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Esercizi di Geometria Alessandro Silva 30 marzo 2013 Editing L A T E X a cura di Alessandro Flati. Per eventuali (gradite) segnalazioni, contattare [email protected].

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Esercizi di Geometria

Alessandro Silva

30 marzo 2013

Editing LATEX a cura di Alessandro Flati. Per eventuali (gradite) segnalazioni, [email protected].

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Indice

1 Richiami di topologia generale 1

1.1 Topologia quoziente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Sfere e spazi proiettivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Topologia algebrica (omotopia) 4

2.1 Omotopia e gruppo fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Rivestimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Il teorema di Van Kampen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Algebra multilineare 12

3.1 Algebra esterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Varieta differenziabili 14

4.1 Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2 Vettori e spazi tangenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.3 Immersioni, sottovarieta, embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.3.1 Il teorema della funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . 17

4.3.2 Il teorema della funzione implicita . . . . . . . . . . . . . 18

4.4 Campi vettoriali e forme differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.5 Orientabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.6 Calcolo integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 Esercizi proposti a lezione 21

5.1 Foglio 1 - a.a. 2011/2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.2 Foglio 2 - a.a. 2011/2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.3 Foglio 3 - a.a. 2011/2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.4 Foglio 1 - a.a. 2012/2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6 Compiti scritti 28

6.1 II esonero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.2 16 Novembre 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6.3 13 giugno 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.4 6 Luglio 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.5 24 settembre 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.6 28 settembre 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.7 22 gennaio 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

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1 Richiami di topologia generale

1.1 Topologia quoziente

Esercizio 1. Siano X e Y spazi topologici e sia f : X → Y un’applicazione

continua. Definiamo la seguente relazione di equivalenza su X: x ∼ ydef⇐⇒

f(x) = f(y). Dimostrare che se Y e di Hausdorff allora anche il quoziente X/∼

e di Hausdorff.

Soluzione.

Per definizione, f e costante sulle classi di equivalenza. Quindi, per il teorema

di omomorfismo di insiemi, esiste un’unica F da X/∼ a Y tale che f = F π.

X

π

f // Y

X/∼

F

==

Dimostriamo che se f e continua anche l’applicazione indotta F e continua.

Sia A ⊂ Y un aperto. Allora, la controimmagine f−1(A) = (F π)−1(A) =

π−1(F−1(A)) e aperta. Per definizione di topologia quoziente, segue che F−1(A)

e aperto, e dunque F e continua. Siano π(x), π(y) ∈ X/∼ , π(x) 6= π(y).

Abbiamo f(x) 6= f(y), poiche F e iniettiva per costruzione. Inoltre, essendo Y

uno spazio di Hausdorff, esistono U, V ⊂ Y aperti, con f(x) ∈ U , f(y) ∈ V , tali

che U ∩V = ∅. Ora, F−1(U), F−1(V ) sono aperti, contengono rispettivamente

le classi π(x) e π(y) e sono disgiunte.

Esercizio 2. Consideriamo lo spazio Y = a, b con la topologia discreta. Sia

X = R × Y . Trovare una relazione di equivalenza ∼ su X tale che X/∼ sia

unione di due aperti omeomorfi a R ma non sia di Hausdorff.

Soluzione.

Anzitutto, scriviamo X nella seguente forma:

X = R× Y = (R× a) ∪ (R× b).

Definiamo la relazione

(x, a) ∼ (y, b) se (x, a) = (y, b) oppure se x = y, con x, y 6= 0.

Chiaramente, gli aperti A := (X/∼ ) \ (0, b), B := (X

/∼ ) \ (0, a) sono

omeomorfi a R. Inoltre, non esistono aperti U, V ⊂ X/∼ , con (0, a) ∈ U e

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(0, b) ∈ V , che non si intersechino.

Esercizio 3. Sia X uno spazio topologico e sia Omeo(X) l’insieme degli omeo-

morfismi da X in se. Rispetto alla composizione, Omeo(X) e un gruppo. Per

ogni sottogruppo G ⊂ Omeo(X), dati x, y ∈ X scriviamo x ∼ y se ∃g ∈ G tale

che y = g(x). Si provi che:

1. ∼ e una relazione di equivalenza;

2. la proiezione al quoziente π : X → X/∼ e aperta;

3. se G e finito, allora π e chiusa.

Inoltre, si determinino condizioni affinche X/∼ sia di Hausdorff.

Soluzione.

1. Verifichiamo che ∼ e riflessiva, simmetrica e transitiva:

(a) Riflessivita: x = idX(x).

(b) Simmetria: y = g(x) =⇒ x = g−1(y).

(c) Transitivita: y = g(x), z = h(y) =⇒ z = (h g)(x).

2. Sia U un aperto di X. Vogliamo dimostrare che π−1(π(U)) e aperto.

Allora:

π−1(π(U)) = x ∈ X | π(x) ∈ π(U)

= x ∈ X | π(x) = π(y) per qualche y ∈ U

= x ∈ X | x = g(y) per qualche y ∈ U e g ∈ G

= x ∈ X | x ∈ g(U) per qualche g ∈ G

=⋃g∈G

g(U).

Poiche ogni g e un omeomorfismo, g(U) e un’aperto, dunque π−1(π(U)) e

unione di aperti.

3. Sia F ⊂ X un chiuso. In modo analogo al punto precedente, possiamo

dimostrare

π−1(π(F )) =⋃g∈G

g(F ).

Poiche ogni g e un omeomorfismo g(F ) e un chiuso, dunque π−1(π(F )) e

unione di chiusi. Ora, se G e finito, l’unione e finita e quindi π−1(π(F )) e

chiuso.

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Proposizione 1. Se X e di Hausdorff e G e finito, allora X/∼ e di Hausdorrf.

Dimostrazione. Siano g1, · · · , gN gli elementi del gruppo G. Dati π(x), π(y) ∈X/∼ , con π(x) 6= π(y), definiamo x1 := g1(x), . . . , xN =: gN (x) e y1 :=

g1(y), . . . , yN =: gN (y). La condizione π(x) 6= π(y) equivale a xi 6= yj per ogni

i, j = 1, . . . , N . Ora, per ogni coppia di punti xi, yj , esistono due aperti Ui, Vj ⊂X tali che xi ∈ Ui, yj ∈ Vj e Ui ∩ Vj = ∅. Definiamo:

U =

N⋂i=1

g−1i (Ui), V =

N⋂j=1

g−1j (Vj).

Vogliamo mostrare che π(U) e π(V ) sono aperti disgiunti. Ora,

π−1(π(U)) =

N⋃i=1

gi(U), π−1(π(V )) =

N⋃j=1

gj(V )

sono aperti. Per costruzione, poi, gi(U) ⊂ Ui e gj(V ) ⊂ Vj , quindi π(U) e π(V )

sono disgiunti.

Piu in generale, se X e di Hausdorff ed esiste un aperto A ⊂ X tale che

1. π : A→ X/∼ e suriettiva,

2. l’insieme g ∈ G | g(A) ∩A 6= ∅ e finito,

allora X/∼ e di Hausdorff. La dimostrazione si trova sul libro Topologia di

Manetti.

1.2 Sfere e spazi proiettivi

Esercizio 4. Si consideri Rn \ 0/∼ dove (x) ∼ (y)

def⇐⇒ ∃k > 0 | (y) = k(x).

Si provi che Rn \ 0/∼ e:

1. di Hausdorff;

2. compatto;

3. omeomorfo a Sn.

Esercizio 5. Per i = 1, . . . , n, siaAi ⊂ RPn definito da: Ai := [x0, . . . , xn] ∈ RPn | xi 6= 0.Si provi che:

1. Ai e denso in RPn;

2. il cambiamento di coordinate da Ai ad Aj e un omeomorfismo.

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Inoltre, si “descriva” l’intersezione Ai ∩Aj , con i 6= j.

Esercizio 6. Si provi che RPn e compatto e di Hausdorff.

Soluzione.

Dalla definizione, segue immediatamente che RPn e omoemorfo a Sn/± idSn .

Ora, la proiezione al quoziente

π : Sn → Sn/± idSn

e continua e suriettiva, quindi RPn e compatto. Inoltre, G = ± idSn e un

sottogruppo finito del gruppo degli omeomorfismi di Sn in se, quindi RPn e di

Hausdorff.

2 Topologia algebrica (omotopia)

2.1 Omotopia e gruppo fondamentale

Esercizio 7. Si provi che uno spazio topologico X e contrattile se e solo se ha

lo stesso tipo di omotopia di un punto.

Soluzione.

Supponiamo che X sia contrattile. Allora, esiste x0 ∈ X tale che idX ' ex0.

Consideriamo lo spazio Y = x0 e le applicazioni continue f : X → Y , g :

Y → X definite da f(x) = x0 e g(x0) = x0. Si ha f g = idY ' idY e

g f = ex0' idX . Viceversa, se Y = y e f : X → Y , g : Y → X sono tali che

f g ' idY e g f ' idX , ponendo x0 := g(y), otteniamo ex0= g f ' idX .

Esercizio 8. Denotiamo con il simbolo 〈α〉 la classe di omotopia a estremi fissi

del cammino α di estremi x0, x1. Dimostrare che 〈α〉〈ex1〉 = 〈α〉.

Soluzione.

Si tratta di provare che αex1 ' α. Il cammino αex1 e dato da

αex1(t) :=

α(2t) se 0 ≤ t ≤ 1

2

x1 se1

2≤ t ≤ 1.

Definiamo un’applicazione F : I × I → X come segue:

F (t, u) :=

α(t(u+ 1)) se 0 ≤ t ≤ 1

2

α(u+ (1− u)t) se1

2≤ t ≤ 1.

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Allora:

1. F e continua per il lemma di incollamento;

2. F (0, u) = α(0) = x0, ∀u ∈ I;

3. F (1, u) = α(1) = x1, ∀u ∈ I;

4. F (t, 0) = α(t), ∀t ∈ I;

5. F (t, 1) = αex1(t) ∀t ∈ I.

In conclusione, quindi, F e l’omotopia ad estremi fissi richiesta.

Esercizio 9. Verificare che l’applicazione F : I × I → X definita da

F (t, u) :=

α

(4t

u+ 1

)se 4t− 1 ≤ u

β(4t− u− 1) se 4t− 2 ≤ u ≤ 4t− 1

γ

(4t− u− 2

2− u

)se u ≤ 4t− 2.

e un’omotopia ad estremi fissi da (αβ)γ a α(βγ).

Soluzione.

F e continua per il lemma di incollamento. Per ogni u ∈ I,

F (0, u) = α(0) = x0, F (1, u) = γ(1) = x2.

Infine, dato t ∈ I, abbiamo:

F (t, 0) =

α(4t) se t ≤ 1

4

β(4t− 1) se1

4≤ t ≤ 1

2

γ(2t− 1) se1

2≤ t

= (αβ)γ(t)

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F (t, 1) =

α(2t) se t ≤ 1

2

β(4t− 2) se1

2≤ t ≤ 3

4

γ(4t− 3) se3

4≤ t

= α(βγ)(t)

Esercizio 10. Siano X e Y spazi topologici connessi per archi, sia x0 ∈ X e

sia f : X → Y . Dimostrare che l’applicazione f∗ : π1(X,x0) → π1(Y, f(x0))

“push-forward” di f e ben definita ed e un omomorfismo di gruppi.

