Esercizi Aperti Con Soluzioni 2008

POLITECNICO DI TORINO

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Analisi Complessa

Anno Accademico 2007-2008

Marco Codegone

ESERCIZI APERTI

Introduzione

Questa raccolta di esercizi si aggiunge a quella gia presente nel testo di Marco Codegone e MartaCalanchi, Metodi Matematici per L’Ingegneria, Esercizi, Schemi dei lucidi, edito da Pitegora (Bologna1999).Gli esercizi qui proposti non si presentano sotto forma di questionario con risposte multiple, ma offronoalla attenzione dello studente degli esercizi da svolgere. In effetti l’esame di Analisi Complessa e compostoda esercizi aperti e da quesiti a risposta multipla.Speriamo che lo studente tragga giovamento da questo materiale didattico, che riguarda sopratutto laparte di descrizione di segnali lineari a tratti, distribuzioni e trasformate di Fourier e Laplace.Il fatto, che l’esame si componga di una parte di domande corredate da risposte multiple e da una parte diesercizi da svolgere, rende piu equilibrato il momento della valutazione, fornendo allo studente maggioripossibilita per mettere in evidenza le competenze acquisite nello studio e alla commissione di esame lapossibilita di formulare il proprio giudizio su piu elementi e quindi in modo piu oggettivo.

1

1)

Sia x(t) il segnale descritto dal seguente grafico:

-

6

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡@

@@

@

@@

@@

@@

@@

1

2

−1 0 1 2−2 t

x(t)

a) Descrivere analiticamente x(t) mediante funzioni a gradino o porte.

b) Calcolare la trasformata di Fourier di x(t).

c) Calcolare la trasformata di Laplace di x(t).

d) Dire quale parte del piano complesso e dominio della trasformata di Laplace di x(t).

e) Ricavare graficamente la derivata prima distribuzionale di x(t).

f) Esprimere analiticamente la derivata prima distribuzionale di x(t).

g) Ricavare graficamente la derivata seconda distribuzionale di x(t).

h) Esprimere analiticamente la derivata seconda distribuzionale di x(t).

2

1) Soluzione

a) La descrizione del segnale x(t) adatta per fare la trasformata di Fourier e quella con le porte(di larghezza T ) pT (t) e loro traslate:

x(t) = (t + 2)p2(t + 1)− (t− 2)p2(t− 1) =

= (t + 1)p2(t + 1) + p2(t + 1)− (t− 1)p2(t− 1) + p2(t− 1)

La descrizione del segnale x(t) adatta per fare la trasformata di Laplace e invece quella colgradino unitario u(t) e sue traslate:

x(t) = (t + 2)u(t + 2)− 2tu(t) + (t− 2)u(t− 2)

b) La trasformata di Fourier di x(t) si ottiene con i seguenti calcoli:

X(ω) = e j ω j ddω

2 sin ωω + e j ω 2 sinω

ω − e− j ω j ddω

2 sin ωω + e− j ω 2 sin ω

ω =

=(

j ddω

2 sin ωω

) (e j ω − e− j ω

)+

(2 sinω

ω

) (e j ω + e− j ω

)=

= 2 j ω cosω − 2 j sinωω2 2 j sin ω + 2 sin ω

ω 2 cos ω =

= −4 sinω cosωω + 4 sin2 ω

ω2 + 4 sin ω cosωω =

= 4 sin2 ωω2 =

(2 sin ω

ω

)2

c) La trasformata di Laplace di x(t) si ottiene con i seguenti calcoli:

X(s) = L[x(t)] = 1s2 e 2s − 2 1

s2 + 1s2 e−2s = 1

s2 ( e 2s − 2 + e−2s) =

= 1s2 ( e s − e−s)2 =

= (2 sinh s)2

s2 =(

2 sinh ss

)2

3

d) Poiche la funzione x(t) e nulla all’esterno di un intervallo limitato, il dominio della trasfor-mata di Laplace di x(t) e tutto il piano complesso

e) La derivata distribuzionale di x(t) ha il seguente grafico:

-

6

1

2

−1 0−2 1 2 t

x′(t)

f) La derivata distribuzionale x′(t) ha la seguente espressione:

x′(t) = p2(t + 1)− p2(t− 1)

g) La derivata seconda distribuzionale di x(t) ha il seguente grafico:

-

6

6 6

?

