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Esercizi di statistica descrittiva

Giulia Simi (Universita di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 1 / 30

Esercizio 1 Nel rilevare l’altezza di un gruppo di reclute, si e ottenutala seguente tabella delle frequenze. Si chiede dideterminare l’altezza media delle reclute.

Altezza in cm. Frequenza assoluta166 1168 3169 6170 11171 8172 6173 4174 3175 1178 1

Esercizio 2 Data la stessa tabella di numeri dell’esercizio 1,determiniamone la mediana, la media geometrica e lamoda.

Esercizio 3 Un’indagine sui pesi (in kg) degli individui adulti, dientrambi i sessi, di una certa popolazione ha prodotto irisultati riportati nella tabella seguente:

Peso p in Kg. Frequenza assoluta

40 ≤ x < 45 245 ≤ x < 50 1250 ≤ x < 55 2155 ≤ x < 60 1760 ≤ x < 65 1865 ≤ x < 70 2270 ≤ x < 75 1875 ≤ x < 80 780 ≤ x < 90 3

Calcolare la media aritmetica e lo scarto quadraticomedio per i pesi degli individui considerati in tabella.

Esercizio 4 Scegliere dodici dati numerici (non tutti uguali traloro) che abbiano come media aritmetica il numero25. Calcolare il corrispondente scarto quadraticomedio.Scegliere altri dodici dati numerici in modo che la loromedia aritmetica sia ancora 25, mentre lo scartoquadratico medio sia il doppio di quello calcolato alpunto precedente.

Esercizio 5 Un’indagine effettuata su un campione di 50 famiglie hadato il seguente risultato:

numero figli per famiglia frequenza assoluta0 61 122 163 94 45 16 2

Calcolare il numero medio di figli per famiglia, ladeviazione standard e la distanza interquartile.

Esercizio 6 In un gruppo di 5 adulti, la somministrazione di dosidiverse di un farmaco ha comportato le seguentidiminuzioni della pressione arteriosa:

Dose (in mg) Diminuz. della pressione (in mm di Hg)7 10

12 1815 2020 2522 25

Scrivere l’equazione della retta di regressione.Calcolare la dose ottimale per ottenere unadiminuzione della pressione, pari a 15 mm Hg.

Esercizio 7 La tabella mostra la distribuzione della resistenza allatrazione (carico di rottura, in tonnellate) di un campione di60 cavi prodotti da una societa. Determinare il carico dirottura medio, la classe modale e la varianza delcampione.

Carico di rottura in tonnellate Numeri di cavi9,3 − 9,7 2

9,8 − 10,2 510,3 − 10,7 1210,8 − 11,2 1711,3 − 11,7 1411,8 − 12,2 612,3 − 12,7 312,8 − 13,2 1

Tot. 60

Esercizio 8 Sono stati raccolti dati relativi alla lunghezza (in cm)dell’apice vegetativo di piante di Pino strobo in vivaio.Nella tabella seguente e riportata la distribuzione dellefrequenze assolute dei dati raccolti, raggruppati in classi.

Classi 3 − 8 8 − 13 13 − 18 18 − 23 23 − 28 28 − 33Frequenza 14 17 17 23 16 13

Freq.relativaFreq. cumulativa

a) Completare la tabella con la distribuzionedelle frequenze relative e delle frequenzerelative cumulative.

b) Calcolare la media e la deviazione standarddella popolazione considerata.

Esercizio 8 Sono stati raccolti dati relativi alla lunghezza (in cm)dell’apice vegetativo di piante di Pino strobo in vivaio.Nella tabella seguente e riportata la distribuzione dellefrequenze assolute dei dati raccolti, raggruppati in classi.

Classi 3 − 8 8 − 13 13 − 18 18 − 23 23 − 28 28 − 33Frequenza 14 17 17 23 16 13

Freq.relativaFreq. cumulativa

a) Completare la tabella con la distribuzionedelle frequenze relative e delle frequenzerelative cumulative.

b) Calcolare la media e la deviazione standarddella popolazione considerata.

