Fenomeni Di Trasporto - Parte 1

FENOMENI DI TRASPORTOFENOMENI DI TRASPORTOFENOMENI DI TRASPORTO

R. LapasinR. Lapasin

CorsoCorso di di laurealaurea in in ingegneriaingegneria industrialeindustriale

DipartimentoDipartimento di di IngegneriaIngegneria IndustrialeIndustriale e e delldell’’InformazioneInformazioneUniversitUniversitàà di Triestedi Trieste

ObiettiviObiettivi formativiformativi

Illustrare i fondamenti del trasportodi materia, energia e quantità di motoall'interno di una fase e tra due fasi,

fornire gli elementi necessariper l'analisi e la risoluzione di problemi semplici,riducibili a forma monodimensionale,

attraverso la definizione e derivazionedelle grandezze e delle relazioni utili,

e l'esercizio di calcolo di bilanci macroscopici

PROGRAMMAPROGRAMMA

TRASPORTO MOLECOLARENatura, meccanismi e forze motriciFlussi, equazioni costitutive, bilanciTrasporto di energia in stato stazionarioTrasporto di energia in stato non stazionarioFlussi diffusivi di materiaTrasporto di quantità di motoProprietà di trasporto per stati fisici e sistemi diversiProprietà non lineari: fluidi non-Newtoniani.Analisi dimensionale, bilanci in forma adimensionale

TRASPORTO CONVETTIVOTrasporto convettivo in flusso laminareFlussi interni ed esterni, strato limite. Moti potenzialiConvezione forzata e convezione naturaleTrasporto turbolento, approcci semi-empirici.Coefficienti di trasferimento e numeri caratteristici

CALCOLI MACROSCOPICITrasporto di quantità di moto ,di energia, di materiaCoefficienti di trasferimento

MODALITA’ D’ESAME

esame finale: prova scritta + una prova orale

Sono previste due prove scritte di accertamentoin corrispondenza alla metà del corsoe al termine dello stesso.

La prova scritta finale può essere omessain presenza di due prove effettuate con esito positivo

La prova orale può essere omessain presenza di due prove effettuate con esito positivo

MATERIALE DIDATTICO

W.J. ThomsonIntroduction to transport phenomenaPrentice Hall PTR, 2000(testo di riferimento)

R.B. Bird, W.E. Armstrong, E.N. LightfootTransport phenomenaJohn Wiley & Sons, 2nd ed. 2002(testo di approfondimento)

Dispense (copie della presentazione PPT)

FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO

approcci ingegneristici e discipline dell’ingegneria chimica:evoluzione storica e linee guida

approcci ingegneristici e discipline dell’ingegneria chimica:evoluzione storica e linee guida

criteri e principi unificanti per la razionalizzazione

su scala macroscopica:concetto di operazioni unitarie (1925)

su scala microscopica/molecolare: meccanismi e leggi dei fenomeni di trasporto (1960)

criteri e principi unificanti per la razionalizzazione

su scala macroscopica:concetto di operazioni unitarie (1925)

su scala microscopica/molecolare: meccanismi e leggi dei fenomeni di trasporto (1960)

rielaborazione e riordino delle conoscenze fisiche, chimiche, … in un quadro razionale funzionale

alla descrizione dei processialla progettazione/gestione dei processi

alla comprensione dei meccanismi basilari

rielaborazione e riordino delle conoscenze fisiche, chimiche, … in un quadro razionale funzionale

alla descrizione dei processialla progettazione/gestione dei processi

alla comprensione dei meccanismi basilari

esempio di differenti criteri di lettura/analisi di un processo:processo di produzione di p-xilene

scomposizione in differenti operazioni unitarie(reazioni, separazioni, …)

analisi degli aspetti fluidodinamici edei processi di trasferimento di calore e di materia

esempio di differenti criteri di lettura/analisi di un processo:processo di produzione di p-xilene

scomposizione in differenti operazioni unitarie(reazioni, separazioni, …)

analisi degli aspetti fluidodinamici edei processi di trasferimento di calore e di materia


p-xilene acido tereftalico HOOC-C6H4-COOHp-xilene acido tereftalico HOOC-C6H4-COOH

dimetil tereftalato CH3HOOC-C6H4-COOCH3dimetil tereftalato CH3HOOC-C6H4-COOCH3

fibre di poliestere (Dacron)fibre di poliestere (Dacron)

polietilen tereftalato (PET)polietilen tereftalato (PET)


xilene: isomerixilene: isomeri

orto-xileneorto-xilene meta-xilenemeta-xilene para-xilenepara-xilene

processo di ciclizzazioneprocesso di ciclizzazione

CH3CH2CH2CH2CH2CH3CH3CH2CH2CH2CH2CH3 + H2+ H2CH2CH2

H2CH2C CH2CH2CH2

CH2

H2CH2CH2CH2C

+ 3H2+ 3H2processo di aromatizzazioneprocesso di aromatizzazione

produzione di xilenidal processo di ‘reforming’ della frazione (250°-450°F)

della distillazione del greggio

produzione di xilenidal processo di ‘reforming’ della frazione (250°-450°F)

della distillazione del greggio

o-xilene m-xilene p-xileneo-xilene m-xilene p-xilene-25°C -48°C 13°C-25°C -48°C 13°C144°C 139°C 138°C144°C 139°C 138°C

TmTmTbTb


processo di produzione di paraxileneprocesso di produzione di paraxilene

Criteri di analisi

1) Il processo di produzione di paraxilene nel suo insieme

2) Le operazioni unitarie che lo compongono

3) I processi di trasporto (di materia, energia, e quantità di moto) su scala locale

Criteri di analisi

1) Il processo di produzione di paraxilene nel suo insieme

2) Le operazioni unitarie che lo compongono

3) I processi di trasporto (di materia, energia, e quantità di moto) su scala locale


trasferimento di quantità di moto, di calore e di materia(momentum, heat, mass transfer)

processi comuni in campo industriale, biologico/medico, ambientale/geologico

meccanismi simili su scala molecolare(analogie fisiche intrinseche)

forze motrici: differenze di concentrazione Δcigradienti di concentrazione ∇ci

effetti risultanti: flussi del componente i

processi risultanti da differenti valori di grandezze(velocità, temperatura, concentrazioni)

all’interno di una regione, tra due regioni o fasi contigue

esempimoto di fluidi in tubazioni o intorno ad oggetti

(moti interni, moti esterni)scambio di massa attraverso pareti cellulari e membranefenomeni meteorologici su scala regionale e planetaria

esempio: diffusione di massaall’interno di una regione gassosa (emissioni di inquinanti)permeazione di principi attivi in applicazioni transdermaliassorbimento di gas in fasi liquide o di idrogeno in metalli

<>


RBCRBC membranePlasma film around RBCPlasmaPlasma film adiacent to capillary wallEndoteliumTissue

RBCRBC membranePlasma film around RBCPlasmaPlasma film adiacent to capillary wallEndoteliumTissue

ABCDEFG

ABCDEFG


scelta dell’espressione delle forze motrici: Δci o ∇ci :scelta dell’approccio analitico

Δci →approccio ‘ingegneristico’ convenzionale(rate process approach)

coefficienti di trasferimento e correlazioni empiricheper il calcolo del trasferimento globale

leggi costitutive: equazioni differenziali simili(analogie formali sul piano matematico)

∇ci →approccio ‘fondamentale’ molecolare(transport approach)

proprietà di trasporto e leggi costitutive

possibilità di calcolo delle condizioni locali(profili di velocità, temperatura, concentrazione)

possibilità di analisi di processi simultanei di trasportopossibilità di impiego nell’analisi di nuove tecnologie


diffusione di H2 in un metallo:profili di concentrazione di H2 nel metallo a tempi differenti

Δc costante nel tempoflusso variabile nel tempo

k variabile nel tempo

flusso = k Δc

H2

co

cb

Δc = co-cb

metallo

∇c variabile nel tempo

flusso variabile nel tempoD costante nel tempo

flusso = -D ∇c

H2 metallo transport approach

rate process approach

scelta dell’espressione delle forze motrici: Δci o ∇ci :scelta dell’approccio analitico

MECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTOMECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTOMECCANISMI DEI PROCESSI DI TRASPORTO

trasporto convettivo - trasporto molecolaredipendente indipendente

dal moto di insieme del fluido

trasporto convettivo : trasporto simultaneo di massa,quantità di moto, energia

trasporto efficace, legato alla velocità del fluido, importante lontano dai contorni del sistema

trasporto convettivo:complessità dell’analisi legata alla complessità del moto

miscelazione di due fluididissoluzione di sali

raffreddamento di un corpo caldo

dipendente da: natura del moto (forze motrici, applicate o inerenti),

velocità (moti laminari, moti turbolenti)contorni semplici, regolari o irregolari

proprietà (struttura) del fluido

differente efficacia dei processi di trasportoin assenza o in presenza di un moto impresso

(interno o esterno)


esempio di trasporto molecolare in assenza di meccanismiconvettivi : trasporto di energia (calore) in solidi

fattore di proporzionalità: proprietà inerente del materialedi trasportare energia (calore)

su scala molecolare:

energiatempo ∝ ΔT, S,

1l

S

l

T1 (> T2) T2

q

conducibilità termica k

k = 380 W / m . K (rame) 0.04- 0.13 W / m . K (legno)

conducibilità termica k legata a meccanismi molecolari(moti traslazionale, vibrazionale, rotazionale)

alla struttura microscopica (cristallina/amorfa) in solidi

trasporto convettivo e trasporto molecolarepossono coesistere in fluidi

e avere direzioni uguali o differenti

differenti velocità di trasportotrasporto convettivo ⇔ trasporto molecolare


conducibilità termica k di materiali

conducibilità termica k di elementi


conducibilità termica k di materiali (W m-1 K-1)