1

−1

−2

−1 0−2 1 2 t

x′′(t)

h) La derivata seconda distribuzionale x′′(t) ha la seguente espressione:

x′′(t) = δ(t + 2)− 2δ(t) + δ(t− 2)

4

2)


-

6

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡@

@@

@

@@

@@

@@

@@

0

1

2

−3 −2 −1 1 t

x(t)









5

2) Soluzione


x(t) = (t + 3)p2(t + 2)− (t− 1)p2(t) =

= (t + 2)p2(t + 2) + p2(t + 2)− tp2(t) + p2(t)


x(t) = (t + 3)u(t + 3)− 2(t + 1)u(t + 1) + (t− 1)u(t− 1)


X(ω) = e 2 j ω j ddω

2 sin ωω + e 2 j ω 2 sinω

ω − j ddω

2 sinωω + 2 sinω

ω =

=(

j ddω

2 sin ωω

) (e 2 j ω − 1

)+

(2 sin ω

ω

) (e 2 j ω + 1

)=

= 2 j ω cosω − 2 j sinωω2 e j ω 2 j sin ω + 2 sinω

ω e j ω 2 cos ω =

= −4 sinω cosωω e j ω + 4 sin2 ω

ω2 e j ω + 4 sinω cos ωω e j ω =

= 4 sin2 ωω2 e j ω =

(2 sin ω

ω

)2

e j ω


X(s) = L[x(t)] = 1s2 e 3s − 2 1

s2 e s + 1s2 e−s = 1

s2 ( e 3s − 2 e s + e−s) =

= 1s2 e s

(e 2s − 2 + e−2s

)= 1

s2 e s ( e s − e−s)2 =

= (2 sinh s)2

s2 e s =(

2 sinh ss

)2

e s

6



-

6

1

2

−3 −2 −1 0 1 t

x′(t)


x′(t) = p2(t + 2)− p2(t)


-

6

6 6

?

1

−1

−2

−3 −2−1

0 1 t

x′′(t)


x′′(t) = δ(t + 3)− 2δ(t + 1) + δ(t− 1)

7

3)


-

6

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡@

@@

@

@@

@@

@@

@@

1

2

−1 0 1 2 3 t

x(t)









8

3) Soluzione


x(t) = (t + 1)p2(t)− (t− 3)p2(t− 2) =

= tp2(t) + p2(t)− (t− 2)p2(t− 2) + p2(t− 2)


x(t) = (t + 1)u(t + 1)− 2(t− 1)u(t− 1) + (t− 3)u(t− 3)


X(ω) = F [x(t)] = j ddω

2 sinωω + 2 sinω

ω − e−2 j ω j ddω

2 sinωω + e−2 j ω 2 sin ω

ω =

=(

j ddω

2 sin ωω

) (1− e−2 j ω

)+

(2 sinω

ω

) (1 + e−2 j ω

)=

= 2 j ω cosω − 2 j sinωω2 e− j ω2 j sinω + 2 sin ω

ω e− j ω2 cos ω =

= −4 sinω cosωω e− j ω + 4 sin2 ω

ω2 e− j ω + 4 sinω cos ωω e− j ω =

= 4 sin2 ωω2 e− j ω =

(2 sinω

ω

)2

e− j ω


X(s) = L[x(t)] = 1s2 e s − 2 1

s2 e−s + 1s2 e−3s = 1

s2 ( e s − 2 e−s + e−3s) =

= 1s2 e−s( e 2s − 2 + e−2s) = 1

s2 e−s( e s − e−s)2 =

= (2 sinh s)2

s2 e−s =(

2 sinh ss

)2

e−s

9



-

6

12

−1 0 1 2 3 t

x′(t)


x′(t) = p2(t)− p2(t− 2)


-

6

6 6

?

1

−1

−2

−1 0 1 2 3 t

x′′(t)


x′′(t) = δ(t + 1)− 2δ(t− 1) + δ(t− 3)

10

4)


-

6

@@

@@

@@

@@

@@

@@¡

¡¡

¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

0

−1

−2

−3 −2 −1 1t

x(t)









11

4) Soluzione


x(t) = −(t + 3)p2(t + 2) + (t− 1)p2(t) =

= −(t + 2)p2(t + 2)− p2(t + 2) + tp2(t)− p2(t)


x(t) = −(t + 3)u(t + 3) + 2(t + 1)u(t + 1)− (t− 1)u(t− 1)


