RELAZIONE 2 1

FACOLATA’ DI INGEGNERIA CIVILE. CORSO DI FISICA1 PROF.: GIULIO MAZZI.

LABORATORIO DI FISICA SPECIALE.

Team di lavoro:

(gruppo 8). Relazione n°2. Analisi del moto di sfere piene o cave, con l’individuazione delle principali caratteristiche utilizzando modelli del moto e analizzando i grafici.

RELAZIONE 2 2

RELAZIONE 2 3

SVOLGIMENTO DELLA RELAZIONE. • Descrizione dell’apparato sperimentale utilizzato nell’esperienza. Il moto delle sfere è stato rilevato tramite l’ausilio di un sonar operante nel campo degli ultrasuoni, il suo principio di funzionamento è di rilevare il tempo di andata e di ritorno dell’impulso, conoscendo la velocità del suono a temperatura ambiente, che è pari a 343m/s. Tale velocità varia al variare della temperatura e delle condizioni ambientali, quindi questa variabilità può determinare un certo grado di errore nella misurazione. Gli impulsi che vengono emessi dal sonar non sono direzionali ma divergono con una ampiezza di 20° rispetto all’asse, quindi durante le operazioni di misurazione non ci devono essere oggetti o persone nelle vicinanze dell’apparato. Il grado di errore del sonar sulla misura effettuata è dell’ordine del millimetro. Oltre a tale parametro si deve tenere conto che il sonar ha dei limiti di misurazione, infatti, l’oggetto da rilevare deve essere posto ad una distanza compresa tra i 40cm e i 6m dal sonar, quindi noi durante le operazioni di rilevamento dovevamo tenere conto soprattutto della prima limitazione. Il sensore era sostenuto da un tubo in alluminio fissato al tavolo, al quale era fissato un’asta orizzontale. Il sonar è stato collegato ad un’interfaccia, che aveva il compito di salvare ed elaborare i dati provenienti dai due sensori. • Operazioni effettuate durante l’esperienza. La prima operazione è stata di configurare l’interfaccia per raccogliere i dati provenienti dal sensore. Dopo di che si è rilevata la messa delle sfere che avevamo a disposizione, questa operazione è stata compiuta anche nella seconda parte dell’esperienza quando abbiamo utilizzato palloni gonfiati d’aria, ma in questo caso abbiamo rilevato la loro circonferenza, e per i palloni più piccoli abbiamo utilizzato il calibro. Poi si entra nel vivo dell’esperienza, per prima cosa abbiamo fatto un segno sul pavimento con l’aiuto di un filo a piombo, per individuare esattamente il punto di caduta delle sfere. Nella prima parte dell’esperienza, abbiamo utilizzato due tipologie di palline: da pin-pong e una piena in gomma. Durante l’esperienza abbiamo incontrato delle difficoltà operative, legate al fattore della non verticalità dei rimbalzi che avvenivano, soprattutto per quanto riguarda la pallina piena. La presa dati nella prima parte dell’esperienza è avvenuta con un campionamento pari a 0.05s per 5s, nella seconda parte dell’esperienza, la modalità di presa dati è stata cambiata rispettivamente in 0.03s per 3s, questo perché i palloni gonfiati rimbalzano per un tempo sensibilmente minore e la trattazione dei dati così rilevati risulta migliore. Le prese dati che sono risultate migliori, sono state salvate nella calcolatrice, dopo di che, questi file sono stati trasferiti al computer e ai floppy, per poterli analizzare e studiare. Le prese dati a nostra disposizione sono 4, per ogni tipologia di palla utilizzata: nella prima parte dell’esperienza, come abbiamo già detto, sono state utilizzate una pallina da pin-pong e una piena di gomma, nella seconda parte dell’esperienza abbiamo usato 3 palloni gonfiati diversi.

RELAZIONE 2 4

PRIMA PARTE DELL’ESPERIENZA. • Dati sperimentali. Massa pallina piena→131g Diametro→6,5cm Massa pallina da pin-pong→2,8g Diametro→3,97cm Altezza dal suolo del sonar→1,277m Le masse sono state rilevate con l’ausilio di una bilancia elettronica con un grado di errore nell’ordine di un decimo di grammo. • Analisi della legge oraria del moto. Prima di tutto possiamo riportare i grafici che fanno riferimento ai moti delle due tipologie di palline, sono state scelte le rilevazioni che qualitativamente sembrano le migliori. Qui di seguito riportiamo i grafici che fanno riferimento alla pallina da pin-pong.

-0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

1,30

GRAFICO POSIZIONE VERSO TEMPO.

Pos

izio

ne (

m).

Tempo (s).

RELAZIONE 2 5

Mentre qui di seguito ci sono i grafici che fanno riferimento alla pallina di gomma.

-0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50-3,00

-2,50

-2,00

-1,50

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00GRAFICO VELOCITA' VERSO TEMPO.

Tempo (s).

Vel

ocit

à (m

/s).

-0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,500,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

1,30

GRAFICO POSIZIONE VERSO TEMPO.

Pos

izio

ne (

m).

Tempo (s).

RELAZIONE 2 6

A questo punto possiamo rilevare i massimi e i minimi dei grafici fin qui presentati. PALLINA DA PIN-PONG.

Grafico posizione verso tempo. Minimi (m). Massimi(m). 0.635 1.209 0.761 1.198 0.870 1.204 0.949 1.219 1.007 1.230 1.055 1.253 1.093 1.234 1.121 1.246 1.148 1.254 1.180 1.267

-0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50-3,00

-2,50

-2,00

-1,50

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00GRAFICO VELOCITA' VERSO TEMPO.

Tempo (s).

Vel

ocit

à (m

/s).

RELAZIONE 2 7

Grafico velocità verso tempo. Minimi (m/s). Massimi (m/s).

-2.529 2.454 -1.999 1.988 -1.794 1.655 -1.572 1.430 -1.363 1.350 -1.305 1.194 -0.864 1.086 -0.753 0.775 -0.741 0.705 -0.608 0.536 PALLINA PIENA DI GOMMA.

