Esercitazioni di Costruzioni navali -...

Esercitazioni

di

Costruzioni navali

Claudio Chisari

11 ottobre 2006

Indice

Indice i

1 Robustezza del grigliato del doppiofondo 1

1.1 Caso considerato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Calcolo delle caratteristiche geometriche della sezione . . . . . . . 31.3 Metodo di risoluzione del grigliato . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 Calcolo dei coefficienti di influenza . . . . . . . . . . . . . 51.3.2 Calcolo dei carichi applicati sulle travi . . . . . . . . . . . 61.3.3 Calcolo delle reazioni mutue . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Risoluzione di una trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.1 Il carico concentrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.2 Il carico concentrato applicato in mezzeria . . . . . . . . . 81.4.3 Carichi concentrati simmetrici rispetto alla mezzeria . . . 91.4.4 Momenti complessivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Metodo di Cross 11

2.1 Caso considerato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Travi a sezione costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1 Momenti di incastro perfetto . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2 Fattori di ripartizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.3 Coefficienti di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Travi a sezione variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.1 Costanti elastiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.2 Fattori di ripartizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.3 Coefficienti di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.4 Momenti di incastro perfetto . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Risoluzione del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

i

Capitolo 1

Robustezza del grigliato del

doppiofondo

1.1 Caso considerato

Per mostrare il procedimento di risoluzione di un grigliato del fondo, si e appli-cato quest’ultimo al grigliato della nave analizzata durante le esercitazioni delcorso di “Costruzioni Navali 1”, nave cisterna, avente la seguente sezione suldiametrale:

15000 mm

3750 mm

mentre la platea, cioe la parte che interessa in quest’analisi, vista dall’alto(eliminando le pareti) e:

1

1 2 3

4 5 6

7 8 9

3750 3750 3750 3750

3000

3750

3750

3000

Per poter analizzare il grigliato si sono dovute fare delle ipotesi: la prima riguar-da il grado di incastro sui paramezzali viene posto pari ad 1, poiche si ipotizzauna caricazione uniforme in tutte le stive; una seconda riguarda i madieri, suiquali si ipotizza un grado di incastro variabile con andamento parabolico, aventevalore massimo pari ad 1 in corrispondenza delle paratie stagne e valore mediopari a 0.75. L’equazione di questa parabola, centrata a centro stiva, sara quindi:

f (x) = a x2 + c

Per ottenere il valore dei coefficienti della parabola si pongono le seguentirelazioni:

f (x)| ℓ2

= 1

∫ ℓ2

ℓ2

f (x) d x = 0.75 ℓ

da cui si ottiene:

c = 1 − a · 75002 = 0.63

a =3750

5.64 · 1011= 6.65 · 10−9

quindi:

• grado di incastro sul madiere laterale f1 = 0.72;

• grado di incastro sul madiere centrale f2 = 0.63;

I carichi sono i seguenti:

• un carico esterno dato dalla pressione idrostatica qw = ρs.water T = 1025 ·6.60 = −6765 kg · m−2;

• un carico interno dato dalla caricazione della stiva qf = ρfuel t = 10000 ·8.7 = 8700 kg · m−2;

• un carico interno sul doppiofondo qd = 0;

il che da un carico totale:

P = qw + qf + qd = 18984 Pa

A.A. 2005-2006 2 Claudio Chisari

1.2 Calcolo delle caratteristiche geometriche del-

la sezione

Si passa quindi a calcolare le caratteristiche geometriche (area, posizione dell’as-se neutro, momento d’inerzia) delle travi del grigliato (paramezzali e madieri)dove per lo spessore delle lamiere si e considerato lo spessore delle lamiere cor-retto con i ferri spalmati, spessore che era stato gia calcolato durante il corsodi “Costruzioni Navali 1” nella settima esercitazione. Si ottengono quindi le se-guenti tabelle relative ai madieri e ai paramezzali; poiche il grigliato consideratoe simmetrico, si considerano solo quattro tipi di travi, i due madieri (centrale elaterale) e i due paramezzali (centrale e laterale).

t b A y Ipr ypr Itr

m m m2 m m4 m m4

Madiere lateralecielo 0.012 3.750 0.045 1.300 5.4e-07 0.694 0.2e-01anima 0.015 1.300 0.020 0.650 2.7e-03 0.044 3.9e-05fondo 0.014 3.750 0.053 0.000 8.6e-07 -0.606 0.2e-01

Madiere centralecielo 0.012 3.750 0.045 1.300 5.4e-07 0.694 0.2e-01anima 0.015 1.300 0.020 0.650 2.7e-03 0.044 3.9e-05fondo 0.014 3.750 0.053 0.000 8.6e-07 -0.606 0.2e-01

Paramezzale lateralecielo 0.018 3.375 0.061 1.300 1.6e-06 0.650 0.3e-01anima 0.013 1.300 0.017 0.650 2.4e-03 0.000 0.00e00fondo 0.018 3.375 0.061 0.000 1.6e-06 -0.650 0.3e-01

