AIMETA’01XV Congresso AIMETA di Meccanica Teorica e Applicata

15th AIMETA Congress of Theoretical and Applied Mechanics

ANALISI GEOMETRICA E CINEMATICADI FACE GEARS INGRANANTI CON PIGNONI

A DENTATURA ELICOIDALE

C. CARMONE, F. DI PUCCIO, M. GABICCINI, M. GUIGGIANIDipartimento di Ingegneria Meccanica, Nucleare e della Produzione, Universita di Pisa, Pisa

SOMMARIOLa trasmissione del moto tra assi incidenti o sghembi puo essere realizzata facendo ingranare una ruotadentata cilindrica, a denti diritti o elicoidali, con una ruota frontale o face gear. Nel caso di assi incidenti,questa soluzione presenta alcuni importanti vantaggi rispetto all’uso delle ruote coniche, come la scarsasensibilita agli errori di posizionamento, la bassa rumorosita e la riduzione degli ingombri per rapportidi trasmissione inferiori indicativamente a 1:3.5. Il presente lavoro descrive l’applicazione della teoriadell’inviluppo e dell’ingranamento per face gears in cui il pignone cilindrico e a dentatura elicoidale. Irisultati, ottenuti mediante un codice di calcolo appositamente scritto con il software Mathematica, mo-strano l’influenza dell’angolo dell’elica sulla geometria del dente del face gear, sul grado di ricoprimentoe sulla velocita di strisciamento durante il contatto.

ABSTRACTMotion between either intersecting or crossed axes can be transmitted by means of a pinion-face-geardrive. This drive consists of a cylindrical pinion meshing with a face gear that, therefore, has to begenerated by an involute pinion-shaped cutter. Face gear drives may represent an alternative to bevel(or hypoid) gears because of the relatively low sensitivity to misalignment and the low weight for gearratios below 1:3.5. In the present paper the theory of envelopes is applied to the geometric and kinematicanalysis of face gears mating with a helical involute pinion. The developed software shows the effects ofthe helix angle on geometrical and kinematic parameters.

1. INTRODUZIONE

Con ingranaggio frontale o face gear si intende una ruota dentata ingranante, in trasmissioni fra assiincidenti o sghembi, con un pignone cilindrico con profilo ad evolvente. Un’analisi abbastanza det-tagliata della trasmissione mediante face gears si trova gia nel classico testo di Buckingham [1] del1949. Due notevoli lavori sull’argomento furono pubblicati da Emilio Massa nel 1955. Nel primo [2],in collaborazione con Dornig, vengono studiati, con opportune approssimazioni, vari aspetti geometrico-cinematici, mentre il secondo [3] e interamente dedicato allo studio dell’interferenza di taglio. In questiprimi contributi l’analisi e tuttavia limitata al caso di assi ortogonali e pignoni dal dimensionamentonormale.

Recentemente si e risvegliato l’interesse per questo tipo di ruote dentate soprattutto in vista delle loropossibili applicazioni in trasmissioni di potenza per impieghi aeronautici, come testimonia la pubblica-zione [4]. Negli ultimi dieci anni i lavori di riferimento sono dovuti quasi esclusivamente a Litvin edai suoi collaboratori, che hanno presentato molti studi anche generali sulle face gears, fra cui [5, 6, 7],basandosi sui metodi esposti nei trattati [8, 9] e [10]. In questo lavoro si studiano trasmissioni facegear in cui il pignone ha dentatura elicoidale. Il metodo seguito e basato sulle tecniche sviluppate da

1

(a) Notazioni relative al face gear. (b) Esempio di face gear.

Fig. 1: Trasmissione con face gear e pignone a denti dritti.

Litvin, anche se rivisitate e estese. L’analisi condotta va dalla determinazione della geometria della ruo-ta frontale basata sulla teoria dell’inviluppo fino alla valutazione delle caratteristiche cinematiche dellatrasmissione. L’indagine dei fondamenti teorici dei vari aspetti, e stata quindi trasferita in un codice dicalcolo appositamente scritto con il software Mathematica, mediante il quale e stato possibile investigarel’influenza dell’angolo dell’elica sulla geometria del dente della ruota frontale, sul grado di ricoprimentoe sull’entita dello strisciamento durante il contatto.