X(ω) = − e 2 j ω j ddω

2 sin ωω − e 2 j ω 2 sin ω

ω + j ddω

2 sin ωω − 2 sin ω

ω =

= −(

j ddω

2 sinωω

) (e 2 j ω − 1

)−(

2 sinωω

) (e 2 j ω + 1

)=

= −2 j ω cos ω − 2 j sin ωω2 e j ω 2 j sin ω − 2 sin ω

ω e j ω 2 cos ω =

= +4 sinω cosωω e j ω − 4 sin2 ω

ω2 e j ω − 4 sinω cos ωω e j ω =

= −4 sin2 ωω2 e j ω = −

(2 sinω

ω

)2

e j ω


X(s) = L[x(t)] = − 1s2 e 3s + 2 1

s2 e s − 1s2 e−s = − 1

s2 ( e 3s − 2 e s + e−s) =

= − 1s2 e s

(e 2s − 2 + e−2s

)= − 1

s2 e s ( e s − e−s)2 =

= − (2 sinh s)2

s2 e s = −(

2 sinh ss

)2

e s

12



-

6

12

−3 −2 −1 0 1 t

x′(t)


x′(t) = −p2(t + 2) + p2(t)


-

6

? ?

62

1

−1

−3 −2−1 0

1t

x′′(t)


x′′(t) = −δ(t + 3) + 2δ(t + 1)− δ(t− 1)

13

5)


-

6

¢¢¢¢

¢¢¢¢

¢¢¢¢ A

AAA

AAAA

AAAA

1

2

−2 −1 0 1 2 t

x(t)









14

5) Soluzione


x(t) = 2(t + 2)p1(t + 3/2) + 2p2(t)− 2(t− 2)p1(t− 3/2) =

= 2(t + 3/2)p1(t + 3/2) + p1(t + 3/2) + 2p2(t)− 2(t− 3/2)p1(t− 3/2)+

+p1(t− 3/2)


x(t) = 2(t + 2)u(t + 2)− 2(t + 1)u(t + 1)− 2(t− 1)u(t− 1) + 2(t− 2)u(t− 2)


X(ω) = 2 e 3 j ω/2 j ddω

2 sin(ω/2)ω + e 3 j ω/2 2 sin(ω/2)

ω + 22 sin ωω +

−2 e−3 j ω/2 j ddω

2 sin(ω/2)ω + e−3 j ω/2 2 sin(ω/2)

ω =

= 2(

j ddω

2 sin(ω/2)ω

) (e 3 j ω/2 − e−3 j ω/2

)+

+(

2 sin ωω

) (e 3 j ω/2 + e−3 j ω/2

)+ 22 sin ω

ω =

= 2 jω cos(ω/2)− 2 j sin(ω/2)ω2 2 j sin(3ω/2) + 2 sin ω

ω 2 cos(3ω/2) + 22 sin ωω =

= −4 sin(3ω/2) cos(ω/2)ω + 8 sin(3ω/2) sin(ω/2)

ω2 +

+4 sin(ω/2) cos(3ω/2)ω + 4 sin ω

ω =

= −4 sinωω + 4 cos ω − 4 cos(2ω)

ω2 + 4 sin ωω = 4 cos ω − 4 cos(2ω)

ω2 =

= 4− 8 sin2(ω/2)− 4 + 8 sin2 ωω2 = 2

[(2 sin ω

ω

)2

−(

2 sin(ω/2)ω

)2]


X(s) = L[x(t)] = 2 1s2 e 2s − 2 1

s2 e s − 2 1s2 e−s + 2 1

s2 e−2s =

= 2 1s2 ( e 2s − e s − e−s + e−2s) = 2 1

s2 (2 cosh(2s)− 2 cosh s) =

= 2 1s2

(4 sinh2 s + 2− 4 sinh2(s/2)− 2

)= 2

[(2 sinh s

s

)2

−(

2 sinh(s/2)s

)2]

15



-

6

1

2

−1

−2

−1 0−2 1 2 t

x′(t)


x′(t) = 2p1(t + 3/2)− 2p1(t− 3/2)


-

6

6 6

? ?

