Esercizi analisi uno

7/28/2019 Esercizi analisi uno

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Esercizi e Complementi diAnalisi 1

Donato Antonio Ciampa


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Indice

1 Insiemi, numeri reali e principio di induzione 21.1 Concetti base sugli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Operazioni sugli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Alcune nozioni di logica elementare . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Campi ordinati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 I numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Il valore assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3 Propriet`a delle potenze e dei logaritmi . . . . . . . . . . . 11

1.3 Sommatorie e coefficienti binomiali . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.1 La sommatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2 Il fattoriale di n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.3 Coefficienti binomiali e binomio di Newton . . . . . . . . 13

1.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.1 Insiemi ed estremi di un insieme . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.2 Il principio di induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Successioni e serie numeriche 25

2.1 Successioni numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.1 Limiti Notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.2 Tabella operativa dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Serie numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Funzioni 543.1 Funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.1.1 Potenze e radicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.1.2 Funzioni esponenziali e logaritmiche . . . . . . . . . . . . 563.1.3 Le funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.1.4 Archi associati. Relazioni tra funzioni trigonometriche . . 603.1.5 Formule trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.1.6 Funzioni trigonometriche inverse . . . . . . . . . . . . . . 633.1.7 Funzioni iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.1.8 Le funzioni iperboliche inverse . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.2 Propriet a delle funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.3 Domini delle funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.4 Esercizi sulle funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

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4 Limiti e continuita 85

4.1 Limiti di funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.1.1 Forme indeterminate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.1.2 Limiti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.1.3 Metodo del confronto locale . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.1.4 Asintoti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.1.5 Continuit a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2 Esercizi sui limiti di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5 Derivate e derivabilita 1165.1 Derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.1.1 Signicato geometrico. Retta tangente . . . . . . . . . . . 1165.1.2 Derivabilit a delle funzioni elementari . . . . . . . . . . . . 1175.1.3 Comportamento delle funzioni non derivabili . . . . . . . 1185.1.4 Derivate delle funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . 1195.1.5 Calcolo dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.2 Esercizi sulla derivazione delle funzioni di variabile reale . . . . . 1265.3 Derivabilit a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6 Studio di funzioni 1396.1 Determinazione della monotonia e della convessit a . . . . . . . . 139

6.1.1 Metodo del segno per determinare la monotonia . . . . . 1396.1.2 Metodo del segno per la convessit`a . . . . . . . . . . . . . 1406.1.3 Metodo delle derivate successive . . . . . . . . . . . . . . 1406.1.4 Monotonia e convessit`a delle funzioni elementari . . . . . 140

6.2 Lo studio di funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.3 Studio di funzioni di una variabile reale . . . . . . . . . . . . . . 143

7 Sviluppi di Taylor 2157.1 Determinazione degli sviluppi di Taylor . . . . . . . . . . . . . . 215

7.1.1 Funzione esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2157.1.2 Funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2157.1.3 Funzioni iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2167.1.4 Funzioni binomiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2177.1.5 Funzione logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2217.1.6 Funzioni trigonometriche inverse . . . . . . . . . . . . . . 2217.1.7 Funzioni iperboliche inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . 2237.1.8 Formula di Taylor e calcolo di limiti . . . . . . . . . . . . 224

7.2 Esercizi sugli sviluppi di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

8 Integrali in una variabile 2408.1 Integrali immediati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2408.2 Formule e metodi di integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

8.2.1 Integrazione per parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2418.2.2 Metodo di sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2428.2.3 Integrazione delle funzioni irrazionali . . . . . . . . . . . . 2438.2.4 Integrazione delle funzioni razionali fratte . . . . . . . . . 2508.2.5 Integrazione delle funzioni trigonometriche . . . . . . . . 2548.2.6 Integrale differenziale binomio . . . . . . . . . . . . . . . . 255

8.3 Eseercizi sugli integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

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8.3.1 Integrali indeniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

8.3.2 Integrali deniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3088.3.3 Integrali impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

9 Numeri complessi 3179.1 Esercizi sui numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

10 Equazioni differenziali 33210.1 Equazioni differenziali del primo ordine . . . . . . . . . . . . . . 332

10.1.1 Variabili separabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33210.1.2 Equazioni della forma y = f (ax + by), a ,b R. . . . . . 33210.1.3 Equazioni omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33310.1.4 Equazioni della forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33310.1.5 Equazioni della forma y + p(x) y = q (x). . . . . . . . . . 33410.1.6 Equazioni della forma y + p(x) y = q (x) y . . . . . . . 33510.1.7 Equazioni della forma x = f (y ). . . . . . . . . . . . . . . 33510.1.8 Equazioni della forma y = f (y ) . . . . . . . . . . . . . . . 33510.1.9 Equazioni della forma y = xy + f (y ) . . . . . . . . . . . . 33610.1.10 Equazioni della forma y = x f (y ) + g(y ). . . . . . . . . 33610.2 Equazioni del secondo ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33610.2.1 Equazioni della forma F (x, y , y ) = 0. . . . . . . . . . . . 33610.2.2 Equazioni della forma F (y, y , y ) = 0. . . . . . . . . . . . 33710.2.3 Equazioni della forma F (x,y,y , y ) = 0, omogenea in

y, y , y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33710.3 Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti

costanti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33710.3.1 Risoluzione dellequazione omogenea. . . . . . . . . . . . . 33810.3.2 Ricerca della soluzione particolare . . . . . . . . . . . . . 338

10.4 Esercizi sulle ODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34210.4.1 Equazioni differenziale del primo ordine . . . . . . . . . . 34210.4.2 Equazioni differenziali di ordine superiore al primo a co-

efficienti costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

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Capitolo 1

Insiemi, numeri reali eprincipio di induzione

1.1 Concetti base sugli insiemi

Il concetto di insieme e di tipo primitivo: ci` o vuol dire che la sua denizioneviene assunta a prescindere da altri concetti pi` u elementari.

Un insieme e una collezione di oggetti a priori non specicata. Denotiamoun insieme con le lettere maiuscole latine A,B,C, . Dato un insieme A, glioggetti che si trovano in A si chiamano elementi di A, e vengono elencati conlettere minuscole dellalfabeto latino. Se a e un elemento di A, scriveremo a A,mentre se a non e un elemento di A scriveremo a / A.Siano A, B due insiemi: se accade che tutti gli elementi di A si trovano anchein B e, viceversa, tutti gli elementi di B si trovano anche in A, diremo che gliinsiemi sono uguali e scriveremo

A = B.

Possiamo riscrivere questa condizione con il simbolismo matematico al modoseguente:

x (x A = x B ) e x(x B = x A).

Abbiamo introdotto i seguenti simboli logici:

si chiama quanticatore universale e si legge per ogni: sta ad in-dicare che le propriet`a elencate dopo di esso valgono per ogni elementonellinsieme in cui sono studiate;

si chiama implicazione logica e si legge se... allora: sta ad indicareche le proprieta che lo precedono implicano, per causalit logica, quelle chelo seguono.

Se accade che tutti gli elementi di A si trovano anche in B , allora diremoche A e incluso in B e scriveremo A B . In forma simbolica possiamo scrivereche

x (x A = x B ).

Diremo allora che A e un sottoinsieme di B .

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Se A e incluso in B , ma B contiene elementi che non si trovano in A, diremo

che A e incluso strettamente in B e scriveremo A B . In forma simbolica si hax (x A = x B ) e x B : x / A.

Abbiamo introdotto altri due simboli logici:

si chiama quanticatore esistenziale e si legge esiste: sta ad indicareche nellinsieme studiato ce almeno un elemento che soddisfa la propriet` aenunciata in seguito;

: che si legge tale che: sta ad indicare che gli elementi elencati che loprecedono soddisfano le propriet` a elencate che lo seguono.Teorema 1 Siano A e B due insiemi. Allora A = B se e solo se A B e

B A.Dimostrazione. Supponiamo che A = B : allora gli elementi dei due insiemisono gli stessi. Cio implica che A B e che B A, poiche ciascuno dei dueinsiemi contiene tutti gli elementi dellaltro.Viceversa, supponiamo che valgano le due inclusioni e ragioniamo per assurdo.Supponiamo che allora A = B : cio vuol dire che esiste almeno un elementoa A tale che a / B e che esiste almeno un lemento b B tale che b / A. Maallora ne A e incluso in B , ne B e incluso in A, cosa assurda visto che siamopartiti da tale ipotesi. Ne segue che deve essere necessariamente A = B . 2

Il Teorema 1 si dice Teorema della doppia inclusione . Esso costituisce unimportante risultato in quanto asserisce che, al ne di dimostrare luguaglianzatra due insiemi, e necessario e sufficiente far vedere che i due insiemi sono unoincluso nellaltro reciprocamente.

1.1.1 Operazioni sugli insiemi

Deniremo ora, in maniera formale, alcune operazioni tra insiemi. Innanzitutto,vediamo che possiamo denire un insieme in maniera analitica nel modo seguente

A = {x X : x soddisfa la propriet`a P}.Vediamo cosa signica la precedente scrittura:

(i) A e linsieme che si vuole denire;(ii ) X rappresenta un insieme grande, detto insieme Universo , allinterno

del quale si trovano gli elementi che vogliamo includere nellinsieme A (ed ingenerale A X );

(iii ) P indica una proprieta che tutti gli elementi x dellinsieme A devonosoddisfare.Ad esempio, se X = {1, 2, 3, . . . , 99, 100}e luniverso dei primi 100 numerinaturali, allora possiamo denire gli insiemi

A = {x X : x e pari },B = {x X : x e dispari },

C = {x X : x e multiplo di 5 },

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oppure se Y e linsieme di tutti gli studenti dellUniversit` a, possiamo denire

gli insiemi D = {x Y : x e donna },E = {x X : x e uno studente di ingegneria },

e cos via.A questo punto possiamo dare le seguenti denizioni.

Denizione 1 Siano A, B due insiemi nelluniverso X . Si chiama unione di A e B linsieme 1

A B = {x X : x A x B}. (1.1)e si chiama intersezione di A e B linsieme

A B = {x X : x A x B}. (1.2)Tali denizioni hanno senso quando, tra gli insiemi possibili, si consideranoanche tutto luniverso X e linsieme vuoto : tale insieme pu o essere pensatocome un contenitore allinterno del quale non vi sia nulla (e non come se fossenulla, errore abbastanza comune per altro!). In particolare, risulta che se A eB non hanno elementi in comune, allora A B = . Inoltre

A B = A = e B = ,cioe lunione di due insiemi e vuota se e solo se entrambi gli insiemi sono vuoti.Vale il seguente

Teorema 2 Siano A,B,C insiemi nelluniverso X . Allora 2

A B = B A, A B = B AA (B C ) = ( A B ) C, A (B C ) = ( A B ) C,A (B C ) = ( A B ) (A C ), A (B C ) = ( A B ) (A C )

A = A, A =A X = X, A X = A.

Consideriamo due insiemi A, B nelluniverso X . Deniamo la differenza traA e B come linsieme

A \ B = {x X : x A x / B}.Possiamo osservare che la differenza tra due insiemi non e commutativa: infatti,

se ad esempio A = {1, 2, 3, 4}e B = {3, 4, 5, 6}, alloraA \ B = {1, 2}, B \ A = {5, 6}.Consideriamo un insieme A in un universo X : A si dice sottoinsieme di X .