FORZE MOTRICI DEI PROCESSI DI TRASPORTOFORZE MOTRICI DEI PROCESSI DI TRASPORTOFORZE MOTRICI DEI PROCESSI DI TRASPORTO

processo di trasporto molecolare tra punti / regioni diversedi uno stesso sistema / fase

oppure di sistemi / fasi diverse comunicanti tra loroattraverso una parete / interfaccia permeabile al processo

trasporto molecolare di energia (calore)prodotto da condizioni di non equilibrio termico

velocità di trasporto molecolare in direzione xda alta T a bassa T

velocità di trasporto dipendente dadifferenza di temperatura ΔT e distanza Δx

ΔT ≠ 0

dalla velocità di trasporto dipendono:

le dimensioni dell’apparecchiaturadestinata allo scambio termico (condizione di progetto)

la capacità di scambio termicodi un’apparecchiatura esistente (condizione di verifica)

T grandezza misurabile e controllabile


trasporto molecolare di materiaprodotto da condizioni di non equilibrio chimico:

velocità di trasporto molecolare della specie i in direzione xda alto potenziale chimico μi a basso potenziale μi

velocità di trasporto dipendente dadifferenza di potenziale Δμi e distanza Δx

Δμi ≠ 0

μi grandezza di riferimento necessariain presenza di più cause fisiche del trasporto di materia

(effetti di concentrazione, temperatura, pressione)

in termini volumetricidensità di massa ρi o densità (concentrazione) molare ci

in termini relativifrazione di massa ωi o frazione molare xi

Vmi

i =ρVnc i

i =

∑ρρ

=ωi

ii

∑=

i

ii c

cx

μi grandezza non misurabile (direttamente)

sostituzione con concentrazioni

ijij nnP,T,innV,S,ii n

GnUμ

≠≠⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=


due direzioni distintedella velocità (z) e del trasporto di quantità di moto (x)

trasporto molecolare di quantità di moto (mv, )da regione di alta velocità v a regione di bassa v

vm

grandezza vettoriale (non scalare)vm

z

xvalta v

bassa v

rappresentazione formale più complessa(ricorso a grandezze tensoriali)

per tener conto delle due direzioni

FLUSSIFLUSSIFLUSSI

flusso FΛ di una proprietà estensiva Λ:quantità di Λ che attraversa una sezione unitaria

nell’unità di tempo

trasporto molecolare → flusso diffusivotrasporto convettivo → flusso convettivo

AΛ.

dtdΛΛ =& portata di Λ attraverso

la sezione A normalealla direzione del trasporto

AF Λ

Λ

&=

VΛ

Λ =ρconcentrazione volumetrica di Λ:

AvV =&portata volumetrica:

vAVF ΛΛΛ ρ=ρ=&flusso convettivo di Λ

attraverso la sezione A

vF ΛΛ ρ=flusso convettivo di Λin un punto

flusso FΛ : grandezza vettoriale (FΛ o )FΛ

CONCENTRAZIONI VOLUMETRICHE E FLUSSICONCENTRAZIONI VOLUMETRICHE E FLUSSICONCENTRAZIONI VOLUMETRICHE E FLUSSI

energia cinetica

concentrazionevolumetrica

2

2

212

1

vV

mvρ=

flusso convettivoin direzione x

xvv •ρ 2

21

entalpia

)(ˆˆ0TTcH

VHm

p −ρ=ρ= xp vTTc •−ρ )( 0

massa (specie A)

AA c,ρ xAxA vcv ,ρ

xx v

Vmv

ρ=

quantità di moto (momento)

xx vv •ρ )(

yy v

Vmv

ρ= xy vv •ρ )(

zz v

Vmv

ρ= xz vv •ρ )(

flusso diffusivi equazioni costitutivedel trasporto molecolare

EQUAZIONI COSTITUTIVEEQUAZIONI COSTITUTIVEEQUAZIONI COSTITUTIVE

relazione valida per ogni Δx

Ax

Δx

T1 T2

flusso in direzione opposta al gradiente di temperatura

relazioni matematiche tra flussi diffusivi e forze motricisu scala molecolare (puntuale)

trasporto molecolare di energia (calore)osservazioni di Fourier

xTAkQ x Δ

Δ=&

x

Q&xTkq

ΔΔ

= flussodi calore

Δx → 0

dxdTkq =

flusso orientatoda alta T (T1) a bassa T (T2)

0<dxdT

TkqdxdTkqx ∇−=−=

legge di Fourier (estensibile in termini vettoriali)

conducibilità termica k:proprietà di trasporto del materiale


trasporto molecolare di materiaosservazioni di Fick

serbatoioad alta concentrazione di A

serbatoioa bassa concentrazione di A

diffusione

xxcJ A

xA ΔΔ

= AmD flusso diffusivo di A

Δx → 0

x

Ax

dxdxcJ A

xA AmD=

in direzione opposta al gradiente di concentrazioneflusso orientato da alta xA a bassa xA

0<dxdxA

legge di Fick (estendibile in termini vettoriali)

diffusività o coefficiente di diffusione DAm:proprietà di trasporto del materiale

proprietà di miscela (A m)

dxdc

dxdxcJ AA

xA AmAm DD −=−=a c costante

AA cxcJ ∇−=∇−= AmAm DD


trasporto molecolare di quantità di motoosservazioni di Newton

in direzione opposta al gradiente di velocità

z

xv

alta v

bassa v

trasporto di quantità di moto secondo zin direzione x

da strati ad alta vz a bassa vz

0>dxvd z

legge di Newton, valida per fluidi semplici (Newtoniani)(indipendente dalle condizioni di moto e dal tempo)

viscosità μ:proprietà di trasporto del materiale

dxvd z

xz μ−=τ

τxz flusso di quantità di moto (sforzo tangenziale)

primo indice: direzione del trasporto di quantità di motosecondo indice: direzione del moto

legge di Newton generalizzabile in forma tensoriale

v∇μ−=τ

ANALOGIEANALOGIEANALOGIE

equazioni costitutive (Fourier, Newton, Fick)

riscrittura delle leggi di Newton e di Fourier

ν viscosità cinematica, α diffusività termica

flussogradiente

proprietà di trasporto =

Ohmforza motriceresistenzaflusso =

: concentrazioni volumetrichezvρ Ac

: diffusivitàAmD,, αν

AmD diffusività (di materia)

significato analogo, stesse dimensioni ( L2/ t )confrontabili numericamente

numeri caratteristici: Prandtl, Schmidt

^

)v(ρdxdvv(ρ

dxd

ρμ

dxvdμτ zz

zxz −=−=−= )

)TT(c(ρdxdα)Tc(ρ

dxd

ρck

dxdTkq 0

ppp

x −−=−=−=

dxdcDJ A

AmxA −=

^^

^ Tcρ p

ESTENSIONI E GENERALIZZAZIONIESTENSIONI E GENERALIZZAZIONIESTENSIONI E GENERALIZZAZIONI

equazioni costitutive in coordinate sferiche e cilindriche

drvd z

rz μ−=τdrdTkqr −=

drdcJ A

Ar AmD−=

componente radiale in coordinate sferiche e cilindriche

z

x

y

z

r

θ

r

θ

Φ

equazioni costitutive in forma generalizzata(vettoriale e tensoriale)

v∇μ−=τAA cxcJ ∇−=∇−= AmAm DDTkq ∇−=

vettori (tre componenti)Jqtensore (nove componenti)τ

∇operatore

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ kz

jy

ix

: vettore (tre componenti)

∇operatore

gradiente digrandezza scalare vettore

gradiente digrandezza vettoriale tensore

divergenza digrandezza vettoriale scalare

T∇ Ac∇

v∇

(in coordinatecartesiane)

OPERATORE GRADIENTEOPERATORE GRADIENTEOPERATORE GRADIENTE

z

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ kz

jy

ix

coordinate cartesiane

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+ϑ∂∂

+∂∂

=∇ kz

jr

ir

1

coordinate cilindriche

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ∂

∂ϑ

+ϑ∂∂

+∂∂

=∇ ksinr

jr

ir

11

coordinate sferiche

z

x

y

z

r

θ

r

θ

Φ

STATI STAZIONARI E NONSTATI STAZIONARI E NONSTATI STAZIONARI E NON

stati stazionari(grandezze indipendenti dal tempo)

equazioni costitutive in differenti coordinate spaziali

v

z

x

( )xvz

( )xvz lineare in stato stazionario

F

per costante nel tempoF

AF

xz =τ costante nel tempo e nello strato piano(flusso di quantità di moto costante)

evoluzione della distribuzione di velocità nel tempoverso il profilo lineare (gradiente di velocità costante)

t1 t2> t1 t→∞

evoluzione analoghe in geometrie analogheper la distribuzione delle temperature e delle concentrazioni

F

LEGGI DI CONSERVAZIONE E BILANCI LEGGI DI CONSERVAZIONE E BILANCI LEGGI DI CONSERVAZIONE E BILANCI

applicazione dei principi di conservazionedi energia, di materia e di quantità di moto

bilanci di energia, di materia e di quantità di motoper volumi di controllo finiti

bilanci di energia, di materia e di quantità di motoin un punto (equazioni differenziali)