Grafico posizione verso tempo. Minimi (m). Massimi (m). 0.674 1.176 0.767 1.210 0.867 1.199 0.935 1.177 0.980 1.194 1.051 1.223

Grafico velocità verso tempo. Minimi (m/s). Massimi (m/s).

-2.366 2.169 -2.119 1.874 -1.813 1.702 -1.480 1.547 -1.199 1.361 -0.808 1.327 Passiamo all’analisi della legge oraria del moto considerando tutte le sue caratteristiche. Intanto si deve sottolineare che il processo fisico che si sta analizzando, è un fenomeno ripetitivo, e per essere trattato dal punto di vista fisico deve essere scomposto in tre fasi: la caduta, l’urto (cioè l’interazione con il pavimento) e la risalita. Alla luce di questo possiamo, osservando i grafici, individuare le caratteristiche del moto indipendentemente dalla pallina utilizzata: intanto si può affermare con estrema sicurezza che la velocità della pallina alla quota massima è nulla, nella fase di caduta la velocità è diretta verso il basso, con modulo crescente; nella fase di risalita la velocità è rivolta verso l’alto con modulo decrescente. Posso fare soltanto delle ipotesi per quanto riguarda l’accelerazione che in linea di massima dovrebbe essere uguale a g almeno per velocità molto basse, quindi nelle vicinanze del massimo, in quanto oltre alla spinta di Archimede (che comunque è una quantità poco significante, in questo caso) c’è la resistenza dell’aria (attrito viscoso) al moto della pallina, e tale forza (come vedremmo) è proporzionale alla velocità di quest ultima. I grafici della velocità sono stati ottenuti derivando x con il foglio di calcolo, si potrebbe ottenere allo stesso modo i grafici delle accelerazioni, ma sono poco significativi in quanto contengono troppi errori e non riescono a darci una “precisa” definizione dell’accelerazione. Nella facciata successiva è riportato il grafico che mette a confronto il primo e il secondo rimbalzo della pallina da pin-pong, tale grafico in qualche modo ci aiuta a comprendere l’effettivo comportamento del nostro moto sperimentale.

RELAZIONE 2 8

Si nota osservando il grafico che le curve tra due rimbalzi non sono simmetriche rispetto all’asse passante per il massimo, la risposta a tale comportamento può essere data analizzando vari fattori:

quelli che provengono dalla situazione sperimentale; quelli che fanno capo alla situazione fisica del moto.

Partiamo a considerare i primi con l’aiuto di questa rappresentazione. Il moto della pallina dovrebbe avere una traiettoria coincidente con l’asse passante per il centro del sonar. Ovviamente questo non avviene nella realtà, e le motivazioni possono essere le più disparate, per esempio la non perfetta orizzontalità del pavimento, oppure la superficie della pallina non perfettamente regolare e levigata, un’altra causa potrebbe provenire nel

-0,30 -0,20 -0,10 0,00 0,10 0,20 0,300,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10

1,15

1,20

1,25

CONFRONTO TRA IL 1° E IL 2° RIMBALZO. RIMBALZO 1. RIMBALZO 2.

Pos

izio

ne (

m).

Tempo (s).

RELAZIONE 2 9

momento del rilascio della pallina, nel quale potrebbero venirle impresse delle rotazioni o degli impulsi anche senza volerlo. Essendo il rilascio della pallina manuale la determinazione del punto di impatto sul pavimento deve essere fatta visivamente con tutti gli errori che ne derivano. Nella rappresentazione si può vedere che la pallina non è in asse, quindi le rilevazioni effettuate dal sonar sono affette da un errore di parallasse. Nella prima rappresentazione è visualizzata la propagazione delle onde provenienti dall’impulso del sonar e la riflessione sulla pallina, queste sono state rappresentate con dei semicerchi in quanto la loro propagazione nello spazio avviene in egual modo in ogni direzione; la propagazione dell’impulso avviene con un angolo di divergenza che è pari a 40°. Quando la pallina si trova a una distanza d dall’asse il tempo di andata e di ritorno dell’impulso aumenta, quindi il rilevazione fornita dal sonar sarà hm, ma non hv che è la rilevazione corretta. Oltre a tale errore di misura, ne possiamo individuare un altro, infatti, durante l’esperienza la pallina oltre a non essere in asse, cambia continuamente posizione di urto con il pavimento, questo può essere dovuto alle intrinseche interazioni che avvengono durante l’urto che dipendono dalle caratteristiche della pallina e del pavimento (superficie, non orizzontalità del pavimento…). Quindi la pallina oltre ad avere un moto verticale, è interessata da un moto che si svolge in direzione orizzontale caratterizzato da una sua accelerazione e da una sua velocità, questo significa che abbiamo una scomposizione del moto in due direzioni, allora posso affermare che il moto che avviene in direzione verticale viene ad essere inficiato dalla presenza di questa componente orizzontale. In conclusione di queste considerazioni si può dire che il moto da noi rilevato è affetto da una composizione di due errori principali, il primo dovuto al moto non in asse della pallina, il secondo dovuto alla presenza di una velocità (e accelerazione) orizzontale della pallina che provoca uno spostamento del punto di rimbalzo. Quindi l’asimmetria può essere dovuta alle cause elencate precedentemente dovute all’intrinseca situazione sperimentale, ma può avere una spiegazione fisica? Per rispondere a tale domanda partiamo con la rappresentazione delle forze presenti nella fase di caduta e di risalita.