NotaSi usa la deviazione standard per avere un valore espresso con lastessa unita di misura dei dati di partenza.Nell’esercizio 8 la devizione standard σ ≈ 8cm. Il risultato e espressonella stessa unita del carattere, cm, e ci dice che la lunghezza in cmdei dati raccolti si discostano mediamente dalla media aritmetica di8cm.

NotaLo scarto quadratico medio (s.q.m.), come la media aritmetica, einfluenzato dalla presenza di valori anomali nella distribuzione (outlier)e la sua interpretazione puo risultare fuorviante in presenza dinumerosi valori anomali.Lo s.q.m. rappresenta uno strumento utile per misurare la variabilita diuna distribuzione simmetrica con pochi valori anomali. I confronti tragli s.q.m. di diverse distribuzioni hanno senso quando:

caratteri sono della stessa natura e sono espressi nella stessaunita di misura;le medie aritmetiche hanno grandezza simile.

Il coefficiente di variazione

Se dobbiamo confrontare la variabilita di un carattere in collettividiversi per grandezza media o di piu caratteri espressi in diverse unitadi misura (peso, altezza, reddito, . . .) lo s.q.m. non e un buonindicatore perche e espresso nell’unita di misura del carattere rilevatoe non ha senso confrontare una variabilita espressa in cm con unavariabilita espressa in kg o in euro.Si introduce allora il coefficiente di variazione CV definito come:

CV =σ

x· 100

Il coefficiente di variazione fornisce un valore percentuale,adimensionale, della deviazione standard rispetto alla media.

CV =σ

x· 100

CV =σ

x· 100

Esempio coefficiente di variazione

Esercizio 9 In una gara di atletica leggera sono stati rilevati i seguenti5 migliori risultati di salto in alto (in metri) e di corsa sui100m (in secondi):Salto in alto

1,85; 1,92; 1,95; 1,94; 1,94

11,7; 11,3; 11,4; 11,2; 11,6.

Indicare quale delle due serie di risultati presentamaggiore variabilita.

Soluzione

Per prima cosa calcoliamo la media e lo s.q.m. delle due distribuzioni:

xs =1,85 + 1,92 + 1,95 + 1,94 + 1,94

5= 1,92m,

√∑5i=1(xi − xs)2

5= 0,036m;

xc =11,7 + 11,3 + 11,4 + 11,2 + 11,6

5= 11,44s;

√∑5i=1(xi − xc)2

5= 0,185s;

Soluzione

xs =1,85 + 1,92 + 1,95 + 1,94 + 1,94

5= 1,92m,

√∑5i=1(xi − xs)2

5= 0,036m;

xc =11,7 + 11,3 + 11,4 + 11,2 + 11,6

5= 11,44s;

√∑5i=1(xi − xc)2

5= 0,185s;

Soluzione

xs =1,85 + 1,92 + 1,95 + 1,94 + 1,94

5= 1,92m,

√∑5i=1(xi − xs)2

5= 0,036m;

xc =11,7 + 11,3 + 11,4 + 11,2 + 11,6

5= 11,44s;

√∑5i=1(xi − xc)2

5= 0,185s;

Soluzione

xs =1,85 + 1,92 + 1,95 + 1,94 + 1,94

5= 1,92m,

√∑5i=1(xi − xs)2

5= 0,036m;

xc =11,7 + 11,3 + 11,4 + 11,2 + 11,6

5= 11,44s;

√∑5i=1(xi − xc)2

5= 0,185s;

Soluzione

xs =1,85 + 1,92 + 1,95 + 1,94 + 1,94

5= 1,92m,

√∑5i=1(xi − xs)2

5= 0,036m;

xc =11,7 + 11,3 + 11,4 + 11,2 + 11,6

5= 11,44s;

√∑5i=1(xi − xc)2

5= 0,185s;

Soluzione

Siccome le due serie di dati sono espresse in unita di misura diverse(metri e secondi), per confrontare la loro variabilita si ricorre alcoefficiente di variazione, il cui valore e un numero puro, svincolatocioe dall’unita di misura. I coefficienti di variazione sono:

CVs =σs

xs· 100 =

0,0361,92

· 100 ≈ 1,87%;

CVc =σc

xc· 100 =

0,18511,44

· 100 ≈ 1,62%.