[ input ] - [ output ] + [ sources ] - [ sinks ] = [ accumulation ]equazione di conservazione

da applicare ad un volume di controllo

scelta agevole del volume di controlloin condizioni di trasporto monodimensionale

flussoz

x

y

LxLy

Δz rr+Δr

flusso

Δz

flusso D

Lz

flusso

Δr

LEGGI DI CONSERVAZIONE E BILANCI LEGGI DI CONSERVAZIONE E BILANCI LEGGI DI CONSERVAZIONE E BILANCI

i termini dell’equazione di bilancio vanno intesicome energia, materia e quantità di moto

entranti, uscenti, generati o consumati nell’unità di tempo

[ input ] e [ output ] risultano dal prodottodei flussi molecolari e convettivi

che attraversano le superfici del volume di controlloper le corrispondenti aree

[ input ] e [ output ] corrispondono, rispettivamente,ai flussi entranti e uscenti attraverso le superfici

seguendo la direzione positiva del sistema di coordinateindipendentemente dalla direzione del flusso reale

[ sources ] e [ sinks ] sono i termini legati a processidi generazione e di consumo

uniformi all’interno del volume di controllo

VHRA ΔΔ •

HΔ

AR velocità di reazione della specie A(moli di A reagenti per unità di volume e di tempo)

calore di reazione riferito alla specie Aenergia per moli di A reagenti

(endotermico: negativo, esotermico: positivo)

[ accumulation ] = 0 ⇔ stato stazionario

VRA Δ•

(termini di generazione positiva e negativa)reazione esotermica ed endotermica

RISOLUZIONE DEI PROBLEMI: ELEMENTI NECESSARI RISOLUZIONE DEI PROBLEMI: ELEMENTI NECESSARI RISOLUZIONE DEI PROBLEMI: ELEMENTI NECESSARI

elementi necessari per la risoluzione dei problemidi trasporto di energia, di materia e di quantità di moto

e procedura di risoluzione

equazioni di bilancio (equazioni differenziali)(principi di conservazione)

equazioni costitutive (equazioni differenziali)(comportamento dei materiali e

valori delle proprietà di trasporto)

condizioni al contorno e condizioni iniziali(particolarizzazione del problema)

(dalla soluzione generale a quella particolare)

combinazione dell’equazione di bilancioe dell’equazione costitutiva:

equazione per la risoluzione del problema(equazione differenziale)

soluzione generale attraverso integrazione/i

CONDIZIONI AL CONTORNO CONDIZIONI AL CONTORNO CONDIZIONI AL CONTORNO

esemplificazione per un problema di trasporto di energiain stato stazionario

problema del riscaldamento della guainacalcolo della distribuzione di T

filo elettrico con guaina esterna

LR

flusso2R2 2R1

r

z

TF

Condizioni del sistema (assunzioni, semplificazioni):

temperatura del filo costante in direzione ztemperatura alla parete interna della guaina (R1) eguale alla temperatura del filo TH

temperatura alla parete esterna (R2) eguale allatemperatura del fluido TF

0drdTr

drd

=)(

dal bilancio di energia in direzione radialeall’interno della guaina (e dall’equazionecostitutitva)


0LrrqrLqrrrrr =Δ+π−π ••

Δ+)(22

r

z

r+Δrr

L

[ input ] - [ output ] = 0

0r

qrrrqrrrrr =

Δ

Δ+−Δ+

)(

0=rrqdrd

drdTkqr −=

0=)(drdTkr

drd

0drdTr

drd

=)(k costante

due integrazioni : due costanti (C1, C2) da determinareper ricavare la soluzione specifica

due condizioni al contorno del sistema (guaina)

1RrperTT H ==

2RrperTT F ==

21 CrlnCT +=

1

1

2 Rrln

RRln

TTTT FHH

−−= 21 RrRper ≤≤


condizioni al contorno: due valori di temperatura

altre condizioni al contornonei problemi di trasporto di energia (calore)

riguardanti il flusso:

b) caso di perfetto isolamento

a) flusso costante al contorno

22

RrperqRr == costante

22

RrperqRr == 0

profilo di temperaturanella guaina

rRRnl

TTkdrdTkq FH 1

1

2

−=−=

cost

RRnl

TTkLqrL2Q FH =−

π=π=

1

22&

TF

TH


condizioni al contorno tipiche dei problemi di trasportodi energia, di materia, di quantità di moto

quantità di moto

energia

materia

costdxdTkq

ii =−=

sulle variabili sui flussi

0qi =perfetto isolamento

(adiabaticità)

costdxdcDJ

i

AiA =−=

0J iA =impermeabilità

da velocità di reazionealla superficie

(catalisi eterogenea)

costdxvd

i

jij =μ−=τ

+− τ=τii xijxij

all’interfaccia tra due fluidi

0ij =τall’interfaccia gas/liquido

costT =superfici isoterme

costcA=equilibrio

all’interfaccia

costv j =velocità dei contorni mobili

(assenza di slittamento)

0v j =contorni fissi

(assenza di slittamento)

TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO

TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO IN STATO STAZIONARIO

Trasporto assiale in un corpo cilindrico

TH

2R

r

z

TCLsuperficie isolata

superficie isolata 0qr =

022 =π−π ••Δ+

RqRqzzzzz


0=Δ

−Δ+

zqq

zzzzz

flusso2R

z+Δzz

0=−dzdqz

21 Cz

kCT +−=

k costante

1z Ccostq ==

dzdTkqz −=

1CdzdTk =−

0zperTT H ==LzperTT C == L

zTTTT CHH )( −−=

LTTk

zTk

dzdTkq HC

z−

−=ΔΔ

=−=



Trasporto di calore attraverso una parete

xΔx

xxqxxxq

Δ+

flusso monodirezionale(parete molto estesa)

0=− ••Δ+ zyxxxzyxx LLqLLq


0=Δ−

Δ+

xqq

xxxxx 0=−dxdqx

due strati(I : muro (L1), II: isolante (L2) )

1C=xq

analisi valida per 2111 ,0 LLxLLx +≤≤≤≤parete isolante

I1

Ix Cq = II

1II

x Cq =

condizione al contorno(interfaccia muro/isolante) )II

1I

11II

xI

x CC(Cqq ====

1Lx =

1

TF Ta

L1 L2

T0 T1 T2

flusso

y

zx

Ly

Lz



dalla legge di Fourier:

211 LLxL +≤≤parete isolante

dxdTkqC

dxdTkq

IIIIII

x1

III

x −===−=

I2I

1I CxkCT +−=

10 Lx ≤≤

II2II

1II CxkCT +−=

condizione al contorno(interfaccia muro/isolante)

1Lx =

condizione al contorno(interfaccia ambiente interno/muro)

0=x

condizione al contorno(interfaccia isolante/ambiente esterno)

21 LLx +=

FTT =I

iTTT == III

aTT =II

FI1I Tx

kCT +−=

2

3

4

2

1II1II

21I1

F LkCCL

kCT −=−3 )( III1F

II2 kk

LCTC 111 −+=

FI

2 TC =

4 x

II2

I1

aF q

kL

kL

TTC =+

−=1 flusso =

potenzialeresistenza



211 LLxL +≤≤parete isolante

10 Lx ≤≤

I

II2

I1

aFF

I

kx

kL

kL

TTTT+

−−= ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++

−−= II

1I1

II2

I1

aFF

II

kLx

kL

kL

kL

TTTT

1

2II

IaF

Fi

LL

kk1

TTTT+

−−=

II2

I1

kL

kL , resistenze in serie

ruolo della conduttività e dello spessore dello strato isolante

x

II2

I1

aF q

kL

kL

TTC =+

−=1

resistenza maggiore

flusso minore

L2 maggiore kII minore

Ti maggiore

KII decrescenteIT

IIT

KII= KI

iT



02)(22 =ΔΔπ+ΔΔ+π−Δπ ••Δ+

• zrrSzrrqzrq errrrr

temperatura esterna costante

Δz

r

r

z

Ta

r+Δr

[ input ] - [ output ] + [ sources ] = 0

L/R >> 1

2R

generazione uniforme di calore(effetto Joule)

solo flusso radiale qr

flusso

0)(

=+Δ

Δ+−•

•Δ+

•rS

rrrqrq

errrrr

rSdrrqd

er =)(

12

21 CrSrq er +=

rCrSq er

1

21

+=

qr grandezza finita,ovvero per vincoli di simmetria 01 =C

00

==rrq

Distribuzione radiale della temperatura in un filo conduttore



drdTkrSq er −==

21

22e Cr

4kST +−=

condizione al contorno esterno: aTT =

K costante

12 kk >

1k

a parità di condizioni esterne (Ta), riscaldamento controllato dalla conducibilità del materiale

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= 2

2e

a Rr1

4kRSTT )(



Alette di raffreddamento

dissipazione di calore da un corpo caldoproporzionale alla superficie e

alla differenza di temperatura tra superficie ed ambiente

incremento della superficie di scambiocon alette sottili metalliche (alette di raffreddamento)

necessità di avere la più alta differenza possibiledi temperatura tra superficie ed ambiente esterno

su tutta l’aletta

materiale di alta conducibilità termica:alette metalliche

alette sottili (sviluppo mono- o bidimensionale)

ragioni strutturaliconservazione di un profilo alto di T in senso assiale



Aletta di raffreddamento

(2R<<L)