Soluzione.

Dividiamo la dimostrazione in due parti:

1. Dobbiamo mostrare che se α ' β allora f α ' f β. Se F e un’omotopia

ad estremi fissi fra i cammini α e β l’applicazione G := f F : I × I → Y

e un’omotopia fra f α e f β. Infatti:

(a) G e continua in quanto composizione di applicazioni continue;

(b) G(0, u) = f(F (0, u)) = f(x0), ∀u ∈ I;

(c) G(1, u) = f(F (1, u)) = f(x0), ∀u ∈ I;

(d) G(t, 0) = f(F (t, 0)) = f(α(t)) = (f α)(t), ∀t ∈ I;

(e) G(t, 1) = f(F (t, 1)) = f(β(t)) = (f β)(t), ∀t ∈ I.

2. Per ogni 〈α〉, 〈β〉 ∈ π1(X,x0),

f∗(〈α〉〈β〉) = f∗(〈αβ〉) = 〈f (αβ)〉 = 〈(f α)(f β)〉 =

= 〈f α〉〈f β〉 = f∗(〈α〉)f∗(〈β〉).

Esercizio 11. Siano X,Y, Z connessi per archi, sia x0 ∈ X e siano f : X → Y ,

g : Y → X applicazioni continue. Dimostrare che (g f)∗ = g∗ f∗.

Soluzione.

Per ogni 〈α〉 ∈ π1(X,x0),

(g f)∗(〈α〉) = 〈(g f) α〉 = 〈g (f α)〉 = g∗(〈f α〉) = (g∗ f∗)(〈α〉).

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Esercizio 12. Siano X,Y e x0 come sopra, siano f0, f1 : X → Y applicazioni

omotope (mediante F ) e sia σ : I → Y il cammino da f0(x0) a f1(x0) definito,

per ogni t ∈ I, da

σ(t) = F (x0, t).

Provare che (f1)∗ = σ# (f0)∗.

Soluzione.

Sia 〈α〉 ∈ π1(X,x0). Dobbiamo dimostrare che f1α ' σ−1(f0α)σ. Definiamo

analiticamente un’omotopia H come segue:

H(t, u) :=

σ−1(2t) se t ≤ 1− u2

F

(4α(t) + 2u− 2

3u+ 1, u

)se

1− u2≤ t ≤ u+ 3

4

σ(4t− 3) seu+ 3

4≤ u.

1. H e continua poiche incollamento di applicazioni continue e di una com-

posizione di applicazioni continue;

2. H(0, u) = σ−1(0) = f1(x0), ∀u ∈ I;

3. H(1, u) = σ(1) = f1(x0), ∀u ∈ I;

4. H(t, 0) = σ−1(f0 α)σ(t), ∀t ∈ I;

5. H(t, 1) = f1 α(t), ∀t ∈ I.

Esercizio 13. Sia A ⊂ X un retratto e sia a ∈ A. Dimostrare che r∗ ι∗ :

π1(A, a) → π1(A, a) e un isomorfismo, dove r : X → A e tale che r|A= idA e

ι : A → X e l’inclusione.

Soluzione.

L’applicazione

r∗ ι∗ = (r ι)∗ = (rA)∗ = (idA)∗

e chiaramente un isomorfismo.

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Esercizio 14. Sia A ⊂ X un retratto di deformazione e sia a ∈ A. Con le

notazioni dell’esercizio precedente, dimostrare che ι∗ : π1(A, a)→ π1(X, a) e un

isomorfismo di gruppi.

Soluzione.

Sappiamo gia che ι∗ e un omomorfismo di gruppi, chiaramente iniettivo. Resta

da provare la suriettivita. Sia β : I → X un cammino. Definiamo α := r β :

I → A. Per definizione, esiste una funzione continua F : X × I → X tale

che F (x, 0) = x, F (x, 1) = r(x), F (a, t) = a per ogni x ∈ X ed ogni a ∈ A.

Un’omotopia fra ια e β e data, per ogni (t, u) ∈ I×I, da H(t, u) := F (β(t), u).

Esercizio 15. Provare che Sn−1 e un retratto di deformazione di Rn \ 0.

Soluzione.

Consideriamo l’applicazione r : Rn\0 → Sn−1 definita, per ogni (x) ∈ Rn\0,da

r((x)) :=(x)

‖(x)‖.

Una deformazione di Sn−1 su Rn \ 0 e

F ((x), t) := t(x)

‖(x)‖+ (1− t)(x), ((x), t) ∈ (Rn \ 0)× I.

Esercizio 16. Dimostrare che ogni sottoinsieme convesso di Rn e contrattile.

Soluzione.

Sia X ⊂ Rn convesso. Dobbiamo dimostrare che idX ' e(x)0 per qualche

(x)0 ∈ X. Sfruttando la convessita di X, per ogni (x)0 ∈ X possiamo definire

la seguente applicazione:

F : X × I → X

((x), t) 7→ t(x) + (1− t)(x)0.

Si verifica immediatamente che F e un’omotopia fra idX a e(x)0 .

Esercizio 17. Siano Y :=

(x, y, z) ∈ R3 | x = z = 0

, Z :=

(x, y, z) ∈ R3 | x = y = 0

.

Si provi che l’insieme R3\(Y ∪Z) si retrae per deformazione su S2\P1, P2, P3, P4,con P1, P2, P3, P4 punti distinti.

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Esercizio 18. Siano R1 :=

(x, y) ∈ R2 | x = 1

, R2 :=

(x, y) ∈ R2 | x = 0

.

Si provi che R1 ∪ S1 e omotopo a S1 e che R2 ∪ S1 e omotopo ad una figura ad

otto.

Esercizio 19. Sia S ⊂ R2 un insieme stellato limitato con frontiera γ1 di classe

C0 e sia γ2 la frontiera di un disco B tale che B ⊂ S. Si provi che γ1 e γ2 sono

omotope come cammini chiusi.

2.2 Rivestimenti

Esercizio 20. Sia (X, p) un rivestimento di di uno spazio topologico X connesso

per archi e localmente connesso per archi, con X connesso per archi e localmente

connesso per archi. Dato un punto x ∈ X, consideriamo x0, x1 ∈ p−1(x). Dimo-

strare che i sottogruppi H0 = p∗π1(X, x0) e H1 = p∗π1(X, x1) sono coniugati

in π1(X,x).

Soluzione.

X e connesso per archi, quindi esiste un cammino γ ∈ Ω(X, x0, x1). Sia η :=

p γ. Definiamo il seguente automorfismo di π1(X,x):

ϕ : π1(X,x)→ π1(X,x)

〈α〉 7→ 〈η〉〈α〉〈η〉−1.

Per ogni cammino chiuso σ : I → X di base x1, il cammino γσγ−1 e chiuso di

base x0 e

p (γσγ−1) = η(p σ)η−1,

da cui segue

p∗(〈γσγ−1〉) = 〈η〉p∗(〈σ〉)〈η〉−1 = ϕ(p∗(〈σ〉)).

Quindi ϕ(H1) ⊂ H0. In modo analogo otteniamo ϕ−1(H0) ⊂ H1, dove

ϕ−1(〈α〉) = 〈η〉−1〈α〉〈η〉.

Di conseguenza, ϕ(H1) = H0, il che equivale a dire che H0 e H1 sono coniugati.

Esercizio 21. Sia X uno spazio connesso per archi, localmente connesso per

archi e localmente semplicemente connesso e sia (X1, p1) un rivestimento di X.

Se (X2, p2) e un rivestimento diX1, dimostrare che (X2, p1p2) e un rivestimento

di X.

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Soluzione.

X e uno spazio connesso per archi, localmente connesso per archi e localmente

semplicemente connesso, quindi ha un rivestimento universale (X, p). Allora,

esiste il sollevamento p1 di p mediante p1. Inoltre, (X, p1) e un rivestimento

universale di X1. Analogamente, dunque, otteniamo l’esistenza del sollevamento

p2 di p1 mediante p2, con (X, p2) rivestimento universale di X2. Consideriamo

seguente il diagramma:

X2

p2

X1

p1

X

p2

GG

p1

>>

p// X

La composizione p1p2 e un’applicazione di rivestimento in quanto p = p1p2p2.

Esercizio 22. Per ogni n ∈ Z definiamo un’applicazione:

pn : S1 → S1

(1, t) 7→ (1, nt).

provare che (S1, pn) e un rivestimento di S1.

2.3 Il teorema di Van Kampen

Esercizio 23. Descrivere il gruppo fondamentale di una figura ad otto.

Dimostrazione. A meno di omotopie, possiamo pensare ad una figura ad otto co-

me ad un bouquet di due circonferenzeX := S1∨S1 ∼=

(x, y) ∈ R2 | (x+ 1)2 + y2 = 1∨

(x, y) ∈ R2 | (x− 1)2 + y2 = 1

. Sia x0 = (0, 0) e siano A e B i seguenti

sottoinsiemi di X:

A := (x, y) ∈ X | x > ε− 1 ,

B := (x, y) ∈ X | x < 1− ε ,

dove 0 < ε 1. Chiaramente, A, B e A ∩ B sono connessi per archi. Inoltre,

ragionando in termini di retrazioni, si osservi che A e B hanno lo stesso tipo di

omotopia di S1, mentre A ∩ B e contrattile, e quindi semplicemente connesso.

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Allora, per il teorema di Van Kampen, si ha:

π1(X,x0) ∼= π1(A, x0) ∗ π1(B, x0) ∼= Z ∗ Z.

Esercizio 24. Si provi che, per n ≥ 3, Rn \ P1, . . . , Pk e semplicemente

connesso.

Esercizio 25. Definiamo i seguenti sottoinsiemi dello spazio proiettivo com-

plesso CPn:

1. A0 := [z0, . . . , zn] ∈ CPn | z0 6= 0,

2. H0 := CPn \A0,

3. B := CPn \ [1, 0, . . . , 0].

Si provino i seguenti fatti:

1. A0∼= Cn;

2. A0 ∩B ∼= Cn \ 0;

3. H0 e un retratto di deformazione di B;

4. CPn e semplicemente connesso.

Soluzione.

1. L’applicazione f : Cn 3 (z1, . . . , zn) 7→ [1, z1, . . . , zn] ∈ A0 e chiaramente

continua, in quanto composizione dell’applicazione continua Cn 3 (z) 7→(1, (z)) ∈ Cn+1 \ 0 e della proiezione al quoziente π : Cn+1 \ 0 →CPn. Per ogni scalare λ ∈ C \ 0, possiamo scrivere [λ, z1, . . . , zn] =

[1,z1

λ, . . . ,

znλ

]. Quindi, possiamo supporre che ogni elemento di A0 sia

della forma [1, z1, . . . , zn], per opportuni zi ∈ C. Un’inversa di f si

ottiene mappando [1, z1, . . . , zn] in (z1, . . . , zn). Ne segue che f e un

omeomorfismo.