2

1

−1

−2

−10−2

12 t

x′′(t)


x′′(t) = 2δ(t + 2)− 2δ(t + 1)− 2δ(t− 1) + 2δ(t− 2)

16

6)


-

6

¢¢¢¢

¢¢¢¢

¢¢¢¢ A

AAA

AAAA

AAAA

1

2

−3 −2 −1 0 1 t

x(t)









17

6) Soluzione


x(t) = 2(t + 3)p1(t + 5/2) + 2p2(t + 1)− 2(t− 1)p1(t− 1/2) =

= 2(t + 5/2)p1(t + 5/2) + p1(t + 5/2) + 2p2(t + 1)− 2(t− 1/2)p1(t− 1/2)+

+p1(t− 1/2)


x(t) = 2(t + 3)u(t + 3)− 2(t + 2)u(t + 2)− 2tu(t) + 2(t− 1)u(t− 1)


X(ω) = 2 e 5 j ω/2 j ddω

2 sin(ω/2)ω + e 5 j ω/2 2 sin(ω/2)

ω + 2 e j ω 2 sin ωω +

−2 e− j ω/2 j ddω

2 sin(ω/2)ω + e− j ω/2 2 sin(ω/2)

ω =

= 2(

j ddω

2 sin(ω/2)ω

) (e 5 j ω/2 − e− j ω/2

)+

+(

2 sin ωω

) (e 5 j ω/2 + e− j ω/2

)+ 2 e j ω 2 sinω

ω =

= 2 jω cos(ω/2)− 2 j sin(ω/2)ω2 2 j sin(3ω/2) e j ω+

+2 sinωω 2 cos(3ω/2) e j ω + 2 e j ω 2 sinω

ω =

= −4 sin(3ω/2) cos(ω/2)ω e j ω + 8 sin(3ω/2) sin(ω/2)

ω2 e j ω+

+4 sin(ω/2) cos(3ω/2)ω e j ω + 4 sin ω

ω e j ω =

=[−4 sin ω

ω + 4 cos ω − 4 cos(2ω)ω2 + 4 sinω

ω

]e j ω = 4 cos ω − 4 cos(2ω)

ω2 e j ω =

= 4− 8 sin2(ω/2)− 4 + 8 sin2 ωω2 e j ω = 2

[(2 sin ω

ω

)2

−(

2 sin(ω/2)ω

)2]

e j ω


X(s) = L[x(t)] = 2 1s2 e 3s − 2 1

s2 e 2s − 2 1s2 + 2 1

s2 e−s =

= 2 1s2 ( e 2s − e s − e−s + e−2s) e s = 2 1

s2 (2 cosh(2s)− 2 cosh s) e s =

= 2 e s

s2

(4 sinh2 s + 2− 4 sinh2(s/2)− 2

)= 2 e s

[(2 sinh s

s

)2

−(

2 sinh(s/2)s

)2]

18



-

6

1

2

−1

−2

−3 −2 −1 0 1 t

x′(t)


x′(t) = 2p1(t + 5/2)− 2p1(t− 1/2)


-

6

6 6

? ?

2

1

−1

−2

−3−2

−1 0 1 t

x′′(t)


x′′(t) = 2δ(t + 3)− 2δ(t + 2)− 2δ(t) + 2δ(t− 1)

19

7)


-

6

¢¢¢¢

¢¢¢¢

¢¢¢¢ A

AAA

AAAA

AAAA

1

2

−1 0 1 2 3 t

x(t)









20

7) Soluzione


x(t) = 2(t + 1)p1(t + 1/2) + 2p2(t− 1)− 2(t− 3)p1(t− 5/2) =

= 2(t + 1/2)p1(t + 5/2) + p1(t + 1/2) + 2p2(t− 1)− 2(t− 5/2)p1(t− 5/2)+

+p1(t− 5/2)


x(t) = 2(t + 1)u(t + 1)− 2tu(t)− 2(t− 2)u(t− 2) + 2(t− 3)u(t− 3)


X(ω) = 2 e j ω/2 j ddω

2 sin(ω/2)ω + e j ω/2 2 sin(ω/2)

ω + 2 e− j ω 2 sinωω +

−2 e−5 j ω/2 j ddω

2 sin(ω/2)ω + e−5 j ω/2 2 sin(ω/2)

ω =

= 2(

j ddω

2 sin(ω/2)ω

) (e j ω/2 − e−5 j ω/2

)+

+(

2 sin ωω

) (e j ω/2 + e−5 j ω/2

)+ 2 e− j ω 2 sin ω

ω =

= 2 jω cos(ω/2)− 2 j sin(ω/2)ω2 2 j sin(3ω/2) e− j ω+

+2 sinωω 2 cos(3ω/2) e− j ω + 2 e− j ω 2 sinω

ω =

= −4 sin(3ω/2) cos(ω/2)ω e− j ω + 8 sin(3ω/2) sin(ω/2)