[ input ] - [ output ] - [ sinks ] = 0

analisimonodimensionale

(T funzione di z)

dissipazione dovuta alla differenza di temperaturatra superficie T(z) e ambiente Ta

regolata dalla legge di raffreddamento di Newton

zRTThQ aS Δπ−= • 2)(&

)( ar TThThq −=Δ=

dissipazione relativa al tratto di lunghezza Δz:

h: coefficiente di trasmissione termicadipendente dai moti convettivi attorno alla superficie

riconducibile ad un termine di volume ( sink )

zRQqzRqQQ S

VVVS Δπ=Δπ== 2

2&

&&&&

2R

L

z

rΔz

Tw Ta



02)(22 =Δπ−−π−π ••Δ+

• zRTThRqRq azzzzz

0)(2 =−

−−R

TThdzdq az

dzdTkqz −= )( a2

2

TTkR2h

dzTd

−=

condizioni al contorno

0== zperTT w LzperdzdTqz ==→= 00

usando variabili adimensionali

)( 10 ≤Θ≤−−

=Θaw

a

TTTT

)10( ≤ζ≤=ζLz

Θ=ζΘ 22

2

Ndd

e ponendo

kRh

h2

=Γ

)(22

2

aTTkRh

dzTd

−=

soluzione generale :

)()( ζ+ζ=Θ NcoshCNsinhC 21

01 =ζ=Θ per 10 =ζ=ζΘ per

dd

LN hΓ=



ζ−ζ=−−

=Θ • NhsinNhtanNcoshTTTT

aw

a

NcoshNcosh )( ζ−

=Θ1

0

40

80

120

0 30 60 90z (cm)

T (°C)

alluminiok = 206 J m-1 s-1 K-1

2R = 2.54 cmh = 17 J m-2 s-1 K-1

0

40

80

120

0 30 60 90z (cm)

T (°C)alluminio

legno

importante ruolo di k

1=ζperNcosh1

=Θ

Tw= 120°CTa = 25°C

kRhLN 2

=

efficienzadell’aletta

calore dissipato con T(z) realecalore massimo teorico (per T = Tw)=



zRTThQ a Δπ−=Δ •• 2)(

calore dissipato dalla superficie dell’alettanel tratto di lunghezza Δz

RdzTThdQ a π−= •• 2)(Δz → 0

calore dissipato dall’intera superficie dell’aletta

∫∫ −π=π−= ••

L

a

L

a dzTTRhRdzTThQ00

)(22)(

h indipendente da z

calore dissipato eguale al calore cedutodalla parete calda all’aletta

0

20

2 )(=

•=

• −π=π=z

zz dzdTkRqRQ

calore massimo teorico

∫∫ −π=π−= ••

L

aw

L

aw dzTTRhRdzTThQ00

)(22)(



∫∫

∫

∫

∫

∫

∫ζΘ=

ζ

ζΘ=

−−

=−π

−π=η

1

01

0

1

0

0

0

0

0 )()(

)(2

)(2d

d

d

dz

dzTTTT

dzTTRh

dzTTRh

L

L

aw

a

L

aw

L

a

NNtanhd

1

0

=ζΘ=η ∫

efficienzadell’aletta

calore dissipato con T(z) realecalore massimo teorico (per T = Tw)

=

ζ

Θ

0 1

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10N

η

kRhLLN h

2=Γ=

alta efficienza k grande(L piccolo, h piccolo, R grande)

0.1

1

0.1 1 10N

η

TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO NON STAZIONARIO

TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO NON STAZIONARIO IN STATO NON STAZIONARIO

problemi in stato non stazionario

Esempio:processo di riscaldamento di una sfera metallica

equazioni differenziali a derivate parziali

riducibili a equazioni differenziali ordinariecon semplificazioni

termocoppia

elemento riscaldante

sfera metallica(temperatura iniziale T0 )

immersa in un bagnocon temperatura TH

TH costante nel tempoTH > T0

scambio di calore tra fluido e superficie della sferavariabile nel tempo e governato dalla legge di Newton

)(4 2RH TThR −= πQ&

distribuzione di temperatura all’interno della sfera T(r) ?



e

rr+Δr

flusso

[ input ] - [ output ] = [ accumulation ]

=δΔ+π−δπΔ+

tqrrtqrrrrrr

22 44 )(

[ input ] - [ output ] =

tqrqrrrrrr δπ−π

Δ+))()(( 22 44

[ accumulation ] → aumento di energia interna Unel tempo

0, →Δδ rt

( ) ( )0P

0V TTcTTcU −≅−=

riducibile ad una sola variabile dipendente (temperatura) tramite

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=∂∂

rTr

rr1

ρck

tT 2

2P

rTkqr ∂

∂−=


00 == tperTT

condizione iniziale

00 ==∂∂ rper

rT

RrperTThrTk HR

=−=∂∂

− )(

^

( ) ( )( ) ( ) rrUUtqrqrtttrrrrr Δπ−ρ=δ−π

δ+Δ+222 44 ^^

tUqr

rr r ∂∂

ρ=∂∂

− )( 22

1 ^

^ ^ ^



soluzione esatta per via numerica: T(r,t)

t

r/R

T

r/R

T

r/R

T

soluzione approssimata in forma chiusaper la cinetica di riscaldamento T(t)

ipotesi semplificativa: T uniforme all’interno della sfera

calore scambiato = termine di generazione = accumulo

[ sources ] = [ accumulation ]

( ) ( ) 32

344 RUUtTThR

tttH π−ρ=δ−πδ+

( ) TcUU ptttδ=−

δ+

( )TTRh

dtdTc Hp −=ρ

3

^ ^

^ ^ ^

^



( ) 11p

H CtCtRc

hTTln +Φ=+ρ

=−−3

Rch

pρ=Φ

3

0tperTT == 0 ( )0TTlnC H1 −−=

( )( ) t

TTTTln

H

H Φ−=−−

0

( ) ( )tpexTTTT HH Φ−−−= 0 t

T

verifica sperimentale

sfera di alluminio(R = 2.5 cm)

(T0 = 0°C, TH = 57°C)

)(. 112 KscmJ0790h −−−=

0.1

1

0 10 20 30 40 50t (s)

(TH-T

)/(T H

-To)

0

20

40

60

0 10 20 30 40 50t (s)

T

0390Rc

h3

p

.=ρ

=Φ

ρ = 2.65 g cm-3

cP= 0.92 J g-1K-1

^

^

^

^

TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)

aletta di raffreddamento)( aTT

kRh

dzTd

−=2

2

2

NcoshNoshc )( ζ−

=Θ1

h: coefficiente di trasmissione termicadipendente dai moti convettivi attorno alla superficie

h costante

in assenza di moti prodotti da forze esterne(convezione forzata)

h dipende dall’intensità dei moti convettivi naturali,prodotti dal gradiente di densità locale

h dipende da ΔT1/4

h dipende da z: h maggiore per z minore

( ) 45a2

2

TTRk

2CzdTd /−=

( ) 41aTTCh /−=

migliore accordocon i dati sperimentali

0

40

80

120

0 30 60 90z (cm)

T (°C)

ANALOGIE E SIMILITUDINIANALOGIE E SIMILITUDINIANALOGIE E SIMILITUDINI

kcPr Pμ

=αν

= diffusività di quantità di motodiffusività termica

analogie e similitudini tra problemi di trasportoriconoscibili attraverso l’analisi adimensionale

(equazioni in forma adimensionale, gruppi adimensionali)

dxdcJ A

xA AmD−=

confronto tra proprietà,riconoscimento dei fattori fisici determinanti

soluzione di problemi per analogia, semplificazione di problemi

(trasformazione di equazioni differenziali a derivate parzialiin equazioni differenziali ordinarie)

)( Tcdxdq Px ρα−= ( )xyx v

dxdτ ρν−=

)(,, 12 −να tlàdiffusivitAmD

AmPAm Dck

DLe

ρ=

α= diffusività termica

diffusività di massa

AmAm DDSc

ρμ

=ν

= diffusività di quantità di motodiffusività di massa

numeri di Prandtl, Schmidt, Lewis

Pr e Sc presenti nelle analisi di problemi riguardantimoti convettivi combinati con conduzione di calore o

con diffusione di massa

diffusività e gruppi adimensionali

^

^

^

ANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALIANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALIANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALI

riscaldamento di una sfera metallica : T( r , t )

)(rTr

rrtT

∂∂

∂∂

α=∂∂ 2

2

1


0tperTT 0 ==

condizione iniziale

0rper0rT

==∂∂

( ) RrperTThrTk

RHR

=−=∂∂

rr+Δr

flusso

RHR r

ThkTT

∂∂

−=−

HRTT →

∞→h

moti convettivielevati

0qRr →0h →

moti convettivimolto limitati

0rT

R

→∂∂

H

H

TTTT

−−

=Θ0 R

r=η

cttt =∗

)( 2* η

ηηη

1Rtα

t 22c

∂Θ∂

∂∂

=∂Θ∂

∗

∗

∗ ∂Θ∂−

=∂∂

∂Θ∂

Θ∂∂

=∂∂

ttTT

tt

tT

tT

c

H0

trasformazionedelle derivate

η∂Θ∂−

=∂η∂

η∂Θ∂

Θ∂∂

=∂∂

RTT

rT

rT H0

Pρck

=α ^


)η

(ηηη

1t

22 ∂

Θ∂∂∂

=∂Θ∂

*α

=2Rtc


01 ==Θ ∗tper00 =η=η∂Θ∂ per

11=ηΘ−=

η∂Θ∂ per

m hRkm =

soluzione:

),,( mtf ∗η=Θ

m/1modulo di Biot

rappresentazionegrafica

carte di Gurney-Lurie

condizione iniziale

m

η

Θ

∗t

Fot ⇔*numero di Fourier


Θ H

H

TTTT

−−

=Θ0

Rr

=η

hRkm =

2Rtt α

=∗


carta di Gurney-Lurie per geometria cilindrica


carta di Gurney-Lurie per geometria rettangolare

SEMPLIFICAZIONE DI PROBLEMISEMPLIFICAZIONE DI PROBLEMISEMPLIFICAZIONE DI PROBLEMI

semplificazione di problemi di stato transitorionella fase iniziale:

trasformazione di equazioni differenziali a derivate parzialiin equazioni differenziali ordinarie

riscaldamento di un mezzo solidomesso a contatto con una parete calda

z

Ts

2

2

zT

tT

∂∂

α=∂∂


0tperTT == 0

condizione iniziale

0t0zperTT s >== ,0tzperTT 0 >∞== ,

tz

=ζcondizioni iniziali e al contorno

00 =η=ζ= ,perTT s

∞=η∞=ζ= ,perTT 0

tzα

=η4

0

0

TTTT

s −−

=Θ

tzerfde

tz

α−=η

π−=Θ ∫

αη−

4121

4

0

2/

022

2

=ηΘ

η+ηΘ

dd

dd

la variazione di temperatura con z si riduceall’ 1% del totale per η ≅ 2

tz α≅ 4

SEMPLIFICAZIONE DI PROBLEMISEMPLIFICAZIONE DI PROBLEMISEMPLIFICAZIONE DI PROBLEMI

)()(td

dTTtd

dddT

tT

sη

−ηΘ

−=∂η∂

ηΘ

Θ=

∂∂

21

0

zddTT

zdd

ddT

zT

sη

ηΘ

−=∂η∂

ηΘ

Θ=

∂∂ )( 0

2

2

20

2

02

2

ηΘ−η

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ηηΘ

−∂∂

=∂∂

dd

zTT

zddTT

zzT s

s)()(

2

2

20

2

021

ηΘ−η

α=ηΘ

−η

−dd

zTT

ddTT

ts

s)()(

022

2

=ηΘ

η+ηΘ

dd

dd

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2η

Θ

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2η

Θ

semplificazione(strato limite)

stratolimite

01.0=Θ

tzα

=η4 0

0

TTTT

s −−

=Θ

TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIATRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIATRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA

oggetto dell’analisi: miscele di due o più componenti

maggiore complessità dell’analisi del processo di trasportorispetto agli altri processi molecolari:

proprietà di miscela (non di una singola specie)

maggiore difficoltà di previsione delle proprietà

diffusione di materia: processo di trasporto molecolare

legato al moto molecolare di una specie A edallo stato di non equilibrio del sistema,

prodotto da un gradiente di potenziale chimico(differenze di concentrazione di A nel sistema)

risultante in un moto (flusso) netto della specie Aorientato e differente da quello delle altre specie,

distinto per causa e direzionedall’eventuale moto convettivo dell’intero sistema

necessità di definire in maniera appropriatale grandezze (flussi e gradienti) utili per l’analisi

trasporto molecolare di materia

TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:FLUSSI DIFFUSIVI

TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:FLUSSI DIFFUSIVIFLUSSI DIFFUSIVI

moto molecolare (Browniano)in stato di equilibrio

moto molecolare diffusionalein stato di non equilibrio

direzione del gradientedi potenziale

moto molecolare diffusionale di A +moto convettivo d’insieme nella stessa direzione

moto molecolare diffusionale di A +moto convettivo d’insieme in direzione opposta

trasporto molecolare di A legato alla velocità relativa(velocità di A relativa alla velocità del sistema)

scelta duplice per la concentrazione:ρi (massiva), ci (molare)

TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:FLUSSI DIFFUSIVI

TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:FLUSSI DIFFUSIVIFLUSSI DIFFUSIVI

flusso massivodella specie i

iiin vρ=

∑∑

ρρ

=i

ii vv

velocità media ponderale

flusso molaredella specie i

iii cN v=

∑∑=

i

ii

cc v

v*

velocità media molare

flusso diffusionalemolare della specie i )vv( ** −= iii cJ

)vv( −= iii cJ

v v *≅per

relazione tra i flussi molari

∑∑∑

−=−=−=j

jji

ii

jj

jjj

iiiiii cccc

c

ccccJ vv

vv)vv(

∑∑ −=−=j

jiij

jjiiii NxNcxcJ vv

0∑ ∑∑∑ ∑∑∑ =−=−= •

i jji

ii

i jji

ii

ii NxNNxNJ

0=∑i

iJ BA JJ −= sistemabinario

*ii JJ ≅

TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:FLUSSI DIFFUSIVI – LEGGE DI FICK

TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:FLUSSI DIFFUSIVI FLUSSI DIFFUSIVI –– LEGGE DI FICKLEGGE DI FICK

flusso diffusionale molare della specie Aregolato dalla legge di Fick

AABBAAAA xDcNNxNJ ∇−=+−= )( sistemabinario

BAAB DD =DAB diffusività: proprietà di miscela

0=∇−∇−=+ BBAAABBA xDcxDcJJ

0=∇+∇ BBAAAB xDxD0=∇+∇ BA xx BAAB DD =

)( BAAAABA NNxxDcN ++∇−=

flussodiffusionale

flussoconvettivo

vcJvcxJvcxJvcxJN iiiij

jiij

jjiii +=+=+=+= ∑∑ •

flusso complessivo risultante dalla sommadei flussi molecolare e convettivo

AABA cDJcostantecper ∇−=

[ L2 t-1 ]

sistemabinario

TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:DIFFUSIONE ATTRAVERSO UNO STRATOTRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:DIFFUSIONE ATTRAVERSO UNO STRATODIFFUSIONE ATTRAVERSO UNO STRATO

esempio di diffusione di materia: strato attraversato da una o più specie

(membrana solida, film gassoso…)

flusso di una singola specie (A) in direzione z(membrana semipermeabile I-I)

dal bilancio relativo a Δz

Lx, Ly estesi rispetto a δ

analisi in forma monodimensionale

x

y

z

Ly

Lx

δ

flusso

δ

liquido

concentrazioni di A nello strato(lato liquido, lato gas) costanti nel tempo:

analisi in stato stazionario

z = 0 xA0, xB0z = δ xAδ, xBδ

membrana semipermeabile NBz = 0xAδ > xA0 flusso NAz da lato gas a lato liquido

)( BzAzAAzAz NNxJN ++=)( BzAzBBzBz NNxJN ++=

AAzAz x

JN−

=1

1

0=−Δ+

••zzAzyxzAzyx NLLNLL

flussodi A

zgas

Δz

I

I


z = 0 x = xA0

z = δ x = xAδ

A

AAB

AAzAz xdz

dxcDx

JN−

−=−

=1

11

1

0=Δ

−Δ+

zNN

zzAzzAz

0→Δz0=

dzdN Az

1Acost ==AzN

dzcDx

dx

ABA

A 1A1 1=

−−

21 A1A)1(ln +=− zcD

xAB

A

)1(lnA 02 Ax−=

))1(ln)1((ln1A 01 AAAB xxcD −−−δ

= δ

δδ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=−−

z

A

A

A

A

xx

xx

00 11

11

distribuzionedella concentrazione di A

nello stratoper differenti xAδ

Ax

δz


‘stagnant film diffusion’

00

0 11

== −−== z

A

AABzAzAz dz

dxx

cDNN

011ln

A

AABAz x

xcDN−−

δ= δ

NBz = 0

‘equimolar counterdiffusion’NBz = - NAz

1A)( =−=++−=dz

dxcDNNxdz

dxcDN AABBzAzA

AABAz

21 A1A +−= zcD

xAB

A

z = 0 x = xA0 = A2

z = δ x = xAδ 2AB

1 AcD

A+δ−=

00 )( AAAA xzxxx +δ

−= δ

δ−

−=−== δ

==

0

00

AAAB

z

AABzAzAz

xxcDdz

dxcDNN

Ax

δz

catalisi eterogenea(reazione alla superficie di un catalizzatore)

particelle catalitiche(alta superficie specifica = alta porosità)

efficacia della reazione legata alla diffusionedei reagenti all’interno dei pori

TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICA

TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIATRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICA

zeolite

zeolite sintetica (nanosheets)

bisolfuro di molibdeno sintetico

foam catalyst

catalisi eterogenea(reazione alla superficie di un catalizzatore)

particelle catalitiche(alta superficie specifica = alta porosità)

efficacia della reazione legata alla diffusionedei reagenti all’interno dei pori

idealizzazione del sistema e semplificazione del problemadiffusione in un poro cilindrico

z D

A→B

L

A→B reazione irreversibile di primo ordine

ArsA ckR =)(ScR AA ,∝D << L → riduzione a problema monodimensionale

LDckR ArA π= )(),( rcczcc AAAA ≠=

termine di consumo di A (superficiale) ridotto a termine di consumo riferito al volume