Paramezzale centralecielo 0.017 3.750 0.064 1.300 1.5e-06 0.680 0.3e-01anima 0.013 1.300 0.017 0.650 2.4e-03 0.030 1.5e-05fondo 0.019 3.750 0.071 0.000 2.1e-06 -0.620 0.3e-01

Si riportano di seguito le posizioni dell’asse neutro e il momento d’inerzia ri-spetto all’asse neutro dei madieri:

yAN =

∑

i Ai · yi∑

i Ai

= 0.606 m IAN =∑

i

Itr,i + Ipr,i = 0.043 m4 AT = 0.118 m2

del paramezzale laterale:

yAN =

∑

i Ai · yi∑

i Ai

= 0.650 m IAN =∑

i

Itr,i + Ipr,i = 0.062 m4 AT = 0.139 m2

e del paramezzale centrale:

yAN =

∑

i Ai · yi∑

i Ai

= 0.620 m IAN =∑

i

Itr,i + Ipr,i = 0.062 m4 AT = 0.152 m2

1.3 Metodo di risoluzione del grigliato

Si espone di seguito il metodo di risoluzione del grigliato seguito; si consideriun nodo, incrocio di una trave longitudinale (s) e di una trave trasversale (r);la situazione e schematizzata nella figura seguente:


p

s

1

1 r m

b

Per calcolare le sollecitazioni agenti su ogni trave del grigliato analizzato, losi scompone nelle travi che lo formano e si risolve ogni trave singolarmente;per mantenere la congruenza, si ipotizza che nei punti di contatto, di seguitochiamati nodi, delle travi longitudinali e trasversali, la deformazione sia ugualein modulo e opposta in segno. Si ipotizza cioe che le travi si scambino dellereazioni mutue (Xrs), tali da generare nelle travi effetti opposti in verso, mauguali in modulo, tali cioe da annullarsi. Si assegna una convenzione sui segni,cioe che le reazioni siano positive verso il basso sulle travi longitudinali, e positiveverso l’alto sulle travi trasversali. Si deve cioe avere per ogni trave:

ηrrs = ηs

rs

dove m sta per madieri e p sta per paramezzali. La deformazione del madiere rnel nodo rs sara:

ηrrs = ηr

rs (Qr) −

p∑

j=1

ηrrs (Xrj) = wr

rs · Qr −

p∑

j=1

wrrs,rj · Xrj

dove:

• wrrs: coefficiente d’influenza nel nodo rs dovuto al carico distribuito;

• wrrs,rj: coefficiente d’influenza nel nodo rs dovuto al carico concentrato in

rj;

Si procede allo stesso modo per quanto riguarda il paramezzale s:

ηsrs = ηs

rs (Qs) +m∑

i=1

ηsrs (Xis) = ws

rs · Qs +m∑

i=1

wsrs,is · Xis

e quindi per avere la congruenza deve essere:

wrrs · Qr −

p∑

j=1

wrrs,rj · Xrj = ws

rs · Qs +

m∑

i=1

wsrs,is · Xis

o, equivalentemente:

m∑

i=1

wsrs,is · Xis +

p∑

j=1

wrrs,rj · Xrj = wr

rs · Qr − wsrs · Qs


1.3.1 Calcolo dei coefficienti di influenza

Si passa a questo punto a calcolare i coefficienti d’influenza per la sezione inesame, considerando che questa e simmetrica sia rispetto al paramezzale centraleche al madiere centrale. I coefficienti d’influenza che dovrebbero essere calcolatisono, considerando la simmetria, i seguenti:

wp1,1, w

m1,1, w1,4, w1,7, w1,2, w1,3 wp

2,2, wm2,2, w2,5, w2,8, w2,1, w2,3,

wp4,4, w

m4,4, w4,1, w4,7, w4,5, w4,6 wp

5,5, wm5,5, w5,2, w5,8, w5,4, w5,6

Questi venti possono essere ridotti a sedici, considerando la simmetria:

wp1,1, w

m1,1, w1,4, w1,7, w1,2, w1,3

wp2,2, w

m2,2, w2,5, w2,8, w2,1 = w1,2, w2,3 = w1,2,

wp4,4, w

m4,4, w4,1 = w1,4, w4,7 = w1,4, w4,5, w4,6

wp5,5, w

m5,5, w5,2 = w2,5, w5,8 = w2,5, w5,4 = w4,5, w5,6 = w4,5

Questi vengono calcolati considerando che ogni deformazione della trave ecausata da tre effetti:

• l’effetto proprio del carico, wp;

• l’effetto dei momenti d’incastro perfetti, scalati del grado d’incastro, op-posti ai precedenti, wm;

• l’effetto del taglio, non trascurabile, wt, concorde al carico.

