monocromatica e delle seguenti quantita: ampiezza, frequenza angolare, vettore donda, frequenza, periodo, lunghezza donda, velocita di fase.

    4.a.12. Definire la velocita di gruppo per unonda e.m. e spiegarne il suo significato fisico.

    4.a.13. Definire la polarizzazione di unonda e.m. 4.a.14. Scrivere lespressione piu generale per il campo elettrico di unonda e.m. piana

    monocromatica, tenendo conto della polarizzazione, sia utilizzando solo numeri reali, sia utilizzando numeri complessi.

    4.a.15. Definire le polarizzazioni lineare, circolare ed ellittica per unonda e.m.

    4.a.16. Come si definisce il 4-vettore donda k ? 4.a.17. Come si esprime il 4-tensore impulso-energia per unonda e.m. piana

    monocromatica utilizzando i 4-tensore k ? Scrivere esplicitamente la matrice 4x4 del tensore per unonda che si propaga lungo lasse x e con densita di energia uem.

    4.a.18. Ricavare le espressioni delleffetto Doppler relativistico (calcolo della frequenza e dellangolo misurati dal rivelatore nel caso di moto relativo fra sorgente e rivelatore stesso).

    4.a.19. Ricavare e scrivere lespressione per i potenziali ritardati ( ed !A ) per una

    qualunque distribuzione di cariche () e correnti (!j ).

    4.a.20. Dimostrare lespressione dtdt ' =1 n

    ! , dove t e t sono il tempo di osservazione ed

    il tempo ritardato, rispettivamente.

  • 4.a.21. Ricavare e scrivere lespressione per i potenziali di Lienard-Wiechert ( ed !A per

    una carica puntiforme in moto arbitrario).

    4.a.22. Spiegare tutti i termini dellespressione !E = qR2

    n!

    2 1 n !( )

    3 +qRc

    n n!( )

    !"

    1 n !( )

    3

    t '=tR/c

    per il

    campo elettrico generato da una carica puntiforme in moto arbitrario. 4.a.23. Quanto vale il campo magnetico generato da una carica puntiforme in moto

    arbitrario? 4.a.24. Calcolare la distribuzione in potenza in funzione dellangolo di emissione per una

    carica accelerata in moto non relativistico. 4.a.25. Dare la definizione di solido di radiazione e di diagramma di radiazione per

    una carica accelerata 4.a.26. Calcolare ls potenza totale irraggiata da una carica accelerata in moto non

    relativistico. Esprimere i risultati in MKSA e nelle unita naturali. 4.a.27. Elencare e discutere le ipotesi per poter effettuare uno sviluppo in multipoli del

    campo di radiazione nellipotesi di moto non relativistico. 4.a.28. Definire il momento di dipolo elettrico, di quadrupolo elettrico e di momento di

    dipolo magnetico per un sistema di cariche e correnti. 4.a.29. Fornire alcuni esempi per sistemi di cariche e/o correnti in cui vi sia: i)

    irraggiamento di dipolo elettrico; ii) irraggiamento di dipolo magnetico ma non di elettrico; iii) irraggiamento di quadrupolo elettrico ma non di dipolo elettrico o magnetico; iv) irraggiamento di dipolo magnetico ma non di quadrupolo o dipolo elettrico.

    4.a.30. Ricavare la formula di Larmor relativistica P =23q2c3

    6 !a 2 !a!2( )

    4.a.31. Dimostrare che dPd =

    q2 !a 2

    16 2oc3sin2

    1 cos( )5 e la potenza (MKSA) irraggiata da una

    carica accelerata su una traiettoria rettilinea in funzione dellangolo di emissione. 4.a.32. Effettuare un disegno, qualitativo, del solido di radiazione per una carica in un

    acceleratore lineare o circolare. Stimare langolo di massima emissione. 4.a.33. Dimostrare che la radiazione di sincrotrone ha uno spettro di emissione con una

    frequenza critica C o 3

    4.a.34. Dimostrare che dId =

    q24 2c

    n n!( )

    !"

    1 n !( )

    2 ei t '

    !r 'nc

    dt '

    2

    e lenergia per unita di

    frequenza irraggiata da una carica accelerata in funzione dellangolo di emissione.

    4.a.35. Dimostrare che !Frad =

    23q2c3

    !"a = z2mee!"a , con e =

    23rec = 6.2x10

    24 s , e la forza di

    reazione radiativa ed indicare il campo di applicazione di questa formula. 4.a.36. Dimostrare che un elettrone soggetto ad una forza elastica di richiamo ed alla

    forza di reazione radiativa oscilla con la legge x = x0ei0tt/2 con 0 frequenza

  • propria (tipicamente 1014-15Hz) e = e02 ~ 1057s . Tutto questo nellipotesi realistica e0
  • 4.b.4. Calcolare la potenza radiante emessa dal Sole se sul limite superiore dellatmosfera terrestre la potenza incidente mediata sulle frequenze - e 1.36kW/m2.