ω2 e− j ω+

+4 sin(ω/2) cos(3ω/2)ω e− j ω + 4 sinω

ω e− j ω =

=[−4 sin ω

ω + 4 cos ω − 4 cos(2ω)ω2 + 4 sinω

ω

]e− j ω = 4 cos ω − 4 cos(2ω)

ω2 e− j ω =

= 4− 8 sin2(ω/2)− 4 + 8 sin2 ωω2 e− j ω = 2

[(2 sinω

ω

)2

−(

2 sin(ω/2)ω

)2]

e− j ω


X(s) = L[x(t)] = 2 1s2 e s − 2 1

s2 − 2 1s2 e−2s + 2 1

s2 e−3s =

= 2 1s2 ( e 2s − e s − e−s + e−2s) e−s = 2 1

s2 (2 cosh(2s)− 2 cosh s) e−s =

= 2 e−s

s2

(4 sinh2 s + 2− 4 sinh2(s/2)− 2

)= 2 e−s

[(2 sinh s

s

)2

−(

2 sinh(s/2)s

)2]

21



-

6

1

2

−1

−2

−1 0 1 2 3 t

x′(t)


x′(t) = 2p1(t + 1/2)− 2p1(t− 5/2)


-

6

6 6

??

2

1

−1

−2

−1 0 12

3 t

x′′(t)


x′′(t) = 2δ(t + 1)− 2δ(t)− 2δ(t− 2) + 2δ(t− 3)

22

8)


-

6

AAAA

AAAA

AAAA ¢

¢¢¢

¢¢¢¢

¢¢¢¢

−1

−2

−2 −10

1 2t

x(t)









23

8) Soluzione


x(t) = −2(t + 2)p1(t + 3/2)− 2p2(t) + 2(t− 2)p1(t− 3/2) =

= −2(t + 3/2)p1(t + 3/2)− p1(t + 3/2)− 2p2(t) + 2(t− 3/2)p1(t− 3/2)+

−p1(t− 3/2)


x(t) = −2(t + 2)u(t + 2) + 2(t + 1)u(t + 1) + 2(t− 1)u(t− 1)− 2(t− 2)u(t− 2)


X(ω) = −2 e 3 j ω/2 j ddω

2 sin(ω/2)ω − e 3 j ω/2 2 sin(ω/2)

ω − 22 sinωω +

+2 e−3 j ω/2 j ddω

2 sin(ω/2)ω − e−3 j ω/2 2 sin(ω/2)

ω =

= −2(

j ddω

2 sin(ω/2)ω

) (e 3 j ω/2 − e−3 j ω/2

)+

−(

2 sin ωω

) (e 3 j ω/2 + e−3 j ω/2

)− 22 sin ωω =

= −2 j ω cos(ω/2)− 2 j sin(ω/2)ω2 2 j sin(3ω/2)− 2 sin ω

ω 2 cos(3ω/2)− 22 sinωω =

= −−4 sin(3ω/2) cos(ω/2)ω − 8 sin(3ω/2) sin(ω/2)

ω2 +

−4 sin(ω/2) cos(3ω/2)ω − 4 sin ω

ω =

= −−4 sin ωω − 4 cos ω − 4 cos(2ω)

ω2 − 4 sinωω = −4 cos ω − 4 cos(2ω)

ω2 =

= −4− 8 sin2(ω/2)− 4 + 8 sin2 ωω2 = −2

[(2 sin ω

ω

)2

−(

2 sin(ω/2)ω

)2]


X(s) = L[x(t)] = −2 1s2 e 2s + 2 1

s2 e s + 2 1s2 e−s − 2 1

s2 e−2s =

= −2 1s2 ( e 2s − e s − e−s + e−2s) = −2 1

s2 (2 cosh(2s)− 2 cosh s) =

= −2 1s2

(4 sinh2 s + 2− 4 sinh2(s/2)− 2

)= −2

[(2 sinh s

s

)2

−(

2 sinh(s/2)s

)2]

24



-

6

1

2

−1

−2

−10

−21 2 t

x′(t)


x′(t) = −2p1(t + 3/2) + 2p1(t− 3/2)


-

6

? ?