Per calcolare queste quantita, sono state usate le relazioni fornite durante lelezioni, che si riportano di seguito; per il carico concentrato vale:

wp =ℓ3

6 E J ℓx1 x′

2

(

ℓ2 − x21 − x′ 2

2

)

wm =ℓ

6 E J ℓ3x2 x′

2

[

x1 x2

(

ℓ2 − x21

)

+ x′1 x′

2

(

ℓ2 − x′ 21

)]

wt =χ

GALx1 x′

2

mentre per il carico distribuito vale:

wp =ℓ3

24 E J

[

x1

ℓ−(x1

ℓ

)3

+(x1

ℓ

)4]

wm =ℓ

24 E Jx1 x′

1

wt =χ

2 GAx1 x′

1

Si riporta di seguito, in Tabella 1.1, i valori dei coefficenti d’influenza otte-nuti.

Si puo quindi calcolare la matrice dei coefficienti d’influenza dovuti ai carichiconcentrati. Questa sara:

{w} =

8

>

>

<

>

>

:

wm1,1 + w

p1,1 + w1,3 + w1,7 w1,2 w1,4 0

w2,1 + w2,3 wp2,2 + wm

2,2 + w2,8 0 w2,5

w4,1 + w4,7 0 wp4,4 + wm

4,4 + w4,6 w4,5

0 w5,2 + w5,8 w5,6 + w5,4 wp5,5 + wm

5,5

9

>

>

=

>

>

;


cioe:

w =

3.11E − 09 6.96E − 10 1.71E − 09 0.00E + 001.39E − 09 3.83E − 09 0.00E + 00 1.71E − 093.42E − 09 0.00E + 00 3.93E − 09 6.92E − 100.00E + 00 3.42E − 09 1.38E − 09 4.44E − 09

Calcolati i coefficenti d’influenza, si passa a calcolare i carichi agenti sulle traviconsiderate.

1.3.2 Calcolo dei carichi applicati sulle travi

Per fare questo calcolo si scompone la superficie della platea in tante partiquante sono le sezioni individuate dalle travi del grigliato, per ogni sezione sicalcola la parte del carico sopportata dalla parte di madiere e di paramezzale,e si sommano le varie parti che definiscono le travi complessive.

Mediante l’ipotesi di Grashoff si scompone il carico agente sulla platea (P =18984 Pa calcolato precedentemente) in due parti per ogni pezzo di lamiera: laparte assorbita dal madiere e la parte assorbita dal paramezzale. Ipotizzando:

b

a

si ha che il carico assorbito dal segmento a e pari a:

Pa4

a4 + b4

a b

2

mentre la parte di carico assorbito dal segmento b e pari a:

Pb4

a4 + b4

a b

2

Si puo quindi sommare tutti i contributi del grigliato, per quanto riguarda iparamezzali e i madieri.


d

e

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Si devono calcolare quindi, i carichi sulle lastre d e e; per la lastra d sara:

qpd = P

3.754

3.754 + 3.004

3.75 · 3.00

2= 7.576E + 04

qmd = P

3.004

3.754 + 3.004

3.75 · 3.00

2= 3.103E + 04

mentre per la lastra e vale:

qpe = P

3.754

3.754 + 3.754

3.75 · 3.75

2= qm

e = 6.674E + 04

Mediante questi si puo calcolare il carico agente sui madieri e sui paramezzali,per i quali vale:

Qp1 = 4 · qpd + 4 · qp

e = 5.700E + 05 Qp2 = 8 ∗ qpe = 5.339E + 05

Qm1 = Qm2 = 4 · qmd + 4 · qm

e = 3.911E + 05

Da questi si puo calcolare i termini della matrice Q, che saranno:

Q =

Q1

Q2

Q3

Q4

=

wp1 · Qp1 − wm

1 · Qm1

wp2 · Qp1 − wm

2 · Qm2

wp4 · Qp2 − wm

4 · Qm1

wp5 · Qp2 − wm

5 · Qm2

=

−1.78E − 043.39E − 05−5.42E − 04−3.50E − 04

1.3.3 Calcolo delle reazioni mutue

Per trovare le reazioni (Xi) si deve quindi risolvere il seguente sistema:

{w}·

X1

X2

X4

X5

=

Q1

Q2

Q3

Q4

⇒

X1

X2

X4

X5

= w−1·

Q1

Q2

Q3

Q4

=

9043.6933442.19

−134608.01−62495.48

N


1.4 Risoluzione di una trave

Definite le reazioni mutue Xi, si puo passare a risolvere le travi del grigliatocome travi singole, soggette a un carico distribuito, calcolato precedentemente,e ad carichi concentrati, le Xi.

Si riporta di seguito il caso del madiere centrale.X2 X5 X2

Qm2

ℓm2

f2 = 0.63f2 = 0.63

Per risolvere la trave scelta si ipotizza la sovrapposizione degli effetti, cioesi scompone il carico agente, e i suoi effetti, in una somma di un carico distri-buito, di un carico applicato in mezzeria della trave e di due carichi applicatisimmetricamente rispetto alla mezzeria della trave. Dai manuali di Scienze delleCostruzioni si ricavano quindi le relazioni per trovare il momento in mezzeria eagl’incastri per i tre casi in cui si e scomposto il carico.