2. FONDAMENTI TEORICI PER LA GENERAZIONE DEL FACE GEAR

Come gia accennato, il problema meccanico che ci si propone di risolvere e la trasmissione del moto tradue assi incidenti o sghembi, con un dato rapporto di trasmissione τ , utilizzando un pignone cilindrico,in particolare con dentatura elicoidale. Siano z1 e z4 gli assi (fissi) di rotazione, rispettivamente del pi-gnone e della ruota, e sia γ l’angolo fra essi, compreso tra 0 e π rad. Per risolvere il problema si deveinnanzitutto definire la geometria della ruota (con dentatura frontale) da fare ingranare con il pignone inmodo da realizzare la trasmissione desiderata. La forma dei denti di questa ruota infatti non e intuibilea priori (Fig.1), ma puo essere ottenuta direttamente per generazione mediante un pignone utensile. Lasimulazione del processo di generazione viene descritta in dettaglio di seguito, facendo riferimento allateoria dell’inviluppo [11, 12]. Le superfici dei denti delle ruote dentate, infatti, devono essere superficiconiugate e pertanto una superficie deve essere l’inviluppo dell’altra nel moto relativo. Nelle ruote denta-te, se si prescinde dalle deformazioni elastiche, si ha un particolare tipo di inviluppo, perche la superficieinviluppante (generating surface) puo essere considerata rigida. In altre parole il moto relativo e un motorigido, riconducibile per assi incidenti o sghembi rispettivamente ad una rotazione o una roto-traslazionerispetto all’asse di Mozzi relativo.

Per descrivere il moto relativo tra le due ruote, e utile introdurre due sistemi di riferimento cartesianiS1 = (O1;x1, y1, z1) ed S4 = (O4;x4, y4, z4) solidali rispettivamente al pignone ed al face gear. Siconsiderano inoltre due sistemi di riferimento fissi ausiliari: S2 = (O2;x2, y2, z2) avente O2 = O1 ez2 = z1 e S3 = (O3;x3, y3, z3) con x2 allineato con x3, O3 = O4 e z3 = z4 (Fig.2). In questo modola posizione del pignone risulta completamente definita dall’angolo φ1 che l’asse mobile x1 forma conl’asse fisso x2 (o y1 con y2); analogamente la posizione della ruota frontale e individuata dall’angoloφ4 che l’asse mobile x4 forma con l’asse fisso x3 (o y4 con y3). Si ha quindi che, nel moto relativo, ilsistema formato dalle due ruote ha un solo grado di liberta. Indicata con φ la coordinata lagrangiana, siha φ4 = φ e φ1 = φ/τ .

Costruito il riferimento in cui “operare”, la formulazione analitica del processo di generazione per

2

���

���

f �g�

���� �

������

f�

f�

�

�� � � �

�� � � �

� �

�f�

Fig. 2: Sistemi di riferimento nello spazio.

� ���

qq

0

� �

Fig. 3: Evolvente di cerchio e coordinata θ.

inviluppo si puo articolare in tre passaggi:

1. definizione della superficie dei denti del pignone nel sistema di riferimento S1;

2. espressione della famiglia di superfici generate da tale superficie nel moto relativo ad S4, scrittanello stesso sistema S4;

3. applicazione della condizione di inviluppo alla famiglia di superfici.

Nel caso in esame, si assume che i denti del pignone abbiano un profilo ad evolvente di cerchio e chesiano a spigolo vivo sulla testa; sono noti inoltre il modulo m e l’angolo di pressione α0 della dentiera concui e stato generato, la correzione x, il numero di denti N1 e l’angolo dell’elica β misurato sul cilindroprimitivo. Le equazioni parametriche delle superfici dei denti del pignone sono funzioni dei parametri ξe θ che rappresentano rispettivamente la posizione lungo z1 del generico punto della superficie (z1 = cξ)e l’angolo di cui si e fatta rotolare senza strisciare sulla circonferenza di base la retta su cui si e posto ilpunto che traccia l’evolvente (Fig.3). Si puo immaginare che le superfici elicoidali dei denti del pignonesiano generate facendo traslare lungo l’asse z1 e allo stesso tempo ruotare attorno ad esso il profilo adevolvente tracciato in un piano di riferimento ξ = ξ0. Su questo piano si e indicato con θ0 l’angoloche l’asse y1 forma con il raggio della circonferenza di base, corrispondente all’inizio dell’evolvente; sisuppone inoltre che l’asse y1 sia un asse di simmetria per il vano considerato. In definitiva, le equazioniparametriche del fianco destro dei denti del pignone (il sinistro richiede relazioni analoghe che per bre-vita si omettono), nel sistema di riferimento S1 sono date dalle componenti del vettore posizione rd

