Analisi Matematica I (Fisica e Astronomia)

Esercizi di ricapitolazione

Universita di Padova - Lauree in Fisica ed Astronomia - A.A. 2013/14

lunedı 23 dicembre 2013

Questi esercizi sono proposti come ricapitolazione di quanto svolto finora nel corso. Le soluzioni appariranno lunedı 30/12.

1. (a) Descrivere ciascuno dei seguenti sottoinsiemi di R, dire se e superiormente/inferiormentelimitato e determinarne sup/inf (in R e eR) e max/min in R; dire se e aperto e/o chiuso,compatto, discreto; in quali sovrainsiemi e denso; di quali punti di eR e intorno; quali puntidi R e di eR sono interni, di aderenza, di accumulazione, isolati, di frontiera.

(i) A = {x 2 R : 2 sin 2x � 1} \ {x 2 Q : 2|x| 3� x} ;(ii) B = ({x 2 R :

p|x+ 2| � x} \Q

<0

) [ {ex : | log x| > 1} ;(iii) C

↵

= {en : n 2 Z} [ {x 2 R : x2 � 2↵x < 1� ↵

2} (al variare di ↵ 2 R) .

(b) Sia g : R ! R la funzione g(x) =p5e2x + 1 � 2ex. Calcolare segno e limiti interessanti

di g, trovandone la parte principale in tali punti secondo un’opportuna scala di confronto.Calcolare g

�1([12

, 2[). Calcolare la fibra g

�1(y) per ogni y 2 R, e dedurne se g e iniettivae/o suriettiva, la sua immagine e g([�1, 1]). Eventualmente restringendo e corestringendoopportunamente g, calcolarne la funzione inversa.

2. (a) Sia x

n

2 R una successione di numeri reali, e si supponga che essa abbia limite ` 2 eR. Allora,detto X := {x

n

: n 2 N} (l’insieme degli elementi della successione), e vero che ` e sempreun punto interno (risp. di frontiera, di accumulazione, di chiusura) per X? E l’insieme X esempre aperto (risp. chiuso) in R? E in eR? E limitato in R?

(b) Determinare (se esiste, eventualmente in piu modi e al variare di ↵ 2 R) il limite delleseguenti successioni, usando tecniche e risultati appresi per le successioni (confronto conmaggiorazioni e minorazioni, carabinieri, criterio del rapporto...) ed evitando di usare tec-niche di variabile reale (come cambio di variabile, trascurabilita, asintoticita...)

(i)2n� n

↵

3n2 � 5 cosn; (ii) (1+(�1)n)↵n ; (iii)

10n � 3n2

↵n! � 32n�1

; (iv)n

rn+

1

n

�✓

↵n

↵n� 1

◆2n

.

3. (a) Determinare gli sviluppi asintotici (nella scala delle potenze reali, con eventuale aggiunta dellogaritmo e/o dell’esponenziale) delle seguenti funzioni, con almeno tre termini significativi:

(i) x

2(sinx� 1) , e

2x�1 , 2

x(x+1)

, (x+ 2)pcosx , e

2x

log x

in 0 ;

(ii) sin(|x|� 1) , log(3x+ 5) , 1p|x| �1

in �1 ;

(iii)px� x�1p

x+1

, arctg 2x ,(1) e

1

2x + 2px

3 � 2x , x sinh 2x in +1 .

(1)Suggerimento: usare l’identita arctg t+ arctg

1

t

=

⇡

2

(valida per ogni t > 0), e lo sviluppo di arctg u attorno u = 0.

1

(b) Calcolare i seguenti limiti nei punti indicati, al variare di ↵ 2 R.

(i) lim0

+

, ↵>0 , +1

3

px� 2

log |x2

� 3| , (ii) lim1,+1

sin(log x)

3x � ↵� e

x�1

,

(iii) lim0

+

,⇡

�

px

3 + cosx � 1

sin↵ x, (iv) lim

⌥1, 0

+

e

x

2 � 1� sin2 x

|x|↵ + 2arctg x.

(c) Siano f : R ! R una funzione continua e iniettiva, e an

2 R una successione di numeri reali.Se a

n

converge(2), converge sempre anche f(an

)? Supponendo poi che tutti gli an

faccianoparte dell’immagine di f (cioe che a

n

2 f(R) per ogni n 2 N), detto b

n

2 R l’unico elementotale che f(b

n

) = a

n

(si ricordi che f e supposta essere iniettiva), converge sempre anche lasuccessione b

n

?