1.4.1 Il carico concentrato

Un carico concentrato, di intensita Q, applicato su una trave incastrata adentrambe le estremita, produce momenti in mezzeria e d’incastro perfetto datidalla relazione:

Mx=0 = −1

12p ℓ2 Mx=ℓ = −

1

12p ℓ2 Mx= ℓ

2

=p ℓ2

24

Nel caso considerato, la lunghezza della trave e il carico totale agente sullatrave sono:

ℓ = 13.5 m Qm2 = 3.911e + 05 N

quindi il carico applicato e:

Q =Qm2

ℓ= 28970 N/m

Si hanno quindi i seguenti momenti:

Mx=0 = −439.990 kN ·m Mx=ℓ = −439.990 kN ·m Mx= ℓ2

= 219.990 kN ·m

1.4.2 Il carico concentrato applicato in mezzeria

Un carico concentrato applicato in mezzeria, di intensita P , applicato su unatrave incastrata ad entrambe le estremita, produce momenti in mezzeria ed’incastro perfetto dati dalla relazione:

Mx=0 = −1

8P ℓ Mx=ℓ = −

1

8P ℓ Mx= ℓ

2

=1

8P ℓ

Nel caso considerato, il carico P sara:

P = X5 = −62495.48 N

positivo verso l’alto poiche ci si trova su di un madiere.Si hanno quindi i seguenti momenti:

Mx=0 = −105.460 kN ·m Mx=ℓ = −105.460 kN ·m Mx= ℓ2

= 105.460 kN ·m


1.4.3 Carichi concentrati simmetrici rispetto alla mezzeria

Due carichi concentrati applicati simmetricamente rispetto alla mezzeria, diintensita P , applicati a distanza a dalle estremita su una trave incastrata adentrambe le estremita, produce momenti in mezzeria e d’incastro perfetto datidalla relazione:

Mx=0 = −P a

ℓ(ℓ − a) Mx=ℓ = −

P a

ℓ(ℓ − a) Mx= ℓ

2

=P a2

ℓ

Nel caso considerato, il carico P sara:

P = X2 = 33442.19 N

positivo verso l’alto poiche ci si trova su di un madiere.Si hanno quindi i seguenti momenti:

Mx=0 = 78.032 kN · m Mx=ℓ = 78.032 kN · m Mx= ℓ2

= −22.295 kN · m

1.4.4 Momenti complessivi

Si hanno quindi i seguenti momenti d’incastro perfetto, moltiplicati per il gradod’incastro della trave:

Mx=0 = Mx=ℓ = [M (Q) + M (X2) + M (X5)] f2 = −294.47 kN · m

mentre per quanto riguarda il momento in mezzeria abbiamo:

Mx= ℓ2

= M (Q) + M (X2) + M (X5) = 303.15 kN · m

Si deve quindi verificare se la trave ha tensioni massime inferiori alle normedel registro:

σ =Mmax

W=

Mmax

JAN

yAN,cielo = 4.89 N · mm−2

ben al di sotto del limite della normativa che e:

σamm = 175 N · mm−2

La trave risulta pertanto verificata.


nodo Atot Aan E G JAN χ ℓ f xi xj x′i x′

j wp wm wt wij nodo

[−] [m2] [m2] [Pa] [Pa] [m4] [−] [m] [−] [m] [m] [m] [m] [−] [−] [−] [−] [−]wp

1,1 .139 .017 2.10E+11 8.00E+10 .062 .122 15.0 1.00 3.75 3.75 11.25 11.25 3.04E-09 2.47E-09 3.09E-11 6.01E-10 wp1,1

wm1,1 .118 .020 2.10E+11 8.00E+10 .043 .169 13.5 0.63 3.00 3.00 10.50 10.50 2.71E-09 2.24E-09 4.19E-11 1.34E-09 wm

1,1

w1,4 .118 .020 2.10E+11 8.00E+10 .043 .169 13.5 0.63 3.00 6.75 10.50 6.75 3.54E-09 2.94E-09 2.69E-11 1.71E-09 w1,4

w1,7 .118 .020 2.10E+11 8.00E+10 .043 .169 13.5 0.63 3.00 10.50 10.50 3.00 2.02E-09 1.83E-09 1.20E-11 8.83E-10 w1,7

w1,2 .139 .017 2.10E+11 8.00E+10 .062 .122 15.0 1.00 3.75 7.50 11.25 7.50 3.71E-09 3.04E-09 2.06E-11 6.96E-10 w1,2

w1,3 .139 .017 2.10E+11 8.00E+10 .062 .122 15.0 1.00 3.75 11.25 11.25 3.75 2.36E-09 2.09E-09 1.03E-11 2.85E-10 w1,3

wp2,2 .139 .017 2.10E+11 8.00E+10 .062 .122 15.0 1.00 7.50 7.50 7.50 7.50 5.40E-09 4.05E-09 4.12E-11 1.39E-09 wp