Soluzione

CVs =σs

xs· 100 =

0,0361,92

· 100 ≈ 1,87%;

CVc =σc

xc· 100 =

0,18511,44

· 100 ≈ 1,62%.

Soluzione

CVs =σs

xs· 100 =

0,0361,92

· 100 ≈ 1,87%;

CVc =σc

xc· 100 =

0,18511,44

· 100 ≈ 1,62%.

Esercizio 10 In un campionamento vengono considerati 290 individuiscelti a caso in una popolazione, la cui eta varia tra i 35 ei 58 anni. Questo intervallo di eta viene suddiviso in 4intervalli di numeri interi:

I1 = [35,40], I2 = [41,46], I3 = [47,52], I4 = [53,58].

Dei 290 individui, 70 hanno un’eta appartenenteall’intervallo di valori I1 , 50 hanno un’eta appartenente adI2 , 120 a I3, e 50 a I4.

a) Si disegni un istogramma delle frequenzeassolute di questi dati.

b) Si determini l’eta media degli individui delcampione.

Esercizio 10 In un campionamento vengono considerati 290 individuiscelti a caso in una popolazione, la cui eta varia tra i 35 ei 58 anni. Questo intervallo di eta viene suddiviso in 4intervalli di numeri interi:

I1 = [35,40], I2 = [41,46], I3 = [47,52], I4 = [53,58].

Dei 290 individui, 70 hanno un’eta appartenenteall’intervallo di valori I1 , 50 hanno un’eta appartenente adI2 , 120 a I3, e 50 a I4.

a) Si disegni un istogramma delle frequenzeassolute di questi dati.

b) Si determini l’eta media degli individui delcampione.

Soluzionea) Istogramma delle frequenze assolute dei dati:

35 41 47 53

x =37, 5 · 70 + 43, 5 · 50 + 49, 5 · 120 + 55, 5 · 50

13515290

= 46, 6 ≈ 47.

Esercizio 11 I dati sotto riportati sono relativi alle lunghezze, misuratein millimetri, di un campione di 13 parassiti Aphis fabae:

1, 21; 1, 39; 1, 21; 1, 21; 1, 21; 1, 21; 1, 20; 1, 18; 1, 23; 1, 21; 1, 23; 1, 24; 1, 33.

Disegnare l’istogramma delle frequenze assolute ecalcolare media, moda e mediana dell’insieme dei dati.

Soluzione

Istogramma delle frequenze assolute dei dati:

1, 18 1, 20 1, 21 1, 23 1, 24 1, 33 1, 39

Soluzione

x =1,18 + 1,20 + 1,21 · 6 + 1,23 · 2 + 1,24 + 1,33 + 1,39

13≈ 1,23;

me = x 13+12

= x7 = 1,21;

Moda e 1,21.

Esercizio 12 In un laboratorio e stato misurato il peso di 15 cavie e sisono ottenuti i seguenti valori in grammi:

28, 32, 37, 29, 31, 30, 32, 26, 32, 27, 29, 30, 28, 31, 31.

a) Calcolare la media aritmetica, la mediana,l’intervallo di variazione e la deviazionestandard dei pesi delle cavie.

b) Quale variazione subisce la media se sitoglie il valore anomalo 37?

c) Cosa accade alla mediana se si toglieancora il valore 37?

28, 32, 37, 29, 31, 30, 32, 26, 32, 27, 29, 30, 28, 31, 31.

Esercizio 13 I dati sotto riportati sono le eta, espresse in anni, di 40dipendenti di un’azienda:

29, 30, 30, 30, 30, 32, 33, 34, 34, 35

48, 48, 50, 51, 51, 52, 52, 53, 53, 36

24, 24, 25, 25, 26, 27, 27, 28, 28, 28

38, 38, 39, 40, 41, 41, 42, 44, 45, 47

a) Determinare la media aritmetica, lamediana, la moda e la deviazione standarddelle eta dei dipendenti;

b) Quale sara tra 10 anni l’eta media deglistessi dipendenti, supponendo che sianotutti vivi?

c) Che cosa succede della deviazione standardrispetto al nuovo valore trovato della media?Giustificare la risposta.