RELAZIONE 2 10

Nelle rappresentazioni precedenti, abbiamo tre tipologie di forze, ovviamente la forza peso mg, la spinta di Archimede che è una forza che tende a far “emergere” un corpo che è immerso in un fluido, ed è uguale a Fa=ρVg, dove ρ è la densità del fluido che nel caso dell’aria è 1,293Kg/m3, mentre FDrag è la forza resistente che si oppone al moto, in altri termini è l’attrito viscoso dovuto all’aria. Dalla teoria ci viene data l’espressione generale della resistenza del mezzo:

dove c è un coefficiente adimensionale (coefficiente di forma) che dipende dalla forma del corpo, soprattutto dalla forma della parte posteriore più che di quella anteriore, in quanto nei fluidi reali nella parte posteriore del corpo (per le sfere vale 0,4), cioè quella opposta al senso di moto, si formano delle turbolenze, tale fenomeno provoca una differenza di pressione a monte e a valle e quindi si manifesta una forza contraria al moto del corpo, tali turbolenze si formano quando la velocità raggiunge e supera un determinato valore. S è la sezione del corpo, ρ è la densità e v è la velocità. Poi la teoria ci da la formula denominata legge di Stokes che ci fornisce la forza resistente per una sfera, quando il suo moto nel fluido avviene in regime laminare (le linee di corrente del fluido non si intersecano mai):

FDrag=6πηRv Dove η è il coefficiente di viscosità del fluido e dipende dal tipo di fluido e dalla temperatura, la sua unità di misura è Kg/ms, ma nella pratica viene definita con il poise, da nome del fisiologo Poiseuille, il suo valore per l’aria a 20°C è 1,71×10-4. La legge di Stokes è valida solo per piccole velocità, cioè minori della velocità critica vc, tale velocità stabilisce quando avviene il passaggio da regime laminare a regime turbolento, nel primo caso per determinare la forza di attrito viscoso si deve utilizzare la legge di Stokes (che ha dimostrato che essa è direttamente proporzionale al raggio, alla viscosità del mezzo e alla velocità). Reynolds ha dimostrato sperimentalmente che la transizione da regime laminare a regime turbolento, si ha quando il parametro adimensionale

detto numero di Reynolds vale 1200. Da tale relazione si può determinare facilmente v, che è la nostra velocità critica, conoscendo il raggio della sfera. Dopo questa carrellata di teoria ritorniamo alla nostra situazione sperimentale, e calcoliamo tutte le forze, elencate in precedenza, per le due tipologie di sfere: PALLINA DA PIN PONG.

Spinta di Archimede→ρVg=1,293×3,276×10-5×9,806=4,154×10-4N Il calcolo della forza peso deve tenere conto anche del peso dell’aria contenuta all’interno della pallina, il quale viene ad essere “nascosto” (supponendo che la pressione all’interno della pallina sia uguale a quella esterna) dalla spinta di Archimede (come si vedrà in modo più evidente nella seconda parte della relazione).

Forza peso→mg+FA=0,0028×9,806+0,0004=0,0279N Per trovare numericamente la relazione che lega la velocità alla forza di Drag dobbiamo trovare la velocità critica, questo per capire se il moto della pallina da pin-pong si svolge in regime laminare o in regime turbolento, per far questo dobbiamo utilizzare la relazione espressa da Reynolds, dalla quale ci si può

2

21 vcSFres ρ=

ηρvR

=R

RELAZIONE 2 11

determinare facilmente la velocità critica:

Nella nostra esperienza di laboratorio la pallina ha raggiunto una velocità al di poco inferiore a 3m/s, quindi il suo moto si svolge completamente in regime laminare, allora per determinare la forza di Drag che dipende dalla velocità utilizziamo la legge di Stokes.

Forza di attrito viscoso→6πηRv=6×π×1,71×10-4×0,01985×v=6,398×10-5v PALLINA DI GOMMA. Essendo la pallina di gomma totalmente piena, non si deve considerare la spinta di Archimede nel calcolo della forza peso.

Forza peso→mg=0,131×9,806=1,285N Allo stesso modo del caso precedete dobbiamo determinare la velocità critica della pallina di gomma, quindi:

Il moto della pallina di gomma si svolge a velocità sempre minori di 3 m/s, quindi analogamente alla pallina da pin-pong, il suo moto si svolge in regime laminare.

Forza di attrito viscoso→6πηRv=6×π×1,71×10-4×0,0325×v=1,048×10-4v Spinta di Archimede→ρVg=1,293×1,438×10-4×9,806=1,823×10-3N

Quindi abbiamo determinato le forze che intervengono durate il moto della pallina, come si può notare la forza di attrito viscoso è proporzionale alla velocità della pallina, ovviamente questa forza aumenta fin che si raggiunge una situazione di equilibrio dinamico, allora abbiamo appurato che un corpo in caduta libera in un fluido non aumenta la sua velocità indefinitamente, ma raggiunge un determinato valore limite, ma per il suo calcolo si deve tenere conto che il moto passa dal regime laminare a turbolento. Osservando le schematizzazioni fatte in precedenza, i tratti di caduta e di risalita devono essere studiati in modo separato, in quanto abbiamo la forza di attrito che cambia direzione.

PALLINA DA PIN-PONG. FASE DI CADUTA. Scriviamo l’equazione del moto per questa fase:

ma=Fp-Fa-FDrag Sostituendo i valori numerici delle singole componenti (dove Fp è la forza peso, ed m è la massa della pallina compresa la massa dell’aria in essa contenuta), e con semplici passaggi algebrici abbiamo:

v’(t)+0,02251v(t)=9,660 Otteniamo una equazione differenziale del primo ordine, nella quale l’incognita è v(t), per risolverla possiamo scriverla in questo modo:

v’(t)+av(t)=b Moltiplichiamo entrambi i membri per eat, e otteniamo:

eatv’(t)+eatav(t)=eatb Quindi

[eatv(t)]’= eatb Integrando tra 0 e t, e tenendo conto che v(0)=0, questo è vero in quanto io sto considerando solo il tratto di caduta, e come ho già detto nel punto di massimo la velocità

smR

vc /995,701985,0293,1

1071,1120012004

=××

==−

ρη

smR

vc /883,40325,0293,1

1071,1120012004

=××

==−

ρη

RELAZIONE 2 12

è nulla, quindi ottengo:

Questa è la nostra legge oraria della velocità, nel nostro caso specifico per la nostra pallina da pin-pong diventa:

Proviamo a verificare la sua validità, prendendo in considerazione il grafico velocità verso tempo, nella fase di caduta del primo rimbalzo (completo), il tempo impiegato dalla pallina dal massimo fino all’urto con il pavimento è di 0,25s, e la velocità raggiunta secondo il grafico è pari a 2.45m/s, andando a sostituire otteniamo:

v(t)=2,41m/s≈2,45m/s Certo un valore che si avvicina in modo significativo a quello sperimentale, ci dobbiamo ricordare che intervengono numerosi e possibili errori, per esempio nella determinazione del raggio della pallina, gli errori dovuti alle operazioni di derivazione, l’errore nella pesata della pallina, e tutti gli altri errori, già discussi, che fanno capo al moto della pallina (la sua verticalità…). Devo dire che noi stiamo facendo un modello del nostro moto, e il nostro obbiettivo non è quello di ottenere un modello il più possibile fedele alla nostra esperienza, ma è di comprendere il comportamento della pallina durante le fasi di volo, cioè nella fase di risalita e di discesa. Dalla relazione osserviamo che per t→∞, la velocità raggiunge un valore limite di 423.796m/s, questo sarebbe vero se il moto della pallina si svolgesse sempre in regime laminare, ma ovviamente questo non avviene. La velocità limite è per definizione, quella velocità per la quale la somma delle forze che si oppongono al moto è uguale alla forza peso della sfera, quindi ma=0. L’equazione che ci permette di determinare la velocità limite è la seguente:

FA+FDrag=Fp

Per il calcolo della forza di attrito si deve tenere conto che per velocità elevate (maggiori della velocità critica), si deve utilizzare l’espressione generale in quanto il moto si svolge in regime turbolento:

Quindi sostituendo abbiamo:

v=9,266m/s La velocità limite per la pallina da pin-pong è pari a circa 33Km/h, come si può osservare essa è contenuta. Per ottenere la legge oraria del moto s(t) devo integrare la legge precedente tra 0 e t, ricordando che s(0)=0, in quanto prendo in considerazione l’origine dell’asse degli spostamenti in corrispondenza del massimo, quindi ottengo:

Con i valori numerici tale legge per la nostra pallina diventa: s(t)=429,147(t+44,426e-0,02251t-44,426)

Come ultima analisi possiamo considerare la legge oraria dell’accelerazione, per

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⇒−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ += at

att

atat

eabtv

abe

abce

abtve 11)()(

0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= te

tv 02251,0

11147,429)(

24232 10201,3293,110238,14,021

21 vvvcSFDrag

−− ×=×××××== ρ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ += −−

ae

at

abe

abt

abts at

tat 11)(

02

RELAZIONE 2 13

determinarla possiamo derivare la legge oraria della velocità, e otteniamo: a(t)=9,660×e-0.02251t

Questa relazione afferma che l’accelerazione varia al variare del tempo, al crescere di quest’ultimo l’accelerazione diminuisce, e se t diventa grande, a(t) tende a zero, e il moto da accelerato si tramuta in un moto uniforme, tenendo in considerazione la legge che regola la forza di attrito viscoso che cambia quando si oltrepassa la velocità critica, comunque anche in questo frangente l’accelerazione decresce, e lo fa in modo più marcato, infatti, l’attrito viscoso quando il moto è turbolento, è una funzione che dipende dal quadrato della velocità. Da questa relazione otteniamo che l’accelerazione vale 9.66m/s2 per t=0 (quindi la velocità e nulla, e le uniche due forze che agiscono sono la forza peso e la spinta di Archimede, è per questo motivo che essa non è uguale all’accelerazione di gravità). FASE DI RISALITA. L’equazione del moto in questo caso è:

ma=Fp-Fa+FDrag

In questo caso la forza di attrito viscoso si somma al peso. Procediamo come nel caso precedente, quindi otteniamo:

v’(t)-0.02251v(t)=9.660 Otteniamo una equazione differenziale del primo ordine, nella quale l’incognita è v(t), per risolverla possiamo scriverla in questo modo:

v’(t)+av(t)=b Quindi

[eatv(t)]’= eatb Integrando tra 0 e t, e tenendo conto che v(0)=0, questo è vero in quanto io sto considerando solo il tratto di risalita, e nel massimo la velocità può essere considerata nulla:

Questa è la nostra legge oraria della velocità, nel nostro caso specifico per la nostra pallina da pin-pong diventa:

Otteniamo come si può vedere facilmente una velocità positiva (mentre il verso della velocità è rivolto verso l’alto al contrario della caduta) che cresce con t, in questo caso t è il tempo che intercorre tra l’urto è il raggiungimento della massima altezza. Nell’analizzare questa fase ho preso come t=0 il momento in cui la pallina ha raggiunto la posizione di massimo, quindi come si può vedere dalla relazione la velocità è nulla, mentre se vogliamo trovare la velocità subito dopo l’urto (che può essere considerato istantaneo, anche se in realtà non lo è) della pallina con il pavimento dobbiamo considerare il tempo che intercorre da questo momento e il raggiungimento del massimo. Per ottenere la legge oraria del moto s(t) devo integrare la legge precedente tra 0 e t, ricordando che s(0)=0, ottengo:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⇒−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ += at

att

atat

eabtv

abe

abce

abtve 11)()(

0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= − te

tv 02251,0

11147,429)(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ += −−

ae

at

abe

abt

abts at

tat 11)(

02

RELAZIONE 2 14

Con i valori numerici tale legge per la nostra pallina diventa: s(t)=-429,147(t-44,426e0.02251t+44,426)

Come ultima analisi possiamo considerare la legge oraria dell’accelerazione: a(t)=9,660×e0,02251t

Questa relazione afferma che l’accelerazione varia al variare del tempo, al crescere di quest’ultimo l’accelerazione aumenta, questo risultato non deve sorprendere, in quanto se pensiamo al lancio di un oggetto verso l’alto dobbiamo imprimere una forza ma>mg, che sia maggiore della forza peso, in altri termini a>g. Da questa relazione otteniamo che l’accelerazione vale 9.660m/s2 per t=0 (quindi la velocità è nulla, e le uniche due forze che agiscono sono la forza peso e la spinta di Archimede, è per questo motivo che essa non è uguale all’accelerazione di gravità). La forza ma (alla quale si somma la spinta di Archimede) diretta verso l’alto deve vincere due forze contrarie: la forza gravitazionale terrestre e la forza di attrito viscoso. Operiamo lo stesso studio per quanto riguarda il moto della pallina di gomma piena, e cerchiamo di trovare delle analogie che mettano in relazione i due moti.