2,2

wm2,2 .118 .020 2.10E+11 8.00E+10 .043 .169 13.5 0.63 3.00 3.75 10.50 9.75 3.13E-09 2.56E-09 3.89E-11 1.56E-09 wm

2,2

w2,5 .118 .020 2.10E+11 8.00E+10 .043 .169 13.5 0.63 3.00 6.75 10.50 6.75 3.54E-09 2.94E-09 2.69E-11 1.71E-09 w2,5

w2,8 .118 .020 2.10E+11 8.00E+10 .043 .169 13.5 0.63 3.00 10.50 10.50 3.00 2.02E-09 1.83E-09 1.20E-11 8.83E-10 w2,8

wp4,4 .152 .017 2.10E+11 8.00E+10 .062 .112 15.0 1.00 3.75 3.75 11.25 11.25 3.04E-09 2.47E-09 2.59E-11 5.95E-10 wp

4,4

wm4,4 .118 .020 2.10E+11 8.00E+10 .043 .169 13.5 0.63 6.75 6.75 6.75 6.75 5.68E-09 4.26E-09 6.06E-11 3.05E-09 wm

4,4

w4,5 .152 .017 2.10E+11 8.00E+10 .062 .112 15.0 1.00 3.75 7.50 11.25 7.50 3.71E-09 3.04E-09 1.72E-11 6.92E-10 w4,5

w4,6 .152 .017 2.10E+11 8.00E+10 .062 .112 15.0 1.00 3.75 11.25 11.25 3.75 2.36E-09 2.09E-09 8.62E-12 2.83E-10 w4,6

wp5,5 .152 .017 2.10E+11 8.00E+10 .062 .112 15.0 1.00 7.50 7.50 7.50 7.50 5.40E-09 4.05E-09 3.45E-11 1.38E-09 wp

5,5

wm5,5 .118 .020 2.10E+11 8.00E+10 .043 .169 13.5 0.63 6.75 6.75 6.75 6.75 5.68E-09 4.26E-09 6.06E-11 3.05E-09 wm

5,5

wp wm wt wi

[−] [−] [−] [−]wp

1 .139 .017 2.10E+11 8.00E+10 .062 .122 15.0 1.00 3.75 - 11.25 - 2.40E-09 2.03E-09 2.32E-10 6.12E-10 wp1

wm1 .118 .020 2.10E+11 8.00E+10 .043 .169 13.5 0.63 3.00 - 10.50 - 2.30E-09 1.96E-09 2.83E-10 1.35E-09 wm

1

wp2 .139 .017 2.10E+11 8.00E+10 .062 .122 15.0 1.00 7.50 - 7.50 - 3.38E-09 2.70E-09 3.09E-10 9.84E-10 wp

2

wm2 .118 .020 2.10E+11 8.00E+10 .043 .169 13.5 0.63 3.00 - 10.50 - 2.30E-09 1.96E-09 2.83E-10 1.35E-09 wm

2

wp4 .152 .017 2.10E+11 8.00E+10 .062 .112 15.0 1.00 3.75 - 11.25 - 2.40E-09 2.03E-09 1.94E-10 5.74E-10 wp

4

wm4 .118 .020 2.10E+11 8.00E+10 .043 .169 13.5 0.63 6.75 - 6.75 - 3.55E-09 2.84E-09 4.09E-10 2.17E-09 wm

4

wp5 .152 .017 2.10E+11 8.00E+10 .062 .112 15.0 1.00 7.50 - 7.50 - 3.38E-09 2.70E-09 2.59E-10 9.34E-10 wp

5

wm5 .118 .020 2.10E+11 8.00E+10 .043 .169 13.5 0.63 6.75 - 6.75 - 3.55E-09 2.84E-09 4.09E-10 2.17E-09 wm

5

Tabella 1.1: Coefficienti d’influenza del grigliato del fondo

A.A

.2005-2

006

10

Cla

udio

Chisa

ri

Capitolo 2

Metodo di Cross

2.1 Caso considerato

A

B

C

D

E F

PqBF

qCD

qA

La sezione considerata ha le seguenti caratteristiche:

• lunghezza del segmento AB = 5 m;

• lunghezza del segmento BC = 2.5 m;

• lunghezza del segmento CD = BE = 8 m;

• lunghezza del segmento BF = 3 m;

• carico P = 45 t = 441.270 kN ;

11

• carico qA = 5.5 t/m = 53.933 kN/m;

• carico qCD = 3.5 t/m = 34.321 kN/m;

• carico qBF = 8.5 t/m = 83.351 kN/m;

• momento d’inerzia del segmento AB: JAB = 6000 cm4 = 0.60 · 10−4 m4;

• momento d’inerzia del segmento BC: JBC = 1500 cm4 = 0.15 · 10−4 m4;

• momento d’inerzia del segmento CD: JCD = 9500 cm4 = 0.95 · 10−4 m4;

• momento d’inerzia del segmento BE: JBE = 12000 cm4 = 1.20 · 10−4 m4;

• momento d’inerzia del segmento AB: JEF = 16500 cm4 = 1.65 · 10−4 m4;

• modulo di Young del materiale: E = 210 · 106 kN/m2;

Per poter applicare il metodo di Cross alla sezione considerata, si devono di-videre le travi in due gruppi, formati rispettivamente da travi a sezione costante(AB, BC, CD) e travi a sezione variabile (BF ). Si passa quindi a considerareper ogni trave o nodo le seguenti quantita:

• momenti di incastro perfetto µi;

• fattori di ripartizione kij ;

• coefficienti di trasmissione τij .