6 62

1

−1

−2

−1 0−2

12

t

x′′(t)


x′′(t) = −2δ(t + 2) + 2δ(t + 1) + 2δ(t− 1)− 2δ(t− 2)

25

9)


-

6

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡1

2

−1 0−2 t

x(t)









26

9) Soluzione

a) La descrizione del segnale x(t) adatta per fare la trasformata di Fourier e la seguente:

x(t) = (t + 2)p2(t + 1) + 2u(t) =

= (t + 1)p2(t + 1) + p2(t + 1) + 2u(t)

La descrizione del segnale x(t) adatta per fare la trasformata di Laplace e invece la seguente:

x(t) = (t + 2)u(t + 2)− tu(t)


X(ω) = e j ω j ddω

2 sin ωω + e j ω 2 sinω

ω + 2 1j ω + 2πδ(ω) =

= 2ω cos ω − 2 sin ωω2 j e j ω + e j ω 2 sinω

ω + 2 1j ω + 2πδ(ω) =

= 2 j e− j ω

ω e j ω − 2 sin ωω2 j e j ω + 2 1

jω + 2πδ(ω) =

= −2 sinωω2 j e j ω + 2πδ(ω)


X(s) = L[x(t)] = 1s2 e 2s − 1

s2 = 1s2 ( e 2s − 1) =

= 1s2 e s ( e s − e−s) =

= (2 sinh s)s2 e s

27

d) Poiche la funzione x(t) e nulla per t < −2, il dominio della trasformata di Laplace di x(t) eun semipiano destro e precisamente: {s : Res > 0}


-

6

1

−1 0−2 t

x′(t)


x′(t) = p2(t + 1)


-

6

6

?

1

−1−1 0−2 t

x′′(t)


x′′(t) = δ(t + 2)− δ(t)

28

10)


-

6

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

1

2

−1 0−2−3 t

x(t)









29

10) Soluzione


x(t) = (t + 3)p2(t + 2) + 2u(t + 1) =

= (t + 2)p2(t + 2) + p2(t + 2) + 2u(t + 1)

La descrizione del segnale x(t) adatta per fare la trasformata di Laplace e invece la seguente:

x(t) = (t + 3)u(t + 3)− (t + 1)u(t + 1)


X(ω) = e 2 j ω j ddω

2 sin ωω + e 2 j ω 2 sinω

ω + e j ω(2 1

j ω + 2πδ(ω))

=

= 2ω cos ω − 2 sin ωω2 j e 2 j ω + e 2 j ω 2 sinω

ω + 2 e j ω 1jω + 2πδ(ω) =

= 2 j e− j ω

ω e 2 j ω − 2 sin ωω2 j e 2 j ω + 2 e j ω 1

jω + 2πδ(ω) =

= −2 sinωω2 j e 2 j ω + 2πδ(ω)


X(s) = L[x(t)] = 1s2 e 3s − 1

s2 e s = 1s2 ( e 3s − e s) =

= 1s2 e 2s ( e s − e−s) =

= (2 sinh s)s2 e 2s

30



-

6

1

−1 0−2−3 t

x′(t)


x′(t) = p2(t + 2)


-

6

6

?

1

−1

−10−2−3 t

x′′(t)


x′′(t) = δ(t + 3)− δ(t + 1)

31

11)


-

6

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

1

2

−1 0 1 t

x(t)









32

11) Soluzione


x(t) = (t + 1)p2(t) + 2u(t− 1) =

= tp2(t) + p2(t) + 2u(t− 1)


x(t) = (t + 1)u(t + 1)− (t− 1)u(t− 1)


X(ω) = F [x(t)] = j ddω

2 sinωω + 2 sinω

ω − 2 e− j ω(

1jω + πδ(ω)

)=

= 2 j ω cosω − 2 j sinωω2 + 2 sinω

ω + 2 e− j ω 1jω + 2πδ(ω) =

= 2 j e− j ω

ω − 2 j sinωω2 + 2 e− j ω

jω + 2πδ(ω) =

= −2 j sin ωω2 + 2πδ(ω)


X(s) = L[x(t)] = 1s2 e s − 1

s2 e−s =

= 1s2 ( e s − e−s) =

= (2 sinh s)s2

33



-

6

1

−1 0 1 t

x′(t)


x′(t) = p2(t)


-

6

6

?