PALLINA DI GOMMA. FASE DI CADUTA. Le metodologie utilizzate per trovare le leggi che regolano il moto sono le stesse, quindi non mi dilungo oltre, di seguito sono riportate tutte le leggi orarie inerenti alla fase di caduta della pallina di gomma, con i dovuti commenti. • Legge oraria.

s(t)=12240,103(t+1250e-0.0008t-1250) • Legge oraria della velocità.

A questo punto possiamo determinare la velocità limite, ma per far questo dobbiamo calcolare l’attrito viscoso che caratterizza il moto in regime turbolento:

Rifacendoci allo stesso identico ragionamento precedente, la velocità limite risulta essere: v=38,670m/s

Tale velocità corrisponde a circa 139 Km/h, quindi ben superiore alla velocità limite della pallina da pin-pong, questo è dovuto al fatto che la forza peso della pallina di gomma è ampiamente preponderante rispetto alle altre forze (spinta di Archimede e forza di attrito), diversamente dalla pallina da pin-pong che è molto più leggera, e il suo moto (anche a piccole velocità) risulta maggiormente influenzato dalle forze esterne. • Legge oraria dell’accelerazione.

a(t)=9,792×e-0,0008t

Per t=0 l’accelerazione risulta essere 9,792 m/s2, un valore che si avvicina all’accelerazione di gravità in modo più significativo rispetto alla pallina da pin-pong, questo significa che la spinta di Archimede è percentualmente meno rilevante in relazione alla forza peso nel caso della pallina di gomma. FASE DI RISALITA. • Legge oraria.

s(t)=-12240,103(t-1250e0,0008t+1250) • Legge oraria della velocità.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= te

tv 0008,0

11103,12240)(

24232 10581,8293,110318,34,021

21 vvvcSFDrag

−− ×=×××××== ρ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= − te

tv 0008,0

11103,12240)(

RELAZIONE 2 15

• Legge oraria dell’accelerazione. a(t)=9,792×e0,0008t

A questo punto cerchiamo di individuare delle possibili analogie tra i due moti delle rispettive palline (ricordando che sono alquanto diverse tra di loro), cercando di mettere in luce, le possibili cause fisiche dell’asimmetria della legge oraria. Per far questo dobbiamo vedere se la fase di caduta e la fase di risalita presentano le stesse caratteristiche o meno. Prendiamo in considerazione un tempo t piccolo arbitrario per esempio 0.3s, quindi andiamo a determinare la posizione, la velocità e l’accelerazione nelle due fasi del moto, di entrambe le sfere utilizzando le leggi orarie trovate in precedenza. PALLINA DA PIN-PONG.

Fase di caduta. s(t)=0,430m v(t)=2,888m/s a(t)=9,595m/s2 Fase di risalita. s(t)=0,439m v(t)=2,908m/s a(t)=9,725m/s2

PALLINA DI GOMMA. Fase di caduta s(t)=0,441m v(t)=2,937m/s a(t)=9,790m/s2 Fase di risalita s(t)=0,441m v(t)=2,938m/s a(t)=9,794m/s2

A parità di tempo lo spazio percorso dalle palline in salita è maggiore di quello in discesa (nel caso della pallina di gomma gli spazi percorsi appaiono uguali, ma questo è solo l’effetto dell’arrotondamento), questo vuol dire con assoluta chiarezza che il tempo di caduta è maggiore del tempo di risalita, e questa è la principale causa di natura fisica della asimmetria della legge oraria nel grafico posizione verso tempo. Per quanto concerne l’accelerazione devo dire che essa è maggiore nella fase di risalita e minore nella fase di caduta (per le motivazioni che ho esposto in precedenza), anche questo fattore può essere interpretato come una asimmetria della legge oraria, infatti, se si osserva attentamente il grafico si può notare che la curvatura nella fase di salita è maggiore di quella nella fase di caduta (soprattutto per la pallina da pin-pong), e questo è un altro motivo di natura fisica della non simmetria della legge oraria. Oltre a queste importanti considerazioni si deve dire che la pallina da pin-pong risulta certamente più influenzata dalle forze esterne rispetto a quella di gomma, infatti, a parità di tempo le differenze tra le varie quantità sono più evidenti per la pallina da pin-pong. La vera causa fisica di tale asimmetria risiede nel cambiamento di verso della forza di attrito viscoso, ed è proprio per questo cge i due tratti sono stati studiati in modo separato. Come si può facilmente costatare la pallina di gomma raggiunge velocità e accelerazioni superiori all’altra pallina, quindi è facile comprendere che facendo partire le due palline dalla stessa altezza, la prima a raggiungere il suolo sarà senza dubbio quella di gomma, sulla quale le forze esterne sono percentualemente meno importanti rispetto alla forza peso. Se la legge oraria in entrambi i tratti presenterebbe una simmetria staremmo trattando un moto uniformemente accelerato con accelerazione g, in quanto tale moto sarebbe possibile solo se non ci fosse ne la forza di attrito viscoso, ne la spinta di Archimede, e quindi non ci fosse l’aria, in tale situazione anche due corpi di masse ampiamente diverse (una biglia e una piuma per esempio) se lasciate cadere da una certa altezza arriverebbero al suolo nello stesso istante, questo esempio ci rende l’idea di come la presenza dell’aria o più in generale di un fluido, possa interagire con il corpo in moto, modificando il moto stesso. Per arrivare a fare queste considerazioni si poteva analizzare i grafici, invece è stato scelto di creare un modello del moto, uno strumento certamente più efficace, anche se ha il difetto di portare la trattazione della relazione dall’analisi diretta dei dati, a una analisi indiretta. Questo metodo ha certamente il vantaggio di escludere a priori tutti gli errori sperimentali che fanno capo alla presa dati del moto, e che dipendono da tutti quei fattori già ampiamente discussi (non verticalità del moto…).