Dck

LDLDckR ArAr

VA4

4

)( 2 =π

π=





analogia con il problema del trasporto di calore (assiale)in un corpo cilindrico

0→Δz

D << L → riduzione a problema monodimensionale

044)( 2

2

=−=−−−Dck

dzcdD

Dck

dzdcD

dzd ArA

ABArA

AB

04

)(44

222

=Δπ

−π

−π

Δ+zDRDNDN VAzzAzzAz

input - output - sink

0)( =−− VAAz RNdzd

dalla stechiometria di reazione: BzAz NN −=

‘equimolar counterdiffusion’

dzdcDNNx

dzdxcDN A

ABBzAzAA

ABAz −=++−= )(

DAB costante

042

2

=−Dck

dzcdD ArA

eff

DAB diffusività molecolare ⇔ urti molecola-molecola

diametro D >> cammino libero medio molecolare λdensità medio-alta del fluido

bassa densità del fluido ⇒ D comparabile con λ

urti molecola-parete ⇔ diffusività di Knudsendipendente dalla geometria

Deff diffusività effettiva, legata alla geometria reale(lunghezza e tortuosità dei percorsi diffusivi reali)

e alle condizioni di densità (bassa o alta)

z = 0 cA = cA0

z = L 0=dz

dcA

z = L ⇔ r = 0

0=ArN

condizioni al contorno ed equazione differenzialeanaloghe al caso del raffreddamento di un aletta

soluzione analoga



)(42

2

aTTkD

hdz

Td−=

kRh

h2

=Γ LN hh Γ=

Θ=ζΘ 22

2

hNdd

aw

a

TTTT

−−

=ΘLz

=ζ

h

h

NN

cosh)1(cosh ζ−

=Θ

Aeff

rA cDD

kdz

cd 42

2

=

0A

A

cc

Lz

=ζ

0

2

02

2

A

Ac

A

A

ccN

cc

dd

=ζ

Reff

rc D

k2=Γ LN cc Γ=

profili assiali analoghi di temperatura e concentrazioneespressioni analoghe dell’efficienza

c

c

A

A

NN

cc

cosh)1(cosh

0

ζ−=

efficienza reagente convertito con cA(z) realemassima conversione (per cA = cA0 )

=

c

c

A

A

NNd

cc tanh1

0 0

=ζ=η ∫



0.1

1

0.1 1 10N

ηfattore di Thiele

LD

kNeff

rc R

2=

Nc

diffusion-controlled

reaction-controlled

kr basso:kr parametro limitante

Deff basso:Deff parametro limitante



TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIAATTRAVERSO UNA MEMBRANA

TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIATRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIAATTRAVERSO UNA MEMBRANAATTRAVERSO UNA MEMBRANA

separazione a membrana:separazione di miscele gassose

basata sulla differente diffusività dei componentiattraverso una membrana (polimerica o ceramica)

H2/CO

H2/ N22R1 2R2

0)(22 =Δ+π−πΔ+

LrrNrLNrrArrAr

analisi della diffusione di H2attraverso la membranaper concentrazioni costantidi A, B, C nelle due fasi(stato stazionario)

H2N2CO

ABC

r+Δrr

zr

L

cAs cCs

cA0 cB0

NAr

0)( =− rNdrd

Ar

1cost ArNAr ==

l’equazione costitutiva può essere semplificata(piccolo valore di xA)

ArCrBrArAArAr JNNNxJN ≅+++= )(

drdcD

drdxcDJN A

AA

AArAr −=−=≅

DA diffusività di Aattraverso la membrana

c costante

rDA

drdc

A

A 11−=

21 ln Ar

DAc

AA +−=


10 Rrcc AA =⇔=

2Rrcc AsA =⇔= 21, AA

1

2

0

2 ln2

RRcc

RDN AsAA

RAr−

=

1

2

0

lnRRcc

rDN AsAA

Ar−

=

flusso uscente dalla membrana

1

2

1

0

0

RRRr

cccc

AsA

AA =−−

ln

ln

cAs

cA0



21 Arln

DAc

AA +−=

10 Rrpercc AA ==

1

2

0

22

RRln

ccRDN AsAA

RAr−

=

1

2

1

0

0

RRln

Rrln

cccc

AsA

AA =−−

ln

ln

cAs

cA0



21 CrlnCT +=

1RrperTT H ==

2RrperTT F ==

1

1

2 Rrln

RRln

TTTT FHH

−−=

TH

1

22

RRnl

TTRkq FH

R2

−=

2Rrpercc sAA ==

1

2

0

ln2

RRccLDW AsA

AA−

= π

RcDAW A

AmA ΔΔ

=

22

0

1

2

0

ln2

RRccD

RRccLD

AAsA

A

AsAA

m

−−

−

=

π

mlm A

AA

AA

RR

RRLA =−

=−

=

1

2

12

1

2

12

lnln

)(2π

area media logaritmica

RcDAW A

AmlA ΔΔ

=

1

2

02

ln22

2

RRccDRN

LW AsA

AR

ArA −

== ππportata molare

uscente(per unità di lunghezza)



TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’ DI MOTOTRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITATRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’’ DI MOTODI MOTO

trasporto molecolare di quantità di motoda regione di alta velocità v a regione di bassa v

in direzione diversa da quella del moto

x

yv

alta v

bassa v

trasporto convettivo di quantità di motonella direzione del moto

in direzione opposta al gradiente di velocità

trasporto di quantità di moto secondo x in direzione yda strati ad alta vx a bassa vx

condizione di moto laminare: moto ordinatofluido idealmente suddiviso in strati

strati paralleli tra loro (regione piana di flusso)strati concentrici tra loro (moto in tubazioni, moto rotazionale in geometrie cilindriche), …

τyx flusso di quantità di moto (sforzo tangenziale)primo indice: direzione del trasporto di quantità di moto

secondo indice: direzione del moto

TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’ DI MOTOFLUSSO TRA PIANI PARALLELI (COUETTE)

TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITATRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’’ DI MOTODI MOTOFLUSSO TRA PIANI PARALLELI (COUETTE)FLUSSO TRA PIANI PARALLELI (COUETTE)

v

x

y

( )yvx

( )yvx lineare in stato stazionario

F

costante nel tempoF

AF

yx =τsforzo tangenziale

costante nel tempo e nello strato piano(flusso di quantità di moto costante)

v

x

yA

b

Δy ΔyLx

Lz

yyxτ

yy Δ+τyx

0=τ−τΔ+ zxyyzxy

LLLL yxyx

0=τ− yxdyd cost=τyx

0)v( =μdyd

dyd x

fluido Newtonianodyd xv

μ−=τyx

21v CyCx +=


00v =⇔= yx

0)v( =μdyd

dyd x

cost=μcost)( =T

byx =⇔= vv by

x vv =

costvv==

bdyd x

flusso prodotto da contorno mobile eda gradiente di pressione (forze di superficie)

ΔyLx

Lz

yyxτ

yy Δ+τyx

xP

Lxx+P

Lxxx +≠ PP

0PP =Δ−Δ+τ−τ+Δ+

yLyLLLLL zxLxzxzxyyzxy yxyx

0PPP=

Δ−

τ−=

−−

τ− +

xx

xxLx

Ldyd

Ldyd yxyx

x

x

Ldyd

dyd P)v( Δ

=μ

gradiente di pressione ≈ source / sink

x

x

Ldyd

dyd

μP)v( Δ

=




00v =⇔= yx

byx =⇔= vv

1Pv CyLdy

d

x

x +μΔ

=

21

2

2Pv CyCyLx

x ++μΔ

=

21 CC

by

by

byb

Lxx v

2Pv

22

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

μΔ

=

velocità media2v

12Pv

2

+μ

Δ−=

xx L

b

portata volumetrica bLLbLbL z

x

zzx 2

v12Pv

3

+μ

Δ−=

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1v(y) / v

y/b

ΔP<0

ΔP<0



TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’ DI MOTOFLUSSO SU SUPERFICI

TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITATRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’’ DI MOTODI MOTOFLUSSO SU SUPERFICIFLUSSO SU SUPERFICI

forza peso = source

flusso prodotto dal campo gravitazionale(forze di volume)

esempio: flusso di condensato su superficie cilindricain condensatore (lato mantello)

rz

r+Δrr

L

δf

R

rrzτrr Δ+

τrz

02)(22 =Δπρ+Δ+πτ−πτ ••Δ+

• rLrgLrrrL zrrr rzrz

0)(1=ρ+τ− zgr

drd

r rz

rCrgz 1

2+

ρ=τrz

condizioneall’interfaccia film/gas fRrper δ+==τ 0rz

21 )(

2 fz RgC δ+

ρ−=

))(

(2

v 2

rR

rgdr

d fzz δ+−

ρ=μ−=τrz

2

22 ln

2)(

4v Cr

Rgrg fzz

z +μ

δ+ρ+

μρ

−=

condizioneall’interfaccia film/parete Rrper == 0vz

RrRg

RrRg fzz

z ln2

)()(1

4v

22

2

μ

δ+ρ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

μρ

=

0

1

2

3

4

5

6

1 1.0025 1.005 1.0075 1.01

r/R

v

fR δ+R

TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’ DI MOTOFLUSSO SU SUPERFICI

TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITATRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’’ DI MOTODI MOTOFLUSSO SU SUPERFICIFLUSSO SU SUPERFICI

TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’ DI MOTOFLUSSO IN TUBI

TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITATRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’’ DI MOTODI MOTOFLUSSO IN TUBIFLUSSO IN TUBI

z

r

Δz

rrzτ

rr Δ+τrz

zzP

Δ+

zP

ϑ

flusso prodottodal campo gravitazionalee da forze di pressione

flussolaminaresviluppato, stazionarioe isotermo

02sin22

)(22

=ΔΔπϑρ+Δπ−Δπ

+ΔΔ+πτ−Δπτ

••Δ+

•

•Δ+

•

zrrgrrPrrP

zrrzr

zzz

rrrzrrz

+ΔΔπϑρ+Δπ−Δπ

+ΔΔ+πτ−Δπτ

••Δ+

•

•Δ+

•

zrrsingrrPrrP

zrrzr

zzz

rrrzrrz

222

22 )(

( )( ) ( )( ) 0=ρΔπ−ρΔπ== Lzzz0zzz vvrr2vvrr2

fluido incomprimibile



z

r

Δz

rrzτ

rr Δ+τrz

zzP

Δ+

zP

ϑ

flusso prodottodal campo gravitazionalee da forze di pressione

flussolaminaresviluppato, stazionarioe isotermo

02sin22

)(22

=ΔΔπϑρ+Δπ−Δπ

+ΔΔ+πτ−Δπτ

••Δ+

•

•Δ+

•

zrrgrrPrrP

zrrzr

zzz

rrrzrrz

0sin)()(

=ϑρ+Δ

−+

Δτ−τ

Δ+Δ+ grzPP

rrrr

zzzrrrzrrz

zgP ϑρ+−=℘ sin

zgPPzzzzzz

Δϑρ++=−=ΔΔ+Δ+

℘℘℘ sin-

0)()(

=ΔΔ

+Δ

τ−τ ℘Δ+

zr

rrr

rrrzrrz

pressione modificata: somma degli effettidella pressione e del campo gravitazionale

0)(=+

τ−

℘dzdr

drrd rz

condizione sull’asse:

Ldzd

drrd

rrz ℘℘ Δ

−=−=τ

−)(1

rCr

Lrz1

2+

Δ=τ

℘

finitor rz =τ= 0 01 =C

drdvr

Lz

rz μ−=Δ

=τ℘

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

μΔ

=℘ 2

2

)R

(14

R rL

vz

LRdrr2vRvQ

4R

z2

z μΔπ

=π=π⟩⟨=℘

∫ •80

28R max,

2z

zv

Lv =

μΔ

=⟩⟨℘

equazione di Hagen - Poiseuille

r/R

vz/vz max



distribuzione radiale dello sforzo tangenziale



vz

drdvz

rzτ

( )12 μ<μ1μ

distribuzione radiale del gradiente di velocità

12

1 2

distribuzione radialedella velocità

fluidi newtoniani fluidi non newtoniani

vz

drdvz

distribuzione radiale del gradiente di velocità

1 2

1 2

distribuzione radialedella velocità

: pseudoplastico : dilatante



gradiente di velocità: profilo lineare e non

fluidi newtoniani e non:

rzτ

rzτdrdvz

vzvelocità: profilo parabolico e non

andamento lineare e nondella portata in funzione

della perdita di carico

Q

ΔP

rzτ

drdvz

drdvz

rz μ−=τdrdvz

rz μ−≠τ

drdvz

funzione lineare e non

di

PROPRIETA’ DI TRASPORTOMETODI DI CALCOLO TEORICO E CORRELAZIONI

PROPRIETAPROPRIETA’’ DI TRASPORTODI TRASPORTOMETODI DI CALCOLO TEORICO E CORRELAZIONIMETODI DI CALCOLO TEORICO E CORRELAZIONI

proprietà di trasporto:valori numerici

approcciteorici equazioni di

correlazionemetodi

‘predittivi’

datisperimentali

possibilità di previsione teoricalegate alla congruità del modello fisico

gas diluiti (bassa densità) liquidi

viscositàviscositàconducibilità termica

diffusività

teoria elementare dei gasteoria di Chapman Enskog

teoria di Eyring

PROPRIETA’ DI TRASPORTOVISCOSITA’ DI GAS DILUITI

PROPRIETAPROPRIETA’’ DI TRASPORTODI TRASPORTOVISCOSITAVISCOSITA’’ DI GAS DILUITIDI GAS DILUITI

teoria cinetica elementare dei gas

molecole = sfere rigidedistanza intermolecolare media >> diametro molecolare d

(assenza di interazioni)

potenziale di interazionevs distanza

‘hard sphere’ potential

Γ

rd

distanza media tra due collisioniin una data direzione

dalla teoria cinetica:

mTu

π=

k8 velocità media

unZ41

=frequenza di attraversamento

di un’area unitaria(n: densità numerica molecolare)

nd221π

=λ cammino libero medio molecolare

λ=32a

analisi del trasporto di quantità di mototra strati a differente velocità

y

x

vx(y)y

y+a

y-aa

in presenza di un gradiente di velocità secondo y:trasferimento netto di quantità di moto attraverso il piano y

(differente scambio dai piani y-a e y+a)

aa +•

−• −=τ

yxyxyx mvZmvZ

dydvv

dydvvv x

yxx

yxyx λ−=−=− 3

2aa

0<dydvx

dydvumn x

yx λ−=τ31

dydvv

dydvvv x

yxx

yxyx λ+=+=+ 3

2aa

dydvx

yx μ−=τλρ=λ=μ uumn

31

31

22

3k

3

2d

Tm

π=μ

5.0T∝μ 7.0T∝μ

)(Pf≠μ atmPPf 10per)( <≠μ

previsione teorica andamenti reali

PROPRIETA’ DI TRASPORTOVISCOSITA’ DI GAS DILUITI

PROPRIETAPROPRIETA’’ DI TRASPORTODI TRASPORTOVISCOSITAVISCOSITA’’ DI GAS DILUITIDI GAS DILUITI

PROPRIETA’ DI TRASPORTOCONDUCIBILITA’ TERMICA DI GAS DILUITI

PROPRIETAPROPRIETA’’ DI TRASPORTODI TRASPORTOCONDUCIBILITACONDUCIBILITA’’ TERMICA DI GAS DILUITITERMICA DI GAS DILUITI

mT

dk 3

3

2

k1π

=

5.0Tk ∝ 5.0>∝ nTk

)(Pfk ≠ atmPPfk 21per)( −<≠

22

3k

3

2d

Tm

π=μ

mT

dk 3

3

2

k1π

=

MR

NmN

mk

23

~~k

23k

23

===μ

RNTdTdNum

dTdN

TUC

VV 2

3~k23k

23~

21~ 2 ==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

≡

dalla definizione della capacità termica a volume costantee dalla teoria cinetica elementare

(l’energia molecolare è legata al solo moto di traslazionedelle molecole)

VV c

MCk

==μ

secondo la teoria cinetica elementare dei gasle due proprietà di trasporto sono correlate tra loro

attraverso il calore specifico a volume costante

PROPRIETA’ DI TRASPORTOCOEFFICIENTE DI DIFFUSIONE DI GAS DILUITI

PROPRIETAPROPRIETA’’ DI TRASPORTODI TRASPORTOCOEFFICIENTE DI DIFFUSIONE DI GAS DILUITICOEFFICIENTE DI DIFFUSIONE DI GAS DILUITI

PT

mdD

ABABAB

2/3

3

3

2k

32

π=

per una miscela binaria A-B

dipendenza differente da temperatura e pressionerispetto alle altre due proprietà di trasporto

( )BAAB ddd +=21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

BAAB mmm11

211

5.1TDAB ∝ 1−∝PDAB

k e μ legate alle collisioni molecolari

diffusività DAB legata al moto netto delle molecole(sfavorito dalla densità numerica di molecole (P)

PTDAB

2/3

∝

TnTRcP k== nTDAB

2/1

∝

PROPRIETA’ DI TRASPORTOE POTENZIALI DI INTERAZIONE

PROPRIETAPROPRIETA’’ DI TRASPORTODI TRASPORTOE POTENZIALI DI INTERAZIONEE POTENZIALI DI INTERAZIONE

potenziali di interazione interatomici e intermolecolari

potenziali di interazione interparticellari

PROPRIETA’ DI TRASPORTOTEORIA DI CHAPMAN-ENSKOGPROPRIETAPROPRIETA’’ DI TRASPORTODI TRASPORTO

TEORIA DI CHAPMANTEORIA DI CHAPMAN--ENSKOGENSKOG

teoria rigorosa di Chapman-Enskogper gas monoatomici a bassa densità

basata sui potenziali di interazione intermolecolare

potenzialedi Lennard-Jones⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σ

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σ

ε=Γ612

4)(rr

r

cT77.0k

=ε

Γ

rd

sostituito da

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3

Γ/ε

r/σ

d diametro molecolare sostituito da diametro di collisione σε, σ da tabelle o stimata da proprietà critiche (o altre)

3/1841.0 cV=σ

dal calcolo del contributo delle interazioni intermolecolari: valori di fattori correttivi

integrali di collisione Ωμ , Ωk , ΩD

Ωμ , Ωk , ΩD : funzioni della temperatura

correzioni nelle dipendenze delle proprietà di trasportodalla temperatura

PROPRIETA’ DI TRASPORTOTEORIA DI CHAPMAN-ENSKOGPROPRIETAPROPRIETA’’ DI TRASPORTODI TRASPORTO

TEORIA DI CHAPMANTEORIA DI CHAPMAN--ENSKOGENSKOG

22

3k

3

2d

Tm

π=μ

mT

dk 3

3

2

k1π

=

PT

mdD

ABABAB

2/3

3

3

2k

32

π=

μ

−

Ωσ=μ 2

810669.2 MT

μσ Ω= −

2231062.2

MTk

DAB

BAAB P

TMM

DΩσ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= −2

3

3

11

108824.1

sPainμKm/W •ink

KinT

s/m2inDAB

kPainPnminσ

)(21

BAAB σ+σ=σ BAAB εε=ε

εΩ=Ωμ

Tk

kdifunzioni

PROPRIETA’ DI TRASPORTONUMERO DI PRANDTL

PROPRIETAPROPRIETA’’ DI TRASPORTODI TRASPORTONUMERO DI PRANDTLNUMERO DI PRANDTL

confronto tra trasporto molecolare di quantità di moto e trasporto molecolare di energia:

confronto tra diffusività (numero di Prandtl)

