Esercizi di Analisi II con Mathematica

Giulio Matteucci

� Esercizio 1

Disegno del sostegno di una curva parametrizzata (cioè l' immagine in R3 di una funzione H: R� R3 )

Consideriamo H(t) = (Cos(t),Sin(t),t)

Sostegno = ParametricPlot3D@8Cos@tD, Sin@tD, t<,8t, 0, 4 Π<, PlotStyle ® Directive@Thickness@0.007D, BlueDD

-1.0-0.5

0.00.5

1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

05

10

� Esercizio 2

Disegno del dominio di una funzione

Consideriamo il dominio D del campo scalare F(x,y) = y - Hx^2L + 4 - y . D è definito come D = {(x,y)ÎR2¤ y ³ x^2

, y £ 4}

Dominio = Plot@8x^2, 4<, 8x, -2, 2<,Filling ® 81 ® 82<<, PlotStyle ® Directive@Thickness@0.007D, BlueDD

-2 -1 1 2

1

2

3

4

� Esercizio 3

Disegno del grafico di una funzione di due variabili (cioè rappresentazione del dominio in R2 e dell'immagine in R di unafunzione F: R2� R )

Condideriamo la funzione di cui si era disegnato il dominio: F(x,y) = y - Hx^2L + 4 - y

Plot3D@Sqrt@y - Hx^2LD + Sqrt@4 - yD, 8x, -2, 2<, 8y, 0, 2<D-2-1012

0.00.5

1.01.5

2.0

1.5

2.0

2.5

� Esercizio 4

Disegno del sostegno di una superficie parametrizzata (cioè l' immagine in R3 di una funzione G: R2� R3 )

Condideriamo il campo vettoriale: G(u,v) = (Cos(t)* 1 + u2 ,Sin(t)* 1 + u2 ,u)

ParametricPlot3DB:Cos@tD 1 + u2 , Sin@tD 1 + u2 , u>, 8t, 0, 2 Π<, 8u, -3, 3<F

-2

0

2

-2 0 2

-2

0

2

� Esercizio 5

Calcolo del gradiente di una funzione di più variabili

Condideriamo il campo scalare: Z(x,y) = 2x^2 - 3y^2 + xy

2 Esercizi di Analisi II con Mathematica- Giulio Matteucci.nb

Condideriamo il campo scalare: Z(x,y) = 2x^2 - 3y^2 + xy

Z@x_, y_D := 2 x^2 - 3 y^2 + Hx * yL;

ÑZ@x_, y_D := D@Z@x, yD , 88x, y<<D;

ÑZ@x, yD

84 x + y, x - 6 y<

� Esercizio 6

Calcolo delle derivate direzionali di una funzione di più variabili

Condideriamo il campo scalare del precedente esercizio: Z(x,y) = 2x^2 - 3y^2 + xy ; poichè le sue derivate parziali sonofunzioni continue " (x,y) Î R2 il campo scalare Z è C1(R2) dunque è quindi differenziabile su tutto R2. Per questo possiamo applicare la "formula del gradiente" per calcolare la derivata nel punto P(x0,y0) lungo il generico vettore v = (v1,v2)

Ddirezionale = ÑZ@x, yD.8v1, v2<

v2 Hx - 6 yL + v1 H4 x + yL

� Esercizio 7

Determinazione dei massimi e dei minimi di una funzione di più variabili

Condideriamo il campo scalare: Z(x,y) = 2x^2 - 3y^2 + xy

Cominciamo a trovare i punti critici del campo scalare trovando gli (x,y) Î R2 che annullano il gradiente

Solve@84 x + y � 0, x - 6 y � 0<D

88x ® 0, y ® 0<<

Solo il punto (0,0) è punto critico per Z(x,y) ; calcoliamo ora la matrice Hessiana di Z in (0,0)

HZ@x_, y_D :=¶x,xZ@x, yD ¶x,yZ@x, yD¶y,xZ@x, yD ¶y,yZ@x, yD ;

MatrixFormBHZ@0, 0D =¶x,xZ@x, yD ¶x,yZ@x, yD¶y,xZ@x, yD ¶y,yZ@x, yD F

K 4 1

1 -6O

Valutiamo la Segnatura di HZ[0, 0] ;

Det@HZ@0, 0DD

-25

Det[HZ[0, 0]]� 0 dunque la segnatura è indefinita per cui (0,0) risulta essere un punto di sella per z(x,y)

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