Linsieme

P (X ) = {A : A X },1 I connettivi logici e si dicono rispettivamente disgiunzione e congiunzione e sostitu-

iscono in linguaggio matematico le congiunzioni oed erispettivamente.2 Le proprieta della prima riga dicono che le operazioni di e sono commutative . La sec-onda riga riguarda la propriet` a assoiativa , la terza quella distributiva delluna rispetto allaltra,

la quarta il fatto che sia elemento neutro dellunione ed elemento assorbente dellintersezione,la quinta che X sia elemento assorbente dellunione ed elemento neutro dellintersezione.

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formato da tutti i sottoinsiemi di un insieme X si dice insieme delle parti di X .

Si osservi che tale insieme ha come elementi degli insiemi. In particolare e X appartengono a P (X ).Se X = {1, 2, 3}alloraP (X ) = { , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, X }.

Se indichiamo con |X | la cardinalit`a di X , cioe il numero di elementi che costi-tuiscono linsieme X , allora abbiamo il seguente teorema.Teorema 3 Sia X un insieme. Allora |P (X )| = 2 |X |.

Sia A un sottoinsieme nelluniverso X . Linsieme

Ac = X

\A

si dice complementare di A in X . In particolare se A P (X ) allora Ac P (X ).Si osservi poi che, per la stessa denizione,c = X, X c = .

Il seguente teorema e di fondamentale importanza in teoria degli insiemi.

Teorema 4 (Leggi di De Morgan) Sia X un insieme. Allora

(A B )c = Ac B c (1.3)(A B )c = Ac B c , (1.4)

per ogni A, B P (X ).Siano A e B due insiemi nelluniverso X . Si chiama prodotto cartesiano

linsiemeA B = {(a, b) : a A, b B}.

Se B = A si suole scrivere A2 al posto di A A. Vale il seguente teorema, chenon dimostriamo.Teorema 5 Siano A1 , B 1 ,A,B,C degli insiemi. Allora

A1 B1 A B A1 A e B1 B,

A (B C ) = ( A B ) (A C ),A (B C ) = ( A B ) (A C ),(A B ) C = ( A C ) (B C ),(A B ) C = ( A C ) (B C ).

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1.1.2 Alcune nozioni di logica elementare

Un linguaggio e una terna ( P , A, L) di tre strutture dette proposizioni, assiomi,leggi rispettivamente. Le proposizioni P costituiscono le frasi del linguaggio, gliassiomi Asono particolari frasi non deducibili da altre allinterno del linguaggiodato e le leggi Lsono le regole che permettono di combinare tra loro assiomi eproposizioni al ne di generare nuove frasi.Nelle varie branche della matematica, ognuna delle quali costituisce un lin-guaggio, vi sono proposizioni, assiomi e leggi diverse: ad esempio in GeometriaEuclidea e noto che gli assiomi pi` u comuni sono quelli di concetto di punto eretta, che una tipica proposizione sia il Teorema di Pitagora e che le regole sianoad esempio le leggi di congruenza o le leggi delle rette parallele.

In genere, in matematica le proposizioni si dividono in due classi distinte: leDenizioni , le quali servono appunto a denire gli oggetti argomento di studio

e gli Asserti , i quali si dividono a loro volta in Lemmi, Proposizioni, Teoremi,Corollari . Questi ultimi sono costituiti da due frasi: lipotesi I , che raccoglieuna serie di oggetti e propriet` a denite in partenza, e la tesi T , una frase chedetermina una ulteriore propriet` a di tali oggetti e che si può dedurre logica-mente dallipotesi attraverso la dimostrazione . La struttura formale di un as-serto risulta quindi la seguente

I = T, I T. (1.5)

Nel primo caso, il simbolo = di implicazione logica sta ad indicare che dalli-potesi I si puo pervenire, adoperando le leggi del linguaggio per costruire unadimostrazione, alla tesi T . Nel secondo caso, il simbolo di doppia impli-cazione , indica che le due frasi I e T sono tra loro logicamente equivalenti : ciovuol dire che non solo da I si puo pervenire a T , ma i ruoli di tali frasi puòessere scambiato cosicche T divenga lipotesi da cui si può dimostrare la tesi I 3 .Ma come si pu o ricavare, con passaggi logici, la tesi partendo da una ipotesi? Imetodi di dimostrazione sono i pi` u svariati e cambiano da argomento ad argo-mento. In generale, tuttavia, le dimostrazioni si suddividono in due grandi classi:

(i) dimostrazioni dirette : sono quelle nelle quali, utilizzando varie propriet` adegli oggetti in esame e partendo dalle propriet` a enunciate nelle ipotesi, at-traverso una catena di ragionamenti logici, si perviene direttamente alla tesi;

(ii ) dimostrazione per assurdo : si suppone che la tesi possa essere falsa e,attraverso una serie di procedimenti logici, si perviene ad un assurdo, ovvero adeterminare che lipotesi non possa essere correta. Dal momento che lipotesi

e una assunzione che facciamo liberamente, e che quindi non e soggetta a di-mostrazioni e risulta sempre vera, ci` o ci porta ad affermare che laver suppostofalsa la tesi e il motivo di tale assurdo e, quindi, la tesi deve essere vera.

Diamo una spiegazione logica della dimostrazione per assurdo. Supponiamodi voler dimostrare lasserto I = T per assurdo. Quindi assumiamo che T sia falsa: se cio accade, la negazione di T , che indichiamo con T , risulta vera.A questo punto, si applica una legge fondamentale dei linguaggi, detta dellacontroimplicazione

(I = T ) (T = I ). (1.6)3 Le due frasi in (1.5) vanno lette: se I allora T ; I se e solo se T .

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Tale legge afferma che se la frase I implica la T , allora e anche vero che la frase

T implica la I . Un esempio banale di questo fatto e il seguente asserto vero:Se Q e un quadrato allora i suoi lati sono uguali

la cui negazione

Se i lati non sono uguali allora Q non e un quadrato

e ancora unasserto vero.Utilizzando la (1.6), possiamo allora dedurre che il fatto che T sia vera deveimplicare necessariamente che anche I sia vera, ma allora I e falsa, ma ciò nonpuo essere in quanto I essendo la nostra ipotesi, deve essere necessariamentevera. Lassurdo, come si può facilmente vedere nasce dallaver supposto T falsa

e quindi si pu o concludere che T deve essere vera.Chiudiamo questa parte, elencando quali siano le negazioni di alcune propo-sizioni comuni:

[ p(x) e q (x)] = p(x) o q (x);[ p(x) o q (x)] = p(x) e q (x);

[ p(x)] = p(x);[ x vale p(x)] = x : vale p(x);

[ x : vale p(x)] = x : vale p(x);[ x ( p(x) = q (x))] = x : ( p(x) e q (x)) .

1.2 Campi ordinatiUna questione fondamentale quando si opera con gli insiemi numerici e quelladi denire le operazioni binarie 4 tra i suoi elementi.

Supponiamo note lesistenza delle seguenti due operazioni binarie in un in-sieme A:

laddizione + : A A A, (a, b) a + b; la moltiplicazione : A A A, (a, b) a b.Diremo che ( A, +) e un gruppo additivo abeliano se soddisfa la seguente

proprietà, detta proprietà R1 :

1. a, b A a + b = b + a (commutativa);

2. a,b,c A (a + b) + c = a + ( b + c) (associativa);

3. 0 A : a A a + 0 = a (elemento neutro);

4. a A a A : a + ( a) = 0 (opposto).4 Se A e un insieme, una operazione binaria su esso e una legge

: A A A, (a, b ) a bche ad ogni coppia di elementi ( a, b ) associa un nuovo elemento c = a b di A .

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Diremo che ( A, ) e un gruppo moltiplicativo abeliano se soddisfa la seguenteproprietà, detta proprietà R2 :

1. a, b A a b = b a (commutativa);2. a,b,c A (a b) c = a (b c) (associativa);3. 1 A : a A a 1 = a (elemento neutro);4. a A a1 A : a a1 = 1 (reciproco).Se linsieme A e dotato di entrambe le operazioni binarie, e se alla propriet` a

R2 aggiungiamo la seguente condizione

5. a,b,c A (a + b) c = a c + b c distributiva ,diremo che ( A, + , ) e un campo . Osserviamo allora che gli insiemi Q e R deinumeri razionali e reali sono entrambi campi. Questo fa intuire che la differenzatra questi due insiemi risiede in una qualche propriet` a di R che Q non possiede.

I numeri razionali (come anche i reali) possono essere disposti su di una retta:per fare ci o basta ssare un punto della retta come 0 dei razionali, un puntodistinto (alla sua destra) come 1 e procedere a segnare la posizione dei numeriinteri spostandosi di tanti segmenti della lunghezza del segmento 01 quanto ela quantità intera da indicare, a destra di zero per i positivi, a sinsitra per inegativi. Per segnare, invece, i numeri razionali, si pu` o osservare che ognuno diessi si ottiene come somma tra una frazione compresa tra 0 e 1 ed un numerointero: per determinare allora la posizione di 5 / 2 = 2 + 1 / 2 baster a ssare ilpunto 1 / 2 a met a tra 0 e 1 e poi spostarsi verso destra, a partire da esso, di duesegmenti pari al segmento 01.

Tale procedimento permette di ordinare tutti i numeri razionali sulla retta inuna successione dal pi u piccolo al piu grande. Tale ordinamento viene effettuatodalla relazione di la quale e una relazione dordine , cioe soddisfa le seguentiproprietà:

riessiva : a, a a; antisimmetrica : a,b, a b e b a = a = b; transitiva : a,b,c, a b, bc = a c.

Osserviamo poi che, presi comunque due numeri a, b e sempre possibile con-frontarli per mezzo della relazione : infatti, per qualsiasi coppia di numeridistinti possono presentarsi solo i due casi a

b oppure b

a e mai entrambi

(si avrebbe uguaglianza, altrimenti) e tale confronto si pu` o fare per qualsiasicoppia. Questo fatto si esprime dicendo che la relazione di minore o uguale unarelazione dordine totale .

Diciamo allora che un campo ( A, + , ) gode della proprietà R3 se su esso edenita la relazione dordine totale compatibile con le operazioni, e cioe: a,b,c se a b allora a + c b + c; a,b,c, c > 0, se a b allora a c b c.Un insieme si dice campo ordinato se soddisfa alle proprietà R1 , R 2 , R 3 . Se

ne deduce che sia Q che R sono ampi ordinati e che, quindi, la propriet` a R3 none ancora sufficiente a differenziare questi due insiemi.

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1.2.1 I numeri reali

Ritorniamo alla costruzione fatta (per via geometrica) dellinsieme Q e facciamola seguente considerazione: sul segmento 01 costruiamo il quadrato di latto 1 esia d la misura della sua diagonale. Possiamo riportare il segmento di lunghezzad sulla retta su cui abbiamo segnato tutti i numeri razionali e fare una scopertasorprendente: il numero corrispondente al valore esatto di d non appartiene airazionali! Dalla geometria Euclidea sappiamo che d = 2. Quello che vogliamodimostrare e il seguente fatto.