2. Per ogni [z0, . . . , zn] ∈ A0∩B = [z0, . . . , zn] ∈ CPn | z0 6= 0 e [z0, . . . , zn] 6= [1, 0, . . . , 0]esiste un indice i 6= 0 tale che zi 6= 0. Argomentando in modo analogo

al punto precedente, possiamo scrivere ogni elemento dell’insieme A0 ∩Bnella forma [1, z1, . . . , zn], con zi 6= 0 per qualche i 6= 0. Un omeomorfismo

esplicito fra A0∩B e Cn\0, quindi, si ottiene associando a [1, z1, . . . , zn]

il vettore (z1, . . . , zn).

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3. Per ogni [z0, . . . , zn] ∈ B e t ∈ I, definiamo r([z0, . . . , zn], t) := [tz0, . . . , zn].

Si ha:

(a) r e continua;

(b) r([z0, . . . , zn], 0) = [0, z1, . . . , zn] ∈ H0 per ogni [z0, . . . , zn] ∈ B;

(c) r([z0, . . . , zn], 1) = [z0, . . . , zn] per ogni [z0, . . . , zn] ∈ B;

(d) r([0, z1, . . . , zn], t) = [0, z1, . . . , zn] per ogni [0, z1, . . . , zn] ∈ H0 e t ∈I.

Quindi, possiamo concludere che r e una deformazione di B su H0.

4. Per induzione su n. Lo spazio CP0 e ridotto ad un solo punto, quindi e

semplicemente connesso. Osserviamo, poi, che H0∼= CPn e semplicemente

connesso per ipotesi induttiva. Allora, per i punti precedenti, A0 e B sono

connessi per archi e semplicemente connessi, mentre A0 ∩ B e connesso

per archi. Il teorema di Van Kampen ci permette, quindi, di concludere

che CPn = A0 ∪B e semplicemente connesso.

3 Algebra multilineare

3.1 Algebra esterna

Esercizio 26. Sia V un R-spazio vettoriale di dimensione n e sia α ∈∧p V .

Consideriamo l’applicazione

Aα :∧n−p V →

∧n V

β 7→ α ∧ β.

Mostrare che Aα induce un isomorfismo fra∧p V e HomR(

∧n−p V,

∧n V ).

Soluzione.

Per ogni coppia di interi n, k ≥ 0, sia I kn la famiglia dei multi-indici I =

(i1, . . . , ik) di lunghezza k, con 1 ≤ ih ≤ n per ogni h = 1, . . . , k. Allora, se

BV := e1, . . . , en e una base di V , ogni µ ∈∧k V e della forma

µ =∑I∈Jµ

µI eI ,

dove Jµ e un dato sottoinsieme di I kn e, se I = (i1, . . . , ik) ∈Jµ, abbiamo uti-

lizzato le notazioni compatte µI := µi1,...,ik , eI := ei1 ∧ · · · ∧ eik . Consideriamo

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l’applicazione lineare

A :∧p V → HomR(

∧n−p V,

∧n V )

α 7→ Aα

Dimostriamo che A e un isomorfismo. Si ha:

dimR∧p V = dimR HomR(

∧n−p V,

∧n V ) = dimR

∧n−p V dimR

∧n V.

Quindi, e sufficiente dimostrare l’iniettivita di A. Abbiamo:

kerA = α ∈∧p V | α ∧ β = 0, ∀β ∈

∧n−p V .

Sia

α :=∑I∈Jα

αI eI

un elemento di kerA. Per ogni I = (i1, . . . , ip) ∈ I pn tale che αI 6= 0, esiste

J = (j1, . . . , jn−p) ∈ I n−pn tale che eI ∧ eJ = εI, J 6= 0 e eI′ ∧ eJ = 0 per

ogni I ′ ∈ I pn diverso da I. Allora, se definiamo

β := εI, J eJ ,

si ottiene α ∧ β = αI , da cui αI = 0. Quindi, α = 0. Ne segue che A e un

isomorfismo.

Esercizio 27. Sia V un R-spazio vettoriale di dimensione n e sia BV ∗ =

ϕ1, . . . ,ϕn una base di V ∗. Se B′V ∗ = ϕ′1, . . . ,ϕ′n e una base V ∗ ta-

le che ϕ′i =∑nj=1 c

ijϕj , con cij ∈ R, per ogni i = 1, . . . , n, si mostri che

ϕ′1 ∧ · · · ∧ϕ′n = det(cij)ϕ1 ∧ · · · ∧ϕn.

Esercizio 28. Siano ϕ1, . . . ,ϕk ∈∧

1 V ∗. Si provi che ϕ1, . . . ,ϕk sono linear-

mente indipendenti se e solo se ϕ1 ∧ · · · ∧ϕk 6= 0.

Esercizio 29 (lemma di Cartan). Sia V un R-spazio vettoriale di dimensione

n, siano (v)1, . . . , (v)k linearmente indipendenti in V ∗ e siano θ1, . . . ,θk ∈ V ∗

tali chek∑i=1

θi ∧ (v)i = 0.

Mostrare che esiste una matrice simmetrica A tale che

θi =

k∑j=1

Aij(v)j , per ogni i = 1, . . . , k.

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Soluzione.

Dimostriamo che θ1, . . . ,θk ∈ 〈(v)1, . . . , (v)k〉. Se, per assurdo, θi, (v)1, . . . , (v)k

fossero linearmente indipendenti per qualche i = 1, . . . , k, allora θi∧ (v)1∧ · · ·∧(v)k 6= 0. Sia ηi := (v)1 ∧ · · · ∧ (v)i−1 ∧ (v)i+1 ∧ · · · ∧ (v)k. Abbiamo:

0 =

(k∑i=1

θi ∧ (v)i

)∧ ηi = (−1)i−1θi ∧ (v)1 ∧ · · · ∧ (v)k 6= 0.

Quindi, per ogni i = 1, . . . , k, esistono Ai1, . . . , Aik ∈ R tali che

θi =

k∑j=1

Aij(v)j .

Resta da provare che la matrice A := (Aij) e simmetrica. Si ha:

0 =

k∑i=1

k∑j=1

Aij(v)j

∧ (v)i =

k∑i,j=1

Aij(v)j ∧ (v)i =

k∑i,j=1i<j

(Aji (v)i ∧ (v)j +Aij(v)j ∧ (v)i

)

=

k∑i,j=1i<j

(Aji (v)i ∧ (v)j −Aij(v)i ∧ (v)j

)=

k∑i,j=1i<j

(Aji −A

ij

)(v)i ∧ (v)j .

Ora, i vettori (v)i∧(v)j al variare di i, j = 1, . . . , k sono una base di∧

2 〈(v)1, . . . , (v)k〉,quindi Aij = Aji per ogni i, j = 1, . . . , k.

Esercizio 30. Sia V un R-spazio vettoriale di dimensione n e sia α ∈ V ∗. Si

denoti con ∧α la moltiplicazione a destra per α considerata come omomorfismo

∧α :∧p V →

∧p+1 V .

Mostrare che Im(∧α :∧

1 V →∧

2 V ) = ker(∧α :∧

2 V →∧

3 V ).

4 Varieta differenziabili

4.1 Generalita

Esercizio 31. Si provi che GL(n,R) e una varieta differenziabile e se ne calcoli

la dimensione.

Soluzione.

Lo spazio Matn×n(R) delle matrici n × n a coefficienti in R ha una naturale

struttura di varieta differenziabile n2-dimensionale. Allora, ogni suo sottoinsie-

me aperto e a sua volta una varieta differenziabile n2-dimensionale. Consideria-

mo l’applicazione (continua) det : Matn×n(R) → R. Per definizione, il gruppo

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lineare generale GL(n,R) e la controimmagine mediante det dell’aperto R\0,che e chiaramente aperta.

Esercizio 32. Siano M , N varieta differenziabili di dimensione rispettivamente

m e n. Si provi che l’applicazione F : M → N e C∞ se e solo se per ogni sistema

di coordinate locali (U,ϕ) su M e per ogni sistema di coordinate locali (V, ψ)

su N , con F (U) ⊂ V , ψ F ϕ−1 : ϕ(U)→ ψ(V ) e C∞.

Esercizio 33. Si provi che ogni funzione C∞ fra varieta e continua.

Esercizio 34. Sia M una varieta differenziabile e sia Diff(M) l’insieme dei

diffeomorfismi di M in se. Si provi che (Diff(M), ) e un gruppo.

Esercizio 35. Si provi che il gruppo Aff(Rn) delle affinita di Rn e un sotto-

gruppo di Diff(Rn).

Esercizio 36. Si provi cheG := fH : Sn → Sn | fH((x)) := H(x), H ∈ O(n,R)e un sottogruppo di Diff(Sn).

Esercizio 37. Sia A : Rn+1 → Rn+1 un’applicazione lineare invertibile. Si

mostri che A induce un’applicazione biiettiva RPn → RPn e che tale applicazione

e un diffeomorfismo.

4.2 Vettori e spazi tangenti

Esercizio 38. Siano Xn e Y m varieta differenziabili, sia x ∈ X e sia F : X → Y

di classe C∞. Si provi che l’applicazione (dF )|x ((v)) : C∞F (x)(Y,R)→ R che ad

ogni f ∈ C∞F (x)(Y,R) associa (v)(f F )|x e un vettore tangente.

Soluzione.

Sia ϕ un sistema di coordinate attorno a x con funzioni coordinate x1, . . . , xn, sia

ψ un sistema di coordinate attorno a F (x) con funzioni coordinate y1, . . . , ym e

siano r1, . . . , rn e s1, . . . , sm le coordinate su Rn e Rm. Per opportuni a1, . . . , an ∈

R, possiamo scrivere (v)|x=∑ni=1 ai

(∂

∂xi

)∣∣x.

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Sia f ∈ C∞F (x)(Y,R), allora

(dF )∣∣x((v))(f) = (v)(f F )

∣∣x

=

n∑i=1

ai∂

∂xi(f F )

∣∣x

=

n∑i=1

ai∂

∂ri(f ψ−1 ψ F ϕ−1)

∣∣ϕ(x)

=

n∑i=1

ai

m∑j=1

∂sj(f ψ−1)

∣∣(ψF )(x)

∂ri(sj ψ F ϕ−1)

∣∣ϕ(x)

=

n∑i=1

m∑j=1

ai∂

∂yj(f)∣∣F (x)

∂xi(yj F )

∣∣x

=

m∑j=1

(v)(yj F )∣∣x

∂yj

∣∣∣∣F (x)

(f).

Esercizio 39. Sia F : GL(2,R) 3 A 7→ A−1 ∈ GL(2,R). Calcolare dF .

Esercizio 40. Sia (x) := (2, 1,−1) ∈ R3 e sia

(v)|(x):= 8∂

∂x

∣∣∣∣(x)

− ∂

∂y

∣∣∣∣(x)

+ 3∂

∂z

∣∣∣∣(x)

.

Trovare α : (−ε, ε)→ R3 di classe C∞, con ε > 0, tale α(0) = (v)|(x).

Esercizio 41. Sia X una varieta differenziabile di dimensione n. Si provi che∧nX e una varieta differenziabile di dimensione n+ 1.

Soluzione.