RELAZIONE 2 16

GRAFICO DELLE ENERGIE. Qui di seguito riportiamo il grafico delle energie, per determinarlo ho dovuto “rovesciare” il grafico della legge oraria del moto in modo da avere una effettiva stima dell’altezza raggiunta dalla pallina, tale operazione si è rilevata alquanto critica, infatti, se predo in considerazione lo zero misurato dal sonar e il diametro della pallina (in quanto il sonar misura la distanza tra esso e la sommità della pallina), ottengo dei valori negativi della posizione una situazione che certo voglio evitare, quindi come riferimento ho preso in considerazione la massima distanza misurata dal sonar, in modo da mantenere tutto il grafico nella parte positiva del piano. Da questo mi sono determinato le velocità derivando, ottenendo dei valori di velocità opposti in segno ma uguali in modulo rispetto a quelle determinate nella situazione precedente (in cui il riferimento era stabilito dal sonar). Da qui mi sono determinato l’energia potenziale gravitazionale mgh che come si può vedere è proporzionale all’altezza della pallina, l’energia cinetica 0.5×mv2 è proporzionale al quadrato della velocità, ed infine mi sono determinato l’energia meccanica totale la quale è la somma delle due precedenti. Qui di seguito riportiamo il grafico.

Come si può facilmente vedere è un grafico abbastanza rumoroso , tralasciamo gli ultimi rimbalzi la cui natura è alquanto incerta. Intanto si può immediatamente affermare che il grafico dell’energia cinetica risulta essere complementare (almeno nella fase di volo della pallina) a quello dell’energia potenziale che invece lo ricalca fedelmente. L’energia potenziale si conserva solo a tratti, e viene parzialmente dissipata durante gli urti. Durante l’urto si conserva la quantità di moto del sistema, ma non l’energia cinetica, che nel moneto dell’urto come si può vedere dal grafico viene in parte assorbita, ciò risulta dal fatto che l’impulso della forza di interazione della pallina con il pavimento risulta, nella fase di deformazione, maggiore a quello della fase di ritorno. Tale fenomeno dipende dal grado

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,000,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

0,020

GRAFICO DELLE ENERGIE.

Energia potenziale gravitazionale. Energia cinetica. Energia meccanica totale.

Ener

gia

(J).

Tempo (s).

RELAZIONE 2 17

di elasticità dell’urto, come vedremmo. Come ultima considerazione si può dire che l’energia cinetica è nulla quando la velocità è nulla quindi siamo nel massimo della parabola compiuta dalla pallina, e in questa posizione è massima l’energia potenziale gravitazionale. Operiamo un fit polinomiale del secondo ordine nei primi punti in prossimità all’apice del primo rimbalzo (completo) della pallina da pin-pong, in quanto, su piccoli tratti di caduta si può considerare l’attrito viscoso trascurabile essendo la velocità in queste posizioni molto bassa, il nostro obiettivo è quello di ottenere una verifica diretta del nostro modello.

L’equazione del nostro fit polinomiale la possiamo definire come la legge oraria che regola il moto nel suo apice, per determinare l’accelerazione dobbiamo effettuare la sua doppia derivazione: v(t)=9,725t-0,006 a(t)=9,725 La legge oraria della velocità rappresenta una retta (con pendenza 9,725 che è l’accelerazione) che è proprio quella rappresentata nel grafico velocità verso tempo nel momento di volo della pallina, derivando ulteriormente si ottiene una accelerazione pari a 9,725m/s2, leggermente inferiore a quella di gravità (ed è quello che ci aspettavamo, dopo le considerazioni fatte), e leggermente maggiore a quella determinata utilizzando la legge oraria trovata in precedenza, che dava un valore dell’accelerazione all’apice pari a 9,68m/s2, ovviamente le cause di questa differenza possono essere le più disparate, a partire dall’errore di interpolazione polinomiale, fino ad arrivare a tutte le possibili cause di errori legati all’esperienza di laboratorio. La questione fondamentale comunque è il fatto

-0,10 -0,05 0,00 0,05 0,10

0,76

0,77

0,78

0,79

0,80

0,81

DETERMINAZIONE DELL'ACCELERAZIONE ALL'APICE DEL MOTO.

Y =0,76013-0,00612 X+4,86229 X2

Pos

izio

ne (

m).

Tempo (s).

RELAZIONE 2 18

che entrambe le accelerazioni sono minori di quella di gravità, confermando l’influenza della Spinta di Archimede. Allo stesso modo consideriamo i due tratti del moto: la fase di salita e la fase di caduta, verificando che le accelerazioni rispettino il nostro modello.

Con lo stesso procedimento precedente determiniamo una accelerazione pari a 10,49 m/s2.

0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

Y =2,59242-6,18587 X+5,24383 X2

ANALISI DEL MOTO NELLA FASE DI SALITA.

MOTO DELLA PALLINA. FIT POLINOMIALE.

Pos

izio

ne (

m).

Tempo (s).