Per poter calcolare queste quantita, limitatamente al caso della sezione variabile,si deve calcolare anche le:

• costanti elastiche αij , αji e β.

2.2 Travi a sezione costante

2.2.1 Momenti di incastro perfetto

I momenti di incastro perfetto per la sezione considerata sono di due tipi: quellidovuti ad un carico distribuito costante e quelli dovuti ad un carico distribuitotriangolare; si ha quindi:

A B

qA

Dal manuale di Scienza delle Costruzioni si ottiene:

µA =qA ℓAB

20= 67.416 kN · m µB =

qA ℓAB

30= 44.944 kN · m

Per quanto riguarda invece il caso della trave CD si ottiene:


C D

qCD

µC = µD =qCD ℓCD

12= 183.045 kN · m

2.2.2 Fattori di ripartizione

I fattori di ripartizione, per la sezione in esame appartengono a due gruppi,quelli calcolati nel nodo B e quelli calcolati nel nodo C; nel nodo C concorronoesclusivamente travi a sezione costante, quindi possiamo gia calcolare i fattoridi ripartizione delle travi, mentre nel nodo D concorre anche una trave a sezionevariabile (BF ) quindi il calcolo potra essere fatto per ora solo in maniera teorica.Si ottiene quindi:

• nodo C:

BC → ρBC =4 E JBC

ℓBC

= 5040 kN · m

CD → ρCD =4 E JCD

ℓCD

= 9975 kN · m

da cui si ottiene la somma delle rigidezze nel nodo:

ρC = ρBC + ρCD = 15015 kN · m

e i fattori di ripartizione delle aste BC e CD:

kBC =ρBC

ρC

= 0.336 kCD =ρCD

ρC

= 0.664

• nodo B:

BC → ρBC =4 E JBC

ℓBC

= 5040 kN · m

AB → ρAB =4 E JAB

ℓCD

= 10080 kN · m

BF → ρBF =1

αBF − β2

αF B

da cui si ottiene la somma delle rigidezze nel nodo:

ρB = ρBC + ρAB + ρCD

e i fattori di ripartizione delle aste BC, AB e BF :

kBC =ρBC

ρB

kAB =ρAB

ρB

kBF =ρBF

ρB


2.2.3 Coefficienti di trasmissione

Per le travi a sezione costante il valore del coefficiente di trasmissione varia dalvalore 0 al valore 0.5, rispettivamente se la trasmissione del momento e direttaad una cerniera o ad un incastro; nel nostro caso, limitatamente al caso dellatravi a sezioni costanti, essendo tutti i vincoli degli incastri, abbiamo per tuttele estremita delle aste τ = 0.5.

2.3 Travi a sezione variabile

Come prima cosa si deve procedere al calcolo delle costanti elastiche, utili succes-sivamente per il calcolo dei fattori di ripartizione, del coefficiente di trasmissionee dei momenti di incastro perfetto.

2.3.1 Costanti elastiche

Per il calcolo delle costanti elastiche si procede risolvendo l’integrale indicatoprecedentemente, scomponendo la trave BF in due “sotto-travi” (BE e EF ),in ognuna delle quali la sezione ed il momento d’inerzia sono costanti.

B E F

Si ottiene quindi:

αBF =

Z

ℓ

0

(ℓ − x)2

ℓ21

E J (x)d x =

=

Z

8

0

(ℓBF − x)2

ℓ2BF

1

E JBE

d x +

Z

11

8

(ℓBF − x)2

ℓ2BF

1

E JEF

dx =

=1

ℓ2BF

E

1

JBE

»

ℓ2

BF x − x2ℓBF +

x3

3

–8

0

+1

JEF

»

ℓ2

BF x − x2ℓBF +

x3

3

–11

8

!