=μ

=

ρ

ρμ

=αν

=kc

ck

P

P

Pr diffusività di quantità di motodiffusività termica

35

2325

Pr ===μ

=

MRMR

cc

kc

V

PPdalla teoria cinetica:stesso valore di Pr

per i gas monoatomiciindipendente da T

dalla teoriadi Chapman-Enskog: Vck

25

=μ 3

252Pr ==

V

P

cc

secondo una correzione semiempirica (Eucken)che tiene conto delle altri componenti di moto

(vibrazionali e rotazionali):

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

μ MRck

P 45

R1.25Pr

P

P

+=

CC

)T(PrPr)T(cc PP =→=

T (°F) aria N2 O2 CO2

0 0.721 0.719 0.718 0.792200 0.654 0.690 0.703 0.730600 0.680 0.686 0.688 0.700

PROPRIETA’ DI TRASPORTODI LIQUIDI E SOLIDI

PROPRIETAPROPRIETA’’ DI TRASPORTODI TRASPORTODI LIQUIDI E SOLIDIDI LIQUIDI E SOLIDI

viscosità di liquidi: sistemi Newtoniani e non

liquidi omogenei semplici,soluzioni polimeriche e sistemi dispersi

a basso contenuto di polimero o di fase dispersala viscosità dipende solo da T e P

e segue la legge di Newton

sistemi polimerici(soluzioni concentrate, gel, fusi)

sistemi dispersi concentrati(sospensioni, emulsioni, schiume)

cristalli liquidi (polimerici e non)la viscosità dipende non solo da T e P

ma anche dal gradiente di velocità e dal tempo

sistemi non Newtonianisistemi Newtoniani

da sviluppi teorici (Eyring) e dai dati sperimentali:viscosità di liquidi Newtoniani

funzione fortemente decrescente con T

TBAexp=μ valida

per T distanti da Tc

A e B da tabelle (Reid-Prausnitz-Poling), da correlazione di dati,

da relazioni teoriche approssimate

VNhA = bTB 8.3=



gel polimerico (actina)gel polimerico (agarosio)

fusi, soluzioni ordinarie

soluzioni associative

gel fisici

gel chimici

sistemi cristallini micellari

sistemi polimerici



fumed silica

carbon blackmultiwall carbon nanotube

red blood cells

kaolin



maionese: evoluzione della struttura in fase di preparazione

double emulsionwater/crude oil

10 μm10 μm

emulsione cosmetica inversa

maggior emulsionante



conducibilità termica di liquidi

grandezza di non facile misura sperimentale(effetti legati a moti convettivi naturali)

sVNk vk)(8.2 3/2=

approccio teorico di Bridgman per liquidi puri(modello fisico: reticolo cubico cristallino)

conducibilità k proporzionale alla velocità del suono vs

TTV

Ps

PPCC

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

ρ∂∂

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

ρ∂∂

≅=v

altre relazioni empirichein manuali (Reid-Prausnitz-Poling)

correlazione con conducibilità elettrica in conduttori elettriciequazione di Wiedemann-Franz-Lorenz

229 /volt102922 KLTk

k

e

−•÷==

conducibilità termica e diffusività in solidilegate alle caratteristiche della struttura

( amorfa / cristallina )( isotropa / anisotropa )

( grado di eterogeneità in matrici composite )

conducibilità termica di solidi



diffusività di liquidi

A

AAB F

uTD k=

teoria idrodinamica di Nerst-Einstein(moto equivalente di una sfera A in un liquido viscoso B)

(condizioni di ‘creeping flow’)

dimensioni differentidelle molecole A e B

ABAB R

TDπμ

=6

1kAB

AB RTD

πμ=

41k

dimensioni egualidelle molecole A e B

relazione empirica di Wilke-Chang

6.0161017.1

AB

BBAB V

MTD

μ

ψ= −

•

ψB parametro di associazione(1: solventi non associati, 1.5: etanolo, 2.6: acqua)

sPainBμKinTs/m2inDAB

molkg/m3inVA

PROPRIETA’ DI TRASPORTODI MISCELE GASSOSE

PROPRIETAPROPRIETA’’ DI TRASPORTODI TRASPORTODI MISCELE GASSOSEDI MISCELE GASSOSE

viscosità e conducibilità termica di miscele gassose(bassa densità)

∑∑=

=

φ

μ=μ

n

in

jijj

ii

x

x1

1

2/1

24/12/1

18

1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

j

i

i

j

j

i

ij

MM

MM

μμ

φ∑

∑=

=

φ=

n

in

jijj

ii

x

kxk1

1

viscosità di miscele liquide(equazione di Grunberg-Nissan)

∑∑∑= ≠=

+μ=μn

iijj

n

iji

n

iii Gxxx

11

lnln

Gij calcolabile con un metodobasato sui contributi di gruppo

1

2

2

12112 M

Mμμ

φ=φ

miscela binaria

2112

22

1221

11

φ+μ

+φ+

μ=μ

xxx

xxx

miscela binaria

21122211 lnlnln xxGxx +μ+μ=μ

PROPRIETA’ DI TRASPORTOPREVISIONE DELLA VISCOSITA’ (NEMD)

PROPRIETAPROPRIETA’’ DI TRASPORTODI TRASPORTOPREVISIONE DELLA VISCOSITAPREVISIONE DELLA VISCOSITA’’ (NEMD)(NEMD)

United Atom version of the TRAnsferable Potentialsfor Phase Equilibria (TraPPE-UA)

Reverse Non Equilibrium Molecular Dynamics (RNEMD)

1,2-butanediol 1,3-butanediol 1,4-butanediol

2-methyl-1,3-propanediol 1,2,4-butanetriol

PROPRIETA’ DI TRASPORTODATI DA LETTERATURA

PROPRIETAPROPRIETA’’ DI TRASPORTODI TRASPORTODATI DA LETTERATURADATI DA LETTERATURA

FLUIDI NON NEWTONIANIFLUIDI NON NEWTONIANIFLUIDI NON NEWTONIANI

sistemi polimericisospensioni e emulsioni concentrateschiumecristalli liquidi

),,,,( txPT i γη=η &

dyd xv

↔γ&

tipi di comportamento in flusso laminare(dipendenza di η da γ, dipendenza di τyx da γ)

..

τyx

γ&

a: Newtonianob: pseudoplasticoc: plasticod: dilatante

a

b

d

c

γ&log

a

b

d

cηlog

FLUIDI NON NEWTONIANIEQUAZIONI COSTITUTIVEFLUIDI NON NEWTONIANIFLUIDI NON NEWTONIANIEQUAZIONI COSTITUTIVEEQUAZIONI COSTITUTIVE

nxn

xyx m

dyd

dydm γ=−=τ

−

&vv

1

equazioni costitutive per fluidi non Newtoniani(dipendenza di η da γ, dipendenza di τyx da γ)

..

1−γ=η nm &

γη+τ=η−τ=τ &px

pyx dyd

00v

0per0 τ≥τ≥γ yx&

pη+γτ

=η&

0

nxn

xyx m

dyd

dydm γ+τ=−τ=τ

−

&0

1

0vv 10 −γ+

γτ

=η nm &&

pseudoplastico: n < 1, dilatante: n > 1

n−∞

∞ γλ+η−η

+η=η 10

)(1 &

legge di potenza (power law)

modelli plastici

modello di Bingham

modello di Herschel-Bulkley

modello di Cross

η=η→00 lim

γ&η=η

∞→∞ γ&lim


microemulsione O/W:crescente carattere pseudoplasticoper aggiunte crescenti di Carbopol

0.01

1

100

10000

1000000

0.000001 0.0001 0.01 1 100 10000velocità di deformazione (s-1)

viscosità(Pa.s)

microemulsionemicroemulsione

2%

1%

0.25%

0.5%

0.375%


microemulsione O/W – 1% Carbopol:confronto con modelli

powerpower lawlaw

η log

γ&log

HerschelHerschel--BulkleyBulkley

CrossCross

FLUIDI NON NEWTONIANIPROPRIETA’ TEMPO-DIPENDENTI

FLUIDI NON NEWTONIANIFLUIDI NON NEWTONIANIPROPRIETAPROPRIETA’’ TEMPOTEMPO--DIPENDENTIDIPENDENTI

differenti risposte a variazioni di condizioni di moto(differenti v, differenti gradienti di velocità)

vdyd xv

t

1γ&

2γ&

1γ&

yxτ

t

1τ

2τ

1τ

comportamentotempo-dipendente

tissotropico

0<∂τ∂tyx0>γΔ&

0>∂τ∂tyx0<γΔ&

comportamentopseudoplastico

2

22

1

11 γ

τ=η>

γτ

=η&&

associato a

Fenomeni Di Trasporto - Parte 1

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