Sia x ∈ X e sia (U,ϕ) una carta su X con sistema di coordinate x1, . . . , xn

attorno ad x. Una base dello spazio 1-dimensionale∧n T ∗xX e data da dx1∧· · ·∧

dxn. Quindi, per ogni n-forma multilneare (x)i|x∈∧n T ∗xX, esiste λ(x)i|x ∈ R

tale che (x)i|x= λ(x)i|x dx1∧· · ·∧dxn. Poniamo U := π−1(U), con π :∧nX → X

proiezione, e ϕ((x)i|x) := (ϕ(π((x)i)), λ(x)i|x), per ogni (x)i|x∈ U . La coppia

(U , ϕ) cosı definita e una carta su∧nX attorno a (x)i|x. Tralasciamo le verifiche

(immediate).

4.3 Immersioni, sottovarieta, embeddings

Esercizio 42. Sia α : R→ R2 data da α(t) = (cos 2t, cos 2t tan t). Provare che

α e un’immersione, ma non una sottovarieta.

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Esercizio 43. Sia α : R → R2 data da α(t) = (1

tcos 2πt,

1

tsin 2πt). Provare

che α e una sottovarieta, ma non un embedding.

Esercizio 44. Quale fra le applicazioni

t 7→ (cos 2πt, sin 2πt, t) ,

t 7→(t+ 1

2tcos 2πt,

t+ 1

2tsinπt

),

t 7→(

2 cos(t− π

2

), sin 2

(t− π

2

))e un’immersione, una sottovarieta o un embedding?

4.3.1 Il teorema della funzione inversa

Esercizio 45. Siano M , N varieta differenziabili e sia F ∈ C∞(M,N): Si provi

che se M e connessa e, per ogni m ∈ M , il differenziale dF |m e l’applicazione

nulla allora F e costante.

Esercizio 46. Sia M una varieta differenziabile compatta di dimensione d e sia

f ∈ C∞(M,Rd). Si provi che df non puo essere ovunque non singolare.

Esercizio 47. Sia M una varieta differenziabile di dimensione d e sia m ∈M .

Siano y1, . . . , yd funzioni di classe C∞ da M in R, con dy1|m, . . . ,dyd|m linear-

mente indipendenti. Si provi che y1, . . . , yd formano un sistema di coordinate

attorno a m.

Esercizio 48. Sia M una varieta di dimensione d e sia m ∈ M . Sia l <

d e siano y1, . . . , yl funzioni di classe C∞ da M in R, con dy1 |m, . . . ,dyl |mlinearmente indipendenti. Si provi che y1, . . . , yl sono parte di un sistema di

coordinate attorno a m.

Esercizio 49. Siano M , N varieta differenziabile, sia m ∈M e sia F : M → N

una mappa C∞ con differenziale dF |m: TmM → TF (m)N suriettivo. Si provi

che, se x1, . . . , xl e un sistema di coordinate attorno a F (m), x1 F, . . . , xl Fsono parte di un sistema di coordinate attorno a m.

Esercizio 50. Sia M una varieta e siano y1, . . . , yk funzioni C∞ in un intorno

di m ∈ M i cui differenziali generano T ∗mM . Si provi che un sottoinsieme delle

funzioni y1, . . . , yk forma un sistema di coordinate in un intorno di m.

Esercizio 51. Siano M , N varieta differenziabile, sia m ∈M e sia F : M → N

una mappa C∞ con differenziale dF |m: TmM → TF (m)N iniettivo. Si provi

che, se x1, . . . , xl e un sistema di coordinate attorno a F (m), un sottoinsieme

delle funzioni x1 F, . . . , xl F orma un sistema di coordinate in un intorno di

m. In particolare, F e iniettiva in un intorno di m.

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4.3.2 Il teorema della funzione implicita

Esercizio 52. Sia f : R2 → R definita da:

f(x, y) = x3 + xy + y3 + 1.

Per quali punti p = (0, 0),

(1

3,

1

3

),

(−1

3,−1

3

), f−1(f(p)) e una sottovarieta

embedded di R2?

Esercizio 53. Sia Symn×n(R) lo spazio delle matrici simmetriche n × n a

coefficienti reali e sia

F : GL(n,R)→ Symn×n(R)

A 7→ AAT.

1. Si provi che se dF |Id e suriettivo, allora anche dF |A e suriettivo per ogni

A ∈ F−1(Id);

2. si provi che dF|Id e iniettivo;

3. se ne deduca che O(n,R) e una sottovarieta embedded di GL(n,R) di

dimensione n(n− 1)/2.

Esercizio 54. Sia f : GL(n,R) 3 A 7→ traccia(A) ∈ R. Calcolare df e studiare

f−1(0).

4.4 Campi vettoriali e forme differenziali

Esercizio 55. Sia X un campo vettoriale sulla varieta M di dimensione m. Sia

p ∈M e sia

X =

m∑i=1

fi∂

∂xi,

con fi ∈ C∞(M,R), in un intorno coordinato di p. Si mostri che gli autovalori

della matrice (∂fi∂xj

(p)

)non dipendono dal sistema di coordinate x1, . . . , xm.

Esercizio 56. Siano α, β forme differenziali chiuse. Si provi che se β e esatta

anche α ∧ β e esatta.

Esercizio 57. Sia F : R3 → R3 definita da F (x, y, z) = (xy, yz, xz).

Calcolare F ∗(x dy ∧ dz) e F ∗(xdy + y dz).

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4.5 Orientabilita

Esercizio 58. Supponiamo che X sia connessa. Definiamo:

OX :=⋃x∈X0x ∈

∧n T ∗xX .

Si provi che X e orientabile se e solo se∧nX \OX ha due componenti connesse.

Soluzione.

(⇐= ) Sia ω una forma di volume su X. Sono definiti i seguenti insiemi:

∆− :=⋃x∈X

λω(x) | λ ∈ R−

, ∆+ :=

⋃x∈X

λω(x) | λ ∈ R+

.

Chiaramente, ∆− e ∆+ sono aperti, connessi e disgiunti. Inoltre,∧nX \OX =

∆− ∪∆+.

( =⇒ ) Sia x ∈ X e sia x1, . . . , xn un sistema di coordinate locali attorno ad x.

Definiamo:

∆−x :=

(x)i|x∈∧n T ∗xX | λ(x)i|x ∈ R−

, ∆+

x :=

(x)i|x∈∧n T ∗xX | λ(x)i|x ∈ R+

,

dove λ(x)i|x e la coordinata di (x)i|x nella base dx1 ∧ · · · ∧ dxn di∧n T ∗xX, e

∆− :=⋃x∈X

∆−x , ∆+ :=⋃x∈X

∆+x .

Volgliamo mostrare che ∆− e ∆+ sono le componenti connesse di∧nX \ OX .

Dalla definizione, segue immediatamente che ∆− ∩ ∆+ = ∅ e ∆− ∪ ∆+ =∧nX\OX . Inoltre, ∆− e ∆+ sono connessi poiche le restrizioni π|∆− e π|∆+ della

proiezione canonica π :∧nX → X sono suriettive, aperte e a fibra connessa.

Ora, per ipotesi,∧nX \OX ha due componenti connesse, che chiameremo C1 e

C2. Ciascuna componente connesse deve contenere o ∆− o ∆+ (se per assurdo

fossero entrambi contenuti nella stessa componente connessa la loro unione non

potrebbe essere∧nX \OX), inoltre ∆± non puo essere contenuto propriamente

in alcuna componente connessa per lo stesso motivo. Infine, se per assurdo fosse

∆± ∩ C1 6= ∅ e ∆± ∩ C2 6= ∅, si avrebbe che ∆± non e connesso; se ne deduce

che ∆± e una delle componenti connesse.

Sia U un atlante su X. Definiamo:

U ′ :=

(U,ϕ) ∈ U , ϕ = x1, . . . , xn | dx1 ∧ · · · ∧ dxn(U) ⊂ ∆−,

U ′′ :=

(U,ϕ) ∈ U , ϕ = x1, . . . , xn | dx1 ∧ · · · ∧ dxn(U) ⊂ ∆+.

Almeno uno fra U ′ e U ′′ e non vuoto (se, per assurdo, fosse U ′,U ′′ = ∅,

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avremmo che∧nX \ OX e connesso per archi). Supponiamo, allora, U ′ 6= ∅.

Si ha:

X =⋃

(U,ϕ)∈U ′

U

(la dimostrazione, che ometteremo, e per assurdo e sfrutta la connessione di X).

Per ogni coppia di carte (U,ϕ), (V, ψ) ∈ U ′ con coordinate x1, . . . , xn, y1, . . . , yn

attorno a x ∈ U ∩ V , si ha dx1 ∧ · · · ∧ dxn(x),dy1 ∧ · · · ∧ dyn(x) ∈ ∆−x . Ora,

dx1 ∧ · · · ∧ dxn(x) = det

(∂xi∂yj

∣∣∣∣x

)dy1 ∧ · · · ∧ dyn(x),

quindi

det

(∂xi∂yj

∣∣∣∣x

)> 0.

Esercizio 59. Sia f : Rn+1 → R e sia M ⊂ Rn+1 definita da f((x)) = c, con c ∈R. Si supponga df|p 6= 0 per ogni p ∈ f−1(c). Ricordando che in tali ipotesi M e

una sottovarieta e che ove∂f

∂xi6= 0 le funzioni x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn+1 sono

funzioni coordinate, mostrare che la forma ω data in quel sistema di coordinate

da

ω := (−1)i(∂f

∂xi

)−1

dx1 ∧ . . . ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ . . . ∧ dxn+1

e una forma di volume (positiva) su M .

Esercizio 60. Si esibisca una forma di volume ω su Sn e si calcoli σ∗ω, dove

σ : Sn → Sn e l’applicazione antipodale.

Esercizio 61. Si provi che RPn non e orientabile per n pari.

Soluzione.

Supponiamo per assurdo che RPn sia orientabile. Sia θ una forma di volume su

RPn. La proiezione canonica π : Sn → RPn e un diffeomorfismo locale, quindi

il pull-back π∗θ di θ induce su Sn la stessa orientazione che θ induce su RPn.

Ora, ogni n-forma non nulla su Sn e un multiplo di

ω =(−1)i

2xidx1 ∧ . . . ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ . . . ∧ dxn+1

per una funzione C∞, quindi esiste f ∈ C∞(Sn,R), con f > 0, tale che π∗θ =

fω. Detta σ la mappa antipodale, si ha πσ = π da cui, passando ai pull-backs,

segue σ∗ π∗ = π∗. Allora:

fω = π∗θ = σ∗(π∗θ) = σ∗(fω) = (f σ)(−1)n+1ω = −(f σ)ω,

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da cui otteniamo f σ = −f , contro l’ipotesi di positivita di f .

4.6 Calcolo integrale

Esercizio 62. Si provi che H1dR(S1,d) ∼= R.

Soluzione.

Sia θ la coordinata polare su S1. La 1-forma differenziale dθ e chiusa ma non

esatta. Infatti, ∫S1

dθ = 2π.

Sia ω una 1-forma chiusa su S1. Allora, ω = f(θ) d(θ), con f di classe C∞. Si

verifica immediatamente che ω e esatta se e solo se∫S1ω = 0.

Allora, dato c ∈ R, si ha:

ω−cdθ e esatta ⇐⇒∫S1ω−cdθ = 0 ⇐⇒ c =

1

∫S1ω =

1

∫ 2π

0

f(θ) d(θ).