1(ξ, θ)

rd1(ξ, θ) =

rb[−θ cos(θ + θ0 + k(ξ − ξ0)) + sin(θ + θ0 + k(ξ − ξ0))]rb[cos(θ + θ0 + k(ξ − ξ0)) + θ sin(θ + θ0 + k(ξ − ξ0))]

cξ

(1)

essendo k la rotazione che subisce il profilo per uno spostamento unitario lungo z1. Questa e legataall’angolo dell’elica β, espresso in gradi, dalla relazione

β = −180

πarctan

(

krp

c

)

dove rp indica il raggio del cilindro primitivo del pignone ed il segno meno e stato introdotto in modoche, ad un’elica positiva secondo la convenzione della vite destrorsa, corrisponda un angolo β positivo.

Il secondo passaggio consiste nel determinare le relazioni parametriche che descrivono la famiglia disuperfici generate dai fianchi dei denti del pignone, nel moto relativo ad S4. Infatti, un osservatore posto

3

in S4, solidale cioe al face gear, vede il fianco in esame occupare posizioni diverse nel tempo, o meglio,al variare dell’angolo φ. In altri termini la superficie del fianco del pignone genera in S4 una famiglia disuperfici, di parametro φ, che ha equazioni parametriche:

r4 = r4(ξ, θ, φ) = (x4(ξ, θ, φ), y4(ξ, θ, φ), z4(ξ, θ, φ))

Per esplicitare le relazioni precedenti, si operano dei cambiamenti di coordinate sfruttando i sistemi diriferimento introdotti: si passa da S1 a S2 mediante una rotazione −φ/τ , quindi da S2 a S3 con unatraslazione O3O2 ed una rotazione γ, infine da S3 si arriva a S4 con una rotazione φ.

Una volta ottenuta la forma parametrica della famiglia di superfici generate dai fianchi dei denti delpignone nel sistema S4, se ne determina la superficie di inviluppo, ossia la superficie del dente del facegear. La relazione da imporre ai punti r4(ξ, θ, φ) e espressa dalla cosiddetta equation of meshing

(

∂r4

∂ξ∧

∂r4

∂θ

)

·∂r4

∂φ= f(ξ, θ, φ) = 0 (2)

che esprime la condizione che la superficie inviluppo e le superfici della famiglia abbiano localmente lostesso piano tangente. Dal punto di vista fisico la (2) esprime la condizione che i due denti che ingrananonon devono compenetrarsi, quindi la direzione del vettore velocita di strisciamento, parallelo a r4,φ,deve appartenere al piano tangente comune alle superfici dei due denti ingrananti nel punto di contatto,individuato dalla normale, avente la direzione del vettore r4,ξ ∧ r4,θ. La equation of meshing fornisceuna relazione scalare tra i tre parametri ξ, θ e φ in base alla quale si definisce il sottoinsieme dei puntidella famiglia che costituisce la superficie di inviluppo. La superficie dei denti del face gear e pertantodefinita dalle seguenti equazioni

{

r4 = r4(ξ, θ, φ)f(ξ, θ, φ) = 0

(3)

Nel caso di pignone a denti elicoidali, la f(ξ, θ, φ) assume la seguente forma

f(ξ, θ, φ) = ±θrb

τ

{

± c(1 − τ cos γ)rb ∓ c2ξτ sin γ cos

(

θ ± k(ξ − ξ0) ∓φ

τ+ θ0

)

+ kτr2

b sin γ

[

θ cos

(

θ ± k(ξ − ξ0) ∓φ

τ+ θ0

)

− sin

(

θ ± k(ξ − ξ0) ∓φ

τ+ θ0

)]}

= 0 (4)

dove i segni superiori sono relativi al fianco destro e quelli inferiori al fianco sinistro. Esplicitando la (4)rispetto al parametro φ e possibile ottenere la relazione φ = φ(ξ, θ) ed esprimere quindi la superficie diinviluppo e4 in funzione dei parametri ξ e θ:

{

r4 = r4(ξ, θ, φ)

f(ξ, θ, φ) = 0 → φ = φ(ξ, θ)=⇒ e4(ξ, θ) = r4(ξ, θ, φ(ξ, θ)) (5)

Indicando con δ il termine θ + θ0 + k(ξ − ξ0), la forma esplicita delle superficie di inviluppo del fiancodestro e data in S4 dalle equazioni parametriche e4(ξ, θ):

xd4(ξ, θ) = cξ sin γ sinφ + rb

[

cos δ + θ sin δ][

cos γ cos

(

φ

τ

)

sinφ − cosφ sin

(

φ

τ

)

]

+

+rb

[

− θ cos δ + sin δ][

cosφ cos

(

φ

τ

)

+ cos γ sinφ sin

(

φ

τ

)

]

yd4(ξ, θ) = cξ cos φ sin γ + rb

[

−θ cos δ + sin δ][

−cos

(

φ

τ

)

sinφ + cos γ cos φ sin

(

φ

τ

)

]

+

+rb

[

cos δ + θ sin δ][

cos γ cos φ cos

(

φ

τ

)

+ sinφ sin

(

φ

τ

)

]

zd4(ξ, θ) = cξ cos γ − rb cos

(

φ

τ

)

sin γ[

cos δ + θ sin δ]

+ −rb sin γ[

− θ cos δ + sin δ]

sin

(

φ

τ

)

4

Queste relazioni concludono la ricerca della superficie di inviluppo dei denti del pignone; e importanteosservare che per ottenere da questa il fianco destro o sinistro del face gear, se ne deve selezionare unaporzione, in base alle dimensioni dello sbozzato che e stato fatto ingranare con il pignone-utensile equindi in base all’altezza ed alla estensione longitudinale del dente del face gear. Sono state inoltre rica-vate ed implementate nel codice le equazioni dei raccordi alla base del dente del face gear che vengonogenerati come traiettorie degli spigoli di testa con cui terminano, nel modello, le superfici dei fianchi delpignone.

I fondamenti esposti sulla teoria della generazione delle ruote face gear sono del tutto generali; irisultati riportati nel seguito si riferiscono in particolare al caso di assi incidenti, in cui quindi i quattrosistemi di riferimento introdotti hanno origini coincidenti, ovvero O1 = O2 = O3 = O4.

3. GEOMETRIA DEI DENTI DEL FACE GEAR

I denti del face gear presentano alcune caratteristiche importanti, che vale la pena mettere in evidenzae che possono essere utilizzate per scegliere le dimensioni dello sbozzato in modo che la ruota generataabbia le caratteristiche desiderate. Si osserva innanzitutto che in seguito al processo stesso di generazio-ne, come evidente dalla Fig.4.b, lo spessore del dente del face gear misurato sulla testa (top land ), tendea diminuire man mano che ci si allontana in direzione radiale dall’asse della ruota. Al limite si arriva aduna condizione, denominata pointing (corrispondente al punto verde), in cui i due fianchi si incontranoed il dente assume una caratteristica forma a punta. E evidente che tale condizione deve essere evitata,poiche in questa zona il dente presenterebbe una resistenza meccanica molto bassa ed una elevata defor-mabilita. Per evitare la condizione di pointing si deve limitare il raggio esterno massimo R2 della coronadentata (valore che viene fornito come dato di output dal codice).

Dall’altra parte, si deve considerare anche un limite inferiore del raggio della fascia dentata, dovuto alfenomeno dell’interferenza o undercutting (evidenziata da un punto rosso). Infatti se la fascia si estendetroppo verso l’asse del face gear, lo spigolo di testa del pignone utensile, nel suo moto relativo rispetto adesso, interseca la superficie del fianco del dente che ha appena generato, asportando materiale alla basedel dente stesso, riducendone la resistenza a rottura (Fig.5.a). In termini matematici questa condizionee legata alla presenza di punti singolari sulla superficie del fianco del dente, ossia di punti in cui siannulla il vettore normale alla superficie di inviluppo, per cui questa non e piu regolare. Le procedureper la determinazione della condizione di undercutting sono state implementate nel codice e fornisconoil valore R1 del raggio minimo della fascia. Questo valore rappresenta il minore fra i raggi forniti dalleprocedure che determinano la condizione di undercutting su ciascuno dei due fianchi. Infatti nel casodi pignone elicoidale il dente del face gear non e piu simmetrico (come per il pignone a denti dritti) equindi occorre valutare la piu restrittiva tra le due condizioni.