RELAZIONE 2 19

Invece dall’analisi della fase di caduta ci viene fornita un valore dell’accelerazione pari a 9,85 m/s2. Non concentriamoci sui valori delle accelerazioni, in quanto moto sono affetti da parecchi errori, ma sul loro diretto confronto, dal quale otteniamo che l’accelerazione in salita è maggiore di quella in discesa, certamente un risultato che ci aspettavamo. Nell’analisi di questi due tratti sono stati esclusi i punti vicini all’apice, che sono stati trattati separatamente in precedenza, quindi il moto durante un rimbalzo, può essere considerato formato da tre fasi distinte: all’apice dove la forza di attrito viscoso è trascurabile (per piccole velocità), e nella fase di risalita e di discesa, dove la forza di attrito cambia di verso. SECONDA PARTE DELL’ESPERIENZA. • Dati sperimentali. Massa pallone 1=98.8g Massa pallone 2=53g Massa pallone 3=69g Diametro=23.0cm Diametro=13.5cm Diametro=11.4cm Distanza del sonar dal pavimento: 1.306m Fin da subito devo ribadire che il diametro dei palloni 1 e 2, sono stati stabiliti su 3 misure della circonferenza, mentre il diametro dell’ultimo pallone è stato rilevato tramite il calibro. Le masse dei palloni si riferiscono a quando questi sono gonfi. Prima di procedere con la relazione si deve dire che le masse pesate dalla bilancia tengono conto solo di una parte della massa d’aria all’interno del pallone (quella in eccesso che permette di raggiungere una pressione all’interno del pallone, leggermente superiore a quella esterna), in quanto la maggior parte viene “nascosta” dalla spinta di Archimede,

0,70 0,75 0,80 0,85 0,90

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

ANALISI DEL MOTO NELLA FASE DI CADUTA.

Y =2,55086-5,93671 X+4,92623 X2

MOTO DELLA PALLINA. FIT POLINOMIALE.

Pos

izio

ne (

m).

Tempo (s).

RELAZIONE 2 20

quindi come abbiamo fatto per la pallina da pin-pong, si deve determinare la massa totale M data dalla somma tra la massa pesata con la bilancia e la spinta di Archimede. M1=Mpesata+ρaV=98,8+8,2=107,0g M2=Mpesata+ρaV=53,0+1,7=54,7g M3=Mpesata+ρaV=69,0+1,0=70,0g A questo punto ci interessiamo della fase di interazione della pallina con il pavimento: l’urto anelastico può essere rappresentato con un parametro di restituzione q, tale parametro varia tra 0 (urto puramente elastico) e 1 (urto completamente anelastico). Possiamo scrivere la seguente relazione:

vn è la velocità iniziale di salita nell’ennesimo rimbalzo, mentre vn-1 è la velocità finale della precedente discesa, supponendo che l’energia si conservi, si può affermare che:

quindi

Questa relazione determina q, prendendo in considerazione l’altezza massima iniziale che viene correlata con l’altezza raggiunta dal pallone nell’ennesimo rimbalzo n. Una simile relazione può essere scritta considerando i tempi di volo delle sfere, infatti, posto Δt=½tv. Abbiamo:

v1=k×Δt1 vn=k×Δtn Le velocità prima e dopo l’urto sono uguali a una costante k per il tempo di discesa e di salita che sono rispettivamente pari alla metà del tempo di volo tv. I tempi di volo del rimbalzo prima e di quello dopo l’urto, sono ovviamente di versi e sono legati dal coefficiente di restituzione q. Sostituendo alla relazione precedente, otteniamo:

Come si può facilmente notare è una relazione molto simile alla precedente.

11

1 vqqvv nnn

−− ==

)(max

)1(max1

nn hkvhkv ×=×=

)1(max

22)(max

)1(max

22)(max

)1(max

1)(max hqhhkqhkhkqhk nnnnnn −−− =⇒/=/⇒×=×

11

111

1

21

21

vn

vvn

vn

n tqttqttkqtk nn

−−− =⇒//

=//

⇒Δ/=Δ/

RELAZIONE 2 21

Prendiamo in considerazione il moto di uno dei palloni, quello che qualitativamente risulta essere il migliore è il pallone1.

Diversamente dalla fase precedente, in questo caso dobbiamo invertire il grafico per determinare le altezze massime, come riferimento prendiamo in considerazione la massima distanza che ha raggiunto la sommità della palla dal sensore. Il grafico che otteniamo è il seguente (pagina successiva).

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

GRAFICO POSIZIONE VERSO TEMPO.

Pos

izio

ne (

m).

Tempo (s).

RELAZIONE 2 22

Qui di seguito è riportata una tabella che rappresenta il calcolo di q con il suo relativo errore.

DETERMINAZIONE DI q. n. hmax(m). q Scarti(m).1 0,5720 \\ \\ 2 0,4218 0,85873 0,00292 3 0,2808 0,83705 -0,01876 4 0,2294 0,85875 0,00294 5 0,1855 0,86870 0,01289 Media 0,85581 S.Q.M. 0,01157

Errore della media 0,00578 MEDIA+ERRORE 0,855+0,006

Nella prima colonna è rappresentato il numero di volte che il pallone raggiunge l’apice del suo moto, nella seconda sono riportate le rispettive altezze massime, poi abbiamo i valori di q e tutta una elaborazione statistica necessaria per determinare l’errore sulla media. Il valore del coefficiente di restituzione lo si può determinare considerando i tempi di volo del pallone, quindi scrivendo una relazione sui tempi.

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

GRAFICO POSIZIONE VERSO TEMPO.P

osiz

ione

(m

).

Tempo (s).

RELAZIONE 2 23

Possiamo costruire una tabella simile alla precedente, ma in questo caso consideriamo i tempi di volo.

DETERMINAZIONE DI q. n. tv(s). q Scarti(s).1 0,66 \\ \\ 2 0,57 0,863636 -0,010643 0,51 0,879049 0,00477 4 0,45 0,880149 0,00587 Media 0,87428 S.Q.M. 0,00750

Errore della media 0,00435 MEDIA+ERRORE 0,874+0,004

Il valore di q ottenuto è leggermente diverso da quello precedente, ma comunque questo ci permette di verificare che anche i tempio di volo sono tra di loro in relazione tramite il coefficiente di restituzione, questo lo si poteva già capire intuitivamente, in quanto l’altezza massima è intimamente legata al tempo di volo.