Di conseguenza, ogni 1-forma chiusa su S1 differisce da una forma esatta per un

multiplo reale di dθ, quindi H1dR(S1,d) ∼= R.

Esercizio 63. Si provi che H1dR(R2 \ 0 ,d) 6= 0.

5 Esercizi proposti a lezione

5.1 Foglio 1 - a.a. 2011/2012

1. Siano M una varieta differenziabile compatta di dimensione n, f : M →Rn una funzione C∞. Provare che df non puo essere ovunque non singolare.

2. Sia α : R → R2 data da α(t) = (cos 2t, cos 2t tan t). Provare che α e una

immersione, ma non una sottovarieta.

3. Siano M,N varieta differenziabili, f : M → N una applicazione C∞.

Provare che se M e connessa e df e l’ applicazione nulla, ne segue che f e

costante (cioe esiste n ∈ N tale che f(m) = n per ogni m ∈M).

4. Provare che la definizione di applicazione C∞ tra varieta differenziabili

data nel corso e equivalente a: Siano M,N varieta differenziabili di di-

mensione m,n rispettivamente, f : M → N una applicazione. f e C∞ se

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solo se per ogni sistema di coordinate locali (U,ϕ) su M e per ogni sistema

di coordinate locali (V, ψ) su N con f(U) ⊂ V, l’applicazione

ψ f ϕ−1 : ϕ(U) ⊂ Rm → ψ(V ) ⊂ Rn e C∞.

5. Sia f : R2 → R definita da:

f(x, y) = x3 + xy + y3 + 1.

Per quali punti p = (0, 0), p =

(1

3,

1

3

), p =

(−1

3,−1

3

), f−1(f(p)) e una

sottovarieta embedded di R2?

6. Siano GL(n,R) lo spazio delle matrici reali n× n non singolari, Symn lo

spazio delle matrici simmetriche reali n × n. Definiamo F : GL(n,R) →Symn come F (A) = AAt Sia O(n) = F−1(I). O(n) e un sottogruppo di

GL(n,R) detto gruppo ortogonale.

(a) Si provi che se dFI e suriettivo, allora dFσ e suriettivo per ogni σ ∈O(n).

(b) Si provi che dFI e suriettivo.

(c) Si provi che O(n) e una sottovarieta embedded di GL(n,R) di di-

mensione 12 (n(n− 1)).

7. S ⊂ R2 limitato si dice stellato se esiste P ∈ S tale che ogni segmento

congiungente un punto di S con P e contenuto in S. (Ad esempio un

insieme convesso e evidentemente stellato). Sia γ1 la frontiera di S e sia

γ2 la frontiera di un disco B tale che B ⊂ S. Provare che γ1 e γ2 risultano

omotopi come cammini chiusi.

8. Descrivere il gruppo fondamentale di una figura a otto. Spiegare come

una figura ad otto puo essere ottenuta come retratto di deformazione di

un toro privato di un punto.

9. Sia α : R→ R2 data da α(t) = (1

tcos 2πt,

1

tsin 2πt). Provare che α e una

sottovarieta ma non un embedding.

10. Per ogni n ∈ Z definiamo un’applicazione pn : S1 → S1 come

pn(1, t) = (1, nt),

ove S1 e definito dall’equazione r = 1 nel piano r, t. Provare che (pn,S1) e

un rivestimento di S1.

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11. Sia M una varieta differenziabile di dimensione d, m ∈M . Sia yjj=1,...,d

una famiglia di funzioni C∞ da M ∈ R. I differenziali dyj(m) possono es-

sere considerati quindi elementi del duale dello spazio tangente a M in

m,M∗m. Supponiamo che i differenziali dyj(m) siano linearmente indipen-

denti in M∗m. Mostrare che la famiglia yjj=1,...,d forma un sistema di

coordinate locali intorno ad m.

5.2 Foglio 2 - a.a. 2011/2012

Tutte le varieta, funzioni, forme e campi sono supposte di classe C∞.

1. Siano Z, Y ⊂ R3 le rette Z = x = y = 0 e Y = x = z = 0. Mostrare

che R3\(Z∪Y ) si retrae per deformazione su S3\quattro punti distinti.

2. Siano R1, R2, C ⊂ R2 le rette R1 = x = 1, R2 = x = 0 e il cerchio

C = x2 + y2 = 1. Mostrare che R1 ∪ C e omotopo a C e che R2 ∪ C e

omotopo a una figura a otto.

3. Siano α, β forme differenziali chiuse. Provare che se β e anche esatta, α∧βe esatta.

4. Sia A : Rn+1 → Rn+1 lineare invertibile. Mostrare che A induce un’appli-

cazione biiettiva RPn → RPn e che tale applicazione e un diffeomorfismo.

5. Sia X un campo vettoriale sulla varieta M . Sia p ∈ M e X =∑fj

∂xjin un intorno coordinato di p. Mostrare che gli autovalori della matrice

∂fi∂xj

(p)

non dipendono dal sistema di coordinate x1, ..., xn.

6. Sia (Uα, ψα) un atlante sulla varieta compatta M di dimensione n. Siano

ϕ1, ..., ϕk funzioni a supporto compatto, ϕj : M → R, tali che per ogni

m ∈ M esiste almeno una ϕj che valga 1 in un intorno di m e suppϕj ⊂Uαj per qualche αj . Definiamo F : M → Rk+nk come

F (x) = (ϕ1, ..., ϕk, ϕ1ψα1, ..., ϕkψαk)(x).

Mostrare che F e una sottovarieta.

7. Siano V uno spazio vettoriale di dimensione n e α ∈∧p

(V ). Sia Aα :∧n−p(V ) →

∧n(V ) l’applicazione lineare definita da: Aα(β) = α ∧ β.

Mostrare che Aα e un isomorfismo tra∧p

(V ) e Hom (∧n−p

(V ),∧n

(V )).

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8. Sia F : R3 → R3 definita da F (x, y, z) = (xy, yz, xz). Calcolare F ∗(xdy ∧dz) e F ∗(xdy + ydz.)

5.3 Foglio 3 - a.a. 2011/2012

Tutte le varieta, funzioni, forme e campi sono supposte di classe C∞.

1. Siano V uno spazio vettoriale di dimensione n, v1, ..., vk linearmente indi-

pendenti in V∗ e θ1, ..., θk ∈ V∗ tali che

k∑i=1

θj ∧ vj = 0.

Mostrare che esiste una matrice simmetrica Aij = Aji tale che

θi =

k∑j=1

Aijvj .

Con un argomento di partizioni dell’unita si estenda poi il risultato a

1-forme e funzioni.

2. Siano V uno spazio vettoriale di dimensione n e α ∈ V∗. Si denoti con

∧α la moltiplicazione a destra per α considerata come omomorfismo ∧α :∧p(V) →

∧p+1(V). Mostrare che Im(∧α :

∧1(V) →

∧2(V)) = ker(∧α :∧2

(V)→∧3

(V)). E valido un enunciato analogo per forme?

3. Sia M ⊂ Rn+1 definita da f(x) = c, c ∈ R. Si supponga df(p) 6= 0 per ogni

p ∈ f−1(c). Ricordando che in tali ipotesi M e una sottovarieta, e che ove∂f

∂xj6= 0, x1, .., xi−1, xi+1, ..., xn+1 sono funzioni coordinate, mostrare che

la forma ω data in quel sistema di coordinate da

ω = (−1)i(∂f

∂x)−1dx1 ∧ .. ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ ... ∧ dxn+1

e una forma di volume (positiva) su M.

4. Si utilizzi l’esercizio 3 per dare una forma di volume su Sn e si calcoli σ∗ω,

ove σ : Sn → Sn e l’applicazione antipodale.

5. Si utilizzi l’esercizio 4 e il fatto che ogni n−forma non nulla su Sn e un mul-

tiplo di ω per una funzione C∞ per concludere che RPn non e orientabile

per n pari.

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5.4 Foglio 1 - a.a. 2012/2013

Esercizio 64. Consideriamo l’intervallo [−1, 1] ⊂ R preso con la topologia

indotta da R e introduciamo la relazione d’equivalenza definita da:

x ∼ y ⇐⇒ |x| = |y| ∀x, y ∈ B1(0)

Allora [−1, 1]/∼ =: X =

[x] = x,−x

[1] = 1

[−1] = −1

Mostrare che la topologia quoziente indotta dalla relazione non e di Hausdorff.

Soluzione.

Sia U ⊂ X un intorno di [1] e V ⊂ X un intorno di [−1]. Allora π−1(U) =

[−1, a), con a < 1 e π−1(V ) = (b, 1] con b > −1. La topologia quoziente e

l’unica che rende π continua: prendo allora |a| = |b|, ovvero [−1, a) e (a, 1].

Proiettando al quoziente e ricordando che [a] = [−a], non posso distinguere gli

intorni degli estremi a e −a e dunque non esistono due intorni disgiunti che

separino questi punti.

Esercizio 65. SIMIL-LEMNISCATA Mostrare che ϕ : R → R2 non e un

embedding topologico.

Esercizio 66.

1. Mostrare che ogni omeomorfismo locale e aperto.

2. Mostrare che ogni omeomorfismo locale biiettivo e globale.

Soluzione.

1. Siano F : X → Y omeomorfismo locale, A ⊂ X aperto. In particolare

vale:

A =⋃p∈A

(Up ∩ A) con Up intorno di p su cui F e un omeomorfismo.

Ma allora F (A) = F(⋃

p∈A (Up ∩ A))

=⋃p∈A F (Up ∩ A).

2. Per ipotesi l’omeomorfismo considerato e locale, dunque aperto, e biietti-

vo, il che implica in modo naturale che l’omeomorfismo e globale.

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Esercizio 67. Sia F : X → Y continua e aperta. Allora:

1. F suriettiva =⇒ Y ha la topologia finale.

2. F iniettiva =⇒ F e un embedding topologico.

Soluzione.

1. Per definizione di topologia finale, A = F (F−1(A)) aperto in Y implica

direttamente che F−1(A) e aperto in X.

2. Dire che F e un embedding topologico vuol dire che X → F (X) e un

omeomofismo, purche si doti F (X) della topologia indotta da Y . Ora F

e continua, iniettiva e aperta; inoltre e suriettiva nella propria immagine

per definizione. Di qui l’asserto.

Esercizio 68. Dimostrare che ogni intorno coordinato di p puo essere centrato

in p.

Soluzione.

Sia ϕ : U → Rn, essendo (U,ϕ) la carta associata ad un qualsiasi punto p ∈Mn−varieta topologica. Allora definiamo una nuova funzione

Φ : U → Rn

x 7→ ϕ(x)− ϕ(p)

Ora, chiaramente, questa nuova funzione e ancora un omeomorfismo e vale inol-

tre Φ(p) = 0.

Esercizio 69. Dimostrare che si puo ricoprire Sn con 2n+ 2 aperti su ciascuno

dei quali la sfera e grafico di una funzione continua.

Soluzione.

Siano U+i =

(x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 |xi > 0

, U−i =

(x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 |xi < 0

.

Questi 2n+2 aperti ricoprono Sn, com’e facile verificare. Sia allora f(x1, . . . , xn+1) =√1− ||(x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn+1). Il grafico di queste n+ 1 funzioni, ristret-

te all’opportuno aperto tra i 2n+ 2 scelti, danno esattamente Sn.