    4.b.5. Utilizzando il risultato precedente, calcolare il raggio che una sferetta nera (assorbimento totale della radiazione) di densita pari a quella dellacqua dovrebbe avere per restare in equilibrio nel campo gravitazionale del Sole.

    4.b.6. Rispondere alla domanda precedente se la sferetta fosse perfettamente riflettente. 4.b.7. Calcolare il valore numerico della potenza totale che sarebbe irraggiata da un

    elettrone in moto classico circolare uniforme in un atomo di idrogeno. Calcolare il rappoto fra il valore ottenuto e lenergia cinetica dellelettrone.

    4.b.8. Ricavare lespressione !A = 1Roc

    !"pe +1Roc2

    !""De +1Roc

    !"pm n dello sviluppo della radiazione,

    per moti non relativistici, in multipoli 4.b.9. Calcolare il campo magnetico della radiazione di un sistema di cariche e correnti

    sviluppata in multipoli. 4.b.10. Calcolare il vettore di Poynting della radiazione di un sistema di cariche e correnti

    sviluppata in multipoli. 4.b.11. Calcolare la potenza emessa in funzione dellangolo per una carica oscillante

    armonicamente in linea retta (termine di dipolo elettrico) 4.b.12. Calcolare la potenza emessa in funzione dellangolo per una carica in moto

    circolare uniforme (termine di dipolo elettrico) 4.b.13. Calcolare la potenza emessa in funzione dellangolo per una corrente oscillante

    armonicamente in una spira circolare (termine di dipolo magnetico) 4.b.14. Calcolare, a partire dalla formula di Larmor, la potenza totale dissipata in un

    acceleratore lineare in funzione di d!pdt oppure di

    dEdt (energia fornita per unita di

    lunghezza). Dimostrare che la frazione di energia persa nellaccelerazione e trascurabile, fornendo adeguati valori numerici nel caso di accelerazione di elettroni o protoni.

    4.b.15. Calcolare lenergia persa in una rivoluzione per una carica in moto uniforme su una circonferenza (acceleratore circolare). Calcolare la frazione di energia persa in un giro rispetto alla sua energia cinetica, effettuando una valutazione numerica trascurabile nel caso di elettroni a LEP (energia 50 GeV, raggio ~4km) o protoni ad LHC (energia 7 TeV, raggio ~4km).

    4.b.16. Calcolare la lunghezza donda critica della radiazione di sincrotrone (elettroni) nei casi seguenti: i) energia=50GeV, raggio=4km; ii) energia=5GeV, raggio=30m.

    4.b.17. Dimostrare che la sezione durto elastica per unonda e.m. piana e monocromatica su un elettrone legato elasticamente in prossimita della risonanza si puo approssimare con una curva lorentziana el = t hom 0

    2 / 4

    0 ( )2+'+( )24

    .

    4.b.18. Dimostrare che la sezione durto elastica per unonda e.m. piana e monocromatica

    su un elettrone legato elasticamente al picco ha il valore el = 6 c0

    2

    '+

    2

    .

  • 4.b.19. Dimostrare che la sezione durto totale per unonda e.m. piana e monocromatica

    su un elettrone legato elasticamente vale tot = 6 c0

    2

    '+

    .

    4.b.20. Dimostrare che la sezione durto inelastica per unonda e.m. piana e

    monocromatica su un elettrone legato elasticamente vale inel = 6 c0

    2

    ''+( )2 .

    4.b.21. Dimostrare che il rapporto fra la sezione durto elastica e quelal totale per unonda e.m. piana e monocromatica su un elettrone legato elasticamente vale el tot

    =1

    1+ ' 2

    .

    4.b.22. Derivare la formula dellintegrale di Kirchoff 4.b.23. Utilizzare lintegrale di Kirchoff per ricavare il principio di Huygens 4.b.24. Ricavare la formula della diffrazione di Fraunhofer 4.b.25. Ricavarelintensita luminosa per la diffrazione da una apertura circolare e da una

    fenditura rettangolare, 4.b.26. Quali particelle incidenti e di quale energia si utilizzano per misurare i fattori di

    forma nucleari? Come si definisce il raggio nucleare? 4.b.27. Calcolare il fattore di forma per una distribuzione radiale piatta fino ad un certo

    raggio, e poi nulla. 4.c.1. Progettare una vela solare in grado di fare uscire un satellite di massa M=10kg

    dal campo gravitazionale del Sole. 4.c.2. Calcolare la forza su una vela solare nel campo gravitazionale del Sole in

    funzione della velocita della vela stessa. 4.c.3. Utilizzando onde e.m. piana, monocromatica e di dimensione (laterale) grande ma

    finita, dimostrare che i momento angolare (per unita di volume) trasportato

    dallonda e !L = uem

    n . Suggerimento: partire dalla definizione

    !L

    !R4c

    !E

    !H( )