Proposizione 1 2 / Q.Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che 2 Q, cioe che esistano a, bprimi tra loro ( M.C.D (a, b) = 1) tali che 2 = a/b . Ne segue che a = 2b.Abbiamo allora, supponendo anche a, b entrambi positivi

a = 2b a2 = 2 b2 .Ora, lultima uguaglianza afferma che a2 e un numero pari. Ma ci` o vuol direche anche a e pari, poiche il quadrato di un numero dispari e dispari. Segueche esiste a1 tale che a = 2 a1 . Ma allora 4a21 = 2 b2 e quindi 2a21 = b2 . Questultima identit` a implica che, per lo stesso motivo precedente, anche b sia pari.Ma avevamo supposto che a, b sono primi fra loro, mentre abbiamo appenavisto che, essendo entrambi pari, devono avere almeno come divisore comune 2.Quindi siamo pervenuti ad un assurdo. Ne segue che il numero 2 non si puoscrivere come rapporto di due numeri interi e quindi non e razionale. 2

La precedente affermazione ci permette di dire che, in R, esistono numeri

non razionali. Ma ce di più: studiando la teoria, si e pervenuti ad enunciare ilLemma di Dedekind che, in questa sede, chiameremo proprietà R4 :

Ogni sottoinsieme E non vuoto limitato superiormente di un insieme uni-verso U ammette estremo superiore.

Che legame intercorre tra la proposizione pocanzi dimostrata e la propriet` aR4? Si consideri linsieme

E = {x : x2 < 2}.Ovviamente E si puo pensare come sottoinsieme di Q e R. Tuttavia, osserviamoche E =

{ 2 < x < 2

}(risolvendo la disequazione che lo caratterizza). Se

allora pensiamo ad E Q ci accorgiamo che esso, pur essendo limitato superi-ormente (ed inferiormente) non ha, in Q estremo superiore (inferiore) a causadel fatto che 2 / Q. Se invece si pensa E R ecco che invece il Lemma diDedekind (e quindi la propriet` a R4) ha il suo senso ed e valida! Ecco quindila proprietà necessaria a differenziare R da Q come campi ordinati. A questopunto possiamo denire R al modo seguente:

R e lunico campo ordinato su cui valgono le propriet` a R1 , R 2 , R 3R4 .

La proprietà R4 permette poi di denire particolari sottoinsiemi di R: gliintervalli . Se a, b R, a < b diamo le seguenti notazioni per identicare gli

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intervalli di R:

[a, b] ={x R : a x b},[a, b) = {x R : a x < b},(a, b] ={x R : a < x b},(a, b) = {x R : a < x < b },

[a, + ) = {x R : a x},(a, + ) = {x R : a < x },(, b] ={x R : x b},(, b) = {x R : x < b}.

1.2.2 Il valore assoluto

Sia a R. Si dice valore assoluto di a la quantit`a

|a| =a a 0a a < 0

Si osservi che |a| 0 per ogni a R. Inoltrea 0 |x| a a x a.

Questa ultima relazione pu` o essere scritta anche nella forma

|x| x |x|, |y| y |y|,per ogni coppia di numeri reali x, y . Sommando memebro a membro si ha

(|x|+ |y|) x + y |x|+ |y|,da cui la disuguaglianza triangolare

|x + y| |x|+ |y|, x, y R. (1.7)Se nella precedente poniamo x = a b, y = bc otteniamo la relazione equiv-alente

|a c| |a b|+ |bc|, a,b,c R. (1.8)Se invece poniamo (sempre nella disuguaglianza triangolare) x = a b, y = boppure x = ba, y = a si hanno le due relazioni

|a| |a b|+ |b| = | a| |b| |a b|,|b| |a b|+ |a| = | a| |b| |a b|,

e quindi

|a b| |a| |b| |a b|.Si ha quindi la relazione

|a| |b| |a b|, a, b R. (1.9)Elenchiamo le ulteriori propriet` a del valore assoluto:

|a b| = |a| |b|,ab

= |a||b|

, | a| = |a|.

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1.2.3 Proprieta delle potenze e dei logaritmi

Chiudiamo questa carrellata sulle propriet` a dei numeri reali dando uno schemadelle propriet`a delle potenze e dei logaritmi.

Sia a R e n N. Il numero an si dice potenza di grado n del numero a.Vediamo le principali propriet` a delle potenze:

(i) an am = an + m ;(ii ) an bn = ( ab)n ;(iii ) an : am = an m ;(iv) an : bn = ( a/b )n ;(v) (an )m = anm ;(vi) a0 = 1 , a 1 = a per ogni a = 0;(vii ) an = 1 /a n ;

per ogni a, b R, per ogni n, m N.

Se a > 0, a = 1 sia ax = y. Si dice allora che x e il logaritmo in base a di ye in simboli si scrive

x = log a y.

Si hanno le propriet`a

loga (xy) = log a x + log a y, x, y > 0;

logaxy

= log a x loga y, x, y > 0;loga (x

y ) = y loga x, x > 0, y R;loga x =

1logx a = log 1a x, x = 1;

loga x =logb xlogb a

, x > 0.

1.3 Sommatorie e coefficienti binomiali

1.3.1 La sommatoria

Spesso, in analisi, e comodo poter usare simboligie che abbrevino la scritturadi una formula. Una di queste simbologie e quella di sommatoria . Con talestrumento e possibile scrivere in maniera compatta la somma di un certo numerodi termini tutti fattiallo stesso modo. Scriviamo

n

i =1

a i = a1 + a2 + a3 + . . . + an 1 + an ,

per indicare la somma di n termini a i , dove a i si dice termine generale dellasomma. Tale termine e una qualche espressione algebrica in cui compare lindicei: ad esempio puo essere

a i = i, a i = i2 , ai = i + 2 , ai = 2 i ,e cos via.

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Osserviamo che, scambiando lindice i con un nuvo indice k, la sommatoria

risulta sempre uguale: si dice che lindice di sommazione e muto sottintendendoche la sua rappresentazione non implica cambiamenti nel valore della sommato-ria. Invece, se cambiamo lestremo superiore di somma n con m = n e ovvio chela somma cabiera valore in quanto addizioneremo tra loro un numero diverso dielementi generali.

Diamo, inne, le propriet` a principali della sommatoria:

prodotto per una costante n

i=1(c a i ) = c

n

i=1a i , c R;

somma ni=1

a i +n

i=1

bi =n

i=1

(a i + bi );

scomposizione n + mi=1

a i =n

i =1

a i +m

i= n +1

a i ;

traslazione di indici ni=1

a i =m + n

i= m +1

a im ;

riessione di indici n

i =1

a i =n

i=1

an

i +1 =n 1

i=0

an

i .

1.3.2 Il fattoriale di n

Unaltra espressione molto frequente in analisi e quella del fattoriale di n. Se ne un numero intero positivo il suo fattoriale e dato dalla seguente espressione:

n! = 1 2 3 . . . (n 1) n.Per denizione, si pone 0! = 1. Ecco alcune propriet` a:

n! = n (n 1)!,n!

(n k)!= n (n 1) (n 2) . . . (n k + 1) , 0 k n.

Quale interpretazione ha questo oggetto? Consideriamo linsieme A = {a,b,c}e ci chiediamo: in quanti modi diversi possiamo posizionare queste tre letterein successione? Vediamo che si hanno i seguenti casi:

abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Il numero di possibili casi e 6. Ma 3! = 1 2 3 = 6. Infatti osserviamo che sipuo ragionare cos: come prima posizione ho 3 possibilit` a di scelta; in secondaposizione ho allora 2 possibilit`a di scelta (una lettera e gi` a stata ssata); inne inultima posizione resta una sola scelta. Il prodotto di queste fornisce esattamenteil numero totale di casi.

Abbiamo dunque la seguente interpretazione: n! fornisce il numero di per-mutazioni di n oggetti.

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estremi:

A = {x R : |x| < 2x}B = {n N : n2 4n} (2, 2);C = x = ( 1)n

2nn + 1

R : n N

D = x R : x = n o x =1

n2, n N \ {0}

E = {x R : 1 < x 1 o x = 20}F = x R : 0 x < 1 o x =

2n 3n 1

, n N \ {0, 1}G =

{z R : z = xy, x,y R,

1

x

2,

3

y

1

}.

Soluzione. (1) Possiamo scrivere la condizione che determina linsieme Anel modo seguente:

x 0x < 2x ox < 0

x < 2xda cui

x 0x > 0 ox < 0x > 0

Il primo sistema ha soluzione x > 0, mentre il secondo risulta non avere soluzione.Ne segue che

A =

{x R : x > 0

}= (0 , +

),

e quindi e illimitato e inf A = 0.

(2) Poiche

n2 4n n(n 4) 0 0 n 4,segue che

B = {0, 1, 2, 3, 4} (2, 2) = ( 2, 2] {3, 4} (2, 4].B risulta quindi limitato e si ha

inf B =

2, sup B = max B = 4 .

(3) Poniamo an = ( 1)n 2nn +1 . Ora si ha

n = 2 h (pari) = a2h = ( 1)2h4h

2h + 1=

4h2h + 1 0,

n = 2 h + 1 (dispari) = a2h +1 = ( 1)2h +12(2h + 1)

2h + 2=

2h + 1h + 1

< 0.

Inoltre

|an | =2n

n + 1= 2

n + 1 1n + 1

= 2n + 1n + 1

1n + 1

= 2 1 1

n + 1 2,

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per ogni n 0. Ne segue che 2 |an | 2 e quindi che C [2, 2], per cui C e limitato. Osserviamo poi che

an +1an

=2(n + 1)

n + 2 n + 1

2n=

(n + 1) 2

n(n + 2)

=n2 + 2 n + 1

n2 + 2 n=

n2 + 2 nn2 + 2 n

+1

n2 + 2 n= 1 +

1n2 + 2 n

> 1,

per ogni n 1, e quindi |an +1 | > |an |, n 1. La successione dei valori |an |risulta quindi crescente e limitata: ne segue cheinf C = 2, sup C = 2 .

Osserviamo che questi due valori non sono minimo e massimo, in quanto nonesiste nessun valore di n per il quale si abbia an =

2 oppure an = 2.

(4) Possiamo scrivere

D = ( N \ {0}) D 1 , D1 =1

n2: n 1, n N \ {0} .

Poiche n 1, segue n2 1 e quindi 0 < 1/n 2 1, da cui D 1 (0, 1]. Ma alloraD (N \ {0}) (0, 1],

per cui D non e limitato superiormente e risulta inf D = 0 (dal momento che 0non appartiene a tale insieme).

(5) Osserviamo che

E = ( 1, 1] {20} (1, 20].Quindi E risulta limitato e si ha

inf E = 1, sup E = max E = 20 .(6) Possiamo scrivere

F = [0 , 1) F 1 , F 1 =2n 3n 1

: n N \ {0, 1} .Ora

2n 3n 1 = 2n 2 1n 1 = 2n 2n 1 1n 1 = 2 1n 1 .Osserviamo che

n 2 = n 1 1 = 0 0.In G1 il valore maggiore (in modulo) si ottiene moltiplicando tra loro gli estremisuperiori x = 2 , y = 3, per cui

maxz G 1 |z| = |2 (3)| = 6 .

Analogamente abbiamo che

maxz G 2 |z| = | 1 (3)| = 3 .

Ma allora

z G1 = 6 z 0,z G2 = 0 < z 3,e quindi G1 = [6, 0], G2 = (0 , 3] e quindi G = [6, 3]. G risulta quindi limitatoe si ha

inf G = min G = 6, sup G = max G = 3 .2

Esercizio 3 Determinare le caratteristiche del seguente insieme:

A =1

n: n N

\ {0

}(1, 2).

Soluzione. Indichiamo con

A0 =1n

: n N \ {0} .