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Esercizio 70. Siano U ⊂ Rn e fj : U → R famiglia di funzioni continue, con j =

1, . . . , k. Consideriamo dunqueA ⊂ Rn+k, A = ((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yk)) ∈ Rn | yj = fj(x1, . . . , xn).Provare che A dotato della topologia indotta dalla topologia di Rn+k e una

varieta topologica e determinarne la dimensione.

Soluzione.

Sia π : Rn × Rk → Rn la proiezione sul primo fattore. Definisco allora

ϕ := π|A e ψ : Rn → Γ(f)

E evidente che ψ(ϕ(x)) = (x, f(x)) e ϕ(ψ(x)) = x, ovvero le due funzioni sono

l’una l’inversa dell’altra, nonche continue. Abbiamo dunque un omeomorfismo

tra A e Rn, il che implica direttamente che A e una varieta topologica di di-

mensione n.

Esercizio 71. Sia Uj := [x1, . . . , xn+1] ∈ RPn |xj 6= 0. Dimostrare che Uj e

denso in RPn, cioe U = RPn.

Soluzione.

Proveremo che Uj interseca qualsiasi aperto non vuoto di RPn.

Sia A ⊂ RPn aperto non vuoto. Allora π−1(A) e un aperto non vuoto di Rn,

e posso prendere x ∈ π−1(A). Ora, esiste un intorno V di x tutto contenuto

in π−1(A), e dunque esiste un y ∈ V tale che yj 6= 0. Ma allora [y] ∈ A e

ovviamente [y] ∈ Uj , dunque A ∩ Uj 6= ∅.

Esercizio 72. Siano p, q ∈ R2. Definiamo T 2 come il quoziente di R2 per la

seguente relazione d’equivalenza: p ∼ q ⇐⇒ p − q ∈ Z2. Dimostrare che

T 2 = R2/Z2 ∼= S1 × S1.

Soluzione.

R2 f //

π

S1 × S1

R/Z2

F

>>

Ricordiamo che tale diagramma e commutativo (e dunque esiste F continua)

se e solo se f identificazione e costante sulle fibre di π proiezione al quoziente.

Sia dunque f(s, t) = (ei2πs, ei2πt) l’identificazione prodotto. Ora, preso un punto

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x ∈ R/Z2 , la fibra di x e π−1(x, y) = [(x, y)] =

(x+ 2k1, y + 2k2) ∈ R2 | k1, k2 ∈ Z

e vale f([x, y]) = ((ei2πx, ei2πy)) poiche ei2π(x+k) = ei2πx ∀k ∈ Z.

Dunque F := f([x, y]) esiste ed e continua, con inversa continua definita da

F−1(eix, eiy) = [(x+ 2πk1, y + 2πk2)] = (x, y).

Esercizio 73. Trovare un esempio di spazio topologico X, sottospazio topolo-

gico M ⊂ X e un sottoinsieme A ⊂M ⊂ X tale che AM 6= AX .

Esercizio 74. Sia C localmente finito. Dimostrare che:

1. C :=C ∈ C

e localmente finito.

2.⋃C∈C

C =⋃C∈C

C

Esercizio 75. Sia M varieta differenziabile. Allora M ha un’infinita almeno

numerabile di strutture differenziabili non C∞-compatibili.

(Suggerimento: Dimostrare che

Fs : B1(0) ⊂ Rn → Rn

x 7→ ||x||s−1x

e un diffeomorfismo ⇐⇒ s = 1)

Esercizio 76. Sia F : Rm → Rn, F ∈ C∞. Si provi che Γ(F ) := (x, y) ∈ Rm+n | y = F (x)e una varieta differenziabile.

Esercizio 77. Mostrare che l’atlante di Sn dato dalle 2n + 2 carte sulle qua-

li Sn e grafico di f(u) =√

1− ||u||2 e C∞-compatibile ed e una struttura

differenziabile.

Esercizio 78. Sia F : M → Rk , F ∈ C∞. Dimostrare che F e continua.

Esercizio 79. Sia

π : S2 → RP2

x 7→ [x]

la classica proiezione da S2 nel proprio quoziente. Provare che π e C∞.

6 Compiti scritti

6.1 II esonero

Tutte le varieta, funzioni, forme e campi sono supposte di classe C∞.

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1. Siano M una varieta differenziabile, TM il fibrato tangente con proiezione

π : TM →M, cioe π−1(x) = Mx.

(a) Stabilire un isomorfismo (non canonico) tra Mx e Rn.

(b) Se (Uα, ϕ) e una struttura differenziabile su M, si consideri su TM

la struttura differenziabile (Uα, ϕ) con Uα = Uα × Rn. Determinare

una formula per

ϕαϕ−1β : ϕβ(Uα ∩ Uβ)× Rn → ϕα(Uα ∩ Uβ)× Rn

(c) Dedurre che TM e una varieta orientabile.

2. Mostrare che S2 \ p, q, p 6= q e S3 \ p, q, p 6= q hanno tipo di omotopia

diverso.

3. Siano f : M → N, g : N → P applicazioni differenziabili e f∗, g∗ il

pull-back delle k-forme da N a M e da P a N, rispettivamente.

(a) Provare che f∗ g∗ = (g f)∗ e (id : M →M)∗ = id.

(b) Ricordando che f∗ trasforma forme chiuse in forme chiuse e forme

esatte in forme esatte, si definisca un omomorfismo di spazi vettoriali

f§ : Hk(N, d)→ Hk(M,d) indotto da f∗, con le proprieta f§ g§ =

(g f)§ e (id : M →M)§ = id.

(c) Dedurre che se M e N sono diffeomorfe, Hk(N, d) e Hk(M,d) sono

isomorfi.

4. Siano X = R2 \ 0 e ω la 1-forma chiusa su X

ω =−y

x2 + y2dx+

x

x2 + y2dy

Siano Φ : R2 → X data da (r, t) → (r cos t, r sin t) e S1 ⊂ R2 data da

r = 1.

(a) Calcolare Φ∗(ω)|S1 e mostrare che e una forma di volume su S1.

Dedurre da cio che ω non e esatta.

(b) Denotata ancora con Φ l’applicazione Φ|S1 , si provi che Φ§ : H1(X, d)→H1(S1, d) e un isomorfismo di spazi vettoriali e se ne indichi la di-

mensione.

Soluzione.

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1. (a) Siano Uα, Uβ aperti coordinati in M , x ∈ Uα ∩ Uβ e v ∈ Mx un

vettore tangente. La coppia (x, v) quindi apparterra a Uα ∩ Uβ . Le

coordinate di x si trasformano mediante ϕαϕ−1β , quelle di v mediante

d(ϕα ϕ−1β ). La formula cercata e quindi

ϕα ϕ−1β (x, v) = (ϕα ϕ−1

β (x), d(ϕα ϕ−1β )(v)x)

(b) La matrice Jacobiana di ϕα ϕ−1β in (u, v) presenta due blocchi dia-

gonali, il primo costituito dalla matrice Jacobiana di ϕα ϕ−1β (x),

il secondo dalla matrice associata a d(ϕα ϕ−1β )(v)x che e ancora

la matrice Jacobiana di ϕα ϕ−1β (x). Da cui il determinante della

matrice Jacobiana di ϕα ϕ−1β (x, v) e il quadrato del determinante

della matrice Jacobiana di ϕα ϕ−1β (x) che non e mai nullo poiche

ϕα ϕ−1β (x) e un diffeomorfismo.

(c) Ne segue che TM e orientabile.

2. S2 \ p, q, p 6= q si retrae sul cilindro che ha il tipo di omotopia di S1,

mentre S3 \ p, q, p 6= q e semplicemente connesso per una conseguenza

del teorema di van Kampen, essendo omeomorfo a R3\punto. Non sono

stati accettati senza spiegazioni i seguenti fatti:

• S3 \ p, q, p 6= q ha lo stesso tipo di omotopia di S2.

• S2 \ p, q, p 6= q non e semplicemente connesso.

• S3 \ p, q, p 6= q e semplicemente connesso.

• R4 \ retta e semplicemente connesso.

3. (a) Fastidiosa verifica diretta.

(b) Sia [ω] la classe di coomologia rappresentata dalla k-forma chiusa ω.

f§ : Hk(N, d) → Hk(M,d) si definisce come f§([ω]) = [f∗ω]. Per

quanto indicato si tratta di una buona definizione. Ne segue

f§ g§([ω]) = f§([g∗ω]) = [f∗(g∗ω) = [(g f)∗(ω)] = ((g f)§([ω]).

Inoltre, id§([ω]) = [id∗ω] = [id(ω)] = [ω].

(c) Se f e diffeomorfismo, esiste g : M → N differenziabile tale che

g f = idM e f g = idN . L’asserto segue quindi dal punto b.

4. (a) Per definizione, il vettore tangente ad S1 nel punto t identificato

con (1, t) e Φ(t) = dΦ(d

dθ(t)), cioe le sue componenti in Φ(t) sono

(− sin t, cos t), avendo denotato ancora con Φ la sua restrizione a S1.

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Poiche Φ∗(ω)|S1(d

dθ(t)) = ω[dΦ(

d

dθ(t))(Φ(t))] si ha Φ∗(ω)|S1(

d

dθ(t)) =

ω(Φ(t))(x(t), y(t)), cioe

Φ∗(ω)|S1 = dθ

che e ovviamente una forma di volume (positivo) su S1.

(b) Supponiamo ora che ω sia una forma esatta, cioe che esista una

funzione (0-forma) g su X tale che ω = dg. Abbiamo

2π =

∫S1dθ =

∫S1

Φ∗(ω)|S1 =

∫S1

Φ∗(dg)|S1 =

∫S1dΦ∗(g)|S1 = 0

dove l’ultima eguaglianza e fornita dal teorema di Stokes, perche S1

e compatta, contraddizione. [Si osservi che l’esercizio richiedeva la

non-esattezza di ω su X, non quella, peraltro vera, di Φ∗(ω)|S1 .]

6.2 16 Novembre 2012

1. Siano p, q ∈ R2, p 6= q. Determinare tre cammini chiusi non omotopi in

R2 \ p, q.

2. Si consideri RPn con coordinate omogenee [x0, . . . , xn]. Siano H ⊂ RPnl’iperpiano x0 = 0, A = RPn \H e B = RPn \ [1, 0, . . . , 0]. Sapendo che

A ∩B = Rn \ 0, provare che il gruppo fondamentale di RPn e generato

dall’immagine di quello di B nell’omomorfimo indotto dall’inclusione B →RPn. (Van Kampen)

3. Sia F : R3 → R3 data da F (x, y, z) = (xy, yz, zx)..

(a) Calcolare ω = F ∗(XdY + Y dZ).

(b) Dire se ω e chiusa ed esatta.

4. Siano M e N varieta differenziabili di dimensione n, f : M → N un’ap-

plicazione differenziabile, p ∈ M e Jp(f) il determinante dello Jacobiano

di f in p. Si supponga Jp(f) 6= 0. Dire quali dei seguenti enunciati sono

veri e in caso contrario produrre un controesempio:

(a) f e un diffeomorfismo localmente attorno a p.