    (vedere Landau II) 4.c.4. Date le definizioni standard delle variabili n ,

    !, !R, !r, !r ', t e t ' , dimostrare le

    seguenti relazioni: d!Rdt ' =

    !c , dRdt ' = n

    !c ,

    d!R

    !( )

    dt ' = 2c+

    !R

    !" , !R = n1 n

    ! ,

    !t ' = n / c1 n

    ! .

    4.c.5. A partire dallespressione dId =

    q24 2c

    n n!( )

    !"

    1 n !( )

    2 ei t '

    !r 'nc

    dt '

    2

    , dimostrare la

    formula della radiazione Cherenkov: d 2NdEdx

    = z2 !c sin

    2C . Nota: tecnicamente

    difficile, spiegazione sul Jacskon.

  • 5. Interazioni nella materia 5.a.1. Descrivere leffetto Cherenkov. Dimostrare che la radiazione Cherenkov e

    emessa ad un solo angolo. 5.a.2. Dimostrare che allinterno del cono della radiazione Cherenkov vi sono due

    soluzioni per t ' = t Rc , nessuna soluzione allesterno, ed una sola sul fronte

    donda. 5.a.3. Spiegare il significato di ogni termine dellespressione, valida per la radiazione

    Cherenkov: d 2NdEdx

    = z2 !c sin

    2C

    5.a.4. Descrivere qualitativamente la perdita di energia per collisioni da parte di una particella carica nella materia. Mostrare quali siano lenergia minima e massima trasferibile in un singola collisione.

    5.a.5. Spiegare il significato di ogni termine dellespressione, approssimata, per la

    perdita di energia per collisioni: dEcolldx nez

    2 4mec2re2 ln 2mec2 2 2

    I . 5.a.6. Come si passa dallo spessore di un materiale, espresso in cm, allo spessore

    espresso in g/cm2 ? 5.a.7. Disegnare qualitativamente la funzione di Bethe-Bloch indicando i valori dei

    punti significativi. 5.a.8. Descrivere qualitativamente il fenomeno dello scattering multiplo da parte di una

    particella carica in moto veloce nella materia. Mostrare quali siano langolo minimo e massimo in una singola collisione.

    5.a.9. Spiegare il significato di ogni termine delle espressioni, approssimate, per langolo quadratico medio di multiplo scattering:

    x NAA 2

    2zZmec2rPV

    2

    ln1.4a0Z1/3

    12 reA

    1/3 e z13.6MeV / cPc

    xX0

    .

    5.a.10. Valutare, con laiuto delle espressioni precedenti, la lunghezza di radiazione del Piombo e confrontarla con il valore sperimentale (5.6mm)

    5.a.11. Descrivere qualitativamente le cause e gli effetti del fenomeno della radiazione di frenamento da parte di una particella carica nella materia. Valutare il minimo ed il massimo parametro di impatto che sono da considerare nel caso non relativistico e nel caso relativistico.

  • 5.a.12. Partendo dalla espressione dId =

    q24 2c

    n n!( )

    !"

    1 n !( )

    2 ei t '

    !r 'nc

    dt '

    2

    dimostrare che

    lenergia persa per unita di frequenza nel caso non relativistico e

    I =2q23c

    ! per 1/

    (espressione approssimata).

    5.a.13. Partendo dalla espressione dId =

    q24 2c

    n n!( )

    !"

    1 n !( )

    2 ei t '

    !r 'nc

    dt '

    2

    dimostrare che

    lenergia persa per unita di frequenza nel caso non relativistico e

    I (b) =2(ze)23c3

    2zZe2MVb

    2

    per V / b

    (espressione approssimata).

    5.a.14. Dimostrare, a partire dalla espressione precedente, che la sezione durto di

    irraggiamento (non relativistica) vale () =4(ze)23c

    2zZe2Mc2

    2 1 2ln 2

    E + E !( )2

    !

    (espressione approssimata). 5.a.15. Dimostrare che perdita di energia per irraggiamento (non relativistica) vale

    dEdx =

    NAA2(ze)23c

    2zZe2Mc

    2 M! (espressione approssimata). Mostrare che tale valore e

    trascurabile rispetto alla perdita per collisioni. 5.a.16. Dimostrare che nel caso relativistico la sezione durto di irraggiamento vale

    () = 163z4Z 4e6M 2c5

    1 2ln 1.4a0

    !Z1/3 Mc

    per