Poich n 1 segue che 0 < 1n e quindi A0 (0, 1] da cuiA = A0 (1, 2) (0, 1] (1, 2) = (0 , 2),

e quindiinf A = 0 , sup A = 2 .

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Osserviamo ora che, se x Ac si hanno tre casi:

(i) x 0, (ii ) x 2, (iii ) x (0, 1) : x = 1n , n N \ {0}.Nel terzo caso, osserviamo che per ogni x esiste n 1 tale che

1n + 1

< x 2 sono esterni ad A. Infatti, se x0 < 0,posto

r = |x0 0|2

= |x0|2

= x02

> 0,

segue che, se x I (x0 , r ), allora

3x02

= x0 r < x < x 0 + r =x02

< 0,

per cui I (x0 , r )

A = . Allo stesso modo, se x0 > 2, posto

r = |x0 2|2

=x0 2

2=

x02 1 > 0,

segue che, se x I (x0 , r ), allora

2 0 si ha che lintorno I (0, r ) = ( r, r ) e taleche(r, r ) A = , (r, r ) Ac = .

Infatti, nel primo caso, se r > 1 allora ce sicuramente intersezione non vuotacon (1, 2) A. Se invece 0 < r < 1, allora

(r, r ) A = ( r, r ) A0 =1n

< r : n N \ {0} = .Nel secondo caso, invece, per ogni r > 0 ce intersezione non vuota tra ( r, r ) e(, 0] Ac . Ma allora risulta che x0 = 0 A A.Analogamente, se x0 = 2, allora per ogni r > 0 si ha che lintorno I (2, r ) =(2 r, 2 + r ) e tale che

(2 r, 2 + r ) A = , (2 r, 2 + r ) Ac = .

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Infatti per ogni r > 0, nel primo caso si ha sicuramente intersezione non vuota

con (1, 2) A, mentre, nel secondo caso, si ha intersezione non vuota con(2, + ) Ac . Ne segue che x0 = 2 A A.Se xn = 1 /n A si prenda un intorno qualsiasi I (xn , r ) di esso. Alloraovviamente

I (xn , r ) =1n r,

1n

+ r ,

e quindiA I (xn , r ) = {

1N

:1n r 0, 1/n + r < 2.Se prendiamo N N tale che

1N + 1

n1 nr

,

allora sicuramente I (xn , r ) AN = e quindi lintersezione dellintorno con Ace non vuota.Se x0 (1, 2) allora x0 A: infatti, preso

r = minx0 1

2,

2 x02

> 0,

allora, se y I (x0 , r ) si ha x0 r < y < x 0 + r da cuiy < x 0 + r x0 +

2 x02

=x0 + 2

2< 2,

y > x 0 r x0 x0 1

2=

x0 + 12

> 1,

per cui I (x0 , r ) (1, 2) A. Osserviamo, inoltre, che tali punti sono anche diaccumulazione, per cui x0 (1, 2) = x0 A A.Inne, se x0 (0, 1) e x0 = 1 /n, n N \ {0}allora sicuramente esisteN 1 tale che 1

N + 1< x 0 0 tale che1

N + 1< x 0 r, x 0 + r 0. (2.1)

limn +

an =

0 0 < |a| < 11 a = 1

+ a > 1a 1

(2.2)

limn +

n n = 1 , R. (2.3)

limn +

n

an=

+ 0 < a 1

1

a < 0

0 |a| > 1(2.4)

limn +

an

n=

0 1 a 1+ a > 1

a < 1(2.5)

limn +

an

n!= 0 , a R. (2.6)

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Prendendo allora come n0 il numero naturale immediatamente maggiore di asi ottiene la tesi.

2

Esercizio 6 Determinare i limiti delle seguenti successioni:

(1) 1 +1

3n

2n

, (2)2n 3n1 + 3 n

, (3) n n + n2

2n2 n3/ 2 + 1,

(4)1 + log n

n log n, (5) (1)n

nn2 + 1

, (6) 1 +kn

hn

, k, h R,

(7) n 2n + 3 n , (8) n + 3n + 1

n

, (9)n 1

n

n 2

,

(10) log(n + 1)log n

, (11) n + sin nlog n + cos n

, (12) n7

1n6 + 1 ,

(13)4n 2n4n + 2 n

, (14)n2 sin n + 3 n2

1 + n3, (15) [1 + ( 1)n ]n2 ,

(16) 3 (3 n)( n + 2)8n 2 , (17) n(n + 2)n + 1 n3n2 + 1 ,(18) n 2n + cos( n2), (19)

3n2 5n5n2 + 2 n 6

, (20) n3 + ( 1)n n2 ,

(21)2n 33n + 7

4

, (22)

n2 + n n.

Soluzione.

(1) limn +

1 +1

3n

2n

= limn +

1 +1

3n

33 2n

=

= limn +

1 +1

3n

3n 2/ 3

= e2/ 3 = 3 e2 .

(2) limn

+

2n 3n1 + 3 n

= limn

+

3n2n

3n 1

3n1

3n + 1

= limn

+

23

n

11

3n + 1

= 1.

(3) limn +

n n + n22n2 n3/ 2 + 1

= limn +

n2

2n2=

12

.

(4) limn +

1 + log n n log n

= limn +

log n1

log n+ 1

log n n

log n 1=

28


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(10) Si osservi che, per n tendente allinnito, landamento delle due succes-

sioni e lo stesso. Ne segue

limn +

log(n + 1)log n

= 1 .

(11) Le successioni sin n, cos n sono entrambe limitate e non ammettonolimite per n tendente allinnito. Tuttavia

limn +

n + sin nlog n + cos n

= limn +

nlog n

= + ,in quanto n cresce piu velocemente del logaritmo.

(12) Abbiamo

limn +

n7 1n6 + 1

= limn +

n7

n6= lim

n + n = +

(13) Abbiamo

limx+

4n 2n4n + 2 n

= limx+

22n 2n22n + 2 n

= limx+

22n (1 1/ 2n )22n (1 + 1 / 2n )

= 1 .

(14) Osserviamo che, posto an =n 2 sin n +3 n 2

1+ n 3

|n2 sin n + 3 n2| = n2 |sin n + 3 | = n2(|sin n|+ 3) 4n2 ,e quindi

4n2

n2 sin n + 3 n2

1 + n3 4n2

1 + n3.

Dal momento che

limn +

4n1 + n3

= limn +

4n2

n3= lim

n + 4n

= 0 ,

segue, dal teorema del confronto, che

limn +

n2 sin n + 3 n21 + n3

= 0 .

(15) Indichiamo con an = [1 + ( 1)n ]n2 : alloran = 2 h = a2h = [1 + ( 1)2h ](2h)2 = [1 + 1] 4h2 = 8 h2 0,

n = 2 h + 1 = a2h +1 = [1 + ( 1)2h +1 ](2h + 1) 2 = [1 1](2h + 1) 2 = 0 .Ma allora

limh+

a2h = + , limh+ a2h +1 = 0 ,

30


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e quindi il limite non esiste.

(16) Abbiamo

limn +

3 (3 n)( n + 2)8n 2 = limn + 3 6 + n n8n 2 == lim

n + 3 n8n = 3 18 = 12.

(17) Abbiamo

limn + n(n + 2)

n + 1 n3

n2 + 1 = limn + n2

n limn + n3

n = ,che e una forma indeterminata. Si osservi tuttavia che

limn +

n(n + 2)n + 1

n3

n2 + 1= lim

n + (n2 + 2 n)(n2 + 1) n3(n + 1)

(n + 1)( n2 + 1)=

= limn +

n4 + 2 n3 + n2 + 2 n n4 n3(n + 1)( n2 + 1)

= limn +

n3

n3= 1 .

(18) Poniamo an = n 2n + cos( n2). Allora, essendo cos( ) 1,an = n 2

n+ cos( n

2) n 2

n

1 + ,per n + . Segue che lim

n + an = + ,

per confronto.

(19) Abbiamo

limn +

3n2 5n5n2 + 2 n 6

= limn +

3n2

5n2=

35

.

(20) Abbiamo

limn +

(n3 + ( 1)n n2) = limn + n3 1 +

(1)nn

= limn +

n3 = + .

(21) Abbiamo

limn +

2n 33n + 7

4

= limn +

2n3n

4

=1681

.

31


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(22) Abbiamo

limn + n2 + n n = limn + n2 + n n n

2 + n + n n2 + n + n

= limn +

n2 + n n2 n2 + n + n = limn + n2 + n n2

n 1 + 1 /n + n = limn + n2n

=12

.

2.2 Serie numeriche

2.2.1 Esercizi

Esercizio 7 Determinare se convergono ed, in caso affermativo, calcolare la somma delle seguenti serie:

(1)

n =1

n(n + 1)!

, (2)

n =1

1n(n + 3)

, (3)

n =1

2n + 1n2(n + 1) 2

,

(4)

n =1

14n2 1

, (5)

n =1

1 n

1 n + 1 , (6)

n =1

1n(n + 1)( n + 2)

.

Soluzione. (1) Sia an = n/ (n + 1)! il termine generale della serie. Allora

limn +

n(n + 1)!

= limn +

n(n + 1) n(n 1)!

= limn +

1(n + 1)( n 1)!

= 0 .

Inoltre

limn + an +1an = limn +

n + 1(n + 2)! (n + 1)!n == lim

n + (n + 1)( n + 1)!

(n + 2)( n + 1)! n= lim

n + n + 1

n(n + 2)= 0 ,

per cui la serie converge per il criterio del rapporto. Possiamo scrivere

n(n + 1)!

=n + 1 1(n + 1)!

=n + 1

(n + 1)! 1

(n + 1)!=

1n!

1(n + 1)!

,

per cui la serie e telescopica. Ne segue che

S N =N

n =1

n(n + 1)!

=N

n =1

1n!

1(n + 1)!

= 1 12!

+12!

13!

+13!

14!

+ . . .

. . . +1

(N 1)! 1

N !+

1N !

1(N + 1)!

=1 1

(N + 1)!

e quindi

limN +

S N = 1 =

n =1

n(n + 1)!

= 1 .

32


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(2) Sia an = 1 / [n(n + 3)] il termine generale della serie. Allora

limn +

1n(n + 3)

= 0 .

Inoltre1

n(n + 3)1

n2,

per cui la serie converge per il criterio del confronto asintotico. Possiamo scrivere

1n(n + 3)

=An

+B

n + 3=

An + Bn + 3 An(n + 3)

da cui

A + B = 0 , 3A = 1 = A =

1

3 , B = 1

3 ,e quindi

1n(n + 3)

=13

1n

1n + 3

.

Ne segue che

S N =N

n =1

1n(n + 3)

=13

N

n =1

1n

1n + 3

=13

1 14

+12

15

+13

16

+14

17

+15

18

+ . . .

. . . +1

N 4 1

N 1 +1

N 3 1N +

1N 2

1N + 1

+1

N 1 1

N + 2+

1N

1N + 3

=13

1 +12

+13

1N + 1

1N + 2

1N + 3

e quindi

limN +

S N =13

1 +12

+13

=1118

=

n =1

1n(n + 3)

=1118

.