Nella Fig.5.b e rappresentato un dente di face gear con evidenziata in giallo l’intersezione tra il fianco

(a) Superfici teoriche generate per inviluppo dalpignone utensile.

(b) Superfici dei fianchi di un dente del face gear.

Fig. 4: Generazione delle superfici dei denti del face gear.

5

(a) Condizioni di pointing e di undercutting. (b) Luogo di punti in puro rotolamento (in giallo).

Fig. 5: Caratteristiche di un dente di un face gear con raggio di raccordo.

del dente ed il cono primitivo del face gear , descritto dall’asse di istantanea rotazione nel moto relativo.Questa linea rappresenta il luogo geometrico dei punti in cui e nulla la velocita di strisciamento tra ifianchi dei denti. Si nota inoltre una linea rossa che separa il fianco del dente dal raccordo, che presentaun raggio relativamente ampio vicino all’asse e piccolo in prossimita del pointing. Si puo inoltre provareche il punto in cui l’asse di istantanea rotazione incontra la linea rossa di separazione tra fianco e raccordoe un punto singolare per il raccordo stesso, in cui teoricamente il fianco incontra a spigolo vivo il cono dipiede del face gear, creando una zona critica per la resistenza dell’elemento, a causa della concentrazionedegli sforzi.

4. LINEE DEI CONTATTI FRA I DENTI IN PRESA

Dopo aver definito entrambi gli elementi della trasmissione, si passa ad investigare come avviene l’in-granamento, ovvero come si sviluppa il contatto tra le superfici dei denti in presa al variare dell’angoloφ. Per ogni valore di φ le superfici dei denti sono in contatto su una linea, che si sposta al procederedell’ingranamento. Le linee di contatto possono quindi essere viste come curve di livello a φ costan-te sulle superfici dei denti. Per poter ottenere le equazioni di queste linee e pertanto necessario averedelle equazioni parametriche della superficie inviluppo in cui compaia direttamente il parametro φ. Laforma (5) deve quindi essere sostituita da una delle due

e4(ξ, φ) = r4(ξ, θ(ξ, φ), φ) o e4(θ, φ) = r4(ξ(θ, φ), θ, φ) (6)

Utilizzando la seconda delle espressioni nella (6), la generica linea dei contatti fra due denti, per unvalore φ = φ, ha equazione parametrica l4(ξ) = e4(ξ, φ) nel sistema di riferimento S4, ossia sul fiancodel face gear, e l1(ξ) = e1(ξ, φ) nel sistema S1, ovvero sul fianco del pignone. In sostanza, quando ilface gear e ruotato dell’angolo φ, il dente del pignone e quello del face gear si toccano su una curvache ha equazioni l4(ξ), se la si considera appartenente al face gear, ed equazioni l1(ξ), se la si consideraappartenente alla superficie del dente del pignone. Nel caso di pignone con angolo dell’elica generico, sisono ottenute in forma chiusa solo le equazioni delle linee di contatto parametrizzate rispetto a ξ.

Nelle Figg. 6 e 7 le linee di contatto sono rappresentate, per ingranamento sul fianco destro e sulfianco sinistro, sia sulla superficie del face gear (a) che su quella del pignone (b). In queste figuresi e delimitata l’estensione della fascia dentabile proprio in corrispondenza delle due condizioni limitedescritte precedentemente. Il contatto inizia nel punto verde, che sul face gear corrisponde al pointing,diventa un contatto di linea e termina ancora in un punto, evidenziato in blu. Risulta evidente chenon e detto che le linee di contatto coprano tutta la superficie inviluppante; in certi casi esse possonoavere una loro curva di inviluppo, la cui conoscenza ha risvolti applicativi interessanti, specialmenteper gli aspetti di lubrificazione e surriscaldamento. E importante osservare inoltre che nelle sezioni delpignone piu vicine all’asse del face gear, il contatto raggiunge punti sempre piu prossimi al cilindro di

6

(a) Fianco destro del face gear . (b) Fianco destro del pignone.