Il valore di q è stato determinato considerando le altezze massime raggiunte e i tempi di volo, oltre a queste due approcci, possiamo calcolare il valore di q graficamente. Nel grafico precedente sono stati riportate le posizioni degli apici del nostro moto, dalla teoria abbiamo l’informazione che le posizioni ricoperte negli apici dalla pallina duranti una serie di rimbalzi successivi seguono un andamento smorzato esponenzialmente. Quindi possiamo fare un fit esponenziale, e otteniamo l’equazione y=0,7324e-0,2861t, si può dimostrare che y=q2e-kt, quindi otteniamo q=0,856, che è praticamente uguale a meno degli errori al valore di q determinato considerando le altezze massime, il quale

ANALISI GRAFICA DELL'ANDAMENTO ALTIMETRICO DEL MOTO.

y = 0,7324e-0,2861x

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

0,600

0,700

0 0,69 1,29 1,83 2,31

TEMPO (s).

POSI

ZIO

NE

(m).

RELAZIONE 2 24

ovviamente a seguito di questa verifica, risulta certamente più attendibile rispetto a quello determinato considerando i tempi di volo. DETERMINAZIONE DELLA MASSA D’ARIA “COINVOLTA” NEL MOTO. La massa d’aria coinvolta nel moto è espressa come una frazione del volume della sfera ma=kρaV, per determinare k, utilizziamo la seguente equazione:

Dove a è l’accelerazione del pallone determinata all’apice del moto, in modo da poter trascurare l’attrito viscoso dell’aria, mentre ρp è la densità del pallone ottenuta in base alla pesata, ed infine ρ*a=ρa(1+k), e da questa relazione ci possiamo determinare k. Prima di tutto determiniamo la densità ρp dei 3 palloni, dei quali andremmo a calcolare k (con relativo errore), e ρ*a.

Pallone 1⇒ρp=M1/V=0,1070/(6,371×10-3)=16,796 kg/m3 Pallone 2⇒ρp=M2/V=0,0547/(1,288×10-3)=42,469 kg/m3 Pallone 3⇒ρp=M3/V=0,0700/(7,757×10-4)=90,237 kg/m3

PALLONE 1. Qui di seguito riportiamo la tabella che fa riferimento al pallone 1, il cui grafico è già stato esposto in precedenza.

a (m/ss) ρ*a k 8,73 2,07 0,60 8,73 2,07 0,60 8,73 2,07 0,60

MEDIA 0,60+0,00 PALLONE 2.

*apa

ag ρρ =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00 3,250,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

POSIZIONE VERSO TEMPO PALLONE 2.

Pos

izio

ne (

m).

Tempo (s).

RELAZIONE 2 25

a (m/ss) ρ*a k S.Q.M. 9,41 1,79 0,38 0,047 9,39 1,88 0,46 E.med. 9,42 1,74 0,35 0,027

MEDIA 0,39+0,03 PALLONE 3.

a (m/ss) ρ*a k S.Q.M.

9,62 1,74 0,35 0,033 9,61 1,84 0,42 E.med. 9,61 1,84 0,42 0,019

MEDIA 0,40+0,02 Abbiamo trovato i valori di ρ*a, e di k con il suo relativo errore per i nostri tre palloni. le accelerazioni sono state determinate considerando gli apici del moto, dove la forza di attrito viscoso può essere considerata trascurabile, mediamente sono stati presi in considerazione tempi di +0.06s dall’apice. Sono stati presi in considerazione tre rimbalzi per ogni tipologia di palla, se ne potevano prendere in considerazione anche in numero maggiore, ma si deve fare attenzione al vero andamento degli ultimi rimbalzi. A parte il pallone da volley (pallone 1), negli altri due casi i valori di k sono a meno degli errori molto vicini, quindi possiamo affermare che il suo valore dipenda solo dalla forma dell’oggetto, anche se questo presenta dimensioni o massa diversa.

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00 3,25

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

1,30

GRAFICO POSIZIONE VERSO TEMPO PALLONE 3.

Pos

izio

ne (

m).

Tempo (s).

RELAZIONE 2 26

Nella prima parte della relazione abbiamo trovato tramite un modello del moto delle importanti proprietà di quest ultimo, ora mi pongo l’obiettivo di verificare se tali caratteristiche sono valide anche per i palloni gonfiati, in questo caso l’analisi viene affrontata graficamente. Prendiamo in considerazione il primo rimbalzo completo del pallone 2, e operiamo dei fit polinomiali che interessino la fase di salita e la fase di discesa.

La scala dei tempi riportata fa riferimento a quella del moto generale, questo per mantenere un riferimento al grafico precedente. A questo punto dividiamo in due il moto, distinguendo la fase di risalita da quella di caduta, trascuriamo i punti in prossimità dell’apice, in quanto siamo interessati a determinare gli effetti dell’aria sul moto.

0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,900,80

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10

1,15

ANALISI DEL MOTO.

Pos

izio

ne (

m).

Tempo (s).

RELAZIONE 2 27

Operando una doppia derivazione otteniamo l’accelerazione in questo tratto del moto, ed essa risulta essere pari a 9,615 m/s2. Operiamo allo stesso modo per la fase di caduta.

0,38 0,40 0,42 0,44 0,46 0,48 0,50 0,52 0,54 0,56 0,58

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10

1,15

Y =2,83171-6,18686 X+4,80742 X2

FASE DI SALITA.

MOTO DEL PALLONE. FIT POLINOMIALE.

Pos

izio

ne (

m).

Tempo (s).

0,70 0,72 0,74 0,76 0,78 0,80 0,82 0,84 0,86 0,88 0,90 0,92

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10

1,15

FASE DI CADUTA.

Y =2,84382-6,1965 X+4,79319 X2

MOTO DEL PALLONE. FIT POLINOMIALE.

Pos

izio

ne (

m).

Tempo (s).

RELAZIONE 2 28

In questo caso l’accelerazione risulta essere analizzando l’equazione del fit polinomiale, pari a 9,586 m/s2. Quindi tali risultati confermano le nostre considerazioni fatte a suo tempo nella prima parte della relazione: l’accelerazione risulta essere maggiore nella fase di salita, e minore nella fase di caduta, questo è dovuto alla esistenza della forza di attrito che durante il moto cambia di verso.