(3) Poiche

limn +

2n + 1n2(n + 1) 2

= limn +

2nn2 n2

= 0 ,

e che2n + 1

n2(n + 1) 22n

n2 n2=

2n3

,

la serie converge per il criterio del confronto asintotico. Osserviamo che

(n + 1) 2 = n2 + 2 n + 1 = 2n + 1 = ( n + 1) 2 n2 ,

33


37/378


38/378

(5) Osserviamo che

1 n

1 n + 1 =

n + 1 n n n + 1 n + 1 + n n + 1 + n =

n + 1 n n n + 1( n + 1 + n) =

=n + 1 n n n + 1( n + 1 + n)

1 n n 2 n

=1

2n3/ 2,

per cui la serie converge per il criterio del confronto asintotico. Ora la serie sipresenta gi`a in forma telescopica, per cui

S N =N

n =1

1 n

1 n + 1

= 1 1

2 +1

2 1

3 +1

3 1

4 + . . .. . . +

1 N 1

1 N +

1 N

1 N + 1

=1 1

N + 1e quindi

limN +

S N = 1 =

n =1

1 n

1 n + 1 = 1 .

(6) Indichiamo con an = 1 / [n(n + 1)( n + 2)] il termine generale. Poiche

an1

n n n=

1n3

,

la serie converge per il criterio del confronto asintotico. Abbiamo poi

an =An

+B

n + 1+

C n + 2

=A(n + 1)( n + 2) + Bn (n + 2) + Cn (n + 1)

n(n + 1)( n + 2),

da cuian =

(A + B + C )n2 + (3 A + 2 B + C )n + 2 An(n + 1)( n + 2)

,

e quindi

A + B + C = 0 , 3A + 2 B + C = 0 , 2A = 1 = A =12

, B = 1, C =12

.

Ne segue che

an =12

1n

2n + 1

+1

n + 2.

35


39/378

Si ha allora 1

S N =N

n =1

1n(n + 1)( n + 2)

=12

N

n =1

1n

2n + 1

+1

n + 2

=12

1 22

+13

+12

23

+14

+13

24

+15

+14

25

+16

+ . . .

. . . +1

N 3 2

N 2+

1N 1

+1

N 2 2

N 1+

1N

+1

N 1 2N

+1

N + 1+

1N

2N + 1

+1

N + 2

=12

12

2N + 1

+1

N + 2

e quindi

limN +

S N =14

=

n =1

1n(n + 1)( n + 2)

=14

.

2

Esercizio 8 Determinare il carattere delle seguenti serie

(1)

n =2

1log(1 + n)

, (2)

n =1

log nn4

, (3)

n =1log

n + 1n2

,

(4)

n =2

n + 2

n

2n , (5)

n =1log

1

n , (6)

n =1log

1

n3 ,

(7)

n =1

12log n

, (8)

n =1

12log( n !)

, (9)

n =132n cos(n ),

(10)

n =1

3n2

(n!)n, (11)

n =1

n43

6n, (12)

n =1

14n3n

,

(13)

n =1

23n + 2

3n

, (14)

n =2

1n log n , (15)

n =1

1n + 2

n

,

1 Possiamo calcolare la somma con le propriet` a delle sommatorie. Infatti si ha

S N =12

N

n =1

1n

2n + 1

+1

n + 2=

12

N

n =1

1n 2

N

n =1

1n + 1

+N

n =1

1n + 2

=12

N

n =1

1n 2

N +1

n =2

1n

+N +2

n =3

1n

=12

N

n =3

1n

+ 1 +12 2

N

n =3

1n 2

12 2

1N + 1

+N

n =3

1n

+1

N + 1+

1N + 2

=12

1 +12 1 2

1N + 1

+1

N + 1+

1N + 2

=12

12

1N + 1

+1

N + 2.

36


40/378

(16)

n =1

1

5nn + 2

n

n 2

, (17)

n =13n

n 2n

n 2

, (18)

n =1

nn

(2n)!,

(19)

n =1n 1 + 4n3 , (20) n =1 nn +

1n

n +1n

n .

Soluzione. (1) Sia an = [log( n + 1)] 1 > 0. Allora la serie converge o di-verge positivamente. Essendo lim

n + an = 0 non possiamo concludere niente sul

carattere. Tuttavia

n 2 = n + 1 3 = log(n + 1) < n + 1 = an >1

n + 1.

Ne segue che

n =2

1log(1 + n)

>

n =2

11 + n

=

n =3

1n

=

n =1

1n 1

12

,

che diverge, essendo lultima la serie armonica. Quindi la serie diverge perconfronto.

(2) Sia an = (log n)/n 4 0. Allora la serie converge o diverge positivamente.Essendo limn +

an = 0 non possiamo concludere niente sul carattere. Tuttavia,avendosi log n < n per ogni n 1, si ha pure

log nn4

< nn4

= 1n3

,

per cui

n =1

log nn4

0,

e quindi la serie converge o diverge positivamente. Essendo limn +

an = 0 nonpossiamo concludere niente sul carattere. Tuttavia, per quanto abbiamo scrittosopra si ha

an4

n 2 n=

2n3/ 2

,

e quindi la serie converge per il criterio del confronto asintotico essendo asintot-

ica alla serie armonica generalizzata di esponente = 3 / 2.

(5) Abbiamo

an = log1

n = log n1/ 2 =

12 log n 0, n 1,

per cui la serie converge o diverge negativamente. Essendo limn +

an = , laserie diverge negativamente.

(6) Abbiamo

an = log1

n3 = log n3/ 2

= 32 log n 0, n 1,

per cui la serie converge o diverge negativamente. Essendo limn +

an = , laserie diverge negativamente.

(7) Sia an = 1 / 2log n > 0, per cui la serie converge o diverge positivamente.Essendo lim

n + an = 0 non possiamo concludere niente sul carattere. Osservi-

amo che, per ogni , > 0 si ha log = log . Infatti, dallidentit` a x = elog xsi ha

a log = elog alog

= elog log = elog log

= log .

Ne segue che

n =1

12log n

= n =1

1n log 2

,

la quale diverge essendo una serie armonica generalizzata con esponente log 2 0, per cui la serie converge o diverge positiva-mente. Essendo lim

n + an = 0 non possiamo concludere niente sul carattere.

Osserviamo che, per ogni n 4 si ha n! n2 , da cuilog(n!) log n2 = 2 log n = 2log( n !) 22 log n = 4 log n =

12log( n !)

14log n

,

38


42/378

e quindi, procedendo come prima,

n =1

12log( n !)

n =1

14log n

=

n =1

1n log 4

,

la quale converge essendo una serie armonica generalizzata con esponente log 4 >1.

(9) Osserviamo che

cos(n ) = 1 n = 2 h

1 n = 2 h + 1= ( 1)n ,

per cuian = 3 2n cos(n ) = 9 n (1)n = ( 9)n ,

e quindi la serie risulta una serie geometrica di ragione q = 9 ed e, pertanto,indeterminata.(10) Sia an = 3 n

2/ (n!)n > 0, per cui la serie converge o diverge positiva-

mente. Applicando il criterio della radice risulta

limn +

n an = limn + n 3n 2(n!)n = limn + 3nn! = 0 ,

per cui la serie converge.

(11) Sia an = n43 / 6n > 0, per cui la serie converge o diverge positivamente.Avendosi

limn +

an +1an

= limn +

(n + 1) 43

6n +1 6n

n43= lim

n + 16

n + 1n

43

=16

,

la serie converge per il criterio del rapporto.

(12) Sia an =4n3n

1> 0 per cui la serie converge o diverge positiva-

mente. Si osservi che

an = 4n3n 1

= (4n)!(3n)!(4n 3n)! 1

= n! (3n)!(4n)! .Allora

an +1an

=(n + 1)! (3n + 3)!

(4n + 4)! (4n)!

n! (3n)!=

(n + 1) n! (3n + 3)(3 n + 2)(3 n + 1) (3n)!(4n + 4)(4 n + 3)(4 n + 2)(4 n + 1) (4n)!

(4n)!n! (3n)!

=(n + 1)(3 n + 3)(3 n + 2)(3 n + 1)

(4n + 4)(4 n + 3)(4 n + 2)(4 n + 1)

39


43/378

da cui

limn + an +1an = limn +

n

3n

3n

3n

4n 4n 4n 4n =27

256 < 1,

e quindi la serie converge per il criterio del rapporto.

(13) Sia an = 23n + 2

3n1

> 0 per cui la serie converge o diverge posi-

tivamente. Si osservi che

an = 23n + 2

3n1

= 2(3n + 2)!

(3n)!(3n + 2 3n)!1

=

= 2 2! (3n)!

(3n + 2)(3 n + 1)

(3n)!

=4

(3n + 2)(3 n + 1)4

9n2,

per cui la serie converge per confronto asintotico con la serie armonica general-izzata di esponente = 2.

(14) Si osservi che, per x > 1 si ha n x < x . Infatti, se y > 1 allorayn > y > 1 e, posto x = yn si ha la disuguaglianza cercata. Ne segue che

n 3 = log n > 1 = n log n < log n < n,da cui

1n log n >

1log n

>1n

, n 3.Ma allora

n =2

1n log n =

1 log2 +

n =3

1n log n >

1 log2 +

n =3

1n

=

n =1

1n

+1

log2 1 12

,

e quindi la serie diverge per confronto con la serie armonica che diverge.

(15) Poniamo an = ( n + 2) n > 0, per cui la serie converge o diverge positi-vamente. Essendo lim

n + an = 0 non possiamo concludere niente sul carattere.

Applicando il criterio della radice si ha

limn +

n an = limn + 1

n + 2= 0 ,

per cui la serie converge.

(16) Sia an = 15nn +2

nn 2 > 0, per cui la serie converge o diverge positiva-

mente. Poiche

limn +

n an = limn + 15

n + 2n

n

=15

limn +

1 +2n

n

=e2

5> 1,

la serie diverge per il criterio della radice.

40


44/378

(17) Sia an = 3 n n 2nn 2 > 0 per n 3, la serie converge o diverge positi-

vamente. Avendosi

limn +

n an = limn + 3n 2

n

n

= 3 limn +

1 2n

n

= 3 e2 < 1,

la serie converge per il criterio della radice.

(18) Posto an = nn / (2n)! > 0 la serie converge o diverge positivamente.Poiche

an +1an

=(n + 1) n +1

(2n + 2)! (2n)!

nn=

(n + 1) n (n + 1)(2n + 2)(2 n + 1) (2n)!

(2n)!nn

=

= n + 1n

n

n + 12(n + 1)(2 n + 1) = 1 + 1nn

12n + 1 ,si ha

limn +

an +1an

= e 0 = 0 ,la serie converge per il criterio del rapporto.

(19) Posto an = n 1 + 4n 3 > 0 la serie converge o diverge positivamente.Essendolim

n + an = limn + n2 + 4n2n3 = limn + n2 + 4n = + ,

la serie diverge.

(20) Posto an = nn +1n / (n + 1n )

n > 0 la serie converge o diverge positiva-mente. Poiche

limn +

an = limn + n n n1/n

nn 1 + 1n 2n = limn +

n n1 + 1n 2

n 21n

= limn +

1e

1n

= 1 ,

la serie diverge. 2

Esercizio 9 Determinare il carattere delle seguenti serie a termini di segnoalterno:

(1)

n =1

(1)nlog(n + 1)

, (2)

n =1(1)n

log nn4

, (3)

n =1(1)n log

n + 1n2

,

(4)

n =1(1)n log

1 n , (5)

n =0(1)n

n + 1n2 + 1

, (6)

n =1(1)n

n(2n + 1) 2

,

(7)

n =1

(1)nlog(n + 1) log n

, (8)

n =1(1)n tan

1n

, (9)

n =1

3n2

(n!)ncos(n ),

41


45/378

(10)

n =1(

1)n

n43

6n , (11)

n =1

(1)n3n + 23n

, (12)

n =1

n23

(2)n ,

(13)

n =1

sin(4n3)n(n + 1)

, (14)

n =2

(1)nn + ( 1)n

,

n =1(1)n

1n

+(1)n

n2.