=

= 0.145 · 10−3 [kN · m]−1

αFB =

∫ ℓ

0

x2

ℓ2

1

E J (x)d x =

=

∫ 8

0

x2

ℓ2BF

1

E JBE

d x +

∫ 11

8

x2

ℓ2BF

1

E JEF

d x =

=1

ℓ2BF E

(

1

JBE

[

x3

3

]8

0

+1

JEF

[

x3

3

]11

8

)

=

= 0.121 · 10−3 [kN · m]−1


β =

∫ ℓ

0

x (ℓ − x)

ℓ2

1

E J (x)d x =

=

∫ 8

0

x (ℓBF − x)

ℓ2BF

1

E JBE

d x +

∫ 11

8

x (ℓBF − x)

ℓ2BF

1

E JEF

d x =

=1

ℓ2BF E

(

1

JBE

[

ℓBF

x2

2−

x3

3

]8

0

+1

JEF

[

ℓBF

x2

2−

x3

3

]11

8

)

=

= 0.069 · 10−3 [kN · m]−1

2.3.2 Fattori di ripartizioni

Si puo quindi calcolare la rigidezza della trave, mediante la formula:

ρBF =1

αBF − β2

αF B

= 9465 kN · m

Da questa si possono trovare i fattori di ripartizione per il nodo B; si ottienela somma delle rigidezze:

ρB = ρBC + ρAB + ρCD = 24585 kN · m

e i fattori di ripartizione delle aste BC, AB e BF :

kBC =ρBC

ρB

= 0.205 kAB =ρAB

ρB

= 0.410 kBF =ρBF

ρB

= 0.385

2.3.3 Coefficienti di trasmissione

Il coefficente di trasmissione e pari a:

τBF =β

αFB

= 0.570

2.3.4 Momenti di incastro perfetto

Per trovare i momenti di incastro perfetto dovuti al carico concentrato piu ilcarico distribuito si ipotizza la sovrapposizione degli effetti e si analizzano se-paratamente i due tipi di carico; le formule per calcolare i momenti d’incastrosono le seguenti:

µij =γi (q) αji − γj (q) β

αij αji − β2µji =

γj (q) αij − γi (q) β

αij αji − β2

Iniziamo considerando il carico distribuito.Si procede sfruttando l’analogia di Mohr, quindi la linea elastica del siste-

ma iniziale, diventa il carico di un sistema fittizio che ci permette di trovarele curvature alle estremita (il dato mancante nelle equazioni precedenti) comereazioni nei vincoli. Il sistema equivalente studiato e:

BE

F

qBF


L’espressione del momento e:

M (x) =qBF

2

(

ℓ x − x2)

da cui il carico applicato al sistema fittizio sara:

M (x)

E J (x)=

qBF

2 E J (x)

(

ℓ x − x2)

Per trovare la rotazione nell’estremo B, si ricerca la forza R∗B che dia l’equi-

librio alla rotazione dell’asta:

R∗B ℓ −

∫ ℓ

0

M (x)

E J (x)(ℓ − x) dx = 0

dove l’integrale viene ancora una volta diviso nei due tronconi dell’asta chehanno sezione e momento d’inerzia costante. Si ha quindi:

R∗

B =

Z

ℓ

0

M (x)

E J (x) ℓ(ℓ − x) dx =

=

Z

8

0

qBF

2ℓBF E

`

ℓBF x − x2´

(ℓBF − x)

JBE

d x +

Z

11

8

qBF

2ℓBF E

`

ℓBF x − x2´

(ℓBF − x)

JEF

dx =

=qBF

2ℓBF E

1

JBE

»

x2

2ℓ2

BF +x4

4− 2ℓBF

x3

3

–8

0

+1

JEF

»

x2

2ℓ2

BF +x4

4− 2ℓBF

x3

3

–11

8

!

=

= 0.180

mentre per la “reazione” in F si pone l’equilibrio verticale:

R∗F = Q − R∗

B =

=

∫ ℓ

0

M (x)

E J (x)d x − R∗

B =

=

∫ 8

0

qBF

2 E

ℓBF x − x2

JBE

d x +

∫ 11

8

qBF

2 E

ℓBF x − x2

JEF

d x − R∗B =

=qBF

2 E

(

1

JBE

[

ℓBF

x2

2−

x3

3

]8

0

+1

JEF

[

ℓBF

x2

2−

x3

3

]11

8

)

− R∗B =

= 0.168

Una volta trovate le reazioni fittizie (cioe le rotazioni dovute al carico di-stribuito qBF ) si possono calcolare i momenti d’incastro perfetto con le formuleindicate in precedenza:

µBF (qBF ) =γB (qBF ) αFB − γF (qBF ) β

αBF αFB − β2= 798.81

µFB (qBF ) =γF (qBF ) αBF − γB (qBF ) β

αBF αFB − β2= 934.70

Si passa quindi al calcolo dei momenti d’incastro perfetto dovuti al caricoconcentrato P .