4. (a) Trovare possibilmente in due modi (con la formula di Taylor, e con gli sviluppi gia noti dallaprima parte del corso) lo sviluppo asintotico, con due termini significativi, delle seguentifunzioni nel punto indicato:

(i) f(x) = log(3�cos 4x) in 0 ; (ii) g(x) =x+ 1

3p2x+ 3

in �1 ; (iii) h(x) = x sinx + tgx

3in ⇡ .

Calcolare poi in due modi (usando quanto appena trovato, e con de l’Hopital) i seguentilimiti al variare di ↵ 2 R:

(i) limx!0

f(x) + ↵

|x|↵ ; (ii) limx!�1

g(x)

log |x+ ↵| ; (iii) limx!⇡

h(x)�p3

(1 + cosx)↵.

(b) Descrivere il luogo geometrico ` dei punti del piano cartesiano equidistanti dal punto (2, 2)e dalla retta x+ 2y = 2 ; determinare poi il punto di ` piu vicino alla retta x+ y = 1 .(3)

(c) Studiare l’andamento delle seguenti funzioni, e tracciarne il grafico:

(i) �(x) = log |(p2 |cosx|�x)| ; (ii) (x) = arctg

x

2 � x

|x|� 2; (iii) ⌘(x) =

rx

3 � x

2

x� 2.

5. (a) Calcolare i seguenti integrali definiti:

(i)

Z ⇡

2

�⇡

2

(pcosx + x)| sinx| dx ; (ii)

Z4

1

x+ 1px e

px

dx ; (iii)

Ze

1

log x

x

3

plog x+ 2

dx ;

(iv)

Z ⇡

2

↵

1� cosx

sinxdx ;

(discutere ↵; porre poi ↵ = 0)

(v)

Z⇡

↵

sin 2x cosx

1� cos3 xdx ;

(discutere ↵; porre poi ↵ =

⇡2 )

(vi)

Z �1

0

1

(x2 + 1)2dx .

(b) Disegnare con precisione le seguenti zone limitate del piano cartesiano, e calcolarne l’area:

(i) A = {(x, y) 2 R2 : 2(1� x) y 1 + cos3 x , y sin 2 + 2 sinx � 0 , x ⇡} ;

(ii) B = {(x, y) 2 R2 : ↵|x| y p�

2 � x

2} (con ↵, � > 0 );

(iii) C = {(x, y) 2 R2 : |x|� 1 y p

|x+ y|+ 1 , x (y � 1)2} .(2)

Si ricorda che “convergere” significa “avere limite finito in R”.(3)

Questo esercizio, risolubile con i mezzi di questo corso (si ricorda che la distanza di (x

0

, y

0

) da ax + by + c = 0 e

|ax0+by0+c|pa

2+b

2), getta comunque un ponte verso il corso di Analisi 2, che fornira i mezzi piu idonei alla sua risoluzione.

2

6. (a) Risolvere le seguenti equazioni nella variabile complessa z:

(i)z + 1

2� z

= z ; (ii) 3z2 � 4(1� i)z � 5 = 0 ; (iii) 2z5 � 3z4 + z

3 + 9z2 � 9z = 0 .(una soluzione e z = 1 �

p2 i)

(b) (i) Si consideri l’equazione '(z) = z

4 � 2(2� i)z3 � (1 + 3i)z2 +↵ = 0. Per quali ↵ 2 C visono soluzioni multiple? Per quali ↵ 2 R vi sono soluzioni reali?

(ii) Si consideri l’equazione f(z) = 2z6 � 4z3 + k = 0, ove k 2 R e un parametro reale.Senza risolverla, determinare per quali k 2 R vi sono soluzioni reali. Descrivere poi lesoluzioni dell’equazione f(z) = 0 al variare di k 2 R.

(iii) Il polinomio g(z) = z

3 � 6az2 + 9a2z + 1 dipende dal parametro a 2 R. Dire quantesono, e che segno hanno, le soluzioni reali di g(z) = 0 al variare di a.

(c) Si consideri la funzione g : C ! C data da g(z) = iz

4.

(i) Posto w = 3 + 2i, calcolare g(w) e le fibre g

�1(�i) e g

�1(w).(ii) Risolvere l’equazione g( 2�z

3i+2z

) = 16i.

(iii) Disegnare i sottoinsiemi A = {z : |z| < 2, Im z � 0} e B = {z : Im z >

p3|Re z|} nel

piano di Gauss. La restrizioni di g rispettivamente a A ed a B sono iniettive? Se sı,calcolare la funzione inversa.

(iv) Calcolare immagine e antiimmagine della semiretta s = {t(ip3� 1) : t > 0} tramite g.

3