Soluzione. (1) Sia an = ( 1)n [log(n + 1)] 1 > 0. Allora |an | = [log( n +1)]1 e si ha

n 2 = n + 1 3 = log(n + 1) < n + 1 = | an | >1

n + 1.

Ne segue che

n =2

1log(1 + n)

>

n =2

11 + n

=

n =3

1n

=

n =1

1n 1

12

,

che diverge, essendo lultima la serie armonica. Quindi la serie non convergeassolutamente.Se bn = [log( n + 1)] 1 allora lim n + bn = 0 ed essendo n + 1 < n + 2 si hapure

log(n + 1) < log(n + 2) =1

log(n + 1)>

1log(n + 2)

= bn +1 > b n ,

per cui i termini bn sono decresnti ed innitesimi e quindi la serie converge per

Leibniz.

(2) Sia an = ( 1)n (log n)/n 4 0. Allora

|an | =log nn4

tan1

n + 1,

per cui bn > bn +1 e quindi la successione dei bn e innitesima decrescente equindi la serie converge per Leibniz.

(9) Sia

an =3n

2

(n!)ncos(n ) = ( 1)n

3n2

(n!)n.

Alloralim

n + n

|an | = limn + 3n

n!= 0 ,

e quindi la serie converge assolutamente per il criterio della radice.

(10) Sia an = ( 1)n n43

6n . Allora

limn +

n |an | = limn + (n n)43

6=

16

,


(11) Sia an = (1)n

3n + 23n

. Allora

|an | =1

3n + 23n

=(3n)! 2!(3n + 2)!

=

=(3n)! 2!

(3n + 2)(3 n + 1) (3n)!=

2(3n + 2)(3 n + 2)

23n 3n

=2

9n2,

per cui la serei converge assolutamente essendo asintotica alla serie armonicageneralizzata di esponente = 2.

44


48/378

(12) Sia an = n23

(2) n = ( 1)n n 23

2n . Allora

limn +

n |an | = limn + (n n)23

2=

12

,


(13) Sia an = sin(4 n3 )

n (n +1) . La serie presenta termini di segno variabile (nonnecessariamente alterni). Tuttavia, essendo |sin | 1 per ogni R segueche

|an | = |sin(4n3)|n(n + 1)

1n(n + 1)

1n2

,

per cui la serie converge assolutamente per il criterio del confronto asintotico (o

anche per confronto con la serie di Mengoli).

(14) Sia an = (1)n

n +( 1) n . Allora

|an | =1

n + ( 1)n1n

,

e quindi la serie non converge assolutamente.Sia bn = 1n +( 1) n per cui limn +

bn = 0. Inoltre

bn +1 bn =1

n + 1 + ( 1)n +1 1

n + ( 1)n=

1n + 1 (1)n

1n + ( 1)n

=

=n + ( 1)n n 1 + ( 1)n(n + 1 (1)n )(n + ( 1)n )

=2 (1)n 1

(n + 1 (1)n )(n + ( 1)n ).

Ora, se n = 2 h =

b2h +1 b2h =2 (1)2h 1

(2h + 1 (1)2h )(2h + ( 1)2h )=

12h (2h + 1)

> 0,

mentre, se n = 2 h + 1 =

b2h +2 b2h +1 =2 (1)2h +1 1

(2h + 1 + 1 (1)2h +1 )(2h + 1 + ( 1)2h +1 )= 3

(2h + 3) 2h< 0,

per cui non possiamo applicare Leibniz.Tuttavia si osservi che

(1)nn + ( 1)n

= ( 1)n 1

n + ( 1)n n (1)nn (1)n

= ( 1)n n (1)n

n2 (1)2n=

= ( 1)n

n2 1 (1)nn2 1

=(1)n n

n2 1 1

n2 1.

Postocn =

nn2 1

, dn =1

n2 1,

45


49/378

osserviamo che la serie

n =2dn converge essendo asintotica alla serie armonica

generalizzata di esponente = 2. Per laltra, osserviamo che limn +

bn = 0 eche

cn +1 cn =n + 1

(n + 1) 2 1 n

n2 1=

n + 1n(n + 2)

n(n + 1)( n 1)

=

=(n + 1)( n2 1) n2(n + 2)

n(n 1)(n + 1)( n + 2)=

n3 n + n2 1 n3 2n2n(n 1)(n + 1)( n + 2)

=

= n2 n 1n(n 1)(n + 1)( n + 2)

= n2 + n + 1

n(n 1)(n + 1)( n + 2)< 0,

e quindi cn +1 < c n per cui la successione dei cn e innitesima decrescente e

quindi la serie n =2

(1)n cn converge per Leibniz. La somma delle due serie e,pertanto, convergente, ed avendosi

n =2(1)n cn

n =2dn =

n =2an ,

anche la serie originale converge e la sua somma e data dalle somme delle serieprecedenti.

(15) Sia an = ( 1)n 1n + (1)n

n 2 . Allora

|an | =1n

+(1)n

n2=

1n

1 +(1)n

n1n

,

e quindi la serie non converge assolutamente.Sia bn = 1n +

(1) nn 2 per cui limn + bn = 0. Inoltre

bn +1 bn =1

n + 1+

(1)n +1(n + 1) 2

1n

(1)nn2

=

=n n 1n(n + 1)

+(1)n +1 n2 (1)n (n + 1) 2

n2(n + 1) 2=

= 1n(n + 1) + ( 1)n +1 n2

+ ( n + 1)2

n2(n + 1) 2=

= 1

n(n + 1)+ ( 1)n +1

1(n + 1) 2

+1

n2.

Ora, se n = 2 h =

b2h +1 b2h = 1

2h(2h + 1)+ ( 1)2h +1

1(2h + 1) 2

+1

4h2=

= 1

2h(2h + 1) 1

(2h + 1) 2+

14h2

< 0,

46


50/378


51/378

=

m

n =1

1

2m 1+

m

n =1

1

(2n)2 = S

dm + S

pm .

Ora, S dm diverge a (serie armonica), mentre S pm converge (serie armonicageneralizzata di esponente = 2). Ne segue chelim

m + S 2m = limm +

S dm + S pm = .

Inoltre, se N = 2 m + 1 (dispari), allora

S 2m +1 = S 2m 1

2m + 1= lim

m + S 2m +1 = .

Ma allora, essendo

S N =S 2m N = 2 mS 2m +1 N = 2 m + 1

= limN +

S N = ,e quindi la serie diverge negativamente. 2

Esercizio 11 Determinare per quali valori del paramentro R le seguenti serie convergono:

(1)

n =1

cos2(n )n(n + 1)

, (2)

n =1

2 + sin nn

,

(3) n =1

nn + 1

n , (4) n =1

(1)n (tan )2n .

Soluzione. (1) La serie e a termini positivi, per cui converge o diverge positi-vamente. Poiche 0 cos2(n ) 1 per ogni n N, R, segue che

cos2(n )n(n + 1)

1n(n + 1)

1n2

,

e quindi la serie data converge per il criterio del confronto asintotico, per ogni R.

(2) La serie e a termini positivi. Infatti

1 sin n 1 = 1 sin n + 2 3,per cui la serie converge o diverge positivamente. Si ha inoltre

1n

2 + sin nn

3n

,

e, dal momento che la serie armonica generalizzata converge per > 1, segue,per il teorema del confronto, che la serie data converge per ogni > 1.

48


52/378

(3) Posto

an () =n

n + 1 n = an ( )

= 0 = 0

> 0 > 0

= ( 1)n n

n + 1 | |n < 0

Consideriamo allora = 0 (in tal caso la serie coincide con la serie nulla e quindiconverge). Poiche

|an | =n

n + 1 | |n | |n ,

segue che la serie converge assolutamente per confronto asintotico con la seriegeometrica di ragione

|

|e quindi per

|

|< 1.

Sia ora | | 1: la serie non converge assolutamente. Inoltre si ha

limn +

nn + 1

n = limn +

n =1 = 1+ > 1 1

Non essendo vericata la condizione necessaria per la convergenza della serie,segue che essa non converge per | | 1.

(4) La serie data e a termini di segno alterno. Tuttavia possiamo scrivere

an = ( 1)n (tan )2n = ( 1)n (tan 2 )n = ( tan 2 )n ,per cui la serie risulta una serie geometrica di ragione q = tan 2 . Essaconverge per

| tan 2 | < 1 = tan 2 < 1 = 1 < tan < 1,e quindi per

4

+ k < 0

Per la prima disequazione si ha

N : x2 6x + 3 > 0 x < 3 6, x > 3 + 6,D : x(x 6) > 0 x < 0, x > 6,

e quindi il graco

0 3 6 3 + 6 6+ + + ++ ++ + +

e quindi la soluzione

x < 0, 3 6 < x < 3 + 6, x > 6.Per la seconda disequazione si ha

N : x2 6x 3 > 0 x < 3 2 3, x > 3 + 2 3,D : x(x 6) > 0 x < 0, x > 6,

e quindi il graco

3 2 3 0 6 3 + 2 3+ ++ + + ++ + +


x < 3 2 3, 0 < x < 6, x > 3 + 2 3.Sovrapponendo le due soluzioni trovate, otteniamo la soluzione del sistema

x < 3 2 3, 3 6 < x < 3 + 6, x > 3 + 2 3,

50


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per cui si ha una serie geoemtrica di ragione q = (3 x)x e primo termine a1 =

(3x)x

. Essa converge se e solo se |q | < 1 e quindi se(3x)x < 1 x > 03x < 1

da cui la soluzione 0 < x < 1/ 3. Ne segue che la serie converge se e solo se

x 0,13

,

ed in tal caso si ha

S (x) =

n =1

[(3x)x ]n = (3 x)x 1

1

(3x)x

=(3x)x

1

(3x)x

.

(4) La serie data e una serie geometrica di ragione q = 11log |x | e primotermine a1 = 11log |x | . Essa converge se e solo se |q | < 1 e quindi se

11 log |x|

< 1 = 1 0

log |x|1 log |x|

< 0

Per la prima disequazione si ha

N : 2log |x| > 0 log |x| < 2 | x| < e 2 e2 < x < 0, 0 < x < e 2 ,D : 1log |x| > 0 log |x| < 1 | x| < e e < x < 0, 0 < x < e,e quindi la soluzione

x < e2 , e < x < 0, 0 < x < e, x > e 2 .Per la seconda disequazione si ha

N : log |x| > 0 | x| > 1 x < 1, x > 1,D : 1

log

|x

|> 0 log

|x

|< 1

|x

|< e

e < x < 0, 0 < x < e,


x < e, 1 < x < 0, 0 < x < 1, x > e.Sovrapponendo le due soluzioni si ha la soluzione del sistema

x < e2 , 1 < x < 0, 0 < x < 1, x > e 2 ,e quindi la serie converge se e solo se

x (, e2) (1, 0) (0, 1) (e2 , + ).

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Capitolo 3

Funzioni

3.1 Funzioni elementari

Facciamo qui un rapido richiamo delle principali funzioni e delle loro propriet` aalgebriche.