Fig. 6: Linee dei contatti durante l’ingranamento con β = 10◦ (fianco destro).

base del pignone stesso. Affiche l’ingranamento avvenga in modo corretto, senza cioe che lo spigolodi testa del face gear interferisca con il fondo del dente del pignone, occorre che le linee di contattosi mantengano sempre esterne al cilindro base, dato che non esiste l’evolvente al suo interno. Questofenomeno viene indicato come interferenza secondaria di taglio e nel codice e stata predisposta unaprocedura che permette di prevedere se essa si verifichera in una data trasmissione.

5. CINEMATICA DEL CONTATTO

La cinematica del contatto e stata studiata con particolare attenzione alla velocita di strisciamento tra lesuperfici dei denti in presa, data l’influenza che essa ha sul rendimento della trasmissione. Si assumeinnanzitutto che la coordinata lagrangiana vari nel tempo con una certa legge φ(t). Sia R un punto sullasuperficie inviluppante, solidale al sistema di riferimento mobile S1; si indica con rk = rk(ξR, θR, φ(t))il vettore che ne individua la posizione, variabile nel tempo, nel generico sistema di riferimento Sk. Lavelocita assoluta del punto R e data dalla derivata rispetto al tempo del vettore posizione di R in unsistema di riferimento assoluto, ossia nei sistemi di riferimento S2 o S3. La velocita relativa rispetto alface gear e invece data dalla derivata rispetto al tempo del vettore posizione r4 nel sistema S4. Nel casoin cui il punto R sia, ad un certo istante, un punto di contatto fra la superficie inviluppante r1 del pignonee la superficie inviluppata e4 del face gear, la velocita relativa ad S4 rappresenta proprio la velocita distrisciamento fra le superfici coniugate. Tale velocita relativa v

rR rispetto a S4 e data dal vettore

vrR =

dr4

dt=

∂r4

∂φφ, (7)

Quindi la velocita di strisciamento nel punto di contatto R fra due denti che ingranano coincide con ilvettore r4,φ, a meno di un fattore di scala che e rappresentato dalla velocita angolare φ del face gear. In

(a) Fianco sinistro del face gear . (b) Fianco sinistro del pignone.

Fig. 7: Linee dei contatti durante l’ingranamento per β = 10◦ (fianco sinistro).

7

Fig. 8: Vettori velocita di strisciamento vrR sul fianco sinistro del face gear.

Fig. 8 si e riportato proprio il campo vettoriale definito da r4,φ sulla superficie del dente del face gear. Sipuo notare che la velocita di strisciamento nella fase di accesso e rivolta verso l’asse della ruota frontalee cambia di verso una volta oltrepassata la linea gialla, luogo dei punti di puro rotolamento. In Fig. 9 eriportato l’andamento del modulo del vettore r4,φ sul fianco del dente. In rosso sono evidenziate le zonedove c’e maggiore strisciamento (zone calde), mentre in blu quelle in cui la componente di strisciamentoe prossima a zero e le superfici ingrananti effettuano un moto di puro rotolamento l’una sull’altra.

6. RISULTATI

Le caratteristiche dei denti del face gear descritte in precedenza, sono legate all’angolo dell’elica delpignone; in particolare si mostra in Fig. 10 come varia con β la forma del dente del face gear . Ogniriga della matrice di figure si riferisce ad un valore dell’angolo dell’elica β, nell’ordine β = 0◦ (pignonea denti dritti), β = 5◦, β = 10◦ e β = 15◦. Le colonne raffigurano invece il dente rispettivamentedal fianco destro, da quello sinistro e secondo una vista radiale rispetto al face gear. Nelle prime duecolonne, sulle superfici dei denti sono riportate anche le linee dei contatti; si osserva che sul fianco destro,la loro inclinazione aumenta con l’angolo β, mentre sul fianco sinistro diminuisce e le linee tendono adiventare parallele allo spigolo di testa del face gear. All’aumentare di β inoltre il dente assume unaforma svergolata e non ha piu, come i fianchi simmetrici come accade quando β = 0◦.

Un altro parametro importante nelle trasmissioni e il grado di ricoprimento (G.d.R), definito dal

0-16.5

16.5-33

33-49.5

49.5-66

66-82.5

82.5-99

Fig. 9: Modulo del vettore r4,φ (in mm) sul fianco sinistro del face gear.