BE

FP


L’equazione del momento dovuto al carico concentrato P e diverso a secondache ci si trovi nel segmento BE o nel segmento EF ; questo e:

3

11P x 0 ≤ x ≤ ℓBE

P

(

−8

11x + ℓBE

)

ℓBE ≤ x ≤ ℓBF

da cui il carico applicato al sistema fittizio sara:

M (x)

E J (x)=

3

11

P x

E JBE

0 ≤ x ≤ ℓBE(

−8

11x + ℓBE

)

P

E JEF

ℓBE ≤ x ≤ ℓBF

Per trovare la rotazione nell’estremo B, si procede come fatto per il caricodistribuito; si calcola la reazione R∗

B mediante l’equilibrio del momento rispet-to all’estremita F , mentre la reazione R∗

F si trova mediante l’equilibrio allospostamento verticale. La reazione R∗

B sara allora:

R∗

B =

Z

ℓ

0

M (x)

E J (x) ℓ(ℓ − x) dx =

=

Z

8

0

3

11

P x (ℓBF − x)

E JBE ℓBF

d x +

Z

11

8

„

−

8

11x + ℓBE

«

P (ℓBF − x)

E JEF ℓBF

d x =

=P

E ℓBF

3

11 · JBE

»

ℓBF

x2

2−

x3

3

–8

0

+1

JEF

»

x2

2

„

−

8

11ℓBF − ℓBE

«

+8

11

x3

3+ ℓBF ℓBE x

–11

8

!

=

= 0.086

mentre la reazione fittizia R∗F e data da:

R∗F = Q − R∗

B =

=

∫ ℓ

0

M (x)

E J (x)d x − R∗

B =

=

∫ 8

0

3

11

P x

E JBE

d x +

∫ 11

8

(

−8

11x + ℓBE

)

P

E JEF

d x − R∗B =

=P

E

(

3

11 JBE

[

x2

2

]8

0

+1

JEF

[

−8

11

x2

2+ ℓBE x

]11

8

)

− R∗B =

= 0.108

I momenti d’incastro perfetto dovuti al carico concentrato sono allora:

µBF (P ) =γB (P ) αFB − γF (P ) β

αBF αFB − β2= 232.89

µFB (P ) =γF (P ) αBF − γB (P ) β

αBF αFB − β2= 761.37

che danno i momenti d’incastro perfetto totali pari a:

µBF = µBF (qBF ) + µBF (P ) = 1031.70

µFB = µFB (qFB) + µFB (P ) = 1696.07


2.4 Risoluzione del sistema

Calcolati i momenti d’incastro perfetto, per l’intera struttura si puo quindi pro-cedere metodo di Cross al calcolo dei momenti all’equilibrio, senza considerareil momento generato dall’applicazione dei carichi. Si ha la seguente situazioneiniziale:

1696.071031.70

44.94

67.42

183.05 183.05

τ = 0.570

τ = 0.500

τ=

0.5

00

τ=

0.5

00

B

C

k = 0.385

k=

0.2

05

k=

0.4

10

k = 0.664

k=

0.3

36

Nodo B

Nodo C

Si e poi cambiato la convenzione sui segni, poiche finora si sono consideratele travi come isolate le une dalle altre, mentre per poter eseguire il metododi Cross conviene avere una convenzione comune; la convenzione usata e stataquella di ritenere positivi i momenti orari, indipendentemente dalla trave a cuisi riferiscono.

Segue il diagramma in cui sono indicati i vari passaggi dell’iterazione (doveD indica il momento distribuito, mentre T indica il momento trasmesso).


-1696.07

T -216.54

I

T 3.02

III

1031.70

D -379.90

I

D 5.30

III

-44.94

D -404.57

I

D 5.64

III

T -0.16

III

D 2.82

T -13.76

I

D -229.29

T -101.14

D -27.52

II

T 1.41

D - 0.32

IV

IV

D -0.94

II

D -54.38

183.05

-183.05

T -27.19

II

T -0.47

IV

III

T 2.82

I

T -202.29

67.42

+

Sommando per ogni vertice i valori del momento nelle varie approssimazioni,si ottiene:

−1909.59657.10−240.39

−443.87

−127.57

−210.71

127.73 −132.05

+


A questi momenti si devono sommare i momenti dovuti al carico, di cui siindica l’equazione; per quanto riguarda un carico distribuito q, il momento sullatrave e dato dalla relazione:

M (x) =P ℓ x

2−

P x2

2

Per quanto riguarda un carico concentrato p, posto a distanza a dall’originedel sistema di riferimento, il momento e dato dalla relazione:

M (x) =

ℓ − a

ℓp x 0 ≤ x ≤ a

p(

−a

ℓx + a

)

a ≤ x ≤ ℓ

Per un carico triangolare, avente valore massimo p, il momento e dato dallarelazione:

M (x) =p

6 ℓx3 −

p

2x2 +

p ℓ

3x

Si riporta di seguito il risultato grafico ottenuto mediante il programma Ftool

sviluppato dalla “Pontifical Catholic University of Rio de Janeiro”, software checonferma l’analisi fatta in termini di valori del momento agli estremi e segno diquesto.

83.39 kN/m83.39 kN/m

34.34 kN/m

53.95 kN/m

441.4 kN

Figura 2.1: Condizione di caricazione


-1910.3

395.4

-656.7

640.1

-127.7 -210.9

107.0

213.3

-127.7

131.8

-443.5

Figura 2.2: Momenti del sistema


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