3.1.1 Potenze e radicali

Potenze

Sia a R e n N. Il numero an si dice potenza di grado n del numero a.Vediamo le principali propriet` a delle potenze:

an

am

= an + m

; (3.1)an bn =( ab)n ; (3.2)

an : am = an m ; (3.3)an : bn =( a/b )n ; (3.4)(an )m = anm ; (3.5)

an =1 /a n per ogni a, b R, per ogni n, m N; (3.6)a0 = 1 , a1 = a per ogni a = 0 . (3.7)

Radicali

Sia a R, n un numero naturale. Per radicale del radicando a di indice n si

intende il numero n a.Si osservi che, quando n e pari, e necessario che a 0, viceversa le radici di indicedispari si intendono per qualsiasi numero reale. Inoltre, nel caso pari parleremodi radice aritmetica di a quando la si sceglier a senza segno (o, per meglio dire,con segno positivo), mentre parleremo di radice algebrica di a intendendo quellacon segno positivo o negativo (ci`o e dovuto al fatto che un numero positivo e ilsuo opposto, elevati ad una potenza pari, danno lo stesso valore). Nel caso delleradici dispari, invece, il segno della radice sar` a concorde a quello del numero a.Utilizzeremo spesso anche la seguente notazione:

n a = a1/n . (3.8)

54


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Valgono allora le seguenti propriet` a per i radicali:

Somma Due radicali si possono sommare se e solo se hanno uguale indice euguale radicando. Prodotto Si ha

n a m b = nm am bn , (3.9)

o equivalentementea1/n b1/m = ( am bn )1/ (nm ) . (3.10)

Quoziente Si han a : m b = nm am : bn , (3.11)

o equivalentementea1/n : b1/m = ( am : bn )1/ (nm ) . (3.12)

Potenza Si ha( n a)m = n am , (3.13)

o equivalentemente(a1/n )m = am/n . (3.14)

Radice Si ham n a = nm a, (3.15)

o equivalentemente(a1/n )1/m = a1/ (nm ) . (3.16)

Razionalizzazione Quando un radicale si presenta al denominatore di unafrazione e conveniente razionalizzare tale espressione, i.e. rendere il denomina-tore un numero razionale. Nel seguito riportiamo alcuni casi importanti:

1n am =

n an ma

, m < n ; (3.17)

1 a b

= a b

a b; (3.18)

13 a

3 b =3 a2 3 ab + 3 b2

a b. (3.19)

Radicale doppio Consideriamo la radice della forma

a

b,

con la condizionea2 be un quadrato perfetto.

Allora vale la formula

a b = a + a2 b2 a a2 b2 . (3.20)

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3.1.2 Funzioni esponenziali e logaritmiche

Sia a un numero reale positivo e diverso da 1. La funzione

f : R R, f (x) = ax ,si dice funzione esponenziale . Il suo dominio coincide con tutto R, mentre lasua immagine coincide con R+ . Inoltre essa e crescente per a > 1 e decresenteper 0 < a < 1.Di seguito sono rappresentate le funzioni esponenziali 2 x e (1/ 2)x .

Si ricordano le propriet` a piu importanti della funzione esponenziale:

ax ay = ax + y ; ax : ay = axy ;(3.21)

(ax )y = axy ; ax bx = ( ab)x .Sotto le stesse ipotesi fatte in precedenza per a, si denisce la funzione

f : R R, f (x) = log a x,detta funzione logaritmo (in base a). Si osservi che, per denizione

y = log a x x = ay , (3.22)

da cui le due identit`a

y = log a ay , x = a log a x . (3.23)

Il dominio della funzione logaritmo e R+ , mentre il suo codominio e tutto R.Inoltre essa e crescente per a > 1 e decrescente per 0 < a < 1.Nel seguito sono rappresentate le funzioni logaritmiche log 2 x e log1/ 2 x.

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quella in gradi sessagesimali grad dalla relazione

rad =2360

grad .

La trigonometria e la branca della matematica che studia le relazioni inter-correnti tra i lati e gli angoli dei triangoli. Per poter denire delle formule chepermettano di calcolare, ad esempio, la lunghezza dei lati di un triangolo scalenouna volta noti i suoi angoli, e necessario introdurre delle particolari funzioni,dette funzioni trigonometriche , denite per ogni angolo espresso in radianti ea valori (in generale) nellinsieme dei numeri reali.

Per fare questo, sia C:= {(x, y ) R : x2 + y2 = 1}la circonferenza unitariadi centro il punto O(0, 0) e raggio r = 1, rappresentata in gura: T

EO x

y

5 5

5 5

5 5

5 5

5 5

5 Q(1, )

P (, )

H K

Lascissa a del punto P viene detta coseno dellangolo , lordinata b vienedetta seno dellangolo c, mentre lordinata del punto Q viene detta tangente dellangolo : in simboli

a = cos , b = sin , c = tan .

Nel seguito riportiamo i graci delle funzioni seno, coseno e tangente.

58


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Poiche P C, si ha a2 + b2 = 1, e quindicos2 + sin 2 = 1 , (3.28)

che e detta relazione fondamentale della trigonometria .Se consideriamo i triangoli OP H e OQH , essi risultano simili in quanto

hanno gli stessi angoli interni. Ne segue che

KQ : P H = OK : OH.

Ma

KQ = c = tan , P H = b = sin , OK = 1 , OH = a = cos ,

e quinditan sin

=1

cos ,

da cui la relazionetan =

sin cos

. (3.29)

Si deniscono poi le funzioni cosecante , secante , cotangente di al modo seguente

csc =1

sin , sec =

1cos

, cot =1

tan =

cos sin

.

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Le funzioni trigonometriche godono di alcune propriet` a fondamentali che

possiamo riassumere nella seguente tabella:

sin x cos x tan x

Dominio R R R \2

+ k, k Z

Periodicit`a T = 2 T = 2 T =

Dominio

ristretto [ , ] [, ] 2 ,

2

Simmetrie Dispari Pari Dispari

E inoltre immediato vericare che

sin 0 = 0 , sin2

= 1 , sin = 0 , sin32

= 1,

sin6

=12

, sin4

= 22

, sin3

= 32

,

cos0 = 1, cos2

= 0 , cos = 1, cos32

= 0 ,

cos6

= 32

, cos4

= 22

, cos3

=12

.

3.1.4 Archi associati. Relazioni tra funzioni trigonometri-che

Si dicono archi associati due angoli la cui somma o differenza e un angolo note-vole. In particolare, se x, y sono i due archi, essi si dicono:

(1) complementari se x + y = / 2;(2) supplementari se x + y = ;(3) esplementari se x + y = 2 .

Valgono le seguenti relazioni per gli archi associati:

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Espressione in funzione di t = tan( x/ 2)

sin x =2t

1 + t2; (3.45)

cos x =1 t21 + t2

; (3.46)

tan x =2t

1 t2. (3.47)

Formule di prostaferesi

sin x + sin y =2sinx + y

2 cosx

y

2 ; (3.48)

sin x sin y =2sinx y

2cos

x + y2

; (3.49)

cos x + cos y =2cosx + y

2cos

x y2

; (3.50)

cos x cos y = 2sinx + y

2sin

x y2

; (3.51)

tan x tan y =sin(x y)cos x cos y

. (3.52)

Formule di Werner

sin x sin y =12

[cos(x y) cos(x + y)] ; (3.53)sin x cos y =

12

[sin(x + y) + sin( x y)] ; (3.54)cos x cos y =

12

[cos(x + y) + cos( x y)] . (3.55)

3.1.6 Funzioni trigonometriche inverse

Se consideriamo la funzione sin x ristretta al solo dominio [ / 2, / 2], ci accor-giamo che su tali valori la funzione seno assume tutti i valori compresi tra 1 e1 una ed una sola volta. Ne segue che la funzione

sin : 2

,2 [1, 1],

risulta biettiva e quindi invertibile. La funzione

arcsin : [1, 1] 2

,2

,

e detta arco seno di x, e la funzione inversa della funzione seno ed e denita da

y = arcsin x x = sin y.

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3.1.8 Le funzioni iperboliche inverse

Come per le funzioni trigonometriche, anche quelle iperboliche hanno le loroinverse. Esse vengono dette settori iperbolici e di seguito ne diamo le espressionianalitiche e i graci.

Settore seno iperbolico

La funzionesett sinh : R R, (3.60)

denita day = settsinh x x = sinh y (3.61)

si dice funzione settore seno iperbolico . Per una sua espressione analitica, po-niamo

x = ey ey2 = e

2y 2xey 1 = 0 .Posto t = ey , abbiamo lequazione t2 2xt 1 = 0 le cui soluzioni sono

t =2x 4x2 + 4

2= x x2 + 1 .

Ricordando che t = ey > 0, segue che va presa solo la soluzione con il segno +,per cui la funzione settore seno iperbolico si esprime come

y = settsinh x = log x + x2 + 1 . (3.62)Settore coseno iperbolicoLa funzione

sett cosh : [1 , + ) R, (3.63)denita da

y = sett cosh x x = cosh y (3.64)

si dice funzione settore coseno iperbolico . Per una sua espressione analitica,poniamo

x =ey + ey

2= e2y 2xey + 1 = 0 .

Posto t = ey , abbiamo lequazione t2 2xt + 1 = 0 le cui soluzioni sono

t =2x 4x2 4

2= x x2 1.

Ricordando che t = ey > 0, segue che va presa solo la soluzione con il segno +,per cui la funzione settore coseno iperbolico si esprime come

y = sett cosh x = log x + x2 1 . (3.65)

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Settore tangente iperbolica

La funzionesett tanh : ( 1, 1) R, (3.66)

denita day = sett tanh x x = tanh y (3.67)

si dice funzione settore tangente iperbolica . Per una sua espressione analitica,poniamo

x =e2y 1e2y + 1

= (x 1)e2y + ( x + 1) = 0 .Posto t = ey , abbiamo lequazione ( x 1)t2 + ( x + 1) = 0 le cui soluzioni sono

t =

x + 1

1 x.

Ricordando che t = ey > 0, segue che va presa solo la soluzione con il segno +,per cui la funzione settore tangente iperbolica si esprime come

y = sett tanh x =12 log

x + 11 x

. (3.68)

I graci delle funzioni iperboliche inverse sono riportati di seguito.

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Inne consideriamo il caso = n, con n N. Allora f (x) = xn = 1 /x ne quindi:se n = 2 k, Dom (f ) = R \ {0}, Im (f ) = R+ , la funzione e pari;se n = 2 k + 1, Dom (f ) = R \ {0}, Im (f ) = R \ {0}, la funzione e dispari.Di seguito i graci per le funzioni 1 /x 2 , 1/x 4 , 1/x 6 e 1/x, 1/x 3 , 1/x 5 .

2) Funzioni polinomiali e razionali Una funzione polinomiale e della forma

f (x) =n

k =0

ak xk = a0 + a1x + . . . + an xn , ak R.

Il suo dominio e tutto R.Una funzione razionale fratta e della forma

f (x) =P (x)Q(x)

,

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con P, Q funzioni polinomiali. Il suo dominio e

Dom (f ) = R \ {x R : Q(x) = 0 }.

3) Funzione valore assolutoLa funzione valore assoluto e denita nel modo seguente:

f (x) = |x| =x x 0

x x < 0e si ha per essa: Dom (f ) = R, Im (f ) = R+ {0}, la funzione e pari, decrescenteper x < 0, crescente per x 0.