8

rapporto

G.d.R. =∆φmesh(

2πN4

) (8)

dove ∆φmesh e la variazione dell’angolo di rotazione del face gear corrispondente all’ingranamento diuna coppia di denti in presa ed N4 e il numero di denti del face gear. All’aumentare dell’angolo dell’elicaβ si ha un aumento del G.d.R. fra la superficie destra del pignone e quella del face gear, mentre si hauna diminuzione del ricoprimento se il contatto avviene sui fianchi sinistri. Si osserva che l’aumentodel G.d.R. ottenibile aumentando l’angolo β costituisce un importante vantaggio sebbene a β maggioricorrisponde una fascia dentabile piu stretta.

7. CONCLUSIONI

Nel presente lavoro e stato presentato uno studio della geometria e della cinematica di una ruota di tipoface gear ingranante con un pignone a denti elicoidali, con particolare riferimento alla condizione diassi incidenti. Dopo aver richiamato i fondamenti teorici della generazione per inviluppo, sono statiinvestigati, attraverso un codice di calcolo appositamente scritto con il software Mathematica, la formadei denti, l’ampiezza della fascia dentata, le velocita di strisciamento e il grado di ricoprimento. Sonoemerse alcune caratteristiche importanti dei denti della ruota frontale come l’appuntimento del dente(pointing) che limita il raggio massimo della ruota e la condizione di interferenza (undercutting) chevincola il raggio interno. Inoltre a differenza delle face gear generate con pignone a denti dritti, inquesto caso i denti non sono simmetrici per cui sono stati analizzati separatamente i due fianchi. Questo

Fig. 10: Forme dei denti al variare dell’angolo β dell’elica del pignone.

9

2,074032,27987

2,495152,72116

2,959633,21295

3,265683,37347

3,31917

3,42862

3,48467

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16����

G.d

.R.(

s)

G.d.R.(s)

(a) Ingranamento sul fianco sinistro.

3,43307

3,48854

3,55255

3,62

3,40545

3,42195

3,4467

3,48467

3,39469

3,388163,39373

3,35

3,4

3,45

3,5

3,55

3,6

3,65

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16����

G.d

.R.(

d)

G.d.R.(d)

(b) Ingranamento sul fianco destro.

Fig. 11: Grado di ricoprimento in funzione dell’angolo β dell’elica.

permette di scegliere il lato piu vantaggioso per la trasmissione. Infine e stato presentata l’influenzadell’angolo dell’elica β sulla forma al dente e sul grado di ricoprimento.

Ulteriori sviluppi del codice potrebbero consentire l’analisi cinematica dei contatti fra i denti del facegear e quelli del pignone nel caso che venga conferita una certa bombatura alle superfici dei suoi dentiper localizzare il contatto, anche in presenza di errori di montaggio.

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

[1] Buckingham E., Analytical Mechanics of Gears, Mc-Graw Hill, New York, 1949.

[2] Dornig A., Massa E.: Gli ingranaggi “Face”, Rivista di Ingegneria, N. 3 (1955).

[3] Massa E.: L’interferenze negli ingranaggi “Face”, Rivista di Ingegneria, N. 4 (1955).

[4] Basstein G., Sijtstra A.: New developments in design, manufacturing and applications of Cylkro-(face) gears,AGMA Technical Paper 93FTM7 (1993).

[5] Litvin F.L., Zhang Y., Wang J.-C., Bossler R.B., Chen Y.-J.: Design and geometry of face-gear drives, ASMEJ. Mechanical Design, Vol. 114, pp. 642-647 (1992).

[6] Litvin F.L., Egelja A., Tan J., Heath G.: Computerized design, generation and simulation of meshing oforthogonal offset face-gear drive with a spur involute pinion with localized bearing contact, Mech. Mach.Theory, Vol. 33, pp. 87–102 (1998).

[7] Litvin F.L., Argentieri G., De Donno M., Hawkins M.: Computerized design, generation and simulation ofmeshing and contact of face worm-gear drives, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., Vol. 189, pp. 785–801(2000).

[8] Litvin F.L., Theory of Gearing, NASA Reference Publication 1212, 1989.

[9] Litvin F.L., Gear Geometry and Applied Theory, Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1994.

[10] Litvin F.L., Development of Gear Technology and Theory of Gearing, NASA Reference Publication 1406(ARL-TR-1500), 1997.

[11] Mitrinovic D.S. e Ular J., Differential Geometry, Wolters-Noordhoff Publishing, Groningen, 1969.

[12] Pogolerov A.V., Differential Geometry, Noordhoff Publishing, Groningen, 1959.

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