1

−1−1 0 1 t

x′′(t)


x′′(t) = δ(t + 1)− δ(t− 1)

34

12)


-

6

@@

@@

@@

@@

@@

@@

0

−1−2

−3 −2 −1t

x(t)









35

12) Soluzione


x(t) = −(t + 3)p2(t + 2)− 2u(t + 1) =

= −(t + 2)p2(t + 2)− p2(t + 2)− 2u(t + 1)


x(t) = −(t + 3)u(t + 3) + (t + 1)u(t + 1)


X(ω) = − e 2 j ω j ddω

2 sin ωω − e 2 j ω 2 sin ω

ω − 2 e j ω(

1jω + πδ(ω)

)=

= −2 j ω cos ω − 2 j sin ωω2 e 2 j ω − 2 sin ω

ω e 2 j ω − 2 e j ω 1jω − 2πδ(ω) =

= −2 j e− j ω 1ω e 2 j ω + 2 sinω

ω2 j e 2 j ω − 2 e− j ω 1jω − 2πδ(ω) =

= 2 sin ωω2 j e 2 j ω − 2πδ(ω)


X(s) = L[x(t)] = − 1s2 e 3s + 1

s2 e s = − 1s2 ( e 3s − e s) =

= − 1s2 e 2s ( e s − e−s) = − 1

s2 e 2s (2 sinh s) =

= −2 sinh ss2 e 2s

36



-

6

−3 −2 −1−10 t

x′(t)


x′(t) = −p2(t + 2)


-

6

?

61

−1

−3 −2−1 0 t

x′′(t)


x′′(t) = −δ(t + 3) + δ(t + 1)

37

13)


-

6

¢¢¢¢

¢¢¢¢

¢¢¢¢ A

AAA

AAAA

AAAA

1

2

−2 −1 0 1 2 t

x(t)







38

13) Soluzione


x(t) = 2(t + 2)p1(t + 3/2)− 2(t− 2)p1(t− 3/2) =

= 2(t + 3/2)p1(t + 3/2) + p1(t + 3/2)− 2(t− 3/2)p1(t− 3/2)+

+p1(t− 3/2)


x(t) = 2(t + 2)u(t + 2)− 2(t + 1)u(t + 1)+

−2u(t + 1) + 2u(t− 1)+

−2(t− 1)u(t− 1) + 2(t− 2)u(t− 2)


X(ω) = 2 e 3 j ω/2 j ddω

2 sin(ω/2)ω + e 3 j ω/2 2 sin(ω/2)

ω +

−2 e−3 j ω/2 j ddω

2 sin(ω/2)ω + e−3 j ω/2 2 sin(ω/2)

ω =

= 2(

j ddω

2 sin(ω/2)ω

) (e 3 j ω/2 − e−3 j ω/2

)+

+(

2 sin(ω/2)ω

) (e 3 j ω/2 + e−3 j ω/2

)=

= 2 jω cos(ω/2)− 2 j sin(ω/2)ω2 2 j sin(3ω/2) + 2 sin(ω/2)

ω 2 cos(3ω/2) =

= −4 sin(3ω/2) cos(ω/2)ω + 8 sin(3ω/2) sin(ω/2)

ω2 +

+4 sin(ω/2) cos(3ω/2)ω =

= −4 sinωω + 4 cos ω − 4 cos(2ω)

ω2 =

= −4 sinωω + 4− 8 sin2(ω/2)− 4 + 8 sin2 ω

ω2 =

= 2

[(2 sinω

ω

)2

−(

2 sin(ω/2)ω

)2

− 2 sin ωω

]

39


X(s) = L[x(t)] = 2 1s2 e 2s − 2 1

s2 e s − 21s e s + 21

s e−s − 2 1s2 e−s + 2 1

s2 e−2s =

= 2 1s2 ( e 2s − e s − e−s + e−2s)− 21

s ( e s − e−s) =

= 2 1s2 (2 cosh(2s)− 2 cosh s)− 21

s (2 sinh s) =

= 2 1s2

(4 sinh2 s + 2− 4 sinh2(s/2)− 2

)− 1s (4 sinh s) =

= 2

[(2 sinh s

s

)2

−(

2 sinh(s/2)s

)2

− 2 sinh ss

]



-

6

?

61

2

−1

−2

−1 0−2 1 2 t

x′(t)


x′(t) = 2p1(t + 3/2)− 2δ(t + 1) + 2δ(t− 1)− 2p1(t− 3/2)

40

Esercizi Aperti Con Soluzioni 2008

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