29, 30, 30, 30, 30, 32, 33, 34, 34, 35

48, 48, 50, 51, 51, 52, 52, 53, 53, 36

24, 24, 25, 25, 26, 27, 27, 28, 28, 28

38, 38, 39, 40, 41, 41, 42, 44, 45, 47

29, 30, 30, 30, 30, 32, 33, 34, 34, 35

48, 48, 50, 51, 51, 52, 52, 53, 53, 36

24, 24, 25, 25, 26, 27, 27, 28, 28, 28

38, 38, 39, 40, 41, 41, 42, 44, 45, 47

Esercizio 14 La popolazione degli stambecchi del Parco Nazionaledello Stelvio e composta da circa 800 esemplari adulti(dati del 2004), la cui lunghezza L varia tra i 130 e i 160centimetri. Piu precisamente la lunghezza L e distribuitacome nella tabella che segue, dove F rappresenta lafrequenza assoluta di ogni classe:

L(cm) F[127,5 − 132,5) 32[132,5 − 137,5) 41[137,5 − 142,5) 158[142,5 − 147,5) 268[147,5 − 152,5) 116[152,5 − 157,5) 70[157,5 − 162,5) 115

Disegnare il poligono delle frequenze assolute di L.

Soluzione: poligono delle frequenze assolute di L

130 135

Esercizio 15 I un campione di 8 individui si conoscono le eta ed i libriletti nell’ultimo anno

Eta 15 19 21 27 28 32 34 40Libri letti 3 1 7 2 10 15 8 10

a) Disegnare il diagramma a dispersione;b) Dopo aver calcolato l’eta media ed il numero

medio di libri letti in un anno, determinarel’equazione della retta dei minimi quadrati.

Esercizio 15 I un campione di 8 individui si conoscono le eta ed i libriletti nell’ultimo anno

Eta 15 19 21 27 28 32 34 40Libri letti 3 1 7 2 10 15 8 10

a) Disegnare il diagramma a dispersione;b) Dopo aver calcolato l’eta media ed il numero

medio di libri letti in un anno, determinarel’equazione della retta dei minimi quadrati.

Soluzione

a) Il diagramma a dispersione

(15, 3)

(19, 1)(27, 2)

(32, 15)

(34, 8)

(40, 10)

(21, 7)

(28, 10)Libri letti

Soluzione

b) x = 27 eta media; y = 7 il numero medio di libri letti.Determiniamo la retta dei minimi quadrati y = mx + q

m =8∑

(xi − 27) · (yi − 7)∑8i=1(xi − 27)2

=107488

≈ 0,2 =15;

q = y − mx = 7 − 15· 27 =

La retta dei minimi quadrati e y = 15x + 8

Esercizio 16 Nella tabella seguente sono riportati i valori dell’ossigenoconsumato da una persona che cammina incorrispondenza della velocita della sua andatura:

Velocita (in Km/h) 0 1 2 3 4 5 6 7 8Ossigeno (litri/ora) 19 20 20,5 21,5 22 23 23 23,5 24

Scrivere l’equazione della retta dei minimi quadrati.

Soluzione

Vogliamo scrivere l’equazione della retta dei minimi quadrati:

y = mx + q.

Calcoliamo la velocita media x

x =0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8

e l’ossigeno medio y

y =19 + 20 + 20,5 + 21,5 + 22 + 23 + 23 + 23,5 + 24

=196,5

9≈ 21,8 ≈ 22.

Soluzione

Quindi

∑9i=1(xi − 4) · (yi − 22)∑9

i=1(xi − 4)2=

≈ 0,6 =35,

eq = y − mx = 22 − 3

4· 4 =

L’equazione dei minimi quadrati e

x +985.

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