(b) Per ogni p, Jp(f) 6= 0, segue che f e un diffeomorfismo

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5. Sia f : R4 → R data da f(x0, x1, x2, x3) = (x30 + x2

1x2 + x22x3 + x2

3x1). Sia

Z(f) ⊂ RP3 definito da

[x0, x1, x2, x3] ∈ Z(f) ⇐⇒ f(x0, x1, x2, x3) = 0

(a) Provare che Z(f) e ben definito (cioe che punti equivalenti ad un

punto di Z(f) appartengono a Z(f))).

(b) Provare che P = [1, 1,−1,−1] ∈ Z(f), e che esiste un intorno aperto

U ⊂ RP3 di P tale che U ∩ Z(f) e una sottovarieta.

6.3 13 giugno 2012

1. Sia Rα : S1 → S1 una rotazione di α radianti. Provare che Rα e omotopa

all’identita di S1.

2. Sia f : R2 → R data da f(x, y) = x3 + xy + y3 + 1. Per quali dei

punti p = (0, 0), p = ( 13 ,

13 ), p = (− 1

3 ,−13 ), f−1(f(p)) risulta essere una

sottovarieta?

3. Sia Φ : R2 → R4 data da Φ(x, y, z) = (x2 − y2, xy, xz, yz). Mostrare che

Φ|S2 induce un’applicazione Φ : RP2 → R4 e che Φ e un’immersione.

4. Si consideri RPn con coordinate omogenee [x0, . . . , xn]. Siano H ⊂ RPnl’iperpiano x0 = 0, A = RPn \H e B = RPn \ [1, 0, . . . , 0]. Sapendo che

A ∪ B = RPn e A ∩ B = Rn \ 0, provare che il gruppo fondamentale

di RPn e generato dall’immagine di quello di B nell’omomorfismo indotto

dall’inclusione B → RPn. (van Kampen)

5. SianoX = R2×(0,+∞), ϕ : X → X data da ϕ(x1, x2, x3) = (ex3x1, e−x3x2, x

23).

Dette (y1, y2, y3) le coordinate su ϕ(X), si consideri la forma

ω = y21y2 dy1 ∧ dy3

Calcolare dω e ϕ∗dω e poi ϕ∗ω e dϕ∗ω e verificare che i risultati ottenuti

sono eguali.

6. Siano f : R3 → R3 data da f(r, θ, ϕ) = (x, y, z) = (r sin θ cosϕ, r sin θ sinϕ, r cos θ)

e ω = dx∧dy∧dz. Utilizzando∫S2 f∗ω|S2 mostrare che ω non e una forma

esatta su R3.

Recupero 1 esonero

Svolgere gli esercizi 1, 2, 3 e

7. Siano f : R2 → R3 data da f(u, v) = (u2v + v2, u − 2v3, uev), X ∈

R2(0,1), X = 3

∂u− ∂

∂v. Calcolare df(X)f(0,1).

32

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Recupero 2 esonero

Svolgere gli esercizi 4, 5, 6 e

8. Sia f : M → N un diffeomorfismo locale. Provare che se N e orientabile

anche M e orientabile. Dare un controesempio all’implicazione opposta.

Soluzione.

1. Abbiamo Rα(eit) = ei(t+α). L’omotopia cercata e quindi F : S1 × I →S1, F (eit, s) = ei(t+αs). Si osservi che soluzioni del tipo (t, s)→ t+αs non

hanno senso perche t+ αs non appartiene a S1.

2. La Jacobiano di f e dato da (3x2 + y, 3y2 + x) che e sempre diverso da

zero escluso i punti (0, 0) e

(−1

3,−1

3

). Ne segue che df(p) e suriettivo in

ogni punto diverso dai precedenti. Pertanto, in particolare, per il teorema

della funzione implicita, f−1

(f

(1

3,

1

3

))e una sottovarieta. (Anche se

incompleta, questa soluzione e stata accettata. In ciascuno dei due casi

con Jacobiano degenere, un ragionamento ad hoc mostra che nessuno dei

due da una sottovarieta)

3. Poiche Φ(x, y, z) = Φ(−x,−y − z), Φ|S2 induce l’applicazione Φ : RP2 →R4 data da Φ([p]) = Φ(p) per ogni p ∈ S2. Abbiamo quindi Jac(Φ)([p]) =

Jac(Φ)(p) in ogni sistema di coordinate su RP2, cui p appartiene. Si ha

in coordinate omogenee:

Jac(Φ) =

2x −2y 0

y x 0

z 0 x

0 z y

che ha rango eguale a 2 nei tre sistemi di coordinate vettoriali x 6= 0, y 6= 0

e z 6= 0. Ne segue che Φ e un’immersione.

4. A e omeomorfo a Rn in quanto aperto coordinato ed e quindi connesso

per archi e semplicemente connesso (n ≥ 2). B e localmente omeomorfo

a Sn \ (1, 0, . . . , 0), (−1, 0, . . . , 0) che e connesso per archi, ed e quindi

connesso per archi. A∩B e connesso per archi. Possiamo quindi applicare

il teorema di van Kampen che da immediatamente la tesi.

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5. Si ha:

dω =d(y21 y2) ∧ dy1 ∧ dy3 = −y2

1dy1 ∧ dy2 ∧ dy3

Φ∗dω =− (ex3x1)2dy1(x1, x2, x3) ∧ dy2(x1, x2, x3) ∧ dy3(x1, x2, x3) =

=− 2x21x3e

2x3dx1 ∧ dx2 ∧ dx3

Φ∗ω =(ex3x1)2e−x3x2dy1(x1, x2, x3) ∧ dy3(x1, x2, x3) =

=2e2x3x21x2x3dx1 ∧ dx3

dΦ∗ω =(4e2x3x1x2x3dx1 + 2e2x3x21x3dx2 + 2e2x3x2

1x2dx3) ∧ dx1 ∧ dx3 =

=− 2x21x3e

2x3dx1 ∧ dx2 ∧ dx3.

6. Si ha: dxdydz

=

sin θ cosϕ r sin θ cosϕ −r sin θ sinϕ

sin θ sinϕ r cos θ sinϕ r sin θ cosϕ

cos θ −r sin θ 0

drdϕdθ

da cui f∗ω = r2 sin θ dr∧ dϕ∧ dθ, f∗ω|S2 = sin θ dϕ∧ dθ, e

∫S2 f∗ω|S2 6= 0.

Se supponiamo ω = dη, abbiamo d’altra parte∫S2 f∗ω|S2 =

∫S2 f∗dη|S2 =∫

S2 df∗η|S2 = 0 per il teorema di Stokes, una contraddizione.

Recuperi

7. Sia B =

∂v

∂x,∂v

∂y,∂v

∂z

una base per lo spazio tangente a R3 in f(0, 1).

Lo Jacobiano Jac(f)di f calcolato in (0, 1) e dato da0 2

1 −6

e 0

Le coordinate del vettore tangente df(X)(f(0, 1)) nella base B saranno

dunque −2

9

3e

8. Sia ω una n-forma di volume su N. Il coefficiente α di f∗ω e una funzione

mai nulla in ogni sistema di coordinate su M . Infatti, f e un diffeomor-

fismo locale, Jac(f) e non degenere e det Jac(f) non e mai nullo. La

conclusione segue dal fatto che α si trasforma mediante det Jac(f).

Un controesempio all’asserto contrario e dato dal rivestimento S2 → RP2.

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6.4 6 Luglio 2012

1. Sia F : N →M una sottovarieta.

(a) Provare che se N e compatta, F e un omeomorfismo su F (N).

(b) Dare un controesempio nel caso N non sia compatta.

(c) Dare un controesempio nel caso F sia un’immersione.

2. Sia F : R2 → R3 data da F (u, v) = (u2 + v + v2, u− v3, veu). Calcolare il

vettore tangente dF (X) in F (0, 1) ove X e il vettore tangente in (0, 1)

X = 3∂

∂u− 4

∂v

3. Sia v una derivazione sulle funzioni C∞ definite sul sottoinsieme aperto U

della varieta differenziabile M . Provare che se c e una funzione costante,

v(c) = 0.

4. Sia π : S2 → RP2 la proiezione canonica. Provare che π e C∞. Dire se dπ

e iniettivo in (1, 0, 0). (Si usi preferibilmente il fatto che π : S2 → RP2 e

un rivestimento. Altrimenti calcolare direttamente con i migliori auguri!)

5. Sia a ∈ R2, B = B (a,R) un disco e sia γ la sua frontiera. Sia b ∈ B, e

r > 0 sufficientemente piccolo affinche B(b, r) ⊂ B. Sia γr la frontiera di

B (b, r). Si scriva esplicitamente un’ omotopia di cammini chiusi tra γ e

γr.

6. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, nel qual caso fornire un

controesempio.

(a) Siano X e Y spazi topologici connessi per archi con gruppi fon-

damentali isomorfi. Ne segue che X e Y hanno lo stesso tipo di

omotopia.

(b) Siano X uno spazio localmente semplicemente connesso e (X, p) un

rivestimento di X. Sia ( ˜X, p) un rivestimento di X. Ne segue che

( ˜X, p) e un rivestimento di X.

(c) Siano X uno spazio localmente semplicemente connesso e (X, p) un

rivestimento di X. Ne segue che il gruppo fondamentale di X e

isomorfo al gruppo degli automorfismi del rivestimento (deck tran-

sformations).

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Soluzione.

1. (a) Poiche N e compatta e M e di Hausdorff, F e chiusa. F biunivoca

(su F (N)) e continua implica quindi che F e omeomorfismo.

(b) F : R → T 2 data da F (t) = (e2πit, e2πiαt) con α numero reale non

razionale. F (R) e non omeomorfo a R poiche rimuovendo l’immagine

di un qualsiasi punto di R, F (R) non si sconnette in quanto densa

nel toro.

(c) Sia S1 definito dall’equazione r = 1 nel piano delle coordinate polari

r, t. F : S1 → S1 data da F ((1, t)) = (1, 2t) e un controesempio

cercato, poiche S1 e compatta, dF e non singolare e F non e iniettiva.

(Si osservi che non e lecito prendere per N un intervallo chiuso sulla

retta reale, perche non e una varieta differenziabile)

2. Siano (x, y, z) le coordinate su R3. La matrice associata all’applicazione

lineare dF : R2|(0,1) → R3|F ((0,1)) rispetto alle basi

∂u,∂

∂v

in (0, 1)

e

∂x,∂

∂y,∂

∂z

in F ((0, 1)) e la matrice Jacobiana J(F )di F in (0, 1).

Poiche

J(F ) =

2u 2v + 1

1 3v2

veu eu

Pertanto

J(F )(0, 1) =

0 3

1 −3

1 1

e le componenti di dF rispetto alla base fissata saranno (−12, 15,−1).

3. Detta 1 la funzione costante eguale a 1 su U, osserviamo che v(c) = cv(1)

in ogni punto di U ; inoltre, ivi:

v(1) = v(1 · 1) = v(1)1 + 1v(1) = 2v(1)

il che e possibile se e solo se v(1) = 0. Ne segue v(c) = 0.

4. Siano (x0, x1, x2) coordinate su R3\0,S2 = (x0, x1, x2) :∑2j=0 x

2j = 1.