Di seguito il graco per la funzione |x|.

4) Funzione segnoLa funzione segno di x si denisce come

f (x) = sign( x) =

1 x < 00 x = 0

1 x > 0

e si ha per essa: Dom (f ) = R, Im (f ) = {1, 0, 1}, la funzione e dispari ecostante su R e R+ .Di seguito il graco per la funzione sign( x).

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5) Funzioni trigonometriche

La funzione seno, f (x) = sin x ha Dom (f ) = R, Im (f ) = [ 1, 1], e dispa-ri, ha periodo T = 2 , e positiva per x (0, ), negativa per x (, 2)e si annulla nei punti x = 0 , x = , x = 2 .

La funzione coseno , f (x) = cos x ha Dom (f ) = R, Im (f ) = [1, 1], epari, ha periodo T = 2 , e positiva per x [0, / 2) (2/ 2, 2], negativaper x (/ 2, 3/ 2) e si annulla nei punti x = / 2, x = 3 / 2.

La funzione tangente , f (x) = tan x ha Dom (f ) = R \ {/ 2 + k,k Z},Im (f ) = R, e dispari, ha periodo T = , e positiva per x (0, / 2),negativa per x (/ 2, ) e si annulla nei punti x = 0 , x = .

Di seguito i graci delle funzioni trigonometriche seno, coseno e tangente.

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6) Funzoni trigonometriche inverse

La funzione f (x) = arcsin x, arcoseno , ha Dom (f ) = [1, 1] e Imf =[/ 2, / 2], e dispari, positiva per x (0, 1), negativa per x (1, 0) esi annulla in x = 0.

La funzione f (x) = arccos x, arcocoseno , ha Dom (f ) = [1, 1] e Imf =[0, ], positiva per x [1, 1) e si annulla in x = 1.

La funzione f (x) = arctan x, arcotangente , ha Dom (f ) = R e Imf =[/ 2, / 2], e dispari, positiva per x (0, + ), negativa per x (, 0)e si annulla in x = 0.

Di seguito i graci delle funzioni trigonometriche inverse arcoseno, arco-coseno e arcotangente.

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9) Funzioni iperboliche

La funzione seno iperbolico , f (x) = sinh x, ha Dom (f ) = R, Im (f ) =(, + ), e dispari, positiva per x (0, + ), negativa per x (, 0)e si annulla in x = 0.

La funzione coseno iperbolico , f (x) = cosh x, ha Dom (f ) = R, Im (f ) =[1, + ), e pari, sempre positiva e non si annulla mai.

La funzione tangente iperbolica , f (x) = tanh x, ha Dom (f ) = R, Im (f ) =(1, 1), e dispari, positiva per x (0, + ), negativa per x (, 0) e siannulla in x = 0.Di seguito i graci delle funzioni seno, coseno e tangente iperbolici.

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10) Funzioni iperboliche inverse

La funzione settore seno iperbolico , f (x) = settsinh x = log( x + 1 + x2),ha Dom (f ) = R, Im (f ) = R, e dispari, positiva per x (0, + ), negativaper x (, 0) e si annulla in x = 0.

La funzione settore coseno iperbolico , f (x) = sett cosh x = log( x+ x2 1),ha Dom (f ) = [1 , + ), Im (f ) = [0 , + ), sempre positiva e si annulla inx = 1.

La funzione settore tangente iperbolica , f (x) = setttanh x = 12 log[(1 +x)/ (1 x)], ha Dom (f ) = ( 1, 1), Im (f ) = R, e dispari, positiva perx (0, + ), negativa per x (, 0) e si annulla in x = 0.Di seguito i graci delle funzioni iperboliche inverse.

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3.3 Domini delle funzioni

Di seguito riportiamo i metodi pratici per determinare i domini delle funzioni.Si osservi che, quando si deve determinare il dominio di una funzione composta,e necessario procedere determinando via via i domini delle funzioni dalla pi` uinterna no alla pi`u esterna e mettere tutto a sistema. Ad esempio, se la funzionee

f (x) = log arcsin[g(x)],bisogna imporre (come si pu`o dedurre dalle regole riportate di seguito)g(x)

1

g(x) 1arcsin[g(x)] > 0log arcsin[g(x)] 0

(1) Le funzioni polinomiali hanno dominio coincidente con tutto lasse reale.

(2) Per le funzioni razionali fratte f (x) = P (x)/Q (x) si pone

Q(x) = 0 . (3.69)

(3) Per le funzioni irrazionali di indice dispari f (x) = 2 n +1 g(x) ci si ri-conduce alla determinazione del dominio della funzione g(x). Per le funzioniirrazionali di indice pari f (x) = 2 n

g(x) si impone la condizione

g(x) 0. (3.70)(4) Le funzioni trigonometriche f (x) = sin[ g(x)], f (x) = cos[g(x)] hanno do-

minio coincidente con quello della funzione g(x). Per la funzione trigonometricaf (x) = tan[ g(x)] bisogna invece imporre la condizione

g(x) =2

+ k, k Z. (3.71)

(5) Per le funzioni trigonometriche inverse f (x) = arcsin[ g(x)], f (x) =arccos[g(x)] va imposta la condizione

g(x) 1g(x) 1(3.72)

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mentre la funzione f (x) = arctan[ g(x)] ha dominio coincidente con quello della

funzione g(x).(6) Per la funzione esponenziale f (x) = eg(x ) il dominio coincide con quello

della funzione g(x). Per la funzione esponenziale f (x) = [h(x)]g (x ) si impone lacondizione

h(x) > 0, (3.73)

oltre alla ricerca dei punti in cui e denita la funzione g(x).

(7) Per la funzione logaritmo f (x) = log a g(x) si impone la condizione

g(x) > 0, (3.74)

mentre per la funzione logaritmo f (x) = log g(x ) [h(x)] si impone il sistema

g(x) > 0h(x) > 0 (3.75)

(8) Le funzioni iperboliche f (x) = sinh[ g(x)], f (x) = cosh[ g(x)], f (x) =tanh[ g(x)] hanno dominio coincidente con quello della funzione g(x).

(9) La funzione iperbolica inversa f (x) = settsinh[ g(x)] ha dominio co-incidente con quello della funzione g(x). Per la funzione iperbolica inversaf (x) = sett cosh[ g(x)] bisogna imporre la condizione

g(x) 1. (3.76)Per la funzione iperbolica inversa f (x) = sett tanh[ g(x)] si impone la condizione

g(x) > 1g(x) < 1 (3.77)

3.4 Esercizi sulle funzioni elementari

Esercizio 13 Sia f (x) una funzione lineare. Determinare tale funzione sapendoche

f (1) = 2 , f (2) = 3.Soluzione. Una funzione lineare ha la forma f (x) = ax + b, con a, b R. Allorasi ha

a + b = 2

2a + b = 3b = 2 + a3a + 2 = 3

la cui soluzione e a = 5/ 3, b = 1 / 3, e quindi la funzione cercata ef (x) =

53

x +13

.

2

Esercizio 14 Determinare una funzione razionale intera f (x) del secondo grado,tale che

f (0) = 1 , f (1) = 0 , f (3) = 5 .

77


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Soluzione. Cerchiamo una funzione della forma

f (x) = ax 2 + bx + c, a, b, c R.

Abbiamo

c = 1a + b + c = 09a + 3 b + c = 5

c = 1a + b + 1 = 09a + 3 b4 = 0

c = 1b = a 16a 7 = 0

la cui soluzione e a = 7 / 6, b = 13/ 6, c = 1, e quindi la funzione cercata ef (x) =

76

x2 136

x + 1 .

2

Esercizio 15 Ricorrendo al segno di valore assoluto, esprimere la funzione

f (x) = 0 x 0x x > 0mediante una sola formula.

Soluzione. Si osservi che, se x 0, abbiamo0 = x x = x + |x|,

per denizione di valore assoluto. Daltra parte, se x > 0, si ha

x =12

(x + x) =12

(x + |x|).Ne segue lespressione cercata per f :

f (x) =12

(x + |x|).2

Esercizio 16 Determinare il dominio delle seguenti funzioni:

a) y = x + 1 , b) y = x2 2,c) y = x +

1 2 + x , d) y = log

2 + x2 x

,

e) y = arccos2x

1 + x, f ) y = sin2x,

g) y = x + 1 1 x2 , h) y = (2 2x 2x +2 + 3) 1/x 2 .78


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Soluzione. a) La funzione e denita per

x + 1 0 x 1,per cui Dom (f ) = [1, + ).

b) La funzione e denita per

x2 2 0 x 2 e x 2,per cui Dom (f ) = ( , 2] [ 2, + ).

c) La funzione e denita per

x 0x + 2 > 0x 0x >

2 ,

per cui Dom (f ) = ( 2, 0].d) La funzione e denita per

2 + x2 x

> 0.

Ora si ha, per il numeratore

2 + x > 0 x > 2mentre per il denominatore

2

x > 0 x < 2.

Ne segue che

q2 q2 + + ++ +

e quindi Dom (f ) = ( , 2) (2, + ).e) La funzione arccos e denita sullintervallo [ 1, 1]. Allora

1 2x

x + 1 12x

x + 1+ 1 0

2xx + 1 1 0

3x + 1x + 1 0x 1x + 1 0

.

Per la prima disequazione abbiamo:numeratore: 3 x + 1 0 x 1/ 3,denominatore: x + 1 > 0 x > 1,quindi

79


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q

1

q

1/ 3

b

+ + ++ +

da cui la soluzione della prima disequazione: A = ( , 1) [1/ 3, + ).Per la seconda disequazione abbiamo:numeratore: x 1 0 x 1,denominatore: x + 1 > 0 x > 1,quindi

q1 q1

b

+ + ++ +

da cui la soluzione della seconda disequazione: B = ( 1, 1]. Ne deduciamo cheDom (f ) = A B = [1/ 3, 1].f ) Abbiamo, restringendo lintervallo di denizione a [ , ],

sin2x 0 0 2x .A causa della periodicit`a, si ha poi

2k 2x (2k + 1) k x / 2 + k, k Z,e quindi: Dom (f ) =

k Zk,

2

+ k .

g) Abbiamo

x + 1 1 x2 0 1 x

2 x + 1 ,e quindi il sistema

x + 1 01 x2 01 x2 x2 + 2 x + 1x 1x2 1 02x2 + 2 x 0

x 11 x 1x 1, x 0

da cui

80


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q

1

q1

q0

b

b b

b b

e quindi il dominio risulta Dom (f ) = [0 , 1].

h) Essendo la funzione esponenziale, dobbiamo porre

22x

4

2x + 3 > 0, x = 0 .

Posto t = 2 x abbiamo la disequazione

t2 4t + 3 > 0 t1,2 =4 16 12

2t1 = 1 , t 2 = 3 ,


t < 1, t > 3 2x < 1, 2x > 3 x < 0, x > log2 3.

Quindi: Dom (f ) = ( , 0) (log2 3, + ). 2

Esercizio 17 Determinare quali delle seguenti funzioni sono pari o dispari:

a) f (x) =12

(ax + ax ); b) f (x) = 1 + x + x2 1 x + x2 ;c) f (x) = 3 (x + 1) 2 + 3 (x 1)2 ; d) f (x) = log 1 + x1 x ;

e) f (x) = log x + 1 + x2 .Soluzione. a) Abbiamo

f (x) =12

(ax + ax ) = f (x),

per

Esercizi analisi uno

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