Poniamo S2 = A1∪A2 con A1 = S2 \(0, 0, 1), A2 = S2 \(0, 0,−1). Sia

R2 ⊂ R3 \ 0 come (x0, x1, x2) : x2 = 0 e siano ϕj : Aj → R2 le proie-

zioni stereografiche. Poniamo RP2 = U0 ∪U1 ∪U2 con Uj = (x0, x1, x2) :

xj 6= 0 e siano ψk : Uk → R2, ψk([x0, x1, x2]) =

(xlxk,xjxk

), j, l 6= k, l < j,

i passaggi da coordinate omogenee a vettoriali.

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Da dimostrare: ψk π ϕ−1j : R2 → R2 e di classe C∞ ed e localmente

invertibile attorno a ϕ1(1, 0, 0). Se (u, v) ∈ ϕ1(A1), allora ϕ−11 (u, v) =

1

1 + u2 + v2(2u, 2v, u2+v2−1) e quindi πϕ−1

1 (u, v) = [2u, 2v, u2+v2−1].

Se u 6= 0, π ϕ−11 (u, v) ∈ U0 quindi ψ0 π ϕ−1

1 (u, v) =

(v

u,u2 + v2 − 1

2u

)e una funzione di classe C∞.

Formule analoghe valgono per v 6= 0 e per u2+v2−1 6= 0 e per la proiezione

stereografica dal polo sud.

Poniamo ora π = ψ0 π ϕ−11 . Lo Jacobiano di π vale −2 in (1, 0) =

ϕ1(1, 0, 0) quindi π e invertibile con inversa differenziabile in un intorno V

di (1, 0). Poiche π : S2 → RP2 e un rivestimento, esiste un intorno aperto

U di (1, 0, 0) tale che π|U e un omeomorfismo. Quindi purche ψ−10 π(V )

sia contenuto in π(U), il che e sempre possibile eventualmente restringendo

V, si ha che π, che e differenziabile e invertibile, ha inversa differenziabile.

Ne segue che dπ e iniettivo in (1, 0, 0).

[Si poteva equivalentemente osservare che detto A lo Jacobiano di π in un

intorno di (1, 0, 0), si ha J(π) = J(ψ0)AJ(ϕ−11 ) da cuiA = J(ψ0)−1J(π)J(ϕ−1

1 )−1.

Poiche si e visto che J(π) e non singolare in un intorno di (1, 0), ne segue

A non singolare in un intorno di (1, 0, 0) in quanto prodotto di matrici

non singolari, da cui dπ e iniettivo in (1, 0, 0).]

5. Un’omotopia cercata e data, per ogni t ∈ [0, 1], da:a+ (1− 2s)Re2πit s ∈

[0,

1

2

](2− 2s)a+ (2s− 1)(b+Re2πit) s ∈

[1

2, 1

]

6. (a) Falso. R2 e S2 hanno gruppo fondamentale banale ma non hanno lo

stesso tipo di omotopia (R2 e contrattile.)

(b) Vero.

(c) Falso. Un possibile controesempio puo essere dato da un rivestimento

p : X → X, tale che p∗π(X, x) con x ∈ X sia un sottogruppo normale

non banale di π(X, p(x)).

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6.5 24 settembre 2012

1. Siano X uno spazio localmente semplicemente connesso e (X, p) un rive-

stimento di X. Sia ( ˜X, p) un rivestimento di X. Provare che ( ˜X, p p) e

un rivestimento di X.

2. Sia GL(2,R) il gruppo delle matrici reali 2× 2 invertibili.

(a) Dare una struttura differenziabile su GL(2,R).

(b) Sia Φ : GL(2,R)→ GL(2,R) data da: Φ(A) = A−1. Calcolare dΦ in(1 1

1 0

)

3. Siano M una varieta differenziabile di dimensione n e∧n

(M) il fibrato

delle n-forme. Mostrare che∧n

(M) ammette una struttura differenziale

che lo rende una varieta di dimensione n+ 1.

4. Si consideri lo spazio topologico X = R2 \ P.

(a) Determinare, motivando la risposta, due cammini chiusi non omotopi

in X.

(b) Provare che esistono γ1 e γ2 cammini chiusi tali che ogni cammino

chiuso in X e omotopo ad un multiplo di uno di essi.

5. Sia F : R3 → R3 data da F (x, y, z) = (xy, yz, xz). Calcolare F ∗(xdy +

ydz).

Soluzione.

1. p p e suriettiva. Siano x ∈ X e V un intorno aperto di x tale che

p−1(V ) sia unione disgiunta di aperti Uα in X ciascuno omeomorfo a

V . Ciascun Uα contiene un aperto Uα tale che p−1(x) ∈ Uα e p−1(Uα)

e unione disgiunta di aperti ˜Uαβ ciascuno omeomorfo a Uα. Sia ora

U = V ∩ (⋂αβ(p p)(Uαβ). U e non vuoto in X poiche x ∈ U e aperto

poiche (p p) e un omeomorfismo su˜Uαβ . Inoltre U e tale che (p p)−1(U)

e unione disgiunta di aperti ciascuno omeomorfo con U . L’asserto segue

dall’arbitrarieta di x. (La soluzione alternativa proposta da alcuni con pas-

saggio al rivestimento universale e al sollevamento dell’omotopia richiede

la verifica delle ipotesi che permettono di usare difficili conseguenze di

tali risultati applicati alla situazione “F = G H con F e H rivestimen-

ti implica G rivestimento?” Essa non puo essere usata come fatto senza

richiamare tali risultati e pertanto non viene accettata).

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2. (a) GL(2,R) e aperto nello spazio Mat2×2(R). Infatti GL(2,R) = det−1(R\0), cioe e l’immagine inversa di un aperto tramite un’applicazione

continua. Mat2×2(R) e una varieta differenziabile, quindi ogni suo

aperto eredita per restrizione la stessa struttura.

(b) La struttura differenziabile di Mat2×2(R) e data dall’unica carta(a b

c d

)→ (a, b, c, d) ∈ R4

L’applicazione Φ(A) = A−1 e data in tale carta come:

Φ(a, b, c, d) =1

ad− bc(d,−b,−c, a)

che e evidentemente differenziabile poiche ad− bc = detA 6= 0.

(c) Lo Jacobiano di Φ nella carta considerata calcolato in (1, 1, 1, 0) da:0 0 0 −1

0 0 −1 1

0 −1 0 1

−1 1 1 −1

3. Sia p ∈M . Lo spazio dei 2-covettori in p,

∧2T ∗pM e uno spazio vettoriale

di dimensione 1. Siano (Uα, ϕα) un atlante su M e x1, x2 le funzioni

coordinate su Uα. Supponiamo che p ∈ Uα, allora∧2

T ∗pM e generato

da dx1(p) ∧ dx2(p), cioe ogni 2-covettore ωp = λpdx1(p) ∧ dx2(p), λp ∈R. Sia ω la 2-forma tale che ω(p) = ωp. Siano ora (Vα, ψα) con Vα =⋃p∈Uα(p,

∧2T ∗pM) e ψα(p, ωp) = (ϕα(p), λp) ∈ R3.

(Vα, ψα) e l’atlante su∧2

(M) cercato, poiche il numero reale λp non di-

pende dal sistema di coordinate (Uα, ϕα). Infatti se (Uβ , ϕβ) e un’altro

sistema di coordinate con funzioni coordinate y1, y2 tale che p ∈ Uα ∩Uβ ,

e ωp = µpdy1(p) ∧ dy2(p), si ha che λp = det[Jac(dϕ)αβ ]µp.

4. (a) Un cerchio η di centro P ed un cerchio γ di centro Q 6= P che

gode della proprieta che, se σ e il segmento congiungente P e Q,

γ interseca σ in un punto non appartenente al disco di bordo η,

forniscono l’esempio cercato.

(b) Sia γ un cammino in x omotopo ad un punto, allora [γ] = [γ1] = id

con γ1 cammino costante. Altrimenti a [γ] corrisponde uno ed un solo

numero intero m 6= 0 poiche il gruppo fondamentale di X e isomorfo

a Z. Ne segue che [γ] = [γ1] ove [γ1] = [1] ? ... ? [1] m-volte, ove ? e

la moltiplicazione nel gruppo fondamentale e [1] il suo generatore.

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5. Poiche F ∗(xdy ∧ dz) = F ∗(xdy) ∧ F ∗dz, si ha F ∗(xdy ∧ dz) = xy(ydz +

zdy) ∧ (xdz + zdx). Quindi, effettuando le operazioni indicate:

F ∗(xdy ∧ dz) = −xyz(zdx ∧ dy + ydx ∧ dz − xdy ∧ dz)

6.6 28 settembre 2012

1. Siano X uno spazio topologico, x ∈ X, γ un cammino ad estremi fissi in

X avente x come secondo estremo e ex il cammino costante. Indicate con

[γ] e [ex] le rispettive classi di omotopia, provare che [γ] ? [ex] = [γ] ove ?

e la giustapposizione di cammini.

2. Sia F : R3 → R3 data da F (x, y, z) = (xy, yz, xz).

(a) Provare che F induce un’applicazione differenziabile Φ : RP2 → RP2.

(b) Calcolare dΦ in [1, 0, 0].

3. Sia F : R3 → R3 data da F (x, y, z) = (xy, y3, x).

(a) Calcolare F ∗(ydx− xdy + dz).

(b) Dire se F ∗(dx ∧ dy ∧ dz) e una forma di volume su R3.

4. Dire se, e in caso affermativo provarlo o in caso negativo fornire un con-

troesempio:

(a) Spazi topologici omeomorfi hanno lo stesso tipo di omotopia.

(b) Spazi topologici aventi lo stesso tipo di omotopia sono omeomorfi.

(c) Spazi topologici omeomorfi hanno gruppi fondamentali isomorfi.

(d) Spazi topologici aventi gruppi fondamentali isomorfi sono omeomorfi.

5. Sia f : M → N un diffeomorfismo locale. Provare che se N e orientabile

anche M e orientabile. Dare un controesempio all’implicazione opposta.

6.7 22 gennaio 2013

Tutte le varieta, funzioni, forme e campi sono supposte di classe C∞.

1. Siano M una varieta differenziabile, TM il fibrato tangente con proiezione

π : TM →M, cioe π−1(x) = Mx, per x ∈M .

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(a) Se (Uα, ϕα) e una struttura differenziabile su M, si consideri su TM

la struttura differenziabile (Uα, ϕα) con Uα = Uα × Mx, x ∈ Uα.

Determinare una formula per il cambiamento di coordinate

ϕα ϕ−1β : ϕβ(Uα ∩ Uβ)× Rn → ϕα(Uα ∩ Uβ)× Rn

(b) Dedurre che TM e una varieta orientabile.

2. Sia Rα una rotazione di α radianti. Provare che Rα e omotopa all’identita

di S1.

3. Sia π : S2 → RP2 la proiezione canonica. Provare che π e C∞ e dire se dπ

e iniettivo in (1, 0, 0).

4. Sia a ∈ R2, B = B (a,R) un disco e sia γ la sua frontiera. Sia b ∈ B, e

r > 0 sufficientemente piccolo affinche B(b, r) ⊂ B. Sia γr la frontiera di

B (b, r). Si scriva esplicitamente un’ omotopia di cammini chiusi tra γ e

γr.

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